수능대비	단원별 기출문제	수학2

01

순열과 조합

순열(4점)

집합 [eqn: X`=left{ 1,```` 2, ````3,```` 4,```` 5,```` 6right}]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f`:`X ``rarrow``X`]의 개수는? [4점][9월 평가원]

④

[출제의도] 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f`]의 개수를 구할 수 있는가?

조건 (나)와 조건 (다)에서

[eqn: f(3)!=1], [eqn: f(4) != 6]

조건 (가)에서 [eqn: f(3)+f(4)]가 [eqn: 5]의 배수인 [eqn: f(3),````f(4)]의 순서쌍

[eqn: LEFT ( f(3),````f(4) RIGHT )]는

[eqn: LEFT ( 4,````1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,````3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,````2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 6,````4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,````5 RIGHT )]

(ⅰ) [eqn: f(3)=4,````f(4)=1]인 경우
[eqn: f(1),````f(2)]의 값을 정하는 경우의 수는
[eqn: 3 ^{2} =9]
[eqn: f(5),````f(6)]의 값을 정하는 경우의 수는
[eqn: 5 ^{2} =25]
즉 함수 [eqn: f`]의 개수는
[eqn: 9 TIMES 25=225]

(ⅱ) [eqn: f(3)=2,````f(4)=3]인 경우
[eqn: f(1),````f(2)]의 값을 정하는 경우의 수는
[eqn: 1 ^{2} =1]
[eqn: f(5),````f(6)]의 값을 정하는 경우의 수는
[eqn: 3 ^{2} =9]
즉 함수 [eqn: f`]의 개수는
[eqn: 1 TIMES 9=9]

(ⅲ) [eqn: f(3)=3,````f(4)=2]인 경우
[eqn: f(1),````f(2)]의 값을 정하는 경우의 수는
[eqn: 2 ^{2} =4]
[eqn: f(5),````f(6)]의 값을 정하는 경우의 수는
[eqn: 4 ^{2} =16]
즉 함수 [eqn: f`]의 개수는
[eqn: 4 TIMES 16=64]

(ⅳ) [eqn: f(3)=6,````f(4)=4]인 경우
[eqn: f(1),````f(2)]의 값을 정하는 경우의 수는
[eqn: 5 ^{2} =25]
[eqn: f(5),````f(6)]의 값을 정하는 경우의 수는
[eqn: 2 ^{2} =4]
즉 함수 [eqn: f`]의 개수는
[eqn: 25 TIMES 4=100]

(ⅴ) [eqn: f(3)=5,````f(4)=5]인 경우
[eqn: f(1),````f(2)]의 값을 정하는 경우의 수는
[eqn: 4 ^{2} =16]
[eqn: f(5),````f(6)]의 값을 정하는 경우의 수는
[eqn: 1 ^{2} =1]
즉 함수 [eqn: f`]의 개수는
[eqn: 16 TIMES 1=16]

(ⅰ)～(ⅴ)에서

구하는 함수 [eqn: f`]의 개수는

[eqn: 225+9+64+100+16=414]

(가) [eqn: f LEFT(3 right)+f LEFT(4 right)]는 [eqn: 5]의 배수이다.

(나) [eqn: f left(1 right) < f left(3 right)]이고 [eqn: f left(2 right) < f left(3 right)]이다.

(다) [eqn: f left(4 right) < f left(5 right)]이고 [eqn: f left(4 right) < f left(6 right)]이다.

① [eqn: 384]	② [eqn: 394]	③ [eqn: 404]

④ [eqn: 414]	⑤ [eqn: 424]

원순열(2,3점)

어느 고등학교 [eqn: 3]학년의 네 학급에서 대표 [eqn: 2]명씩 모두 [eqn: 8]명의 학생이 참석하는 회의를 한다. 이 [eqn: 8]명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 모두 둘러앉을 때, 같은 학급 학생끼리 서로 이웃하게 되는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3점][21년 3월 교육청]

②

[출제의도] 원순열을 이용하여 경우의 수를 구한다.

같은 학급의 대표 [eqn: 2`]명을 한 사람으로 보고 [eqn: 4`]명을 배열하는 원순열의 수는 [eqn: LEFT ( 4-1 RIGHT ) ! =6`]이다.

각 학급 대표 [eqn: 2`]명의 자리를 정하는 경우의 수는

[eqn: 2 ^{4} =16]이다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 6times16=96]

① [eqn: 92`]	② [eqn: 96`]	③ [eqn: 100`]	④ [eqn: 104`]	⑤ [eqn: 108`]

원순열(4점)

[eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]개의 의자가 있다. 이 [eqn: 6]개의 의자를 일정한 간격을 두고 원형으로 배열할 때, 서로 이웃한 [eqn: 2]개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 [eqn: 12]가 되지 않도록 배열하는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [4점][21년 6월 평가원]

[eqn: 48]

[출제의도] 원순열의 수를 이용하여 조건을 만족시키는 경우의 수를 구할 수 있는가?

[eqn: 6]개의 의자를 원형으로 배열하는 경우의 수는

[eqn: LEFT ( 6-1 RIGHT ) !`=5!`=120]

이때 서로 이웃한 [eqn: 2]개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 [eqn: 12]가 되는 경우가 있도록 배열하는 경우는 다음과 같이 생각할 수 있다.

(ⅰ) [eqn: 2,~6]이 각각 적힌 두 의자가 이웃하게 배열되는 경우
[eqn: 2,~6]이 각각 적힌 두 의자를 [eqn: 1]개로 생각하여 의자 [eqn: 5]개를 원형으로 배열하는 경우의 수는
[eqn: LEFT ( 5-1 RIGHT ) !`=4!`=24]
이 각각에 대하여 [eqn: 2,~6]이 각각 적힌 두 의자의 자리를 서로 바꾸는 경우의 수는
[eqn: 2!`=2]
그러므로 이 경우의 수는
[eqn: 24times2=48]

(ⅱ) [eqn: 3,~4]가 각각 적힌 두 의자가 이웃하게 배열되는 경우
[eqn: 3,~4]가 각각 적힌 두 의자를 [eqn: 1]개로 생각하여 의자 [eqn: 5]개를 원형으로 배열하는 경우의 수는
[eqn: LEFT ( 5-1 RIGHT ) !`=4!`=24]
이 각각에 대하여 [eqn: 3,~4]가 각각 적힌 두 의자의 자리를 서로 바꾸는 경우의 수는
[eqn: 2!`=2]
그러므로 이 경우의 수는
[eqn: 24times2=48]

(ⅲ) [eqn: 2,~6]이 각각 적힌 두 의자와 [eqn: 3,~4]가 각각 적힌 두 의자가 모두 이웃하게 배열되는 경우
[eqn: 2,~6]이 각각 적힌 두 의자를 [eqn: 1]개로 생각하고, [eqn: 3,~4]가 각각 적힌 두 의자를 [eqn: 1]개로 생각하여 의자 [eqn: 4]개를 원형으로 배열하는 경우의 수는
[eqn: LEFT ( 4-1 RIGHT ) !`=3!`=6]
이 각각에 대하여 [eqn: 2,~6]이 각각 적힌 두 의자의 자리를 서로 바꾸고, [eqn: 3,~4]가 각각 적힌 두 의자의 자리를 서로 바꾸는 경우의 수는
[eqn: 2! TIMES 2!`=4]
그러므로 이 경우의 수는
[eqn: 6times4=24]

(ⅰ)~(ⅲ)에 의하여 서로 이웃한 [eqn: 2]개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 [eqn: 12]가 되는 경우가 있도록 배열하는 경우의 수는

[eqn: 48+48-24=72]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 120-72=48]

두 남학생 [eqn: rmA,~B]를 포함한 [eqn: 4]명의 남학생과 여학생 [eqn: rmC]를 포함한 [eqn: 4]명의 여학생이 있다. 이 [eqn: 8]명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 다음 조건을 만족시키도록 모두 둘러앉는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [4점][21년 4월 교육청]

[eqn: 288]

[출제의도] 원순열을 이용하여 추론하기

남학생 [eqn: 4]명 중 [eqn: rm { A,~ B }]가 아닌 남학생 [eqn: 2]명을 [eqn: rm { D,~ E }]라 하면

(ⅰ) [eqn: rm { C }]가 [eqn: rm { D,~ E }]와 모두 이웃하는 경우
[eqn: rm { A,~ B }]를 한 학생으로 생각하고, [eqn: rm { D,~ C,~ E }]를 한 학생으로 생각하여 [eqn: 5]명의 학생을 원형으로 배열하는 경우의 수는
[eqn: (5-1) ! = 4 ! = 24]
이 각각에 대하여 [eqn: rm { A,~ B }]가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2 !],
[eqn: rm { D,~ E }]가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2 !]이므로
구하는 경우의 수는
[eqn: 24 TIMES2 ! TIMES2 ! =96]

(ⅱ) [eqn: rm { C }]가 [eqn: rm { A }]또는 [eqn: rm { B }]중 한 명과 이웃하는 경우
[eqn: rm { D }] 또는 [eqn: rm { E }]중 한 명과 [eqn: rm { C,~ A,~ B }]의 총 [eqn: 4]명을 한 학생으로 생각하여 [eqn: 5]명의 학생을 원형으로 배열하는 경우의 수는
[eqn: (5-1) ! =4 ! =24]
이 각각에 대하여 [eqn: rm { D }] 또는 [eqn: rm { E }] 중 한 명을 선택하는 경우의 수는 [eqn: rm { {} _{2} C _{1} ,~ A,~ B }]가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수 [eqn: 2 !], [eqn: rm A], [eqn: rmB]를 한  학생으로 생각하여 [eqn: rmC]와 이웃한 두 학생이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2!]이므로
구하는 경우의 수는 [eqn: rm { 24 TIMES _{2} C _{1} TIMES 2 ! TIMES 2 ! =192 }]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 구하는 경우의 수는

[eqn: 96+192=288]

(가) [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]는 이웃한다.

(나) [eqn: rmC]는 여학생과 이웃하지 않는다.

중복순열(2,3점)

[eqn: {}_{n} SMALLPROD _{2}][eqn: =25]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값은? [2점][21년 4월 교육청]

⑤

[출제의도] 중복순열 계산하기

[eqn: {}_{n} SMALLPROD _{2}][eqn: =n ^{2}][eqn: =25]에서 [eqn: n=5]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 택해 일렬로 나열하여 만든 다섯 자리의 자연수 중에서 다음 조건을 만족시키는 [eqn: N]의 개수는? [3점][21년 4월 교육청]

④

[출제의도] 중복순열 이해하기

만의 자리의 수가 될 수 있는 수는 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]이므로

만의 자리의 수를 정하는 경우의 수는 [eqn: 2]

천의 자리, 백의 자리, 십의 자리의 수를 정하는 경우의 수는 [eqn: 1,~ 2,~ 3,~ 4,~ 5]의 [eqn: 5]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 택해 일렬로 나열하는 중복순열의 수와 같으므로 [eqn: {} _{5} smallprod _{3} =5 ^{3} =125]

일의 자리의 수가 될 수 있는 수는 [eqn: 1]또는 [eqn: 3]또는 [eqn: 5]이므로 일의 자리의 수를 정하는 경우의 수는 [eqn: 3]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES 125 TIMES 3=750]

(가) [eqn: N]은 홀수이다.

(나) [eqn: 10000<N<30000]

① [eqn: 720]	② [eqn: 730]	③ [eqn: 740]	④ [eqn: 750]	⑤ [eqn: 760]

중복순열(4점)

두 집합

③

[출제의도] 중복순열을 이용하여 문제를 해결한다.

