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수학 Ⅱ (고2)	내신대비 모의고사	범위 : 미분-적분
		시험시간 : 50분
총 21문항 : 객관식 16, 주관식 5
		이름 :

Du kannst, denn Du sollst !	| |	용문아 수학교실

[객관식]

곡선 [eqn: y =-x^3 +4x] 위의 점 [eqn: (1,`3)]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y =mx+n]이다. [eqn: 10m +n]의 값은?

①

[eqn: y =-x ^{ 3}+4x]에서 [eqn: y` prime =-3x ^{2} +4]

이때 [eqn: x=1]일 때, 접선의 기울기는 [eqn: -3+4 = 1]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-3=1 LEFT ( x-1 RIGHT )]    [eqn: THEREFORE``][eqn: y=x+2]

따라서 [eqn: m =1], [eqn: n = 2]이므로

[eqn: 10m+n = 10+2 = 12]

① [eqn: 12]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 4]

다음 식을 만족시킬 때, [eqn: p+q+r]의 값은?
(단, [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]는 상수이고, [eqn: {rmC}]는 적분상수이다.)

⑤

[eqn: int _{} ^{} {(9x ^{2} -24x+16)} dx+ int _{} ^{} {(9x ^{2} +24x+16)} dx]
[eqn: = int _{} ^{} {(18x ^{2} +32)} dx=6x ^{3} +32x+ C it]
[eqn: p=6], [eqn: q=0], [eqn: r=32]  [eqn: THEREFORE][eqn: p+q+r=38]

[eqn: int _{} ^{} {} (3x-4) ^{2} dx+ int _{} ^{} {} (3x+4) ^{2} dx][eqn: = px^3 + qx^2 + rx + {rm{rmC}}]

① [eqn: 22]

② [eqn: 26]

③ [eqn: 30]

④ [eqn: 34]

⑤ [eqn: 38]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x^4 - 4x^2 - a > 0]가 항상 성립하도록 하는 정수 [eqn: a]의 최댓값은?

②

[eqn: f(x)=x^4 -4x^2 -a]라고 하면
[eqn: f`'(x)=4x^3 -8x=4x(x^2 -2)]
[eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: x=- sqrt2], [eqn: x=0], [eqn: x= sqrt2]
함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: - sqrt2]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: sqrt2]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]	극대	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]

[eqn: f(- sqrt2 )=f( sqrt2 )=-4-a]
함수 [eqn: f(x)]의 최솟값이 [eqn: -4-a]이므로
모든 실수 [eqn: x]에서 [eqn: f(x)>0]이 성립하려면 [eqn: -4-a>0]이어야 한다.
즉, [eqn: a< -4]
[eqn: therefore]정수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: -5]이다.

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에서	[eqn: int_ -2 ^x f(t)dt = x^3 - ax^2 + a]
를 만족시킬 때, [eqn: f(-3)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수)

②

[eqn: int _{-2} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt=x ^{3} -ax ^{2} +a}]
양변에 [eqn: x=-2]를 대입하면
[eqn: 0=-8-4a+a], [eqn: 3a=-8]
위 식을 [eqn: x]에 대해 미분하면
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -2ax]
[eqn: f LEFT ( -3 RIGHT ) =27+6a=27-16=11]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

좌표가 [eqn: -3]인 점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm { P }]의 시각 [eqn: t]에서의 속도가 [eqn: v(t) = 20 - 4t]일 때, 점 [eqn: rm { P }]가 움직이는 방향이 바뀌는 시각에서의 점 [eqn: rm { P }]의 위치는?

