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확률과 통계(고2)	내신대비	천재(이) 교과서 편집본 1. 경우의 수

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원순열

부모를 포함한 [eqn: 6]명의 가족이 둥근 식탁에 둘러앉을 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 120]	⑵ [eqn: 48]	⑶ [eqn: 24]

⑴ [eqn: 6]명이 둥근 식탁에 둘러앉는 방법의 수는 원순열의 수이므로

[eqn: (6-1)! =5 ! =120]

⑵ 부모를 한 사람으로 생각하면 [eqn: 5]명이 둥근 식탁에 둘러앉는 방법의 수는

[eqn: (5-1)!`=4!`=24]

이때 각각에 대하여 부모가 서로 자리를 바꾸어 앉는 방법의     수가 [eqn: 2!]이므로

구하는 방법의 수는

[eqn: 24 times 2!`=48]

⑶ 부모 중 한 사람이 앉으면 다른 한 사람은 그 맞은 편에 앉으면 되고, 다른 가족 [eqn: 4]명이 나머지 자리에 앉으면 된다. 이때   다른 가족 [eqn: 4]명이 나머지 자리에 앉는 방법의 수는 [eqn: 4!]이므로      구하는 방법의 수는 [eqn: 4! =24]

⑴ [eqn: 6]명이 앉는 방법의 수

⑵ 부모가 이웃하여 앉는 방법의 수

⑶ 부모가 서로 마주 보고 앉는 방법의 수

[eqn: rmA], [eqn: RMB]를 포함하여 [eqn: 8]명으로 구성된 아이돌 그룹이 하나의 원형을 만드는 안무를 구성할 때, 다음을 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 경우는 같은 것으로 본다.)

⑴ [eqn: 5040]	⑵ [eqn: 1440]	⑶[eqn: 720]

⑴ 원형을 만들 수 있는 방법의 수

⑵ [eqn: rmA], [eqn: RMB]가 이웃하는 방법의 수

⑶ [eqn: rmA], [eqn: RMB]가 서로 마주 보는 방법의 수

소단원 확인문제

다음 방법의 수를 오른쪽 그림에서 찾으시오. (단, 회전하여 일치하는 경우는 같은 것으로 본다.)

⑴[eqn: 24]	⑵[eqn: 144]

⑴ 서로 다른 [eqn: 5]개의 의자를 원형으로 배열하는 방법의 수

⑵ 여자 [eqn: 4]명, 남자 [eqn: 3]명을 원형으로 세울 때, 남자끼리 이웃하게 세우는 방법의 수

오른쪽 그림과 같은 [eqn: 7]가지의 음식을 담을 수 있는 접시에 서로 다른 [eqn: 7]가지의 음식을 한 칸에 한 종류씩 담는 방법의 수를 구하시오. (단, 가운데 칸을 제외한 나머지 [eqn: 6]개 칸의 모양과 크기는 모두 같고, 회전하여 일치하는 경우는 같은 것으로 본다.)

[eqn: 840]

오른쪽 [그림 [eqn: 1]]과 같은 정삼각형 모양의 탁자에 [eqn: 6]명의 학생이 둘러앉는 방법의 수를 다음 단계에 따라 구해 보자.

풀이 참고

㈎ [eqn: 720]  ㈏ [eqn: 3]  ㈐ [eqn: 240]

서로 다른 [eqn: 6]개를 일렬로 나열하는 순열의 수는 [eqn: 6!]           이고, 직사각형 둘레에 다음 그림과 같이 배열하면           회전하여 일치하는 경우가 [eqn: 2]가지씩 있으므로 구하는 방법의 수는 [eqn: 6! over2 =360]이다.

다음 그림과 같이 앉아 있는 [eqn: 6]명의 학생 [eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: RMC], [eqn: RMD], [eqn: RME], [eqn: RMF]가 반시계 방향으로 한 칸씩 이동하여 앉기를 반복할 때, 주어진 경우와 회전하여 일치하는 경우를 모두 그려 보자.

위 를 이용하여 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 수를 써넣어 보자.

서로 다른 [eqn: 6]개를 일렬로 나열하는 순열의 수는 이고, 정삼각형 둘레에 위 [그림 [eqn: 1]]과 같이 배열하면 회전하여 일치하는 경우가 가지씩 있으므로 구하는 방법의 수는 이다.