(ⅰ) [eqn: f ( 3 )][eqn: =4] 또는 [eqn: f ( 3 )][eqn: =10`]인 경우
[eqn: f ( 3 )][eqn: =4`]이면 [eqn: f ( 2 )][eqn: =f ( 5 )][eqn: =2`]이고,
[eqn: f ( 1 ) `]과 [eqn: f(4)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 6], [eqn: 8], [eqn: 10], [eqn: 12] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2`]개를 선택하는 중복순열의 수와 같다.
[eqn: f(3)][eqn: =10`]이면 [eqn: f(1)][eqn: =f LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: =12`]이고,
[eqn: f(2)]와 [eqn: f(5)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2`]개를 선택하는 중복순열의 수와 같다.
그러므로 구하는 함수의 개수는
[eqn: 2 TIMES _{4} SMALLPROD _{2}][eqn: =32]

(ⅱ) [eqn: f ( 3 )][eqn: =6] 또는 [eqn: f ( 3 )][eqn: =8`]인 경우
[eqn: f ( 3 )][eqn: =6`]이면 [eqn: f ( 2) `]와 [eqn: f ( 5 ) `]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 2], [eqn: 4] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2`]개를 선택하는 중복순열의 수와 같고, [eqn: f ( 1) `]과 [eqn: f ( 4 ) `]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 8], [eqn: 10], [eqn: 12] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2`]개를 선택하는 중복순열의 수와 같다.
[eqn: f ( 3 ) =8`]이면 [eqn: f ( 1 ) `]과 [eqn: f ( 4 ) `]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 10], [eqn: 12] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2`]개를 선택하는 중복순열의 수와 같고, [eqn: f ( 2) `]와 [eqn: f ( 5 ) `]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2`]개를 선택하는 중복순열의 수와 같다.
그러므로 구하는 함수의 개수는
[eqn: 2times {}_{2} SMALLPROD _{2} TIMES _{3} SMALLPROD _{2} =72`]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 함수 [eqn: f`]의 개수는

[eqn: 32+72=104]

[eqn: A][eqn: = LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT }], [eqn: Y][eqn: = LEFT { 2,~4,~6,~8,~10,~12 RIGHT }]

에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수 [eqn: f] 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수의 개수는? [4점][21년 3월 교육청]

(가) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) <f LEFT ( 3 RIGHT ) <f LEFT ( 4 RIGHT )]

(나) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) >f LEFT ( 3 RIGHT ) >f LEFT ( 5 RIGHT )]

① [eqn: 100`]	② [eqn: 102`]	③ [eqn: 104`]	④ [eqn: 106`]	⑤ [eqn: 108`]

숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4] 중에서 중복을 허락하여 네 개를 선택한 후 일렬로 나열할 때, 다음 조건을 만족시키도록 나열하는 경우의 수를 구하시오. [4점][21년 3월 교육청]

[eqn: 97]

[출제의도] 중복순열을 이용하여 문제를 해결한다.

(ⅰ) [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3`]에서만 선택한 후 나열하는 경우
[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 4`]개를 선택하여 일렬로 나열하는 경우에서 [eqn: 2], [eqn: 3] 중에서만 선택하여 나열하는 경우를 제외하면 되므로 구하는 경우의 수는 [eqn: rm _{3} rm SMALLPROD _{4} - _{2} rm SMALLPROD _{4} =3 ^{4} -2 ^{4} =65]

(ⅱ) [eqn: 1], [eqn: 4], □, □에서 □에 [eqn: 2] 또는 [eqn: 3`]이 있도록 선택한 후 나열하는 경우
[eqn: 1`]과 [eqn: 4]의 위치를 정하는 경우의 수는
[eqn: 2 TIMES LEFT ( {}_{4} rm C _{2} -3 RIGHT ) =6]이고, □에 들어갈 수를 정하는 경우의 수는 [eqn: 2 ^{2} =4]이다.
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 6 TIMES 4=24]

(ⅲ) [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 4], □ 또는 [eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 4], □에서 □에 [eqn: 2] 또는 [eqn: 3`]이 있도록 선택한 후 나열하는 경우
[eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 4]를 나열하는 경우는 [eqn: 11]□[eqn: 4], [eqn: 4]□[eqn: 11`]이고, □에 [eqn: 2] 또는 [eqn: 3`]을 나열할 수 있으므로 경우의 수는 [eqn: 2 times2][eqn: =4`]이다.
[eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 4], □인 경우는 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 4], □인 경우와 같은 방법으로 생각하면 경우의 수는 [eqn: 4]이다.
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 4+4][eqn: =8]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는
[eqn: 65+24+8=97]

(가) 숫자 [eqn: 1]은 한 번 이상 나온다.

(나) 이웃한 두 수의 차는 모두 [eqn: 2] 이하이다.

수능대비	단원별 기출문제	수학2

같은 것을 포함한 순열(2,3점)

그림과 같이 직사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을 따라 [eqn: rmA] 지점에서 출발하여 [eqn: rmP] 지점을 지나 [eqn: rmB] 지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는? [3점][21년 3월 교육청]

④

[출제의도] 같은 것이 있는 순열을 이용하여 경우의 수를 구한다.

오른쪽으로 한 칸 가는 것을 [eqn: a], 위쪽으로 한 칸 가는 것을 [eqn: b]라 하자.

[eqn: rm A`]지점에서 [eqn: rm P`]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 [eqn: 2]개의 [eqn: a]와 [eqn: 1]개의 [eqn: b]를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: {3!} over {2! TIMES 1!}][eqn: =3`]이다.

[eqn: rm P`]지점에서 [eqn: rm B`]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 [eqn: 2]개의 [eqn: a]와 [eqn: 2]개의 [eqn: b]를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: {4!} over {2! TIMES 2!}][eqn: =6`]이다.

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 6][eqn: =18]

① [eqn: 12`]	② [eqn: 14`]	③ [eqn: 16`]	④ [eqn: 18`]	⑤ [eqn: 20`]

숫자 [eqn: 1,~2,~3,~3,~4,~4,~4]가 하나씩 적힌 [eqn: 7]장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, [eqn: 1]이 적힌 카드와 [eqn: 2]가 적힌 카드 사이에 두 장 이상의 카드가 있도록 나열하는 경우의 수는? [3점][21년 3월 교육청]

⑤

[출제의도] 같은 것이 있는 순열을 이용하여 경우의 수를 구한다.

숫자 [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: 4`]가 적힌 [eqn: 5`]장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: 5! over{2! times3!}][eqn: =10`]이다.

□에 숫자 [eqn: 3], [eqn: 4`]를 나열하고 ∨ 중 두 곳에 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2`]를 각각 나열할 수 있다고 하자.

∨□∨□∨□∨□∨□∨

이 각각의 경우에 대하여 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2`]가 적힌 [eqn: 2`]장의 카드를 두 카드 사이에 두 장 이상의 카드가 있도록 나열하려면 ∨ [eqn: 6`]곳 중 서로 다른 두 곳에 배열하는 경우의 수에서 연속으로 ∨ 두 곳에 배열하는 경우의 수를 빼면 되므로 이 경우의 수는

[eqn: {}_{6}{rmP}_{2} -5 times 2][eqn: =20]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 10 times20][eqn: =200]

① [eqn: 180`]	② [eqn: 185`]	③ [eqn: 190`]	④ [eqn: 195`]	⑤ [eqn: 200`]

[eqn: 3]개의 문자 [eqn: A,~B,~C]를 포함한 서로 다른 [eqn: 6]개의 문자를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 두 문자 [eqn: B]와 [eqn: C] 사이에 문자 [eqn: A]를 포함하여 [eqn: 1]개 이상의 문자가 있도록 나열하는 경우의 수는? [3점][7월 교육청]

④

[출제의도] 같은 것이 있는 순열의 수 추론하기

[eqn: 3]개의 문자 [eqn: A,~B,~C]를 같은 문자 [eqn: X]라 하고

[eqn: 6]개의 문자를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열하는 경우의 수는

[eqn: {6!} over {3!}][eqn: =6 TIMES 5 TIMES 4][eqn: =120]

가운데 문자 [eqn: X]에 문자 [eqn: A]를 놓고

첫 번째 문자 [eqn: X]와 세 번째 문자 [eqn: X]에

두 문자 [eqn: B,~C]를 나열하는 경우의 수는 [eqn: 2!][eqn: =2]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 120 TIMES 2][eqn: =240]

① [eqn: 180`]	② [eqn: 200`]	③ [eqn: 220`]	④ [eqn: 240`]	⑤ [eqn: 260`]

같은 것을 포함한 순열(4점)

한 개의 주사위를 한 번 던져 나오 눈의 수가 [eqn: 3] 이하이면 나온 눈의 수를 점수로 얻고, 나온 눈의 수가 [eqn: 4] 이상이면 [eqn: 0]점을 얻는다. 이 주사위를 네 번 던져 나온 눈의 수를 차례로 [eqn: a,~b,~c,~d]라 할 때, 얻은 네 점수의 합이 [eqn: 4]가 되는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b,~c,~d RIGHT )]의 개수는? [4점][21년 6월 평가원]

⑤

[출제의도] 같은 것이 있는 순열의 수를 이용하여 조건을 만족시키는 순서쌍의 개수를 구할 수 있는가?

이 주사위를 네 번 던질 때 나온 눈의 수가 [eqn: 4]이상인 경우의 수에 따라 다음과 같이 나누어 생각할 수 있다.

(ⅰ) 나온 눈의 수가 [eqn: 4] 이상인 경우의 수가 [eqn: 0]인 경우
[eqn: 1]의 눈만 네 번 나와야 하므로 이 경우의 수는 [eqn: 1]

(ⅱ) 나온 눈의 수가 [eqn: 4] 이상인 경우의 수가 [eqn: 1]인 경우
[eqn: 1]의 눈이 두 번, [eqn: 2]의 눈이 한 번 나와야 하므로 점수 [eqn: 0,~1,~1,~2]를 일렬로 나열하는 경우의 수는
[eqn: {4!} over {2!} =12]
이 각각에 대하여 [eqn: 4] 이상의 눈이 한 번 나오는 경우의 수는 [eqn: 3]이므로 이 경우의 수는
[eqn: 12times3=36]

(ⅲ) 나온 눈의 수가 [eqn: 4] 이상인 경우의 수가 [eqn: 2]인 경우
㉠ [eqn: 1]의 눈이 한 번, [eqn: 3]의 눈이 한 번 나올 때, 점수 [eqn: 0,~0,~1,~3]을 일렬로 나열하는 경우의 수는
[eqn: {4!} over {2!} =12]
㉡ [eqn: 2]의 눈이 두 번 나올 때, 점수 [eqn: 0,~0,~2,~2]를 일렬로 나열하는 경우의 수는
[eqn: {4!} over {2!2!} =6]
㉠, ㉡ 각각에 대하여 [eqn: 4]이상의 눈이 두 번 나오는 경우의 수는 [eqn: 3times3=9]이므로 이 경우의 수는
[eqn: LEFT ( 12+6 RIGHT ) times9=162]

(ⅰ)~(ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 1+36+162=199]

① [eqn: 187`]	② [eqn: 190`]	③ [eqn: 193`]	④ [eqn: 196`]	⑤ [eqn: 199`]

그림과 같이 직사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을 따라 [eqn: rmA]지점에서 출발하여 [eqn: rmP]지점을 지나 [eqn: rmB]지점으로 갈 때, 한 번 지난 도로는 다시 지나지 않으면서 최단거리로 가는 경우의 수는? [4점][21년 4월 교육청]

⑤

[출제의도] 같은 것이 있는 순열을 활용하여 문제 해결하기

그림과 같이 세 지점 [eqn: rm { Q _{1} ,~ Q _{2} ,~ Q _{3} }]을 정하면 [eqn: rm { A }]지점에서 출발하여 [eqn: rm { P }]지점까지 가기 위해서는 [eqn: rm { Q _{1} }]지점 또는 [eqn: rm { Q _{2} }]지점 중 한 지점을 지나야 하고 [eqn: rm { P }]지점에서 출발하여 [eqn: rmB]지점까지 가기 위해서는 [eqn: rm { Q _{2} }]지점 또는 [eqn: rm { Q _{3} }]지점 중 한 지점을 지나야 한다.