④

[eqn: v(t)=0]에서 [eqn: t=5]
[eqn: therefore][eqn: t=5]일 때 점 [eqn: {rmP}]의 위치는
[eqn: -3+ int _{0} ^{5} {v(t)dt}][eqn: =-3+ LEFT [ 20t-2t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{5} =47]

① [eqn: 41]	② [eqn: 43]	③ [eqn: 45]

④ [eqn: 47]	⑤ [eqn: 50]

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가

②

[eqn: int{f(x)}dx=xg(x)]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: f(x)=g(x)+xg'(x)]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠]
[eqn: f(x)+2g(x)=5x ^{2} +8x-6]에 ㉠을 대입하면
[eqn: 3g(x)+xg` prime (x)=5x ^{2} +8x-6]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉡]
함수 [eqn: g(x)]는 이차함수이므로
[eqn: g(x)=ax ^{2} +bx+c]라고 하면 [eqn: g'(x)=2ax+b]
이를 ㉡에 대입하면
[eqn: 5ax ^{2} +4bx+3c=5x ^{2} +8x-6]
[eqn: a=1], [eqn: b=2], [eqn: c=-2]
[eqn: g(x)=x ^{2} +2x-2] [eqn: therefore][eqn: g` LEFT ( 3 RIGHT ) =13]

[eqn: int f(x) dx = x g(x)], [eqn: {d} over {dx} LEFT ( int _{} ^{} {} LEFT { f(x)+2g(x) RIGHT } dx RIGHT ) =5x ^{2} +8x-6]

를 만족시킬 때, [eqn: g(3)]의 값은?

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

곡선 [eqn: y = 1 over 2 x^2 + x] 위의 점 [eqn: {rmP}]와 두 점 [eqn: {rmA}(0`,`-1)], [eqn: {rmB}(1`,`0)]에 대하여 삼각형 [eqn: {rmP}{rmA}{rmB}]의 넓이의 최솟값은?

③

삼각형 [eqn: rm { PAB }]의 넓이는 점 [eqn: rm { P }]에서의 접선의 기울기가 직선 [eqn: rm { AB }]와 같아질 때 최소이다.
직선 [eqn: rm { AB }]는 [eqn: y=x-1]이므로 점 [eqn: P]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: c]라 할 때, [eqn: c+1=1]에서 [eqn: c=0] 즉, [eqn: rm { P(0,~0) }]
[eqn: therefore]구하는 넓이의 최솟값은 [eqn: 1over2 times 1 times 1 = 1over2]

① [eqn: 1 over 8]	② [eqn: 1 over 4]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3 over 2]

방정식 [eqn: left| ` 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 ` right | = k]가 서로 다른 네 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는?

③

[eqn: f(x)=2x ^{3} -3x ^{2} -12x+1]이라 하면
[eqn: f` prime (x)=6x ^{2} -6x-12][eqn: =6(x-2)(x+1)]
[eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=-1]
함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내고
[eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 8]	[eqn: SEARROW]	[eqn: -19]	[eqn: NEARROW]

방정식 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT | =k]가 서로 다른 [eqn: 4]개의 실근을 갖기 위한 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: 8<k<19]이다.
[eqn: therefore]정수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 10]이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

키가 [eqn: 2 ` rm m]인 선운이가 지면으로 부터의 높이가 [eqn: 5 ` rm m]인 가로등 바로 밑에서 출발하여 일직선으로 초속 [eqn: 1.2 ` rm m]의 속도로 걸어가고 있을 때, 선운이의 그림자의 끝이 움직이는 속도는?

②

선운이의 그림자의 길이를 [eqn: x]라 하자.

[eqn: t]초 동안 선운이가 움직인 거리는 [eqn: 1.2t`rm m]이므로 다음의 비례식이 성립한다.
[eqn: 5:(1.2t+x)=2:x], [eqn: x=0.8t]
따라서 시각 [eqn: t]에서의 가로등으로부터 그림자 끝까지의 거리는 [eqn: 2t`rm (m)]이므로 속도는 [eqn: 2][eqn: rm m/초]이다.

