수학2	내신기출	부곡고

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부곡고 기출	2019년 2학기 중간고사		함수의 극한~미분법 [비상]	이름

	정답 ⑤

함수 [eqn: f(x),``g(x)]가 [eqn: lim _{ x->1 } { ``f(x)}``=2,`````lim _{ x->1 } { ``g(x)}`=4]를 만족할 때, [eqn: lim _{ x->1 }{left{ ``4f(x)+3g(x)}`right}]의 값은? [3.9점]

① 12

② 14

③ 16

④ 18

⑤ 20

		김범진T

	정답 ⑤

극한의 계산으로 옳은 것은? [3.9점]

① [eqn: lim _{ x``->`0 } {`` 1over{5x+1} }`= `inf]

② [eqn: lim _{ x->0} { `left( 3- 1overx^2 right) }`=`3]

③ [eqn: lim _{ x`->`-inf} {left(`x^2 -5x`) }``=``-inf]

④ [eqn: lim _{ x``->`-1 } { left(``x^2 +3x +4)}`=`8]

⑤ [eqn: lim _{ x`->inf} { left(`1- 1overx-2 right)left(`1+` 1overx+2 right)`=` 1}]

	[정답 ①

함수 [eqn: f(x)= `x^2 +3x]에 대하여 [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: 1+h]까지 변할 때의 평균변화율이 [eqn: 8]일 때, 상수 [eqn: h]의 값은? (단, [eqn: h>0`)] [4.1점]

① 3

② 4

③ 5

④ 6

⑤ 7

	정답 ②

<보기>에서 [eqn: x=0]에서 연속인 함수로 옳은 것을 고른 것은? [4.1점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: f(x)= sqrt{x+1}] ㄴ. [eqn: f(x)= 1 + 4overx] ㄷ. [eqn: f(x) = cases{ x^2`` (`x ``not=`0`)#& ##5`````(x`=`0`) & }] ㄹ. [eqn: f(x) = cases{ 2x+1 ``````(`x` ge `0`)#& ## -x+`1``(`x`<0`) & }]

① ㄱ,ㄴ

② ㄱ,ㄹ

③ ㄴ,ㄷ

④ ㄴ,ㄹ

⑤ ㄷ,ㄹ

	정답 ③

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: lim _{ x`-> `1-} { `f(x)}``+`` lim _{ x`->` 2-} {`f(x) }+ f(`1)]의 값은?[4.3점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: 1]

[eqn: a]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

① 3	② 4	③ 5	④ 6	⑤ 7

	정답 ①

함수 [eqn: f(x)=`x^2 +1]에서 [eqn: lim _{ DELTA x`->`0 } { {f(2+3DELTAx)-f(2) }over DELTAx}]의 값은? [4.3점]

① 12	② 15	③ 18	④ 21	⑤ 24

	정답 ④

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{ `x`->`16` } { f(x)=3}]일 때, [eqn: lim _{ x`->`16 } { `{(`x-16`)f(x)} over{sqrtx -4 }}]의 값은? [4.4점]

① 6	② 12	③ 18  ④ 24	⑤ 30

	정답 ②

함수 [eqn: f(x),``g(x)]가 다음 <조건>을 만족할 때, [eqn: lim _{ x`->inf} { f(x)}+ lim _{ x->0} {g(x) }]의 값은? [4.4점]

		< 조 건 >
	가. [eqn: x ge`0]일 때, [eqn: 14x^3 -2x -1 `le ``(7x^3 +1)f(x) ``le14x^3 +8x] 나. [eqn: |`x`| `<3]일 때, [eqn: {|`x`|} over{x-3}``le``g(x)``le``{|`x`|} over{x+3}]

① 0	② 2	③ 4	④ 6	⑤ 8

	정답 ①

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.7점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: lim _{ h`->0} {``{f(1+4h) -f(1)} over h }=``4f``prime(1)] ㄴ. [eqn: lim _{ h``->``0} {{f(1-2h)-f(1)}overh }=``2`f``prime`(1)] ㄷ. [eqn: lim _{ h``->``0} {{f(1-h)-f(1-3h)}over2h } `=``2``f`prime`(1)]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	정답 ③

상수 [eqn: A,``B] 와 다항식 [eqn: f(x)]가 <조건>을 만족할 때, [eqn: f``prime`(1)]의 값은? [4.7점]

		< 조 건 >
	가. [eqn: A`=`1+2+3+`cdots`+20] 나. [eqn: B`=`1^2 +2^2 +3^2 + `cdots`+`12^2] 다. [eqn: f(x)=`B `x^2 +A`x]

① 1310

② 1410

③ 1510

④ 1610

⑤ 1710

	[정답] ②

그림과 같이 다항함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]에서 [eqn: 0<a<1<b]일 때, <보기>에서 옳은 것을 고른 것은? [5.1점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: 1]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: y=x]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: f(b)-f(a)>b-a] ㄴ. [eqn: f`prime`(b)<1<f`prime`(a)] ㄷ. [eqn: f(a)overa > f(b)overb] ㄹ. [eqn: {f(1)-f(a)}over1-a < {f(b)-f(1)}overb-1]

① ㄱ, ㄴ     ② ㄱ, ㄹ    ③ ㄴ, ㄷ

④ ㄴ, ㄹ     ⑤ ㄷ, ㄹ

	정답 ④

다음 중 옳지 않은 것은? [5.1점]

① 함수 [eqn: f(x)=100]이면 [eqn: f prime`(x)=0]이다.

