중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	IV. 도형의 성질 1. 삼각형의 성질 (1) 이등변삼각형의 성질
학습목표

[탐구활동1] 사장교의 구조에서 볼 수 있는 삼각형의 성질을 알아보자.

사장교는 커다란 주탑을 세우고 주탑에 여러 개의 케이블을 달아 교량의 상판을 지탱하는 다리이다. 사장교는 바람에 강하고, 안정성이 있어 섬과 육지를 연결하는 긴 다리를 세울 때 주로 사용된다. 우리나라의 사장교로는 올림픽 대교, 인천 대교, 서해 대교, 거가 대교 등이 있다.

활동1: 두 변의 길이가 같은 삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rmangleB]와 [eqn: rmangleC]의 크기를 비교해보자.

활동2: 두 직각삼각형 [eqn: rmDEF]와 [eqn: rmDGF]에서 밑변 [eqn: rmEF]와 [eqn: rmGF]의 길이를 비교하고, 두 삼각형이
합동인지 확인해 보자.

개 념 열 기		다음은 직사각형 모양의 종이를 반으로 접은 후 [eqn: {bar{rmAB}}]를 따라 오려서 [eqn: TRIANGLE rmABC]를 만드는 활동이다. 1 [eqn: TRIANGLE rm ABC]는 어떤 삼각형인지 말하시오. 2 [eqn: ANGLE rmB]와 크기가 같은 각을 말하시오.

이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형이다.

이등변삼각형에서 길이가 같은 두 변이 이루는 각을 꼭지각, 꼭지각의 대변을 밑변, 밑변의 양 끝 각을 밑각이라고 한다.

오른쪽 이등변삼각형 [eqn: RM ABC]에서 꼭지각은 , 밑각은 , 이다.

[선생님과 함께 정리해보기] 이등변삼각형의 성질

(1) 이등변삼각형의 두 (     )의 크기가 같다

(2) 이등변삼각형의 (      )의 이등분선은 (    )을 수직이등분한다

(1)  오른쪽 그림과 같이 [eqn: {rmbarAB}={rmbarAC}]인 이등변삼각형 [eqn: RMABC]에서 ∠[eqn: rmA]의 이등분선과
밑변 [eqn: rm BC]의 교점을 [eqn: RMD]라고 하자.

△[eqn: rmABD]와 △[eqn: rmACD]에서

[eqn: cdots cdots] ①

[eqn: cdots cdots] ②

[eqn: cdots cdots] ③

이다. ①, ②, ③에서 대응하는 (     )의 길이가 각각 같고, 그 (      )의 크기가 같으므로

△[eqn: rmABD]≡△[eqn: rmACD]이다. 따라서 ________________이다.

(2) [eqn: {rmbarAB}={rmbarAC}]인 이등변삼각형 [eqn: RMABC]에서 ∠[eqn: rmA]의 이등분선과 밑변 [eqn: rmBC]의 교점을 [eqn: RMD]라고 할 때,
[eqn: {rmbarAD}]가 [eqn: {rmbarBC}]를 (          )함을 설명해 보자.

△[eqn: rmABD]≡△[eqn: rmACD]이므로  [eqn: {rmbarBD}=][eqn: box {~~~~}]	[eqn: cdots cdots]①

이다. 또, ∠[eqn: rmADB][eqn: =][eqn: {BOX{~```````````~~~}}]이고  ∠[eqn: rmADB][eqn: +]∠[eqn: rmADC][eqn: =][eqn: {BOX{~```````````~~~}}]이므로

∠[eqn: rmADB][eqn: =]∠[eqn: rmADC][eqn: =][eqn: box {~~~~}][eqn: °]이다. 즉,

[eqn: cdots cdots]②

이다. 따라서 ①, ②에서 [eqn: {rmbarAD}]는 [eqn: {rmbarBC}]를 (           )한다.

[연습1] 다음 그림과 같이 [eqn: {bar{rmAB}} = {bar{rmAC}}]인 이등변삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: ANGLE x], [eqn: ANGLE y]의 크기를 각각 구하시오.

(1)	(2)

[연습2] 오른쪽 그림과 같은 피라미드에서 옆면 [eqn: rmABC]는 [eqn: {bar{rmAB}} = {bar{rmAC}}]인 이등변삼각형 모양이다. [eqn: ANGLE rmA]의 이등분선과 [eqn: {bar{rmBC}}]의 교점을 [eqn: rmD]라고 할 때, [eqn: ANGLE rm BAD=38 DEG], [eqn: {bar{rmBD}} =115``rmm]이다. 이때 [eqn: ANGLE rmACD]의 크기와 [eqn: {bar{rmBC}}]의 길이를 각각 구하시오.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	IV. 도형의 성질 1. 삼각형의 성질 (1) 이등변삼각형의 성질
학습목표

[연습3] 다음 그림에서 [eqn: x]의 값을 구하시오.

(1)	(2)

[연습4] 오른쪽 그림과 같이 [eqn: {bar{rmAB}} = {bar{rmAC}}]인 이등변삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: ANGLE rmB]의 이등분선이 [eqn: {bar{rmAC}}]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라고 할 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: ANGLE rmBDC]의 크기	(2) [eqn: {bar{rmAD}}]의 길이

[연습5] 다음 그림에서 [eqn: {bar{rmAD}} = {bar{rmDB}} = {bar{rmBC}}]일 때, [eqn: ANGLE x], [eqn: ANGLE y]의 크기를 각각 구하시오.

[발전1] 이등변삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rmangleA]의 외각의 크기가 [eqn: 110DEG]일 때, 다음과 같은 경우를 각각 그림으로
나타내시오. 그리고 삼각형 [eqn: rmABC]의 세 내각의 크기를 모두 구하고 자신의 답을 설명해보세요.

(1) [eqn: rmangleA]가 꼭지각인 경우	(2) [eqn: rmangleA]가 밑각인 경우

[발전2] 다음 그림과 같이 폭이 일정한 종이테이프를 선분 [eqn: rm BC]를 따라 접을 때, 겹쳐진 부분에 생긴 [eqn: rm△ABC]가 항상 이등변삼각형이 되는 까닭을 친구들과 이야기하시오. (단, [eqn: {rmbarBC}]와 [eqn: {rmbarAC}]가 수직이 되도록 접는 경우는 제외한다.)

				추론│의사소통
			다음 대화를 읽고, 준서의 질문에 답하고 그 이유를 설명하시오.
추론하고 설명할 때는 관찰과 추측으로 수학 적 사실을 이끌어 낸다. 자신의 의견을 논리적 으로 설명한다.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	IV. 도형의 성질 1. 삼각형의 성질 (2) 직각삼각형의 합동
학습목표

[탐구활동]

위의 활동으로부터 서로 합동인 직각삼각형을 만들 수 있을 조건에 대해 생각해보자.

		직각삼각형의 합동 조건
	두 직각삼각형은 다음의 각 경우에 서로 합동이다. 1. ( )의 길이와 ( )의 크기가 각각 같을 때 2. ( )의 길이와 ( )의 길이가 각각 같을 때

[함께해보기1] 위에서 추측한 첫 번째 내용을 설명해 보자.

오른쪽 그림과 같이 [eqn: rm ∠C=∠F=90 °, ```{rmbarAB}={rmbarDE},] [eqn: rm ∠A=∠D]인 두 직각삼각형 [eqn: RMABC]와 [eqn: rmDEF]에서 직각을 뺀 두 내각의 크기의 합은 (      )이므로

[eqn: rm ∠B][eqn: =]

[eqn: =]

[eqn: =]

이다. 이때 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같으므로

이다.

[함께해보기2] 위에서 추측한 두 번째 내용을 설명해 보자.

[연습] 다음 직각삼각형 중에서 서로 합동인 것을 찾아 기호로 나타내고, 각각의 합동 조건을 말하시오.

[추론] 오른쪽 그림과 같이 [eqn: ANGLE rm XOY]의 이등분선 위의 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: {vec{rmOX}}]와 [eqn: {vec{rmOY}}]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) [eqn: TRIANGLE rmOAP]와 합동인 삼각형을 찾고, 그 이유를 설명하시오.

(2) [eqn: {bar{rm PA it}}]와 길이가 같은 선분을 찾으시오.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	IV. 도형의 성질 1. 삼각형의 성질 (3) 피타고라스의 정리
학습목표

개 념 열 기

다음 그림은 한 칸의 가로와 세로의 길이가 각각 [eqn: 1]인 모눈종이 위에 [eqn: ANGLE rmC=90 DEG]인
직각삼각형 [eqn: rmABC]와 그 세 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]를 그린 것이다.

1 위의 그림 ①, ②, ③에서 세 정사각형 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]의 넓이를 각각 구하여 다음 표의 빈칸을 알맞게 채우시오.

	[eqn: rm P]의 넓이	[eqn: rmQ]의 넓이	[eqn: rmR]의 넓이
①	[eqn: 4]	[eqn: 1]	[eqn: 5]
②
③

2 1의 표에서 세 정사각형 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]의 넓이 사이에는 어떤 관계가 있는지 말하시오.

이제 다음 그림을 이용하여 ∠[eqn: RMC][eqn: =][eqn: 90DEG]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: {rmbarBC}=a],

[eqn: {rmbarCA}=b, ```{rmbarAB}=c]라고 할 때,

이 성립하는지 설명해보자.

피타고라스 정리

직각삼각형 [eqn: rm ABC]에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각

[eqn: a, ```b]라 하고, 빗변의 길이를 [eqn: c]라고 하면

[바로확인1] 다음 직각삼각형에서 [eqn: x ^{2}]의 값을 구하고 자신의 답을 설명하세요.

(1)	(2)	(3)

[바로확인2] 다음 그림은 직각삼각형 [eqn: rmABC]의 각 변을 한 변으로 하는 세 정사각형을 그려 그 넓이를 나타낸 것이다. [eqn: x]의 값을 구하시오.

[발전1] 그림과 같이 모선의 길이가 [eqn: 25rmcm], 높이가 [eqn: 24rmcm]인 원뿔 모양의 물체의 부피를 구하고 자신의 답을 설명하시오.	[발전2] 다음 그림은 직각삼각형 [eqn: rm ABC]의 세 변을 각각 지름으로 하는 반원을 그린 것이다. [eqn: {rmbarAB}=8][eqn: ``RM cm], [eqn: {rmbarAC}=6][eqn: ``RM cm]일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하고 자신의 답을 설명하세요.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	IV. 도형의 성질 1. 삼각형의 성질 (3) 피타고라스의 정리
학습목표

★

모눈종이와 자를 이용하여 ①~⑩의 빈칸을 채우고, 피타고라스 정리를 이용하여 ⑪~⑳의 빈칸을 채워 보자.
(단, [eqn: a]의 값은 원점 [eqn: rm O]에서 점 [eqn: (a,~0)]까지의 길이, [eqn: b]의 값은 원점 [eqn: rm O]에서 점 [eqn: (0,~b)]까지의 길이이다.)