① [eqn: 1 ` rm m/초]	② [eqn: 2 ` rm m/초]	③ [eqn: 3 ` rm m/초]

④ [eqn: 4 ` rm m/초]	⑤ [eqn: 5 ` rm m/초]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 두 사차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

⑤

[eqn: h(x)=f(x)-g(x)]라 하면 [eqn: h(x)]는 삼차함수이므로
조건 ㈎에서 [eqn: h(x)=ax(x+1)(x-1)][eqn: =ax ^{3} -ax]
조건 ㈏에서 [eqn: int _{0} ^{4} {h(x)dx=96}]이므로
[eqn: LEFT [ {a} over {4} x ^{4} -ax ^{2} RIGHT ] _{0}^{4} =96]에서 [eqn: a=2]
[eqn: h(x)=2x(x+1)(x-1)]  [eqn: therefore][eqn: h(2)=12]

㈎ 두 함수 [eqn: y = f(x)]와 [eqn: y = g(x)]의 그래프가 만나는 세 점의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1]이다.

㈏ [eqn: int _{0} ^{4} {} f(x)dx=80], [eqn: int _{0} ^{4} {} g(x)dx=-16]

[eqn: f(2) - g(2)]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x) = - f(x)]를 만족시킨다. [eqn: int_-2 ^2 (x - 3) f ` prime (x)dx = 18]일 때, [eqn: f(-2)]의 값은?

⑤

[eqn: f(x)]는 기함수이므로 [eqn: f`'(x)]는 우함수이다.
[eqn: int _{-2} ^{2} {xf`' LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: -3 int _{-2} ^{2} {f`' LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: =18]
[eqn: f(2)-f(-2)][eqn: =-6]
[eqn: -2f(-2)][eqn: =-6]  [eqn: therefore`][eqn: f(-2)=3]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

한 변의 길이가 [eqn: 20` rmcm]인 정삼각형 모양의 종이에 세 모퉁이에서 합동인 사각형 모양의 종이를 다음 그림과 같이 잘라내고 남은 부분을 접어서 뚜껑이 없는 상자를 만들 때, 그 부피가 최대가 되는 [eqn: x]의 값은? (단, 단위는 [eqn: rm cm^3])

②

상자의 밑면인 [eqn: rm triangle A'B'C']의 넓이는 [eqn: 1 over2 (20-2x)(20-2x) sin 60][eqn: °]

[eqn: = sqrt 3 over 4 (20 - 2 x)^2]

상자의 높이는 [eqn: x tan30][eqn: °][eqn: = x over sqrt 3]이므로 상자의 부피는 [eqn: { rm V}(x)]라 하면

[eqn: {rm V}(x)][eqn: = sqrt 3 over 4 (20 - 2x )^2 times x over sqrt 3]
[eqn: = 1over 4 ( 4x^3 - 80 x^2 + 400 x)] (단, [eqn: 0 < x< 10])

[eqn: {rm V}'(x)= 1over 4 ( 12x^2 - 160 x + 400) = 1 over 4 (2x -20)(6x -20)]

[eqn: {rm V}(x) = 0]에서 [eqn: x= 10 over3]

[eqn: {rm V}(x)]의 증가와 감소를 나타내면 다음 표와 같다.

[eqn: x]	[eqn: (0)]	[eqn: cdots]	[eqn: 10 over 3]	[eqn: cdots]	[eqn: (10)]
[eqn: {rm V}` prime (x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: {rm V}(x)]		↗	극대	↘

따라서 부피가 최대가 되는 [eqn: x]의 값은 [eqn: 10 over3]

① [eqn: 5 over 3]	② [eqn: 10 over 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 11 over 2]	⑤ [eqn: 8]

두 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다. 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 2,`g LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=ax+b]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

⑤

조건 ㈏에서 [eqn: f(2)=g(2)]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠]
[eqn: lim_{x->2}{{f(x)-f(2)}over{x-2}}-lim_{x->2}{{g(x)-g(2)}over{x-2}}=5]
[eqn: f`'(2)-g`'(2)=5]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉡]
조건 ㈎의 식에 [eqn: x=2]를 대입하면
[eqn: g(2)=4f(2)-3]
㉠과 연립하면 [eqn: f(2)=1], [eqn: g(2)=1]
조건 ㈎의 식을 미분하여 [eqn: x=2]를 대입하면
[eqn: g`'(2)=4f(2)+4f`'(2)]
㉡에서 [eqn: f`'(2)=g'(2)+5]이므로 대입하면
[eqn: 3g'(2)=-24], [eqn: g'(2)=-8]
따라서 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (2,~1)]에서의 접선의 방정식은
[eqn: y=-8(x-2)+1]  [eqn: thereforey=-8x+17]
[eqn: a=-8,~b=17]  [eqn: thereforea+b=9]