그러므로 [eqn: rm { A }]지점에서 출발하여 [eqn: rm { P }]지점을 지나 [eqn: rm { B }]지점으로 갈 때, 한 번 지난 도로는 다시 지나지 않으면서 최단거리로 가는 경우의 각각의 경우의 수는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: rm { A -> Q _{1} -> P -> Q _{2} -> B }]의 순서로 이동하는 경우
[eqn: {4 !} over { 1! TIMES 3 !} TIMES 1 TIMES 1 TIMES 1 TIMES {4 !} over {2 ! TIMES 2 !} =24]

(ⅱ) [eqn: rm { A -> Q _{1} -> P -> Q _{3} -> B }]의 순서로 이동하는 경우
[eqn: {4 !} over { 1! TIMES 3 !} TIMES 1 TIMES 1 TIMES {5 !} over {2 ! TIMES 3 !} =40]

(ⅲ) [eqn: rm { A -> Q _{2} -> P -> Q _{3} -> B }]의 순서로 이동하는 경우
[eqn: {3 !} over { 1! TIMES 2 !} TIMES 1 TIMES 1 TIMES 1 TIMES {5 !} over {2 ! TIMES 3 !} =30]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 구하는 경우의 수는

[eqn: 24+40+30=94]

① [eqn: 78]	② [eqn: 82]	③ [eqn: 86]	④ [eqn: 90]	⑤ [eqn: 94]

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3] 중에서 모든 숫자가 한 개 이상씩 포함되도록 중복을 허락하여 [eqn: 6`]개를 선택한 후, 일렬로 나열하여 만들 수 있는 여섯 자리의 자연수 중 일의 자리의 수와 백의 자리의 수가 같은 자연수의 개수를 구하시오. [4점][10월 교육청]

[eqn: 150]

[출제의도] 같은 것이 있는 순열의 수를 이용하여 자연수의 개수를 구하는 문제를 해결한다.

일의 자리와 백의 자리에 오는 숫자가 [eqn: 1`]일 때, 나머지 네 자리에 [eqn: 2`]와 [eqn: 3`]이 적어도 하나씩 포함되는 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3`]을 나열하는 경우
[eqn: 4`]개의 숫자를 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4!} over {2!}][eqn: =12]

(ⅱ) [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3] 또는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 3`]을 나열하는 경우
[eqn: 4`]개의 숫자를 나열하는 경우의 수가 [eqn: {4!} over {2!}][eqn: =12]
이므로 (ⅱ)의 경우의 수는 [eqn: 2times12][eqn: =24]

(ⅲ) [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3] 또는 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3`]을 나열하는 경우
[eqn: 4`]개의 숫자를 나열하는 경우의 수가 [eqn: {4!} over {3!}][eqn: =4]
이므로 (ⅲ)의 경우의 수는 [eqn: 2 times 4][eqn: =8]

(ⅳ) [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 3`]을 나열하는 경우
[eqn: 4`]개의 숫자를 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4!} over {2!times2!}][eqn: =6]

(ⅰ) ~ (ⅳ)에 의해 일의 자리와 백의 자리에 오는 숫자가 [eqn: 1`]인 경우의 수는 [eqn: 12+24+8+6][eqn: =50]

일의 자리와 백의 자리에 오는 숫자가 [eqn: 2`]인 경우의 수와 [eqn: 3`]인 경우의 수도 같은 방법으로 생각하면 각각 [eqn: 50`]이다.

따라서 구하는 자연수의 개수는 [eqn: 3times50][eqn: =150]

중복조함(2,3점)

[eqn: {}_{3} rmH _{6}]의 값은? [2점][21년 3월 교육청]

③

[출제의도] 중복조합의 값을 계산한다.

[eqn: rm _{3} rm H _{6}][eqn: rm = _{3+6-1} C _{6}][eqn: rm = _{8} C _{6}][eqn: rm = _{8} C _{2}][eqn: = {8 TIMES 7} over {2times1}][eqn: =28]

① [eqn: 24`]	② [eqn: 26`]	③ [eqn: 28`]	④ [eqn: 30`]	⑤ [eqn: 32`]

같은 종류의 공책 [eqn: 10`]권을 [eqn: 4`]명의 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD`]에게 남김없이 나누어 줄 때, [eqn: rmA`]와 [eqn: rmB`]가 각각 [eqn: 2`]권 이상의 공책을 받도록 나누어 주는 경우의 수는?

③

[출제의도] 중복조합의 수를 이용하여 경우의 수를 구한다.

[eqn: rmA`]와 [eqn: rmB`]에게 각각 공책을 [eqn: 2`]권씩 먼저 나누어 준 후
남은 [eqn: 6`]권의 공책을 [eqn: 4`]명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 4`]개에서 [eqn: 6`]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: { rmH _6} LSUB {4 }][eqn: ={rmC_6} LSUB{4+6-1}][eqn: = { rmC_6} LSUB{9}][eqn: = {rmC_3} LSUB {9}][eqn: = {9 times 8 times 7} over { 3 times 2times 1][eqn: =84]

(단, 공책을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.) [3점][10월 교육청]

① [eqn: 76]	② [eqn: 80]	③ [eqn: 84]

④ [eqn: 88]	⑤ [eqn: 92]

빨간색 카드 [eqn: 4]장, 파란색 카드 [eqn: 2]장, 노란색 카드 [eqn: 1]장이 있다. 이 [eqn: 7]장의 카드를 세 명의 학생에게 남김없이 나누어 줄 때, [eqn: 3]가지 색의 카드를 각각 한 장 이상 받는 학생이 있도록 나누어 주는 경우의 수는? (단, 같은 색 카드끼리는 서로 구별하지 않고, 카드를 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.) [3점][21년 6월 평가원]

③

[출제의도] 중복조합의 수를 이용하여 경우의 수를 구할 수 있는가?

[eqn: 3]가지 색의 카드를 각각 한 장 이상 받는 학생에게는 노란색 카드 [eqn: 1]장을 반드시 주어야 한다.

노란색 카드 [eqn: 1]장을 받을 학생을 선택하는 경우의 수는

[eqn: {}_{3} rm C _{1} =3]

이 각각에 대하여 이 학생에게 파란색 카드 [eqn: 1]장을 먼저 준 후 나머지 파란색 카드 [eqn: 1]장을 줄 학생을 선택하는 경우의 수는

[eqn: {}_{3} rm C _{1} =3]

이 각각에 대하여 노란색 카드를 받은 학생에게 빨간색 카드 [eqn: 1]장도 먼저 준 후 나머지 빨간색 카드 [eqn: 3]장을 나누어 줄 학생을 선택하는 경우의 수는

[eqn: {}_{3} rmH _{3}][eqn: = _{3+3-1} rmC _{3}]
[eqn: = _{5} rmC _{3}]
[eqn: = _{5} rmC _{2}]
[eqn: = {5times4} over {2} =10]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 3times3times10=90]

① [eqn: 78`]	② [eqn: 84`]	③ [eqn: 90`]	④ [eqn: 96`]	⑤ [eqn: 102`]

같은 종류의 연필 [eqn: 6]자루와 같은 종류의 지우개 [eqn: 5]개를 세 명의 학생에게 남김없이 나누어 주려고 한다. 각 학생이 적어도 한 자루의 연필을 받도록 나누어 주는 경우의 수는? (단, 지우개를 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.) [3점][21년 3월 교육청]

①

[출제의도] 중복조합을 이용하여 경우의 수를 구한다.

세 명의 학생에게 연필을 하나씩 나누어 주고 남은 [eqn: 3`]자루의 연필을 세 명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 3`]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 3`]개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: `_{3}{rm H}_{3}][eqn: = `_{3+3-1}{rm C}_{3}][eqn: =`_{5}{rm C}_{3}][eqn: =10]

[eqn: 5`]개의 지우개를 세 명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 3`]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 5`]개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: `_{3}{rm H}_{5}][eqn: = `_{3+5-1}{rm C}_{5}][eqn: =`_{7}{rm C}_{5}][eqn: =21]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 10 times 21 = 210]

① [eqn: 210`]	② [eqn: 220`]	③ [eqn: 230`]	④ [eqn: 240`]	⑤ [eqn: 250`]

빨간색 볼펜 [eqn: 5]자루와 파란색 볼펜 [eqn: 2]자루를 [eqn: 4]명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는? (단, 같은 색 볼펜끼리는 서로 구별하지 않고, 볼펜을 [eqn: 1]자루로 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.) [3점][21년 4월 교육청]

①

[출제의도] 중복조합 이해하기

빨간색 볼펜 [eqn: 5]자루를 [eqn: 4]명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는

서로 다른 [eqn: 4]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: rm { {} _{4} H _{5} = _{8} C _{5} = _{8} C _{3} =56 }]

파란색 볼펜 [eqn: 2]자루를 [eqn: 4]명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는

서로 다른 [eqn: 4]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: rm { {} _{4} H _{2} = _{5} C _{2} =10 }]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 56 TIMES 10=560]

① [eqn: 560]	② [eqn: 570]	③ [eqn: 580]	④ [eqn: 590]	⑤ [eqn: 600]

중복조합(4점)

[eqn: 5] 이하의 자연수 [eqn: a,~b,~c,~d]에 대하여 부등식

[eqn: 55]

[출제의도] 중복조합을 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: c`]가 [eqn: 5] 이하의 자연수이므로 [eqn: 1 LEQ b LEQ 4`]이다.

(ⅰ) [eqn: b=1`]인 경우
[eqn: a le 2 le c le d`]에서 [eqn: a`]를 택하는 경우의 수는
[eqn: {}_{2} rm C _{1} `]이고, [eqn: c], [eqn: d`]를 택하는 경우의 수는 [eqn: {}_{4} rm H it rm _{2} `]이다.
그러므로 구하는 경우의 수는
[eqn: {}_{2}{rmC}_{1} times_{4}{rmH}_{2}][eqn: =_2 {rmC}_1 times _{5}{rmC}_{2}][eqn: = 2 times 10][eqn: =20]

(ⅱ) [eqn: b=2`]인 경우
[eqn: a LEQ 3 LEQ c LEQ d`]에서 [eqn: a`]를 택하는 경우의 수는
[eqn: {}_{3} rm C _{1} `]이고, [eqn: c], [eqn: d`]를 택하는 경우의 수는 [eqn: {}_{3} rm H it rm _{2} `]이다.
그러므로 구하는 경우의 수는
[eqn: {}_{3} rm C it _{1} TIMES _{3} rm H it _{2}][eqn: = _{3} rm C it _{1} TIMES _{4} rm C it _{2}][eqn: =3 TIMES 6][eqn: =18]

(ⅲ) [eqn: b=3`]인 경우
[eqn: a LEQ 4 LEQ c LEQ d`]에서 [eqn: a`]를 택하는 경우의 수는
[eqn: {}_{4} rm C _{1} `]이고, [eqn: c], [eqn: d`]를 택하는 경우의 수는 [eqn: {}_{2} rm H it rm _{2} `]이다.
그러므로 구하는 경우의 수는
[eqn: {}_{4} rm C it _{1} TIMES _{2} rm H it _{2}][eqn: = _{4} rm C it _{1} TIMES _{3} rm C it _{2}][eqn: =4 TIMES 3][eqn: =12]

(ⅳ) [eqn: b=4`]인 경우
[eqn: a LEQ 5 LEQ c LEQ d`]에서 [eqn: a`]를 택하는 경우의 수는
[eqn: {}_{5} rm C _{1} `]이고, [eqn: c], [eqn: d`]를 택하는 경우의 수는 [eqn: 1`]이다.
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: {}_{5} rm C it _{1} times1=5]

(ⅰ)~(ⅳ)에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 20+18+12+5=55]

[eqn: a LEQ b+1 LEQ c LEQ d]

를 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b,~c,~d RIGHT )]의 개수를 구하시오. [4점][21년 3월 교육청]

다음 조건을 만족시키는 [eqn: 14] 이하의 네 자연수 [eqn: x _{1} ,~x _{2} ,~x _{3} ,~x _{4}]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( x _{1} ,~x _{2} ,~x _{3} ,~x _{4} RIGHT )]의 개수를 구하시오. [4점][21년 4월 교육청]

[eqn: 206]

[출제의도] 중복조합을 활용하여 문제해결하기

[eqn: 6] 이하의 음이 아닌 네 정수 [eqn: y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4}]에 대하여

[eqn: x _{1} =2y _{1} +1], [eqn: x _{2} =2y _{2} +2], [eqn: x _{3} =2y _{3} +1], [eqn: x _{4} =2y _{4} +2]라 하면

[eqn: x _{1} +x _{2} +x _{3} +x _{4} =34]에서

[eqn: (2y _{1} +1)+(2y _{2} +2)+(2y _{3} +1)+(2y _{4} +2)=34]

[eqn: y _{1} +y _{2} +y _{3} +y _{4} =14]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

구하는 모든 순서쌍 [eqn: (x _{1} ,~ x _{2} ,~ x _{3} ,~ x _{4} )]의 개수는 방정식 [eqn: y _{1} +y _{2} +y _{3} +y _{4} =14]를 만족시키는 음이 아닌 네 정수 [eqn: y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4}]의 모든 순서쌍 [eqn: (y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4} )]에서 [eqn: y _{k} GEQ 7]인 [eqn: 4]이하의 자연수 [eqn: k]가 존재하는 순서쌍 [eqn: (y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4} )]를 제외한 개수와 같다.