② 함수 [eqn: f(x)=2x^2 +x+3]에 대해 [eqn: f`prime`(x)= 4x+1]이다.

③ 함수 [eqn: f(x)=2x-3]의 [eqn: x=1]에서의 미분계수는 [eqn: 1]이다.

④ 함수 [eqn: f(x)=`|x`|`]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하지만 불연속이다.

⑤ 함수 [eqn: f(x)=(x+1)(3x^2 -x+7)]의 도함수 [eqn: f`prime`(x)]는 [eqn: 9x^2 +4x+6]이다.

	정답 ④

[eqn: h>0]일 때, [eqn: n``ge``2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 부등식이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다.

[eqn: (1+h)^n `>`1+nh``cdots``①]

[eqn: (i)``n=]  일 때,

(가)

(좌변) [eqn: = (1+h)^2 = 1+2h+h^2 >1+2h=](우변)

[eqn: (ii)``n=k`(k`ge`2`)]일 때, 부등식 ①이 성립한다고 가정하면

[eqn: (1+h)^k `>]   [eqn: ``cdots``②]

(나)

부등식 ②의 양변에 [eqn: (1+h)]를 곱하면 [eqn: 1+h>0]이므로

[eqn: (1+h)^k+1 `>] [eqn: (1+h)]

(나)

그런데 [eqn: (1+h)][eqn: = 1+(k+1)h+kh^2 >]이므로

(나)

(다)

[eqn: (1+h)^k+1 `>]

(다)

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 부등식 ①은 [eqn: n``ge``2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

위 의 (가), (나), (다)에 알맞은 식이 각각 [eqn: p,``f(h),``g(h)]라 할 때, [eqn: lim _{ k`->inf} {`1overf(p) +g(0) }]의 값은? [5.3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ 0

④ 1	⑤ 2

	정답 ⑤

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x,``y]에 대하여 [eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)+3x^2 y +3xy^2]을 만족시키고 [eqn: f prime(2)=8]일 때, [eqn: f`prime`(0)+f prime`(3)]의 값은? [5.3점]

① [eqn: 15]

② [eqn: 16]

③ [eqn: 17]

④ [eqn: 18]

⑤ [eqn: 19]

	정답 ③

다음 중 옳지 않은 것은? [5.4점]

① 함수 [eqn: f(x)= 1 over{x^2 -2x+3}]은 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이다.

② [eqn: f(x)]가 미분가능할 때, [eqn: f`prime`(1)= lim _{ h`->`0} {{f(1+h)-f(1)}overh }]이다.

③ 함수 [eqn: f(x)=x^2 -x~]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: 4]까지 변할 때 평균변화율은 [eqn: 2]이다.

④ 함수 [eqn: y=`-x^2 +4x-3]은 닫힌구간 [eqn: [``-2,``4`]] 에서 최댓값과 최솟값을 반드시 갖는다.

⑤ [eqn: x]의 값이 [eqn: 2]가 아니면서 [eqn: 2]에 가까워질 때, 함수 [eqn: f(x)=`3- `1over{vert`x^2 -4`vert}]은 음의 무한대로 발산한다.

	정답 ④

함수 [eqn: f(x)= 1overx lim _{ `t`->`1` } { t over{1+tx }]에 대한 설명으로 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [5.4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: f(x)]는 [eqn: (`-inf`,`inf`)]에서 연속이다. ㄴ. [eqn: f(x)]는 닫힌구간 [eqn: [`1`,`4`]]에서 최댓값 [eqn: 1over2]을 갖는다. ㄷ. [eqn: f(k)`=`a _{k`} (k]는 자연수)라고 정의하면 [eqn: sum _{k=1} ^{n}``a_k = n over{1+n}]이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄷ

④ ㄴ,	ㄷ

⑤ ㄱ,	ㄴ,  ㄷ

	정답 ③

함수 [eqn: f(x)=x^2 -4x +1]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha,``beta]라 할 때, [eqn: lim _{ x``->`alpha } {``{f(x)(`alpha^2 +1) }over{x- alpha}+```lim _{ x``->`beta } {``{f(x)(`beta^2 +1) }over{x- beta}]의 값은? [5.6점]