㈎ [eqn: g LEFT ( x RIGHT )=x^2 f LEFT ( x RIGHT )-3]	㈏ [eqn: lim _{x -> 2} {} {f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )} over {x-2} =5]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+3]이 [eqn: x=1]에서 극댓값 [eqn: 7]을 갖는다. 함수 [eqn: f(x)]가 닫힌구간 [eqn: [c`,`d]]에서 감소하고, [eqn: c]의 최솟값을 [eqn: alpha], [eqn: d]의 최댓값을 [eqn: beta]하고 할 때, [eqn: a+b+alpha + beta]의 값은?
(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: alpha], [eqn: beta]는 상수이다.)

③

[eqn: f` prime (x)=3x ^{2} +2ax+b]
[eqn: f(1)=7]에서 [eqn: a+b=3]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠]
[eqn: f` prime (1)=0]에서 [eqn: 2a+b=-3]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉡]
㉠과 ㉡을 연립하면 [eqn: a=-6], [eqn: b=9]
[eqn: therefore`][eqn: f` prime (x)=3x ^{2} -12x+9][eqn: =3(x-1)(x-3)]
[eqn: f` prime (x)leq0]에서 [eqn: 1 LEQ x LEQ 3]  [eqn: therefore`][eqn: alpha =1], [eqn: beta =3]
[eqn: therefore`][eqn: a+b+ alpha + beta =7]

① [eqn: 11]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 3]

자연수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = x^2]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: k^2]만큼 평행이동한 그래프를 [eqn: y = g_k (x)]라 하자. 이때, [eqn: sum _{k=1} ^{20} LEFT ( int _{k+1} ^{k+2} {} g _{k+1} (x)dx- int _{k} ^{k+1} {} g _{k} (x)dx RIGHT )]의 값은?

③

[eqn: y=g_k (x)]의 그래프와 [eqn: x]축, [eqn: x=k], [eqn: x=k+1]로 둘러싸인 부분을 나타내면 다음과 같다.

이때 [eqn: A]부분의 넓이는 [eqn: int_0^1{f(x)}dx]와 같고
[eqn: B]부분의 넓이는 [eqn: k^2]이므로 [eqn: int_{k}^{k+1}{g_k (x)}dx=int_0^1 {f(x)}d+k^2]
마찬가지로
[eqn: int_{k+1}^{k+2}{g_k+1 (x)}dx=int_0^1{f(x)}dx+ (k+1)^2]

따라서 [eqn: int_{k+1}^{k+2}{g_k+1 (x)}dx-int_k^{k+1}{g_k (x)}dx]
[eqn: =int_0^1{f(x)}dx+(k+1)^2 -int_0^1{f(x)}dx-k^2]
[eqn: =2k+1]

이므로 주어진 식의 값은
[eqn: sum _{k=1} ^{20} (2k+1)][eqn: =2 TIMES {20 TIMES 21} over {2} +20][eqn: =440]

① [eqn: 400]

② [eqn: 420]

③ [eqn: 440]

④ [eqn: 460]

⑤ [eqn: 480]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

③

[eqn: a _{1} =0]

[eqn: a _{2} =2-1=1]

[eqn: a _{3} =2- {1} over {2} = {3} over {2}]

[eqn: a _{4} =2- {1} over {4} = {7} over {4}]

[eqn: a _{n+1} -a _{n} = {1} over {2 ^{n-2}} - {1} over {2 ^{n-1}} = {1} over {2 ^{n-1}}]

이므로 닫힌구간 [eqn: LEFT [ a _{n}], [eqn: a _{n+1} RIGHT ]]의 길이는 [eqn: {1} over {2 ^{n-1}}]이다.