(ⅰ) 방정식 [eqn: y _{1} +y _{2} +y _{3} +y _{4} =14]를 만족시키는 음이 아닌 네 정수 [eqn: y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4}]의 모든 순서쌍 [eqn: (y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4} )]의 개수는 서로 다른 [eqn: 4]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 14]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: rm { {} _{4} H _{14} = _{17} C _{14} = _{17} C _{3} = {17 TIMES 16 TIMES 15} over {3 TIMES 2 TIMES 1} =680`` }]

(ⅱ) [eqn: y _{k} GEQ 7``]인 [eqn: k``]의 값이 [eqn: 1`]개인 경우
[eqn: y _{1} GEQ 7``]이라 하자.
[eqn: z _{1} =y _{1} -7``]이라 하면 방정식 ㉠은
[eqn: z _{`1} +y _{2} +y _{3} +y _{4} =7```]
방정식 [eqn: z _{`1} +y _{2} +y _{3} +y _{4} =7```]을 만족시키는 음이 아닌 네 정수 [eqn: z _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4}]의 모든 순서쌍 [eqn: (z _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4} )]의 개수는 서로 다른 [eqn: 4`]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 7`]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: rm { {} _{4} H _{7} = _{10} C _{3} =120`` }]
이때 [eqn: y _{1} GEQ 7``]인 [eqn: 2`]이상 [eqn: 4`]이하의 자연수 [eqn: l``]이 존재하는 순서쌍 [eqn: LEFT ( z _{1} ,~y _{1} ,~y _{3} ,~y _{4} RIGHT )]는 [eqn: (0,~ 7,~ 0,~ 0),~][eqn: (0,~ 0,~ 7,~ 0) ,~][eqn: (0,~ 0,~ 0,~ 7)]의 [eqn: 3`]가지이므로 [eqn: 120-3=117``]
같은 방법으로 [eqn: y _{k} GEQ 7``]인 [eqn: 2`]이상 [eqn: 4`] 이하의 자연수 [eqn: k``]가 존재하는 순서쌍 [eqn: (y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4} )]의 개수도 각각 [eqn: 117`]이다.
따라서 [eqn: y _{k} GEQ 7``]인 [eqn: k``]의 값이 [eqn: 1`]개인 순서쌍 [eqn: (y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4} )]의 개수는
[eqn: 4 TIMES 117=468``]

(ⅲ) [eqn: y _{k} GEQ 7``]인 [eqn: k``]의 값이 [eqn: 2`]개인 경우
순서쌍 [eqn: (y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4} )]는
[eqn: (7,~7,~0,~0),~(7,~0,~7,~0),~(7,~0,~0,~7),]
[eqn: (0,~7,~7,~0),~(0,~7,~0,~7),~(0,~0,~7,~7)]
의 [eqn: 6`]가지이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해

구하는 모든 순서쌍 [eqn: (x _{1} ,~ x _{2} ,~ x _{3} ,~ x _{4} )]의 개수는

[eqn: 680-(468+6)=206]

(가) [eqn: x _{1} +x _{2} +x _{3} +x _{4}][eqn: =34]

(나) [eqn: x _{1}]과 [eqn: x _{3}]은 홀수이고 [eqn: x _{2}]와 [eqn: x _{4}]는 짝수이다.

네 명의 학생 [eqn: A,~B,~C,~D]에게 검은 공 [eqn: 4]개, 흰 공 [eqn: 5]개, 빨간 공 [eqn: 5]개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.) [4점][7월 교육청]

[eqn: 51]

[출제의도] 중복조합을 활용하여 문제해결하기

학생 [eqn: A]가 받은 검은 공의 개수와 흰 공의 개수를 각각 [eqn: b,~w]라 하자.

조건 (가), (나)를 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( b,~w RIGHT )] 중

학생 [eqn: A]가 홀수 개의 공을 받은 경우는

[eqn: LEFT ( 4,~3 RIGHT ) ,~ LEFT ( 4,~1 RIGHT ) ,~ LEFT ( 3,~2 RIGHT ) ,~ LEFT ( 2,~1 RIGHT )]

(ⅰ) 순서쌍 [eqn: LEFT ( b,~w RIGHT )]가 [eqn: LEFT ( 4,~3 RIGHT )]일 때
흰 공 [eqn: 2]개, 빨간 공 [eqn: 5]개가 남으므로
조건 (가)를 만족시키지 않는다.

(ⅱ) 순서쌍 [eqn: LEFT ( b,~w RIGHT )]가 [eqn: LEFT ( 4,~1 RIGHT )]일 때
흰 공 [eqn: 4]개와 빨간 공 [eqn: 5]개가 남으므로
세 명의 학생 [eqn: B,~C,~D]에게 흰 공과 빨간 공을 각각 [eqn: 1]개씩 나누어 주고
남은 흰 공 [eqn: 1]개, 빨간 공 [eqn: 2]개를 나누어 주는 경우의 수는 다음과 같다.
흰 공 [eqn: 1]개를 받은 학생을 정하는 경우의 수는 [eqn: {}_{3} rmC _{1}][eqn: =3]
세 명의 학생 [eqn: B,~C,~D]에게 빨간 공 [eqn: 2]개를 나누어 줄 때, 흰 공을 받는 학생에게 빨간 공 [eqn: 2]개를 모두 나누어 주는 경우를 제외해야 하므로 경우의 수는
[eqn: {}_{3} rmH _{2} -1][eqn: = _{4} rmC _{2} -1][eqn: =5]
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 5][eqn: =15]

(ⅲ) 순서쌍 [eqn: LEFT ( b,~w RIGHT )]가 [eqn: LEFT ( 3,~2 RIGHT )]일 때
검은 공 [eqn: 1]개, 흰 공 [eqn: 3]개, 빨간 공 [eqn: 5]개가 남으므로
다음의 (1)과 (2)의 경우로 나누어 볼 수 있다.

(1) 세 명의 학생 [eqn: B,~C,~D] 중에서 한 명의 학생이 검은 공과 흰 공을 받는 경우
검은 공과 흰 공을 받는 학생을 정하는 경우의 수는 [eqn: {}_{3} rmC _{1}][eqn: =3]
검은 공과 흰 공을 받는 학생이 [eqn: B]일 때
남은 흰 공 [eqn: 2]개와 빨간 공 [eqn: 5]개는
학생 [eqn: B]를 제외한 두 명의 학생 [eqn: C,~D]에게 나누어 준다.
두 명의 학생 [eqn: C,~D]에게 흰 공 [eqn: 1]개, 빨간 공 [eqn: 1]개씩을 각각 나누어 주고 남은 빨간 공 [eqn: 3]개를 나누어 줄 때,
한 명의 학생에게 빨간 공 [eqn: 3]개를 모두 나누어 주는 경우를 제외해야 하므로
경우의 수는 [eqn: {}_{2} rm H _{3} -2][eqn: = _{4} rmC _{3} -2][eqn: =2]
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 2][eqn: =6]

(2) 세 명의 학생 [eqn: B,~C,~D] 중에서 한 명의 학생이 검은 공과 빨간 공을 받는 경우
검은 공과 빨간 공을 받는 학생을 정하는 경우의 수는 [eqn: {}_{3} rmC _{1}][eqn: =3]
검은 공과 빨간 공을 받는 학생이 [eqn: B]일 때
두 명의 학생 [eqn: C,~D]에게 흰 공 [eqn: 1]개, 빨간 공 [eqn: 1]개씩을 각각 나누어 준다.
남은 흰 공 [eqn: 1]개, 빨간 공 [eqn: 2]개에 대하여 흰 공은 학생 [eqn: B]를 제외한 두 명의 학생 [eqn: C,~D] 중에서 한 명을 택하여 나누어 주고, 빨간 공은 세 명의 학생 [eqn: B,~C,~D] 중에서 한 명을 택하여 나누어 준다.
이 때, 마지막에 흰 공을 받는 학생에게 빨간 공 [eqn: 2]개를 모두 나누어 주는 경우를 제외해야 하므로
경우의 수는 [eqn: 2 TIMES LEFT ( {}_{3} rmH _{2} -1 RIGHT )][eqn: =2 TIMES LEFT ( {}_{4} rmC _{2} -1 RIGHT )][eqn: = it 10]
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 10][eqn: =30]

(ⅳ) 순서쌍 [eqn: LEFT ( b,~w RIGHT )]가 [eqn: LEFT ( 2,~1 RIGHT )]일 때
조건 (다)를 만족시키지 않는다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여

구하는 경우의 수는 [eqn: 15+6+30][eqn: =51]

(가) 각 학생이 받는 공의 색의 종류의 수는 [eqn: 2]이다.

(나) 학생 [eqn: A]는 흰 공과 검은 공을 받으며 흰 공보다 검은 공을 더 많이 받는다.

(다) 학생 [eqn: A]가 받는 공의 개수는 홀수이며 학생 [eqn: A]가 받는 공의 개수 이상의 공을 받는 학생은 없다.

네 명의 학생 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]에게 같은 종류의 사인펜 [eqn: 14]개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. [4점][9월 평가원]

[eqn: 218]

[출제의도] 중복조합을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있는가?

사인펜이 [eqn: 14]개이므로

조건 (가)와 (다)에 의해

네 명의 학생 [eqn: rmA,~B,~C,~D] 중 [eqn: 2]명은 짝수 개의 사인펜을 받고 나머지 [eqn: 2]명은 홀수 개의 사인펜을 받거나 네 명의 학생 모두 짝수 개의 사인펜을 받는다.

(ⅰ) 네 명의 학생 중 2명은 짝수 개의 사인펜을 받고 나머지 2명은 홀수 개의 사인펜을 받는 경우
[eqn: 4]명의 학생 중 짝수 개의 사인펜을 받는 [eqn: 2]명의 학생을 택하는 경우의 수는
[eqn: {}_{4} RMC _{2}]
두 명의 학생 [eqn: rmA,~B]는 짝수 개의 사인펜을 받고 두 명의 학생 [eqn: RMC,~D]는 홀수 개의 사인펜을 받는다고 하면 네 명의 학생
[eqn: RMA,~B,~C,~D]가 받는 사인펜의 개수는 각각
[eqn: 2a+2,~2b+2,~2c+1,~2d+1] ([eqn: a,~b,~c,~d]는 음이 아닌 정수)이다.
[eqn: (2a+2)+(2b+2)+(2c+1)+(2d+1)=14]
에서
[eqn: a+b+ c+d=4]
방정식 [eqn: a+b+ c+d=4]를 만족시키는 음이 아닌 정수
[eqn: a,~b,~c,~d]의 순서쌍 [eqn: (a,~b,~c,~d)]의 개수는
[eqn: {}_{4} rmH _{4}]
조건 (나)에 의해 [eqn: a!=4,~b!=4]이므로
주어진 조건을 만족시키는 경우의 수는
[eqn: {}_{4} rm C _{2} TIMES LEFT ( {}_{4} rm H _{4} -2 RIGHT ) = _{4} rm C _{2} TIMES LEFT ( {}_{7} rm C _{4} -2 RIGHT ) =198]

(ⅱ) 네 명의 학생 모두 짝수 개의 사인펜을 받는 경우
네 명의 학생 [eqn: RMA,~B,~C,~D]가 받는 사인펜의 개수는 각각
[eqn: 2a+2,~2b+2,~2c+2,~2d+2] ([eqn: a,~b,~c,~d]는 음이 아닌 정수)이다.
[eqn: (2a+2)+(2b+2)+(2c+2)+(2d+2)=14]
에서
[eqn: a+b+c+d=3]
방정식 [eqn: a+b+c+d=3]을 만족시키는 음이 아닌 정수
[eqn: a,~b,~c,~d]의 순서쌍 [eqn: (a,~b,~c,~d)]의 개수는
[eqn: {}_{4} rm H _{3} = _{6} RMC _{3} =20]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 198+20=218]

[eqn: rmA`,``B`,``C`,``D]가 받는 사인펜의 개수를 각각 [eqn: a,````b,````c,````d`]라 하면

[eqn: a+b+c+d=14]

조건 (가)를 만족시키는 순서쌍

[eqn: (a,````b,````c,````d)]의 개수는

[eqn: a=a`'+1], [eqn: b=b` prime +1], [eqn: c=c` prime +1], [eqn: d=d` prime +1]로 놓으면

