23년 기출	수1 내신대비	삼각함수

경기남부지역	- -	분당기출모임

삼각함수의 그래프(step1)

6.

삼각함수의 최대최소와 주기

함수 [eqn: y=3sin LEFT ( 3x- {pi } over {2} RIGHT ) -1``]에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? [4.8점]

⑤

① 주기는 [eqn: {2} over {3} pi ``]이다.	(참)

② 최댓값은 [eqn: 3-1`=`2``]이다.	(참)

③ 최솟값은 [eqn: -3-1`=`-4``]이다.	(참)

④ 그래프는 점 [eqn: (0,`~-4)``]를 지난다.	(참)

⑤ 그래프는 함수 [eqn: y=3sin3x``]의 그래프를 [eqn: x``]축 방향으로 [eqn: {pi } over {6}``]만큼,  [eqn: y``]축 방향으로 [eqn: -1``]만큼 평행이동한 것이다.	(거짓)

① 주기는 [eqn: {2} over {3} pi ``]이다.

② 최댓값은 [eqn: 2``]이다.

③ 최솟값은 [eqn: -4``]이다.

④ 그래프는 점 [eqn: (0,`~-4)``]를 지난다.

⑤ 그래프는 함수 [eqn: y=3sin3x``]의 그래프를 [eqn: x``]축 방향으로 [eqn: {pi } over {2}``]만큼,

[eqn: y``]축 방향으로 [eqn: -1``]만큼 평행이동한 것이다.

삼각함수의 미정계수의 결정

함수 [eqn: y=a`sin(bx-c)`]의 그래프가 아래의 그림과 같을 때, 상수 [eqn: a,~b,~c`]에 대하여 [eqn: a+b+c`]의 값은? (단, [eqn: a>0,~b>0,] [eqn: 0<c< pi `]) [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: 1 + pi over2]	② [eqn: 2 + pi over2]	③ [eqn: 3 + pi over3]
④ [eqn: 4 + pi over2]	⑤ [eqn: 5 + pi over4]

④

주어진 함수의 최댓값이 [eqn: 2], 최솟값이 [eqn: -2`]이고 [eqn: a>0`]이므로

[eqn: a=2]

또 주기가 [eqn: {3} over {2} pi - {pi } over {2} = pi `]이고 [eqn: b>0`]이므로

[eqn: {2pi} over {b} =pi]에서 [eqn: b=2]

따라서 주어진 함수의 식은 [eqn: y=2`sin` LEFT ( 2x-c RIGHT ) `]이고, 이 함수의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( pi ,~-2 RIGHT ) `]를 지나므로

[eqn: -2=2`sin` LEFT ( 2 pi -c RIGHT )]	[eqn: THEREFORE ~sin` LEFT ( 2 pi -c RIGHT ) =-1]

이때 [eqn: 0<c<pi`]에서 [eqn: pi <2 pi -c<2 pi `]이므로

[eqn: 2 pi -c= {3} over {2} pi]에서 [eqn: c= {pi } over {2}]

따라서 [eqn: a+b+c=4+ {pi } over {2} `]

함수 [eqn: f(x)=asin(bx+ {pi} over {2} )+c]의 최댓값이 [eqn: 1], 최솟값이 [eqn: -3], 주기가 [eqn: pi]일 때, 세 상수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여 [eqn: abc]의 값은? (단, [eqn: a>0,~b>0]이다.) [4.0점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

①

[eqn: f(x)=a`cosbx +c]이고 주기는 [eqn: pi = 2pi over b]

따라서 [eqn: b=2]

[eqn: a+c=1`,`````-a +c=-3]

[eqn: a=2`,```c=-1]
[eqn: THEREFORE ```abc=-4]

함수 [eqn: y=3sin pi x+1``]의 주기를 [eqn: a``], 최댓값을 [eqn: b``], 최솟값을 [eqn: c``]라 할 때, [eqn: a+b+c``]의 값은? [3.7점]

④

[eqn: a= 2pi over pi `=`2`,``][eqn: b=3+1=4`,``][eqn: c=`-3+1=`-2``]이므로

[eqn: a+b+c=4``]이다.

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]

④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

그림은 [eqn: f(x)= alpha`cos`beta LEFT ( x- pi over 2 RIGHT )]의 그래프이다. [eqn: alpha+beta]의 값은? (단, [eqn: alpha>0], [eqn: beta>0]) [[eqn: 3.5]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

⑤

[eqn: -3 le f(x) le 3]이고 [eqn: alpha >0] 이므로 [eqn: alpha=3],

위 그래프의 주기는 [eqn: pi] 이므로 [eqn: 2pi over beta =pi]	[eqn: therefore~ beta=2]

[eqn: alpha+beta=5]

함수 [eqn: y=a cos {pi}over{b}x+c]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: a,`b,`c]는 양수이다.) [4.7점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

⑤

최댓값[eqn: =4], 최솟값[eqn: =0] 이므로 [eqn: a+c=4], [eqn: -a+c=0]

[eqn: a=2, `c=2]

주기[eqn: =6] 이므로 [eqn: 2pi DIV {pi}over{b}=6], [eqn: b=3]

[eqn: THEREFOREa+b+c=7]

세 양수 [eqn: a,`b,`c``]에 대하여 함수 [eqn: y= a cosbx+c``]의 최댓값이 [eqn: 5``], 최솟값이 [eqn: 1``], 주기가 [eqn: pi ``]일 때, 세 수의 곱 [eqn: abc``]의 값은? [4.3점]

③

최댓값[eqn: =`a+c`=`5`,``]최솟값[eqn: =`-a+c`=`1`,``]주기[eqn: =`2pi over b `=`pi``]에서

[eqn: a=2`,``b=2`,``c=3``]이므로 [eqn: abc`=`12``]이다.

① [eqn: 8``]	② [eqn: 10``]	③ [eqn: 12``]

④ [eqn: 16``]	⑤ [eqn: 20``]

여러가지 각의 삼각함수

[eqn: sin {7} over {3} pi]의 값은? [3.9점]

① [eqn: -{root{3}}over{2}]	② [eqn: -{1}over{2}]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: {1}over{2}]	⑤ [eqn: {root{3}}over{2}]

⑤

[eqn: sin {7} over {3} pi =sin {pi } over {3} = {sqrt {3}} over {2}]

[eqn: tan {7} over {6} pi ` TIMES cos LEFT ( - {13} over {3} pi RIGHT ) TIMES sin LEFT ( - {7} over {3} pi RIGHT )``]의 값은? [4.3점]

①

[eqn: tan {7} over {6} pi ` TIMES cos LEFT ( - {13} over {3} pi RIGHT ) TIMES sin LEFT ( - {7} over {3} pi RIGHT )``]

[eqn: =`tan {pi} over {6} ` TIMES cos LEFT ( - {pi} over {3} RIGHT ) TIMES sin LEFT ( - {pi} over {3} RIGHT )``]

[eqn: =` 1over root3 times 1over2 times LEFT ( - root3 over2 RIGHT )`=` - 1over4 ``]이다.

① [eqn: - {1} over {4}``]	② [eqn: - {sqrt {3}} over {3}``]	③ [eqn: {1} over {4}``]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {3}``]	⑤ [eqn: 1``]

한빛고/23년/K2/D

[eqn: sin`840 DEG TIMES` tan420 DEG +sin315 DEG TIMES` cos675 DEG]의 값은? [3.9점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: {3} over {2}]
④ [eqn: {7} over {4}]	⑤ [eqn: 1]

①

[eqn: sin840 DEG TIMES `tan60 DEG +sin315 DEG TIMES `cos315 DEG `# =`sin120 DEG TIMES `tan60 DEG +sin315 TIMES cos315 DEG # = {sqrt {3}} over {2} TIMES sqrt {3} +(- {sqrt {2}} over {2} )` TIMES ` {sqrt {2}} over {2} `=` {3} over {2} `-` {1} over {2} =1]

삼각함수의 최대최소

함수 [eqn: f(x)=sin( pi +x)cos LEFT ( {pi } over {2} +x RIGHT ) +cos LEFT ( {pi } over {2} -x RIGHT )]의 최솟값은? [5.3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -{1}over{4}]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: {1}over{4}]	⑤ [eqn: 2]

②

[eqn: sin( pi +x)=-sinx]

[eqn: cos LEFT ( {pi } over {2} +x RIGHT ) =-sinx]

[eqn: cos LEFT ( {pi } over {2} -x RIGHT ) =-sinx]

[eqn: f(x)=sin ^{2`} x+sinx]

[eqn: sinx=t``(-1` LEQ `t` LEQ `1)] 라고 할 때,

[eqn: f(x)=t^2 +t], [eqn: t=-{1}over{2}]일 때, 최솟값 [eqn: -{1}over{4}]

[eqn: t=1]일 때, 최댓값 [eqn: 2]를 갖는다.

삼각방정식

[eqn: 0 le x le pi over2]일 때, 방정식 [eqn: sin `x = 1over2]의 해는?

②

[eqn: x = pi over6]

[[eqn: 3.7]점]

① [eqn: 0]	② [eqn: pi over 6]	③ [eqn: pi over4]
④ [eqn: pi over3]	⑤ [eqn: pi over2]

[eqn: 0< x < pi]에서 방정식 [eqn: sin ` x = sqrt3 over2]의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, [eqn: alpha + beta]의 값은? (단, [eqn: alpha < beta])

③

[eqn: sin `x = sqrt3 over2]에서 [eqn: x = pi over3], [eqn: x = 2 over3 pi]

따라서 [eqn: alpha + beta = pi]

[[eqn: 4.4]점]

① [eqn: pi over4]	② [eqn: pi over2]	③ [eqn: pi]
④ [eqn: 3pi over2]	⑤ [eqn: 2pi]

[eqn: 0` LEQ `x` LEQ pi]일 때, 방정식 [eqn: 2cosx+1=0]의 해는? [[eqn: 4.0]점]

⑤

[eqn: 2cosx+1=0]

[eqn: cosx=`- {1} over {2}] ([eqn: 0` LEQ `x` LEQ pi])

[eqn: x= {2} over {3} pi]

① [eqn: {pi } over {6}]	② [eqn: {pi } over {4}]	③ [eqn: {pi } over {3}]

④ [eqn: {pi } over {2}]	⑤ [eqn: {2} over {3} pi]

삼각부등식

부등식 [eqn: 2`sin`x-root 2 >0]의 해는? (단, [eqn: 0 le x<2pi]) [[eqn: 4.0]점]

① [eqn: pi over 4 le x le 3pi over 4]	② [eqn: pi over 4 <x< 3pi over 4]
③ [eqn: pi over 2 le x le 3pi over 4]	④ [eqn: pi over 4 <x< pi over 2]
⑤ [eqn: 0 le x < pi over 4] 또는 [eqn: 3pi over 4 le x <2pi]

②

[eqn: 2`sin`x-root 2 >0]， [eqn: sin`x> root 2 over 2]， [eqn: 0 le x<2pi]

[eqn: sin`x> root 2 over 2]인 범위는 [eqn: pi over 4 <x< 3 over 4 pi]

[eqn: 0 LEQ x LEQ 2 pi ``]일 때, 부등식 [eqn: cosx LEQ {sqrt {2}} over {2}``]을 만족시키는 모든 [eqn: x``]의 값의 범위가 [eqn: alpha LEQ x LEQ beta ``]이다. [eqn: {beta } over {alpha }``]의 값은? [4.1점]

⑤

[eqn: {pi } over {4} ` LEQ `x` LEQ ` {7} over {4} ` pi ``]이므로 [eqn: beta over alpha `=`7``]이다.

① [eqn: 3``]	② [eqn: 4``]	③ [eqn: 5``]

④ [eqn: 6``]	⑤ [eqn: 7``]

삼각함수의 그래프(step2)

6.

주기함수

다음 함수 중 함수 [eqn: y=cos2x]와 주기가 다른 것은? [[eqn: 4.4]점]

⑤

① [eqn: y= LEFT | tan`x RIGHT |] 주기 [eqn: pi]

② [eqn: y= LEFT | cosx RIGHT |] 주기 [eqn: 2 pi TIMES {1} over {2} = pi]

③ [eqn: y=cos2 LEFT ( x- {pi } over {2} RIGHT )] 주기 [eqn: {2 pi } over {2} = pi]

④ [eqn: y=-2tanx] 주기 [eqn: pi]

⑤ [eqn: y= {1} over {2} sin(-x)] 주기 [eqn: 2 pi]

① [eqn: y= LEFT | tan`x RIGHT |]	② [eqn: y= LEFT | cosx RIGHT |]	③ [eqn: y=cos2 LEFT ( x- {pi } over {2} RIGHT )]

④ [eqn: y=-2tanx]	⑤ [eqn: y= {1} over {2} sin(-x)]

자연수 [eqn: n]에 대하여 지수함수 [eqn: y=2 ^{{x} over {n}}]와 함수 [eqn: y= {1} over {2} {rmsin} {pi} LEFT ( it x+ {1} over {2} RIGHT ) + {3} over {2}]의 그래프의 교점의 개수가 [eqn: 7]이 되도록 하는 모든 [eqn: n]의 값의 합은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 13]
④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 17]

③

[eqn: y=2 ^{{x} over {n}}]와 함수 [eqn: y= {1} over {2} {rmsin} {pi} LEFT ( x+ {1} over {2} RIGHT ) + {3} over {2}]의 그래프의 점의 개수가 [eqn: 7]이 되도록 하려면 그림과 같아야 한다.

[eqn: y=2 ^{{x} over {n}}]의 그래프가 점 [eqn: (6,```2)]보다는 작고, 점 [eqn: (8,```2)]보다는 커야한다.

[eqn: 2 ge 2 ^{{6} over {n}}], [eqn: 2 <2 ^{{8} over {n}}]이므로

[eqn: 6 le n<8]이 성립하므로 [eqn: n = 6,] 또는 [eqn: 7] 이다.

모든 [eqn: n]값의 합은 [eqn: 13]이다.

[eqn: 0` LEQ `x` LEQ 2]에서 정의된 함수 [eqn: y=4cos LEFT ( {pi } over {2} x RIGHT )]의 그래프위의 점 중 [eqn: y]좌표가 정수인 점의 개수는? [[eqn: 4.9]점]

②

[eqn: y=4cos LEFT ( {pi } over {2} x RIGHT )] 주기 [eqn: 4] 최댓값 [eqn: 4] 최솟값 [eqn: -4] 인 그래프

[eqn: 0` LEQ `x` LEQ 2] [eqn: -4` LEQ `y` LEQ 4] [eqn: y]좌표 정수점의 개수 [eqn: 9]

① [eqn: 10]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 6]

삼각함수의 최대최소와 주기

다음 중 함수 [eqn: y=tan LEFT ( 2x- {pi } over {2} RIGHT ) +1]에 대한 설명으로 옳은 것은? [[eqn: 4.3]점]

③

① 주기는 [eqn: {pi } over {4}]이다. (거짓) [eqn: {pi } over {2}]

② 최솟값은 [eqn: 1]이다. (거짓) [eqn: tan]함수 최대최소 없음

③ 그래프는 점 [eqn: LEFT ( {pi } over {4} ,1 RIGHT )]에 대하여 대칭이다. (참)

④ 점근선의 방정식은 [eqn: x= {n pi } over {4}]([eqn: n]은 정수)이다.(거짓)

점근선 [eqn: 2x- {pi } over {2} =n pi + {pi } over {2}] [eqn: x= {n} over {2} pi]

⑤ 그래프는 함수 [eqn: y=tan2x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: {pi } over {2}]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 것이다.(거짓)

[eqn: y=tan LEFT ( 2x- {pi } over {2} RIGHT ) +1=tan2 LEFT ( x- {pi } over {4} RIGHT ) +1]

[eqn: x]축의 방향으로 [eqn: {pi } over {4}]만큼,[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동

① 주기는 [eqn: {pi } over {4}]이다.

② 최솟값은 [eqn: 1]이다.

③ 그래프는 점 [eqn: LEFT ( {pi } over {4} ,1 RIGHT )]에 대하여 대칭이다.

④ 점근선의 방정식은 [eqn: x= {n pi } over {4}]([eqn: n]은 정수)이다.

⑤ 그래프는 함수 [eqn: y=tan2x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: {pi } over {2}]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 것이다.

곡선 [eqn: y=4cos {1} over {3} (x- pi )``(0 LEQ x LEQ 10 pi )]와 직선 [eqn: y=2]가 만나는 점들 중 서로 다른 두 점 [eqn: rm A,~B]와 이 곡선 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이의 최댓값은? (단, 점 [eqn: rmP]는 직선 [eqn: y=2] 위의 점이 아니다.) [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: 12pi]	② [eqn: 15 pi]	③ [eqn: 18pi]
④ [eqn: 21 pi]	⑤ [eqn: 24 pi]

⑤

[eqn: 4`cos {1} over {3} (x- pi )=2`]에서	[eqn: cos {1} over {3} (x- pi ) = 1over 2]	[eqn: cdots cdots] ㉠

[eqn: {1} over {3} LEFT ( x- pi RIGHT ) =t`]로 놓으면 [eqn: 0 le x le 10 pi `]에서 [eqn: - {pi } over {3} LEQ t LEQ 3 pi `]이고

㉠에서	[eqn: cos`t= {1} over {2}]

[eqn: therefore~][eqn: t=- {pi } over {3}] 또는 [eqn: t= {pi } over {3}] 또는 [eqn: t= {5} over {3} pi] 또는 [eqn: t= {7} over {3} pi]

즉, [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2 pi] 또는 [eqn: x=6 pi] 또는 [eqn: x=8 pi]

삼각형 [eqn: rm PAB`]의 넓이가 최대이려면 밑변의 길이가 가장 길어야 하므로 두 점 [eqn: rmA, ~B`]는 [eqn: rm A it ` LEFT ( 0,````2 RIGHT )], [eqn: rm B it ` LEFT ( 8 pi ,````2 RIGHT ) `]일 때이고, 높이도 가장 높아야 하므로 점 [eqn: rmP`]는 [eqn: y `]좌표가 [eqn: -4`]인 점이어야 한다.

삼각형 [eqn: rmPAB`]의 넓이의 최댓값은

[eqn: {1} over {2} CDOT LEFT ( 8 pi -0 RIGHT ) CDOT LEFT { 2- LEFT ( -4 RIGHT ) RIGHT } = {1} over {2} CDOT 8 pi CDOT 6=24 pi]

양의 실수 [eqn: a``]에 대하여 두 함수 [eqn: y=tan {pi } over {12} x,`~y=1+log _{{1} over {3}} {x} over {a}``]의 그래프가 제[eqn: 1``]사분면에서 만나는 점의 개수가 [eqn: 3``]이 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: a``]의 값의 합은? [4.6점]

④

[eqn: tan {pi } over {12} x]의 주기는 [eqn: 12], [eqn: 1+log_{{1}over{3}}{x}over{a}=f(x)]라 하면,

[eqn: f(24)>0,f(36)LE0] 을 만족시켜야 하므로

[eqn: 1-log_{3}{24}over{a}>0], [eqn: a>8] 이고

[eqn: 1-log_{3}{36}over{a}Le0], [eqn: a LE 12] 이다. 두 부등식을 연립하면 만족하는 자연수 [eqn: n=9,10,11,12] 이므로 [eqn: n]의 값의 합은 42이다.

① [eqn: 24``]	② [eqn: 30``]	③ [eqn: 38``]

④ [eqn: 42``]	⑤ [eqn: 50``]

삼각함수의 미정계수의 결정

양수 [eqn: a]와 실수 [eqn: b]에 대하여 함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )= 3a sin LEFT ( ax + pi over 12 RIGHT )+3a cos LEFT ( 5 over 12 pi -ax RIGHT )+b]
의 주기가 [eqn: 6pi]이고 최솟값이 [eqn: 2]일 때, [eqn: f LEFT ( pi over 4 RIGHT )]의 값은? [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

③

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = 3a sin LEFT ( ax + pi over 12 RIGHT )+3a cos LEFT ( 5 over 12 pi -ax RIGHT )+b]
[eqn: = 3a sin LEFT ( ax + pi over 12 RIGHT )+3a cos LEFT ( 6 over 12 pi - pi over 12 -ax RIGHT )+b]
[eqn: = 3a sin LEFT ( ax + pi over 12 RIGHT )+3a cos LEFT { pi over 2 -left( pi over 12 +ax RIGHT ) right}+b]
[eqn: = 3a sin LEFT ( ax + pi over 12 RIGHT )+3a sin left( pi over 12 +ax RIGHT ) +b]
[eqn: = 6a sin LEFT ( ax + pi over 12 RIGHT ) +b]
[eqn: = 6a sin `a LEFT ( x + pi over 12a RIGHT ) +b]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 주기는 [eqn: 6 pi]이므로

[eqn: 2pi overa = 6pi]

[eqn: a= 2pi over 6pi]

[eqn: therefore a = 1over3]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = 2 sin `1over3 LEFT ( x + pi over 4 RIGHT ) +b]에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: - 2 +b]이므로

[eqn: - 2 +b =2]

[eqn: therefore b = 4]

그러므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = 2 sin `1over3 LEFT ( x + pi over 4 RIGHT ) + 4]

따라서 [eqn: f LEFT ( pi over 4 RIGHT )][eqn: = 2 sin `1over3 LEFT ( pi over 4 + pi over 4 RIGHT ) + 4]
[eqn: = 2 sin pi over6 + 4]
[eqn: = 1 + 4=5]

상수 [eqn: a,~b]에 대하여 함수 [eqn: f(x)= a cos x over2 +b]의 최댓값은 [eqn: 5]이고, [eqn: f LEFT ( 2piover3 RIGHT )=4]일 때, [eqn: a-b]의 값은? (단, [eqn: a>0]) [[eqn: 4.7]점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

②

[eqn: f(x)= a cos x over2 +b]의 최댓값은 [eqn: a+b]이므로 [eqn: a+b=5]이고,

[eqn: 4=f LEFT ( {2 pi } over {3} RIGHT ) =a cos piover3 +b= a over2 +b]이므로[eqn: a=2~,~b=3]이다.

[eqn: a-b=-1]이다,

[eqn: a,``b,``c]가 자연수 일 때, 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f(x)= a sin bx +c]에 대하여 [eqn: f LEFT ( {5} over {36} ` pi RIGHT )]의 최솟값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오.[8점]

[eqn: 11]

주기 [eqn: 2pi OVER b = pi OVER3]에서 [eqn: b=6]

[eqn: a+c=14]이고 [eqn: x]축과 만나지 않으므로 [eqn: -a+c>0]을 만족해야 한다.[eqn: -a+14-a>0]에서 [eqn: a<7]

[eqn: f LEFT ( 5 over36pi RIGHT )= 1over2 a +c = 14 - 1over2 a]이므로 [eqn: a]가 최대일 때, [eqn: f LEFT (5 over 36 pi RIGHT )]는 최소이다.

그러므로 [eqn: a=6]일 때 최솟값 [eqn: 11]을 가진다.

(가) 함수 [eqn: f(x)]의 주기는 [eqn: pi over3]이다.

(나) 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 14]이다.

(다) 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: x]축과 만나지 않는다.

다음 그림은 삼각함수 [eqn: f(x)= a sin `bx `]의 그래프의 일부를 그린 것이다. 이 함수에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a,~b`]는 상수이고, [eqn: a>0,~b>0`]이다.) [4.8점]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

③

[eqn: a>0,~b>0]

최댓값이 [eqn: 3], 최솟값이 [eqn: -3`]이므로 [eqn: a=3]

주기가 [eqn: pi`]이므로 [eqn: b=2]

[eqn: f(x)=3`sin`2x`]

ㄱ. [eqn: f(-x)=3`sin(-2x)=-3`sin`2x = -f(x)]

따라서 [eqn: f(x)]는 원점대칭이다. (참)

ㄴ. [eqn: y=tan`x`]의 주기는 [eqn: pi`] (참)

ㄷ. [eqn: 3`sin`2x= k]에서 [eqn: sin`2x = k over3]의 두 근이 [eqn: alpha,~beta`]라 하면

[eqn: beta = pi over2 -alpha`]이므로

[eqn: sin(3 alpha+beta)= sin left( pi over2 + 2 alpha right)=cos `2alpha = root13 over5]

[eqn: k over 3 =sin`2alpha = root{1-cos^2 2alpha }= root {1- 13 over25 }= {2root3} over5]

[eqn: therefore] [eqn: k={6root3} over5] (거짓)

[보 기]

ㄱ. [eqn: f(x)`]는 원점대칭이다.

ㄴ. 함수 [eqn: y= tan `x`]와 주기가 같다.

ㄷ. [eqn: 0 le x < pi over2 `]에서 [eqn: f(x)=k``(0 <k < 3)]의 두 근 [eqn: alpha,~beta`]가 [eqn: sin(3alpha+ beta)= root13 over5`]일 때, [eqn: k`]값은 [eqn: {3 root6} over5`]이다. ([eqn: alpha<beta])

함수 [eqn: y=a cos(bx-c)``]의 그래프가 그림과 같을 때, 상수 [eqn: a+b+ c over pi``]의 값은? (단, [eqn: a>0,```b>0,```-2pi<c<0``])

③

최댓값 [eqn: =|`a`|=a=2`,``] 주기[eqn: =`2pi overb =pi``]에서 [eqn: b=2`,``]

[eqn: f(0)=a cos (-c)=2 cos `c=-2``]에서 [eqn: c=-pi``]

따라서 [eqn: a+b+ c over pi`=`2+2-1`=`3``]이다.

[4.4점]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]

④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

[eqn: y=a cos(bx-c)]의 그래프가 그림과 같을 때, 상수 [eqn: a,~b,~c]의 값의 곱 [eqn: abc]는?(단, [eqn: a>0], [eqn: b>0], [eqn: 0<c<pi]이다.)

① [eqn: 5piover4]	② [eqn: 3piover2]	③ [eqn: 7piover4]
④ [eqn: 2pi]	⑤ [eqn: 9piover4]

⑤

그림으로부터 최댓값이 [eqn: 2]이고, 주기는 [eqn: 4pi}over3]이며, [eqn: LEFT ( piover6`,~0 RIGHT )]을 지난다. 따라서 [eqn: a=2], [eqn: b=`3over2]이다.

∴[eqn: y=2`cos LEFT ( 3over2 x-c RIGHT )]

에서 [eqn: 0=2`cos LEFT ( piover4`-c RIGHT )]이므로 [eqn: c={3 pi } over {4}]이다.

[eqn: abc=2 times 3over2 times 3piover4 = 9piover4]

함수 [eqn: y=a`cos LEFT ( bx+c RIGHT ) +d`]의 그래프가 그림과 같을 때,
[eqn: a+b+c+d]의 값은? (단, [eqn: a>0,```b>0,```-2 pi <c<0,```d>0])
[4.5점]

① [eqn: 6- pi]	② [eqn: 7- pi]	③ [eqn: 8- pi]
④ [eqn: 6+ pi]	⑤ [eqn: 7+ pi]

②

[eqn: a+d=5,````-a+d=1]이므로 [eqn: a=2,```d=3]

주기가 [eqn: pi]이므로 [eqn: b=2]

함수 [eqn: y=2cos LEFT ( 2x+c RIGHT ) +3]가 [eqn: LEFT ( pi ,```1 RIGHT )]을 지나므로
[eqn: 1=2cos LEFT ( 2 pi +c RIGHT ) +3=2cos`c+3,````cos`c=-1] [eqn: c=- pi]

[eqn: a+b+c+d=2+2+3- pi =7- pi]

두 양수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: f(x)=a`cos(bx)+2`]이다. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같고 [eqn: f(0)=f` LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) =5], [eqn: f` LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) =-1]일 때, [eqn: a+b+f` LEFT ( {17} over {6} pi RIGHT ) `]의 값은? [[eqn: 4.5]점]

④

함수 [eqn: f(x)=a`cos(bx)+2`]에서 최댓값은 [eqn: 5], 최솟값은 [eqn: -1]이므로
[eqn: a+2=5], [eqn: -a+2= it -1`]에서 [eqn: a=3]
또 주기는 [eqn: {pi } over {2}]이고 [eqn: b>0]이므로 [eqn: {2 pi } over {b} = {pi } over {2}]
[eqn: THEREFORE ~b=4]
따라서 [eqn: f(x)=3`cos(4x)+2`]이므로

[eqn: f` LEFT ( {17} over {6} pi RIGHT ) =3`cos LEFT ( 11 pi + {pi } over {3} RIGHT ) +2`]

[eqn: =3`cos LEFT ( pi + {pi } over {3} RIGHT ) +2`=3 TIMES LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) +2= {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE ~a+b+f` LEFT ( {17} over {6} pi RIGHT ) = {15} over {2} `]

① [eqn: 7- {sqrt {3}} over {2}]	② [eqn: {13} over {2}]	③ [eqn: 7+ {sqrt {2}} over {2}]
④ [eqn: {15} over {2}]	⑤ [eqn: 7+ {sqrt {3}} over {2}]

두 함수 [eqn: f(x)=a`cosbx+c]와 [eqn: g(x)=sin {3} over {5} x]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: 20(a+b+c)]의 값은?

③

(가)에서 [eqn: 0 LEQ x LEQ 5 pi]일 때, [eqn: f(x) LEQ g(x)]이어야 하므로
함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프보다 같거나
아래쪽에 있어야 한다.

(나)에서 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프는 [eqn: x=0], [eqn: x= {5} over {2} pi]
일 때 만나야 하므로 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=f(x)]의 그래프는
다음 그림과 같아야 한다.

함수 [eqn: f(x)]의 주기는 [eqn: 5 pi]이므로

[eqn: {2 pi } over {b} =5pi], [eqn: b= {2} over {5}]

함수[eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 0], 최솟값은 [eqn: -1]이므로

[eqn: ( LEFT | a RIGHT | +c)+(- LEFT | a RIGHT | +c)=2c=-1]

[eqn: c=- {1} over {2}]

[eqn: LEFT | a RIGHT | +c= LEFT | a RIGHT | - {1} over {2} =0]이므로 [eqn: a= {1} over {2}]

따라서 [eqn: 20(a+b+c) = 20( 1 over 2 + 2 over 5 + - 1over 2 ) = 8]

(단, [eqn: a>0,``b>0]이고, [eqn: a,``b,``c]는 상수이다.)

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

(가) [eqn: 0 LEQx LEQ5 pi]에서 [eqn: f(x) LEQg(x)]이다.

(나) [eqn: f(0)=g(0),``f LEFT ( {5} over {2} pi RIGHT ) =g LEFT ( {5} over {2} pi RIGHT )]

세 실수 [eqn: a,~b,~c``]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=a`cos(b+x)+c``]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: c`sin LEFT ( {pi } over {a} RIGHT ) +b``]의 최댓값과 최솟값의 합은? (단, [eqn: a != 0,~0<b<2 pi ``]) [5.2점]

④

(가)에서 [eqn: f(0)=a cos b+c`=`5``]

(나)에서

[eqn: f(x)``]의 최댓값은 [eqn: LEFT | `a`RIGHT |+c`=`8`,``]

[eqn: f(x)``]의 최솟값은 [eqn: -LEFT | `a`RIGHT |+c`=`4``]이므로

[eqn: c=6`,`` LEFT | `a`RIGHT |=2``]

1) [eqn: a=2`,``c=6`,``cos b`=`- 1over2 ``]일 때, [eqn: b`=` 2over3` pi`,``4over3 `pi``]

[eqn: c`sin LEFT ( {pi } over {a} RIGHT ) +b`=`c+b`=`6+ {2} over {3} ` pi `,``6+ {4} over {3} ` pi ``]

2) [eqn: a=-2`,``c=6`,``cos b`=`1over2 ``]일 때, [eqn: b`=` pi over3` ,``5over3 `pi``]

[eqn: c`sin LEFT ( {pi } over {a} RIGHT ) +b`=`-c+b`=`-6+ pi over3` `,``-6+ 5over3 `pi``]

[eqn: c`sin LEFT ( {pi } over {a} RIGHT ) +b``]의 최댓값과 최솟값의 합은

[eqn: LEFT ( `6+ {4} over {3} ` pi ` RIGHT) + LEFT ( `-6+ {pi} over {3} ` RIGHT )`=` 5over3 `pi``]이다.

(가) [eqn: f(0)=5``]이다.

(나) [eqn: f(x)``]의 최댓값은 [eqn: 8``], 최솟값은 [eqn: 4``]이다.

① [eqn: {2} over {3} pi ``]	② [eqn: pi ``]	③ [eqn: {4} over {3} pi ``]

④ [eqn: {5} over {3} pi ``]	⑤ [eqn: 2 pi ``]

함수 [eqn: y=2`cos`4x+5``]의 그래프와 [eqn: y=tan` LEFT ( {3x+ piover4 } } RIGHT ) ``]의 그래프의 점근선이 만나는 모든 점의 [eqn: y``]좌표 중에서 서로 다른 모든 [eqn: y``]좌표의 합은? [4.7점]

⑤

[eqn: tan3(x+{pi}over{12})]의 주기가 [eqn: {pi } over {3}] 이므로 점근선의 방정식을 [eqn: x={4n+1}over{12}pi] ([eqn: n]은 정수)

[eqn: n=0] 일 때, [eqn: x={pi}over{12}] 이고 [eqn: 2cos{pi}over{3}+5=6]

[eqn: n=1] 일 때, [eqn: x={5}over{12}pi] 이고 [eqn: 2cos{5}over{3}pi+5=6]

[eqn: n=2] 일 때, [eqn: x={3}over{4}pi] 이고 [eqn: 2cos3pi+5=3]

[eqn: y]좌표은 [eqn: 6,3] 을 반복하므로 [eqn: y]좌표의 합은 9이다.

① [eqn: 15``]	② [eqn: 12``]	③ [eqn: 11``]

④ [eqn: 10``]	⑤ [eqn: 9``]

함수 [eqn: y=tan`2x``]의 그래프와 직선 [eqn: x=k``]가 만나지 않도록 하는 음의 실수 [eqn: k``]의 최댓값은? [4.0점]

③

[eqn: 2`x`=` +- pi over2 `,`` +- 3over2 pi`,``+- 5over2 pi`,``cdots``]이므로

음의 실수 [eqn: k``]의 최댓값은 [eqn: - piover4 ``]이다.

① [eqn: - {pi } over {2}``]	② [eqn: - {pi } over {3}``]	③ [eqn: - {pi } over {4}``]

④ [eqn: - {pi } over {6}``]	⑤ [eqn: - {pi } over {8}``]

그림과 같이 [eqn: 0 le x le 2pi]인 범위에서 [eqn: tanx =p]([eqn: p>1])를 만족하는 [eqn: x]의 값을 각각 [eqn: a,~b]라 하고, [eqn: tanx = 1overp]를 만족하는 [eqn: x]의 값을 각각 [eqn: c,~d]라 할 때, [eqn: cos(a+b+c+d)]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 1over{sqrt{p^2 +1}}]	⑤ [eqn: 1oversqrtp]

①

[eqn: a<b]라 하면, [eqn: b=a+pi]이고 [eqn: c<d]라 하면 [eqn: d=c+pi]이다.

[eqn: tana`timestanc=1]이므로 [eqn: a+c` ={ pi } over {2}]이다.

[eqn: cos(a+b+c+d)][eqn: =cos3 pi][eqn: =-1]

양수 [eqn: a]에 대하여 집합 [eqn: LEFT { x ∣ - a over2 <x≤ 2a over3 ,```x≠ a over3RIGHT }]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=tan {3pi x }over 2a]가 있다.아래그림과 같이 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프 위의 세 점 [eqn: O,```A,```B]를 지나는 직선이 있다. 점[eqn: A]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 만나는 점중 [eqn: A]가 아닌점을 [eqn: C]라 하자. 삼각형 [eqn: ABC]가 정삼각형일 때, 삼각형[eqn: ABC]의 넓이는?(단, [eqn: O]는 원점이다.)[4.4점]

① [eqn: sqrt {3} } over {3}]	② [eqn: 2root3 }over3]	③ [eqn: 3root3 }over4]
④ [eqn: 4root3 }over3]	⑤ [eqn: 3root3]

④

점 [eqn: B]의 좌표를 [eqn: (t,````tan {3pi x }over{2a})]라 하면 점[eqn: A LEFT ( -t,````- tan {3pit}over{2a} RIGHT )]

정삼각형이므로 [eqn: AC]의 중점을 [eqn: D]라하면 [eqn: barAD = 2t]이고 [eqn: barAC `=4t]이다.[eqn: 4t]는 주기와 같은 값이므로 [eqn: 4t= 2over3 a]이므로 점[eqn: B]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: tan pi over4 =1] 정삼각형 [eqn: ABC]의 높이가 [eqn: 2]이므로 한변의 길이는 [eqn: 4over root3]에서

넓이는 [eqn: root3 over4 TIMES 16over 3 = {4root3} over3]

[eqn: - pi `<`x`<` pi] 일 때, 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: y=tan LEFT ( nx- {pi } over {2} RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y=-2x]의 서로 다른 교점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. 예를 들어, [eqn: a _{1} =2]이다. 이때, [eqn: a _{3} +a _{4}]의 값은?[[eqn: 5.0]점]

②

[eqn: - pi `<`x`<` pi] 일 때, 자연수 [eqn: n]

[eqn: y=tan LEFT ( nx- {pi } over {2} RIGHT )] 와 [eqn: y=-2x] 교점의 개수 [eqn: a _{n}]

[eqn: y=tan LEFT ( 3x- {pi } over {2} RIGHT )] 와 [eqn: y=-2x]

[eqn: y=tan3x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: {pi } over {6}]만큼 평행이동한것

[eqn: y=tan3 LEFT ( x- {pi } over {6} RIGHT )] 는 주기가 [eqn: {pi } over {3}] 점근선 [eqn: x= {n} over {3} pi]

[eqn: y=-2x]와 만나는 점중 [eqn: x]좌표가 구간[eqn: (- pi `,` pi )]에속하는 점은 [eqn: 6]개

[eqn: a _{3} =6]

[eqn: y=tan LEFT ( 4x- {pi } over {2} RIGHT )] 와 [eqn: y=-2x]

[eqn: y=tan4x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: {pi } over {8}]만큼 평행이동한것

[eqn: y=tan4 LEFT ( x- {pi } over {8} RIGHT )] 는 주기가 [eqn: {pi } over {4}] 점근선 [eqn: x= {n} over {4} pi]

[eqn: y=-2x]와 만나는 점중 [eqn: x]좌표가 구간[eqn: (- pi `,` pi )]에속하는 점은 [eqn: 8]개

[eqn: a _{4} =8]

[eqn: a _{3} +a _{4} =14]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

삼각함수 그래프의 대칭성

함수 [eqn: f(x)]가 다음 세 조건을 만족시킨다.

④

조건 (가)에서 [eqn: f left(x+ {pi } over {2} right)=f(x)]이므로 주기가 [eqn: {pi } over {2} `]이고

조건 (나), (다)에서 [eqn: y=±sin`8x`]의 주기는 [eqn: {2 pi } over {8} = {pi } over {4} `]이므로 그래프는 다음과 같다.

직선 [eqn: y=- {x} over {pi } + {1} over {2} `]이 점 [eqn: LEFT ( - {pi } over {2} ,````1 RIGHT ) `]과 점 [eqn: LEFT ( {pi } over {2} ,````0 RIGHT ) `]을 지나므로 교점이 [eqn: 8`]개이고, 또 [eqn: LEFT ( {pi } over {2} ,````0 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( {3 pi } over {2} ,````-1 RIGHT )]을 지나므로 교점이 [eqn: 8`]개다.

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]와 직선 [eqn: y=- {x} over {pi } + {1} over {2} `]의 교점의 개수는 [eqn: 16`]개다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f left(x+ {pi } over {2} right)=f(x)]이다.

(나) [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {4}]일 때, [eqn: f(x)=sin8x]

(다) [eqn: {pi } over {4} < x LEQ {pi } over {2}]일 때, [eqn: f(x)=`-sin8x]

이때, 함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=- {x} over {pi } + {1} over {2}]가 만나는 점의 개수는? [[eqn: 4.7]점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]
④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 <조건>을 만족시킨다.

이때 함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]가 만나는 점의 개수는? [5.2점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

①

(가)주기:1인 함수

(나)[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0``,``f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =4]

(다)[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0``,``f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =-4]

최댓값:4,최솟값:-4 함수 그래프이다.

함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]가 만나는 점의 개수는

①원점:1개

②[eqn: 0 PREC x PREC 4:3]개

③[eqn: -4 PREC x PREC 0:3]개

[eqn: ATT 7]개

[조 건]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+1 RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]이다.

(나) [eqn: 0 LEQ x LEQ {1} over {2}]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4`sin pi x]

(다) [eqn: {1} over {2} < x LEQ 1]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-4`sin pi x]

절댓값이 있는 삼각함수

한빛고/23년/K2/C

양수 [eqn: a,b,c]에 대하여 함수 [eqn: y=` vert acosbx-c vert]의 주기는 [eqn: 6pi]이고, 이 함수의 최댓값은 7, 최솟값은 3일 때, [eqn: a+b+c]의 값은? [4.6점]

① [eqn: { 10} over {3 }]	② [eqn: { 14} over { 3}]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: { 22} over {3 }]	⑤ [eqn: { 26} over {3 }]

④

최댓값7, 최솟값3이면 [eqn: acosbx-c`=0]인 근을 가지지 않음

주기 [eqn: 6 pi `=` {2 pi } over {b} (b는`양수),`b= {1} over {3}]

a와 c가 양수인 경우는 위 그림과 같은 경우

[eqn: a=2,`c=5]

두 함수 [eqn: y= LEFT | sin {ax} over {8} RIGHT |], [eqn: y= LEFT | tan {4x} over {b} RIGHT |]의 주기가 서로 같도록 하는 두 자연수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 최솟값은? [5.0점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 16]
④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 24]

②

함수 [eqn: y= LEFT | sin {ax} over {8} RIGHT |]의 주기는 [eqn: 8pi overa],

함수 [eqn: y= LEFT | tan {4x} over {b} RIGHT |]의 주기는 [eqn: {b pi } over 4]

따라서 [eqn: 8pi overa][eqn: =][eqn: {b pi } over 4]이므로 [eqn: ab=32]

[eqn: (a`,``b)`]의 순서쌍은 [eqn: (1`,``32)`,```(2`,``16)`,``(4`,``8)`,```(8`,``4)]이고 [eqn: a+b`]의 최솟값은 [eqn: 12]이다.

실수 [eqn: t``]에 대하여 [eqn: 0< theta <pi``]에서 정의된 두 함수

④

[eqn: g(theta)]의 최댓값은 [eqn: t+{1}over{2}]이고 최솟값은 [eqn: t] 이다.

[eqn: t LE -{1}over{2}] 일 때, [eqn: h(t)=0]

[eqn: -{1}over{2}<t<{1}over{3}]일 때, [eqn: h(t)=2]

[eqn: t={1}over{3}]일 때, [eqn: h(t)=1]

[eqn: t>{1}over{3}]일 때, [eqn: h(t)=0]

[eqn: h(x)=mx+n] 교점이 3개 일려면 [eqn: ({1}over{3}, 1)]을 지난다.

[eqn: ({1}over{3},1),(-{1}over{2},{2})]를 지나는 직선의 방정식은 [eqn: y=-{6}over{5}x+{7}over{5}]

[eqn: n>{7}over{5}] 이므로 정수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 2] 이다.

[eqn: f( theta )= {1} over {3}` sin theta `,``g( theta )= {1} over {2}` |`cos theta` |+t``]의 그래프의 교점의 개수를 [eqn: h(t)``]라 하자. 직선 [eqn: y=mx+n``]과 함수 [eqn: y=h(x)``]의 교점의 개수가 [eqn: 3``]일 때, 정수 [eqn: n``]의 최솟값은? (단, [eqn: m``]은 실수이다.) [4.9점]

① [eqn: -1``]	② [eqn: 0``]	③ [eqn: 1``]

④ [eqn: 2``]	⑤ [eqn: 3``]

여러가지 각의 삼각함수

좌표평면 위에 중심이 원점 [eqn: rm O]이고, 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원이 있다. 각 [eqn: theta]가 나타내는 동경과 원이 만나는 점의 좌표를 [eqn: rm A it (a,~b)]라 하자. [eqn: cos`(pi- theta) = 1over4], [eqn: tan` left( pi over2 + theta right) >0]일 때, [eqn: a+ b^2 = q overp]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

①

[eqn: a = cos `theta], [eqn: b = sin` theta]

[eqn: cos `(pi - theta) = - cos `theta = 1 over4], [eqn: THEREFORE cos `theta = - 1over4]

[eqn: a + b ^2 = cos `theta + sin^2 `theta = - 1over4 + 15 over16 = 11 over 16]

따라서 [eqn: p+q = 27]

[[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 27]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 31]
④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 35]

[eqn: pi `<` theta `<` {3 pi } over {2}]인 [eqn: theta]에 대하여

③

[eqn: {cos theta (1+sin theta )} over {(1-sin theta )(1+sin theta )} `-` {cos theta (1-sin theta )} over {(1-sin theta )(1+sin theta )}]

[eqn: = {cos theta CDOT 2sin` theta } over {1-sin ^{2} ` theta } =1], [eqn: {2sin theta } over {cos theta } `=`1,`tan theta `=` {1} over {2}]

3사분면이므로 [eqn: cos theta `=`- {2} over {sqrt {5}} `=- {2 sqrt {5}} over {5}]

[eqn: {cos theta } over {1-sin theta } `-` {cos theta } over {1+sin theta } `=`1]일 때, cos[eqn: theta]의 값은?	[4.7점]

① [eqn: - {sqrt {3}} over {2}]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: - {2 sqrt {5}} over {5}]
④ [eqn: -{ sqrt { 5} } over { 5}]	⑤ [eqn: -{1} over {3}]

[eqn: - {pi } over {3} < theta < {pi } over {2}]에서 점 [eqn: rmA` LEFT ( piover6`,~0 RIGHT )]을 지나고 기울기가 양수인 직선이 함수 [eqn: y=tan3x]의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만난다. 이 두 점의 [eqn: x]좌표 [eqn: alpha,~beta]에 대하여 [eqn: beta - alpha ` ={ pi } over {2}]일 때, [eqn: tan(alpha+2beta)]의 값은? (단, [eqn: alpha<beta]) [[eqn: 5.2]점]

① [eqn: -sqrt3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: - sqrt3 over3]
④ [eqn: sqrt3 over3]	⑤ [eqn: 1]

②

[eqn: f(x)=tan3x]라 하면, [eqn: f LEFT (piover3 -x RIGHT ) =tan(pi-3x) =-tan3x= -f(x)]

따라서 [eqn: f(x)]는 [eqn: LEFT ( {pi } over {6} `,~0 RIGHT )]에 대하여 점대칭이다, 또한 직선도 [eqn: LEFT ( {pi } over {6} `,~0 RIGHT )]에 점대칭이다.

[eqn: beta= piover6 + piover4 = 5piover12], [eqn: alpha = piover6 - piover4 =- piover12]이다,

[eqn: tan( alpha +2 beta )=tan 3piover4 =-1]

이다.

좌표평면 위에 중심이 원점 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원이 있다. 각 [eqn: theta]가 나타내는 동경과 원이 만나는 점의 좌표를 [eqn: rmA LEFT ( ita, b RIGHT )]라 하자. [eqn: cos LEFT ( pi + theta RIGHT ) = {1} over {4}], [eqn: cos LEFT ( {pi } over {2} + theta RIGHT ) >0]
일 때, [eqn: a+b+tan` theta]의 값은? [[eqn: 5]점]

① [eqn: {-1+3 sqrt {15}} over {4}]	②[eqn: {-1+2 sqrt {15}} over {4}]	③ [eqn: {-1+ sqrt {15}} over {4}]	④ [eqn: {-1+3 sqrt {15}} over {2}]	⑤ [eqn: {-1+ sqrt {15}} over {2}]

①

[eqn: cos LEFT ( pi + theta RIGHT ) =-cos` theta = {1} over {4}]

[eqn: cos` theta =- {1} over {4}]

[eqn: cos LEFT ( {pi } over {2} + theta RIGHT ) =-sin` theta >0]

[eqn: sin` theta <0]

[eqn: sin` theta =- sqrt {1-cos ^{2} theta } =- {sqrt {15}} over {4}]

[eqn: a=r`cdot`cos` theta =- {1} over {4}], [eqn: b=r`cdot`sin` theta =- {sqrt {`5}} over {4}]

[eqn: tan` theta = {- {sqrt {15}} over {4}} over {- {1} over {4}} = sqrt {15}]

[eqn: THEREFORE `a+b+tan` theta = {-1+3 sqrt {15}} over {4}]

[eqn: 0 LEQ alpha LEQ beta LEQ 2 pi]인 두 실수 [eqn: alpha,`beta]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 5.1]점]

	| 보 기 |
ㄱ. [eqn: alpha<x<beta]에서 [eqn: sinx>cosx]이면 [eqn: beta-alpha LEQ pi]이다. ㄴ. [eqn: alpha<x<beta]에서 [eqn: sinx> LEFT | cosx RIGHT |]이면 [eqn: beta - alpha LEQ {pi } over {2}]이다. ㄷ. [eqn: LEFT | sinalpha RIGHT | - LEFT | cosalpha RIGHT | = {1} over {2}]인 [eqn: alpha]의 개수는 [eqn: 6]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

③

ㄱ. [eqn: cosx]와 [eqn: sinx]의 그래프를 그리면

[eqn: A LEFT ( {pi } over {4} , {sqrt {2}} over {2} RIGHT )] [eqn: B LEFT ( {5pi } over {4} ,- {sqrt {2}} over {2} RIGHT )] 이므로 [eqn: beta-alpha]는 최대 [eqn: pi]이므로 맞다.

ㄴ. 마찬가지로 그래프를 그리면

[eqn: A LEFT ( {pi } over {4} , {sqrt {2}} over {2} RIGHT )] [eqn: B LEFT ( {3 pi } over {4} , {sqrt {2}} over {2} RIGHT )] 이므로 [eqn: beta-alpha]는 최대 [eqn: {pi} over {2}]이므로 맞다.

ㄷ. [eqn: sinalpha=y] [eqn: cosalpha=x]라 하면 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]이고 [eqn: LEFT | y RIGHT | = LEFT | x RIGHT | + {1} over {2}]이므로 그래프로 교점을 확인하면

교점의 개수는 4개이다.

삼각함수의 최대최소

함수 [eqn: y= 3 sin LEFT ( x - pi over 4 RIGHT )+1]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M-2m]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

①

[eqn: y= 3 sin LEFT ( x - pi over 4 RIGHT )+1]에서

[eqn: -1 le it sin itx le 1]이므로

[eqn: - 1 le it sin LEFT ( x - pi over 4 RIGHT )le 1]

[eqn: - 3 le it 3 sin LEFT ( x - pi over 4 RIGHT )le 3]

[eqn: - 2 le it 3 sin LEFT ( x - pi over 4 RIGHT )+1le 4]

[eqn: - 2 ley le 4]

따라서 최댓값 [eqn: M]은 [eqn: 4]이고 최솟값 [eqn: m]은 [eqn: -2]이다.

그러므로 [eqn: M-2m][eqn: = 4 - 2 times LEFT ( -2 RIGHT )= 4+4=8]

두 함수 [eqn: f(x)=2sin {pi } over {3} x,~g(x)=2cos {pi } over {3} x+1]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [총 [eqn: 6]점]

(1) [eqn: 10] (2) [eqn: 15`]개

(1) [eqn: LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} `+` LEFT { g(x) RIGHT } ^{2}][eqn: =][eqn: left{2`sin` {pi } over {3} x right}^2 + left{`2`cos` {pi } over {3} x+1right}^2]

[eqn: = 5+4`cos` {pi } over {3} x]

이때 [eqn: -1LEQ `cos` {pi } over {3} x LEQ 1`]이므로

[eqn: THEREFORE ~1 LEQ 5+4`cos` {pi } over {3} x LEQ 9]

따라서 최댓값 [eqn: alpha =9], 최솟값 [eqn: beta =1`]이므로 [eqn: alpha + beta =10]

(2) [eqn: f(n)+g(n-1)`=`][eqn: 2`sin` {pi } over {3} n +`2`cos` {pi } over {3} (n-1)+1]이므로

[eqn: 2`sin` {pi } over {3} n+`2`cos` {pi } over {3} (n-1)+1=-1- sqrt {3}]

[eqn: sin` {pi } over {3} n+`cos` {pi } over {3} (n-1)=- {sqrt {3}} over {2} -1]

따라서 [eqn: sin` {pi } over {3} n=- {sqrt {3}} over {2} ,``````cos` {pi } over {3} (n-1)=-1`]이어야 하므로

[eqn: n=4`]일 때 처음으로 성립하고 [eqn: f(x)`]와 [eqn: g(x)`]의 주기가 [eqn: 6`]이므로

두 자리 자연수 [eqn: n `]은 [eqn: `10`,``16`,`cdots`,``94]이므로 [eqn: 15`]개다.

[원칙 풀이]

[eqn: f(n)+g(n-1)`=`][eqn: 2`sin` {pi } over {3} n +`2`cos` {pi } over {3} (n-1)+1]이고

[eqn: f(x)`]와 [eqn: g(x)`]의 주기가 [eqn: 6`]이므로 자연수 [eqn: n`]을 [eqn: 6`]의 배수로 분류한다.

정수 [eqn: k`]에 대하여

(i) [eqn: n=6k]일 때,

[eqn: f(n)+g(n-1)][eqn: =2sin2k pi +2cos LEFT ( 2k pi - {pi } over {3} RIGHT ) +1=2]

(ii) [eqn: n=6k+1]일 때,

[eqn: f(n)+g(n-1)][eqn: =2sin LEFT ( 2k pi + {pi } over {3} RIGHT ) +2cos2k pi +1=3+ sqrt {3}]

(iii) [eqn: n=6k+2]일 때,

[eqn: f(n)+g(n-1)][eqn: =2sin LEFT ( 2k pi + {2 pi } over {3} RIGHT ) +2cos LEFT ( 2k pi + {pi } over {3} RIGHT ) +1=2+ sqrt {3}]

(iv) [eqn: n=6k+3]일 때,

[eqn: f(n)+g(n-1)][eqn: =2sin(2k pi + pi )+2cos LEFT ( 2k pi + {2 pi } over {3} RIGHT ) +1=0]

(v) [eqn: n=6k+4]일 때,

[eqn: f(n)+g(n-1)][eqn: =2sin LEFT ( 2k pi + {4 pi } over {3} RIGHT ) +2cos(2k pi + pi )+1=-1- sqrt {3}]

(vi) [eqn: n=6k+5]일 때,

[eqn: f(n)+g(n-1)][eqn: =2sin LEFT ( 2k pi + {5 pi } over {3} RIGHT ) +2cos LEFT ( 2k pi + {4 pi } over {3} RIGHT ) +1=- sqrt {3}]

따라서 [eqn: n=6k+4]일 때, [eqn: f(n)+g(n-1)`=`-1- sqrt {3}]이 성립한다.

그러므로 두 자리 자연수 [eqn: n `]은 [eqn: `10`,``16`,`cdots`,``94]이므로 [eqn: 15`]개다.

(1) 함수 [eqn: LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} `+` LEFT { g(x) RIGHT } ^{2}]의 최댓값이 [eqn: alpha], 최솟값이 [eqn: beta]일 때, 상수 [eqn: alpha + beta]의 값을 구하고, 그 풀이 과정을 자세히 하시오. [[eqn: 2]점]

(2) [eqn: f(n)+g(n-1)=-1- sqrt {3}]을 만족시키는 두 자리 자연수 [eqn: n]의 개수를 구하고, 그 풀이 과정을 자세히 하시오. [[eqn: 4]점]

[eqn: 0 LEQ x LEQ 2 pi ``]에서 함수 [eqn: y=sin ^{2} x+ a cosx+ {1} over {2} a+5``]의 최댓값을 [eqn: f(a)``]라 하자. 방정식 [eqn: 4f(a)-3a-35=0``]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: a``]의 값의 곱을 구하고, 그 과정을 하시오. [6점]

[eqn: -15``]

[eqn: sin ^{2} x+acosx+ {1} over {a} +5=-cos ^{2} x+acosx+ {1} over {2} a+6]

[eqn: cosx=t] 라고 치환하면 [eqn: -t ^{2} +at+ {1} over {2} a+6] [eqn: (-1leqt leq1)]

[eqn: -1< a over2 <1] 일 때, [eqn: f(a)= {1} over {4} a ^{2} + {1} over {2} a+6]

[eqn: 4f(a)-3a-35=a^2 -a -11=0]

[eqn: a= {(1+3root5)}over2][eqn: , {(1-3 sqrt {5)}} over {2}] 이므로 범위에 만족하지 않는다.

[eqn: 1`leq a over2] 일 때, [eqn: f(a)= 3over2 a+5]

[eqn: 4f(a)-3a-35=3a-15=0], [eqn: a=5]

[eqn: a over2 leq-1] 일 때, [eqn: f(a)=- {1} over {2}a+5]

[eqn: 4f(a)-3a-35=-5a-15=0,a=-3]

따라서 [eqn: a]값의 곱은 [eqn: -15]이다.

[eqn: 0 le x le 2pi]에서 [eqn: y=it -2`sin^2`x+sin`x+3]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 6.0]점]

[eqn: 25 over 8]

[eqn: 0 le x le 2pi]에서 [eqn: -1 le sin`x le 1], [eqn: sin`x=t]로 치환하면

[eqn: y=it -2t^2 +t+3] [eqn: (-1 le t le 1)]

[eqn: y=it -2 LEFT ( t- 1 over 4 RIGHT )^2 + 25 over 8]

최댓값은 [eqn: t= 1 over 4]일 때 [eqn: 25 over 8], 최솟값은 [eqn: t=it -1]일 때 [eqn: 0]

[eqn: therefore~ 25 over 8 +0= 25 over 8]

한빛고/23년/K3/C

실수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x)`=`sin ^{2} ( LEFT . x+ {3} over {4} pi RIGHT . )`+`sin( LEFT . x+ {pi } over {4} RIGHT . )+k]의 최솟값은 2, 최댓값은 [eqn: M]이다. [eqn: kM]의 값은? [4.9점]

① [eqn: {27} over {4}]	② [eqn: {33} over {4}]	③ [eqn: {39} over {4}]
④ [eqn: {45} over {4}]	⑤ [eqn: {51} over {4}]

⑤

[eqn: sin( LEFT . x+ {3 pi } over {4} RIGHT . )`=`sin( LEFT . [x+ {pi } over {4} ]`+ {pi } over {2} RIGHT . )=cos( LEFT . x+ {pi } over {4} RIGHT . )`]

[eqn: f(x)`=`sin ^{2} ( LEFT . x+ {3} over {4} pi RIGHT . )+sin( LEFT . x+ {pi } over {4} RIGHT . )+k`# =``cos ^{2} ( LEFT . x+ {pi } over {4} RIGHT . )+sin( LEFT . x+ {pi } over {4} RIGHT . )+k`# = LEFT { 1-sin ^{2} ( LEFT . x+ {pi } over {4} RIGHT . ) RIGHT } +sin( LEFT . x+ {pi } over {4} RIGHT . )+k# sin( LEFT . x+ {pi } over {4} RIGHT . )`=`t로`치환`(-1 LEQ t LEQ 1)# # LEFT { 1-sin ^{2} ( LEFT . x+ {pi } over {4} RIGHT . ) RIGHT } +sin( LEFT . x+ {pi } over {4} RIGHT . )+k`=`-t ^{2} +t+1+k# =- LEFT ( t- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {5} over {4} +k# # t=`-1,`- LEFT ( -1- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {5} over {4} +k`=`2,`k=3(최소일`때)# t=` {1} over {2} ,`- LEFT ( {1} over {2} - {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {5} over {4} +k`=` {17} over {4}# kM`=`3 TIMES {17} over {4} = {51} over {4}]

삼각방정식

그림과 같이 [eqn: 0 LEQ x LEQ 12 pi ``]에서 [eqn: y=4sin {1} over {4} x``]의 그래프가 직선 [eqn: y=2``]와 만나는 점의 [eqn: x``]좌표를 [eqn: a,`b,`e,`f`(a<b<e<f)``]라 하고, 직선 [eqn: y=-2 sqrt {3}``]와 만나는 점의 [eqn: x``]좌표를 [eqn: c,`d(c<d)``]라 할 때, 실수 [eqn: a+b+c+d+e+f``]의 값은? [4.8점]

③

그래프의 대칭성에 따라 [eqn: a+b=4`pi`,``c+d=12`pi`,``e+f=20`pi`]이므로

[eqn: a+b+c+d+e+f`=`36`pi``]이다.

① [eqn: 32 pi ``]	② [eqn: 34 pi ``]	③ [eqn: 36 pi ``]

④ [eqn: 38 pi ``]	⑤ [eqn: 40 pi ``]

[eqn: 0 LEQx LEQ2 pi]일 때, 방정식 [eqn: 2sin ^{2} x+cosx-1=0]의 모든 실근의 합은? [[eqn: 3.5]점]

① [eqn: pi]	② [eqn: 2 pi]	③ [eqn: 3 pi]
④ [eqn: 4 pi]	⑤ [eqn: 5 pi]

④

[eqn: 2sin ^{2} x+cosx-1=0]에서 [eqn: 2 LEFT ( 1-cos ^{2} x RIGHT ) +cosx-1=0]

[eqn: 2cos ^{2} x-cosx-1=0,~][eqn: (2cosx+1)(cosx-1)=0]

[eqn: therefore~ cosx=- 1over2] 또는 [eqn: cosx= {1}] [eqn: ( because -1 le cos x le 1)]

[eqn: 0 LEQx LEQ2 pi] 에서

따라서 [eqn: x= 2 over3 pi], [eqn: x= 4over3 pi], [eqn: x= 2 pi]이므로 합은 [eqn: 2 over3 pi + 4 over3 pi + 2pi= 4pi]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0<x< {n} over {12} pi]일 때, 방정식 [eqn: sin ^{2} (4x)-1=0]의 실근의 개수를 [eqn: f(n)]이라 하자. [eqn: f(n)=37]이 되도록 하는 모든 [eqn: n]의 값의 합은? [[eqn: 5.0]점]

① [eqn: 329]	② [eqn: 330]	③ [eqn: 331]	④ [eqn: 332]	⑤ [eqn: 333]

⑤

[eqn: sin ^{2} (4x)=1]을 풀면 [eqn: sin4x=1] or [eqn: sin4x=-1] 이므로 교점의 개수의 합이 37개가 되려면 [eqn: {pi} over {2}] 주기마다 교점을 두 개씩 가지므로

[eqn: 2 TIMES 18+1]개의교점을 가지면 된다.

[eqn: {pi} over {2} TIMES 18]+[eqn: {pi} over {8}][eqn: LEQ {pi } over {12} n<][eqn: {pi} over {2} TIMES 18][eqn: + {3} over {8} pi]

[eqn: 109.5LEQ n<112.5]이므로 [eqn: n=110,111,112]이다. 합은 [eqn: 333]이 된다.

한빛고/23년/K2/C

함수 [eqn: y`=`4cos {pi } over {6} x`( LEFT . 0 LEQ x LEQ 12 RIGHT .)]의 그래프와 직선 [eqn: y=2]가 만나는 두 점을 A, B라 할 때, 선분 AB의 길이는? [4.5점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

③

[eqn: 4cos {pi } over {6} x`=`2,`cos {pi } over {6} x`=` {1} over {2}]을 성립하는 [eqn: x=`2,`10]

선분 [eqn: AB`=`10`-`2`=`8]

[eqn: 0<x le 2 pi]일 떄, 방정식 [eqn: 2cos^2 LEFT ( piover2 -x RIGHT )-cosx=1]의 모든 근의 합은?

① [eqn: pi]	② [eqn: 3piover2]	③ [eqn: 2pi]
④ [eqn: 5piover2]	⑤ [eqn: 3pi]

⑤

[eqn: 2cos ^{2} LEFT ( {pi } over {2} -x RIGHT ) -cosx=1]에서

[eqn: 2sin ^{2} x-cosx=1], [eqn: 2-2cos ^{2} x-cosx=1]

∴[eqn: 0=2cos ^{2} x+cosx-1]

[eqn: =(2cosx-1)(cosx+1)]

∴ [eqn: cos`x`=`1over2] 또는 [eqn: cosx=-1]

[eqn: x]의 합은 [eqn: 2times`pi+pi=3pi]

삼각함수 [eqn: y=2cos left(2x- {pi } over {3} right)`(0`<x< pi )]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {3}]이 만나는 점의 x좌표를 각각 [eqn: alpha , beta ( alpha < beta )]라 할 때, [eqn: sin( alpha + beta )]의 값은?	[5.4점]

① [eqn: - {sqrt {3}} over {2}]	② [eqn: - {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: - {1} over {2}]
④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

①

[eqn: 2x- {pi } over {3} =t``````,```- {pi } over {3} `<t```< {5 pi } over {3}]

[eqn: t _{1} +t _{2} =`2 pi ``,```(2x _{1} - {pi } over {3} )+(2x _{2} - {pi } over {3} )=2 pi ,````x _{1} +x _{2} = {4} over {3} pi]

[eqn: sin( LEFT . alpha + beta RIGHT . )`=`sin( {4 pi } over {3} )`=``-` {sqrt {3}} over {2}]

[eqn: 0 LEQ x<2pi]일 때, [eqn: 2log _{2} (- sqrt {3} `sin`x)=log _{2} (1+cos`x)-1]을 만족시키는 [eqn: x]의 값 [eqn: a]에 대하여 [eqn: tan`a]의 값은? [4.6점]

① [eqn: - {sqrt {11}} over {5}]	② [eqn: - {sqrt {11}} over {6}]	③ [eqn: {sqrt {11}} over {6}]
④ [eqn: {sqrt {11}} over {5}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

①

[eqn: - sqrt {3} `sina>0`,``1+cosa>0]이고 [eqn: (-root3sina )^2 = {1+cosa} over2]

[eqn: therefore```6`cos^2 a + cosa -5 =0`]에서 [eqn: cosa `= 5over6]

따라서, [eqn: tan`a`= - root11 over 5]

[eqn: 0 LEQ x< {5} over {2} pi]일 때, 방정식 [eqn: 3`tanx=2]를 만족시키는 [eqn: x]의 값을 작은 것부터 차례대로 [eqn: alpha ,``` beta ,``` gamma]라고 하자. 이때 [eqn: tan LEFT ( alpha - {beta - gamma } over {2} RIGHT )]의 값은? [4.6점]

① [eqn: - {3} over {2}]	② [eqn: - {2} over {3}]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

②

[eqn: tan alpha = {2} over {3}] [eqn: beta = alpha + pi ,```` gamma = alpha +2 pi]

[eqn: tan LEFT ( alpha - {beta - gamma } over {2} RIGHT ) =tan LEFT ( alpha - {alpha + pi - LEFT ( alpha +2 pi RIGHT )} over {2} RIGHT ) =tan LEFT ( alpha + {pi } over {2} RIGHT )]

[eqn: =- {1} over {tan alpha } =- {2} over {3}]

삼각부등식

부등식 [eqn: tan`x<`root{3}] (단, [eqn: 0 LE x < {pi}over{2}])의 해는? [4.5점]

① [eqn: 0 Le x < {pi}over{6}]	② [eqn: 0 Le x < {pi}over{4}]	③ [eqn: 0 Le x <{pi}over{3}]
④ [eqn: {pi}over{6} < x < {pi}over{2}]	⑤ [eqn: {pi}over{3} < x < {pi}over{2}]

③

[eqn: tan 0 =0]

[eqn: tan{rootx}over{3}=root3]

[eqn: THEREFORE 0 LEQ `x< {pi } over {3}]

[eqn: 0 le x < 4 pi]에서 부등식 [eqn: - sqrt3 < tan ` x over2 < 1 oversqrt3]의 해가 [eqn: 0 le x le alpha] 또는 [eqn: beta < x < gamma] 또는 [eqn: delta < x< 4pi]일 때, [eqn: alpha + beta + gamma + delta]의 값은?

④

[eqn: x over2 = t]라 하면 [eqn: 0le t < 2pi], [eqn: y = tan ` t]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: 0 le t < 1 over6 pi], [eqn: 2 over3 pi < t< 7 over6 pi], [eqn: 5 over3 pi < t < 2pi]이므로

[eqn: 0 le x < pi over3], [eqn: 4 over3 pi < x < 7 over3 pi], [eqn: 10 over3 pi < x < 4pi]

따라서 [eqn: alpha + beta + gamma + delta = 22 over3 pi]

[[eqn: 4.7]점]

① [eqn: 16 over3 pi]	② [eqn: 6 pi]	③ [eqn: 20 over 3 pi]
④ [eqn: 22 over3 pi]	⑤ [eqn: 8 pi]

[eqn: 0<x<4``]일 때, 부등식 [eqn: (3 ^{x} -9)` left(2sin {pi } over {2} x-1 right)`<`0``]의 해는

④

1) [eqn: 0<x<2``]일 때, [eqn: 3^x -9 <0``]이므로

[eqn: 2sin {pi } over {2} x-1 `>`0``] 즉, [eqn: sin {pi } over {2} x `>`1over2 ``]에서 [eqn: 1over3 `<`x`<`5over3 ``]이다.

2) [eqn: 2<x<4``]일 때, [eqn: 3^x -9 >0``]이므로

[eqn: 2sin {pi } over {2} x-1 `<`0``] 즉, [eqn: sin {pi } over {2} x `<`1over2 ``]에서 [eqn: 2<x<4``]이다.

따라서 [eqn: ( beta - alpha )+( delta - gamma )``][eqn: =`5over3 - 1over3 +4-2`=`10over3 ``]이다.

[eqn: alpha <x< beta ``] 또는 [eqn: gamma <x< delta ``]이다. [eqn: ( beta - alpha )+( delta - gamma )``]의 값은? [5.0점]

① [eqn: {7} over {3}``]	② [eqn: {8} over {3}``]	③ [eqn: 3``]

④ [eqn: {10} over {3}``]	⑤ [eqn: 4``]

[eqn: - pi over2 < theta < pi over2`]일 때, 직선 [eqn: y= 2x` tan` theta - 1 over{ cos `theta} `]와 포물선 [eqn: y=x^2 +1`]이 만나도록 하는 모든 [eqn: theta`]의 범위를 구하고 그 과정을 하시오. [8.0점]

[eqn: - pi over2 < theta le - pi over3] 또는 [eqn: pi over3 le theta < pi over2]

[eqn: x^2 +1 =2x tan`theta - 1 over{cos`theta }]

[eqn: x^2 -2x tan`theta +1+ 1 over{cos`theta}=0]

[eqn: D/4= tan^2 `theta - 1 - 1 over {cos`theta} ge0]

[eqn: - pi over2 < theta < pi over2]에서 [eqn: cos^2`theta >0`]이므로 [eqn: cos^2`theta]을 곱하면

[eqn: sin^2` theta- cos^2`theta - cos`theta ge0]

[eqn: 1-2`cos^2 theta - cos`theta ge0]

[eqn: 2cos^2 `theta +cos`theta-1 le0]

[eqn: (2`costheta-1)(cos`theta+1) le0]

[eqn: cos`theta+1 ge0`]이므로 [eqn: cos theta le 1 over2]

[eqn: therefore] [eqn: - pi over2 < theta le - pi over3] 또는 [eqn: pi over3 le theta < pi over2]

실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x ^2 -2x sin theta + sqrt {2} over {2} rm sin theta >0`]이 항상 성립하도록 하는 모든 [eqn: theta]의 값의 범위가 [eqn: alpha<theta<beta]라 할 때, [eqn: alpha+beta]의 값은? (단, [eqn: - piover2 <theta< piover2]) [[eqn: 5.1]점]

① [eqn: - 3piover4]	② [eqn: - piover4]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: piover4]	⑤ [eqn: 3piover4]

④

[eqn: D/4 =sin^2 theta - sqrt2 over2 rm sin theta <0]이다. 따라서

[eqn: sintheta LEFT ( sintheta- sqrt2 over2 RIGHT )<0], [eqn: 0<sintheta< sqrt2 over2]이다.

∴ [eqn: 0<theta< piover4]

이다.

부등식 [eqn: cos ^{2} theta +sin theta GEQ -2k+3``]이 모든 실수 [eqn: theta ``]에 대하여 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: k``]의 최솟값은? [4.6점]

⑤

[eqn: cos ^{2} theta +sin theta GEQ -2k+3``]를 변형하면

[eqn: sin^{2} theta -sin theta -2k+2 `le` 0``]

[eqn: LEFT (` sin theta - 1over2` RIGHT )^2 -2`k+ 7over4 `le` 0``]이며

[eqn: -1 le sin theta le 1``]이므로

[eqn: f`(theta)`=`LEFT (` sin theta - 1over2` RIGHT )^2 -2`k+ 7over4 ``]는

[eqn: sin theta`=`-1``]일 때 최댓값 [eqn: -2`k+4``]를 갖는다.

이 모든 실수 [eqn: theta ``]에 대하여 항상 성립하도록 하려면

[eqn: -2`k+4`le`0``]에서 실수 [eqn: k``]의 최솟값은 [eqn: 2``]이다.

① [eqn: {7} over {8}``]	② [eqn: 1``]	③ [eqn: {5} over {4}``]

④ [eqn: {3} over {2}``]	⑤ [eqn: 2``]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: 12x^2 +4 root 2 x`cos`theta+cos`theta=0]의 실근이 존재하지 않을 때, [eqn: theta]의 값의 범위는? (단, [eqn: 0 le x<2pi])

① [eqn: 0<x< pi over 2]
② [eqn: 0<x<pi]
③ [eqn: 3pi over 2 le x<2pi]
④ [eqn: 0<x< pi over 2] 또는 [eqn: 3pi over 2 le x<2pi]
⑤ [eqn: 0 le x< pi over 2] 또는 [eqn: 3pi over 2 <x<2pi]

⑤

[eqn: 12x^2 +4 root 2`cos`theta x+cos`theta=0]

[eqn: D/4 = 8`cos^2`theta -12`cos`theta<0]

[eqn: 2`cos^2`theta-3`cos`theta<0], [eqn: cos`theta(2`cos`theta-3)<0]

[eqn: 0<cos`theta< 3 over 2], [eqn: 0 le theta<2pi]

[eqn: 0<cos`theta< 3 over 2]인 범위는

[eqn: 0 le theta< pi over 2], [eqn: 3 over 2 pi<theta<2pi]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x ^{2} +2 sqrt {3} sin theta x+5cos theta +1>0]이 항상 성립하도록 하는 [eqn: theta]의 범위가 [eqn: 0 LEQ theta <p] 또는 [eqn: q< theta <2pi]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하는 과정을 논술하시오. (단, [eqn: 0 LEQ theta <2pi]이다.) [총 10.0점]

[eqn: 2pi]

[eqn: 3sin ^{2} theta -5cos theta -1<0]이므로 [eqn: 3`cos^2 theta +5cos theta -2 >0]

따라서, [eqn: 3costheta>1]이므로 [eqn: cos theta > 1 over3]

[eqn: cos theta = {1} over {3}`]인 [eqn: theta`][eqn: = p`,``q]에 대하여 대칭성을 이용하면 [eqn: p+q`][eqn: =][eqn: 2pi]

삼각방정식과 부등식의 활용

[eqn: 0 le x le 2pi]일 때, [eqn: x]에 대한 부등식 [eqn: sin x - cos^2 x +k ge0]이 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은? [[eqn: 4.2]점]

⑤

[eqn: sinx-cos ^{2} x+k GEQ 0`]에서

[eqn: sinx- LEFT ( 1-sin ^{2} x RIGHT ) +k GEQ 0`]

[eqn: THEREFORE ~sin ^{2} x+sinx+k-1 GEQ 0]

[eqn: sinx=t`]로 놓으면 [eqn: -1 LEQ t LEQ 1`]이고, 주어진 부등식은

[eqn: t ^{2} +t+k-1 GEQ 0]

[eqn: y=t ^{2} +t+k-1`]이라 하면

[eqn: y= LEFT ( t+ {1} over {2} RIGHT ) ^{2} +k- {5} over {4}]

이므로 [eqn: -1 LEQ t LEQ 1`]에서 [eqn: t= it - {1} over {2} `]일 때 최솟값 [eqn: k- {5} over {4} `]를 갖는다.

이때 부등식이 항상 성립하려면 [eqn: k- {5} over {4} GEQ 0`]이어야 하므로

[eqn: k GEQ {5} over {4}]

따라서 [eqn: k`]의 최솟값은 [eqn: {5} over {4} `]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 3over4]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5over4]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x ^{2} +2x`sin` theta + {1} over {9} GEQ 0]이 성립할 때, [eqn: cos` theta]의 최솟값은? [eqn: LEFT ( - {pi } over {2} LEQ theta LEQ {pi } over {2} RIGHT )] [[eqn: 5]점]

① [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: {sqrt {5}} over {3}]
④ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: {2 sqrt {2}} over {3}]

⑤

[eqn: D= LEFT ( 2`sin` theta RIGHT ) ^{2} -4 TIMES {1} over {9} LEQ 0]

[eqn: - {1} over {3} LEQ sin` theta LEQ {1} over {3}]

[eqn: - {pi } over {2} LEQ theta LEQ {pi } over {2}]에서 [eqn: sin` theta = {1} over {3}] 또는 [eqn: - {1} over {3}]일 때, [eqn: cos` theta]는 최솟값을 갖는다.

[eqn: cos` theta = sqrt {1-sin ^{2} theta } = {2 sqrt {2}} over {3}]

[eqn: 0<x<pi]일 때, 부등식 [eqn: cos^2 x -3 sinx-a+1<0]이 항상 성립하도록 정수 [eqn: a]의 최솟값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

②

[eqn: cos ^{2} x-3sinx-a+1<0], [eqn: 1-sin ^{2} x-3sinx-a+1<0]

∴[eqn: 2-a<sin ^{2} x+3sinx]

[eqn: u=sinx]([eqn: 0<u`le1])이라 하면, [eqn: sin^x +3sinx=u^2 +3u]이다.

[eqn: 2-a<u ^{2} +3u]

따라서 [eqn: 2-a]는 [eqn: u ^2`+3u]([eqn: 0<u le1])의 최솟값보다 작다.

[eqn: 2-a le 0], [eqn: a ge2]

부등식 [eqn: cos left(x- {pi } over {6} right)`< {１} over {２}]과 방정식 [eqn: vert `tanx vert]=1을 동시에 만족시키는 모든 [eqn: x]값의 합은? (단, [eqn: 0<x<2 pi])	[4.9점]

①[eqn: {11} over {4}][eqn: pi]	② 3[eqn: pi]	③ [eqn: {13} over {4}][eqn: pi]
④ [eqn: {7} over {2}][eqn: pi]	⑤ [eqn: {15} over {4}]

⑤

[eqn: {pi } over {3} <`x- {pi } over {6} < {5 pi } over {3} `,` {pi } over {2} <`x`<` {11 pi } over {6}]

[eqn: vert tanx vert `=1`,`tanx`=`1`,-1]

[eqn: x`=` {3 pi } over {4} `,` {5 pi } over {4} ,` {7 pi } over {4}]

어느 지역의 [eqn: t]월의 월평균 기온 [eqn: T (t)DEG rmC]가

⑤

[eqn: pi over 6 (t-2) = theta]라 하자. [eqn: 6 sqrt3 + 12 cos `theta le 0]에서

[eqn: cos `theta le - sqrt3 over2]

[eqn: 5 over6 pi le theta le 7 over 6 pi]

[eqn: 5 over6 pi le pi over6 (t-2) le 7 over 6 pi]

[eqn: 7 le t le 9]

따라서 [eqn: m = 7], [eqn: M = 9] [eqn: THEREFORE~2m + M = 23]

[eqn: T(t) = 6sqrt3 + 12 cos pi over6 (t-2) ( DEG rm C)]

일 때, 일 년 동안 이 지역의 월평균 기온이 [eqn: 0 DEG rm C]이하인 달은 모두 [eqn: m]월부터 [eqn: M]월까지 이다. [eqn: 2m+M]의 값은? (단, [eqn: m], [eqn: M]은 [eqn: 12]이하의 자연수이다.)

[[eqn: 4.9]점]

① [eqn: 19]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 21]
④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 23]

삼각함수의 그래프 (step3)

6.

양의 실수 [eqn: a]에 대하여 두 함수 [eqn: y= tan pi over4 x], [eqn: y= log`_{1over2} x overa +1]의 그래프가 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: a]의 값의 합을 구하고, 풀이과정을 논술하시오. [[eqn: 9.0]점]

[eqn: 7]

함수 [eqn: y= tan pi over 4 x]의 주기는 [eqn: pi over { { pi} over { 4}}=4]이다.

[eqn: a>0]이고, 함수 [eqn: y= log`_{1over2 } x overa +1]이 제[eqn: 4]사분면에서 만나는 점의 개수가 [eqn: 2]가 되려면 함수 [eqn: y= log `_{1over2} x overa +1]의 그래프와 [eqn: x]축의 교점이 [eqn: 4]보다 크고 [eqn: 8]보다 작아야 한다.

즉 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )= log`_{{ 1} over {2 }} x over a +1]일 때, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )>0], [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) le 0]을 만족시켜야 한다.

([eqn: ⅰ]) [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )= log `_{1over2} 4 over a +1 >0]
[eqn: log `_{1over2} 4 over a > -1 = log`_{1over2} 2]이므로
[eqn: 4overa <2]이다.
따라서 [eqn: a>2]이다.

([eqn: ⅱ]) [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT )= log`_{1over2} 8overa +1 le 0]
[eqn: log`_{1over2} 8overa le -1 = log`_{1over2 } 2]이므로
[eqn: 8over a le 2]이다.
그러므로 [eqn: a le 4]이다.

([eqn: ⅰ]), ([eqn: ⅱ])에 의하여 [eqn: 2<a le 4]이므로

이를 만족하는 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 3], [eqn: 4]이다.

따라서 만족하는 모든 자연수 [eqn: a]의 합은 [eqn: 7]이다.

두 양수 [eqn: a,`b]와 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2 pi]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=a`sin3x+b]의 그래프와 직선 [eqn: y=n]이 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: g(n)]이라 하자. 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(n)]이 다음 조건을 모두 만족시킬 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값은? [[eqn: 5.3]점]

① [eqn: 46]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 50]	④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 54]

④

사인함수의 주기가 [eqn: {2pi} over {3}]이므로 교점은 [eqn: y=b]일때는 [eqn: 7]개이고 [eqn: y=a+b`],[eqn: y=a-b]일때는 [eqn: 3]개 [eqn: y=k]가 [eqn: b<k<a+b]거나

[eqn: a-b<k<b]인 경우에는 교점이 [eqn: 6]개가 되어야한다. 다 조건을 만족시키려면 교점이 6개가 되는 [eqn: k]가 3개여야 하고 7개인 것 1개 3개인 것 1개여야 하는데 [eqn: f(0)>2]인 조건에서 [eqn: b>2]이이고 [eqn: g(2)=g(6)]이므로 [eqn: g(4)]가 [eqn: y=b]와의 교점이 되어야 한다.

[eqn: y=10]이 가장 값이 큰 상수함수인데 [eqn: g(10)]이 [eqn: y=a+b]와의 교점이어야지만 교점이 3개가 가능하므로 경우가 [eqn: a+b=10]인 한 가지만 존재한다.

따라서 [eqn: b=4] [eqn: a=6]이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =52]이다.

(가) [eqn: f(0)>2]

(나) [eqn: g(2)=g(6)]

(다) [eqn: g(2)+g(4)+g(6)+g(8)+g(10)=28]

함수 [eqn: f(x)=sin2x]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: - {pi } over {4}]만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수를 [eqn: y=g(x)]라 하자. [eqn: 0 LEQ x LEQ pi]일 때, 방정식 [eqn: LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} = {3} over {2} g(x)]를 만족시키는 서로 다른 실수 [eqn: x]의 값을 모두 구하고 그 과정을 논술하시오. [[eqn: 6.0]점]

[eqn: x= {pi} over {6}] 또는 [eqn: x= {5} over {6} pi]

[eqn: g(x)=sin2(x+ {pi} over {4} )][eqn: =sin LEFT ( 2x+ {pi} over {2} RIGHT )][eqn: =cos2x]이므로

[eqn: sin ^{2} 2x= {3} over {2} cos2x] [eqn: sin ^{2} 2x=1-cos ^{2} 2x]로 정리하면

[eqn: 2cos ^{2} 2x+3cos2x-2=0] [eqn: cos2x= {1} over {2} ,-2] 인데 [eqn: cos2x]의 최솟값은 [eqn: -1]이므로 [eqn: cos2x= {1} over {2}]이다. [eqn: x]의 범위인 [eqn: 0 LEQ x LEQ pi]에서

방정식의 해는 [eqn: x= {pi} over {6}] 또는 [eqn: x= {5} over {6} pi]이다.

그림과 같이 함수 [eqn: y=sinkx]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분에 직사각형 [eqn: ABCD] 가 내접하고 있다. [eqn: bar{BC} =2]이고, 직사각형 [eqn: ABCD]의 넓이가 [eqn: sqrt {2}]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: 0<k< pi]이다.) [4.3점]

① [eqn: {pi } over {6}]	② [eqn: {pi } over {4}]	③ [eqn: {pi } over {3}]
④ [eqn: {pi } over {2}]	⑤ [eqn: {2 pi } over {3}]

②

가로의 길이가 [eqn: 2]이고 넓이가 [eqn: sqrt {2}]이므로

높이는 [eqn: {sqrt {2}} over {2}]이다

주어진 함수의 주기가 [eqn: {2 pi } over {k}] 이므로

[eqn: A]와 [eqn: D]의 중점 [eqn: x]좌표는 [eqn: {1} over {4} TIMES {2 pi } over {k} = {pi } over {2k}]

[eqn: A]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {pi } over {2k} -1, {sqrt {2}} over {2} RIGHT )]

∴[eqn: {sqrt {2}} over {2} =sin LEFT { k LEFT ( {pi } over {2k} -1 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: k LEFT ( {pi } over {2k} -1 RIGHT ) = {pi } over {4}]

[eqn: {pi } over {2} -k= {pi } over {4}]

[eqn: k= {pi } over {4}]

[eqn: -2<x<2]인 실수 [eqn: x]에 대하여 함수 [eqn: y=2^x]의 그래프와 함수 [eqn: y=2 cos piover3 x]의 그래프가 만나는 점을 [eqn: rmA(itx_1 ,~y_1 )], [eqn: rmB(itx_2 ,~y_2 )]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: x_1 <x_2]) [[eqn: 5.7]점]

③

[eqn: f(x)=2^x], [eqn: g(x)=2cos piover3 x]라 하자,

ㄱ, 참

[eqn: f LEFT ( 1over2 RIGHT ) =sqrt2], [eqn: g LEFT ( 1over2 RIGHT ) =sqrt3]이므로, [eqn: f LEFT ( 1over2 RIGHT )<g LEFT ( 1over2 RIGHT )], [eqn: x > 1over2]에서 [eqn: f(x)]는 증가함수. [eqn: g(x)]는 감소함수이며, [eqn: 2=f(1)>g(1)=1]이다. 따라서 [eqn: x_2 > 1over2]이다.

ㄴ. 거짓

[eqn: f(-2)= 1over4], [eqn: g(-2) =-1]이고 함수는 증가함수이고,

[eqn: f(-1)=`1over2], [eqn: g(-1)=1]이므로 [eqn: -2<x_1 < -1]이다.

따라서 [eqn: y_2 <2]이고, [eqn: y _{1} < 1over2]이므로 [eqn: y_1 y_2 <1]이다.

ㄷ. 참

함수 [eqn: y=2^x] 위의 점 [eqn: (1,~2)]와 점 [eqn: (-1,~0)]을 이은 선분의 기울기가 [eqn: 1]이고, 이 선분과 함수 [eqn: y=2^x]가 만나는 [eqn: (1,~2)]가 아닌 점을 [eqn: (x_3 ,~y_3 )]이라 하자, 그러면 볼록의 성질에 의해 [eqn: {y_2 -y_3}over{x_2 -x_3}<1]이다. 또한 [eqn: {y _{2} -y _{1}} over {x _{2} -x _{1}} < {y _{2} -y _{3}} over {x _{2} -x _{3}}]이므로 [eqn: {y _{2} -y _{1}} over {x _{2} -x _{1}} <1]이다.

① ㄱ	② ㄱ,ㄴ	③ ㄱ,ㄷ
④ ㄴ,ㄷ	⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

[보기]

ㄱ. [eqn: x_2 > 1over2]       ㄴ. [eqn: y_1 y_2 >1]     ㄷ. [eqn: x_2 -x_1 >y_2 -y_1]

양수 [eqn: a``]와 자연수 [eqn: b``]에 대하여 정의역이 [eqn: LEFT { x vert 0 LEQ x LEQ {5 pi } over {2b} RIGHT }``]인 함수 [eqn: f(x)=a`sin`bx+ {a} over {2}``]의 그래프와 직선 [eqn: y=a``]가 세 점에서 만날 때, 이 세 점을 [eqn: x``]좌표가 작은 것부터 순서대로 [eqn: A,~B,~C``]라 하고, 세 점 [eqn: A,~B,~C``]의 [eqn: x``]좌표를 각각 [eqn: alpha ,~ beta ,~ gamma ``]라 하자. 점 [eqn: P LEFT ( {3 pi } over {2b} ,~- {a} over {2} RIGHT )``]에 대하여, 함수 [eqn: f(x)``]가 다음 조건을 만족할 때, 삼각형 [eqn: ACP``]의 넓이는? [5.3점]

③

[eqn: gamma`-` alpha = {2 pi } over {b}``], [eqn: f LEFT ( {pi} over {2b} RIGHT ) = {3} over {4}``]이므로, [eqn: a= {1} over {2}``]

[eqn: alpha+beta`=` {pi} over {b}``]이고 [eqn: cos {pi} over {b} = {sqrt {3}} over {2}``]이므로 [eqn: b=6``]

따라서 삼각형[eqn: rm`ACP``]에서

[eqn: RM {bar{AC}} `=` {pi} over {3}``]이고 높이는 [eqn: 3over2`a`=`{3} over {4}``]이므로

삼각형[eqn: rm`ACP``]의 넓이는 [eqn: {pi} over {8}``]이다.

(가) [eqn: f` LEFT ( {gamma - alpha } over {4} RIGHT ) `=` {3} over {4}``]이다.

(나) [eqn: cos( alpha + beta )= {sqrt {3}} over {2}``]이다.

① [eqn: {pi } over {32}``]	② [eqn: {pi } over {16}``]	③ [eqn: {pi } over {8}``]

④ [eqn: {pi } over {4}``]	⑤ [eqn: {pi } over {2}``]

자연수 [eqn: k]에 대하여 집합 [eqn: A_k]를

⑤

[eqn: f(m)=cos` {2(m-1)} over {k} pi `]라 하면 [eqn: f(k+1)=cos`2 pi =f LEFT ( 1 RIGHT ) `]이므로

집합 [eqn: A _{k}`]는 [eqn: A _{k} = LEFT { f(1),~f(2),~ CDOTS,~f(k) RIGHT }`]이다.

ㄱ. [eqn: k=3`]일 때
[eqn: f(1)=1], [eqn: f(2)=cos` {2} over {3} pi =- {1} over {2}], [eqn: f(3)=cos` {4} over {3} pi =- {1} over {2} `]이므로
[eqn: A _{3} = LEFT { - {1} over {2} ,~1 RIGHT } `] (참)

ㄴ. [eqn: 0`]이 집합 [eqn: A _{k}`]의 원소가 되려면 [eqn: f(m)=0`]을 만족시키는 자연수 [eqn: m`]이 존재해야 한다.
[eqn: cos` {2(m-1)} over {k} pi =0`]에서 [eqn: {2(m-1)} over {k} pi= {pi} over {2}`] [eqn: THEREFORE ~m=1+ {k} over {4} `]
이고 [eqn: m`]이 자연수이므로 [eqn: k`]는 [eqn: 4`]의 배수이어야 한다. 따라서 두 자리 자연수 [eqn: k=12,~16,~ CDOTS,~96`]이며 그 개수는 [eqn: 22`]이다. (참)

ㄷ. [eqn: y=cos`x`]는 [eqn: x= pi `]에 대하여 대칭이므로 [eqn: 0LEQ x LEQ pi `]에서 [eqn: 9`]개의 값이 존재해야 한다.

(ⅰ) [eqn: f(9)=cos` {16} over {k} pi =-1`]인 경우
이때 [eqn: f(1)=1], [eqn: 0<f(2),`f(3),`f(4)<1`], [eqn: f(5)=0`]이고 [eqn: -1<f(6),`f(7),`f(8)<0`], [eqn: f(9)=-1]이므로 [eqn: 9`]개의 값이 존재한다.
따라서 [eqn: {16} over {k} pi = pi `]에서 [eqn: k=16`]

(ⅱ) [eqn: f(9)=cos` {16} over {k} pi != -1`]인 경우
이때 [eqn: f(1)=1], [eqn: 0<f(2),`f(3),`f(4),`f(5)<1`]이고 [eqn: -1<f(6),`f(7),`f(8),`f(9)<0`]이므로 [eqn: 9`]개의 값이 존재한다.
또한 [eqn: f(10)=cos` {18} over {k} pi != -1`]이면서 [eqn: f(9)=f(10)`]이므로 따라서 [eqn: {17} over {k} pi = pi `]에서 [eqn: k=17`]

즉 [eqn: n(A _{k} )=9`]를 만족시키는 모든 [eqn: k`]의 값의 합은 [eqn: 16+17=33`] (참)

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: A_k = left{ cos { 2(m-1) overk} pi right|`m은~ 자연수 right}]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4.3]점]

[보 기]

ㄱ. [eqn: A_3 = left{ - 1over2 ,~1 right]

ㄴ. [eqn: 0]이 집합 [eqn: A_k]의 원소가 되도록 하는 두 자리 자연수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 22]이다.

ㄷ. [eqn: n(A_k ) =9]를 만족시키는 모든 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 33]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: y=sin{2x} (0 LE x < 2pi)]의 그래프와 직선 [eqn: y=- {sqrt {3}} over {3}]의 교점의 [eqn: x]좌표를 작은 것부터 차례로 [eqn: a,b,c,d,]라 할 대, [eqn: sin {2a} TIMES`cos (2b+2c+2d)]의 값은? [5.9점]

① [eqn: -{root3}over{3}]	② [eqn: -{root2}over{3}]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: {root2}over{3}]	⑤ [eqn: {root3}over{3}]

④

[eqn: sin 2a=-{root{3}}over{3}]

[eqn: sinx]의 대칭성에 의하여

[eqn: b+c={5}over{2}pi], [eqn: 2b+2c=5pi]

[eqn: cos(5pi+2d) =-cos2d]

[eqn: {3}over{2} pi< 2d < 2pi] 이므로 [eqn: cos2d={root{6}}over{3}], [eqn: sin2a TIMES(-cos2d)={root{2}over{3}]

한빛고/23년/K2/B

함수 [eqn: y=2sin5x-1]의 그래프와 함수 [eqn: y`=`tan( LEFT . 3x- {5} over {2} pi RIGHT .)]의 그래프의 점근선이 만나는 점의 [eqn: y]좌표의 최댓값을 [eqn: alpha], 최솟값을 [eqn: beta]라고 할 때 [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2}]의 값은? [4.9점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

④

점근선에 대한 방정식

[eqn: 3x- {5} over {2} pi `=` {pi } over {2} ,` {3} over {2} pi ,` {5} over {2} pi , CDOT CDOT CDOT # 3x`=`3 pi ,4 pi ,5 pi , CDOT CDOT CDOT # x`=` {n} over {3} pi `(n은`정수)# # 최솟값 alpha `=`2sin {5} over {3} pi -1`=`- sqrt {3} -1# 최댓값 beta `=``2sin {2} over {3} pi -1`=` sqrt {3} -1# alpha ^{2} + beta ^{2} =`(- sqrt {3} -1) ^{2} +( sqrt {3} -1) ^{2} `=`8]

함수 [eqn: f(x)= a sin left( pi overb x right) +a]가 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)] [eqn: LEFT ( 0 LEQ x LEQ {5} over {2} b RIGHT ) `]가 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 하고, 직선 [eqn: y=2a]와 만나는 두 점을 [eqn: rmC,~D]라 하자. 점 [eqn: rmC]와 직선 [eqn: rmAD]사이의 거리가 [eqn: 6 root10} over5]이고, 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이가 [eqn: 18]일 때, [eqn: f(5)]의 값을 구하고 그 과정을 논술하시오. (단, [eqn: 0<b<a]) [[eqn: 7]점]

[eqn: 6]

[eqn: a], [eqn: b`]는 양수이므로 함수 [eqn: f(x)=a`sin LEFT ( {pi } over {b} x RIGHT ) +a`]의 주기는 [eqn: {2 pi } over {{pi } over {b}} =2b], 최댓값은 [eqn: 2a], 최솟값은 [eqn: 0`]이다.

위의 [eqn: y=f`(x)`]의 그래프에서 [eqn: rm C it ` LEFT ( {b} over {2} ,````2a RIGHT ) `], [eqn: rm A it ` LEFT ( {3} over {2} b,````0 RIGHT )], [eqn: rm D it ` LEFT ( {5} over {2} b,````2a RIGHT )]이므로 사각형 [eqn: rm ABCD`]의 넓이는

[eqn: LEFT ( {5} over {2} b TIMES 2a RIGHT ) - LEFT ( {1} over {2} TIMES {3} over {2} b TIMES a+ {1} over {2} TIMES b TIMES 2a+ {1} over {2} TIMES {b} over {2} TIMES a RIGHT ) =18]

[eqn: LEFT ( 5ab RIGHT ) - LEFT ( {3} over {4} ab+ab+ {1} over {4} ab RIGHT ) =18]

[eqn: 3ab =18]	[eqn: therefore] [eqn: ab=6]	[eqn: cdotscdots] ㉠

한편, 직선 [eqn: rm AD`]의 기울기는 [eqn: {2a} over {b} `]이고 점 [eqn: rm A it ` LEFT ( {3} over {2} b,````0 RIGHT )]를 지나므로

[eqn: y= {2a} over {b} LEFT ( x- {3} over {2} b RIGHT ) `], 즉 [eqn: 2ax-by-3ab=0]

이고 점 [eqn: rm C it ` LEFT ( {b} over {2} ,````2a RIGHT ) `]에서 직선 [eqn: rm AD`]사이의 거리가 [eqn: 6 root10} over5]이므로

[eqn: {LEFT | ab-2ab-3ab RIGHT |} over {sqrt {4a ^{2} +b ^{2}}}][eqn: = {6 sqrt {10}} over {5}]

정리하면 [eqn: 36a ^{2} +9b ^{2} =10a ^{2} b ^{2} `]

㉠에서 [eqn: b= {6} over {a} `]이므로 위의 식에 대입하면

[eqn: a ^{4} -10a ^{2} +9=0], [eqn: LEFT ( a ^{2} -9 RIGHT ) LEFT ( a ^{2} -1 RIGHT ) =0]

조건에서 [eqn: 0<b<a`]이므로 [eqn: therefore] [eqn: a=3,~b=2]

따라서 [eqn: f(x)=3`sin LEFT ( {pi } over {2} x RIGHT ) +3`]이고 구하는 값은

[eqn: f(5)=3`sin LEFT ( {5 pi } over {2} RIGHT ) +3=3 TIMES 1+3=6`]

함수 [eqn: f(x)=(2sin theta+1)x ^{2} +2(cos theta+sin theta)x+cos theta]의 그래프가 [eqn: x]축과 오직 한 점에서만 만날 때, [eqn: theta]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: theta=M]일 때의 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축과의 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha,`` theta=m]일 때의 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축과의 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: beta]라 할 때, [eqn: alpha+ beta]의 값은?

①

[eqn: f(x)=(2sin theta+1)x ^{2} +2(cos theta+sin theta)x+cos theta]

주어진 방정식이 이차함수가 될 수 있고

일차함수가 될 수 있으므로

[eqn: ⅰ)] 주어진 방정식이 일차함수가 될 때,

[eqn: (2sin theta +1) =0] 이므로 [eqn: THEREFORE ~sin theta =- 1 over 2]이다.

이때 [eqn: 0le`theta<2 pi]에서 [eqn: sin theta =- 1 over 2]에서

[eqn: theta = {7} over {6} pi] 또는 [eqn: theta = {11} over {6} pi] 이다.

[eqn: ⅱ)] 주어진 방정식이 이차함수가 될 때,

주어진 함수의 그래프가 [eqn: x]축에 접하면
이차방정식 [eqn: (2sin theta+1)x ^{2} +2(cos theta+sin theta)x+cos theta = 0]이
중근을 가지므로 이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면
[eqn: D=0]이어야 한다.

[eqn: {D} over {4} =(cos theta+sin theta) ^{2} - cos theta (2sin theta+1) =0]

[eqn: cos ^{2} theta + sin ^{2} theta + 2 sintheta costheta - 2 sintheta costheta -cos theta =0]

[eqn: 1 -cos theta =0] 이므로 [eqn: THEREFORE ~costheta = 1] 이다.

이때 [eqn: 0le`theta<2 pi]에서 [eqn: costheta = 1]

교점의 [eqn: theta]좌표는 [eqn: 0]이다.

[eqn: theta]의 최댓값을 [eqn: M]은 [eqn: theta = {11} over {6} pi] 일 때,

[eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축과의 교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: f(x)=(2sin theta+1)x ^{2} +2(cos theta+sin theta)x+cos theta] 에서

[eqn: sin theta =- 1 over 2]이고, [eqn: cos theta ={root3} over {2}] 이므로

[eqn: y=( sqrt {3} -1)x+ {sqrt {3}} over {2} =0] 이므로

[eqn: x]좌표는 [eqn: {-3- sqrt {3}} over {4}]

[eqn: theta]의 최솟값을 [eqn: m]은 [eqn: theta = 0] 일 때,

[eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축과의 교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: f(x)=(2sin theta+1)x ^{2} +2(cos theta+sin theta)x+cos theta] 에서

[eqn: sin theta =0]이고, [eqn: cos theta =1] 이므로

[eqn: f(x)=x ^{2} +2x+1] 이므로

[eqn: x]좌표는 [eqn: -1] 이다.

따라서 [eqn: alpha = {-3- sqrt {3}} over {4}], [eqn: beta =`-1]이므로

[eqn: alpha + beta ={-7- sqrt {3}} over {4}]

(단, [eqn: 0 LEQ theta<2 pi]) [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: {-7- sqrt {3}} over {4}]	② [eqn: {-7+ sqrt {3}} over {4}]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: {7- sqrt {3}} over {4}]	⑤ [eqn: {7+ sqrt {3}} over {4}]

함수 [eqn: f(x)=2`a`sin {pi } over {6} (x-1)-a]에 대하여 [eqn: 0<x<20]에서 함수 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]의 그래프가 직선 [eqn: y=k]와 만나는 점의 개수를 [eqn: g(k)]라 하자. [eqn: g(3) = 6]일 때, [eqn: a+g(k)]의 최댓값은? (단, [eqn: a]는 상수이고, [eqn: k>0]이다.) [5.2점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 14]
④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 20]

②

함수 [eqn: f(x)=2`a`sin {pi } over {6} (x-1)-a]에서 주기는 [eqn: 2pi times 6 overpi = 12]

[eqn: f(0)=f(20)=-2a`,``][eqn: f(1)=f(19)=-a]

한편, [eqn: g(3)=6`]이므로 [eqn: y=|`f(x)`|`]가 [eqn: y=3`]과 만나는 점의 개수가 [eqn: 0<x<20`]에서 [eqn: 6`]개다.

따라서 [eqn: a=3]

따라서, [eqn: g(k)`]의 최댓값은 [eqn: 0<k<3`]일 때, [eqn: 8`]이다.

[eqn: therefore```a+g(k)`]의 최댓값은 [eqn: 3+8=11]

[eqn: a]는 자연수, [eqn: b]는 정수일 때 함수 [eqn: y=a`cos LEFT ( 2x+1 RIGHT ) +b]의 주기를 [eqn: p]라 하자. 이 함수의 최댓값을 [eqn: 15], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: m GEQ p`]가 성립한다. [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b RIGHT )]의 개수는? [[eqn: 4.7]점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

②

주기 [eqn: p= {2 pi } over {2} = pi]

[eqn: a+b=15], [eqn: -a+b=m] ([eqn: m]은 정수), [eqn: m GEQ pi]

[eqn: a]는 자연수, [eqn: b]는 정수이므로 [eqn: m]은 홀수이다.

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )] [eqn: m=5]일 때, [eqn: a=5], [eqn: b=10]

[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )] [eqn: m=7]일 때, [eqn: a=4], [eqn: b=11]

[eqn: LEFT ( 3 RIGHT )] [eqn: m=9]일 때, [eqn: a=3], [eqn: b=12]

[eqn: LEFT ( 4 RIGHT )] [eqn: m=11]일 때, [eqn: a=2], [eqn: b=13]

[eqn: LEFT ( 5 RIGHT )] [eqn: m=13]일 때, [eqn: a=5], [eqn: b=10]

정의역이 [eqn: 0 leqx leq2pi``]인 두 함수 [eqn: f(x),```g(x)``]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [총 8점]

(1) 범위를 나누어 [eqn: f(x) ``]를 구하면 다음과 같다.
1) [eqn: x= 0 ``]일 때, [eqn: f(x ) = [2^0 ] + [2^1 ] = 3 ``]
2) [eqn: 0<x< pi over 2 ``]일 때, [eqn: 0<sinx<1 ``]이고 [eqn: 0< cosx <1 ``]이므로 [eqn: f(x) = 2 ``]
3) [eqn: x = pi over 2 ``] 일 때, [eqn: f(x ) = [2^1 ] + [2^0 ] = 3 ``]
4) [eqn: pi over 2 <x le pi ``]일 때, [eqn: 0 le sin x <1``]이고 [eqn: cos x <0 ``]이므로 [eqn: f(x) =1 ``]
5) [eqn: pi <x < 3pi over 2 ``]일 때, [eqn: sin x < 0 ``]이고 [eqn: cos x < 0 ``]이므로 [eqn: f(x) = 0 ``]
6) [eqn: 3pi over 2 le x < 2pi ``]일 때, [eqn: sin x < 0 ``]이고 [eqn: 0 le cos x < 1 ``]이므로 [eqn: f(x) = 1``]
7) [eqn: x = 2pi ``]일 때, [eqn: f(x ) = [2^0 ] + [2^1 ] = 3 ``]
따라서 그래프로 나타내면 다음과 같다.

(2) [eqn: x = pi over 12 , ``` 5pi over 12 , ```pi , ``` 3pi over 2 ``]

[eqn: pi over 2 ``]

[eqn: 3pi over 2 ``]

[eqn: pi``]

[eqn: 2pi ``]

[eqn: 1``]

[eqn: 2``]

[eqn: 3``]

[eqn: O``]

(1) 범위를 나누어 [eqn: f(x) ``]를 구하면 다음과 같다.

