수2	2022년 시행 기출 4점	함수의극한

[2209교-고2-26]

[eqn: 16`]

[출제의도] 함수의 극한에 대한 성질 이해하기

[eqn: lim _{x` rarrow ` 1} {{g LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2} -1} `} = {1} over {2} `]이므로 [eqn: lim _{x` rarrow ` 1} {{x ^{2} -1} over {g LEFT ( x RIGHT )} `} =2`]

[eqn: lim _{x` rarrow ` 1} {{LEFT ( x+1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )} `}][eqn: = lim _{x` rarrow ` 1} {LEFT { {f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1} TIMES {x ^{2} -1} over {g LEFT ( x RIGHT )} RIGHT }} `]
[eqn: =8 TIMES 2=16`]

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가
[eqn: lim _{x` rarrow `1} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1} =8} `], [eqn: lim _{x` rarrow `1} { {g LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2} -1}} = {1} over {2} `]
을 만족시킬 때, [eqn: lim _{x` rarrow `1} {{LEFT ( x+1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )}} `]의 값을 구하시오.

[2209교-고2-29]

[eqn: 4`]

[출제의도] 함수의 극한에 대한 성질을 이용하여 문제 해결하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=2m`]을 제외한 모든 실수에서 극한값을 가지므로

[eqn: lim _{x` rarrow `2m-} {f LEFT ( x RIGHT )} ` it != lim _{x` rarrow `2m+} {f LEFT ( x RIGHT )} `]     [eqn: CDOTS `]㉠

조건 (가)에서 [eqn: alpha =2m`]

[eqn: lim _{x` rarrow `2m} {g LEFT ( x RIGHT )} `]의 값이 존재한다고 가정하면

조건 (나)에 의하여

[eqn: lim _{x` rarrow `2m} {f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{x` rarrow `2m} {LEFT { {f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )} TIMES g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }}} `]
[eqn: = lim _{x` rarrow `2m} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )} TIMES lim _{x` rarrow `2m} {g LEFT ( x RIGHT )}} `]

[eqn: lim _{x` rarrow `2m} {f LEFT ( x RIGHT )} `]의 값이 존재하므로
㉠을 만족시키지 않는다.

따라서 [eqn: lim _{x` rarrow `2m} {g LEFT ( x RIGHT )} `]의 값은 존재하지 않는다.

조건 (가)에 의하여 [eqn: beta =2m`]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=m+1`]을 제외한 모든 실수에서 극한값을 가지므로 [eqn: 2m=m+1`], [eqn: m=1`]

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {`g LEFT ( x RIGHT ) ` it = lim _{x` rarrow `1} {LEFT ( ax-a RIGHT ) =} 0`}]이고 조건 (나)에서

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )}} `]의 값이 존재하므로

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {`f LEFT ( x RIGHT )}][eqn: = lim _{x` rarrow `1} {LEFT { x ^{2} + LEFT ( a-1 RIGHT ) x-a ^{2} +2 RIGHT }}`]
[eqn: = it -a ^{2} +a+2= it - LEFT ( a+1 RIGHT ) LEFT ( a-2 RIGHT ) =0`]

[eqn: a= it -1`] 또는 [eqn: a=2`]

(ⅰ) [eqn: a= it -1`] 인 경우
[eqn: lim _{x` rarrow `2-} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )} ` it = lim _{x` rarrow `2-} {{x ^{2} -2x+1} over {-x+1}}} = it -1`]
[eqn: lim _{x` rarrow `2+} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )} ` it = lim _{x` rarrow `2+} {{-3x-4} over {x+2} = it} - {5} over {2}} `]
[eqn: lim _{x` rarrow `2-} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )} != lim _{x` rarrow `2+} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )}} `}]이므로
조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a=2`] 인 경우
[eqn: lim _{x` rarrow `2-} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )} ` it = lim _{x` rarrow `2-} {{x ^{2} +x-2} over {2x-2} =} 2} `]
[eqn: lim _{x` rarrow `2+} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )} ` it = lim _{x` rarrow `2+} {{-3x+8} over {x-1} =} 2} `]
[eqn: lim _{x` rarrow `2-} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )} ` it = lim _{x` rarrow `2+} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )}}} `]이므로
조건 (나)를 만족시킨다.