번호	[eqn: a] (가로의 길이)	[eqn: b] (세로의 길이)	[eqn: c] (빗변의 길이)
①	[eqn: 3]	[eqn: 4]
②	[eqn: 6]		[eqn: 10]
③		[eqn: 12]	[eqn: 15]
④	[eqn: 12]	[eqn: 16]
⑤	[eqn: 15]		[eqn: 25]
⑥		[eqn: 24]	[eqn: 30]
⑦	[eqn: 5]	[eqn: 12]
⑧	[eqn: 10]		[eqn: 26]
⑨		[eqn: 15]	[eqn: 17]
⑩	[eqn: 7]	[eqn: 24]

번호	[eqn: a] (가로의 길이)	[eqn: b] (세로의 길이)	[eqn: c] (빗변의 길이)
⑪	[eqn: 21]	[eqn: 28]
⑫	[eqn: 24]		[eqn: 40]
⑬		[eqn: 36]	[eqn: 45]
⑭	[eqn: 30]		[eqn: 50]
⑮	[eqn: 9]		[eqn: 41]
⑯		[eqn: 21]	[eqn: 29]
⑰	[eqn: 12]	[eqn: 35]
⑱	[eqn: 16]		[eqn: 65]
⑲		[eqn: 60]	[eqn: 61]
⑳	[eqn: 13]		[eqn: 85]

★ 피타고라스의 정리를 퍼즐로

피타고라스 정리가 성립하는 것을 설명하는 방법은 매우 많다고 알려져 있다. 우리가 직접 퍼즐을 만들어 보고, 피타고라스 정리가 성립함을 확인하여 보자.

[탐구1]	다음과 같이 직각삼각형의 각 변을 한 변으로 하는 정사각형으로 퍼즐을 만들어 보자. 나눈 조각으로 퍼즐의 빗변을 한 변으로 하는 정사각형을 빈틈없이 채워 보자.

⑴	⑵

[탐구2]	다음과 같은 새로운 모양의 퍼즐을 만들고, 나눈 조각으로 작은 두 정사각형을 빈틈없이 채워 보자. 이 그림을 이용하여 피타고라스 정리가 성립하는 것을 설명하여 보자.

⑴	⑵

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	IV. 도형의 성질 1. 삼각형의 성질 (3) 피타고라스의 정리
학습목표

삼각형의 세 변의 길이가 주어졌을 때, 이 삼각형이 직각삼각형인지 알아보자.

다음 그림은 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 세 변의 길이 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값에 따라 삼각형을 그리고, [eqn: ANGLE rmC]의 크기를 직각과 비교한 것이다.

피타고라스가 태어난 그리스의 사모스섬에는 직각삼각형 형태의 피타고라스 동상이 있다.

위의 결과로부터 알 수 있는 내용을 설명해 봅시다.

일반적으로 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 세 변의 길이를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라고 할 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} =c ^{2}]이면 이 삼각형은 빗변의 길이가 [eqn: c]인
(           )이다.

[바로확인] (1) 삼각형의 세 변의 길이가 각각 [eqn: 3``rmcm], [eqn: 4``rmcm], [eqn: 6``rmcm]일 때 [eqn: 3 ^{2} +4 ^{2}`][eqn: `6 ^{2}]
따라서 이 삼각형은 .

(2) 삼각형의 세 변의 길이가 각각 [eqn: 5``rmcm], [eqn: 12``rmcm], [eqn: 13``rmcm]일 때 [eqn: 5 ^{2} +12 ^{2}`][eqn: `13 ^{2}]
따라서 이 삼각형은 .

(3) 삼각형의 세 변의 길이가 각각 [eqn: 10`` rm cm], [eqn: 12`` rm cm], [eqn: 15`` rm cm]일 때	[eqn: 10 ^{2} +12 ^{2}`][eqn: `15 ^{2}]
따라서 이 삼각형은 .

[연습1] 세 변의 길이가 각각 [eqn: RM3```cm,` `5```cm], [eqn: x`][eqn: RM cm]인 삼각형이 직각삼각형이 되도록 하는 [eqn: x`]의 값에 대하여 [eqn: x^2]의 값을 구하고자 한다. 다음 각 경우에서 [eqn: x^2]의 값을 구하시오.

⑴ 빗변의 길이가 [eqn: RM5```cm]인 경우	⑵ 빗변의 길이가 [eqn: x] [eqn: RMcm]인 경우

[연습2] 오른쪽 그림과 같이 합동인 두 직각삼각형 [eqn: rm ABC]와 [eqn: rmDEB]를 그리고 선분 [eqn: RMCE]를 이어 사다리꼴 [eqn: rm ADEC]를 만들었을 때, 다음 물음에 답하시오.

⑴ 사다리꼴 [eqn: rmADEC]와 두 직각삼각형 [eqn: rm ABC]와 [eqn: rmDEB]의 넓이를 이용하여 삼각형 [eqn: rmBEC]의 넓이를 구하시오.

⑵ ⑴의 결과를 이용하여 직각삼각형 [eqn: rm ABC]에서 피타고라스 정리가 성립하는지 확인하시오.

[연습3] 다음 그림에서 ∠[eqn: rm ABC][eqn: =]∠[eqn: RMBDC][eqn: =][eqn: 90DEG], ∠[eqn: RMDBC][eqn: =][eqn: RM 45DEG], [eqn: {rmbarAB}=6 ```rm cm], [eqn: rm {bar{AC}} it =10```rm cm]일 때, [eqn: x^2]의 값을 구하고 자신의 답을 설명하세요.	[발전] 다음 그림과 같이 직각삼각형 [eqn: rm ABC]의 두 변 [eqn: rmAB, ``AC] 위에 각각 점 [eqn: rmD, ``E]를 잡았다. [eqn: {rmbarDE}=][eqn: 5], [eqn: {rmbarBC}=][eqn: 10]일 때, [eqn: {rmbarBE}^2 +{rmbarCD}^2]의 값을 구하고 자신의 답을 설명하세요.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	IV. 도형의 성질 1. 삼각형의 성질 (4) 삼각형의 외심과 내심
학습목표

탐구활동		색종이로 삼각형의 내심 찾기
	① 색종이 위에 예각삼각형 [eqn: rmABC]를 그린다.		② 삼각형 [eqn: rmABC]를 가위로 오려 낸다.	③ 두 변 [eqn: rm AB], [eqn: rm AC]가 겹치도록 접었다가 펼친다.
	④ 두 변 [eqn: rm AB], [eqn: rm BC]가 겹치도록 접었다가 펼친다.		⑤ 접은 두 선이 만나는 점을 [eqn: rm I]라 하면 점 [eqn: rm I]를 내심이라고 한다.	⑥ 두 변 [eqn: rm AC], [eqn: rm BC]가 겹치도록 접었다가 펼치면 이 접은 선은 점 [eqn: rm I]를 지난다.

[함께해보기] 위에서 추측한 내용이 성립함을 함께 설명해보자.

(1) 오른쪽 그림과 같은 [eqn: rm△ABC]에서 ∠[eqn: rmA]와 ∠[eqn: rm B]의 이등분선의 교점을 [eqn: rm I`]라 하고, 점 [eqn: rm I`]에서 세 변 [eqn: rm AB, ``BC, ``CA]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm D,`` E, ``F]라고 하자.

점 [eqn: rm I`]는 ∠[eqn: rmA], ∠[eqn: RMB]의 이등분선 위에 있으므로

이다. 즉, 점 [eqn: rm I`]에서

는 같다.

(2) 한편, 두 직각삼각형 [eqn: rmICE]와 [eqn: rmICF]에서 [eqn: {rmbarIC}]는 공통이고,

이다. 즉, 두 직각삼각형의 (     )의 길이와 (          )의 길이가 각각 같으므로

이다.
따라서

이므로 [eqn: {rmbarIC}]는 [eqn: rm ∠C]의 (      )이다.
즉, [eqn: rm△ABC]의 세 (     )의 이등분선은 한 점에서 만난다.

오른쪽 그림과 같이 직선 [eqn: l]이 원 [eqn: RMO]와 한 점 T에서 만날 때, 직선 [eqn: l]은 원 [eqn: RMO]에 (      )고 한다. 이때 직선 [eqn: l]을 원 [eqn: RMO]의 (    )이라 하고,
점 T를 (    )이라고 한다. 또, 원 [eqn: RMO]의 접선 [eqn: l]은 접점을 지나는 반지름 [eqn: RM OT]에 수직이며, [eqn: {rmbarOT}]는 점 [eqn: RMO]와 직선 [eqn: l] 사이의 거리이다.

오른쪽 그림에서 [eqn: {rmbarAB}]는 원 [eqn: RMO]의 접선이고, 점 [eqn: RMB]는 그 접점이다. [eqn: rm ∠AOB=70°]일 때, [eqn: rm ∠A=][eqn: box {~~~~~} `°]이다.

[eqn: rm△ABC]의 세 내각의 이등분선은 한 점에서 만나고, 그 점에서 삼각형의 세 변에 이르는 거리가 모두 같으므로 삼각형의 세 변에 접하는 원 [eqn: rm I`]를 그릴 수 있다.

오른쪽 그림과 같이 [eqn: rm△ABC]의 세 변이 원 [eqn: rm I`]에 접할 때, 원 [eqn: rm I`]는 [eqn: rm△ABC]에 (     )한다고 하며, 원 [eqn: rm I`]를 [eqn: rm△ABC]의 (     ), 내접원의 중심 [eqn: rm I`]를 [eqn: rm△ABC]의 (     )이라고 한다.

[연습1] 오른쪽 그림에서 점 [eqn: rmI]가 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 내심일 때, 다음을 구하시오.
(1) [eqn: {bar{rmID}}]의 길이	(2) [eqn: ANGLE rmIAB]의 크기

[연습2] 오른쪽 그림에서 점 [eqn: rm I`]가 [eqn: rm△ABC]의 내심이고, 점 [eqn: rm I`]에서 [eqn: {rmbarAB},] [eqn: {rmbarBC}]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: RMD], [eqn: RM E]라고 할 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: {rmbarIE}]의 길이	⑵ ∠[eqn: RM ICE]의 크기

⑶ ∠[eqn: RM IAD]의 크기

[발전] 오른쪽 그림과 같이 정삼각형 모양의 삼각김밥을 만들려고 한다. 먼저 밥을 정삼각형 모양으로 만들고, 그 위에 원 모양으로 소스를 바른 후 김으로 포장한다. 밥 위에 최대한 큰 원 모양의 소스를 바르는 방법을 생각해 보자.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	IV. 도형의 성질 1. 삼각형의 성질 (4) 삼각형의 외심과 내심
학습목표

[함께해보기] 다음 그림에서 점 [eqn: rmI]가 [eqn: rmtriangleABC]의 내심일 때, [eqn: anglex]의 크기를 구하고 자신의 답을 설명하세요.

(1)	(2)

(1) 점 [eqn: rm I]가 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 (     )이므로 [eqn: ANGLE rm A= {BOX{````````````````}} TIMES 2= {BOX{````````````````}}], [eqn: ANGLE rm B=` {BOX{`````````````}} TIMES 2= {BOX{`````````````}}], [eqn: ANGLE rm C= it {BOX{```````}} ANGLE x]
[eqn: TRIANGLE rmABC]에서 세 내각의 크기의 합은 [eqn: 180 DEG]이므로

[eqn: =180DEG], [eqn: ANGLE x= {BOX{`````````````````}}]

(2) 점 [eqn: rm I]가 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 내심이므로
[eqn: ANGLE rm IBA= {BOX{```````````````````````}} = it ANGLE a], [eqn: ANGLE rm ICA= {BOX{``````````````````````}} = it ANGLE b]라고 하면
[eqn: ANGLE a= {BOX{```````````}} ` ANGLE rm B], [eqn: ANGLE b= {BOX{``````````}} ANGLE rm C]
[eqn: TRIANGLE rmIBC]에서 세 내각의 크기의 합은 [eqn: 180 DEG]이므로  [eqn: anglex]의 크기를 구하면

[연습] 다음 그림에서 점 [eqn: rmI]가 [eqn: rmtriangleABC]의 내심일 때, [eqn: anglex]의 크기를 구하고 자신의 답을 설명하세요.