1) [eqn: x= 0 ``]일 때, [eqn: f(x ) = [2^0 ] + [2^1 ] = 3 ``]

2) [eqn: 0<x< pi over 2 ``]일 때, [eqn: 0<sinx<1 ``]이고 [eqn: 0< cosx <1 ``]이므로 [eqn: f(x) = 2 ``]

3) [eqn: x = pi over 2 ``] 일 때, [eqn: f(x ) = [2^1 ] + [2^0 ] = 3 ``]

4) [eqn: pi over 2 <x le pi ``]일 때, [eqn: 0 le sin x <1``]이고 [eqn: cos x <0 ``]이므로 [eqn: f(x) =1 ``]

5) [eqn: pi <x < 3pi over 2 ``]일 때, [eqn: sin x < 0 ``]이고 [eqn: cos x < 0 ``]이므로 [eqn: f(x) = 0 ``]

6) [eqn: 3pi over 2 le x < 2pi ``]일 때, [eqn: sin x < 0 ``]이고 [eqn: 0 le cos x < 1 ``]이므로 [eqn: f(x) = 1``]

7) [eqn: x = 2pi ``]일 때, [eqn: f(x ) = [2^0 ] + [2^1 ] = 3 ``]

따라서 그래프로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: pi over 2 ``]

[eqn: 3pi over 2 ``]

[eqn: pi``]

[eqn: 2pi ``]

[eqn: 1``]

[eqn: 2``]

[eqn: 3``]

[eqn: O``]

(2) [eqn: y =2 sin 2x + 1``]은 주기가 [eqn: pi ``]이므로 [eqn: y = f(x) ``]와 [eqn: y = g (x)``]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

[eqn: pi over 2 ``]

[eqn: 3pi over 2 ``]

[eqn: pi``]

[eqn: 2pi ``]

[eqn: 1``]

[eqn: 2``]

[eqn: 3``]

[eqn: O``]

따라서 교점의 [eqn: x``]좌표를 구하면 [eqn: x = pi over 12 , ``` 5pi over 12 , ```pi , ``` 3pi over 2 ``]이다.

(1) 함수 [eqn: f(x)=[2^{sinx}]+[2^{cos`x}]``]의 그래프를 그리시오.

(단, [eqn: [x]``]는 [eqn: x``]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [3점]

(2) 함수 [eqn: g(x)=2 sin2x+1``]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=g(x)``]의 해를 구하시오. [5점]

실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: t`]에 대한 함수

⑤

[eqn: cost`=X`] ([eqn: -1 LEQ X LEQ 1`])라 하면

[eqn: y=-2X ^{2} +xX+5`=-2 LEFT ( X- {x} over {4} RIGHT ) ^{2} + {x ^{2}} over {8} +5]

(i) [eqn: {x} over {4} LEQ -1`]일 때, [eqn: X=-1`]에서 최대이므로 [eqn: g(x)= -x+3]

(ii) [eqn: -1< {x} over {4} LEQ 1`]일 때, 꼭짓점에서 최대이므로 [eqn: g(x)= x^2 over8 +5]

(iii) [eqn: 1< x over4 `]일 때, [eqn: X=1`]에서 최대이므로 [eqn: g(x)= x+3]

따라서 [eqn: g(x)= {cases{`-x+3``&``(x LEQ -4)``#`` {1} over {8} x ^{2} +5``&``(-4<x LEQ 4)``#````````x+3``&``(x>4)``}} `]

이때 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프와 [eqn: y=11]로 둘러싸인 도형의 내부에 있는 [eqn: x`], [eqn: y`]좌표가 모두 정수인 점의 개수는 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 [eqn: y`]축 대칭이므로

[eqn: x=0`]일 때 : [eqn: y=6,` CDOTS ,``10`] ([eqn: 5`]개)

[eqn: x=±1`]일 때 : [eqn: y=6,` CDOTS ,``10`] ([eqn: 5`]개)

[eqn: x=±2`]일 때 : [eqn: y=6,` CDOTS ,``10`] ([eqn: 5`]개)

[eqn: x=±3`]일 때 : [eqn: y=7,``8,``9,``10`] ([eqn: 4`]개)

[eqn: x=±4`]일 때 : [eqn: y=8,``9,``10`] ([eqn: 3`]개)

[eqn: x=±5`]일 때 : [eqn: y=9,``10`] ([eqn: 2`]개)

[eqn: x=±6`]일 때 : [eqn: y=10`] ([eqn: 1`]개)

따라서 [eqn: 5+2(5+5+4+3+2+1)=45`]

[eqn: f(t)=2sin ^{2} t+x `cos`t+3]

의 최댓값을 [eqn: g(x)]라 하자. 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프와 [eqn: y=11]로 둘러싸인 도형의 내부에 있고 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수는? [[eqn: 4.8]점]

① [eqn: 35]	② [eqn: 38]	③ [eqn: 40]
④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 45]

다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f(x)``]와 함수 [eqn: g(x)= {2} over {2n-1} |x-1|-3``]의 교점의 개수를 [eqn: h(n)``]이라 할 때, [eqn: h(1)+h(2)+h(3)``]의 값은? (단, n은 자연수이다.) [5점]

③

[eqn: f(x)]의 그래프는 [eqn: (1,0)]대칭 함수이다

[eqn: n=1]일 때, [eqn: g(x)=2|x-1|-3]

[eqn: x>1]이면 [eqn: g(x)=2x-5] 이므로 [eqn: (4,3)]을 지난다.

[eqn: x<1]이면 [eqn: g(x)=f(x)] 교점의 개수는 [eqn: x>1] 인 상황에서 [eqn: -g(x)=f(x)]와의 교점의개수와 같다.

따라서 [eqn: (1,-3) ,( 4,3)]을 지나는 직선과 [eqn: f(x)]의 교점의개수와

[eqn: (1,3),(4,-3)]을 지나는 직선과 [eqn: f(x)]의 교점의 개수의 합과 같고

또한, 그점들의 개수는 [eqn: 0<alpha<3] 이라 하면 [eqn: y=alpha ,y= -alpha]와 [eqn: f(x)]의 교점의 개수와 같다.

따라서 [eqn: n=1]일 때, [eqn: g(x)]는 [eqn: (4,3)]을 지나므로 [eqn: 1<x<4]에서 6개의 교점이 생긴다.

위와 같은 방법으로

[eqn: n=2]일 때, [eqn: g(x)= 2 over3 |x-1|-3] 이므로 [eqn: (10,3)]을 지난다. 따라서

[eqn: 1<x<10] 에서 [eqn: f(x)=alpha] or [eqn: f(x)=-alpha] 의 교점의 개수는 18개이고

[eqn: n=3]일 때, [eqn: g(x)= 2over5 |x-1| -3] 이 [eqn: (16,3)]을 지나므로 [eqn: 0<x<16]에서 [eqn: f(x)= alpha] or [eqn: f(x)= - alpha] 의 교점의 개수는 3개이므로

[eqn: h(1)+h(2)+h(3)=54] 이다.

(가) [eqn: f(x)=-3sin pi x`````````(0 LEQ x LEQ 2)``]

(나) 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여

[eqn: f(-x)=f(x),`f(x+4)=f(x)``]

① [eqn: 52``]	② [eqn: 53``]	③ [eqn: 54``]

④ [eqn: 55``]	⑤ [eqn: 56``]

정의역이 [eqn: LEFT { x ∣ 0≤x<2RIGHT }]인 함수 [eqn: f^n (x)]가 다음 조건을 만족한다.

[eqn: n= alpha]일 때, [eqn: g_ alpha (k)]가 최대가 되게 하는 [eqn: k]의 최솟값을 [eqn: m_ alpha]라 하자. [eqn: m_1 +m_2 + CDOTS+m_9]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오.[9점]

[eqn: 45]

[eqn: f^n (x)]의 최댓값은 [eqn: LEFT ( 1over2 RIGHT )^n]이다.

[eqn: y=2^-(x+k)]와 [eqn: y=f^n (x)]의 교점 개수의 최댓값은 [eqn: 8TIMES2^n-1]이다.

[eqn: y=2^-(x+k)]의 그래프는 [eqn: k]값이 커질수록 [eqn: x]축의 음의 방향이로 이동하며 [eqn: y=2^-(x+k)]와 [eqn: y=f^n (x)]그래프의 [eqn: y]절편이 같을때가 가장 작게 이동한 경우이다.

[eqn: THEREFORE``n= alpha`]일 때, [eqn: y=2^-(x+k)]의 [eqn: y]절편이 [eqn: LEFT ( 0,``` LEFT ( 1over2 RIGHT )^ alpha RIGHT )]인 경우의 [eqn: k]값이 [eqn: m_ alpha]이다.

[eqn: m_1 =1,````m_2 =2,``` CDOTS] 이므로

[eqn: m_ alpha = alpha] 이고 [eqn: m_1 +m_2 + CDOTS+m_9 =45]

(가) [eqn: n=1]일 때, [eqn: f^1 (x)= LEFT | LEFT | sin pi x RIGHT |- 1over2 RIGHT |]이다.

(나) 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f^n+1 (x)= LEFT | f^n (x)- LEFT ( 1over2 RIGHT )^n+1 RIGHT |]이다.

(다) 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: y= 2^-(x+k)]([eqn: k]는 음이 아닌 정수)에 대하여 [eqn: g_n (k)]는 [eqn: y=2^-(x+k)]과 [eqn: y=f^n (x)]의 그래프가 만나는 점의 개수이다. 예를들어 [eqn: g_1 (0)=4, ` g_2 (1)=8]이다.

[eqn: -6≤x≤6]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= 2sin LEFT | pi x RIGHT |-cos^2 LEFT | pi x RIGHT |+3]에 대한 설명중 옳은 것 만을 <보기>에서 있는대로 고른 것은?(단, [eqn: n]은 자연수)[5점]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

⑤

ㄱ. [eqn: pix =t]로 하면

[eqn: f(t)=sin ^{2} |`t`|+2sin`|`t`|+2=(sin`|`t`|+1) ^{2} +1] [eqn: -1 LEQ sin`|`t`| LEQ 1]

이므로 최댓값은 [eqn: 5], 최솟값은 [eqn: 1]이다.(참)

ㄴ. [eqn: f(x)]는 [eqn: y]축에 대칭인 함수 이므로 모든 근의 합은 [eqn: 0]이다.(참)

ㄷ. [eqn: h(1)= 0 ``,~ h(2)=h(3) = h(4)= h(5) = 12]

[보 기]

ㄱ. [eqn: f(x)]의 최솟값과 최댓값의 합은 [eqn: 6]이다.

ㄴ. [eqn: 5]이하의 자연수 [eqn: k]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=k]의 모든 근의 합은 [eqn: 0]이다.

ㄷ. 함수 [eqn: y=g(x)]는 [eqn: -1≤x≤1]에서 [eqn: g(x)=n TIMES LEFT | x RIGHT |]이며 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x+2)=g(x)]를 만족시킨다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 방정식 [eqn: g(x)=f(x)]의 근의 개수를 [eqn: h(n)]이라 할 때, [eqn: h(1)+h(2)+ CDOTS +h(5)=48]이다.

[eqn: -2 pi LEQ x LEQ 2 pi] 일 때, 방정식 [eqn: cos ^{2} LEFT ( {nx} over {3} RIGHT ) -1=0]의 실근의 개수가 [eqn: 13]이 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은? [4.6점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 15]
④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 23]

[eqn: cos ^{2} LEFT ( {nx} over {3} RIGHT ) -1=0]

[eqn: cos LEFT ( {nx} over {3} RIGHT ) =±1]

실근 개수가 [eqn: 13]개 이려면

주어진 범위에서 주기가 [eqn: 6]번 이상 [eqn: 7]번 미만 반복되어야 한다.

주기가 [eqn: {2 pi } over {{n} over {3}}] 이므로

[eqn: 4 pi =6 TIMES {2 pi } over {{n} over {3}}]

[eqn: {n} over {9} =1]

[eqn: n=9]

[eqn: 4 pi =7 TIMES {2 pi } over {{n} over {3}}]

[eqn: n= {21} over {2}]

∴ [eqn: 9 LEQ n PREC 10.5]

자연수 [eqn: n=9,10]

[eqn: x ge 0]에서 함수 [eqn: f(x) = a cos `bx + c]가 그림과 같을 때, 함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y = 3]이 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라 하고, [eqn: x]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rm D]라 할 때, 사각형 [eqn: rm ACDB]의 넓이가 [eqn: 8 pi]일 때, [eqn: 0 le x le 3pi]에서 방정식 [eqn: f(x) = 1- sqrt3]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하자. [eqn: beta - alpha]의 값을 구하고, 그 과정을 하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 양수이고, [eqn: alpha < beta]이다.)

[eqn: bold {2 over3 pi]

[eqn: a + c = 3], [eqn: -a + c = -1]에서 [eqn: a = 2], [eqn: c = 1]이다.

주기는 [eqn: 2pi over b]이므로 [eqn: bar {rm AB it} = 2pi overb]이다. [eqn: 2 cos `bx +1 = 0]에서 [eqn: bx = 2over3 pi], [eqn: 4 over3 pi]이므로 [eqn: rm C it left( 2pi over 3b ,~0 right)], [eqn: rm D it left( 4pi over 3b ,~0 right)], [eqn: bar{rm CD it} = 2pi over 3b]

따라서 사각형 [eqn: rm ACDB]의 넓이는

[eqn: 1 over2 times left( 2pi over b + 2pi over 3b right) times 3 = 8 pi], [eqn: THEREFORE b = 1 over2]

[eqn: 2 cos ` 1over2 x + 1 = 1 - sqrt3]에서 [eqn: 1over2 x = 5 over6 pi], [eqn: 7 over 6 pi]

[eqn: beta = 7 over3 pi], [eqn: alpha = 5 over 3 pi], [eqn: THEREFORE beta - alpha = 2 over3 pi]

[부분점수 있음. [eqn: 7.0]점]

[eqn: 0<n<20``]인 자연수 [eqn: n``]에 대하여 부등식

⑤

[eqn: 2sin{n}over{10}pi(scos{n}over{10}pi-1)-2cos{n}over{10}pi+1][eqn: =(2sin{n}over{10}pi-1)(2cos{n}over{10}pi-1)<0]

[eqn: (sin {n} over {10} pi - {1} over {2} )(cos {n} over {10} pi - {1} over {2} )<0]

위 부등식을 만족시키는 [eqn: n=1,4,5,6,7,8,17,18,19] 로 9개이다.

[eqn: 4sin {n pi } over {10} `cos {n pi } over {10} -2sin {n pi } over {10} -2cos {n pi } over {10} +1<0``]

을 만족시키는 [eqn: n``]의 개수는? [4.6점]

① [eqn: 5``]	② [eqn: 6``]	③ [eqn: 7``]

④ [eqn: 8``]	⑤ [eqn: 9``]

두 함수 [eqn: f(x)= sin x over2], [eqn: g(x)=2pi` sin2x]에 대하여
[eqn: 0 LEQ x LEQ pi]에서 방정식 [eqn: (f circg)(x)=0]의 모든 실근의 합은? [[eqn: 5.5]점]

① [eqn: 5piover4]	② [eqn: 3piover2]	③ [eqn: 7piover4]
④ [eqn: 9piover4]	⑤ [eqn: 5piover2]

⑤

[eqn: 0 le x le pi`]이므로 [eqn: -2pi le g(x) le 2pi]이다, 따라서

[eqn: f(g(x))=0]인 [eqn: g(x)]는 [eqn: g(x)=-2pi,~0,~2pi]이다.

[eqn: sin2x=-1,~0,~1]이므로 [eqn: 2x=0~` {pi } over {2} ,~ pi ,~ {3 pi } over {2} ,~2 pi]

∴[eqn: x= 0,~ pi over {4} ` ,~ pi over {2} ` ,~{ 3 pi} over {4} `,~ pi]

합은 [eqn: 5piover2]이다.

실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식
[eqn: 2sin^2 x -2sinx=k] ([eqn: 0 le x < 3piover2]) 를 만족시키는 서로 다른 모든 실수 [eqn: x]의 개수를 [eqn: f(k)]라 하자, 직선 [eqn: y=ax+4]와 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값을 구하고, 그 과정을 논술하시오. [[eqn: 7.0]점]

[eqn: 2]

[eqn: 0 le x < 3piover2]에서 [eqn: -1<sinx`le1]이므로

[eqn: -` {1} over {2} `` LEQ `2sin ^{2} x-2sinx<4]이다,

[eqn: y=2sin ^{2} x-2sinx]와 [eqn: y=k]의 교점의 개수를 먼저 구해보자.

여기서 [eqn: X=sinx]이라 하면 [eqn: y=2X^2 -2X]([eqn: -1<X le1])

(1) [eqn: k< - 1over2]인 경우

교점이 없으므로 [eqn: f(k)=0]이다.

(2) [eqn: k=- 1over2]인 경우

교점의 개수는 [eqn: 1]개다. [eqn: f(k)=2]이다,

(3) [eqn: - 1over2 <k<0]인 경우

교점의 개수는 [eqn: 2]개이고, [eqn: X]당 [eqn: x]눈 [eqn: 2]개가 대응되므로 [eqn: f(k)=4]이다,

(4) [eqn: k=0]인 경우

교점의 개수는 [eqn: 2]개이고, [eqn: X=0]인 경우는 [eqn: x]는 [eqn: 2]개가 대응되고 [eqn: X=1]인 경우는 [eqn: x]가 [eqn: 1]개이므로 [eqn: f(k)=3]이다.

(5) [eqn: 0<k<4]인 경우

교점의 개수는 [eqn: 1]개이고, [eqn: X]당 [eqn: x]는 [eqn: 1]개가 대응되므로 [eqn: f(k)=1]이다.

(6) [eqn: 4 le k]인 경우

교점이 없으므로 [eqn: f(k)=0]이다.

그림으로부터 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 2]이다.

양의 실수 [eqn: a``]에 대하여 두 함수 [eqn: y=-tan {pi x} over {6} ,`~y=log _{2} {x} over {a} -1``]의 그래프가 제[eqn: 4``]사분면에서 만나는 점의 개수가 [eqn: 3``]개가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: a ^{}``]의 값의 합은? [5.1점]

③

[eqn: f(x)=-tan {pi x} over {6} ,``g(x)=log _{2} {x} over {a} -1``]의 그래프가

제[eqn: 4``]사분면에서 만나는 점의 개수가 [eqn: 3``]개가 되려면

[eqn: g(12)=log _{2} {12} over {a} -1`<`0``]에서

[eqn: 12over a `<` 2`,`` a>6``]

[eqn: g(18)=log _{2} {18} over {a} -1` ge `0``]에서

[eqn: 18over a `ge ` 2`,`` a le 9``]

즉, [eqn: 6<a le 9``]이므로 모든 자연수 [eqn: a ^{}``]의 값의 합은

[eqn: 7+8+9`=`24``]이다.

① [eqn: 18``]	② [eqn: 21``]	③ [eqn: 24``]

④ [eqn: 27``]	⑤ [eqn: 30``]

자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: 0<x< n over12 pi``]일 때, 방정식 [eqn: sin^{2}(4x)-1=0``]의 실근의 개수를 [eqn: f(n)``]이라 하자.

⑤

[eqn: sin^{2}(4x)-1=0`,``][eqn: sin`4x`=`+-1``]에서

[eqn: 4x`=` 2l-1 over2`pi`,``][eqn: x`=` 2l-1 over8`pi``] (단, [eqn: l``]은 정수)

[eqn: 0`<`x`=` 2l-1 over8`pi`<` n over12 pi``]에서

[eqn: 0`<`3`l- 3over2 `<`n``]이므로

[eqn: f(n)=31``]이 되려면 [eqn: l`=`1`,``2`,``3`,``cdots``,``31``]이므로

[eqn: 91.5`<`n`le`94.5``] 즉, 자연수 [eqn: n`=`92`,``93`,``94``]이다.

따라서 모든 [eqn: n``]의 값의 합은 [eqn: 279``]이다.

[eqn: f(n)=31``]이 되도록 하는 모든 [eqn: n``]의 값의 합은? [4.7점]

① [eqn: 271``]	② [eqn: 273``]	③ [eqn: 275``]

④ [eqn: 277``]	⑤ [eqn: 279``]

[eqn: 1<x<9]일 때, [eqn: x]에 대한 방정식
[eqn: LEFT ( sin`pi over 2 x RIGHT )^2 - 1 over n^2 =0]
의 모든 해의 합을 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: f(1)+f(5)]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 35]
④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 65]

④

[eqn: n=1]일 때 [eqn: LEFT ( sin`pi over 2 x RIGHT )^2 =1], [eqn: sin`pi over 2 x= it +-1]

[eqn: f(1)=3+5+7=15] [eqn: LEFT ( BECAUSE ~1<x<9 RIGHT )]

[eqn: n=5]일 때 [eqn: LEFT ( sin`pi over 2 x RIGHT )^2 = 1 over 25], [eqn: sin`pi over 2 x= it +- 1 over 5]

이를 만족하는 [eqn: x]는 [eqn: x=5]에 대하여 대칭인 [eqn: 8]개의 해이다.

[eqn: f(5)= 5 times 8=40]	[eqn: THEREFORE ~f(1)+f(5)=55]

[eqn: 1 le k le 10]인 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식
[eqn: 4`sin ^{2} `x-4`cos`x-6+k=0``] [eqn: LEFT ( 0 le x le 3 over 2 pi RIGHT )]
의 모든 해의 합을 [eqn: f(k)]라 하자. 함수 [eqn: y=f(x)]의 최댓값은? [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 4pi]	② [eqn: 3pi]	③ [eqn: 2pi]
④ [eqn: 3 over 2 pi]	⑤ [eqn: pi]

①

[eqn: 4`sin^2`x-4`cos`x-6+k][eqn: = 4(1-cos^2`x)-4`cos`x-6+k]
[eqn: =it -4`cos^2`x-4`cos`x-2+k=0]

[eqn: 4`cos^2`x+4`cos`x+2 =k] [eqn: LEFT ( 0 le x le 3 over 2 pi RIGHT )]

[eqn: -1 le cos`x le 1]인 범위에서 [eqn: cos`x=t]라 하면

[eqn: 4t^2 +4t+2=k]

ⅰ) [eqn: 2<k le 10]
이때 [eqn: t]의 값은 한 개이고 [eqn: 0<t<1]이므로 해당하는 [eqn: x]의 값도 하나이면서 [eqn: 0<x< {pi } over {2}]이다. 따라서 [eqn: 0<f(k)< {pi } over {2}]이다.

ⅱ) [eqn: k=2]
이때 [eqn: t=it -1], [eqn: 0]이므로 [eqn: f(k)= pi over 2 + 3 over 2 pi+pi=3pi]이다.

ⅲ) [eqn: 1 le k<2]
이때 [eqn: t]의 값은 두 개이고 각각의 [eqn: t]의 값은 [eqn: -1<t<0`]이므로 해당하는 [eqn: x]의 값은 모두 [eqn: 4]개 (각각 [eqn: x=pi]에 대해 대칭)이므로 [eqn: f(k)=4pi]

[eqn: therefore~ 4pi]

함수 [eqn: f(x)=2x^{2}+4cos pi theta`|`x`|+2 sin^{2}pi theta +1``]와 [eqn: x``]축과의 교점이 [eqn: 2``]개일 때, 가능한 모든 [eqn: theta``] 값의 합은?

②

[eqn: f(-x ) = f(x)``]이므로 [eqn: y =f (x) ``]는 [eqn: y``]축 대칭이다.

따라서 [eqn: x>0 ``]인 부분에서 [eqn: x``]축과 한 점에서 만난다.

한편 [eqn: f(0) = 2sin pi theta +1 > 0 ``]이므로

[eqn: y= f(x) ``]의 축의 위치는 [eqn: x > 0 ``]이고

[eqn: f(x)=2x^{2}+4(cos pi theta)x+2 sin^{2}pi theta +1``]의 판별식이 [eqn: 0``]이다.

따라서 [eqn: cos pi theta <0 ``]	[eqn: cdots ①``]이고

[eqn: D / 4 = 4cos^2 pi theta -4 sin^2 pitheta -2 = 2 - 8 sin^2 pi theta = 0 ``]

[eqn: therefore ~ sin pi theta = +- 1 over 2 ``]	[eqn: cdots ②``]

따라서 ①, ②에서 [eqn: theta = 5 over 6 ~or `` 7 over 6 ``][eqn: LEFT ( `0< theta< 3 over2` RIGHT ) ``]이며,

가능한 모든 [eqn: theta``]의 합은 [eqn: 2``]이다.

(단, [eqn: 0< theta< 3 over2``]) [5점]

① [eqn: 11over6``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 13over6``]

④ [eqn: 7over3``]	⑤ [eqn: 5over2``]

함수 [eqn: y= LEFT | `2`cos left(3 pi x- {3 pi } over {8} right)+1` RIGHT |``]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {2}``]이 만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: n``]이다. 이 [eqn: n``]개의 점의 [eqn: x``]좌표의 합을 [eqn: a``]라고 할 때, [eqn: {a} over {n}``]의 값은? (단, [eqn: 0<x<2``] ) [5.2점]

②

[eqn: y= LEFT | `2`cos left(3 pi x- {3 pi } over {8} right)+1` RIGHT |``]및 직선 [eqn: y= {1} over {2}``]의 그래프는 다음 그림과 같다.

곡선과 직선이 만나는 서로 다른 점의 개수 [eqn: n=12``]이다.

[eqn: y= LEFT | `2`cos left(3 pi x- {3 pi } over {8} right)+1` RIGHT |``]의 주기는 [eqn: 2over3 ``]이고, 그래프의 대칭성을 고려하면, 이 [eqn: n``]개의 점의 [eqn: x``]좌표의 합

[eqn: a`=` 4 times 11over24 + 4 times 27over24 + 4 times 43over24 `=`27over2 ``]이다.

따라서 [eqn: {a} over {n}`=` 27 over 24`=`9over8 ``]이다.

① [eqn: 1``]	② [eqn: {9} over {8}``]	③ [eqn: {5} over {4}``]

④ [eqn: {11} over {8}``]	⑤ [eqn: {3} over {2}``]

[eqn: 0 le x < 2 pi]에서 [eqn: x]에 대한 부등식

④

[eqn: (2a+6) cos `x - a sin^2 `x+ a + 12 <0]에서

[eqn: (2a+6) cos `x - a left(1- cos^2 `x right)+ a + 12 <0]

[eqn: a cos^2 ` x +(2a+6) cos`x + 12 <0]

[eqn: ( a `cos `x +6)( cos`x + 2) <0]에서 [eqn: cos` x +2 >0] ([eqn: BECAUSE -1 le cos`x le 1])이므로

[eqn: a cos`x +6 <0]	[eqn: cdotscdots] ㉠

㉠의 해가 [eqn: 2 over3 pi < x < 4 over3 pi]가 되려면 [eqn: cos`x < - 1over2]이어야 한다.

따라서 [eqn: a = 12]이다.

[eqn: (2a+6) cos `x - a sin^2 `x+ a + 12 <0]

의 해가 [eqn: 2 over3 pi < x < 4 over3 pi]가 되게 하는 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: a]는 정수이다.)

[[eqn: 5]점]

① [eqn: -12]	② [eqn: -4 sqrt3]	③ [eqn: 4 sqrt3]
④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 6 sqrt2]

[eqn: 0 le t le 10]인 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: t le x le t+5]에서 방정식 [eqn: cos LEFT ( pi over 6 x RIGHT )= 1 over 2]의 모든 해의 개수를 [eqn: f(t)]라 하자. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y= 1 over 4 x+k]가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k]의 최댓값은? [[eqn: 4.9]점]

① [eqn: - 3 over 2]	② [eqn: - 5 over 4]	③ [eqn: - 2 over 3]
④ [eqn: - 1 over 2]	⑤ [eqn: - 1 over 4]

⑤

[eqn: 0 le t le 10], [eqn: t le x le t+5] 이므로 [eqn: x]는 [eqn: 0]부터 [eqn: 15]까지 모두 가능하다.

[eqn: 0 le pi over 6 x le 5 over 2 pi]

[eqn: cos LEFT ( pi over 6 x RIGHT )= 1 over 2]을 만족하는 [eqn: x]를 찾으면

[eqn: pi over 6 x = pi over 3], [eqn: 5 over 3 pi], [eqn: 7 over 3 pi]

[eqn: x=2], [eqn: 10], [eqn: 14]

ⅰ) [eqn: 0 le t le 2]	[eqn: f(t)=1]

ⅱ) [eqn: 2<t<5]	[eqn: f(t)=0]

ⅲ) [eqn: 5 le t<9]	[eqn: f(t)=1]

ⅳ) [eqn: 9 le t le 10]	[eqn: f(t)=2]

[eqn: y= {1} over {4} x+k]

[eqn: y= {1} over {4} x+k`]와 [eqn: y= f(x)]가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k]의 최댓값은 직선 [eqn: y= {1} over {4} x+k`]가 [eqn: (9,~ 2)]를 지날 때이므로

[eqn: 2= {9} over {4} +k`]에서 [eqn: THEREFORE ~k= it - {1} over {4}]

[eqn: 0` LEQ `x` LEQ `2 pi]에서 부등식 [eqn: 3sinx`+2 LEFT | cosx RIGHT | ` GEQ `3]의 해가 [eqn: LEFT { x` vert `` alpha LEQ `x` LEQ beta RIGHT }]일 때, [eqn: sin alpha `-cos beta `= {q} over {p}]이다. 이때 [eqn: q-p]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)[[eqn: 5.3]점]

②

[eqn: 0` LEQ `x` LEQ ` {pi } over {2} `,` {3} over {2} pi ` LEQ `x` LEQ 2 pi]에서 [eqn: cosx` GEQ 0]

[eqn: 3sinx`+2cosx` GEQ `3]

[eqn: 3sinx` GEQ `3-2cosx] 양변 제곱

[eqn: 9sin ^{2} x` GEQ 9-12cosx+4cos ^{2} x] [eqn: sin ^{2} x`=1-cos ^{2} x]

[eqn: 9(1-cos ^{2} x)` GEQ 9-12cosx+4cos ^{2} x]

[eqn: 13cos ^{2} x`-12cosx`=cosx(13cosx-12)` LEQ 0]

[eqn: 0 LEQ cosx LEQ {12} over {13}] [eqn: sinx` GEQ {5} over {13}]

[eqn: alpha ` LEQ x` LEQ {pi } over {2}]

[eqn: {pi } over {2} `` LEQ `x` LEQ {3} over {2} pi]에서 [eqn: cosx` LEQ 0]

[eqn: 3sinx`-2cosx` GEQ `3]

[eqn: 3sinx` GEQ `3+2cosx] 양변 제곱

[eqn: 9sin ^{2} x` GEQ 9+12cosx+4cos ^{2} x] [eqn: sin ^{2} x`=1-cos ^{2} x]

[eqn: 9(1-cos ^{2} x)` GEQ 9+12cosx+4cos ^{2} x]

[eqn: 13cos ^{2} x`+12cosx`=cosx(13cosx+12)` LEQ 0]

[eqn: - {12} over {13} LEQ cosx LEQ 0] [eqn: sinx` GEQ {5} over {13}]

[eqn: {pi } over {2} LEQ `x LEQ ` beta]

해가 [eqn: LEFT { x` vert `` alpha LEQ `x` LEQ beta RIGHT }] 일 때 [eqn: alpha + beta = pi]

[eqn: sin alpha `-cos beta `=sin alpha -cos( pi - alpha )=sin alpha +cos alpha = {17} over {13}]

[eqn: sin alpha = {5} over {13} ,`cos alpha = {12} over {13}]

[eqn: q-p=4]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 [eqn: g(x)=|`sin `2k pi x`| `]에 대하여 [eqn: 0 le x le 4 overk`]에서 [eqn: f(x)=g(x)`]를 만족시키는 서로 다른 모든 실근의 합이 [eqn: 7`]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? (단, [eqn: k>0]) [4.9점]

① [eqn: 1 over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

⑤

[eqn: g(x)=|`sin `2k pi x`| `]

최솟값 [eqn: 0], 최댓값 [eqn: 1], 주기는 [eqn: pi over{2k pi} = 1 over2k]을 만족한다.

주어진 조건에 따라

[eqn: 0 le x le 4 overk]에서 [eqn: y=f(x),~y=g(x)]를 그리면 다음과 같다.

[eqn: y=f(x),~y=g(x)]의 교점의 개수는 [eqn: 14`]개이고,

교점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: a_1 ,~a_2 ,~a_3 ,~cdots ,~a_14`]라 하면

[eqn: {a_1 +a_7 }over2 = 1 overk`], [eqn: {a_2 +a_6 }over2 = 1 overk`], [eqn: {a_3 +a_5 }over2 = 1 overk`], [eqn: a_4 = 1 overk]

[eqn: {a_8 +a_14 }over2 = 3 overk`], [eqn: {a_9 +a_13 }over2 = 3 overk`], [eqn: {a_10 +a_12 }over2 = 3 overk`], [eqn: a_11 = 3 overk]

[eqn: therefore] [eqn: a_1 +a_2 +a_3 +cdots+a_14 = 3 times 2 overk + 1 overk + 3 times 6 overk + 3 overk = 28 overk =7]

[eqn: therefore] [eqn: k=4]

(가) [eqn: 0 le x le 2 overk`]일 때, [eqn: f(x)= |`kx-1`|]

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f left( x+ 2 overk right)= f(x)]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: 2sin ^{2} x+4cosx-a<0]이 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위는? [4.8점]

① [eqn: a<2]	② [eqn: a<4]	③ [eqn: a>1]
④ [eqn: a>2]	⑤ [eqn: a>4]

⑤

[eqn: LEFT ( 1-cos ^{2} x RIGHT ) +4cosx-a<0]

[eqn: cos ^{2} x-4cosx+a-1>0]

[eqn: cosx=1`]일 때 최솟값을 가지므로

[eqn: 1-4+a-1>0,```````a>4]

【검수자 다른풀이】

[eqn: cosx=t]하자.[eqn: LEFT ( -1 LEQ t LEQ 1 RIGHT )]

[eqn: t ^{2} -4t+a-1 SUCC 0]

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =t ^{2} -4t`+a-1]

[eqn: = LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2} +a-5]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]에서 최솟값을 갖는다.

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) SUCC 0]

실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수 [eqn: y=f(x)``]에 대하여 [eqn: 0 LEQ x LEQ 3``]일 때 [eqn: f(x)=sin {2 pi } over {3} x``]이고, 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x),````f(x+6)=f(x)``]를 만족시킨다. 두 점

②

[eqn: 0 LEQ x LEQ 3``]일 때 [eqn: f(x)=sin {2 pi } over {3} x``]이고, 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x),````f(x+6)=f(x)``]를 만족시키는 함수 및

두 점 [eqn: (3,`0),`(9,`-1)``]을 지나는 직선을 그래프로 나타내면

[eqn: -6 LEQ x LEQ 9``]에서 함수 [eqn: y=f(x)``]와 직선이 만나는 모든 점의 개수는 모두 [eqn: 8``]개다.

[eqn: (3,`0),`(9,`-1)``]을 지나는 직선이 [eqn: -6 LEQ x LEQ 9``]에서 함수 [eqn: y=f(x)``]와 만나는 모든 점의 개수는? [5.2점]

① [eqn: 7``]	② [eqn: 8``]	③ [eqn: 9``]

④ [eqn: 10``]	⑤ [eqn: 11``]

음이 아닌 세 정수 [eqn: a,~b,~n`]에 대하여
[eqn: (-2a^2 +b^2 +ab+1) sin left( n over4 pi - pi over2 right) +(a^2 -ab+4) tan {2n+1 over4 pi}=0`]
일 때, [eqn: a-b+ cos^2 {(n-2) over8 pi}`]의 값은? (단, [eqn: a geb]) [5.3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3 over2]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 5 over2]	⑤ [eqn: 3]

②

[eqn: sin left( n over4 pi - pi over2 right)= -sin left( pi over2 - n over4 pi right)= - cos left( n over4 piright)]이므로

[eqn: (-2a^2 +b^2 +ab+1) sin left( n over4 pi - pi over2 right) +(a^2 -ab+4) tan {2n+1 over4 pi}=0`]

[eqn: (2a^2 -b^2 -b-1) cos left( n over4 pi right) +(a^2 -ab+4) tan {2n+1 over4 pi}=0`]

[eqn: k`]는 정수일 때

[eqn: cos left( n over4 pi right)=cases{ ```````root2 over2 &&(n=8k+1)#``````````````0&&(n=8k+2)#- root2 over2 &&(n=8k+3)#`````````-1&&(n=8k+4)#- root2 over2&&(n=8k+5)#`````````````0&&(n=8k+6)#```````root2 over2&&(n=8k+7)#``````````````1&&(n=8k+8)]

① [eqn: n=4k+1]일 때

[eqn: tan left( n over2 pi+ pi over4right)=tan left ( pi over2 + pi over4 right)=- cot pi over4 =-1]

② [eqn: n=4k+2]일 때

[eqn: tan left( n over2 pi+ pi over4right)=tan left ( pi + pi over4 right)=tan pi over4 =1]

③ [eqn: n=4k+3]일 때

[eqn: tan left( n over2 pi+ pi over4right)=tan left ( 3pi over2 + pi over4 right)=- cot pi over4 =-1]

④ [eqn: n=4k+4]일 때

[eqn: tan left( n over2 pi+ pi over4right)=tan left ( 2pi + pi over4 right)=tan pi over4 =1]

[eqn: therefore] [eqn: tan left(n over2 pi + pi over4 right)= (-1)^n] ([eqn: n`]은 정수)

[eqn: therefore] [eqn: (2a^2 -b^2 -ab-1) cos left( n over4 pi right) +(-1)^n (a^2 -ab+4) =0`]

[eqn: a,~b`]가 정수일 때

[eqn: 2a^2 -b^2 -ab-1 ,~a^2 -ab+4`]는 정수이므로

[eqn: (2a^2 -b^2 -ab-1) cos left( n over4 pi right) +(-1)^n (a^2 -ab+4) =0`]을 만족하기 위해서는 [eqn: cos left(n over4 pi right)]도 정수이어야 한다.

따라서 조건을 만족하는 [eqn: n`]의 값은 [eqn: 8k+2,~8k+4,~8k+6,~8k+8]

ⅰ) [eqn: n=8k+2`]일 때

[eqn: cos left( n over4 pi right)= 0 ,~ (-1)^n =1]이므로

[eqn: a^2 -ab+4=0]

[eqn: a(a-b)=-4]

[eqn: a geb ` ge0]이므로 조건을 만족하지 않는다.

ⅱ) [eqn: n=8k+4]일 때

[eqn: cos left( n over4 pi right)= -1 ,~ (-1)^n =1]이므로

[eqn: -2a^2 +b^2 +ab+1+a^2 -ab+4=0]

[eqn: a^2 -b^2 = 5]

[eqn: a=3 ,~b=2`]일 때 만족한다.

ⅲ) [eqn: n=8k+6`]일 때

[eqn: cos left( n over4 pi right)= 0 ,~ (-1)^n =1]이므로

[eqn: a^2 -ab+4=0]

[eqn: a(a-b)=-4]

[eqn: a geb `]이므로 조건을 만족하지 않는다.

ⅳ) [eqn: n=8k+8`]일 때

[eqn: cos left( n over4 pi right)= 1 ,~ (-1)^n =1]이므로

[eqn: 2a^2 -b^2 -ab-1+a^2 -ab+4=0]

[eqn: 3a^2 -2ab -b^2 =-3]

[eqn: (3a+b)(a-b) =-3]

[eqn: a geb ` ge0]이므로 조건을 만족하지 않는다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)에 의해

[eqn: a=3,~b=2,~n=8k+4`]일 때 성립

[eqn: n=8k+4`]일 때

[eqn: cos^2 left(n-2 over8 piright)= cos^2 left( 8k+2 over8 piright)= cos^2 left( k pi + 1 over4 pi right) = 1 over2]

[eqn: therefore] [eqn: a-b+ cos^2 {(n-2) over8 pi}`= 3-2 + 1 over2 = 3 over2]

삼각함수의 활용(step1)

7.

사인법칙

돌마고/2022년/K4/D

[eqn: rm { TRIANGLE A B C }]에서 [eqn: rm {bar{AC}} =6],[eqn: rm ~ {bar{BC}} =5], [eqn: A=120 ^{CIRC }]일 때, [eqn: sinB]의 값은? [[eqn: 4.0]점]

⑤

[eqn: rm TRIANGLE ABC]에서 사인법칙을 적용하면

[eqn: {5} over {sin120 ^{DEG }} = {6} over {sinB}]에서

[eqn: sinB= {3 sqrt {3}} over {5}]

① [eqn: {sqrt {3}} over {5}]	② [eqn: {3 sqrt {3}} over {10}]	③ [eqn: {2 sqrt {3}} over {5}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: {3 sqrt {3}} over {5}]

삼각형 [eqn: ABC``]에서 [eqn: A=75 DEG ,`B=60 DEG ,` {bar{AC`}} =3``]일 때, [eqn: {bar{AB`}}``]의 길이는?[4.3점]

⑤

사인법칙에 의하여 [eqn: {\ barAB}over {sin`45Deg} `=`{\ barAC}over {sin`60Deg} ``]이므로

[eqn: {\ barAB} `=`{\ barAC} over {sin`60Deg} times {sin45Deg} `=`root6``]이다.

① [eqn: sqrt {2}``]	② [eqn: sqrt {3}``]	③ [eqn: 2``]

④ [eqn: sqrt {5}``]	⑤ [eqn: sqrt {6}``]

삼각형 [eqn: ABC]에서 [eqn: a:b:c=3:4:5]일 때, [eqn: {sinA+sinC} over {sinB}]의 값은? [3.2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

②

[eqn: {a+c} over {b} = {3+5} over {4} =2]

삼각형 [eqn: ABC``]에서 [eqn: B=45 DEG ,`C=75 DEG ``]이고, 선분 [eqn: BC``]의 길이가 [eqn: 6``]일 때, 선분 [eqn: AC``]의 길이는? [4.2점]

②

[eqn: A`=`60Deg`]이므로 사인법칙에 의하여

[eqn: 6 over {sin60Deg} `=` {bar AC} over {sin 45Deg} ``]에서 [eqn: barAC `=`2root6 ``]이다.

① [eqn: sqrt {23}``]	② [eqn: 2 sqrt {6}``]	③ [eqn: 5``]

④ [eqn: sqrt {26}``]	⑤ [eqn: 3 sqrt {3}``]

삼각형 [eqn: ABC`]에서 [eqn: ANGLE BAC`=75 DEG], [eqn: ANGLE ACB`=45 DEG], [eqn: {bar{AC}} `=3]일 때, [eqn: {bar{AB}} `]의 길이는? [[eqn: 3.8]점]

④

[eqn: ANGLE B`=180 DEG - LEFT ( 75 DEG +45 DEG RIGHT ) =60 DEG]

사인법칙에 따라 [eqn: {{bar{AB}}} over {sin45 DEG } = {3} over {sin60 DEG }]

따라서. [eqn: {bar{AB}} `= {3sin45 DEG } over {sin60 DEG } = {3· LEFT ( {sqrt {2}} over {2} RIGHT )} over {{sqrt {3}} over {2}} = {3 sqrt {2}} over {sqrt {3}} = sqrt {6}]

① [eqn: sqrt {3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: sqrt {5}]
④ [eqn: sqrt {6}]	⑤ [eqn: sqrt {7}]

그림과 같이 삼각형 [eqn: rm ABC]의 꼭짓점 [eqn: rm A]에서 변 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자. [eqn: rm {bar{AB}} =4], [eqn: ANGLE rm B= {pi } over {4}], [eqn: sin rm C= {1} over {3}]일 때, 선분 [eqn: rm CH]의 길이는? (단, [eqn: 0<rmC< {pi } over {2}]) [[eqn: 4.5]점]

①

[eqn: rm TRIANGLE ABH]는 직각이등변삼각형이므로 [eqn: rm {bar{AH}} =2 sqrt {2}]

[eqn: sin rm C= {1} over {3}]이므로 [eqn: rm {bar{AC}} =6 sqrt {2}]

[eqn: rm {bar{CH}} = sqrt {72-8} =8]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 8 sqrt {2}]
④ [eqn: 9 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 8 sqrt {3}]

반지름의 길이가 [eqn: 6]인 원에 내접하는 삼각형 [eqn: ABC]에서 [eqn: B=C=15 DEG]일 때, 삼각형 [eqn: ABC]의 세 변 중에서 가장 긴 변의 길이는? [[eqn: 1. 4.0]점]

①

[eqn: {a} over {sin150 DEG } =2R=12]에서

[eqn: a=sin150 DEG TIMES 12= {1} over {2} TIMES 12=6]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: angle{rmA}=105{DEG}], [eqn: angle{rmB}=30{DEG}]이고 [eqn: bar{rmAB}=12]일 때, [eqn: bar{rmAC}]의 값은? [4.2점]

④

[eqn: ANGLE ACB=45 DEG]

[eqn: therefore````][eqn: barAC over sinB`= 12 over sinC]

[eqn: barAC =6root2]

① [eqn: 4]	② [eqn: 4root2]	③ [eqn: 4root3]

④ [eqn: 6root2]	⑤ [eqn: 6root3]

삼각형 [eqn: ABC]에서 [eqn: ANGLEA=30 DEG], [eqn: bar{BC}=6]일 때, 삼각형 [eqn: ABC]의 외접원의 반지름의 길이는? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 2root3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 4root3]

사인법칙과 외접원

④

[eqn: sinA={bar{BC}}over{2R}]

[eqn: {6}over{2R}={1}over{2}]

[eqn: R=6]

지름의 길이가 [eqn: 3 root2]인 원에 내접하는 삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다.

②

반지름은 [eqn: {3 sqrt {2}} over {2}]이므로

사인법칙에 의해

[eqn: {a} over {sinA} =2R]에서 [eqn: sinA= {a} over {3 sqrt {2}}]가 되고

마찬가지로 [eqn: sinB= {b} over {3 sqrt {2}} ,``sinC= {c} over {3 sqrt {2}}]이므로

[eqn: sin rm A + sin B + sin C = 1 + root2]에 대입하면

[eqn: {1} over {3 sqrt {2}} LEFT ( a+b+c RIGHT ) =1+ sqrt {2}]가 되고

삼각형 둘레의 길이는 [eqn: a+b+c=3 sqrt {2} LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT ) =6+3 sqrt {2}]

[eqn: m=6,`n=3]

[eqn: m+n=9]

[eqn: sin rm A + sin B + sin C = 1 + root2]

일 때, 삼각형 [eqn: rm ABC]의 둘레의 길이는 [eqn: m+ n root2]이다. 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m+n]의 값은?[4.1점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[eqn: ANGLE A=30 DEG `,`][eqn: bar{BC} =2``]인 삼각형 [eqn: ABC``]의 외접원의 반지름의 길이는? [4점]

①

사인법칙에 의해 [eqn: 2over {sin 30Deg}`=`2`R``]에서 [eqn: R`=`2``]이다.

① [eqn: 2``]	② [eqn: {5} over {2}``]	③ [eqn: 3``]
④ [eqn: {7} over {2}``]	⑤ [eqn: 4``]

삼각형 [eqn: ABC]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 5]이고, [eqn: cos(B+C)=- {3} over {5}]일 때, 선분 [eqn: BC]의 길이는? [4.8점]

④

[eqn: A+B+C= pi]

[eqn: cos(pi-A)=- {3} over {5}]

[eqn: cosA= {3} over {5}]

[eqn: {barBC} over {sinA} =2 TIMES 5]

[eqn: THEREFORE bar{BC} `=8]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원에 내접하는 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 이 삼각형의 둘레의 길이가 [eqn: 10]일 때, [eqn: sinA+sinB+sin LEFT ( A+B RIGHT )]의 값은? [[eqn: 4.2]점]

②

[eqn: sinA= {a} over {6}] [eqn: sinB= {b} over {6}] [eqn: sin(A+B)=sin( pi -C)=sinC= {c} over {6}]

[eqn: a+b+c=10]이므로 [eqn: {5} over {3}]

① [eqn: {5} over {6}]	② [eqn: {5} over {3}]	③ [eqn: {10} over {3}]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: {20} over {3}]

반지름이 [eqn: 2]인 원에 내접하는 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: 2`sin (A+B) `sin`C=1]이 성립할 때, 선분 [eqn: rm AB]의 길이는? [[eqn: 4.0]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: root 2]	③ [eqn: 2 root 2]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

③

[eqn: triangle rm ABC]에서 [eqn: rm A+B+C=pi], [eqn: rm A+B= pi-C]

[eqn: 2`sin (rm A+B)`sin `C =2`sin(pi-C)`sin`C][eqn: =2`sin^2`rm C=1],

[eqn: sin^2`rm C= 1 over 2], [eqn: sin`rm C=it +- 1 over root 2]

[eqn: rm C< pi] 이므로 [eqn: sin`rm C= 1 over root 2]

사인법칙에 의해 [eqn: rm bar AB = it 2r`sin`rm C=2 times 2 times 1 over root 2][eqn: = 2 root 2]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 4]인 원의 둘레를 [eqn: {arch{AB}}` :` {arch{BC}} `:` {arch{CA}} =3`:`4`:`5`]가 되도록 나눌 때, 삼각형 [eqn: OBC]의 넓이는? [4.8점]

③

[eqn: ANGLE BOC= {4} over {12} TIMES 2 pi = {2} over {3} pi &#THEREFORE `S= {1} over {2} BULLET 4 ^{2} BULLET {sqrt {3}} over {2} =4 sqrt {3}&}}]

① [eqn: 2 sqrt {3}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 4 sqrt {3}]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 8root3]

[eqn: rm△ABC]에서 [eqn: b=8], [eqn: rmB=45 DEG]일 때, 외접원의 반지름의 길이 [eqn: R]의 값은? [[eqn: 3.7]점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 2sqrt { 2}]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 4sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 8]

④

[eqn: {b} over {sin` rm B} =it2R]

[eqn: {8} over {sin`45 DEG } =2R]

[eqn: R=4 sqrt {2}]

삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: rm {bar{AB}} =4], [eqn: ANGLE rm A=60 ^{ CIRC }], [eqn: ANGLE rm B=75 ^{CIRC }]일 때, 삼각형 [eqn: rm ABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: rm R]이라 하자. 이때, [eqn: rm {bar{BC}} TIMES R]의 값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 5 sqrt {3}]	② [eqn: 6 sqrt {3}]	③ [eqn: 7 sqrt {3}]
④ [eqn: 8 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 9 sqrt {3}]

④

[eqn: rm {bar{AB}} =4], [eqn: ANGLE rm A=60 ^{ CIRC }], [eqn: ANGLE rm B=75 ^{CIRC }]에서 [eqn: ANGLE rmC=45 ^{CIRC }]이고

사인법칙에 의해

[eqn: { 4} over { sin 45DEG}=2R]에서 [eqn: R`=2`root2]

[eqn: {rm {bar{BC}}} over {sin60 ^{DEG }} =4 sqrt {2}]에서 [eqn: rm {bar{BC}} =2 sqrt {6}] 이므로

[eqn: rm {bar{BC}} TIMES R=8 sqrt {3}]

반지름의 길이가 3인 원에 내접하는 삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 [eqn: a+b+c=18]일 때, [eqn: rmsinA+sinB+sinC]의 값은? [3.9점]

③

사인 법칙에 의해 [eqn: sinA + sinB +sinC = {a+b +c }over6 = 3] 이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

코사인법칙

삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: angle rm A = 30 DEG], [eqn: rm bar AB = 3], [eqn: rm bar AC = 5]일 때, [eqn: rm {barBC}^2]의 값은 [eqn: p+ q sqrt3]이다. [eqn: p-q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 유리수이다.)

②

코사인 법칙에서

[eqn: rm {bar BC}^2]	[eqn: = 3^2 + 5^2 - 2 times 3 times 5 cos` 30DEG]

[eqn: = 34 - 15 sqrt3]

따라서 [eqn: p = 34], [eqn: q = -15], [eqn: p-q = 49]

[[eqn: 4.1]점]

① [eqn: 48]	② [eqn: 49]	③ [eqn: 50]
④ [eqn: 51]	⑤ [eqn: 52]

삼각형 [eqn: ABC] 에서 [eqn: {bar{AB}} =6], [eqn: {bar{BC`}} `=10,`][eqn: {bar{AC}} =14]일 때, [eqn: ANGLE B]의 크기는? [3.9점]

① [eqn: {pi } over {6}]	② [eqn: {pi } over {3}]	③ [eqn: {pi } over {2}]
④ [eqn: {2 pi } over {3}]	⑤ [eqn: {5 pi } over {6}]

④

코사인 법칙 [eqn: 14 ^{2} =6 ^{2} +10 ^{2} -2 cdot 6 cdot 10 cdot `cos( ANGLE B)]

[eqn: cos( ANGLE B)=- {1} over {2} ,``` ANGLE B= {2} over {3} pi]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rm {bar{AB}} `=4,` {bar{BC}} `=5,` {bar{CA}} `=6]일 때, [eqn: cosA]의 값은?[[eqn: 4.2]점]

① [eqn: {17} over {24}]	② [eqn: {9} over {16}]	③ [eqn: {5} over {12}]
④ [eqn: {13} over {48}]	⑤ [eqn: {1} over {8}]

②

[eqn: cosA`= {36+16-25} over {2 TIMES 4 TIMES 6} = {9} over {16}]

삼각형 [eqn: rm ABC`]에서 [eqn: a=6`,```c=12`,```B=120°`]일 때, [eqn: b`]의 값은? [3.7점]

④

[eqn: b^2`={bar{AC}} ` ^{2} =12 ^{2} +6 ^{2} -2` CDOT 6 CDOT 12 CDOT cos120 DEG =252]

따라서 [eqn: b = 6root7]

① [eqn: 5root6`]	② [eqn: 6root6`]	③ [eqn: 5root7`]

④ [eqn: 6root7`]	⑤ [eqn: 5root8`]

삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: cos rm A= {3} over {5}], [eqn: rm {bar{AB}} =5], [eqn: rm {bar{AC}} =6]일 때, [eqn: cos rm B]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: {7} over {25}]	② [eqn: {9} over {25}]	③ [eqn: {11} over {25}]
④ [eqn: {13} over {25}]	⑤ [eqn: {3} over {5}]

①

[eqn: rm triangleABC]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: a ^{2} =25+36-2 TIMES 5 TIMES 6 TIMES {3} over {5} =25]에서 [eqn: a=5]

[eqn: cosB= {25+25-36} over {2 TIMES 5 TIMES 5} = {14} over {50} = {7} over {25}]

[eqn: rm△ABC]에서 [eqn: a=5], [eqn: b=4], [eqn: rmC=60 DEG]일 때, [eqn: c]의 값은? [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: sqrt { 19}]	② [eqn: 2sqrt { 5}]	③ [eqn: sqrt { 21}]
④ [eqn: sqrt { 22}]	⑤ [eqn: sqrt { 23}]

③

[eqn: c ^{2} =a ^{2} +b ^{2} -2ab`cos`rmC]

[eqn: =25+16-2 TIMES 20 TIMES {1} over {2}]

[eqn: =21]

[eqn: c= sqrt {21}]

사인법칙과 코사인법칙

그림과 같이 원 모양인 연못의 가장자리의 세 지점 [eqn: A,B,C]에서 거리와 각을 측정한 결과가 [eqn: bar{AB}=7m], [eqn: bar{BC}=5m,][eqn: angle{ABC}=60DEG]이다. 이 연못의 넓이를 [eqn: a(m^2 )]라 할 때, [eqn: a]의 값은? [5점]

① [eqn: 13pi]	② [eqn: 24pi]	③ [eqn: 39pi]
④ [eqn: 41pi]	⑤ [eqn: 52pi]

①

연꽃의 반지름을 [eqn: R]이라 하면

[eqn: a=R^2]

[eqn: bar{AC}^2 = 7^2 +5^2 -2 TIMES7 TIMES5 TIMEScos60DEG=39], [eqn: bar{AC}=root{39}]

[eqn: {root{39}}over{2R}=sin60DEG = {root{3}}over{2}]

[eqn: R=root{13}, a=13pi]

삼각형 [eqn: ABC] 에서 [eqn: sinA`:`sinB`:`sinC=2:3:4]일 때, [eqn: cosC] 의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 5.0]점]

[eqn: - {1} over {4}]

사인법칙에 의하여
[eqn: a:b:c=sinA:sinB:sinC=2:3:4]

따라서

[eqn: a=2k`,`b=3k`,`c=4k``(k]는 양의 상수)로 놓으면

코사인법칙에 의하여

[eqn: cosC= {a ^{2} +b ^{2} -c ^{2}} over {2ab} = {(2k) ^{2} +(3k) ^{2} -(4k) ^{2}} over {2 TIMES 2k TIMES 3k} =- {3k ^{2}} over {12k ^{2}} =- {1} over {4}]

삼각형의 넓이

[eqn: rm bar AB = 3], [eqn: rm bar BC = 6], [eqn: angle rm ABC = theta]인 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이의 최댓값은 [eqn: a]이고, 그 때의 [eqn: theta]의 값은 [eqn: b pi]이다. [eqn: a+b]의 값은?

④

[eqn: rm triangle ABC = 1over2 times barAB times bar BC times sin` theta], [eqn: 0< theta < pi]에서 [eqn: 0 < sin `theta le 1]이므로 [eqn: theta = 1over2 pi]일 때, 넓이의 최댓값은 [eqn: 9]이다.

따라서 [eqn: a + b = 9 + 1over2 = 19 over2]

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 유리수이다.) [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 17 over2]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 19 over2]	⑤ [eqn: 10]

세 변의 길이가 [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 7]인 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는? [4.3점]

②

최대각을 [eqn: theta `]라 하면

[eqn: costheta`= {16+25 -49} over2cdot4cdot5`=- 1over5]

[eqn: sintheta = {2root6 }over5]

따라서 넓이 [eqn: S= {1} over {2} CDOT 4 CDOT 5 CDOT {2 sqrt {6}} over {5} =4 sqrt {6}]

① [eqn: 4root3]	② [eqn: 4root6]	③ [eqn: 5root3]

④ [eqn: 5root6]	⑤ [eqn: 6]

그림과 같이

①

(삼각형 [eqn: ABC]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{AC}} ` TIMES {bar{BC`}} TIMES sin( ANGLE ACB)]

[eqn: ={1} over {2} TIMES 3 TIMES 2 sqrt {2} TIMES sin45 DEG =3 sqrt {2} TIMES {sqrt {2}} over {2} =3]

[eqn: {bar{BC}}]=[eqn: 2 sqrt {2}], [eqn: {bar{AC}} =3], [eqn: ANGLE C=45 DEG]인 삼각형 [eqn: ABC]의 넓이는? [3.8점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 3 sqrt {2}]

③ [eqn: 6]	④ [eqn: 6 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 12]

삼각형 [eqn: ABC]에서 [eqn: a= sqrt {7} ,````b=3,````c=2]일 때, 삼각형 [eqn: ABC]의 넓이는? [3.7점]

① [eqn: {3 sqrt {3}} over {8}]	② [eqn: {3 sqrt {2}} over {4}]	③ [eqn: {3 sqrt {3}} over {4}]
④ [eqn: {3 sqrt {2}} over {2}]	⑤ [eqn: {3 sqrt {3}} over {2}]

⑤

[eqn: cosA= {3 ^{2} +2 ^{2} - LEFT ( sqrt {7} RIGHT ) ^{2}} over {2 TIMES 3 TIMES 2} = {6} over {12} = {1} over {2} ,````sinA= {sqrt {3}} over {2}][eqn: TRIANGLE ABC= {1} over {2} TIMES 3 TIMES 2 TIMES sinA= {3 sqrt {3}} over {2}]

삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: rm b=10,~c=10,~ ANGLE A=45 DEG]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는? [[eqn: 4.0]점]

②

삼각형의 넓이[eqn: rm S= {1} over {2} it TIMES b TIMES c TIMES rm sin45 DEG]

[eqn: rm THEREFORE `S= {1} over {2} it TIMES 10 TIMES 10 TIMES rm sin45 DEG =25 sqrt {2}]

① [eqn: 25]	② [eqn: 25 sqrt {2}]	③ [eqn: 25 sqrt {3}]
④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 25 sqrt {5}]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: a=3], [eqn: b=8], [eqn: rm angleC=60 DEG]일 때, 이 삼각형의 넓이는?[[eqn: 3.5]점]

②

넓이[eqn: =][eqn: {1} over {2} absinC= {1} over {2} TIMES 3 TIMES 8 TIMES sin60 DEG = {1} over {2} TIMES 3 TIMES 8 TIMES {sqrt {3}} over {2} =6 sqrt {3}]

① [eqn: 5 sqrt {3}]	② [eqn: 6 sqrt {3}]	③ [eqn: 7 sqrt {3}]

④ [eqn: 8 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 9 sqrt {3}]

그림과 같이 [eqn: bar{AB}=5], [eqn: bar{AC}=4], [eqn: ANGLEA =60DEG]인 삼각형 [eqn: ABC]의 넓이는? [4.2점]

③

삼각형 [eqn: ABC]의 넓이는

[eqn: {1}over{2} TIMESbar{AB} TIMESbar{AC} TIMESsin ANGLEA][eqn: ={1}over{2} TIMES5 TIMES4 TIMES{root3}over{2}=5root{3}]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 5root3]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 10root3]

사각형 [eqn: rm ABCD]에서 [eqn: rm bar AB =4], [eqn: rm bar BC =6], [eqn: rm bar CD =3], [eqn: rm bar AD =3], [eqn: angle rm BAD=90DEG]일 때, 이 사각형의 넓이는? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 21 over 2]	③ [eqn: 24]
④ [eqn: 6+2 root 14]	⑤ [eqn: 8+9 root 2]

④

[eqn: rm bar BD`^2 = 4^2 +3^2 =25], [eqn: rm bar BD =5] [eqn: (because~ rm bar BD >0)]

[eqn: angle rm BDC=theta]라 하면 코사인 법칙에 의해

[eqn: cos`theta= {25+9-36} over {2times 5 times 3} = it - 1 over 15]

[eqn: sin`theta= root 224 over 15 = {4 root 14} over 15] ([eqn: because~ sin^2`theta+cos^2`theta=1], [eqn: sin`theta>0])

[eqn: □rm ABCD][eqn: = triangle rm BAD+triangle BDC]
[eqn: = 1 over 2 times 4 times 3+ 1 over 2 times 5 times 3 times {4 root 14} over 15]
[eqn: = 6+2 root 14]

다음 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이는? [3.7점]

③

[eqn: S`= 1over2 cdot 10 cdot 12 cdot sin135DEG =30root2]

① [eqn: 18root2`]	② [eqn: 18root3`]	③ [eqn: 30root2 `]

④ [eqn: 30root3`]	⑤ [eqn: 42root2`]

사각형의 넓이

그림과 같은 사각형 [eqn: ABCD]에서 두 대각선의 길이가 각각 [eqn: 6,``5]이고 두 대각선이 이루는 각의 크기가 [eqn: 135 DEG]일 때, 사각형 [eqn: ABCD]의 넓이는?

①

사각형 [eqn: rmABCD]의 네 꼭짓점에서 두 대각선과 평행한 직선을
그어 만든 사각형 [eqn: rmEFGH]는 평행사변형이다.

따라서 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는

[eqn: 1 over 2 times 5 times 6 times sin 135° = {15sqrt2} over 2]

[[eqn: 3.5]점]

① [eqn: {15 sqrt {2}} over {2}]	② [eqn: 10 sqrt {2}]	③ [eqn: {25 sqrt {2}} over {2}]
④ [eqn: 15 sqrt {2}]	⑤ [eqn: {35 sqrt {2}} over {2}]

삼각함수의 활용(step2)

7.

사인법칙

그림에서 삼각형 [eqn: rmABC]의 변 [eqn: rm BC] 위의 점 [eqn: rmD]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, [eqn: sin``C`]의 값은? [4점]

④

[eqn: barAD =k`]라 하면 [eqn: barAB = root3 over2 k`,``barAC`=2k`,``barCD =x]

[eqn: cosangleADB = { 1over 2 k}over {root3 over2 k} = 1over root3]

[eqn: therefore````sinangleADB = root2 overroot3]

[eqn: barAC over {sinangleADC} = barAD over {sinC} `]에서 [eqn: sinC = root6 over6]

(가) [eqn: bar{rmAB}= bar{rm BD} = sqrt { 3} over 2 bar{rmAD}]

(나) [eqn: bar{rm AC} =2`bar{rm AD}]

① [eqn: {root3}over6`]	② [eqn: {root3}over5`]	③ [eqn: {root6}over7`]

④ [eqn: {root6}over6`]	⑤ [eqn: {root6}over5`]

[eqn: rm {bar{AC}} `=12]이고, [eqn: ANGLE rm B`=45 DEG ,` ANGLE `C`=15 DEG]인 삼각형 [eqn: rmABC]에서 선분 [eqn: rm AC]의 길이는? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 4 sqrt {6}]	② [eqn: {7 sqrt {6}} over {2}]	③ [eqn: 3 sqrt {6}]
④ [eqn: {5 sqrt {6}} over {2}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {6}]

①

[eqn: rm ANGLE A=120 DEG]

사인법칙

[eqn: {12} over {sin`120 DEG } = {rm {bar{AC}} it} over {sin`45 DEG }]

[eqn: {12} over {{sqrt {3}} over {2}} = {rm {bar{AC}} it} over {{sqrt {2}} over {2}}]

[eqn: rm {bar{AC}} `=4 sqrt {6}]

사인법칙과 외접원

반지름의 길이가 [eqn: 4]인 원에 내접하는 삼각형 [eqn: ABC]에 대하여

⑤

[eqn: cos ^{2`} A+cos ^{2} `B+cos ^{2} `C=1]에서

[eqn: 1-sin ^{2`} A+1-sin ^{2} `B+1-sin ^{2} C=1]

[eqn: sin ^{2`} A+sin ^{2} `B+sin ^{2} C=2] ……㉠

사인법칙에서 [eqn: {a} over {sinA} = {b} over {sin`B} = {c} over {sinC} =8]

[eqn: sin`A= {a} over {8}], [eqn: sin`B= {b} over {8}], [eqn: sin`C= {c} over {8}]이므로

이것을 ㉠에 대입하면 [eqn: {a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}} over {64} =2]

따라서 [eqn: rm {bar{AB}} ^{2} + {bar{BC}} ^{2} + {bar{CA}} ^{2} = it a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =128]

[eqn: cos ^{2} A+cos ^{2} B+cos ^{2} C=1]이 성립한다고 할 때, [eqn: {bar{AB}} ` ^{2} + {bar{BC}} ` ^{2} + {bar{CA}} ` ^{2}]의 값은? [[eqn: 3.7]점]

① [eqn: 25]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 64]
④ [eqn: 72]	⑤ [eqn: 128]

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 10] 이고 [eqn: rmcos(A+B)=it- {3} over {4}]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [6점]

[eqn: 5sqrt { 7}]

[eqn: rm A+B+C = pi]이므로 [eqn: rm cos ( A+B) = cos ( pi -C ) = -{3 over4]

[eqn: rm cos C = 3 over4] 이므로 [eqn: rm sin C = sqrt { 7 }over4]

사인법칙에 의해 [eqn: rm c over sinC = 20]이므로 [eqn: rm bar AB =5 sqrt { 7}]

삼각형 [eqn: ABC]에서 [eqn: a=2,```B=150 DEG ,```c=2 sqrt {3}]일 때,
이 삼각형의 외접원의 넓이는? [4.8점]

① [eqn: 14 pi]	② [eqn: 21 pi]	③ [eqn: 28 pi]
④ [eqn: 35 pi]	⑤ [eqn: 42 pi]

③

[eqn: b ^{2} =2 ^{2} + LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2} -2 TIMES 2 TIMES 2 sqrt {3} cos150 DEG]

[eqn: b ^{2} =28], [eqn: b=2 sqrt {7}] [eqn: {b} over {sinB} = {2 sqrt {7}} over {{1} over {2}} =4 sqrt {7} =2R]

[eqn: R=2 sqrt {7}] 원의 넓이는 [eqn: 28 pi]

[eqn: {bar{AB}} `=15], [eqn: {bar{BC}} `=8], [eqn: {bar{CA}} `=17]인 삼각형 [eqn: ABC`]와 그 삼각형의 내부에 [eqn: {bar{AP}} `=6]인 점 [eqn: P`]가 있다. 점 [eqn: P`]에서 변 [eqn: AB`]와 변 [eqn: AC`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: Q,~][eqn: R`]라 할 때, 선분[eqn: QR]의 길이는 ? [[eqn: 5.2]점]

⑤

[eqn: {bar{AB}} `=15], [eqn: {bar{BC}} `=8], [eqn: {bar{CA}} `=17]으로

삼각형 [eqn: ABC`]는 직각삼각형이므로 [eqn: sinA= {{bar{BC}}} over {{bar{AC}}} = {8} over {17}]

[eqn: {bar{AP}} `=6]을 지름으로 하는 원을 그려보면

[eqn: P]에서 내린 수선의 발은[eqn: Q,~R`]은 원 위에 존재

따라서 사인법칙에 따라 [eqn: {{bar{QR}}} over {sinA} =6] [eqn: {bar{QR}} `=6· {8} over {17} = {48} over {17}]

① [eqn: {58} over {17}]	② [eqn: {54} over {17}]	③ [eqn: {52} over {17}]
④ [eqn: {50} over {17}]	⑤ [eqn: {48} over {17}]

[eqn: TRIANGLE rm ABC]에서 선분 [eqn: rmBC]의 길이가 [eqn: 6]이고, [eqn: `rmsinAcosC`=sinB]일 때, [eqn: TRIANGLE rm ABC]의 외접원의 반지름의 길이는? [[eqn: 4.4]점]

④

[eqn: `rmsinAcosC`=sinB]

[eqn: {a} over {2R} TIMES {a ^{2} +b ^{2} -c ^{2}} over {2ab} `= {b} over {2R}]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} -c ^{2} =2b ^{2}]

[eqn: a ^{2} =`b ^{2} +c ^{2}] 삼각형 [eqn: rm `ABC]는 [eqn: rm ANGLE A]가 직각인 직각삼각형

[eqn: a=`rm {bar{BC}} `=6] (빗변의 길이)

외접원의 반지름 길이 [eqn: 3]

① [eqn: 2]	② [eqn: sqrt {6}]	③ [eqn: 2 sqrt {2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 6]

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 6]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. [eqn: bar{rmAB}=8 sqrt {2}]이고 부채꼴 [eqn: rmOAB]의 호 [eqn: rmAB] 위의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: angle{rmBPA}>90{DEG}], [eqn: bar{rm AP it} : bar{rm BP it} =3:1`]일 때, 선분 [eqn: rmAP]의 길이는? [4.6점]

③

[eqn: {bar{AB}} over {sin ANGLE APB} `=2R`]에서 [eqn: {8 sqrt {2}} over {sin ANGLE APB} `=12]이므로

[eqn: therefore````][eqn: sinangleAPB = {2root2 }over3], [eqn: cosangleAPB `= - 1over3]

[eqn: barPB`=k`]라 하면 [eqn: LEFT ( 8 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} =k ^{2} +9k ^{2} -2 CDOT k CDOT 3k CDOT LEFT ( - {1} over {3} RIGHT )]

[eqn: therefore````][eqn: k= {4 sqrt {6}} over 3]

[eqn: therefore````][eqn: bar{AP} `=3k=4 sqrt {6}]

① [eqn: 3 sqrt {6}]	② [eqn: {7 sqrt {6}} over {2}]	③ [eqn: 4 sqrt {6}]

④ [eqn: {9 sqrt {6}} over {2}]	⑤ [eqn: 5 sqrt {6}]

[eqn: rm △ABC]의 외접원의 반지름의 길이가[eqn: 2 sqrt {2}]이고 [eqn: ANGLE A=60 DEG][eqn: b=4], 일 때, [eqn: C] 의 크기는? [[eqn: 4.2`]점]

③

사인법칙을 적용하면

[eqn: rm {4} over {sinB} =4 sqrt {2}] [eqn: rm sinB= {sqrt {2}} over {2}] [eqn: rm B=45 DEG ,`` THEREFORE C=75 DEG]

① [eqn: 45 DEG]	② [eqn: 60 DEG]	③ [eqn: 75 DEG]
④ [eqn: 90 DEG]	⑤ [eqn: 105 DEG]

코사인법칙

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 8]인 정육각형 [eqn: ABCDEF]에서 변 [eqn: BC]의 중점을 [eqn: M]이라 할 때, 선분 [eqn: ME]의 길이는? [4.9점]

① [eqn: 8root2]	② [eqn: 8root3]	③ [eqn: 13]
④ [eqn: 4root13]	⑤ [eqn: 15]

④

[eqn: ANGLEABC=120DEG]

정육각형이므로 [eqn: bar{BE}]를 그으면 [eqn: bar{BE}=16]이다.

삼각형 [eqn: BME]에서 [eqn: ANGLEEBM=60DEG]이고 [eqn: bar{BM}=4]이므로 코사인법칙에 의하여 [eqn: bar{ME}^2 =16+256-2TIMES 4 TIMES16 TIMEScos60DEG][eqn: =208]

[eqn: bar{ME}=4root{13}]

오른쪽 그림과 같이 두 제트 스키 [eqn: rm A], [eqn: rm B]가 선착장 [eqn: rm O]를 동시에 출발하여 [eqn: angle rm AOB=75DEG], [eqn: angle rm ABO=60DEG]가 되도록 각각 직선 모양으로 달리고 있다. 두 제트 스키 [eqn: rm A], [eqn: rm B]는 각각 초속 [eqn: 3 root 6`rm m], [eqn: 6`rm m]의 속력으로 일정하게 달리고 [eqn: 5]초가 지났을 때, 두 제트 스키 [eqn: rm A], [eqn: rm B] 사이의 거리는? [[eqn: 5.2]점]

① [eqn: 9 root 6`rm m]	② [eqn: 13`rm m]	③ [eqn: 13(root 3 +1)`rm m]	④ [eqn: 15(root 3 +1)`rm m]	⑤ [eqn: 17`rm m]

④

[eqn: 5]초 후 [eqn: rm bar AO = 15 root 6], [eqn: rm bar BO =30]이다.

[eqn: angle rm OAB=45DEG]

[eqn: rm bar AB =it x]라 하면 코사인 법칙에 의해

[eqn: cos`60DEG = 1 over 2 = {x^2 +900-1350} over {2times 30x}]

[eqn: x^2 -450=30x], [eqn: x^2 -30x-450=0]

[eqn: x=15+- root 675 = 15+- 15 root 3]

[eqn: x>0]이므로 [eqn: rm bar AB = 15(root 3 +1)(m)]

그림과 같이 [eqn: rm ANGLE A=120 DEG ,`bar{AB}=6,`bar{AC}=4]인 심각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmD]와 선분 [eqn: rmAC] 위의 점 [eqn: rmE]는 삼각형 [eqn: rmADE]의 넓이가 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이의 [eqn: {1} over {4}]이 되도록 유지하면서 각각 움직인다. 선분 [eqn: rmDE]의 길이의 최솟값은? [[eqn: 4.5]점]

③

[eqn: AD]의 길이를 [eqn: a] [eqn: AE]의 길이를 [eqn: b]라고 하자 삼각형넓이가 [eqn: 1/4]이 된다고 하였으므로 [eqn: ABC]넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 6 TIMES 4 TIMES `sin120 DEG]

[eqn: ADE]넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES a TIMES b TIMES` sin120 DEG]이므로 [eqn: ab=6]이 된다

[eqn: DE]의 길이를 [eqn: x]로 놓고 코사인법칙으로 정리하면

[eqn: x ^{2} =a ^{2} +b ^{2} -2abcos120 DEG][eqn: x ^{2} =a ^{2} +b ^{2} +6] [eqn: a ^{2} +b ^{2} GEQ 2ab=12]이므로 [eqn: x ^{2}]의 최소는 [eqn: 18] 길이의 최소는 [eqn: 3 sqrt {2}]가 된다.

① [eqn: 2 sqrt {3}]	② [eqn: sqrt {15}]	③ [eqn: 3 sqrt {2}]	④ [eqn: sqrt {21}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {6}]

그림과 같이 [eqn: {bar{AB}} =3,` {bar{AC}} =5,` {bar{BC}} = sqrt {19}]인 [eqn: TRIANGLEABC]에서 점 [eqn: D]는 [eqn: A]를 출발하여 [eqn: B]방향으로, 점 [eqn: E]는 [eqn: C]를 출발하여 [eqn: A]방향으로 움직이고 있으며, 점 [eqn: D]의 속력이 점 [eqn: E]의 속력의 두 배이다. 두 점 [eqn: D,`E]사이의 최단 거리를 [eqn: d]라고 할 때, [eqn: 14d ^{2}]의 값은? (단, 점 [eqn: D]가 [eqn: B]에 도착하면 두 점은 더 이상 움직이지 않는다.) [5.2점]

④

[eqn: cos theta = {9+25-19} over {2 BULLET 3 BULLET 5} = {1} over {2}]

[eqn: ANGLE BAD=theta]에서 [eqn: costheta`= {1} over {2}], [eqn: barEC =x], [eqn: bar{AD} `=2x]

[eqn: bar{DE} ` ^{2} =(2x) ^{2} +(5-x) ^{2} -2 BULLET 2x BULLET (5-x) TIMES {1} over {2}]

[eqn: =4x ^{2} +x ^{2} -10x+25-10x+2x ^{2}]

[eqn: =7x ^{2} -20x+25=7 LEFT ( x- {10} over {7} RIGHT ) ^{2} + {75} over {7}]

[eqn: THEREFORE ` bar{DE}` ^{2}]의 최솟값은 [eqn: {75} over {7}]

[eqn: THEREFORE `14 TIMES d ^{2} =150]

① [eqn: 60]	② [eqn: 90]	③ [eqn: 120]

④ [eqn: 150]	⑤ [eqn: 180]

다음 그림과 같은 삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rm barAB =9,~bar AC =3], [eqn: rmangleBAC =60Deg]이고 [eqn: rm angleBAC]의 이등분선이 변 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라고 할 때, 선분 [eqn: rmBD]의 길이는? [4.1점]

① [eqn: {3root7} over4]	② [eqn: {5root7} over4]	③ [eqn: 2root7]
④ [eqn: {9root7 } over4]	⑤ [eqn: 3root7]

④

코사인법칙을 이용하면

[eqn: rm {barBC} ^2 = 81+9 -2 times9 times3 times cos60Deg = 90-27=63]

[eqn: rm barBC = 3root7]

각의 이등분선의 성질에 의해

[eqn: rm barAB `: `barAC `=` barBD `: `barCD]

[eqn: rm barBD `:`barCD `= ` 3``:``1]

[eqn: therefore] [eqn: rm barBD = 3 over4 barBC = {9root7} over4]

그림과 같이 [eqn: rm {bar{AB}} =7], [eqn: rm {bar{AC}} =8], [eqn: ANGLE rm A=120 ^{CIRC }]인 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 점 [eqn: rm A]에서 [eqn: rm {bar{BC}}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 할 때, [eqn: rm {bar{AH}}]의 길이는? [[eqn: 4.7]점]

① [eqn: {26 sqrt {2}} over {15}]	② [eqn: {28 sqrt {2}} over {15}]	③ [eqn: {28 sqrt {3}} over {15}]
④ [eqn: {27 sqrt {2}} over {13}]	⑤ [eqn: {28 sqrt {3}} over {13}]

⑤

[eqn: rm triangleABC]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: rm {bar{BC}} ^{2} =64+49-2 TIMES 8 TIMES 7 TIMES (- {1} over {2} )=169]에서 [eqn: rm {bar{BC}} =13]

[eqn: rm {bar{AH}} =itx], [eqn: rm {bar{BH}} =ita], [eqn: rm {bar{HC}} =13- it a]라고 하면

피타고라스 정리에 의해

[eqn: x ^{2} =49-a ^{2} =64-(13-a) ^{2}]가 성립하므로

[eqn: a= {77} over {13}]

따라서 [eqn: rm {bar{AH}} = {28 sqrt {3}} over {13}]

<다른풀이>

[eqn: rm triangleABC]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: rm {bar{BC}} ^{2} =64+49-2 TIMES 8 TIMES 7 TIMES (- {1} over {2} )=169]에서 [eqn: rm {bar{BC}} =13]

[eqn: triangle ABC] 넓이=[eqn: {1} over {2} TIMES 7 TIMES 8 TIMES sin {2 pi } over {3}][eqn: = 1 over 2 times 13 times bar AH]

[eqn: 14 sqrt {3} = 13 over 2 times bar AH] [eqn: therefore barAH = { 28sqrt3 } over 13]

그림과 같이 사각형 [eqn: ABCD]에서 변 [eqn: AB]와 변 [eqn: CD]는 평행하고 [eqn: bar{BC} =3], [eqn: bar{AB} = bar{AC} = bar{AD} =5]일 때, 대각선 [eqn: BD]의 길이는? [[eqn: 4.2]점]

⑤

점[eqn: D]에서 선분 [eqn: EB]에 내린 수선의 발을 [eqn: E]라 하고

[eqn: ANGLE CAB= theta]라 하고 삼각형[eqn: CAB]에서 코사인법칙과	[eqn: sin ^{2} theta +cos ^{2} theta =1]을 이용하여

[eqn: cos` theta = {41} over {50}], [eqn: sin theta = {3 sqrt {91}} over {50}]

[eqn: ANGLE DAE= theta]이고, [eqn: AD=5]이므로

[eqn: AE=5cos theta =4.1], [eqn: DE=5sin theta = {3 sqrt {91}} over {10}]

[eqn: BD ^{2} =DE ^{2} +EB ^{2} = LEFT ( {3 sqrt {91}} over {10} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {91} over {10} RIGHT ) ^{2} =91]

[eqn: BD= sqrt {91}]

① [eqn: sqrt {71}]	② [eqn: 2 sqrt {19}]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: sqrt {86}]	⑤ [eqn: sqrt {91}]

[eqn: rm {bar{AB}} `=4,` {bar{AC}} `=2]인 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 중심을 [eqn: rmO]라 하자. 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이가 [eqn: 2]일 때, 선분 [eqn: rmBC]의 길이는 [eqn: k]이다. 서로 다른 모든 실수 [eqn: k]의 값과 합은?[[eqn: 5.4]점]

① [eqn: {22 sqrt {5}} over {5}]	② [eqn: 4 sqrt {5}]	③ [eqn: {18 sqrt {5}} over {5}]
④ [eqn: {16 sqrt {5}} over {5}]	⑤ [eqn: {14 sqrt {5}} over {5}]

④

외접원의 반지름 길이 [eqn: rm {bar{AO}} `= {bar{BO}} `= {bar{CO}}]

이때 외심의 성질에 의하여 [eqn: rmO]는 각 변의 수직이등분선의 교점이다.

점 [eqn: rmO]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

삼각형 [eqn: rmOAB`]의 넓이는 [eqn: 1over2 times rmbarAB times barOH `]이다.

문제에서 삼각형 [eqn: rmOAB`]의 넓이가 [eqn: 2`]라고 주어졌으므로

[eqn: rmbarOH =1 `]이고 피타고라스 정리에 의하여 [eqn: rm {bar{AO`}} ^{2} `=4+1=5]

[eqn: {bar{rm AO}} `= sqrt {5}]이다.

원주각 성질에서

[eqn: 2 ANGLE rmACB`=` ANGLE AOB]

[eqn: rm ANGLE AOH`= ANGLE ACB= theta]

[eqn: sin` theta `= {2 sqrt {5}} over {5}]이고, [eqn: cos theta = root5 over5] 또는 [eqn: cos theta = it - root5 over5 `]이다.

[eqn: rmbarAB =4,~ barAC =2,~barBC = itk `], [eqn: rmangle ACB = theta `]이므로

삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙을 쓰면

[eqn: k^2 - {4root5} over5 k -12=0``] 또는 [eqn: k^2 +{4root5} over5 k -12=0``]이다.

[eqn: k>0`]이므로 근의 공식으로 각각 [eqn: k`]의 값을 구하면

[eqn: k= {10root5}over5] 또는 [eqn: k= {6root5}over5 `]이므로

모든 [eqn: k`]의 값의 합은 [eqn: 16root5}over5 `]

그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [eqn: ABCD]의 네 변의 길이가 [eqn: 2,``4,``6,``8]일 때, 사각형 [eqn: ABCD]의 넓이는? [4.3점]

① [eqn: 8 sqrt {3}]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 8 sqrt {5}]
④ [eqn: 8 sqrt {6}]	⑤ [eqn: 8 sqrt {7}]

④

선분 [eqn: BD]의 길이를 [eqn: x]라 두면

[eqn: cosA=-cosC]이므로

[eqn: x ^{2} =4 ^{2} +6 ^{2} -2 TIMES 4 TIMES 6cosC=2 ^{2} +8 ^{2} +2 TIMES 2 TIMES 8cosC]

[eqn: 80cosC=-16,`````cosC=- {1} over {5} ,````sinC= {2 sqrt {6}} over {5}]

사각형[eqn: ABCD]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} 4 TIMES 6 {2 sqrt {6}} over {5} + {1} over {2} 2 TIMES 8 {2 sqrt {6}} over {5} =8 sqrt {6}]

아래 그림과 같이 원에 내접하는 [eqn: rm □ABCD]에서 [eqn: rm bar {AB}=3], [eqn: rm {bar{BC}} =4], [eqn: rm {bar{CD}} =2], [eqn: rm {bar{DA}} =3]일 때, [eqn: rm □ABCD]의 넓이는?
(단, [eqn: rmB]는 예각이다.) [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: {13 sqrt {2}} over {2}]	② [eqn: 6 sqrt {2}]	③ [eqn: {11 sqrt {2}} over {2}]
④ [eqn: 5 sqrt {2}]	⑤ [eqn: {9 sqrt {2}} over {2}]

②

[eqn: ANGLE rmB= theta]라 하면 [eqn: ANGLE rmD= pi- theta]

[eqn: TRIANGLE rmADC]에서

[eqn: {bar{rm AC}} ^{2} =9+4-12`cos` LEFT ( pi - theta RIGHT )]

[eqn: TRIANGLE rm ABC]에서

[eqn: {bar{rm AC}} ^{2} =9+16-24`cos` theta]

위 값이 서로 같으므로

[eqn: cos` theta = {1} over {3}]

[eqn: sin` theta = sqrt {1-cos ^{2} theta } = {2 sqrt {2}} over {3}]

[eqn: S= {1} over {2} TIMES 3 TIMES 4 TIMES {2 sqrt {2}} over {3} + {1} over {2} TIMES 2 TIMES 3 TIMES {2 sqrt {2}} over {3} =6 sqrt {2}]

코사인법칙의 활용

그림과 같이 높이가 [eqn: 2m]인 받침대 위에 키가 [eqn: 4m]인 동상이

[eqn: sqrt {3} ``rm m]

[eqn: rm bar{PC} = it x``rmm]라고 하면

[eqn: rm barPA = sqrt{it x^2 +36}], [eqn: rm barPB = it sqrt{x^2 +4}]

삼각형 [eqn: rmAPB]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: 4^ 2 = (sqrt{x^2 +36})^2 + (sqrt{x^2 +4})^2]

[eqn: -2 TIMES sqrt {x ^{2} +36} TIMES sqrt {x ^{2} +4} TIMES cos30°]

[eqn: 2x ^{2} +24= sqrt {3(x ^{2} +36)(x ^{2} +4)}]

이 식의 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: x ^{4} -24x ^{2} +144=0], [eqn: (x ^{2} -12) ^{2} =0], [eqn: x ^{2} =12]

[eqn: x>0]이므로 [eqn: x = 2sqrt3]

따라서 [eqn: rm barPC]의 길이는 [eqn: 2sqrt {3} ``rm m]이다.

세워져 있다. [eqn: P]지점에 조명을 설치하여 밤에도 동상을 볼 수 있게 하려고 한다. [eqn: ANGLEAPB=30 DEG]일 때, [eqn: {bar{PC}}]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 6.0]점]

아래 그림과 같이 높이가 [eqn: 1`m]인 받침대 위에 키가 [eqn: 2`m]인 동상이 세워져 있다. [eqn: P`]지점에 조면을 설치하여 밤에도 동상을 볼 수 있게 하려고 한다. [eqn: ANGLE APB`=30 DEG]일 때, [eqn: {bar{BP`}}]의 길이를 구하면? [[eqn: 4.7]점]

① [eqn: sqrt {3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 2 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 4]

②

[eqn: {bar{BP}} `=x][eqn: LEFT ( x>0 RIGHT )]라 하면 [eqn: {bar{PC}} `= sqrt {x ^{2} -1}], [eqn: {bar{AP}} `= sqrt {LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) +3 ^{2}} = sqrt {x ^{2} +8}]

삼각형 [eqn: APB`]에서 코사인법칙에 따라

[eqn: 2 ^{2} =x ^{2} + LEFT ( sqrt {x ^{2} +8} RIGHT ) ^{2} -2·x· sqrt {x ^{2} -8} cos30 DEG]

[eqn: 2x ^{2} +4=x sqrt {3} sqrt {x ^{2} -8}] 양변 제곱하며하여 정리하면

[eqn: 4x ^{4} +16x ^{2} +16=3x ^{4} -24x ^{2}] [eqn: x ^{4} -8x ^{2} +16=0] [eqn: LEFT ( x ^{2} -4 RIGHT ) ^{2} =0]

따라서 [eqn: x>0]이므로 [eqn: x=2]

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: r`cm,] 모선의 길이가 [eqn: 15cm]인 원뿔에 대하여 모선 [eqn: AB]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 [eqn: D]라 하자. 점 [eqn: B]에서 출발하여 원뿔의 표면을 따라 한 바퀴를 돈 후 점 [eqn: D]까지 가는 최단거리가 [eqn: 5 sqrt {13}]일 때, 밑면의 반지름 [eqn: r]의 값을 구하고, 그 과정을 논술하시오. [5.0점]

[eqn: r=5]

전개도에서 부채꼴의 중심각을 [eqn: theta]라 하자.

[eqn: costheta= {25+225-25 cdot 13} over {2 cdot 5 cdot 15} =- {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE `theta= {2} over {3} pi]

[eqn: THEREFORE 15 TIMES {2} over {3} pi=2pir]

[eqn: THEREFORE `r=5]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원에 내접하는 정삼각형 [eqn: ABC]가 있다. [eqn: ANGLE BAC]를 삼등분하는 직선 중 하나가 점 [eqn: A]를 포함하지 않는 호 [eqn: BC]와 만나는 점을 [eqn: P]라 할 때,  [eqn: 3 LEFT ( {bar{PA}} ^{2} + {bar{PB}} ^{2} + {bar{PC}} ^{2} RIGHT )]

④

원에 내접하는 삼각형 [eqn: ABC]에 대해

원주각 [eqn: ANGLE ABC= ANGLE APB= {pi } over {3}]

[eqn: ANGLE ACP= ANGLE APC= {pi } over {3}]

원의 중심을 [eqn: O]라고 하자. 정삼각형 [eqn: ABC]에 대한 삼각비를 이용하면, 한 변의 길이가 [eqn: 3 sqrt {3}]인 정삼각형임을 알 수 있다. [eqn: {bar{OA}} =3,`]점[eqn: A]에서 변 [eqn: BC]에 수선의 발은 원의 중심이자 삼각형 무게중심을 지난다.

[eqn: {bar{AA ^{1}}} =3 TIMES {3} over {2} = {9} over {2} ,`] [eqn: {bar{AB}} ``=a]라고 할 때, [eqn: a`sin`60 DEG = {9} over {2}`], [eqn: a=3 sqrt {3}]

[eqn: {bar{AP```}} =x,][eqn: {bar{BP}} `=y], [eqn: {bar{CP}} `=z]라고 하자. 코사인법칙을 이용하면

[eqn: {bar{AB ^{2}}} =x ^{2} +y ^{2} -2xy`cos` {pi } over {3} =x ^{2} +y ^{2} -xy]

[eqn: {bar{AB}} `= {bar{AC}}]이므로, [eqn: x ^{2} +y ^{2} -xy=x ^{2} +z ^{2} -xz]

[eqn: y ^{2} -z ^{2} -xy+xz=0]

[eqn: (y-z)(y+z)-x(y-z)=0]

[eqn: (y-z)(y+x-z)=0]

[eqn: y != z,`````x=y+z]

[eqn: {bar{BC ^{2}}} =27=y ^{2} +z ^{2} -2yz`cos {2} over {3} pi][eqn: =y ^{2} +z ^{2 ^{}} +yz]

[eqn: {bar{PA ^{2}}} `+ {bar{PB ^{2}}} + {bar{PC ^{2} `}} =x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =(y+z) ^{2} +y ^{2} +z ^{2}]

[eqn: =(y ^{2} +2yz+z ^{2} )+y ^{2} +z ^{2} `=2(y ^{2} +z ^{2} +yz)=2 cdot 27=54]

[eqn: 3( {bar{PA ^{2}}} `+ {bar{PB ^{2}}} + {bar{PC ^{2} `}} )=3 cdot 54=162]

의 값은? [4.5점]

① [eqn: 27]	② [eqn: 54]	③ [eqn: 81]	④ [eqn: 162]	⑤ [eqn: 243]

그림과 같이 원에 내점하는 사각형 [eqn: ABCD]에서
[eqn: {bar{AB}} =4,``` {bar{BC}} =5,~` {bar{CD}} =3]이고 [eqn: TRIANGLE ABC]의 넓이가 [eqn: {5 sqrt {15}} over {2}]일 때,
[eqn: {bar{AD}}]의 길이를 구하고 그 과정을 서술하시오.(단, [eqn: B]는 예각이다.),

[eqn: 4]

[eqn: TRIANGLE ABC]의 넓이가 [eqn: {5 sqrt {15}} over {2}]이므로
[eqn: TRIANGLE ABC= {1} over {2} TIMES 4 TIMES 5 TIMES ` sin`B= {5 sqrt {15}} over {2}]
[eqn: sinB= {sqrt {15}} over {4}]이므로 [eqn: cosB= {1} over {4}]
[eqn: rm TRIANGLE ABC]에서 코사인법칙에 의해서
[eqn: rm {bar{AC}} ^{2}][eqn: = rm 4 ^{2} +5 ^{2} -2 TIMES 4 TIMES 5 TIMES {1} over {4} =31]
[eqn: rm TRIANGLE ADC]에서 [eqn: rm {bar{AD}} it =x]라고하면 [eqn: cosD=cos LEFT ( pi -B RIGHT ) =- {1} over {4}]
코사인법칙에 의해서
[eqn: 21][eqn: =3 ^{2} +x ^{2} +2 TIMES 3 TIMES x` TIMES {1} over {4}]
[eqn: 2x ^{2} +3x`-44=0] 이므로 [eqn: THEREFORE `````x=4]
[eqn: THEREFORE ` rm {bar{AD}} it =4]

[[eqn: 7.0]점]

그림과 같이 직육면체 모양의 성일고등학교 본관의 높이를 알아보기 위해서 지면에서 거리가 [eqn: 28]인 두 지점 [eqn: A,```B]에서 건물의 가장 높은 점 [eqn: P]를 올려다본 각을 측정하였더니 각각 [eqn: 45 DEG ,```60 DEG]이었다. 점 [eqn: P]에서 수직으로 내린 지점을 [eqn: Q]라 할 때, [eqn: ANGLE ABQ=20 DEG ,```` ANGLE BAQ=10 DEG]이다. 성일고등학교 본관의 높이 [eqn: PQ]의 길이는? [5.3점]

① [eqn: 12 sqrt {2}]	② [eqn: 4 sqrt {21}]	③ [eqn: 8 sqrt {6}]
④ [eqn: 12 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 4 sqrt {30}]

②

[eqn: {bar{BQ`}} =x]라 두면 [eqn: {bar{PQ`}} = {bar{AQ`}} = sqrt {3} x]

코사인법칙에 의해 [eqn: 28 ^{2} =x ^{2} + LEFT ( sqrt {3} x RIGHT ) ^{2} -2x LEFT ( sqrt {3} x RIGHT ) cos150 DEG]

[eqn: 28 ^{2} =x ^{2} +3x ^{2} +2x LEFT ( sqrt {3} x RIGHT ) {sqrt {3}} over {2}] [eqn: x=4 sqrt {7}]
[eqn: {bar{PQ`}} = sqrt {3} TIMES 4 sqrt {7} =4 sqrt {21}]

그림과 같이 [eqn: rm bar AD]□[eqn: rm bar BC], [eqn: rm bar AB =bar CD =5]인 사각형 [eqn: rm ABCD]가 있다. [eqn: rm bar BD =4 root 5]이고, 삼각형 [eqn: rm BCD]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: {5 root 5} over 2]일 때, 사각형 [eqn: rm ABCD]의 넓이는? (단, [eqn: rm bar BC > bar AD]이다.) [[eqn: 4.0]점]

① [eqn: 32]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 24]
④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 16]

사인법칙과 코사인법칙

①

[eqn: triangle rm BCD]의 외접원 반지름의 길이가 [eqn: {5 root 5} over 2]이므로 사인법칙에 의해

[eqn: 2 times {5 root 5} over 2 times sin(angle rm DCB)=4 root 5], [eqn: sin (angle rm DCB)= 4 over 5]

[eqn: cos(angle rm DCB)= 3 over 5], [eqn: rm bar BC = it x]라 하면

코사인 법칙에 의해 [eqn: cos(angle rm DCB)=it 3 over 5 = {x^2 +25-80} over {2 times 5 times x}]

[eqn: 3 over 5 = {x^2 -55} over 10x], [eqn: x^2 -55=6x], [eqn: x^2 -6x-55=0]

[eqn: (x+5)(x-11)=0], [eqn: x>0]이므로 [eqn: x=11]

[eqn: □rm ABCD]는 사다리꼴이므로

[eqn: rm bar{AD} = bar{BC} -2` bar{CD} `cos( ANGLE rm DCB)][eqn: = 11-2 times 5 times 3 over 5 =5]

높이는 [eqn: rm bar{CD} `sin( ANGLE rm DCB)=4]

[eqn: therefore~ □rm ABCD= 1 over 2 times 4 times (5+11)=32]

삼각형 [eqn: rmABC]가 [eqn: rm{sinB-sinC} over {sinA} =2cosC-1]을 만족시킨다. [eqn: rmsinC = 4 over 5]일 때, [eqn: rmcosB]의 값은? [4.7점]
① [eqn: 7 over 25]	② [eqn: 9 over 25]	③ [eqn: 11 over 25]

①

사인법칙과 코사인법칙을 이용해서

조건식을 변형하면 [eqn: {b-c}overa =2 times {b^2 +a^2 -c^2 } over2ab -1] 이되고

위의 식을 정리해서 인수분해하면 [eqn: (a-c)(a+c-b) =0]이 된다

삼각형조건에 의해 [eqn: a=c]인 이등변삼각형이 되고

[eqn: sinC = 4 over5]조건에 의해 각변의 비가 [eqn: 5:5:6]인 이등변삼각형이 된다

그러므로 [eqn: cosB= {25+25-36}over50 = 7 over25]이다.

④ [eqn: 13 over 25]	⑤ [eqn: 3 over 5]

[eqn: sinA`:sinB`:`sinC`=3:5:7``]인 삼각형 [eqn: ABC``]의 외접원을 [eqn: C``], 원 [eqn: C``]의 중심을 [eqn: O``]라 하자. 점 [eqn: O``]에서 선분 [eqn: AC``]에 내린 수선의 발을 [eqn: H``]라 하면 [eqn: {bar{OH}} `=` {55 sqrt {3}} over {21}``]이다. 원 [eqn: C``]의 넓이를 구하고 그 과정을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: {100pi} over {3}``]

삼각형 [eqn: ABC``]에서 [eqn: {bar{AB}} =7k,` {bar{BC}} =3k,` {bar{CA}} =5k``]이므로

코사인법칙에 의해 [eqn: cosB= {11} over {14}``]이다.

원의 중심 [eqn: O``]에 대하여 [eqn: ANGLE B= ANGLE COH``] 이고

[eqn: {bar{OC}}``]를 원의 반지름 [eqn: R``]이라 하면

[eqn: R`cos LEFT ( ANGLE COH RIGHT ) = {bar{OH}}``]

따라서 [eqn: R= {10 sqrt {3}} over {3}``]이므로 원 [eqn: C``]의 넓이는 [eqn: {100pi} over {3}``]이다.

[eqn: rm {bar{BC}} `=8]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: {81} over {2} pi]

조건 (가)에서 [eqn: sin ^{2} B+cos ^{2} C=1]

[eqn: sin ^{2} B+cos ^{2} C`=1] 이므로 [eqn: sin^2 B= sin^2 C`]이고,

[eqn: sinB=sinC`]이다. ([eqn: because] 삼각형 내각의 사인값은 항상 양수)

사인값의 비와 변의 길이의 비는 같으므로

삼각형 [eqn: rmABC`]는 [eqn: b=c`]인 이등변삼각형이다.

[eqn: {bar{rm AB}} ` it =b,~ {bar{rm CA}} ` it =b,~ {bar{rm BC}} ` it =8=a`]라 하면

조건 (나)에서 [eqn: sinC=3(sinB-sinA)]에서

[eqn: c=3 (b-a)`]인데, [eqn: b=c`]이므로

[eqn: 2b=3a`], 즉 [eqn: 2b=24`]이므로 [eqn: b=12`]

따라서 [eqn: cosA= {144+144-64} over {2 TIMES 144} = {7} over {9}]이므로

[eqn: sinA= sqrt {1- {49} over {81}} `= {4 sqrt {2}} over {9}]이고

[eqn: {8} over {sinA} = {8} over {{4 sqrt {2}} over {9}} =9 sqrt {2}=2R`]

[eqn: therefore ~R= {9root2}over2`]이므로 외접원 넓이는 [eqn: {81} over {2} pi]이다.

(가) [eqn: sin ^{2} B+cos ^{2} C=1]

(나) [eqn: sinC=3(sinB-sinA)]

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 넓이를 구하는 풀이 과정과 답을 서술하시오.[[eqn: 8.0]점/부분접수 있음]

[eqn: rm△ABC]에서 [eqn: a`sin rm A=itb sin rmB+itc sin rmC]가 성립할 때, [eqn: rm△ABC]는 어떤 삼각형인가? [[eqn: 4.2]점]

⑤

[eqn: a`sin rm A=itb sin rmB+itc sin rmC]

[eqn: a TIMES {a} over {2R} = it b` TIMES {b} over {2R} + it c` TIMES {c} over {2R}]

[eqn: a ^{2} =b ^{2} +c ^{2}]

① [eqn: a=c]인 이등변삼각형

② [eqn: a=b]인 이등변삼각형
③ [eqn: rmC=90 DEG]인 직각삼각형

④ [eqn: rmB=90 DEG]인 직각삼각형
⑤ [eqn: rmA=90 DEG]인 직각삼각형

그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [eqn: rmABCD]가 [eqn: bar{rmAB}=10], [eqn: bar{rmAD}=2], [eqn: sin(angle{rmBCD})= {4} over {5}]를 만족시킨다. 이 원의 둘레의 길이가 [eqn: a{pi}] 일 때, [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: angle{rmBCD}< {pi} over {2}]) [4.7점]

③

[eqn: ANGLE BCD= theta `]라 하면 [eqn: angleDAB =pi -theta]이고 [eqn: sintheta = 4over5]

[eqn: bar{BD} ` ^{2} =2 ^{2} +10 ^{2} -2 CDOT 2 CDOT 10 CDOT cos( pi - theta )=128]

[eqn: therefore```barBD =8root2]

[eqn: barBD oversintheta `= {8root2 }over {4over5}][eqn: =10root2 =2R]

따라서 [eqn: R =5root2]

둘레의 길이는 [eqn: 10root2 pi]

① [eqn: 6root2]	② [eqn: 8root2]	③ [eqn: 10root2]

④ [eqn: 12root2]	⑤ [eqn: 14root2]

어느 왕릉에서 원 모양의 청동거울이 발견되었고, 일부가 깨져 반지름의 길이를 알 수가 없었다. 복원티은 청동거울에 세 변의 길이가 각각 [eqn: 6`cm,````10`cm,````14`cm]인 삼각형을 그려, 청동거울의 반지름의 길이를 알아낼 수 있었다. 청동거울의 반지름의 길이를 구하는 과정을 논술하시오. [6.0점]

[eqn: {14 sqrt {3}} over {3}]

[eqn: cos theta = {10 ^{2} +6 ^{2} -14 ^{2}} over {2 TIMES 10 TIMES 6} =- {1} over {2} ,```` theta = {2 pi } over {3}]

사인법칙에 의해 [eqn: {14} over {sin {2} over {3} pi } =2R= {28} over {sqrt {3}} ,````R= {14} over {sqrt {3}} = {14 sqrt {3}} over {3}]

그림과 같이 [eqn: bar{rmAB} =3`,``bar{rm BC}=6]인 직사각형 [eqn: rmABCD]에서 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: 1``:``5]로 내분하는 점을 [eqn: rmE]라 하자.

②

[eqn: barAE = root10`,```barAC = 3root5`,``barEC =5]

[eqn: costheta = {10 +45 -25 }over {2 cdot root10 cdot 3 root5} = 1overroot2]

따라서 [eqn: sintheta = 1overroot2]

[eqn: 5 oversintheta = 2R`]에서 [eqn: R = {5root2 }over2]

[eqn: therefore````]넓이는 [eqn: 25 over2 pi]

[eqn: angle rm EAC =theta]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmAEC]의 외접원의 넓이는? [4.1점]

① [eqn: 12pi]	② [eqn: 25over2 pi]	③ [eqn: 13pi]

④ [eqn: 27 over 2 pi]	⑤ [eqn: 14pi]

그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [eqn: ABCD]에 대하여 [eqn: bar{AB} = bar{BC} =2], [eqn: bar{AD} =3], [eqn: ANGLE BAD= {pi } over {3}]이다. 두 직선 [eqn: AD,`BC]의 교점을 [eqn: E]라 하자. [eqn: ANGLE AEB= theta]일 때, [eqn: sin theta]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 5.0]점]

[eqn: {3 sqrt {3}} over {14}]

삼각형 [eqn: ABD]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: bar{BD} ^{2} =3 ^{2} +2 ^{2} -2 TIMES 3 TIMES 2 TIMES cos {pi } over {3} =7] 이므로 [eqn: bar{BD} = sqrt {7}]이다.

[eqn: ANGLE BAD+ ANGLE BCD= pi]이므로

삼각형 [eqn: BCD]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: 2 ^{2} + bar{CD} ^{2} -2 TIMES 2 TIMES bar{CD} TIMES cos {2 pi } over {3} =7]

[eqn: bar{CD} ^{2} +2 bar{CD} -3=0]

[eqn: ( bar{CD} -1)( bar{CD} +3)=0]이므로 [eqn: bar{CD} =1]이다.

삼각형 [eqn: EAB]와 삼각형 [eqn: ECD]에서 [eqn: ANGLE AEB]는 공통이고 [eqn: ANGLE EAB= ANGLE ECD]이므로

삼각형 [eqn: EAB]와 삼각형 [eqn: ECD]는 닮음이다.

따라서 [eqn: {bar{EA}} over {bar{EC}} = {bar{EB}} over {bar{ED}} = {bar{AB}} over {bar{CD}}]이다.

즉, [eqn: {3+ bar{ED}} over {bar{EC}} = {2+ bar{EC}} over {bar{ED}} = {2} over {1}]

[eqn: 3+ bar{ED} =2 bar{EC}] , [eqn: 2+ bar{EC} =2 bar{ED}]

이 두 식을 연립하여 풀면 [eqn: bar{ED} = {7} over {3}]이다.