(ⅰ), (ⅱ) 에 의하여 [eqn: a=2`], [eqn: m=2-1=1`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{eqalign{# }&#eqalign{ }&}}]	[eqn: x ^{2} +x-2`]	[eqn: LEFT ( `x LEQ 2` RIGHT ) `]
	[eqn: -3x+8`]	[eqn: LEFT ( `x>2` RIGHT ) `]

,

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{eqalign{# }&#&}}]	[eqn: 2x-2`]	[eqn: LEFT ( `x LEQ 2` RIGHT ) `]
	[eqn: x-1`]	[eqn: LEFT ( `x>2` RIGHT ) `]

따라서 [eqn: m+g LEFT ( a ^{2} RIGHT ) =1+g LEFT ( 4 RIGHT ) =1+3=4`]

양수 [eqn: m`]과 [eqn: 0`]이 아닌 실수 [eqn: a`]에 대하여 두 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{eqalign{# }&#eqalign{# }&}}]	[eqn: ``x ^{2} + LEFT ( a-1 RIGHT ) x-a ^{2} +2`]	[eqn: LEFT ( `x LEQ 2m` RIGHT ) `]
	[eqn: `-3x+4a`]	[eqn: LEFT ( `x>2m` RIGHT ) `]

,

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{eqalign{# }&#eqalign{# }&}}]	[eqn: ``ax-a`]	[eqn: LEFT ( `x LEQ m+1` RIGHT ) `]
	[eqn: ``x-a+1`]	[eqn: LEFT ( `x>m+1` RIGHT ) `]

이 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) [eqn: lim _{x` rarrow ` alpha -} {f LEFT ( x RIGHT ) `} != lim _{x` rarrow ` alpha +} {f LEFT ( x RIGHT )} `], [eqn: lim _{x` rarrow ` beta -} {g LEFT ( x RIGHT )} ` != lim _{x` rarrow ` beta +} {g LEFT ( x RIGHT )} `]인 실수 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]가 존재한다. (나) 모든 실수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: lim _{x` rarrow `k} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )}} `]의 값이 존재한다.

[eqn: m+g LEFT ( a ^{2} RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[2203교-고3-12]

③ [eqn: - {13} over {6}]

[출제의도] 함수의 연속을 이해하여 상수의 값을 구한다.

함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: f(1)=0], [eqn: f(a)=0]이고, [eqn: lim _{x` rarrow `2-} {} f(x)][eqn: =it-1], [eqn: lim _{x`->`2+} {} f(x)][eqn: = it -4+2a`]에서 [eqn: lim _{x` rarrow `2-} {} f(x)][eqn: != lim _{x` rarrow `2+} {} f(x)`]이므로 [eqn: x=2`]에서 불연속이다. 함수 [eqn: h(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 함수 [eqn: h(x)`]는 [eqn: x=1], [eqn: x=a], [eqn: x=2`]에서 연속이어야 한다.

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {} {g(x)} over {f(x)} =h(1)], [eqn: lim _{x` rarrow `a} {} {g(x)} over {f(x)} =h(a)`]에서

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {} f(x)][eqn: =f(1)][eqn: =0], [eqn: lim _{x` rarrow `a} {} f(x)][eqn: =f(a)][eqn: =0`]이므로

[eqn: lim _{x`->`1} {} g(x)=0], [eqn: lim _{x` rarrow ` a} {} g(x)=0] 즉, [eqn: g(1)=0`], [eqn: g(a)=0`]

또, [eqn: lim _{x` rarrow `2-} {{g(x)} over {f(x)}}][eqn: = lim _{x` rarrow `2+} {{g(x)} over {f(x)}}], [eqn: {g(2)} over {-1} = {g(2)} over {-4+2a} `]이므로 [eqn: g(2)=0`]이고 [eqn: g(x)][eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT ) `]이다.