[추론] 오른쪽 그림에서 점 [eqn: rm I`]가 [eqn: rm△ABC]의 내심일 때, 다음 <보기> 중에서 옳은 것을 모두 고르고 자신의 답을 설명하세요.

ㄱ. [eqn: {rmbarAD}={rmbarAF}]	ㄴ. [eqn: {rmbarAD}={rmbarBD}]

ㄷ. [eqn: {rmbarIA}={rmbarIB}={rmbarIC}]	ㄹ. [eqn: {rmbarID}={rmbarIE}={rmbarIF}]

ㅁ. [eqn: rm ∠IAD=∠IBD]	ㅂ. [eqn: rm ∠IBD=∠IBE]

[발전] 다음 그림과 같이 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 내심 [eqn: rmI]를 지나고 [eqn: {bar{rmBC}}]에 평행한 직선이 [eqn: {bar{rmAB}}], [eqn: {bar{rmAC}}]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rmE]라고 할 때, [eqn: TRIANGLE rmADE]의 둘레의 길이를 구하고 자신의 답을 설명하세요.

		문제 해결 태도 및 실천
	지영이는 오른쪽 그림과 같은 지도에서 학교, 은행, 병원으로부터 같은 거리에 있는 지점을 찾으려고 한다. 1 지영이가 찾으려는 위치를 오른쪽 지도 위에 표시해 보자. 2 우리 지역의 지도에서 세 지점을 정하고, 그 지점으로부터 같은 거리에 있는 위치를 찾아보자.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	IV. 도형의 성질 1. 삼각형의 성질 (4) 삼각형의 외심과 내심
학습목표

탐구활동		색종이로 삼각형의 외심 찾기
	① 색종이 위에 예각삼각형 [eqn: rm ABC]를 그린다.		② 삼각형 [eqn: rm ABC]를 가위로 오려 낸다.	③ 두 꼭짓점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]가 만나도록 접었다가 펼친다.
	④ 두 꼭짓점 [eqn: rm B], [eqn: rm C]가 만나도록 접었다가 펼친다.		⑤ 접은 두 선이 만나는 점을 [eqn: rm O]라 하면 점 [eqn: rm O]를 외심이라고 한다.	⑥ 두 꼭짓점 [eqn: rm A], [eqn: rm C]가 만나도록 접었다가 펼치면 이 접은 선은 점 [eqn: rm O]를 지난다.

[함께해보기] 위에서 추측한 내용이 성립함을 함께 설명해보자.

(1) 오른쪽 그림과 같은 [eqn: rm△ABC]에서 [eqn: {rmbarAB}]와 [eqn: {rmbarAC}]의 수직이등분선의 교점을 [eqn: RMO]라고
하자. 점 [eqn: RMO]는 [eqn: {rmbarAB}, ```{rmbarAC}]의 수직이등분선 위에 있으므로

이다. 즉, 점 [eqn: RMO]에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 (     ).

(2) 한편, 점 [eqn: RMO]에서 [eqn: {rmbarBC}]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMD]라고 하자.
두 직각삼각형 [eqn: RM BOD]와 [eqn: RM COD]에서 [eqn: {rmbarOD}]는 공통이고,

이다.

즉, 두 직각삼각형의 (    )의 길이와 (        )의 길이가 각각 같으므로

이다. 따라서

이므로 [eqn: {rmbarOD}]는 [eqn: {rmbarBC}]의
(             )이다. 즉, [eqn: rm△ABC]의 세 변의 (             )은 한 점에서 만난다.

[eqn: rm△ABC]의 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만나고, 그 점에서 삼각형의 세 꼭짓점에 이르는 거리가 모두 같으므로 삼각형의 세 꼭짓점을 지나는 원 [eqn: RMO]를 그릴 수 있다.

오른쪽 그림과 같이 [eqn: rm△ABC]의 세 꼭짓점이 원 [eqn: RMO] 위에 있을 때,

원 [eqn: RMO]는 [eqn: rm△ABC]에 (     )한다고 하며, 원 [eqn: RMO]를 [eqn: rm△ABC]의 (       ), 외접원의

중심 [eqn: RMO]를 [eqn: rm△ABC]의 (     )이라고 한다.

		삼각형의 외심
	1. 삼각형의 세 변의 ( )은 한 점(외심)에서 만난다. 2. 삼각형의 외심에서 ( )는 같다.

[연습] 오른쪽 그림에서 점 [eqn: rm O]가 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 외심일 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: {bar{rm OA it}}]의 길이	(2) [eqn: ANGLE rm OAB]의 크기

[추론] 오른쪽 그림에서 점 [eqn: RMO]가 △[eqn: RM ABC]의 외심일 때, 다음 <보기> 중에서 옳은 것을 모두 고르고 자신의 답을 설명하세요.

ㄱ. [eqn: {rmbarAD}={rmbarAF}]	ㄴ. [eqn: {rmbarAD}={rmbarBD}]

ㄷ. [eqn: {rmbarOA}={rmbarOC}]	ㄹ. [eqn: {rmbarOE}={rmbarOF}]

ㅁ. [eqn: rm ∠OAD=∠OBD]

ㅂ. [eqn: rm ∠OBD=∠OBE]

[발전] 준서는 다음과 같은 글이 쓰인 종이를 발견했다.

나는 이 무인도의 한 지점에 보물을 묻었다. 보물을 묻은 곳에서 한 방향을 정해 똑바로 [eqn: 50]걸음을 간 후 그곳에 나무를 심었다. 그리고 다시 보물을 묻은 장소로 돌아와 방향을 바꾸면서 같은 방법으로 두 번 더 나무를 심었다. 이제 이 섬을

떠나면 다시는 돌아오지 못할 것이지만 내 후손을 위하여 이 글을 남긴다.

무인도 지도에 세 그루의 나무가 표시되어 있을 때, 보물이 묻힌 곳의 위치를 어떻게 찾을 수 있을지 토의하시오.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	IV. 도형의 성질 1. 삼각형의 성질 (4) 삼각형의 외심과 내심
학습목표

[함께해보기] 다음 그림에서 점 [eqn: rmO]가 [eqn: rmtriangleABC]의 외심일 때, [eqn: anglex]의 크기를 구하고 자신의 답을
설명하세요.

(1)	(2)

(1) [eqn: TRIANGLE rmOAB], [eqn: TRIANGLE rmOBC], [eqn: TRIANGLE rmOCA]는 이등변삼각형이므로
[eqn: ANGLE rm OAB= {BOX{````````````````````````}}], [eqn: ANGLE rm OBC= {BOX{``````````````````````}}], [eqn: ANGLE rm OCA= {BOX{`````````````````````````````}}]
[eqn: TRIANGLE rm`ABC]에서 세 내각의 크기의 합은 (         )이므로

=(        )

따라서 [eqn: ANGLE x= {BOX{`````````````````````````}}]

(2) 그림에서 [eqn: {bar{rmAO}}]의 연장선과 [eqn: {bar{rmBC}}]의 교점을 [eqn: rmD]라고 하자.
[eqn: TRIANGLE rmOAB], [eqn: TRIANGLE rmOCA]는 (              )이므로
[eqn: ANGLE rm OAB= {BOX{```````````````````````````}} = ANGLE it a], [eqn: ANGLE rm OAC= {BOX{```````````````````````````}} rm = ANGLE it b]라고 하면
[eqn: TRIANGLE rmOAB]에서 [eqn: ANGLE rm BOD= {BOX{`````````}} ANGLE it a], [eqn: TRIANGLE rmOCA]에서 [eqn: ANGLE rm COD= {BOX{````````}} ANGLE it b]. 따라서 [eqn: ANGLE x= {BOX{`````````````````````}}].

[연습1] 다음 그림에서 점 [eqn: rmO]가 [eqn: rmtriangleABC]의 외심일 때, [eqn: anglex]의 크기를 구하고 자신의 답을 설명하세요.

[연습2] 오른쪽 그림과 같이 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 외심 [eqn: rmO]에서 [eqn: {bar{rmAC}}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD]라고 하자. [eqn: TRIANGLE rmAOC]의 둘레의 길이가 [eqn: 32``rmcm]일 때, 외접원의 반지름의 길이를 구하고 자신의 답을 설명하세요.

외심은 삼각형의 모양에 따라 그 위치가 달라진다. 다음 그림은 공학적 도구를 이용하여 예각삼각형, 직각삼각형, 둔각삼각형의 외심을 각각 그린 것이다.

그림을 보고 예각삼각형, 둔각삼각형, 직각삼각형의 외심이 각각 어디에 위치하는지 정리해보자.

(1) 예각삼각형의 외심	(2) 둔각삼각형의 외심	(3) 직각삼각형의 외심

[연습3] 다음 그림에서 점 [eqn: rm O]가 직각삼각형 [eqn: rmABC]의 외심일 때, [eqn: x]의 값을 구하시오.

(1)	(2)

다음은 삼각형의 외심과 내심에 대한 두 학생의 설명이다. 두 학생의 설명을 완성하여 보자.

이등변삼각형은 외심과
내심이 모두 꼭지각의 이등분선
위에 있어. 왜냐하면….

정삼각형은 외심과
내심이 일치해.
왜냐하면….

[발전] 오른쪽 그림에서 두 점 [eqn: RMO]와 [eqn: rm I`]는 각각 △[eqn: RM ABC]의 외심과 내심이다.

[eqn: RM ANGLE BIC][eqn: =][eqn: 110°]일 때, ∠[eqn: RM BOC]의 크기를 구하고 자신의 답을 설명하세요.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	IV. 도형의 성질 2. 사각형의 성질 (1) 평행사변형의 성질
학습목표

삼각형 [eqn: RM ABC]를 기호 [eqn: rm△ABC]로 나타내듯이 사각형 [eqn: RM ABCD]는 기호 □[eqn: rmABCD]로 나타낸다. 또한, 사각형에서 서로 마주 보는 변을 대변, 서로 마주 보는 각을 대각이라고 한다.

오른쪽 □[eqn: RMABCD]에서 ∠[eqn: RMA]의 대각은 [eqn: box {~~~~~} `]이고, [eqn: {rmbarAB}]의 대변은 [eqn: box {~~~~~} `]이다.

(           )은 두 쌍의 대변이 각각 서로 평행한 사각형이다.

추측1: 평행사변형의 __________의 길이와 ___________의 크기는 각각 같다.

[함께해보기1] 위의 추측1에 대해 설명해보자.

오른쪽 그림과 같이 평행사변형 [eqn: RMABCD]에서 대각선 [eqn: RMAC]를 그어 보자.

[eqn: rm△ABC]와 △[eqn: RMCDA]에서 [eqn: {rmbarAC}]는 공통 [eqn: cdots cdots]①이고, [eqn: {rmbarAB}]//[eqn: {rmbarDC}]이므로

∠[eqn: RM BAC][eqn: =][eqn: box {~~~~~} `](엇각)	[eqn: cdots cdots]②이다. 또, [eqn: {rmbarAD}]//[eqn: {rmbarBC}]이므로

∠[eqn: RMBCA][eqn: =][eqn: box {~~~~~} `](엇각)	[eqn: cdots cdots]③  이다. ①, ②, ③에서 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같으므로 [eqn: box {~~~~~} `][eqn: rm ≡△CDA]이다.
따라서 [eqn: rm {bar{AB}} = {BOX{```````````````}} ,``` rm {bar{BC}} = {BOX{```````````````}} ,``` ANGLE B= {BOX{```````````````}}]이다.
또, ②, ③에서  [eqn: rm ∠A][eqn: rm = ANGLE BAC+` {BOX{`````````````````````}} `][eqn: rm = ANGLE DCA+ {BOX{`````````````````````}} = {BOX{`````````````````}}]이다.
즉, 평행사변형 [eqn: RMABCD]에서 [eqn: rm {bar{AB}} it = {BOX{`````````````}} it ,``` rm {bar{BC}} it = {BOX{`````````````}}]이고 ∠[eqn: RMB][eqn: =][eqn: box {~~~~~} `], ∠[eqn: rmA][eqn: =][eqn: box {~~~~~} `]임을 알 수 있다.