또한 [eqn: f LEFT ( a _{n} RIGHT ) = {cases{- {1} over {2} ~&LEFT ( n은`홀수 RIGHT )#{1} over {2}&LEFT ( n은`짝수 RIGHT )}}]이고 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {a _{n} +a _{n+1}} over {2}]이다.

따라서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서 [eqn: {rmF} left ( t right ) = int _{0} ^{t} {f left ( x right ) dx}]로 놓으면 함수 [eqn: y={rmF} left ( t right )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서 실수 [eqn: t]에 대한 방정식 [eqn: int _{0} ^{t} {f LEFT ( x RIGHT ) dx=p}]를 만족시키는 [eqn: t]의 개수가 [eqn: 11]이 되려면 직선 [eqn: y=p]가 곡선 [eqn: y=F LEFT ( t RIGHT )]와 [eqn: 11]개의 점에서만 만나면 된다.

즉, [eqn: p]는 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ a _{11}], [eqn: a _{12} RIGHT ]]에서 함수 [eqn: F LEFT ( t RIGHT )]의 극솟값이 되거나 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ a _{12}], [eqn: a _{13} RIGHT ]]에서 함수 [eqn: F LEFT ( t RIGHT )]의 극댓값이 되어야 한다.

닫힌 구간 [eqn: LEFT [ a _{11}], [eqn: a _{12} RIGHT ]]에서 함수 [eqn: F LEFT ( t RIGHT )]의 극솟값은 밑변의 길이가 [eqn: {1} over {2} LEFT ( a _{12} -a _{11} RIGHT ) = {1} over {2 ^{11}}]이고 높이가 [eqn: {1} over {2}]인 삼각형의 넓이에 [eqn: -1]을 곱한 값과 같으므로

[eqn: {1} over {2} times {1} over {2 ^{11}} times {1} over {2} times LEFT ( -1 RIGHT ) =- {1} over {2 ^{13}}]

닫힌구간 [eqn: LEFT [ a _{12}], [eqn: a _{13} RIGHT ]]에서 함수 [eqn: F LEFT ( t RIGHT )]의 극댓값은 밑변의 길이가 [eqn: {1} over {2} LEFT ( a _{13} -a _{12} RIGHT ) = {1} over {2 ^{12}}]이고 높이가 [eqn: {1} over {2}]인 삼각형의 넓이와 같으므로

[eqn: {1} over {2} times {1} over {2 ^{12}} times {1} over {2} = {1} over {2 ^{14}}]

따라서 구하는 모든 상수 [eqn: p]의 값의 합은 [eqn: - {1} over {2 ^{13}} + {1} over {2 ^{14}} =- {1} over {2 ^{14}}]

[eqn: a _{n} =2- {1} over {2 ^{n-2}}]

일 때, 구간 [eqn: left[0], [eqn: 2right)]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( -2 RIGHT ) ^{n-1} LEFT ( x- {a _{n} +a _{n+1}} over {2} RIGHT ) LEFT ( a _{n} LEQ x LEQ a _{n+1} RIGHT )]

이다. [eqn: t]에 대한 방정식 [eqn: int _{0} ^{t} {f LEFT ( x RIGHT ) dx=p}]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 11]이 되도록 하는 모든 상수 [eqn: p]의 값의 합은?

① [eqn: - {1} over {2 ^{12}}]	② [eqn: {1} over {2 ^{13}}]	③ [eqn: - {1} over {2 ^{14}}]
④ [eqn: {1} over {2 ^{15}}]	⑤ [eqn: - {1} over {2 ^{16}}]

[주관식]

다음 물음에 답하시오.