방정식 [eqn: a`'+b`'+c`'+d`'=10]을 만족시키는 음이 아닌 정수
[eqn: a`',````b`',````c`',````d`']의 순서쌍 [eqn: (a`',````b`',````c`',````d`')]의 개수와 같으므로

[eqn: rm _{4} rmH _{10}][eqn: = rm _{13} rm C _{10}]
[eqn: = rm _{13} rm C _{3}]
[eqn: = {13 TIMES 12 TIMES 11} over {3 TIMES 2 TIMES 1}]
[eqn: =286]

한편, 네 명이 모두 홀수 개의 사인펜을 받는 경우의 수는

[eqn: a=2a` prime ' +1], [eqn: b=2b` prime ' +1], [eqn: c=2c` prime ' +1], [eqn: d=2d` prime ' +1]로 놓으면

방정식 [eqn: a` prime ' +b` prime ' +c` prime ' +d` prime ' =5]를 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a` prime ' ,````b` prime ' ,````c` prime ' ,````d` prime ']의 순서쌍 [eqn: (a` prime ' ,````b` prime ' ,````c` prime ' ,````d` prime ' )]의 개수와 같으므로

[eqn: rm _{4} rm H _{5}][eqn: = rm _{8} rm C _{5}][eqn: = rm _{8} rm C _{3}][eqn: = {8 TIMES 7 TIMES 6} over {3 TIMES 2 TIMES 1}][eqn: =56]

즉 조건 (가)와 조건 (다)를 만족시키는 경우의 수는

[eqn: 286-56=230]

한편, 조건 (가)와 조건 (다)를 만족시키고, 사인펜을 [eqn: 10]개 이상 받은 학생이 있는 경우 각 학생이 받은 사인펜의 개수는 [eqn: 10,````2,````1,````1]뿐이고 이 경우의 수는

[eqn: {4!} over {2!} =12]

따라서 모든 조건을 만족시키는 경우의 수는

[eqn: 230-12=218]

(가) 각 학생은 [eqn: 1]개 이상의 사인펜을 받는다.

(나) 각 학생이 받는 사인펜의 개수는 [eqn: 9] 이하이다.

(다) 적어도 한 학생은 짝수 개의 사인펜을 받는다.

이항정리(2,3점)

다항식 [eqn: LEFT ( 2x+1 RIGHT ) ^{7}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수는? [3점][7월 교육청]

③

[출제의도] 이항정리 이해하기

전개식의 일반항은

[eqn: {}_{7} rm C _{it r rm} `it LEFT ( 2x RIGHT ) ^{7-r} TIMES 1 ^{r}][eqn: = _{7} rmC _{itr} it`2 ^{7-r} `x ^{7-r}]

[eqn: LEFT ( r=0,~1,~2,~ CDOTS ,~7 RIGHT )]

[eqn: x ^{7-r}][eqn: =x ^{2}]에서 [eqn: r][eqn: =5]

따라서 [eqn: x]의 계수는 [eqn: {}_{7} rm C _{5} TIMES 2 ^{2}][eqn: =84]

① [eqn: 76`]	② [eqn: 80`]	③ [eqn: 84`]	④ [eqn: 88`]	⑤ [eqn: 92`]

다항식 [eqn: LEFT ( 2x+1 RIGHT ) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: x ^{3}]의 계수는? [2점][21년 6월 평가원]

④

[출제의도] 이항정리를 이용하여 다항식의 전개식에서 특정한 항의 계수를 구할 수 있는가?

[eqn: LEFT ( 2x+1 RIGHT ) ^{5}]의 전개식의 일반항은

[eqn: {}_{5} rm C _{it r rm} LEFT ( 2itx RIGHT ) ^{5- it r rm} LEFT ( 1 RIGHT ) ^{it r rm} = _{5} rm C _{it r rm} TIMES 2 ^{5- it r rm} TIMES it x ^{5- it r}]

[eqn: LEFT ( r=0,~1,~2,~ CDOTS ,~5 RIGHT )]

[eqn: x ^{3}]항은 [eqn: 5-r=3], 즉 [eqn: r=2]일 때이므로

[eqn: x ^{3}]의 계수는

[eqn: {}_{5} rmC _{2} times2 ^{5-2} =10times8=80]

① [eqn: 20`]	② [eqn: 40`]	③ [eqn: 60`]	④ [eqn: 80`]	⑤ [eqn: 100`]

다항식 [eqn: LEFT ( x+2a RIGHT ) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: x ^{3}]의 계수가 [eqn: 640]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은? [3점][21년 4월 교육청]

②

[출제의도] 이항정리 이해하기

다항식 [eqn: (x+2a) ^{5}]의 전개식에서 일반항은

[eqn: {}_{5} rmC _{itr} it(2a) ^{r} x ^{5-r}][eqn: = _{5} rmC _{itr} it2 ^{r} a ^{r} x ^{5-r}]

[eqn: x ^{3}]의 계수는 [eqn: r=2]일 때이므로

[eqn: {}_{5} rmC _{2} TIMES 2 ^{2} TIMES ita ^{2}][eqn: =40a ^{2}][eqn: =640]

따라서 [eqn: a=4]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[eqn: LEFT ( x ^{`2} + {a} over {x} RIGHT ) ^{`5}]의 전개식에서 [eqn: {1} over {x ^{`2}}]의 계수와 [eqn: x`]의 계수가 같을 때, 양수 [eqn: a`]의 값은? [3점][9월 평가원]

②

[출제의도] 이항정리를 이용하여 항의 계수를 구할 수 있는가?

[eqn: LEFT ( x ^{2} + {a} over {x} RIGHT ) ^{5}]의 일반항은

[eqn: {}_{5} rmC _{itr} it LEFT ( x ^{2} RIGHT ) ` ^{5-r} LEFT ( {a} over {x} RIGHT ) ^{r}][eqn: = _{5} rm C _{it r} it `a ^{r} x ^{10-3r}] (단, [eqn: r=0,````1,````2,````3,````4,````5])

이때, [eqn: {1} over {x ^{2}}]의 계수는

[eqn: 10-3r=it-2]에서 [eqn: r=4]이므로

[eqn: {}_{5} rmC _{4} `ita ^{4} =5a ^{4}]

또 [eqn: x`]의 계수는

[eqn: 10-3r=1]에서 [eqn: r=3]이므로

[eqn: {}_{5} rm C _{3} ` it a ^{3} =10a ^{3}]

따라서 [eqn: a>0]이므로

[eqn: 5a ^{4} =10a ^{3}]에서

[eqn: a=2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )][eqn: = sum _{k=1} ^{n} rm _{2n+1} rmC _{it it 2k rm }]일 때, [eqn: f LEFT ( n RIGHT )][eqn: =1023]을 만족시키는 [eqn: n]의 값은? [3점][21년 4월 교육청]

③

[출제의도] 이항계수의 성질을 이용하여 추론하기

[eqn: {}_{2n+1} rmC _{0} + _{it2n+1} rmC _{2} + _{it2n+1} rmC _{4} + `CDOTS `+ _{it2n+1} rmC _{it2n} =it2 ^{2n}]이므로

[eqn: f(n)= sum _{k=1} ^{n} ` _{2n+1} rmC _{it2k} =it2 ^{2n} -1]

[eqn: 2 ^{2n} -1=1023]에서 [eqn: 2 ^{2n} =2 ^{10}]

따라서 [eqn: n=5]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

수능대비	단원별 기출문제	수학2

수능대비	단원별 기출문제	수학2

02

확률

확률의 뜻(2,3점)

네 개의 수 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7] 중에서 임의로 선택한 한 개의 수를 [eqn: a`]라 하고, 네 개의 수 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8] 중에서 임의로 선택한 한 개의 수를 [eqn: b`]라 하자. [eqn: a times b>31]일 확률은? [3점][9월 평가원]

③

[출제의도] 조건을 만족시키는 확률을 구할 수 있는가?

모든 [eqn: a,````b`]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,````b RIGHT )]의 개수는

[eqn: 4 TIMES 4=16]

[eqn: a TIMES b>31]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,````b RIGHT )]는

[eqn: LEFT ( 5,````8 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 7,````6 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 7,````8 RIGHT )]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {3} over {16}]

① [eqn: {1} over {16}]	② [eqn: {1} over {8}]	③ [eqn: {3} over {16}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {16}]

한 개의 주사위를 세 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a,~b,~c]라 할 때, [eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( c-4 RIGHT ) ^{2}][eqn: =2]가 성립할 확률은? [3점][7월 교육청]

①

[출제의도] 확률의 뜻 이해하기

[eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( c-4 RIGHT ) ^{2}][eqn: =2]를 만족시키려면

세 수 [eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) ^{2}], [eqn: LEFT ( b-3 RIGHT ) ^{2}], [eqn: LEFT ( c-4 RIGHT ) ^{2}] 중

한 개의 수가 [eqn: 1]이고, 두 개의 수가 [eqn: 1]이어야 한다.

[eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) ^{2}][eqn: =0], [eqn: LEFT ( b-3 RIGHT ) ^{2}][eqn: =0], [eqn: LEFT ( c-4 RIGHT ) ^{2}][eqn: =0]이 될 확률은 각각 [eqn: {1} over {6}]

[eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) ^{2}][eqn: =1], [eqn: LEFT ( b-3 RIGHT ) ^{2}][eqn: =1], [eqn: LEFT ( c-4 RIGHT ) ^{2}][eqn: =1]이 될 확률은 각각 [eqn: {1} over {3}]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {}_{3} rm C _{1} TIMES {1} over {6} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3}][eqn: = {1} over {18}]

① [eqn: {1} over {18}]	② [eqn: {1} over {9}]	③ [eqn: {1} over {6}]	④ [eqn: {2} over {9}]	⑤ [eqn: {5} over {18}]

주사위 [eqn: 2]개와 동전 [eqn: 4]개를 동시에 던질 때, 나오는 주사위의 눈의 수의 곱과 앞면이 나오는 동전의 개수가 같을 확률은? [3점][21년 6월 평가원]

①

[출제의도] 합의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구하고 이를 이용하여 수학적 확률을 구할 수 있는가?

주사위 [eqn: 2]개와 동전 [eqn: 4]개를 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수는

[eqn: 6 ^{2} times2 ^{4}]

(ⅰ) 앞면이 나온 동전의 개수가 [eqn: 1]인 경우의 수는
[eqn: {}_{4} rmC _{1} =4]
이때 두 주사위에서 나온 눈의 수가 [eqn: LEFT ( 1,~1 RIGHT )]이어야 하므로 이 경우의 수는 [eqn: 4times1=4]

(ⅱ) 앞면이 나온 동전의 개수가 [eqn: 2]인 경우의 수는
[eqn: {}_{4} rmC _{2} = {4times3} over {2} =6]
이때 두 주사위에서 나온 눈의 수가 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )] 또는 [eqn: LEFT ( 2,~1 RIGHT )]이어야 하므로 이 경우의 수는 [eqn: 6times2=12]

(ⅲ) 앞면이 나온 동전의 개수가 [eqn: 3]인 경우의 수는
[eqn: {}_{4} rmC _{3} = _{4} rmC _{1} =4]
이때 두 주사위에서 나온 눈의 수가 [eqn: LEFT ( 1,~3 RIGHT )] 또는 [eqn: LEFT ( 3,~1 RIGHT )]이어야 하므로 이 경우의 수는 [eqn: 4times2=8]

(ⅳ) 앞면이 나온 동전의 개수가 [eqn: 4]인 경우의 수는
[eqn: {}_{4} rmC _{4} =1]
이때 두 주사위에서 나온 눈의 수가 [eqn: LEFT ( 1,~4 RIGHT )] 또는 [eqn: LEFT ( 2,~2 RIGHT )] 또는 [eqn: LEFT ( 4,~1 RIGHT )]이어야 하므로 이 경우의 수는
[eqn: 1times3=3]

(ⅰ)~(ⅳ)에 의하여 조건을 만족시키는 경우의 수는

[eqn: 4+12+8+3=27]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {27} over {6 ^{2} times2 ^{4}} = {3} over {64}]

① [eqn: {3} over {64}]	② [eqn: {5} over {96}]	③ [eqn: {11} over {192}]	④ [eqn: {1} over {16}]	⑤ [eqn: {13} over {192}]

숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 4]개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 네 자리의 자연수 중에서 임의로 하나의 수를 선택할 때, 선택한 수가 [eqn: 3500]보다 클 확률은? [3점][21년 6월 평가원]

③

[출제의도] 중복순열의 수를 이용하여 확률을 구할 수 있는가?

숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 4]개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 네 자리의 자연수의 개수는 [eqn: {}_{5} SMALLPROD _{4} =5 ^{4}]

이 중에서 [eqn: 3500]보다 큰 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) 천의 자리의 숫자가 [eqn: 3], 백의 자리의 숫자가 [eqn: 5]인 경우
십의자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는
[eqn: {}_{5} SMALLPROD _{2} =5 ^{2}]

(ⅱ) 천의 자리의 숫자가 [eqn: 4] 또는 [eqn: 5]인 경우
천의 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 [eqn: 2]
이 각각에 대하여 나머지 세 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는
[eqn: {}_{5} SMALLPROD _{3} =5 ^{3}]
이므로 이 경우의 수는 [eqn: 2times5 ^{3}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: 3500]보다 큰 자연수의 개수는

[eqn: 5 ^{2} +2times5 ^{3}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {5 ^{2} +2times5 ^{3}} over {5 ^{4}} = {11} over {25}]

① [eqn: {9} over {25}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {11} over {25}]	④ [eqn: {12} over {25}]	⑤ [eqn: {13} over {25}]

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a], [eqn: b`]라 할 때, 두 수 [eqn: a], [eqn: b`]의 최대공약수가 홀수일 확률은? [3점][10월 교육청]

⑤

[출제의도] 여사건의 확률을 구한다.

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 경우의 수는 [eqn: 6 times 6][eqn: =36]
두 수 [eqn: a], [eqn: b`]의 최대공약수가 홀수인 사건을 [eqn: A`]라 하면 [eqn: A`]의 여사건 [eqn: A^{C} `]은 [eqn: a], [eqn: b`]의 최대공약수가 짝수인 사건이다. [eqn: a], [eqn: b`]의 최대공약수가 짝수이면 [eqn: a], [eqn: b] 모두 짝수이므로 이 경우의 수는 [eqn: 3times3][eqn: =9`]이다.

따라서 [eqn: rm P LEFT ( itA ^{C} ` RIGHT )][eqn: = 9 over 36][eqn: = 1over4]이므로 구하는 확률은
[eqn: rmP left(itA `right)][eqn: =1- rm P LEFT ( itA ^{C} `RIGHT )][eqn: = 1 - 1over4][eqn: = 3 over4]

① [eqn: 5 over12]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 7 over 12]

④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 3 over4]

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 배반사건이고

⑤

[출제의도] 확률 계산하기

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 배반사건이므로

[eqn: rm P it LEFT ( A CUP B RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( A RIGHT ) + rm P it LEFT ( B RIGHT )]

[eqn: {11} over {12}][eqn: = {1} over {12} + rm P it LEFT ( B RIGHT )]

따라서 [eqn: rm P it LEFT ( B RIGHT )][eqn: = {5} over {6}]

[eqn: rm P it LEFT ( A RIGHT )][eqn: = {1} over {12}], [eqn: rm P it LEFT ( A CUP B RIGHT )][eqn: = {11} over {12}]

일 때, [eqn: rm P it LEFT ( B RIGHT )]의 값은? [2점][7월 교육청]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {7} over {12}]	③ [eqn: {2} over {3}]	④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

두 사건 [eqn: A`]와 [eqn: B``]는 서로 배반사건이고
[eqn: rmP left( itA right)][eqn: = 1over 3], [eqn: rmP it left(A ^C ` right) rmP left( itB `right)][eqn: = 1over6]

②

[출제의도] 확률의 덧셈정리를 이해하여 사건의 확률을 구한다.

[eqn: rmP left( it A `right)][eqn: = 1over3 `]이므로 [eqn: rmP left( it A^C `right)][eqn: = 1- rmP left( it A `right)][eqn: = 2over3]

[eqn: rmP left( it A^C `right) rmP left( it B`` right)][eqn: = 2 over3 times rmP left( it B ``right)][eqn: = 1over6 `]에서
[eqn: rmP left( it B `` right)][eqn: = 1 over 4]

두 사건 [eqn: A`]와 [eqn: B``]가 서로 배반사건이므로

[eqn: rm P LEFT ( it A`cupB`` RIGHT ) `][eqn: = rm P LEFT ( it A `RIGHT ) + rm P LEFT ( itB` `RIGHT ) `][eqn: = {1} over {3} + {1} over {4}][eqn: = {7} over {12}]

일 때, [eqn: rm P it LEFT ( A cup B` RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: A ^{C} `]은 [eqn: A`]의 여사건이다.) [3점][10월 교육청]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 7 over 12]	③ [eqn: 2 over 3]

④ [eqn: 3 over 4]	⑤ [eqn: 5 over6]

확률의 뜻(4점)

숫자 [eqn: 1,~2,~3]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: 3]개의 공이 들어 있는 주머기가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다.

[eqn: 47]

[출제의도] 여사건의 확률을 이용하여 확률을 구할 수 있는가?

[eqn: 3]개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 [eqn: 5]번 반복할 때 나오는 모든 경우의 수는 [eqn: 3 ^{5}]

이때 확인한 [eqn: 5]개의 수의 곱이 [eqn: 6]의 배수가 아닌 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) 한 개의 숫자만 나오는 경우
이 경우의 수는 [eqn: 3]

(ⅱ) 두 개의 숫자가 나오는 경우
[eqn: 1,~2]가 적혀 있는 공이 나오는 경우의 수는
[eqn: 2 ^{5} -2=30]
[eqn: 1,~3]이 적혀 있는 공이 나오는 경우의 수는
[eqn: 2 ^{5} -2=30]
그러므로 이 경우의 수는
[eqn: 30+30=60]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 확인한 [eqn: 5]개의 수의 곱이 [eqn: 6]의 배수가 아닌 경우의 수는

[eqn: 3+60=63]

따라서 구하는 확률은

[eqn: 1- {63} over {3 ^{5}} =1- {7} over {27} = {20} over {27}]

이므로

[eqn: p+q=27+20=47]

이 시행을 [eqn: 5]번 반복하여 확인한 [eqn: 5]개의 수의 곱이 [eqn: 6]의 배수일 확률이 [eqn: {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점][21년 6월 평가원]

조건부확률(2,3점)

어느 동아리의 학생 [eqn: 20]명을 대상으로 진로활동 [eqn: A]와 진로활동 [eqn: B]에 대한 선호도를 조사하였습니다. 이 조사에 참여한 학생은 진로활동 [eqn: A]와 진로활동 [eqn: B] 중 하나를 선택하였고, 각각의 진로활동을 선택한 학생 수는 다음과 같다.

②

[출제의도] 조건부확률을 구할 수 있는가?

이 조사에 참여한 학생 중에서 한 명을 선택하는 경우의 수는 [eqn: 20]

이 조사에 참여한 학생 중에서 임의로 선택한 한명이 진로활동 [eqn: B]를 선택한 학생인 사건을 [eqn: B], [eqn: 1]학년 학생인 사건을 [eqn: E]라 하면 구하는 확률은 [eqn: rm P LEFT ( it E`vertB RIGHT )]이다.

이때 [eqn: rmP LEFT ( itB RIGHT ) = {9} over {20}]이고, 사건 [eqn: E SMALLINTER B]는 진로활동 [eqn: B]를 선택한 [eqn: 1]학년 학생을 선택하는 사건이므로 [eqn: rmP LEFT ( itE SMALLINTER B RIGHT ) = {5} over {20}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: rmP LEFT ( itE`vertB RIGHT )][eqn: = {rmP LEFT ( itE SMALLINTER B RIGHT )} over {rmP LEFT ( itB RIGHT )}]
[eqn: = {{5} over {20}} over {{9} over {20}} = {5} over {9}]

(단위 : 명)

구분	진로활동 [eqn: A]	진로활동 [eqn: B]	합계
[eqn: 1]학년	[eqn: 7`]	[eqn: 5`]	[eqn: 12`]
[eqn: 2]학년	[eqn: 4`]	[eqn: 4`]	[eqn: 8`]
합계	[eqn: 11`]	[eqn: 9`]	[eqn: 20`]

이 조사에 참여한 학생 [eqn: 20]명 중에서 임의로 선택한 한 명이 진로활동 [eqn: B]를 선택한 학생일 때, 이 학생이 [eqn: 1]학년일 확률은? [3점][21년 6월 평가원]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {5} over {9}]	③ [eqn: {3} over {5}]	④ [eqn: {7} over {11}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

주머니 [eqn: rm A]에는 흰 공 [eqn: 2]개, 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있고,

①

[출제의도] 조건을 만족시키는 조건부확률을 구할 수 있는가?

주머니에서 꺼낸 [eqn: 2]개의 공이 모두 흰 공인 사건을 [eqn: E], 주사위의 눈의 수가 [eqn: 5] 이상인 사건을 [eqn: F``]라 하면

구하는 확률은

[eqn: rm P LEFT ( it F```vert `E` RIGHT )][eqn: = {rm P LEFT ( it E SMALLINTER F`` RIGHT )} over {rm P LEFT ( it E`` RIGHT )}]

[eqn: rm P LEFT ( it E`` RIGHT )][eqn: = {1} over {3} TIMES {{}_{2} rm C _{2}} over {{}_{6} rm C _{2}} + {2} over {3} TIMES {{}_{3} rm C _{2}} over {{}_{6} rm C _{2}}]
[eqn: = {1} over {3} TIMES {1} over {15} + {2} over {3} TIMES {3} over {15}]
[eqn: = {1} over {45} + {6} over {45}]
[eqn: = {7} over {45}]

[eqn: rm P LEFT ( it E SMALLINTER F` RIGHT ) = {1} over {3} TIMES {{}_{2} rm C _{2}} over {{}_{6} rm C _{2}}={1} over {45}]

따라서

[eqn: rm P LEFT ( it F```vert `E` RIGHT )][eqn: = {rm P LEFT ( it E SMALLINTER F` RIGHT )} over {rm P LEFT ( it E` RIGHT )}]
[eqn: = {{1} over {45}} over {{7} over {45}}]
[eqn: = {1} over {7}]

주머니 [eqn: rm B]에는 흰 공 [eqn: 3]개, 검은 공 [eqn: 3]개가 들어 있다.

두 주머니 [eqn: rm A], [eqn: rm B]와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

이 시행을 한 번 하여 주머니에서 꺼낸 [eqn: 2]개의 공이 모두 흰색일 때, 나온 눈의 수가 [eqn: 5] 이상일 확률은? [3점][9월 평가원]

주사위를 한 번 던져
나온 눈의 수가 [eqn: 5] 이상이면

주머니 [eqn: rm A]에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼내고,
나온 눈의 수가 [eqn: 4] 이하이면

주머니 [eqn: rm B]에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼낸다.

① [eqn: {1} over {7}]	② [eqn: {3} over {14}]	③ [eqn: {2} over {7}]

④ [eqn: {5} over {14}]	⑤ [eqn: {3} over {7}]

조건부 활률(4점)

[eqn: 1,~2,~3,~4,~5]의 숫자가 하나씩 적힌 카드가 각각 [eqn: 1]장, [eqn: 2]장, [eqn: 3]장, [eqn: 4]장, [eqn: 5]장이 있다. 이 [eqn: 15]장의 카드 중에서 임의로 [eqn: 2]장의 카드를 동시에 선택하는 시행을 한다. 이 시행에서 선택한 [eqn: 2]장의 카드에 적힌 두 수의 곱의 모든 양의 약수의 개수가 [eqn: 3] 이하일 때, 그 두 수의 합이 짝수일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

[eqn: 25]

[출제의도] 조건부확률을 활용하여 문제해결하기

두 수의 곱이 모든 양의 약수의 개수가 [eqn: 3] 이하인 사건을 [eqn: X],

두 수의 합이 짝수인 사건을 [eqn: Y]라 하자.

사건 [eqn: X]를 만족시키는 경우는 두 수 중 하나가 [eqn: 1]이거나 두 수가 같은 소수일 때이다.