추측2: 평행사변형의 두 대각선이 서로 다른 것을 _________한다.

[함께해보기2] 위의 추측2에 대해 설명해보자.

[연습1] 다음 평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: x], [eqn: y]의 값을 각각 구하시오.

(1)	(2)

2. 사각형의 성질

[연습2] 다음 평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 두 대각선의 교점을 [eqn: rmO]라고 할 때, [eqn: x], [eqn: y]의 값을 각각 구하시오.

(1)	(2)

[연습3] 평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: ANGLE rm B: ANGLE rm C=5`:`4]일 때, [eqn: ANGLE rmA]와 [eqn: ANGLE rm D]의 크기를 각각 구하시오.	[발전] 다음 평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: ANGLE rm B]의 이등분선이 변 [eqn: rmCD]의 연장선과 만나는 점을 [eqn: rmE]라고 할 때, [eqn: {bar{rmDE}}]의 길이를 구하시오.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	IV. 도형의 성질 2. 사각형의 성질 (1) 평행사변형의 성질
학습목표

조건1: 두 쌍의 (      )의 길이가 각각 같은 사각형이 평행사변형이다.

[함께해보기1] 위의 조건1에 대해 설명해보자.

오른쪽 그림과 같이 [eqn: {rmbarAB}={rmbarCD}], [eqn: {rmbarBC}][eqn: ={rmbarDA}]인 [eqn: rm □ABCD]에서 대각선

[eqn: rm AC]를 그어 보자. [eqn: rm△ABC]와 [eqn: rm △CDA]에서

[eqn: rm {bar{AB}} it =` {BOX{it ````````````````}} `]	[eqn: cdots cdots]①

[eqn: rm {bar{BC}} it = rm {BOX{```````````````}}]	[eqn: cdots cdots]②

[eqn: {rmbarAC}]는 공통	[eqn: cdots cdots]③

이다. ①, ②, ③에서 대응하는 세 변의 길이가 각각 같으므로 [eqn: rm△ABC][eqn: rm == {BOX{```````````````````````}}]이다.

따라서 [eqn: rm ANGLE BCA= {BOX{``````````````````````````}} ,``` ANGLE BAC= {BOX{``````````````````````````}}]이다.

즉, (     )의 크기가 각각 같으므로 [eqn: {rmbarAD}]//[eqn: rm {BOX{``````````````}} it ,``` rm {bar{AB}} it]//[eqn: {BOX{```````````````}}]이다.

따라서 [eqn: rm □ABCD]는 두 쌍의 대변이 각각 서로 평행하므로 평행사변형이다.

조건2: 두 쌍의 (     )의 크기가 각각 같은 사각형이 평행사변형이다.

[함께해보기2] 위의 조건2에 대해 설명해보자.

[추론1] 오른쪽 그림과 같이 [eqn: rm □ABCD]의 두 대각선이 점 [eqn: RMO]에서 만나고 [eqn: {rmbarOA}={rmbarOC},``` {rmbarOB}={rmbarOD}]일 때, 다음 순서에 따라 [eqn: rm □ABCD]가 평행사변형임을 설명하시오.

⑴ △[eqn: rmOAB]≡△[eqn: rmOCD], △[eqn: rmOAD]≡△[eqn: rmOCB]임을 설명하시오.

⑵ □[eqn: RMABCD]가 평행사변형임을 설명하시오.

[추론2] 오른쪽 그림과 같이 [eqn: rm □ABCD]에서 [eqn: {rmbarAD}]//[eqn: {rmbarBC}, ```{rmbarAD}={rmbarBC}]일 때, [eqn: rm □ABCD]가 평행사변형임을 설명하시오.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	IV. 도형의 성질 2. 사각형의 성질 (1) 평행사변형의 성질
학습목표

		평행사변형이 되는 조건
	다음 조건 중 어느 하나를 만족시키는 사각형은 평행사변형이다. 1. 두 쌍의 대변이 각각 서로 ( )하다. 2. 두 쌍의 ( )가 각각 같다. 3. 두 쌍의 ( )가 각각 같다. 4. 두 대각선이 서로 다른 것을 ( )한다. 5. 한 쌍의 대변이 서로 ( )하고, 그 길이가 ( ).

	오른쪽 [eqn: rm □ABCD]에서 [eqn: ANGLE rmD=][eqn: DEG]이므로 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. 따라서 [eqn: rm □ABCD]는 (평행사변형이다./평행사변형이 아니다.)

[연습1] 다음 중에서 [eqn: □rmABCD]가 평행사변형인 것을 모두 찾고,
평행사변형인 것은 그 이유를 말하시오.
(단, 점 [eqn: rmO]는 두 대각선의 교점이다.)

(1) [eqn: ANGLE rm A=120 DEG], [eqn: ANGLE rm B=60 DEG], [eqn: ANGLE rm C=60 DEG], [eqn: ANGLE rm D=120 DEG]

(2) [eqn: {bar{rmAB}} =6``rmcm], [eqn: {bar{rm BC it}} =4`` rm cm], [eqn: {bar{rm DC it}} =6`` rm cm], [eqn: {bar{rmAD}} =4`` rm cm]

(3) [eqn: {bar{rm AB it}} =5`` rm cm], [eqn: {bar{rm BC it}} =7`` rm cm], [eqn: {bar{rm AD it}} =5`` rm cm], [eqn: {bar{rm AD it}} □ {bar{rm BC it}}]

(4) [eqn: {bar{rmAO}} =3``rmcm], [eqn: {bar{rm BO it}} =5`` rm cm], [eqn: {bar{rm CO it}} =3`` rm cm], [eqn: {bar{rm DO it}} =5`` rm cm]

[연습2] 다음 중에서 [eqn: □rmABCD]가 평행사변형인 것을 모두 찾고, 평행사변형인 것은 그 이유를 말하시오. (단, 점 [eqn: rmO]는 두 대각선의 교점이다.)

(1)	(2)	(3)

[추론] 다음 평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: {bar{rmAB}}], [eqn: {bar{rmBC}}], [eqn: {bar{rmCD}}], [eqn: {bar{rmDA}}]의 중점을 각각
[eqn: rmE], [eqn: rmF], [eqn: rmG], [eqn: rmH]라고 하자.

(1) [eqn: TRIANGLE rmAEH == TRIANGLE rmCGF], [eqn: TRIANGLE rm EBF == TRIANGLE rm GDH]임을 설명하시오.

(2) [eqn: □ rm EFGH]는 평행사변형임을 설명하시오.

[발전1] 다음 평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: ANGLE rmA]의 이등분선과 [eqn: ANGLE rm D]의 이등분선이 [eqn: {bar{rmBC}}]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmE], [eqn: rmF]라 하고, 두 각의 이등분선의 교점을 [eqn: rmG]라고 하자. 이때 [eqn: {bar{rmFE}}]의 길이를 구하고 자신의 답을 설명하세요.

[발전2] 다음 평행사변형 [eqn: RMABCD]에서 ∠[eqn: RMB]와 ∠[eqn: RMD]의 이등분선이 [eqn: {rmbarAD}, ```{rmbarBC}]와 만나는 점을 각각
[eqn: RM E], [eqn: RM F]라고 할 때, [eqn: rm □EBFD]가 평행사변형임을 설명하시오.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	IV. 도형의 성질 2. 사각형의 성질 (2) 여러 가지 사각형
학습목표

[함께해보기] 아래의 추측에 대해 빈 칸에 알맞은 말을 쓰고 설명해 보자.

추측: 직사각형의 두 (       )은 길이가 서로 같다.

		직사각형의 성질
	직사각형의 두 ( )은 길이가 서로 같고, 서로 다른 것을 ( )한다.

	오른쪽 직사각형 [eqn: rm ABCD]에서 두 대각선의 교점을 [eqn: rmO]라고 할 때 (1) 두 대각선의 길이는 같으므로 [eqn: {bar{rm AC it}} = {bar{rmDB}} =][eqn: rm ``cm] (2) 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 [eqn: {bar{rm BO it}} = {bar{rm DO it}} =][eqn: rm ``cm]

[연습] 오른쪽 그림은 직사각형 모양의 통영 연이다. 직사각형 [eqn: rmABCD]에서
두 대각선의 교점을 [eqn: rmO]라고 할 때, [eqn: {bar{rmAB}} =80``rmcm], [eqn: {bar{rm BC it}} =60`` rm cm],

[eqn: {bar{rm AC it}} =100`` rm cm]이다. 이때 다음 선분의 길이를 구하고, 자신의 답을
설명하세요.

(1) [eqn: {bar{rmAD}}]	(2) [eqn: {bar{rm DB it}}]

(3) [eqn: {bar{rm BO it}}]

[추론] 오른쪽 평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 두 대각선의 길이가 같을 때, 다음
물음에 답하시오.

(1) [eqn: TRIANGLE rmABC]와 [eqn: TRIANGLE rm BAD]가 합동임을 설명하시오.

(2) [eqn: □rmABCD]가 직사각형임을 설명하시오.

[발전] 오른쪽 평행사변형 [eqn: rm ABCD]에서 네 내각의 이등분선의 교점을
각각 [eqn: rm E], [eqn: rm F], [eqn: rm G], [eqn: rm H]라고 하자.

⑴ [eqn: rm angle DAB + angle ABC]의 값을 구하시오.

⑵ [eqn: rm □EFGH]가 직사각형임을 설명하시오.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	IV. 도형의 성질 2. 사각형의 성질 (2) 여러 가지 사각형
학습목표

[함께해보기] 아래의 추측에 대해 빈 칸에 알맞은 말을 쓰고 설명해 보자.

추측: 마름모의 두 대각선이 서로 다른 것을 (          )한다.

[연습1] 다음 마름모 [eqn: rmABCD]에서 두 대각선의 교점을 [eqn: rmO]라고 할 때, [eqn: x], [eqn: y]의 값을 각각 구하시오.

(1)	(2)

[연습2] 다음 마름모 [eqn: rmABCD]의 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 [eqn: {bar{rmCD}}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmE]라 하고, [eqn: {bar{rmAE}}]와 [eqn: {bar{rmBD}}]의 교점을 [eqn: rmF]라고 할 때, [eqn: ANGLE rmAFB]의 크기를 구하고, 자신의 답을 설명하세요.

[추론] 오른쪽 그림과 같이 평행사변형 [eqn: RM ABCD]의 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분할 때, 다음 순서에 따라 [eqn: RM □ABCD]가 마름모임을 설명하시오. (단, 점 [eqn: RM O]는 두 대각선의 교점이다.)

⑴ [eqn: RM △ABO≡△CBO]임을 설명하시오.

⑵ [eqn: RM □ABCD]가 마름모임을 설명하시오.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	IV. 도형의 성질 2. 사각형의 성질 (2) 여러 가지 사각형
학습목표

정사각형은 네 변의 길이가 같고, 네 내각의 크기가 같은 사각형이다.
따라서 정사각형은 네 내각의 크기가 같으므로 (        )이다.

즉, 두 (       )의 길이는 같다.

또한, 정사각형은 네 변의 길이가 같으므로 (        )이다.

즉, 두 대각선은 서로 다른 것을 (           )한다.