㈎

㈏

㈐

오른쪽 그림과 같은 직사각형 모양의 탁자에 6명의 학생이 둘러앉는 방법의 수를 위 단계와 같은 방법으로 구하고, 그 과정을 발표해 보자.

중복순열

다음 중복순열의 수를 구하시오.

⑴ [eqn: 36]	⑵ [eqn: 243]	⑶ [eqn: 256]

⑴ [eqn: `_6 PI_{2]	⑵ [eqn: `_3 PI_{5]

⑶ [eqn: `_4 PI_{4]

어느 여행지에는 [eqn: 3]개월, [eqn: 6]개월, [eqn: 12]개월 뒤에 각각 발송되는 세 종류의 느린 우체통이 있다. [eqn: 4]명의 여행객이 각각 [eqn: 1]통씩 쓴 편지를 세 종류의 우체통에 넣는 방법의 수를 구하시오.

[eqn: 81]

[eqn: 4]명의 여행객이 각각 [eqn: 1]통씩 쓴 편지를 세 종류의 우체통에 넣는 방법의 수는 서로 다른 [eqn: 3]개에서 [eqn: 4]개를 택하는 중복순열의 수와 같다. 따라서 구하는 방법의 수는 [eqn: `_3 PI_{4}=3^4 =81]

진로 체험의 날에 세 명의 학생이 각각 네 개의 체험 활동 기관 [eqn: rmA], [eqn: RMB], [eqn: RMC], [eqn: RMD] 중에서 한 곳을 택하는 방법의 수를 구하시오.

[eqn: 64]

다섯 개의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중에서 네 개의 숫자를 택하여 네 자리 자연수를 만들려고 할 때, 다음을 구하시오. (단, 각 자리의 숫자는 서로 같아도 된다.)

⑴ [eqn: 500]	⑵ [eqn: 300]

⑴ 만들 수 있는 자연수의 개수

⑵ 만들 수 있는 짝수의 개수

소단원 확인문제

다음 등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n], [eqn: r]의 값을 오른쪽 그림에서 찾으시오.

⑴ [eqn: 4]	⑵ [eqn: 6]

⑴ [eqn: `_n PI_{4}=256]

⑵ [eqn: `_3 PI_{itr}=729]

두 집합 [eqn: X=left{1,~ 2,~ 3right}], [eqn: Y=left{1,~ 2,~ 3,~ 4,~ 5right}]에 대하여 집합 [eqn: X]에서 집합 [eqn: Y]로의 함수의 개수를 구하시오.

[eqn: 125]

다섯 개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5] 중에서 네 개의 숫자를 택하여 네 자리 자연수를 만들 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 각 자리의 숫자는 서로 같아도 된다.)

⑴ [eqn: 375]	⑵ [eqn: 383]번째

⑴ [eqn: 3000]보다 큰 자연수의 개수를 구하시오.

⑵ 큰 수부터 차례로 나열할 때, [eqn: 2543]은 몇 번째로 나열된 수인지 구하시오.

다음 문제에 대한 두 학생의 풀이에서 잘못된 부분을 찾고, 그 까닭을 말해 보자. 또, 옳은 풀이를 설명해 보자.

풀이 참조

[한석이의 풀이]

야구공을 못 받는 학생이 있는 경우는 세지 않았다.

[현진이의 풀이]

야구공을 [eqn: 1,~2,~3,~4]라고 하면 현진이의 풀이에서는 [eqn: 1]번 야구공을 세 학생이 중복하여 받는 경우로 세지만, 이것은 [eqn: 1]번 공이 한 개뿐이므로 불가능하다.

[옳은 풀이]

세 명의 학생에게 서로 다른 야구공 네 개를 나누어 주는 방법의 수는 서로 다른 [eqn: 3]개에서 [eqn: 4]개를 택하는 중복순열의 수와 같다. 따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 3^4 =81]

이다.

각각 서로 다른 프로 야구 선수의 서명이 있는 야구공 네 개를 추첨을 통해 세 명의 학생 [eqn: A,~B,~C]에게 나누어 주는 방법의 수를 구하시오. (단, 야구공을 못 받는 학생이 있을 수도 있다.)