[eqn: ANGLE DEC= pi - ANGLE BCD= ANGLE BAD= {pi } over {3}] 이므로

삼각형 [eqn: ECD]에서 사인법칙을 이용하면

[eqn: {{7} over {3}} over {sin {pi } over {3}} = {1} over {sin theta }]에서 [eqn: sin theta = {3 sqrt {3}} over {14}]이다.

[eqn: rm angleABC = pi over4 ,~ barBC =6]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmBC] 위에 점 [eqn: rmB]와 점 [eqn: rmC]가 아닌 점 [eqn: rmD]를 잡고, 삼각형 [eqn: rmABD]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: r_1`], 삼각형 [eqn: rmACD]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: r_2`]라 하자. [eqn: r_2 overr_1 = root5`]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는? [4.8점]

① [eqn: {3root2} over2]	② [eqn: root10]	③ [eqn: 3root2]
④ [eqn: 2root5]	⑤ [eqn: {3root10} over2]

①

[eqn: rm barAB = it c,~ rm barAC = it b`], [eqn: rm angleADB = theta`]라 하면

[eqn: rmtriangleABD]에서 [eqn: 2r_1 = c over{sin`theta}]	[eqn: cdots]①

[eqn: rmtriangleACD]에서 [eqn: 2r_2 = b over{sin(pi-theta)} = b over{sin`theta}] [eqn: cdots]②

①[eqn: div]②하면 [eqn: {r_2} over{r_1} = b overc =root5]

[eqn: b=root5 c]

[eqn: rm triangleABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: 5c^2 =c^2 +36 -12c cos pi over4]

[eqn: 2c^2 +3root2 c -18=0]

[eqn: (2c-3root2 ) (c+3root2 )=0]

[eqn: therefore] [eqn: c= {3root2} over2]

그림과 같이 삼각형 [eqn: rmABC]가 한 원에 내접하고 [eqn: rm bar AB = 4], [eqn: rm bar AC = 12], [eqn: rm angle BAC = pi over3], [eqn: rm angle CAE = angle BAE], [eqn: rm angle ACE = pi over2]일 때, 삼각형 [eqn: rm CDE]의 외접원의 넓이는?

③

삼각형 [eqn: rm ABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rm {bar BC}^2 =4^2 +12^2 - 2 times 4 times 12 times cos piover3 = 112]

[eqn: THEREFORE rm bar BC = 4 sqrt7]

[eqn: rm bar AD]가 각 [eqn: angle rm BAC]의 이등분선이므로

[eqn: rm bar AB : bar AC = bar BD : bar CD = 1:3]

이고 따라서 [eqn: rm bar CD = 3 sqrt7]이다. 한편 [eqn: rm angle CAE = pi over 6]이고 [eqn: angle rm ACE = pi over2]이므로 [eqn: angle rm AEC = pi over 3]이다. 따라서 삼각형 [eqn: rm CDE]에서 사인법칙에 의해

[eqn: 2 R = {bar {rmCD}} over {sin pi over3} = { 3 sqrt7} over { sqrt3 over2} = 2 sqrt21]

따라서 삼각형 [eqn: rm CDE]의 외접원의 넓이는 [eqn: 21 pi]이다.

[[eqn: 5.0]점]

① [eqn: 7pi]	② [eqn: 14 pi]	③ [eqn: 21pi]
④ [eqn: 28 pi]	⑤ [eqn: 35 pi]

사각형 [eqn: ABCD]의 네 꼭짓점은 한 원 위에 있고, [eqn: {bar{AB}} =2,` {bar{BC}} =4,` {bar{CD}} =3,` {bar{AD}} =2]일 때, 사각형 [eqn: ABCD]에 외접하는 원의 반지름은 [eqn: {q} over {p} sqrt {15}]이다. 두 자연수 [eqn: p`,~q`]에 대하여 [eqn: p-q]의 값은? (단, [eqn: p`,~q`]는 서로소이다.) [5.1점]

②

[eqn: ANGLE ABC= theta]

[eqn: ANGLE ADC= pi - theta]

[eqn: bar{AC} ` ^{2} =2 ^{2} +4 ^{2} -2 BULLET 2 BULLET 4cos` theta]

[eqn: =2 ^{2} +3 ^{2} -2 BULLET 3 BULLET 2cos`( pi - theta )]

[eqn: THEREFORE `cos theta = {1} over {4} ,~sintheta= {sqrt {15}} over {4}]

[eqn: barAC =4] 이므로

[eqn: THEREFORE {bar{AC}} over {sintheta} = {4} over {{sqrt {15}} over {4}} = {16} over {sqrt {15}} =2R]

[eqn: THEREFORE `R= {8} over {15} sqrt {15}]

[eqn: THEREFORE `15-8=7]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

그림과 같이 [eqn: rm bar AB = 2 root2], [eqn: rm bar BC = 3 root6], [eqn: rm bar CA = root 26]인 삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 선분 [eqn: rm BC] 위에 점 [eqn: rm B]가 아닌 점 [eqn: rm D]를 [eqn: rm bar AD = 2 root2]가 되도록 잡고, 선분 [eqn: rm AC] 위에 양 끝점 [eqn: rm A], [eqn: rm C]가 아닌 점 [eqn: rm E]를 사각형 [eqn: rm ABDE]가 원에 내접하도록 잡는다. 선분 [eqn: rm DE]의 길이를 구하고 그 과정을 작성하시오.[7.0점]

[eqn: { 2 root78 } over 13]

[eqn: cos( ANGLE rm ABC it )= {{bar{rm AB it}} ^{2} + {bar{rm BC it}} ^{2} - {bar{rm CA it}} ^{2}} over {2 CDOT {bar{rm AB it}} CDOT {bar{rm BC it}}}]

[eqn: = {(2 sqrt {2} ) ^{2} +(2 sqrt {6} ) ^{2} -( sqrt {26} ) ^{2}} over {2 CDOT 2 sqrt {2} CDOT 3 sqrt {6}}]

[eqn: ={sqrt {3}} over {2}}]

[eqn: THEREFORE ~ ANGLE rm ABC it =30 DEG]

[eqn: BAR{RM AB} OVER {sin (ANGLE{RM BCA})}= BAR{RM AC} OVER {sin(ANGLE{RM ABC})}]이므로	[eqn: sin( ANGLE rm BCA it )= {{bar{rm AB it}}} over {{bar{rm AC }}} \sin (angle{rm ABC})=2SQRT2 OVER SQRT26 sin30DEG=SQRT13 OVER 13]

[eqn: BAR{RM AB}=BAR{RM AD}=2SQRT2]이므로	[eqn: {bar{rm BD it}} =2 {bar{rm AB it}} rm cos30 DEG =2cdot 2sqrt2 cdot sqrt3 over2 =2sqrt6]

[eqn: therefore~bar{RM CD}=BAR{RM BC}-BAR{RM BD}=3SQRT6 - 2SQRT6 =SQRT6]

사각형 [eqn: rm ABDE]는 한 원에 내접하므로 [eqn: angle {rm CED} = angle {rm ABC} = 30DEG]이다.

[eqn: {{bar{rm DE it}}} over {sin( ANGLE rm BCA it )} = {{bar{rm CD it}}} over {sin( ANGLE rm CED it )}]이므로	[eqn: BAR{RM DE}=BAR{RM CD} times{\sin(angle{rm BCA})} over {\sin(angle{rm CED})} = sqrt6 times{sqrt13 over 13}over{1over2}={2sqrt78}over13]

그림과 같이 [eqn: {bar{AB}} =4,` {bar{AC}} =5] 이고 [eqn: cos( ANGLE BAC)= {1} over {8}]인 삼각형 [eqn: ABC]가 있다. 선분 [eqn: AC] 위의 점 [eqn: D]와 선분 [eqn: BC] 위의 점 [eqn: E] 에 대하여 [eqn: ANGLE BAC`= ANGLE BDA`=` ANGLE BED`]일 때, [eqn: TRIANGLE BDE]의 넓이는? [4.1점]

③

[eqn: ANGLE ADB= theta]라고 하자.

삼각형 [eqn: ABC]에 대해 코사인 법칙을 적용하면, [eqn: {bar{BC ^{2}}} =4 ^{2} +5 ^{2} -2 BULLET 4 BULLET 5`cos theta ,` {bar{BC}} =6]

점 [eqn: B]에서 [eqn: {bar{AD}}]에 내린 수선의 발을 [eqn: B`'`]이라 하면

[eqn: 4cos( ANGLE BAC)= {1} over {2} ,``` {bar{AD}} =1]

삼각형 [eqn: ABD]는 [eqn: ANGLE ADB=` ANGLE DAB] 이등변 삼각형이므로 [eqn: {bar{BD}} =4,]

삼각형 [eqn: BCD]는 [eqn: {bar{BC}} `= {bar{CD}} `=4]이므로 이등변삼각형 [eqn: ANGLE DBC`=` ANGLE DCB= alpha]라고 하자.

[eqn: ANGLE ADB= theta =2 alpha `(삼각형`CBD]의 외각), [eqn: ANGLE BCD`=` theta]이므로 [eqn: ANGLE CDE= alpha (외각)]

[eqn: {bar{ED}} = {bar{EC}} =t`]라고 하고 삼각형 [eqn: DCE]에서 코사인법칙을 적용하면

[eqn: 4 ^{2`} =t ^{2} `+t ^{2} -2 BULLET t BULLET t BULLET cos( pi - theta )= {9} over {4} t ^{2} ,`] [eqn: t= {8} over {3}]

앞서 구한 [eqn: {bar{BC}} =6] 이었는데 이등변 삼각형이므로 [eqn: {bar{BD`'}} =3],

[eqn: TRIANGLE BDE]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES (3+t cos theta ) TIMES t sin theta]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( {8} over {3} BULLET {3 sqrt {7}} over {8} RIGHT ) LEFT ( 3+ {1} over {3} RIGHT ) = {5 sqrt {7}} over {3}]

(다른  [eqn: rm TRIANGLE ABC `□` TRIANGLE EDB`]이므로 [eqn: rm barED = it 4k`,~rm barEB`= it 5k`]라 하면

[eqn: rm TRIANGLE EDB`]에서 [eqn: 4^2 =(4k)^2 +(5k)^2 -2 TIMES4k TIMES5k TIMEScos (rm ANGLE BED )]

[eqn: =(4k)^2 +(5k)^2 -2 TIMES4k TIMES5k TIMES 1over8]

[eqn: =36k^2]

따라서 [eqn: k^2 = 4over9]

[eqn: THEREFORE~ rm TRIANGLE EDB =it 1over2 TIMES 4k TIMES5k TIMES sin (rm ANGLE BED )][eqn: =it 10k^2 TIMES root{1- LEFT ( 1over8 RIGHT )^2 }]

[eqn: = {5root7}over{3}]

① [eqn: sqrt {7}]	② [eqn: {4 sqrt {7}} over {3}]	③ [eqn: {5 sqrt {7}} over {3}]
④ [eqn: 2 sqrt {7}]	⑤ [eqn: {7 sqrt {7}} over {3}]

그림과 같이 세 변의 길이가 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]인 삼각형 [eqn: rm ABC]가 반지름의 길이가 [eqn: R]인 원에 내접할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?[4.5점]

①

ㄱ) [eqn: cosA= {b ^{2} +c ^{2} -a ^{2}} over {2bc}]마찬가지로 [eqn: cosB,``cosC]를 우변에 대입해보면

[eqn: 2bc TIMES {b ^{2} +c ^{2} -a ^{2}} over {2bc} +2ac TIMES {a ^{2} +c ^{2} -b ^{2}} over {2ac} +2ca TIMES {c ^{2} +a ^{2} -b ^{2}} over {2ca} =a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}]

ㄴ) 사인법칙에 의해 [eqn: 0<A<180 DEG]에서

[eqn: {a} over {R} =2sinA]이므로 [eqn: sinA=1,` {1} over {2}]의 값이 나와야 하므로

[eqn: sinA=1]일 때, [eqn: A=90 DEG]

[eqn: sinA= {1} over {2}]일 때, [eqn: A=30 DEG ,150 DEG]이므로

만족하는 각 [eqn: A]의 개수는 [eqn: 3]개다.

ㄷ) 코사인법칙으로 [eqn: c ^{2} =4 ^{2} +12-2 TIMES 4 TIMES 2 sqrt {3} TIMES cos`30 DEG]

[eqn: c ^{2} =4,``c=2]

[eqn: TRIANGLE OAB]의 외접원의 반지름을 사인법칙을 이용해 구해보면

[eqn: {2} over {sin60 DEG } =2R]에서 [eqn: R= {2} over {sqrt {3}}]

[eqn: pi R ^{2} = {4} over {3} pi]

[보기]

ㄱ. [eqn: a^2 +b^2 +c^2 = 2bc cos rm A + 2 it ac cos rm B + it 2ab cos rm C]

ㄴ. [eqn: a over R]의 값이 정수가 되도록 하는 각 [eqn: rm A]의 값의 개수는 [eqn: 2]이다.

ㄷ. [eqn: angle rm C = 30 DEG], [eqn: a=4], [eqn: b= 2root3]일 때, 삼각형 [eqn: rm OAB]의 외접원의 넓이는 [eqn: 4 pi]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

둔각 삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: a=4root3 ,~ B= 30Deg]이고 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 4`]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는? [4.0점]

① [eqn: 2root3]	② [eqn: 4root3]	③ [eqn: 6root3]
④ [eqn: 8root3]	⑤ [eqn: 12root3]

②

[eqn: a= 4root3 ,~B= 30Deg ,~ R=4`]

[eqn: b oversinB =2R`]에서 [eqn: b= 8 sin30Deg =4]

코사인법칙을 이용하면

[eqn: b^2 =a^2 +c^2 -2ac cosB]

[eqn: 16= 48+c^2 -8root3 c times root3 over2]

[eqn: c^2 -12c+32=0]

[eqn: (c-4)(c-8)=0]

ⅰ) [eqn: c=8`]일 때

[eqn: a=4root3 ,~ b=4,~c=8]

[eqn: c^2 =a^2 +b^2 `]

[eqn: c`]가 빗변인 직각 삼각형이므로 성립하지 않음

ⅱ) [eqn: c=4`]일 때

[eqn: a=4root3 ,~ b=4,~c=4]

[eqn: a^2 > b^2 +c^2`]

둔각 삼각형이므로 성립

따라서 ([eqn: rmtriangleABC]의 넓이)[eqn: = 1 over 2 ac sinB = 4root3]

삼각형의 결정

등식 [eqn: {sinA} over {2} =cosB`sinC]가 성립하기 위한 필요충분조건은 삼각형 [eqn: rmABC]가 [eqn: box{```(가)```}]인 것이다. (가)에 들어갈 내용으로 옳은 것은? [[eqn: 4.4]점]

⑤

사인법칙과 코사인법칙을 적용하면 [eqn: {a} over {2R} = {a ^{2} +c ^{2} -b ^{2}} over {2ac} TIMES {c} over {2R}]이고

식을 정리하면 [eqn: b ^{2} =c ^{2}]이므로 [eqn: b=c]인 이등변삼각형이다.

① 정삼각형

② [eqn: rm ANGLE A=90 DEG]인 직각삼각형

③ [eqn: rm ANGLE C=90 DEG]인 직각삼각형

④ [eqn: rm ANGLE A= ANGLE C]인 이등변삼각형

⑤ [eqn: rm ANGLE B= ANGLE C]인 이등변삼각형

삼각형 [eqn: ABC``]가 등식 [eqn: 2sin LEFT ( {pi } over {2} -A RIGHT ) TIMES sin( pi -B)=sinC``]을 만족시킬 때, 삼각형 [eqn: ABC``]는 어떤 삼각형인가? [4.4점]

④

[eqn: 2sin LEFT ( {pi } over {2} -A RIGHT ) TIMES sin( pi -B)=sinC``]룰 변형하면

[eqn: 2`cosA times sin B`=` sin C``]

사인법칙, 코사인법칙을 이용하면

[eqn: 2 times {b^2 +c^2 -a^2}over{2`bc} times b over 2R `=` c over 2R``]

이를 정리하면 [eqn: b^2 =a^2``]즉, [eqn: b=a``]이다.

따라서 삼각형 [eqn: ABC``]는 [eqn: {bar{BC`}} = {bar{AC`}}``]인 이등변삼각형이다.

① [eqn: ANGLE A= {pi } over {2}``]인 직각삼각형

② [eqn: ANGLE B= {pi } over {2}``]인 직각삼각형

③ [eqn: ANGLE C= {pi } over {2}``]인 직각삼각형

④ [eqn: {bar{BC`}} = {bar{AC`}}``]인 이등변삼각형

⑤ [eqn: {bar{AC`}} = {bar{AB`}}``]인 이등변삼각형

[eqn: cos^2`A+cos^2`B-cos^2`C=1]을 만족하는 삼각형 [eqn: rm ABC]는 어떤 삼각형인가? [[eqn: 4.2]점]

① 정삼각형

⑤

[eqn: cos^2`rm A+cos^2`B-cos^2`C][eqn: =1-sin^2`rm A+1-sin^2` B-(1-sin^2`C)]
[eqn: =1-sin^2`rm A-sin^2`B+sin^2`C=1]

[eqn: sin^2`rm C=sin^2`A+sin^2`B]

외접원의 반지름을 [eqn: r]이라 하면 사인법칙에 의해

[eqn: 4r^2`sin^2`rm C=it 4r^2`sin^2`rm A+it 4r^2 `sin^2`rm B]

[eqn: (2r`sin`rm C)^2 =(it 2r`sin`rm A)^2 +(it 2r`sin`rm B)^2]

[eqn: rm bar AB`^2 =bar BC`^2 +bar CA`^2]	[eqn: therefore~ angle rm C=90DEG]

② [eqn: rm bar AB =bar BC]인 이등변삼각형
③ [eqn: rm bar AB = bar AC]인 이등변삼각형

④ [eqn: angle rm B=90DEG]인 직각삼각형
⑤ [eqn: angle rm C=90DEG]인 직각삼각형

[eqn: rm △ABC]에서 [eqn: sinB=2cosA`sinC] 이면, 이 삼각형은 어떤 삼각형인가? [[eqn: 4.4]점]

④

[eqn: sinB=2cosA`sinC]에서
사인법칙,코사인법칙에 의하여
[eqn: sinB= {b} over {2R}], [eqn: cos`A= {b ^{2} +c ^{2} -a ^{2}} over {2bc}], [eqn: sinC= {c} over {2R}]

[eqn: {b} over {2R} =2 TIMES {b ^{2} +c ^{2} -a ^{2}} over {2bc} TIMES {c} over {2R}]
[eqn: b ^{2} =b ^{2} +c ^{2} -a ^{2}]

[eqn: THEREFORE ``a=c]인 이등변삼각형

① [eqn: A=90 DEG]인 직각삼각형

② [eqn: B=90 DEG]인 직각삼각형

③ [eqn: a=b]인 이등변 삼각형

④ [eqn: a=c]인 이등변 삼각형

⑤ [eqn: b=c]인 이등변 삼각형

삼각형의 넓이

그림과 같이 [eqn: rm bar AB = sqrt5], [eqn: rm bar BC = 3]인 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 선분 [eqn: rm BC]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rm BEDC]를 만들었다. 삼각형 [eqn: rm ABE]의 넓이가 [eqn: 3]일 때, 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이는?

②

[eqn: rm angle ABC = theta]라 하자. 삼각형 [eqn: rm ABE]에서

[eqn: rm triangle ABE = 1 over 2 times bar AB times BE times sin` left( pi over2 + theta right)]

[eqn: 3 = 1over2 times sqrt5 times 3 times `cos` theta]

[eqn: THEREFORE cos` theta = 2 over sqrt5], [eqn: sin `theta = 1 over sqrt5]

[eqn: rm triangle ABC = 1 over 2 times sqrt 5 times 3 times sin`theta = 3 over2]

[[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3over2]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 5 over2]	⑤ [eqn: 3]

그림과 같이 [eqn: {bar{AB`}} =6,```` {bar{BC``}} =7,```` {bar{AC}} `=3]인 삼각형 [eqn: ABC]에서 선분 [eqn: BC]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: BEDC]를 만들었다. 이때 삼각형 [eqn: ABE]의 넓이는? [5.0점]

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]
④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

③

[eqn: cos LEFT ( ANGLE ABC RIGHT ) = {6 ^{2} +7 ^{2} -3 ^{2}} over {2 TIMES 6 TIMES 7} = {19} over {21}]

[eqn: TRIANGLE ABE= {6 TIMES 7} over {2} sin LEFT ( ANGLE ABE RIGHT ) =21sin LEFT ( ANGLE ABC+ {pi } over {2} RIGHT ) =21 cos LEFT ( ANGLE ABC RIGHT ) =19]

아래의 그림과 같이 [eqn: {bar{AB}} `=3], [eqn: {bar{BC}} `=6], [eqn: {bar{AC}} `=5]인 삼각형 [eqn: ABC`]에서 선분 [eqn: BC`]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: BEDC`]를 만들었다. 이때, 삼각형 [eqn: ABE`]의 넓이는? [[eqn: 4.1]점]

②

삼각형 [eqn: ABC`]에서 코사인법칙에 따라

[eqn: cos LEFT ( ANGLE ABC RIGHT ) = {3 ^{2} +6 ^{2} -5 ^{2}} over {2·3·6} = {20} over {36} = {5} over {9}]

따라서 삼각형 [eqn: ABE]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} ·3·6·sin LEFT ( 90 DEG + ANGLE ABC RIGHT ) =9·cos LEFT ( ANGLE ABC RIGHT ) =9· {5} over {9} =5]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

세 변의 길이가 [eqn: sqrt {3}], [eqn: 2], [eqn: sqrt {5}]인 삼각형의 넓이를 [eqn: S`]라 할 때, [eqn: 8S ^{`2}]의 값을 구하시오. [[eqn: 4.6]점]

[eqn: 22]

[eqn: TRIANGLE rmABC]에서 [eqn: a= sqrt {5}], [eqn: b= sqrt {3}], [eqn: c=2]라 할 때,

[eqn: cos rm A= {4+3-5} over {2 TIMES 2 TIMES sqrt {3}} = {sqrt {3}} over {6}]

[eqn: sin rm A= sqrt {1-cos ^{2} rm A} = {sqrt {33}} over {6}]

[eqn: S= {1} over {2} TIMES 2 TIMES sqrt {3} TIMES {sqrt {33}} over {6} = {sqrt {11}} over {2}]

[eqn: THEREFORE `8S ^{2} =22]

아래 그림과 같이[eqn: ANGLE A=120 DEG ``],[eqn: bar{AB} =2``],[eqn: bar{AC} =3``]인 삼각형 [eqn: ABC``]에서 [eqn: ANGLE A``]의 이등분선이 변 [eqn: BC``]와 만나는 점을 [eqn: D``]라고 할 때, 선분 [eqn: AD``]의 길이는? [4.2점]

②

[eqn: TRIANGLE ABC `=` TRIANGLE ABD `+` TRIANGLE ADC ``]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES 3 TIMES `sin120 DEG =` {1} over {2} TIMES 2 TIMES barAD` TIMES` sin60 DEG + {1} over {2} TIMES barAD TIMES 3 TIMES `sin60 DEG`]

이므로 [eqn: barAD `=` 6over5 ``]이다.

① [eqn: 1``]	② [eqn: {6} over {5}``]	③ [eqn: {7} over {5}``]
④ [eqn: {8} over {5}``]	⑤ [eqn: {9} over {5}``]

아래 그림과 같이 [eqn: rm△ABC]에서 각 [eqn: rmA]의 이등분선이 변 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: bar { rmAB}=3], [eqn: bar { rmBC}=7], [eqn: rm ANGLEBAC=120 DEG]일 때, [eqn: bar { rmCD}]의 길이는? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: {31} over {8}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: {33} over {8}]
④ [eqn: {17} over {4}]	⑤ [eqn: {35} over {8}]

⑤

[eqn: {bar{rmAC}}=itx]라 하면

[eqn: 7 ^{2} =3 ^{2} +x ^{2} -2 TIMES 3x TIMES `cos120 DEG]

[eqn: LEFT ( x+8 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT ) =0]

[eqn: x=5]

삼각형 각 이등분 성질에 의하여

[eqn: rm bar { AB}: bar { AC}= bar { BD}: bar { CD}]

[eqn: 3:5=7- bar { rmCD}: bar { CD}]

[eqn: {bar{rm CD}} = {35} over {8}]

그림과 같이 [eqn: bar{AB} =4,` bar{AC} =7]인 삼각형 [eqn: ABC]가 있다. 선분 [eqn: AB]위의 점 [eqn: D], 선분 [eqn: AC]위의 점 [eqn: E]가 다음 조건을 만족시킬때, 삼각형 [eqn: ABC]의 넓이는? [[eqn: 4.6]점]

②

[eqn: {bar{AD}} =a,` {bar{AE}} =b]라 하자.

[eqn: a+b=8]

삼각형 [eqn: ADE]의 넓이와 사각형 [eqn: DBCE]의 넓이는 같으므로

삼각형 [eqn: ABC]의 절반이 삼각형 [eqn: ADE]넓이임을 알 수 있다.

[eqn: {1} over {2} TIMES 4 TIMES 7 TIMES` sinA TIMES {1} over {2} = {1} over {2} TIMES AD TIMES AE TIMES `sinA= {1} over {2} ab`sinA]이므로

[eqn: ab=14]

삼각형 [eqn: ADE]에서

[eqn: cosA= {a ^{2} +b ^{2} -15} over {2ab} = {LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} -2ab-15} over {2ab} = {64-28-15} over {28} = {3} over {4}]

[eqn: sin ^{2} A+cos ^{2} A=1]에서

[eqn: sinA= {sqrt {7}} over {4}]

삼각형 [eqn: ABC= {1} over {2} TIMES 4 TIMES 7 TIMES sinA=14 TIMES {sqrt {7}} over {4} = {7 sqrt {7}} over {2}]

(가) [eqn: bar{AD} + bar{AE} =8]

(나) 삼각형 [eqn: ADE]의 넓이와 사각형 [eqn: DBCE]의 넓이는 같다.

(다) [eqn: bar{DE} = sqrt {15}]

① [eqn: 7 sqrt {2}]	② [eqn: {7 sqrt {7}} over {2}]	③ [eqn: {7 sqrt {6}} over {2}]

④ [eqn: {7 sqrt {5}} over {2}]	⑤ [eqn: 7]

삼각형 [eqn: ABC]에서 [eqn: sinA:sinB:sinC=5:6:7]이고, 이 삼각형의 넓이가 [eqn: 54 sqrt {6}]일 때, 가장 긴 변의 길이는? [5.0점]

① [eqn: 21]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 35]
④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 49]

①

[eqn: a:b:c=5:6:7]이므로 세변의 길이를 [eqn: 5k,```6k,```7k]라 두고

헤론 공식에 의해 넓이=[eqn: sqrt {9k TIMES 4k TIMES 3k TIMES 2k} =6 sqrt {6} k ^{2} =54 sqrt {6}]

[eqn: k=3] 가장 긴변의 길이는 [eqn: 21]

【검수자 다른풀이】

[eqn: bar{AB} =7k,` bar{BC} =5k`,` bar{AC} =6k`, ANGLE ACB= theta] 하자.

①[eqn: LEFT ( 7k RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 5k RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 6k RIGHT ) ^{2} -2 TIMES 5k TIMES 6k` TIMES cos theta]

[eqn: THEREFORE cos theta = {1} over {5} `` RARROW ` THEREFORE `sin theta = {2 sqrt {6}} over {5}]

②[eqn: S= {1} over {2} TIMES 5k TIMES 6k TIMES` sin theta ` LEFT ( =54 sqrt {6} RIGHT )]

[eqn: ATT ``k=3]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rmA=135 ^{CIRC }]이고 [eqn: rm{bar{AB}} =2 sqrt {2}], [eqn: rm{bar{BC}} = sqrt {13}]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는? [4.1점]

②

선분 [eqn: rmbarAC = it x `]라 하고 코사인법칙을 쓰면

[eqn: 13 = 8 +x^2 + 4 sqrt { 2 }x times sqrt {2 }over2]

[eqn: x^2 +4x -5=0]이므로 [eqn: x=1]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이는

[eqn: 1over2 times 1 times 2root2 times sin 135DEG =1`]이다.

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5 over 2]

오른쪽 그림과 같이 [eqn: rm bar BC =14], [eqn: rm angle A=120DEG]인 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: b+c=16]일 때, 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 7.0]점]

[eqn: 15 root 3]

[eqn: triangle rm ABC]에서 코사인 법칙에 의하여

[eqn: rm bar BC`^2][eqn: =196][eqn: = b^2 +c^2 -2bc`cos`120DEG]
[eqn: =b^2 +c^2 +bc]
[eqn: =(b+c)^2 -bc]
[eqn: =256-bc]

[eqn: bc=256 -196 =60]

[eqn: triangle rm ABC][eqn: = 1 over 2 bc`sin``120DEG = 30times root 3 over 2][eqn: =15root 3]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 6], 호의 길이가 [eqn: 2pi]인 부채꼴 [eqn: OAB]가 있다. 부채꼴 [eqn: OAB]의 넓이를 [eqn: S], 선분 [eqn: OB] 위의 점 [eqn: P]에 대하여 삼각형 [eqn: OAP]의 넓이를 [eqn: T]라 하자. [eqn: {S} over {T} = {2 sqrt {3}} over {3} pi]일 때, 선분 [eqn: AP]의 길이는? (단, 점 [eqn: P]는 점 [eqn: O]가 아니다.) [4.7점]

⑤

[eqn: angleAOB`=theta`]라 하면 [eqn: 2pi = 6 `theta`]에서 [eqn: theta`= pi over3]

[eqn: S= 1over2 times 6^2 times pi over3 = 6pi]

[eqn: T= {1} over {2} TIMES {bar{OP}} TIMES6`sin {pi} over {3} = {3S} over {2 sqrt {3} pi} = {3} over {2 sqrt {3} pi} `6 pi]

따라서, [eqn: {bar{OP}} =2]

[eqn: {bar{AP ^{2}}} `=4+36-2 TIMES2 TIMES6 TIMES {1} over {2} =28]

[eqn: therefore```barAP `= 2root7]

① [eqn: 2sqrt { 3}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 2sqrt { 5}]
④ [eqn: 2sqrt { 6}]	⑤ [eqn: 2sqrt { 7}]

그림과 같이 [eqn: {bar{AB`}} =5,` {bar{AC`}} =8,` {bar{BC`}} =a,` ANGLE A=60 DEG ``]인 삼각형 [eqn: ABC``]가 원에 내접하고 있다. 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R``]이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.[총 7.0점]

(1) [eqn: 10root3 ``] (2) [eqn: a=7``] (3) [eqn: R`=`{7root3}over3 ``]

(1) [eqn: S= {1} over {2} TIMES 5 TIMES 8 TIMES `sin60 DEG =10 sqrt {3}``]

(2) 코사인법칙에 의하여 [eqn: a ^{2} =5 ^{2} +8 ^{2} -2 TIMES 5 TIMES 8 TIMES` cos60 DEG =`49``]

이므로 [eqn: a=7``]이다.

(3) 사인법칙에 의하여 [eqn: {7} over {sin60 DEG } =2R``] 이므로 [eqn: R`=`{7root3}over3 ``]이다.

(1) 삼각형 [eqn: ABC``]의 넓이를 구하고 그 과정을 논술하시오. [2.0점]

(2) [eqn: a``]의 값을 구하고 그 과정을 논술하시오. [3.0점]

(3) [eqn: R``]의 값을 구하고 그 과정을 논술하시오. [2.0점]

사각형 [eqn: ABCD``]의 네 꼭짓점은 한 원 위에 있고, [eqn: {bar{AB``}} = {bar{AD}} `=`3,` {bar{BC}} `=`5,` {bar{CD}} `=`4``]일 때, 삼각형 [eqn: ABC``]의 넓이는? [4.7점]

①

[eqn: angleB`=`theta``]라 하면 원에 내접하는 사각형의 성질에 의해

[eqn: angleD`=`pi-theta``]이다.

[eqn: barAC `=`x``]라 하면 코사인법칙에 의하여

[eqn: x^2 `=`3^2 +5^2 -2times3 times 5 times cos theta``]

[eqn: x^2 `=`3^2 +4^2 -2times3 times 4 times `cos (pi-theta)``]

이므로 [eqn: cos theta`=` 1over6 ``]이다.

이때 [eqn: sin theta`=` root35 over6 ``]이므로

삼각형 [eqn: ABC``]의 넓이[eqn: `=` 1over2 times 3 times 5 times` sin theta`=` 5over4 root35``]이다.

① [eqn: {5 sqrt {35}} over {4}``]	② [eqn: {3 sqrt {35}} over {2}``]	③ [eqn: {7 sqrt {35}} over {4}``]

④ [eqn: 2 sqrt {35}``]	⑤ [eqn: {9 sqrt {35}} over {4}``]

그림과 같이 선분 [eqn: AB]를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 [eqn: AB]의 중점을 [eqn: O]라 하고, 호 [eqn: AB] 위의 한 점 [eqn: P]에서 선분 [eqn: AB] 위에 내린 수선의 발을 [eqn: H]라 하자. [eqn: cos( ANGLE OPH)= {2} over {3}]이고, [eqn: {bar{AH}} ` TIMES {bar{BH}} `= {4} over {9} root {3} of {81}]일 때, 삼각형 [eqn: AOP]의 넓이 [eqn: S]에 대하여 [eqn: log _{3} `S]의 값은? [5.1점]

③

[eqn: {bar{OA}}=barOP`=3k`]라 하자.

[eqn: {bar{AH}} ` TIMES {bar{BH}} `= (3+root5 )k times`(3-root5`)k={4} over {9} root {3} of {81}]

따라서, [eqn: k^2 = 3^{- 2over3}]

삼각형 [eqn: AOP]의 넓이 [eqn: S`= matrix { 1over2`3k`cdot2k`=3k^2 = 3^{1over3}]

① [eqn: {1} over {9}]	② [eqn: {2} over {9}]	③ [eqn: {1} over {3}]
④ [eqn: {4} over {9}]	⑤ [eqn: {5} over {9}]

넓이가 [eqn: 18 sqrt {11}]인 [eqn: rm { TRIANGLE A B C }]에서 [eqn: sinA:sinB:sinC= sqrt {3} :2:3]일 때, [eqn: rm { TRIANGLE A B C }]의 둘레의 길이가 [eqn: a+b sqrt {3}]이다. 이때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a,`b]는 유리수이다.) [[eqn: 4.4]점]

⑤

[eqn: sinA:sinB:sinC= sqrt {3} :2:3]이므로 사인법칙에 따라

각 변의 길이를 [eqn: sqrt {3} k,~2k,~3k]라 할 수 있다.

코사인법칙에 의해

[eqn: cos`A= {(9+4-3)k ^{2}} over {(2 TIMES 3 TIMES 2)k ^{2}} = {5} over {6}]에서 [eqn: rm sin`A= {sqrt {11}} over {6}]이다.

[eqn: rm { TRIANGLE A B C }]의 넓이가 [eqn: 18 sqrt {11}]에서

[eqn: {1} over {2} TIMES 2k TIMES 3k TIMES {sqrt {11}} over {6} =18 sqrt {11}]이므로 [eqn: k=6]이므로

[eqn: rm { TRIANGLE A B C }]의 둘레의 길이는 [eqn: 30+6 sqrt {3}]이 된다.

따라서 [eqn: a+b=36]

① [eqn: 12]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 24]
④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 36]

그림과 같은 사각형 [eqn: rm ABCD]에서 [eqn: rm { barAB = 4], [eqn: rm bar BC = 3], [eqn: rm bar CD = 3 sqrt2], [eqn: rm bar AD = 5], [eqn: rm angle B = 60DEG], [eqn: rm angle D = 45DEG]일 때, 사각형 [eqn: rm ABCD]의 넓이는 [eqn: a + b sqrt3]이다. 유리수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

②

[eqn: rm bar AD = it x]라 하면 삼각형 [eqn: rm triangle ABC], [eqn: rm triangle ACD]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {bar{rm AC}}^2]	[eqn: = rm {bar AB}^2 + {bar BC}^2 - 2 times bar AB times bar BC times cos 60DEG]

[eqn: = rm {barAD}^2 + {bar CD}^2 - 2 times bar AD times CD times cos 45DEG]

[eqn: 4 ^{2} +3 ^{2} -2 TIMES 4 TIMES 3 TIMES {1} over {2} = LEFT ( 3 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} +x ^{2} -2 TIMES 3 sqrt {2} TIMES x TIMES {1} over {sqrt {2}}]

[eqn: x^2 -6x + 5 = (x-1)(x-5) = 0], [eqn: x = 5]

[eqn: □rm ABCD]	[eqn: rm = triangle ABC + triangle ACD]

[eqn: = 1 over2 times 4 times 3 times `sin 60DEG + 1 over2 times 5 times 3sqrt2 times sin 45DEG]

[eqn: = 15 over2 + 3 sqrt3]

[eqn: THEREFOREa + b = 21 over2]

[[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 21 over2]	③ [eqn: 11]
④ [eqn: 23 over2]	⑤ [eqn: 12]

길이가 [eqn: 15`]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: rmAB] 위에 점 [eqn: rmC]를 [eqn: rmbarBC = 5`]가 되도록 잡는다. 점 [eqn: rmD]가 호 [eqn: rmAC] 위의 점일 때, 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이의 최댓값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, 점 [eqn: rmD]는 점 [eqn: rmA]와 점 [eqn: rmC]가 아닌 점이다.) [8.0점]

[eqn: 50root2]

[eqn: rm barAB]는 지름이므로

[eqn: rmbarAC = root{15^2 -5^2 } = root200 =10root2]

[eqn: rm□ABCD]의 넓이가 최대일 때는 점 [eqn: rmD]를 지나는 직선이 [eqn: rm barAC]와 평행한 원의 접선일 때이다.

원의 중심을 [eqn: rmO], [eqn: rmbarAC]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면

[eqn: rm barOM = 5 over2]

[eqn: rm barDM = 15 over2 - 5 over2 =5]

따라서 이때 [eqn: rm□ABCD]의 넓이를 [eqn: S`]라 하면

[eqn: S = rmtriangleABC+ triangleACD]

[eqn: = 1 over2 times10root2 times5 + 1 over2 times10root2 times5 =50root2]

그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [eqn: ABCD``]가

④

코사인법칙에 의하여

[eqn: {barAC`}`^2 `=`3^2 +8^2 -2times3 times8 times `cos 60Deg =`49``]에서

[eqn: barAC `=`7``]

원에 내접하는 사각형의 성질에 의해 [eqn: angleABC `=`120Deg`]

[eqn: barBC`=`x``]라 하면

[eqn: 3^2 +x^2 -2times3 timesx times `cos 120Deg =`49``]에서

[eqn: barBC`=`5``]

[eqn: TRIANGLE`ABC`=` 1over2 times 3 times 5 times `sin120Deg =`15over4 `root3``]

[eqn: TRIANGLE`ACD`=` 1over2 times 3 times 8 times `sin60Deg =`6`root3``]

사각형 [eqn: ABCD``]의 넓이는

[eqn: 15over4 root3 + 6 root3 `=` 39over4 root3 ``]이다.

따라서 [eqn: p+q`=`39+4`=`43``]이다.

[eqn: {bar{AB`}} = {bar{AD`}} =3,` {bar{CD`}} =8,` ANGLE ADC=60 DEG ``]를 만족시킨다. 사각형

[eqn: ABCD``]의 넓이가 [eqn: {p} over {q} sqrt {3}``]일 때, [eqn: p+q``]의 값은? (단, [eqn: p,`q``]는 서로소인 자연수이다.) [4.9점]

① [eqn: 40``]	② [eqn: 41``]	③ [eqn: 42``]

④ [eqn: 43``]	⑤ [eqn: 44``]

[eqn: TRIANGLE rm ABC]에서 세 변의 길이의 합이 [eqn: 28]이고, [eqn: rm ANGLE A=120 DEG], [eqn: rm {bar{BC`}} `=12]일 때, [eqn: TRIANGLE rm ABC]의 넓이는?[[eqn: 4.6]점]

④

[eqn: rm ` {bar{AB}} ` it `=a,rm` {bar{AC}} ` it =b]

[eqn: a+b=16]

[eqn: cos`120 DEG = {a ^{2} +b ^{2} -144} over {2ab} =- {1} over {2}]

[eqn: {256-2ab-144} over {2ab} = {112-2ab} over {2ab} =- {1} over {2}]

[eqn: ab=56]

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES ab TIMES `sin`120 DEG = {1} over {2} TIMES 56 TIMES {sqrt {3}} over {2} =14 sqrt {3}]

① [eqn: 11 sqrt {3}]	② [eqn: 12 sqrt {3}]	③ [eqn: 13 sqrt {3}]

④ [eqn: 14 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 15 sqrt {3}]

그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: rm ANGLE BAC`=45 DEG `,` ANGLE DBC`=15 DEG ,` ANGLE ACD`=75 DEG]이다. [eqn: {bar{rmAC}} `=4 sqrt {3}]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4.8]점]

②

원주각 성질

[eqn: rm ANGLE BAC`=45 DEG =` ANGLE BDC`,` ANGLE DBC`=15 DEG = ANGLE DAC`]

[eqn: rmANGLE ACD`=75 DEG = ANGLE ABD]

[eqn: rm ANGLE ABC`= ANGLE ADC`=90 DEG]

[eqn: {bar{rmAC}} `=4 sqrt {3}]는 원의 지름이다.

ㄱ. [eqn: rm {bar{AB}} `= {bar{BC}}]

삼각형 [eqn: rmABC] 직각이등변 삼각형 (참)

ㄴ. [eqn: rm {bar{BD}} `=6]

사인법칙 [eqn: {rm {bar{BD}}} over {sin`120 DEG } =4 sqrt {3}] [eqn: {bar{rmBD}} `= {sqrt {3}} over {2} TIMES 4 sqrt {3} =6] (참)

ㄷ. 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는 [eqn: 20]이다.

사각형 넓이 [eqn: {1} over {2} TIMES 4 sqrt {3} TIMES 6 TIMES` sin`60 DEG =18](거짓)

[보 기]

ㄱ. [eqn: rm {bar{AB}} `= {bar{BC}}]

ㄴ. [eqn: rm {bar{BD}} `=6]

ㄷ. 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는 [eqn: 20]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

삼각함수의 활용(step3)

7.

[eqn: rm {bar{AB}} = rm {bar{AC}}], [eqn: rm {bar{BC}} =6], [eqn: ANGLE rm A=120 ^{CIRC }]인 이등변삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: rm {bar{AC}}] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm{bar{BP}} ^{2} + {bar{CP}} ^{2}]의 최솟값은? [[eqn: 5]점]

① [eqn: {45} over {2}]	② [eqn: 23]	③ [eqn: {47} over {2}]
④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: {49} over {2}]

①

[eqn: rm {bar{AB}} = rm {bar{AC}} =itb], [eqn: rm {bar{BC}} =6], [eqn: ANGLE rm A=120 ^{CIRC }]인

이등변삼각형 [eqn: rm ABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: 36= it 2b ^{2} +b ^{2}]에서 [eqn: b=2 sqrt {3}]	[eqn: cdots①]

[eqn: rm {bar{BP}} = it x,~ {bar{rm CP}} = it y,~ {bar{rm AP}} = it 2 sqrt {3} -y]라 하면

삼각형 [eqn: rm ABP]에서

[eqn: it x ^{2} =12+(2 sqrt {3} -y) ^{2} +2 sqrt {3} (2 sqrt {3} -y)]

[eqn: it x ^{2} =36-6 sqrt {3} y+y ^{2}]	[eqn: cdots ②]

①，②에 의하여

[eqn: rm{bar{BP}} ^{2} + {bar{CP}} ^{2}][eqn: rm = it x ^{2} +y ^{2}]

[eqn: =2 it y ^{2} -6 sqrt {3} y+36]이므로

[eqn: y= {3 sqrt {3}} over {2}]일 때 최솟값 [eqn: {45} over {2}]을 갖는다.

[eqn: bar{rmAB}= bar{rm BC}=2]인 삼각형 [eqn: rm ABC `]에 대하여 선분 [eqn: rm BC `]의 중점을 [eqn: rm M`], 선분 [eqn: rm AM `]을 [eqn: rm 1`:`2`]로 내분하는 점을 [eqn: rm N `]이라 하자.

[eqn: root7over8]

[eqn: ANGLE BAM= ANGLE MNC= theta `], [eqn: angleAMB =alpha`]라 하자.

[eqn: triangleABM`]에서 [eqn: 2 oversinalpha = 1oversintheta]

[eqn: TRIANGLE NMC`]에서 [eqn: {1} over {sin theta } = barNC over {sin (pi-alpha) }]

따라서 [eqn: barNC =2]

[eqn: barAN`=x`]라 하자.

[eqn: triangleABM`]에서 [eqn: costheta = { 2^2 +(3x)^2 - 1^2 } over 2cdot2cdot3x]

[eqn: TRIANGLE NMC`]에서 [eqn: cos theta = {2 ^{2} +(2x) ^{2} -1 ^{2}} over {2 CDOT 2 CDOT 2x}]

두 식을 연립하여 계산하면 [eqn: x^2 = 1over2]

[eqn: barAN`= 1overroot2``]이고 [eqn: barNM `=root2]

[eqn: THEREFORE ```cos theta = {5} over {4 sqrt {2}}]이고 [eqn: sintheta = root7 over {4root2}]

따라서

[eqn: TRIANGLE ANC`= {1} over {2} CDOT TRIANGLE NMC`= {1} over {2} CDOT {1} over {2} CDOT 2cdot sqrt {2} CDOT {sqrt {7}} over {4 sqrt {2}} `= {sqrt {7}} over {8}]

[eqn: rm {angle}BAM={angle}MNC `]일 때, 삼각형 [eqn: rm ANC `]의 넓이를 구하고 그 과정을 논술하시오. [7점]

[eqn: angle rm ABC = pi over3]인 삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 선분 [eqn: rm BC]위에 점 [eqn: rm B]와 점 [eqn: rm C]가 아닌 점을 [eqn: rm D]를 잡고, 삼각형 [eqn: rm ABD]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: r_1], 삼각형 [eqn: rm ADC]의 외접원의 반지름의 길이는 [eqn: r_2], [eqn: angle rm ACB = theta]라 하자. [eqn: r_2 over r_1 = sqrt13 over 3]일 때, [eqn: tan^2 `theta]의 값은 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

①

삼각형 [eqn: rm ABD]와 삼각형 [eqn: rm ADC]에서 사인법칙에 의해

[eqn: 2r_1 = bar{rmAD} over {sin pi over3],

[eqn: 2r_2 = bar{rm AD} over{ sin` theta}]

[eqn: r_2 over r_1 = { sin` pi over3} over {sin` theta} = sqrt13 over3]에서 [eqn: sin`theta = {3sqrt3} over {2sqrt13}]

따라서 [eqn: sin^2 `theta = 27 over 52], [eqn: cos^2 `theta = 25 over 52], [eqn: tan^2 `theta = 27 over 25]

따라서 [eqn: p+q = 52]이다.

[[eqn: 5.3]점]

① [eqn: 52]	② [eqn: 53]	③ [eqn: 54]
④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 56]

그림과 같이 [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{AC}}], [eqn: rm {bar{BC}} =4]이고 [eqn: ANGLE rm CAB= {pi } over {6}]인 삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 선분 [eqn: rm AB] 위의 점 [eqn: rm D]에 대하여 [eqn: rm {bar{CB}} = {bar{CD}}]일 때, [eqn: rm {bar{AB}} ^{2} + {bar{BD}} ^{2}]의 값은? [[eqn: 5.4]점]

①

[eqn: rm {bar{AB}} = {bar{AC}} = it x]라 하면 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rm 16= it x ^{2} +x ^{2} -2x ^{2} `cos {pi } over {6} =2x ^{2} - sqrt {3} x ^{2} `]에서

[eqn: x ^{2} =32+16 sqrt {3}]	[eqn: cdots①]

[eqn: rm {bar{BD}} = it y]라 하면 삼각형 [eqn: rm BCD]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: y ^{2} = it 4 ^{2} +4 ^{2} -2 TIMES 4 TIMES 4 TIMES cos {pi } over {6} =32-16 sqrt {3}]	[eqn: cdots ②]

①，②에 의하여 [eqn: rm {bar{AB}} ^{2} + {bar{BD}} ^{2} =64]

① [eqn: 64]	② [eqn: 68]	③ [eqn: 72]
④ [eqn: 76]	⑤ [eqn: 80]

[eqn: rm ANGLE ABC= {pi } over {3}],[eqn: rm {bar{BC}} =10]인 삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 선분 [eqn: rm {{BC}}]위에
점[eqn: rm B] 와 점[eqn: rm C] 가 아닌 점[eqn: rm D]를 잡고, 삼각형 [eqn: rm ABD]의 외접원의
반지름의 길이를 [eqn: r _{1}],삼각형 [eqn: rm ACD]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: r _{2}],
라 하자. [eqn: {r _{2}} over {r _{1}} = {sqrt {21}} over {4}]일 때, 선분 [eqn: rm AB]의 길이는? [[eqn: 4.5]점]

⑤

사인법칙에 의하여 삼각형 [eqn: rm ABD]의 외접원의반지름의 길이를 [eqn: r _{1}]
이므로 [eqn: 2r _{1} = {{bar{AD}}} over {sinB} = {{bar{AD}}} over {{sqrt {3}} over {2}} = {2 {bar{AD}}} over {sqrt {3}}]
삼각형 [eqn: rm ACD]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: r _{2}] 이므로
[eqn: 2r _{2} = {{bar{AD}}} over {sinC}] 이므로 [eqn: {r _{2}} over {r _{1}} = {{bar{AD}}} over {sinC} TIMES {sqrt {3}} over {2 {bar{AD}}} = {sqrt {21}} over {4}]이므로
[eqn: sinC= {{{2 sqrt {3}}}} over {sqrt {21}} = {2} over {sqrt {7}}]
[eqn: {{bar{AC}}} over {sinB} = {{bar{AB}}} over {sinC}]에서[eqn: {{bar{AC}}} over {{sqrt {3}} over {2}} = {{bar{AB}}} over {{2} over {sqrt {7}}}]이므로
[eqn: {bar{AC}} = {bar{AB}} ` TIMES {sqrt {7}} over {2} TIMES {sqrt {3}} over {2} = {sqrt {21}} over {4} TIMES {bar{AB}}]
삼각형 [eqn: rmABC``]에서 코사인법칙에 의하여
[eqn: {bar{rm AC it}} ` ^{2} = {bar{rm AB it}} ` ^{2} +10 ^{2} -2 TIMES {bar{AB}} TIMES 10 TIMES {1} over {2}]
[eqn: {21} over {16} c ^{2} =c ^{2} +10 ^{2} -2 TIMES c TIMES 10 TIMES {1} over {2}]
[eqn: 5c ^{2} +160c-1600=0]
[eqn: c ^{2} +32c-320=0]
[eqn: THEREFORE `c= {bar{AB}} =8]

[다른 풀이]

[eqn: ANGLE `ADB`=` theta `]라 하면 [eqn: ANGLE `ADC`=`pi- theta `] 이고

삼각형 [eqn: rm ABD]에서 사인법칙에 따라
[eqn: {{bar{AB}}} over {sin theta } `=`2r _{1}]
삼각형 [eqn: rm ACD]에서 사인법칙에 따라
[eqn: {{bar{AC}}} over {sin LEFT ( pi - theta RIGHT )} `=`2r _{2}] 이므로

[eqn: {{bar{AC}}} over {sin LEFT ( pi - theta RIGHT )} TIMES {sin` theta } over {{bar{AB}}} = {2r _{2}} over {2r _{1}}]이므로

[eqn: {{bar{AC}}} over {{bar{AB}}} = {2r _{2}} over {2r _{1}} = {sqrt {21}} over {4}] 즉 [eqn: {bar{AC}}=` sqrt {21} k,``` {bar{AB}} = `4k]라 할 수 있다.
삼각형 [eqn: rmABC``]에서 코사인법칙에 의하여
[eqn: {bar{rm AC it}} ` ^{2} = {bar{rm AB it}} ` ^{2} +10 ^{2} -2 TIMES {bar{AB}} TIMES 10 TIMES {1} over {2}]
[eqn: 21k ^{2} =16k ^{2} +10 ^{2} -2 TIMES 4k TIMES 10 TIMES `cos {pi} over {3}]
[eqn: 5k ^{2} +40k-100=0] [eqn: k=2``````````````` THEREFORE ` {bar{AB}} =8]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

그림과 같이 [eqn: angle rm BAC=45DEG], [eqn: rm bar AC =6], [eqn: rm bar BC =2 root 6]인 삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 삼각형 [eqn: rm ABC]의 내부의 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: angle rm PBC=15DEG], [eqn: angle rm PCB=45DEG]일 때, 삼각형 [eqn: rm ABP]의 넓이는? [[eqn: 4.7]점]

① [eqn: 8+4 root 3]	② [eqn: 6+4 root 3]	③ [eqn: 6+2 root 3]
④ [eqn: 3+2 root 3]	⑤ [eqn: 3+root 3]

③

[eqn: angle rm BPC=120DEG], 사인법칙에 의해 [eqn: {rm bar BP} over {sin`45DEG} = {2 root 6} over {sin`120DEG}]

[eqn: rm bar BP = {{2root 6} over 1} over {root 3 over 2} times root 2 over 2 = {4 root 6} over root 3 times root 2 over 2 =4]

[eqn: rm bar AB =it x]라 하면 코사인 법칙에 의해

[eqn: cos`45DEG = root 2 over 2 = {x^2 +36-24} over {2times 6 times x} = {x^2 +12} over 12x]

[eqn: x^2 +12=6 root 2 x], [eqn: x^2 -6 root 2 x+12=0]

[eqn: x=3 sqrt {2} + sqrt {6}] [eqn: LEFT ( BECAUSE ~x>2 sqrt {6} RIGHT )]

사인법칙에 의해 [eqn: {2 root 6} over {sin`45DEG} = 6 over {sin(angle rm ABC)}]

[eqn: sin(angle rm ABC)=6 times {root 2 over 2} over {2 root 6} = 3 times root 2 over {2 root 6} = root 3 over 2]

[eqn: angle rm ABC=60DEG]	[eqn: therefore~ angle rm ABP =45DEG]

점 [eqn: rm P]는 삼각형 내부의 점이므로

[eqn: TRIANGLE rm ABP= {1} over {2} TIMES (3 sqrt {2} + sqrt {6} ) TIMES 4 TIMES {sqrt {2}} over {2}][eqn: = 6+2 root 3]

그림과 같이 [eqn: ANGLE ` rm `DAB= ANGLE ` rm BCD= {pi} over {2}]이고, [eqn: rm`bar{AD}=1]인 사각형 [eqn: rmABCD]가 있다. 점 [eqn: rmA]에서 선분 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmE,`]선분 [eqn: rmBD]와 선분 [eqn: rmAE]의 교점을 [eqn: rmF]라 할 때, [eqn: angle`rm`ABE= {pi} over {4} ,~angle`rm`BDA= {pi} over {3}] 이다.

[eqn: 4- 2root3]

[eqn: TRIANGLE rm ABF]에서 각[eqn: angle rm BAF = angle DAF = 45^circ]이므로
[eqn: rm bar AB : bar AD = bar BF : bar FD = root 3 : 1]이다.

따라서 [eqn: rm {bar{FD}} =2 TIMES {1} over {sqrt {3} +1} `=` sqrt {`} 3`-1]
[eqn: triangle rm AFD]에서 [eqn: rm{ bar AF } ^2 = 1 + (root3 -1 )^2 - 2 (root3 -1 ) cos {pi over 3}]
[eqn: rm {bar AF} ^{2}} = 6-3root3]이므로 [eqn: triangle rm RFD]와 [eqn: triangle rm ABF]에서 사인법칙을 활용하면
[eqn: 2rm R_1 = {rm bar AF} over {sin{pi over 6}} = 2 {rm bar AF } ~ therefore rm R_1 = bar AF]

[eqn: 2rm R_2 = {rm bar AF} over {sin{pi over 3}} = 2 over root3{rm bar AF } ~ therefore rm R_1 = 1 over root3 bar AF]
따라서

[eqn: rm R_1 ^2 - R_2 ^2 = {bar AF} ^2 - 1 over 3 {bar AF} ^2 = 2 over 3 {bar AF}^2 = 2 over 3 LEFT { 6 -3root3 RIGHT } = 4 - 2root3]

삼각형 [eqn: rmABF]와 삼각형 [eqn: rmAFD]의 외접원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: R _{1} ,~R _{2}]라 할 때, [eqn: LEFT ( R _{1} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( R _{2} RIGHT ) ^{2}]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 5]점]

삼각형 [eqn: ABC]가 [eqn: sin ^{2} A+sin ^{2} B=sin ^{2} C,`] [eqn: sinA=2(sinC-sinB)]를 만족시킨다. 삼각형 [eqn: ABC]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: {25} over {2}]일 때, 선분 [eqn: AC]의 길이를 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오. [8점]

[eqn: 15]

[eqn: {a} over {sinA} = {b} over {sinB} = {c} over {sinC} =2R] (사인법칙)

[eqn: sinA= {a} over {2R} ,] [eqn: sinB= {b} over {2R} `,] [eqn: sinC= {C} over {2R}] 주어진 두 식에 대입하면,

[eqn: LEFT ( {a} over {2R} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {b} over {2R} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( {c} over {2R} RIGHT ) ^{2} ,``a ^{2} +b ^{2} =c ^{2}] (직각삼각형)

[eqn: {a} over {2R} =2 LEFT ( {c} over {2R} - {b} over {2R} RIGHT ) ,````````````a=2(c-b)]

삼각형 [eqn: ABC]는 원에 내접하는 상태이고, 직각삼각형이므로 각 [eqn: C]는 [eqn: 90 DEG]이다.

삼각형 [eqn: ABC]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: {25} over {2}]이므로 [eqn: c=25]이고

[eqn: a^2 +b^2 =25^2], [eqn: (2c-2b)^2 +b^2 =25^2], [eqn: (50-2b)^2 +b^2 =25^2], [eqn: 5b^2 -200b+50^2 - 25^2 =5b^2 -200b+75 TIMES25 =0],

[eqn: b^2 -40b+15 TIMES25 =(b-15)(b-25)=0]에서 [eqn: b=15] 또는 [eqn: b=25]

그런데 [eqn: b< c`]이므로 [eqn: b=rm barAC =15`]이다.

반지름이 [eqn: r]인 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =r ^{2}] 위의 두 점 [eqn: {rmA}(itr,```0)], [eqn: {rmB}{left(}- {sqrt {3}} over {2} {itr},``` {1} over {2} {itr}{right)}]과 [eqn: bar{rmOA}] 위의 점 [eqn: rmC], [eqn: bar{rmOB}] 위의 점 [eqn: rmD]에 대하여 [eqn: {bar{rmAC}{times}bar{rmBD}} over {bar{rmOC}{times}bar{rmOD}} =1]을 만족한다. 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이와 삼각형 [eqn: rmOCD]의 넓이의 비가 [eqn: 25:6] 일 때, [eqn: bar{rmOD}]는 반지름의 [eqn: {m} over {n}]배이다. [eqn: m{times}n]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점, [eqn: bar{rmOC}>bar{rmOD}], [eqn: m], [eqn: n]은 서로소인 자연수이다.) [5.0점]

②

[eqn: barOC`=x`,``barOD`=y`]라 하자.

(i) 두 삼각형의 넓이의 비는

[eqn: triangleOAB ``:`triangleOCD`= barOA`timesbarOB`: barOC `timesbarOD][eqn: = 25`:6]이므로

[eqn: r^2 :xy`=25:6]

[eqn: THEREFORE ```6 CDOT r ^{2} =25xy]

(ii) [eqn: {{bar{rm AC it}} TIMES {bar{rm BD it}}} over {{bar{rm OC it}} TIMES {bar{rm OD it}}} =1]에서 [eqn: LEFT ( r-x RIGHT ) LEFT ( r-y RIGHT ) =xy]이므로

[eqn: r^2 -(x+y)r=0]

[eqn: THEREFORE ```r=x+y]

[eqn: x overr + y overr`=1]이고 [eqn: 6 cdot r^2 = 25 xy]에서 [eqn: x over r times y overr = 6 over25]

따라서 [eqn: x overr = 3over5`,````y over r = 2over5``````(`barOC`>barOD`)]

그러므로 [eqn: barOD overr `= y over r = 2over5 = m overn]

[eqn: therefore```m timesn =10]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

그림과 같이 원 모양의 호수에 내접하는 사각형 모양의 무대 [eqn: rm { A B C D }]가 있다. [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{BC}}], [eqn: rm {bar{CD}} =4], [eqn: rm {bar{DA}} =6]이고, 선분 [eqn: rm AD]가 원의 지름일 때, 사각형 [eqn: rm { A B C D }]의 넓이는? [[eqn: 5.1]점]

①

사각형 [eqn: rm { A B C D }]는 원에 내접하고

삼각형 [eqn: rm ACD]는 직각삼각형이므로

[eqn: rm ANGLE D= theta] 라 하면 [eqn: rm ANGLE B= pi - theta ~]이고

[eqn: cos` theta = {2} over {3} ,`~sin` theta = {sqrt {5}} over {3}]가 된다.

[eqn: rm {bar{AB}} = {bar{BC}} =ita]라 하면 코사인법칙에 의해

[eqn: rm {bar{AC}} ^{2} = it 4 ^{2} +6 ^{2} -2 TIMES 4 TIMES 6 TIMES rm cos theta =52-32=20]	[eqn: cdots①]

[eqn: rm {bar{AC}} ^{2} = it a ^{2} +a ^{2} -2a ^{2} `cos( pi - theta )=2a ^{2} + {4} over {3} a ^{2} = {10} over {3} a ^{2}]	[eqn: cdots ②]

①，②에 의하여 [eqn: a ^{2} =6]

따라서 사각형 [eqn: rm { A B C D }]의 넓이는

삼각형 [eqn: rm ABC]와 삼각형 [eqn: rm ACD]의 넓이의 합이므로

[eqn: {sqrt {5}} over {6} (24+6)=5 sqrt {5}]

① [eqn: 5 sqrt {5}]	② [eqn: 6 sqrt {5}]	③ [eqn: 7 sqrt {5}]
④ [eqn: 8 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 9 sqrt {5}]

그림과 같이 길이가 [eqn: 24]인 선분 [eqn: AB]를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 [eqn: AB]의 중점을 [eqn: O]라 하고, 호 [eqn: AB] 위의 한 점 [eqn: P]를 [eqn: ANGLE ABP= {pi } over {6}]가 되도록 잡는다. [eqn: ANGLE ABP]의 이등분선이 호 [eqn: AB]와 만나는 점은 [eqn: Q]라 하고, 선분 [eqn: OP]와 선분 [eqn: BQ]가 만나는 점을 [eqn: R]이라 할 때, 호 [eqn: PQ]와 두 선분 [eqn: PR], [eqn: RQ]로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: p+q sqrt {3} +`r `pi ```]이다. [eqn: p+q+r]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,~q,~r]은 유리수이다.) (답만 적으시오.) [5.2점]

[eqn: 12]

[eqn: O`]에서 선분 [eqn: barBQ`]에 그은 수선의 발을 [eqn: H`]라 하자.

[eqn: angleHOR `= angleHRO`= pi over4`]이므로 사인법칙에 의해서

[eqn: {barOQ} oversin135^DEG`={barQR} oversin30^DEG`]

[eqn: therefore``` barQR`=6root2]

한편, 코사인법칙에 의해서

[eqn: barQR `^2`=12^2 +barOR`^2 -2 cdot12cdotbarOR cdot root3 over2]이고

[eqn: barQR`=6(root3 -1)]

[eqn: therefore```]넓이[eqn: = 1over2 cdot 12^2 cdot pi over6 - 1over2 cdot12cdot6(root3 -1)cdot 1over2 = 18-18root3 +12pi]

따라서, [eqn: p+q+r =12]

그림과 같이 원 [eqn: O]에 내접하고 [eqn: rmbar{BC}=7,`cos LEFT ( ANGLE ABC RIGHT ) = {13} over {14}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 원 [eqn: rmO]의 넓이가 [eqn: {49} over {3} pi]이고, 원 [eqn: O] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이의 최댓값이 [eqn: {q} over {p} sqrt {3}]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, 삼각형 [eqn: rmABC]의 세 변 중 길이가 가장 긴 변은 [eqn: rmbar{AB}]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 5.0]점]

①

원 [eqn: C]의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면 원 [eqn: C]의 넓이가 [eqn: {49} over {3} pi]이므로[eqn: R ^{2} pi][eqn: = {49} over {3} pi], [eqn: R= {7} over {3} sqrt {3}]

[eqn: ANGLE ABC=theta]라 하면 [eqn: costheta][eqn: = {13} over {14}] [eqn: sin theta = {3 sqrt {3}} over {14}]

사인법칙에 의하여 [eqn: {{bar{AC}}} over {sin theta } =2R] [eqn: {bar{AC}}][eqn: =][eqn: 3] [eqn: {bar{AB}} =x]라 하면

코사인법칙에 의해서 [eqn: 3 ^{2} =x ^{2} +7 ^{2} -2 TIMES x TIMES 7 TIMES {13} over {14}]

[eqn: x ^{2} -13x+40=0] [eqn: x=5] or [eqn: x=8] 인데 둔각삼각형이므로 [eqn: x=8]이다.

넓이가 최대가 되도록 하는 점을 [eqn: rmQ]라 하면 점 [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmAC]의 수직이등분선과 원 [eqn: C]의 두 교점 중 직선 [eqn: rmAC]로부터 멀리 떨어져 있는 점이다.

[eqn: {bar{OH}} ^{`2} = {bar{OB}} ^{`2} - {bar{BH}} ^{`2}] [eqn: {bar{OH}} ^{`2} = {49} over {3} -16= {1} over {3}]

[eqn: {bar{OH}} = {sqrt {3}} over {3}] [eqn: QAB]삼각형의 높이는 [eqn: {8 sqrt {3}} over {3}]이다.

넓이의 최대값은 [eqn: {1} over {2} TIMES 8 TIMES {8 sqrt {3}} over {3}][eqn: = {32 sqrt {3}} over {3}] [eqn: p+q=35]이다.

① [eqn: 35]	② [eqn: 37]	③ [eqn: 39]

④ [eqn: 41]	⑤ [eqn: 43]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm O (0,````0)], [eqn: rm A(3,````0)]과 [eqn: y]좌표가 양수인 서로 다른 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]가 다음 조건을 만족시킨다.

③

[eqn: cos` ANGLE OPA=cos ANGLE OQA= {2 sqrt {2}} over {3}]에서 각이 같다는 것을 알고 [eqn: A,O,P,Q]가 한 원 위에 있음을 알 수 있다.

삼각형 [eqn: OAP] 에서 코사인법칙을 적용해보면

[eqn: OA=3,`AP=6 sqrt {2}],[eqn: cos` ANGLE OPA=cos ANGLE OQA= {2 sqrt {2}} over {3}]

에서 [eqn: OP=9]임을 알수 있고 [eqn: OAP]가 직각삼각형임을 알 수 있다.

삼각형 [eqn: OAQ]에서도 똑같이 해보면 [eqn: OQ=7]임을 알 수 있다.

[eqn: PQ= sqrt {9 ^{2} -7 ^{2}} =4 sqrt {2}]

삼각형 [eqn: OAP]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 3 TIMES 6 sqrt 2`= `9 sqrt {2}]

삼각형 [eqn: OQP] 직각삼각형이므로

삼각형 [eqn: OQP]의 넓이는 [eqn: = {1} over {2} TIMES 7 TIMES 4 sqrt {2} =14 sqrt {2}]

사각형 [eqn: OAPQ=9 sqrt {2} +14 sqrt {2} =23 sqrt {2}]

(가) [eqn: rm bar AP = bar AQ = 6 root2]이고 [eqn: rm bar OP `>` bar OQ]이다.

(나) [eqn: cos ( angle rm OPA) = cos ( angle OQA) = { 2root2 } over 3]

사각형 [eqn: rm OAPQ]의 넓이는?[4.9점]

① [eqn: 21 root2]	② [eqn: 22root2]	③ [eqn: 23 root2]

④ [eqn: 24 root2]	⑤ [eqn: 25 root2]

그림과 같이 사각형 [eqn: ABCD]에 대하여 [eqn: ANGLE{ACB}=45 DEG], [eqn: angle{ADC}=75DEG], [eqn: angleBCD=90DEG], [eqn: angle{CBD}=60DEG], [eqn: bar{BD}=4]이다. 선분 [eqn: AB]의 길이는? [5.8점]

① [eqn: root6]	② [eqn: 2root2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: root10]	⑤ [eqn: 2root3]

②

[eqn: ANGLEBDC =30 DEG], [eqn: ANGLEADB =45 DEG= ANGLEACB] 이므로

사각형 [eqn: ABCD]는 한원위에 내접해있다.

따라서 [eqn: ANGLEACD = 45 DEG]이므로 [eqn: ANGLEABD= 45 DEG] 이다.

삼각형 [eqn: ABD]는 직각이등변삼각형이므로

[eqn: bar{AB}`:`bar{BD}`=`1`:`root{2}], [eqn: bar{AB}=2root{2}]

[eqn: RM {bar{AB}} `=8,` {bar{AC}} `=5]이고 넓이가 [eqn: 10 sqrt {3}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. [eqn: rm ANGLE BAC]의 이등분선이 선분 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하고, 점 [eqn: rmP]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rm` {bar{AQ}} `<` {bar{PQ}}]일 때, 선분 [eqn: rmAQ]의 길이는? [[eqn: 5.0]점]

① [eqn: {20} over {13}]	② [eqn: {30} over {13}]	③ [eqn: {40} over {13}]
④ [eqn: {50} over {13}]	⑤ [eqn: {60} over {13}]

①

[eqn: rm ANGLE A= theta]

삼각형 [eqn: rmABC] 넓이 [eqn: 10 sqrt {3} = {1} over {2} TIMES 8 TIMES 5 TIMES sin theta]

[eqn: sin theta = {sqrt {3}} over {2}] [eqn: theta = {pi } over {3} ,` {2 pi } over {3}]

[eqn: theta = {pi } over {3}] 일 때

[eqn: rm {bar{PQ}} `:` {bar{AQ}} `=1`: sqrt {3}] [eqn: rm` {bar{AQ}} `<` {bar{PQ}}]에 모순

따라서 [eqn: theta = {2 pi } over {3}]

코사인법칙에서

[eqn: rm {bar{BC}} ^{2} =64+25-2 TIMES 8 TIMES 5 TIMES LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) =129]

[eqn: rm {bar{BC}} `= sqrt {129}]

[eqn: rm {bar{BP}} `:` {bar{PC}} `=8:5]

[eqn: rm {bar{BP`}} =` sqrt {129} TIMES {8} over {13}]

삼각형 [eqn: rmABP]에서 코사인법칙

[eqn: rm {bar{PQ}} `:` {bar{AQ}} : {bar{AP}} `= sqrt {3} :1:`2]

[eqn: rm {bar{AP}} `it=x]

[eqn: 129 TIMES {64} over {169} =64+x ^{2} -2 TIMES 8 TIMES x TIMES {1} over {2}]

[eqn: 169x ^{2} -1352x+2560=(13x-40)(13x-64)=0]

[eqn: x= {40} over {13} ,` {64} over {13}]에서 [eqn: x= {40} over {13}](점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmBC]위에 있으므로)

[eqn: rm {bar{AQ}} `= {1} over {2} {bar{AP}}]

[eqn: rm {bar{AP}} `= {20} over {13}]

그림과 같이 사각형 [eqn: rm ABCD]의 두 대각선이 만나는 점을 [eqn: rm E]라 하자. [eqn: rm bar AB =9], [eqn: rm bar BC = 6], [eqn: rm angle ABE = 30 DEG]이고 삼각형 [eqn: rm ACD]가 정삼각형일 때, 삼각형 [eqn: rm AED]의 외접원의 지름의 길이는 [eqn: a root21 +b]이다. 두 유리수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?[4.4점]

①

[eqn: ANGLE ACD=60 DEG]이고 [eqn: ANGLE ABD=30 DEG]이므로 [eqn: TRIANGLE ABD]는 점[eqn: C]를 외접원의 중심으로 하는 삼각형임을 알수 있다.

[eqn: {bar{AC}} =6], [eqn: TRIANGLE ABC]는 이등변 삼각형이므로 [eqn: ANGLE ADE= theta]라 하면 원주각과 중심각 관계에 의하여 [eqn: ANGLE ACB=2 theta]가 되고 여기서 [eqn: sin theta]를 구해보면 점[eqn: C]에서 [eqn: {bar{AB}}]에 수선의 발을 내려서 [eqn: sin theta]를 구하면 [eqn: sin theta = {3} over {4}]가 된다.

점[eqn: E]에서 [eqn: barAD`]에 수선의 발을 [eqn: P]라 하자.

[eqn: barAE`=x]라 하면 [eqn: bar AP`= {x} over {2} `,````barEP`= {sqrt {3} x} over {2}]가 되고

[eqn: sin theta = {3} over {4}]이므로 [eqn: tan theta = {3} over {sqrt {7}}]이므로

[eqn: tan theta = {3} over {sqrt {7}} = {{sqrt {3} x} over {2}} over {6- {x} over {2}}]에서 [eqn: x= {36} over {sqrt {21} +3}]이 된다.

[eqn: TRIANGLE AED]에서 사인법칙을 써보면

[eqn: {x} over {sin theta } =2R]이 되므로

위에서 나온 값을 대입해보면

[eqn: {{36} over {sqrt {21} +3}} over {{3} over {4}} = {48} over {3+ sqrt {21}} =4 sqrt {21} -12]

[eqn: a=4,``b=-12]

[eqn: a+b=-8]

① [eqn: -8]	② [eqn: - 15 over 2]	③ [eqn: -7]

④ [eqn: - 13 over 2]	⑤ [eqn: -6]

그림과 같이 원에 내접하는 삼각형 [eqn: ABC]에서
[eqn: {bar{AB`}} = sqrt {3} ,```` {bar{CA`}} =2,```` ANGLE ABC= {pi } over {4}]이다. [eqn: ANGLE ACB= theta]라 할 때,
[eqn: sin ^{2} theta +cos2 theta]의 값은? [4.7점]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {4}]
④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

⑤

[eqn: {sqrt {3}} over {sin theta } = {2} over {{sqrt {2}} over {2}} =2 sqrt {2} =2R,`````sin theta = {sqrt {6}} over {4} ,```R= sqrt {2}]

호[eqn: AB]의 원주각 [eqn: C]가 [eqn: theta]이므로 호[eqn: AB]의 중심각이 [eqn: 2 theta]

[eqn: cos2 theta = {sqrt {2 ^{2}} + sqrt {2} ^{2} - sqrt {3} ^{2}} over {2 TIMES sqrt {2} TIMES sqrt {2}} = {1} over {4}]

[eqn: sin ^{2} theta +cos2 theta = {3} over {8} + {2} over {8} = {5} over {8}]

그림과 같이 사각형 [eqn: rmABCD]가 한 원에 내접하고 있다. [eqn: rm {bar{AB}} `=5,` {bar{AD}} `=7,` ANGLE BAC``= ANGLE CAD`,`cos(` ANGLE BAD)= {3} over {5}]일 때, 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는? [[eqn: 5.2]점]

① [eqn: 20]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 18]
④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 16]

③

[eqn: rm {bar{AB}} `=5,` {bar{AD}} `=7,` ANGLE BAC``= ANGLE CAD`,`cos(` ANGLE BAD)= {3} over {5}]

[eqn: rm {bar{BD}} ` it =y,` rm {bar{BC}} `= {bar{CD}} `` it =x`](원주각의 크기가 같으므로 현의 길이가 같다)

삼각형 [eqn: rmABD] 코사인법칙

[eqn: y ^{2} =25+49-2 TIMES 5 TIMES 7 TIMES {3} over {5}]

[eqn: y ^{2} =32``y=4 sqrt {2}]

[eqn: cos( pi `- ANGLE rmBAD`)=-cos( ANGLE BAD)=- {3} over {5}]

삼각형 [eqn: rmCBD] 코사인법칙

[eqn: 32=2x ^{2} -2 TIMES x TIMES x TIMES LEFT ( - {3} over {5} RIGHT )]

[eqn: {16} over {5} x ^{2} =32] [eqn: x ^{2} =10`,x= sqrt {10}]

[eqn: cos( ANGLE rmBAD)= {3} over {5}] 이면 [eqn: sin( ANGLE rm BAD`)= {4} over {5}]

삼각형 [eqn: rmABD] 의 넓이 [eqn: {1} over {2} TIMES 5 TIMES 7 TIMES {4} over {5} =14]

[eqn: cos( ANGLE rm BCD)=- {3} over {5}] 이면 [eqn: sin( ANGLE rm BCD`)= {4} over {5}]

삼각형 [eqn: rmCBD] 의 넓이 [eqn: {1} over {2} TIMES sqrt {10} TIMES sqrt {10} TIMES {4} over {5} =4]

사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이 [eqn: 18]

넓이가 [eqn: 8 sqrt {3}``]인 삼각형 [eqn: ABC``]가 다음 조건을 만족시킨다.

⑤

(가) [eqn: cos ^{2} A+cos ^{2} B=1+cos ^{2} C``]에서

[eqn: 1-`sin ^{2} A+1- sin ^{2} B`=`1+1-sin ^{2} C``]

[eqn: sin ^{2} A + sin ^{2} B`=` sin ^{2} C``]

사인법칙에 의하여 [eqn: a^2 +b^2 `=`c^2 ``]이다.

즉, 삼각형 [eqn: ABC``]는 [eqn: c``]가 빗변인 직각삼각형이고,

넓이가 [eqn: 8 sqrt {3}``]이므로 [eqn: ab=16root3 ``]이다.

(나) [eqn: A+B`=`C`=` piover2 ``]이므로

[eqn: tan B`=` tan` LEFT ( pi over2 -A RIGHT )`=` 1over{tanA}`,``] [eqn: tan {C} over {2}`=`1``]

[eqn: sqrt {3}` tanA-tanB+ sqrt {3} =tan {C} over {2}``]에서

[eqn: sqrt {3}` tanA- 1over tanA + sqrt {3}-1 =0``]이므로

[eqn: tan A`=`-1`,``1overroot3 ``]

[eqn: A``]는 예각이므로 [eqn: tan A`=`1overroot3 ``]이고 [eqn: A= pi over6 `,``B= pi over 3 ``]이다.

따라서 [eqn: a`=`4`,``b`=`4root3 ``]이다.

한편, [eqn: barAB ``]의 중점을 [eqn: O``]라 하면 점 [eqn: O``]는 외접원의 중심이다.

[eqn: angle ACP `=`pi over12``]이므로 [eqn: angle AOP `=`pi over6``]이다.

[eqn: barOA `=` barOP `=`4``]이므로 코사인법칙에 의하여

[eqn: k^2 `=` 4^2 +4^2 - 2times4 times4 times cos pi over6 `=`32- 16root3 ``]이다.

(가) [eqn: cos ^{2} A+cos ^{2} B=1+cos ^{2} C``]

(나) [eqn: sqrt {3}` tanA-tanB+ sqrt {3} =tan {C} over {2}``]

이 삼각형 [eqn: ABC``]의 외접원에 대하여 [eqn: ANGLE ACB``]를 육등분하는 직선 중 하나가 점 [eqn: C``]를 포함하지 않는 호 [eqn: AB``]와 만나는 점을 [eqn: P``]라 하고, 선분 [eqn: AP``]의 길이를 [eqn: k``]라 할 때, [eqn: k ^{2}``]의 값은? (단, 점 [eqn: P``]는 호 [eqn: AB``]의 육등분점 중 [eqn: A``]에 가장 가까운 점이다.) [4.7점]

① [eqn: 28-15 sqrt {3}``]	② [eqn: 28-16 sqrt {3}``]	③ [eqn: 32-14 sqrt {3}``]
④ [eqn: 32-15 sqrt {3}``]	⑤ [eqn: 32-16 sqrt {3}``]

그림과 같이 선분 [eqn: AB``]를 지름으로 하는 반원의 호[eqn: AB``]위에 [eqn: ANGLE PAB= theta ``]인 점 [eqn: P``]가 있다. [eqn: ANGLE APQ=3 theta ``]가 되도록 선분 [eqn: AB``]위의 점 [eqn: Q``]를 잡을 때, 두 선분 [eqn: PQ`,``QB``]와 호 [eqn: BP``]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S( theta )``]라 하자. [eqn: 1``]라디안보다 작은 양의 각 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: S(k)=3 pi -p sqrt {3}``]일 때, 정수 [eqn: p``]의 값은? (단, [eqn: bar{AB} =12`,``] [eqn: 0< theta < {pi } over {6}]) [4.7점]

④

[eqn: barAB ``]의 중점을 [eqn: O``]라 하면, [eqn: barOA `=`barOB`=` barOP `=`6``]이다.

[eqn: angle OAP `=` angle OPA `=`theta``]이므로 [eqn: angle OPQ `=` angle POQ `=`2`theta``]이다.

두 선분 [eqn: PQ`,``QB``]와 호 [eqn: BP``]로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: S( theta )``]는

부채꼴 [eqn: OBP``]에서 삼각형 [eqn: OPQ``]를 제외하면 된다.

즉, [eqn: S( theta )`=` 1over2 times 6^2 times 2`theta`-` 1over2 times 6 times 3`tan 2`theta``]

[eqn: =`36`theta`-`9`tan`2`theta``]

따라서 [eqn: S(k)=3 pi -p sqrt {3}``]일 때, [eqn: theta`=` pi over12 ``]이므로

정수 [eqn: p`=`3``]이다.

① [eqn: -3``]	② [eqn: -1``]	③ [eqn: 1``]
④ [eqn: 3``]	⑤ [eqn: 5``]

그림과 같이 한 원에 내접하는 사각형 [eqn: rm ABCD]에 대하여 [eqn: rm bar BC =3 root 3]이고, 삼각형 [eqn: rm ABD]는 [eqn: rm bar AB =bar AD]인 이등변삼각형이며, 선분 [eqn: rm AD]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rm E]라 하자. [eqn: angle rm BAD=alpha], [eqn: angle rm ADB=beta], [eqn: angle rm BDC=gamma]라 할 때, [eqn: {sin`beta} over {sin`alpha} = 3 over 4], [eqn: sin`gamma= root 5 over 3]이다. 선분 [eqn: rm BE]의 길이를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [[eqn: 8.0]점]

[eqn: root 35]

[eqn: triangle rm ABD]에서 외접원의 반지름을 [eqn: R`]이라 할 때

[eqn: {rm bar{BD} it} over {sin` alpha } = {rm bar{AD} it} over {sin` beta } =2R`]에서 [eqn: {sin` beta } over {sin` alpha } = {3} over {4} = rm {bar{AD}} over {bar{BD}}]

이므로 [eqn: rm bar AD =it 3k], [eqn: rm bar{BD} = it 4k``]로 놓을 수 있다.

이때 [eqn: cos`beta = 2k over 3k = 2 over 3]이므로

[eqn: {sin`beta} = root 5 over 3], [eqn: {sin`beta} over {sin`alpha} = 3 over 4]이므로

[eqn: sin`alpha = 4 over 3 `sin`beta= {4 root 5} over 9]

[eqn: triangle rm BCD]에서

[eqn: {3 sqrt {3}} over {sin` gamma } = {rm bar{BD} it} over {sin` alpha } =2R``]이고 [eqn: sin`gamma= root 5 over 3]임을 이용하면

([eqn: BECAUSE ~sin`C=sin( pi - alpha )=sin` alpha])

[eqn: R= {9 sqrt {3}} over {2 sqrt {5}}], [eqn: rm bar BD][eqn: =2R`sin` alpha][eqn: = {9 root 3} over root 5 times {4 root 5} over 9][eqn: = 4 root 3][eqn: =4k]

[eqn: therefore]

[eqn: rm bar BE`^2][eqn: =(3 root 3 )^2 +(2 root 3 )^2][eqn: -2 cdot 3 root 3 cdot 2 root 3`cos`alpha]
[eqn: = 27+12-36 cdot 1 over 9][eqn: =35] [eqn: LEFT ( BECAUSE ~cos` alpha = {1} over {9} RIGHT )]

[eqn: therefore~ rm bar BE = root 35]

그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [eqn: rm ABCD]가 다음을 만족시킨다.

사각형 [eqn: rm ABCD]의 넓이가 [eqn: q over p root 7]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 4.9]점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 6]

④

[eqn: angle rm DBA=theta]라 하면 [eqn: cos`theta= root 14 over 4], [eqn: sin`theta= root 2 over 4]

[eqn: rm bar AB =it x]라 하면 코사인 법칙에 의해

[eqn: cos`theta= root 14 over 4 = {x^2 +14-2} over {2 root 14 x}], [eqn: x^2 +12 =7x]

[eqn: (x-3)(x-4)=0], [eqn: rm bar AC > bar AB] 이므로

[eqn: rm bar{AC} =4,~ rm bar{AB} =3], 코사인 법칙에 의해

[eqn: cos (angle rm BAD) = 9+2-14 over {2 times 3 times root 2} = -3 over {6 root 2} = it - 1 over {2 root 2}]

원에서 [eqn: angle rm BAD+angle BCD =180DEG] 이므로 [eqn: cos(angle rm BCD)= 1 over {2 root 2}]

[eqn: rm bar BC =it y]라 하면 [eqn: 1 over {2 root 2} = {y^2 +14-14} over {2 root 14 y}], [eqn: y^2 =root 7 y], [eqn: y=root 7]

[eqn: □rm ABCD][eqn: = triangle rm ABD+triangle BCD]
[eqn: = LEFT ( {1} over {2} TIMES 3 TIMES sqrt {14} TIMES {sqrt {2}} over {4} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} TIMES sqrt {7} TIMES sqrt {14} TIMES {sqrt {7}} over {2 sqrt {2}} RIGHT )][eqn: = 5 over 2 root 7]

[eqn: p+q=7]

(가) [eqn: rm bar AD = root 2], [eqn: rm bar BD =bar CD = root 14]이고, [eqn: rm bar AC > bar AB]이다.

(나) [eqn: cos(angle rm DBA)= root 14 over 4]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 5]이고 중심각의 크기가 [eqn: pi over 2]인 부채꼴 [eqn: rm OAB]가 있다. 호 [eqn: rm AB] 위의 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm bar PA =bar PC =bar PD]가 되도록 호 [eqn: rm PB] 위에 점 [eqn: rm C]와 선분 [eqn: rm OA] 위에 점 [eqn: rm D]를 잡는다. [eqn: angle rm PCD=theta]라 할 때, [eqn: sin `theta= 3 over 5]이고, [eqn: angle rm EDA= theta]가 되도록 선분 [eqn: rm PA] 위에 점 [eqn: rm E]를 잡는다. 이때, 삼각형 [eqn: rm EDA]의 넓이는? [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: {12} over {5}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {8} over {5}]
④ [eqn: {6} over {5}]	⑤ [eqn: {4} over {5}]

④

[eqn: rm cases {triangle PCD#triangle PDA}]는 이등변삼각형이므로

[eqn: angle rm COP=angle POD=alpha]라 하면

[eqn: angle rm PDA=angle PAD= pi over 2 - alpha over 2]이므로

[eqn: angle rm APD=alpha]이고, [eqn: angle rm CPD=angle APC][eqn: - ANGLE rm APD]

[eqn: pi -2 theta][eqn: =2 LEFT ( {pi } over {2} - {alpha } over {2} RIGHT ) - alpha]

[eqn: pi -2 theta][eqn: = pi - alpha - alpha]

이므로 [eqn: theta=alpha]이다.

이를 다시 정리하면

[eqn: therefore~ triangle rm OAP]□[eqn: triangle rm PDA]□[eqn: triangle rm DAE]이다.

[eqn: triangle rm OAP]에서

[eqn: rm bar AP`^2][eqn: =5^2 +5^2 -2 times 5 times 5 `cos`theta]
[eqn: = 50-50 cdot 4 over 5 =10] [eqn: LEFT ( BECAUSE ~cos` theta = {4} over {5} RIGHT )]

[eqn: therefore~ rm bar AP = root 10]

[eqn: triangle rm OAP]와 [eqn: triangle rm ADP]의 닮음비[eqn: =5:root 10] 이므로

[eqn: rm bar AD = 5 times LEFT ( root 10 over 5 RIGHT )^2 = 10 over 5 =2]

[eqn: therefore~ triangle rm EDA]의 넓이는

[eqn: S][eqn: = 1 over 2 times 2 times 2 times sin`theta][eqn: = 6 over 5]

그림과 같이 예각삼각형 [eqn: rm ABC]가 한 원에 내접하고 있다. [eqn: rm bar AB =10]이고, [eqn: rm angle ABC = alpha]라 할 때, [eqn: cos alpha = 5 over 14]이다. 점 [eqn: rm A]를 지나지 않는 호 [eqn: rm BC] 위의 점 [eqn: rm D]에 대하여 [eqn: rm bar CD =6]이다. 두 삼각형 [eqn: rm ABD], [eqn: rm CBD]의 넓이를 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2]라 할 때, [eqn: S_1 ``:``S_2 ``=``2``:``1]이다. 삼각형 [eqn: rm ADC]의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: 7 S]의 값은?[4.7점]

③

[eqn: barAD`]와 [eqn: barBC]의 교점의 좌표를 [eqn: E]라 하자.

삼각형 [eqn: ABE]와 삼각형[eqn: CDE]가 [eqn: AA]닮음이고 닮음비는 [eqn: 5:3]이므로

[eqn: barBE`=5k`,```barDE`=3k`,```barAE`=5t`,```barCE`=3t]라고 하자.

삼각형 [eqn: CDE]에서 코사인법칙을 쓰면

[eqn: cos alpha = {6 ^{2} +9k ^{2} -9t ^{2}} over {2 TIMES 6 TIMES 3k} = {5} over {14}]

식을 정리하면

[eqn: k ^{2} -t ^{2} +4= {10k} over {7}]

[eqn: rm ABD], [eqn: rm CBD]의 넓이를 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2]라 할 때, [eqn: S_1 ``:``S_2 ``=``2``:``1]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES 10 TIMES LEFT ( 3k+5t RIGHT ) TIMES sin ANGLE BAD``:` {1} over {2} TIMES 6 TIMES LEFT ( 3t+5k RIGHT ) TIMES sin ANGLE BCD`=2:1]를 정리하면

[eqn: 15k=7t]

[eqn: k ^{2} -t ^{2} +4= {10k} over {7}]식과 연립해서 [eqn: k]를 찾아보면

[eqn: t= {15} over {7} k]를 대입해보면

[eqn: 88k ^{2} +35k-98=0]에서 양수인 [eqn: k]를 구해보면

[eqn: LEFT ( 8k-7 RIGHT ) LEFT ( 11k+14 RIGHT ) =0]에서 [eqn: k= {7} over {8}]

[eqn: t= {15} over {8}]

삼각형 [eqn: ADC= {1} over {2} TIMES LEFT ( 3k+5t RIGHT ) TIMES 6 TIMES sin alpha]이므로

[eqn: sin alpha]는 [eqn: cos alpha = 5 over 14]이므로 [eqn: sin alpha = {3} over {14} sqrt {19}]

대입해보면

[eqn: ADC= {1} over {2} TIMES LEFT ( 3k+5t RIGHT ) TIMES 6 TIMES sin alpha =][eqn: {54} over {7} sqrt {19}]

따라서 [eqn: 7S=54 sqrt {19}]

① [eqn: 50 root19]	② [eqn: 52root19]	③ [eqn: 54 root 19]

④ [eqn: 56 root19]	⑤ [eqn: 58 root19]

[eqn: rmbarAB =4], [eqn: rmbar BC = 6], [eqn: rmANGLE ABC= {pi } over {3}]인 평행사변형 [eqn: rmABCD]에 대하여 [eqn: rmangle ABC]의 이등분선과 [eqn: rmrmbar AD]가 만나는 점을 [eqn: rmE]라 하자. [eqn: rmANGLE EBD= theta]라 할 때, [eqn: sin theta]의 값은? [4.9점]

④

각 [eqn: rm DCB]가 [eqn: 2pi over3]이고 [eqn: rm barBC =6], [eqn: rm bar CD =4] 이므로 [eqn: rm bar BD]를 코사인법칙을

이용해서 구하면 [eqn: rm bar BD =2sqrt { 19}]

삼각형 [eqn: rm BED]를 사인법칙을 이욯해서 정리하면

[eqn: rm {2 sqrt { 19 }}over {sin {2pi}over3} = 2 over{sin{theta]이므로 [eqn: rm sin theta = sqrt { 19 }over38]

① [eqn: 2 over 19]	② [eqn: root 17 over 38]	③ [eqn: {3 root2} over 38]
④ [eqn: root 19 over 38]	⑤ [eqn: root5 over 19]

[eqn: rmbar AB = bar AC = 6]인 둔각삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 중심을 [eqn: rmO]라 하고, 선분 [eqn: rmOA]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 [eqn: rmD]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 12sqrt {2}]일 때, 선분 [eqn: rmCD]의 길이는? [5.1점]

⑤

삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이를 이용하면 [eqn: {1} over {2} TIMES 6 TIMES 6 TIMES rm sin theta =12 sqrt { 2}]

그러므로 [eqn: rm sin {theta } = {2 sqrt { 2 }} over 3], [eqn: rm cos {theta } = 1 over3]이므로 [eqn: rmbar BC = 4 sqrt { 6}]

삼각형 [eqn: rm ABC]가 이등면 삼각형이므로 밑변이 수직이등분되므로

점[eqn: rmA]에서 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]이라 할 때 [eqn: rm bar CH =2 sqrt { 6}]

사인법칙을 사용해서 외접원의 반지름은 [eqn: 3sqrt { 3}]이 나오고 선분 [eqn: rm OA]의

[eqn: 1:2]의 내분점[eqn: D]은 점 [eqn: rmH]와 일치하므로 [eqn: rm barCD = barCH =2 sqrt { 6}]이다.

① [eqn: 2 root 2]	② [eqn: 2 root 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 2 sqrt5]	⑤ [eqn: 2 sqrt6]

그림과 같이 [eqn: rmbar{AB}=9,` ANGLE ACB=60 DEG]인 삼각형 [eqn: rmABC]에서 선분 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmD]에 대하여 직선 [eqn: rmCD]는 [eqn: ANGLE rmACB]를 이등분한다. 직선 [eqn: rmCD]가 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원과 만나는 점 중 [eqn: rmC]가 아닌 점을 [eqn: rmE]라 할 때, [eqn: rmbar{CA}=bar{CE}]가 성립한다. 삼각형 [eqn: rmADC]의 넓이를 [eqn: S], 삼각형 [eqn: rmBDE]의 넓이를 [eqn: T]라 할 때, [eqn: S-T]의 값을 구하고 그 과정을 논술하시오. [[eqn: 8.0]점]

[eqn: 27 over 2]

외접원의 반지름을 [eqn: rm R]이라 하면

[eqn: triangle rm ABC]에서 [eqn: 9 over {sin 60 DEG} = 2 rm R]이므로 [eqn: rm R = 3 root3]이다.

[eqn: rm triangle BCE]에서 [eqn: rm { rm bar BE } over { sin 30 DEG} = 2 rm R = 6 root3]이므로 [eqn: rm bar BE = 3 root3]이다.

한편 [eqn: rm triangle ABE]는 이등변삼각형이고 [eqn: rm bar AE = 3 root3]이다.

[eqn: rm triangle ACE]에서 코사인법칙에 의해 [eqn: rm bar AC =it k]라 하면

[eqn: 27 = k^2 + k^2 -2k^2 cos 30 DEG = 2k^2 - root3 k^2]

[eqn: RARROW] [eqn: k^2 ( 2- root3 ) =27]

[eqn: RARROW] [eqn: k^2 = 27 ( 2+ root3 )]이다.

[eqn: S-T = rm triangle ACE - triangle ABE]이므로

[eqn: S-T = 1 over 2 k^2 sin 30 DEG - 1 over 2 times 3 root3 times 9 times sin 30 DEG]

[eqn: = 1 over 2 times 27(2+root3 ) times 1 over 2 - {27root3 } over 2 times 1 over 2]

[eqn: = 27 over 2]이다.

그림과 같이 [eqn: bar{AB} =6`,` ANGLE C=60 DEG ``]인 삼각형 [eqn: ABC``]에서 선분 [eqn: AB``]위의 점 [eqn: D``]에 대하여 직선 [eqn: CD``]는 [eqn: ANGLE ACB``]를 이등분한다. 직선 [eqn: CD``]가 삼각형 [eqn: ABC``]의 외접원과 만나는 점 중 [eqn: C``]가 아닌 점을 [eqn: E``]라 할 때, [eqn: bar{CA} = bar{CE}``]가 성립한다. 다음 물음 (1)~(2)에 답하시오. [총 6점]

(1) [eqn: 12 pi ``] (2) [eqn: 4+2 sqrt {3}``]

(1) 삼각형 [eqn: AEC``]의 외접원과 삼각형 [eqn: ABC``]의 외접원은 동일하므로 삼각형 [eqn: ABC``]에서 사인법칙을 사용한다.

[eqn: 6over{sin60Deg}`=`2`R``]에서

[eqn: R`=`2root3``]이므로

삼각형 [eqn: AEC``]의 외접원의 넓이는 [eqn: 12`pi``]이다.

(2) 삼각형 [eqn: AEC``]에서 사인법칙을 사용하면

[eqn: AE =2 root3``]

삼각형 [eqn: AEC``]에서 각 [eqn: C``]를 이용하여 코사인 법칙을 이용하면

[eqn: d^2 = 12(2 +root3 )``]

선분 [eqn: AE``]와 선분 [eqn: EB``]의 원주각이 같으므로 길이도 같다.

[eqn: P- Q``][eqn: = triangle AEC - triangle AEB``] [eqn: = 6``]

따라서 [eqn: {d ^{2}} over {P-Q}``][eqn: =` {12`(2 +root3 )}over6 `=` 4+2`root3``]이다.

(1) 삼각형 [eqn: AEC``]의 외접원의 넓이를 구하고 그 풀이 과정을 자세히 서술하시오. [2점]

(2) 삼각형 [eqn: ADC``]의 넓이를 [eqn: P``], 삼각형 [eqn: BDE``]의 넓이를 [eqn: Q``], 선분 [eqn: AC``]의 길이를 [eqn: d``]라 할 때, [eqn: {d ` ^{2}} over {P-Q}``]의 값을 구하고 그 풀이과정을 자세히 서술하시오. [4점]

아래 그림과 같이 중심이 [eqn: rmO]인 원 [eqn: S] 위에 서로 다른 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 있다. [eqn: ANGLE rm AOB= {pi } over {2}]이고, [eqn: rm bar { AB}: bar { AC}= sqrt { 10}:2]이다.
삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 6]일 때, 삼각형 [eqn: rmABO]의 넓이는? [[eqn: 4.6]점]

①

[eqn: {bar{rmAB}= sqrt { 10}itk }], [eqn: {bar{rm AC}} =2itk]라 하면 [eqn: bar { rmOA}= bar { OB}= bar { OC}= sqrt { 5}itk]

[eqn: ANGLE rmAOC= theta]라 하면

[eqn: cos theta = {5k ^{2} +5k ^{2} -4k ^{2}} over {2 TIMES 5k ^{2}} = {3} over {5}], [eqn: sin` theta = {4} over {5}]

사각형 [eqn: rmABOC]에서 삼각형 [eqn: rmBOC] 넓이를 제외하면

[eqn: {5k ^{2}} over {2} + {5k ^{2} TIMES sin` theta } over {2} - {5k ^{2} TIMES sin LEFT ( {pi } over {2} + theta RIGHT )} over {2} =6]

[eqn: sin LEFT ( {pi } over {2} + theta RIGHT ) =cos` theta]

[eqn: k ^{2} =2]

삼각형 [eqn: rmABO]의 넓이는

[eqn: S= {1} over {2} TIMES 5k ^{2} =5]

① [eqn: 5]	② [eqn: 5sqrt { 2}]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 10 sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 20]

반지름의 길이가 [eqn: 8]인 원에 내접하는 사각형 [eqn: rmABCD]에 대하여 [eqn: rmbar AB = bar CD = 4 root 3], [eqn: rm{bar{BD}} =6 sqrt {2}]일 때, 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오 [6.0점]

[eqn: {9sqrt { 39}}over2]

각 [eqn: rm BDA]를 [eqn: theta]로 가정해서 사인법칙을 사용하면 [eqn: {4 sqrt { 3 } }over {rm sin {theta}}= 16]에서

[eqn: rm sin theta = sqrt { 3 }over4]이다. 이때 점[eqn: rm B]에서 직선 [eqn: rm AD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면 [eqn: 6sqrt { 2 } times sqrt { 3 } over4 =rm bar BH] 이고 [eqn: 6sqrt { 2 } times sqrt { 13}over4 = rm bar AH]이므로

사각형의 넓이는 [eqn: 1 over2 times 3 sqrt { 26} times {3 sqrt { 6 }}over2 = {9 sqrt { 39 }}over2]이다.

반지름의 길이가 [eqn: {sqrt {10}} over {2}]인 원에 내접하고 [eqn: rm ANGLE A`it`= {pi } over {4}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 점 [eqn: rmA]를 포함하지 않는 호 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rmD]에 대하여 [eqn: sin(` ANGLE rmBCD`)`= {sqrt {5}} over {5}]일 때, 삼각형 [eqn: rmBCD]의 넓이는?[[eqn: 5.2]점]

① [eqn: sqrt {2} -1]	② [eqn: sqrt {3} -1]	③ [eqn: {1} over {2}]

③

[eqn: rm ANGLE A`it`= {pi } over {4}]이므로 [eqn: rm ANGLE D`= {3} over {4} pi] (원에 내접하는 사각형)

원의 반지름 [eqn: {sqrt {10}} over {2}] 사인법칙 [eqn: {rm {bar{BC}}} over {sin {pi } over {4}} = sqrt {10}]

[eqn: rm` {bar{BC}} `= sqrt {5}]

삼각형 [eqn: rmBDC], [eqn: sin(` ANGLE rmBCD`)`= {sqrt {5}} over {5}]

사인법칙 [eqn: {rm {bar{BD}}} over {{sqrt {5}} over {5}} `= {sqrt {5}} over {{sqrt {2}} over {2}}] [eqn: rm` {bar{BD}} `= sqrt {2}]

[eqn: rm {bar{DC}} ``it=x] 코사인법칙

[eqn: {- sqrt {2}} over {2} = {x ^{2} +2-5} over {2 sqrt {2} x}]

[eqn: x ^{2} +2x-3=(x-1)(x+3)=0] [eqn: x=1]

삼각형 [eqn: rmBDC] 넓이 [eqn: {1} over {2} TIMES sqrt {5} TIMES 1 TIMES {sqrt {5}} over {5} = {1} over {2}]

④ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

그림과 같이 [eqn: rm bar AB = 4], [eqn: rm bar AC = 6]인 예각삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 점 [eqn: rm B]에서 변 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD], 점 [eqn: rmC]에서 변 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm E]라 하고, 두 선분 [eqn: rm BD], [eqn: rm CE]의 교점을 [eqn: rm P]라 하자. 삼각형 [eqn: rm ABC]의 외접원의 넓이와 삼각형 [eqn: rm ADE]의 외접원의 넓이의 차가 [eqn: 9 pi]일 때, 삼각형 [eqn: rm PBE]의 넓이는 [eqn: p over q sqrt2]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

①

[eqn: rm bar AD = bar AB cos A = 4 cos A], [eqn: rm bar AE = bar AC cos A = 6 cos A]	[eqn: cdotscdots] ㉠

삼각형 [eqn: rm ABC], 삼각형 [eqn: rm ADE]의 외접원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: R], [eqn: r]라 하면

[eqn: R^2 - r^2 = 9]

삼각형 [eqn: rm ABC], 삼각형 [eqn: rm ADE]에서 사인법칙에 의해

[eqn: R = {{bar {rm BC}} over {2sin {rm A}}], [eqn: r = {{bar {rm DE}} over {2sin {rm A}}]

[eqn: R^2 - r^2 = { rm {bar BC}^2 - {bar DE}^2} over {4 sin ^2 rmA} = 9]	[eqn: cdotscdots] ㉡

이다. 한편 사각형 [eqn: rm BCDE]는 원에 내접하므로 [eqn: rm angle ABC = angle ADE]이다. 따라서 삼각형 [eqn: rm ABC]와 삼각형 [eqn: rm ADE]는 닮음이고 닮음비는

[eqn: rm bar AB : bar AD = 4 : 4 cos A = 1 : cosA]

이다. 따라서

[eqn: rm bar DE = bar BC times cos A]

이고 ㉡에 대입하여 정리하면

[eqn: rm {bar BC}^2 = 36], [eqn: rm THEREFOREbar BC = 6]

이고 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 코사인 법칙에 의해

[eqn: cos rm A = { {bar AB}^2 + {bar AC}^2 - {bar BC}^2} over {2times bar AB times bar AC} = { 16+36 - 36} over{ 2times 4 times 6} = 1 over3]

㉠에서

[eqn: rm bar AE = 2], [eqn: rm bar BE =2]

이고, [eqn: rm angle A = angle BPE]이므로

[eqn: rm bar PE = 2 over { tan` angle rm BPE} = 2 over{ 2sqrt2} = sqrt2 over 2]

따라서 삼각형 [eqn: rm PBE]의 넓이는

[eqn: 1 over2 times 2 times sqrt2 over2 = sqrt2 over 2]

[eqn: THEREFORE p+q = 3]

[[eqn: 5.6]점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

그림과 같이 [eqn: {bar{rm AB it}} `=4], [eqn: {bar{rm BC it}} `=3], [eqn: cos` LEFT ( ANGLE rm ABC` RIGHT ) = {17} over {32} `]인 삼각형 [eqn: rmABC``]가 있다. [eqn: ANGLE rmABC``]의 이등분선과 [eqn: ANGLE rmCAB``]의 이등분선 이 만나는 점을 [eqn: rmD`], 선분 [eqn: rmBD``]의 연장선과 삼각형 [eqn: rmABC``]의 외접원이 만나는 점을 [eqn: rmE``]라 하고, 두 직선 [eqn: rm AE``],[eqn: rm BC]의 교점을 [eqn: rm F]라 하자.
[eqn: ANGLE rm AFB= theta]일 때, [eqn: {bar{rm DE it}} `-sin ^{2} theta = {q} over {p}] 이다.[eqn: p-q]의 값은?
(단, [eqn: p`,q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 5.4`]점]

③

[eqn: angle rm ABC][eqn: =theta`]라 하자.