(1) [eqn: 36]	(2) [eqn: 1]

[eqn: int_0^3{(2x+1)^2}dx- int_0^3{(2x-1)^2 dx]
[eqn: - int_{-1}^{0}{(2x-1)^2}dx+ int_{-1}^0{(2x-1)^2}dx]
[eqn: = int _{0} ^{3} {LEFT ( 4x ^{2} +4x+1 RIGHT ) dx}][eqn: - int _{0} ^{3} {LEFT ( 4x ^{2} -4x+1 RIGHT ) dx}]
[eqn: = int _{0} ^{3} {8xdx}][eqn: = left[4x^2 right]_0^3][eqn: =36]
(2) 곡선 [eqn: y=x LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S(a)]라 하면

[eqn: S(a)= int _{0} ^{a} {} x LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) dx+ int _{a} ^{2} {} LEFT { -x LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) RIGHT } dx]

[eqn: = int _{0} ^{a} {} LEFT { x ^{3} - LEFT ( a+2 RIGHT ) x ^{2} +2ax RIGHT } dx]

[eqn: + int _{a} ^{2} {LEFT { -x ^{3} + LEFT ( a+2 RIGHT ) x ^{2} -2ax RIGHT } dx}]

[eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} - {a+2} over {3} x ^{3} +ax ^{2} RIGHT ] _{0} ^{a} + LEFT [ - {1} over {4} x ^{4} + {a+2} over {3} x ^{3} -ax ^{2} RIGHT ] _{a} ^{2}]

[eqn: = LEFT ( - {1} over {12} a ^{4} + {1} over {3} a ^{3} RIGHT ) _{{} _{}} + LEFT ( - {1} over {12} a ^{4} + {1} over {3} a ^{3} - {4} over {3} a+ {4} over {3} RIGHT ) _{{} _{}} ^{}]

[eqn: =- {1} over {6} a ^{4} + {2} over {3} a ^{3} - {4} over {3} a+ {4} over {3}]

[eqn: THEREFORE ``S`` prime (a)&=- {2} over {3} a ^{3} +2a ^{2} - {4} over {3}# &=- {2} over {3} LEFT ( a-1 RIGHT ) LEFT ( a ^{2} -2a-2 RIGHT )]

[eqn: S``'(a)=0]에서    [eqn: a=1~( BECAUSE ``0<a<2)]

[eqn: a]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]
[eqn: S`` prime (a)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: S(a)]		↘	극소	↗

따라서 [eqn: S(a)]는 [eqn: a=1]일 때 최소이다.

(1) [eqn: int_0 ^3 ( 2x + 1)^2 dx - int_ -1^3 (2x - 1)^2 dx + int_ -1^0 (2x -1)^2 dx]의 값을 구하시오.

(2) 곡선 [eqn: y=x LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 최소가 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<a<2])

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )=-2x^3 +kx^2 +4k^2 x-2]가 [eqn: -1<x<1]인 [eqn: x]의 값에서 극솟값을 갖고, [eqn: x>1]인 [eqn: x]의 값에서 극댓값을 갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하시오.

[eqn: 1<k< {3} over {2}]

[eqn: -1<x<1]인 [eqn: x]의 값에서 극솟값을 갖고
[eqn: x>1]인 [eqn: x]의 값에서 극댓값을 가지려면
[eqn: f`' LEFT ( -1 RIGHT ) <0], [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) >0]을 만족시켜야 한다.
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =-6x ^{2} +2kx+4k ^{2}]이므로
[eqn: f`' LEFT ( -1 RIGHT ) =4k ^{2} -2k-6=2 LEFT ( 2k-3 RIGHT ) LEFT ( k+1 RIGHT ) <0]에서
[eqn: -1<k< {3} over {2}]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠]
[eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =4k ^{2} +2k-6=2 LEFT ( 2k+3 RIGHT ) LEFT ( k-1 RIGHT ) >0]에서
[eqn: k<`- {3} over {2}] 또는 [eqn: k>1]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉡]
㉠과 ㉡을 공통으로 만족하는 [eqn: k] 값의 범위는 [eqn: 1<k< {3} over {2}]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, 실수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[eqn: {11} over {3}]