[연습] 오른쪽 그림은 야구장의 내야를 정사각형 [eqn: rmABCD]로 나타낸 것이다. [eqn: rm □ABCD]의 두 대각선의 교점이 [eqn: rmO]이고, [eqn: {bar{rmAO}} =19.4``rmm]일 때,
다음을 구하시오.

(1) [eqn: {bar{rmBD}}]의 길이	(2) [eqn: ANGLE rmOAB]의 크기

[추론1] 두 대각선의 길이가 서로 같고, 서로 다른 것을 수직이등분하는
[eqn: RM □ABCD]가 (          )이다. (    )안에 알맞은 말을 쓰고 자신의 답을 설명해보세요.

사다리꼴은 한 쌍의 대변이 서로 평행한 사각형이다. 특히, 오른쪽 그림과 같이 아랫변의 양 끝 각의 크기가 같은 사다리꼴을 (            )이라고 한다.

[추론2] 오른쪽 그림과 같이 [eqn: {rmbarAD}]//[eqn: {rmbarBC}]인 등변사다리꼴 [eqn: rm ABCD]에서 두 대각선의 길이가 서로 같음을 다음 순서에 따라 설명하시오.

⑴ [eqn: rm△ABC][eqn: rm ≡△DCB]임을 설명하시오.	⑵ [eqn: {rmbarAC}={rmbarDB}]임을 설명하시오.

[발전] 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 14``rmcm]인 정사각형 [eqn: rmABCD]의 두 대각선의 교점을 [eqn: rmO]라고 하자. 정사각형 [eqn: rmOEFG]와 정사각형 [eqn: rmABCD]가 합동일 때, 두 정사각형이 겹쳐진 부분인 사각형 [eqn: rmOPCQ]의 넓이를 구하고 자신의 답을 설명하세요.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	IV. 도형의 성질 2. 사각형의 성질 (2) 여러 가지 사각형
학습목표

[탐구활동1]

[연습1] 다음 조건을 만족시키는 평행사변형 [eqn: rmABCD]는 어떤 사각형인지 말하고, 그 이유를 설명하세요.

(1) [eqn: {bar{rm AB it}} = {bar{rmBC}}]  (            ), 그 이유: _______________________________

(2) [eqn: {bar{rmAC}} = {bar{rmBD}}]  (            ), 그 이유: _______________________________

(3) [eqn: {bar{rmAC}} BOT {bar{rmBD}}]  (            ), 그 이유: _______________________________

(4) [eqn: ANGLE rmA=90 DEG](            ), 그 이유: _______________________________

(5) [eqn: {bar{rmAC}} = {bar{rmBD}}], [eqn: {bar{rm AC it}} BOT {bar{rm BD it}}] (            ), 그 이유: _______________________________

[연습2] 다음 표에서 주어진 성질이 옳으면 ○, 옳지 않으면 ×를 빈칸에 쓰시오.

성질	사다리꼴	평행사변형	직사각형	마름모	정사각형
(1) 두 쌍의 대변이 각각 평행하다.
(2) 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
(3) 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
(4) 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.
(5) 두 대각선의 길이가 같다.
(6) 두 대각선이 서로 수직이다.

[탐구활동2]

개 념 열 기		다음 그림은 한 칸의 가로와 세로의 길이가 각각 [eqn: 1]인 모눈종이 위에 두 평행선 [eqn: l], [eqn: m]을 그린 후 세 삼각형 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]를 각각 그린 것이다. 이때 세 삼각형 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]의 넓이를 비교하시오.

오른쪽 그림과 같이 평행한 두 직선 [eqn: l]과 [eqn: rm m] 사이에 [eqn: rm△ABC]와 [eqn: rm △DBC]가 놓여 있을 때, [eqn: rm△ABC]와 [eqn: rm △DBC]는 (         )와 (      )가 같으므로,
두 삼각형의 넓이는 (      ).

[연습2] 오른쪽 그림에서 [eqn: l□m]이고, [eqn: TRIANGLE rm ABC]의 넓이가 [eqn: 24`` rm cm ^{2}]일 때, [eqn: TRIANGLE rmDBC]의 넓이를 구하시오.

[추론] 오른쪽 그림과 같이 [eqn: {bar{rm AD it}} □ {bar{rm BC it}}]인 사다리꼴 [eqn: rmABCD]에서 두 대각선의 교점을 [eqn: rmO]라고 할 때, [eqn: TRIANGLE rm ABC]와 [eqn: TRIANGLE rmDBC]의 넓이를 비교하고, [eqn: TRIANGLE rm AOB= TRIANGLE rm DOC]인 이유를 설명하시오.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	IV. 도형의 성질 2. 사각형의 성질 (2) 여러 가지 사각형
학습목표

오른쪽 그림과 같은 [eqn: rm □ABCD]에서 점 [eqn: rmD]를
지나고 [eqn: {bar{rmAC}}]에 평행한 직선을 그어 [eqn: {bar{rmBC}}]의
연장선과 만나는 점을 [eqn: rmE]라고 하자.
이때 [eqn: rm □ABCD= TRIANGLE rmABE]임을 설명하시오.

[eqn: {bar{rm AC it}} □ {bar{rm DE it}}]이므로 [eqn: TRIANGLE rmACD]와 [eqn: TRIANGLE rmACE]는 밑변 [eqn: rmAC]가 공통이고, 높이가 같다.

즉, [eqn: TRIANGLE rm ACD= {BOX{``````````````````````````````}}]이다.

따라서  [eqn: rm □ABCD= TRIANGLE rmABC+ TRIANGLE rmACD][eqn: = TRIANGLE rm ABC+ {BOX{````````````````````````````````}}][eqn: = {BOX{```````````````````````````````}}]

[연습1] 오른쪽 그림에서 [eqn: {bar{rm AC it}} □ {bar{rm DE it}}]일 때, [eqn: □rmABCD]의 넓이를 구하시오.	[연습2] 다음 그림에서 [eqn: l□m], [eqn: {bar{rm AE it}} □ {bar{rm DC it}}]일 때, [eqn: □ rm ABED]의 넓이를 구하시오.

[연습3] 다음 그림과 같이 [eqn: {rmbarAD}]//[eqn: {rmbarBC}]인 사다리꼴 [eqn: rm ABCD]에서 두 대각선의 교점을 [eqn: rm O]라고 하자.
[eqn: rm△ABC][eqn: rm =20cm^2], [eqn: rm △OBC=12 ```cm^2]일 때, [eqn: rm △DOC]의 넓이를 구하시오.

				문제 해결│의사소통
			다음 그림과 같이 꺾인 경계선으로 나뉜 구역 [eqn: rmA]와 구역 [eqn: rmB]가 있다. 두 구역의 넓이는 그대로 유지한 채 직선 모양으로 새로운 경계선을 정하려고 한다. 이때 점 [eqn: rmP]를 지나는 직선 모양의 경계선을 정하는 방법을 설명하시오.
문제를 해결하고 설명 할 때는 문제의 조건과 정보를 파악하고 풀이 전략을 생각한다. 자신의 생각을 명확하게 전달한다.

[발전] 오른쪽 그림과 같은 오각형 [eqn: RMABCDE]와 넓이가 같은 삼각형을 만들어보고, 그 방법을 설명해 보자.
힌트 대각선에 의해 나누어진 두 삼각형 [eqn: RM ABC]와 [eqn: RM ADE]의 모양을 바꾸어 본다.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	V. 도형의 닮음 1. 도형의 닮음 (1) 닮은 도형
학습목표

휴대 전화 카메라의 줌(zoom) 기능을 이용하면 찍으려는 물체의 이미지를 확대하여 찍을 수 있다. 이 기능은 멀리 있는 물체를 마치 가까이에서 찍은 것처럼 보이게 한다.

카메라의 줌을 조정할 때 화면에 나타나는 [eqn: TIMES 2.0], [eqn: TIMES 3.0] 등의 표시는 물체 이미지의 길이를 각각 [eqn: 2]배, [eqn: 3]배 등으로 확대한 것을 뜻한다.

활동1: 다음 주어진 그림을 휴대 전화 카메라로 [eqn: 2]배 확대하여 찍으면 어떤 모양이 되는지
모눈종이 위에 그려 보자.

활동2: 활동1에서 주어진 그림에서 볼 수 있는 삼각형들의 넓이의 합과 [eqn: 2]배 확대하여 그린
그림에서의 삼각형들의 넓이의 합을 비교해 보자. (단, 모눈종이 한 칸의 가로와 세로의
길이는 각각 [eqn: 1]이다.)

한 도형을 일정한 비율로 확대 또는 축소한 도형이 다른 도형과 합동일 때, 이 두 도형은 서로 (     )인 관계에 있다고 하고, 닮음인 관계에 있는 두 도형을 서로 (          )이라고 한다.

오른쪽 그림에서 [eqn: rm△ABC]를 [eqn: 2]배로 확대한 것은 △[eqn: RM DEF]와 합동이므로  [eqn: rm△ABC]와 △[eqn: RM DEF]는 서로 (          )이다.

1) 서로 대응하는 꼭짓점을 모두 찾아보자.

2) 서로 대응하는 변을 모두 찾아보자.

3) 서로 대응하는 각을 모두 찾아보자.

4) 서로 크기가 같은 각끼리 짝지어 보자.

5) 서로 대응하는 변의 길이를 구해보자.

[eqn: rm△ABC]와 △[eqn: RM DEF]가 서로 닮은 도형일 때, 기호

로 나타낸다.
이때 두 도형의 꼭짓점은 대응하는 순서대로 쓴다.

앞의 활동으로부터 어떤 사실을 알게 되었는지 2가지를 정리해보자.

평면도형에서 닮음의 성질

서로 닮은 두 평면도형에서

1.

의 비는 일정하다.

2.

의 크기는 같다.

서로 닮은 두 평면도형에서 대응하는 변의 길이의 비를 (      )라고 한다. 예를 들어 위 그림에서 [eqn: rm△ABC]와 △[eqn: RM DEF]의 닮음비는 ____________이다. 한편, 닮음비가 [eqn: 1 : 1]인 두 도형은 서로 (    )이다.

[연습1] 오른쪽 그림에서 서로 닮은 도형을 기호 ∽를 써서 나타내고, 대응점, 대응변, 대응각을 각각 말하시오.

[연습2] 오른쪽 그림에서 [eqn: □rmABCD]∽[eqn: □rmEFGH]일 때,
다음을 구하시오.

(1) [eqn: □rmABCD]와 [eqn: □rmEFGH]의 닮음비

(2) [eqn: {bar{rmAD}}]의 길이

(3) [eqn: ANGLE rmG]의 크기

[연습3] 오른쪽 그림에서 [eqn: TRIANGLE rm ABC]∽[eqn: TRIANGLE rm DEF]일 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: TRIANGLE rm ABC]와 [eqn: TRIANGLE rm DEF]의 닮음비

(2) [eqn: {bar{rm AB it}}]의 길이

(3) [eqn: ANGLE rm D]의 크기

				의사소통
			다음 네 학생이 제시한 두 도형 중에서 항상 서로 닮은 도형인 것을 말하고, 아닌 것은 그 이유를 설명하시오. 두 정삼각형 두 평행사변형 두 이등변삼각형 두 정사각형
설명할 때는 자신의 생각을 수학적으로 표현한다. 자신의 의견을 논리적으로 설명한다.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	V. 도형의 닮음 1. 도형의 닮음 (1) 닮은 도형
학습목표

[탐구활동1] 오른쪽 그림에서 직육면체 ㈏는 직육면체 ㈎를
[eqn: 2]배로 확대한 것이므로 서로 닮은 도형이다.

1) 대응하는 모서리를 모두 짝지어보자. 그리고 대응하는 모서리의 길이의 비를 각각 구하시오.