삼각형[eqn: rmABC`]에서 코사인법칙을 이용하면
[eqn: rm {bar{AC}} ^{2}][eqn: = rm {bar{AB}} ^{2} + rm {bar{BC}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{AB}} TIMES rm {bar{BC}} TIMES cos `theta]
이므로 [eqn: rm {bar{AC}} ^{2}][eqn: =4 ^{2} +3 ^{2} -2 TIMES 4 TIMES 4 TIMES {17} over {32}][eqn: = {7} over {2}]

호 [eqn: rm EA`]에 대한 원주각의 크기는 서로 같으므로 [eqn: rm ANGLE ACE][eqn: = rm ANGLE ABE]
호 [eqn: rm CE`]에 대한 원주각의 크기는 서로 같으므로 [eqn: rmangleEAC][eqn: =rmangleEBC]
한편, [eqn: rm ANGLE ABE][eqn: = rm ANGLE EBC`]이므로 [eqn: rm ANGLE ACE][eqn: = rm ANGLE EAC]
그러므로 삼각형 [eqn: rm EAC`]는 [eqn: rm {bar{EA}}][eqn: = rm {bar{EC}} `]인 이등변삼각형이다.

삼각형 [eqn: rm ABD`]에서 [eqn: rm ANGLE ADE][eqn: = rm ANGLE DAB+ ANGLE ABD]
한편, [eqn: anglerm DAB][eqn: rm =angleCAD], [eqn: rm ANGLE ABD][eqn: = rm ANGLE EBC`]

그러므로 [eqn: rm ANGLE ADE][eqn: = rm ANGLE CAD+ ANGLE EBC]
[eqn: = rm ANGLE CAD+ ANGLE EAC]
[eqn: = rm ANGLE EAD]

즉, 삼각형 [eqn: rmEAD`]는 [eqn: rmbar{EA}][eqn: = rm {bar{DE}} `]인 이등변삼각형이다.

삼각형 [eqn: rmEAC`]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: rm {bar{AC}} ^{2}][eqn: = rm {bar{EA}} ^{2} + rm {bar{EC}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{EA}} TIMES rm {bar{EC}} TIMES `cos `LEFT ( rm pi - thetaRIGHT ) `]이고 [eqn: rm {bar{EA}}][eqn: = rm {bar{EC}} `]이므로

[eqn: {49} over {4}][eqn: =2 TIMES rm {bar{EA}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{EA}} ^{2} TIMES LEFT ( - {17} over {32} RIGHT )], [eqn: rm {bar{EA}}][eqn: =2] 따라서 [eqn: rm {bar{DE}} `=2]

사각형 [eqn: rmABCE]가 원에 내접하므로 [eqn: rm ANGLE ABC][eqn: = rm ANGLE CEF`]

그러므로 삼각형[eqn: rm FCE]와 삼각형[eqn: rm FAB]는 [eqn: 1:2] 닮음이다.

(왜냐하면 [eqn: rm `` {bar{AB`}=`4], [eqn: rm `` {bar{CE`}} =`2])

따라서 [eqn: rm `` {bar{EF}} =it``a,`` rm `` {bar{CF}} =it`b``]라 하면 두 삼각형의 비례관계에 의해

[eqn: 2a`=`3+b,```2b`=`2+a]

즉 [eqn: a`=` {8} over {3} ,```b= {7} over {3}]

삼각형[eqn: rm FCE]에서 코사인법칙에 의해서

[eqn: cos`theta`= {LEFT ( {8} over {3} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {7} over {3} RIGHT ) ^{2} -2 ^{2}} over {2`times {8} over {3} times {7} over {3}} `=` {11} over {16}]

따라서 [eqn: sin ^{2} theta =1- {121} over {256} = {135} over {256}]

[eqn: {bar{rm DE it}} `-sin ^{2} theta =2- {135} over {256} = {377} over {256}]

[eqn: THEREFORE p-q=377-256=121]

① [eqn: 101]	② [eqn: 111]	③ [eqn: 121]
④ [eqn: 131]	⑤ [eqn: 141]

그림과 같이 한 평면 위에 길이가 [eqn: 2 sqrt {3}]인 선분 [eqn: rmAB]를 공통현으로 갖는 두 원 [eqn: O,`O` prime]이 있다. 두 원 [eqn: O,`O`']의 중심을 각각 [eqn: rmO,`O']이라 하고 [eqn: rm ANGLE AOB=alpha,`rm ANGLE AO'B=beta]라 할 때, [eqn: sin {alpha} over {2} = sqrt {3} `sin {beta} over {2}]이고 사각형 [eqn: rmAOBO']의 둘레의 길이가 [eqn: 4+4 sqrt {3}]이다. 두 원 [eqn: O,`O`']의 공통부분의 넓이가 [eqn: a`pi-b sqrt {3}]일 때, [eqn: {3} over {8} ab]의 값은? (단, [eqn: a,`b]는 유리수이고, 원 [eqn: O]의 중심 [eqn: rmO]는 원 [eqn: O`']의 외부에 있다.) [[eqn: 4.8]점]

①

[eqn: sin {alpha} over {2} = sqrt {3} `sin {beta} over {2}] 이므로 [eqn: {alpha} over {2} =60 DEG] [eqn: {beta} over {2} =30 DEG]원 [eqn: O]의 반지름의 길이를 [eqn: R]이라 할 때 [eqn: {{bar{AB}}} over {sin120 DEG } =2R] 이므로 [eqn: R=2] [eqn: O`']의 반지름의 길이를 [eqn: R`']이라 할 때 [eqn: {{bar{AB}}} over {sin60 DEG } =2R`'] [eqn: R`'=2 sqrt {3}]이다. 공통부분의 넓이는 두 활꼴의 넓이의 합과 같으므로

[eqn: S _{1} =]부채꼴 [eqn: OAB]의 넓이 - 삼각형[eqn: OAB]의 넓이

[eqn: S _{2} =]부채꼴 [eqn: O`'AB]의 넓이 - 삼각형[eqn: O`'AB]의 넓이

두 넓이의 합을 구하면 된다.

[eqn: S _{1} = {1} over {2} TIMES 2 ^{2} TIMES {2} over {3} pi- {1} over {2} TIMES 2 ^{2} TIMES sin120 DEG]

[eqn: S _{2} = {1} over {2} TIMES (2 sqrt {3} ) ^{2} TIMES {1} over {3} pi - {1} over {2} TIMES (2 sqrt {3} ) ^{2} TIMES sin60 DEG]

[eqn: S _{1} +S _{2} =][eqn: {10} over {3} pi+4 sqrt {3}] [eqn: {3} over {8} ab=][eqn: 5]이다.

【검수자 다른풀이】

원[eqn: O]의 반지름:[eqn: a]

원[eqn: O ^{prime }]의 반지름:[eqn: b] 하자.

①[eqn: 2a+2b=4+4 sqrt {3}]

[eqn: THEREFORE a+b=2+2 sqrt {3}]

②[eqn: sin {alpha } over {2} = {sqrt {3}} over {a} ```,````cos {beta } over {2} = {sqrt {3}} over {b}]

[eqn: THEREFORE {sqrt {3}} over {a} = {3} over {b} ````` RARROW ``` THEREFORE ``b= sqrt {3} a]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 8]인 원[eqn: O _{1}]이 있다.원[eqn: O _{1}]위에 서로 다른 두 점[eqn: rm A,`B]를 [eqn: {bar{rm AB it}} =8 sqrt {2}]가 되도록 잡고, 원[eqn: O _{1}]의 내부에 점[eqn: rm C]를 삼각형 [eqn: rmABC]가 정삼각형이 되도록 잡는다. 정삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원을 [eqn: O _{2}]라 할 때, 원[eqn: O _{1}]과 [eqn: O _{2}]의 공통부분의 넓이는 [eqn: it p+q sqrt {3} +r pi]이다. [eqn: p-q+r]의 값은? [[eqn: 5.1`]점]

⑤

반지름의 길이가 [eqn: 8]인 원[eqn: O _{1}]에서 [eqn: S _{1}]구하기

반지름의 길이가 [eqn: 8]이고 현의 길이가 [eqn: 8 sqrt {2}]이므로 중심각은 [eqn: 90`` DEG]

[eqn: S _{1}]은 (사분원의 넓이) -(직각 이등변삼각형의 넓이)
[eqn: S _{1} =16 pi -32]
이 있다.

원[eqn: O _{2}]에 내접하는 삼각형이 한변의 길이가 [eqn: 8 sqrt {2}]인 정삼각형이므로 사인법칙에 의해 원[eqn: O _{2}]의 반지름 [eqn: r _{2} =O _{2} A= {8 sqrt {6}} over {3}]이고 중심각 [eqn: ANGLE AO _{2} B`=120 DEG `]이다.

부채꼴[eqn: AO _{2} B`]의 넓이
[eqn: S= {1} over {2} TIMES LEFT ( {8 sqrt {6}} over {3} RIGHT ) ^{2} TIMES {2 pi } over {3} = {128 pi } over {9}]
[eqn: TRIANGLE rm AO _{2} B= {1} over {2} TIMES LEFT ( {8 sqrt {6}} over {3} RIGHT ) ^{2} TIMES `sin {2 pi } over {3} = {32 sqrt {3}} over {3}]이므로
[eqn: S _{2} ="부채꼴"O _{2} AB-S _{1} - TRIANGLE O _{2} AB]
[eqn: S _{2} = {128 pi } over {9} -16 pi +32- {32 sqrt {3}} over {3}]
[eqn: S _{2} = {128 pi } over {9} -16 pi +32- {32 sqrt {3}} over {3} =- {16} over {9} pi + {96-32 sqrt {3}} over {3}]
원[eqn: O _{1}]과 [eqn: O _{2}]의 공통부분의 넓이는 [eqn: O _{2} -S _{2}]
[eqn: O _{2} -S _{2} = {128} over {3} pi - LEFT ( - {16} over {9} pi + {96-32 sqrt {3}} over {3} RIGHT )]
[eqn: =`-32+ {32 sqrt {3}} over {3} + {400} over {9} pi]
[eqn: it p=-32,``q= {32} over {3} ,```r= {400} over {9}]이다.
[eqn: THEREFORE `p-q+r=-32- {32} over {3} + {400} over {9} = {16} over {9}]

① [eqn: {4} over {3}]	② [eqn: {13} over {9}]	③ [eqn: {14} over {9}]
④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {16} over {9}]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4 sqrt {3}]이고 [eqn: ANGLEB=120 DEG]인 마름모 [eqn: ABCD]의 내부에 [eqn: {bar{EF}} `= {bar{EG}} `=4]이고 [eqn: ANGLEEFG=30 DEG]인 이등변삼각형 [eqn: EFG]가 있다. 점 [eqn: F]는 선분 [eqn: AB] 위에, 점 [eqn: G]는 선분 [eqn: BC] 위에 있도록 삼각형 [eqn: EFG]를 움직일 때, [eqn: ANGLEBGF= theta]라 하자. 항상 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: rmangle BGF = theta]이므로
[eqn: ANGLE rm BFG=][eqn: 180DEG - LEFT ( 120DEG +theta RIGHT ) = 60 DEG- theta]
[eqn: THEREFORE~ ANGLE rm BFE``` rm = ANGLEBFG+ ANGLEEFG]
[eqn: `=(60 DEG- theta)+30 DEG]

[eqn: `=90 DEG- theta]

[eqn: cos LEFT ( ANGLEBFE RIGHT ) =sin theta]------------[참]

ㄴ. [eqn: rmbarEF = barEG][eqn: =4]인 이등변삼각형
[eqn: rmEFG]에서 점 [eqn: rmE]에서 [eqn: rmbarFG]에 내린
수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면
[eqn: rm {bar{FG}} =2 TIMES rm {bar{FH}} =2 LEFT ( {bar{EF}} cos30 DEG RIGHT )]
[eqn: =2 TIMES 4 TIMES {sqrt {3}} over {2}]
[eqn: =4 sqrt {3}]

삼각형 [eqn: rm BGF]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {4 sqrt {3}} over {sin120 DEG} = {rm {bar{BF}} it} over {sin` theta}]
이므로 [eqn: { 4 sqrt { 3} } over { sin`120DEG} = { rmbarBF} over { sin`theta}]
[eqn: therefore~rmbarBF = 8 sin`theta] [거짓]

ㄷ. ㄱ, ㄴ의 결과를 이용하기 위해 삼각형 [eqn: rmEFB]에 코사인법칙을 적용한다.

[eqn: rmbarBE ^2][eqn: =rmbarBF ^2 + rmbarEF ^2 - 2times rmbarBF times rmbarEF times cos` LEFT ( 90DEG - theta RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 8sin` theta RIGHT ) ^{2} +4 ^{2} -2 TIMES 8sin` theta TIMES 4 TIMES sin` theta]
[eqn: =64sin` ^{2} theta +4 ^{2} -2 TIMES 8sin` theta TIMES 4 TIMES sin` theta]
[eqn: 64sin` ^{2} theta +16-64sin ^{2} ` theta]
[eqn: =16]

즉, [eqn: rmbarBE= 4~ LEFT ( because~rmbarBE >0 RIGHT )]으로 항상 일정하다. [참]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

(단, [eqn: 0 DEG< theta<60 DEG]) [[eqn: 4.6]점]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[보 기]

ㄱ. [eqn: cos LEFT ( ANGLEBFE RIGHT ) =sin theta]

ㄴ. [eqn: {bar{BF}} `=4sin theta]

ㄷ. 선분 [eqn: BE]의 길이는 항상 일정하며 그 값은 [eqn: 4]이다.

그림과 같이 [eqn: rmbarAB = 2root3 ,~ barBC =9 ,~barCA = root39]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmBC] 위에 점 [eqn: rmB]가 아닌 점 [eqn: rmD]를 [eqn: rmbarAD = 2root3]가 되도록 잡고, 선분 [eqn: rmAC] 위에 양 끝점 [eqn: rmA,~C]가 아닌 점 [eqn: rmE]를 사각형 [eqn: rmABDE]가 원에 내접하도록 잡는다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [5.4점]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

③

ㄱ. [eqn: rm triangleABC]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: cos B = {12+81-39} over{2 times2root3 times9} = 54 over{36root3} =root3 over2]

[eqn: rmB = pi over6]

[eqn: rmbarAB = barAD = 2root3`]이므로

[eqn: rm barBD =2 times2root3 timescos pi over6 =6]

[eqn: therefore] [eqn: rm barBD `:` barCD `= ``2 ``: ``1`] (참)

ㄴ. ㄱ에 의해 [eqn: rm barBD = 6 ,~barCD =3]

[eqn: rm□ABDE]가 원에 내접하고 [eqn: rmangleB = pi over6]이므로 [eqn: rm angleDEC = pi over6]

[eqn: rm triangleEDC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R`]이라 하면

[eqn: 2R = 3 over{sin{pi over6}} = 6]	[eqn: therefore] [eqn: R=3] (참)

ㄷ. [eqn: rm triangleACD]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: cos C = {39+9-12} over{2 timesroot39 times3} = 36 over{6root39} = 6 over{root39} = {2root39} over13]

[eqn: sinC = root3 overroot39 = 1over{root13}]

[eqn: rm triangleECD]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {rm barED}oversinC = 3 over {sin{pi over 6 }}=6]

[eqn: rm barED = {6} overroot13 ={6root13} over13]

[eqn: rm barEC = barED cos pi over6 + barCD cos itC][eqn: = {6root13} over13 times 1 over2 + 3 times { 2root39} over13][eqn: = {9root13} over13]

[eqn: therefore] [eqn: rm barAE = {4root39} over13] (거짓)

[보 기]

ㄱ. [eqn: rm barBD `:` barCD `= ``2 ``: ``1`]

ㄴ. 삼각형 [eqn: rmEDC]의 외접원의 반지름의 길이는 [eqn: 3`]이다.

ㄷ. [eqn: rm barAE = 6 over13 root39]

그림과 같이 [eqn: ANGLE rm A=60 ^{CIRC }]인 삼각형 [eqn: rm ABC]의 세 변의 길이를 [eqn: a,~b,~c]라 할 때, 점 [eqn: rm P]가 [eqn: rm { bar{A C} }] 위를 움직인다고 한다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 5.2]점]

⑤

ㄱ. 사인법칙에 따라

[eqn: {3} over {sin60 ^{DEG }} = {itb} over {rmsinB}]에서 [eqn: b=2 sqrt {3}rm sinB] (참)

ㄴ. [eqn: c=5]일 때 [eqn: rm {bar{AP}} = it x,~ {bar{rm BP}} = it y]라 하면

코사인법칙에 의해

삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: a ^{2} = it b ^{2} +25-5b]	[eqn: cdots①]

삼각형 [eqn: rm APB]에서 [eqn: y ^{2} = it x ^{2} +25-5x] [eqn: cdots ②]

①，②에 의하여

[eqn: rm {bar{AP}} ^{2} + {bar{BP}} ^{2} =itx ^{2} +y ^{2}]

[eqn: =2 it x ^{2} -5x+25]이므로

[eqn: x= {5} over {4}]일 때 최솟값 [eqn: {175} over {8}]을 갖는다. (참)

ㄷ. 코사인법칙에 의해

[eqn: a ^{2} = it b ^{2} +c ^{2} -2 bc TIMES rmcos60 ^{DEG }][eqn: = it b ^{2} +c ^{2} -bc]	[eqn: cdots①]

[eqn: {c} over {a+b} + {b} over {a+c} =1]의 양변에 [eqn: (a+b)(a+c)]을 곱해서 정리하면

[eqn: it a ^{2} = it b ^{2} +c ^{2} -bc]	[eqn: cdots ②]

①，②에 의하여 (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: a=3]일 때, [eqn: b=2 sqrt {3} rmsin rm B]
ㄴ. [eqn: c=5]일 때, [eqn: rm {bar{AP}} ^{2} + {bar{BP}} ^{2}]의 최솟값은 [eqn: {175} over {8}]이다.
ㄷ. [eqn: {c} over {a+b} + {b} over {a+c} =1]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2 sqrt3]인 원에 내접하고 [eqn: rm angle A = pi over3]인 삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 점 [eqn: rm D]가 점 [eqn: rm A]를 포함하지 않는 호 [eqn: rm BC] 위를 움직일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

④

삼각형 [eqn: rm ABC]에서 사인법칙에 의해서

[eqn: 2R = bar {rm BC} over {sin rm A}], [eqn: rm bar BC = 6]

ㄱ. 사각형 [eqn: rm ABDC]가 원에 내접하므로 [eqn: rm angle BDC = 2over3 pi]이다.

[eqn: sin left( rm angle BDC right) = sqrt3 over2]이다. (거짓)

ㄴ. 삼각형 [eqn: rm BCD]에서 사인법칙에 의해서

[eqn: 2R = {bar{rm BD} over{ sin rm ( angle BCD )], [eqn: rm bar BD = 4]

이고, 또한 코사인법칙에 의해서 [eqn: rm bar CD = it x]라 하면

[eqn: rm {bar BC}^2 = {bar BD}^2 + {bar CD}^2 - 2 times bar BD times bar CD times cos 2over3 pi]

[eqn: 36 = 16 + x^2 + 4x]

[eqn: x^2 +4 x - 20=0], [eqn: x = -2 +2 sqrt6]

따라서 [eqn: rm bar CD = 2sqrt6 - 2]이다. (참)

ㄷ. 삼각형 [eqn: rm BCD]의 넓이가 최대가 되려면 점 [eqn: rm D]는 호 [eqn: arch {rm BC}]의 중점 일때 이다. [eqn: rm bar BC = 6], [eqn: rm angle BCD = pi over 6]이므로 [eqn: rm bar CD = 2sqrt3]이다. 따라서 삼각형 [eqn: rm BCD]의 넓이는 [eqn: 1 over2 times 6 times 2sqrt3 times 1over2 = 3sqrt3] 이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[[eqn: 5.1]점]

[보 기]

ㄱ. [eqn: sin ( angle rm BDC ) = - sqrt3 over2]

ㄴ. [eqn: sin (rm angle BCD) = 1 over sqrt3]일 때, [eqn: rm bar CD]의 길이는 [eqn: 2 sqrt6 - 2]이다.

ㄷ. 삼각형 [eqn: rm BCD]의 넓이의 최댓값은 [eqn: 3 sqrt3]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

23년 기출	수1 내신대비	수열

경기남부지역	- -	분당기출모임

3.

수열

등차수열(step1)

8.

등차수열의 일방항

첫째항이 [eqn: 8], 공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 제 [eqn: 9]항의 값은? [4.0점]

① [eqn: 26]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 32]
④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 38]

③

[eqn: a _{9} =8+3 TIMES 8=32]

첫째항이 [eqn: 3,``] 공차가 [eqn: 5``]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]에 대하여 [eqn: a _{6}``]의 값은?

②

[eqn: a_6`=`3+ (6-1)times5`=`28``]

[4.3점]

① [eqn: 23``]	② [eqn: 28``]	③ [eqn: 33``]

④ [eqn: 38``]	⑤ [eqn: 43``]

첫째항이 [eqn: 2]이고 공차가 [eqn: 3]인 등차수열의 제 [eqn: 12]항의 값은?[[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 29]	② [eqn: 31]	③ [eqn: 33]
④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 37]

④

[eqn: a _{1} =2], [eqn: d=3] 등차수열 [eqn: a _{12} =2+33=35]

공차가 [eqn: 4], 제[eqn: 9]항이 [eqn: -35]인 등차수열에서 처음으로 양수가 되는 항은 제 몇 항인가? [4.1점]

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]
④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

⑤

[eqn: a _{9} =a _{1} +4 TIMES 8=-35,``````a _{1} =-67]

[eqn: a _{n} =-67+4 LEFT ( n-1 RIGHT ) =4n-71>0,````````n> {71} over {4}] [eqn: 18]항부터.

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{2} =6,``a _{5} =18]일 때, [eqn: a _{8}]의 값은?

⑤

[eqn: a_2 = a+d =6]

[eqn: a_5 = a+4d =18]

[eqn: therefore```a=2`,```d=4`]

[eqn: a_8 = 30]

[4.6점]

① [eqn: 22]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 30]

공차가 [eqn: 4]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a_{1}=2]일 때, [eqn: a_{8}]의 값은? [4.3점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 28]
④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 32]

④

[eqn: d=4]

[eqn: a_1 =2]

[eqn: a_8 =a_1 +4d=30]

등차수열 [eqn: left {a_n right }]에 대하여
[eqn: a_3 =10], [eqn: a_5 =16]
일 때, [eqn: a_4]의 값은? [[eqn: 3.9]점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 13]
④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 11]

③

등차수열에서 [eqn: a_4 = {a_3 +a_5} over 2 = 10+16 over 2 =13]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]에 대하여 [eqn: a _{3} =6,`a _{7} =18``]일 때, [eqn: a _{8}``]값은? [3.6점]

③

[eqn: a_7`=`a_3 +4`d``]이므로 [eqn: d=3``]이다.

따라서 [eqn: a_8`=`a_7 +d`=`21``]이다.

① [eqn: 19``]	② [eqn: 20``]	③ [eqn: 21``]

④ [eqn: 22``]	⑤ [eqn: 23``]

등차수열 [eqn: left {a_n right }]에 대하여 [eqn: a_5 =8], [eqn: a_11 =26]일 때, 수열 [eqn: left { a_n right }]의 공차는? [[eqn: 3.5]점]

① [eqn: -2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

④

공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_11 - a_5 = 6d=18], [eqn: d=3]

공차가 [eqn: 3], 제 [eqn: 4]항이 [eqn: 11]인 등차수열 [eqn: left{ a_n right}]에서 [eqn: a_11]의 값은?

③

[eqn: 11 = a_1 + 3times 3], [eqn: THEREFORE a_1 = 2]

[eqn: a_11 = a_1 + 3 times 10 = 32]

[[eqn: 3.5]점]

① [eqn: 30]	② [eqn: 31]	③ [eqn: 32]
④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 34]

수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여 [eqn: a_3 = 23]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+1 + 2 = a_n]일 때, [eqn: a_2]의 값은?

②

[eqn: a_n+1 - a_n = -2]에서 공차가 [eqn: -2]인 등차수열 이다.

따라서 [eqn: a_3 = a_2 -2 = 23], [eqn: THEREFORE a_2 = 25]

[[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 26]
④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 28]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{2} =-2,`a _{5} =10]일 때, [eqn: a _{8}]의 값은? [[eqn: 4.1]점]

①

[eqn: a _{5}]가 [eqn: a _{2}]와 [eqn: a _{8}]의 중항이므로 [eqn: a _{8} =22]

① [eqn: 22]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 24]	④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 26]

공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} =4]일 때, [eqn: a _{6}]의 값은? [[eqn: 3.6]점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 19]
④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 23]

③

[eqn: a _{n} =4+ LEFT ( n-1 RIGHT ) TIMES 3=3n+1]

[eqn: a _{6} =19]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }] 의 일반항이 [eqn: a _{n} =3n+7] 일 때 공차 [eqn: d]의 값은? [3.6점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

③

공차 [eqn: d=a _{n+1} -a _{n} = LEFT { 3(n+1)+7 RIGHT } -(3n+7)=3]

항 사이의 관계가 주어진 등차수열

등차수열 [eqn: left{a _{n} {right}]에 대하여 [eqn: a _{1} =4], [eqn: a _{4} -a _{2} =6] 일 때, [eqn: a _{7}]의 값은? [4.2점]

①

[eqn: a_1 + 3d - (a_1 + d) =6]

[eqn: therefore```d=3]

[eqn: a _7 =22}]

① [eqn: 22]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 30]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{2} +a _{4} =12], [eqn: a _{7} +a _{11} =36]일 때, [eqn: a _{10}]의 값은? [[eqn: 3.9]점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]
④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

③

등차수열이므로 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{2} +a _{4} =2a _{1} +4d=12], [eqn: a _{7} +a _{11} =2a _{1} +16d=36]이므로 연립하면

[eqn: 12d=24] [eqn: d=2], [eqn: a _{1} =2]

따라서 [eqn: a _{10} =2+ LEFT ( 10-1 RIGHT ) ·2=20]

등차수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 = a_3 +6], [eqn: 2a_4 -3 a_6 = -8]일 때, [eqn: a_k `<`0]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 최솟값은?[4.0점]

④

[풀이]

[eqn: d]를 등차수열의 공차라고 하자.

[eqn: a _{3} =a _{1} +2d]

[eqn: a _{4} =a _{1} +3d]

[eqn: a _{6} =a _{1} +5d]

[eqn: a_1 = a_3 +6][eqn: =a _{1} +2d+6], [eqn: d=-3]

[eqn: 2a _{4} -3a _{6} =2a _{1} +6d-3a _{1} -15d=-a _{1} -9d=-8],[eqn: a _{1} =35]

[eqn: a _{n} =35+ LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( -3 RIGHT )]

[eqn: a _{k} <0]이 되는 자연수 [eqn: k]의 최솟값은

[eqn: -3k+38<0]

[eqn: k> {38} over {3}]

[eqn: k=13]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} +a _{2} =8], [eqn: a _{3} +a _{4} +a _{5} =42]일 때, [eqn: a _{m} =70]이다. 자연수 [eqn: m]의 값은? [3.5점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]
④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

③

[eqn: 2a+d=8,````3a+9d=42``]이므로 [eqn: a=2,````d=4]

[eqn: a _{m} =2+4 LEFT ( m-1 RIGHT ) =70,````m=18]

등차수열을 이루는 수

네 수 [eqn: 2], [eqn: a], [eqn: 8], [eqn: b]가 이 순서대로 등차수열을 이루도록 하는 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?[3.7점]

③

[풀이]

등차중항의 성질을 이용

[eqn: 2 TIMES 8=a+b]

[eqn: a+b=16]

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

네 수 [eqn: 3],[eqn: a],[eqn: b],[eqn: 18`]이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: a+b]의 값은? [[eqn: 4.0`]점]

②

공차를 [eqn: d]라 하면
[eqn: 3+3d=18] , [eqn: d=5]
[eqn: a=3+d=3+5=8]
[eqn: b=a+d=8+5=13]
[eqn: THEREFORE ``a+b=21]

[다른풀이]

등차중항에 의하여 [eqn: 2a=3+b], [eqn: 2b=a+18] 연립
[eqn: 4b-36=3+b]
[eqn: b=13], [eqn: `a=8]

[다른 풀이] 등차수열의 대칭성에 의해 [eqn: 8+13=a+b]

① [eqn: 18]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 24]
④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 28]

등차수열의 합

제[eqn: 3]항이 [eqn: -12], 제[eqn: 7]항이 [eqn: 0]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]에 대하여 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{ n}]이라 할 때, [eqn: S_{ 15}]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 33]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 39]
④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 45]

⑤

[eqn: a _{3} =a+2d=-12]

[eqn: a _{7} =a+6d=0]

연립하여 정리하면

[eqn: a=-18], [eqn: d=3]

[eqn: S _{15} = {15 LEFT { 2 TIMES LEFT ( -18 RIGHT ) + LEFT ( 15-1 RIGHT ) TIMES 3 RIGHT }} over {2} =45]

첫째항이 [eqn: 28], 공차가 [eqn: -3]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까의 합을 [eqn: S _{n}]이라고 할 때, [eqn: S _{n}]의 최댓값은? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 137]	② [eqn: 139]	③ [eqn: 141]
④ [eqn: 143]	⑤ [eqn: 145]

⑤

[eqn: a _{1} =28], [eqn: d=it-3]이므로 양수인 항은

[eqn: a _{n} =28+ LEFT ( n-1 RIGHT ) · LEFT ( -3 RIGHT ) =31-3n>0] [eqn: n< {31} over {3}]으로 [eqn: 10]항

따라서 [eqn: S _{n}]의 최댓값은 [eqn: S _{10} = {10 LEFT ( 2·28+9· LEFT ( -3 RIGHT ) RIGHT )} over {2} =5 LEFT ( 56-27 RIGHT ) =5·29=145]

두 자리 자연수 중에서 모든 [eqn: 4`]의 배수의 합은?［3.8점]

②

[eqn: 4(3+4+cdots+24)`=1188]

① [eqn: 1134`]	② [eqn: 1188`]	③ [eqn: 1242`]

④ [eqn: 1296`]	⑤ [eqn: 1350`]

두 자리 자연수 중에서 [eqn: 3] 또는 [eqn: 5]로 나누어 떨어지는 수의 총합은? [[eqn: 4.8]점]

③

두 자리 자연수에 대해

[eqn: 3]의 배수는 [eqn: 12,~15,~ CDOTS `,~99]이고 개수는 [eqn: 33-3=30]개이므로

[eqn: {30 LEFT ( 12+99 RIGHT )} over {2} =15·111=1665]

[eqn: 5]의 배수는 [eqn: 10,~15,~ CDOTS `,~95]이고 개수는 [eqn: 20-2=18]개이므로

[eqn: {18 LEFT ( 10+95 RIGHT )} over {2} =9·105=945]

[eqn: 15]의 배수는 [eqn: 15,~30,~45 `,~60,~75,~90]으로 [eqn: 6]개개이므로

[eqn: {6 LEFT ( 15+90 RIGHT )} over {2} =3·105=315]

따라서 두 자리 자연수 중에서 [eqn: 3] 또는 [eqn: 5]로 나누어 떨어지는 수의 총합은

[eqn: 1665+945-315=2295]

① [eqn: 2285]	② [eqn: 2290]	③ [eqn: 2295]
④ [eqn: 2300]	⑤ [eqn: 2305]

부분합과 등차수열

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: S _{2} -S _{1} =1], [eqn: S _{10} -S _{8} =7]일 때, [eqn: a _{k} =10]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 값은? [[eqn: 3.9]점]

②

[풀이]

[eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1}]에서

[eqn: S _{2} -S _{1} =1]이므로 [eqn: a _{2} =1]

[eqn: S _{10} -S _{8} =S _{10} -S _{9} +S _{9} -S _{8} =a _{10} +a _{9} =7]

[eqn: a _{2} =a+d=1]

[eqn: a+9d+a+8d=7]

두 식을 연립하면

[eqn: a= {2} over {3} ,`d= {1} over {3}]

[eqn: a _{n} = {1} over {3} n+ {1} over {3}]이므로

[eqn: k]를 대입해서 구해보면

[eqn: k=29]

① [eqn: 28]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 32]

첫째항부터 제[eqn: 6]항까지의 합이 [eqn: 36], 첫째항부터 제[eqn: 12]항까지의 합이 [eqn: 80]인 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: 18]항까지의 합은? [[eqn: 4.0]점]

① [eqn: 124]	② [eqn: 126]	③ [eqn: 128]
④ [eqn: 130]	⑤ [eqn: 132]

⑤

[eqn: S _{6} = {6 LEFT ( 2a+5d RIGHT )} over {2} =6a+15d=36]

[eqn: S _{12} = {12 LEFT ( 2a+11d RIGHT )} over {2} =12a+66d=80] [eqn: 6a+33d=40]

연립하면 [eqn: 18d=4] [eqn: d= {2} over {9}], [eqn: a= {49} over {9}]

따라서 [eqn: S _{18} = {18 LEFT ( 2a+17d RIGHT )} over {2} =9· LEFT ( 2· {49} over {9} +17· {2} over {9} RIGHT ) =98+34=132]

등차수열과 일반항

수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]이 [eqn: S_n = n^2 +4n +3]일 때, [eqn: a_9 - a_1]의 값은?

①

[eqn: a_1 = S_1 = 8]

[eqn: a_9 = S_9 - S_8 = 9^2 +4times9 + 3 - left( 8^2 + 4 times 8 + 3 right) = 21]

[eqn: THEREFOREa_9 - a_1 = 13]

[[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]
④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

등차수열(step2)

8.

등차수열의 일방항

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서

③

[eqn: a _{n}] 등차수열

[eqn: a _{6} `=17,`a _{16`} =11]

[eqn: a _{6} =`a+5d=17,`a _{16} =`a+15d=11]

[eqn: d=- {3} over {5}] [eqn: a _{1} =20]

[eqn: a _{n}]에서 자연수 항의 개수

[eqn: a _{n} =20- {3} over {5} (n-1)= {103-3n} over {5}]

[eqn: 103-3n]은 [eqn: 5]의 배수이면 값이 [eqn: 0]보다 클때 자연수항이 된다.

[eqn: n=1,`6,`11,`16,`21,`26,`31]

[eqn: a _{6} `=17,`~a _{16`} =11]

일 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 자연수인 항의 개수는? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: d` != `0])[[eqn: 4.8]점]

③

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]는 공차가 [eqn: d]인 등차수열

ㄱ. 수열 [eqn: LEFT { a _{2n-1} RIGHT }]은 공차가 [eqn: 2d]인 등차수열이다.

[eqn: a _{1} ,`a _{3} `,a _{5} ,` CDOTS]는 공차가 [eqn: 2d]인 등차수열 맞음 (참)

ㄴ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} +2 RIGHT }]는 공차가 [eqn: d+2]인 등차수열이다.

[eqn: a _{1} +2,`a _{2} +2,`a _{3} +2,` CDOTS]는 공차가 [eqn: d]인 등차수열이다 (거짓)

ㄷ. 수열 [eqn: LEFT { a _{2n-1} `-a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 0]이고, 공차가 [eqn: d]인

등차수열이다.

[eqn: a _{1} -a _{1} ,`a _{3} -a _{2} ,`a _{5} -a _{3} ,` CDOTS]

[eqn: 0,`d,`2d,` CDOTS]

첫재항은 [eqn: 0] 공차 [eqn: d]인 등차수열 (참)

[보기]

ㄱ. 수열 [eqn: LEFT { a _{2n-1} RIGHT }]은 공차가 [eqn: 2d]인 등차수열이다.

ㄴ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} +2 RIGHT }]는 공차가 [eqn: d+2]인 등차수열이다.

ㄷ. 수열 [eqn: LEFT { a _{2n-1} `-a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 0]이고, 공차가 [eqn: d]인 등차수열이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

첫째항이 [eqn: -5]이고 공차가 [eqn: {1} over {4}]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 부등식 [eqn: a _{n} ` ^{2} + LEFT | a _{n} RIGHT | -30 LEQ 0]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: n]의 개수를 구하는 과정을 논술하시오. [7점]

[eqn: 41]개

[eqn: LEFT | a _{n} RIGHT | ^{2} + LEFT | a _{n} RIGHT | -30 LEQ 0,```` LEFT ( LEFT | a _{n} RIGHT | -5 RIGHT ) LEFT ( LEFT | a _{n} RIGHT | +6 RIGHT ) LEQ 0], [eqn: 0 LEQ LEFT | a _{n} RIGHT | LEQ 5]

[eqn: -5 LEQ a _{n} LEQ 5], [eqn: -5 LEQ -5+ {1} over {4} LEFT ( n-1 RIGHT ) LEQ 5], [eqn: 1 LEQ n LEQ 41], [eqn: 41]개

첫째항이 [eqn: -35], 공차가 [eqn: 3]인 등차수열에서, 처음으로 양수가 되는 항은 몇 번째 항인가? [4점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]
④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

③

[eqn: a _{n} =-35+3(n-1)=3n-38],

[eqn: a _{n} >0,````3n-38>0]

[eqn: `n=13] 일 때, 처음으로 양수가 됨

공차가 [eqn: 2``]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]에 대하여 [eqn: LEFT | a _{2} -2 RIGHT | = LEFT | a _{5} -2 RIGHT |``]일 때, [eqn: a _{3}``]의 값은? [4.2점]

항 사이의 관계가 주어진 등차수열

④

[eqn: LEFT | a _{2} -2 RIGHT | = LEFT | a _{5} -2 RIGHT |``]에서

[eqn: a_2 -2 = a_5 -2``]이거나 [eqn: a_2 -2 = 2-a_5 ``]이다.

공차가 [eqn: 2``]인 등차수열이므로 [eqn: a_2 -2 = 2-a_5 ``]이다.

즉, [eqn: (a_3 -2 )-2`=`2- (a_3 +4)``]이므로 [eqn: a _{3}`=`1``]이다.

① [eqn: -2``]	② [eqn: -1``]	③ [eqn: 0``]
④ [eqn: 1``]	⑤ [eqn: 2``]

두 수 사이에 수를 넣어 만든 등차수열

두 수 [eqn: 1]과 [eqn: 125] 사이에 [eqn: n]개의 수를 넣어 만든 수열 [eqn: 1,````a _{1} ,````a _{2} ,````a _{3} ,```` CDOTS ,````a _{n} ,````125]가 등차수열을 이루고 [eqn: a _{1} ,``a _{2} ,``a _{3} ,`` CDOTS,``a _{n}]은 모든 자연수가 되도록 하는 모든 자연수
[eqn: n]의 값의 합은? [[eqn: 3.7]점]

① [eqn: 157]	② [eqn: 188]	③ [eqn: 193]
④ [eqn: 218]	⑤ [eqn: 223]

④

두 수 [eqn: 1]과 사이에 [eqn: n]개의 수를 넣어 만든 수열의 전체 항의 개

수는 [eqn: (n+2)]이므로 이 수열의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: 1+(n+1)d=125]에서 [eqn: d= {124} over {n+1}]

[eqn: a _{1} ,``a _{2} ,``a _{3} ,`` CDOTS,``a _{n}]이 자연수가 되려면 [eqn: d]가 자연수이어야 한다.

[eqn: 124=2 ^{2} TIMES 31]이므로 [eqn: n+1=2] 또는 [eqn: 4] 또는 [eqn: 31] 또는 [eqn: 62] 또는
[eqn: 124]일 때 [eqn: d]가 자연수가 된다.

따라서 [eqn: n=1] 또는 [eqn: 3] 또는 [eqn: 30] 또는 [eqn: 61] 또는 [eqn: 123]이고

모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은

[eqn: 1+3+30+61+123=218]

다음 수열 [eqn: -10,``a _{1} ,`a _{2} ,`a _{3} ,` CDOTS ,`a _{10} `,`111]이 이 순서대로 등차수열일 때, [eqn: a _{5}]의 값은? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 34]	② [eqn: 39]	③ [eqn: 45]
④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 56]

③

주어진 수열은 첫째항이 [eqn: -10]이고 제 [eqn: 12]항이 [eqn: 111]인 등차수열이므로

공차가 [eqn: 11]이다.

따라서 [eqn: a _{5} =-10+11 TIMES 5=45]

두 수 [eqn: 2]와 [eqn: 4] 사이에 [eqn: n]개의 수 [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}], [eqn: CDOTS], [eqn: a _{n}]을 넣어 만든 [eqn: (n+2)]개의 수 [eqn: 2], [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}], [eqn: CDOTS], [eqn: a _{n}], [eqn: 4] 가 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 집합 [eqn: A _{n} ={left{}2,```a _{1} ,```a _{2} ,```a _{3} ,``` CDOTS ,```a _{n} ,```4{right}}]에 대하여 [eqn: A _{2n+3} -A _{n+1}]의 모든 원소의 합을 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: f(9)]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수이다.) [4.7점]

①

[eqn: A_2n+3 `]에서 공차 [eqn: d_1 = 1overn+2]

[eqn: A _{n+1} `]에서 공차 [eqn: d _{2} = {2} over {n+2}]

[eqn: f(n) = {(2n+5)(2+4)}over2 - {(n+3)(2+4)}over2`=3n+6]

[eqn: f(9)=33]

① [eqn: 33]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 35]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 37]

등차중항

두 함수 [eqn: f(x)=-x ^{2} ,`g(x)=(x-3 sqrt {2} ) ^{2} +k`````(k>0)``]에 대하여 직선 [eqn: y=-k``]와 함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프가 만나는 두 점을 [eqn: A`,`B``]라 하고, 함수 [eqn: y=g(x)``]의 꼭짓점을 [eqn: C``] 라 하자. 세 점 [eqn: A`,``B`,``C``]의 [eqn: x``]좌표가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 상수 [eqn: k``]의 값은? (단, 점 [eqn: A``]는 제 [eqn: 3``]사분면 위에 존재한다.) [4.7점]

②

[eqn: A`(-rootk `,``-k)`,``B`(rootk`,`-k)`,``C`(3root2`,`k)``]이므로

세 점 [eqn: A`,``B`,``C``]의 [eqn: x``]좌표가 이 순서대로 등차수열을 이루려면

[eqn: -rootk +3root2 `=`2`rootk``]에서 [eqn: 3`root2 `=`3`rootk``]

따라서 [eqn: k=2``]이다.

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]
④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

두 수 [eqn: 1]과 [eqn: 9]사이에 세 수 [eqn: a,`b,`c]를 넣어 만든 수열 [eqn: 1,`a,`b,`c,`9]가 등차수열일 때, [eqn: a+b+c]의 값은? [4점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 19]
④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 23]

①

[eqn: 1,`a,`b,`c,`9]가 등차수열이면 [eqn: 9=1+4d(d는`공차),`d=2]

[eqn: a+b+c=3+5+7=15]

등차수열을 이루는 수

직각삼각형의 세 변의 길이가 등차수열을 이루고 빗변의 길이가 [eqn: 20]일 때, 이 직각삼각형의 넓이는? [4.7점]

① [eqn: 93]	② [eqn: 94]	③ [eqn: 95]
④ [eqn: 96]	⑤ [eqn: 97]

④

세변의 길이는 [eqn: 20,```20-d,```20-2d]이고 직각삼각형이므로

피타고라스 정리에 의해 [eqn: 20 ^{2} = LEFT ( 20-d RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 20-2d RIGHT ) ^{2}]

[eqn: 400=400-40d+d ^{2} +400-80d+4d ^{2}]

[eqn: 5d ^{2} -120d+400=0,````d ^{2} -24d+80=0,`` LEFT ( d-20 RIGHT ) LEFT ( d-4 RIGHT ) =0```]

[eqn: d=4]이고 세 변의 길이는 [eqn: 20,```16,```12] 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 16 TIMES 12=96]

두 곡선 [eqn: y=x^3 +a^2`x +2a`,```y=6x^2 +8]이 서로 다른 세 점에서 만나고 세 교점의 [eqn: x]좌표가 등차수열을 이룰 때, 공차 [eqn: d]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이고 [eqn: d]는 양수이다.) [4점]

⑤

[eqn: x^3 +a^2 x +2a = 6x^2 +8]

[eqn: x ^{3}-6x ^{2} +a ^{2} x+2a -8=0]에서 서로 다른 세 근을

[eqn: alpha-d`,``alpha`,```alpha+d```(d>0)`]라 하자.

따라서 [eqn: 3alpha=6`]에서 [eqn: alpha =2]

[eqn: (2^2 -d^2 )cdot2 = -2a +8]에서 [eqn: a=d^2]

[eqn: 2(2-d)+2(2+d)+4-d^2 =a^2]에서

[eqn: d^4 +d^2 -12=0]이고 [eqn: d^2 =3]

따라서 [eqn: d = root3]

① [eqn: root3 over5`]	② [eqn: {2root3} over5`]	③ [eqn: {3root3} over5`]

④ [eqn: {4root3} over5`]	⑤ [eqn: {root3}`]

등차수열을 활용

그림과 같이 두 도로가 [eqn: 60 DEG]의 각을 이루며 점 [eqn: O]에서 만나고 있다. 점 [eqn: O]에서 점 [eqn: P]방향으로 [eqn: 20m] 떨어진 곳에 처음 가로등 하나를 설치하고 계속해서 같은 방향으로 [eqn: 10m]마다 가로등을 설치한다. 또한 점 [eqn: O]에서 점 [eqn: Q] 방향으로 [eqn: 40m] 떨어진 곳에 처음 가로등 하나를 설치하고 계속해서 같은 방향을 [eqn: 30m]마다 가로등을 설치한다. 점 [eqn: P]와 점 [eqn: Q]에도 가로등이 설치되었고 점 [eqn: O]에서 점 [eqn: P]까지 설치된 가로등의 개수가 점 [eqn: O]에서 점 [eqn: Q]까지 설치 된 가로등의 개수의 [eqn: 4]배이다. 점 [eqn: P]와 점 [eqn: Q] 사이의 거리가 [eqn: 190m]일 때, 설치된 가로등의 총 개수는? [[eqn: 4.2]점]

②

풀이)

점 [eqn: O]에서 점 [eqn: P] 방향으로 설치된 [eqn: n]번째 가로등까지의 거리를
[eqn: a _{n}]이라 하면 수열 {[eqn: a _{n}]}은 첫째항이 [eqn: 20,], 공차가 [eqn: 10]인 등차수열이므로

[eqn: a _{n} =20+(n-1) TIMES 10=10n+10]

점 [eqn: O]에서 점 [eqn: Q] 방향으로 설치된 [eqn: n]번째 가로등까지의 거리를
[eqn: b _{n}]이라 하면 수열 {[eqn: b _{n}]}은 첫째항이 [eqn: 40], 공차가 [eqn: 30,]인 등차수열이므로

[eqn: b _{n} =40+(n-1) TIMES 30=30n+10]

점 [eqn: O]에서 점 [eqn: P]까지 설치된 가로등의 개수가 점 [eqn: O]에서 점 [eqn: Q]까지
설치된 가로등의 개수의 [eqn: 4]배이므로

점 [eqn: O]에서 점 [eqn: Q]까지 설치된 가로등의 개수를 [eqn: n]이라 하면
점 [eqn: O]에서 점[eqn: P]까지 설치된 가로등의 개수는 [eqn: 4n]이다.

따라서 [eqn: bar{OQ}][eqn: =30n+10], [eqn: bar{OP} ``][eqn: =40n+10]

[eqn: bar{PQ}][eqn: =190]이므로 코사인법칙에 의하여

[eqn: 190 ^{2} =(40n+10) ^{2} +(30n+10) ^{2} -2(40n+10)(30n+10)cos60 DEG]

[eqn: =100 LEFT { (4n+1) ^{2} +(3n+1) ^{2} -(4n+1)(3n+1) RIGHT }]

[eqn: =100(13n ^{2} +7n+1)]

[eqn: 13n ^{2} +7n+1=361]

[eqn: 13n ^{2} +7n-360=0]

[eqn: n]은 자연수이므로 [eqn: n=5]

따라서 점 [eqn: O]에서 점 [eqn: Q]까지 설치된 가로등은 [eqn: 5]개,
점 [eqn: O]에서 점 [eqn: P]까지 설치된 가로등은 [eqn: 20]개이고 총 개수는 [eqn: 25]개이다.

① [eqn: 20]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 30]
④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 40]

[eqn: rm ANGLE CAB=` theta _{1}], [eqn: rm ANGLE ABC=` theta _{2}], [eqn: rm ANGLE BCA=` theta _{3}] [eqn: ( theta _{3} `<` theta _{2} `<` theta _{1} )]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 다음 조건을 만족시킨다. 이때 선분 [eqn: rmBC]의 길이와 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 구하고, 그 과정을 논술하시오. [[eqn: 7.0]점]

[eqn: rm` {bar{BC}} `=5], 넓이 [eqn: 5 sqrt {3}]

[eqn: rm ANGLE CAB=` theta _{1}], [eqn: rm ANGLE ABC=` theta _{2}], [eqn: rm ANGLE BCA=` theta _{3}] [eqn: ( theta _{3} `<` theta _{2} `<` theta _{1} )]인

삼각형 [eqn: rmABC] [eqn: theta _{1} `,` theta _{2} `,` theta _{3}]은 순서대로 등차수열

[eqn: 2 theta _{2} `= theta _{1} `+ theta _{3}]

삼각형 내각의 총합 [eqn: 180 DEG] [eqn: theta _{2} = {pi } over {3}]

[eqn: rm {bar{BC}} `it`=x] 코사인법칙

[eqn: 21=16+x ^{2} -8x TIMES cos {pi } over {3}]

[eqn: x=5]

삼각형 [eqn: rmABC]의 면적 [eqn: {1} over {2} TIMES 4 TIMES 5 TIMES sin {pi } over {3} =5 sqrt {3}]

(가) [eqn: {bar{rmAB}} `=4,` {rm bar{AC}} `=` sqrt {21}]

(나) 세 내각 [eqn: theta _{1} `,` theta _{2} `,` theta _{3}]은 순서대로 등차수열을 이룬다.

등차수열의 합

[eqn: n]개의 항으로 이루어진 등차수열 [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: cdots], [eqn: a_n]이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: n=10]

[풀이]

조건 (가), (나)에서	[eqn: left(a_1 + a_2 + a_3 right) + left(a_{n-2} + a_{n-1} + a_n right) = -9 + 117 = 108]

수열 [eqn: left{a_n right}]은 등차수열이므로 [eqn: a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2}]이다. [eqn: therefore ~a_1 + a_n = 36]

조건 (다)에서 [eqn: {left(a_1 + a_n right)times n }over 2 = 180]. 따라서 [eqn: n=10]이다.

(가) 처음 [eqn: 3]개 항의 합은 [eqn: -9]이다.

(나) 마지막 [eqn: 3]개 항의 합은 [eqn: 117]이다.

(다) [eqn: a_1 + a_2 +a_3 + cdots + a_n = 180]

이때 [eqn: n]의 값을 구하고 그 과정을 작성하시오.[6.0점]

첫째항이 [eqn: 25], 공차가 [eqn: -4]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라고 하자. [eqn: S _{n}]의 최댓값은? [[eqn: 4.3]점]

④

[eqn: S _{n} =-2n ^{2} +27n]이므로 [eqn: n=7]일 때 최대이다 (n이 자연수이므로) 최대는 [eqn: 91]이 된다.

① [eqn: 79]	② [eqn: 83]	③ [eqn: 87]	④ [eqn: 91]	⑤ [eqn: 95]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} =an ^{2} +bn]이다. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 공차가 [eqn: d(d!=0)]인 등차수열이고 [eqn: S _{2} =14]일 때, [eqn: S _{20}]의 값과 항상 같은 것은?

⑤

풀이)

[eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1}]

[eqn: =an ^{2} +bn- LEFT { a(n-1) ^{2} +b(n-1) RIGHT }]

[eqn: =2an-a+b] [eqn: (단,````n GEQ 2)] …… ㉠

수열 [eqn: left{`a _{n} ` right]이 공차가 [eqn: d]인 등차수열이므로 첫째항을 [eqn: a _{1}]이라 할 때,

[eqn: a _{n} =a _{1} +(n-1) TIMES d=dn+a _{1} -d] …… ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: 2a=d], 즉 [eqn: a= {d} over {2}]이고 [eqn: b=a _{1} -d+a=a _{1} - {d} over {2}]

[eqn: S _{2} =4a+2b=2d+2a _{1} -d=2a _{1} +d=14]에서 [eqn: a _{1} =- {d} over {2} +7]

따라서 [eqn: b=a _{1} - {d} over {2} =-d+7]

[eqn: S _{n} = {d} over {2} n ^{2} +(7-d)n]

[eqn: S _{20} =200d+(7-d) TIMES 20=180d+140]

(단, [eqn: a,``b]는 상수이다.) [[eqn: 3.9]점]

① [eqn: 160d+60]	② [eqn: 160d+100]	③ [eqn: 180d+100]
④ [eqn: 180d+120]	⑤ [eqn: 180d+140]

공차 [eqn: d]가 자연수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =a _{2} +a _{6} +a _{10} + CDOTS +a _{4n-2}]이고
[eqn: g LEFT ( n RIGHT ) =a _{4} +a _{8} +a _{12} + CDOTS +a _{4n}]이다. 자연수 [eqn: p]에 대하여
[eqn: f LEFT ( p RIGHT ) =360,`````g LEFT ( p RIGHT ) =380]이 성립할 때, [eqn: p+d]의 값은?
(단, [eqn: p GEQ 2,```d GEQ 2.```p>d]이다.) [5.4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

③

[eqn: f LEFT ( p RIGHT ) = {p LEFT { a _{2} +4d LEFT ( p-1 RIGHT ) RIGHT }} over {2} =360], [eqn: g LEFT ( p RIGHT ) = {p LEFT { a _{4} +4d LEFT ( p-1 RIGHT ) RIGHT }} over {2} =380]

[eqn: g LEFT ( p RIGHT ) -f LEFT ( p RIGHT ) =2pd=40,````pd=20] [eqn: p>d]이므로 [eqn: p=5,```d=4]

[eqn: p+d=9]

두 수 사이에 수를 넣어 만든 등차수열의 합

[eqn: 2 `]와 [eqn: 16`] 사이에 [eqn: n`]개의 수를 넣어 공차가 [eqn: d `]인 등차수열

(1) [eqn: 10] (2) [eqn: m=27`,`````M=135]

(1) [eqn: d = 16-2 overn+1`= 14 overn+1]

[eqn: a_n`]이 자연수 이므로 [eqn: d`]는 자연수가 되어야 한다.

따라서 [eqn: n =1`,``6`,``13]이고 [eqn: d = 1`,``2`,``7]

[eqn: therefore```d`]의 총합은 [eqn: 10]

(2) [eqn: S_n ={ (n+2)(2 +16)} over 2 = 9(n+2)]

따라서 [eqn: S_n`]의 최댓값은 [eqn: 9(13+2) = 135],

[eqn: S_n`]의 최솟값은 [eqn: 9(1+2)=27]

[eqn: 2`,``a_1`,``a_2`,``a_3`,`cdots`,``a_n`,``16 `]을 만들었다. 모든 항의 합을 [eqn: S_n `]이라 할 때, 다음을 구하고 그 과정을 논술하시오. (단, [eqn: a_n`]은 자연수) [총 10점]

(1) 공차 [eqn: d`]의 값들의 합을 구하시오. [5점]

(2) [eqn: S_n`]의 최솟값과 최댓값을 구하시오. [5점]

[eqn: 3``]과 [eqn: 21``]사이에 [eqn: n``]개의 수 [eqn: a _{1} ,a _{2} ,a _{3} , CDOTS ,a _{n}``]을 넣어 등차수열을 만들 때, 이 수열의 합이 [eqn: 120``]이다. 이때, 이 수열의 공차 [eqn: d``]와 [eqn: n``]의 값을 구하고, 그 풀이 과정을 자세히 서술하시오.[4점]

[eqn: n=8`,`d=2``]

이 [eqn: n+2``]개의 수열의 합이

[eqn: {(n+2)`(3+21)} over {2} `=`12`(n+2)`=`120``]

이므로 [eqn: n=8``]이다.

[eqn: 21`=`3+9`d``]이므로 [eqn: d=2``]이다.

부분합과 등차수열

등차수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: S_5 = 20], [eqn: S_11 = 209]일 때, [eqn: a_5]의 값은?

④

[eqn: { (a+a+4d) times 5} over 2 = 20]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: {(a+a+10d) times 11} over 2 = 209]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: a = -6], [eqn: d = 5]이다.

따라서 [eqn: a_5 = -6 + 4 times 5 = 14]

[[eqn: 4.0]점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]
④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

첫째항부터 제[eqn: 3]항까지의 합이 [eqn: 51], 제[eqn: 4]항부터 제[eqn: 6]항까지의 합이 [eqn: 24]인 등차수열에서 처음으로 음수가 되는 항은 제 몇 항인가? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

①

[eqn: S _{3} = {3(2a _{1} +3d)} over {2} =51]에서

[eqn: a _{1} +d=17] [eqn: cdots①]

[eqn: S_6 = 24+ S_3 = 75] 이므로 [eqn: S_6 = { {6 left{ 2a_1 + 5 d right} } over 2 = 75]에서

[eqn: 2 a_1 + 5d = 25] [eqn: cdots ②]

①，②식을 빼서 정리하면

첫째항이 [eqn: 20]이고 공차가 [eqn: -3]인 등차수열이다.

처음으로 음수가 되는 항은

[eqn: a _{n} =-3n+23<0]을 만족하는 최소의 자연수 [eqn: n]이므로 [eqn: 8`]항이다.

첫째항이 [eqn: 34]인 등차수열 [eqn: left{a_n right]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: S _{6} =S _{12}]이다. 다음 물음에 답하시오,[총[eqn: 6.0`]점]

(1) [eqn: ``a _{n} =-4n+38] (2) [eqn: 162]

(1) [eqn: S _{6} = {6 LEFT ( a+a _{6} RIGHT )} over {2} =3 LEFT ( 34+34+5d RIGHT ) =204+15d]

[eqn: S _{12} = {12 LEFT ( a+a _{12} RIGHT )} over {2} =6 LEFT ( 34+34+11d RIGHT ) =408+66d]

[eqn: S _{6} =S _{12}]이므로
[eqn: 204+15d=408+66d]
공차 [eqn: d=-4]이므로

[eqn: ``a _{n} =-4n+38]
(2)

[eqn: ``a _{n} =-4n+38] 이므로 [eqn: S _{n} = LEFT ( -2 RIGHT ) n ^{2} +36n]에서
[eqn: n=9]일 때 최댓값 [eqn: S _{9} = LEFT ( -2 RIGHT ) TIMES 81+36 TIMES 9=162]

[eqn: (1)] 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하고 그 과정을 서술하시오. [[eqn: 3.0]점]

[eqn: (2)] [eqn: (1)]의 결과를 이용하여 [eqn: S_n]의 최댓값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [[eqn: 3.0]점]

등차수열의 합의 최대최소

등차수열 [eqn: left { a_n right }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, 수열 [eqn: left { a_n right }]이 다음 조건을 만족시킨다.

⑤

[eqn: S_n]은 [eqn: n=6], [eqn: n=7]에서 최솟값을 가지므로

[eqn: S_6 =S_7], [eqn: S_7 -S_6 = a_7 =0]

[eqn: S_n]은 [eqn: n=6], [eqn: n=7]에서 최솟값을 가지므로

[eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: a_4], [eqn: a_5], [eqn: a_6]은 음수이고 [eqn: a_8], [eqn: a_9] [eqn: cdots]는 양수이다.

[eqn: left | a_5 right | + left | a_7 right | = left | a_5 right | =6], [eqn: a_5 = it -6]

수열의 공차를 [eqn: d]라 하면 [eqn: a_7 -a_5 = 2d=6]

[eqn: THEREFORE ~d=3]

[eqn: S_15][eqn: = {15(a_1 +a_15 )} over 2][eqn: = 15times2a_8 over 2][eqn: =15a_8]
[eqn: = 15(a_7 +d)=45]

[eqn: S_15]의 값은? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 180]	② [eqn: 150]	③ [eqn: 140]
④ [eqn: 90]	⑤ [eqn: 45]

(가) [eqn: S_n]은 [eqn: n=6], [eqn: n=7]에서 최솟값을 갖는다.

(나) [eqn: left | a_5 right | + left | a_7 right | =6]

첫째항이 [eqn: -12] 이고 공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT | S _{n} +22 RIGHT | `-S _{n} `=22]를 만족시키는 자연수 [eqn: d]의 최솟값은? [[eqn: 5.2]점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④

첫째항이 [eqn: -12] 이고 공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]

[eqn: LEFT | S _{n} +22 RIGHT | `-S _{n} `=22]

[eqn: LEFT | S _{n} +22 RIGHT | =S _{n} +22]가 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립하기 위해서는 임의의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: S _{n} ` GEQ -22]를 만족해야한다.

[eqn: d`]가 [eqn: 4`]이하의 자연수이면 [eqn: S_n < it-22 `]인 자연수 [eqn: n`]이 존재하고

[eqn: d `]가 [eqn: 5`]이상의 자연수이면 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: S_n ge it -22 `]를 만족한다. 따라서 자연수 [eqn: d`]의 최솟값은 [eqn: 5`]이다.

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

나머지가 같은 자연수의 합

[eqn: 50]이하의 자연수 중에서 [eqn: 6]으로 나누었을 때 나머지가 [eqn: 1]인 수의 합을 구하시오. [[eqn: 4.4]점]

[eqn: 225]

[eqn: a _{n} =1+6 LEFT ( n-1 RIGHT ) =6n-5]

[eqn: a _{9} =49]

[eqn: S _{9} = {9 LEFT ( 1+49 RIGHT )} over {2} =225]

등차수열의 합의 활용

첫째항이 [eqn: 18]이고 공차가 정수인 등차수열 [eqn: left { a_n right }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하고, 수열 [eqn: left { left | a_n right | right }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: T_n]이라 하자. 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합은? [[eqn: 4.8]점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 18]
④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 9]

⑤

등차수열에서 [eqn: left | a_k right | = left | a_k+8 right |] 이므로

[eqn: a_k = it -a_k+8], [eqn: a_k +a_k+8 =0], [eqn: 2a_k+4 =0]

[eqn: a_k+4 =0], [eqn: a_1 =18] 이므로 [eqn: 18+(k+3)d=0]

[eqn: (k+3)d=it -18]	[eqn: cdots ①]

[eqn: S_n +T_n]의 최댓값은 [eqn: a _{n} GEQ 0``]인 항을 모두 더한 후 [eqn: 2]배한 것과 값이 같다. [eqn: a _{n} GEQ 0``]인 항은 첫째항부터 [eqn: a _{k+4} `]항까지이므로

[eqn: a _{1} +a _{2} +` CDOTS `+a _{k+3} +a _{k+4} LEQ 100]

[eqn: a_1 =18], [eqn: a _{k+4} =0`]을 이용하면

[eqn: {(k+4) TIMES LEFT ( 18+0 RIGHT )} over {2} LEQ 100]

[eqn: k+4 le 100 over 9]에서 [eqn: k LEQ {64} over {9} =7. TIMES TIMES]

[eqn: ①]에서 [eqn: k= it - {18} over {d} -3``]이므로 [eqn: d`]는 [eqn: 18`]의 음의 약수이다.

따라서 이를 만족하는 [eqn: k=3], [eqn: 6]

[eqn: therefore~ 9]

(가) [eqn: left | a_k right | = left | a_k+8 right |]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S_n +T_n le 200]이다.

등차수열의 합과 일반항

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하면 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S _{n+1} -S _{n} =-4n+30]을 만족시킬 때, [eqn: S _{n}]의 최댓값은? [4.9점]

① [eqn: 120]	② [eqn: 124]	③ [eqn: 128]

③

[eqn: S _{n+1} -S _{n} =a _{n+1} =-4n+30]

[eqn: THEREFORE `a _{n} =-4n+34 GEQ 0]

[eqn: THEREFORE `n LEQ 8.rmxxx]

[eqn: S _{n}]의 최댓값은 [eqn: S _{8} = {8(30+2)} over {2} =128]

④ [eqn: 132]	⑤ [eqn: 136]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]에 대하여
[eqn: a _{1} =1,` sqrt {S _{n-1}} + sqrt {S _{n}} = {1} over {2} a _{n} `(n GEQ 2)]
가 성립할 때, [eqn: a _{101}]의 값은? [[eqn: 5.2]점]

②

[eqn: ` sqrt {S _{n-1}} + sqrt {S _{n}} = {1} over {2} a _{n} `(n GEQ 2)]

[eqn: ` sqrt {S _{n-1}} + sqrt {S _{n}} = {1} over {2} LEFT ( S _{n} -S _{n-1} RIGHT ) `(n GEQ 2)]

[eqn: ` sqrt {S _{n}} - sqrt {S _{n-1}} =2`(n GEQ 2)] [eqn: a _{1} =S _{1} =1]

[eqn: sqrt {S _{n}} =b _{n}]이라고 하면 [eqn: b _{n} =`2n-1] [eqn: S _{n} =(2n-1) ^{2}]

[eqn: a _{101} =S _{101} -S _{100}][eqn: =][eqn: (201) ^{2} -(199) ^{2} =(400)(2)][eqn: =800]

① [eqn: 796]	② [eqn: 800]	③ [eqn: 804]	④ [eqn: 808]	⑤ [eqn: 812]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} =(n+1) ^{2}]일 때, [eqn: a _{1} +a _{20}]의 값은? [[eqn: 4.1]점]

③

[eqn: S _{n} =(n+1) ^{2}]

[eqn: n=1] 대입 [eqn: a _{1} =S _{1} =4]

[eqn: S _{20} -S _{19} `=`21 ^{2} `-20 ^{2} =(21+20)(21-20)=41]

[eqn: a _{1} +a _{20} =45]

① [eqn: 43]	② [eqn: 44]	③ [eqn: 45]

④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 47]

수열 [eqn: left { a_n right }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: S_n = 2n^2 +n-1]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4.5]점]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

③

ⅰ) [eqn: n=1]
[eqn: a_1 =S_1 =2+1-1 =2]

ⅱ) [eqn: n ge 2]
[eqn: a_n][eqn: =S_n -S_n-1][eqn: =2n^2 -2(n-1)^2 +n-(n-1)]
[eqn: = 4n-2+1=4n-1]

ㄱ. [eqn: a_n =4n-1] [eqn: (n ge 2)]	(○)

ㄴ. [eqn: a_6 +a_7 +a_8 +a_9 +a_10]
[eqn: =4(6+7+8+9+10)-5]
[eqn: = 160-5=155]	(○)

ㄷ. [eqn: a_1 =2], [eqn: a_3 =11]이다.
[eqn: a_2n-1]은 [eqn: a_1] 때문에 공차가 [eqn: 8]이 될 수 없다.	(×)

[eqn: therefore] ㄱ, ㄴ

[보 기]

ㄱ. [eqn: a_n = 4n-1][eqn: (n ge 2)]

ㄴ. [eqn: a_6 +a_7 +a_8 +a_9 +a_10 = 155]

ㄷ. 수열 [eqn: left { a_2n-1 right }]은 공차가 [eqn: 8]인 등차수열이다.

(step3)

8.

그림과 같이 [eqn: ANGLE rm ABC=135 DEG], [eqn: ANGLE rm ACB=15 DEG], [eqn: rm {bar{AB}} =12]인
삼각형 [eqn: rm ABC]에서 변 [eqn: rm AC]를 [eqn: 12]등분한 점을 점 [eqn: rm A]에 가까운 점부터
[eqn: rm P _{1,`} `P _{2,`} `P _{3,`} CDOTS ,P _{11`}]이라 하고 변 [eqn: rm BC]를 [eqn: 12]등분한 점을 점 [eqn: rm B]에 가까운 점부터 [eqn: rm Q _{1,`} `Q _{2,`} `Q _{3,`} CDOTS ,Q _{11`}]이라 할 때, [eqn: rm {bar{P _{1} `Q _{1`}}} ,` {bar{P _{2} `Q _{2`}}} ,` {bar{P _{3} `Q _{3`}}} ,` CDOTS , {bar{P _{11} `Q _{11`}}}]
은 공차가 [eqn: k]인 등차수열을 이룬다.
이 때 [eqn: rm 2k+ {bar{P _{1} `Q _{1`}}} +` {bar{P _{2} `Q _{2`}}} +` {bar{P _{3} `Q _{3`}}} +` CDOTS + {bar{P _{11} `Q _{11`}}}]의 값은? [[eqn: 5.3]점]

①

[eqn: rm {bar{AC}} =y]라 하고.

[eqn: y ^{2} =x ^{2} + LEFT ( x+12 RIGHT ) ^{2}][eqn: CDOTS `]㉠
[eqn: y TIMES {sqrt {2}} over {2} x=x TIMES 12] 에서 [eqn: y=12 sqrt {2}][eqn: CDOTS `]㉡
㉠,㉡대입하여 연립하면
[eqn: LEFT ( 12 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} =x ^{2} + LEFT ( x+12 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: x ^{2} +12x-72=0]
[eqn: x=6 sqrt {3} `-6]
[eqn: rm {bar{AB}} =6 LEFT ( sqrt {6} - sqrt {2} RIGHT )]이므로

[eqn: {bar{AB}} = {bar{P _{0} Q _{0}}},`` c= rm {bar{P _{12} `Q _{12`}}} ```]라 하면 등차수열의 합에 의하여
[eqn: rm {bar{P _{0} `Q _{0`}}} + {bar{P _{1} `Q _{1`}}} +` {bar{P _{2} `Q _{2`}}} +` {bar{P _{3} `Q _{3`}}} +` CDOTS + {bar{P _{12} `Q _{12`}}} = {13} over {2} LEFT { 6 LEFT ( sqrt {6} - sqrt {2} RIGHT ) +0 RIGHT }]
등차중항 성질에 의하여[eqn: 2 rm {bar{P _{6} `Q _{6`}}} = {bar{P _{0} `Q _{0`}}} + {bar{P _{12} `Q _{12`}}} = LEFT { 0+6 LEFT ( sqrt {6} - sqrt {2} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: rm {bar{P _{6} `Q _{6`}}} =3 LEFT ( sqrt {6} - sqrt {2} RIGHT )],[eqn: {bar{P _{12} `Q _{12`}}} =0]
[eqn: {bar{P _{12} `Q _{12`}}} `- {bar{P _{6} `Q _{6`}}} `=6k=-3 LEFT ( sqrt {6} - sqrt {2} RIGHT )]이므로
[eqn: k=- {sqrt {6} - sqrt {2}} over {2}]

[eqn: {bar{P _{1} `Q _{1`}}} +` {bar{P _{2} `Q _{2`}}} +` {bar{P _{3} `Q _{3`}}} +` CDOTS + {bar{P _{11} `Q _{11`}}} = {78} over {2} LEFT ( sqrt {6} - sqrt {2} RIGHT ) -6 LEFT ( sqrt {6} - sqrt {2} RIGHT )]
[eqn: {bar{P _{1} `Q _{1`}}} +` {bar{P _{2} `Q _{2`}}} +` {bar{P _{3} `Q _{3`}}} +` CDOTS + {bar{P _{11} `Q _{11`}}} =33 LEFT ( sqrt {6} - sqrt {2} RIGHT )]
[eqn: THEREFORE ` rm 2k+ {bar{P _{1} `Q _{1`}}} +` {bar{P _{2} `Q _{2`}}} +` {bar{P _{3} `Q _{3`}}} +` CDOTS + {bar{P _{11} `Q _{11`}}} =32 LEFT ( sqrt {6} - sqrt {2} RIGHT )]

[다른 풀이]

삼각형[eqn: rmABC`]에서 사인법칙을 이용하면

[eqn: {rm`bar{AC}} over {sin`135`DEG} =][eqn: {rm ` {bar{BC}}} over {sin`30` DEG }] 이므로 [eqn: rm`bar{AC}=12 sqrt {2}]

[eqn: rm {bar{AB}} =it{x}]라 하고 삼각형[eqn: rmABC`]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: rm {bar{AC}} ^{2}][eqn: = rm {bar{AB}} ^{2} + rm {bar{BC}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{AB}} TIMES rm {bar{BC}} TIMES `cos`135`DEG]에서

[eqn: x ^{2} +12 sqrt {2} x-144`=`0] 이므로 [eqn: x=6 sqrt {6} -6 sqrt {2}]

즉 [eqn: rm {bar{AB}} = it][eqn: 6 sqrt {6} -6 sqrt {2}]

[eqn: a _{n} = {bar{P _{n} Q _{n}}}] 이라 하면

삼각형[eqn: rmP _{n} `Q _{n} `C]와 삼각형[eqn: rmABC]는 [eqn: 12`:`12-n] 닮음이므로

[eqn: a _{1} `= {11} over {12} bar{rmAB}], [eqn: a _{2} `= {10} over {12} {bar{rm AB}}], [eqn: cdots], [eqn: a _{11} `= {1} over {12}][eqn: rm {bar{AB}}] 이다.

그러므로 수열 [eqn: a _{n}]은 공차가 [eqn: - {1} over {12}][eqn: rm {bar{AB}}] 인 등차수열을 이룬다.

따라서 공차 [eqn: k`=`- {1} over {12} LEFT ( 6 sqrt {6} -6 sqrt {2} RIGHT ) `=- {sqrt {6} - sqrt {2}} over {2}]

수열의 합

[eqn: {bar{P _{1} `Q _{1`}}} +` {bar{P _{2} `Q _{2`}}} +` {bar{P _{3} `Q _{3`}}} +` CDOTS + {bar{P _{11} `Q _{11`}}} = {11} over {2} LEFT ( a _{1} `+a _{11} RIGHT )]

[eqn: = {11 LEFT ( {11} over {12} bar{rmAB}+ {1} over {12} bar{rmAB} RIGHT )} over {2}][eqn: = {11` {bar{rm AB}}} over {2} ``=`33` LEFT ( sqrt {6} - sqrt {2} RIGHT )]

그러므로

[eqn: THEREFORE `2k+ rm ` {bar{P _{1} `Q _{1`}}} +` {bar{P _{2} `Q _{2`}}} +` {bar{P _{3} `Q _{3`}}} +` CDOTS + {bar{P _{11} `Q _{11`}}}]

=[eqn: =`- LEFT ( sqrt {6} - sqrt {2} RIGHT ) +33` LEFT ( sqrt {6} - sqrt {2} RIGHT )]

=[eqn: 32( sqrt {6} - sqrt {2} )]

① [eqn: 32 LEFT ( sqrt {6} - sqrt {2} RIGHT )]	② [eqn: 33 LEFT ( sqrt {6} - sqrt {2} RIGHT )]

③ [eqn: 34 LEFT ( sqrt {6} - sqrt {2} RIGHT )]	④ [eqn: 35 LEFT ( sqrt {6} - sqrt {2} RIGHT )]

⑤ [eqn: 36 LEFT ( sqrt {6} - sqrt {2} RIGHT )]

첫재항이 정수이고 모든 항이 유리수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 있다. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: b _{n} =a _{n} +a _{n+2}] 라 하고, 좌표평면 위의 두 점을 [eqn: P _{n} (n,`a _{n} ),`Q _{n} (n,`b _{n} )]이라 하자. 다음 조건을 만족시키는 모든 수열
[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: b _{10}] 의 최댓값을 [eqn: M,`]최솟값을 [eqn: m]이라 할 때 [eqn: M+m=20 LEFT ( 1 +{q} over {p} RIGHT )`]이다. [eqn: p+q]의 값은?
(단, [eqn: p,`q]는 서로소인 자연수이다.) [4.3점]
① [eqn: 4]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 16]

③

수열 [eqn: a _{n}]의 일반항:[eqn: a _{n} =a+(n-1)d`,]

[eqn: a]는 정수 [eqn: d]는 유리수(첫째항이 정수)

수열 [eqn: b _{n}]의 일반항 [eqn: b _{n} =a _{n} +a _{n+2}],

[eqn: =a+(n-1)d+a+(n+1)d=2a+2nd]

조건 (가)에서 [eqn: a _{3} -a _{1} =2d>0`]이므로 [eqn: d>0`]

조건 (나)에서 [eqn: P _{12} (12`,~a+11d )`], [eqn: Q _{10} (10`,~2a+20d )`], [eqn: Q _{k} (k`,~2a+2kd )`]이므로

직선 [eqn: rm P _{12} Q _{10}`]의 기울기[eqn: ={(a+11d)-(2a+20d)} over {12-10} = {-1-9d} over {2}]

직선 [eqn: rm Q _{10} Q_{it k}`]의 기울기[eqn: ={(2a+2kd)-(2a+20d)} over {k-10} =2d`]

두 기울기의 곱이 [eqn: -1]이므로 [eqn: 2d TIMES {-a-9d} over {2} =-1]

[eqn: d(a+9d)=1``` LRARROW ````9d + LSUP {2}ad-1=0`]에서 [eqn: d= {-a + sqrt {a ^{2} +36}} over {18}]

[eqn: a _{n}]은 모든 항이 유리수이므로 [eqn: d]는 유리수

[eqn: a ^{2} +36]은 제곱수여야 함.

[eqn: a ^{2} +36=p ^{2} ``], ([eqn: p]는 정수)라고 할 수 있다.

[eqn: a ^{2} -p ^{2} =(a+p)(a-p)=-36]

[eqn: a]는 정수이며 [eqn: d>0]인 유리수인 것은 다음과 같다.
[eqn: a=-8,```d=1# a=0`,`````d= {1} over {3}# a=8,```````d= {1} over {9}]

이때

[eqn: b _{n} =2a+2nd]인데 [eqn: b _{10} =2a+20d]

[eqn: a=-8,``d=1]일 때, [eqn: b _{10} =2(-8)+20 BULLET 1=4]

[eqn: a=0,```d= {1} over {3}]일 때, [eqn: b _{10} =2 BULLET 0+20 BULLET {1} over {3} = {20} over {3}]

[eqn: a=8,``d= {1} over {9}]일 때, [eqn: b _{10} =2 BULLET 8+20 BULLET {1} over {9} = {164} over {9}]

[eqn: M= {164} over {9} ,``m=4]

[eqn: M+m= {164} over {9} +4= {200} over {9} =20 left(1+ {1} over {9} right)]

[eqn: p=9,````q=1,``````p+q=10]

(가) [eqn: a _{3} -a _{1} >0]

(나)[eqn: 10]이 아닌 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: ANGLE P _{12} Q _{10} Q _{k} = {pi } over {2}]이다.

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 내접하는 [eqn: n]각형이 있다. 이 [eqn: n]각형에서 [eqn: n]개의 내각의 크기를 작은 것부터 차례로 나열하여 수열 [eqn: left{ a_k right}]를 만들 때, 수열 [eqn: left{ a_k right}]가 [eqn: a_1 = 135 DEG]이고, 공차가 [eqn: 0 DEG]가 아닌 양수인 등차수열을 이루도록 하는 [eqn: n]의 최솟값과 최댓값의 합은?(단, [eqn: n]은 [eqn: 3 leq n leq 20]인 자연수이다.)[5.2점]

⑤

[풀이]

[eqn: {n LEFT { 270+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d RIGHT }} over {2} =180 LEFT ( n-2 RIGHT )]이므로 식을 정리하면

[eqn: n LEFT ( n-1 RIGHT ) d=90 LEFT ( n-8 RIGHT )]

[eqn: n>=3]이므로 [eqn: 90 LEFT ( n-8 RIGHT ) >0]이어야 하므로 [eqn: n>=9]

따라서 최솟값은 [eqn: n=9]가 되고

볼록 다각형이므로

[eqn: a _{n} =135+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d<180]이어야 하므로

[eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) d<45]임을 알수 있고

[eqn: n LEFT ( n-1 RIGHT ) d=90 LEFT ( n-8 RIGHT )]와 [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) d<45]를 연립해보면

[eqn: n LEFT ( n-1 RIGHT ) d<45n]

[eqn: 90 LEFT ( n-8 RIGHT ) <45n]

[eqn: n<16]이므로

최댓값은 [eqn: n=15]

따라서 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 15+9=24]

① [eqn: 20]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 24]

공차가 자연수인 두 등차수열 [eqn: left { a_n right }], [eqn: left { b_n right }]에 대하여 두 집합 [eqn: A], [eqn: B]는
[eqn: A= left { a_k`|`a_k]는 수열 [eqn: left { a_n right }]의 항, [eqn: 4 le a_k le 32 right }],
[eqn: B= left { b_k `|`b_k]는 수열 [eqn: left { b_n right }]의 항, [eqn: k]는 [eqn: 1 le k le 10]인 자연수[eqn: `_`right }]
이고 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: a_7 +b_7]의 값은? [[eqn: 4.8]점]

① [eqn: 78]	② [eqn: 72]	③ [eqn: 67]
④ [eqn: 61]	⑤ [eqn: 56]

④

[eqn: n(A-B)=n(A cap B)=n(B-A)]이고

[eqn: n(B)=10] 이므로 [eqn: n(A-B)=n(A cap B)=n(B-A)][eqn: =5]이다.

따라서 [eqn: n(A)=10]이고 공차가 자연수이므로

[eqn: a_10 =8+8d le 32], [eqn: d le 3]

[eqn: a_11 =8+9d>32], [eqn: 9d>24], [eqn: d> 24 over 9]

[eqn: therefore~ d=3] ([eqn: d]는 수열 [eqn: left { a_n right }]의 공차이다.)

[eqn: A= left {5,~ 8,~ 11,~ 14,~ 17,~ 20,~ 23,~ 26,~ 29,~ 32right }]

[eqn: n(A cap B cap C)=2] 이므로 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]의 교집합은 [eqn: 8], [eqn: 32]이다.

[eqn: n(A cap B)=5] 이므로 수열 [eqn: left {b_n right }]의 공차는 [eqn: 6]이다.

따라서 [eqn: a_7 =23], [eqn: b_7 = 8+5 times 6 =38]

[eqn: a_7 +b_7 =61]

(가) [eqn: a_2 =b_2 =8]

(나) [eqn: n(A-B)=n(A cap B)=n(B-A)]

(다) 집합 [eqn: C= left {2^k`|`k]는 자연수[eqn: `^`right }]에 대하여
[eqn: n(A cap B cap C)=2]

부등식

①

[eqn: 6], [eqn: 9], [eqn: 12], [eqn: cdots], [eqn: 90]의 [eqn: 29]개의 [eqn: 3]의 배수 중에서 [eqn: 20]개의 수를 택하여 더한 값이 집합 [eqn: A]의 원소이다. 집합 [eqn: A]의 원소 중에서 가장 값은 값을 [eqn: x_1], 가장 큰 값은 [eqn: x_n]이라 하면

[eqn: x_1 = 6 + 9 + cdots + 63 = 3 (2+3 + cdots + 21) = 3times 230]

[eqn: x _n = 33+ 36 + cdots + 90 = 3 ( 11+ 12+ cdots + 30) = 3 times 410]

이다. 따라서 집합 [eqn: A]의 원소 [eqn: x_1], [eqn: x_2], [eqn: cdots], [eqn: x_n]은 첫째항이 [eqn: 3 times 230]이고 제 [eqn: n]번째 항이 [eqn: 3 times 410], 공차가 [eqn: 3]인 등차 수열이다. 따라서

[eqn: 3 times 410 = 3 times 230 + (n-1) times 3]

[eqn: THEREFORE n = 181]

이므로 집합 [eqn: A]의 원소의 개수는 [eqn: n(A) = 181]이다.

[eqn: 3 < a_1 < a_2 < a_3 < cdots < a_20 le 90]

을 만족시키는 [eqn: 20]개의 [eqn: 3]의 배수 [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: cdots], [eqn: a_20]에 대하여 집합 [eqn: A]가 [eqn: A = left{ x`|` x = a_1 + a_2 + a_3 + cdots +a_20 right}]일 때, 집합 [eqn: A]의 원소의 개수는?

[[eqn: 5.0]점]

① [eqn: 181]	② [eqn: 182]	③ [eqn: 183]
④ [eqn: 184]	⑤ [eqn: 185]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]의 첫째항부터 제[eqn: n``]항까지의 합을 [eqn: S _{n}``]이라 하자. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]이 다음 조건을 만족시킬 때, 모든 [eqn: a _{1}``]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [9.0점]

[eqn: 3,`-75``]

수열의 첫째항을 [eqn: a``], 공차를 [eqn: d``]라 하자

[eqn: a _{3} `geq`0``]이면 (가)에 의해 [eqn: a=d``]이고 [eqn: a _{3} =3d``]이므로 [eqn: d>0``]

따라서 모든 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: a _{n} >0``]이다.

[eqn: S _{9} =45d=135``]이므로 [eqn: d=3``]

이 때 [eqn: a _{1} =3``]이다.

[eqn: a _{3} <0``]이면 (가)에 의해 [eqn: a+5d=0``]이고 [eqn: a _{3} =-3d``]이므로 [eqn: d>0``]

[eqn: S _{9} =-9d``]이므로 [eqn: 9d=135``]이고 [eqn: d=15``],

이 때 [eqn: a _{1} =-75``]이다.

(가) [eqn: LEFT | a _{3} RIGHT | +a _{4} =a _{7}``]

(나) [eqn: LEFT | S _{9} RIGHT | =135``]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자.
이 수열이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a _{10}]의 값은? [[eqn: 4.7]점]

③

공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{1} <0]이고 합의 절대값이 같은 항이 있으므로 [eqn: d][eqn: >0] 이다.
[eqn: S _{9} = {9 LEFT ( a _{1} +a _{9} RIGHT )} over {2} =9 LEFT ( a _{1} +4d RIGHT ) =9a _{1} +36d]
[eqn: S _{18} = {18 LEFT ( a _{1} +a _{18} RIGHT )} over {2} =9 LEFT ( 2a _{1} +17d RIGHT ) =18a _{1} +153d]
[eqn: S _{11} = {11 LEFT ( a _{1} +a _{11} RIGHT )} over {2} = {11} over {2} LEFT ( 2a _{1} +10d RIGHT ) =11a _{1} +55d]
[eqn: LEFT | 9a _{1} +36d RIGHT | = LEFT | 18a _{1} +153d RIGHT | = LEFT | 11a _{1} +55d RIGHT | +30]
[eqn: 9a _{1} +36d= +- LEFT ( 18a _{1} +153d RIGHT )]에서 [eqn: a _{1} =-13d] 또는 [eqn: a _{1} =-7d]
(ⅰ) [eqn: a _{1} =-13d] 일 때
[eqn: LEFT | 9a _{1} +36d RIGHT | = LEFT | 11a _{1} +55d RIGHT | +30]에서
[eqn: LEFT | -81d RIGHT | = LEFT | -88d RIGHT | +30] 이므로 [eqn: d=- {30} over {7}] 공차가 양수라는 조건에 맞지 않다.
(ⅱ) [eqn: a _{1} =-7d]
[eqn: LEFT | 9a _{1} +36d RIGHT | = LEFT | 11a _{1} +55d RIGHT | +30]에서

[eqn: LEFT | -27d RIGHT | = LEFT | -22d RIGHT | +30] 이므로 [eqn: d=6] [eqn: a _{1} =-42]

[eqn: THEREFORE ``a _{10} =-42+9 TIMES 6=12]

[다른 풀이]

(ⅰ) [eqn: S _{9} =S _{18}]인 경우

등차수열 합 [eqn: S _{n}]을 [eqn: n]에 관한 이차함수라는 점을 생각하면 첫항이 음수이고 공차가 양수일 때 가능한 경우이며 [eqn: S _{9} `,``S _{18}] 모두 음수일 때만 같은 값을 가질 수 있다. 또한 이 때 [eqn: S _{11} `<0]이다.

[eqn: {9 LEFT ( a _{1} `+a _{9} RIGHT )} over {2} `=` {18 LEFT ( a _{1} `+a _{18} RIGHT )} over {2}]

[eqn: 9`a _{5} `=9 LEFT ( a _{1} `+a _{18} RIGHT )]

[eqn: a+4d=`2a+17d] 따라서 [eqn: a`=`-13d] 이고

일반항 [eqn: a _{n} `= LEFT ( n-14 RIGHT ) d]

첫항부터 제13항까지는 음수이다.

[eqn: LEFT | S _{9} RIGHT | = LEFT | S _{11} RIGHT | +30] 에서

[eqn: -S _{9} ``=`-S _{11} `+30] , [eqn: S _{11} `-S _{9} `=30] , [eqn: a _{11} `+a _{10} `=30]

그런데 [eqn: a _{11} `,`a _{10}]항은 모두 음수이므로 모순

(ⅱ) [eqn: S _{9} <0]이고 [eqn: S _{18} `>0]인 경우

[eqn: - {9 LEFT ( a _{1} `+a _{9} RIGHT )} over {2} `=` {18 LEFT ( a _{1} `+a _{18} RIGHT )} over {2}]

[eqn: -9`a _{5} `=9 LEFT ( a _{1} `+a _{18} RIGHT )]

[eqn: -(a+4d)`=`2a+17d] 따라서 [eqn: a`=`-7d] 이고

일반항 [eqn: a _{n} `= LEFT ( n-8 RIGHT ) d]

[eqn: a _{8} `=0]이므로 [eqn: a _{1`} `+a _{15} `=0]이고 [eqn: S _{15} `=0] 따라서 [eqn: S _{11} `<0]

[eqn: LEFT | S _{9} RIGHT | = LEFT | S _{11} RIGHT | +30] 에서

[eqn: -S _{9} ``=`-S _{11} `+30] , [eqn: S _{11} `-S _{9} `=30] , [eqn: a _{11} `+a _{10} `=30]

따라서 [eqn: 3d+2d`=`30] [eqn: d=6] [eqn: a _{10} `=`2d`=12]

수열[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 음수인 등차수열이다.

[eqn: LEFT | S _{9} RIGHT | = LEFT | S _{18} RIGHT | = LEFT | S _{11} RIGHT | +30]이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 12]
④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

첫째항이 [eqn: 52``], 공차가 [eqn: d``]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]의 첫째항부터 제[eqn: n``]항까지의 합을 [eqn: S _{n}``]이라 하면 [eqn: LEFT | S _{17} +S _{19} RIGHT | < LEFT | S _{17} RIGHT | + LEFT | S _{19} RIGHT |``]가 성립한다. 정수 [eqn: d``]의 값은? [4.8점]

④

[eqn: S_17`,``S_19``]가 모두 [eqn: 0``]이상이거나 모두 [eqn: 0``]이하이면

[eqn: LEFT | S _{17} +S _{19} RIGHT | `=` LEFT | S _{17} RIGHT | + LEFT | S _{19} RIGHT |``]이다.

즉, [eqn: LEFT | S _{17} +S _{19} RIGHT | < LEFT | S _{17} RIGHT | + LEFT | S _{19} RIGHT |``]에서 [eqn: S_17`,``S_19``]는 서로 다른 부호이며

첫째항이 [eqn: 52``]로 양수이므로 공차 [eqn: d``]는 음의 정수이다.

따라서 [eqn: S_17`>`0`>`S_19``]이어야 한다.

[eqn: S_17`=` {17`(104+16`d)} over2 `>`0``]에서 [eqn: d`> `- 13over2 ``]	[eqn: cdots``]①

[eqn: S_19`=` {19`(104+18`d)} over2 `<`0``]에서 [eqn: d`<` - 52over9 ``]	[eqn: cdots``]②

①,②에서 정수 [eqn: d`=`-6``]이다.

① [eqn: -9``]	② [eqn: -8``]	③ [eqn: -7``]

④ [eqn: -6``]	⑤ [eqn: -5``]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]과 [eqn: S _{n}]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a _{3}]의 값은? [[eqn: 4.7]점]

③

[eqn: S _{k+1} -S _{k} >0]즉 [eqn: a _{k+1} >0]이러한 가장 작은 자연수 [eqn: k]가 존재하려면 공차는 양수여야 한다. [eqn: a _{9} =-2a _{7}]에서 [eqn: a _{7} <0]

[eqn: a _{9} >0]임을 알 수 있고 [eqn: a _{7} a _{8} a _{9} <0]이므로 [eqn: a _{8} >0] 이다. 따라서 [eqn: k=][eqn: 7]임을 알 수 있다. [eqn: S _{7} =-154] [eqn: a _{9} =-2a _{7}]이므로

[eqn: {7} over {2} (2a+6d)=-154] [eqn: a+8d=-2(a+6d)]이를 연립하면

[eqn: a=-40][eqn: d=6] [eqn: a _{3} =-40+12=-28]이다.

(가) [eqn: S _{k} <S _{k+1}]을 만족시키는 가장 작은 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: S _{k} =-154]이다.

(나) [eqn: a _{9} =-2a _{7}]이고 [eqn: a _{7} a _{8} a _{9} <0]이다.

① [eqn: -34]	② [eqn: -31]	③ [eqn: -28]	④ [eqn: -25]	⑤ [eqn: -22]

다음 조건을 만족시키는 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT }]에 대하여 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT }]의 첫째항부터 [eqn: n]항까지의 합은 [eqn: S_n]은 [eqn: n=k]일 때, 최댓값 [eqn: M]을 갖는다. [eqn: k+M]의 값은? (단, [eqn: k]는 자연수이다.) [5.1점]

① [eqn: 120]	② [eqn: 124]	③ [eqn: 128]
④ [eqn: 132]	⑤ [eqn: 136]

⑤

[eqn: {5(60+4d)}over{2}={11(60+10d)}over{2}], [eqn: d=-4]

[eqn: S_n ={n(64-4n)}over{2}=-2n^2 +32n]

[eqn: n=8]일 때, 최댓값 [eqn: 128]을 갖는다.

[eqn: k+m=136]

(가) [eqn: a_1 =30]

(나) [eqn: S_5 =S_11]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: S _{k} =S _{k+3} =k LEFT ( k+3 RIGHT )]를 만족시킨다. [eqn: S _{k+2} =210]일 때,[eqn: a _{10} +k]의 값을 구하는 과정을 논술하시오. [7점]

[eqn: 23]

[eqn: a _{k+1} +a _{k+2} +a _{k+3} =0,````a _{k+2} =a+ LEFT ( k+1 RIGHT ) d=0``]

[eqn: a=- LEFT ( k+1 RIGHT ) d] [eqn: CDOTS]㉠

[eqn: S _{k} = {k LEFT { 2a+ LEFT ( k-1 RIGHT ) d RIGHT }} over {2} =k LEFT ( k+3 RIGHT )]

[eqn: S _{k+3} = {LEFT ( k+3 RIGHT ) LEFT { 2a+ LEFT ( k+2 RIGHT ) d RIGHT }} over {2} =k LEFT ( k+3 RIGHT )] 두 식을 연립하면
[eqn: -dk=2k,````d=-2]

[eqn: S _{k+2} = {LEFT ( k+2 RIGHT ) LEFT { 2a-2 LEFT ( k+1 RIGHT ) RIGHT }} over {2} =210], [eqn: a=2 LEFT ( k+1 RIGHT )] 대입하면

[eqn: LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( k+2 RIGHT ) =210,`````k=13]

[eqn: d=-2,k=13]을 ㉠식에 대입하면 [eqn: a=28]

[eqn: a _{10} =a+9d=28+9 TIMES (-2)=10]이므로 [eqn: a _{10} +k=10+13=23]

첫째항이 [eqn: 3]이고 공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{ n}]이라 할 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]과 [eqn: S_{ n}]은 다음 조건을 만족시킨다.

이때 [eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT | a _{n} RIGHT |]의 값은? [[eqn: 4.7]점]

①

[eqn: a _{k} =S _{k}]

[eqn: 3+ LEFT ( k-1 RIGHT ) d= {k LEFT { 6+ LEFT ( k-1 RIGHT ) d RIGHT }} over {2}]

[eqn: LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT { 6+ LEFT ( k-2 RIGHT ) d RIGHT } =0]

[eqn: k-1>0]이므로

[eqn: d=- {6} over {k-2}]

[eqn: a _{n} <S _{n}]인 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 9]이므로 [eqn: n]은 [eqn: 2]부터 [eqn: 10]까지

[eqn: a _{10} <S _{10}], [eqn: a _{11} GEQ S _{11}]를 만족하는 공차 [eqn: d]의 범위는

[eqn: 3+9d< {10 LEFT ( 6+9d RIGHT )} over {2}]

[eqn: - {3} over {4} <d]

[eqn: 3+10d GEQ {11 LEFT ( 6+10d RIGHT )} over {2}]

[eqn: d LEQ - {2} over {3}]

[eqn: THEREFORE `- {3} over {4} <d LEQ - {2} over {3}]

[eqn: - {3} over {4} <`- {6} over {k-2} LEQ - {2} over {3}]

[eqn: 10<k LEQ 11]

자연수 [eqn: k]는 [eqn: 11], 공차 [eqn: d]는 [eqn: - {2} over {3}]

[eqn: a _{n} =- {2} over {3} n+ {11} over {3}]

[eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT | a _{n} RIGHT |]

[eqn: = LEFT ( a _{1} +` CDOTS +a _{5} RIGHT ) - LEFT ( a _{6} +` CDOTS +a _{10} RIGHT )]

[eqn: = {5 LEFT ( 3+ {1} over {3} RIGHT )} over {2} - {5 LEFT ( - {1} over {3} -5 RIGHT )} over {2}]

[eqn: = {50} over {3}]

(가) [eqn: k>1]인 어떤 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a_{ k}=S _{ k}]이다.

(나) [eqn: a_{ n}<S _{ n}]인 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 9]이다.

① [eqn: {50} over {3}]	② [eqn: {55} over {3}]	③ [eqn: 20]
④ [eqn: {65} over {3}]	⑤ [eqn: {70} over {3}]

위례고/2023년/L1/A

첫째항이 [eqn: -27], 공차가 [eqn: 6]인차수열의째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]에 대하여 집합 [eqn: LEFT { S _{k} ` vert `k=1,~2,~3,` CDOTS ,~n RIGHT }]의 원소의 개수를 [eqn: b _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} b _{n}]의 값은? [[eqn: 5.3]점]

① [eqn: 39]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 41]
④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 43]

③

[eqn: S _{k} = {k LEFT { 2· LEFT ( -27 RIGHT ) + LEFT ( k-1 RIGHT ) ·6 RIGHT }} over {2} =k LEFT ( 3k-30 RIGHT ) =3 LEFT ( k ^{2} -10k RIGHT )]

[eqn: =3 LEFT ( k-5 RIGHT ) ^{2} +45]

[eqn: S _{k}]는 [eqn: k=5]일 때, 최댓값 [eqn: 45]을 갖는 이차함수이고 [eqn: x]절편이 [eqn: 0,~10]이므로

[eqn: 1 LEQ k LEQ 5`]일 때, [eqn: S _{k}]이 모두 다르므로 원소의 개수 [eqn: b _{k} =k]개

[eqn: 6 LEQ k LEQ 9]일 때, [eqn: S _{k}]는 기존과 동일하므로 원소의 개수 [eqn: b _{k} =5]

[eqn: k=10]일 때, [eqn: S _{10} =0]인 원소가 하나 추가되므로 [eqn: b _{k} =5+1=6]

따라서, [eqn: sum _{n=1} ^{10} b _{n} = LEFT ( 1+2+3+4+5 RIGHT ) +4·5+6=15+20+6=41]

첫째항이 [eqn: 200]이고, 공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_{n}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S _{10} GEQ S _{n}]을 만족시킬 때, 모든 정수 [eqn: d]의 값의 합을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [부분점수 있음. [eqn: 8.0]점]

[eqn: -63]

첫째항이 [eqn: 200]이고, 공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]은

[eqn: a _{n} =200+(n-1)d]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S _{10} GEQ S _{n}]을 만족을 만족하려면

[eqn: a _{10} =200+9d GEQ 0], [eqn: a _{11} =200+10d LEQ 0]이어야 하므로

[eqn: - {200} over {9} LEQ d LEQ -20]이고

범의 내의 모든 정수 [eqn: d]의 값의 합은

[eqn: -22-21-20=-63]

첫째항이 [eqn: -48]이고 공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 있다. 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: d]의 값의 합은? [[eqn: 4.8]점]

① [eqn: 120]	② [eqn: 124]	③ [eqn: 128]
④ [eqn: 132]	⑤ [eqn: 136]

③

[eqn: -48]이고 공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이므로

[eqn: a_n = -48 + (n-1) d] 이고, [eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} ={ m left{ -96 + ( m-1)d right}} over { 2] 이다.

(가) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} !=0] 에서

[eqn: -48 + (n-1) d != 0] 이므로 [eqn: (n-1) d != 48]

(나) [eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} =0]인 [eqn: m]이 존재하려면

[eqn: { m left{ -96 + ( m-1)d right}} over { 2 } =0] 에서 [eqn: -96+(m-1)d=0] 이므로

[eqn: (m-1) d = 96] 이다.

[eqn: (n-1) d != 48], [eqn: (m-1) d = 96] 을 만족하려면

[eqn: (n-1) d != 2 ^ 4 times 3], [eqn: (m-1) d = 2 ^ 5 times 3] 이므로

[eqn: d]가 자연수에서 [eqn: (m-1) d = 2 ^ 5] 또는 [eqn: 2 ^ 5 times 3] 이다.

[eqn: d]의 값은 [eqn: 32] 또는 [eqn: 96] 이므로 [eqn: 32 + 96 = 12 8] 이다.

(가) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} !=0]이다.

(나) [eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} =0]인 [eqn: m]이 존재한다.

첫째항이 [eqn: 2k-1]이이고 공차가 [eqn: -2]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]과 공차가 [eqn: 4]이고 첫째항이 알려지지 않은 등차수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 다음을 만족시킨다. (단, [eqn: k]는 [eqn: 3]이상의 자연수) [9점]

[eqn: 29]

[eqn: a _{n} =(2k-1)+(-2)(n-1)=2k-1-2n+2][eqn: =(2k+1)-2n]

[eqn: S _{n} = {(2k-1)+(2k+1-2n)} over {2} TIMES n=(2k-n)n=-n ^{2} +2kn]

[eqn: b _{n} =b+4(n-1),```b`는~b _{n} 의`] 초항

(가) [eqn: S _{n} =b _{n} ``` RARROW ```-n ^{2} +2k n =b+4n-4]

[eqn: n ^{2} +(4-2k)n+b -4=0]

[eqn: n=k-2 +- sqrt {(k-2) ^{2} +4-b}]

[eqn: k ^{2} -4k+8-b=]제곱수

하나의 자연수 해를 가지려면 [eqn: sqrt {}]가 사라져야 한다.

[eqn: k ^{2} -4k+8-b=0] 일 때, [eqn: n=k-2]

[eqn: =1] [eqn: n=k-1``or`````k-3]

[eqn: =4] [eqn: n=k`````or```````k-4]

[eqn: =9] [eqn: n=k+1```or`````k-5]

[eqn: VDOTS] [eqn: VDOTS]

(나) [eqn: f(3)=1,`````g(3)=2]

[eqn: f(4)=2,`````g(4)=4]

[eqn: f(5)=3,``````g(5)=6]

[eqn: VDOTS]

[eqn: f(k)=k-2,```````g(k)=2k-4]

(다) [eqn: {bar{AB}} `=`4 ^{k-2} `=`2 ^{2k-4} ,` {bar{AC}} `=2 ^{-2k+4} ,` ANGLE A=(3k-6) DEG]

[eqn: T(k)]=[eqn: {1} over {2} cdot 2 ^{2k-4} cdot 2 ^{-2k+4} cdot sin(3k-6) DEG = {1} over {2}` sin(3k-6) DEG]

[eqn: 8 sum _{k=3} ^{31} LEFT { T(k) RIGHT } ^{2} =2 sum _{k=3} ^{31} sin ^{2} (3k-6) DEG]

[eqn: =2(sin ^{2} 3 DEG +sin ^{2} 6 DEG +` CDOTS `+sin ^{2} `84 DEG +sin ^{2`} 87 DEG )]

[eqn: =2 LEFT ( 14+sin ^{2} 45 DEG )=2 left(14+ {1} over {2} RIGHT ) =29]

[eqn: LEFT ( BECAUSE~ sin` LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) =cos theta `,`sin ^{2} theta +cos ^{2} theta =sin ^{2} +sin ^{2} LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) =1 RIGHT )]

(가) 방정식 [eqn: S _{n} =b _{n}]이 오직 하나의 자연수 해를 가진다.

(나) 조건 (가)에 제시된 방정식의 해의 최솟값을 [eqn: f(k)],

두 번째로 작은 해의 값을 [eqn: g(k)]라 하자.

(다) [eqn: T(k)]는 [eqn: {bar{AB}} =4 ^{f(k)} ,] [eqn: {bar{AC}} =2 ^{-g(k)}],

[eqn: ANGLE A= LEFT { f(k)+g(k) RIGHT } DEG]인 삼각형 [eqn: ABC]의 넓이이다.

[eqn: x GEQ 0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= LEFT | p`cos`2x+q RIGHT | ```(p>0)]에 대하여 [eqn: f(0)<f LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )] 이다. 직선 [eqn: y=t]가 곡선 [eqn: y=f(x)]와 만나도록 하는 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=t] 가 곡선 [eqn: y=f(x)]와 만나는 모든 점의 [eqn: x]의 좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열한 수열이 등차수열이 되도록 하는 [eqn: t]의 값은 [eqn: alpha ,` beta ,`( alpha < beta )]뿐이다. [eqn: t= alpha ,```t= beta]일 때의 이 등차수열을 각각 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `,`` LEFT { b _{n} RIGHT }`]이라 하자. [eqn: alpha + beta =8]이고 [eqn: {f(a _{3} )} over {b _{2}} = {2} over {pi }]일 때, [eqn: 5p+2q]의 값은? (단, [eqn: p,`q] 는 상수이다.) [4.3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 15]

②

[eqn: f(0)<f LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )] , [eqn: p+q< -q`,``````````````2q< -p]

① [eqn: a _{1} =k``] [eqn: a _{2} = pi -k`,`] [eqn: a _{3} = pi +k]

[eqn: pi -2k=2k], [eqn: k= {pi } over {4}](공차)

[eqn: k= {pi } over {4}]라고 했을 때, [eqn: {pi } over {4} ,```` {3} over {4} pi ,```` {5} over {4} pi ,`` {7} over {4} pi]

이때, [eqn: alpha = -p cos`2 TIMES {pi } over {4} -q =-q]

② [eqn: beta =p-q]이면

[eqn: b _{1} = {pi } over {2} `,`````b _{2} = {3} over {2} pi ,``````b _{3} = {5} over {2} pi]

[eqn: alpha + beta ==q+(p-q)=p-2q=8]

[eqn: {f(a _{3} )} over {b _{2}} = {-q} over {{3} over {2} pi } = {2} over {pi } ,``][eqn: q=-3,```p=2]

[eqn: 5p+2q=5 BULLET 2+2(-3)=4]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

②

[eqn: y = f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: a_1 = 3]

[eqn: a_2 = 7]

[eqn: a_3 = 9]

[eqn: a_4 = 13]

[eqn: a_5 = 15]

[eqn: vdots]

홀수 번째 항은 [eqn: a_1 = 3]이고 공차가 [eqn: 6]인 등차수열,

짝수 번째 항은 [eqn: a_2 = 7]이고 공차가 [eqn: 6]인 등차수열을 이룬다.

따라서

[eqn: a_2n-1 = 6n-3], [eqn: a_2n = 6n+1]

[eqn: THEREFOREa_100 + a_99 = 301 + 297 = 598]

(가) [eqn: - pi le x le pi]일 때, [eqn: f(x) = 3 cos ` x over2]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) = f(x+2 pi)]

자연수 [eqn: n]에 대하여 세 점 [eqn: (0,~0)], [eqn: (n pi ,~3)], [eqn: (-n pi ,~3)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 둘레와 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프의 교점의 개수를 [eqn: a_n]이라 하자. 예를 들어 [eqn: a_2 = 7]이다. 이 때, [eqn: a_100 + a_99]의 값은?