[eqn: lim _{x`->`1} {} h(x)][eqn: = lim _{x` rarrow `1} {} {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )} over {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )}]
[eqn: = lim _{x` rarrow `1} {} {LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )} over {x-3}]
[eqn: = {1-a} over {2}]

[eqn: lim _{x` rarrow `a} {} h(x)][eqn: = lim _{x` rarrow `a} {} {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )} over {-x LEFT ( x-a RIGHT )}]
[eqn: = lim _{x` rarrow `a} {} {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )} over {-x}]
[eqn: =it- {LEFT ( a-1 RIGHT ) LEFT ( a-2 RIGHT )} over {a}]

[eqn: h(1)][eqn: =h(a)`]이므로

[eqn: {1-a} over {2}][eqn: =it- {LEFT ( a-1 RIGHT ) LEFT ( a-2 RIGHT )} over {a}]

[eqn: a>2`]이므로 [eqn: a=4]

따라서

[eqn: h(x)][eqn: = {g(x)} over {f(x)}][eqn: = {cases{{LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT )} over {x-3}&&LEFT ( x{le}2 RIGHT )#- {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )} over {x}&&LEFT ( x>2 RIGHT )}}]

이므로

[eqn: h(1)+h(3)][eqn: =it- {3} over {2} + LEFT ( - {2} over {3} RIGHT )][eqn: =it- {13} over {6}]

[eqn: a>2`]인 상수 [eqn: a`]에 대하여 함수 [eqn: f(x)`]를

[eqn: f(x)= {cases{`#`#`#`}}]	[eqn: x ^{2} -4x+3]	([eqn: x{le}2])
	[eqn: -x ^{2} +ax]	([eqn: x>2])

라 하자. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: g(x)`]에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: h(x)`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: h(1)+h(3)`]의 값은?

(가) [eqn: x!=1], [eqn: x!=a`]일 때, [eqn: h(x)= {g(x)} over {f(x)} `]이다.

(나) [eqn: h(1)=h(a)]

① [eqn: - {15} over {6}]    ② [eqn: - {7} over {3}]	③ [eqn: - {13} over {6}]   ④ [eqn: -2]    ⑤ [eqn: - {11} over {6}]

[2206평-고3-22]

[eqn: 19]

[출제의도] 연속함수의 성질을 이용하여 극한값을 계산할 수 있는가?

함수

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{~ LEFT ( x+3 RIGHT ) `f LEFT ( x RIGHT )&~~~ LEFT ( x<0 RIGHT )#eqalign{# ~ LEFT ( x+a RIGHT ) `f LEFT ( x-b RIGHT )}&eqalign{# ~~~ LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}}]

이 실수 전체에서 연속이려면 [eqn: x][eqn: =0]에서 연속이어야 한다.

따라서

[eqn: lim _{x -> 0-} {} g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{x -> 0+} {} g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =g LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

이 성립한다.

이때

[eqn: lim _{x -> 0-} {} g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{x -> 0-} {} LEFT ( x+3 RIGHT ) `f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3f LEFT ( 0 RIGHT )],

[eqn: lim _{x -> 0+} {} g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{x -> 0+} {} LEFT ( x+a RIGHT ) `f LEFT ( x-b RIGHT )][eqn: =a`f LEFT ( -b RIGHT )],

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = a f(-b)]

이므로 ㉠에서

[eqn: 3f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =af LEFT ( -b RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

한편,

[eqn: lim _{x` rarrow -3} {{sqrt {□g(x)□`+ LEFT { g(t) RIGHT } ^{2}}} - |g(t) |} over (x+3) ^2]

[eqn: =][eqn: lim _{x`rarrow -3} {}][eqn: {□g(x)□} over {(x+3) ^{2} left { sqrt {□g(x)□`+ LEFT { g(t) RIGHT } ^{2}} +|g(t)| right }]

[eqn: =][eqn: lim _{x`rarrow -3} {}][eqn: {□(x+3)f(x)□} over { (x+3) ^{2} left{ sqrt {□g(x)□`+ LEFT { g(t) RIGHT } ^{2}} +|g(t)| RIGHT }}]