2) 주어진 입체도형의 대응하는 면을 모두 짝지어보자.
그리고 짝지은 것끼리 어떤 관계가 성립하는지 생각해보시오.

앞의 활동으로부터 어떤 사실을 알게 되었는지 2가지를 정리해보자.

입체도형에서 닮음의 성질

서로 닮은 두 입체도형에서

1.

의 비는 일정하다.

2.

은 서로 닮은 도형이다.

서로 닮은 두 입체도형에서 대응하는 모서리의 길이의 비를 (       )라고 한다.

예를 들어 앞의 두 직육면체 ㈎와 ㈏의 닮음비는 ________이다.

[연습1] 아래 두 삼각기둥은 서로 닮은 도형이고, [eqn: {bar{rmAB}}]에 대응하는 모서리가 [eqn: {bar{rmGH}}]일 때, 다음을 구하시오. (1) 주어진 입체도형의 대응하는 면 (2) 두 삼각기둥의 닮음비 (3) [eqn: {bar{rmCF}}], [eqn: {bar{rmKL}}]의 길이	[연습2] 아래 그림에서 두 사면체는 서로 닮은 도형이다. [eqn: rm△ABC]와 [eqn: rm △A'B'C']이 대응하는 면일 때, 다음을 구하시오. ⑴ 두 사면체의 닮음비 ⑵ 모서리 [eqn: rm AD]에 대응하는 모서리 ⑶ [eqn: x, ``y`]의 값

추측: 닮음비가 [eqn: m : `n]이면 넓이의 비는 (   ):(   )이다.

예) 닮음비가 [eqn: m : n]인 두 삼각형 [eqn: rm ABC]와 [eqn: RMDEF]의 넓이의 비를 알아보자.

두 삼각형의 닮음비가 [eqn: m : n]이므로 [eqn: rm△ABC]의 밑변의 길이, 높이를
각각 [eqn: ma, ```mh]라고 하면 [eqn: rm △DEF]의 밑변의 길이, 높이는 각각

_____, _____이다. 따라서[eqn: rm△ABC: TRIANGLE DEF][eqn: =]

[eqn: =]

이다. 즉, 서로 닮은 두 삼각형의 닮음비가 [eqn: m : `n]이면 넓이의 비는
(   ):(   )이다.

[연습3] 다음 그림에서 [eqn: TRIANGLE rmABC]∽[eqn: TRIANGLE rmDEF], [eqn: □rmABCD]∽[eqn: □rmEFGH]일 때, 두 도형의 둘레의 비와 넓이의
비를 각각 구하시오.

(1)	(2)

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	V. 도형의 닮음 1. 도형의 닮음 (1) 닮은 도형
학습목표

추측: 닮음비가 [eqn: m : `n]이면 부피의 비는 (   ):(   )이다.

예) 닮음비가 [eqn: m : n]인 두 직육면체 ㈎와 ㈏의 부피의 비를 알아보자.

두 직육면체의 닮음비가 [eqn: m : n]이므로 직육면체 ㈎의 가로, 세로의 길이, 높이를 각각 [eqn: ma, ```mb, ```mc]라고 하면 직육면체 ㈏의 가로, 세로의 길이, 높이는 각각 _____, _____, _____이다. 따라서

(㈎의 부피) : (㈏의 부피)[eqn: =]

[eqn: =]

이다. 즉, 서로 닮은 두 직육면체의 닮음비가 [eqn: m : n]이면 부피의 비는 [eqn: m^3 : n^3]이다.

[연습4] 다음 두 삼각뿔은 서로 닮은 도형이고, [eqn: `rm TRIANGLE ACD]와 [eqn: ` rm TRIANGLE EGH]가 서로 대응하는 면일 때,
두 삼각뿔의 부피의 비를 구하시오.

[연습5] 오른쪽 두 삼각기둥 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 서로 닮은 도형이고, 닮음비는 [eqn: 3`:`5]이다. 삼각기둥 [eqn: rmA]의 부피가 [eqn: 27``rmcm ^{3}]일 때, 삼각기둥 [eqn: rmB]의 부피를 구하시오.

[연습6] 다음 그림과 같은 원뿔 모양의 그릇에 물을 전체 높이의 [eqn: 3over4]만큼 채웠다고 한다. 이때 [eqn: x, ``y]의 값을 각각 구하시오. 그리고 이 그릇에 물을 가득 채우기 위해 더 부어야 할 물의 부피를 구하시오.

				문제 해결│의사소통
			정사면체 모양의 아이스크림이 오른쪽 그림과 같이 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 두 종류로 판매되고 있다. [eqn: rmA]에는 크기와 모양이 같은 작은 크기의 아이스크림 [eqn: 6]개가 들어 있고, [eqn: rmB]에는 큰 크기의 아이스크림 [eqn: 1]개가 들어 있다. [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]의 가격이 같을 때, 더 많은 양의 아이스크림을 사려면 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB] 중에서 어떤 것을 사야 하는지 토의하시오.
문제를 해결하고 토의 할 때는 문제의 조건과 정보를 파악하고 풀이 전략을 생각한다. 자신의 생각을 명확하게 전달한다.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	V. 도형의 닮음 1. 도형의 닮음 (2) 삼각형의 닮음 조건
학습목표

다음 그림은 닮음비가 [eqn: 1`:`2]인 [eqn: TRIANGLE rmABC]와 [eqn: TRIANGLE rmDEF]이다.

이때 다음에 주어진 각 조건을 만족시키는 [eqn: TRIANGLE rm A'B'C']과 [eqn: TRIANGLE rmABC], [eqn: TRIANGLE rmDEF]의 관계를 살펴보자.

➊ 오른쪽 [eqn: TRIANGLE rm A'B'C']은 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 세 변의 길이를 각각 [eqn: 2]배 확대하여
그린 삼각형이다. 이때 [eqn: TRIANGLE rm A'B'C']은 [eqn: TRIANGLE rmDEF]와 대응하는
______________가 각각 같으므로 [eqn: TRIANGLE rm A prime B prime C prime == TRIANGLE rmDEF](_____ 합동)
따라서

이다.

➋ 오른쪽 [eqn: TRIANGLE rm A'B'C']은 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 두 변의 길이를 각각 [eqn: 2]배 확대하고 그 끼인각의 크기가 같도록 그린 삼각형이다. 이때 [eqn: TRIANGLE rm A'B'C']은 [eqn: TRIANGLE rmDEF]와 대응하는 __________가 각각 같고, 그 _________의 크기가 같으므로 [eqn: TRIANGLE rm A prime B prime C prime == TRIANGLE rmDEF](_____ 합동)
따라서

이다.

➌ 오른쪽 [eqn: TRIANGLE rm A'B'C']은 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 한 변의 길이를 [eqn: 2]배 확대하고 그 양 끝 각의 크기가 각각 같도록 그린 삼각형이다. 이때 [eqn: TRIANGLE rm A'B'C']은 [eqn: TRIANGLE rmDEF]와 대응하는 __________의 길이가 같고, 그 __________의 크기가 같으므로 [eqn: TRIANGLE rm A prime B prime C prime == TRIANGLE rmDEF](_____ 합동)
따라서

이다.

[연습1] 다음 그림에서 (1), (2), (3)의 삼각형과 서로 닮음인 삼각형을 찾아 연결하는 사다리 놀이를 하려고 한다. 각각의 세로선 사이에 가로선을 [eqn: 1]개씩만 그어 사다리를 완성하시오. 그리고 서로 닮은 삼각형을 찾아 기호를 사용하여 나타내고, 각각의 닮음 조건을 말하시오.

[연습2] 나무의 높이를 알아보기 위해 어느 날 같은 시각에 길이가 [eqn: 1.7`` rm m]인 막대의 그림자와 나무의 그림자의 길이를 재었더니 그림과 같이 각각 [eqn: 1.5``rmm], [eqn: 4.5``rmm]이었다. 나무의 높이를 구하고 자신의 답을 설명하세요.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	V. 도형의 닮음 1. 도형의 닮음 (2) 삼각형의 닮음 조건
학습목표

[함께해보기] (1) 오른쪽 그림과 같이 [eqn: {bar{rmAD}}]와 [eqn: {bar{rmBE}}]의 교점을 [eqn: rmC]라고 할 때, [eqn: TRIANGLE rmABC]와 닮은 삼각형을 찾아 기호 ∽를 써서 나타내고, [eqn: {bar{rmDE}}]의 길이를 구하시오.

풀이) [eqn: TRIANGLE rmABC]와 [eqn: TRIANGLE rm DEC]에서

[eqn: ANGLE rm ACB= {BOX{``````````````````````````}} `], [eqn: {bar{rm AC it}} `:` {BOX{``````````````````}} = {bar{rm BC it}} `:` {BOX{``````````````````}} = {BOX{````````}} : {BOX{````````}}]이므로

[eqn: TRIANGLE rmABC]∽[eqn: TRIANGLE rm DEC](닮음조건: _________________________________________________________________)이다.

따라서 [eqn: {bar{rm AC it}} `:` {BOX{````````````````}} = {bar{rm AB it}} `:` {BOX{````````````````}}]이므로  [eqn: {bar{rm DE it}} = {BOX{````````````````````}}]([eqn: rmcm])

(2) 그림과 같은 삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rmangleB=angleCAD]이고 [eqn: rmbarAC`=`6rmcm],
[eqn: rmbarDC`=`4cm]일 때, [eqn: rmbarBD]의 길이를 다음과 같은 과정으로 구해보자.

1) [eqn: rmtriangleABC]와 닮음인 삼각형을 찾고, 닮음 조건을 설명해 보자.

2) 닮은 삼각형의 닮음비를 구하고, 이를 이용하여 [eqn: rmbarBD]의 길이를 구해보자.

[연습1] 다음 그림에서 서로 닮은 두 삼각형을 찾아 기호 ∽를 써서 나타내고, [eqn: x]의 값을 구하시오.

(1)	(2)
(3)	(4)

[연습2] 다음 그림과 같이 직각삼각형 [eqn: rmABC]의 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 [eqn: {bar{rmBC}}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD]라고 할 때, [eqn: TRIANGLE rmABC]의 넓이를 구하시오.	[연습3] 그림의 △[eqn: rmABC]에서 ∠[eqn: rmADE]=∠[eqn: rmACB]이고 [eqn: {rmbarAD}][eqn: =][eqn: rm6```cm], [eqn: {rmbarAE}=][eqn: rm4```cm], [eqn: {rmbarEC}=][eqn: rm8```cm]이다. △[eqn: rm AED]의 넓이가 [eqn: rm 9```cm^2]일 때, △[eqn: rm ABC]의 넓이를 구하시오.

[발전1] 오른쪽 그림과 같이 정삼각형 모양의 색종이를 꼭짓점 [eqn: rmA]가 [eqn: {bar{rmBC}}] 위의 점 [eqn: rmE]에 오도록 접었을 때, [eqn: {bar{rmAF}}]의 길이를 구하시오.	[발전2] 다음 그림과 같은 [eqn: TRIANGLE rmABC]에서 [eqn: ANGLE rmABD= ANGLE rmBCE= ANGLE rmCAF]일 때, [eqn: {bar{rmEF}}]의 길이를 구하시오.