[[eqn: 5.1]점]

① [eqn: 596]	② [eqn: 598]	③ [eqn: 600]
④ [eqn: 602]	⑤ [eqn: 604]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 5 over2]인 원에 내접하는 사각형 [eqn: rm ABCD]에 대하여 [eqn: rm bar BD = 5]이고 [eqn: rm bar BD], [eqn: rm bar BC], [eqn: rm bar CD]의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 다음 물음에 답하시오. (단, [eqn: rm bar BC > bar CD])

(1-1) [eqn: bold 3] (1-2) [eqn: bold{ {8+3sqrt21} over 5]

(1-1) 반지름의 길이가 [eqn: 5 over2]이고 [eqn: rm bar BD = 5]이므로 [eqn: rm bar BD]는 지름이다. 따라서 [eqn: rm angle BCD = 90 DEG]이다. [eqn: rm bar BC = it a], [eqn: rm bar CD = it b]라 하면

[eqn: a^2 + b ^2 = 25], [eqn: 2a = b +5]

에서 연립하여 풀면 [eqn: a = 4], [eqn: b =3], 따라서 [eqn: rm bar CD = 3]

(1-2) [eqn: rm bar AC = it x]라 하고 [eqn: rm angle CAD = angle CBD](원주각) 이므로 삼각형 [eqn: rm ACD]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rm {bar CD}^2 = {bar AC}^2 + {bar AD}^2 - 2 times {bar AC} times {bar AD times cos(angle rm CAD )]

[eqn: 9 = x^2 + 4 - 2 times x times 2 times 4 over5]

[eqn: 5 x^2 - 16 x - 25 =0]

[eqn: x = { 8 + 3sqrt21} over 5]

[[eqn: 10.0]점]

[1-1] [eqn: rm bar CD]의 길이를 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오.

[[eqn: 5.0]점]

[1-2] [eqn: rm bar AD = 2]일 때, 대각선 [eqn: rm AC]의 길이를 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오.

[[eqn: 5.0]점]

첫째항이 [eqn: 1], 공차가 [eqn: 5]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 부등식 [eqn: 2 LEFT | x-a _{n} RIGHT | GEQ 3 LEFT | x-a _{n+1} RIGHT | `(n GEQ 1)]을 만족시키는 [eqn: x]의 최솟값을 [eqn: b _{n}]이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 5.4]점]

②

[eqn: 2 LEFT | x-a _{n} RIGHT | GEQ 3 LEFT | x-a _{n+1} RIGHT | `(n GEQ 1)]

공차가 5이므로 [eqn: a _{n} <a _{n+1}]이 된다. ᄄᆞ라서 주어진 부등식을 풀면

[eqn: x _{n} GEQ {2a _{n} +3a _{n+1}} over {5}] [eqn: b _{n} = {2a _{n} +3a _{n+1}} over {5}]

ㄱ. [eqn: 5b _{1} =2a _{1} +3a _{2}]이므로 거짓

ㄴ. [eqn: a _{n} =5n-4]이므로 대입해서 정리하면 [eqn: b _{n} =][eqn: 5n-1]이므로 공차는 [eqn: 5]이다.(참)

ㄷ. [eqn: sum _{k=1} ^{10} b _{k} = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 5k-1 RIGHT ) =][eqn: 270]이므로 거짓

[보기]

ㄱ. [eqn: 3a _{1} +2a _{2} =5b _{1}]

ㄴ. 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 공차가 [eqn: 5]인 등차수열이다.

ㄷ. [eqn: sum _{k=1} ^{10} b _{k} =285]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

등비수열(step1)

9.

등비수열의 일반항

[eqn: a _2 = 6], [eqn: a_5 = -48]인 등비수열 [eqn: left{ a_n right}]의 공비는?

⑤

첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: ar = 6], [eqn: ar^4 = -48]

따라서, [eqn: r = -2]

[[eqn: 3.8]점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]
④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

첫째항이 [eqn: 1]이고 공비가 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{4} =8]일 때, [eqn: a _{6}]의 값은? [[eqn: 3.6]점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 64]
④ [eqn: 128]	⑤ [eqn: 256]

②

[eqn: a _{n} =r ^{n-1}]

[eqn: a _{4} =r ^{3} =8]

[eqn: r=2]

[eqn: a _{6} =2 ^{5} =32]

첫째항이 [eqn: {2} over {3}``]이고, 공비가 [eqn: 3``]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]에 대하여 [eqn: a _{4}``]의 값은? [4점]

②

[eqn: a_4`=` 2OVER3 TIMES 3^3 `=`18``]이다.

① [eqn: 9``]	② [eqn: 18``]	③ [eqn: 27``]
④ [eqn: 36``]	⑤ [eqn: 45``]

공비가 실수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{2} =3], [eqn: a _{5} =24]일 때, [eqn: a _{4} +a _{6}]의 값은? [[eqn: 4.0]점]

① [eqn: 56]	② [eqn: 58]	③ [eqn: 60]
④ [eqn: 62]	⑤ [eqn: 64]

③

[eqn: a _{2} =a _{1} r=3], [eqn: a _{5} =a _{1} r ^{4} =24]을 연립하면 [eqn: r ^{3} =8]이므로 [eqn: r=2]

따라서 [eqn: a _{4} +a _{6} =a _{2} LEFT ( r ^{2} +r ^{4} RIGHT ) =3·`` LEFT ( 2 ^{2} +2 ^{4} RIGHT ) =3·20=60]

항 사이의 관계가 주어진 등비수열

등비수열 [eqn: LEFT{ a_{n} RIGHT}]에 대하여 [eqn: a_{1}=5], [eqn: {a_{4}}over{a_{3}}=3]일 때, [eqn: a_{3}]의 값은? [4.3점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 45]
④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 75]

③

[eqn: {a_4}over{a_3}=r=3]

[eqn: a_3 = a_1 r^2 =45]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{2} =3], [eqn: a _{3} +a _{4} =36] 일 때, 공비는? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

④

[eqn: a _{2} =3], [eqn: a _{3} +a _{4} =36]에서 첫째항을 [eqn: a]라 하면

[eqn: ar=3], [eqn: ar ^{2} (1+r)=36]이므로 연립하여 정리하면

[eqn: r ^{2} +r-12=0]이고, 모든 항이 양수이므로

공비는 [eqn: 3]

등비중항

세 수 [eqn: a,~3,~b]가 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 [eqn: a,~2,~b]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: a^{3}+b^{3}]의 값은?	[[eqn: 4.1]점]

④

[eqn: a,~3,~b]가 등차수열을 이루고 있으므로

[eqn: a+b=6]

[eqn: a,~2,~b]가 등비수열을 이루고 있으므로

[eqn: ab=4]

따라서 [eqn: a ^{3} +b ^{3} =6 ^{3} -3 TIMES 4 TIMES 6=144]

① [eqn: 114]	② [eqn: 124]	③ [eqn: 134]

④ [eqn: 144]	⑤ [eqn: 154]

두 수 [eqn: a`]와 [eqn: b`]의 등차중항이 [eqn: 4`]이고, 등비중항이 [eqn: 2`]일 때, [eqn: a^2 +b^2 `]의 값은? [4.0점]

① [eqn: 54]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 58]
④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 62]

②

[eqn: a,~b`]의 등차중항이 [eqn: 4`]이므로 [eqn: a+b=8]

[eqn: a,~b`]의 등비중항이 [eqn: 2`]이므로 [eqn: ab=4]

[eqn: therefore] [eqn: a ^{2} +b ^{2} =(a+b) ^{2} -2ab=64-8=56]

세 수 [eqn: a,`6,`b``]가 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 [eqn: a,` sqrt {20} ,`b``]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때 [eqn: a _{} ` ^{2} +b _{} ` ^{2}``]의 값은? [4.3점]

⑤

[eqn: a+b`=`12`,``][eqn: ab`=`20``]이므로

[eqn: a^2 +b^2 `=`(a+b)^2 -2`ab`=`12^2`-`40`=`104``]

① [eqn: 96``]	② [eqn: 98``]	③ [eqn: 100``]

④ [eqn: 102``]	⑤ [eqn: 104``]

두 양수 [eqn: a,`b]에 대하여

②

세 수 [eqn: 9,```a,``15]은 이 순서대로 등차수열

[eqn: 2a=24`,`a=12]

세 수 [eqn: a,```b,```3]은 이 순서대로 등비수열

[eqn: b ^{2} =36`,`b=6`(b>0)]

[eqn: a+b=18]

세 수 [eqn: 9,```a,``15]은 이 순서대로 등차수열을 이루고,

세 수 [eqn: a,```b,```3]은 이 순서대로 등비수열을 이룰 때,

[eqn: a+b]값은?[[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 20]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 16]
④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 12]

등비수열을 이루는 수

두 수 [eqn: 8]과 [eqn: 72] 사이에 세 개의 양수 [eqn: a,``b,``c]를 넣어 전체가 등비수열을 이루도록 할 때, [eqn: b]의 값은?
[4.3점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 40]
④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 56]

①

[eqn: b ^{2} =8 TIMES 72,```````b=24]

등비수열의 합

첫째항이 [eqn: 16]이고 공비가 [eqn: 1 over2]인 등비수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라고 하자. [eqn: S_5]의 값은?

⑤

[eqn: S_5 = { 16 left( 1 - left( 1 over 2 right)^5 right)} over{1 - 1over2 } = 31]

[[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 27]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 29]
④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 31]

첫째항이 [eqn: 1,``] 공비가 [eqn: {1} over {2}``]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]의 첫째항부터 제 [eqn: 5``]항까지의 합은? [4.3점]

③

[eqn: S_5 `=` {1- LEFT ( 1over2 RIGHT )^5 } over {1- 1over2}`=`2- 1over16 `=`31over16 ``]

① [eqn: {33} over {32}``]	② [eqn: {17} over {16}``]	③ [eqn: {31} over {16}``]

④ [eqn: {63} over {32}``]	⑤ [eqn: 2``]

첫째항이 [eqn: 3], 공비가 [eqn: 2]인 등비수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: a_3 +S_3]의 값은?[3.8점]

④

[풀이]

[eqn: a _{n} =3 TIMES 2 ^{n-1}]

[eqn: a _{3} =3 TIMES 2 ^{2} =12]

[eqn: S _{3} = {3 LEFT ( 2 ^{3} -1 RIGHT )} over {2-1} =21]

[eqn: a _{3} +S _{3} =33]

① [eqn: 30]	② [eqn: 31]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 34]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]에서 [eqn: S _{k} =20,`S _{2k} =80]일 때, [eqn: S _{3k}]의 값은? [5.0점]

④

[eqn: S _{k} = {a(r ^{k} -1)} over {r-1} =20]

[eqn: S _{2k} = {a(r ^{2k} -1)} over {r-1} =80]

[eqn: {S _{2k}} over {S _{k}} =4=r ^{k} +1]	[eqn: THEREFORE `r ^{k} =3]

[eqn: THEREFORE ` {a} over {r-1} =10]

[eqn: THEREFORE S _{3k} = {a} over {r-1} (r ^{3k} -1)=260]

① [eqn: 140]	② [eqn: 180]	③ [eqn: 220]

④ [eqn: 260]	⑤ [eqn: 300]

모든 항이 양수이고 [eqn: a_1 =2], [eqn: a_2 +a_3 =24]인 등비수열 [eqn: left { a_n right }]에 대하여 수열 [eqn: left {5a_n -a_n+1 right }]의 첫째항부터 제[eqn: 8]항까지의 합은? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 2(2^8 -1)]	② [eqn: 4(2^8 -1)]	③ [eqn: 2(3^8 -1)]
④ [eqn: 3(3^8 -1)]	⑤ [eqn: 4(3^8 -1)]

③

수열 [eqn: left {a_n right }]의 공비를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: a_2 +a_3 = 2(r+r^2 )=24], [eqn: r^2 +r-12=0]

[eqn: (r+4)(r-3)=0], [eqn: r>0] 이므로 [eqn: r=3]

[eqn: 5a_n -a_n+1 =5 cdot 2 cdot 3^n-1 -2 cdot 3^n][eqn: =2 cdot 3^n-1 (5-3)=4 cdot 3^n-1]

[eqn: sum_k=1^8 4 cdot 3^k-1 = {4(3^8 -1)} over 3-1 =2(3^8 -1)]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left { a_n right }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자.
[eqn: a_1 +a_3 =4], [eqn: S_6 -S_2 =144]
일 때, [eqn: a_3 +a_5]의 값은? [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: 72]	② [eqn: 64]	③ [eqn: 36]
④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 12]

부분합과 등비수열

③

등비수열의 공비를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: S_6 -S_2][eqn: =a_6 +a_5 +a_4 +a_3][eqn: = (a_3 +a_5 )+(a_4 +a_6 )]
[eqn: =r^2 (a_1 +a_3 )+r^3 (a_1 +a_3 )][eqn: =4(r^2 +r^3 )=144]

[eqn: r^2 +r^3 =36],

[eqn: r^3 +r^2 -36][eqn: =(r-3)(r^2 +4r+12)][eqn: =0]

[eqn: therefore~ r=3], [eqn: a_3 +a_5 = r^2 (a_1 +a_3 )=9times 4=36]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n``]에 대하여 [eqn: S_10 = 8`,```S_30 =248]일 때, [eqn: S_20`]의 값은? (단, [eqn: a_n]은 실수) [4점]

⑤

[eqn: a_n = a cdot r^n-1`]에서

[eqn: S_10 = 8 = {a(r^10 -1) } over r-1]

[eqn: S _{30} =248= {a(r ^{30} -1)} over {r-1}]

따라서 [eqn: 31 = r^20 +r^10 +1]이고 [eqn: r^10=5]

[eqn: a overr-1 =2]

[eqn: S_20 = {a (r^20 -1) }over{r-1}= 48]

① [eqn: 32`]	② [eqn: 36`]	③ [eqn: 40`]

④ [eqn: 44`]	⑤ [eqn: 48`]

등비수열(step2)

9.

항 사이의 관계가 주어진 등비수열

공비가 음수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: a _{2} TIMES a _{4} TIMES a _{6} =1,```` {a _{4}} over {a _{2}} =4]일 때, [eqn: LEFT | a _{7} RIGHT |]의 값은? [3.9점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

③

[eqn: a _{4} ` ^{3} =1,````a _{4} =1,````a _{2} = {1} over {4} ,`````r ^{2} =4,````r=-2]

[eqn: LEFT | a _{7} RIGHT | = LEFT | a _{4} r ^{3} RIGHT | =8]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} a _{3} =9]일 때, [eqn: a _{2}]의 값은? [[eqn: 4.2`]점]

④

등비중항의 성질에 의하여

[eqn: a _{2}^{2} =a _{1} a _{3} =9] [eqn: THEREFORE a _{2} =3] [eqn: ( a _{2} >0)]

① [eqn: {1} over {9}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 9]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: a _{1} = {1} over {4}], [eqn: a _{2} +a _{3} =3]
일 때, 첫째항부터 제[eqn: 4]항까지의 합은? (단, [eqn: a _{4} >0]) [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 40]

③

[eqn: a _{n} = {1} over {4} r ^{n-1}]

[eqn: a _{2} +a _{3} =3]

[eqn: {1} over {4} r+ {1} over {4} r ^{2} =3]

[eqn: LEFT ( r+4 RIGHT ) LEFT ( r-3 RIGHT ) =0]

[eqn: r=3] [eqn: LEFT ( BECAUSE `a _{4} >0 RIGHT )]

[eqn: S _{4} = {{1} over {4} LEFT ( 3 ^{4} -1 RIGHT )} over {3-1} =10]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]에 대하여 [eqn: {a _{3} +a _{5} +a _{7}} over {a _{1} +a _{3} +a _{5}} =12``]일 때, [eqn: {a _{100} -a _{98}} over {a _{96} -a _{94}}``]의 값을 구하고, 그 풀이 과정을 자세히 서술하시오.[5점]

[eqn: 144``]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]의 공비를 [eqn: r``]이라 하면

[eqn: {a _{3} +a _{5} +a _{7}} over {a _{1} +a _{3} +a _{5}} ``][eqn: =` {(a _{1} +a _{3} +a _{5} )`r^2} over {a _{1} +a _{3} +a _{5}} `=`r^2`=`12``]이므로

[eqn: {a _{100} -a _{98}} over {a _{96} -a _{94}}``][eqn: =`{(a _{96} -a _{94} )`r^4} over {a _{96} -a _{94}}`=` r^4`=`12^2 `=`144``]이다.

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} =160] , [eqn: {a _{2} -a _{6}} over {a _{4}} = {3} over {2}]이다. [eqn: a _{n}]의 값이 자연수가 되도록 하는 [eqn: n]의 최댓값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 5.0]점]

[eqn: 11]

[풀이] 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r(r>0)]이라 하면

[eqn: {a _{2} -a _{6}} over {a _{4}} = {a _{2} (1-r ^{4} )} over {a _{2} TIMES r ^{2}} = {1-r ^{4}} over {r ^{2}}]

[eqn: {1-r ^{4}} over {r ^{2}} = {3} over {2}]에서 [eqn: 2r ^{4} +3r ^{2} -2=0]

[eqn: (2r ^{2} -1)(r ^{2} +2)=0]

[eqn: r>0]이므로 [eqn: r= {1} over {sqrt {2}}]

따라서 [eqn: a _{n} =160 TIMES LEFT ( {1} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{n-1}]이고

[eqn: a _{11} =160 TIMES LEFT ( {1} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{10} =2 ^{5} TIMES 5 TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5} =5]이므로

[eqn: a _{n}]의 값이 정수가 되도록 하는 [eqn: n]의 최댓값은 [eqn: 11]이다.

수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} = {a _{n+1}} over {a _{n}}]이고, [eqn: {1} over {sqrt {2}} a _{n+1} =a _{n}] 일 때, [eqn: a _{5}]의 값은? [eqn: (단,`n=1,```2,```3,``` CDOTS ``)] [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 2 sqrt {2}]	② [eqn: 3 sqrt {2}]	③ [eqn: 4 sqrt {2}]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

③

[eqn: a _{1} = {a _{n+1}} over {a _{n}}], [eqn: {1} over {sqrt {2}} a _{n+1} =a _{n}]에서

[eqn: a _{n} =( sqrt {2} ) ^{n}]이므로

[eqn: a _{5} =4 sqrt {2}]

첫째항이 [eqn: 12]이고 공비가 [eqn: r]인 등비수열 [eqn: left{a _{n} {right}}]에서 [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}]은 정수이고, [eqn: n>4]이면 [eqn: a _{n}]은 정수가 아니다. [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} =21] 일 때, [eqn: a _{5} = {q} over {p}] 이다. 이때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: r<0]이고, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4.7점]

③

[eqn: a_n = 12 cdot r^n-1]

[eqn: 12 + 12r + 12r^2 =21]에서

[eqn: 4+4r+4r ^{2} =7], [eqn: 4r ^{2} +4r-3=0]

[eqn: LEFT ( 2r+3 RIGHT ) LEFT ( 2r-1 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ```r=- {3} over {2} ```(r<0)]

[eqn: a _{5} =12 CDOT LEFT ( - {3} over {2} RIGHT ) ^{4} = {243} over {4}]

따라서 [eqn: p+q=247]

① [eqn: 245]	② [eqn: 246]	③ [eqn: 247]

④ [eqn: 248]	⑤ [eqn: 249]

[eqn: a _{1} +`a _{2} +a _{3} =7`,``a _{2} +a _{3} +a _{4} =14``]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]에 대하여 [eqn: a _{5}``]의 값은? [4.6점]

②

[eqn: a _{1} +`a _{2} +a _{3} =7`,``a _{2} +a _{3} +a _{4} =14``]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]에 대하여

[eqn: a _{2} +a _{3} +a _{4} `=` LEFT ( a _{1} +`a _{2} +a _{3} RIGHT ) `r``]이므로 [eqn: r=2``]

[eqn: a _{1} +`a _{2} +a _{3}`=`(1+2+4)`a_1`=`7``]이므로 [eqn: a_1`=`1``]

따라서 [eqn: a _{5}`=`2^4`=`16``]이다.

① [eqn: 8``]	② [eqn: 16``]	③ [eqn: 24``]

④ [eqn: 32``]	⑤ [eqn: 40``]

두 수 사이에 수를 넣어 만든 등비수열

두 수 [eqn: {1} over {2}]과 [eqn: 32] 사이에 [eqn: n]개의 실수를 넣어 만든 공비가 양수 [eqn: r]인 등비수열 [eqn: {1} over {2} `,`a _{1`} ,`a _{2} `,a _{3} ,` CDOTS `,`a _{n} `,`32]의 모든 항의 곱이 [eqn: 2 ^{12}]일 때, [eqn: n+r ^{5}]의 값은? [[eqn: 4.7]점]

①

[eqn: {1} over {2} `,`a _{1`} ,`a _{2} `,a _{3} ,` CDOTS `,`a _{n} `,`32]

항의 개수 [eqn: n+2] 첫항 [eqn: {1} over {2}] 공비 [eqn: r`(r>0)] 인 등비수열

모든항의 곱은

[eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n+2} LEFT ( r RIGHT ) ^{1+2+ CDOTS +n+1} `=2 ^{12} `] [eqn: CDOTS `(1)]

[eqn: 32= {1} over {2} r ^{n+1}] [eqn: CDOTS `(2)]

[eqn: r ^{n+1} `=64]

[eqn: (1)]식에 [eqn: (2)]대입

[eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n+2} LEFT ( r RIGHT ) ^{{(n+1)(n+2)} over {2}} `= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n+2} LEFT ( r ^{n+1} RIGHT ) ^{{n+2} over {2}} `= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n+2} LEFT ( 2 RIGHT ) ^{3(n+2)}]

[eqn: 2 ^{2n+4} `=2 ^{12}]

[eqn: n=4]

[eqn: r ^{5} =2 ^{6}]

[eqn: n+r ^{5} =68]

① [eqn: 68]	② [eqn: 64]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 56]	⑤ [eqn: 52]

등비중항

공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 세 항 [eqn: a _{3} ,`a _{5} ,`a _{13}]이 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: a _{10}]의 값은? [[eqn: 4.5]점]

⑤

[eqn: a+6] [eqn: a+12] [eqn: a+36]이 등비수열이므로

[eqn: (a+12) ^{2} =(a+6)(a+36)] 이를 전개하면 [eqn: a=-4]이다

따라서 [eqn: a _{10} =a+27=23]

① [eqn: 11]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 23]

등차수열 [eqn: left { a_n right }]의 공차가 [eqn: 0]이 아닐 때, 세 수 [eqn: a_2], [eqn: a_4], [eqn: a_7]가 순서대로 등비수열을 이룬다. [eqn: a_28 over a_2]의 값은? [[eqn: 3.7]점]

① [eqn: 15 over 2]	② [eqn: 19 over 3]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 17 over 2]	⑤ [eqn: 9]

①

등차수열 [eqn: left { a_n right }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하자.

[eqn: a_2 times a_7 = a_4`^2], [eqn: (a+d)(a+6d)=(a+3d)^2]

[eqn: a^2 +7da+6d^2 = a^2 +6da+9d^2]

[eqn: da=3d^2], [eqn: a=3d] [eqn: (because~ d !=0)]

[eqn: a_28 over a_2 = a+27d over a+d = 30d over 4d = 15 over 2]

공차가 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]과 자연수 [eqn: p,q]가 다음 조건을 만족시킨다.

②

공차가 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]

(가) [eqn: 2a _{p} =a _{6} +a _{q}]

[eqn: 2a _{1} +2(p-1)d=a _{1} +5d+a _{1} +(q-1)d]

[eqn: (2p-q-6)d=0] [eqn: 2p-q=6] [eqn: 2p=q+6]

(나) 세 수 [eqn: 7p,`14 sqrt {5} `,`q]가 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

[eqn: 14 ^{2} TIMES 5=7pq] [eqn: pq=140]

[eqn: pq= {q+6} over {2} TIMES q=140]

[eqn: q ^{2} +6q-280=`(q+20)(q-14)=0]

[eqn: q=14] [eqn: p=10]

[eqn: {a _{30} `-a _{q}} over {a _{18} `-a _{p}} = {a _{30} -a _{14}} over {a _{18} -a _{10}} = {16d} over {8d} =2]

(가) [eqn: 2a _{p} =a _{6} +a _{q}]

(나) 세 수 [eqn: 7p,`14 sqrt {5} `,`q]가 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

[eqn: {a _{30} `-a _{q}} over {a _{18} `-a _{p}}]의 값은?[[eqn: 5.1]점]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

첫째항과 공차가 모두 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]에 대하여 세 항 [eqn: a_1`,``a_3`,``a_13]이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: a_8 over a_2]의 값은? [3.9점]

③

[eqn: a_n = a + (n-1)d`]에서

[eqn: a_3 over a_1 = a_13 overa_3`]이므로 [eqn: {a+2d} over {a} = {a+12d} over {a+2d}]

따라서 [eqn: d=2a]

[eqn: therefore``` a_8 overa_2 = { a+14a} over {a+2a} = 5]

① [eqn: 3`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 5`]

④ [eqn: 6`]	⑤ [eqn: 7`]

공차가 [eqn: 9]인 등차수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]에서 [eqn: a _{2} ,~a _{10}]의 등차중항이 [eqn: a _{k}]이고 [eqn: a _{1}]과 [eqn: a _{k}]의 등비중항이 [eqn: a _{2}]일 때, [eqn: a _{k}]의 값은? [[eqn: 4.7]점]

① [eqn: 45]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 51]
④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 57]

②

[eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }] 공차가 [eqn: 9]인 등차수열이므로 첫째항을 [eqn: a]라 하면

[eqn: a _{n} =a+9(n-1)]

[eqn: a _{2} ,~a _{10}]의 등차중항이 [eqn: a _{k}]이므로 [eqn: k=6]

[eqn: a _{1}]과 [eqn: a _{6}]의 등비중항이 [eqn: a _{2}]이므로

[eqn: (a+9) ^{2} =a(a+45)]에서 [eqn: a=3]

따라서 [eqn: a _{k} =a _{6} =3+5 TIMES 9=48]

이차함수 [eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c]가 다음 세 조건을 만족할 때, [eqn: f(2)]의 값은? (단, [eqn: a`,`b`,`c]는 상수이고, [eqn: a>0]이다.) [[eqn: 4.7]점]

③

[풀이]

[eqn: {1} over {a} ,` {1} over {b} , {1} over {c}]가 등차수열을 이루므로 [eqn: {2} over {b} = {1} over {a} + {1} over {c}]

[eqn: a`,`c,`b]가 차례로 등비수열을 이루므로 [eqn: c ^{2} =ab]

[eqn: {2} over {b} = {1} over {a} + {1} over {c}]을 [eqn: {1} over {c} = {2} over {b} - {1} over {a} = {2a-b} over {ab} = {2a-b} over {c ^{2}}]으로 두면

[eqn: c=2a-b]가 된다.

[eqn: c ^{2} =ab]에서 [eqn: (2a-b) ^{2} =ab], [eqn: 4a ^{2} -5ab+b ^{2} =0]에서

[eqn: (4a-b)(a-b)=0]이므로 [eqn: 4a=b]또는 [eqn: a=b]. 공비가 [eqn: 1]이 아니므로

[eqn: b=4a], [eqn: c=2a-b=-2a]

[eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c=ax ^{2} +4ax-2a=a(x+2) ^{2} -6a]에서 최솟값은 [eqn: -6a=-12]에서 [eqn: a=2]

[eqn: f(x)=2(x+2) ^{2} -12]에서 [eqn: f(2)=20]

[다른풀이]

[eqn: {1} over {a} ,` {1} over {b} , {1} over {c}]에서 등차중항의 성질에 의해

[eqn: {2} over {b} = {1} over {a} + {1} over {c}], [eqn: 2ac=ab+bc]

[eqn: a`,`c,`b]에서 등비중항의 성질에 의해

[eqn: c ^{2} =ab]

구해진 두 식을 연립해보면

[eqn: 2ac=c ^{2} +bc], [eqn: 2a=c+b]

[eqn: 2a=c+b]에서

[eqn: c,a,b]가 등차수열이 되므로 공차를 [eqn: d]라 하자.

[eqn: b=a-d,```c=a+d]라 되고

[eqn: c ^{2} =ab]에 대입하면

[eqn: d LEFT ( 3a+d RIGHT ) =0]인데 [eqn: d=0]이면 공비가 [eqn: 1]이 되므로 모순

[eqn: d=-3a]

[eqn: b=4a,`c=-2a]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +4ax-2a=a LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} -6a]에서 최솟값은 [eqn: -6a]이고

이 값이 [eqn: -12]이므로 [eqn: a=2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} +8x-4]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =20]

(가) 세 수 [eqn: {1} over {a} ,` {1} over {b} , {1} over {c}]은 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

(나) 세 수 [eqn: a`,`c,`b]는 이 순서대로 공비가 [eqn: 1]이 아닌 등비수열을 이룬다.

(다) 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: -12]이다.

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

이차다항식 [eqn: ax ^{2} +bx+c``]를 [eqn: x,`x-1,`x+2``]로 나눈 나머지를 각각 [eqn: p,`q,`r``]라 하면 세 수 [eqn: p,`q,`r``]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: a=2,`b=1,`c=-4``]

나머지정리에 의하여

[eqn: p=c`,``q=a+b+c`,``r=4`a-2`b+c``]이다.

(가)에서 [eqn: a+b=3`,``3a-3b=3``]이므로 [eqn: a=2`,``b=1``]이다.

또한 [eqn: p=c`,``q=3+c`,``r=6+c``]이다.

(나)에서 [eqn: r^2 `=`p`q``] 즉, [eqn: (6+c)^2 `=`c`(3+c)``]이므로 [eqn: c=-4``]이다.

(가) 세 수 [eqn: p,`q,`r``]는 이 순서대로 공차가 [eqn: 3``]인 등차수열을 이룬다.

(나) 세 수 [eqn: p,`r,`q``]가 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

세 상수 [eqn: a,`b,`c``]를 각각 구하고 그 과정을 서술하시오. [8.0점]

곡선 [eqn: y=x ^{3} -2x ^{2} +x]와 직선 [eqn: y=k]가 만나는 서로 다른 세 점의 [eqn: x]좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열한 수가 등비수열을 이룰 때, 상수 [eqn: k]의 값은? [4.3점]

① [eqn: {1} over {16}]	② [eqn: {1} over {8}]	③ [eqn: {3} over {16}]
④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {16}]

②

[eqn: x ^{3} -2x ^{2} +x-k=0]의 세 근을 [eqn: a,```ar,```ar ^{2}]라 두면

근과 계수와의 관계에 의해

[eqn: a LEFT ( 1+r+r ^{2} RIGHT ) =2,````a ^{2} r+a ^{2} r ^{2} +a ^{2} r ^{3} =a ^{2} r LEFT ( 1+r+r ^{2} RIGHT ) =1,```a ^{3} r ^{3} =k]

[eqn: ar= {1} over {2} ,````k= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} = {1} over {8}]

등비수열의 활용

자연수 [eqn: m]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합을 [eqn: A(m)]이라 하자.

⑤

[풀이]

[eqn: 108=2 ^{2} TIMES 3 ^{3}]에서 양의 약수의 개수는 [eqn: 3times4=12`]개 이다.

공비	항수

[eqn: 3 ^{1}]	[eqn: 3 ^{3} TIMES 2 ^{2} +1=109]

[eqn: 3 ^{2}]	[eqn: 2 TIMES 3 ^{3} +1=55]

[eqn: 3 ^{2 ^{2}}]	[eqn: 3 ^{3} +1=28]

[eqn: 3 ^{3}]	[eqn: 3 ^{2} TIMES 2 ^{2} +1=37]

[eqn: 3 ^{3 ^{2}}]	[eqn: 3 TIMES 2 ^{2} +1=13]

[eqn: 3 ^{3 ^{3}}]	[eqn: 2 ^{2} +1=5]

[eqn: 2 TIMES 3]	[eqn: 2 TIMES 3 ^{2} +1=19]

[eqn: 2 TIMES 3 ^{2}]	[eqn: 2 TIMES 3+1=7]

[eqn: 2 TIMES 3 ^{3}]	[eqn: 2+1=3]

[eqn: 2 ^{2} TIMES 3]	[eqn: 3 ^{2} +1=10]

[eqn: 2 ^{2} TIMES 3 ^{2}]	[eqn: 3+1=4]

[eqn: 2 ^{2} TIMES 3 ^{3}]	[eqn: 1+1=2]

항수를 다 더하면 [eqn: 292]

[eqn: 5 times 3^m]은 첫째항이 [eqn: 5]이고 공비가 [eqn: 3]이상의 자연수인 등비수열의 제 [eqn: k]항이다.

예를 들어, [eqn: 5 times 3^2]은 첫째항이 [eqn: 5]이고 공비가 [eqn: 3]인 등비수열의 제 [eqn: 3]항, 첫째항이 [eqn: 5]이고 공비가 [eqn: 9]인 등비수열의 제 [eqn: 2]항이 되므로 [eqn: A(2) = 3+2=5]이다. [eqn: A(108)]의 값은?[4.6점]

① [eqn: 288]	② [eqn: 289]	③ [eqn: 290]

④ [eqn: 291]	⑤ [eqn: 292]

등비수열의 합

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: a_{1}=1], [eqn: {S_{6}}over{S_{3}}=126]일 때, [eqn: S_3]의 값은? [4.8점]

① [eqn: 26]	② [eqn: 31]	③ [eqn: 37]
④ [eqn: 43]	⑤ [eqn: 49]

②

[eqn: {S_6}over{S_3}={{a_1 (r^6 -1)}over{r-1} }over{{a_1 (r^3 -1)}over{r-1}} =r^3 +1 =126]

[eqn: r^3 =125, ``r=5]

[eqn: S_3 ={(5^3 -1)}over{5-1}=31]

첫째항이 [eqn: a _{1}``` (a _{1} >0)``]이고, 공비가 [eqn: r``]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]의 첫째항부터 제 [eqn: n``]항까지의 합을 [eqn: S _{n}``]이라 하자. [eqn: 2S _{2} =S _{3} +S _{4}``], [eqn: r ^{2} =144a _{1} ^{2}``] 일 때, [eqn: a _{5}``]의 값은? [4.5점]

③

[eqn: 2S _{2} =S _{3} +S _{4}``]에서

[eqn: 2`(a_1 +a_2 )`=`2`(a_1 +a_2 +a_3 )`+a_4``]

[eqn: 2`a_3 +a_4 `=`a_1 `r^2 `(2+r)`=`0``]

이므로 [eqn: r`=`-2``]이다. [eqn: (`a_1 >0``]이므로 [eqn: r!=0`)``]

[eqn: r ^{2} =144a _{1} ^{2}``]에서 [eqn: r`=` +-12`a_1`=`-2``]이므로

[eqn: a_1 `=` 1over6 ``][eqn: (` BECAUSE``` a_1 >0`)``]

따라서 [eqn: a _{5}`=`a_1`r^4`=` LEFT ( 1over6 RIGHT ) times (-2)^4`=` 8over3 ``]이다.

① [eqn: 2``]	② [eqn: {7} over {3}``]	③ [eqn: {8} over {3}``]
④ [eqn: 3``]	⑤ [eqn: {10} over {3}``]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: S _{3} =3], [eqn: S _{6} =12]일 때, [eqn: 2S _{30}]의 값은? [[eqn: 4.7]점]

① [eqn: 3 ^{14} -3]	② [eqn: 3 ^{13} -3]	③ [eqn: 3 ^{12} -3]
④ [eqn: 3 ^{11} -3]	⑤ [eqn: 3 ^{10} -3]

④

[eqn: S _{3} = {a _{1} LEFT ( r ^{3} -1 RIGHT )} over {r-1} =3]이고

[eqn: S _{6} = {a _{1} LEFT ( r ^{6} -1 RIGHT )} over {r-1} = {a _{1} LEFT ( r ^{3} -1 RIGHT )} over {r-1} LEFT ( r ^{3} +1 RIGHT ) =3· LEFT ( r ^{3} +1 RIGHT ) =12]

[eqn: r ^{3} +1=4]이므로 [eqn: r ^{3} =3]이고 [eqn: {a _{1}} over {r-1} = {3} over {2}]

[eqn: S _{30} = {a _{1} LEFT ( r ^{30} -1 RIGHT )} over {r-1} = {a _{1}} over {r-1} · LEFT { LEFT ( r ^{3} RIGHT ) ^{10} -1 RIGHT } = {3} over {2} LEFT ( 3 ^{10} -1 RIGHT )]

따라서 [eqn: 2S _{30} =3 LEFT ( 3 ^{10} -1 RIGHT ) =3 ^{11} -3]

모든 항이 실수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]의 첫째항부터 제[eqn: n``]항까지의 합을 [eqn: S _{n}``]이라 하자. [eqn: S _{3} =5,``S _{6} =30``]일 때, [eqn: S _{9}``]의 값은? [4.4점]

④

[eqn: a_1 +a_2 +a_3 `=`S_3 `=`5`,``]

[eqn: a_4 +a_5 +a_6 `=` LEFT ( a_1 +a_2 +a_3 RIGHT )`r^3`=` S_6 -S_3 `=`25`,``][eqn: r^3 `=`5``]

[eqn: a_7 +a_8 +a_9 `=`LEFT ( a_4 +a_5 +a_6 RIGHT )`r^3`=`S_9 - S_6 `=`125``]

이므로 [eqn: S_9 `=`125+S_6 `=`155``]이다.

① [eqn: 140``]	② [eqn: 145``]	③ [eqn: 150``]

④ [eqn: 155``]	⑤ [eqn: 160``]

모든 항이 음수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT | a _{n} RIGHT | > LEFT | a _{n+1} RIGHT |]이고 [eqn: {S _{5} -S _{1}} over {S _{4} -S _{2}} = {5} over {2}]일 때, [eqn: {a _{4}} over {a _{5} +a _{1}}]의 값은? [5.1점]

②

[eqn: a _{n} =a BULLET r ^{n-1} <0] 이므로 [eqn: a<0,~r>0]

[eqn: {S _{5} -S _{1}} over {S _{4} -S _{2}} = {{a(r ^{5} -1)} over {r-1} -a} over {{a(r ^{4} -1)} over {r-1} - {a(r ^{2} -1)} over {r-1}} = {r ^{5} -1-r+1} over {r ^{4} -1-r ^{2} +1} = {r(r ^{4} -1)} over {r ^{2} (r ^{2} -1)}]

[eqn: = {r ^{2} +1} over {r} = {5} over {2}]

[eqn: 2r ^{2} -5r+2=0]	[eqn: THEREFORE `r= {1} over {2} ,~2]

[eqn: LEFT | a _{m} RIGHT | > LEFT | a _{n+1} RIGHT |] 이므로	[eqn: r= {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE ` {a ^{4}} over {a ^{5} +a ^{1}} = {a LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3}} over {a LEFT ( LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4} +1 RIGHT )} = {2} over {17}]

① [eqn: {2} over {33}]	② [eqn: {2} over {17}]	③ [eqn: {2} over {9}]

④ [eqn: {2} over {5}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

첫째항이 [eqn: 1]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하면 [eqn: S _{10} =244S _{5}]이다. 이때 [eqn: S _{3}]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 17]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 13]
④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 9]

③

[eqn: S _{10} =244S _{5}]

[eqn: {r ^{10} -1} over {r-1} =244 TIMES {r ^{5} -1} over {r-1}]

[eqn: LEFT ( r ^{5} -1 RIGHT ) LEFT ( r ^{5} -243 RIGHT ) =0]

[eqn: r=3] [eqn: LEFT ( BECAUSE `r != 1 RIGHT )]

[eqn: S _{3} = {3 ^{3} -1} over {3-1} =13]

공차가 [eqn: 7]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT }]에 대하여 세 항 [eqn: a_{2}, `a_{5}`,a_{k}]는 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 항 [eqn: a _{2} ,`a _{4} `,a _{k}]는 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 다음 물음에 답하시오. [총 8점]

1) [eqn: a_n =7n], 2) [eqn: 1470]

1) [eqn: a_2 =a_1 +7], [eqn: a_5 =a_1 +28], [eqn: a_k =a_1 +7(k-1)]

등차중항에 의하여 [eqn: 2(a_1 +28)=(a_1 +7)+ LEFT{ a_1 +7(k-1) RIGHT }]

[eqn: k=8]

[eqn: a_2 =a_1 +7], [eqn: a _{4} =a _{1} +21], [eqn: a _{8} =a _{1} +49], 등비중항에 의하여

[eqn: (a _{1`}+21)^2 =(a_1 +7) TIMES(a_1 +49)], [eqn: a_1 =7], [eqn: a_n =7n]

2) [eqn: a_n =7n], [eqn: sum _{ n=1} ^{ 20}7n=1470]

1-1, 등차수열의 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [6점]

1-2, 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: S _{20}]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [2점]

공비가 [eqn: 2]인 등비수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: a_k = 12], [eqn: S_k+5 = 765]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: S_k]의 값은?

③

수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a]라 하면

[eqn: a_k = a times 2^k-1 = 12]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: S_k+5 = {a (2^k+5 -1 ) } over 2-1 = 765]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: a = 3], [eqn: k = 3]

따라서 [eqn: S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 3+6+12 = 21]

[[eqn: 4.8]점]

① [eqn: 19]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 21]
④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 23]

첫째항이 [eqn: 0]이 아닌 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: S _{10} =7S _{5}]일 때, [eqn: S _{20} =kS _{5}]이다.
상수 [eqn: k]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 7.0]점]

[eqn: 259]

풀이)

[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 등비수열 이므로 [eqn: a_n = a r ^ n-1]

[eqn: S_n = { a ( r^n -1 ) } over { r -1] 에서

[eqn: S _{10} = {a(r ^{10} -1)} over {r-1}], [eqn: S _{5} = {a(r ^{5} -1)} over {r-1}]

[eqn: {a(r ^{10} -1)} over {r-1} = 7 times {a(r ^{5} -1)} over {r-1}]

[eqn: {a(r ^{5} -1)( r^ 5 +1 ) } over {r-1} = 7 times {a(r ^{5} -1)} over {r-1}]

[eqn: (r ^{5} +1) = 7] 이므로 [eqn: THEREFORE ~ r ^ 5 = 6] 이다.

[eqn: S _{20} =kS _{5}] 에서

[eqn: S _{20} = {a(r ^{20} -1)} over {r-1}], [eqn: S _{5} = {a(r ^{5} -1)} over {r-1}]

[eqn: {a(r ^{20} -1)} over {r-1} =k TIMES {a(r ^{5} -1)} over {r-1}]

[eqn: {a(r ^{5} -1)( r^ 5 +1 )( r^ 10 +1) } over {r-1} = k times {a(r ^{5} -1)} over {r-1}]

[eqn: (r ^{5} +1)(r ^{10} +1)} =k]

[eqn: r ^ 5 = 6] 에서 [eqn: (r ^{5} +1)(r ^{10} +1)=(6+1)(36+1)=259] 이다.

첫째항이 [eqn: 1]인 두 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `, LEFT { b _{n} RIGHT }]의 공비가 각각 [eqn: r,`r ^{2}] ([eqn: r>`0,`r` != `1])이고, 두 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `, LEFT { b _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 각각 [eqn: S _{n} ,`T _{n}]이라 하자. 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 2S _{20} =`kT _{10}], [eqn: {S _{6}} over {T _{2}} = {21} over {40} k]일 때, [eqn: r+k]의 값은?[[eqn: 5.0]점]

① [eqn: {9} over {2}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: {7} over {2}]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

③

[eqn: a _{n} =r ^{n-1} ``,b _{n} = LEFT ( r ^{2} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: S _{n} `= {(r ^{n} -1)} over {r-1} `,`T _{n} = {(r ^{2n} -1)} over {r ^{2} `-1}]

[eqn: 2 TIMES {r ^{20} -1} over {r-1} =`k TIMES {r ^{20} -1} over {r-1}]

[eqn: {2} over {r-1} = {k} over {(r-1)(r+1)}]

[eqn: 2r+2=k]

[eqn: {S _{6}} over {T _{2}} = {{r ^{6} -1} over {r-1}} over {{r ^{4} -1} over {r ^{2} -1}} = {21} over {40} k]

[eqn: {(r ^{6} -1)(r ^{2} -1)} over {(r-1)(r ^{4} -1)} = {(r ^{2} +r+1)(r ^{3} +1)} over {r ^{2} +1} = {21} over {40} k]

[eqn: {(r ^{3} +1)(r ^{2} +r+1)} over {r ^{2} +1} = {21} over {40} TIMES 2(r+1)]

[eqn: 20(r ^{2} +r+1)(r ^{2} -r+1)=21(r ^{2} +2)]

[eqn: 20r ^{4} -r ^{2} -1=0]

[eqn: (4r ^{2} -1)(5r ^{2} +1)=0]

[eqn: r ^{2} = {1} over {4}] [eqn: r= {1} over {2}] [eqn: k=3]

[eqn: r+k= {7} over {2}]

부분합과 등비수열

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT }]에서

④

[eqn: a_1 + a_2 +a_3 + CDOTS+a_10 =5]

[eqn: r^10 (a_1 + a_2 +a_3 + CDOTS+a_10 ) =(a_11 + a_12 +a_13 + CDOTS+a_20 )=30]

[eqn: r^10 =6], [eqn: r^20 = 36]

[eqn: a_21 + a_22 +a_23 + CDOTS+a_30 =r^20 (a_1 + a_2 +a_3 + CDOTS+a_10 )][eqn: =180]

[eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}+ CDOTS+a_{10}=5]

[eqn: a_{11}+a_{12}+a_{13}+ CDOTS+a_{20}=30]일 때,

[eqn: a_{21}+a_{22}+a_{23}+ CDOTS+a_{30}]의 값은? [4.7점]

① [eqn: 80]	② [eqn: 110]	③ [eqn: 145]
④ [eqn: 180]	⑤ [eqn: 215]

첫째항과 제 [eqn: 2`]항의 합이 [eqn: 9], 첫째항부터 제 [eqn: 4`]항까지의 합이 [eqn: 36`]인 등비수열의 첫째항부터 제 [eqn: 8`]항까지의 합은? [4.1점]

① [eqn: 72]	② [eqn: 144]	③ [eqn: 216]
④ [eqn: 288]	⑤ [eqn: 360]

⑤

[eqn: a+ar=a(1+r)=9]	[eqn: cdots]①

[eqn: {a(r^4 -1)} over{r-1} =36]	[eqn: cdots]②

①, ②를 연립하면

[eqn: 9 over1+r times {r^4 -1} overr-1 = 9(r^2 +1)=36]

[eqn: r^2 =3]

[eqn: therefore] [eqn: S_8 ={a(r^8 -1)} overr-1 = {a(r^4 -1)} overr-1 times(r^4 +1)= 36 times10=360]

첫째항부터 제[eqn: 3]항까지의 합이 [eqn: 8,] 첫째항부터 제 [eqn: 6]항까지의 합이 [eqn: 96]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: 9]항까지의 합은? [4.4점]

① [eqn: 1000]	② [eqn: 1032]	③ [eqn: 1064]
④ [eqn: 1096]	⑤ [eqn: 1128]

③

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} =8], [eqn: a _{4} +a _{5} +a _{6} =88] 등비수열의 합은 등비수열이므로

[eqn: a _{7} +a _{8} +a _{9} =88 TIMES 11=968]

[eqn: S _{9} =96+968=1064]

등비수열의 합의 활용

한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정삼각형 모양의 종이가 있다. 그림과 같이 첫 번째 시행에서 정삼각형 각 변의 중점을 이어 만든 중앙의 정삼각형을 색칠하고, 두 번째 시행에서 첫 번째 시행 후 남은 [eqn: 3]개의 정삼각형에 대해 각 변의 중점을 이어 만든 중앙의 정삼각형을 색칠한다. 이와 같은 시행을 [eqn: 5]회 반복했을 때, 색칠한 부분의 넓이의 합을 [eqn: p left(1-q^5 right)]이라 하자. 이 때, [eqn: p times q]는? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 실수이고, [eqn: q<1]이다.)

⑤

첫 번째 시행 후 색칠된 삼각형의 넓이 [eqn: a_1 = sqrt3 over4 times 2^2 = sqrt3]

첫 번째 시행 후 만들어진 삼각형과 두 번째 시행 후 만들어진 삼각형은 닮음 도형이고 닮음비는 [eqn: 2:1]이므로 넓이 비는 [eqn: 4:1]이다. 따라서 두 번째 시행 후 색칠된 삼각형의 넓이는 [eqn: a_2 = sqrt3 times 3 over4]이다.

첫째항이 [eqn: sqrt3]이고 공비가 [eqn: 3 over4]인 등비수열이므로 색칠한 부분의 넓이의 합은

색칠한 부분의 넓이의 합[eqn: = { sqrt3 left( 1- left( 3over4 right)^5 right)} over {1 - 3 over4 } = 4sqrt3 left( 1 - left( 3over4 right)^5 right)]

따라서 [eqn: p = 4 sqrt3], [eqn: q = 3 over4], [eqn: p times q = sqrt3]

[[eqn: 4.9]점]

① [eqn: sqrt3 over4]	② [eqn: sqrt3 over2]	③ [eqn: {3sqrt3} over2]
④ [eqn: 2 sqrt3]	⑤ [eqn: 3sqrt3]

한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정사각형 모양의 종이가 있다. 다음 그림과 같이 첫 번째 시행에서 정사각형을 [eqn: 9]등분 한 후 중앙의 정사각형을 색칠하고, 두 번째 시행에서 첫 번째 시행 후 남은 [eqn: 8]개의 정사각형을 각각 [eqn: 9]등분 한 후 중앙의 정사각형을 색칠한다. 이와 같은 시행을 [eqn: 5]회 반복했을 때, 색칠한 부분을 제외한 넓이의 합이 [eqn: p{times}{{left(} {p} over {q} {right)}} ^{4}]이다. [eqn: 2p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4.5점]

⑤

[eqn: 5`]회 반복 후 색칠한 부분의 넓이는

[eqn: 1+ {8} over {9} + LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{3} + LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{4}]

[eqn: =9-9 LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{5}]

따라서 색칠한 부분을 제외한 넓이는 [eqn: 8 LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{4}]

[eqn: therefore````][eqn: 2p+q=25]

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

다항식 [eqn: x ^{11} +x ^{10} +x ^{9} + CDOTS +x ^{2} +x+2]를 [eqn: x-1]로 나눈 몫을 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]라고 할 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-3]으로 나눈 나머지는? [5.3점]

① [eqn: {3 ^{10} -21} over {4}]	② [eqn: {3 ^{12} -16} over {4}]	③ [eqn: {3 ^{11} -11} over {4}]
④ [eqn: {3 ^{12} -25} over {4}]	⑤ [eqn: {3 ^{12} -20} over {4}]

④

[eqn: x ^{11} +x ^{10} +x ^{9} + CDOTS +x ^{2} +x+2= LEFT ( x-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) +13] 이고,

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {x ^{11} +x ^{10} +x ^{9} + CDOTS +x ^{2} +x-11} over {x-1}]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) = {3 ^{11} +3 ^{10} +3 ^{9} + CDOTS +3 ^{2} +3-11} over {2} = {{3 LEFT ( 3 ^{11} -1 RIGHT )} over {2} -11} over {2} = {3 ^{12} -25} over {4}]

등비수열의 합과 일반항

첫째항이 [eqn: 2]인 수열 [eqn: left{a _{n} {right}}]에 대하여 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, 수열 [eqn: left{a _{n} {right}}]은 다음 조건을 만족시킨다.

④

[eqn: a_2n-1 = 2 + (n-1)`3=3n-1]

[eqn: S _{2n-1} =2 TIMES 2 ^{n-1} =2 ^{n}]

[eqn: S_13 = S_11 + a_12 +a_13]이므로 [eqn: 2^7 = 2^6 +a_12 +20]

[eqn: therefore````][eqn: a_12 = 44]

(가) 수열 [eqn: left{a _{2n-1} {right}}]은 공차가 [eqn: 3]인 등차수열이다.

(나) 수열 [eqn: left{S _{2n-1} {right}}]은 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이다.

[eqn: a _{12}]의 값은? [4.7점]

① [eqn: 41]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 43]

④ [eqn: 44]	⑤ [eqn: 45]

원리합계

월이율이 [eqn: 4 %]이고, 매달 초에 복리로 [eqn: 10,000]원씩 적립한다. [eqn: 2023]년 [eqn: 1]월 초부터 [eqn: 2]년 간 적립할 때, [eqn: 2024]년 [eqn: 12]월 말 적립금의 원리합계는? (단, [eqn: 1.04^24 = 2.56]으로 계산한다.)

②

[eqn: 2023]년 [eqn: 1]월 초부터 [eqn: 2]년 간 매달 초에 복리로 [eqn: 10,000]원씩 적립할 때 [eqn: 2024]년 [eqn: 12]월 말 적립금의 원리합계금은

[eqn: 10000 (1+0.04) + 10000 (1+0.04)^2 + cdots 10000(1+0.04)^24]

[eqn: = { 10000times 1.04 times ( 1.04^24 - 1) } over {1.04 - 1}]

[eqn: = {10000times 1.04 times 1.56} over 0.04 = 405600]

[[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 404,600]원	② [eqn: 405,600]원	③ [eqn: 405,800]원
④ [eqn: 406,400]월	⑤ [eqn: 406,600]원

연이율 [eqn: 4%]이고 [eqn: 1]년마다 복리로 매년 초에 [eqn: 10]만 원씩 [eqn: 10]년 동안 적립할 때, [eqn: 10]년 말까지 적립금의 원리합계는?
(단, [eqn: 1.04 ^{10} =1.5]로 계산한다.) [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 110]만원	② [eqn: 115]만원	③ [eqn: 120]만원
④ [eqn: 125]만원	⑤ [eqn: 130]만원

⑤

[eqn: S _{10} = {10 LEFT ( 1.04 RIGHT ) LEFT { 1.04 ^{10} -1 RIGHT }} over {1.04-1} =130]

연이율 [eqn: 5%``], [eqn: 1``]년마다 복리로 매년 말에 [eqn: 100``]만 원씩 적립할 때, [eqn: 10``]년 째 말의 원리합계를 구하면? (단, [eqn: 1.05 ^{10} =1.6``]으로 계산한다.) [4.5점]

③

연이율 [eqn: 5%``], [eqn: 1``]년마다 복리로 매년 말에 [eqn: 100``]만 원씩 적립했으므로

[eqn: 10``]년 째 말의 원리합계는

[eqn: 100 times 1.05^9 `+` 100 times 1.05^8 `+` 100 times 1.05^7 `+``cdots``+`100``]

[eqn: =`100 times LEFT (` 1+1.05+`cdots`+`1.05^9` RIGHT )``]

[eqn: =`100 times {1.05^10 -1} over {1.05-1}``]

[eqn: =`100 times {1.6 -1} over {0.05}``]

[eqn: =`1200``](만원)

① [eqn: 1080``]만	② [eqn: 1140``]만	③ [eqn: 1200``]만
④ [eqn: 1260``]만	⑤ [eqn: 1320``]만

연이율이 [eqn: 6%]이고 [eqn: 1]년마다 복리로 매년 초에 [eqn: a]만 원씩 [eqn: 10]년동안 적립하여 [eqn: 10]년 말까지 [eqn: 3180]만 원을 만들려고 한다. 상수 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: 1.06 ^{10} =1.8]로 계산한다.) [4.5점]

① [eqn: 205]	② [eqn: 215]	③ [eqn: 225]
④ [eqn: 235]	⑤ [eqn: 245]

③

[eqn: {1.06a LEFT { LEFT ( 1.06 RIGHT ) ^{10} -1 RIGHT }} over {1.06-1} =3180], [eqn: {1.06 TIMES 0.8a} over {0.06} =3180,```a=225]

등비수열(step3)

9.

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} TIMES a _{3} =a _{5}]이고, 수열 [eqn: LEFT { log _{2} a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자. [eqn: S _{3} =18]일 때, [eqn: S _{2n} >238]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은? [[eqn: 5.0]점]

②

수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]은 등비수열이므로

[eqn: a _{n} =a _{1} r ^{n-1}]

[eqn: a _{1} TIMES a _{3} =a _{5}]에서 [eqn: (a _{1} r) ^{2} =a _{1} r ^{4}]

[eqn: a _{1} =r ^{2}], [eqn: a _{1} r=r ^{3}]	[eqn: cdots①]

[eqn: S _{3} =18]에서 [eqn: log _{2} (a _{1} r) ^{3} =18]	[eqn: cdots ②]

①，②에 의하여

[eqn: a _{1} =16=2 ^{4}], [eqn: r=4=2 ^{2}]에서

[eqn: a _{n} =2 ^{2n+2}]

따라서

[eqn: S _{2n} =log _{2} 2 ^{{2n(4n+6)} over {2}}]

[eqn: = {2n(4n+6)} over {2} >238]에서

[eqn: n(2n+3)>119]이 되므로

[eqn: 2n ^{2} +3n-119>0], [eqn: LEFT ( n-7 RIGHT ) LEFT ( 2n+17 RIGHT ) >0]

따라서 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 8]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: S_{n}=2^{2n-1}+k]이고, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT }]은 첫째항부터 등비수열이다. [eqn: k TIMESa_2]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수이다.) [5.6점]

① [eqn: -9]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

②

[eqn: S_1 =2+k]

[eqn: S_n -S_n-1 ={1}over{2}4^n +k- LEFT({1}over{2}4^n-1 +k RIGHT)=a_n]

[eqn: a_n ={3}over{8} BULLET 4^n], [eqn: a_1 ={3}over{2}], [eqn: 2+k = {3}over{2}], [eqn: k=-{1}over{2}]

[eqn: a_2 = 6], [eqn: k TIMESa_2 =-3]

공차가 [eqn: d]이고 모든 항이 자연수인 등차수열 [eqn: left { a_n right }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 100 le a_19 le 120]일 때, [eqn: a_k]의 값은? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 42]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 38]
④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 34]

②

(나)에서 [eqn: a _{k} ` ^{2} =a _{2} `a _{4k-1}]

[eqn: left { a_1 +(k-1)d right }^2][eqn: = (a_1 +d) left { a_1 +(4k-2)d right }]

[eqn: a_1`^2 + 2a_1 (k-1)d+ (k-1)^2 d^2][eqn: =a_1`^2 +(4k-1)a_1 d+(4k-2)d^2]

정리 후 [eqn: div d] 하면

[eqn: a _{1} (2k+1)][eqn: =(k^2 -6k+3)d]	[eqn: cdots ①]
[eqn: le (2k+1)d] ([eqn: because] (가))

[eqn: k^2 -6k+3>0]과 [eqn: k^2 -6k+3 le 2k+1]를 동시에 만족하는 [eqn: k]는

[eqn: 3+ root 6 <k le 4+root 14]

[eqn: k]는 자연수 이므로 [eqn: 6~ or~ 7]이다.	[eqn: cdots ②]

[eqn: 100 le a_19 le 120]에서

[eqn: 100 le a_1 +18d le 120]

[eqn: 18d< a_1 +18d le 19d] ([eqn: because] (가))이므로

[eqn: 18d <120], [eqn: 100 le 19d]이다.

[eqn: d]는 자연수 이므로 [eqn: d=6]	[eqn: cdots ③]

①, ②, ③에서	[eqn: a_1 (2k+1)=(k^2 -6k+3) cdot 6]

ⅰ) [eqn: k=6]일 때
[eqn: a_1 = LEFT ( 36-36+3 over 13 RIGHT )6 = 6 over 13]	([eqn: times])

ⅱ) [eqn: k=7]일 때
[eqn: a_1 = LEFT ( 49-42+3 over 15 RIGHT )cdot 6 =4]

[eqn: therefore~ a_k][eqn: = a_7 = a_1 +6d =4+6 times 6][eqn: =40]

[다른 풀이]

[eqn: k]는 자연수이므로 [eqn: 6~ or~ 7]이다.	[eqn: cdots ②]

[eqn: ①]에서 [eqn: a _{1} = {(k ^{2} -6k+3)} over {(2k+1)} d`]이므로

[eqn: k=6`]일 때 [eqn: a _{1} = {3} over {13} d`]이므로 공비[eqn: = {a _{k}} over {a _{2}} = {a _{6}} over {a _{2}} = {{68} over {13} d} over {{16} over {13} d} = {17} over {4} `] ([eqn: times])

[eqn: k=7`]일 때 [eqn: a _{1} = {2} over {3} d`]이므로 공비[eqn: = {a _{k}} over {a _{2}} = {a _{7}} over {a _{2}} = {{20} over {3} d} over {{5} over {3} d} =4`] (자연수)

따라서 [eqn: a _{19} =a _{1} +18d= {56} over {3} d`]이고 [eqn: 100 le a_19 le 120]이므로

[eqn: {300} over {56} LEQ d LEQ {360} over {56}]

[eqn: d`]는 자연수이므로 [eqn: d=6`], [eqn: a _{1} =4`]

[eqn: therefore~ a_k][eqn: =a _{7} =4+6 TIMES 6][eqn: =40]

(가) [eqn: a_1 le d]

(나) 어떤 자연수 [eqn: k][eqn: (k ge 3)]에 대하여 세 항 [eqn: a_2], [eqn: a_k], [eqn: a_4k-1]이 이 순서대로 공비가 자연수인 등비수열을 이룬다.

공차가 양수인 등차수열 [eqn: left{a_n right}`]이 <조건>을 만족시킨다.

[eqn: a_13 =432`]가 되도록 하는 모든 [eqn: k`]의 값의 합은? [5.2점]

① [eqn: 14]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 27]
④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 44]

④

[eqn: a_k ,~a_k+1 ,~a_13`]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 공비를 [eqn: r`]이라 하면

[eqn: a_k+1 =ra_k]

[eqn: a_k+1 -a_k = (r-1)a_k =d]

[eqn: a_k = d overr-1]	[eqn: cdots]①

[eqn: a_13 =r^2 a_k]	[eqn: cdots]②

[eqn: a_13 -a_k =(r^2 -1)a_k = (r+1)d]	[eqn: cdots]③

[eqn: a_13 -a_k =(a+12d) -right{a+(k-1)d right} =(13-k)d]	[eqn: cdots]④

③, ④에서 [eqn: d>0]이므로

[eqn: r+1 =13-k]

[eqn: k=12-r]	[eqn: cdots]⑤

②에서

[eqn: a_13 =r^2 a_k =432=2^4 times3^3]

수열 [eqn: left{a_n right}]의 모든 항은 정수이고, ⑤에서 [eqn: k`]는 자연수이므로

ⅰ) [eqn: r=1]일 때

[eqn: k=11], [eqn: a_k =432]

이는 [eqn: a_k =a_k+1]이므로 [eqn: d>0]을 만족하지 않는다.

ⅱ) [eqn: r=2]일 때

[eqn: k=10], [eqn: a_k =2^2 times3^3 =108]

ⅲ) [eqn: r=3]일 때

[eqn: k=9], [eqn: a_k = 2^4 times3 =48]

ⅳ) [eqn: r=2^2]일 때

[eqn: k=8], [eqn: a_k =3^3 =27]

ⅴ) [eqn: r=2times3]일 때

[eqn: k=6], [eqn: a_k =2^2 times3 =12]

따라서 만족하는 [eqn: k`]의 값의 합은 [eqn: 6+8+9+10=33]

(가) 수열 [eqn: left{a_n right}]의 모든 항은 정수이다.

(나) [eqn: a_k ,~a_k+1 ,~a_13`]가 이 순서대로 등비수열을 이루도록
하는 [eqn: 13`]보다 작은 자연수 [eqn: k`]가 존재한다.

공비가 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: S _{1} =1,`S _{12} =6S _{6}]일 때, [eqn: a _{n}]값이 정수가 되도록 하는 [eqn: 100]이하인 모든 자연수 [eqn: n]값의 합은? [[eqn: 5.5]점]

⑤

[eqn: S _{1} =a _{1} =1]

[eqn: S _{12} `=6S _{6}]

[eqn: {r ^{12} -1} over {r-1} =`6 TIMES {r ^{6} -1} over {r-1}]

[eqn: r ^{6} +1=6`,`r ^{6} =5]

[eqn: a _{n} = LEFT ( 5 ^{{1} over {6}} RIGHT ) ^{n-1} `=5 ^{{n-1} over {6}}]

이때 [eqn: a_n `]이 정수가 되게 하는 [eqn: 100`]이하의 자연수 [eqn: n`]의 값은

[eqn: n=1,~7,~13,~cdots ,~97`]이므로

자연수 [eqn: n`]의 값의 합은 [eqn: {1+97} over {2} TIMES 17=833]

① [eqn: 853]	② [eqn: 848]	③ [eqn: 843]

④ [eqn: 838]	⑤ [eqn: 833]

첫째항이 [eqn: 2]이고 공비가 정수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]과 자연수 [eqn: m]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a _{m}]의 값을 구하고, 그 과정을 논술하시오. [[eqn: 8.0]점]

[eqn: 162]

첫째항이 [eqn: 2]이고 공비가 정수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r]라 하면

조건 (가) [eqn: 12`<`2r+2r ^{2} ` LEQ `24]

[eqn: 6`<`r(r+1)` LEQ 12]

이때 [eqn: r(r+1)]은 연속하는 두 정수의 곱이므로 [eqn: 7,`8,9,10,11]가 될 수 없다.

따라서 [eqn: r(r+1)=12] [eqn: r=3,`-4]

(1) [eqn: r=3]일 때

조건 (나)에서

[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} = {2(3 ^{m} -1)} over {3-1} =3 ^{m} -1=242]

[eqn: 3 ^{m} =243] [eqn: m=5]

(2) [eqn: r=-4]일 때

조건 (나)에서

[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} = {2 LEFT { (-4) ^{m} -1 RIGHT }} over {-5} =242]

[eqn: (-4) ^{m} =-606]

이를 만족시키는 자연수 [eqn: m]은 존재하지 않는다

[eqn: a _{5} =2 TIMES 3 ^{4} =162]

(가) [eqn: 12`<`a _{2} +a _{3} ` LEQ 24]

(나) [eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} =242]

첫째항이 [eqn: 2]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, 두 수열 [eqn: LEFT { S _{2n-1} RIGHT } ,````` LEFT { S _{2n} RIGHT } `]은 각각 공비가 [eqn: 3]인 등비수열이다. [eqn: a _{6} =a _{7}]일 때, [eqn: S _{10} +S _{12}]의 값은? [5.6점]

① [eqn: 1269]	② [eqn: 1278]	③ [eqn: 1287]
④ [eqn: 1296]	⑤ [eqn: 1305]

④

[eqn: S _{2n-1} = alpha 3 ^{n-1} ,````S _{2n} = beta 3 ^{n-1} ```]

[eqn: a _{2n} =S _{2n} -S _{2n-1} = LEFT ( beta - alpha RIGHT ) 3 ^{n-1}] [eqn: a _{6} = LEFT ( beta - alpha RIGHT ) 3 ^{2}]

[eqn: a _{2n+1} =S _{2n+1} -S _{2n} = LEFT ( 3 alpha - beta RIGHT ) 3 ^{n-1}] [eqn: a _{7} = LEFT ( 3 alpha - beta RIGHT ) 3 ^{2}]

[eqn: a _{6} =a _{7} ,```` beta =2 alpha] [eqn: S _{1} =a _{1} = alpha =2]

[eqn: S _{10} +S _{12} =4 TIMES 3 ^{4} +4 TIMES 3 ^{5} =4 TIMES 3 ^{4} LEFT ( 1+3 RIGHT ) =16 TIMES 81=1296]

두 수 [eqn: 2]와 [eqn: 50]사이에 [eqn: 20]개의 수를 넣어 만든 등비수열 [eqn: 2,~a _{1} ,~a _{2} ,~ CDOTS `,~a _{20} ,~50]이 있다. 등식

①

총 항의 개수는 [eqn: 22]개이므로 공비를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: 2r ^{21} =50] [eqn: r ^{21} =25]

[eqn: 2+a _{1} +a _{2} +~ CDOTS `+a _{20} +50= {2 LEFT ( 1-r ^{22} RIGHT )} over {1-r}]

[eqn: {1} over {2} + {1} over {a _{1}} + {1} over {a _{2}} +`` CDOTS `+ {1} over {a _{20}} + {1} over {50} = {{1} over {2} LEFT ( {1} over {r ^{22}} -1 RIGHT )} over {{1} over {r} -1}]

[eqn: = {r LEFT ( 1-r ^{22} RIGHT )} over {2r ^{22} LEFT ( 1-r RIGHT )} = {1-r ^{22}} over {2r ^{21} LEFT ( 1-r RIGHT )} = {1} over {4r ^{21}} · {2 LEFT ( 1-r ^{22} RIGHT )} over {1-r} = {1} over {100} · {2 LEFT ( 1-r ^{22} RIGHT )} over {1-r}]

[eqn: 2+a _{1} +a _{2} +~ CDOTS `+a _{20} +50=100 LEFT ( {1} over {2} + {1} over {a _{1}} + {1} over {a _{2}} +`` CDOTS `+ {1} over {a _{20}} + {1} over {50} RIGHT )# `````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=k LEFT ( {1} over {2} + {1} over {a _{1}} + {1} over {a _{2}} +`` CDOTS `+ {1} over {a _{20}} + {1} over {50} RIGHT ) ``````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````]

따라서 [eqn: k=100]

[eqn: 2+a _{1} +a _{2} +~ CDOTS `+a _{20} +50=k LEFT ( {1} over {2} + {1} over {a _{1}} + {1} over {a _{2}} +`` CDOTS `+ {1} over {a _{20}} + {1} over {50} RIGHT )]을 만족시키는 상수 [eqn: k]의 값은?[[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 100]	② [eqn: 90]	③ [eqn: 80]
④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 40]

공차가 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]이 다음 조건을 만족시킨다.

④

[eqn: a _{5} ,a _{7} ,`a _{k}``]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: a_5 times a_k `=`a_7`^2 `,``]

[eqn: LEFT ( a+4`d RIGHT )` LEFT ( a+(k-1)`d RIGHT )` =`LEFT ( a+6`d RIGHT )`^2 ``]

이를 정리하면 [eqn: a`=`{-4`(k-10)`d}over k-9``]

[eqn: a_k`=`{-4`(k-10)`d}over k-9`+`(k-1)`d`=` {(k-7)^2`d } overk-9`=`256``]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]의 모든 항은 정수이므로

공차 [eqn: d``]는 자연수이고, 자연수 [eqn: k`>`9``]이다.

부정방정식 [eqn: {(k-7)^2`d } `=`256`(k-9)``]를 만족하는 경우는

[eqn: k=11``]일 때, [eqn: d=32``]

[eqn: k=15``]일 때, [eqn: d=24``]

[eqn: k=23``]일 때, [eqn: d=14``]이다.

따라서 [eqn: a _{k} =256``]이 되도록 하는 모든 [eqn: k``]의 값의 합은

[eqn: 11+15+23`=`49``]이다.

(가) 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]의 모든 항은 정수이다.

(나) [eqn: a _{5} ,a _{7} ,`a _{k}``]가 이 순서대로 등비수열을 이루도록 하는 [eqn: 7``]보다 큰 자연수 [eqn: k``]가 존재한다.

[eqn: a _{k} =256``]이 되도록 하는 모든 [eqn: k``]의 값의 합은? [5.3점]

① [eqn: 90``]	② [eqn: 81``]	③ [eqn: 58``]

④ [eqn: 49``]	⑤ [eqn: 35``]

그림과 같이 빗변의 길이가 [eqn: 2 sqrt {2}]인 직각이등변삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 삼각형 [eqn: rmABC]에서 빗변이 아닌 두 변의 각각의 중점과 빗변의 양 끝점 중 각 중점에 가까운 점을 이은 선분을 각각 빗변으로 하는 직각이등변삼각형을 삼각형 [eqn: rmABC]의 외부에 그린 그림을 [그림 [eqn: P _{1}]]이라 하자. [그림 [eqn: P _{1}]]에서 새로 그린 직각이등변삼각형의 빗변이 아닌 두 변의 각각의 중점과 빗변의 양 끝점 중 각 중점에 가까운 점을 이는 선분을 각각 빗변으로 하는 직각이등변삼각형을 [그림 [eqn: P _{1}]]의 삼각형의 외부에 그린 그림을 [그림 [eqn: P _{2}]]라 하자.

①

삼각형의 넓이는 [eqn: {1} over {8}]배 개수는 [eqn: 2]배

공비 [eqn: {1} over {4}]

[eqn: P _{1} =2+ {1} over {2}]

[eqn: P _{2} =2+ {1} over {2} `+ {1} over {8}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: P _{10} =2+ {1} over {2} + {1} over {2 ^{3}} `+` CDOTS `+ {1} over {2 ^{19}}]

[eqn: = {2 LEFT ( 1- {1} over {4} ^{11} RIGHT )} over {1- {1} over {4}} = {1} over {3} LEFT ( 8- {1} over {2 ^{19}} RIGHT )]

[그림 [eqn: P _{2}]]에서 새로 그린 직각이등변삼각형의 빗변이 아닌 두 변의 각각의 중점과 빗변의 양 끝점 중 각 중점에 가까운 점을 이는 선분을 각각 빗변으로 하는 직각이등변삼각형을 [그림 [eqn: P _{2}]]의 삼각형의 외부에 그린 그림을 [그림 [eqn: P _{3}]]라 하자.

이와 같은 과정을 [eqn: 10]회 반복하여 그려진 그림 [eqn: P _{10}]의 모든 삼각형의 넓이의 합은? [[eqn: 5.4]점]

[그림 [eqn: P _{1}]]

[그림 [eqn: P _{2}]]

[그림 [eqn: P _{3}]]

[eqn: VDOTS `````````````````````````````````````````` VDOTS]

① [eqn: {1} over {3} LEFT ( 8- {1} over {2 ^{19}} RIGHT )]	② [eqn: {1} over {3} LEFT ( 8- {1} over {2 ^{20}} RIGHT )]	③ [eqn: {1} over {3} LEFT ( 8- {1} over {2 ^{21}} RIGHT )]
④ [eqn: {1} over {3} LEFT ( 9- {1} over {2 ^{20}} RIGHT )]	⑤ [eqn: {1} over {3} LEFT ( 9- {1} over {2 ^{21}} RIGHT )]

두 곡선 [eqn: y=log _{`3} x``], [eqn: y=log _{`27} x``]과 한 점[eqn: A(3 ^{81} ,`81)] 이 있다.
점 [eqn: rmA``]를 지나고 [eqn: y``]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=log _{`27} x``]와 만나는 점을 [eqn: rm P _{1} ``]이라 하고, 점 [eqn: rm P _{1} ``]를 지나고 [eqn: x]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=log _{`3} x``]와 만나는 점을 [eqn: rm Q _{1}]이라 하자.점[eqn: rm Q _{1}]을 지나고 [eqn: y``]축과 평행한 직선이 [eqn: y=log _{`27} x``]와 만나는 점을 [eqn: rm P _{2} ``]라 하고, 점 [eqn: rm P _{2} ``]를 지나며 [eqn: x]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=log _{`3} x``]와 만나는 점을 [eqn: rm Q _{2}]라 하자,이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 두점을 각각 [eqn: rm P _{n} ,``Q _{n} ``] 이라 하고 점[eqn: rm P _{n}]의 [eqn: y``]좌표를 [eqn: y _{n} ``]이라 할 때, [eqn: y _{n} ``< {1} over {k}] 을 만족시키는 [eqn: n]의 최솟값이 [eqn: 8]이 되도록 하는 자연수 [eqn: k]의 개수는? [[eqn: 5.0]점]

⑤

점[eqn: A(3 ^{81} ,`81)]
[eqn: rm P _{1} ``]의[eqn: x]좌표는 [eqn: 3 ^{81}] [eqn: y``]좌표는 [eqn: {81} over {3} =3 ^{4-1} =3 ^{3}]

[eqn: rm P _{2} ``]의[eqn: x]좌표는 [eqn: 3 ^{9}] [eqn: y``]좌표는 [eqn: {3 ^{4}} over {3 ^{2}} =3 ^{4-2} =3 ^{2}]

[eqn: rm P _{3} ``]의[eqn: x]좌표는 [eqn: 3 ^{3}] [eqn: y``]좌표는 [eqn: {3} over {3} =1]

[eqn: VDOTS]

[eqn: rm P _{n}]의 [eqn: y``]좌표는[eqn: rm P _{n} =y _{n} = {3 ^{4}} over {3 ^{n}} =3 ^{4-n} ``]
[eqn: y _{n} `=3 ^{4-n} `< {1} over {k}]
[eqn: 3 ^{n-4} `>k]를 만족하는 [eqn: n]의 최솟값이 [eqn: 8]이므로
[eqn: 3 ^{3} LEQ k`<3 ^{4}]을 만족한다.따라서
자연수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 3 ^{4} -3 ^{3} =3 ^{3} LEFT ( 3-1 RIGHT ) =54]

① [eqn: 50]	② 51	③ [eqn: 52]
④ [eqn: 53]	⑤ [eqn: 54]

수열의 합(step1)

10.

기호 [eqn: SUM]

수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 = 1], [eqn: a_2 = 3]이고 [eqn: sum_k=1 ^9 a_k + sum_k=2 ^8 a_k+1 = 48`]일 때, [eqn: sum_k=1 ^9 a_k]의 값은?

④

[eqn: sum_ k=1^9 a_k + sum_k=2^8 a_k+1 = 48]

[eqn: sum_k=2^8 a_k+1 + a_1 + a_2 = sum_k=1^9 a_k]

[eqn: 2 sum_ k=1^9 a_k = 48+ a_1 + a_2 = 52]

[eqn: sum^9 _ k=1 a_k = 26]

[[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 23]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 25]
④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 27]

[eqn: SUM]의 성질

[eqn: sum^20_k=1 a_k =10], [eqn: sum^20_k=1 b_k =20]일 때, [eqn: sum^20_k=1 left( 2 a_k + b_k + 1over2 right)]의 값은?

⑤

[eqn: sum^20_k=1 left( 2 a_k + b_k + 1over2 right)]

[eqn: = sum^20_k=1 2 a_k + sum^20_k=1 b_k + sum^20_k=1 1over2]

[eqn: = 2 times 10 + 20 + 1over2 times 20 = 50]

[[eqn: 3.5]점]

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]
④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,` LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{k} =20,` sum _{k=1} ^{20} b _{k} =-10]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{20} LEFT ( 2a _{k} -3b _{k} RIGHT )]의 값은? [[eqn: 4.1]점]

④

[eqn: 2 TIMES 20-3 TIMES (-10)][eqn: =70]

① [eqn: 10]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 50]	④ [eqn: 70]	⑤ [eqn: 90]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{ n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =15], [eqn: sum _{k=1} ^{10} b _{k} =60]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} (-3a _{k} +b _{k} -1)]의 값은? [[eqn: 3.5]점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]
④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 25]

①

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (-3a _{k} +b _{k} -1)]

[eqn: =-3 sum _{k=1} ^{10} a _{k} + sum _{k=1} ^{10} b _{k} - sum _{k=1} ^{10} 1]

[eqn: =-45+60-10]

[eqn: =5]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =20,` sum _{k=1} ^{10} b _{k} =5``]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} (3a _{k} +2b _{k} )``]의 값은? [4점]

③

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (3a _{k} +2b _{k} )``][eqn: =`3`sum _{k=1} ^{10} a _{k} `+` 2`sum _{k=1} ^{10} b _{k} `=`60+10`=`70``]이다.

① [eqn: 50``]	② [eqn: 60``]	③ [eqn: 70``]
④ [eqn: 80``]	⑤ [eqn: 90``]

[eqn: sum _{k=1} ^{7} a _{k} =it-20], [eqn: sum _{k=1} ^{7} LEFT ( -4a _{k} +5b _{k} +3 RIGHT ) =301]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{7} b _{k}]의 값은? [[eqn: 3.9]점]

②

[eqn: sum _{k=1} ^{7} a _{k} =it-20]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{7} LEFT ( -4a _{k} +5b _{k} +3 RIGHT ) =it-4 sum _{k=1} ^{7} a _{k} +5 sum _{k=1} ^{7} b _{k} +3·7]

[eqn: = it -4· LEFT ( -20 RIGHT ) +5 sum _{k=1} ^{7} b _{k} +21=5 sum _{k=1} ^{7} b _{k} +101=301]

따라서 [eqn: 5 sum _{k=1} ^{7} b _{k} =200]이므로 [eqn: sum _{k=1} ^{7} b _{k} =40]

① [eqn: 36]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 48]
④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 50]

[eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{k}=31]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{20} (3a _{k} -2)]의 값은? [4.5점]

① [eqn: 53]	② [eqn: 72]	③ [eqn: 91]
④ [eqn: 118]	⑤ [eqn: 146]

①

[eqn: sum _{k=1} ^{20} (3a _{k`} -2)=3 sum _{k=1} ^{20} a _{k} -40=3 TIMES 31-40=53]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =5``]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} (2a _{k} -1)``]의 값은? [3.6점]

①

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (2a _{k} -1)``][eqn: =`2`sum _{k=1} ^{10} a _{k} `-`10`=`0``]이다.

① [eqn: 0``]	② [eqn: 1``]	③ [eqn: 2``]

④ [eqn: 3``]	⑤ [eqn: 4``]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,`` LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{8} (3a _{k} -b _{k} )=5], [eqn: sum _{k=1} ^{8} (2a _{k} +4b _{k} )=22]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{8} (a _{k} +2b _{k} +2)]의 값은? [[eqn: 3.5]점]

① [eqn: 13]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 22]
④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 32]

④

풀이)

[eqn: sum _{k=1} ^{8} a _{k} = alpha ,``` sum _{k=1} ^{8} b _{k} = beta]라 하면

[eqn: sum _{k=1} ^{8} (3a _{k} -b _{k} )=5]에서

[eqn: 3 alpha - beta =5] ⋯⋯⋯㉠

[eqn: sum _{k=1} ^{8} (2a _{k} +4b _{k} )=22]에서

[eqn: 2 alpha +4 beta =22] ⋯⋯⋯㉡

㉠[eqn: TIMES]4+㉡을 하면

[eqn: 14 alpha =42]

[eqn: alpha =3,```` beta =4]

즉, [eqn: sum _{k=1} ^{8} a _{k} =3,`````` sum _{k=1} ^{8} b _{k} =4]

따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{8} (a _{k} +2b _{k} +2) = 3 + 2times 4 +16] [eqn: =27]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{15} a _{k} ^{2} =30]일 때,
[eqn: sum _{k=1} ^{15} (a _{k} +1) ^{2} + sum _{k=1} ^{15} (a _{k} -1) ^{2}]의 값은? [4.7점]

①

준식[eqn: =sum _{k=1} ^{15} LEFT ( 2a _{k} ^{2} +2 RIGHT ) =90]

① [eqn: 90]	② [eqn: 100]	③ [eqn: 110]

④ [eqn: 120]	⑤ [eqn: 130]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =3], [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} ^{2} =6]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 3a _{k} -1 RIGHT ) ^{2}]의 값은? [[eqn: 3.9]점]

④

[풀이]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 3a _{k} -1 RIGHT ) ^{2} = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 9a _{k}^{2} -6a _{k} +1 RIGHT ) =54-18+10=46]

① [eqn: 37]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 43]

④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 49]

자연수 [eqn: n]에 대하여 이차방정식 [eqn: x^2 -2nx +2n-3=0]의 두 근을 [eqn: a_n`,```b_n]이라고 할 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{5 } `(a_k`^2 +b_k`^2 )]의 값은? [3.8점]

①

근과 계수와의 관계에서 [eqn: a_ n +b_n =2n], [eqn: a_n cdotb_n = 2n-3]

[eqn: sum _{k=1} ^{5} `(a _{k} ` ^{2} +b _{k} ` ^{2} )=sum _{k=1} ^{5} left{`(a _{k} ` + b _{k}) ^{2} -2a_k cdot b_k right} = sum _{k=1} ^{5} `(4k^2 - 4k +6) = 190]

① [eqn: 190`]	② [eqn: 220`]	③ [eqn: 250`]

④ [eqn: 280`]	⑤ [eqn: 310`]

[eqn: SUM]와 등차등비수열

등차수열 [eqn: left{a _{n} {right}}]에 대하여 [eqn: a _{3} =2], [eqn: a _{5} =6`]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{50} a _{2k} - sum _{k=1} ^{50} a _{2k-1}]의 값은? [4.5점]

②

[eqn: a_3 = a+2d=2], [eqn: a_5 = a+4d =6]

[eqn: d=2]

준식 [eqn: =][eqn: sum _{k=1} ^{50}( a _{2k} - a _{2k-1}`)=50 timesd=100]

① [eqn: 50]	② [eqn: 100]	③ [eqn: 150]

④ [eqn: 200]	⑤ [eqn: 250]

[eqn: sum_k=1^5 (2^k +2k)]의 값은? [[eqn: 4.0]점]

① [eqn: 93]	② [eqn: 92]	③ [eqn: 62]
④ [eqn: 61]	⑤ [eqn: 60]

②

[eqn: sum_k=1^5 (2^k +2k)][eqn: = sum_k=1^5 2^k + sum_k=1^5 2k]
[eqn: = {2(2^5 -1)} over 2-1 +2 times 5times6 over 2][eqn: = 62+30=92]

첫째항이 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { 3`a _{n+1} -a _{n} RIGHT }]은 공차가 [eqn: 6]인 등차수열이다. 다음을 구하고 그 과정을 논술하시오. [총 10점]

(1) [eqn: 3] (2) [eqn: 155]

(1) [eqn: a_n =2 +(n-1)d]

[eqn: 3a _{n+1} -a _{n} =6+3dn-2-(n-1)d=2dn+4+d]

[eqn: therefore```2d=6], [eqn: d=3]

(2) [eqn: sum _{k=1} ^{10} `a _{k} `=sum _{k=1} ^{10} `(3k-1) =155]

(1) 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]의 공차를 구하시오. [5점]

(2) [eqn: sum _{ k=1} ^{10 }`a_k`]의 값을 구하시오. [5점]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{10} =10,`] [eqn: a _{21} +a _{22} +a _{23} + CDOTS +a _{30} =40,`]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{60} a _{n}]의 값은? [4점]

① [eqn: 610]	② [eqn: 620]	③ [eqn: 630]
④ [eqn: 640]	⑤ [eqn: 650]

③

[eqn: a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{10} = {a(1-r ^{10} )} over {1-r} =10`] (등비수열의 합)

[eqn: a _{21} +a _{22} +a _{23} + CDOTS +a _{30} =`][eqn: (a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{30}) -(a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{20})]

[eqn: = {a(1-r ^{40} )} over {1-r} - {a(1-r ^{20} )} over {1-r}]

[eqn: = {a(1-r ^{10} )(1+r ^{10} +r ^{20} )} over {1-r} - {a(1-r ^{10} )(1+r ^{10} )} over {1-r}]

[eqn: = {a(1-r ^{10} )} over {1-r} LEFT ( r ^{20} +r ^{10} +1-1-r ^{10} RIGHT ) =40]

[eqn: r ^{20} =4]

[eqn: sum _{n=1} ^{60} a _{n} =][eqn: {a(1-r ^{60} )} over {1-r} =][eqn: {a(1-r ^{20} )(1+r ^{20} +r ^{40} )} over {1-r}]

[eqn: = {a} over {1-r} (1-4)(1+4+4 ^{2} )]

여기서 [eqn: {a} over {1-r}] 구하기 위해 맨처음 구해둔 [eqn: {a(1-r ^{10} )} over {1-r} =10] 을 보면,

[eqn: r ^{10} =2] [eqn: (r ^{20} -4] 인데 모든 항이 양수이기 때문)

[eqn: {a} over {1-r} =-10] [eqn: RARROW~ {a} over {1-r} (-3)(21)=630]

자연수의 거듭제곱의 합

[eqn: SUM_{k=1} ^10 (k-2)`]의 값은?

④

[eqn: sum_k=1^10 k - sum_k=1^10 2 = 55- 20 = 35]

[[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 20]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 30]
④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 40]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (2k+1) ^{2} -4 sum _{k=1} ^{10} k(k+1)]의 값은? [[eqn: 4.0]점]

①

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (2k+1) ^{2} -4 sum _{k=1} ^{10} k(k+1)]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} 1=10]

① [eqn: 10]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 50]

[eqn: sum_k=1^8`2k^3 over k+1 - sum_k=1^8`{k^3 -1} over {k+1}]의 값은? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 176]	② [eqn: 177]	③ [eqn: 178]
④ [eqn: 179]	⑤ [eqn: 180]

①

[eqn: sum_k=1^8`2k^3 over k+1 - sum_i=1^8`{i^3 -1} over i+1][eqn: = sum_k=1^8`{k^3 +1} over k+1][eqn: = sum_k=1^8`k^2 -k+1]
[eqn: = {8times 9 times 17} over 6 - 8times9 over 2 +8]
[eqn: =204-36+8=176]

[eqn: (1 ^{2} +1)+(2 ^{2} +2)+(3 ^{2} +3)+` CDOTS`+`(n ^{2} +n)=30n]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은? [4.9점]

①

[eqn: sum _{k=1} ^{n} (k ^{2} +k)= {n(n+1)(2n+1)} over {6} + {n(n+1)} over {2}]

[eqn: = {n(n+1)} over {6} (2n+4)= {n(n+1)(n+2)} over {3} =30n]

[eqn: THEREFORE `(n+1)(n+2)=90=9 BULLET 10]

[eqn: THEREFORE `n=8]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[eqn: SUM]를 이용한 여러 가지 수열의 합

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4.2]점]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

⑤

ㄱ. [eqn: sum _{k=1} ^{5} (2k-1) ^{2} +` sum _{k=1} ^{5} (2k) ^{2} `= sum _{k=1} ^{10} `k ^{2}]

[eqn: 1 ^{2} `+3 ^{2} +5 ^{5} +7 ^{2} +9 ^{2} +2 ^{2} +4 ^{2} +6 ^{2} +8 ^{2} +10 ^{2} = sum _{k=1} ^{10} `k ^{2}] (참)

ㄴ. [eqn: sum _{k=1} ^{19} (k+1) ^{2} `= sum _{j=2} ^{20} `j ^{2}]

좌변=우변 (참)

ㄷ. [eqn: -1+1-1+1-1+1= sum _{k=1} ^{6} (-1) ^{k+2}]

좌변=우변 (참)

[보 기]

ㄱ. [eqn: sum _{k=1} ^{5} (2k-1) ^{2} +` sum _{k=1} ^{5} (2k) ^{2} `= sum _{k=1} ^{10} `k ^{2}]

ㄴ. [eqn: sum _{k=1} ^{19} (k+1) ^{2} `= sum _{j=2} ^{20} `j ^{2}]

ㄷ. [eqn: -1+1-1+1-1+1= sum _{k=1} ^{6} (-1) ^{k+2}]

일반항이 [eqn: k,n]에 대한 식인 수열의 합

[eqn: 1{times}3+2{times}4+3{times}5+` CDOTS `+10{times}12]의 값은? [4.3점]

⑤

[eqn: sum _{ k=1} ^{10 }k(k+2) =495]

① [eqn: 475]	② [eqn: 480]	③ [eqn: 485]

④ [eqn: 490]	⑤ [eqn: 495]

로그가 포함된 수열의 합

[eqn: sum _{k=1} ^{n} log _{3} LEFT ( 1+ {1} over {k} RIGHT ) =4]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값은? [[eqn: 4.1]점]

③

[풀이]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} log _{3} LEFT ( 1+ {1} over {k} RIGHT ) = sum _{k=1} ^{n} log _{3} LEFT ( {k+1} over {k} RIGHT )]에서 [eqn: k=1]부터 [eqn: n]까지 대입해보면

[eqn: log _{3} {2} over {1} +log _{3} {3} over {2} +` CDOTS `+log _{3} {n+1} over {n}]
[eqn: =log _{3} {2} over {1} TIMES {3} over {2} TIMES {4} over {3} TIMES CDOTS {n+1} over {n} =log LEFT ( n+1 RIGHT )]

[eqn: log _{3} LEFT ( n+1 RIGHT ) =4]에서

[eqn: n+1=3 ^{4} ,``n=80]

① [eqn: 76]	② [eqn: 78]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 82]	⑤ [eqn: 84]

분수꼴의 수열의 합

[eqn: sum _{k=1} ^{11} {1} over {k(k+1)}``]의 값은? [3.9점]

⑤

[eqn: sum _{k=1} ^{11} {1} over {k(k+1)}``][eqn: =`sum _{k=1} ^{11} ` LEFT (` {1} over k - 1over k+1` RIGHT )`=`1- 1over12 `=`11over12``]이다.

① [eqn: {7} over {8}``]	② [eqn: {8} over {9}``]	③ [eqn: {9} over {10}``]

④ [eqn: {10} over {11}``]	⑤ [eqn: {11} over {12}``]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} {1} over {k LEFT ( k+1 RIGHT )}]의 값은? [4.2점]

① [eqn: {4} over {11}]	② [eqn: {6} over {11}]	③ [eqn: {8} over {11}]
④ [eqn: {10} over {11}]	⑤ [eqn: {12} over {11}]

④

[eqn: LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {10} - {1} over {11} RIGHT ) = {10} over {11}]

수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: S_n = 1 over n(n+1)]일 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{10 } S_k times sum _{ k=1} ^{5 }k^2]의 값은?[3.9점]

②

[풀이]

[eqn: S _{n} = {1} over {n(n+1)} = {1} over {n} - {1} over {n+1}]에서

[eqn: sum _{k=1} ^{10} S _{k} = LEFT ( {1} over {1} - {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) +` CDOTS `+ LEFT ( {1} over {10} - {1} over {11} RIGHT ) = {10} over {11}]

[eqn: sum _{k=1} ^{5} k ^{2} = {5 TIMES 6 TIMES 11} over {6} =55]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} S _{k} TIMES sum _{k=1} ^{5} k ^{2} =50]

① [eqn: 40]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 70]	⑤ [eqn: 80]

다음 식의 값을 구하고 그 과정을 논술하시오. [6점]

[eqn: 10over21]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} ` {1} over {(2k-1)(2k+1)} `]

[eqn: = {1} over {2} ` sum _{k=1} ^{10} ` LEFT { {1} over {(2k-1)} - {1} over {(2k+1)} ` RIGHT } = {1} over {2} LEFT ( 1- {1} over {21} RIGHT ) = {10} over {21}]

[eqn: 1 over{1 times 3}+ 1 over{3 times 5} + 1 over{5 times 7} +`cdots`+ 1 over{19 times 21}]

근호가 포함된 수열의 합

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {3} over {sqrt {k} + sqrt {k+1}} =9``]일 때, [eqn: n``]의 값은? [4.5점]

③

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {3} over {sqrt {k} + sqrt {k+1}} `][eqn: =` 3`sum _{k=1} ^{n} ` LEFT ( root k+1 - rootk` RIGHT ) ``]

[eqn: =` 3` LEFT ( root n+1 - 1` RIGHT ) `=`9``]

이므로 [eqn: n=15``]이다.

① [eqn: 9``]	② [eqn: 12``]	③ [eqn: 15``]
④ [eqn: 18``]	⑤ [eqn: 21``]

수열의 합(step2)

10.

기호 [eqn: SUM]

첫째항이 [eqn: a _{1} =1]인 수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]이 [eqn: sum _{k=2} ^{11} a _{k-1} - sum _{k=1} ^{8} a _{k+1} =10]을 만족시킬 때, [eqn: a _{10}]의 값은? [[eqn: 4.7]점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

②

[eqn: sum _{k=2} ^{11} a _{k-1} - sum _{k=1} ^{8} a _{k+1}]

[eqn: =a _{1} +a _{10} =10], [eqn: a _{1} =1]이므로

[eqn: a _{10} =9]

[eqn: SUM]의 성질

수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]에서 [eqn: sum _{k=1} ^{10} (a _{k} +1)(a _{k} -1)=0], [eqn: sum _{k=1} ^{10} (2a _{k} -1) ^{2} =26] 일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}]의 값은? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

③

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (a _{k} +1)(a _{k} -1)=0]에서

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}^{~2} =10]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (2a _{k} -1) ^{2} =26]에서

[eqn: 4 sum _{k=1} ^{10} a _{k}^{2} -4 sum _{k=1} ^{10} a _{k} +10=26]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =6]

일 때일 [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =20]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} (2a _{k} -3)]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

①

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2a _{k} -3 RIGHT ) =2 sum _{k=1} ^{10} a _{k} - sum _{k=1} ^{10} 3][eqn: = {9} over {4} CDOT {4 CDOT 5 CDOT 9} over {6} - {4 CDOT 5} over {2}]
[eqn: =2 TIMES 20-30=10]

① [eqn: 10]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 30]
④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 50]

[eqn: SUM]와 등차등비수열

첫째항이 [eqn: 2]인 수열 [eqn: left{ a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

③

[eqn: a _1 =2], [eqn: a_2 = 4], [eqn: a_3 = 8], [eqn: a_4 =2], [eqn: a_5 = 4], [eqn: a_6 = 8], [eqn: cdots]

수열 [eqn: left{ a_n right}]은 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 8]이 반복되는 수열이다.

[eqn: sum_k=1^ 10 a_k = left( a_1 + a_2 + a_3 right) times 3 + a_1 = 14 times 3 + 2 = 44]

[eqn: a_n+1 = cases{ 2a_n & (a_n <8 )# a_n -6 ~~&( a_n ge 8)]

을 만족시킬 때, [eqn: sum_k=1 ^10 a_k`]의 값은?

[[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 40]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 44]
④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 48]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{4} =8,````a _{16} =80]일 때,
[eqn: sum _{k=1} ^{200} a _{2k} - sum _{k=1} ^{200} a _{2k-1}]의 값은? [4.7점]

① [eqn: 1100]	② [eqn: 1200]	③ [eqn: 1300]
④ [eqn: 1400]	⑤ [eqn: 1500]

②

[eqn: 12d=72,````d=6]

[eqn: LEFT ( a _{2} +a _{4} +a _{6} + CDOTS a _{400} RIGHT ) - LEFT ( a _{1} +a _{3} +a _{5} + CDOTS a _{399} RIGHT ) =200d=1200]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]에 대하여 [eqn: a _{1} =10,``a _{20} =30,`` ``] [eqn: sum _{k=1} ^{19} a _{k+1} + sum _{k=2} ^{20} a _{k-1} =58``]이고 [eqn: a _{1} ,`a _{2} ,` CDOTS ,`a _{18} ,`a _{19}``]는 등차수열을 이룰 때, [eqn: a _{10}``]의 값은? [4.7점]

④

[eqn: sum _{k=1} ^{19} a _{k+1} + sum _{k=2} ^{20} a _{k-1} +a_1 -a_20 `=`58+10-30``]에서

[eqn: 2`S_19`=`19`(a_1 +a_19 )`=`38``]

즉, [eqn: a_1 +a_19 `=`2``]이다.

따라서 [eqn: a_10`=` {a_1 +a_19}over2 `=`1``]이다.

① [eqn: -2``]	② [eqn: -1``]	③ [eqn: 0``]

④ [eqn: 1``]	⑤ [eqn: 2``]

두 수 [eqn: 27``]과 [eqn: -15``]사이에 [eqn: 20``]개의 실수를 넣어 만든 수열

⑤

이 등차수열의 공차를 [eqn: d``]라 하면

[eqn: S_20`=` {20` LEFT ( `a_1 +a_20` RIGHT ) } over20 `=`{20` left{(27-d)+(-15+d) right}} over2 `=`120``]이다.

[eqn: 27,`a _{1} ,`a _{2} ,`a _{3} ,` CDOTS ,`a _{20} ,`-15``]

가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때,[eqn: sum _{n=1} ^{20} a _{n}``]의 값은? [4.5점]

① [eqn: 80``]	② [eqn: 90``]	③ [eqn: 100``]

④ [eqn: 110``]	⑤ [eqn: 120``]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{2} =6], [eqn: {a _{5}} over {a _{3}} =4] 일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{7} a _{k}]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 369]	② [eqn: 372]	③ [eqn: 375]
④ [eqn: 378]	⑤ [eqn: 381]

⑤

[eqn: a _{2} =6], [eqn: {a _{5}} over {a _{3}} =4]에서 첫째항을 [eqn: a]라 하면

[eqn: ar=6], [eqn: r ^{2} =4]이고 모든 항이 양수이므로

첫째항이 [eqn: 3]이고 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이다.

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{7} a _{k} =3(2 ^{7} -1)=381]

좌표평면에서 직선 [eqn: y=x]와 곡선 [eqn: y=2 ^{x}]이 직선 [eqn: x=n]과 만나는 점을 각각 [eqn: P _{n} ,`Q _{n}]이라 하자. 선분 [eqn: P _{n} Q _{n}]의 길이를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS+a _{10}]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수이다.) [5.1점]

⑤

[eqn: bar{P _{n}} Q _{n} =a _{n} =2 ^{n} -n]

[eqn: THEREFORE ` sum _{n=1} ^{10} a _{n} = sum _{n=1} ^{10} (2 ^{n} -n)=2(2 ^{10} -1)-55]

[eqn: =2 ^{11} -57=1991]

① [eqn: 1575]	② [eqn: 1679]	③ [eqn: 1783]

④ [eqn: 1887]	⑤ [eqn: 1991]

공비가 [eqn: 3]이고, 첫째항이 [eqn: 0]이 아닌 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{4} {a _{n} TIMES a _{n+2}} over {a _{n+1}} =12]일 때, [eqn: {1} over {a _{1}}]의 값은? [4.9점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]
④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

②

[eqn: sum _{n=1} ^{4} {LEFT ( a _{n+1} RIGHT ) ^{2}} over {a _{n+1}} = sum _{n=1} ^{4} a _{n+1} = sum _{n=1} ^{4} a3 ^{n} = {3a LEFT ( 3 ^{4} -1 RIGHT )} over {2} =12] [eqn: a= {1} over {10}]

[eqn: {1} over {a _{1}} =10]

첫째항이 [eqn: 1]이고, 각 항이 양의 정수인 수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]에 대하여 제 [eqn: (n+1)]항인 [eqn: a _{n+1}]이 이차방정식 [eqn: x ^{2} +(2-3a _{n} )x-6a _{n} =0]의 근이다. [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{2k-1} = {3 ^{beta } -1} over {alpha }]일 때, 두 상수 [eqn: alpha ,` beta]의 합 [eqn: alpha + beta]의 값은? [[eqn: 4.5]점]

⑤

[eqn: a _{n+1}]이 이차방정식 [eqn: x ^{2} +(2-3a _{n} )x-6a _{n} =0]의 근이므로

[eqn: a _{n+1} ^{2} +(2-3a _{n} )a _{n+1} -6a _{n} =0]이 성립하므로

인수분해하면

[eqn: (a _{n+1} -3a _{n} )(a _{n+1} +2)=0]이고

각 항이 양의 정수이므로

[eqn: a _{n+1} =3a _{n}]을 만족한다.

[eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 1], 공비가 [eqn: 3]인 등비수열이므로

[eqn: LEFT { a _{2n-1} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 1], 공비가 [eqn: 9]인 등비수열이 된다.

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{2k-1} = {9 ^{10} -1} over {9-1} = {3 ^{20} -1} over {8}]에서

[eqn: alpha + beta =28]

① [eqn: 20]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 24]
④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 28]

등비수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{3} a _{k} =1], [eqn: sum _{k=1} ^{6} a _{k} =28]이 성립할 때, [eqn: sum _{k=7} ^{12} a _{k} =2 ^{u} TIMES 3 ^{v} TIMES 7 ^{w}] 이다. 세 상수 [eqn: u,~v,~w]의 합	[eqn: u+v+w]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

④

[eqn: sum _{k=1} ^{3} a _{k} = {a _{1} (1-r ^{3} )} over {1-r} =1]	[eqn: cdots①]

[eqn: sum _{k=1} ^{6} a _{k} = {a _{1} (1-r ^{3} )(1+r ^{3} )} over {1-r} =28]	[eqn: cdots ②]

①，②에 의하여

[eqn: r ^{3} =27]이므로

[eqn: sum _{k=7} ^{12} a _{k} = {a _{1} r ^{6} (1-r ^{6} )} over {1-r} =3 ^{6} TIMES 28=2 ^{2} TIMES 3 ^{6} TIMES 7 ^{1}]이다.

따라서 [eqn: u+v+w=9]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

첫째항이 [eqn: 1]이고 공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여
두 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { c _{n} RIGHT }]이 다음을 만족시킨다.

②

풀이)

등차수열 {[eqn: a _{n}]}의 첫째항이 [eqn: 1]이고 공차가 [eqn: 3]이므로

[eqn: a _{n} =1+ LEFT ( n-1 RIGHT ) TIMES 3] [eqn: =3n-2]

[eqn: b _{n} =7 TIMES 2 ^{3n-2}] [eqn: =14 TIMES 2 ^{3(n-1)}]

[eqn: = 14TIMES 8 ^{n-1}] 에서 수열 {[eqn: b _{n}]}은 첫째항이 [eqn: 14]이고 공비가 [eqn: 8]인
등비수열이므로 [eqn: S= sum _{k=1} ^{3} b _{k} = {14(8 ^{3} -1)} over {8-1} =2 TIMES 511=1022]

[eqn: c _{n} =log(7 TIMES 2 ^{3n-2} )]

[eqn: =log7+(3n-2)log2]

[eqn: =log7+log2+(3n-3)log2]

[eqn: =log14+ LEFT ( n-1 RIGHT ) log8]

에서 수열 {[eqn: c _{n}]}은 첫째항이 [eqn: log14]이고 공차가 [eqn: log8]인 등차수열이다.