[eqn: =][eqn: lim _{x -> -3```} {} {□(x+3)f(x)□} over {(x+3) ^{2} TIMES 2 LEFT | `g LEFT ( t RIGHT ) ` RIGHT |}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

이때 [eqn: t != -3]이고 [eqn: t != 6]인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 ㉢의 값이 존재하므로

[eqn: f(x)`=`(x+3)(x+k)] ([eqn: k]는 상수)

의 꼴이어야 하고, ㉢에서

[eqn: lim _{x -> -3```} {} {□(x+3)f(x)□} over {(x+3) ^{2} TIMES 2 LEFT | `g LEFT ( t RIGHT ) ` RIGHT |}]

[eqn: =][eqn: lim _{x -> -3```} {} {□(x+3) LEFT ( x+k RIGHT ) □} over {(x+3) ^{2} TIMES 2 LEFT | `g LEFT ( t RIGHT ) ` RIGHT |}]

[eqn: =][eqn: lim _{x -> -3```} {} {□`x+k`□} over {2 LEFT | `g LEFT ( t RIGHT ) ` RIGHT |}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉣

이때 [eqn: t][eqn: =3]과 [eqn: t][eqn: =6]에서만 ㉣의 값이 존재하지 않으므로 방정식 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]의 모든 실근은 [eqn: x][eqn: = it -3]과 [eqn: x][eqn: =6] 뿐이다.

주어진 식에서 [eqn: g LEFT ( -3 RIGHT )][eqn: =0]이므로

[eqn: g LEFT ( 6 RIGHT )][eqn: =0], 즉 [eqn: LEFT ( 6+a RIGHT ) `f LEFT ( 6-b RIGHT )][eqn: =0]

이어야 한다.

이때 [eqn: a>0]이므로

[eqn: f LEFT ( 6-b RIGHT )][eqn: =0]에서

[eqn: 6-b][eqn: = it -3] 또는 [eqn: 6-b][eqn: = it -k]

따라서 [eqn: b][eqn: =9] 또는 [eqn: k-b][eqn: = it -6]

(ⅰ) [eqn: b][eqn: =9]인 경우
[eqn: x<0]에서
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+3 RIGHT ) `f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{2} ` LEFT ( x+k RIGHT )]
이때
[eqn: x<0]에서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]의 해는 [eqn: -3]뿐이므로
[eqn: -k GEQ 0] 또는 [eqn: k][eqn: =3]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉤
[eqn: x GEQ 0]에서

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+a RIGHT ) `f LEFT ( x-9 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( x+a RIGHT ) LEFT ( x-6 RIGHT ) LEFT ( x-9+k RIGHT )]

이때 [eqn: x GEQ 0]에서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]의 해는 [eqn: 6]뿐이므로

[eqn: 9-k<0] 또는 [eqn: 9-k][eqn: =6]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉥

㉤, ㉥에서

[eqn: k][eqn: =3]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{2}]이므로 ㉡에서

[eqn: 3 TIMES 3 ^{2}][eqn: =af LEFT ( -9 RIGHT )], [eqn: 27][eqn: =36a]

[eqn: a][eqn: = {3} over {4}]

따라서

[eqn: g LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: = LEFT ( 4+a RIGHT ) f LEFT ( 4-b RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 4+ {3} over {4} RIGHT ) `f LEFT ( -5 RIGHT )]
[eqn: = {19} over {4} TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}][eqn: =19]

(ⅱ) [eqn: k-b][eqn: = it -6]인 경우
[eqn: x<0]에서
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+3 RIGHT ) `f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x+k RIGHT )]
이때 [eqn: x<0]에서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]의 해는 [eqn: -3]뿐이므로
[eqn: -k GEQ 0] 또는 [eqn: k][eqn: =3]
[eqn: x GEQ 0]에서

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+a RIGHT ) `f LEFT ( x-b RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( x+a RIGHT ) LEFT ( x-b+3 RIGHT ) LEFT ( x-b+k RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( x+a RIGHT ) LEFT ( x-b+3 RIGHT ) LEFT ( x-6 RIGHT )]

이때 [eqn: x GEQ 0]에서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]의 해는 [eqn: 6]뿐이고, [eqn: b>3]이므로

[eqn: b-3][eqn: =6]에서

[eqn: b][eqn: =9]

[eqn: k-b][eqn: = it -6]에서

[eqn: k][eqn: = it 3]

따라서 (ⅰ)과 같은 결과이므로

[eqn: g LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: = it 19]이다.