				문제 해결│의사소통
			오른쪽 그림과 같이 [eqn: ANGLE rmC=90 DEG]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]의 꼭짓점 [eqn: rmC]에서 빗변 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD]라고 할 때, 직각삼각형의 닮음을 이용하여 피타고라스 정리를 설명하려고 한다. 다음 물음에 답하시오. 1 다음은 [eqn: TRIANGLE rmABC]∽[eqn: TRIANGLE rmACD]임을 이용하여 [eqn: b ^{2} =cx]임을 설명하는 과정이다. 빈칸에 알맞은 것을 쓰시오. 2 [eqn: TRIANGLE rmABC]∽[eqn: TRIANGLE rm CBD]임을 이용하여 [eqn: a ^{2} =cy]임을 설명하시오. 3 1과 2를 이용하여 [eqn: c ^{2} =a ^{2} +b ^{2}]임을 설명하시오.
문제를 해결하고 설명 할 때는 문제의 조건과 정보를 파악하고 풀이 전략을 생각한다. 자신의 생각을 수학적으로 표현한다. 자신의 의견을 논리적으로 설명한다.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	V. 도형의 닮음 1. 도형의 닮음 (2) 삼각형의 닮음 조건

추론 전체와 부분이 닮은 그림을 그려 볼까?
			활동 목표	서로 닮은 도형의 닮음비를 구할 수 있다.
	1	다음 그림과 같이 정삼각형의 각 변의 중점을 선분으로 연결하여 [eqn: 4]개의 정삼각형으로 나누고, 한가운데 정삼각형을 지운다. 그리고 남은 정삼각형을 각각 같은 방법으로 각 변의 중점을 선분으로 연결하여 [eqn: 4]개의 정삼각형으로 나누고, 한가운데 정삼각형을 지운다. 이와 같은 과정을 계속 반복하여 만든 도형을 폴란드의 수학자 시에르핀스키([eqn: rm Sierpinski,~W.,~1882 SIM 1969])의 이름을 따서 시에르핀스키 삼각형이라고 한다.
		(1) 위의 그림과 같은 과정을 반복할 때, [[eqn: 3]단계]에 나타나는 도형을 그려 보자. (2) 처음 정삼각형과 [[eqn: 3]단계]에서 지워지는 정삼각형의 닮음비를 구해 보자.
	2	다음 그림과 같이 정사각형의 각 변을 [eqn: 3]등분하여 [eqn: 9]개의 정사각형으로 나누고 한가운데 정사각형을 지우는 과정을 계속 반복하여 만든 도형을 시에르핀스키 양탄자라고 한다. 이 그림을 이용하여 위와 같은 문제를 만들고, 풀어 보자.

[탐구활동] [eqn: rmA4] 용지의 비밀

(1) 다음 [그림1]은 크기가 다른 세 직사각형 (가), (나), (다)에 대각선을 그린 것이고, [그림2]는 [그림1]의 세 직사각형을 포개어 놓은 것이다. [그림1]에서 서로 닮은 직사각형을 찾고, 이를 이용하여 [그림2]에서 알 수 있는 사실을 말하여 보자.

(2) 다음 그림과 같이 [eqn: rmA4]용지, [eqn: rmA5]용지, [eqn: rmA6]용지를 한 각이 서로 겹치도록 포개어 놓았다. (1)을 이용하여 세 용지가 서로 닮은 도형이라고 할 수 있는 까닭을 설명하여 보고, [eqn: rmA4]용지와 [eqn: rmA6]용지의 닮음비를 구하여 보자.

중학교 수학② 학생 활동지 ( 월 일) _______중학교 2학년 ( )반 ( )번 이름 :
단원명	V. 도형의 닮음 2. 닮은 도형의 성질 (1) 평행선과 선분의 길이의 비
학습목표

※ 다음 글을 읽고 물음에 답해 보자.

공간의 형태를 눈에 보이는 그대로 표현하려는 서양 미술의 노력은 고대 그리스 시대부터 시작되었다. 이러한 시도가 중세 들어 크게 쇠퇴했다가 르네상스에 이르러 재개되었는데, 그것이 바로 투시 원근법이다. 투시 원근법은 3차원의 공간을 2차원인 평면 위에 옮겨서 실제 우리가 보는 것처럼 보이게 하는 원근법이다.

투시 원근법에는 소실점이 존재하는데, 소실점이란 같은 평면 위에서 두 개, 혹은 그 이상의 평행선이 관찰자에게서 멀어질수록 한 점으로 집중되는 것처럼 보이는 것을 말한다. 예를 들어 기차의 레일은 관찰자에게서 멀어질수록 두 선 사이가 점점 가까워지다가 끝내는 한 점에서 만나는 것처럼 보인다. 이때의 한 점을 소실점이라고 한다. 이때 멀어지는 거리를 일정한 단위로 등분하여 재어 보면 그 간격에 따라 길이나 면적이 일정한 비례로 줄어드는 것을 확인할 수 있다.

이러한 투시 원근법적 표현을 잘 활용한 작품에는 호베마([eqn: rm Hobbema, ~Meindert,~1638 SIM 1709])의
「미델하르니스의 가로수 길」과 카유보트
([eqn: rmCaillebotte,~ Gustave, ~1848 SIM 1894])의 ‘유럽의 다리’ 등이 있다. 특히 작품 「미델하르니스의 가로수 길」은 가로수 길 위에서 마을을 바라본 풍경을 그린 것이다. 그림의 지평선을 살펴보면 보는 이와 대척되는 지점에 소실점이 있고, 이 소실점을 향해 화면의 사물의 크기가 질서 정연하게 줄어드는 것처럼 보인다. 호베마는 이렇듯 투시 원근법을 활용하여 마을의 풍경을 눈에 보이는 대로 생생하게 묘사하였다.

-『이주헌의 서양미술 특강』, 이주헌 등 참고-

(1) 윗글의 내용을 문단별로 정리해 보자.

1문단: 공간의 형태를 눈에 보이는 그대로 표현하는 (①           )

(①           ):

2문단: (①          )에 존재하는 (②       )

(②           ):

3문단: (①          )적 표현을 잘 활용한 작품인  (③                     )에 대한 설명

-

-

(2) 윗글을 이해한 내용으로 적절한 것을 <보기>에서
있는 대로 고르시오.

ㄱ. 호베마는 공간의 형태를 눈에 보이는 그대로 표현하려고 노력하였다.

ㄴ. 공간의 형태를 현실적으로 재현하려는 노력은
중세를 거치면서 더욱 활발해졌다.

ㄷ. 투시 원근법은 평면에서도 실제 우리가 보는 것처럼 보이게 하는 원근법에 해당한다.

ㄹ. 투시 원근법에 따라 그림을 그리면 멀어지는 거리의 간격에 따라 사물이 일정한 비율로 줄어든다.

(3) 윗글을 읽은 후, 밑줄 그은 부분과 관련하여 앞에서 배운 도형의 닮음에 대한 내용을 토대로 원근법을 이용하여 모눈종이 위에 그린 그림에서 선분의 길이를 비교해 보는 심화학습을 하려고 한다. 물음에 답하시오.

1) 위의 그림에서 두 가로등을 나타낸 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmCD]의 길이의 비를 구해 보자.

[eqn: {bar{rmAB}} : {bar{rmCD}} =]

2) 위의 그림에서 [eqn: {bar{rmOA}}], [eqn: {bar{rmOC}}]의 길이의 비를 구하고, 1)에서 구한 길이의 비와 비교해 보자.

[eqn: {bar{rm OA it}} : {bar{rmOC it}} =]

(4) 아래 그림에서 성립할 수 있는 성질을 추측해보고,
삼각형의 닮음 조건을 이용하여 이를 설명해보자.

1)

추측: [eqn: {rmbarBC}]//[eqn: {rmbarDE}]이면
[eqn: {bar{rm AB it}} : {bar{rm AD it}} = {bar{rm AC it}} : {bar{rm {BOX{```````````` it rm}} ` it}} = {bar{rm {BOX{```````````` it rm}} ` it}} : {bar{rm DE it}}]

설명:

2)

추측: [eqn: {rmbarBC}]//[eqn: {rmbarDE}]이면 [eqn: {bar{rm AD it}} : {bar{rm {BOX{``````````````` it rm}} it}} `= {bar{rm {BOX{``````````````` it rm}} it}} : {bar{rm EC it}}]

설명:

[연습] 다음 그림에서 [eqn: {bar{rm BC it}} □ {bar{rm DE it}}]일 때, [eqn: x], [eqn: y]의 값을 각각 구하고, 자신의 답을 설명하세요.

(1)

(2)

(3)

중학교 수학② 학생 활동지 ( 월 일) _______중학교 2학년 ( )반 ( )번 이름 :
단원명	V. 도형의 닮음 2. 닮은 도형의 성질 (1) 평행선과 선분의 길이의 비
학습목표

오른쪽 [eqn: TRIANGLE rmABC]에서 두 변 [eqn: rmAB], [eqn: rmAC]의 중점을
각각 [eqn: rmD], [eqn: rmE]라고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) [eqn: {bar{rm DE it}} □ {bar{rm BC it}}]임을 설명하시오.

(2) [eqn: {bar{rmDE}} = {1} over {2} {bar{rmBC}}]임을 설명하시오.

(1) [eqn: TRIANGLE rmADE]와 [eqn: TRIANGLE rmABC]에서
___________________________________________________(닮음 조건)
이므로 [eqn: TRIANGLE rmADE]∽[eqn: TRIANGLE rmABC]([eqn: rmSAS] 닮음)이다.
이때 __________________________이므로 [eqn: {bar{rm DE it}} □ {bar{rm BC it}}]이다.

(2) [eqn: TRIANGLE rmADE]와 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 닮음비가 [eqn: {bar{rm AD it}} `:` {bar{rm AB it}} `=` {BOX{`````````}} :` {BOX{`````````}}]이므로	[eqn: {bar{rm DE it}} `:` {bar{rm BC it}} `=` {BOX{``````````}} `: {BOX{``````````}} `]. 따라서 [eqn: {bar{rm DE it}} = {1} over {2} {bar{rm BC it}}]이다.

[추론1] 그림의 [eqn: TRIANGLE rm ABC]에서 변 [eqn: rm AB]의 중점 [eqn: rmD]를 지나고 변 [eqn: rm BC]에 평행한 직선이 변 [eqn: rmAC]와 만나는 점을 [eqn: rmE]라고 할 때, 점 [eqn: rmE]가 변 [eqn: rmAC]의 중점임을 설명하시오.

[추론2] 다음 <보기> 중에서 [eqn: {rmbarBC}]//[eqn: {rmbarDE}]인 것을
모두 고르고, 자신의 답을 설명하세요.

[연습1] 그림의 [eqn: TRIANGLE rm ABC]에서 세 변 [eqn: rm AB], [eqn: rm BC], [eqn: rmCA]의 중점을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmF]라고 할 때, [eqn: TRIANGLE rm DEF]의 둘레의 길이를 구하고, 자신의 답을 설명하세요.	[연습2] 오른쪽 평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: {bar{rmAB}}]의 연장선 위의 점 [eqn: rm F]에 대하여 [eqn: {bar{rm DF it}}]와 [eqn: {bar{rm BC it}}]의 교점을 [eqn: rm E]라고 할 때, [eqn: {bar{rmEC}}]의 길이를 구하고 자신의 답을 설명하세요.

[연습3] 오른쪽 [eqn: TRIANGLE rmABC]에서 [eqn: {bar{rm BC it}} □ {bar{rm DE it}}]일 때, [eqn: x]의 값을 구하고 자신의 답을 설명하세요.	[발전] 오른쪽 [eqn: TRIANGLE rmABC]에서 [eqn: ANGLE rmA]의 이등분선이 [eqn: {bar{rmBC}}]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하고, 점 [eqn: rmC]를 지나고 [eqn: {bar{rmAD}}]에 평행한 직선이 [eqn: {bar{rmAB}}]의 연장선과 만나는 점을 [eqn: rmE]라고 할 때, [eqn: {bar{rmBD}}]의 길이를 구하시오.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	V. 도형의 닮음 2. 닮은 도형의 성질 (1) 평행선과 선분의 길이의 비
학습목표

개 념 열 기		오른쪽 그림과 같이 평행한 세 직선 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n]과 직선 g의 교점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], 직선 [eqn: h]의 교점을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmF]라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. 1 [eqn: {bar{rm AB it}} `:` {bar{rm BC it}}]를 구하시오. 2 [eqn: {bar{rm DE it}} `:` {bar{rm EF it}}]를 구하시오.