(ⅰ) 두 수 중 하나가 [eqn: 1]일 때
[eqn: {{}_{1} rmC _{1} TIMES _{14} rmC _{1}} over {{}_{15} rmC _{2}}][eqn: = {2} over {15}]

(ⅱ) 두 수가 같은 소수일 때

(1) 두 수가 [eqn: 2]일 때
[eqn: {{}_{2} rmC _{2}} over {{}_{15} rmC _{2}}][eqn: = {1} over {105}]

(2) 두 수가 [eqn: 3]일 때
[eqn: {{}_{3} rm C _{2} it} over {{}_{15} rm C _{2} it}][eqn: = {1} over {35}]

(3) 두 수가 [eqn: 5]일 때
[eqn: {{}_{5} rm C _{2} it} over {{}_{15} rm C _{2} it}][eqn: = {2} over {21}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: rm P it LEFT ( X RIGHT )][eqn: = {4} over {15}]

두 사건 [eqn: X]와 [eqn: Y]를 동시에 만족시키는 경우는

(ⅰ)에서 두 수가 [eqn: 1,~3]이거나 두 수가 [eqn: 1,~5]인 경우 또는 (ⅱ)인 경우이므로

[eqn: rm P it LEFT ( X SMALLINTER Y RIGHT )][eqn: = {{}_{1} rm C _{1} TIMES _{3} C _{1} + _{1} C _{1} TIMES _{5} C _{1} + _{2} C _{2} + _{3} C _{2} + _{5} C _{2} it} over {{}_{15} rmC _{2}}]
[eqn: = {22} over {105}]

[eqn: rm P it LEFT ( Y``|``X RIGHT )][eqn: = {rm P it LEFT ( X SMALLINTER Y RIGHT )} over {rm P it LEFT ( X RIGHT )}][eqn: = {11} over {14}]

따라서 [eqn: p+q][eqn: =25]

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점][7월 교육청]

집합 [eqn: X= LEFT {`x`vert `x`]는 [eqn: 8] 이하의 자연수[eqn: LEFT. ` RIGHT } `]에 대하여 [eqn: X`]에서 [eqn: X`]로의 함수 [eqn: f] 중에서 임의로 하나를 선택한다. 선택한 함수 [eqn: f`]가
[eqn: 4] 이하의 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: f(2n-1)<f(2n)`]일 때,

②

[출제의도] 조건부확률을 구하는 문제를 해결한다.

선택한 함수 [eqn: f``]가 [eqn: 4] 이하의 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: f(2n-1)<f(2n)`]인 사건을 [eqn: A], [eqn: f(1)=f(5)`]인 사건을 [eqn: B``]라 하면 구하는 확률은 [eqn: RMP(ITB``vert `A)`]이다.
[eqn: X`]에서 [eqn: X`]로의 모든 함수의 개수는 [eqn: 8 ^{8} `]이다.

[eqn: 4] 이하의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: f(2n-1)<f(2n)`]인
[eqn: f( 2n -1)`]과 [eqn: f(2n)`]을 정하는 경우의 수는
[eqn: {}_{8} rm C _{2}][eqn: = {8 TIMES 7} over {2 times1}][eqn: =28`]

[eqn: 4] 이하의 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: f(2n-1)<f(2n)`]인 경우의 수는 [eqn: 28 ^{4}]이므로

[eqn: rm P LEFT ( it A` RIGHT )][eqn: = {28 ^{4}} over {8 ^{8}} `]

(ⅰ) [eqn: f(1)=f(5)], [eqn: f(2)=f(6)`]인 경우
[eqn: f(1)=f(5)<f(2)=f(6)`]이므로 [eqn: f(1)`], [eqn: f(2)], [eqn: f(5)], [eqn: f(6)`]을 정하는 경우의 수는 [eqn: {}_{8} rm C _{2} `]이고, [eqn: f(3)`]과 [eqn: f(4)], [eqn: f(7)`]과 [eqn: f(8)`]을 정하는 경우의 수는 각각 [eqn: {}_{8} rm C _{2} `]이므로 [eqn: f(2)=f(6)`]인 경우의 수는 [eqn: left( {{rmC_2 } LSUB {8} right) }^3][eqn: = 28 ^{3} `]이다.

(ⅱ) [eqn: f(1)=f(5)], [eqn: f(2) != f(6)`]인 경우
[eqn: f(1)=f(5)<f(2)<f(6)] 또는 [eqn: f(1)=f(5)<f(6)<f(2)]
이므로 [eqn: f(1)`], [eqn: f(2)], [eqn: f(5)], [eqn: f(6)`]을 정하는 경우의 수는
[eqn: 2 TIMES _{8} rm C _{3}][eqn: =2 TIMES {8 TIMES 7 TIMES 6} over {3 TIMES 2 times 1}][eqn: =112`]이고, [eqn: f(3)`]과 [eqn: f(4)],
[eqn: f(7)`]과 [eqn: f(8)`]을 정하는 경우의 수는 각각 [eqn: {rm C _{2} } LSUB {8}][eqn: =28 `]
이므로 [eqn: f(2) != f(6)`]인 경우의 수는 [eqn: 112 TIMES 28 ^{2} `]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해

[eqn: rm P LEFT ( it A SMALLINTER B`` RIGHT )][eqn: = { 28 ^{3} +112 TIMES 28 ^{2}} over {8 ^{8}}][eqn: = {140 TIMES 28 ^{2}} over {8 ^{8}}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P LEFT ( it B``vert `A RIGHT )][eqn: = {rm P LEFT ( it A SMALLINTER B` RIGHT )} over {rm P LEFT ( it A` RIGHT )}][eqn: rm = {{140 TIMES 28 ^{2}} over {8 ^{8}}} over {{ 28 ^{4}} over {8 ^{8}}}][eqn: rm = {140} over {28 ^{2}}][eqn: = {5} over {28}]

[eqn: f(1)=f(5)`]일 확률은? [4점][10월 교육청]

① [eqn: 1 over7]	② [eqn: 5 over 28]	③ [eqn: 3 over 14]

④ [eqn: 1 over 4]	⑤ [eqn: 2 over 7]

수능대비	단원별 기출문제	확률과 통계

03

통계

이산확률분포(2,3점)

확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

②

[출제의도] 확률분포 이해하기

주어진 확률분포에서

[eqn: a+ {1} over {2} a+ {3} over {2} a][eqn: =3a][eqn: =1]

[eqn: a][eqn: = {1} over {3}]

따라서 [eqn: rm E it LEFT ( X RIGHT )][eqn: = LEFT ( it -1 RIGHT ) TIMES a+0 TIMES {1} over {2} a+1 TIMES {3} over {2} a]
[eqn: = {1} over {2} a][eqn: = {1} over {6}]

[eqn: X]	[eqn: -1]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	합계
[eqn: rmP(it X=x)]	[eqn: a]	[eqn: {1} over {2} a]	[eqn: {3} over {2} a]	[eqn: 1]

[eqn: rm E it LEFT ( X RIGHT )]의 값은? [3점][7월 교육청]

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]	④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

이산확률분포(4점)

두 이산확률변수 [eqn: X], [eqn: Y`]의 확률분포를 표로 나타내면 각각 다음과 같다.

[eqn: 78]

[출제의도] 확률분포가 표로 주어진 확률변수의 분산을 구할 수 있는가?

확률변수 [eqn: X`]가 갖는 값이 [eqn: X=5]에 대하여 확률분포가 대칭이므로

[eqn: rmE LEFT ( itX` RIGHT ) =5]

또 [eqn: rm V LEFT ( it X` RIGHT ) = {31} over {5}]이므로

[eqn: rm E LEFT ( it X ^{2} RIGHT ) - LEFT { rmE LEFT ( it X ``RIGHT ) RIGHT } ^{2} = {31} over {5}]에서

[eqn: rm E LEFT ( it X ^{2} RIGHT ) =25+ {31} over {5}]

이때,

[eqn: rm E LEFT ( it X ^{2} RIGHT )][eqn: =1 ^{2} TIMES a+3 ^{2} TIMES b+5 ^{2} TIMES c+7 ^{2} TIMES b+9 ^{2} TIMES a]
[eqn: =82a+58b+25c]

이므로

[eqn: 82a+58b+25c=25+ {31} over {5}]	[eqn: CDOTS CDOTS it] ㉠

한편, 확률변수 [eqn: Y``]가 갖는 값이 [eqn: Y=5]에 대하여 확률분포가 대칭이므로

[eqn: rm E LEFT ( itY`` RIGHT ) =5]이고,

[eqn: rm E LEFT ( it Y ^{2} RIGHT )][eqn: =1 ^{2} TIMES LEFT ( a+ {1} over {20} RIGHT ) +3 ^{2} TIMES b+5 ^{2} TIMES LEFT ( c- {1} over {10} RIGHT )]
[eqn: +7 ^{2} TIMES b+9 ^{2} TIMES LEFT ( a+ {1} over {20} RIGHT )]
[eqn: =82a+58b+25c][eqn: + {1} over {20} - {5} over {2} + {81} over {20}]
[eqn: =82a+58b+25c][eqn: + {8} over {5}]

㉠에서

[eqn: rm E LEFT ( it Y ^{2} RIGHT )][eqn: =25+ {31} over {5} + {8} over {5}]
[eqn: =25+ {39} over {5}]

따라서

[eqn: rm V LEFT ( it Y`` RIGHT )][eqn: = rm E LEFT ( it Y ^{2} RIGHT ) - LEFT { rm E LEFT ( it Y ``RIGHT ) RIGHT } ^{2}]
[eqn: =25+ {39} over {5} -5 ^{2}]
[eqn: = {39} over {5}]

이므로

[eqn: rm 10 TIMES V LEFT ( it Y`` RIGHT )][eqn: =10 TIMES {39} over {5} =78]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 5]	[eqn: 7]	[eqn: 9]	합계
[eqn: {rm P}left (itX =x right)]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: c`]	[eqn: b]	[eqn: a]	[eqn: 1]

[eqn: Y]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 5]	[eqn: 7]	[eqn: 9]	합계
[eqn: {rm P} it left(Y =y right)]	[eqn: a+ {1} over {20}]	[eqn: b]	[eqn: c``it- 1 over 10]	[eqn: b]	[eqn: a+ {1} over {20}]	[eqn: 1]

[eqn: rm V left( it X` right)= {31} over {5}]일 때, [eqn: 10 it timesrm V left (itY` right)]의 값을 구하시오. [4점][9월 평가원]

이항분포(2,3점)

확률변수 [eqn: X`]가 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 60,```` {1} over {4} RIGHT )]을 따를 때, [eqn: rm E left( it X `right)]의 값은?

③

[출제의도] 이항분포를 따르는 확률변수의 평균을 구할 수 있는가?

[eqn: rm E LEFT ( it X `RIGHT )][eqn: =60 TIMES {1} over {4}]
[eqn: =15]

[2점][9월 평가원]

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 25]

확률변수 [eqn: X`]가 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 60,`` {5} over {12} RIGHT ) `]를 따를 때, [eqn: rmE LEFT ( itX `RIGHT ) `]의 값은? [2점][10월 교육청]

④

[출제의도] 이항분포를 따르는 확률변수의 평균을 계산한다.

이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 60,`` {5} over {12} RIGHT ) `]를 따르는 확률변수 [eqn: X`]의 평균은
[eqn: rm E LEFT ( it X` RIGHT )][eqn: =60 TIMES {5} over {12}][eqn: =25]

① [eqn: 10]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 30]

정규분포(2,3점)

확률변수 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: rm N left(it8,`` 2 ^{2} right)], 확률변수 [eqn: Y`]는 정규분포

①

[출제의도] 정규분포의 성질을 이용하여 확률을 구하는 문제를 해결한다.

두 확률변수 [eqn: X`]와 [eqn: Y``]는 모두 정규분포를 따르고 표준편차가 같으므로 함수 [eqn: y][eqn: =f(x)`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 4`]만큼 평행이동하면 함수 [eqn: y][eqn: =g(x)`]의 그래프와 일치한다. 따라서 [eqn: g(x)][eqn: =f(x-4 )`]이다.