두 양수 [eqn: a,~b]([eqn: b>3])과 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{~ LEFT ( x+3 RIGHT ) `f LEFT ( x RIGHT )&~~~ LEFT ( x<0 RIGHT )#eqalign{# ~ LEFT ( x+a RIGHT ) `f LEFT ( x-b RIGHT )}&eqalign{# ~~~ LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}}]

이 실수 전체의 집합에서 연속이고 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: g LEFT ( 4 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[eqn: lim _{x -> -3} {} {sqrt {LEFT | `g LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT | + LEFT { g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2}} - LEFT | `g LEFT ( t RIGHT ) ` RIGHT |} over {LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{2}}]의 값이 존재하지 않는

실수 [eqn: t]의 값은 [eqn: -3]과 [eqn: 6]뿐이다.

[2207사관-고3-12]

① [eqn: - 7 over4 `]

주어진 조건을 만족하려면 [eqn: f(alpha)=2 ``]이거나 [eqn: alpha=2 `]이다.

ⅰ) [eqn: alpha=2 `]이면 [eqn: 5+2a+b=4`]

[eqn: f(alpha)=2`]이면 [eqn: alpha= -1`,````1`] 또는 [eqn: a+b=2`]이어야 함.

이때 준식을 만족하는 [eqn: alpha`]는 [eqn: 4`]개이고 총합이 [eqn: 8`]이므로 남은 [eqn: alpha``]는 [eqn: 6`]이다.

따라서 [eqn: 6a+b=2`]가 된다.

[eqn: a`,````b`]를 연립하면 [eqn: a= 3 over4 `]이므로 [eqn: a+b= - 7 over 4 ``]

함수

[eqn: f(x)= cases{ ``x^2 +1 ~~~~&(x<=2) # ``ax+b &(x>2)}``]

에 대하여 [eqn: f(alpha)+ lim _{ x->alpha+ } { f(x)}=4``]를 만족시키는 실수 [eqn: alpha``]의 개수가 [eqn: 4``]이고, 이 네 수의 합이 [eqn: 8``]이다. [eqn: a+b``]의 값은? (단, [eqn: a,```b`]는 상수이다.)

① [eqn: - 7 over4 `]	② [eqn: - 5 over4 `]	③ [eqn: - 3 over4 `]	④ [eqn: - 1 over4 `]	⑤ [eqn: 1 over4 `]

[2207경찰-고3-14]

③ [eqn: 480`]

[eqn: x f left( 1+ 3^k overx right) g left( 1 + 3^k overx right) = f(1) cdot { g left( 1 + 3^k overx right)} over { 3^k over x } cdot { 3^k overx }cdot x``]

이므로 극한을 취하면 [eqn: 4 times 3^k `]

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 4} 4 times 3^k = {12 times ( 3^4 -1)} over2 =480`]

두 다항함수 [eqn: f(x),```g(x)``]에 대하여

[eqn: f(1)=2,```g(1)=0,```f`/(1)=3,```g`'(1)=2``]

일 때, [eqn: lim _{ x->inf } { sum _{ k=1} ^{ 4} }left{ x f left( 1+ 3^k overx right) g left( 1 + 3^k overx right) right}``]의 값은?