① 36

② 42

③ 48

④ 54

⑤ 60

	풀이참조 분모[eqn: =0]일 때, 극한값을 가지므로 분자[eqn: =]0이어야 한다. 따라서 [eqn: 1+a+b=0] [eqn: b= -a-1]이므로 주어진 식에 대입한다. [eqn: lim _{ x``->`1 } {`{x^2 +ax-a-1}over{x-1} =}``lim _{ x``->`1 } {`{x^2 -1+ax-a}over{x-1} }] [eqn: ``= lim _{ x``->`1 } {`{(x-1)(x+1) +a(x-1)}over{x-1}} `= lim _{ x``->`1 } right{`{(x+1) +a right}= 2+a =3] [eqn: therefore``a=``1,``b=``-2]

[서술형1] [eqn: lim _{ x``->`1 } {`{x^2 +ax+b}over{x-1} =3 }]일 때, 상수 [eqn: a,``b]의 값을 구하고 그 풀이과정을 서술하시오. [4점]

	풀이참조 (1) [eqn: i)] 함숫값 [eqn: f(1)=0] [eqn: ii)] 좌극한 [eqn: lim _{ x->`1- } { |`x^2 -1`|}=``lim _{ x->`1- } { -(`x^2 -1`)} = 0] [eqn: iii)] 우극한 [eqn: lim _{ x->`1+ } { |`x^2 -1`|}=``lim _{ x->`1+ } { (`x^2 -1`)} = 0] 따라서 [eqn: f(1) = lim _{ x->`1 } {``|`x^2 -1`| }=0]이므로 [eqn: x=1]에서 연속이다. (2) (1)에서 연속성을 보였으므로 [eqn: x=1]에서의 좌미분계수와 우미분계수를 조사해본다. [eqn: i)`` lim _{ x``->`1- } { {`|`x^2 -1`| -0}over{x-1} = ``lim _{ x``->`1- } { {`|`x^2 -1`| }over{x-1} =``lim _{ x``->`1- } { {`-(`x^2 -1`) }over{x-1}] [eqn: ``lim _{ x``->`1- } { {`-(x-1)(x+1) }over{x-1} = ``lim _{ x``->`1- } { {`-(x+1) }= ``-2] [eqn: ii)`` lim _{ x``->`1+ } { {`|`x^2 -1`| -0}over{x-1} = ``lim _{ x``->`1+ } { {`|`x^2 -1`| }over{x-1} =``lim _{ x``->`1+ } { {`(`x^2 -1`) }over{x-1}] [eqn: ``lim _{ x``->`1+ } { {`(x-1)(x+1) }over{x-1} = ``lim _{ x``->`1+ } { {`(x+1) }= ``2] 이와같이 좌미분계수와 우미분계수가 다르므로 [eqn: x=1]에서는 미분불가능하다.

[서술형2] 함수 [eqn: f(x) `=`|~x^2 -1~|]에 대해 물음에 답하시오

(1) [eqn: f(x)]에 대해 [eqn: x=1]에서의 연속성을 조사하고 그 풀이과정을 서술하시오.

(2) [eqn: f(x)]에 대해 [eqn: x=1]에서의 미분가능성을 조사하고 그 풀이과정을 서술하시오.

	풀이참조 (1) [eqn: f(x)]는 다항함수이므로 실수 전체에서 연속이므로 닫힌구간 [eqn: [``-1,``2`]]에서도 연속인 함수이다. [eqn: f(-1)= -`10]이고 [eqn: f(2)=17]이므로 사잇값 정리에 의하여 방정식 [eqn: f(x)=0]은 열린구간 [eqn: (`-1,``2`)]에서 적어도 하나의 실근을 가진다. (2) [eqn: f(x)=`x^3 +2x^2 +4x-7=(x-1)(x^2 +3x+7)]이므로 [eqn: therefore``][eqn: g(x)=x^2 +3x+7] [eqn: g`prime(x) = lim _{ h`->0} { ``{g(x+h)-g(x)}overh}] [eqn: = lim _{ h`->`0} {{ left{(x+h)^2 +3(x+h)+7 -(x^2 +3x+7)}right} }over{h}] [eqn: = lim _{ h`->`0} { {`left{2hx+h^2 +3h right}}overh `= ` lim _{ h``->`0} { (``2x+h+3)}=2x+3] [eqn: therefore``g`prime(x)=2x+3]

[서술형3] 함수 [eqn: f(x)=`x^3 +2x^2 +4x-7]에 대해 물음에 답하시오. [총 8점]

(1) 방정식 [eqn: f(x)=0]은 열린구간 [eqn: (`-1,``2`)]에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보이는 풀이과정을 서술하시오.

(2) [eqn: f(1)=0]이므로 [eqn: f(x)=(x-1)g(x)]로 나타낼 수 있다.

[eqn: g(x)]를 구하고 <조건>에 알맞게 [eqn: g ``prime(x)]을 구하는 풀이과정을 서술하시오.[4점]

		< 조 건 >
	[eqn: g ``prime(x)]를 구할 때 도함수의 정의를 이용할 것

풀이 및 정답