두 함수 [eqn: y][eqn: =f(x)], [eqn: y][eqn: =g(x)`]의 그래프가 만나는 점의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: a`]이므로

[eqn: f(a)][eqn: =g(a)][eqn: =f(a-4 )]

[eqn: y][eqn: =f(x)`]의 그래프는 직선 [eqn: x][eqn: =8`]에 대하여 대칭이므로
[eqn: {a+ left(a-4 right )} over {2}][eqn: =8]

[eqn: a][eqn: = 10]

[eqn: rm P left( it 8 LEQ Y LEQ a right)][eqn: = rm P left( it 8 LEQ Y LEQ 10 right)]
[eqn: = rm P LEFT ( {8-12} over {2 } LEQ it Z LEQ {10-12} over {2 } RIGHT )]
[eqn: = rm P LEFT ( -2 LEQ itZ LEQ it -1 RIGHT )]
[eqn: = rm P LEFT ( 1 LEQ it Z LEQ it 2 RIGHT )]
[eqn: = rm P LEFT ( 0 LEQ it Z LEQ it 2 RIGHT ) it- rm P LEFT ( 0 LEQ it Z LEQ it 1 RIGHT )]
[eqn: =0.4772-0.3413]
[eqn: =0.1359]

[참고]

[eqn: rm N left( it 12 ,`` 2 ^{2} right)`]을 따르고, 확률변수 [eqn: X`]와 [eqn: Y`]의 확률밀도함수는 각각

[eqn: f(x)`]와 [eqn: g(x)`]이다.

[eqn: z]	[eqn: rmP(it 0 le Z le z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)`]의 그래프가 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: a`]라 할 때, [eqn: rmP( it 8 le Y le a )`]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점][10월 교육청]

① [eqn: 0.1359]	② [eqn: 0.1587`]	③ [eqn: 0.2417]

④ [eqn: 0.2857]	⑤ [eqn: 0.3085]

정규분포(4점)

확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( m,~2 ^{2} RIGHT )], 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( m,~ sigma ^{2} RIGHT )]을 따른다. 상수 [eqn: a]에 대하여 두 확률변수 [eqn: X,~Y]가 다음 조건을 만족시킨다.

⑤

[출제의도] 정규분포의 성질 이해하기

조건 (가)에서 [eqn: Y][eqn: =3X-a]이므로

[eqn: rm E it LEFT ( Y RIGHT )][eqn: = rm E it LEFT ( 3X-a RIGHT )][eqn: =3 rm `E it LEFT ( X RIGHT ) -a][eqn: =3m-a]

[eqn: m][eqn: =3m-a]에서 [eqn: a][eqn: =2m]

[eqn: sigma rm LEFT ( itY RIGHT )][eqn: = sigma rm LEFT ( it3X- it a RIGHT )][eqn: =3` sigma rm LEFT ( itX RIGHT )][eqn: =6]

[eqn: rm P it LEFT ( X LEQ 4 RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( Z LEQ {4-m} over {2} RIGHT )]

[eqn: rm P it LEFT ( Y GEQ a RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( Y GEQ 2m RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( Z GEQ {m} over {6} RIGHT )]

조건 (나)에 의하여

[eqn: {4-m} over {2}][eqn: = it - {m} over {6}]에서 [eqn: m][eqn: =6]

그러므로 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 6,~6 ^{2} RIGHT )]을 따른다.

따라서

[eqn: rm P it LEFT ( Y GEQ 9 RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( Z GEQ {9-6} over {6} RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( Z GEQ 0.5 RIGHT )]
[eqn: = rm P it LEFT ( Z GEQ 0 RIGHT ) - rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 0.5 RIGHT )]
[eqn: =0.5-0.1915][eqn: = it 0.3085]

(가) [eqn: Y][eqn: =3X-a]

(나) [eqn: rm P it LEFT ( X LEQ 4 RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( Y GEQ a RIGHT )]

[eqn: rm P it LEFT ( X GEQ 9 RIGHT )]

<표준정규분포표>
[eqn: z`]	[eqn: rmP LEFT ( it 0 le Z le z RIGHT )`]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점][7월 교육청]

① [eqn: 0.0228]	② [eqn: 0.0668]	③ [eqn: 0.1587]

④ [eqn: 0.2417]	⑤ [eqn: 0.3085]

지역 [eqn: rm A]에 살고 있는 성인들의 [eqn: 1]인 하루 물 사용량을 확률변수 [eqn: X], 지역 [eqn: rm B]에 살고 있는 성인들의 [eqn: 1]인 하루 물 사용량을 확률변수 [eqn: Y`]라 하자. 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y`]는 정규분포를 따르고 다음 조건을 만족시킨다.

⑤

[출제의도] 표본평균의 확률분포를 이용하여 확률을 구할 수 있는가?

확률변수 [eqn: X`]의 표준편차를 [eqn: a`]라 하면 확률변수 [eqn: X`]는

정규분포 [eqn: rmN LEFT ( it220,````a ^{2} RIGHT )]을 따른다.

확률변수 [eqn: {bar{X```}}]는 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( it 220,```` LEFT ( {a} over {sqrt {n}} RIGHT ) ^{2} RIGHT )]을 따르고,

[eqn: Z= {{bar{X```}} -220} over {{a} over {sqrt {n}}}]으로 놓으면 확률변수 [eqn: Z`]는 표준정규분포 [eqn: rmN LEFT ( 0,````1 RIGHT )]을

따른다. 이때,

[eqn: rmP LEFT ( it {bar{X```}} LEQ 215 RIGHT )][eqn: = rm P LEFT ( it Z LEQ {215-220} over {{a} over {sqrt {n}}} RIGHT )]
[eqn: = rm P LEFT ( it Z LEQ - {5 sqrt {n}} over {a} RIGHT )]
[eqn: = rm P LEFT ( it Z GEQ {5 sqrt {n}} over {a} RIGHT )]
[eqn: =0.5- rm P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ {5 sqrt {n}} over {a} RIGHT )]

[eqn: 0.5- rm P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ {5 sqrt {n}} over {a} RIGHT ) =0.1587]에서

[eqn: rm P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ {5 sqrt {n}} over {a} RIGHT ) =0.3413]이므로

[eqn: {5 sqrt {n}} over {a} =1]

[eqn: {a} over {sqrt {n}} =5]	[eqn: CDOTS CDOTS it] ㉠

한편, 조건 (나)에서 확률변수 [eqn: Y`]의 표준편차는 [eqn: {3a} over {2}]이므로

확률변수 [eqn: Y`]는 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( it 240,```` LEFT ( {3a} over {2} RIGHT ) ^{2} RIGHT )]을 따른다.

확률변수 [eqn: {bar{Y```}}]는 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( it 240,```` LEFT ( {{3a} over {2}} over {3 sqrt {n}} RIGHT ) ^{2} RIGHT )]을 따르고

㉠에서 [eqn: {{3a} over {2}} over {3 sqrt {n}} = {1} over {2} TIMES {a} over {sqrt {n}} = {5} over {2}]이므로,

[eqn: Z= {{bar{Y```}} -240} over {{5} over {2}}]으로 놓으면 확률변수 [eqn: Z`]는 표준정규분포 [eqn: rmN LEFT ( 0`,``1 RIGHT )]을 따른다. 따라서

[eqn: rm P LEFT ( it {bar{Y```}} GEQ 235 RIGHT )][eqn: = rm P LEFT ( it Z GEQ {235-240} over {{5} over {2}} RIGHT )]
[eqn: = rm P LEFT ( it Z GEQ it-2 RIGHT )]
[eqn: = rm P LEFT ( it -2 LEQ Z LEQ 0 RIGHT ) +0.5]
[eqn: = rm P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ 2 RIGHT ) +0.5]
[eqn: =0.4772+0.5]
[eqn: =0.9772]

(가) 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y`]의 평균은 각각 [eqn: 220]과 [eqn: 240]이다.

(나) 확률변수 [eqn: Y`]의 표준편차는 확률변수 [eqn: X`]의 표준편차의 [eqn: 1.5]배이다.

[eqn: z]	[eqn: rm P `it (0 leq Z leq z )]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

지역 [eqn: rm A]에 살고 있는 성인 중 임의추출한 [eqn: n`]명의 [eqn: 1]인 하루 물 사용량의 표본평균을 [eqn: {bar{X```}}], 지역 [eqn: rm B]에 살고 있는 성인 중 임의추출한 [eqn: 9n`]명의 [eqn: 1]인 하루 물 사용량의 표본평균을 [eqn: {bar{Y```}}]라 하자.

[eqn: rm P it LEFT ( {bar{X```}} LEQ 215 RIGHT ) `it=0.1587]일 때,

[eqn: rm P it LEFT ( {bar{Y```}}it GEQ 235 RIGHT )]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

(단, 물 사용량의 단위는 [eqn: rm L]이다.)

[3점][9월 평가원]

① [eqn: 0.6915]	② [eqn: 0.7745]	③ [eqn: 0.8185]

④ [eqn: 0.8413]	⑤ [eqn: 0.9772]

주머니에 [eqn: 12]개의 공이 들어 있다. 이 공들 각각에는 숫자
[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중 하나씩이 적혀 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 [eqn: 4`]번 반복하여 확인한 [eqn: 4`]개의 수의 합을 확률변수 [eqn: X`]라 할 때, 확률변수 [eqn: X`]는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 23]

[출제의도] 표본평균의 성질을 이용하여 모집단의 확률분포를 추론한다.

주머니에서 임의로 꺼낸 한 개의 공에 적혀 있는 수를 확률변수 [eqn: Y``]라 할 때, 확률변수 [eqn: Y``]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: Y``]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	합계
[eqn: rm P left( it Y=y `right )]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: c]	[eqn: d]	[eqn: 1]

[eqn: X][eqn: =4`]인 경우는 [eqn: 4`]개의 수가 모두 [eqn: 1`]이어야 하므로

[eqn: rm P left ( it X=4 right )][eqn: =a ^{4}]

[eqn: a ^{4}][eqn: = {1} over {81}]에서 [eqn: 0 LEQ a LEQ 1`]이므로 [eqn: a][eqn: = {1} over {3}]

[eqn: X][eqn: =16`]인 경우는 [eqn: 4`]개의 수가 모두 [eqn: 4`]이어야 하므로

[eqn: rm P left( it X=16 right)][eqn: =d ^{`4}]

[eqn: 16d ^{`4}][eqn: = {1} over {81} `]에서 [eqn: 0 LEQ d LEQ 1`]이므로 [eqn: d][eqn: = {1} over {6}]

[eqn: a+b+c+d][eqn: =1`]이므로

[eqn: b+c][eqn: = {1} over {2}]	[eqn: cdotscdotsit]㉠

확인한 [eqn: 4`]개의 수의 표본평균을 [eqn: {bar{Y``}}]라 하면

[eqn: X][eqn: =4 bar{Y``}]이다.

[eqn: rm E left ( it X` right)][eqn: = rm E LEFT ( it 4 {bar{Y``}} RIGHT )][eqn: rm = rm 4E LEFT ( it {bar{Y``}} RIGHT )][eqn: rm = rm 4E LEFT ( it Y`` RIGHT )]
[eqn: =4 LEFT ( {1} over {3} +2b+3c+ {4} over {6} RIGHT )][eqn: =4 LEFT ( 1+2b+3c RIGHT )]

[eqn: rm E left( it X ` right)][eqn: =9`]에서 [eqn: 4LEFT ( 1+2b+3c RIGHT )][eqn: =9`]이므로

[eqn: 2b+3c][eqn: = {5} over {4}]	[eqn: cdotscdotsit]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: b][eqn: = {1} over {4}], [eqn: c][eqn: = {1} over {4}]

[eqn: rm V left( it X` right)][eqn: rm = rm V LEFT ( it 4 {bar{Y``}} RIGHT )][eqn: rm = rm 16V LEFT ( it {bar{Y``}} RIGHT )][eqn: rm = rm 4V LEFT ( it Y`` RIGHT )]
[eqn: = rm 4 LEFT [ E LEFT ( it Y ^{`2} RIGHT ) - LEFT { rm E LEFT ( it Y` RIGHT ) RIGHT } ^{2} RIGHT ]]
[eqn: =4 LEFT { LEFT ( {1} over {3} + {4} over {4} + {9} over {4} + {16} over {6} RIGHT ) - LEFT ( {9} over {4} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]
[eqn: =4 LEFT ( {25} over {4} - {81} over {16} RIGHT )][eqn: rm = {19} over {4}]

따라서 [eqn: p][eqn: =4], [eqn: q][eqn: =19`]이므로 [eqn: p+q][eqn: =23]

(가) [eqn: rm P left( it X=4 right)][eqn: = rm 16 times P left( it X=16 right)][eqn: = {1} over {81}]

(나) [eqn: rm E left( it X` right)][eqn: =9]

[eqn: rm V left( it X` right)][eqn: = {q} over {p} `]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점][10월 교육청]