① [eqn: 400`]	② [eqn: 440`]	③ [eqn: 480`]	④ [eqn: 520`]	⑤ [eqn: 560`]

[2207경찰-고3-15]

③ [eqn: 8`]

[eqn: k=0`,```1`]에서 불연속이므로 [eqn: a=2`]

[eqn: b=6`]

좌표평면에서 정삼각형 [eqn: ABC``]에 내접하는 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: S`]가 있다. 실수 [eqn: t``(0<=t<=1)``]에 대하여 삼각형 [eqn: ABC``] 위의 점 [eqn: P`]와 원 [eqn: S`]의 거리가 [eqn: t`]인 점 [eqn: P`]의 개수를 [eqn: f(t)`]라 하자. 함수 [eqn: f(t)`]가 [eqn: t=k`]에서 불연속인 [eqn: k`]의 개수를 [eqn: a``], [eqn: lim _{ t -> 1-} {f(t) } =b``]라 할 때, [eqn: a+b``]의 값은? (여기서, 점 [eqn: P`]와 원 [eqn: S``]의 거리는 점 [eqn: P`]와 원 [eqn: S`] 위의 점 [eqn: X``]에 대하여 선분 [eqn: PX``]의 길이의 최솟값이다.)

① [eqn: 6`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 8`]	④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 10`]

[2207경찰-고3-19]

④ [eqn: 49 over12 `]

(가)에 의해 [eqn: f(1)=0`]

(나)에 의해 [eqn: f(3)=f(-3)=0`]

(다)에 의해 [eqn: f(x)`]는 [eqn: (x-3)^2 `]을 인수로 갖는다.

이를 만족하는 최소 차수 [eqn: m=4`]이고

[eqn: f(x)= a(x-1)(x-3)^2 (x+3)`]

[eqn: k= lim _{ x->3} { { a(x-1)(x-3)^2 (x+3)} over { (x-3) a(x+1)(x+3)^2 (x-3)} } = 1 over12]

최고차항의 계수가 양수인 다항함수 [eqn: f(x)`]와 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프를 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 그래프를 나타내는 함수 [eqn: g(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{x->1 } { {f(x) over {x-1}}``]의 값이 존재한다.

(나) [eqn: lim _{x->3 } { {f(x) over {(x-3)g(x)}}`=k``]([eqn: k`]는 [eqn: 0`]이 아닌 상수)

(다) [eqn: lim _{x->-3 } { 1 over {g`'(x)}}`= inf ``]

[eqn: f(x)``]의 차수의 최솟값이 [eqn: m`]이다. [eqn: f(x)`]의 차수가 최소일 때, [eqn: m+k``]의 값은?

① [eqn: 10 over3 `]	② [eqn: 43 over 12 `]	③ [eqn: 23 over6 `]	④ [eqn: 49 over12 `]	⑤ [eqn: 13 over3 `]

[2209평-고3-12]

② [eqn: 2``]

[eqn: x^2 = x+t `]를 만족하는 실근을 [eqn: alpha`,```beta`(alpha<beta)`]라 하면

[eqn: lim _{ t->0+ } {bar{AH} -bar{CH} } over t `= `lim _{ t->0+ } { {(beta-alpha)-(alpha+beta)} over t ``]

[eqn: = lim _{ t->0+ } { {-2 alpha} overt =lim _{ t->0+ } { {1- root{1+4t}} overt `=2]

실수 [eqn: t`(t>0)``]에 대하여 직선 [eqn: y=x+t``]와 곡선 [eqn: y=x^2 `]이 만나는 두 점을 [eqn: A`,```B``]라 하자. 점 [eqn: A``]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=x^2 `]과 만나는 점 중 [eqn: A``]가 아닌 점을 [eqn: C``], 점 [eqn: B``]에서 선분 [eqn: AC``]에 내린 수선의 발을 [eqn: H``]라 하자. [eqn: lim _{ t->0+ } {bar{AH} -bar{CH} } over t ``]의 값은? (단, 점 [eqn: A``]의 [eqn: x`]좌표는 양수이다.)

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]	④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

빠른 정답

[eqn: 16`]

[eqn: 4`]

③ [eqn: - {13} over {6}]

[eqn: 19]

① [eqn: - 7 over4 `]

③ [eqn: 480`]

③ [eqn: 8`]

④ [eqn: 49 over12 `]

② [eqn: 2``]