[eqn: T= {4(2log14+3log8)} over {2}][eqn: =2(2log7 + 2log2 +9log2)]

[eqn: =2(2log7+11log2)]

따라서

[eqn: {T} over {S} = {2(2log7+11log2)} over {1022}]

[eqn: = {2log7+11log2} over {511}]

[eqn: b _{n} =7 TIMES2 ^{a _{n}} =10 ^{c _{n}}]

[eqn: S]와 [eqn: T]를 각각 [eqn: S= sum _{k=1} ^{3} b _{k} ,``T= sum _{k=1} ^{4} c _{k}]이라 할 때, [eqn: {T} over {S}]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: {11`log2+log7} over {511}]	② [eqn: {11`log2+2log7} over {511}]	③ [eqn: {11`log2+4log7} over {511}]	④ [eqn: {22`log2+2log7} over {511}]	⑤ [eqn: {22`log2+4log7} over {511}]

첫째항이 음수이고 공비가 [eqn: -2]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{10} ( LEFT | a _{k} RIGHT | `+a _{k} )`=440]일 때, [eqn: a _{1}]의 값은? [[eqn: 4.8]점]

① [eqn: - {2} over {31}]	② [eqn: - {4} over {31}]	③ [eqn: - {6} over {31}]
④ [eqn: - {8} over {31}]	⑤ [eqn: - {10} over {31}]

⑤

첫째항이 음수이고 공비가 [eqn: -2]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]

[eqn: a _{n} =(a)(-2) ^{n-1}] [eqn: (r<`0）]

수열 [eqn: a _{n}]은 음수항 양수항 번갈아서 나오는 수열

[eqn: LEFT | a _{k} RIGHT | +a _{k}]은 음수항은 소거 양수항만 남는다

[eqn: sum _{k=1} ^{10} ( LEFT | a _{k} RIGHT | `+a _{k} )`= sum _{k=1} ^{5} 2a _{2k} =2 sum _{k=1} ^{5} (a)(-2) ^{2k-1} =440]

[eqn: 2a sum _{k=1} ^{5} (-2) ^{2k-1} `=2a TIMES {(-2)((4) ^{5} -1)} over {4-1} =440]

[eqn: a=- {220} over {682} =- {10} over {31}]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: b _{n} =a _{n} - LEFT | a _{n} RIGHT |]이라 하고, 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: b _{8} =a _{8} ,``S _{5} =-100]
이고, [eqn: S _{n}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은? (단, [eqn: M != 0)] [4.2점]

① [eqn: -112]	② [eqn: -128]	③ [eqn: -136]
④ [eqn: -140]	⑤ [eqn: -164]

④

[eqn: a _{n} =a+(n-1)d]

[eqn: b _{8} =a _{8} - LEFT | a _{8} RIGHT | =a _{8`} ,`] [eqn: a _{8} =a+7d=0`,~a=-7d]

[eqn: S _{5} =b _{1} +b _{2} +b _{3} +b _{4} +b _{5} = LEFT { a _{1} - LEFT | a _{1} RIGHT | RIGHT } + LEFT { a _{2} - LEFT | a _{2} RIGHT | RIGHT } + CDOTS + LEFT { a _{5} - LEFT | a _{5} RIGHT | RIGHT }]

[eqn: =-100]

[eqn: sum _{n=1} ^{5} b _{n} =-100] 음수이므로 [eqn: n=1]부터 [eqn: n=7]까지 [eqn: a _{n} <0]

[eqn: S _{5} =2(a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5} )=-100]

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5} =5a+10d=-25d=-50]

[eqn: d=2,`a=-14]

[eqn: b _{n}]은 [eqn: n=8] 이상부터는 [eqn: b _{n} =a _{n}- a _{n} =0]이다.

[eqn: n=7`]일 때, [eqn: S _{n}`]은 최솟값을 가지므로

[eqn: m=S _{7} =2 TIMES{7 LEFT { 2 TIMES(-14)+6 TIMES2 RIGHT } }over{2}=-112]

[eqn: n=1]일 때, [eqn: S _{n}`]은 최댓값을 가지므로 [eqn: M=S_1 =2 TIMES(-14)=-28]

[eqn: THEREFORE~ M+m=-28-112=-140]

자연수의 거듭제곱의 합

[eqn: sum _{k=1} ^{15} LEFT ( k+3 RIGHT ) LEFT ( k+p RIGHT ) =115]를 만족시키는 상수 [eqn: p]의 값은? [4.6점]

① [eqn: -13]	② [eqn: -12]	③ [eqn: -11]
④ [eqn: -10]	⑤ [eqn: -9]

⑤

[eqn: sum _{k=1} ^{15} LEFT { k ^{2} + LEFT ( 3+p RIGHT ) k+3p RIGHT } =115]

[eqn: {15 TIMES 16 TIMES 31} over {6} + LEFT ( 3+p RIGHT ) {15 TIMES 16} over {2} +45p=115]

[eqn: 1240+ LEFT ( 3+p RIGHT ) 120+45p=115], [eqn: 1485=-165p,````p=-9]

[eqn: x]에 대한 이차방정식

⑤

근과 계수와의 관계에 따라 [eqn: a _{n} +b _{n} =2n+1], [eqn: a _{n} b _{n} =n LEFT ( n-1 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( a _{k} -1 RIGHT ) LEFT ( b _{k} -1 RIGHT ) =a _{k} b _{k} - LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT ) +1][eqn: =k LEFT ( k-1 RIGHT ) - LEFT ( 2k+1 RIGHT ) +1=k ^{2} -3k]

따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} -1 RIGHT ) LEFT ( b _{k} -1 RIGHT ) = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( k ^{2} -3k RIGHT )]

[eqn: = {10·11·21} over {6} -3· {10·11} over {2} =385-165=220]

[eqn: x ^{2} - LEFT ( 2n+1 RIGHT ) x+n LEFT ( n-1 RIGHT ) =0]

의 두 근을 [eqn: a _{n} ,~b _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} -1 RIGHT ) LEFT ( b _{k} -1 RIGHT )]의 값은? [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: {5} over {4}]
④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: {7} over {4}]

[eqn: 1 TIMES 20+3 TIMES 18+5 TIMES 16+` CDOTS `+17 TIMES 4+19 TIMES 2``]의 값은? [4.7점]

①

[eqn: 1 TIMES 20+3 TIMES 18+5 TIMES 16+` CDOTS `+17 TIMES 4+19 TIMES 2``]

[eqn: =`sum_k=1^10` (2`k-1)`(22-2`k)``]

[eqn: =`sum_k=1^10` (-4`k^2 +46`k-22`)``]

[eqn: =`-4 times {10times11times21}over6 `+` 46 times {10times11}over2 `-`22times10``]

[eqn: =`770``]

① [eqn: 770``]	② [eqn: 775``]	③ [eqn: 780``]

④ [eqn: 785``]	⑤ [eqn: 790``]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이
[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n+1} LEFT ( k ^{2} +1 RIGHT ) - sum _{k=1} ^{n} LEFT ( k ^{2} -1 RIGHT )]일 때, [eqn: a _{7} -a _{1}]의 값은? [5.1점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]
④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

②

[eqn: a _{7} =S _{7} -S _{6}][eqn: = sum _{k=1} ^{8} LEFT ( k ^{2} +1 RIGHT ) - sum _{k=1} ^{7} LEFT ( k ^{2} -1 RIGHT ) - sum _{k=1} ^{7} LEFT ( k ^{2} +1 RIGHT ) + sum _{k=1} ^{6} LEFT ( k ^{2} -1 RIGHT )]

[eqn: =8 ^{2} +1- LEFT ( 7 ^{2} -1 RIGHT ) =65-48=17]

[eqn: a _{1} =1 ^{2} +1+2 ^{2} +1=7] [eqn: a _{7} -a _{1} =10]

[eqn: SUM]를 여러 개 포함한 식

[eqn: sum^5 _i=1 left( sum^i_k=1 ik right)]의 값은?

④

[eqn: sum^5 _i=1 left( sum^i_k=1 ik right)]	[eqn: = SUM_i=1^5 i left(SUM_k=1^i k right)]

[eqn: = SUM_i=1^5 i left( i(i+1)over2 right)]

[eqn: = sum_i=1 ^5 left({i^2 + i^3} over2 right)]

[eqn: = 1 over2 left( 5times6times11 over6 + left( 5times6 over2 right)^2 right)]

[eqn: = 140]

[[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 137]	② [eqn: 138]	③ [eqn: 139]
④ [eqn: 140]	⑤ [eqn: 141]

[eqn: sum _{j=1} ^{5} LEFT { sum _{k=1} ^{5} (j ^{2} +k ^{3} ) RIGHT }]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 1350]	② [eqn: 1400]	③ [eqn: 1450]
④ [eqn: 1500]	⑤ [eqn: 1550]

②

[eqn: sum _{j=1} ^{5} LEFT { sum _{k=1} ^{5} (j ^{2} +k ^{3} ) RIGHT } = sum _{j=1} ^{5} LEFT { 5j ^{2} +225 RIGHT } =5 TIMES {5 TIMES 6 TIMES 11} over {6} +225 TIMES 5]

[eqn: =25 TIMES 11`+225 TIMES 5=1400]

[eqn: sum _{x=1} ^{10} LEFT ( sum _{i=1} ^{k} LEFT ( i-x RIGHT ) RIGHT )]의 값은 [eqn: k=p]일 때, 최솟값 [eqn: q]을 갖는다. 이때, [eqn: p]와 [eqn: q]을 각각 구하고, 풀이 과정을 논리적으로 서술하시오. [[eqn: 4.0]점]

[eqn: {bold{p=5,~q=it-125}}]

[eqn: sum _{x=1} ^{10} LEFT ( sum _{i=1} ^{k} LEFT ( i-x RIGHT ) RIGHT ) = sum _{x=1} ^{10} LEFT ( {k LEFT ( k+1 RIGHT )} over {2} -xk RIGHT ) =5·k LEFT ( k+1 RIGHT ) -55k=5k ^{2} -50k]

[eqn: =5 LEFT ( k ^{2} -10k RIGHT ) =5 LEFT ( k-5 RIGHT ) ^{2} -125]

따라서 [eqn: k=5=p]일 때, 최솟값 [eqn: q=it-125]

[eqn: sum _{m=1} ^{15} LEFT { sum _{l=1} ^{m} LEFT ( sum _{k=1} ^{l} 2 RIGHT ) RIGHT }]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 1360]	② [eqn: 1370]	③ [eqn: 1380]
④ [eqn: 1390]	⑤ [eqn: 1400]

①

[eqn: sum _{m=1} ^{15} LEFT { sum _{l=1} ^{m} LEFT ( sum _{k=1} ^{l} 2 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = sum _{m=1} ^{15} LEFT { sum _{l=1} ^{m} LEFT ( 2l RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = sum _{m=1} ^{15} LEFT ( m ^{2} +m RIGHT )]

[eqn: = {15 TIMES 16 TIMES 31} over {6} + {15 TIMES 16} over {2}]

[eqn: =1360]

[eqn: sum _{n=1} ^{12} LEFT ( sum _{k=1} ^{n+1} {k} over {n+2} RIGHT )]의 값은? [[eqn: 4.2]점]

④

[eqn: sum _{n=1} ^{12} LEFT ( sum _{k=1} ^{n+1} {k} over {n+2} RIGHT )]

[eqn: = sum _{n=1} ^{12} LEFT ( {1} over {n+2} TIMES {(n+1)(n+2)} over {2} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} TIMES {12(2+13)} over {2} =45]

① [eqn: 24]	② [eqn: 31]	③ [eqn: 38]
④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 52]

[eqn: SUM]를 이용한 여러 가지 수열의 합

자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y=x ^{2} -3x+1]과 직선 [eqn: y=5x-3-n]의 교점의 개수를 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{20} f(k)- sum _{k=1} ^{10} f(2k-1)]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]
④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

③

풀이)

[eqn: y=x ^{2} -3x+1]과 [eqn: y=5x-3-n]을 연립하면

[eqn: x ^{2} -3x+1=5x-3-n]

[eqn: x ^{2} -8x+n+4=0]

[eqn: {D} over {4} =16- LEFT ( n+4 RIGHT )]

[eqn: =-n+12]

[eqn: n<12]일 때, 직선 [eqn: y=5x-3-n]이 곡선 [eqn: y=x ^{2} -3x+1]과
서로 다른 두 점에서 만나므로

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =2]

[eqn: n=12]일 때, 직선 [eqn: y=5x-3-n]이 곡선 [eqn: y=x ^{2} -3x+1]에 접하므로

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =1]

[eqn: n>12]일 때, 직선 [eqn: y=5x-3-n]이 곡선 [eqn: y=x ^{2} -3x+1]과
만나지 않으므로

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =0]

[eqn: sum _{k=1} ^{20} f(k)- sum _{k=1} ^{10} f(2k-1)]

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{20} f LEFT ( k RIGHT ) =2 TIMES 12+1 TIMES 1+0 TIMES 8=25] 이고,

[eqn: sum _{k=1} ^{10} f(2k-1) = 2times 6 + 0 times 4 = 12] 이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{20} f(k)- sum _{k=1} ^{10} f(2k-1) = 25 -12 = 13]

수열 [eqn: left { a_n right }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: b_n = left | a_n right | -a_n]이라 할 때, [eqn: sum_k=1^20 b_k]의 값은? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 60]	② [eqn: 54]	③ [eqn: 48]
④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 24]

②

[eqn: left | a_1 right | =3]이고 [eqn: left | a_n+1 right | = left | a_n right |]이므로

모든 자연수 [eqn: n]에 대해 [eqn: left | a_n right | =3]이다.

[eqn: sum_k=1^20`b_k][eqn: = sum_k=1^20 left | a_k right | - sum_k=1^20 a_k][eqn: =60-6=54]

(가) [eqn: left | a_1 right | =3]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: left | a_n+1 right |= left | a_n right |]이다.

(다) [eqn: sum_k=1^20 a_k =6]

그림과 같이 길이가 같은 막대 모양의 자석 블록을 이용하여 정삼각형 모양을 계속 만들어 나간다. 이렇게 만들어진 가장 큰 정삼각형 모양의 한 변에 놓인 자석 블록의 개수가 [eqn: n]일 때, 전체 자석 블록의 개수를 [eqn: a_n]이라 하자. [eqn: a_10]의 값은? (단, 동그란 자석 블록은 생각하지 않는다.) [[eqn: 5.0]점]

① [eqn: 99]	② [eqn: 165]	③ [eqn: 273]
④ [eqn: 315]	⑤ [eqn: 385]

②

자석 블록은 [eqn: n=1]일 때 삼각형 하나, [eqn: n=2]일 때 세 개, [eqn: n=3]일 때 [eqn: 6]개로 늘어난다.

[eqn: a_n+1 - a_n = 3(n+1)]

[eqn: a_10][eqn: = a_9 +3times 10][eqn: =a_8 + 3 times 10+3times 9]
[eqn: =`cdots`= a_1 +3(10+9+`cdots`+2)]
[eqn: =3(10+9+`cdots`+2+1)]
[eqn: =3times 55=165]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: P _{n}]과 제[eqn: 1]사분면 위의 점 [eqn: Q _{n}]이 있다.

다음은 점 [eqn: P _{1}]의 좌표가 [eqn: (3,`0)]일 때, 두 점 [eqn: A(1,`0),`B(0,`2)]에 대하여 삼각형 [eqn: ABP _{n}]의 넓이 [eqn: S _{n}]을 구하는 과정이다. (단, [eqn: O]는 원점이다.)

⑤

중심이 [eqn: P _{n}]인 원의 방정식은 [eqn: (x-a _{n} ) ^{2} +y ^{2} =a _{n} ` ^{2}]

[eqn: y= sqrt {x}]와 교점 [eqn: Q _{n}]은 [eqn: (x-a _{n} ) ^{2} +y ^{2} = LEFT ( x-a _{n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sqrt {x} RIGHT ) ^{2} =a _{n} ` ^{2}]

[eqn: x ^{2} -2a _{n} x+x=0], [eqn: x{x- LEFT ( 2a _{n} -1 RIGHT ) }=0]

[eqn: x=b _{n} `=`2a _{n} -1]

(가) [eqn: 2]

[eqn: a _{n+1} =b _{n} +(b _{n} -a _{n} )=2b _{n} -a _{n} =2b _{n} -a _{n} =2(2a _{n} -1)-a _{n} =3a _{n} -2]

(나) [eqn: 3]

[eqn: S _{n} = {1} over {2} TIMES 2 TIMES {bar{P _{n} A}} =a _{n} -1]

[eqn: S _{n} = {1} over {2} TIMES 2 TIMES {bar{P _{n} A}} =3a _{n} -3,] [eqn: {S _{n+1}} over {S _{n}} = {3(a _{n} -1)} over {a _{n} -1} =3]으로 일정

[eqn: S _{1} =a _{1} -1=3-1=2]

[eqn: S _{n}]은 공비가 [eqn: 3]이고 초항이 [eqn: 2]인 등비수열, [eqn: f(n)=2 BULLET 3 ^{n-1}]

[eqn: p+q+ sum _{n=1} ^{4} f(n)=2+3+ sum _{n=1} ^{4} `2 cdot 3 ^{n-1} =5+ {2(3 ^{4} -1)} over {3-1} =85]

[eqn: BULLET]점 [eqn: P _{n}]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: {bar{OP _{n}}}]인 원은 곡선 [eqn: y= sqrt {x} (x>0)]과 점 [eqn: Q _{n}]에서 만난다.

[eqn: BULLET]점 [eqn: Q _{n}]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: {bar{P _{n} Q _{n}}}]인 원은 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점 [eqn: P _{n}], [eqn: P _{n+1}]에서 만난다.

[eqn: BULLET]모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

두 점 [eqn: P _{n}], [eqn: Q _{n}]의 [eqn: x]좌표를

각각 [eqn: a _{n} ,`b _{n}] 이라 하자.

[eqn: {bar{OP}_n}][eqn: =` {bar{P _{n} Q _{n}}}]에서

[eqn: b _{n} =][eqn: TIMES a _{n} -1]이다.

(가)

두 점 [eqn: P _{n}], [eqn: P _{n+1}]은

점 [eqn: Q _{n}]을 중심으로 하는 원 위에 있으므로

[eqn: a _{n+1} =][eqn: TIMES a _{n} -2] 이다.

(나)

삼각형 [eqn: ABP _{n}]의 넓이 [eqn: S _{n}]에 대하여 [eqn: {S _{n+1}} over {S _{n}}]은 일정하므로

[eqn: S _{n} =]이다.

(다)

위의 (가),(나) 에 알맞은 수를 각각 [eqn: p,`q]라 하고 (다)에 알맞은 식을 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: p+q+ sum _{n=1} ^{4} f(n)]의 값은? [4.2점]
① [eqn: 81]	② [eqn: 82]	③ [eqn: 83]
④ [eqn: 84]	⑤ [eqn: 85]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 귀납적 정의가 [eqn: a _{1} =2], [eqn: a _{n+1} =(n+1)a _{n} `````(n=1,`2,`3,` CDOTS )]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{100} a _{k}]의 일의 자리의 숫자는? [[eqn: 4.1]점]

②

[풀이]

[eqn: a _{n+1} =(n+1)a _{n} `````(n=1,`2,`3,` CDOTS )]

[eqn: {a _{n+1}} over {a _{n}} =n+1]에 [eqn: n=1]부터 [eqn: n-1]까지 대입해서 곱해보면

[eqn: {a _{2}} over {a _{1}} TIMES {a _{3}} over {a _{2}} TIMES CDOTS {a _{n}} over {a _{n-1}} =2 TIMES 3 TIMES CDOTS TIMES n]

[eqn: {a _{n}} over {2} =n!]

[eqn: a _{n} =2 TIMES n!]

[eqn: sum _{k=1} ^{100} a _{k} =2 LEFT ( 1!+2!+3!+4!+5!+` CDOTS `+100! RIGHT )]에서

[eqn: 5!]이상은 [eqn: 10]의 배수가 되어 일의 자리에 영향을 주지 않으므로

[eqn: 2 LEFT ( 1+2+6+24 RIGHT ) =66]의 일의자리만 알아봐도 되므로 [eqn: 6]임을 알 수 있다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하면 [eqn: a _{1} =4], [eqn: S _{n} = {1} over {n} (S _{1} +S _{2} + CDOTS +S _{n-1} )+3-a _{n``} (n=2`,`3,`4,` CDOTS )]일 때, [eqn: a _{6}]의 값은? [[eqn: 5.0]점]

⑤

[풀이]

[eqn: S _{n} = {1} over {n} (S _{1} +S _{2} + CDOTS +S _{n-1} )+3-a _{n``}]의 양변에 [eqn: n]을 곱하면

[eqn: nS _{n} =(S _{1} +S _{2} + CDOTS +S _{n-1} )+3n-na _{n``}]

[eqn: S _{n+1} = {1} over {n+1} (S _{1} +S _{2} + CDOTS +S _{n-1} +S _{n} )+3-a _{n`+1`}]의 양변에 [eqn: n+1]을 곱하면

[eqn: (n+1)S _{n+1} =(S _{1} +S _{2} + CDOTS +S _{n-1} +S _{n} )+3(n+1)-(n+1)a _{n`+1`}]

두 식을 연립하여 정리하면

[eqn: (n+1)(S _{n+1} -S _{n} )=3-(n+1)a _{n+1} +na _{n}], [eqn: S _{n+1} -S _{n} =a _{n+1}]이므로

[eqn: 2(n+1)a _{n+1} =3+na _{n}]이다. 여기서 [eqn: na _{n} =b _{n}]으로 치환하면

[eqn: 2b _{n+1} =3+b _{n}]이 되고

[eqn: b _{n+1} -3= {1} over {2} (b _{n} -3)]으로 변형하면

[eqn: LEFT { b _{n} -3 RIGHT }]은 첫째항은 [eqn: b _{2} -3] [eqn: (n=2,````3,````4,``` CDOTS `)], 공차는 [eqn: {1} over {2}]인 등비수열이 된다.

[eqn: S _{2} = {1} over {2} (S _{1} )+3-a _{2}]에서 [eqn: a _{2} = {1} over {2}]

[eqn: b _{2} =2a _{2} =1]이므로 [eqn: b _{2} -3=-2]

[eqn: b _{n} -3=(-2)left( {1} over {2} right) ^{n-2}]에서 [eqn: n=6]을 대입하면

[eqn: b _{6} -3=(-2)left( {1} over {2} right) ^{4}], [eqn: b _{6} =6a _{6} = {23} over {8}], [eqn: a _{6} = {23} over {48}]

① [eqn: {11} over {20}]	② [eqn: {13} over {20}]	③ [eqn: {17} over {48}]

④ [eqn: {23} over {48}]	⑤ [eqn: {25} over {51}]

자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: 0<x<2 pi ``]일 때, 방정식 [eqn: tan2nx=1``]을 만족시키는 실근의 개수를 [eqn: f(n)``]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{20} f(n)``]의 값은? [5.1점]

⑤

함수 [eqn: y`=`tan2nx``]의 주기는 [eqn: pi over {2`n}``]이므로

[eqn: f`(1)`=`4`,``][eqn: f`(2)`=`8`,``][eqn: f`(3)`=`12`,`cdots``]로

[eqn: f`(n)``]은 공차가 [eqn: 4``]인 등차수열이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{20} f(n)``][eqn: =`sum _{n=1} ^{20} `4`n`=`4 times {20 times21}over2 `=`840``]이다.

① [eqn: 420``]	② [eqn: 580``]	③ [eqn: 640``]

④ [eqn: 720``]	⑤ [eqn: 840``]

[eqn: SUM]로 표현된 수열의 합과 일반항

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =2n LEFT ( n+1 RIGHT )]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} ` ^{2}]의 값은? [4.9점]

① [eqn: 6100]	② [eqn: 6120]	③ [eqn: 6140]
④ [eqn: 6160]	⑤ [eqn: 6180]

④

[eqn: S _{n} =2n ^{2} +2n,````a _{n} =4n]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} ` ^{2} = sum _{k=1} ^{10} 16k ^{2} =16 {10 TIMES 11 TIMES 21} over {6} =6160]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =n ^{2} +4n+3]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{2k}]의 값은? [4.4점]

① [eqn: 800]	② [eqn: 900]	③ [eqn: 1000]
④ [eqn: 1100]	⑤ [eqn: 1200]

②

[eqn: S _{n} =n ^{2} +4n+3,`````a _{n} =2n+3``` LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]

[eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{2k} = sum _{k=1} ^{20} LEFT ( 4k+3 RIGHT ) =2 TIMES 20 TIMES 21+60=900]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]은 [eqn: a_1 +a_2 =7]이고, [eqn: sum _{ k=2} ^{n }`a_k - sum _{ k=1} ^{n-1 }`a_k`=2n^2 +1``(n ge2)]를 만족시킨다. [eqn: sum _{ k=1} ^{10 }`a_k`]의 값은? [4.2점]

②

[eqn: sum _{k=2} ^{n} `a _{k} - sum _{k=1} ^{n-1} `a _{k}`=a_n -a_1`=2n^2 +1````][eqn: (n GEQ 2)]

[eqn: a_2 -a_1 =9]이므로 [eqn: a_1 =-1`,````a_2 =8]

[eqn: a_n = 2n^2````(n GEQ 2)], [eqn: a_1 =-1]

따라서 [eqn: sum _{ k=1} ^{10 }`a_k`][eqn: =sum _{k=1} ^{10} `2k^2 ` -3 =767]

① [eqn: 762`]	② [eqn: 767`]	③ [eqn: 772`]

④ [eqn: 777`]	⑤ [eqn: 782`]

첫째항이 [eqn: 1]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]에 대하여 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n`]이라 할 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]은 다음 조건을 만족시킨다.

②

[eqn: a_2n-1 = 1+(n-1)cdot3`= 3n-2]

[eqn: S_2n-1 = 2^n-1]

[eqn: S _{2n+1} = sum _{k=1} ^{n+1} `a _{2k-1} + sum _{k=1} ^{n} `a _{2k}]

[eqn: 2^n = matrix { (n+1)(3n+2)} over 2 + sum _{k=1} ^{n} `a _{2k}]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} `a _{2k} = 2 ^{n} - {{matrix{(n+1)(3n+2)}}} over {2} >0] 인 자연수 [eqn: n`]은 [eqn: 7`]이상이다.

(가) 수열 [eqn: LEFT { a _{2n-1} RIGHT } `]은 공차가 [eqn: 3]인 등차수열이다.

(나) 수열 [eqn: left{S_2n-1right}`]은 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{n} `a _{2k} `>0]일 때, [eqn: n]의 최솟값은? [4.1점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

수열 [eqn: left{a_n right}`]의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합 [eqn: S_n`]이 [eqn: S_n =2n^2 -37n`]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.4점]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

⑤

[eqn: S_n = 2n^2 -37n`]이므로

[eqn: a_n = S_n -S_n-1]

[eqn: =2n^2 -37n-2(n-1)^2 +37(n-1)]

[eqn: =2n^2 -37n-2n^2 +4n-2+37n-37]

[eqn: =4n-39]

[eqn: S_1 =a_1 =-35`]이므로 [eqn: a_n =4n-39 ``(n ge1)]

수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항이 [eqn: -35`], 공차가 [eqn: 4`]인 등차수열이다.

ㄱ. [eqn: sum _{ k=1} ^{50 }(a_2k-1 )^2 - sum _{ k=1} ^{50 }(a_2k )^2][eqn: = sum _{ k=1} ^{ 50}(a_2k-1 -a_2k )(a_2k-1 +a_2k )]

[eqn: =-4 sum _{ k=1} ^{50 } (a_2k-1 +a_2k )]

[eqn: =-4 S_100] (참)

ㄴ. 수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항이 [eqn: -35`], 공차가 [eqn: 4`]인 등차수열이므로

[eqn: a_n+1 -a_n =4`] (참)

ㄷ. [eqn: |`a_n`| =|`4n-39 `|]

[eqn: n=10]일 때 최솟값 [eqn: 1`]을 갖는다. (참)

[보 기]

ㄱ. [eqn: sum _{ k=1} ^{50 }(a_2k-1 )^2 - sum _{ k=1} ^{50 }(a_2k )^2 =-4S_100]이다.

ㄴ. 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n+1 -a_n =4`]이다.

ㄷ. [eqn: |`a_n`|`]의 값이 최소가 되는 자연수 [eqn: n`]의 값은 [eqn: 10`]이다.

일반항이 [eqn: k,n]에 대한 식인 수열의 합

수열 [eqn: 1], [eqn: 1 over 1+2], [eqn: 1 over 1+2+3], [eqn: 1over 1+2+3+4], [eqn: cdots]의 첫째항부터 제 [eqn: 30]항까지의 합은?

①

이 수열의 일반항 [eqn: a_n = 2 over{ n(n+1)]이다.

[eqn: SUM_k=1^30 2 over{k(k+1)]	[eqn: = 2 SUM_k=1^30 left( 1 overk - 1over k+1 right)]

[eqn: = 2 left( 1 over1 - 1 over2 + 1over2 - 1 over3 + cdots + 1over30 - 1over31 right)]

[eqn: = 60 over31]

[[eqn: 4.7]점]

① [eqn: 60 over31]	② [eqn: 61 over 31]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 63 over 31]	⑤ [eqn: 64 over 31]

다음 식의 값을 구하면?
[eqn: 1 TIMES 2+ LEFT ( 1+3 RIGHT ) TIMES 3+ LEFT ( 1+3+5 RIGHT ) TIMES 4+~ CDOTS ~][eqn: + LEFT ( 1+3+5+~ CDOTS ~+19 RIGHT ) TIMES 11]
[[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 2319]	② [eqn: 3210]	③ [eqn: 3410]
④ [eqn: 4310]	⑤ [eqn: 5410]

③

주어진 식의 [eqn: a_n = left{ sum _{k=1 } ^{n } (2k-1 )right} times ( n+ 1 )]이고

[eqn: 1 TIMES 2+ LEFT ( 1+3 RIGHT ) TIMES 3+ LEFT ( 1+3+5 RIGHT ) TIMES 4+~ CDOTS ~+ LEFT ( 1+3+5+~ CDOTS ~+19 RIGHT ) TIMES 11]

[eqn: = sum _{k=1 } ^{10} a_k][eqn: = sum _{k=1} ^{10} {k(2k)} over {2} (k+1)][eqn: = sum _{k=1} ^{10} k ^{2} (k+1)][eqn: = sum _{k=1} ^{10} (k ^{3} +k)]

[eqn: = LEFT ( {10 TIMES 11} over {2} RIGHT ) ^{2} + {10 TIMES 11 TIMES 21} over {6}][eqn: =3410]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k} =2n ^{2} +10n]을 만족시킬 때, [eqn: sum _{k=1} ^{8} {180} over {a _{k}}]의 값은? [5.2점]

①

[eqn: {a _{n}} over {n} =2n ^{2} +10n- LEFT { 2(n-1) ^{2} +10(n-1) RIGHT }]	[eqn: (n GEQ 2)]

[eqn: =4n+8]

[eqn: THEREFORE `a _{n} =4n ^{2} +8n]	[eqn: (n GEQ 2)]

[eqn: a _{1} =12]

[eqn: THEREFORE `a _{m} =4n ^{2} +8n]	[eqn: (n GEQ 1)]

[eqn: sum _{k=1} ^{8} {45} over {k(k+2)} = {45} over {2} sum _{k=1} ^{8} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+2} RIGHT )]

[eqn: = {45} over {2} LEFT ( 1+ {1} over {2} - {1} over {9} - {1} over {10} RIGHT ) =29]

① [eqn: 29]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 31]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 33]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{n} {3k-1} over {a _{k}} = {3} over {2} n ^{2} + {7} over {2} n]
을 만족시킨다. [eqn: a _{5} a _{6} a _{7} = {q} over {p}]일 때, [eqn: 2p-q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 4.6]점]

②

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {3k-1} over {a _{k}} = {3} over {2} n ^{2} + {7} over {2} n]

[eqn: - sum _{k=1} ^{n-1} {3k-1} over {a _{k}} = {3} over {2} n ^{2} + {7} over {2} n]에서 [eqn: {3n-1} over {a _{n}} =3n+2]이고 [eqn: a _{n} = {3n-1} over {3n+2}]

[eqn: a _{5} a _{6} a _{7} = {14} over {17} TIMES {17} over {20} TIMES {20} over {23} = {14} over {23}] [eqn: 2p-q=32]이다.

【검수자 다른풀이】

[eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1}]

[eqn: {3n-1} over {a _{n}} = {3n ^{2}} over {2} + {7n} over {2} - LEFT { {3} over {2} LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2} + {7} over {2} LEFT ( n-1 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: THEREFORE a _{n} = {3n+2} over {3n-1}]

① [eqn: 29]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 35]	④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 41]

수열 [eqn: left{a _{n} {right}}]이 [eqn: sum _{k=1} ^{n} k ^{2} a _{k} =n ^{2} +n]을 만족시킬 때, [eqn: sum _{k=3} ^{8} {a _{k}} over {k+1}]의 값은? [4.6점]

②

[eqn: n ^{2} a _{n} `=sum _{k=1} ^{n} k ^{2} a _{k} - sum _{k=1} ^{n-1} k ^{2} a _{k} =2n]

[eqn: therefore````][eqn: a_n = 2overn]

[eqn: sum _{k=3} ^{8} {2} over {k(k+1)} =2 LEFT ( {1} over {3} - {1} over {9} RIGHT ) = {4} over {9}]

① [eqn: 2over9]	② [eqn: 4over9]	③ [eqn: 2over3]

④ [eqn: 8over9]	⑤ [eqn: 10over9]

로그가 포함된 수열의 합

[eqn: sum _{k=2} ^{200} log LEFT ( 1- {1} over {k ^{2}} RIGHT ) =log {p} over {q}]일 때, [eqn: 2p-q]의 값은? (단 [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수) [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

①

[eqn: 1- {1} over {k ^{2}} = {k ^{2} -1} over {k ^{2}} = {k-1} over {k} · {k+1} over {k}]

[eqn: sum _{k=2} ^{200} log LEFT ( 1- {1} over {k ^{2}} RIGHT ) =log LEFT ( {1} over {2} · {3} over {2} RIGHT ) +log LEFT ( {2} over {3} · {4} over {3} RIGHT ) +` CDOTS `+log LEFT ( {199} over {200} · {201} over {200} RIGHT )]

[eqn: =log LEFT { LEFT ( {1} over {2} · {3} over {2} RIGHT ) · LEFT ( {2} over {3} · {4} over {3} RIGHT ) ·~ CDOTS `· LEFT ( {199} over {200} · {201} over {200} RIGHT ) RIGHT } =log {201} over {400} =log {p} over {q}]

따라서 [eqn: p=201,~q=400]이므로 [eqn: 2q-p=2·201-400=2]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} = {n ^{2} +3n} over {2}``]일 때,

②

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} = {n ^{2} +3n} over {2}``]일 때,

[eqn: a_1 `=`S_1`=`2`,``]

[eqn: n ge2 ``]일 때, [eqn: a_n`=`S_n - S_n-1 `=` n+1``]

[eqn: sum _{k=1} ^{5} (2k-1)a _{2k}``][eqn: =`sum _{k=1} ^{5} `(2k-1)`(2k+1)``]

[eqn: =`sum _{k=1} ^{5} `(4`k^2 -1)``]

[eqn: =`220-5`=`215``]이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{5} (2k-1)a _{2k}``]의 값은? [4.8점]

① [eqn: 214``]	② [eqn: 215``]	③ [eqn: 216``]

④ [eqn: 217``]	⑤ [eqn: 218``]

[eqn: sum _{k=1} ^{4} (k-p) ^{2} =6``]일 때, 상수 [eqn: p``]의 값의 곱은? [4.2점]

④

[eqn: sum _{k=1} ^{4} (k-p) ^{2} =4`p^2 -20`p+30`=`6``]에서

[eqn: 4`p^2 -20`p+24`=`0``]이므로

상수 [eqn: p``]의 값의 곱은 [eqn: 24over4 `=`6``]이다.

① [eqn: 3``]	② [eqn: 4``]	③ [eqn: 5``]
④ [eqn: 6``]	⑤ [eqn: 7``]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]의 첫째항부터 제[eqn: n``]항까지의 합을 [eqn: S _{n}``]이라 하자.

④

[eqn: a_1 `=`S_1`=`9`,``]

[eqn: n ge2 ``]일 때,

[eqn: a _{n} `=`S _{n} -S _{n-1} `=`(n+1)`(3`n+1)``]

[eqn: a _{k} =7a _{1} +2``]이려면 [eqn: k !=1``]이므로

[eqn: (k+1)`(3`k+1)`=`65``]에서

[eqn: 3`k^2 +4`k-64`=`(k-4)`(3`k+16)`=`0``]

에서 자연수 [eqn: k`=`4``]이다.

[eqn: S _{n} = {(n+1)(n+2)(2n+1)} over {2}``]

일 때, [eqn: a _{k} =7a _{1} +2``]를 만족시키는 자연수 [eqn: k``]의 값은? [5.0점]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]

④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

분수꼴의 수열의 합

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =n ^{2} +4n+2]를 만족시킨다. [eqn: sum _{k=1} ^{22} {1} over {a _{k} `a _{k+1}}]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 서술하시오. [[eqn: 7.0]점/부분점수 있음]

[eqn: 4over49]

[eqn: S _{n} =n ^{2} +4n+2]

[eqn: S _{n} `-S _{n-1} =(n ^{2} +4n+2)-(n ^{2} -2n+1+4n-4+2)=2n+3]

[eqn: a _{n} =2n+3] [eqn: (`n GEQ 2)], [eqn: a_1 =7]이므로

[eqn: a_n = cases{`7&&&(n=1)#`2n+3&&&(n =2,~3,~4,~cdots)]

[eqn: sum_k=1^22 1over{a_k a_k+1} = 1over{a_1 a_2 }+sum_k=2^22 1over{a_k a_k+1 }]

[eqn: = 1over7cdot7 +sum_k=1^22 { 1over{(2k+3)(2k+5)}]

[eqn: = 1over49 + 1over2 sum_k=1^22 left( 1over2k+3 - 1over2k+5 right)]

[eqn: = 1over49 + 1 over2 left(1over7 - 1over49 right)]

[eqn: 1over49 + 3over49 = 4 over49]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여	[eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {LEFT ( 3k-2 RIGHT ) a _{k}} = {3} over {2} n ^{2} + {5} over {2} n]
을 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=1} ^{9} a _{n}]의 값은? [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: {15} over {56}]	② [eqn: {2} over {7}]	③ [eqn: {17} over {56}]
④ [eqn: {9} over {28}]	⑤ [eqn: {19} over {56}]

④

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {LEFT ( 3k-2 RIGHT ) a _{k}} = {3} over {2} n ^{2} + {5} over {2} n]

[eqn: {1} over {LEFT ( 3n-2 RIGHT ) a _{n}} = {3} over {2} n ^{2} + {5} over {2} n- {3} over {2} LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2} - {5} over {2} LEFT ( n-1 RIGHT )]

[eqn: =3n+1]

[eqn: a _{n} = {1} over {LEFT ( 3n-2 RIGHT ) LEFT ( 3n+1 RIGHT )}]

[eqn: sum _{n=1} ^{9} a _{n} = sum _{n=1} ^{9} {1} over {3} LEFT ( {1} over {3n-2} - {1} over {3n+1} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {3} LEFT { LEFT ( {1} over {1} - {1} over {4} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {4} - {1} over {7} RIGHT ) +` CDOTS + LEFT ( {1} over {25} - {1} over {28} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {1} over {3} LEFT ( 1- {1} over {28} RIGHT )]

[eqn: = {9} over {28}]

첫째항이 [eqn: 3]인 수열 [eqn: left {a_n right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+1 =a_n +2]일때, [eqn: sum_k=1^15 1 over {a_k a_k+1}]의 값은? [[eqn: 5.2]점]

① [eqn: 1 over 33]	② [eqn: 5 over 33]	③ [eqn: 2 over 11]
④ [eqn: 8 over 33]	⑤ [eqn: 3 over 11]

②

[eqn: a_n+1 -a_n =2], 수열 [eqn: left { a_n right }]은 첫째항이 [eqn: 3], 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이다.

[eqn: a_n = 2n+1]

[eqn: sum_k=1^15 1 over {a_k a_k+1}][eqn: = sum_k=1^15 1 over {(2k+1)(2k+3)}][eqn: = sum_k=1^15 1 over 2 LEFT ( 1 over 2k+1 - 1 over 2k+3 RIGHT )]
[eqn: = 1 over 2 LEFT ( 1 over 3 - 1 over 5 + 1 over 5 - 1 over 7 +`cdots`- 1 over 33 RIGHT )]
[eqn: = 1 over 2 LEFT ( 1 over 3 - 1 over 33 RIGHT )= 1 over 2 times 10 over 33 = 5 over 33]

이차방정식 [eqn: x ^{2} + {x} over {2n} -n+1=0] ([eqn: n]은 자연수) 의 두 근을 [eqn: a _{n} ,````b _{n}]이라고 할 때, [eqn: sum _{k=2} ^{60} LEFT ( {2} over {a _{k}} + {2} over {b _{k}} RIGHT )]의 값은? [4.9점]

① [eqn: {51} over {60}]	② [eqn: {53} over {60}]	③ [eqn: {55} over {60}]
④ [eqn: {57} over {60}]	⑤ [eqn: {59} over {60}]

⑤

[eqn: a _{n} +b _{n} =- {1} over {2n} ,`````a _{n} b _{n} =-n+1`]

[eqn: {2} over {a _{k}} + {2} over {b _{k}} =2 LEFT ( {a _{k} +b _{k}} over {a _{k} b _{k}} RIGHT ) = {2} over {2n LEFT ( n-1 RIGHT )} = {1} over {n-1} - {1} over {n}]

[eqn: LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {59} - {1} over {60} RIGHT ) = {59} over {60}]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k+1} =n(n+1)]을 만족시킬 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}]의 값은? [[eqn: 4.2]점]

①

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k+1} =n(n+1)]

[eqn: b _{k} `= {a _{k}} over {k+1}]

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} b _{k} `=n(n+1)]

[eqn: S _{n} -S _{n-1} =`n(n+1)-(n-1)n=2n]

[eqn: 2n= {a _{n}} over {n+1}]

[eqn: a _{n} `=2n ^{2} +2n]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} 2k ^{2} +2k=880]

① [eqn: 880]	② [eqn: 870]	③ [eqn: 860]

④ [eqn: 850]	⑤ [eqn: 840]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} =n ^{2} +4n]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{25} {1} over {a _{k} a _{k+1}}]의 값은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p,q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 4.9]점]

⑤

[eqn: S _{n} =n ^{2} +4n]

[eqn: S _{n} `-S _{n-1} `=n ^{2} +4n`-(n-1) ^{2} -4(n-1)=2n+3`(`n` GEQ 2)]

[eqn: S _{1} =a _{1}]이므로 [eqn: a _{n} `=2n+3]

[eqn: sum _{k=1} ^{25} {1} over {a _{k} a _{k+1}} `=` sum _{k=1} ^{25} ` {1} over {(2n+3)(2n+5)} = {1} over {2} LEFT ( {1} over {2n+3} `-` {1} over {2n+5} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( {1} over {5} - {1} over {7} + {1} over {7} - {1} over {9} + {1} over {9} - {1} over {11} +` CDOTS `+ {1} over {53} - {1} over {55} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( {1} over {5} - {1} over {55} RIGHT ) = {1} over {2} TIMES {10} over {55} = {1} over {11}]

[eqn: p+q=12]

① [eqn: 16]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 12]

자연수 전체의 집합을 정의역으로 하는 두 함수

③

[eqn: h(n) = 9n(n+1)]

[eqn: sum _ n=1 ^m 1 over 9n(n+1) = 1 over9 times sum _ n=1^m 1 over n(n+1) = 1over9 times sum _n=1 ^m left( 1overn - 1 over n+1 right)]

[eqn: = 1over9 times left( 1over1 - 1 over2 + 1 over2 - 1over3 + cdots + 1overm - 1overm+1 right)]

[eqn: = 1over 9 times left( 1over1 - 1over m+1 right)]

[eqn: = 1 over9 times m over m+1 = 2 over 19]

[eqn: THEREFORE m = 18]

[eqn: f(n) = (n-1)(n+2)], [eqn: g(n) = 3n+1]이 있다.

[eqn: h(n) = left( f circg right)(n)] 일 때, [eqn: sum _ n=1 ^m 1 overh(n) = 2 over 19`]를 만족하는 자연수 [eqn: m]의 값은? [[eqn: 4.8]점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]
④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

[eqn: {2} over {1 ^{2} TIMES 3 ^{2}} + {4} over {3 ^{2} TIMES 5 ^{2}} + {6} over {5 ^{2} TIMES 7 ^{2}} + CDOTS + {20} over {19 ^{2} TIMES 21 ^{2}}] 의 값은? [4.1점]

① [eqn: {110} over {441}]	② [eqn: {12} over {49}]	③ [eqn: {106} over {441}]
④ [eqn: {104} over {441}]	⑤ [eqn: {34} over {147}]

①

[eqn: sum _{k=1} ^{10} {2k} over {LEFT ( 2k-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( 2k+1 RIGHT ) ^{2}} = sum _{k=1} ^{10} {2k} over {LEFT ( 4k ^{2} -4k+1 RIGHT ) LEFT ( 4k ^{2} +4k+1 RIGHT )}]

[eqn: = {1} over {4} sum _{k=1} ^{10} LEFT { {1} over {LEFT ( 2k-1 RIGHT ) ^{2}} - {1} over {LEFT ( 2k+1 RIGHT ) ^{2}} RIGHT }]

[eqn: = {1} over {4} LEFT ( 1- {1} over {3 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} - {1} over {5 ^{2}} + CDOTS + {1} over {19 ^{2}} - {1} over {21 ^{2}} RIGHT ) = {1} over {4} TIMES {440} over {441} = {110} over {441}]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k} =2n ^{2} -1]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 5.0]점]

[eqn: 1429]

[풀이] [eqn: S _{n} = {a _{1}} over {1} + {a _{2}} over {2} + CDOTS + {a _{n}} over {n} =2n ^{2} -1] 이라 하면

[eqn: a _{1} =S _{1} =2 TIMES 1 ^{2} -1=1]

[eqn: S _{n-1} = {a _{1}} over {1} + {a _{2}} over {2} + CDOTS + {a _{n-1}} over {n-1} =2(n-1) ^{2} -1`(n GEQ 2)]에서	[eqn: S _{n} -S _{n-1} = {a _{n}} over {n} =4n-2]

즉, [eqn: a _{n} =n(4n-2)``(n GEQ 2)]

따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =a _{1} + sum _{k=2} ^{10} k(4k-2)][eqn: =][eqn: 1+ sum _{k=2} ^{10} (4k ^{2} -2k)] [eqn: =1+ LEFT { sum _{k=1} ^{10} (4k ^{2} -2k)-(4-2) RIGHT }][eqn: =-1+4 sum _{k=1} ^{10} k ^{2} -2 sum _{k=1} ^{10} k][eqn: =-1+4 TIMES {10 TIMES 11 TIMES 21} over {6} -2 TIMES {10 TIMES 11} over {2} =1429]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT }]이 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: {a_1}over{2}+{a_2}over{3}+{a_3}over{4}+ CDOTS+{a_n}over{n+1}=n^2 +n]을 만족시킬 때, [eqn: sum _{k=1} ^{20}{1}over{a_k}]의 값은? [5.6점]

① [eqn: {10}over{21}]	② [eqn: {5}over{8}]	③ [eqn: {20}over{27}]
④ [eqn: {3}over{4}]	⑤ [eqn: {5}over{6}]

①

[eqn: S_n = n^2 +n], [eqn: S_n-1 =n^2 -n]

[eqn: S_n -S_n-1 =2n]

[eqn: {a_n}over{n+1}=2n], [eqn: a_n =2n(n+1)]

[eqn: sum _{ k=1} ^{20 }{1}over{2n(n+1)}={1}over{2} LEFT({1}-{1}over{2}+{1}over{2}-{1}over{3}+ CDOTS+{1}over{20}-{1}over{21} RIGHT)][eqn: ={10}over{21}]

첫째항이 [eqn: 4]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{13} {1} over {a _{k} a _{k+1}} = {13} over {42}]일 때, [eqn: a _{10}]의 값은? [[eqn: 4.0]점]

④

[풀이]

[eqn: a _{n} =4+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d]라 하자

[eqn: sum _{k=1} ^{13} {1} over {a _{k} a _{k+1}} = sum _{k=1} ^{13} {1} over {a _{k+1} -a _{k}} LEFT ( {1} over {a _{k}} - {1} over {a _{k+1}} RIGHT )]

[eqn: a _{k+1} -a _{k} =d]이므로 위의 식에 대입해 보면

[eqn: {1} over {d} LEFT ( {1} over {a _{1}} - {1} over {a _{2}} + {1} over {a _{2}} - {1} over {a _{3}} +` CDOTS `+` {1} over {a _{13}} - {1} over {a _{14}} RIGHT ) = {1} over {d} LEFT ( {1} over {a} - {1} over {a _{14}} RIGHT )]

[eqn: {1} over {d} LEFT ( {1} over {4} - {1} over {4+13d} RIGHT ) = {13} over {42}]

[eqn: d= {1} over {2}]

[eqn: a _{n} =4+ {1} over {2} LEFT ( n-1 RIGHT )]에서

[eqn: a _{10} = {17} over {2}]

① [eqn: {11} over {2}]	② [eqn: {13} over {2}]	③ [eqn: {15} over {2}]

④ [eqn: {17} over {2}]	⑤ [eqn: {19} over {2}]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} =n ^{2} +3n+1]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{8} {1} over {a _{k} a _{k+1}}]의 값은? [[eqn: 4.9]점]

④

[eqn: S _{n} -S _{n-1} =a _{n} (n GEQ 2)][eqn: a _{n} =2n+2(n GEQ 2)] [eqn: a _{1} =5]이다

[eqn: sum _{k=1} ^{8} {1} over {a _{k} a _{k+1}}]=[eqn: {1} over {a _{1} a _{2}} +][eqn: sum _{k=2} ^{8} {1} over {a _{k} a _{k+1}}][eqn: =][eqn: {1} over {a _{1} a _{2}} +][eqn: sum _{k=2} ^{8} {1} over {(2k+2)(2k+4)}]

[eqn: =][eqn: {1} over {30}][eqn: +][eqn: {1} over {2} sum _{k=2} ^{8} LEFT ( {1} over {2k+2} - {1} over {2k+4} RIGHT )][eqn: = {1} over {30} + {1} over {2} LEFT ( {1} over {6} - {1} over {20} RIGHT )][eqn: = {11} over {120}]

① [eqn: {1} over {15}]	② [eqn: {3} over {40}]	③ [eqn: {1} over {12}]	④ [eqn: {11} over {120}]	⑤ [eqn: {1} over {10}]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} {k ^{4} +2k ^{3} +k ^{2} +a} over {k(k+1)} =460]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하는풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 7.0]점]

[eqn: 22]

풀이)

[eqn: sum _{k=1} ^{10} {k ^{4} +2k ^{3} +k ^{2} +a} over {k LEFT ( k+1 RIGHT )}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} {k ^{2} LEFT ( k ^{2} +2k+1 RIGHT ) +a} over {k LEFT ( k+1 RIGHT )}# = sum _{k=1} ^{10} LEFT { k LEFT ( k+1 RIGHT ) + {a} over {k LEFT ( k+1 RIGHT )} RIGHT }# = sum _{k=1} ^{10} LEFT { k ^{2} +k+ {a} over {k LEFT ( k+1 RIGHT )} RIGHT }]

[eqn: = {10 TIMES 11 TIMES 21} over {6} + {10 TIMES 11} over {2} +a sum _{k=1} ^{10} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+1} RIGHT )]

[eqn: =385+55+a LEFT { LEFT ( {1} over {1} - {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {10} - {1} over {11} RIGHT ) RIGHT }# =440+a` LEFT ( 1- {1} over {11} RIGHT )# =440+ {10a} over {11}]

[eqn: 440+ {10a} over {11} =460]이므로 [eqn: a=22]

수열 [eqn: left { a_n right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum_k=1^n 1 over (k+1)a_k = n^2 +n]
을 만족시킬 때, [eqn: sum_n=1^20 a_n]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [[eqn: 5.0]점]

[eqn: 10 over 21]

ⅰ) [eqn: n=1]

[eqn: 1 over 2a_1 =2], [eqn: a_1 = 1 over 4]

ⅱ) [eqn: n ge 2]

[eqn: sum_k=1^n` 1 over (k+1)a_k - sum_k=1^n-1 `1 over (k+1)a_k = n^2 -(n-1)^2 +n-(n-1)]

[eqn: 1 over (n+1)a_n = 2n-1+1 =2n], [eqn: a_n = 1 over 2n(n+1)]

[eqn: n=1]일 때도 [eqn: a_n = 1 over 2n(n+1)]이 만족한다.

따라서 [eqn: a _{n} = {1} over {2n(n+1)} = {1} over {2} LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT ) `~(n GEQ 1)`]이므로

[eqn: sum_n=1^20 a_n = sum_n=1^20 1 over 2 LEFT ( 1 over n - 1 over n+1 RIGHT )= 1 over 2 LEFT ( 1- 1 over 21 RIGHT )= 10 over 21]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 점 [eqn: rmA_{itn} (n,~2n^2 )]을 지나고 직선 [eqn: y=2nx`]에 수직인 직선이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rmB_{it n} `]이라고 하자. 삼각형 [eqn: rmA_{itn} rmOB_{itn}]의 넓이를 [eqn: S_n`]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=2} ^{6 }{8n^3 } over{S_n -5n^3 } `]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [7.0점]

[eqn: 25 over21]

점 [eqn: rmA_{itn} (n,~2n^2 )]을 지나고 [eqn: y=2nx`]에 수직인 직선은

[eqn: y= - 1 over2n (x-n)+2n^2]

[eqn: y=- 1 over2n x + 1 over2 +2n^2]

[eqn: x`]축과 만나는 점 [eqn: rmB_{itn} (4n^3 +n ,~0)]

[eqn: rm triangleA_{itn} rmOB_{itn}]의 넓이 [eqn: S_n = 1 over2 times(4n^3 +n) times2n^2 = 4n^5 +n^3]

[eqn: sum _{ n=2} ^{6 }{8n^3 } over{S_n -5n^3 } `][eqn: =sum _{ n=2} ^{6 }{8n^3} over{4n^5 -4n^3}]

[eqn: =sum _{ n=2} ^{6 } 2 over{n^2 -1}]

[eqn: = sum _{ n=2} ^{6 } left( 1 overn-1 - 1 overn+1 right)]

[eqn: = left( 1 - 1 over3 right) + left( 1 over 2 - 1 over4 right)+ left( 1 over3 - 1 over5 right)+ cdots + left( 1 over5 - 1 over7 right)]

[eqn: = 1+ 1 over2 - 1 over6 - 1 over7]

[eqn: = 42+21-7-6 over42]

[eqn: = 25 over21]

근호가 포함된 수열의 합

수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]이 [eqn: S_n = n^2]일 때, [eqn: sum_ k=1 ^24 1 over{ sqrta_k +sqrta_k+1} `]의 값은?

①

[eqn: S_n = n^2]에서 [eqn: n = 1]일 때,

[eqn: a_1 = S_1 = 1]	[eqn: cdots cdots] ㉠

[eqn: n ge 2]일 때,

[eqn: a_n = S_n - S_n-1 = n^2 - (n-1)^2 = 2n-1]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉡에 [eqn: n=1]을 대입한 결과가 ㉠과 같으므로

[eqn: a _ n = 2n -1]

이다.

[eqn: sum_ k=1 ^24 1 over{ sqrt a_k + sqrt a_k+1}]

[eqn: = sum _ k=1 ^24 { sqrt a_k+1 - sqrt a_k} over{ a_k+1 - a_k} = 1 over2 times sum_ k=1 ^24 left( sqrta_k+1 - sqrt a_k} right)]

[eqn: = 1 over2 times left( sqrt3 - sqrt1 + sqrt5 - sqrt3 + cdots + sqrt49 - sqrt47 right)]

[eqn: = 1over2 times left( 7-1) =3]

[[eqn: 4.8]점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

첫째항이 [eqn: 4]이고, 공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{30} {1} over {sqrt {a _{k+1}} + sqrt {a _{k}}}]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

③

[eqn: a _{n} =2n+2]

[eqn: {1} over {sqrt {a _{k+1}} `+ sqrt {a _{k}}} = {sqrt {a _{k+1}} - sqrt {a _{k}}} over {a _{k+1} -a _{k}} = {sqrt {2k+4} - sqrt {2k+2}} over {2}]

[eqn: sum _{k=1} ^{30} {1} over {sqrt {a _{k+1}} + sqrt {a _{k}}} = {1} over {2} sum _{k=1} ^{30} sqrt {2k+4} `- sqrt {2k+2}]

[eqn: = {1} over {2} ( sqrt {6} - sqrt {4} + sqrt {8} - sqrt {6} +` CDOTS `+ sqrt {64} - sqrt {62} )]

[eqn: = {1} over {2} ( sqrt {64} - sqrt {4} )=3]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: 0<a _{n} <1]이고 [eqn: {1} over {2} LEFT ( a _{n} + {1} over {a _{n}} RIGHT ) = sqrt {n+2}]이 성립할 때, [eqn: sum _{k=3} ^{m} a _{k} =4]를 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 값은?

④

풀이) [eqn: {1} over {2} LEFT ( a _{n} + {1} over {a _{n}} RIGHT ) = sqrt {n+2}]에서

[eqn: a _{n} + {1} over {a _{n}} =2 sqrt {n+2}]

[eqn: LEFT ( a _{n} RIGHT ) ^{2} -2 sqrt {n+2} a _{n} +1=0]

[eqn: a _{n} = sqrt {n+2} +- sqrt {LEFT ( n+2 RIGHT ) -1}]

[eqn: = sqrt {n+2} +- sqrt {n+1}]

따라서 [eqn: a _{n} = sqrt {n+2} + sqrt {n+1}]또는 [eqn: a _{n} = sqrt {n+2} - sqrt {n+1}]

[eqn: 0<a _{n} <1]이므로

[eqn: a _{n} = sqrt {n+2} - sqrt {n+1}]

[eqn: sum _{k=3} ^{m} a _{k} =4]

[eqn: sum _{k=3} ^{m} a _{k} = sum _{k=3} ^{m} LEFT ( sqrt {k+2} - sqrt {k+1} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( sqrt {5} - sqrt {4} RIGHT ) + LEFT ( sqrt {6} - sqrt {5} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( sqrt {m+2} - sqrt {m+1} RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( sqrt {m+2} - sqrt {4} RIGHT )][eqn: =4]

[eqn: THEREFORE root { m+2 } = 6]

[eqn: THEREFORE m = 34]

(단, [eqn: m>3]) [[eqn: 3.9]점]

① [eqn: 28]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 32]
④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 36]

[eqn: sum _{k=4} ^{n} {10} over {sqrt {k+1} + sqrt {k}} =40] 일 때, 자연수 [eqn: { n }``]의 값은? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 48]
④ [eqn: 63]	⑤ [eqn: 80]

②

[eqn: sum _{k=4} ^{n} {10} over {sqrt {k+1} + sqrt {k}}]

[eqn: =10 sum _{k=4} ^{n} LEFT { sqrt {k+1} - sqrt {k} RIGHT }]

[eqn: =10 LEFT { sqrt {n+1} - sqrt {4} RIGHT } =40]에서

[eqn: n=35]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT }]에서 [eqn: a_{1}=3]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n+1}=a_{n}+1]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{24} {{1} over { root{a_{k}}+root{a_{k+1}}}]의 값은? [4.9점]

① [eqn: root3]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 2root3]
④ [eqn: 3root3]	⑤ [eqn: 9]

③

[eqn: a_n]은 [eqn: a_1 =3]이고 [eqn: d=1]인 등차수열이므로

[eqn: a_n =n+2]

[eqn: {1}over{{roota_n}+root{a_n+1}}={1}over{root{n+2}+root{n+3}}=-root{n+2}+rootn+3}]

[eqn: sum _{k=1} ^{24}(-root{n+2}+root{n+3})=-root{3}+root{4}-root{4}+root{5}- CDOTS-root{26}+root{27}][eqn: =2root{3}]

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 점[eqn: A(0`,`-1)`]을 지나는 기울기가 양수인 직선이 함수 [eqn: y= {1} over {n} x ^{2}]의 그래프와 한 점에서 만날 때, 만나는 점을 [eqn: P(x _{n} `,`y _{n} )]이라 한다. [eqn: sum _{n=1} ^{15} {y _{n}} over {x _{n} +x _{n+1}}]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 5.0]점]

[eqn: 3]

[풀이] 점 [eqn: A(0`,`-1)]에서 함수 [eqn: y= {1} over {n} x ^{2}]의 그래프에 그은 접선의 기울기를 [eqn: m(m>0)]이라 하면 접선의 방정식은 [eqn: y=mx-1]이다.

[eqn: y= {1} over {n} x ^{2}] , [eqn: y=mx-1]을 연립하여 풀면

[eqn: {1} over {n} x ^{2} =mx-1]

[eqn: {1} over {n} x ^{2} -mx+1=0] ****①

이차방정식 ①의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D=0]이어야 하므로

[eqn: D=m ^{2} - {4} over {n} =0], [eqn: m ^{2} = {4} over {n}]

[eqn: m>0]이므로 [eqn: m= {2} over {sqrt {n}}]

따라서 접선의 방정식은 [eqn: y= {2} over {sqrt {n}} x-1]이고

접점의 [eqn: x]좌표 [eqn: x _{n}]은 ①에서

[eqn: {1} over {n} x ^{2} - {2} over {sqrt {n}} x+1=0]

[eqn: LEFT ( {1} over {sqrt {n}} x-1 RIGHT ) ^{2} =0]

[eqn: THEREFORE x _{n} = sqrt {n}]

이때 [eqn: y _{n} =1]이므로 접점은 [eqn: P( sqrt {n} `,`1)]이다.

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{15} {y _{n}} over {x _{n} +x _{n+1}} = sum _{n=1} ^{15} {1} over {sqrt {n} + sqrt {n+1}} = sum _{n=1} ^{15} {1} over {sqrt {n+1} + sqrt {n}}]

[eqn: sum _{n=1} ^{15} sqrt {n+1} - sqrt {n}]

[eqn: =( sqrt {2} -1)+( sqrt {3} - sqrt {2} )+( sqrt {4} - sqrt {3} )+ CDOTS +( sqrt {16} - sqrt {15} )]

[eqn: =-1+ sqrt {16} =-1+4=3]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{n} = {2} over {sqrt {LEFT | 2n-11 RIGHT |} + sqrt {LEFT | 2n-9 RIGHT |}} (n=1,`2,`3,` CDOTS)]를 만족시킬 때, [eqn: sum _{k=1} ^{9} a _{k}]의 값은? [5.1점]

⑤

[eqn: sum _{k=1} ^{9} ak= {2} over {sqrt {9} + sqrt {7}} + {2} over {sqrt {7} + sqrt {5}} + {2} over {sqrt {5} + sqrt {3}} + {2} over {sqrt {3} + sqrt {1}}] [eqn: + {2} over {sqrt {1} + sqrt {1}} + {2} over {sqrt {1} + sqrt {3}} + {2} over {sqrt {3} + sqrt {5}} + {2} over {sqrt {5} + sqrt {7}} + {2} over {sqrt {7} + sqrt {9}}]

[eqn: =1+2 LEFT { sqrt {3} -1+ sqrt {5} - sqrt {3} + sqrt {7} - sqrt {5} + sqrt {9} - sqrt {7} RIGHT }]

[eqn: =5]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: LEFT | a_3 RIGHT |=LEFT | a_6 RIGHT |`]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{6} ( sqrt {LEFT | a _{k+3} RIGHT | -}][eqn: sqrt {LEFT | a _{k} RIGHT |} )=a-b sqrt {3}]이다. 두 자연수 [eqn: a,`b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

③

초항을 [eqn: a _{1}]라고 하면,

[eqn: LEFT | a _{3} RIGHT | = LEFT | a _{6} RIGHT | ,` LEFT | a+2 TIMES 2 RIGHT | = LEFT | a+2 TIMES 5 RIGHT |]

[eqn: -a _{1} -4=a _{1} +10,```````a _{1} =-7]

[eqn: sum _{k=1} ^{6} ( sqrt {LEFT | a _{k+3} RIGHT |} `- sqrt {LEFT | a _{k} RIGHT |} )=`][eqn: ( sqrt {LEFT | a _{4} RIGHT |} + sqrt {LEFT | a _{5} RIGHT |} + sqrt {LEFT | a _{6} RIGHT |} + CDOTS + sqrt {LEFT | a _{9} RIGHT |} )]

[eqn: -( sqrt {LEFT | a _{1} RIGHT |} + sqrt {LEFT | a _{2} RIGHT |} + CDOTS + sqrt {LEFT | a _{6} RIGHT |} )]

[eqn: =( sqrt {LEFT | a _{9} RIGHT |} + sqrt {LEFT | a _{8} RIGHT |} + sqrt {LEFT | a _{7} RIGHT |} )-( sqrt {LEFT | a _{1} RIGHT |} + sqrt {LEFT | a _{2} RIGHT |} + sqrt {LEFT | a _{3} RIGHT |} )]

[eqn: ( sqrt {LEFT | 9 RIGHT |} + sqrt {LEFT | 7 RIGHT |} + sqrt {LEFT | 5 RIGHT |} )-( sqrt {LEFT | -7 RIGHT |} + sqrt {LEFT | -5 RIGHT |} + sqrt {LEFT | -3 RIGHT |} )]

[eqn: =3- sqrt {3}], [eqn: a=3,``b=1,````a+b=4]

군수열

다음은 [제 [eqn: n`]행]에 [eqn: n+1]의 배수를 [eqn: n`]개 나열한 것이다.

위의 [제[eqn: 1`]행]부터 [제[eqn: 10`]행]까지 나열된 수의 총합을 [eqn: S`]라고 할 때, [eqn: S over55`]의 값은? [4.5점]

① [eqn: 35]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 45]
④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 55]

①

제 [eqn: n`]행에 나열된 수의 합을 [eqn: S_n`]이라 하면

[eqn: S_1 =2]

[eqn: S_2 =3(1+2)]

[eqn: S_ 3 =4(1+2+3)]

[eqn: vdots]

[eqn: S_n =(n+1)(1+2+3+cdots+n)][eqn: = {n(n+1)^2 } over2 = {n^3 +2n^2 +n} over2]

[eqn: S= sum _{ k=1} ^{10 } 1 over2 (k^3 +2k^2 +k)]

[eqn: = 1 over 2 right{ left({ 10 times11} over2 right)^2 + 2times{10 times11times21} over6 + 10times11 over2 right}]

[eqn: = 1 over2 times {10 times11 }over2 times left( {10 times11} over2 + 2times21 over3 + 1 right)]

[eqn: = 1 over2 times55 times70]

[eqn: therefore] [eqn: S over55 =35]

[제[eqn: 1]행] [eqn: 2]

[제[eqn: 2`]행] [eqn: 3~~~6]
[제[eqn: 3`]행] [eqn: 4~~~8~~12]

[제[eqn: 4`]행] [eqn: 5~~10~~15~~20]

[eqn: vdots]

수열의 합(step3)

10.

자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: y=ax]가 원 [eqn: LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} = {4} over {n ^{2}}]에 접할 때, [eqn: a=f(n)]이다. [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT { f(n) RIGHT } ^{2}]의 값은? [[eqn: 5]점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {8} over {21}]	③ [eqn: {3} over {7}]
④ [eqn: {10} over {21}]	⑤ [eqn: {11} over {21}]

④

직선이 원과 접하므로

원의 중심 [eqn: (4,~0)]에서 직선 [eqn: ax-y=0]까지의 거리가 반지름 [eqn: {2} over {n}]와 같아야 한다.

[eqn: {LEFT | 4a RIGHT |} over {sqrt {a ^{2} +1}} = {2} over {n}]에서

[eqn: LEFT { f(n) RIGHT } ^{2} =a ^{2} = {1} over {4n ^{2} -1}]이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT { f(n) RIGHT } ^{2} = {1} over {2} sum _{k=1} ^{10} LEFT { {1} over {2n-1} - {1} over {2n+1} RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { {1} over {1} - {1} over {20+1} RIGHT } = {10} over {21}]

자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 그림과 같이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4n]과 직선 [eqn: y=x+2]이 만나서 생기는 선분의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{50} {101} over {l _{n}^{`````2} ·l _{n+1}^{```````````````````2}}]의 값을 구하고, 풀이 과정을 논리적으로 서술하시오.

[eqn: {bold{{25} over {32}}}]

원의 중심 [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]에서 [eqn: x-y+2=0]까지

거리를 [eqn: d]라 하면

[eqn: d= {LEFT | 2 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2}}} = sqrt {2}]

원의 반지름이 [eqn: 2 sqrt {n}]이므로

피타고라스 정리에 따라

[eqn: {l _{n}} over {2} = sqrt {LEFT ( 2 sqrt {n} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{2}} = sqrt {4n-2}]이므로 [eqn: l _{n} =2 sqrt {4n-2}]

[eqn: l _{n}^{`````2} =8 LEFT ( 2n-1 RIGHT )]이고 [eqn: l _{n+1}^{``````````````````2} =8 LEFT ( 2n+1 RIGHT )]이므로 부분분수에 따라

[eqn: {101} over {l _{n}^{`````2} ·l _{n+1}^{```````````````````2}} = {101} over {64 LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} = {101} over {128} LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n+1} RIGHT )]

따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{50} {101} over {l _{n}^{`````2} ·l _{n+1}^{```````````````````2}} = {101} over {64} sum _{n=1} ^{50} LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n+1} RIGHT )]

[eqn: = {101} over {128} LEFT { LEFT ( {1} over {1} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {5} RIGHT ) +` CDOTS `+ LEFT ( {1} over {99} - {1} over {101} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {101} over {128} LEFT ( 1- {1} over {101} RIGHT ) = {101} over {128} · {100} over {101} = {100} over {128} = {25} over {32}]

[[eqn: 6.0]점 부분점수 있음]

좌표평면에 원 [eqn: C _{1} `:`(x-4) ^{2} +y ^{2} =1``]이 있다. 아래 그림과 같이 원점에서 원 [eqn: C _{1}``]에 기울기가 양수인 접선 [eqn: l``]을 그었을 때, 생기는 접점을 [eqn: P _{1}``]이라 하자. 중심이 직선 [eqn: l``]위에 있고 점 [eqn: P _{1}``]을 지나며 [eqn: x``]축에 접하는 원을 [eqn: C _{2}``]라 하고 이 원과 [eqn: x``]축의 접점을 [eqn: P _{2}``]라 하자. 중심이 [eqn: x``]축 위에 있고 점 [eqn: P _{2}``]를 지나며 직선 [eqn: l``]에 접하는 원을 [eqn: C _{3}``]이라 하고 이 원과 직선 [eqn: l``]의 접점을 [eqn: P _{3}``]이라 하자. 중심이 직선 [eqn: l``]위에 있고 점 [eqn: P _{3}``]을 지나며 [eqn: x``]축에 접하는 원을 [eqn: C _{4}``]라 하고 이 원과 [eqn: x``]축의 접점을 [eqn: P _{4}``]라 하자. 이와 같은 과정을 계속할 때, 원 [eqn: C _{n}``]의 넓이를 [eqn: S _{n}``]이라 하자. 이때 [eqn: {25} over {24} sum _{n=2} ^{5} S _{n} = {a} over {b} pi ``]이다. 서로소인 두 자연수 [eqn: a+b``]의 값은? (단, 원 [eqn: C _{n+1}``]의 반지름의 길이는 원 [eqn: C _{n}``]의 반지름의 길이보다 작다.) [4.8점]

①

[eqn: C _{1}``]의 중심을 [eqn: O _{1}``]이라 하면 [eqn: O _{1}``]의 반지름은 [eqn: 1``]이고,

선분 [eqn: OO _{1}``]의 길이는 [eqn: 4``]이므로 직각삼각형 [eqn: OP _{1} O _{1}``]에서

선분 [eqn: OP _{1}``]의 길이는 [eqn: root15``]

[eqn: C _{2}``]의 중심을 [eqn: O _{2}``]라 하면 [eqn: O _{2}``]의 반지름을 [eqn: x``]로 두면

직각삼각형 [eqn: OO _{2} P _{2}``]에서 피타고라스 정리에 의하여

[eqn: ( sqrt {15} -x) ^{2} =3 ^{2} +x ^{2}``]에서 [eqn: x= {3} over {root15}``]이다.

여기서 반복되는 직각삼각형들의 닮음비는 [eqn: {3} over {root15}``]이므로

넓이의 비는 [eqn: {9} over {15} = {3} over {5}``]이 된다.

[eqn: O _{2}``]의 넓이는 [eqn: {3} over {5} pi``], [eqn: O _{3}``]의 넓이는 [eqn: LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{2} pi``], [eqn: CDOTS ``]

[eqn: {25} over {24} sum _{n=2} ^{5} S _{n} = {a} over {b} pi ``]에서

[eqn: {25} over {24} TIMES LEFT ( {{3} over {5} LEFT ( 1- LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{4} RIGHT )} over {1- {3} over {5}} RIGHT ) pi= {25} over {24} TIMES {3} over {2} TIMES {544} over {625} pi= {34} over {25} pi``]이다.

그러므로 [eqn: a+b=59``]

① [eqn: 59``]	② [eqn: 61``]	③ [eqn: 63``]
④ [eqn: 65``]	⑤ [eqn: 67``]

세 변의 길이가 [eqn: n+1,``n+2,```n+3]인 삼각형의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]을 [eqn: a _{n} = {4 sqrt {3} S _{n}} over {3(n+2)}] 이라 하자. 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} b_k =(a _{n} ) ^{2}`]을 만족시킬 때, [eqn: b _{10}]의 값은? [4.4점]
① [eqn: 21]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 25]
④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 29]

②

[eqn: (n+1)+(n+2)>n+3], [eqn: 2n+3>n+3]

[eqn: (n+3) ^{2} =(n+1) ^{2} +(n+2) ^{2} -2(n+1)(n+2)cos theta]

[eqn: n ^{2} +6n+9=2n ^{2} +6n+5-2(n+1)(n+2)cos theta]

[eqn: 2(n+1)(n+2)cos theta =n ^{2} -4=(n+2)(n-2),`] [eqn: cos theta = {n-2} over {2(n+1)}]

피타고라스 공식을 이용해 밑변을 [eqn: n=2]인 삼각형의 높이를 구하면

[eqn: sqrt {(n+1) ^{2} - {(n-2) ^{}} over {4}} =` sqrt {{3} over {4} n ^{2} +3n}]

삼각형의 넓이 [eqn: S _{n} = {1} over {2} TIMES (n+2) TIMES sqrt {{3} over {4} n ^{2} +3n} `,]

[eqn: a _{n} = {4 sqrt {3} S _{n}} over {3(n+2)} = sqrt {n ^{2} +4n}] (앞에 구한 [eqn: S _{n}]을 대입)

[eqn: sum _{k=1} ^{n} b _{k} =(a _{n} ) ^{2}], [eqn: b _{10} = sum _{k=1} ^{10} b _{k} - sum _{k=1} ^{9} b_k =a _{10}` ^{2}-a _{9}` ^{2}=140-117=23]

자연수 [eqn: n``]에 대하여 곡선 [eqn: y=x ^{2}``]과 직선 [eqn: y=x+n``]이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: A _{n} `,`B _{n}``]이라 하자. 또한 선분 [eqn: A _{n} B _{n}``]을 지름으로 하는 원이 곡선 [eqn: y=x ^{2}``]과 만나는 점 중 두 점 [eqn: A _{n} `,`B _{n}``]이 아니고 [eqn: x``]좌표가 [eqn: 0``]이상인 점을 [eqn: C _{n}``]이라 하자. 점 [eqn: C _{n}``]의 [eqn: x``]좌표를 [eqn: a _{n}``]이라 할 때, [eqn: sum _{n=11} ^{20} LEFT ( a _{n} ^{2} +a _{n} -2 RIGHT )``]의 값은? [4.8점]

⑤

곡선과 직선의 교점은 [eqn: x ^{2} =x+n``] 의 두 근과 같고

[eqn: x ^{2} -x-n=0``]의 두 근을 [eqn: alpha _{n}``], [eqn: beta _{n}``]으로 두면

[eqn: alpha _{n} + beta _{n} =1``], [eqn: alpha _{n} TIMES beta _{n} =-n``]

한편 [eqn: A( alpha _{n} ,```` alpha _{n} ` ^{2} )``], [eqn: B( beta _{n} ,```` beta _{n} ` ^{2} )``], [eqn: C(a _{n} ,````a _{n} ` ^{2} )``]으로 두자.

직선 [eqn: A _{n} C _{n}``]의 기울기는

[eqn: {a _{n} ` ^{2} - alpha _{n} ` ^{2}} over {a _{n} - alpha _{n}} =a _{n} + alpha _{n}``]이고

직선 [eqn: B _{n} C _{n}``]의 기울기는

[eqn: {a _{n} ` ^{2} - beta _{n} ` ^{2}} over {a _{n} - beta _{n}} =a _{n} + beta _{n}``]이다.

이때 직선 [eqn: A _{n} B _{n}``]은 원의 지름이고

직선 [eqn: A _{n} C _{n}``]과 직선 [eqn: B _{n} C _{n}``]은 서로 수직이므로

[eqn: (a _{n} + alpha _{n} ) TIMES (a _{n} + beta _{n} )=-1``]이고

[eqn: a _{n} ` ^{2} +( alpha _{n} + beta _{n} )a _{n} + alpha _{n} TIMES beta _{n} =-1``]에서

[eqn: alpha _{n} + beta _{n} =1``], [eqn: alpha _{n} TIMES beta _{n} =-n``]이므로

[eqn: a _{n} ` ^{2} +a _{n} -n=-1``]에서

[eqn: a _{n} ` ^{2} +a _{n} -2=n-3``].

[eqn: sum _{n=11} ^{20} LEFT ( a _{n}^{2} +a _{n} -2 RIGHT ) = sum _{n=11} ^{20} (n-3)``]

[eqn: sum _{n=11} ^{20} (n-3)= sum _{n=1} ^{20} (n-3)- sum _{n=1} ^{10} (n-3)=150-25=125``]이다.

① [eqn: 105``]	② [eqn: 110``]	③ [eqn: 115``]
④ [eqn: 120``]	⑤ [eqn: 125``]

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2 ^{n-3} -4]의 [eqn: n] 제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: sum _{n=2} ^{m} f(n)=13]가 되도록 하는 자연수 [eqn: m]의 값은? [4.6점]

⑤

(i) [eqn: n`]이 홀수이면 [eqn: f(n)=1]

(ii) [eqn: n`]이 짝수

① [eqn: n GE 6`]이면 [eqn: f(n)=2]

② [eqn: 2 LEQ n LEQ 4]이면 [eqn: f(n)=0]

따라서 [eqn: f(2) +f(3) + cdots `+f(m)=13`]이기 위한 [eqn: m=12]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

첫째항이 [eqn: 48]이고 공차가 정수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: S _{n}]은 다음 조건을 만족시킨다.

⑤

[풀이]

[eqn: LEFT | S _{l} RIGHT | = LEFT | S _{l+5} RIGHT | = LEFT | S _{m} RIGHT |]를 만족하려면 공차 [eqn: d]가 음수여야 한다.

그러므로 [eqn: S _{l} =S _{l+5} >0], [eqn: S _{m} <0]에서 [eqn: S _{l} =-S _{m}]이다.

[eqn: S _{l} =S _{l+5}]에서

[eqn: {l LEFT { 96+(l-1)d RIGHT }} over {2} = {(l+5) LEFT { 96+(l+4)d RIGHT }} over {2}]

[eqn: (-l-2)d=48]에서 [eqn: d]가 음의 정수이므로 [eqn: l+2]는 [eqn: 48]의 약수이다.

[eqn: 5<l<14]에서 [eqn: 7<l+2<16]에서 [eqn: l+2=8] 또는 [eqn: l+2=12]

[eqn: (1)] [eqn: l+2=8], [eqn: d=-6]일 때,

[eqn: S _{l} =S _{6} = {6 LEFT { 96+5(-6) RIGHT }} over {2} =198]

[eqn: S _{m} = {m LEFT { 96+(m-1)(-6) RIGHT }} over {2} =-198]을 정리하면

[eqn: m ^{2} -17m-66=0]을 만족 하는 자연수는 없다.

[eqn: (2)] [eqn: l+2=12], [eqn: d=-4]일 때,

[eqn: S _{l} =S _{10} = {10 LEFT { 96+9(-4) RIGHT }} over {2} =300]

[eqn: S _{m} = {m LEFT { 96+(m-1)(-4) RIGHT }} over {2} =-300]을 정리하면

[eqn: m ^{2} -25m-150=0], [eqn: (m-30)(m+5)=0]에서 자연수 [eqn: m=30]

그러므로 [eqn: l+m=40]

[다른풀이]

[eqn: S _{n} = {n LEFT { 2 TIMES 48+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d RIGHT }} over {2}]를 [eqn: n]에 대해 내림차순하면

[eqn: S _{n} = {d} over {2} n ^{2} + {96-d} over {2} n]

위의 조건을 만족하려면 이 식을 이차함수로 생각해보면 위로 볼록이어야 절댓값을 취했을 때 서로다른 세 개의 값이 같은 점을 찾아낼 수 있다.

[eqn: S _{n} =0]으로 만드는 근을 찾아보면

[eqn: n=0,` {d-96} over {d}]

세 식의 값이 갖게되는 함수값을 [eqn: t]라 할 때 그 값을 갖게되는 첫 번째 값이 [eqn: l]이므로 [eqn: l+5]에서 [eqn: l]만큼 더해지면 [eqn: 2l+5]가 [eqn: S _{n} =0]의 두 근임을 알 수 있다.

따라서 [eqn: 2l+5= {d-96} over {d}]

식을 전개하면

[eqn: d LEFT ( l+2 RIGHT ) =-48]에서

[eqn: l]은 자연수이고 [eqn: d]는 정수이므로

[eqn: d=-4]일 때 [eqn: l=10]일 때 문제의 조건에 만족하므로

[eqn: m=30]

[eqn: l+m=40]

[eqn: LEFT | S _{l} RIGHT | = LEFT | S _{l+5} RIGHT | = LEFT | S _{m} RIGHT |]을 만족시키는 서로 다른 두 자연수 [eqn: l`,`m]이 존재하고, [eqn: 5<l<14]이고 [eqn: m>l+5]이다.

[eqn: l+m]의 값은? [[eqn: 4.9]점]

① [eqn: 32]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 40]

집합 [eqn: A= LEFT { x LEFT | 2sin ^{2} {pi x} over {2} <1-sin` {pi x} over {2} RIGHT }]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= LEFT { pile{2``````(x IN A)#-1``(x NOTIN A)}] 가 있다. [eqn: sum _{k=1} ^{m} kf(k)][eqn: LEQ sum _{k=1} ^{15} 4kf(4k)] 를 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 최댓값을 [eqn: M]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{M} kf(k)-M]의 값은? [4.4점]

① [eqn: 889]	② [eqn: 891]	③ [eqn: 893]
④ [eqn: 895]	⑤ [eqn: 897]

⑤

[eqn: 2sin ^{2} {pi x} over {2} <1-sin` {pi x} over {2}]

[eqn: 2sin ^{2} {pi x} over {2} +sin` {pi x} over {2} -1<0]

[eqn: (2sin ^{2} {pi x} over {2} -1)(sin` {pi x} over {2} +1)<0][eqn: -1<sin ^{} {pi x} over {2} < {1} over {2}]

[eqn: x=1,`3,`5,` CDOTS ,`2n-1`` RARROW ```f(x)=-1]

[eqn: x=2,4, CDOTS ,`2n```` RARROW ```f(x)=2]

[eqn: sum _{k=1} ^{15} 4kf(4k)=4f(4)+8f(4)+12f(12)+ CDOTS +60f(60)]

[eqn: =2 TIMES (4+8+ CDOTS +60)=2 TIMES {4+60} over {2} TIMES 15=960]

[eqn: sum _{k=1} ^{m} kf(k)][eqn: LEQ sum _{k=1} ^{15} 4kf(4k)][eqn: =960]

[eqn: sum _{k=1} ^{m} kf(k)][eqn: =1f(1)+2f(2)+3f(3)+4f(4)+ CDOTS +mf(m)]

(ⅰ) [eqn: m=2n+1(n]은 자연수라고 하자. [eqn: m]은 홀수)인 경우

[eqn: LEFT { 2f(2)+4f(4)+ CDOTS +2nf(2n) RIGHT }]

[eqn: + LEFT { 1f(1)+3f(3)+` CDOTS `+(2n+1)f(2n+1) RIGHT }]

[eqn: =2(2+4+6+ CDOTS+2n)+(-1 )TIMES LEFT { 1+3+5+ CDOTS+(2n-1)+(2n+1) RIGHT }]

[eqn: =2 TIMES {n(2+2n)} over {2} +(-1) TIMES {(n+1) LEFT { 1+(2n+1) RIGHT } } over {2}]

[eqn: =2n(n+1)-(n+1) ^{2}]

[eqn: =(n+1)(2n-n-1)=(n+1)(n-1)=n ^{2} -1 LEQ 960]

[eqn: n=31,```m=63]

(ⅱ) [eqn: m=2n``(n]은 자연수, [eqn: m]은 짝수)인 경우

[eqn: LEFT { 2f(2)+ `CDOTS `+2nf(2n) RIGHT }]

[eqn: + LEFT { 1f(1)+3f(3)+ `CDOTS` +(2n-1)f(2n-1) RIGHT]

[eqn: =2(2+4+6+` CDOTS`+2n)+(-1) TIMES LEFT { 1+3+5+` CDOTS`+(2n-1) RIGHT }]

[eqn: =2 TIMES {n(2+2n)} over {2} - {n LEFT { 1+(2n-1) RIGHT } } over {2}]

[eqn: =2n(n+1)-n ^{2}#]

[eqn: =n ^{2} +2n LEQ 960]

[eqn: n=30,`m=60]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: sum _{k=1} ^{M} kf(k)-M][eqn: =sum _{k=1} ^{63} kf(k)-63=960-63=897]

공차가 자연수인 등차수열 [eqn: left{ a_n right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

①

수열 [eqn: left{ a_n right}]의 공차를 [eqn: d], [eqn: sum_k=1 ^n a_k = S_n]이라 하자.

조건 (나)에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S_10 le S_n]이므로

[eqn: S_10 le S_9]에서 [eqn: a_10 le 0]

[eqn: S_10 le S_11]에서 [eqn: a_11 ge 0]

이다. [eqn: a_10 = a_5 + 5d = -26 + 5d], [eqn: a_11 = a_5 + 6d = -26 + 6d]

[eqn: -26 + 5d le 0], [eqn: -26 + 6 d ge 0]

에서

[eqn: 26 over6 le d le 26 over5], [eqn: d = 5]

이고

[eqn: -26 = a_1 + 4d], [eqn: a_1 = -46]

[eqn: THEREFORE a_n = 5n -51]

[eqn: sum _ k=1 ^ 30 left| a_k right|]	[eqn: = |a_1 | +|a_2 | + |a_3 | + cdots + |a_10 | + |a_11 | + cdots + |a_30 |]

[eqn: = -a_1 - a_2 -a_3 - cdots - a_10 + a_11 + a_12 + cdots +a_30]

[eqn: = left( 46+ 41 + cdots + 1) +(4 + 9 + cdots + 99)]

[eqn: = 235 + 1030 = 1265]

(가) [eqn: a_5 = - 26]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum^10_k=1 a_k le sum^n_k=1 a_k]이다.

[eqn: sum^30_k=1 left| a_k right|]의 값은? [[eqn: 5.2]점]

① [eqn: 1265]	② [eqn: 1270]	③ [eqn: 1275]
④ [eqn: 1280]	⑤ [eqn: 1285]

수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{n} >1]이고, [eqn: a _{n} + {1} over {a _{n}} =2 sqrt {n+2}]이 성립할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{96} {1} over {a _{k}}]의 값은? [[eqn: 4.9]점]

④

[eqn: a _{n} >1]이고, [eqn: a _{n} + {1} over {a _{n}} =2 sqrt {n+2}]의 양변에 [eqn: a _{n}]을 곱해서 정리하면

[eqn: LEFT ( a _{n} RIGHT ) ^{2} -2 sqrt {n+2} a _{n} +1=0]

[eqn: a _{n} = sqrt {n+2} + sqrt {n+1}]

[eqn: {1} over {a _{n}}][eqn: = {1} over {sqrt {n+2} + sqrt {n+1}} = sqrt {n+2} - sqrt {n+1}]

따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{96} {1} over {a _{k}}][eqn: = sqrt {98} - sqrt {2} =6 sqrt {2}]

① [eqn: 3]	② [eqn: 3 sqrt {2}]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 6 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 9]

두 수열 [eqn: left { a_n right }], [eqn: left { b_n right }]이 다음 조건을 만족시킨다. 다음 물음에 답하시오. [[eqn: 8.0]점]

(1) [eqn: sum_j=1^n a_j =80]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 3.0]점]

(1) [eqn: 10]	(2) [eqn: 1 over 39]

(1) (가)에서의 수열의 공차를 [eqn: d]라 하면
[eqn: (n+1)d=10]
[eqn: sum_j=1^n`a_j][eqn: = (3+d)+(3+2d)+`cdots`+(3+nd)]
[eqn: = 1 over 2 n times (6+(n+1)d )= 1 over 2 n times 16]
[eqn: =8n=80]	[eqn: therefore~ n=10]

(2) (나)에서의 수열의 공비를 [eqn: r]이라 하면
[eqn: r^m+1 = 13 over 3]
[eqn: sum_i=1^m`1 over b_i = {1 over 3r LEFT ( 1- 1 over r^m RIGHT )} over {1- 1 over r} = {1- 1 over r^m} over 3(r-1)]
[eqn: sum_i=1^m`b_i][eqn: = {3r(r^m -1)} over r-1]
[eqn: k][eqn: = {sum_i=1^m `1 over b_i} over {sum_i=1^m`b_i} = {1- 1 over r^m} over {3 times 3r(r^m -1)}]
[eqn: = {(r^m -1)times 1 over r^m} over {9r(r^m -1)} = 1 over {9 cdot r^m+1} = 1 over 39]
[eqn: therefore~ k= 1 over 39]

(가) [eqn: 3]과 [eqn: 13] 사이에 [eqn: n]개의 수를 넣어 만든 수열 [eqn: 3], [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: cdots], [eqn: a_n], [eqn: 13]는 등차수열을 이룬다.

(나) [eqn: 3]과 [eqn: 13] 사이에 [eqn: m]개의 수를 넣어 만든 수열 [eqn: 3], [eqn: b_1], [eqn: b_2], [eqn: cdots], [eqn: b_m], [eqn: 13]는 등비수열을 이룬다.

(2) [eqn: sum_i=1^m 1 over b_i = k sum_i=1^m b_i]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 5.0]점]

자연수 전체의 집합을 정의역으로 하는 두 함수	[eqn: f(n)=4n ^{2} -1], [eqn: g(n)=n+1]이 있다. [eqn: h(n)=(f CIRC g)(n)]이고,	[eqn: sum _{k=1} ^{30} {1} over {h(k)} = {q} over {p}]일 때, 두 상수 [eqn: p,`q]의 합 [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 4.7]점]

③

[eqn: {1} over {h(k)} = {1} over {f(g(k))}]

[eqn: = {1} over {(2k+1)(2k+3)}]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{30} {1} over {h(k)}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{30} {1} over {(2k+1)(2k+3)} = {1} over {2} sum _{k=1} ^{30} LEFT ( {1} over {2k+1} - {1} over {2k+3} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { LEFT ( {1} over {3} - {1} over {5} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {5} - {1} over {7} RIGHT ) +....+ LEFT ( {1} over {61} - {1} over {63} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { {1} over {3} - {1} over {63} RIGHT } = {10} over {63}]

따라서 [eqn: p+q=73]

① [eqn: 57]	② [eqn: 65]	③ [eqn: 73]
④ [eqn: 81]	⑤ [eqn: 89]

등식

③

[eqn: 2 TIMES (n+1)+4 TIMES (n+2)+6 TIMES (n+3)+ CDOTS +2 TIMES (n-1) TIMES (2n-1)]

[eqn: +2n TIMES 2n= sum _{k=1} ^{n} 2k(n+k)]

[eqn: =2n sum _{k=1} ^{n} k+2 sum _{k=1} ^{n} k ^{2}]

[eqn: = {3n ^{2} (n+1)} over {3} + {n(n+1)(2n+1)} over {3}]

[eqn: = {n(n+1)(5n+1)} over {3}]이므로

[eqn: f(n)=5n+1]에서

[eqn: f(20)=101]

[eqn: 2 TIMES (n+1)+4 TIMES (n+2)+6 TIMES (n+3)+ CDOTS +2 TIMES (n-1) TIMES (2n-1)]

[eqn: +2n TIMES 2n= {n(n+1)f(n)} over {3}]일 때, [eqn: f(20)]의 값은? [[eqn: 4.8]점]

① [eqn: 97]	② [eqn: 99]	③ [eqn: 101]
④ [eqn: 103]	⑤ [eqn: 105]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]을 [eqn: {sum _{i=1} ^{n} a _{i}} over {sum _{i=1} ^{n} i(i+1)} = {3b _{n}} over {n(n+2)} (n=1,`2,`3,` CDOTS )]으로 정의할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: m]은 자연수) [4.5점]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ.ㄷ
④ ㄴ. ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

②

[eqn: sum _{i=1} ^{n} (i ^{2} +i)= {n(n+1)(2n+1)} over {6}][eqn: + {n(n+1)} over {2}]

[eqn: = {n(n+1)} over {2} TIMES LEFT ( {2n+1} over {3} +1 RIGHT )]

[eqn: = {n(n+1)(2n+4)} over {6} = {n(n+1)(n+2)} over {3}]

[eqn: {sum _{i=1} ^{n} a _{i}} over {sum _{i=1} ^{n} i(i+1)} =][eqn: {3 sum _{i=1} ^{n} a_i} over {n(n+1)(n+2)} = {3b_n} over {n(n+2)}]

[eqn: b_n = {1}over{n+1} sum _{i=1} ^{n}a_i]

ㄱ. [eqn: m=1,`n=2]일 때 [eqn: a _{1} =10`,`a _{2} =1`]이면

[eqn: b _{1} = {10} over {1+1} =5,```b _{2} = {11} over {2+1} = {11} over {3}]

[eqn: b _{1} >b _{2} ``` RARROW ``b _{m} >b _{n} ````] .............................................[eqn: (rm X)]

ㄴ.

[eqn: -]

[eqn: a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n} =(n+1)b _{n} =3n(n+1)]

[eqn: a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n-1} =nb _{n-1} =n(3n-3)]

[eqn: a _{n} =6 _{n}]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} {1} over {a _{k} a _{k+1}} =][eqn: sum _{k=1} ^{10} {1} over {6k TIMES 6(k+1)} =][eqn: {1} over {36}][eqn: sum _{k=1} ^{10} {1} over {k(k+1)}]

[eqn: {1} over {36}][eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+1} RIGHT ) = {1} over {36} LEFT ( 1- {1} over {11} RIGHT ) = {5} over {198}] ...............[eqn: (rm O)]

ㄷ. [eqn: b _{n} =b+(n-1)d]라고 하자.

[eqn: -]

[eqn: a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n} =(n+1)b _{n}]

[eqn: a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n-1} =nb _{n-1}]

[eqn: a=(n+1)b _{n} -nb _{n} -1]

[eqn: =(n+1)(b+(n-1)d)-n LEFT ( b+(n-2)d RIGHT )]

[eqn: =(nb+n ^{2} d-nd+b+nd-d)-(nb-n ^{2} d+2nd)]

[eqn: =b+d(2n ^{2} -2n-1)] 등차수열(x) .........................[eqn: (rm X)]

(ㄷ의 다른 풀이) [eqn: b_n = {1}over{n+1} sum _{i=1} ^{n}a_i]에서 [eqn: b_n =n-1]이면

[eqn: sum _{i=1} ^{n}a_i =(n+1)^2 =n^2 +2n+1`]이 되어

제[eqn: n`]항까지의 합에서 상수항에 [eqn: 0] 아닌 값이 존재하므로 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]은 두 번째 항부터 등차수열을 이룬다. 따라서 등차수열이 아니다.

(가) [eqn: a _{n} >0] 일 때, [eqn: m<n]이면, [eqn: b _m < b _n]이다.

(나) [eqn: b_{ n}=3n]이면 [eqn: sum _{k=1} ^{10} {1} over {a _{eqalign{k# }} a _{k+1}} = {5} over {198}]이다.

(다) 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 등차수열이면 수열[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]도 등차수열이다.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,`` LEFT { b _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

⑤

[eqn: b_n =2 sqrt {2`} cdot {n(n+1)} over {2} = sqrt {2} n(n+1)]

[eqn: log_{b _{n}} LEFT ( sum _{k=1} ^{n} a _{k}^{} ` ^{3} RIGHT )=2]

[eqn: b _{n}^{} ` ^{2} = sum _{k=1} ^{n} a _{k`} ` ^{3}]

[eqn: b _{n} ` ^{2} =2n ^{2} (n+1) ^{2}]

[eqn: a _{n} ` ^{3} = sum _{k=1} ^{n} a _{k} ` ^{3} - sum _{k=1} ^{n-1} `a _{k} ` ^{3} =b _{n} ` ^{2} -b _{n-1} ` ^{2} =2n ^{2} (n+1) ^{2} -2(n-1) ^{2} n ^{2}]

[eqn: =2n ^{2} LEFT { LEFT ( n ^{2} +2n+1 RIGHT ) -(n ^{2} -2n+1) RIGHT } =2n ^{2} cdot 4n=8n^3]

[eqn: a _{n} = root {3} of {a _{n}^{````3}} = root {3} of {8n ^{3}} =2n]

[eqn: {1} over {22} sum _{k=1} ^{8} a _{k} a _{k+1} a _{k+2} =][eqn: {1} over {22} sum _{k=1} ^{8} 2k(2k+2)(2k+4)]

[eqn: = {pi } over {4} LEFT ( LEFT ( {8 cdot 9} over {2} RIGHT ) ^{2} +3 TIMES {8 cdot 9 cdot 17} over {6} +2 TIMES {8 cdot 9} over {2} RIGHT ) =720]

(가) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} >0,``b _{n} >0]

(나) [eqn: b _{n} =2 sqrt {2} sum _{k=1} ^{n} k]

(다) [eqn: log`_{b _{n}} (a _{1} ` ^{3} +a _{2} ` ^{3} +a _{3} ` ^{3} + CDOTS +a _{n} ` ^{3} )=2]

[eqn: {1} over {22} sum _{k=1} ^{8} a _{k} a _{k+1} a _{k+2}] 의 값은? [5점]

① [eqn: 90]	② [eqn: 180]	③ [eqn: 360]

④ [eqn: 540]	⑤ [eqn: 720]

] 두 자리의 자연수 중에서 [eqn: 10]의 배수 또는 [eqn: 12]의 배수인 수의 합을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오. [8점]

[eqn: 822]

[eqn: 10]의 배수 [eqn: 10 LEQ 10n<100`````(n=1,`2,`3,` CDOTS )]

[eqn: 12]의 배수 [eqn: 10 LEQ 12m<100`````(m=1,`2,`3,` CDOTS )]

[eqn: 10]의 배수 [eqn: +] [eqn: 12]의 배수 [eqn: -][eqn: (10]의 배수~[eqn: 12]의 배수)

[eqn: sum _{n=1} ^{9} 10n+ sum _{m=1} ^{8} 12m-60]

[eqn: =10 TIMES {9 TIMES 10} over {2} +12 TIMES {8 TIMES 9} over {2} -60][eqn: =822]

첫째항이 양수이고, 공비가 [eqn: -3]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{7} ( LEFT | a _{k} RIGHT | +a _{k} )=205]일 때, [eqn: a _{1}]의 값은? [[eqn: 4.6]점]

⑤

[eqn: sum _{k=1} ^{7} ( LEFT | a _{k} RIGHT | +a _{k} )=205]이므로
첫항이 양수이고 공비가 음수인 등비수열이므로

[eqn: a _{2n-1} >0,``a _{2n} <0]

따라서

[eqn: LEFT | a _{n} RIGHT | +a _{n} = {cases{2a _{n}&```````(n`이```홀수)#0&```````(n이```짝수`)}}]

[eqn: sum _{k=1} ^{7} ( LEFT | a _{k} RIGHT | +a _{k} )=2 LEFT ( a _{1} +a _{3} +a _{5} +a _{7} RIGHT ) =2 {a _{1} (9 ^{4} -1)} over {9-1} =205]
[eqn: THEREFORE `a _{1} = {205} over {1640} = {1} over {8}]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {4}]
④ [eqn: {1} over {6}]	⑤ [eqn: {1} over {8}]

모든 항이 정수이고 공차가 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n} TIMES sum _{n=1} ^{5} LEFT | a _{n} RIGHT | =255]를 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=1} ^{14} a _{n}]의 값은? [5.3점]

③

모든 항이 정수이면 양수인 공차 [eqn: d]는 자연수가 되어야 한다.

[eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k} TIMES sum _{k=1} ^{5} LEFT | a _{k} RIGHT | =255=3 TIMES5 TIMES17]

① [eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k} = {5(2a+4d)} over {2} =5(a+2d)]이므로 [eqn: 5]의 배수

ⅰ) [eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k} =5`] 일 때

[eqn: a+2d=1]이므로 [eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT | a _{k} RIGHT | !=51]

ⅱ) [eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k} =15] 일 때

[eqn: 5(a+2d)=15]

[eqn: a=3-2d]

[eqn: a _{1} =3-2d,`a _{2} =3-d,`a _{3} =3,`a _{4} =3+d,`a _{5} =3+2d]

[eqn: d=1] 인 경우 불가능

[eqn: d=2] 인 경우 : [eqn: -1,`1,`3,`5,`7] [eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k} =15,` sum _{k=1} ^{5} LEFT | a _{k} RIGHT | =17] 가능

[eqn: d>=3`]인 경우 : [eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT | a _{k} RIGHT | !=17]

② [eqn: sum _{k=1} ^{14} a _{k} = {14(-2+13 TIMES2)} over {2} =168]

① [eqn: 160]	② [eqn: 164]	③ [eqn: 168]

④ [eqn: 172]	⑤ [eqn: 176]

수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: a _{15} +a _{16} =130], [eqn: S _{n} =pn ^{2} +qn] ([eqn: p,`q]는 소수)이다. [eqn: a _{1} +a _{3}]의 값은? [[eqn: 4.8]점]

①

[eqn: a _{n}][eqn: =S _{n} -S _{n-1}][eqn: = LEFT ( pn ^{2} +qn RIGHT ) - LEFT { p LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2} +q LEFT ( n-1 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =2pn+q-p][eqn: ~ LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]이고

[eqn: a _{1}][eqn: =S _{1}][eqn: =p+q]이므로

[eqn: a _{n}][eqn: =2pn+q-p]

[eqn: a _{15} +a _{16} =60p+2q=130]

[eqn: 30p+q=65] ([eqn: p,`q]는 소수)에서 [eqn: p=2,~q=5]

[eqn: a _{n}][eqn: =4n+3]이다.

따라서 [eqn: a _{1} +a _{3} =22]

① [eqn: 22]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 30]
④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 38]

[eqn: n]이 자연수일 때, 함수 [eqn: f(x) = {x+4n} over { 4x -2p}]이 [eqn: f(2)`<`f(6)`<`f(4)]를 만족시키도록 하는 자연수 [eqn: p]의 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: p=m]일 때의 함수 [eqn: f(x)]와 함수 [eqn: g(x)= {2x+n} over {x+q}]이 [eqn: g(f(6))`<`g(f(4))`<`g(f(2))]를 만족시키도록 하는 자연수 [eqn: q]의 개수를 [eqn: a_n]이라 하자. [eqn: m+ sum _{ k=1} ^{ 24 } a_k]의 값은?[5.3점]

③

[풀이]

[eqn: f(x)= {x+4n} over {4x-2p} = {{p} over {2} +4n} over {4x-2p} + {1} over {4}]

[eqn: f(2)`<`f(6)`<`f(4)] 조건을 만족하려면

점근선의 [eqn: x= {p} over {2}]를 기준으로 [eqn: 2< {p} over {2} <4]를 만족하여야 하므로

[eqn: p]의 최솟값은 [eqn: 5]이고 [eqn: m=5]이다.

[eqn: g(x)= {2x+n} over {x+q} = {n-2q} over {x+q} +2]에서

[eqn: g(f(6))`<`g(f(4))`<`g(f(2))] 만족하려면 [eqn: f(2)`<`f(6)`<`f(4)]이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형이 [eqn: n-2q<0]이 되어야 [eqn: x=-q]를 기준으로 [eqn: g(f(6))`<`g(f(4))`<`g(f(2))]을 만족할 수 있으므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) `<`-q<f LEFT ( 6 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =-1-2n], [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) = {6+4n} over {14}]

[eqn: -1-2n<`-q< {6+4n} over {14}], [eqn: q]는 자연수 조건과 [eqn: n-2q<0] 조건을 다 합쳐보면

[eqn: n<2q]이고 [eqn: 2n+1>q]인 자연수 [eqn: q]의 개수를 [eqn: n]에 값에 따라 찾아보자. [eqn: {n} over {2} <q<2n+1]에서

[eqn: n=1]일 때 [eqn: {1} over {2} <q<3]이므로 [eqn: q=1,2], [eqn: a _{1} =2]

[eqn: n=2]일 때 [eqn: 1<q<5]이므로 [eqn: q=2,3,4], [eqn: a _{2} =3]

[eqn: n=3]일 때 [eqn: {3} over {2} <q<7]이므로 [eqn: q=2,3,4,5,6], [eqn: a _{3} =5]

[eqn: n=4]일 때 [eqn: 2<q<9]이므로 [eqn: q=3,4,5,6,7,8], [eqn: a _{4} =6]

[eqn: a _{1} ,a _{3} ,` CDOTS `,`a _{21}]은 항의 개수가 [eqn: 12]이고 공차가 [eqn: 3]인 등차수열의 합이므로 [eqn: {37 TIMES 12} over {2} =222]이고

[eqn: a _{2} ,a _{4} ,` CDOTS `,`a _{24}]은 항의 개수가 [eqn: 12]이고 공차가 [eqn: 3]인 등차수열의 합이므로 [eqn: {39 TIMES 12} over {2} =234]

[eqn: m+ sum _{k=1} ^{24} a _{k} =5+222+234=461]

① [eqn: 455]	② [eqn: 458]	③ [eqn: 461]

④ [eqn: 464]	⑤ [eqn: 467]

그그림과 같이 자연수를 나열할 때, [eqn: n]행에 나열되는 수들의
합을 [eqn: a _{n}]이라 하자.[eqn: sum _{k=1} ^{8} {a _{k}} over {k}]의 값은? [[eqn: 4.8]점]

①

[eqn: k]행에 나열되는 수들의
합을 [eqn: a _{k}]이라 하면

[eqn: a _{k} =k ^{2} LEFT ( 1+2+3+ CDOTS +k RIGHT ) = {k ^{4} +k ^{3}} over {2}]

[eqn: sum _{k=1} ^{8} LEFT ( {k ^{4} +k ^{3}} over {2k} RIGHT ) = {1} over {2} sum _{k=1} ^{8} LEFT ( k ^{3} +k ^{2} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} LEFT { LEFT ( {8 TIMES 9} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {8 TIMES 9 TIMES 17} over {6} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =750]

① [eqn: 750]	② [eqn: 925]	③ [eqn: 1100]
④ [eqn: 1275]	⑤ [eqn: 1500]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여, 만족시킬 때, [eqn: sum _{k=1} ^{20} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k+1} a _{k} + sum _{k=1} ^{19} LEFT ( a _{k} +a _{k+1} RIGHT )]의 값은? [[eqn: 4.8]점]
① [eqn: 427]	② [eqn: 450]	③ [eqn: 472]
④ [eqn: 497]	⑤ [eqn: 510]

④

[eqn: a _{2n-1} =3n-2], [eqn: a _{2n}=n+2]에 대해

[eqn: sum _{k=1} ^{20} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k+1} a _{k} = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{2k-1} -a _{2k} RIGHT ) = sum _{k=1} ^{10} LEFT { LEFT ( 3n-2 RIGHT ) - LEFT ( n+2 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2n-4 RIGHT ) =2· {10·11} over {2} -4·10=110-40=70]

[eqn: sum _{k=1} ^{19} LEFT ( a _{k} +a _{k+1} RIGHT ) = LEFT ( a _{1} +a _{2} RIGHT ) + LEFT ( a _{2} +a _{3} RIGHT ) +` CDOTS `+ LEFT ( a _{19} +a _{20} RIGHT )]

[eqn: =2 LEFT ( a _{1} +a _{2} +` CDOTS `+a _{20} RIGHT ) - LEFT ( a _{1} +a _{20} RIGHT )]

[eqn: =2 sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{2k-1} +a _{2k} RIGHT ) - LEFT ( 1+12 RIGHT ) =2 sum _{k=1} ^{10} LEFT { LEFT ( 3k-2 RIGHT ) + LEFT ( k+2 RIGHT ) RIGHT } -13]

[eqn: =2 sum _{k=1} ^{10} 4k-13=8· {10·11} over {2} -13=440-13=427]

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{20} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k+1} a _{k} + sum _{k=1} ^{19} LEFT ( a _{k} +a _{k+1} RIGHT ) =70+427=497]

수열[eqn: a _{1} =a,~a _{2} =b,~a _{n+2} =a _{n+1} -a _{n} `(n=1,~2,~3,~ CDOTS )]을 만족시킨다.