조건 (가), (나)에 의해
[eqn: f`'(x)=4(x-m)x ^{2}]이므로

[eqn: f` prime (2)=16(2-m)=16]
[eqn: THEREFORE ```m=1]

[eqn: f` prime (x)=4x ^{2} (x-1)=4x ^{3} -4x ^{2}]
[eqn: f(x)=x ^{4} - {4} over {3} x ^{3} +C]에서

[eqn: f(1)=- {1} over {3} +C= {5} over {3}]이므로 [eqn: C=2]

[eqn: THEREFORE ```f(x)=x ^{4} - {4} over {3} x ^{3} +2]

방정식 [eqn: left | ` f(x) - f(0) ` right | = k]를 만족시키는 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3]개이려면 [eqn: k=f(0)+ {5} over {3} = {11} over {3}]

(가) [eqn: f ` prime (0) = 0], [eqn: f` prime (2)=16], [eqn: f(1)= {5} over {3}]

(나) 어떤 양수 [eqn: m]에 대하여 두 열린구간 [eqn: (- INF `,`0)], [eqn: (0`,`m)]에서 [eqn: f` prime (x)<0]이다.

(다) 방정식 [eqn: left | ` f(x) - f(0) ` right | = k]를 만족시키는 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3]이다.

사차함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: y = f ` prime (x)]의 그래프가 다음의 그림과 같고 [eqn: f ` prime (-2) = f ` prime (2) = 0], [eqn: f ` prime (0) = 4]이다. 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값이 [eqn: -5]일 때, [eqn: f(m) f(m+1) < 0]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: m]의 값을 구하시오.

[eqn: -1], [eqn: -3]
[eqn: f`'(x)=a(x+2)(x-2) ^{2}]에서 [eqn: f`'(0)=8a=4]이므로 [eqn: a= {1} over {2}]
[eqn: f`'(x)= {1} over {2} (x+2)(x-2) ^{2} = {1} over {2} (x ^{3} -2x ^{2} -4x+8)]
[eqn: f(x)= {1} over {8} x ^{4} - {1} over {3} x ^{3} -x ^{2} +4x+C]에서
[eqn: f(-2)=- {22} over {3} +C=-5]
[eqn: C= {7} over {3}]

[eqn: f(x)= {1} over {8} x ^{4} - {1} over {3} x ^{3} -x ^{2} +4x+ {7} over {3}]
사잇값 정리에 의해
[eqn: f(-3)>0]이고 [eqn: f(-2)<0]이므로 [eqn: m=-3]이고
[eqn: f(-1)<0]이고 [eqn: f(0)>0]이므로 [eqn: m=-1]

두 삼차함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)g(x)=(x-1) ^{2} (x-2) ^{2} (x-3) ^{2}]을 만족시킨다. [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 3]이고 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=2]에서 극댓값을 가질 때, [eqn: f`'(7)]의 값은? ([eqn: f`'(x)]는 [eqn: f(x)]의 도함수이다.) [[eqn: 5.0]점]

[eqn: 28]

[eqn: f(x)g(x)=(x-1)^{2}(x-2)^{2}(x-3)^{2}]에서

[eqn: g(x)]가 [eqn: x=2]에서 극댓값을 가지므로 [eqn: g(x)]는 [eqn: (x-2)^{2}]을 인수로 갖고, [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 양의 실수이므로 다음 그림의 개형을 통해 [eqn: (x-3)]을 인수로 가짐을 알 수 있다.

[eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 3]이므로 [eqn: g(x)=3(x-2) ^{2} (x-3)]이다.

[eqn: f(x)g(x)=(x-1)^{2}(x-2)^{2}(x-3)^{2}]에서

[eqn: f(x)={1}over{3}(x-1)^{2}(x-3)]

[eqn: f(x)]를 미분하면 [eqn: f`'(x)={2}over{3}(x-1)(x-3)+{1}over{3}(x-1)^{2}]

[eqn: THEREFORE ``f` prime (7)= {2} over {3} CDOT 6 CDOT 4+ {1} over {3} CDOT 6 ^{2} =28]