평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비

세 평행선이 다른 두 직선과 만날 때, 평행선 사이에

있는 선분의 길이의 비는 같다.

즉, 오른쪽 그림에서 [eqn: l]//[eqn: m]//[eqn: n]이면

[연습1] 다음 그림에서 [eqn: l□m□n]일 때, [eqn: x]의 값을 구하시오.

(1)	(2)

[연습2] 다음 그림에서 [eqn: {bar{rm AD it}} □ {bar{rm EF it}} □ {bar{rm BC it}}]일 때, [eqn: x], [eqn: y]의 값을 각각 구하고 자신의 답을 설명하시오.	[연습3] 다음 그림에서 [eqn: {bar{rm AD it}} □ {bar{rm MN it}} □ {bar{rm BC it}}]이고 [eqn: {bar{rmAM}} = {bar{rmMB}}], [eqn: {bar{rm DN it}} = {bar{rm NC it}}]이다. 이때 [eqn: {bar{rmMN}}]의 길이를 구하고 자신의 답을 설명하시오.
[연습4] 그림은 어느 윈드서핑 보드의 돛에 평행하게 설치된 배튼 사이의 선분의 길이를 나타낸 것이다. [eqn: x], [eqn: y]의 값을 각각 구하고, 자신의 답을 설명하세요.	[의사소통] 다음은 평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비에 대한 두 학생의 대화이다. 수빈이의 질문에 답하고, 그 이유를 설명하시오.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	V. 도형의 성질 1. 도형의 닮음 / 2. 닮은 도형의 성질
학습목표	도형의 닮음의 성질을 이용하여 다양한 문제를 해결할 수 있다.

[탐구활동1] 뜀틀 한 칸의 가로의 길이는 얼마일까?

체조 경기의 한 종목인 도마(跳馬, vaulting)는 로마 제국의 군인들이 말타기 훈련에 목마를 사용한 데서 비롯된 운동이다.

도마 운동의 기초를 연습할 때는 보통 [eqn: 4]칸~[eqn: 8]칸 정도의 사각뿔대 모양으로 생긴 틀을 포개서 전체 높이를 조절하는 뜀틀을 사용한다.

오른쪽 뜀틀에서 가장 위에 있는 ‘[eqn: 1]번 틀’의 윗변의 길이는 [eqn: 30``rm cm]이고 가장 아래에 있는 ‘[eqn: 5]번 틀’의 아랫변의 길이는 [eqn: 80``rm cm]이며,
[eqn: 5]개의 틀의 높이는 모두 같다. (단, 손이 닿는 부분의 두께는
생각하지 않는다.)

다음은 뜀틀에서 ‘[eqn: 1]번 틀’의 아랫변의 길이를 두 가지
방법으로 구하는 과정이다. 풀이를 완성해 보자.

그림과 같이 사다리꼴 [eqn: rm ABCD]에서 꼭짓점 [eqn: rm A]를 지나고 [eqn: rm {bar{rmCD}}]에 평행한
직선이 [eqn: rm {bar{rmEF}}], [eqn: rm {bar{rmBC}}]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm G], [eqn: rm H]라고 하자.

[eqn: rm □AGFD], [eqn: rm □AHCD]가 평행사변형이므로

[eqn: rm {bar{rmGF}} = {bar{rmHC}} = {bar{rmAD}} = {BOX{~~~~}} ``cm]

[eqn: rm {bar{rmBH}} = {bar{rmBC}} - {bar{rmHC}} = {BOX{~~~~}} ``cm]	… ①

한편, [eqn: rm △AEG □ △ABH]이고

[eqn: rm {bar{rmAE}} ： {bar{rmAB}} =1： {BOX{~~}}]이므로

[eqn: rm {bar{rmEG}} ： {bar{rmBH}} =1： {BOX{~~}}]

따라서    [eqn: rm {bar{rmEG}} = {BOX{~~~~}} ``cm] …… ②

①과 ②에서

[eqn: rm {bar{rmEF}} = {bar{rmEG}} + {bar{rmGF}} = {BOX{~~~~}} (cm)]

그림과 같이 사다리꼴 [eqn: rm ABCD]에서
[eqn: rm {bar{rmBA}}]와 [eqn: rm {bar{rmCD}}]의 연장선의 교점을 [eqn: rm P]라고 하자.

[eqn: rm △PAD □ △PBC]이고

[eqn: rm {bar{rmPA}} ： {bar{rmPB}} =3： {BOX{~~}}]이므로

[eqn: rm {bar{rmPA}} ： {bar{rm AB}} =3： {BOX{~~}}]

또 [eqn: rm {bar{rmAE}} = {BOX{~~~}} ` {bar{rmAB}}]이고

[eqn: rm △PAD □ △PEF]이므로

[eqn: rm {bar{rmPA}} ： {bar{rmPE}} = {BOX{~~~~}} ： {bar{rmEF}}]

즉, [eqn: rm 3： {BOX{~~}} `=30： {bar{rmEF}}]

따라서 [eqn: rm {bar{rmEF}} = {BOX{~~~~}} ``cm]

[탐구활동2] 평행선을 이용한 종이의 등분

[탐구1] [그림4]의 선들이 종이를 [eqn: 3]등분 하는 이유를 설명해보자.	[탐구2] 위와 같이 종이접기를 이용하여 직사각형 모양의 종이를 [eqn: 5]등분 해보고, 그 방법을 설명해보자.

중학교 수학② 학생 활동지 (   월   일)

_______중학교 2학년 (    )반  (    )번 이름 :

단원명	V. 도형의 닮음 2. 닮은 도형의 성질 (2) 삼각형의 무게중심
학습목표

개 념 열 기

색종이를 오려서 [eqn: TRIANGLE rm ABC]를 만든 후 다음 순서를 따라 활동하고, 물음에 답하시오.

➊ 두 점 [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]가 만나게 접어 [eqn: rmbar{BC}]의 중점 [eqn: rmD]를 찾아 [eqn: rmbar{AD}]를 접는 선으로 하여 접었다가 펼친다.	➋ 두 점 [eqn: rmA]와 [eqn: rmC]가 만나게 접어 [eqn: rm {bar{AC`}}]의 중점 [eqn: rmE]를 찾아 [eqn: rm {bar{BE`}}]를 접는 선으로 하여 접었다가 펼친다.	➌ [eqn: rm {bar{AD`}}]와 [eqn: rm {bar{BE`}}]의 교점을 [eqn: rmG]라고 하자.

1 [eqn: {bar{rm AB it}}]의 중점 [eqn: rmF]를 찾아 [eqn: {bar{rmCF}}]를 접는 선으로 하여 접었다가 펼치면 [eqn: {bar{rmCF}}]가 점 [eqn: rmG]를
지나는지 확인하시오.

2 [eqn: {bar{rmCG}}]의 길이는 [eqn: {bar{rmGF}}]의 길이의 몇 배인지 확인하시오.

추측:   삼각형의 세 중선은 한 점에서 만나고, 그 점은 세 중선의 길이를 각 꼭짓점으로부터 각각
(   ):(   )로 나눈다.

오른쪽 [eqn: TRIANGLE rmABC]에서 두 중선 [eqn: rmAD], [eqn: rmBE]의 교점을 [eqn: rmG]라고 하자.

두 점 [eqn: rmD], [eqn: rmE]는 각각 두 변 [eqn: rmBC], [eqn: rmAC]의 중점이므로

이다. 따라서 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비에 대한 성질에 의하여

이다.

또 오른쪽 그림과 같이 [eqn: TRIANGLE rmABC]에서 두 중선 [eqn: rmAD], [eqn: rm CF]의 교점을
[eqn: rmG']이라고 하면 두 점 [eqn: rmD], [eqn: rmF]는 각각 두 변 [eqn: rmBC], [eqn: rmAB]의 중점이므로

이다. 따라서 삼각형에서 평행선과 선분의
길이의 비에 대한 성질에 의하여

이다.

이때 점 [eqn: rmG]와 점 [eqn: rmG']은 중선 [eqn: rmAD]를 (  ):(  )로 나누는 점이므로 두 점 [eqn: rmG]와 [eqn: rmG']은 같은 점이다.

그러므로 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 세 중선은 한 점에서 만나고, 이 점은 세 중선의 길이를 각 꼭짓점으로부터
각각 (  ):(  )로 나눔을 알 수 있다.

이때 삼각형의 세 중선의 교점을 그 삼각형의 _________이라고 한다.

[연습1] 다음 그림에서 점 [eqn: rmG]가 [eqn: rm TRIANGLE ABC]의 무게중심일 때, [eqn: x], [eqn: y]의 값을 각각 구하시오.

(1)	(2)

[함께해보기] 그림에서 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 넓이가 [eqn: 60`` rm cm ^{2}]이고, 점 [eqn: rmG]가 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 무게중심일 때, [eqn: TRIANGLE rmABG]와 [eqn: TRIANGLE rmBDG]의 넓이를 각각 구하시오. 풀이) [eqn: TRIANGLE rm`ABC]의 넓이가 [eqn: 60`` rm cm ^{2}]이고 [eqn: {bar{rmAD}}]가 [eqn: TRIANGLE rm`ABC]의 중선이므로 [eqn: TRIANGLE rm ABD= {BOX{``````````````}} rm cm ^{2}] 점 [eqn: rmG]가 [eqn: TRIANGLE rm`ABC]의 무게중심이므로 [eqn: {bar{rm AG it}} `:` {bar{rm GD it}} `= {BOX{```````}} :` {BOX{```````}}]이다. [eqn: TRIANGLE rm ABG]와 [eqn: TRIANGLE rm BDG]에서 밑변의 길이의 비는 [eqn: {bar{rm AG it}} `:` {bar{rm GD it}} `= {BOX{```````}} :` {BOX{```````}}]이고, 높이가 같으므로 [eqn: TRIANGLE rm ABG`:` TRIANGLE rm BDG`=` {BOX{```````}} `:` {BOX{```````}} `]이다. 따라서 [eqn: TRIANGLE rm ABG= {BOX{````````````}} rm cm ^{2}], [eqn: TRIANGLE rm BDG= {BOX{````````````}} rm cm ^{2}]	[연습2] 다음 그림에서 점 [eqn: rm G]가 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 무게중심이고, [eqn: TRIANGLE rmBDG]의 넓이가 [eqn: 6``rmcm ^{2}]일 때, 다음을 구하시오. (1) [eqn: TRIANGLE rmGBC]의 넓이 (2) [eqn: TRIANGLE rmABC]의 넓이
[연습3] 그림에서 [eqn: {bar{rmAD}}]는 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 중선이고, 두 점 [eqn: rmG], [eqn: rmG']은 각각 [eqn: TRIANGLE rmABC], [eqn: TRIANGLE rm GBC]의 무게중심이다. 이때 [eqn: {bar{rm GG prime it}}]의 길이를 구하시오.	[발전] 그림에서 점 [eqn: rmG]는 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 무게중심이다. [eqn: TRIANGLE rmGMN]의 넓이가 [eqn: 6``rmcm ^{2}]일 때, [eqn: TRIANGLE rmABC]의 넓이를 구하시오.