④

[eqn: a _{1} =a>0], [eqn: a _{2} =b<0], [eqn: a _{3} =b-a<0], [eqn: a _{4} = LEFT ( b-a RIGHT ) -b=it-a<0]

[eqn: a _{5} =it-a- LEFT ( b-a RIGHT ) =it-b>0], [eqn: a _{6} =it-b- LEFT ( -a RIGHT ) =it-b+a>0]

[eqn: a _{7} = LEFT ( -b+a RIGHT ) - LEFT ( -b RIGHT ) =a>0] [eqn: a _{1} =a _{7}]이므로 주기가 [eqn: 6]

[eqn: a _{30} =a _{6} =it-b+a=100]

[eqn: sum _{k=1} ^{6} LEFT | a _{k} RIGHT | =a-b- LEFT ( b-a RIGHT ) - LEFT ( -a RIGHT ) + LEFT ( -b RIGHT ) + LEFT ( -b+a RIGHT ) =4 LEFT ( a-b RIGHT )]

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{20} LEFT | a _{k} RIGHT | =3 LEFT { 4· LEFT ( a-b RIGHT ) RIGHT } + LEFT ( a-b RIGHT ) =13 LEFT ( a-b RIGHT ) =13·100=1300]

[eqn: a _{30} =100]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{20} LEFT | a _{k} RIGHT |]의 값은? (단, [eqn: a>0,~b<0] ) [[eqn: 5.1]점]

① [eqn: 1000]	② [eqn: 1100]	③ [eqn: 1200]
④ [eqn: 1300]	⑤ [eqn: 1400]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n}]의 값은? [[eqn: 5.3]점]

④

[eqn: a _{n} =±2 ^{n+2}]꼴이므로 (다) 조건을 만족하려면 음수인 항이 어떤 항이 되는지를 찾아내면 된다. 이 때 [eqn: a _{1}]부터 [eqn: a _{9}]까지의 합이 양수이고 [eqn: a _{10}]이 음수인 경우의 합이 [eqn: -8]임을 이용하면 음수인 항을 금방 찾을 수 있다. [eqn: -88]을 만드려면 [eqn: -80]이 더 필요한데 [eqn: +]에서 [eqn: -]로 바뀌게 될 때 예를 들어 [eqn: a _{1}]이 [eqn: 8]에서 [eqn: -8]로 바뀐다고 생각하면 [eqn: -16]이 빠지게 되므로 [eqn: -80]을 만들려면 [eqn: 2]의 거듭제곱의 합이 [eqn: 40]이 되는 항들을 찾아내면 된다. [eqn: 2 ^{3} =8] [eqn: 2 ^{5} =32]이므로 [eqn: a _{1}]과 [eqn: a _{3}]가 음수인 항이 되면 된다.

[eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n}][eqn: =-8+16-32+64+128][eqn: =168]이다.

(가) [eqn: LEFT | a _{1} RIGHT | =8]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT | a _{n+1} RIGHT | =2 LEFT | a _{n} RIGHT |]이다.

(다) [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} =-88]

① [eqn: 104]	② [eqn: 136]	③ [eqn: 152]	④ [eqn: 168]	⑤ [eqn: 200]

수열 [eqn: left{a_n right}]의 일반항은 [eqn: a _{n} =log _{3} sqrt {{3n} over {n+1}}]이다. [eqn: sum_{k=1}^m a_k]의 값이 [eqn: 1000]이하의 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: m]의 값의 합은? [[eqn: 5.2]점]

③

[eqn: S _{m} = {1} over {2} `log _{3} LEFT ( {3 TIMES 1} over {2} TIMES {3 TIMES 2} over {3} TIMES {3 TIMES 3} over {4} TIMES ~ CDOTS ~ TIMES {3m} over {(m+1)} RIGHT ) LEQ 1000]
[eqn: = {1} over {2} `log _{3} 3 ^{m} LEFT ( {1} over {2} TIMES {2} over {3} TIMES {3} over {4} TIMES ~ CDOTS ~ TIMES {m} over {(m+1)} RIGHT ) LEQ 1000]

[eqn: ```= {1} over {2} `log _{3} {3 ^{m}} over {m+1} LEQ 1000]

자연수가 되려면 [eqn: log _{3} {3} over {m+1}]의 값은 짝수가 되어야 한다.

[eqn: m+1=3 ^{t}]꼴을 만족해야 자연수가 될 수 있으므로

[eqn: log _{3} 3 ^{m-t} LEQ 2000]

[eqn: m-t LEQ 2000,`] [eqn: m-t=]짝수

[eqn: m=3 ^{t} -1`] 대입하면

[eqn: 3 ^{t} -1-t LEQ 2000], [eqn: 3 ^{t} -1=]짝수, [eqn: THEREFORE ~t=]짝수

[eqn: t=2] ⇨ [eqn: m=8]

[eqn: t=4] ⇨ [eqn: m=80]
[eqn: t=6] ⇨ [eqn: m=728]
[eqn: t GEQ 8]일 때는 [eqn: 2000]이하의 자연수를 만족하지 않는다.

따라서 [eqn: 8+80+728=816]

① [eqn: 730]	② [eqn: 736]	③ [eqn: 816]
④ [eqn: 818]	⑤ [eqn: 844]

각 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]을
[eqn: b _{n} =log _{3} a _{n} `(n=1,`2,`3,` CDOTS )]
으로 정의하자. 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: b _{51}]의 값을 구하고 그 과정을 논술하시오. [[eqn: 7.0]점]

[eqn: 3]

수열 [eqn: left { a_n right}]의 공비를 [eqn: r]이라 하면

(가)에 의해 [eqn: b_1 + b_3 + b_5 + cdots + b_99 =50]

[eqn: RARROW] [eqn: 50 log_3 ` a_1 + (2+4+6+cdots + 98 ) log_3 ` r =50]

[eqn: RARROW] [eqn: 50 log_3 ` a_1 + 49 times 50 log_3 ` r =50]

[eqn: RARROW] [eqn: log_3 ` a_1 + 49 log_3 `r =1][eqn: cdots]㉠

(나)에 의해

[eqn: b_2 + b_4 + b_6 + cdots +b_100 = 150]

[eqn: RARROW] [eqn: 50 log_3 `a_1 +(1+3+5+cdots + 99) log_3 `r =150]

[eqn: RARROW] [eqn: 50 log_3 `a_1 + 50 times 50 log_3 `r =150]

[eqn: RARROW] [eqn: log_3 ` a_1 + 50 log_3 ` r =3][eqn: cdots]㉡

㉠과 ㉡을 연립하면 [eqn: log_3 `r =2]이므로 [eqn: r=9]이다.

[eqn: log_3 ` a_1 = -97]이므로

[eqn: b_51 = log_3 `a_51 = log_3 ` a_1 times r^50]

[eqn: = log_3 ` a_1 + 50 log_3 `r]

[eqn: = -97 + 100=3]이다.

(가) [eqn: sum _{k=1} ^{50} b _{2k-1} =50]

(나) [eqn: sum _{k=1} ^{50} b _{2k} =150]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

②

[eqn: a_2n =a_n +1,] [eqn: a _{2n+1} =a _{n} -1,] [eqn: a_1 =a]

[eqn: {cases{a _{2} =a+1&#a _{3} =a-1&}}]
[eqn: {cases{eqalign{a _{4} =a+2# a _{5} =a}&#eqalign{a _{6} =a# a _{7} =a-2}&}}]

[eqn: {cases{{under{a _{8} =a+3}}&#eqalign{a _{9} =a+1# a _{10} =a+1# a _{11} =a-1# a _{12} =a+1# a _{13} =a-1# a _{14} =a-1# {under{a _{15} =a-3}}}&}}]
[eqn: VDOTS]
이므로
[eqn: b _{2} =a+ LEFT ( a+1 RIGHT )]
[eqn: b _{2} = LEFT ( a-1 RIGHT ) + LEFT ( a+1 RIGHT )]
[eqn: {cases{eqalign{b _{4} = LEFT ( a-1 RIGHT ) + LEFT ( a+2 RIGHT )# b _{5} = LEFT ( a-1 RIGHT ) + LEFT ( a+2 RIGHT )}&#b _{6} = LEFT ( a-1 RIGHT ) + LEFT ( a+2 RIGHT )&}}]
[eqn: b _{7} = LEFT ( a-2 RIGHT ) + LEFT ( a+2 RIGHT )]
[eqn: {cases{b _{8} = LEFT ( a-2 RIGHT ) + LEFT ( a+1 RIGHT )&#eqalign{b _{9} = LEFT ( a-2 RIGHT ) + LEFT ( a+1 RIGHT )# VDOTS # b _{14} = LEFT ( a-2 RIGHT ) + LEFT ( a+1 RIGHT )}&}}]
[eqn: VDOTS]

[eqn: sum _{k=2} ^{127} b _{n} =b _{2} +b _{3} +3 TIMES b _{4} +b _{7} +7 TIMES b _{8} +b _{15} +15 TIMES b _{16} + CDOTS +63b _{64} +b _{127}]
[eqn: =252a+120=246]
[eqn: THEREFORE `a= {1} over {2}]

집합 [eqn: A` _{n} `= LEFT { pile{`#`} a _{k} LEFT | pile{`#`} 1 LEQ k` LEQ n,` RIGHT . RIGHT .][eqn: LEFT. k는``자연수` RIGHT }]의 원소 중에서 값이
가장 큰 원소와 값이 가장 작은 원소의 합을 [eqn: b _{n}]이라 하자.
[eqn: sum _{k=2} ^{127} b _{n} =246]일 때, [eqn: a _{1}]의 값은? [[eqn: 5.5]점]

<조 건>

(가) [eqn: a _{2n} =a _{n} +1],

(나) [eqn: a _{2n+1} =a _{n} -1]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

수열 [eqn: left{a_n right}`]의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S_n`]이라 하자. 두 자연수 [eqn: p,~q`]에 대하여 [eqn: S_n =pn^2 -18n+q`]일 때, [eqn: S_n`]이 <조건>을 만족시키도록 하는 [eqn: p`]의 최솟값을 [eqn: p_1`]이라 하자.

[eqn: p=p_1`]일 때, [eqn: |`a_k `| < a_1`]을 만족시키는 자연수 [eqn: k`]의 개수가 [eqn: 3`]이 되도록 하는 모든 [eqn: q`]의 값의 합은? [4.9점]

① [eqn: 196]	② [eqn: 204]	③ [eqn: 212]
④ [eqn: 220]	⑤ [eqn: 228]

⑤

[eqn: i!=j`]인 두 자연수 [eqn: i,~j`]에 대하여

[eqn: S_i -S_j =p i^2 -18i+q -pj^2 +18j -q]

[eqn: =p(i-j)(i+j)-18(i-j)]

[eqn: =(i-j) left{p(i+j)-18right}!=0]

[eqn: i+j!= 18 overp]

[eqn: p=1]일 때 [eqn: i+j=18]을 만족하는 서로 다른 두 자연수가 존재한다.

[eqn: p=2`]일 때 [eqn: i+j=9]를 만족하는 서로 다른 두 자연수가 존재한다.

[eqn: p=3`]일 때 [eqn: i+j=6]을 만족하는 서로 다른 두 자연수가 존재한다.

[eqn: p=4`]일 때 [eqn: i+j= 9 over2]를 만족하는 서로 다른 두 자연수가 존재하지 않으므로 [eqn: p`]의 최솟값 [eqn: p_1 =4]

[eqn: S_n =4n^2 -18n+q`]

[eqn: a_n =S_n -S_n-1]

[eqn: =4n^2 -18n+q -4(n-1)^2 +18(n-1)-q]

[eqn: =4n^2 -18n -4n^2 +8n-4+18n-18]

[eqn: =8n-22]

[eqn: a_n =cases{8n-22&&(n ge2)#q-14&&(n=1)]

[eqn: a_2 =-6,~a_3 =2,~a_4 =10 ,~a_5 =18 ,~cdots]

[eqn: |`a_k `| < a_1`]를 만족하는 자연수 [eqn: k`]의 개수가 [eqn: 3`]개이므로

[eqn: 10 <q-14 le18]

[eqn: 24 <q le 32]

따라서 만족하는 모든 [eqn: q`]의 값의 합은

[eqn: 25+26+27+cdots+32 = {8(25+32)} over2 =228]

임의의 두 자연수 [eqn: i,~j`]에 대하여 [eqn: i!=j`]이면 [eqn: S_i !=S_j`]이다.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은 [eqn: S _{1} =4,` LEFT ( n+1 RIGHT ) S _{n+1} =2nS _{n} `(n GEQ 1)]을 만족시킨다. [eqn: a _{9} = {q} over {p}]라 할 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 5.1]점]

③

[eqn: {S _{n+1}} over {S _{n}} = {2n} over {n+1}] [eqn: S _{1} =4] [eqn: S _{9} = {S _{2}} over {S _{1}} TIMES CDOTS TIMES {S _{9}} over {S _{8}} =2 ^{8} TIMES 4 TIMES {1`} over {9}][eqn: = {1024} over {9}]

[eqn: S _{8} = {S _{2}} over {S _{1}} TIMES CDOTS TIMES {S _{8}} over {S _{7}} =2 ^{7} TIMES 4 TIMES {1`} over {8}][eqn: =64] [eqn: a _{9} =S _{9} -S _{8} = {448} over {9}][eqn: p+q=457]

【검수자 다른풀이】

① [eqn: {S _{2}} over {S _{1}} BULLET {S _{3}} over {S _{2}} BULLET {S _{4}} over {S _{3}} BULLET {S _{5}} over {S _{4}} BULLET {S _{6}} over {S _{5}} BULLET {S _{7}} over {S _{6}} BULLET {S _{8}} over {S _{7}} = {2} over {2} {4} over {3} {6} over {4} {8} over {5} {10} over {6} {12} over {7}]

[eqn: ` THEREFORE `S _{8} =64]

②[eqn: {S _{2}} over {S _{1}} BULLET {S _{3}} over {S _{2}} BULLET {S _{4}} over {S _{3}} BULLET {S _{5}} over {S _{4}} BULLET {S _{6}} over {S _{5}} BULLET {S _{7}} over {S _{6}} BULLET {S _{8}} over {S _{7}} BULLET {S _{9}} over {S _{8}} = {2} over {2} {4} over {3} {6} over {4} {8} over {5} {10} over {6} {12} over {7} {14} over {8}]

[eqn: ` THEREFORE `S _{9} = {1024} over {9}]

① [eqn: 121]	② [eqn: 233]	③ [eqn: 457]	④ [eqn: 905]	⑤ [eqn: 2057]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{k} = {cases{``````0&````` LEFT ( cos ^{2} {n} over {6} pi < {1} over {2} RIGHT )#``````1&````` LEFT ( {1} over {2} LEQ `cos ^{2} {n} over {6} pi RIGHT )}}]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{100} a _{k}]의 값은? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 48]	② [eqn: 49]	③ [eqn: 50]
④ [eqn: 51]	⑤ [eqn: 52]

②

풀이)

[eqn: a _{k} = {cases{``````0&````` LEFT ( cos ^{2} {n} over {6} pi < {1} over {2} RIGHT )#``````1&````` LEFT ( {1} over {2} LEQ `cos ^{2} {n} over {6} pi RIGHT )}}] 에서

[eqn: n=1]일 때, [eqn: cos ^{2} {pi } over {6} = LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{2} = {3} over {4}]이므로 [eqn: a _{1} =1]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: cos ^{2} {pi } over {3} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = {1} over {4}]이므로 [eqn: a _{2} =0]

[eqn: n=3]일 때, [eqn: cos ^{2} {pi } over {2} =0 ^{2} =0]이므로 [eqn: a _{3} =0]

[eqn: n=4]일 때, [eqn: cos ^{2} {2pi } over {3} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = {1} over {4}]이므로 [eqn: a _{4} =0]

[eqn: n=5]일 때, [eqn: cos ^{2} {5pi } over {6} = LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{2} = {3} over {4}]이므로 [eqn: a _{5} =1]

[eqn: n=6]일 때, [eqn: cos ^{2} {pi } =(-1) ^{2} =1]이므로 [eqn: a _{6} =1]

⋮

[eqn: cos ^{2} LEFT ( 2m pi + theta RIGHT ) =cos ^{2} theta]([eqn: m]은 정수)이므로 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: n=12k+1]일 때, [eqn: a _{12k+1} =1]

[eqn: n=12k+2]일 때, [eqn: a _{12k+2} =0]

[eqn: n=12k+3]일 때, [eqn: a _{12k+3} =0]

[eqn: n=12k+4]일 때, [eqn: a _{12k+4} =0]

[eqn: n=12k+5]일 때, [eqn: a _{12k+5} =1]

[eqn: n=12k+6]일 때, [eqn: a _{12k+6} =1]

⋮

에서 나머지는 반대로 되어 있으므로

[eqn: 1~0~0~0~1~1~1~1~0~0~0~1] 이 반복된다.

[eqn: sum _{k=1} ^{100} a _{k} = sum _{k=1} ^{96} a _{k} +a _{97} +a _{98} +a _{99} +a _{100}]

[eqn: =16 TIMES LEFT ( 3 RIGHT ) +1+0+0+0# =49]

등차수열 [eqn: left {a_n right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

③

조건 (나)에서 [eqn: a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 ge0]인 경우

[eqn: a_1 +a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 2( a_1 + a_2 + cdots +a_10 )]

[eqn: a_1 +a_2 + cdots + a_5 + 2 (a_6 + a_7 + cdots + a_10 ) = 0]	[eqn: cdots cdots] ㉠

에서 공차가 양수이고 [eqn: a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 ge0]이므로

[eqn: a_6 + cdots + a_10 > 0]이다. 따라서 ㉠은 모순이다. 따라서

[eqn: a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 < 0]

이다.

[eqn: -(a_1 + cdots a_5 ) = 2 (a_1 + cdots a_10 )]

[eqn: - {(2a + 4d) times 5} over 2 = 2 times {(2a+9d) times 10} over 2]

[eqn: THEREFORE a = -4d]

[eqn: a_ n = dn - 5d]에서 [eqn: sum^n_k=1 a_k]의 최솟값은 [eqn: n = 4]또는 [eqn: n = 5]일 때 최소이다.

[eqn: -4d -3d -2d-d = -10d = -20]

[eqn: THEREFOREd = 2], [eqn: a= -8], [eqn: a_ n = 2n -10]

[eqn: S_n = n^2 - 9n]에서

[eqn: |` S_1 `| = |` S_8 `| = 8]

[eqn: |` S_2 `| = |` S_7 `| = 14]

[eqn: |` S_3 `| = |` S_6 `| = 18]

[eqn: |` S_4 `| = |` S_5 `| = 20]

[eqn: S_9 = 0], [eqn: S_10 = 10], [eqn: S_11 = 22], [eqn: cdots]

따라서 모든 [eqn: t]의 값의 합은 [eqn: 8+14+18+20 = 60]

(가) 공차는 양수이다.

(나) [eqn: left| sum ^5 _k=1 a_k right| = sum^10_k=1 2a_k]

[eqn: sum^n_k=1 a_k]의 최솟값이 [eqn: -20]이고, [eqn: n]에 대한 방정식 [eqn: left| sum ^n _k=1 a_k right| = t]가 서로 다른 두 실근을 가지기 위한 모든 [eqn: t]의 값의 합은?

(단, [eqn: n]은 자연수이고 [eqn: t]는 실수이다.) [[eqn: 5.5]점]

① [eqn: 58]	② [eqn: 59]	③ [eqn: 60]
④ [eqn: 61]	⑤ [eqn: 62]

첫째항이 [eqn: b``]([eqn: b]는 자연수)이고 공차가 [eqn: -4]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} {right}}]이 있다. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: {left|} sum _{k=1} ^{n} a _{k} {right|}{ge}15]를 만족시키는 모든 [eqn: b]의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: m]번째 수를 [eqn: b _{m}]이라 하자. [eqn: sum _{m=1} ^{15} b _{m}]의 값은? [4.7점]

②

[eqn: a_n = b+(n-1)(-4)]

[eqn: LEFT | sum _{k=1} ^{n} a _{k} RIGHT | = LEFT | S _{n} RIGHT | = LEFT | {n LEFT { 2b+(n-1)(-4) RIGHT }} over {2} RIGHT | GEQ 15]

[eqn: a_1`=S_1 =b GE 15]

한편, [eqn: b`]가 짝수이면 [eqn: n = {b+2} over2`]는 자연수이므로 [eqn: S_n =0`]이 존재한다.

따라서 [eqn: b`]는 홀수이고 [eqn: b= 2k-1`] [eqn: (k`]는 자연수)이라 하자.

(i) [eqn: n=k`]일 때,

[eqn: LEFT | S _{n} RIGHT | = LEFT | k LEFT ( b+2-2k RIGHT ) RIGHT | =k GEQ 15]

(ii) [eqn: n=k+1]일 때,

[eqn: LEFT | S _{n} RIGHT | = LEFT | (k+1)(b-2k) RIGHT | = LEFT | (k+1)(-1) RIGHT | =k+1 GEQ 15]

[eqn: therefore````][eqn: k GE14]

따라서 [eqn: k`Ge15]이고 이때 [eqn: b= 2k-1`]이므로

수열 [eqn: left{`b _{m} right}`]은 [eqn: 29`,``31`,``33`,``35`,``cdots`]

[eqn: sum _{m=1} ^{15} b _{m}][eqn: =29`+`31`+`33`+`` CDOTS `+57`= {15 LEFT ( 29+57 RIGHT )} over {2} =645]

① [eqn: 640]	② [eqn: 645]	③ [eqn: 650]

④ [eqn: 655]	⑤ [eqn: 660]

첫째항이 [eqn: b] ([eqn: b]는 자연수)이고 공차가 [eqn: -4]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 있다. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT | sum _{k=1} ^{n} a _{k} RIGHT | GEQ15]를 만족시키는 모든 [eqn: b]의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: m]번째 수를 [eqn: b _{m}]이라 하자.

④

풀이)

[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }] 첫째항이 [eqn: b], 공차가 [eqn: -4]인 등차수열 이므로

[eqn: a _{n} =b-4(n-1)],

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} = { n left{ `2b -4( n-1) right}} over { 2 } = b( b+2-2n)] 이다.

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT |` b( b+2-2n) ` RIGHT | GEQ15]을 만족시키려면

[eqn: b = 1] 일 때,

[eqn: LEFT | `(3-2n)` RIGHT | GEQ 15], [eqn: n`=`1]을 대입하면 성립하지 않는다.

[eqn: b=2] 일 때,

[eqn: LEFT | `2(4-2n)` RIGHT | GEQ 15], [eqn: n`=`1]을 대입하면 성립하지 않는다.

[eqn: b=3] 일 때,

[eqn: LEFT | `3(5-2n)` RIGHT | GEQ 15], [eqn: n`=`1]을 대입하면 성립하지 않는다.

[eqn: b=4] 일 때,

[eqn: LEFT | `4(5-2n)` RIGHT | GEQ 15], [eqn: n`=`1]을 대입하면 성립하지 않는다.

[eqn: b=4] 일 때,

[eqn: LEFT | `4(5-2n)` RIGHT | GEQ 15], [eqn: n`=`1]을 대입하면 성립하지 않는다.

[eqn: b=5] 일 때,

[eqn: LEFT | `5(7-2n)` RIGHT | GEQ 15], [eqn: n`=`1]을 대입하면 성립하나 [eqn: n`=`3]을 대입하면 성립하지 않는다.

[eqn: VDOTS]

[eqn: b=28] 일 때, [eqn: LEFT | `28(30-2n)` RIGHT | GEQ 15], [eqn: n = 15]를 대입하면

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립하지 않는다.

[eqn: b=29] 일 때, [eqn: LEFT | `29(31-2n)` RIGHT | GEQ 15], 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

[eqn: b=30] 일 때, [eqn: LEFT | `30(32-2n)` RIGHT | GEQ 15], [eqn: n=16]를 대입하면

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립하지 않는다.

[eqn: b=31] 일 때, [eqn: LEFT | `31(33-2n)` RIGHT | GEQ 15], 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

[eqn: VDOTS]

그러므로 [eqn: b`=`29`]부터 홀수인 수만 성립한다.

[eqn: LEFT | sum _{k=1} ^{n} a _{k} RIGHT | GEQ15]를 만족시키는 모든 [eqn: b]의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: m]번째 수를 [eqn: b _{m}]이라하면 [eqn: b _{1`} = 29] , [eqn: b _{2`} =31], [eqn: cdots] 이므로

[eqn: sum _{m=1} ^{10} b _{m}]의 값은 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이므로

[eqn: { 10 ( 2times29 +2times 9 ) } over 2 = 380] 이다.

[eqn: sum _{m=1} ^{10} b _{m}]의 값은? [[eqn: 4.9]점]

① [eqn: 350]	② [eqn: 360]	③ [eqn: 370]
④ [eqn: 380]	⑤ [eqn: 390]

첫째항은 [eqn: b``]([eqn: b``]는 자연수)이고 공차가 [eqn: -4``]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]이 있다. 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: LEFT | sum _{k=1} ^{n} a _{k} RIGHT | GEQ 20``]을 만족시키는 모든 [eqn: b``]의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: m``]번째 수를 [eqn: b _{m}``]이라 하자. [eqn: sum _{m=1} ^{10} b _{m}``]의 값은? [5.0점]

①

[eqn: S_1`=`a_1`=`b`ge`20``]이다.

첫째항은 [eqn: b``]([eqn: b``]는 자연수)이고 공차가 [eqn: -4``]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]의 [eqn: n``]번째 항까지의 합은

[eqn: S_n`=` {n` LEFT { 2`b+(n-1)(-4) RIGHT } }over2 `=`-2`n` LEFT ( `n- b+2 over2`RIGHT )``]

[eqn: b``]가 짝수이면 [eqn: b+2over2 ``]가 자연수이므로

[eqn: S_{b+2over2}`=`0 ``]으로 문제의 조건을 만족시키지 않는다.

따라서 자연수 [eqn: b``]는 [eqn: 20``]이상의 홀수이다.

모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: LEFT | sum _{k=1} ^{n} a _{k} RIGHT | GEQ 20``]을 만족시키려면

모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: S_n ge 20``]또는 [eqn: S_n le -20``]이어야 한다.

[eqn: LEFT | `S_n` RIGHT |``][eqn: =`LEFT | `-2`n` LEFT ( `n- b+2 over2`RIGHT )`RIGHT |``]의 절댓값이 가장 작은 순간은

[eqn: b+2over2 ``]근방에서 발생하며, 자연수 [eqn: b``]가 홀수이므로

[eqn: S_{b+1 over2}`=`(-2)times b+1 over2 times LEFT ( - 1over2 RIGHT ) `=`b+1 over2 `ge `20``]에서

[eqn: b `ge `39``]	[eqn: cdots``]①

[eqn: S_{b+3 over2}`=`(-2)times b+3 over2 times LEFT ( 1over2 RIGHT ) `=`- b+3 over2 `le `-20``]에서

[eqn: b `ge `37``]	[eqn: cdots``]②

①,②에서 자연수 [eqn: b``]는 [eqn: 39``]이상의 홀수이다.

따라서 [eqn: b_m`=` 39+2`(m-1)`=`2`m+37``]

[eqn: sum _{m=1} ^{10} b _{m}``][eqn: =`sum _{m=1} ^{10} `(2`m+37)`=`480``]이다.

① [eqn: 480``]	② [eqn: 500``]	③ [eqn: 520``]

④ [eqn: 540``]	⑤ [eqn: 560``]

부등식 [eqn: 1 LEQ a _{1} <a _{2} <a _{3} < CDOTS <a _{8} LEQ 50]을 만족시키는 [eqn: 8]개의 짝수 [eqn: a _{1} ,`a _{2} ,`a _{3} ,` CDOTS ,`a _{8}]에 대하여 집합 [eqn: rm A]가	[eqn: A= LEFT { x`□`x=a _{1} +`a _{2} +`a _{3} +` CDOTS +`a _{8} RIGHT }]일 때, 집합 [eqn: rm A]의 원소의 개수는? [[eqn: 5.3]점]

③

[eqn: a _{1} +`a _{2} +`a _{3} +` CDOTS +`a _{8}]의 합은

첫째항이 [eqn: 2+`4+`6+` CDOTS +`16=72],

마지막 항이 [eqn: 36+`38`+40`+` CDOTS +`50=344]

공차가 [eqn: 2]인 등차수열이므로

집합 [eqn: rm A]의 원소의 개수는 이 수열의 항수와 같다.

따라서 원소의 개수는

[eqn: {344-72} over {2} +1=137]

① [eqn: 111]	② [eqn: 124]	③ [eqn: 137]
④ [eqn: 150]	⑤ [eqn: 163]

자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: (x,``y)]의 개수를 [eqn: A _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{15} A _{n}]의 값을 구하시오. [[eqn: 4.8]점]

① [eqn: 665]	② [eqn: 670]	③ [eqn: 675]
④ [eqn: 680]	⑤ [eqn: 685]

①

풀이)

(i) [eqn: n=1]일 때,

[eqn: -x+ {3} over {2} <y<2+ {1} over {x-2}]이고 이를 만족시키는 [eqn: 1]이하의
자연수 [eqn: x,`y]는 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: A _{1} =0]

(ii) [eqn: n GEQ 2]일 때,

[eqn: x=1]일 때, [eqn: n- {1} over {n+1} <y<n+1- {1} over {n}]이므로 조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,`y RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( 1,`n RIGHT )]

[eqn: x=2]일 때, [eqn: n-1- {1} over {n+1} <y<n+1- {1} over {n-1}]이므로 조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,`y RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( 2,`n-1 RIGHT ) ,` LEFT ( 2,`n RIGHT )]

[eqn: x=3]일 때, [eqn: n-2- {1} over {n+1} <y<n+1- {1} over {n-1}]이므로 조건을
만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,`y RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( 3,`n-2 RIGHT ) ,` LEFT ( 3,`n-1 RIGHT ) ,` LEFT ( 3,`n RIGHT )]

⋮

[eqn: x=n-2]일 때, [eqn: 3- {1} over {n+1} <y<n+ {2} over {3}]이므로 조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,`y RIGHT )]는
[eqn: LEFT ( n-2,`3 RIGHT )],[eqn: LEFT ( n-2,`4 RIGHT ) ,` LEFT ( n-2,`5 RIGHT ) , CDOTS ,` LEFT ( n-2,`n RIGHT )]

[eqn: x=n-1]일 때, [eqn: 2- {1} over {n+1} <y<n+ {2} over {3}]이므로 조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,`y RIGHT )]는
[eqn: LEFT ( n-2,`3 RIGHT ) ,` LEFT ( n-2,`4 RIGHT )],[eqn: LEFT ( n-2,`5 RIGHT ) ,` CDOTS ,` LEFT ( n-1,`n RIGHT )]

[eqn: x=n]일 때, [eqn: 1- {1} over {n+1} <y<n]이므로 조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,`y RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( n,`1 RIGHT ) ,` LEFT ( n,`2 RIGHT ) ,` LEFT ( n,`3 RIGHT ) ,` CDOTS ,` LEFT ( n,`n-1 RIGHT )]

따라서

[eqn: A _{n} =1+2+3+ CDOTS + LEFT ( n-2 RIGHT ) + LEFT ( n-1 RIGHT ) + LEFT ( n-1 RIGHT )]

[eqn: = {LEFT ( n-1 RIGHT ) n} over {2} + LEFT ( n-1 RIGHT )]

[eqn: = {n ^{2} +n-2} over {2} LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]

이때 [eqn: A _{1} =0]이 성립하므로 [eqn: A _{n} = {n ^{2} +n-2} over {2} LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )]

[eqn: sum _{n=1} ^{15} A _{n} = sum _{n=1} ^{15} {n ^{2} +n-2} over {2}]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( {15 TIMES 16 TIMES 31} over {6} + {15 TIMES 16} over {2} -30 RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( 1240+120-30 RIGHT )# =665]

(가) [eqn: x,``y]는 모두 [eqn: n]이하의 자연수이다.

(나) [eqn: -x+n+1- {1} over {n+1} <y<n+1+ {1} over {x-n-1}]

수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =n ^{2} +4n+3]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{30} ka _{3k-2}]의 값을 [eqn: 11]로 나눈 나머지를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [부분점수 있음. [eqn: 7.0]점]

[eqn: 3]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =n ^{2} +4n+3]

[eqn: sum _{k=1} ^{n-1} a _{k} =(n-1) ^{2} +4(n-1)+3]에서

두 식을 빼서 정리하면

[eqn: a _{n} =2n+3] [eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT ) ,``~a _{1} =8]

[eqn: sum _{k=1} ^{30} ka _{3k-2}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{30} k(6k-1)-5+8]

[eqn: = sum _{k=1} ^{30} (6k ^{2} -k)+3]

[eqn: =30 TIMES 31 TIMES 61-15 TIMES 31+3]

[eqn: =31 TIMES (30 TIMES 61-15)+3]

[eqn: =31 TIMES 15 TIMES (122-1)+3]

[eqn: =31 TIMES 15 TIMES 11 ^{2} +3]

따라서 [eqn: 11]로 나눈 나머지는 [eqn: 3]이다.

공차가 [eqn: 1]보다 크고, [eqn: a _{2} +a _{4} =2]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} {right}}]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{5} (a _{k} ^{```2} -12 LEFT | a _{k} RIGHT | )]의 값이 최소가 되도록 하는 수열 [eqn: left{a _{n} {right}}]의 공차의 값은? [4.8점]

⑤

공차 [eqn: d>1`]이고 [eqn: a _{2} +a _4 = 2 `]이므로 [eqn: a_2`<0]

[eqn: a _{2} +a _{4} =][eqn: a+d+a+3d=2`]에서 [eqn: a _{3} = a+2d=1]

[eqn: a _{n} =a+(n-1)d=1-2d+(n-1)d=dn-3d+1]

준식 [eqn: =sum _{k=1} ^{5} (a _{k}^{```2} -12 LEFT | a _{k} RIGHT | )]

[eqn: =sum _{k=1} ^{5} (dk-3d+1)^2}^{```2} -12 sum _{k=1} ^{5}LEFT | dk-3d+1|} RIGHT | )]

[eqn: = LEFT { (2d-1) ^{2} +(d-1) ^{2} +1+(d+1) ^{2} +(2d+1) ^{2} RIGHT } -12 LEFT ( 1+6d RIGHT )]

[eqn: = LEFT {5+10d ^{2} RIGHT } -72d-12]

[eqn: =10d ^{2} -72d-7=10 LEFT ( d- {18} over {5} RIGHT ) ^{2} +` CDOTS]

따라서 주어진 식이 최소가 되는 공차 [eqn: d = 18 over5`]

① [eqn: 14over5]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 16over5]

④ [eqn: 17over5]	⑤ [eqn: 18over5]

그림과 같이 [eqn: 4]이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 원의 둘레를 [eqn: n]등분하는 점 [eqn: rm P_1], [eqn: rm P_2], [eqn: rm P_3], [eqn: cdots], [eqn: rm P it_n]이 있다. [eqn: n]개의 점 중에서 임의로 택한 네 점을 꼭짓점으로 하는 사각형 중 직사각형의 개수를 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: sum_ n=4 ^26 S_n`]의 값은?

⑤

[eqn: n]이 홀수이면 직사각형을 만들 수가 없으므로 [eqn: n]은 짝수이다.

또한 [eqn: n]이 짝수일 때 네 점을 꼭짓점으로 하는 사각형이 직사각형이 되려면 네 점 중에서 두 점이 각각 지름의 양 끝점이 되어야 한다.

따라서

[eqn: S_2k+2 = `_k+1 rm C it _2 =it k(k+1) over 2] ([eqn: k= 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots])

[eqn: sum_ n=4 ^26 S_n = sum_k=1 ^12 S_2k+2 = 1over2 times sum_k=1^12 left( k^2 + k right)]

[eqn: = 1 over2 times left( {12times 13 times 25} over6 + {12times 13} over2 right) = 364]

[[eqn: 5.2]점]

① [eqn: 356]	② [eqn: 358]	③ [eqn: 360]
④ [eqn: 362]	⑤ [eqn: 364]

[eqn: x``]에 대한 방정식 [eqn: cosx= {1} over {(2n-1) pi } `x```(`n=1,2,3, CDOTS )``]의 양의 실근의 개수를 [eqn: f(n)``]이라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{10} {LEFT { f(k)+1 RIGHT } ^{2}} over {11}``]의 값은? [4.7점]

①

두 함수 [eqn: y=cosx`,`` y={1} over {(2n-1) pi } `x```(`n=1,2,3, CDOTS )``]의 그래프의

양수에서의 교점의 개수가 [eqn: f(n)``]이므로

[eqn: f`(1)`=`1`,``f`(2)`=`3`,``f`(3)`=`5`,``cdots`,``f`(k)`=`2`k-1`,``cdots``]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} {LEFT { f(k)+1 RIGHT } ^{2}} over {11}``][eqn: =`sum _{k=1} ^{10} `{LEFT ( 2`k RIGHT ) ^{2}} over {11}``][eqn: =`4over11 times {10times11times21} over6 `=`140``]이다.

① [eqn: 140``]	② [eqn: 150``]	③ [eqn: 160``]
④ [eqn: 170``]	⑤ [eqn: 180``]

자연수 [eqn: n]에 대하여 방정식 [eqn: cos`nx=sinx]의 서로 다른 실근의 개수를 수열 [eqn: {left{}a _{n} {right}}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, 다음을 구하시오. (단, [eqn: 0{le}x{le}{2pi}]) [8.0점]

(1) [eqn: a_1 =2`,```a_2`=3`,``a_3`=6`,``a_4`=7] (2) [eqn: 10050]

(1)

(i) [eqn: n=1`]일 때

[eqn: cosx = sinx`]의 교점의 개수는 [eqn: 2]개다.

[eqn: therefore```a_1 =2]

(ii) [eqn: n=2`]일 때

[eqn: cos2x=sinx`]에서 [eqn: y=cos2x`]의 주기는 [eqn: pi`]이고 그래프에서 두 곡선의 교점의 개수는 [eqn: 3]개다.

[eqn: THEREFORE ```a _{2} =3]

(ii) [eqn: n=3`]일 때

[eqn: cos3x=sinx`]에서 [eqn: y=cos3x`]의 주기는 [eqn: 2 over3 pi `]이고 그래프에서 두 곡선의 교점의 개수는 [eqn: 6]개다.

[eqn: THEREFORE ```a _{3} =6]

(ii) [eqn: n=4`]일 때

[eqn: cos4x=sinx`]에서 [eqn: y=cos4x`]의 주기는 [eqn: {1} over {2} pi `]이고 그래프에서 두 곡선의 교점의 개수는 [eqn: 7]개다.

[eqn: THEREFORE ```a _{4} =7]

(2)

(i) [eqn: n`]이 홀수일 때

[eqn: a_1 =2`,````a_3`=6`,``a_5`=10`,``cdots]

[eqn: y=cosnx`]의 대칭성을 이용하여 규칙을 찾으면

[eqn: a_n`=2n`]

따라서 [eqn: a_2k-1`=4k-2````(k`]는 자연수)

(ii) [eqn: n`]이 짝수일 때

[eqn: a_2`=3`,````a_4`=7`,```a_6`=11`,``cdots`]

[eqn: y=cosnx`]의 그래프는 [eqn: x= pi over2`]와 [eqn: x = 3over2 pi`]에서 [eqn: n`]의 값에 따라 번 갈아가면서 [eqn: y=sinx`]와 접하게 된다. 즉 그 점에서 교점이 [eqn: 1`]개씩 생기고 전체에서는 [eqn: 1`]개가 줄어든다.

따라서 [eqn: a_n`=2n-1]

[eqn: a _{2k} `=4k-1]

그러므로 [eqn: S_100 = sum _{ k=1} ^{ 50}`(a_2k-1 + a_2k`) =sum _{ k=1} ^{ 50}`(8k-3) = 10050]

(1) [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}], [eqn: a _{4}]의 값을 구하시오. [2.0점]

(2) [eqn: S _{100}]의 값을 구하시오. [6.0점]

수학적 귀납법(step1)

11.

등차수열의 귀납적 정의

수열 [eqn: left{ a_n right}]이 귀납적으로 [eqn: a_1 = 10], [eqn: a_2 = 7],
[eqn: a_n+2 - a_n+1 = a_n+1 - a_n] ([eqn: n = 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots])와 같이 정의 될 때, [eqn: a_6]의 값은?

①

[eqn: a_n]은 등차수열이므로 [eqn: a _1 = 10], [eqn: d = a_2 - a_1 = -3]이다.

따라서 [eqn: a _6 = 10 + 5 times (-3) = -5]

[[eqn: 4.6]점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]
④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

등비수열의 귀납적 정의

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]이 귀납적으로

⑤

[eqn: a_n`]이 등비중항을 만족하므로 등비수열이다.

[eqn: a _{n} =6 TIMES LEFT (- {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} ``a _{k} `=6 CDOT {1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{10}} over {1+ {1} over {3}} = {9} over {2} LEFT { 1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{10} RIGHT }]

[eqn: a _{1} =6`,`````a _{2} = it -2`,````` {a _{n+1}} over {a _{n}} = {a _{n+2}} over {a _{n+1}} ``(n=1`,``2`,``3`,` CDOTS `)]

와 같이 정의될 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{10 }``a_k`]의 값은? [3.9점]

① [eqn: 1 over 2 left(1 - 1 over{3^10} right)]	② [eqn: 3 over 2 left(1 - 1 over{3^10} right)]	③ [eqn: 5 over 2 left(1 - 1 over{3^10} right)]④ [eqn: 7 over 2 left(1 - 1 over{3^10} right)]	⑤ [eqn: 9 over 2 left(1 - 1 over{3^10} right)]

여러가지 수열의 귀납적 정의

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항이 [eqn: a _{n} = {4} over {n}]일 때, [eqn: a _{3}]의 값은? [[eqn: 3.4]점]

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {4} over {5}]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: 2]

④

[eqn: a _{3} = {4} over {3}]

수열 [eqn: left { a_n right }]은 [eqn: a_1 =3]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_2n-1 +a_2n = 2a_n -1]
을 만족시킨다. [eqn: a_1 +a_2 +a_3 +a_4]의 값은? [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 8]

⑤

[eqn: a_1 +a_2 =2a_1 -1], [eqn: a_3 +a_4 =2a_2 -1]

[eqn: a_1 +a_2 +a_3 +a_4][eqn: =2(a_1 +a_2 )-2][eqn: =2(2a_1 -1)-2]
[eqn: =4a_1 -4=12-4=8]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]이 [eqn: a _{1} =5``], [eqn: a _{n+1} =a _{n} +2`n```(n=1,2,3 CDOTS )``]으로 정의될 때, [eqn: a _{7} -a _{2}``]의 값은? [4.2점]

⑤

주어진 관계식 [eqn: a _{n+1} =a _{n} +2`n```(n=1,2,3 CDOTS )``]에 의하여

[eqn: a_3 =a_2 +4``]

[eqn: a_4 =a_3 +6 ``]

[eqn: a_5 =a_4 +8``]

[eqn: a_6 =a_5 +10``]

[eqn: a_7 = a_6 +12``]

변변 더해서 정리하면

[eqn: a_7 = a_2 +4+6+8+10+12``]이므로 [eqn: a _{7} -a _{2}`=`40``]이다.

① [eqn: 24``]	② [eqn: 28``]	③ [eqn: 32``]
④ [eqn: 36``]	⑤ [eqn: 40``]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{1} =21,````a _{n+1} = {1} over {3} a _{n} +2]를 만족시킬 때, [eqn: a _{4}]의 값은? [3.3점]

① [eqn: {10} over {3}]	② [eqn: {11} over {3}]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: {13} over {3}]	⑤ [eqn: {14} over {3}]

②

[eqn: a _{2} = {1} over {3} 21+2=9,````a _{3} = {1} over {3} 9+2=5,````a _{3} = {1} over {3} 5+2= {11} over {3}]

첫째항이 [eqn: 3]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: {cases{a _{n+2} -2a _{n+1} +a _{n} =0&#a _{n+4} -a _{n} =16&}}]을 만족시킬 때 [eqn: a _{15}]의 값은? [4.8점]

②

[eqn: a_n+2 +a_n =2a_n+1]이므로 [eqn: a_n]은 등차수열

[eqn: a_n+4 -a_n =16]

[eqn: THEREFORE `d= {16} over {4} =4]

[eqn: THEREFORE `a _{15`} =3+14 TIMES 4=59]

① [eqn: 55]	② [eqn: 59]	③ [eqn: 63]

④ [eqn: 67]	⑤ [eqn: 71]

같은 수가 반복되는 수열

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{1} =5`,```a _{n+1} TIMESa_n =5~ LEFT ( n=1,`2,`3,` CDOTS RIGHT )] 로 정의될 때, [eqn: a _{7}]의 값은? [3.7점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

⑤

[eqn: a _{n+1} = {5} over {a _{n}}], [eqn: a _{2} =1`,```a _{3} =5,```a _{4} =1,```a _{5} =5,`````a _{6} =1,````a _{7} =5]

귀납적 정의의 도형의 활용

그림과 같이 성냥개비를 사용하여 도형을 만들려고 한다.

③

[eqn: a_n+1 = a_n + 2(n+2)]

[eqn: therefore````][eqn: f(n)=2n+4]

[eqn: f(10)=24]

[[eqn: n] 단계]의 도형을 만드는 데 필요한 성냥개비의 개수를 [eqn: a _{n}]이라고 하고, [eqn: a _{n}]과 [eqn: a _{n+1}] 사이의 관계식을 [eqn: a _{n+1} =a _{n} +f(n)]라 할 때, [eqn: f(10)]의 값은? (단, [eqn: f(n)]은 [eqn: n]에 관한 일차식이다.) [4.4점]

① [eqn: 20]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 28]

귀납적 정의의 실생활에서의 활용

어떤 공장의 기름 탱크에 [eqn: 2000L]의 기름이 들어 있다. 공장에서는 매일 하루 동안 기름 탱크에 들어 있는 기름의 양의 [eqn: {1} over {4}]을 사용한 후 그날의 작업이 끝나면 [eqn: 200L]의 기름을 보충한다. 하루 공장 가동이 끝난 후 기름 탱크에 들어 있는 기름의 양을 기록한다고 한다. [eqn: n]번째 날 기록한 기름의 양을 [eqn: a _{n}]이라고 할 때, [eqn: a _{2}]의 값은? [4.9점]

⑤

[eqn: a _{1} =2000 TIMES {3} over {4} +200=1700&#THEREFORE `a _{2} =1700 TIMES {3} over {4} TIMES 200=1475&}}]

① [eqn: 1275]	② [eqn: 1325]	③ [eqn: 1375]

④ [eqn: 1425]	⑤ [eqn: 1475]

수학적 귀납법

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 등식 [eqn: left(★right)]이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다.

⑤

(우변)[eqn: = left{ 1 over 2 times 1 times 2 right}^2 = 1]

[eqn: 1^3 + 2^3 +3^3 + cdots + k^3 = left{ 1 over2 k (k+1) right}^2]의 양변에 [eqn: box{~(k+1)^3~]을 더하면

[eqn: 1^3 + 2^3 +3^3 + cdots + k^3 + box{~ (k+1)^3 ~]

[eqn: = left{ 1 over2 k (k+1) right}^2 + box{~(k+1)^3~]

[eqn: = box{ ~left{ 1 over2 (k+1)(k+2) right}^2~]

따라서 [eqn: p=1], [eqn: f(k) = (k+1)^3], [eqn: g(k) = left{ 1over2 (k+1)(k+2) right} ^2]

[eqn: p+ f(1) + g(1) = 9]

[eqn: 1^3 + 2^3 + 3^3 + cdots + n^3 = left{ 1over2 n(n+1) right}^2]	[eqn: cdotscdots] [eqn: left( ★ right)]

[eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: =1], (우변)[eqn: = box{~~㈎~~}]이므로 등식 [eqn: left( ★ right)]이 성립한다.

[eqn: n= k]일 때, 등식 [eqn: left( ★ right)]이 성립한다고 가정하면,

[eqn: 1^3 + 2^3 +3^3 + cdots + k^3 = left{ 1 over2 k (k+1) right}^2][eqn: cdotscdots] [eqn: left(♥ right)]

이다. 등식 [eqn: left(♥ right)]의 양변에 [eqn: box{~~㈏~~}]를 더하면

[eqn: 1^3 + 2^3 +3^3 + cdots + k^3 + box{~~㈏~~]

[eqn: = left{ 1 over2 k (k+1) right}^2 + box{~~㈏~~}]

[eqn: = box{~~㈐~~}]

즉, [eqn: n= k+1]일 때에도 등식 [eqn: left( ★ right)]이 성립한다.

따라서 등식 [eqn: left( ★ right)]은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나)에 알맞은 식을 [eqn: f(k)], (다)에 알맞은 식을 [eqn: g(k)]라고 할 때, [eqn: p+f(1) + g(1)]의 값은?

[[eqn: 3.9]점]

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]
④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

④

(i) [eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: = {sqrt2 - sqrt1} over sqrt2], (우변)[eqn: =1 - 1 oversqrt2]

이므로 (*)이 성립한다.

(ii) [eqn: n= m]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum_k=1^m {sqrtk+1 - sqrtk } over sqrtk(k+1) = 1 - 1 over sqrtm+1]

이다. [eqn: n= m+1]일 때,

[eqn: sum_k=1^m+1 {sqrtk+1 - sqrtk } over sqrtk(k+1)]

[eqn: = sum_k=1^m {sqrtk+1 - sqrtk } over sqrtk(k+1) + { {sqrt m+2} - sqrt{m+1}} over {sqrt box{(m+1)(m+2)}]

[eqn: = 1 - 1 over sqrtm+1 + { {sqrt m+2} - sqrt{m+1}} over {sqrt box{(m+1)(m+2)}]

[eqn: = 1 - 1 over sqrtm+1 + 1over sqrtm+1 - 1 over sqrtm+2]

[eqn: = 1 - 1over{ sqrt{box{m+2}]

이다. 따라서 [eqn: n= m +1]일 때도 (*)이 성립한다.

(i), (ii)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum_ k=1^n { sqrtk+1 - sqrtk } over{sqrtk(k+1)} = 1 - 1oversqrtn+1]

이다. 따라서 [eqn: f(m) = (m+1)(m+2)], [eqn: g(m) = m+2]

[eqn: THEREFOREf(1) + g(2) = 10]

[eqn: sum_ k=1 ^n { sqrtk+1 - sqrtk } over{sqrtk(k+1)} = 1 - 1oversqrtn+1`]	[eqn: cdots] (*)

임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

[증명]

(i) [eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: = {sqrt2 - sqrt1} over sqrt2], (우변)[eqn: =1 - 1 oversqrt2]

이므로 (*)이 성립한다.

(ii) [eqn: n= m]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum_k=1 ^m {sqrtk+1 - sqrtk } over sqrtk(k+1) = 1 - 1 over sqrtm+1`]

이다. [eqn: n= m+1]일 때,

[eqn: sum_k=1 ^m+1 {sqrtk+1 - sqrtk } over sqrtk(k+1) `]

[eqn: = 1 - 1 over sqrtm+1 + {sqrtm+2 - sqrtm+1} over sqrt {box {~~㈎~~]

[eqn: = 1 - 1over{ sqrt{box{~~㈏~~}]

이다. 따라서 [eqn: n= m +1]일 때도 (*)이 성립한다.

(i), (ii)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum _ k=1^n { sqrtk+1 - sqrtk } over{sqrtk(k+1)} = 1 - 1oversqrtn+1`]

이다.

위의 ㈎, ㈏에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)], [eqn: g(m)]이라 할 때, [eqn: f(1) + g(2)]의 값은?

[[eqn: 4.8]점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: {1} over {1 TIMES 3} + {1} over {3 TIMES 5} + {1} over {5 TIMES 7} +` CDOTS `+ {1} over {LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} = {n} over {2n+1}]이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

④

[eqn: f LEFT ( k RIGHT )], [eqn: g LEFT ( k RIGHT )], [eqn: h LEFT ( k RIGHT )]라 할 때,
[eqn: {g(11) TIMES h(11)} over {f(11)}]

[eqn: f LEFT ( k RIGHT ) = {1} over {LEFT ( 2k+1 RIGHT ) LEFT ( 2k+3 RIGHT )}]

[eqn: g LEFT ( k RIGHT ) = {k} over {2k+1}]
[eqn: h LEFT ( k RIGHT ) =][eqn: {k} over {2k+1}][eqn: +][eqn: {1} over {LEFT ( 2k+1 RIGHT ) LEFT ( 2k+3 RIGHT )}] [eqn: = {k+1} over {2k+3}]

이므로
[eqn: {g(11) TIMES h(11)} over {f(11)} = {{11} over {23} TIMES {12} over { 25}} over {{1} over {23 TIMES 25}}] [eqn: =11 TIMES 12=132]

[증명]

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때
(좌변)[eqn: = {1} over {1 TIMES 3} = {1} over {3}], (우변)[eqn: = {1} over {2+1} = {1} over {3}]
따라서 [eqn: n=1`]일 때 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k`]일 때 성립한다고 가정하면
[eqn: {1} over {1 TIMES 3} + {1} over {3 TIMES 5} + {1} over {5 TIMES 7} +` CDOTS `+ {1} over {LEFT ( 2k-1 RIGHT ) LEFT ( 2k+1 RIGHT )} = {k} over {2k+1}]
[eqn: n=k+1`]일 때
[eqn: {1} over {1 TIMES 3} + {1} over {3 TIMES 5} + {1} over {5 TIMES 7} +` CDOTS `]
[eqn: `+ {1} over {LEFT ( 2k-1 RIGHT ) LEFT ( 2k+1 RIGHT )} +][eqn: {BOX{~~~(가)~~~~}} `]
[eqn: = LEFT ( ` {BOX{~~~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~~~}} ` RIGHT ) +][eqn: {BOX{~~~(가)~~~~}} `][eqn: = {BOX{~~~(다)~~~~}} `]

따라서 [eqn: n=k+1`]일 때도 성립한다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: {1} over {1 TIMES 3} + {1} over {3 TIMES 5} + {1} over {5 TIMES 7} +` CDOTS `+ {1} over {LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} = {n} over {2n+1}]이다.

위의 (가),(나),(다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )], [eqn: g LEFT ( k RIGHT )], [eqn: h LEFT ( k RIGHT )]라 할 때,
[eqn: {g(11) TIMES h(11)} over {f(11)}]의값은? [[eqn: 4.9]점]

① [eqn: 99]	② [eqn: 110]	③ [eqn: 121]
④ [eqn: 132]	⑤ [eqn: 143]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 3 ^{2n} -1]이 [eqn: 8]의 배수임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

②

[eqn: 9 TIMES 3 ^{2k} -1=9 LEFT ( 8m+1 RIGHT ) -1=8 LEFT ( 9m+1 RIGHT )]

가:[eqn: 8]

[증명]

([eqn: 1]) [eqn: n=1]일 때 [eqn: 3 ^{2} -1=8]은 [eqn: 8]의 배수이다.

따라서 [eqn: n=1]일 때 [eqn: 3 ^{2n} -1]은 [eqn: 8]의 배수이다.

([eqn: 2]) [eqn: n=k]일 때 [eqn: 3 ^{2n} -1]이 [eqn: 8]의 배수라 가정하면

[eqn: 3 ^{2k} -1=8m] ([eqn: m]은 자연수)

이므로 [eqn: 3 ^{2k} =8m+1]

[eqn: n=k+1]일 때

[eqn: 3 ^{2 LEFT ( k+1 RIGHT )} -1=9 TIMES 3 ^{2k} -1=][eqn: TIMES (9m+1)]

(가)

이므로 [eqn: n=k+1]일 때도 [eqn: 3 ^{2n} -1]은 [eqn: 8]의 배수이다.

([eqn: 1]), ([eqn: 2])에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 3 ^{2n} -1]은 [eqn: 8]의 배수이다.

위의 (가)에 알맞은 값은? [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

수학적 귀납법(step2)

11.

등차수열의 귀납적 정의

첫째항이 [eqn: 1]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

①

[풀이]

[eqn: a _{n} +a _{n+1} =A _{n}]이라 하자

[eqn: A _{n+1} =a _{n+1} +a _{n+2}]

두 식을 빼면

[eqn: a _{n+2} -a _{n} =3]

[eqn: a _{1} ,`a _{3} ,` CDOTS]은 공차가 [eqn: 3]인 등차수열이므로

[eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5} +` CDOTS `+a _{19} = {10 LEFT ( 2+9 TIMES 3 RIGHT )} over {2} =145]

[eqn: a _{2} ,a _{4} , CDOTS]마찬가지로 공차가 [eqn: 3]이고 [eqn: a _{20} =15]이므로

일반항을 찾아보면

[eqn: a _{2n} =a _{2} + LEFT ( n-1 RIGHT ) 3]

[eqn: n=10]을 대입해 보면

[eqn: a _{20} =a _{2} +27=15]에서

[eqn: a _{2} =-12]

[eqn: a _{2} +a _{4} +` CDOTS `+`a _{20} = {10 LEFT ( -24+9 TIMES 3 RIGHT )} over {2} =15]

[eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{k} =145+15=160]

(가) 수열 [eqn: LEFT { a _{n} +a _{n+1} RIGHT }]은 공차가 [eqn: 3]인 등차수열이다.

(나) [eqn: a _{20} =15]

[eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{k}]의 값은? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 160]	② [eqn: 170]	③ [eqn: 180]

④ [eqn: 190]	⑤ [eqn: 200]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} =50]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT ( a _{n+1} RIGHT ) ^{3} - LEFT ( a _{n} RIGHT ) ^{3} =3`a _{n+1} `a _{n} LEFT ( a _{n+1} -a _{n} RIGHT ) -27]
이 성립할 때, [eqn: a _{16}]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 1]

①

[eqn: LEFT ( a _{n+1} RIGHT ) ^{3} - LEFT ( a _{n} RIGHT ) ^{3} =3`a _{n+1} `a _{n} LEFT ( a _{n+1} -a _{n} RIGHT ) -27]

[eqn: LEFT ( a _{n+1} RIGHT ) ^{3} -3 LEFT ( a _{n+1} RIGHT ) ^{2} a _{n} +3a _{n+1} LEFT ( a _{n} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( a _{n} RIGHT ) ^{3} =-27]

[eqn: LEFT ( a _{n+1} -a _{n} RIGHT ) ^{3} = LEFT ( -3 RIGHT ) ^{3}]

[eqn: a _{n+1} -a _{n} =-3]

[eqn: a _{n}]은 첫째항이 [eqn: 50], 공차가 [eqn: -3]인 등차수열

[eqn: a _{16} =50+ LEFT ( 16-1 RIGHT ) TIMES LEFT ( -3 RIGHT ) =5]

등비수열의 귀납적 정의

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{ a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

②

[eqn: left{a_n+1 right}^2 = a_n+2 cdota_n]에서 수열 [eqn: left{ a_n right}]은 등비수열이다.

[eqn: log_3` a_5 = 4 over3], [eqn: a_5 = 3^{4over3} = 3 r^4]

[eqn: THEREFORE r^4 = 3^{1over3}]

[eqn: THEREFORE a_13 = 3 times r^12 = 3 times left(r^4 right) ^3 = 3 times left( 3^{1over3} right)^3 = 9]

[eqn: a_1 = 3], [eqn: a_n+1 `^2 = a_n+2 cdota_n]

을 만족시킨다. [eqn: log_3 `a_5 = 4 over3]일 때, [eqn: a_13]의 값은?

[[eqn: 4.7]점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

여러가지 수열의 귀납적 정의

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: a _{1} =1]이고 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여	[eqn: a _{n+1} =a _{n} +2n-1]
을 만족시킬 때, [eqn: a _{5}]의 값은? [[eqn: 3.7]점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]
④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

④

[eqn: a _{2} =a _{1} +2 TIMES 1-1]

[eqn: a _{3} =a _{2} +2 TIMES 2-1]

[eqn: VDOTS]

[eqn: a _{n} =a _{n-1} +2 LEFT ( n-1 RIGHT ) -1]

각 변을 더하여 정리하면

[eqn: a _{n} =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( 2k-1 RIGHT )]

[eqn: =n ^{2} -2n+2]

[eqn: a _{5} =17]

수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]에 대하여	[eqn: a _{1} =-1], [eqn: a _{n+1} =(n+1)a _{n} +3`` it (단,~n=1,~2,~3,~ CDOTS it )] 일 때, [eqn: a _{3} +a _{4}]의 값은? [[eqn: 4.2]점]

③

[eqn: a _{1} =-1], [eqn: a _{n+1} =(n+1)a _{n} +3`` it]에서

[eqn: a _{2} =2 TIMES (-1)+3`` it =1]

[eqn: a _{3} =3 TIMES 1+3`` it =6]

[eqn: a _{4} =4 TIMES 6+3`` it =27]이므로

[eqn: a _{3} +a _{4} =33]

① [eqn: 27]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 33]
④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 39]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]이 [eqn: a _{1} =2,`a _{2} =8``]이고 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여

③

[eqn: a _{1} =2,`a _{2} =8``]이고 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: a_{n+2} = 3n+4 over 3n-2`a _{n}``]에서

[eqn: a_8`=` 22over16 times a_6 `=` 22over16 times 16over10 times a_4`=` 22over16 times 16over10 times 10over4 times a_2`=` 44``]

[eqn: a_7`=` 19over13 times a_5 `=` 19over13 times 13over7 times a_3`=` 19over13 times 13over7 times 7over1 times a_1`=` 38``]

이므로 [eqn: {a _{8}} over {a _{7}}`=` 22 over19 ``]이다.

[eqn: (3n-2)`a _{n+2} =(3n+4)`a _{n}``]

을 만족시킬 때, [eqn: {a _{8}} over {a _{7}}``]의 값은? [5.1점]

① [eqn: {20} over {19}``]	② [eqn: {21} over {19}``]	③ [eqn: {22} over {19}``]

④ [eqn: {23} over {19}``]	⑤ [eqn: {24} over {19}``]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} +a _{n+1} =2n-1]을 만족시킨다. [eqn: a _{3} -a _{4} =3]일 때, [eqn: a _{6}]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [5.0점]

[eqn: a _{6} =3]

[eqn: a _{n} +a _{n+1} =2n-1]

① [eqn: n=3]

[eqn: a _{3} +a _{4} =5]

[eqn: a _{3} -a _{4} =3]

[eqn: THEREFOREa _{3} =4,`a _{4} =1]

② [eqn: n=4]

[eqn: a _{4} +a _{5} =7,`a _{5} =6]

③ [eqn: n=5]

[eqn: a _{5} +a _{6} =9]

[eqn: THEREFOREa _{6} =3]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a _{5}]가 될 수 있는 모든 수의 합은? [[eqn: 5.5]점]

①

(나)조건에 의해 [eqn: a_k - a_k+1 =12](단, 어떤 [eqn: k]에 대해서 성립)

(가)조건에 의해 [eqn: a_k + a_k+1 =4k]

(가)와 (나)를 연립하면 [eqn: 2a_k = 4k+12]이므로 [eqn: a_k = 2k+6]

[eqn: a_k+1 = 4k -(2k+6) = 2k -6]의 결과식에서

[eqn: k]는 홀수이거나 짝수이다.

[eqn: rm i)] [eqn: k]가 홀수이면

[eqn: k= 2m-1]에서 [eqn: a_2m-1 = 4m +4]

즉 홀수항끼리는 [eqn: 4]씩 증가함을 알 수 있다.

그런데 (가)조건에 의해 홀수항 간이나 짝수항 간에는

공차가 [eqn: 4]인 등차수열이 형성되므로

[eqn: a_5]의 값은 [eqn: m=3]일 때 [eqn: 16]이 된다.

또한 [eqn: m`]이 [eqn: 3]이 아니여도 [eqn: a_5]는 [eqn: 16]이 될 수 밖에 없다.

[eqn: rm ii)] [eqn: k]가 짝수이면

[eqn: k=2m]에서 [eqn: a_2m = 4m +6]

어떤 짝수항은 [eqn: 10]에서 [eqn: 4]씩 증가하는 값을 갖게 되고

(가)조건에 의해 모든 짝수항은 공차가 [eqn: 4]인 등차수열이다.

그러므로 [eqn: m=2]일 때 [eqn: a_4 =14]이고

(가)조건에서 [eqn: a_4 + a_5 =16]이므로 [eqn: a_5 =2]이다.

이상 [eqn: a_5]가 될 수 있는 모든 수의 합은 [eqn: 16+2 = 18]이다.

(가) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} +a _{n+1} =4n]

(나) 어떤 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a _{k} -a _{k+1} =12]

① [eqn: 18]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 22]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 26]

수열 [eqn: left{ a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 381]

[풀이]

[eqn: a_21 = a_10 + 2 = (a_5 - 2 )+ 2 = a_5 =a_2 + 2 = (a_1 - 2) + 2 = a_1], [eqn: THEREFORE ~a _{1} = 3]

[eqn: a_{2n} + a_{2n+1} = (a_n -2) + (a_n +2) = 2a_n]에서	[eqn: sum_k=2^2n+1 a_k = sum_{k=1}^{n}(a_2k +a_{2k+1})=2sum_k=1^n a_k]

[eqn: a_2 + a_3 = 2a_1 = 6],

[eqn: sum_k=2^7 a_k =2sum_k=1^3 a_k = 2left(a_1 + sum_k=2^3 a_k right) = 2(3+6)=18]

[eqn: sum _{k=2} ^{15} a _{k} =2 sum _{k=1} ^{7} a _{k} =2 LEFT ( a _{1} + sum _{k=2} ^{7} a _{k} RIGHT ) =2(3+18)=42]

[eqn: sum _{k=2} ^{31} a _{k} =2 sum _{k=1} ^{15} a _{k} =2 LEFT ( a _{1} + sum _{k=2} ^{15} a _{k} RIGHT ) =2(3+42)=90]

[eqn: sum _{k=2} ^{63} a _{k} =2 sum _{k=1} ^{31} a _{k} =2 LEFT ( a _{1} + sum _{k=2} ^{31} a _{k} RIGHT ) =2(3+90)=186]

[eqn: sum _{k=2} ^{127} a _{k} =2 sum _{k=1} ^{63} a _{k} =2 LEFT ( a _{1} + sum _{k=2} ^{63} a _{k} RIGHT ) =2(3+186)=378]

[eqn: therefore ~ sum _{k=1} ^{137} a _{k} =a _{1} + sum _{k=2} ^{137} a _{k} =3+378=381]

(가) [eqn: a_2n = a_n -2]

(나) [eqn: a_2n+1 = a_n +2]

[eqn: a_21 =3]일 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{127 } a_n]의 값을 구하고, 그 과정을 작성하시오.[7.0점]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

①

[eqn: {cases{eqalign{a _{3n-1} `=2a _{n} +1# # a _{3n} `=-a _{n} +2}&eqalign{# }#eqalign{# a _{3n+1} `=`a _{n} +1}&}}]

[eqn: a _{1} =1,`a _{2} =3`,`a _{3} =1,`a _{4} =2]

[eqn: a _{3n-1} +a _{3n} +a _{3n+1} =`2a _{n} +4]

[eqn: sum _{k=2} ^{13} `a _{k} =`(a _{2} +a _{3} +a _{4} )+(a _{5} +a _{6} +a _{7} )+` CDOTS `+(a _{11} +a _{12} +a _{13} )]

[eqn: =(2a _{1} +4)+(2a _{2} +4)+(2a _{3} +4)+(2a _{4} +4)]

[eqn: =2(a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} )+16]

[eqn: =30]

[eqn: {cases{eqalign{a _{3n-1} `=2a _{n} +1# # a _{3n} `=-a _{n} +2}&eqalign{# }#eqalign{# a _{3n+1} `=`a _{n} +1}&}}]

을 만족시킨다. [eqn: sum _{k=2} ^{13} `a _{k}]의 값은? [[eqn: 5.0]점]

① [eqn: 30]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 22]

수열 [eqn: left{ a_n right}]은 [eqn: a_4 = 2]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

②

[eqn: a_3 >0]일 때, [eqn: 2 = a_3 - 6+1], [eqn: a _3 = 7]

[eqn: a_3 le 0]일 때, [eqn: 2 = a_3 +6-1], [eqn: a_3 = -3]

1) [eqn: a_3 = 7]인 경우

[eqn: a_2 >0]일 때, [eqn: 7 = a_2 -4 + 1], [eqn: a_2 = 10]

[eqn: a_2 le 0]일 때, [eqn: 7 = a_2 +4 -1], [eqn: a_2 = 4] ([eqn: a_2 le 0]이므로 모순)

2) [eqn: a_3 = -3]인 경우

[eqn: a_2 >0]일 때, [eqn: -3 = a_2 -4+1], [eqn: a_2 = 0] ([eqn: a_2 >0]이므로 모순)

[eqn: a_2 le 0]일 때, [eqn: -3 = a_2 +4 -1], [eqn: a _2 = -6]

따라서 모든 [eqn: a_2]의 값은 [eqn: 10], [eqn: -6]이고 그 합은 [eqn: 4]이다.

[eqn: a_n+1 = cases{ a_n - 2n+1 & ( a_n >0)#a_n +2n-1~~ &(a_n le 0)]

을 만족시킨다. 모든 [eqn: a_2]의 값의 합은?

[[eqn: 4.9]점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+1} = {cases{-a _{n}``&```(a _{n} <0)#a _{n} -2&```(a _{n} GEQ0)}}]을 만족시킨다.
[eqn: 0 PRECa _{1} PREC2]이고 [eqn: sum _{k=1} ^{30} a _{k} = {3} over {2}]일 때, [eqn: a _{1}]의 값은? [5.2점]

④

[eqn: 0<a _{1} <2] 이므로 [eqn: a _{2} =a _{1} -2<0], [eqn: a _{3} =-a _{2} =2-a _{1}]

[eqn: a _{3} >0] 이므로 [eqn: a _{4} =a _{3} -2=-a _{1} <0]

[eqn: THEREFORE `a _{5} =-a _{4} =a _{1} >0]

[eqn: THEREFORE a _{1} =a _{5}]	[eqn: THEREFORE `a _{n} =a _{n+4}]

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} =a _{1} +(a _{1} -2)+(2-a _{1} )-a _{1} =0]

[eqn: THEREFORE ` sum _{k=1} ^{30} ak=a _{1} +a _{2} =a _{1} +a _{1} -2= {3} over {2}]

[eqn: THEREFORE `a _{1} = {7} over {4}]

① [eqn: {11} over {8}]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: {13} over {8}]

④ [eqn: {7} over {4}]	⑤ [eqn: {15} over {8}]

첫째항이 [eqn: {2} over {5}]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+1} = {cases{2a _{n}&(a _{n} LEQ 1)#-a _{n} +2&(a _{n} >1)}}] 을 만족시킨다. [eqn: a _{4} +a _{17}]의 값은? [[eqn: 4.0]점]

③

[풀이]

주어진 조건에 맞게 직접 구해보면

[eqn: a _{1} = {2} over {5}]

[eqn: a _{2} = {4} over {5}]

[eqn: a _{3} = {8} over {5}]

[eqn: a _{4} = {2} over {5}]

주기가 [eqn: 3]임을 알 수 있다.

[eqn: a _{4} +a _{17} =a _{1} +a _{2} = {2} over {5} + {4} over {5} = {8} over {5}]

① [eqn: {4} over {5}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {6} over {5}]

④ [eqn: {7} over {5}]	⑤ [eqn: {8} over {5}]

수열 [eqn: left { a_n right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_n+1 = cases {- 1 over a_n &(a_n >0)#3 left | a_n right |~~ &(a_n le 0)}]
이고, [eqn: a_6 = it - 1 over 9]일 때, [eqn: sum_k=1^35 a_k]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 59]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 53]
④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 47]

①

[eqn: a_6]부터 [eqn: a_1]까지 역으로 계산해봤을 때 각 항은 다음과 같다.

[eqn: a_1]	[eqn: 9]

[eqn: a_2]	[eqn: - 1 over 9]

[eqn: a_3]	[eqn: 1 over 3]

[eqn: a_4]	[eqn: -3]

[eqn: a_5]	[eqn: 9]

[eqn: a_6]	[eqn: - 1 over 9]

따라서 [eqn: 9], [eqn: - 1 over 9], [eqn: 1 over 3], [eqn: -3``]의 네 개의 수가 반복된다.

[eqn: sum_k=1^35 a_k][eqn: =9 LEFT ( 9- {1} over {9} + {1} over {3} -3 RIGHT ) - LEFT ( -3 RIGHT ) =59]

같은 수가 반복되는 수열

수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]의 일반항이 [eqn: a _{n} =]([eqn: 7 ^{n}]을 [eqn: 10]으로 나누었을 때의 나머지) 일 때 [eqn: a _{2023}]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

②

[eqn: a _{1} =7]

[eqn: a _{2} =9]

[eqn: a _{3} =3]

[eqn: a _{4} =1]이므로 네 번마다 순환한다.

[eqn: THEREFORE ~a _{2023} =a _{3} =3]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. 일반항 [eqn: a _{n}]이 [eqn: a _{n} =2cos {n pi } over {6}]일 때, [eqn: a _{4} +S _{30}]의 값은?[[eqn: 4.4]점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]
④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

③

[eqn: a _{n} =2cos {n pi } over {6}]

[eqn: a _{1} =2 TIMES {sqrt {3}} over {2} = sqrt {3}]

[eqn: a _{2} =2 TIMES {1} over {2} =1]

[eqn: a _{3} =2 TIMES 0=0]

[eqn: a _{4} =2 TIMES - {1} over {2} =`-1]

[eqn: a _{5} =2 TIMES - {sqrt {3}} over {2} =- sqrt {3}]

[eqn: a _{6} =2 TIMES -1=-2]

[eqn: a _{7} =2 TIMES - {sqrt {3}} over {2} =`- sqrt {3}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: a _{n}]은 [eqn: cos {n pi } over {6}]의 값에 따라 변하고 주기 [eqn: {2 pi } over {{pi } over {6}} =12]

[eqn: a _{n}]수열 주기 [eqn: 12] [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{12} =0]

[eqn: S _{30} =S _{6} =-2]

[eqn: a _{4} +S _{30} =-3]

[eqn: a_n]과 [eqn: S_n]의 관계

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left {a_n right }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라고 하자. [eqn: S_n]이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: a_1 + sum_k=1^10 a_2k]의 값은? [[eqn: 5.5]점]

① [eqn: 324]	② [eqn: 339]	③ [eqn: 350]
④ [eqn: 369]	⑤ [eqn: 399]

④

[eqn: S_n+1 -S_n =a_n+1]

[eqn: (S_n+1 -S_n )^2 =3(S_n+1 +S_n )]

[eqn: a_n+1`^2 =3(a_n+1 +2S_n )]

[eqn: a_n+1`^2 -3a_n+1 =6S_n]

[eqn: n ge 2]일 때

[eqn: 6S_n -6S_n-1 = 6a_n = a_n+1`^2 -3a_n+1 - (a_n`^2 -3a_n )]

[eqn: a_n+1`^2 -3a_n+1 =a_n`^2 +3a_n]

[eqn: a_n+1`^2 -a_n`^2 =3(a_n+1 +a_n )]

[eqn: a_n+1 -a_n =3] ([eqn: because] 수열 [eqn: left { a_n right }]은 모든 항이 양수, [eqn: a_n+1 + a_n !=0])

[eqn: a_1 =S_1 =9]

[eqn: a_2`^2 -3a_2 = 6S_1 =54]

[eqn: a_2`^2 -3a_2 -54=0], [eqn: (a_2 +6)(a_2 -9)=0]

[eqn: a_2 =9] [eqn: (because~ a_2 >0)]

[eqn: a_1 + sum_k=1^10`a_2k][eqn: = a_1 +(a_2 +a_4 + `cdots`+ a_20 )]
[eqn: = 9+(9+15+21+`cdots`+ 63)]
[eqn: =9+72times 10times 1 over 2][eqn: =9+360=369]

(가) [eqn: S_1 =9]

(나) [eqn: LEFT ( S_n+1 -S_n RIGHT )^2 =3 LEFT ( S_n+1 +S_n RIGHT )][eqn: (n=1,~ 2,~ 3,~ cdots )]

귀납적 정의의 도형의 활용

좌표평면에서 그림과 같이 길이가 [eqn: 1]과 [eqn: 2]인 선분이 교대로 수직으로 만나도록 연결된 경로가 있다. 이 경로를 따라 원점에서 멀어지도록 움직이는 점 [eqn: rm P]의 위치를 나타내는 점 [eqn: rm A_{it n}]을 다음과 같은 규칙으로 정한다.

④

[풀이]

문제의 조건에 맞게 구해보면 [eqn: P]가 움직인 거리를 알아보면

[eqn: A _{1} = {1} over {25}]

[eqn: A _{2} = {3} over {25}]

[eqn: A _{3} = {5} over {25}]

따라서 [eqn: P]가 움직인 거리의 총합은 초항이 [eqn: {1} over {25}]이고 공차가 [eqn: {2} over {25}]인 등차수열이 되므로 [eqn: A _{n}]이 움직인 거리의 총합을 구해보면

[eqn: {n ^{2}} over {25}]임을 알 수 있다.

[eqn: y=2x]위에 위치하려면 [eqn: (1+2)+(1+2)+` CDOTS]와 같이 [eqn: 3]의 배수배만큼 총 길이가 되어야 위에 있을수 있다.

[eqn: {n ^{2}} over {25} =3k]일 때 이므로

[eqn: n ^{2} =3k TIMES 25]에서 두 번째 위치한 점의 좌표를 알아봐야 하므로

[eqn: k=3 TIMES 4]를 대입하면

[eqn: n=30]임을 알 수 있다.

따라서

총이동거리가 [eqn: {30 ^{2}} over {25} =36]이므로 [eqn: 3]이 [eqn: 12]번 나오므로 세로로 [eqn: 2]씩 [eqn: 12]번 움직였으므로 [eqn: y]좌표 [eqn: alpha =24]이다.

(가) [eqn: rm A_0]는 원점이다.

(나) [eqn: n]이 자연수일 때, [eqn: rm A_{it n}]은 점 [eqn: rm A _{it n-1}]에서 점 [eqn: rm P]가 경로를 따라 [eqn: 2n-1 over 25]만큼 이동한 위치에 있는 점이다.

예를 들어 점 [eqn: rm A_2]와 [eqn: rm A_6]의 좌표는 각각 [eqn: left( 4 over 25 , ```` 0 right)], [eqn: left( 1, ```` 11 over 25 right)]이다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: rm A_{it n}]중 직선 [eqn: y=2x] 위에 있는 점을 원점에서 가까운 순서대로 나열할 때, 두 번째 점의 [eqn: y]좌표를 [eqn: alpha]라 하자. [eqn: alpha]의 값은?[4.8점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 28]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: rmP_{it n}`]을 <조건>에 따라 정한다.

예를 들어, 점 [eqn: rmP_4]의 좌표는 [eqn: (1,~-2)]이다. 점 [eqn: rmP_{itn}]의 좌표가 [eqn: (a_n ,~b_n )]일 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{10 } (|`a_k `|-b_k )]의 값은?

① [eqn: 22]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 26]
④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 30]

②

점 [eqn: {rm P} _{it n rm} (a _{n} ,~b _{n} )]이라 하면 (나)에 의해

[eqn: left({a_n + a_n+1 }over2 ,~{b_n + b_n+1 }over2 right) = left({a_n+2 + a_n+3 }over2 ,~{b_n+2 + b_n+3 }over2 right)]

[eqn: a_n+3 =a_n +a_n+1 -a_n+2]

[eqn: b_n+3 =b_n +b_n+1 -b_n+2]

[eqn: a_1 =1 ,~a_2 =-1,~a_3 =-1,~a_4 =1]이므로

[eqn: a_5 =-3 ,~a_6 =3 ,~ a_7 =-5 ,~ a_8 =5 ,~ a_9 =-7,~a_10 =7]

[eqn: b_1 =0,~b_2 =2 ,~b_3 =4 ,~b_4 =-2]이므로

[eqn: b_5 +b_6 =b_7 +b_8 =b_9 +b_10 =2]

[eqn: sum _{ k=1} ^{10 } |`a_k `| = 4times1 + 2 times3+ 2times5 +2times7 =34]

[eqn: sum _{ k=1} ^{10 }b_k = 2times5 =10]

[eqn: therefore] [eqn: sum _{ k=1} ^{10 } (|`a_k `|-b_k ) =34-10=24]

(가) 세 점 [eqn: rmP_1 ,~P_2 ,~P_3]의 좌표는 각각 [eqn: (1,~0)], [eqn: (-1,~2)], [eqn: (-1,~4)]이다.

(나) 선분 [eqn: rmP_{it n} rm P_{it n+1} `]의 중점과 선분 [eqn: rmP_{it n+2} rm P_{it n+3} `]의 중점은
같다.

그림과 같이 [[eqn: 1`]단계]에서 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정삼각형의 각변의 중점을 연결하여 가운데 정삼각형을 잘라낸다. [[eqn: 2]단계]에서 첫 번째 시행에서 남은 [eqn: 3`]개의 정삼각형에서 같은 방법으로 가운데 부분을 잘라낸다. 이와 같은 시행을 반복할 때, [[eqn: n`]단계]까지 잘라낸 정삼각형의 개수를 [eqn: a_n`]이라고 하자. 예를 들어, [eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =4`]이다. [eqn: a_n+1 =pa_n +q`]가 성립할 때, [eqn: 10p+q`]의 값은?
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 상수이다.) [4.4점]

① [eqn: 13]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 29]
④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 33]

④

[[eqn: n`]단계]까지 잘라낸 정삼각형의 개수가 [eqn: a_n`]일 때

[[eqn: n+1]단계]일 때 잘라낸 정삼각형의 개수는

직전까지 잘라낸 개수의 [eqn: 3`]배에 가운데 [eqn: 1`]개를 더한 개수이므로

[eqn: a_n+1 =3 a_n +1]

[eqn: p=3,~q=1]

[eqn: therefore] [eqn: 10p+q=31]

아래 그림과 같이 [[eqn: 1]단계]에서 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형의 각 변의 중점을 연결하여 가운데 정삼각형을 잘라낸다. [[eqn: 2]단계]에서 첫 번째 시행에서 남은 [eqn: 3]개의 정삼각형에서 같은 방법으로 가운데 부분을 잘라낸다. 이와 같은 시행을 반복할 때, [[eqn: n]단계]까지 잘라낸 정삼각형의 개수를 [eqn: a _{n}]이라고 하자. 예를 들어, [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =4], [eqn: a _{3} =13]이다. [eqn: a _{6}]의 값은? [[eqn: 4.7]점]

① [eqn: 40]	② [eqn: 81]	③ [eqn: 121]
④ [eqn: 202]	⑤ [eqn: 364]

⑤

[[eqn: n`]단계]까지 잘라낸 정삼각형의 개수가 [eqn: a_n`]일 때

[[eqn: n+1]단계]일 때 잘라낸 정삼각형의 개수는

직전까지 잘라낸 개수의 [eqn: 3`]배에 가운데 [eqn: 1`]개를 더한 개수이므로

[eqn: a_n+1 =3 a_n +1]을 만족한다.

[eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =4], [eqn: a _{3} =13], [eqn: a _{4} =40], [eqn: a _{5} =121]이므로

[eqn: a _{6} =364]이다.

다음 그림과 같이 야구공을 모양으로 배열할 때, [[eqn: 6]단계]에 있는 야구공의 개수를 구하면? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 57]	② [eqn: 61]	③ [eqn: 70]
④ [eqn: 78]	⑤ [eqn: 85]

③

단계별 공의 개수를 [eqn: a_n`]라 하면

[eqn: a _{1} =1+2 ^{2}]

[eqn: a _{2} =1+2+3 ^{2}]

[eqn: a _{3} =1+2+3+4 ^{2}]이므로

[eqn: a _{6} =1+2+3+4+5+6+7 ^{2} =70]

평면 위에 [eqn: n]개의 원이 있다. 이때 임의의 두 원은 서로 다른 두 점에서 만나고, 어떤 세 개의 원도 한 점에서 만나지 않는다. 이 [eqn: n]개의 원으로 나누어진 영역의 개수를 [eqn: a _{n}]이라고 할 때, [eqn: a _{n} +a _{n+1} =102]를 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은? [[eqn: 3.9]점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

③

풀이)

[eqn: n]개의 원으로 나누어진 영역의 개수는 [eqn: a _{n}]이고 [eqn: n]개의 원에
[eqn: LEFT ( n+1 RIGHT )]번째 원을 그리면 [eqn: LEFT ( n+1 RIGHT )]번째 원은 기존의 [eqn: n]개의 원과
각각 서로 다른 두 점에서 만나므로 [eqn: 2n]개의 영역이 새로 나누어진다.

즉 [eqn: LEFT ( n+1 RIGHT )]개의 원으로 나누어진 영역의 개수는 [eqn: n]개의
원으로 나누어진 영역보다 [eqn: 2n]개가 많으므로
[eqn: a _{n+1} =a _{n} +2n][eqn: LEFT ( n=1,~2,~3,~cdots RIGHT )]

[eqn: a _{1} =2]

[eqn: a _{2} -a _{1} =2TIMES1]

[eqn: a _{3} -a _{2} =2TIMES2]

[eqn: a _{4} -a _{3} =2TIMES3]

[eqn: a _{5} -a _{4} =2 TIMES 4]

[eqn: VDOTS]

[eqn: a _{n-1} -a _{n-2} =2 TIMES ( n-2)]

[eqn: a _{n} -a _{n-1} =2 TIMES (n-1)]

변끼리 더하면 [eqn: a _{n} -a _{1} =n (n-1)] 이다.

[eqn: THEREFORE~ a_n = 2 + n(n-1)]

[eqn: a _{n} +a _{n+1} = 2 + n(n-1)+ 2 + n(n+1) =102] 이므로

[eqn: n = 7] 이다.

수학적 귀납법

[eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =-1], [eqn: a_3 =4]인 수열 [eqn: left{ a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n(n-2) a_n+1 = sum _{ i=1 } ^{ n }a_i]를 만족시킨다. 다음은 [eqn: a_n = 8 over { (n-1)(n-2) }][eqn: (n geq 3)]임을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

②

[풀이]

[eqn: k(k-2)a _{k+1} = sum _{i=1} ^{k} a _{i}]

위의 식에 [eqn: k]대신에 [eqn: k-1]을 대입하면 [eqn: sum _{i=1} ^{k-1} a _{i}]을 의미하므로

가: [eqn: LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k-3 RIGHT )]

[eqn: = a_k + box{ ```` (가)```` }``a_k]에 [eqn: LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k-3 RIGHT )]을 대입해서 정리해보면

[eqn: a _{k} LEFT ( 1+k ^{2} -4k+3 RIGHT ) =a _{k} LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2}]이므로

준식에 [eqn: k]를 대입하면

[eqn: a _{k} = {8} over {(k-1)(k-2)}]

[eqn: a _{k} LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2} = {8 LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2}} over {LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k-2 RIGHT )} = {8 LEFT ( k-2 RIGHT )} over {k-1}]

따라서

나:[eqn: 8 LEFT ( k-2 RIGHT )]

[eqn: a_k+1 = 1 over k(k-2) times { box { ````(나)````} }over k-1 = 8 over { box { ````(다)````}}]식에 나에 [eqn: 8 LEFT ( k-2 RIGHT )]대입해서 정리하면

다:[eqn: k LEFT ( k-1 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( k RIGHT ) = LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k-3 RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( k RIGHT ) =8 LEFT ( k-2 RIGHT )]

[eqn: h LEFT ( k RIGHT ) =k LEFT ( k-1 RIGHT )]

[eqn: {f(10) TIMES g(12)} over {h(8)} = {9 TIMES 7 TIMES 8 TIMES 10} over {8 TIMES 7} =90]

([eqn: rm i]) [eqn: n=3]일 때, [eqn: a_3 =4 = 8 over { (3-1)(3-2) }]이므로 성립한다.

([eqn: rm ii]) [eqn: n=k][eqn: (k geq 3)]일 때, 성립한다고 가정하면

[eqn: a_k = 8 over { (k-1)(k-2) }]이다.

[eqn: k(k-2)a_k+1 = sum _{ i=1 } ^{ k }a_i = a_k + sum _{ i=1 } ^{ k-1 } a_i]

[eqn: = a_k + box{ ```` (가)```` }``a_k]

[eqn: = { box { ````(나) ````} } over k-1]

이다. 그러므로 [eqn: a_k+1 = 1 over k(k-2) times { box { ````(나)````} }over k-1 = 8 over { box { ````(다)````}}]

이다. 따라서 [eqn: n= k+1]일 때 성립한다.

([eqn: rm i]), ([eqn: rm ii])에 의하여 [eqn: n geq 3]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n = 8 over { (n-1)(n-2) }]다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)], [eqn: h(k)]라 할 때, [eqn: { f(10) times g(12) } over h(8)]의 값은?[4.2점]

① [eqn: 78]	② [eqn: 90]	③ [eqn: 102]

④ [eqn: 114]	⑤ [eqn: 126]

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 등식
[eqn: {1} over {2} + {2} over {4} + {3} over {8} +` CDOTS `+ {n} over {2 ^{n}} =2- {n+2} over {2 ^{n}} ` CDOTS] (*)
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.
위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k),`g(k)] 라 할 때, [eqn: 2p+f(2)+g(4)]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

⑤

(가) = [eqn: {3} over {2}]

(나) = [eqn: 2 ^{k+1}]

(다) = [eqn: k+3]

[eqn: 3+8+7=18]

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,

(좌변)[eqn: =][eqn: {1} over {2 ^{1}} = {1} over {2}], (우변)[eqn: =][eqn: 2-`box{```(가)```}]

따라서 [eqn: n=1]일 때 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: {1} over {2} + {2} over {4} + {3} over {8} +` CDOTS `+ {k} over {2 ^{k}} =2- {k+2} over {2 ^{k}}]

양변에 [eqn: {k+1} over {box{```(나)```}}]을 더하면

[eqn: {1} over {2} + {2} over {4} + {3} over {8} +` CDOTS `+ {k} over {2 ^{k}} + {k+1} over {{BOX{```(나)```}}} =2- {k+2} over {2 ^{k}} + {k+1} over {{BOX{```(나)```}}}]

[eqn: =2- {box{```(다)```}} over {box{```(나)```}}]

이다. 따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 (*)이 성립한다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: {1} over {2} + {2} over {4} + {3} over {8} +` CDOTS `+ {n} over {2 ^{n}} =2- {n+2} over {2 ^{n}} `]

이다.

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 등식

⑤

풀이)

(i) [eqn: n=1]일 때,

(좌변)[eqn: =-1 ^{2} =-1],(우변)[eqn: = {-1 TIMES 1 TIMES 2} over {2} =-1]이므로 (*)이 성립한다.

(ii) [eqn: n=k]일 때,

(*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: -1 ^{2} +2 ^{2} -3 ^{2} +4 ^{2} - CDOTS + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k} k ^{2} = {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k} k LEFT ( k+1 RIGHT )} over {2}]이다.

위의 등식의 양변에 [eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k+1} LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2}]을 더하여 정리하면

[eqn: -1 ^{2} +2 ^{2} -3 ^{2} +4 ^{2} - CDOTS + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k+1} LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k} k LEFT ( k+1 RIGHT )} over {2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k+1} LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k} LEFT ( k+1 RIGHT )} over {2} LEFT { k-2 LEFT ( k+1 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k} LEFT ( k+1 RIGHT )} over {2} TIMES LEFT ( {BOX{````-k-2`````}} RIGHT )]

[eqn: = {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k+1} LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( k+2 RIGHT )} over {2}]

그러므로 [eqn: n=k+1]일 때도 (*)이 성립한다.

(i), (ii)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (*)이 성립한다.

따라서 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =-k-2]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT { f(k) RIGHT } ^{2} = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( k+2 RIGHT ) ^{2} = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( k^2 + 4k + 4 )]

[eqn: = LEFT ( {10 TIMES 11 TIMES 21} over {6} + 4times{10 TIMES 11} over {2} +40 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( 385+220+40 RIGHT )]

[eqn: = 645]

[eqn: -1 ^{2} +2 ^{2} -3 ^{2} +4 ^{2} - CDOTS+(-1) ^{n} n ^{2} = {(-1) ^{n} n(n+1)} over {2} ``` CDOTS(*)]

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(k)]라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT { f(k) RIGHT } ^{2}]의 값은? [[eqn: 4.6]점]

(i) [eqn: n=1]일 때,

(좌변)[eqn: =-1 ^{2} =-1], (우변)=[eqn: {-1 TIMES1 TIMES2} over {2} =-1]이므로 (*)이

성립한다.

(ii) [eqn: n=k]일 때,

(*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: -1 ^{2} +2 ^{2} -3 ^{2} +4 ^{2} - CDOTS+(-1) ^{k} k ^{2} = {(-1) ^{k} k(k+1)} over {2}]이다.

위의 등식의 양변에 [eqn: (-1) ^{k+1} (k+1) ^{2}]을 더하여 정리하면

[eqn: -1 ^{2} +2 ^{2} -3 ^{2} +4 ^{2} - CDOTS+(-1) ^{k+1} (k+1) ^{2}]

[eqn: = {(-1) ^{k} k(k+1)} over {2} +{(-1) ^{k+1} (k+1)^2}]

[eqn: = {(-1) ^{k} (k+1)} over {2} TIMES LEFT ( `` {BOX{````` LEFT ( 가 RIGHT ) `````}} `` RIGHT )]

[eqn: = {(-1) ^{k+1} (k+1)(k+2)} over {2}]

그러므로 [eqn: n=k+1]일 때도(*)이 성립한다.

(i), (ii)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (*)이

성립한다.

① [eqn: 605]	② [eqn: 615]	③ [eqn: 625]
④ [eqn: 635]	⑤ [eqn: 645]

다음은 [eqn: n ge2`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: 1+ 1 over2 ^2 + 1 over3^2 + cdots + 1 overn^2 < 2- 1 overn`]	[eqn: cdots(ast)]
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p`], (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k),~g(k)]이라 할 때, [eqn: p+f(1)+g(1)`]의 값은? [4.6점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

③

(ⅰ) [eqn: n=2]일 때
(좌변)[eqn: = box{`1 + 1 over2^2 = 5 over4`}], (우변)[eqn: =2 - 1 over2 = 3 over2]
이므로 [eqn: (ast)]이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k`] [eqn: (k ge2)]일 때, [eqn: (ast)]이 성립한다고 가정하면
[eqn: 1+ 1 over2 ^2 + 1 over3^2 + cdots + 1 overk^2 < 2- 1 overk`]이다.
이 부등식의 양변에 [eqn: box{`1 over(k+1)^2``]을(를) 더하면
[eqn: 1+ 1 over2 ^2 + 1 over3^2 + cdots + 1 overk^2 +box{ 1over(k+1)^2 }``< 2- 1 overk`+box{1over(k+1)^2}``]
이때, [eqn: 2- 1 overk + box{` 1 over(k+1)^2 `}``-box{` left( 2- 1 overk+1 right)`}`` = -1 overk(k+1)^2 `]이고
[eqn: -1 overk(k+1)^2 <0`]이므로
[eqn: 1+ 1 over2 ^2 + 1 over3^2 + cdots + 1 overk^2 +box{` 1 over(k+1)^2 }``< box{` 2- 1 overk+1`}``]이다.
따라서 [eqn: n=k+1`]일 때도 [eqn: (ast)]이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: n ge2`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: 1+ 1 over2 ^2 + 1 over3^2 + cdots + 1 overn^2 < 2- 1 overn`]이 성립한다.

[eqn: p= 5 over4], [eqn: f(k)= 1 over(k+1)^2], [eqn: g(k)= 2- 1 overk+1]

[eqn: f(1)= 1 over4 ,~ g(1)= 2- 1 over2 = 3 over2]

[eqn: therefore] [eqn: p+f(1)+g(1)= 5 over4 + 1 over4 + 3 over2 =3]

(ⅰ) [eqn: n=2]일 때
(좌변)[eqn: = box{~(가)~}`], (우변)[eqn: =2 - 1 over2 = 3 over2]
이므로 [eqn: (ast)]이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k`] [eqn: (k ge2)]일 때, [eqn: (ast)]이 성립한다고 가정하면
[eqn: 1+ 1 over2 ^2 + 1 over3^2 + cdots + 1 overk^2 < 2- 1 overk`]
이다.
이 부등식의 양변에 [eqn: box{~(나)~}``]을(를) 더하면
[eqn: 1+ 1 over2 ^2 + 1 over3^2 + cdots + 1 overk^2 +box{~(나)~}``< 2- 1 overk`+box{~(나)~}``]
이때, [eqn: 2- 1 overk + box{~(나)~}``-box{~(다)~}`` = -1 overk(k+1)^2 `]이고
[eqn: -1 overk(k+1)^2 <0`]이므로
[eqn: 1+ 1 over2 ^2 + 1 over3^2 + cdots + 1 overk^2 +box{~(나)~}``< box{~(다)~}``]이다.
따라서 [eqn: n=k+1`]일 때도 [eqn: (ast)]이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: n ge2`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: 1+ 1 over2 ^2 + 1 over3^2 + cdots + 1 overn^2 < 2- 1 overn`]이 성립한다.

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 3 ^{n} `>`n ^{2} +1` CDOTS `㉠]이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

②

[eqn: =3=p]

(가)

[eqn: =k+1=f(k)]

(나)

[eqn: =(k+1) ^{2} +1=g(k)]

(다)

[eqn: p TIMES {g(6)} over {f(9)} =3 TIMES {50} over {10} =15]

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, (좌변)= , (우변)=[eqn: 2]이므로

(가)

㉠이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: 3 ^{k} `>`k ^{2} +1` CDOTS ㉡]

㉡의 양변에 [eqn: 3]을 곱하면 [eqn: 3 ^{(나)`} `>`3k ^{2} +3]

이 때 [eqn: 3k ^{2} +3=(`다`)`+ LEFT { 2 LEFT ( k- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {1} over {2} RIGHT } `>`]

(다)

즉, [eqn: 3 ^{(나)} `>`3k ^{2} +3`>]이므로

(다)

[eqn: n=k+1]일 때도 ㉠이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ㉠이 성립한다.

위의 [eqn: (가)]에 알맞은 수를 [eqn: p], [eqn: (나),`(다)]에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k),`g(k)]라 할 때, [eqn: p TIMES {g(6)} over {f(9)}]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 24]

[eqn: n ge 5]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 [eqn: 2^n >n^2]이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하시오. [[eqn: 9.0]점]

ⅰ) [eqn: n=5]
[eqn: 2^5 >5^2]임은 자명하다.
ⅱ) [eqn: n ge 6]
[eqn: 2^n >n^2]이라고 가정하자.
[eqn: 2^n+1 > 2n^2],
[eqn: 2n^2 -(n+1)^2 =n^2 -2n-1][eqn: =(n-1)^2 -2>0] ([eqn: n ge 6]인 범위)
[eqn: 2n^2 >(n+1)^2]
[eqn: 2^n+1 >2n^2 >(n+1)^2]이므로
[eqn: 2^n+1 >(n+1)^2]
[eqn: 2^n >n^2]일 때 [eqn: 2^n+1 >(n+1)^2]이므로
수학적 귀납법에 의해 [eqn: n ge 5]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 [eqn: 2^n >n^2]이 성립한다.

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 등식
[eqn: {1} over {1 TIMES 3} + {1} over {3 TIMES 5} + {1} over {5 TIMES 7} + CDOTS + {1} over {LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} = {`n} over {2n+1} ` CDOTS]①
이 성립함을 수학적 귀납법으로 <증명>한 것이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) ,```g LEFT ( k RIGHT ) ,```h LEFT ( k RIGHT )]이라 할 때, [eqn: {f LEFT ( 2 RIGHT ) g LEFT ( 2 RIGHT )} over {h LEFT ( 6 RIGHT )}]의 값은? [5.1점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

①

(가) [eqn: {k} over {2k+1}]

(나) [eqn: LEFT ( 2k+1 RIGHT ) LEFT ( 2k+3 RIGHT )]

[eqn: {k} over {2k+1} + {1} over {LEFT ( 2k+1 RIGHT ) LEFT ( 2k+3 RIGHT )} = {2k ^{2} +3k+1} over {LEFT ( 2k+1 RIGHT ) LEFT ( 2k+3 RIGHT )} = {LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( 2k+1 RIGHT )} over {LEFT ( 2k+1 RIGHT ) LEFT ( 2k+3 RIGHT )} = {k+1} over {2k+3}]

(다) [eqn: k+1]

[eqn: {f LEFT ( 2 RIGHT ) g LEFT ( 2 RIGHT )} over {h LEFT ( 6 RIGHT )} = {{2} over {5} TIMES 5 TIMES 7} over {7} =2]

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n ^{3} +3n ^{2} +2n]이 [eqn: 6]의 배수임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 값을 각각 [eqn: p,``q,``r]라 할 때, [eqn: p-q+r]의 값은? [5.4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

⑤

(가) [eqn: 6]

(나) [eqn: 3]

(다) [eqn: 2]

[eqn: p-q+r=6-3+2=5]

[eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =-1], [eqn: a _{3} =4]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n(n-2)a _{n+1} = sum _{i=1} ^{n} a _{i}]를 만족시킨다. 다음은 [eqn: a _{n} = {8} over {(n-1)(n-2)} `(n GEQ 3)]임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

	| 증 명 |
(ⅰ) [eqn: n=3]일 때, [eqn: a _{3} =4= {8} over {(3-1)(3-2)}]이므로 성립한다. (ⅱ) [eqn: n=k`(k GEQ 3)]일 때, 성립한다고 가정하면 [eqn: a _{k} = {8} over {(k-1)(k-2)}]이다. [eqn: k(k-2)a _{k+1} = sum _{i=1} ^{k} a _{i} =a _{k} + sum _{i=1} ^{k-1} a _{i}] [eqn: =a _{k} +(k-1)(k-3)a _{k}] [eqn: =a _{k} TIMES][eqn: BOX{~(가)~}] [eqn: = {8} over {(k-1)(k-2)} TIMES][eqn: BOX{~(가)~}] [eqn: = {BOX{~(나)~}} over {k-1}] 이다. 그러므로 [eqn: a _{k+1} = {1} over {k(k-2)} TIMES][eqn: {BOX{~(나)~}} over {k-1}][eqn: =][eqn: {8} over {BOX{~(다)~}}] 이다. 따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: n GEQ 3]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} = {8} over {(n-1)(n-2)}]이다.

위의 (가), (나), (다) 에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)`,`g(k),`h(k)]라 할 때, [eqn: {f(12) TIMES g(11)} over {h(10)}]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

⑤

[풀이]

[eqn: k(k-2)a _{k+1} = sum _{i=1} ^{k} a _{i}]

위의 식에 [eqn: k]대신에 [eqn: k-1]을 대입하면 [eqn: sum _{i=1} ^{k-1} a _{i}]을 의미하므로

[eqn: a _{k} LEFT ( 1+k ^{2} -4k+3 RIGHT ) =a _{k} LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2}]이므로

가:[eqn: LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2}]

준식에 [eqn: k]를 대입하면

[eqn: a _{k} = {8} over {(k-1)(k-2)}]

[eqn: a _{k} LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2} = {8 LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2}} over {LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k-2 RIGHT )} = {8 LEFT ( k-2 RIGHT )} over {k-1}]

따라서

나:[eqn: 8 LEFT ( k-2 RIGHT )]

[eqn: a_k+1 = 1 over k(k-2) times { box { ````(나)````} }over k-1 = 8 over { box { ````(다)````}}]식에 나에 [eqn: 8 LEFT ( k-2 RIGHT )]대입해서 정리하면

다:[eqn: k LEFT ( k-1 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( k RIGHT ) = LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: g LEFT ( k RIGHT ) =8 LEFT ( k-2 RIGHT )]

[eqn: h LEFT ( k RIGHT ) =k LEFT ( k-1 RIGHT )]

[eqn: {f(12) TIMES g(11)} over {h(10)} = {10 ^{2} TIMES 72} over {90} =80]

① [eqn: 64]	② [eqn: 68]	③ [eqn: 72]

④ [eqn: 76]	⑤ [eqn: 80]

[eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 [eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {n} > {2n} over {n+1}][eqn: CDOTS ①]
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정을 쓰시오. [[eqn: 5.0]점]

ⅰ) [eqn: n=2]일 때,
(좌변)[eqn: =1+ {1} over {2} = {3} over {2}], (우변)[eqn: = {2 TIMES 2} over {2+1} = {4} over {3}]
이때 [eqn: {3} over {2} > {4} over {3}]이므로 ①이 성립한다.
ⅱ) [eqn: n=k(k GEQ 2)]일 때 ①이 성립한다고 가정하면
[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS {1} over {k} > {2k} over {k+1}]이므로
[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS {1} over {k} + {1} over {k+1} > {2k} over {k+1} + {1} over {k+1} = {2k+1} over {k+1}]
이때 [eqn: k GEQ 2]에서
[eqn: {2k+1} over {k+1} - {2(k+1)} over {k+2} = {(2k+1)(k+2)-2(k+1) ^{2}} over {(k+1)(k+2)}][eqn: = {(2k ^{2} +5k+2)-(2k ^{2} +4k+2)} over {(k+1)(k+2)} = {k} over {(k+1)(k+2)} >0]
즉, [eqn: {2k+1} over {k+1} > {2(k+1)} over {k+2}]이므로
[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS {1} over {k} + {1} over {k+1} > {2(k+1)} over {k+2}]
따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 주어진 부등식 ①이 성립한다.
ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ①이 성립한다.

수열 [eqn: left{a _{n} {right}}]을 [eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{n} {1} over {k}]이라 할 때, 다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 등식	[eqn: a _{1} +2a _{2} +3a _{3} + CDOTS +na _{n} = {n(n+1)} over {4} (2a _{n+1} -1)] [eqn: CDOTS CDOTS (★)]

①

(가) [eqn: 1over2], (나) [eqn: m over 2], (다) [eqn: 1overm+2]

따라서 [eqn: f(m)= m over 2], [eqn: g(m) = 1overm+2]

[eqn: THEREFORE ```f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) CDOT g LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {1} over {10}]

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

[증명]

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,

[eqn: (좌변)=a _{1}], [eqn: (우변)=a _{2} -box{`````(가)`````}=1=a _{1}]

이므로 [eqn: (★)]이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m]일 때, [eqn: (★)]이 성립한다고 가정하면

[eqn: a _{1} +2a _{2} +3a _{3} + CDOTS +ma _{m} = {m(m+1)} over {4} (2a _{m+1} -1)]이다.

[eqn: n=m+1]일 때, [eqn: (★)]이 성립함을 보이자.

[eqn: a _{1} +2a _{2} +3a _{3} + CDOTS +ma _{m} +(m+1)a _{m+1}]

[eqn: = {m(m+1)} over {4} (2a _{m+1} -1)+(m+1)a _{m+1}]

[eqn: =(m+1)a _{m+1} (box{`````(나)`````}+1)- {m(m+1)} over {4}]

[eqn: = {(m+1)(m+2)} over {2} (a _{m+2} -box{`````(다)`````})- {m(m+1)} over {4}]

[eqn: = {(m+1)(m+2)} over {4} (2a _{m+2} -1)]

따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 [eqn: (★)]이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{1} +2a _{2} +3a _{3} + CDOTS +na _{n} = {n(n+1)} over {4} (2a _{n+1} -1)]이 성립한다.

위의 [eqn: (가)]에 알맞은 수를 [eqn: p], [eqn: (나)], [eqn: (다)]에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)], [eqn: g(m)]이라 할 때, [eqn: f(p){times}g(p)]의 값은? [4.7점]

① [eqn: 1over10]	② [eqn: 1over5]	③ [eqn: 3over10]

④ [eqn: 2over5]	⑤ [eqn: 1over2]

다음은 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 등식

②

[eqn: f(k)`=`k`,``]

[eqn: g(k)`=`k`(k+1)`(2`k+1)`,``]

[eqn: h(k)`=` k(k-1)+2`(2`k+1)`=`k^2 +3`k+2`=`(k+1)`(k+2)``]

이므로

[eqn: {g(4)} over {f(3)h(5)}`=` {4 times 5 times 9} over {3times6times7}`=`10over7 ``]이다.

[eqn: sum _{i=1} ^{n} 6i ^{2} (n-i)= {1} over {2} n ^{2} (n ^{2} -1)` CDOTS CDOTS (*)``]이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(i) [eqn: n=1``]일 때, (좌변)[eqn: =0`,``](우변)[eqn: =0``]이므로 (*)이 성립한다.

(ii) [eqn: n=k``]일 때,

(*) 이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{i=1} ^{k} 6i ^{2} (k-i)= {1} over {2} k ^{2} (k ^{2} -1)``]이다.

[eqn: n=k+1``]일 때, (*) 이 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{i=1} ^{k+1} 6i ^{2} LEFT { (k+1)-i RIGHT }``]

[eqn: =` sum _{i=1} ^{{BOX{(가)}}} 6i ^{2} LEFT { (k+1)-i RIGHT } +6(k+1) ^{2} LEFT { (k+1)-(k+1) RIGHT } ``]

[eqn: = {1} over {2} k ^{2} (k ^{2} -1)``][eqn: +``][eqn: {BOX{(나)}}]

[eqn: = {1} over {2} k(k+1)``][eqn: {BOX{(다)}}]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2} LEFT { LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2} -1 RIGHT }``]

그러므로 [eqn: n=k+1``]일 때도 (*) 이 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 (*) 이 성립한다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k),`g(k),`h(k)``]라고 할 때, [eqn: {g(4)} over {f(3)h(5)}``]의 값은? [5.0점]

① [eqn: 1``]	② [eqn: {10} over {7}``]	③ [eqn: {3} over {2}``]

④ [eqn: {11} over {6}``]	⑤ [eqn: 2``]

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2 ^{3n-2} +3 ^{n}]이 [eqn: 5]의 배수임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

⑤

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,

[eqn: 2 ^{3 TIMES 1-2} +3 ^{1} =5]이므로[eqn: 2 ^{3 TIMES 1-2} +3 ^{1}]은 [eqn: 5]의 배수이다.

(ⅰ) [eqn: n=k]일 때, [eqn: 2 ^{3k-2} +3 ^{k}]이 [eqn: 5]의 배수라고 가정하면

자연수 [eqn: N]에 대하여 [eqn: 2 ^{3k-2} `+3 ^{k} =5N]으로 놓을 수 있다.

[eqn: 2 ^{3(k+1)-2} +3 ^{k+1} `]

[eqn: =8(2 ^{3k-2} +3 ^{k} )-5 TIMES 3 ^{k}]

[eqn: =40 TIMES N`-5 TIMES 3 ^{k}]

이때 [eqn: 40 TIMES N] 과 [eqn: 5 TIMES 3 ^{k}]이 모두 [eqn: 5]의 배수이므로

[eqn: 2 ^{3(k+1)-2} +3 ^{k+1} `]도 [eqn: 5]의 배수이다.

(ⅰ),(ⅰ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2 ^{3n-2} +3 ^{n}]은 [eqn: 5]의 배수이다.

(가) [eqn: 5]

(나) [eqn: 40]

(다) [eqn: k] ([eqn: f(k)=k)]

따라서 [eqn: p+q+f(4)=5+40+4=49]

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,

[eqn: 2 ^{3 TIMES 1-2} +3 ^{1} =]이므로[eqn: 2 ^{3 TIMES 1-2} +3 ^{1}]은

(가)

[eqn: 5]의 배수이다.

(ⅰ)[eqn: n=k]일 때, [eqn: 2 ^{3k-2} +3 ^{k}]이 [eqn: 5]의 배수라고 가정하면

자연수 [eqn: N]에 대하여 [eqn: 2 ^{3k-2} `+3 ^{k} =5N]으로 놓을 수 있다.

[eqn: 2 ^{3(k+1)-2} +3 ^{k+1} `=][eqn: TIMES N`-5 TIMES 3 ^{(다)}]

(나)

이때 [eqn: TIMES N] 과 [eqn: 5 TIMES 3 ^{(다)}]이 모두 [eqn: 5]의 배수이므로

(나)

[eqn: 2 ^{3(k+1)-2} +3 ^{k+1} `]도 [eqn: 5]의 배수이다.

(ⅰ),(ⅰ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2 ^{3n-2} +3 ^{n}]은 [eqn: 5]의 배수이다.

위 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p,q]라 하고, (다)에 알맞은 식을 [eqn: f(k)]라 할 때, [eqn: p+q+f(4)]의 값은?[[eqn: 5.0]점]

① [eqn: 45]	② [eqn: 46]	③ [eqn: 47]
④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 49]

다음은 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]이 [eqn: a _{1} =2``], [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n} = {n+1} over {2}` a _{n} ``][eqn: (n GEQ 1)``]으로 정의될 때, 다음은 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]의 일반항이 [eqn: a _{n} =2`n```(n GEQ 1)``]임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

①

[eqn: f(k)`=`k+2 over2 `,``][eqn: g(k)`=` k+1 overk ``]이므로

[eqn: {f(3)} over {g(4)}`=` {5over2} over {5over4} `=`2``]이다.

[증명]

(1) [eqn: n=1``]일 때, [eqn: a _{1} =2=2 TIMES 1``]

(2) [eqn: n=k``]일 때, [eqn: a _{k} =2k``]라 가정하자.

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{k} = {k+1} over {2} a _{k}``] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠``]

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{k+1} =``][eqn: BOX{~(가)~}``][eqn: TIMES a _{k+1}``] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡``]

이므로 [eqn: ㉠`,`㉡``]에서

[eqn: a _{k+1}=``][eqn: BOX{~(나)~}``][eqn: TIMES a _{k} =2(k+1)``]

따라서 (1),(2)에 의하여

모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: a _{n} =2n``]이다.

위의 과정에서 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)``]와 [eqn: g(k)``]라 할 때, [eqn: {f(3)} over {g(4)}``]의 값은? [4.5점]

① [eqn: 2``]	② [eqn: {5} over {2}``]	③ [eqn: 3``]
④ [eqn: {7} over {2}``]	⑤ [eqn: 4``]

다음은 [eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식	[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +` CDOTS + {1} over {n} > {2n} over {n+1}]
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

③

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +` CDOTS + {1} over {k} + {1} over {k+1} > {2k} over {k+1} + {1} over {k+1} = {(가)} over {k+1}]

가: [eqn: 2k+1]

[eqn: {2k+1} over {k+1} - {(나)} over {k+2} = {k} over {LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( k+2 RIGHT )}]

나: [eqn: 2k+2]

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =11], [eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) =10]

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )], [eqn: g LEFT ( k RIGHT )]라 할 때, [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 4 RIGHT )]의 값은? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 106]	② [eqn: 108]	③ [eqn: 110]
④ [eqn: 112]	⑤ [eqn: 114]

[증명]

([eqn: 1]) [eqn: n=2]일 때

(좌변)[eqn: =1+ {1} over {2} = {3} over {2}], (우변)[eqn: = {2 TIMES 2} over {2+1} = {4} over {3}]

따라서 주어진 부등식이 성립한다.

([eqn: 2]) [eqn: n=k] [eqn: LEFT ( k GEQ 2 RIGHT )]일 때 주어진 부등식이 성립한다고
가정하면

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +` CDOTS + {1} over {k} > {2k} over {k+1}]

위의 식의 양변에 [eqn: {1} over {k+1}]을 더하면

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +` CDOTS + {1} over {k} + {1} over {k+1} > { (가) } over {k+1}]

이때 [eqn: {(가)} over {k+1} - {(나)} over {k+2} = {k} over {LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( k+2 RIGHT )} >0]이므로

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +` CDOTS + {1} over {k} + {1} over {k+1} > {2 LEFT ( k+1 RIGHT )} over {k+1}]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 주어진 부등식이 성립한다.

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]에서 [eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진

부등식이 성립한다.

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n^3 + 3n^2 + 2n]은 6의 배수임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (가), (나), (다)에 알맞은 수들을 모두 곱한 값은? [4.5점]

②

(가)는 [eqn: n=1]을 대입하면 [eqn: 6`]

(나)와 다)는 식을 조건에 맞게 정리를 하면

[eqn: (k^3 +3k^2 +2k ) +3 (k+2 )(k+1)]이므로

(나)는 [eqn: 3] (다)는 [eqn: 2]이다.

따라서 [eqn: 6 times 3 times 2 =36]

[eqn: a_n = n^3 + 3n^2 + 2n]이라고 하자.

( i ) [eqn: n=1]이면 [eqn: a_1 =]이므로 6의 배수이다.

(가)

( ii ) [eqn: n=k]일 때 [eqn: a_n]이 6의 배수라고 가정하면

[eqn: (k+1)^3 + 3(k+1)^2 + 2(k+1)]

[eqn: =(k^3 + 3k^2 + 2k) +][eqn: (k+1)(k+][eqn: )]

(나)

(다)

이므로 [eqn: n=k+1]일 때도 [eqn: a_n]은 6의 배수이다.

( i ), ( ii )에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n]은 6의 배수이다.

① [eqn: 34]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 38]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 42]

수학적 귀납법 (step3)

11.

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: P _{n}]은 <조건>에 따라 정해진다.

점 [eqn: P _{n}]의 좌표가 [eqn: LEFT ( 7,```3 ^{7} RIGHT )]일 때, [eqn: n]의 값은? [5.5점]

① [eqn: {3 ^{7} -3} over {2}]	② [eqn: {3 ^{7}} over {2}]	③ [eqn: {3 ^{7} +3} over {2}]
④ [eqn: {3 ^{8} -3} over {2}]	⑤ [eqn: {3 ^{8}} over {2}]

④

[eqn: P _{1} LEFT ( 1,```1 RIGHT ) ,````P _{2} LEFT ( 1,```2 RIGHT ) ,````P _{3} LEFT ( 1,```3 RIGHT ) ,] [eqn: 3]개

[eqn: P _{4} LEFT ( 2,```1 RIGHT ) ,````P _{5} LEFT ( 2,```2 RIGHT ) ,````P _{6} LEFT ( 2,```3 RIGHT ) ,```` CDOTS ,````P _{12} LEFT ( 2,```9 RIGHT ) ,] [eqn: 3 ^{2}]개

[eqn: 3+3 ^{2} + CDOTS +3 ^{7} = {3 LEFT ( 3 ^{7} -1 RIGHT )} over {2} = {3 ^{8} -3} over {2}]

[조 건]

(가) 점 [eqn: P _{1}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,```1 RIGHT )]이다.

(나) 점 [eqn: P _{n}]의 좌표가 [eqn: LEFT ( a,```b RIGHT )]일 때,
[eqn: b<3 ^{a}]이면 점 [eqn: P _{n+1}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( a,```b+1 RIGHT )]이고,

[eqn: b=3 ^{a}]이면 점 [eqn: P _{n+1}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( a+1,```1 RIGHT )]이다.

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정육각형 [eqn: A _{1} B _{1} C _{1} D _{1} E _{1} F _{1}]의 내부에 선분 [eqn: B _{1} E _{1}]위에 중심이 있는 두 원 [eqn: O _{1} `,`O _{1} prime]과 선분 [eqn: B _{1} E _{1}]위에 대각선 [eqn: B _{2} E _{2}]가 있는 정육각형 [eqn: A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} E _{2} F _{2}]를 그리는데, 두 원[eqn: O _{1} `,`O _{1} prime]의 지름의 길이는 선분 [eqn: B _{2} E _{2}]의 길이와 같고, 두 원[eqn: O _{1} `,`O _{1} prime]은 각각 정육각형 [eqn: A _{1} B _{1} C _{1} D _{1} E _{1} F _{1}]의 두 변에 접하고 정육각형 [eqn: A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} E _{2} F _{2}]와 한 점에서 만나도록 그린다. 두 원[eqn: O _{1} `,`O _{1} prime]에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자. 그림 [eqn: R _{1}]에서 정육각형 [eqn: A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} E _{2} F _{2}]의 내부에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 두 원 두 원[eqn: O _{2} `,`O _{2} prime]과 정육각형 [eqn: A _{3} B _{3} C _{3} D _{3} E _{3} F _{3}]을 각각 그리고 두 원[eqn: O _{2} `,`O _{2} prime]에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 모든 부분의 둘레의 길의 합을 [eqn: L _{n}]이라 할 때, [eqn: {L _{4}} over {L _{2}}]의 값은?
(단, [eqn: bar{B _{n} B _{n+1}} < bar{B _{n} E _{n+1}}]이고, 원 [eqn: O _{n}]은 점 [eqn: B _{n+1 _{}}]을 지난다. [[eqn: 4.8]점]

②

[풀이]

[eqn: O _{1}]의 중심을 [eqn: O]라 하자.

[eqn: OH=x]라 하자.

[eqn: ANGLE HB _{1} O=60 DEG]

[eqn: OB _{1} = {2x} over {sqrt {3}}]

[eqn: B _{1} E _{1} =4]이므로

[eqn: {4x} over {sqrt {3}} +4x=4]

[eqn: x= {3- sqrt {3}} over {2}]

정육각형 [eqn: A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} E _{2} F _{2}]에서 한변의 길이가 [eqn: {3- sqrt {3}} over {2}]이므로 이 정육각형에 내접하는 원의 반지름을 구해보면

닮음을 이용하여

[eqn: 2: {3- sqrt {3}} over {2} = {3- sqrt {3}} over {2} :y]

[eqn: y= {6-3 sqrt {3}} over {4}]

반지름의 비를 이 수열의 공비로 생각해보자.

반지름의 비를 구해보면

[eqn: {6-3 sqrt {3}} over {4} DIVIDE {3- sqrt {3}} over {2} = {3- sqrt {3}} over {4}]

둘레의 길이의 합을 알아보면

반지름을 알고 있으므로

[eqn: L _{4} = {a LEFT ( 1-r ^{4} RIGHT )} over {1-r}], [eqn: L _{2} = {a LEFT ( 1-r ^{2} RIGHT )} over {1-r}]로 되므로

[eqn: {L _{4}} over {L _{2}} =1+r ^{2} =1+ LEFT ( {3- sqrt {3}} over {4} RIGHT ) ^{2} = {14-3 sqrt {3}} over {8}]

① [eqn: {27-6 sqrt {3}} over {16}]	② [eqn: {14-3 sqrt {3}} over {8}]	③ [eqn: {29-6 sqrt {3}} over {16}]
④ [eqn: {15-3 sqrt {3}} over {8}]	⑤ [eqn: {31-6 sqrt {3}} over {16}]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: b _{n} =a _{n} +2n+1]이라 하고, 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라 하자. [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이 다음 조건을 만족할 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 양수가 되는 [eqn: n]의 최솟값은?　[5.3점]

①

① 등차수열 [eqn: a_n`]에 대하여 일반항을 [eqn: a _{n} =a+(n-1)d], [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =S _{n`}]라 하자.

[eqn: b _{n} =a _{n} +2n+1]에서 양변에 시그마를 취하면

[eqn: f(n)=S _{n} + sum _{k=1} ^{n} (2k+1)=S _{n} +n(n+2)]

[eqn: f(12)-f(1)=55]

[eqn: S _{12} -S _{1} =-110]

[eqn: {12(2a+11d)} over {2} -a=-110]

[eqn: a+6d=-10]

② [eqn: 1<=k<=4]

[eqn: f(5-k)=f(5+k)]

[eqn: f(1)=f(9)]

[eqn: S _{1} +3=S _{9} +99]

[eqn: THEREFORE2a+9d=-24]

③ [eqn: {cases{a+6d=-10&#2a+9d=-24&}}]

[eqn: a=-18`,~d= {4} over {3}]

④ [eqn: a _{n} =-18+ {4} over {3} (n-1)>0]

[eqn: 4n-58>0]

[eqn: n>14.]xx

[eqn: THEREFORE15]

(가) [eqn: f LEFT ( 12 RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) =55]이다.

(나) [eqn: 1 LEQk LEQ4]인 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 5-k RIGHT ) =f LEFT ( 5+k RIGHT )]이다.

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

첫째항이 [eqn: 2`]인 수열 [eqn: left{a_n right}`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: T_n = sum _{ k=1} ^{n } left( 1 overk - 1 overn+1 right) a_k`]라고 할 때, [eqn: T_n -T_n-1 = a_n over2] [eqn: (n ge2)]를 만족시킨다. 이때, [eqn: a_4`]의 값은? [5.3점]

① [eqn: 1 over6]	② [eqn: 2 over7]	③ [eqn: 1 over3]
④ [eqn: 2 over5]	⑤ [eqn: 3 over5]

④

[eqn: T_n = sum _{ k=1} ^{n } left( 1 overk - 1 overn+1 right) a_k`][eqn: =sum _{ k=1} ^{n } a_k overk - 1 overn+1 S_n][eqn: T_n -T_n-1 = a_n over n - 1 overn+1 S_n + 1 overn S_n-1 = a_n over2] [eqn: (n ge2)]이므로

[eqn: 2(n+1)a_n -2nS_n +2(n+1)S_n-1 =n(n+1)a_n]

[eqn: 2(n+1)a_n -2n(S_n -S_n-1 )+2S_n-1 =n(n+1)a_n]

[eqn: (n^2 +n-2)a_n =2S_n-1]

[eqn: (n-1)(n+2)a_n =2S_n-1] [eqn: (n ge2)]	[eqn: cdots]①

[eqn: n(n+3)a_n+1 =2S_n]	[eqn: cdots]②

②[eqn: -]①하면

[eqn: n(n+3)a_n+1 -(n-1)(n+2)a_n =2a_n]

[eqn: n(n+3)a_n+1 = n(n+1)a_n]

[eqn: a_n+1 = n+1 overn+3 a_n] [eqn: (n ge2)]	[eqn: cdots]③

①에 [eqn: n=2]를 대입하면

[eqn: 4a_2 =2S_1 =2a_1 =4]

[eqn: a_2 =1]

③에서

[eqn: n=2]를 대입하면 [eqn: a_3 = 3 over5 timesa_2 = 3 over 5]

[eqn: n=3`]을 대입하면 [eqn: a_4 = 4 over6 timesa_3 = 2 over5]

물 [eqn: 30 rm L it]가 들어 있는 어느 수족관에 매일 전날의 물의 [eqn: {1} over {3}]을 퍼내고, [eqn: 8 rm L it]의 물을 새로 넣는다. [eqn: n]일 후 수족관에 남아 있는 물의 양을 [eqn: a _{n} rm L it]라 할 때, [eqn: a _{10}]의 값은? [[eqn: 4.6]점]

②

매일 전날 물의 양 중 [eqn: {2} over {3}]가 남고, [eqn: 8 rm L it]의 물을 새로 넣는 과정을 반복하므로

[eqn: a _{n+1} = {2} over {3} a _{n} +8]이 성립한다.

식을 [eqn: a _{n+1} -24= {2} over {3} (a _{n} -24)]로 변형하고

[eqn: a _{n+1} -24=b _{n+1}], [eqn: a _{n} -24=b _{n}]으로 치환하면

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은

첫째항이 [eqn: b _{1} =a _{1} -24=28-24=4], 공비가 [eqn: {2} over {3}]인 등비수열이므로

[eqn: a _{n} -24=b _{n} =4 LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n-1}]이 되므로

[eqn: a _{10} =24+4 LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{9} =4 LEFT { 6+ LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{9} RIGHT }]이다.

① [eqn: 3 LEFT { 5+ LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{10} RIGHT }]	② [eqn: 4 LEFT { 6+ LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{9} RIGHT }]	③ [eqn: 5 LEFT { 7+ LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{9} RIGHT }]
④ [eqn: 6 LEFT { 4+ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{10} RIGHT }]	⑤ [eqn: 8 LEFT { 6+ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{10} RIGHT }]

첫째항이 [eqn: a], 공비가 [eqn: r]인 등비수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]에 대하여 수열 [eqn: left{ b_n right}]을 [eqn: b_n = 1 over 2 + S_n]으로 정의하고, 수열 [eqn: left{ b_n right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: T_n]이라 할 때, 수열 [eqn: left { c_n right}]을 [eqn: c_n = 3 over 4 + T_n]으로 정의하자. 수열 [eqn: left { c_n right}]이 등비수열일 때, [eqn: 2a+r]의 값은?(단, [eqn: a], [eqn: r]은 상수이고, [eqn: r`!= `1], [eqn: ar `!=`0]이다.)[5.1점]

①

[풀이]

[eqn: S _{n} = {a LEFT ( r ^{n} -1 RIGHT )} over {r-1}]

[eqn: b _{n} = {1} over {2} + {a LEFT ( r ^{n} -1 RIGHT )} over {r-1}]

[eqn: T _{n} = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {2} + {a LEFT ( r ^{k} -1 RIGHT )} over {r-1} RIGHT ) = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {2} - {a} over {r-1} RIGHT ) + {a} over {r-1} sum _{k=1} ^{n} r ^{k}]

[eqn: = {1} over {2} n- {an} over {r-1} + {a} over {r-1} TIMES {r LEFT ( r ^{n} -1 RIGHT )} over {r-1}]

[eqn: c _{n} = {3} over {4} +T _{n}][eqn: = {1} over {2} n- {an} over {r-1} + {a} over {r-1} TIMES {r LEFT ( r ^{n} -1 RIGHT )} over {r-1} + {3} over {4}]

[eqn: = {1} over {2} n- {an} over {r-1} + {ar ^{n+1}} over {LEFT ( r-1 RIGHT ) ^{2}} - {r} over {LEFT ( r-1 RIGHT ) ^{2}} + {3} over {4}]

위의 식이 등비수열이 되기 위한 조건을 알아보면 공비와 초항 모양을 제외하고는 없어져야 하므로

[eqn: = LEFT ( {1} over {2} - {a} over {r-1} RIGHT ) n+ {ar ^{n+1}} over {LEFT ( r-1 RIGHT ) ^{2}} - {r} over {LEFT ( r-1 RIGHT ) ^{2}} + {3} over {4}]

에서

[eqn: {1} over {2} - {a} over {r-1} =0]이고 [eqn: {3} over {4} - {r} over {LEFT ( r-1 RIGHT ) ^{2}} =0]이어야 한다.

연립하면

[eqn: {3} over {4} - {r} over {LEFT ( r-1 RIGHT ) ^{2}} =0]을 풀면 [eqn: r=3,` {1} over {3}]

[eqn: r=3]이면 [eqn: a=1],[eqn: r= {1} over {3}]이면 [eqn: a=`- {1} over {3}]

[eqn: 2a+r=2 TIMES 1+3=5]

① [eqn: 5]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 17]

모든 항이 자연수인 수열 [eqn: left{a _{n} {right}}]에 대하여 [eqn: a _{5} =12], [eqn: a _{6} =14]이고 [eqn: a _{1} !=a _{2}]이다. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{2n+2} =a _{2n} +m], [eqn: a _{2n+1} =m{times}a _{2n-1}]을 만족하는 자연수 [eqn: m]이 존재할 때, [eqn: a _{7} +a _{8}]의 값은? [4.9점]

④

[eqn: a _{5} =12=a _{1} TIMES m ^{2} `]에서 [eqn: m=1`]이면 [eqn: a_1 =a_2`=12`]이므로 [eqn: m!=1`]이다.

따라서 [eqn: m=2`,````a_1 =3]

[eqn: a _{6} =14=a _{2} +2m`]에서 [eqn: a_2`=10]

[eqn: a _{7} +a _{8} =24+16=40]

① [eqn: 43]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 41]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 39]

첫째항이 [eqn: a``]([eqn: a<0])이고 공비가 [eqn: r``]([eqn: r<{-1}])인 등비수열 [eqn: left{a _{n} {right}}]에 대하여 수열 [eqn: b _{n} =a _{1} a _{2} a _{3} CDOTS a _{n}]이라 하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: c _{n} = {cases{`````n&``````````(b _{n} >0)#`````0&``````````(b _{n} LEQ 0)}}]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{m} c _{k} =715]가 성립한다. 자연수 [eqn: m]의 최댓값은? [4.9점]

④

[eqn: a _{n} =a CDOT r ^{n-1} ``]([eqn: a<0], [eqn: r<{-1}])이라 하면 [eqn: b_n`= a^n cdot r^{n(n-1) over2]

(i) [eqn: n=4k`] [eqn: (][eqn: k`]는 자연수[eqn: )]인 경우

[eqn: b_n = a^4k cdot r^{2k(4k-1)}`>0]이고 [eqn: c_n =n]

(i) [eqn: n=4k-1`] [eqn: (][eqn: k`]는 자연수[eqn: )]인 경우

[eqn: b _{n} =a ^{4k-1} CDOT r ^{{(4k-1)(2k-1)} } `>0]이고 [eqn: c_n =n]

(i) [eqn: n=4k`-2] [eqn: (][eqn: k`]는 자연수[eqn: )]인 경우

[eqn: b _{n} =a ^{4k-2} CDOT r ^{{(2k-1)(4k-3)} } `<0]이고 [eqn: c _{n} =0]

(i) [eqn: n=4k`-3] [eqn: (][eqn: k`]는 자연수[eqn: )]인 경우

[eqn: b _{n} =a ^{4k-3} CDOT r ^{2(4k-3)(k-1)} `<0]이고 [eqn: c _{n} =0]

따라서 [eqn: n=4k`]와 [eqn: n=4k-1`]에서 [eqn: b_n`>0`]이 된다.

[eqn: (3+4) + (7+8)+cdots`+ `right{(4k-1)+4k right}LE715]에서

[eqn: k(3+4k) LE 715]이고 [eqn: k LE13``]이고 [eqn: b_52 >0`], [eqn: b_53 <0], [eqn: b_54 <0`]이므로

주어진 조건을 만족하는 [eqn: m`]의 값은 [eqn: 52,``53,``54`]이다. 따라서 자연수 [eqn: m`]의 최댓값은 [eqn: 54`]이다.

① [eqn: 51]	② [eqn: 52]	③ [eqn: 53]

④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 55]

첫 번째 항이 [eqn: 1``]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]에 대하여 첫 번째 항부터 제 [eqn: n``]번째 항까지의 합을 [eqn: S _{n}``]이라 할 때, [eqn: 2``]이상의 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: a _{n} = {3`S _{n}` ^{2}} over {3`S _{n} -1}``]의 관계가 성립한다. [eqn: S _{8} = {p} over {q}``]라고 할 때, [eqn: p+q``]의 값을 구하고 그 풀이 과정을 자세히 서술하시오. (단, [eqn: S _{n} != 0``]이고, [eqn: p`,`q``]는 서로소인 자연수이다.) [5점]

[eqn: 23``]

[eqn: a _{n} = {3S _{n} ^{2}} over {3S _{n} -1}`=`S_n -S_n-1 ``] (단, [eqn: n GEQ 2`])이므로

[eqn: {3`S _{n} ^{2}} `=` ({3`S _{n} -1})`(S_n -S_n-1 )``]

[eqn: S_n -S_n-1 `=`-3`S_n-1`S_n``]

이를 정리하면

[eqn: 1over{S_n} `=` 1over{S_n-1} `+`3``]이다.

[eqn: S_1`=`a_1`=`1``]이므로

[eqn: 1over{S_8} `=` 1over{S_1} `+`3times7`=`22``]에서 [eqn: S _{8} = {1} over {22}``]이다.

따라서 [eqn: p+q`=`23``]이다.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{n} = {cases{1&`````` LEFT ( n LEQ 8 RIGHT )#2&``````` LEFT ( n=9 RIGHT )}}]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+9} = {a _{n} +a _{n+1} +a _{n+2} + CDOTS +a _{n+8}} over {a _{n} TIMES a _{n+1} TIMES a _{n+2} TIMES CDOTS TIMES a _{n+8} -1}]을 만족시킨다.
[eqn: a _{20} +a _{202} +a _{2023}]의 값은? [5.7점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]
④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

③

[eqn: n=1,`a _{10} = {a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5} +a _{6} +a _{7} +a _{8} +a _{9}} over {a _{1} a _{2} a _{3} a _{4} a _{5} a _{6} a _{7} a _{8} a _{9} -1} =10]

[eqn: n=2,`a _{11} = {a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5} +a _{6} +a _{7} +a _{8} +a _{9} +a _{10}} over {a _{2} a _{3} a _{4} a _{5} a _{6} a _{7} a _{8} a _{9} a _{10} -1} =1]

[eqn: n=3,`a _{11} = {a _{3} +a _{4} +a _{5} +a _{6} +a _{7} +a _{8} +a _{9} +a _{10} +a _{11}} over {a _{3} a _{4} a _{5} a _{6} a _{7} a _{8} a _{9} a _{10} a _{11} -1} =1]

[eqn: VDOTS]

[eqn: n=10,`a _{19} = {a _{10} +a _{11} +a _{12} +a _{13} +a _{14} +a _{15} +a _{16} +a _{17} +a _{18}} over {a _{10} a _{11} a _{12} a _{13} a _{14} a _{15} a _{16} a _{17} a _{18} -1} =2]

[eqn: n=11,`a _{20} =10]

[eqn: a _{10}]~[eqn: a _{19}] 은 [eqn: 10,1,1` CDOTS 1,2] 로써 이후로 주기가 [eqn: 10]으로 반복됨

[eqn: ` THEREFORE a _{n} = {cases{1&LEFT ( n LEQ 8 RIGHT ) LEFT ( 11 LEQ n LEQ 18 RIGHT ) .......#eqalign{2# 10}&eqalign{LEFT ( n=9,19,29,...... RIGHT )# LEFT ( n=10,20,30,...... RIGHT )}}}]

규칙적으로 이루어진 수열

[eqn: a _{20} +a _{202} +a _{2023} =10+1+1=12]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n`]이라 하면

①

[eqn: a _{1} = {1} over {2} LEFT ( a _{1} + {1} over {a _{1}} RIGHT ) `]에서 [eqn: a_1 =1]

[eqn: a_n = S_n - S_n-1```(n GEQ 2)]

[eqn: S _{n} = {1} over {2} LEFT ( S _{n} -S _{n-1} + {1} over {S _{n} -S _{n-1}} RIGHT )]

따라서 [eqn: S_n ^2 = S_n-1 ^2 +1] [eqn: (n GE 2)]

[eqn: S_n`^2`]이 등차수열이므로 [eqn: S _{n} ` ^{2} =S _{1} ` ^{2} +(n-1)=n]

[eqn: therefore```S_n = rootn]

[eqn: a_100 = S_100 - S_99 = 10 -root99 `=10-3root11]

[eqn: p+q=10+3=13`]

[eqn: S_n = 1 over 2 left( a_n + 1 over a_n right) ````(n=1`,``2`,``3`,``cdots`)]

이 성립한다. [eqn: a_100 = p-q sqrt { 11}]일 때, 자연수 [eqn: p`,```q`]에 대하여 [eqn: p+q`]의 값은? [4.2점]

① [eqn: 13`]	② [eqn: 15`]	③ [eqn: 17`]

④ [eqn: 19`]	⑤ [eqn: 21`]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]이 [eqn: S _{n} = {1} over {8} (a _{n} +2) ^{2}] 일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} =128] 을 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 값을 구하는 과정을 단계에 맞게 논술하시오.

[[eqn: 1-1]] [eqn: n=1] 일 때, [eqn: a _{1}]을 구하고, 그 과정을 논술하시오. [[eqn: 2]점]

[1-1] [eqn: a _{1} =2] [1-2] [eqn: a _{n} -a _{n-1} =4] [1-3] [eqn: m=8]

[[eqn: 1-1]]

[eqn: S _{n} = {1} over {8} (a _{n} +2) ^{2}] 에 [eqn: n=1]을 대입하면

[eqn: a _{1} = {1} over {8} (a _{1} +2) ^{2}]

[eqn: 8a _{1} =a _{1} ` ^{2} +4a _{1} +4]

[eqn: a _{1} ` ^{2} -4a _{1} +4=0]에서

[eqn: a _{1} =2]이다.

[[eqn: 1-2]]

[eqn: 8S _{n} =(a _{n} +2) ^{2}]	[eqn: cdots①]

[eqn: 8S _{n-1} =(a _{n-1} +2) ^{2}]	[eqn: cdots ②]

①，②식을 빼서 정리하면

[eqn: a _{n}^{~2} `-4a _{n} -a _{n-1}^{~`2} -4a _{n-1} =0]

[eqn: (a _{n} +a _{n-1} )`(a _{n} -a _{n-1} -4)=0]에서 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]은 모든 항이 양수이므로

[eqn: a _{n} -a _{n-1} =4]

[[eqn: 1-3]]

위의 결과에 따라 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 2], 공차가 [eqn: 4]인 등차수열이므로

[eqn: a _{n} =4n-2]

[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} = {m(4m)} over {2} =2m ^{2} =128]에서

[eqn: m=8]

[[eqn: 1-2]] [eqn: n GEQ 2] 일 때, [eqn: a _{n}]과 [eqn: a _{n-1}] 사이의 관계식을 구하고, 그 과정을 논술하시오. [[eqn: 4]점]

[[eqn: 1-3]] 위에서 구한 결과를 이용하여 [eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} =128] 을 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 값을 구하고, 그 과정을 논술하시오. [[eqn: 4]점]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} `>`0]이고 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

④

[eqn: n=1]

[eqn: a _{2} =a _{1} +2] , [eqn: a _{3} =a _{2} TIMES a _{4}]

[eqn: n=2]

[eqn: a _{4} =a _{2} +2,`a _{5} =a _{4} ` TIMES a _{6} `]

[eqn: a _{4} =a _{1} +4]

[eqn: a _{3} =a _{2} TIMES a _{4} =(a _{1} +2)(a _{1} +4)=24]

[eqn: a _{1}^{2} `+6a _{1} -16=(a _{1} +8)(a _{1} -2)=0]

[eqn: a _{1} `>0``,`a _{1} =2]

[eqn: a _{1} =2`,`a _{2} =4,`a _{3} =24,`a _{4} =6]

[eqn: n=3]

[eqn: a _{6} =a _{3} `+2=`26`,`a _{7} =a _{6} TIMES a _{8}]

[eqn: a _{5} =a _{4} ` TIMES a _{6} =6 TIMES 26=156]

[eqn: a _{10} =a _{5} +2=158]

[eqn: a _{12} =a _{6} +2=28]

[eqn: a _{11} =a _{10`} TIMES a _{12} =158 TIMES 28=4424`]

(가) [eqn: a _{2n} `=a _{n} +2]

(나) [eqn: a _{2n+1} `=a _{2n} ` TIMES `a _{2n+2}]

[eqn: a _{3} =`24]일 때, [eqn: a _{11}]의 값은?[[eqn: 5.4]점]

① [eqn: 4436]	② [eqn: 4432]	③ [eqn: 4428]

④ [eqn: 4424]	⑤ [eqn: 4420]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: sum _{n=1} ^{15} LEFT ( LEFT | a _{n} RIGHT | -a _{n} RIGHT ) =10]이 되도록 하는 모든 [eqn: a _{1}]의 값의 합은? [[eqn: 5.1]점]

②

풀이)

[eqn: a _{1}= a]라 하면 [eqn: a]는 [eqn: 1]이 아닌 양의 실수

[eqn: a _{2n-1} +a _{2n} =1], [eqn: a _{2n} TIMESa _{2n+1} =1]에서

[eqn: n`=`1`]일 때, [eqn: a _{1} +a _{2} =1] 이고, [eqn: a _{2} TIMES a _{3} =1]

[eqn: a _{1`} = a] 이고, [eqn: a _{2`} =1-a], [eqn: a _{3`} = {1} over {1-a}]

[eqn: n`=`2]일 때, [eqn: a _{3} +a _{4} =1] 이고, [eqn: a _{4} TIMES a _{5} =1]

[eqn: a _{3`} = 1 over { 1-a}]이고, [eqn: a _{4`} = {a} over {a-1}], [eqn: a _{5`} ={ a-1} over a]

[eqn: n`=`3]일 때, [eqn: a _{5} +a _{6} =1] 이고, [eqn: a _{6} TIMES a _{7} =1]

[eqn: a _{5`} ={ a-1} over a]이고, [eqn: a _{6`} = 1over {a}], [eqn: a _{7`} =a]

⋮

이므로 [eqn: n]이 [eqn: 6]의 배수 값으로 순환된다.

(i) [eqn: 0<a<1] 일 때,

[eqn: a_1 > 0], [eqn: a _{2} >0], [eqn: a _{3} >0], [eqn: a _{4} <0], [eqn: a _{5} <0], [eqn: a _{6} >0] 이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{15} LEFT ( LEFT | a _{n} RIGHT | -a _{n} RIGHT ) =( LEFT | a _{1} RIGHT | -a _{1} )+( LEFT | a _{2} RIGHT | -a _{2} )+( LEFT | a_3 RIGHT | -a _{3} )+]

[eqn: +( LEFT | a _{4} RIGHT | -a _{4} )+( LEFT | a _{5} RIGHT | -a _{5} )+( LEFT | a _{6} RIGHT | -a _{6} )+~ CDOTS]

[eqn: `=0+0+0+(-2a _{4} )+(-2a _{5} )+`` CDOTS ``+(-2a _{10} )+(-2a _{11} )+0 cdots]

[eqn: = (-4) TIMES {a} over {a-1}+(-4) TIMES { a-1} over a =10] 에서

[eqn: {a-1} over {a} = t] 라 하면

[eqn: t + 1 over t = - 5 over 2]이고, [eqn: 2 t ^2 + 5t +2 = 0] 이므로

[eqn: t = - 1over 2] 또는 [eqn: -2] 이다.

[eqn: {a-1} over {a} =-` {1} over {2}] 또는 [eqn: -2] 이므로 [eqn: THEREFORE ~`a`=`1 over 3] 또는 [eqn: 2 over 3] 이다.

(ii) [eqn: a> 1] 일 때,

[eqn: a_1 > 0], [eqn: a _{2} <0], [eqn: a _{3} <0], [eqn: a _{4} >0], [eqn: a _{5} >0], [eqn: a _{6} >0] 이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{15} LEFT ( LEFT | a _{n} RIGHT | -a _{n} RIGHT ) =( LEFT | a _{1} RIGHT | -a _{1} )+( LEFT | a _{2} RIGHT | -a _{2} )+( LEFT | a_3 RIGHT | -a _{3} )+]

[eqn: +( LEFT | a _{4} RIGHT | -a _{4} )+( LEFT | a _{5} RIGHT | -a _{5} )+( LEFT | a _{6} RIGHT | -a _{6} )+~ CDOTS]

[eqn: `=0+(-2a _{2} )+(-2a _{3} )+`` CDOTS ``+(-2a _{8} )+(-2a _{9} )+0 CDOTS]

[eqn: = (-6) TIMES ( {1-a)+(-6) TIMES {1} over {1-a} =10] 에서

[eqn: {1-a} = t] 라 하면

[eqn: t + 1 over t = - 5 over 3]이고, [eqn: 3 t ^2 + 5t +3 = 0] 이므로 해가 존재하지 않는다.

모든 [eqn: a]의 합은 [eqn: 1 over 3 + 2 over 3 = 1] 이다.

(가) [eqn: a _{1}]은 [eqn: 1]이 아닌 양의 실수이다.

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{2n-1} +a _{2n} =1]이고 [eqn: a _{2n} TIMESa _{2n+1} =1]이다.

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {4} over {3}]
④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: 2]

수열 [eqn: left{a_n right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: sum _{ n=1} ^{ 14}(|`a_n `| +a_n )=24`]가 되도록 하는 모든 [eqn: a_1`]의 값을 있는 대로 구하고 그 과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: {1} over {3} ,~ {2} over {3} ,~ {5} over {3} ,~2]

(나)에서 [eqn: a_2n =1-a_2n-1], [eqn: a_2n+1 = 1 overa_2n]

[eqn: a_1 =a] [eqn: (a>0 ,~ a!=1)]이라 하면

[eqn: a_2 =1-a]

[eqn: a_3 = 1 over1-a]

[eqn: a_4 =1- 1 over1-a = a overa-1]

[eqn: a_5 = a-1 overa]

[eqn: a_6 = 1- a-1 overa = 1 overa]

[eqn: a_7 =a]

[eqn: therefore] [eqn: a_n =cases{ a &&(n=6k-5)#1-a&&(n=6k-4)#1 over1-a&&(n=6k-3)#a overa-1&&(n=6k-2)# a-1 overa&&(n=6k-1)# 1 overa&&(n=6k)]

[eqn: |`a_n `|+a_n =cases{2a_n &&(a_n ge0)#`````0&&(a_n <0)]이므로

ⅰ) [eqn: 0<a<1]일 때

[eqn: a>0,~1-a>0,~ 1 over1-a >0,~ a overa-1 <0 ,~ a-1 overa <0 ,~ 1 overa >0]

[eqn: sum _{ n=1} ^{ 14}(|`a_n `| +a_n )=6a+6(1-a)+ 4 over1-a + 4 overa]

[eqn: = 6+ 4 over1-a + 4 overa =24]

[eqn: 2 over1-a + 2 overa =9]

[eqn: 2a+2-2a=9a(1-a)]

[eqn: 9a^2 -9a+2=0]

[eqn: (3a-1)(3a-2)=0]

[eqn: a= 1 over3] 또는 [eqn: a= 2 over3]

ⅱ) [eqn: a>1`]일 때

[eqn: a>0,~1-a<0,~ 1 over1-a <0,~ a overa-1 >0 ,~ a-1 overa >0 ,~ 1 overa >0]

[eqn: sum _{ n=1} ^{ 14}(|`a_n `| +a_n )=6a + 4a overa-1 + 4(a-1) overa + 4 overa]

[eqn: =6a+ 4a overa-1 + 4 =24]

[eqn: 3a+ 2a overa-1 =10]

[eqn: 3a(a-1)+2a=10(a-1)]

[eqn: 3a^2 -11a+10=0]

[eqn: (3a-5)(a-2)=0]

[eqn: a= 5 over3] 또는 [eqn: a=2]

ⅰ), ⅱ)에 의해 [eqn: {1} over {3} ,~ {2} over {3} ,~ {5} over {3} ,~2]

(가) [eqn: a_1`]은 [eqn: 1`]이 아닌 양수이다.

(나) 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: a_2n-1 +a_2n =1`]이고 [eqn: a_2n timesa_2n+1 =1`]이다.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]이 다음 조건을 만족시킨다.

(1) [eqn: a _{1} =a``]라 하면 [eqn: a _{1} +a _{2} =-1``] 이므로 [eqn: a _{2} =-a-1``]이고
[eqn: a _{1} =a>0``]이므로 [eqn: a _{2} <0``]이다.
[eqn: a _{3} =- {1} over {a+1}``]이고 [eqn: a _{3} <0``]이다.
[eqn: a _{4} =-1+ {1} over {a+1} =- {a} over {a+1}``]이고 [eqn: a _{4} <0``]이다.
[eqn: a _{5} =- {a+1} over {a}``]이고 [eqn: a _{5} <0``]이다.
[eqn: a _{6} =-1+1+ {1} over {a} = {1} over {a}``]이고 [eqn: a _{6} >0``]이다.
[eqn: a _{7} = {1} over {a _{6}} =a``]이고 [eqn: a _{7} >0``]이다.
(2) [eqn: a= {1} over {3} `,```2``]

(1) [eqn: a _{1} =a``]라 하면 [eqn: a _{1} +a _{2} =-1``] 이므로 [eqn: a _{2} =-a-1``]이고
[eqn: a _{1} =a>0``]이므로 [eqn: a _{2} <0``]이다.
[eqn: a _{3} =- {1} over {a+1}``]이고 [eqn: a _{3} <0``]이다.
[eqn: a _{4} =-1+ {1} over {a+1} =- {a} over {a+1}``]이고 [eqn: a _{4} <0``]이다.
[eqn: a _{5} =- {a+1} over {a}``]이고 [eqn: a _{5} <0``]이다.
[eqn: a _{6} =-1+1+ {1} over {a} = {1} over {a}``]이고 [eqn: a _{6} >0``]이다.
[eqn: a _{7} = {1} over {a _{6}} =a``]이고 [eqn: a _{7} >0``]이다.

(2) 위의 결과에 의하여 [eqn: a _{1} =a _{7}``]이므로

[eqn: a _{k} =a _{{}_{k+6}} ``(k=1,2,3,4, CDOTS )``]이 성립한다.

[eqn: LEFT | a _{k} RIGHT | `+a _{k} `= {cases{2a _{k} ``````&(a _{k} ` GEQ 0)#0&(a _{k} `<0)}}``]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{15} LEFT ( LEFT | a _{n} RIGHT | `+a _{n} ` RIGHT ) =``][eqn: 2a _{1} +2`a _{6} +2`a _{7} +2a _{12} +2a _{13} =6a+ {4} over {a}``]이다.

[eqn: 6a+ {4} over {a} =14``] ⇒ [eqn: 3a ^{2} -7a+2=(3a-1)(a-2)=0``]

따라서 [eqn: a= {1} over {3} `,```2``]이다.

(가) [eqn: a _{1}``]은 양수이다.

(나) 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: a _{2n-1} +a _{2n} =-1``]이고 [eqn: a _{2n} TIMES a _{2n+1} =1``]이다.

다음 물음에 답하시오. [총 8.0점]

(1) [eqn: a _{1} =a``]라 할 때, [eqn: a _{2} ,`a _{3} ,`a _{4} ,`a _{5} ,`a _{6} ,`a _{7}``]를 각각 [eqn: a``]로 표현하고 그 부호를 구하는 과정을 논술하시오. [3.0점]

(2) [eqn: sum _{n=1} ^{15} LEFT ( LEFT | a _{n} RIGHT | `+a _{n} ` RIGHT ) =14``]가 되도록 하는 모든 [eqn: a``]의 값을 구하고 그 과정을 논술하시오. [5.0점]

[eqn: a_3 = -6]이고 공차가 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여 수열 [eqn: left{ b_n right}]을 [eqn: b_n = a_n + a_a+2] ([eqn: n ge 1]) 이라 하고, 두 집합 [eqn: A], [eqn: B]를

①

[eqn: b_n = a_n + a_n+2]이고 수열 [eqn: left{ a_n right}]이 등차수열이므로 [eqn: b_n = 2 a_n+1]이다.

집합 [eqn: A]의 원소는 첫째항이 [eqn: a_1]이고 공차가 [eqn: d]인 등차수열이고 집합 [eqn: B]의 원소는 첫째항이 [eqn: 2 a_2]이고 공차 [eqn: 2d]인 등차 수열이다. 따라서

[eqn: A cap B = left{ a_1 ,~ a_3 , ~ a_5 , ~a_7 right}]

이어야 한다.

[eqn: B = left{ 2a_2 ,~2a_3 , ~ 2a_4 ,~2a_5 ,~ 2a_6 ,~2a_7 ,~ 2a_8 right}]

에서 가능한 경우는 [eqn: a_1 = 2a_2], [eqn: a_1 = 2 a_3], [eqn: a_1 = 2a_4], [eqn: a_1 = 2 a_5]이고, 각각의 경우에 대한 공차를 구해보면 [eqn: a_3 = -6]이므로

[eqn: -6 -2d = 2(-6 -d)], [eqn: -6 = -12]이므로 모순

[eqn: -6 - 2d = -12], [eqn: d = 3], [eqn: a_9 = -6 + 6d = 12]

[eqn: -6 - 2d = 2(-6 + d)], [eqn: d = 3 over2], [eqn: a_ 9 = -6 + 6d = 3]

[eqn: -6 - 2d = 2(-6 + 2d)], [eqn: d = 1], [eqn: a_9 = -6 + 6d = 0]

따라서 [eqn: a_9]의 값의 합은 [eqn: 12 + 3 + 0 = 15]이다.

[eqn: A = left{ a_1 ,~a_2 ,~ a_3 ,~a_4 ,~a_5 , ~a_6 , ~a_7 right}]

[eqn: B = left{ b_1 , ~ b_2 , ~ b_3 , ~ b_4 , ~ b_5 , ~ b_6 , ~ b_7 right}]

라 하자. [eqn: n( A cap B ) = 4]가 되도록 하는 모든 수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여 모든 [eqn: a_9]의 값의 합은?

[[eqn: 5.2]점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]
④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_n+1 = cases{ -a_n + 3````` (a_n le 0) # a_n - 1```````````` (a_n > 0)}]을 만족시킨다.
[eqn: a_4 + a_5 =7]이 되도록 하는 모든 [eqn: a_1]의 값의 합은? [4.6점]

④

[eqn: a_4 =k]라고 가정하면 [eqn: a_5 = 3-k ( k le 0 )] 또는 [eqn: a_5 = k-1 ( k >0)]
[eqn: a_4 +a_5 =7]이므로 식을 정리하면 조건에 모순되지않는 [eqn: k=4]이다.

[eqn: a_4 =4]일 때 점화식에 만족하는

[eqn: a_3 =-1] 또는 [eqn: 5]가되고[eqn: a_2 =-2]또는 [eqn: 6]이된다.

또한 조건에 모순되지 않도록

[eqn: a_1]을 점화식을 이용해서 구하면 [eqn: -3]또는 [eqn: 7]이 된다.

그러므로 [eqn: a_1]값의 합은 [eqn: 4]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_n+1 = cases{ 2n + a_n & (a_n < n) # a_n - p & (a_n ge n) }]을 만족시킨다. 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 [eqn: p]의 값의 합은? [5.1점]

②

(나)조건에 의해 [eqn: a_m =0]이면 점화식조건에 의해 [eqn: a_m+1 = 2m]이고

[eqn: a_m+2 = 4m +2 ```( 2m < m+1)] [eqn: m]은 자연수이므로 모순

[eqn: a_m+2 =2m -p ```( 2m ge m+1)]

[eqn: a_ m+3 = 4m +4 -p ```(2m -p < m+2 )]

[eqn: a_m+3 =0]이고 [eqn: m]이 자연수이므로 [eqn: p= 4 (m+1 )]

이때 [eqn: p`]는 [eqn: 15`]이하의 자연수이므로 [eqn: p=8,~12`]이다.

(참고)

[eqn: a_m+3 = 2m -2p```( 2m -p ge m+2)]은 [eqn: m=p]일 때

[eqn: 2m -p ge m+2] 이므로 조건에 모순된다.

(가) [eqn: p]는 15 이하의 자연수이다.

(나) [eqn: a_m = 0], [eqn: a_m+3 = 0]인 자연수 [eqn: m]이 존재한다.

① [eqn: 19]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 23]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: -6<a _{1} <`-3]이고, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: a _{n+1} = {cases{-3a _{n} ~~&LEFT ( a _{n} GEQ 0 RIGHT )#a _{n} +3&LEFT ( a _{n} <0 RIGHT )}}]
을 만족시킨다. [eqn: a _{6} =2`]일 때, [eqn: a _{1} `]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [[eqn: 7.0`]점]

[eqn: - {1`4} over {3}]

[eqn: -6<a _{1} <`-3]이므로 [eqn: a _{1} <`0]
[eqn: a _{2} =a _{1} +3]따라서 [eqn: -3`<a _{2} =a _{1} +3`<`0]
[eqn: a _{3} =a _{2} +3]따라서 [eqn: 0`<a _{3} =a _{2} +3`<`3]
[eqn: a _{4} =a _{3} TIMES -3]따라서 [eqn: -9<a _{4} =a _{3} TIMES -3`<0]
[eqn: a _{5} =a _{4} +3]따라서 [eqn: -6<a _{5} =a _{4} +3`<3]
[eqn: a _{6} =2`]이므로
(ⅰ) [eqn: a _{5} <`0`]일 때

[eqn: a _{6} =a _{5} +3=2`]
이므로
[eqn: a _{5} =-1]
[eqn: a _{4} =-4]
[eqn: a _{3} = {4} over {3}]
[eqn: a _{2} =- {5} over {3}]
[eqn: a _{1} =- {14} over {3}]

(ⅱ)[eqn: a _{5} >`0`]일 때
[eqn: a _{6} =a _{5} TIMES -3=2`]
이므로
[eqn: a _{5} =- {2} over {3}]
이므로 성립하지 않는다.

[eqn: THEREFORE ``a _{1} =- {14} over {3}]

모든 항이 자연수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]이

③

[eqn: a_n = 1`]이기 위해서는 [eqn: a_n-1 =2`]이고 [eqn: a_n =2`]이기 위해서는

[eqn: a_n-1`=4`] 또는 [eqn: 1`] 이어야 한다.

따라서 [eqn: a_m =1`]의 개수가 [eqn: 3`]개가 되기 위해서는

[eqn: 10] 이하의 자연수 [eqn: m`]에 대하여 마지막 [eqn: 5`]개 항의 값은

[eqn: bold1`` rarrow ``2`` rarrow ``bold1``` rarrow ```2``` rarrow ```bold1``]꼴의 형태가 되어야 한다.

한편, 제[eqn: 5`]항의 값은 [eqn: 2`]가 되어야 하고, 초항부터 제[eqn: 5`]항까지의 값은 거꾸로 쓰면 다음과 같다.

[eqn: a_5 =2]

[eqn: a_4 =4]

[eqn: a _{3} =5`], [eqn: 8]

[eqn: a _{2} =7`,``10`,``13`,``16]

[eqn: a _{1} = 11,``14`,``17`,``20`,``23`,``26`,``29`,``32]

따라서 [eqn: a_1`]의 최댓값은 [eqn: 32]가 된다.

[보충풀이]

[eqn: a_1`]	[eqn: a _{2} `]	[eqn: a _{3} `]	[eqn: a _{4} `]	[eqn: a _{5} `]
[eqn: 11`` RSLANT]	[eqn: ``7`` RSLANT]	[eqn: 5`` RSLANT]
[eqn: 14``` LSLANT]
[eqn: 17`` RSLANT]	[eqn: 10` LSLANT]
[eqn: 20``` LSLANT]			[eqn: 4```-]	[eqn: 2```-]
[eqn: 23`` RSLANT]	[eqn: 13`` RSLANT]	[eqn: 8`` LSLANT]
[eqn: 26``` LSLANT]				[eqn: cdots]
[eqn: 29`` RSLANT]	[eqn: 16` LSLANT]
[eqn: 32``` LSLANT]				[eqn: cdots]
				[eqn: cdots]
				[eqn: cdots]
				[eqn: cdots]

[eqn: a _{6} `]	[eqn: a _{7} `]	[eqn: a _{8} `]	[eqn: a _{9} `]	[eqn: a _{10} `]
[eqn: bold{1} `` RSLANT]
	[eqn: 2```-]	[eqn: bold{1}`` RSLANT]
[eqn: 4`` LSLANT]
			[eqn: 2````-]	[eqn: bold{1} ```]
[eqn: ``7`` RSLANT]	[eqn: 5`` RSLANT]
[eqn: 10` LSLANT]		[eqn: 4`` LSLANT]
[eqn: 13`` RSLANT]	[eqn: 8`` LSLANT]
[eqn: 16` LSLANT]

[eqn: a_n+1 = cases{ pile{ pile{ pile{ # } # } # pile{ # } }]	[eqn: {a_n +3} over 2]	([eqn: a_n]이 홀수인 경우)	을 만족한다.
	[eqn: a_n over2]	([eqn: a_n]이 짝수인 경우)

[eqn: 10] 이하의 자연수 [eqn: m]에 대하여 [eqn: a_m =1]인 [eqn: m`]의 개수가 [eqn: 3`]개일 때, [eqn: a_1]의 최댓값은? [4.3점]

① [eqn: 28`]	② [eqn: 30`]	③ [eqn: 32`]

④ [eqn: 34`]	⑤ [eqn: 36`]

다음 조건을 만족시키는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]이 있다. 자연수 [eqn: m`]에 대하여 [eqn: a_1`]의 값이 될 수 있는 모든 수의 곱을 [eqn: P`(m) `]이라 할 때, [eqn: sum _{ m=2} ^{ 10}`P`(m)]의 값을 구하고 그 과정을 논술하시오. (단, 만족하는 [eqn: a_1`]이 유일하면 [eqn: a_1`=P`(m)]이다.) [7점]

[eqn: {125} over {2}]

[eqn: a _{n} `>0```(n GEQ 2)]이다. 즉 [eqn: a_n Le0`]이더라도 [eqn: a_n+1 >0`]이 된다.

(i) [eqn: m=2`]일 때,

[eqn: a _6`=2 ^{2}]에서 [eqn: a_5 =2], [eqn: a_4`=1], [eqn: a_3 = 1over2], [eqn: a _{2} = {1} over {4} = 2^-2]

따라서 [eqn: a_1 = 1over8`,```-2]

[eqn: THEREFORE ```P(2)= {1} over {8} TIMES (-2)=- {1} over {4}]

(ii) [eqn: m=3`]일 때,

[eqn: a _{6} `=2 ^{3}]에서 [eqn: a _{5} =2^2]이므로 [eqn: a_1 = 1over4`,```-1]

[eqn: THEREFORE ```P(3)= {1} over {4} TIMES (-1)=- {1} over {4}]

(iii) [eqn: m=4`]일 때,

[eqn: a _{6} `=2 ^{4}]에서 [eqn: a _{5} =2 ^{3}]이므로 [eqn: a _{1} = {1} over {2} `,```0]

[eqn: THEREFORE ```P(3)= {1} over {2} TIMES (0)= 0]

한편, [eqn: m GEQ 5`]이상이면, [eqn: a_1`]은 [eqn: 2`]배씩 증가해서 [eqn: a_6 =2^m`]이 되어야 하기 때문에 [eqn: a_1 `=2^m-5`]만 된다. 즉, [eqn: P(m) = 2^m-5`]

[eqn: P(5)=2^0`,```P(6) = 2^1`,```P(7)=2^2`,```P(8)=2^3`,```P(9) = 2^4`,```P(10)=2^5`]

따라서

[eqn: sum _{m=2} ^{10} `P`(m) = - 1over4 - 1over4 +0 +1 +2 +2^2 +2^3 +2^4 +2^5 = 125 over2]

[보충풀이]

[eqn: a_1`]	[eqn: a _{2} `]	[eqn: a _{3} `]	[eqn: a _{4} `]	[eqn: a _{5} `]	[eqn: a _{6} `]
[eqn: bold{2 ^{-3}} `` RSLANT]	[eqn: 2 ^{-2} `` RSLANT]
[eqn: bold{-2}``` LSLANT]		[eqn: 2 ^{-1} `` RSLANT]
	[eqn: -1``` LSLANT]		[eqn: 2 ^{0}]	[eqn: 2 ^{1}]	[eqn: 2 ^{2}]
		[eqn: `````0```` LSLANT]
[eqn: bold{2 ^{-2}} `` RSLANT]
	[eqn: 2 ^{-1} `` RSLANT]
[eqn: bold{-1} ``` LSLANT]		[eqn: 2 ^{0}]	[eqn: 2 ^{1}]	[eqn: 2 ^{2}]	[eqn: 2 ^{3}]
	[eqn: ``````0```` LSLANT]
[eqn: bold{2 ^{-1}} `` RSLANT]
	[eqn: 2 ^{0}]	[eqn: 2 ^{1}]	[eqn: 2 ^{2}]	[eqn: 2 ^{3}]	[eqn: 2 ^{4}]
[eqn: bold{`````0} ````` LSLANT]
[eqn: bold{ 2 ^{0}]	[eqn: 2 ^{1}]	[eqn: 2 ^{2}]	[eqn: 2 ^{3}]	[eqn: 2 ^{4}]	[eqn: 2 ^{5}]
[eqn: bold{ 2 ^{1}]	[eqn: 2 ^{2}]	[eqn: 2 ^{3}]	[eqn: 2 ^{4}]	[eqn: 2 ^{5}]	[eqn: 2 ^{6}]
[eqn: bold{ 2 ^{2}]	[eqn: 2 ^{3}]	[eqn: 2 ^{4}]	[eqn: 2 ^{5}]	[eqn: 2 ^{6}]	[eqn: 2 ^{7}]
[eqn: bold{ 2 ^{3}]	[eqn: 2 ^{4}]	[eqn: 2 ^{5}]	[eqn: 2 ^{6}]	[eqn: 2 ^{7}]	[eqn: 2 ^{8}]
[eqn: bold{ 2 ^{4}]	[eqn: 2 ^{5}]	[eqn: 2 ^{6}]	[eqn: 2 ^{7}]	[eqn: 2 ^{8}]	[eqn: 2 ^{9}]
[eqn: bold{ 2 ^{5}]	[eqn: 2 ^{6}]	[eqn: 2 ^{7}]	[eqn: 2 ^{8}]	[eqn: 2 ^{9}]	[eqn: 2 ^{10}]

(가) [eqn: a_6 =2^m]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_n+1 = cases{``2a_n~&(a_n >0)#``2^{a_n}&(a_n le 0)]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]은 [eqn: a _{1} =5``]이고, 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: {cases{a _{2n} =a _{n} -1&#a _{2n+1} =2a _{n} -3&}}``]을 만족시킨다. 집합 [eqn: A= LEFT { a _{n`} `|``n``은```70`이하의```자연수` RIGHT }``]의 원소의 값 중 최댓값은? [4.8점]

④

[eqn: a _{1} =5``]

[eqn: a _{2} =a _{1} -1=4``]

[eqn: a _{3} =2a _{1} -3=7``]

[eqn: a _{4} =a _{2} -1=3``]

[eqn: a _{5} =2a _{2} -3=5``]

[eqn: a _{6} =a _{3} -1=6``]

[eqn: VDOTS ``]

에서 [eqn: 3 LEQ n LEQ 5``]일 때, [eqn: 3 LEQ a _{n} LEQ 7``]이고

[eqn: a _{2n} =a _{n} -1``], [eqn: a _{2n+1} =2a _{n} -3``]이므로

[eqn: 6 LEQ n LEQ 11``]일 때, [eqn: 2 LEQ a _{n} LEQ 11``], [eqn: a _{12} =a _{6} -1=5``]이므로

[eqn: 6 LEQ n LEQ 12``]일 때, [eqn: 2 LEQ a _{n} LEQ 11``]이다.

또한, [eqn: a _{2n} =a _{n} -1``], [eqn: a _{2n+1} =2a _{n} -3``]이므로

[eqn: 12 LEQ n LEQ 25``]일 때, [eqn: 1 LEQ a _{n} LEQ 19``]이고

[eqn: 24 LEQ n LEQ 51``]일 때, [eqn: -1 LEQ a _{n} LEQ 35``]

[eqn: 50 LEQ n LEQ 101``]일 때, [eqn: -5 LEQ a _{n} LEQ 67``]이므로

[eqn: A`=` LEFT { a _{n`}` |``n``은```70``이하의```자연수`` RIGHT }``]의 최댓값은 [eqn: 67``]이다.

① [eqn: 61``]	② [eqn: 63``]	③ [eqn: 65``]
④ [eqn: 67``]	⑤ [eqn: 69``]

자연수 [eqn: k]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 [eqn: left { a_n right }]이 있다.

[eqn: a_5 = it -17]일 때, [eqn: k]의 값을 [eqn: alpha], [eqn: a_5 =6]일 때, [eqn: k]의 값을 [eqn: beta]라 하자. [eqn: alpha +beta]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [[eqn: 7.0]점]

[eqn: 7]

[eqn: a_1 =k>0], [eqn: a_2 = it -k+1-2k=1-3k]

[eqn: k]는 자연수이므로 [eqn: 1-3k<0]

[eqn: a_3 = 1-3k+2+2k=3-k]

ⅰ) [eqn: 3-k le 0]

[eqn: a_4 = 3-k+3+2k = 6+k>0]

[eqn: a_5 = it -6-k+4-2k =it -2-3k]

ⅱ) [eqn: 3-k>0]

[eqn: a_4 = it -3+k+3-2k =it -k<0]

[eqn: a_5 = it -k+4+2k =k+4]

[eqn: a _{5} = it -17<0`]이면 [eqn: -2-3k= it -17`]에서 [eqn: k=5= alpha]

[eqn: a _{5} =6>0`]이면 [eqn: k+4=6`]에서 [eqn: k=2=beta]

[eqn: THEREFORE ~alpha + beta =5+2=7]

[eqn: a_1 =k]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_n+1 = cases {a_n +n+2k &(a_n le 0)#-a_n +n-2k~~ &(a_n >0)}]
이다.

수열 [eqn: left{a_n right}`]은 [eqn: 2<a_1 <3`]이고, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: a_n+1 = cases{ -3a_n&&(a_n <0)#a_n -3&&(a_n ge0)`]
을 만족시킨다. [eqn: a_8 =2`]가 되도록 하는 모든 [eqn: a_1`]의 값의 합은? [5.5점]

① [eqn: 128 over27]	② [eqn: 43 over9]	③ [eqn: 130 over27]
④ [eqn: 131 over27]	⑤ [eqn: 44 over9]

①

[eqn: a_1 =a`]라 하면 [eqn: 2<a<3]

[eqn: a_2 =a-3 <0]

[eqn: a_3 =-3(a-3)=3(3-a)>0]

[eqn: a_4 =3(3-a)-3=3(2-a)<0]

[eqn: a_5 =-9(2-a)=9(a-2)>0]

[eqn: a_6 = 9(a-2)-3 =3(3a-7)]

ⅰ) [eqn: 2<a < 7 over3`]일 때

[eqn: a_6 =3(3a-7)<0]

[eqn: a_7 =-9(3a-7)=9(7-3a)>0]

[eqn: a_8 =9(7-3a)-3=60-27a=2]

[eqn: a= 58 over27] ([eqn: 2< 58 over27 < 7 over3`]이므로 성립)

ⅱ) [eqn: 7 over3 le a <3`]일 때

[eqn: a_6 =3(3a-7) ge0]

[eqn: a_7 =3(3a-7)-3=3(3a-8)]

① [eqn: 7 over3 le a < 8 over3`]일 때

[eqn: a_7 =3(3a-8)<0]

[eqn: a_8 = -9(3a-8)=-27a+72 =2]

[eqn: a= 70 over27] ([eqn: 7 over3 le 70 over27 < 8 over3]이므로 성립)

② [eqn: 8 over3 le a <3`]일 때

[eqn: a_7 =3(3a-8) ge 0]

[eqn: a_8 =3(3a-8)-3 =9a-27 =2]

[eqn: a= 29 over9] ([eqn: 29 over9 >3`]이므로 성립하지 않음)

ⅰ), ⅱ)에 의해 만족하는 [eqn: a_1`]의 값의 합은 [eqn: 58 over27 + 70 over27 = 128 over27]

모든 항이 자연수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

①

[eqn: a _{n+1} `=` {cases{3a _{n} `-1&```(a _{n} 이`홀수인`경우)#{a _{n}} over {2} +1&```(`a _{n} 이`짝수인`경우)}}]

[eqn: a _{1} =3] (홀수)

[eqn: a _{2} =3a _{1} -1=8] (짝수)

[eqn: a _{3} = {a _{2}} over {2} +1=5] (홀수)

[eqn: a _{4} =3a _{3} -1=14] (짝수)

[eqn: a _{5} = {a _{4}} over {2} +1=8] (짝수)

[eqn: a _{6} =3a _{5} -1=5] (홀수)

수열 [eqn: a _{n}]은 [eqn: 2]번째 항부터 주기가 [eqn: 3]인 수열 ( [eqn: 8,5,14] 반복)

[eqn: sum _{k=1} ^{16} a _{k}][eqn: =a _{1} + sum _{k=2} ^{16} a _{k} =3+5(8+5+14)=138]

[eqn: a _{n+1} `=` {cases{3a _{n} `-1&```(a _{n} 이`홀수인`경우)#{a _{n}} over {2} +1&```(`a _{n} 이`짝수인`경우)}}]

를 만족시킨다. [eqn: a _{1} =3]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{16} a _{k}]의 값은? [[eqn: 4.8]점]

① [eqn: 138]	② [eqn: 141]	③ [eqn: 144]
④ [eqn: 147]	⑤ [eqn: 150]

모든 항이 자연수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+1} = {cases{{1} over {2} a _{n}&(a _{n} 이``2의`배수인``경우)#&#a _{n} +1&(a _{n} 이``2의``배수가``아닌``경우)}}]

②

[eqn: a _{n}]이 [eqn: 2]의 배수이면 [eqn: a _{n} =2`a _{n+1}]

[eqn: a _{n}]이 [eqn: 2]의 배수가 아니면 [eqn: a _{n} =a _{n+1} -1] ([eqn: a _{n}]은 자연수)

[eqn: a _{6}]	[eqn: a _{5}]	[eqn: a _{4}]	[eqn: a _{3}]	[eqn: a _{2}]	[eqn: a _{1}]
[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 8]	[eqn: 16]	[eqn: 32]
					[eqn: 15]
				[eqn: 7]	[eqn: 14]
			[eqn: 3]	[eqn: 6]	[eqn: 12]
					[eqn: 5]
		[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 8]
					[eqn: 3]
				[eqn: 1]	[eqn: 2]

을 만족시킨다. [eqn: a _{6} =1]이 되도록 하는 모든 [eqn: a _{1}]의 값의 합은? [[eqn: 4.8]점]

① [eqn: 89]	② [eqn: 91]	③ [eqn: 93]
④ [eqn: 95]	⑤ [eqn: 97]

첫째항이 [eqn: k``]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]이 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여

④

주어진 점화식에 맞추어 수열을 추론하면

[eqn: a _{11} = LEFT ( k ^{3} +1 RIGHT ) a _{5} ,``a _{6} =ka _{5}``]이므로 [eqn: k=-2``] ([eqn: because``][eqn: k != 1``])

[eqn: {a _{16}} over {a _{7}} =k ^{5} +k``] ([eqn: a _{16} =k ^{9} +k ^{8} +cdots+k ^{2} ,`a _{7} =k ^{4} +k ^{3} +k ^{2} +k``])

따라서 [eqn: -34``]이다.

[eqn: a _{n+1} = {cases{``k TIMES a _{n}~&(`n`이``홀수인``경우`)#``k+a _{n}&(`n`이``짝수인``경우`)}}``]

를 만족시킨다. [eqn: a _{1} != `a _{2}``]이고 [eqn: a _{5} +a _{11} =3a _{6}``]일 때, [eqn: {a _{16}} over {a _{7}}``]의 값은? (단, [eqn: k``]는 실수) [5.3점]

① [eqn: -40``]	② [eqn: -38``]	③ [eqn: -36``]

④ [eqn: -34``]	⑤ [eqn: -32``]

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{ k=2} ^{ 7} a_k]의 값은? [5.2점]

④

[eqn: a_5 = k] 로 가정하면 [eqn: k+ 2^k-2 =1 (k<1)] 또는 [eqn: k+log_2 k=1(k ge1)]

조건에 모순되지않는 [eqn: k]값은 [eqn: 1]이므로

[eqn: a_6 =0, a_5 =1]이다

점화식 조건에 모순되지 않도록 [eqn: a_4 =2,``a_3 =4,```a_2 =16]을 구한다.

[eqn: a_7]은 로그의 진수조건에 의해 [eqn: a_7 =16]이다.

그러므로 [eqn: sum _{ k=2} ^{7 } a_k = 39]

(가) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+1 = cases{2^n-2&(a_n < 1)#log_2 a_n&(a_n ge1)}]이다.

(나) [eqn: a_5 + a_6 = 1], [eqn: a_3 >= 1]

① [eqn: 33]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 37]

④ [eqn: 39]	⑤ [eqn: 41]

수열 [eqn: left { a_n right }]은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_n+2 = cases {-a_n +a_n+1 ~~ &(a_n <a_n+1 )#a_n over 2 -a_n+1 &(a_n ge a_n+1 )}]
을 만족시킨다. [eqn: a_2 =a_5 =8]이 되도록 하는 모든 [eqn: a_1]의 값의 합은? [[eqn: 5.0]점]

① [eqn: 62]	② [eqn: 54]	③ [eqn: 44]
④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 28]

③

[eqn: a_1]	[eqn: k]

[eqn: a_2]	[eqn: 8]

[eqn: a_3]	[eqn: a]

[eqn: a_4]

[eqn: a_5]	[eqn: 8]

[eqn: a_3 =a]라 하자.

ⅰ) [eqn: a>8], [eqn: a_4 =a-8], [eqn: a_3 >a_4] 이므로
[eqn: a_5 =8= a over 2 -(a-8)= it - a over 2 +8], [eqn: a=0]
모순이다.

ⅱ) [eqn: a le 8], [eqn: a_4 =4-a]

ⅱ-1) [eqn: 4-a>a], [eqn: a<2], [eqn: -a+4-a=8], [eqn: a=it -2]

ⅱ-2) [eqn: 4-a LEQ a], [eqn: a GEQ 2], [eqn: {a} over {2} - LEFT ( 4-a RIGHT ) =8], [eqn: a=8]

따라서 [eqn: a]로 가능한 값은 [eqn: -2], [eqn: 8]이다.

[eqn: a _{1} =k`]라 하면

① [eqn: a= it -2`]일 때,

①-1] [eqn: k<8]
[eqn: -k+8=it -2], [eqn: k=10]	[eqn: times]

①-2] [eqn: k ge 8]
[eqn: k over 2 -8=it -2], [eqn: k=12]	○

② [eqn: a=8`]일 때,

②-1] [eqn: k<8]
[eqn: -k+8=8], [eqn: k=0]	○

②-2] [eqn: k ge 8]
[eqn: k over 2 -8=8], [eqn: k=32]	○

[eqn: THEREFORE ~0+12+32=44]

[eqn: a_5 = 1]인 수열 [eqn: left{ a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

③

[eqn: a_5 = 1]일 때 가능한 [eqn: a_4]는 [eqn: a_4 = -2] 또는 [eqn: a_4 = 3]이고,

[eqn: a_4 = -2]일 때 가능한 [eqn: a_3]은 [eqn: a_3 = 4] 또는 [eqn: a_3 = 9]

[eqn: a_4 = 3]일 때 가능한 [eqn: a_3]은 [eqn: a_3 = -6] 또는 [eqn: a_3 = -1]

[eqn: a_3 > 7]이므로 [eqn: a_3 = 9]이고, 이 때 가능한 [eqn: a_2]는 [eqn: a_2 = -18] 또는 [eqn: a_2 = -13]이다.

[eqn: a_2 = -18]일 때, [eqn: a_1 = 36] 또는 [eqn: a_1 = 41]

[eqn: a_2 = -13]일 때, [eqn: a_1 = 26] 또는 [eqn: a_1 = 31]

따라서 [eqn: M= 41], [eqn: m = 26], [eqn: THEREFOREM+m = 67]

[eqn: a_n+1 = cases { 5 over2 - 1 over2 a_n ~& (a_n 이~2의~배수가~아닌~경우)#- a_n over2&(a_n 이~2의~배수인~경우)]

이다. [eqn: a_3 >7]이고, [eqn: a_1]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은?

[[eqn: 5.4]점]

① [eqn: 61]	② [eqn: 64]	③ [eqn: 67]
④ [eqn: 70]	⑤ [eqn: 73]

모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여 [eqn: a_11]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M], [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M-m]의 값은?[5.0점]

①

[풀이]

[eqn: a _{6} =3k```(k``는 ``자연수`)`,````3k+1`(k``는 ``음이`` 아닌 `정수)`,``][eqn: 3k+2`(k`는`` 음이`` 아닌`` 정수)] 일 때 각각의 경우에 대해서 알아보자

[eqn: a _{6} =3k]일 때 [eqn: a _{7} =20]이므로 [eqn: a _{6} =60]

[eqn: a _{8} =a _{7} +a _{6} =20+60=80]

[eqn: a _{9} =a _{8} +a _{7} =80+20=100]

[eqn: a _{10} =a _{9} +a _{8} =100+80=180]

[eqn: a _{11} = {1} over {3} a _{10} =60]이 된다.

[eqn: a _{6} =3k+1]일 때 알아보면

[eqn: k=0]이면 [eqn: a _{6} =1]

[eqn: a _{5} =19], [eqn: a _{4}]는 존재하지 않는다.

[eqn: k=1]이면 [eqn: a _{6} =4]

[eqn: a _{5} =16], [eqn: a _{4}]는 존재하지 않는다.

[eqn: k=2]이면 [eqn: a _{6} =7]

[eqn: a _{5} =13], [eqn: a _{4}]는 존재하지 않는다.

계속 알아보면 [eqn: a _{6} =3k+1]일때는 [eqn: a _{4}]가 존재하지 않는다.

[eqn: a _{6} =3k+2]일 때 알아보면

[eqn: k=0]이면 [eqn: a _{6} =2]

[eqn: a _{5} =18]이어야 하는데 [eqn: a _{6} = {1} over {3} a _{5} =6]이어 하므로 모순

[eqn: k=1]이면 [eqn: a _{6} =5]

[eqn: a _{5} =15]이고 [eqn: a _{6} = {1} over {3} a _{5} =5]라는 조건에 맞게 된다.

이 경우에 뒷부분을 알아보면

[eqn: a _{8} =25,`a _{9} =45,`a _{10} =15,`a _{11} =5]가 나온다.

[eqn: k=2]이면 [eqn: a _{6} =8]

[eqn: a _{5} =12]에서 [eqn: a _{6} = {1} over {3} a _{5} =4]이어야 하므로 모순

[eqn: k=3]이면 [eqn: a _{6} =11]

[eqn: a _{5} =9]이고 [eqn: a _{6} = {1} over {3} a _{5} =3]이어야 하므로 모순

이 경우도 [eqn: k=1]일 때 밖에 안됨을 확인할수 있다.

따라서 최댓값은 [eqn: 60], 최솟값은 [eqn: 5]가 되어

[eqn: M-m=60-5=55]

(가) [eqn: a_7 = 20]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n+2 = cases{ a_n+1 + a_n & (a_n+1 이 ``3의 ``배수가 ``아닌``경우) # 1 over 3 a_n+1 & (a_n+1 이``3의``배수인``경우)}]이다.

① [eqn: 55]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 65]

④ [eqn: 70]	⑤ [eqn: 75]

첫째항이 80인 등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에 대하여

[eqn: 610``,``72]

[eqn: T_20 = T _ 21]이므로

[eqn: LEFT | {20 ( 160 +19d)} over2RIGHT |= ` LEFT | {21(160+20 d)}over2RIGHT |]

[eqn: T_19 <T_20]조건에 만족하기위해 [eqn: d=-4]이므로

[eqn: T_n = left |-2 n^2 +82n right |]이고 [eqn: a_n = -4 n +84]이다

[eqn: T_n > T_ n+1]에 만족하는 [eqn: n]값들의 합은

[eqn: 21 + 22 + 23+ cdots + 40 = 610], 이고 [eqn: a_3 =72]이다.

수열 [eqn: LEFT { T_n RIGHT }]을 [eqn: T _{n} =left|it a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n} right|]이라 하자.

수열 [eqn: LEFT { T_n RIGHT }]은 [eqn: T_19 < T_20], [eqn: T_20 = T_21]을 만족시킬 때, [eqn: T_n > T_n+1]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합과 [eqn: a_3]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [7.0점]

수열 [eqn: a_1`,``a_2`,``cdots`,``a_16]은 다음 조건을 만족한다.

④

(가)식의 항은 [eqn: 7`]개, (나)식의 항은 [eqn: 11`]개의 합이고

(나)-(가) [eqn: =a _{n+7} +a _{n+8} +a _{n+9} +a _{n+10} `=2```(1 LEQ n LEQ 6)]

[eqn: a _{1} +a _{2} +` CDOTS `+a _{11} = it 1``]과 [eqn: a _{5} +a _{6} +` CDOTS `+a _{11} = it -1``]에서

[eqn: therefore```][eqn: a _{1} +a _{2} +` a_3 + a _{4} = 2]

[eqn: a _2 +a _{3} +` CDOTS `+a _{12} = it 1``}]과 [eqn: a _{6} +a _{7} +` CDOTS `+a _{12} = it -1``]에서

[eqn: therefore```][eqn: a _{2} +a _{3} +`a _{4} +a _{5} =2]

[eqn: a _{3} +a _{4} +` CDOTS `+a _{13} = it 1``]과 [eqn: a _{7} +a _{8} +` CDOTS `+a _{13} = it -1``]에서

[eqn: therefore```][eqn: a _{3} +a _{4} +`a _{5} +a _{6} =2]

[eqn: a _{4} +a _{5} +` CDOTS `+a _{14} = it 1``]과 [eqn: a _{8} +a _{9} +` CDOTS `+a _{14} = it -1``]에서

[eqn: therefore```][eqn: a _{4} +a _{5} +`a _{6} +a _{7} =2]

[eqn: a _{5} +a _{6} +` CDOTS `+a _{15} = it 1``]과 [eqn: a _{9} +a _{10} +` CDOTS `+a _{15} = it -1``]에서

[eqn: therefore```][eqn: a _{5} +a _{6} +`a _{7} +a _{8} =2]

[eqn: a _{6} +a _{7} +` CDOTS `+a _{16} = it 1``]과 [eqn: a _{10} +a _{11} +` CDOTS `+a _{16} = it -1``]에서

[eqn: therefore```][eqn: a _{6} +a _{7} +`a _{8} +a _{9} =2]

각각의 식을 연립하여 계산하면

[eqn: a _{1} =a _{5} `,````a _{2} =a _{6} `,`````a _{3} =a _{7} `,`````a _{4} =a _{8} `,`````a _{5} =a _{9}]

한편, (가)에서 [eqn: 1 LEQ n LEQ 9]일 때,

[eqn: a _{n} +a _{n+1} +` CDOTS `+a _{n+6} = it -1``]과 [eqn: a _{n+1} +a _{n+2} +` CDOTS `+a _{n+7} = it -1``]을 연립하여 계산하면

[eqn: a _{n} =a _{n+7} ```(1Le n LEQ 9)]

같은 방법으로 (나)에서 [eqn: 1 Le n Le 5`]일 때,

[eqn: a _{n} =a _{n+11} ```(1 LEQ n LEQ 5)]

따라서

[eqn: a_1 = a_2 =a_4 = a_5 =a_6 = a_8 =a_9 = a_11 =a_12 = a_13 =a_15 = a_16] 이고

[eqn: a_3 = a_7 =a_10 = a_14]

[eqn: therefore```][eqn: a _{1} +a _{2} +` CDOTS `+a _{7} = it -1``]에서 [eqn: 5a_1 +2a_3 =-1]

[eqn: a _{1} +a _{2} +` CDOTS `+a _{11} = it 1``]에서 [eqn: 8a _{1} +3a _{3} = 1]

[eqn: therefore```][eqn: a_1 =5`,````a_3 =-13]

[eqn: sum _{k=1} ^{16} `` LEFT | `a _{k} ` RIGHT | ` = 5 times12 + 13 times4 = 112]

(가) [eqn: a_n + a_n+1 + `cdots`+ a_n+6 =it-1```(1 le n le 10)]

(나) [eqn: a_n + a_n+1 + `cdots`+ a_n+10 =1```(1 le n le 6)]

이때, [eqn: sum _{k=1} ^{16} LEFT | a _{k} RIGHT | `]의 값은? [4.3점]

① [eqn: 109`]	② [eqn: 110`]	③ [eqn: 111`]

④ [eqn: 112`]	⑤ [eqn: 113`]

수열 [eqn: left{ a_n right}]이 [eqn: a_1 =9], [eqn: a_2 =3]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+1 = a_n + a_n+2]을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?[4.3점]

⑤

[풀이]

[eqn: a _{n+2} =a _{n+1} -a _{n}]의 변형하여 계산해보면

[eqn: a _{1} =9], [eqn: a _{2} =3], [eqn: a _{3} =-6], [eqn: a _{4} =-9], [eqn: a _{5=} -3], [eqn: a _{6} =6]

[eqn: a _{7} =9], [eqn: a _{8} =3]

계산하면 주기가 [eqn: 6]임을 알 수 있다.

[eqn: sum _{ k=1 } ^{30 } ( a_2k-1 + a_2k+1 )]

[eqn: =a _{1} +2(a _{3} +a _{5} +a _{7} +a _{9} +a _{11} +` CDOTS `+a _{59})+a _{61}]

[eqn: =2(a_1`+a _{3} +a _{5} +a _{7} +a _{9} +a _{11} +` CDOTS `+a _{59})+a _{61}-a_1]

[eqn: a_1 +a_3 +a_5`=`cdots`=0] (3개씩 묶음)이고 [eqn: a_61 = a_1`]이므로

[eqn: sum _{ k=1 } ^{30 } ( a_2k-1 + a_2k+1 )=0]이 된다.

[eqn: 200]이하의 자연수 중 절댓값이 [eqn: 9]가 나오는 경우는 주기 [eqn: 6]안에서 [eqn: 2]개씩 생기므로 [eqn: 200]을 [eqn: 6]으로 나눠보면 [eqn: 33]과 나머지가 [eqn: 2]이므로

[eqn: 33 TIMES 2+1=67]개 만큼 생기게 된다.

	| 보 기 |
ㄱ. [eqn: a_5 = -3] ㄴ. [eqn: sum _{ k=1 } ^{30 } ( a_2k-1 + a_2k+1 )=0] ㄷ. [eqn: left| a_p right| =9]를 만족시키는 [eqn: 200]이하의 자연수 [eqn: p]의 개수는 [eqn: 67]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

②

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} (2k-1)(2m+3-2k) ^{2}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} (2k-1)(2m+3-2k) ^{2}][eqn: +2m+1]이므로

(가)[eqn: =f(m)=2m+1]이고
[eqn: sum _{k=1} ^{m} (2k-1)(2m+1-2k) ^{2}][eqn: +8][eqn: TIMES sum _{k=1} ^{m} (2k-1)][eqn: LEFT { m-(k-1) RIGHT } `][eqn: +2m+1] [eqn: = {(m+1) ^{2} LEFT { 2(m+1) ^{2} +1 RIGHT }} over {3}]에서

(나)[eqn: =a=8], (다)[eqn: =g(k)=k-1]이다.

따라서

[eqn: f(3)+a+g(5)=7+8+4=19]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} (2k-1)(2n+1-2k) ^{2} = {n ^{2} (2n ^{2} +1)} over {3} ~ CDOTS ①]

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

[증명]

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,

(좌변)[eqn: =1], (우변)[eqn: = {1 ^{2} (2 TIMES 1 ^{2} +1)} over {3} =1]

따라서 [eqn: n=1]일 때 ①이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m]일 때, ①이 성립한다고 가정하면
[eqn: sum _{k=1} ^{m} (2k-1)(2m+1-2k) ^{2} = {m ^{2} (2m ^{2} +1)} over {3}]

[eqn: n=m+1]일 때,
[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} (2k-1)(2m+3-2k) ^{2}]	[eqn: = sum _{k=1} ^{m} (2k-1)(2m+3-2k) ^{2}][eqn: + {BOX{~~(가)~~}} ``]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} (2k-1)(2m+1-2k) ^{2}]	[eqn: + {BOX{~~(나)~~}} ``][eqn: TIMES sum _{k=1} ^{m} (2k-1)][eqn: LEFT { m-( {BOX{~~(다)~~}} `) RIGHT } `][eqn: + {BOX{~~(가)~~}} ``][eqn: = {(m+1) ^{2} LEFT { 2(m+1) ^{2} +1 RIGHT }} over {3}]이다.	따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 ①이 성립한다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ①이 성립한다.

위의 (가)[eqn: =f(m)], (나)[eqn: =a], (다)[eqn: =g(k)]라 할 때, [eqn: f(3)+a+g(5)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [[eqn: 5.5]점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 23]
④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 31]

수열 [eqn: left{a_n right}`]을 [eqn: a_n = sum _{ k=1} ^{n } 1 overk`]이라 할 때, 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 등식
[eqn: a_1 +2a_2 +3a_3 +cdots +n a_n = {n(n+1)} over4 (2a_n+1 -1)][eqn: cdots(ast)]
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p`], (나), (다), (라)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m),~g(m),~h(m)`]이라 할 때, [eqn: {f(2p) timesg(2p)} over{h(2p)}`]의 값은? [5.0점]

① [eqn: 1 over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over2]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over2]

③

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때,

[eqn: a_n = sum _{ k=1} ^{n } 1 overk`]에서 [eqn: a_1 =1 ,~a_2 = 1+ 1 over2]이므로

(좌변)[eqn: =a_1]

(우변)[eqn: = {1 times2} over4 (2a_2 -1)= a_2 - box{`1 over2`} = 1=a_1]

이므로 [eqn: (ast)]이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m`]일 때, [eqn: (ast)]이 성립한다고 가정하면
[eqn: a_1 +2a_2 +3a_3 +cdots +m a_m = {m(m+1)} over4 (2a_m+1 -1)]이다.
[eqn: n=m+1`]일 때, [eqn: (ast)]이 성립함을 보이자.
[eqn: a_1 +2a_2 +3a_3 +cdots +m a_m +(m+1)a_m+1]
[eqn: = {m(m+1)} over4 (2a_m+1 -1) + (m+1)a_m+1]

[eqn: = {m(m+1)} over2 a_m+1 - m(m+1) over4 + (m+1)a_m+1]
[eqn: =(m+1)a_m+1 times box{``left(m over2 +1 right)`}- m(m+1) over4]

[eqn: a_n = sum _{ k=1} ^{n } 1 overk`]에서 [eqn: a_m+1 =a_m+2 - 1 overm+2]을 이용하면
[eqn: = {(m+1)(m+2)} over2 left(a_m+2 - box{` 1 overm+2} ``right)- {m(m+1)} over4]
[eqn: = {(m+1)(m+2)} over4 left(2a_m+2 - 2 overm+2 -box{`m overm+2`} ``right)]
[eqn: = {(m+1)(m+2)} over4 (2a_m+2 - 1)]
따라서 [eqn: n=m+1`]일 때도 [eqn: (ast)]이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: a_1 +2a_2 +3a_3 +cdots +n a_n = {n(n+1)} over4 (2a_n+1 -1)]
이 성립한다.

[eqn: p= 1 over2], (나) [eqn: m+2 over2], (다) [eqn: 1 overm+2], (라) [eqn: m overm+2]이므로

[eqn: {f(1) timesg(1)} overh(1)} = {3 over2 times 1 over3} over{ 1 over3} = 3 over2]

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때,

(좌변)[eqn: =a_1], (우변)[eqn: =a_2 -box{~(가)~}``=1=a_1]
이므로 [eqn: (ast)]이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m`]일 때, [eqn: (ast)]이 성립한다고 가정하면
[eqn: a_1 +2a_2 +3a_3 +cdots +m a_m = {m(m+1)} over4 (2a_m+1 -1)]
이다.
[eqn: n=m+1`]일 때, [eqn: (ast)]이 성립함을 보이자.
[eqn: a_1 +2a_2 +3a_3 +cdots +m a_m +(m+1)a_m+1]
[eqn: = {m(m+1)} over4 (2a_m+1 -1) + (m+1)a_m+1]
[eqn: =(m+1)a_m+1 times box{~(나)~} ``- m(m+1) over4]
[eqn: = {(m+1)(m+2)} over2 (a_m+2 - box{~(다)~} ``)- {m(m+1)} over4]
[eqn: = {(m+1)(m+2)} over4 left(2a_m+2 - 2 overm+2 -box{~(라)~} ``right)]
[eqn: = {(m+1)(m+2)} over4 (2a_m+2 - 1)]
따라서 [eqn: n=m+1`]일 때도 [eqn: (ast)]이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: a_1 +2a_2 +3a_3 +cdots +n a_n = {n(n+1)} over4 (2a_n+1 -1)]
이 성립한다.

다음은 [eqn: n ge2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식

⑤

(ⅰ) [eqn: n ge2]이므로 (가)[eqn: =2]

(ⅱ) [eqn: n=k`] [eqn: (k ge2)]일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면
[eqn: 1+ 1 over2 ^2 + 1 over3^2 + cdots + 1 overk^2 < 2- 1 overk`]이다.
이 부등식의 양변에 [eqn: {1} over {(k+1) ^{2}}]을 더하면
[eqn: 1+ {1} over {2 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} + CDOTS + {1} over {k ^{2}} + {1} over {(k+1) ^{2}} ``<2- {1} over {k} `+ {1} over {(k+1) ^{2}} ``]이므로 [eqn: {1} over {{BOX{~~(나)~~}}} `][eqn: = {1} over {(k+1) ^{2}}]에서 (나)[eqn: =(k+1) ^{2}]
이때, [eqn: 2- {1} over {k} + {1} over {(k+1) ^{2}} ``- LEFT ( 2- {1} over {k+1} RIGHT ) ``= {-1} over {k(k+1) ^{2}} `<0]이므로

(다)[eqn: =(k+1)]
따라서 [eqn: a=2], [eqn: f(k)=(k+1) ^{2}], [eqn: g(k)=k+1]

[eqn: a+ {f LEFT ( 5 RIGHT )} over {g LEFT ( 3 RIGHT )}][eqn: =2+ {36} over {4} =11]

[eqn: 1 + 1over2^2 + 1over3^2 + `cdots`+ 1overn^2 < 2- 1overn] [eqn: cdotscdots] ㉠

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다. [[eqn: 4.7]점]

	(ⅰ) [eqn: n=][eqn: {BOX{~~(가)~~}} ``]일 때, (좌변)[eqn: =1+ 1over2^2 = 5 over4], (우변)[eqn: = 2 - 1over2 = 3 over2] 따라서 [eqn: n=][eqn: {BOX{~~(가)~~}} ``]일 때 ㉠이 성립한다. (ⅱ) [eqn: n=k] ([eqn: k ge2])일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면 [eqn: 1 + 1over2^2 + 1over3^2 + `cdots`+ 1overk^2 < 2- 1overk] 이므로, [eqn: (1+ {1} over {2 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} +` CDOTS `+ {1} over {k ^{2}} )+][eqn: {1} over {{BOX{~~(나)~~}}} `] [eqn: <2- {1} over {k} +][eqn: {1} over {{BOX{~~(나)~~}}} `] 이때, [eqn: k ge2] 이므로, [eqn: ` LEFT { 2- {1} over {k} + {1} over {{BOX{~~(나)~~}}} RIGHT }][eqn: `-(2- {1} over {{BOX{~~(다)~~}}} )] [eqn: =- {1} over {k(k+1) ^{2}} <`0] 에서 [eqn: `2- {1} over {k} + {1} over {{BOX{~~(나)~~}}}][eqn: <2- {1} over {{BOX{~~(다)~~}}}] 즉, [eqn: 1+ {1} over {2 ^{2}} + {1} over {3 ^{2}} +` CDOTS `+][eqn: {1} over {{BOX{~~(나)~~}}} `][eqn: <2- {1} over {{BOX{~~(다)~~}}}] 따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 ㉠이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: n ge2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ㉠이 성립한다.

위의 과정에서 (가)에 알맞은 수를 [eqn: a]라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)]라 할 때, [eqn: a+ {f LEFT ( 5 RIGHT )} over {g LEFT ( 3 RIGHT )}]의 값은?

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

21년 내신대비 기출	고1 2학기 중간고사	명제

23년 기출	수1 내신대비	정답 및 풀이

⑤

④

①

④

⑤

⑤

③

⑤

①

①

②

②

③

⑤

②

⑤

⑤

③

②

③

⑤

④

③

②

[eqn: 11]

③

③

⑤

②

④

③

④

⑤

③

①

④

②

④

①

④

②

④

①

③

②

①

③

①

(1) [eqn: 10] (2) [eqn: 15`]개

[eqn: -15``]

[eqn: 25 over 8]

⑤

③

④

⑤

③

⑤

①

①

②

③

④

④

[eqn: - pi over2 < theta le - pi over3] 또는 [eqn: pi over3 le theta < pi over2]

④

⑤

⑤

[eqn: 2pi]

⑤

⑤

②

⑤

⑤

[eqn: 7]

④

[eqn: x= {pi} over {6}] 또는 [eqn: x= {5} over {6} pi]

②

③

③

⑤

④

④

[eqn: 6]

①

②

②

(1) 범위를 나누어 [eqn: f(x) ``]를 구하면 다음과 같다.
1) [eqn: x= 0 ``]일 때, [eqn: f(x ) = [2^0 ] + [2^1 ] = 3 ``]
2) [eqn: 0<x< pi over 2 ``]일 때, [eqn: 0<sinx<1 ``]이고 [eqn: 0< cosx <1 ``]이므로 [eqn: f(x) = 2 ``]
3) [eqn: x = pi over 2 ``] 일 때, [eqn: f(x ) = [2^1 ] + [2^0 ] = 3 ``]
4) [eqn: pi over 2 <x le pi ``]일 때, [eqn: 0 le sin x <1``]이고 [eqn: cos x <0 ``]이므로 [eqn: f(x) =1 ``]
5) [eqn: pi <x < 3pi over 2 ``]일 때, [eqn: sin x < 0 ``]이고 [eqn: cos x < 0 ``]이므로 [eqn: f(x) = 0 ``]
6) [eqn: 3pi over 2 le x < 2pi ``]일 때, [eqn: sin x < 0 ``]이고 [eqn: 0 le cos x < 1 ``]이므로 [eqn: f(x) = 1``]
7) [eqn: x = 2pi ``]일 때, [eqn: f(x ) = [2^0 ] + [2^1 ] = 3 ``]
따라서 그래프로 나타내면 다음과 같다.

(2) [eqn: x = pi over 12 , ``` 5pi over 12 , ```pi , ``` 3pi over 2 ``]

[eqn: pi over 2 ``]

[eqn: 3pi over 2 ``]

[eqn: pi``]

[eqn: 2pi ``]

[eqn: 1``]

[eqn: 2``]

[eqn: 3``]

[eqn: O``]

⑤

③

[eqn: 45]

⑤

[eqn: bold {2 over3 pi]

⑤

⑤

[eqn: 2]

③

⑤

④

①

②

②

④

⑤

②

⑤

⑤

②

②

⑤

⑤

②

②

④

①

①

④

④

②

①

④

②

③

③

④

④

③

②

④

②

④

①

③

①

[eqn: - {1} over {4}]

④

②

①

⑤

②

②

③

④

③

①

④

①

⑤

[eqn: 5sqrt { 7}]

③

⑤

④

③

③

④

④

③

④

④

⑤

⑤

④

④

②

[eqn: sqrt {3} ``rm m]

②

[eqn: r=5]

④

[eqn: 4]

②

①

①

[eqn: {100pi} over {3}``]

[eqn: {81} over {2} pi]

⑤

③

[eqn: {14 sqrt {3}} over {3}]

②

[eqn: {3 sqrt {3}} over {14}]

①

③

②

[eqn: { 2 root78 } over 13]

③

①

②

⑤

④

⑤

④

②

③

②

[eqn: 22]

②

⑤

②

①

②

[eqn: 15 root 3]

⑤

(1) [eqn: 10root3 ``] (2) [eqn: a=7``] (3) [eqn: R`=`{7root3}over3 ``]

①

③

⑤

②

[eqn: 50root2]

④

④

②

①

[eqn: root7over8]

①

①

⑤

③

[eqn: 4- 2root3]

[eqn: 15]

②

①

[eqn: 12]

①

③

②

①

①

⑤

③

⑤

④

[eqn: root 35]

④

④

③

④

⑤

[eqn: 27 over 2]

(1) [eqn: 12 pi ``] (2) [eqn: 4+2 sqrt {3}``]

①

[eqn: {9sqrt { 39}}over2]

③

①

③

①

⑤

③

③

⑤

④

③

②

④

⑤

⑤

④

③

③

④

③

②

①

③

③

①

③

④

③

③

②

⑤

⑤

②

③

②

⑤

①

③

③

[eqn: 41]개

③

④

④

③

①

②

①

④

⑤

②

[eqn: rm` {bar{BC}} `=5], 넓이 [eqn: 5 sqrt {3}]

[eqn: n=10]

④

⑤

③

(1) [eqn: 10] (2) [eqn: m=27`,`````M=135]

[eqn: n=8`,`d=2``]

④

①

(1) [eqn: ``a _{n} =-4n+38] (2) [eqn: 162]

⑤

④

[eqn: 225]

⑤

③

②

③

③

①

③

⑤

④

①

[eqn: 3,`-75``]

③

④

③

⑤

[eqn: 23]

①

③

[eqn: -63]

③

[eqn: 29]

②

②

(1-1) [eqn: bold 3] (1-2) [eqn: bold{ {8+3sqrt21} over 5]

②

⑤

②

②

③

③

④

④

②

⑤

②

①

⑤

③

④

④

③

③

⑤

③

④

③

[eqn: 144``]

[eqn: 11]

③

③

②

①

⑤

①

②

③

②

③

[eqn: a=2,`b=1,`c=-4``]

②

⑤

②

③

④

④

②

③

1) [eqn: a_n =7n], 2) [eqn: 1470]

③

[eqn: 259]

③

④

⑤

③

⑤

⑤

④

④

②

⑤

③

③

②

②

②

④

⑤

[eqn: 162]

④

①

④

①

⑤

④

⑤

④

①

②

①

①

④

①

④

①

②

②

(1) [eqn: 3] (2) [eqn: 155]

③

④

①

①

①

⑤

⑤

③

⑤

④

②

[eqn: 10over21]

③

②

③

①

③

②

④

⑤

⑤

⑤

②

⑤

④

②

⑤

④

⑤

⑤

①

②

④

②

[eqn: {bold{p=5,~q=it-125}}]

①

④

③

②

②

⑤

②

⑤

⑤

④

②

②

②

⑤

①

③

①

②

②

①

②

④

④

[eqn: 4over49]

④

②

⑤

①

⑤

③

①

[eqn: 1429]

①

④

④

[eqn: 22]

[eqn: 10 over 21]

[eqn: 25 over21]

①

③

④

②

③

[eqn: 3]

⑤

③

①

④

[eqn: {bold{{25} over {32}}}]

①

②

⑤

⑤

⑤

⑤

①

④

(1) [eqn: 10]	(2) [eqn: 1 over 39]

③

③

②

⑤

[eqn: 822]

⑤

③

①

③

①

④

④

④

③

[eqn: 3]

②

⑤

③

②

③

②

④

①

③

①

[eqn: 3]

⑤

⑤

①

(1) [eqn: a_1 =2`,```a_2`=3`,``a_3`=6`,``a_4`=7] (2) [eqn: 10050]

①

⑤

④

⑤

⑤

②

②

⑤

③

⑤

⑤

④

④

②

①

①

②

④

③

③

[eqn: a _{6} =3]

①

[eqn: 381]

①

②

④

③

①

②

③

④

④

②

④

⑤

③

③

②

⑤

⑤

③

②

ⅰ) [eqn: n=5]
[eqn: 2^5 >5^2]임은 자명하다.
ⅱ) [eqn: n ge 6]
[eqn: 2^n >n^2]이라고 가정하자.
[eqn: 2^n+1 > 2n^2],
[eqn: 2n^2 -(n+1)^2 =n^2 -2n-1][eqn: =(n-1)^2 -2>0] ([eqn: n ge 6]인 범위)
[eqn: 2n^2 >(n+1)^2]
[eqn: 2^n+1 >2n^2 >(n+1)^2]이므로
[eqn: 2^n+1 >(n+1)^2]
[eqn: 2^n >n^2]일 때 [eqn: 2^n+1 >(n+1)^2]이므로
수학적 귀납법에 의해 [eqn: n ge 5]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 [eqn: 2^n >n^2]이 성립한다.

①

⑤

⑤

ⅰ) [eqn: n=2]일 때,
(좌변)[eqn: =1+ {1} over {2} = {3} over {2}], (우변)[eqn: = {2 TIMES 2} over {2+1} = {4} over {3}]
이때 [eqn: {3} over {2} > {4} over {3}]이므로 ①이 성립한다.
ⅱ) [eqn: n=k(k GEQ 2)]일 때 ①이 성립한다고 가정하면
[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS {1} over {k} > {2k} over {k+1}]이므로
[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS {1} over {k} + {1} over {k+1} > {2k} over {k+1} + {1} over {k+1} = {2k+1} over {k+1}]
이때 [eqn: k GEQ 2]에서
[eqn: {2k+1} over {k+1} - {2(k+1)} over {k+2} = {(2k+1)(k+2)-2(k+1) ^{2}} over {(k+1)(k+2)}][eqn: = {(2k ^{2} +5k+2)-(2k ^{2} +4k+2)} over {(k+1)(k+2)} = {k} over {(k+1)(k+2)} >0]
즉, [eqn: {2k+1} over {k+1} > {2(k+1)} over {k+2}]이므로
[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS {1} over {k} + {1} over {k+1} > {2(k+1)} over {k+2}]
따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 주어진 부등식 ①이 성립한다.
ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ①이 성립한다.

①

②

⑤

①

③

②

④

②

①

④

②

①

④

④

[eqn: 23``]

③

①

[1-1] [eqn: a _{1} =2] [1-2] [eqn: a _{n} -a _{n-1} =4] [1-3] [eqn: m=8]

④

②

[eqn: {1} over {3} ,~ {2} over {3} ,~ {5} over {3} ,~2]

(1) [eqn: a _{1} =a``]라 하면 [eqn: a _{1} +a _{2} =-1``] 이므로 [eqn: a _{2} =-a-1``]이고
[eqn: a _{1} =a>0``]이므로 [eqn: a _{2} <0``]이다.
[eqn: a _{3} =- {1} over {a+1}``]이고 [eqn: a _{3} <0``]이다.
[eqn: a _{4} =-1+ {1} over {a+1} =- {a} over {a+1}``]이고 [eqn: a _{4} <0``]이다.
[eqn: a _{5} =- {a+1} over {a}``]이고 [eqn: a _{5} <0``]이다.
[eqn: a _{6} =-1+1+ {1} over {a} = {1} over {a}``]이고 [eqn: a _{6} >0``]이다.
[eqn: a _{7} = {1} over {a _{6}} =a``]이고 [eqn: a _{7} >0``]이다.
(2) [eqn: a= {1} over {3} `,```2``]

①

④

②

[eqn: - {1`4} over {3}]

③

[eqn: {125} over {2}]

④

[eqn: 7]

①

①

②

④

④

③

③

①

[eqn: 610``,``72]

④

⑤

②

③

⑤