[한석이 풀이] [eqn: A]가 네 개 중 하나를 받고, [eqn: B]가 남은 세 개 중 하나를 받고, [eqn: C]가 남은 두 개 중 하나를 받는 방법 의 수는 [eqn: 4 times 3 times 2=24]이다.

이때 각각에 대하여 남은 야구공 하나를 세 학생 중 한 학생에게 줄 수 있으므로 구하는 방법의 수는 [eqn: 24 times 3=72]이다.

[현진이 풀이] 세 명의 학생에게 줄 수 있는 야구공의 최대 개수가 [eqn: 4]이므로 서로 다른 [eqn: 4]개에서 [eqn: 3]개를 택하는 중복순열의 수와 같다. 따라서 구하는 방법의 수는 [eqn: 4^{3}=64]이다.

같은 것이 있는 순열

[eqn: 9]개의 문자 [eqn: rma], [eqn: rml], [eqn: rml], [eqn: rmi], [eqn: rms], [eqn: rmw], [eqn: rme], [eqn: rml], [eqn: rml]을 모두 일렬로 나열할 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 15120]	⑵ [eqn: 1260]

⑴ 문자를 나열하는 방법의 수

⑵ 모음이 양 끝에 오도록 나열하는 방법의 수

오른쪽 그림과 같은 도로망이 있다. [eqn: rmA]지점에서 [eqn: RMB]지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수를 구하시오.

[eqn: 35]

오른쪽으로 한 칸 가는 것을 [eqn: a], 위쪽으로 한 칸 가는 것을 [eqn: b]로 나타내면 [eqn: rmA]지점에서 [eqn: RMB]지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 [eqn: 4]개의 [eqn: a]와 [eqn: 3]개의 [eqn: b]를 모두 일렬로 나열하는 순열의 수와 같다.

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 7! over{ 4!times 3!}=35]

오른쪽 그림과 같은 바둑판 모양의 도로망이 있다. [eqn: rmA]지점에서 출발하여 [eqn: RMP]지점을 지나 [eqn: RMB]지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수를 구하시오.

[eqn: 60]

다음을 통해 조합과 같은 것이 있는 순열 사이의 관계를 알아보자.

[eqn: `_7RMC_4 TIMES`_3 C_3]          [eqn: `_7RMC_4 TIMES`_4 C_2 TIMES `_2 C_2]

다섯 개의 문자 [eqn: RMA], [eqn: RMA], [eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: RMB]를 모두 일렬로 나열하는 순열의 수는 다음과 같이 구할 수 있다.

다섯 개의 자리 중에서 [eqn: RMA]를 놓을 [eqn: 3]개의 자리를 선택하는 경우의 수는 [eqn: `_5 RMC_3]이고, 나머지 [eqn: 2]개의 자리 중에서 [eqn: RMB]를 놓을 [eqn: 2]개의 자리를 선택하는 경우의 수는 [eqn: `_2 RMC_2]이다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: `_5 RMC_3 TIMES `_2 RMC_2 = 5! OVER{3! TIMES 2! } TIMES 2! OVER{2! TIMES 0!}=10]

이것은 다섯 개의 문자 [eqn: RMA], [eqn: RMA], [eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: RMB]를 모두 일렬로 나열하는 순열, 즉 같은 것이 있는 순열의 수와 같다.

다음 [eqn: 7]개의 문자를 모두 일렬로 나열하는 순열의 수를 조합의 수를 이용한 식으로 나타내 보자.

➊ [eqn: RMA], [eqn: RMA], [eqn: RMA], [eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: RMB], [eqn: RMB]

➋ [eqn: RMA], [eqn: RMA], [eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: RMB], [eqn: RMC], [eqn: RMC]

소단원 확인문제

다음 왼쪽의 카드를 일렬로 나열하는 순열의 수를 오른쪽 그림에서 찾으시오.

⑴ [eqn: 140]	⑵ [eqn: 2520]	⑶ [eqn: 1680]
⑷ [eqn: 1260]

⑴

⑵

⑶

⑷

모양과 크기가 같은 빨간 깃발 [eqn: 3]개, 파란 깃발 [eqn: 2]개, 초록 깃발 [eqn: 2]개를 모두 일렬로 나열하여 신호를 만들려고 할 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 210]	⑵ [eqn: 10]

⑴ 만들 수 있는 신호의 수

⑵ 파란 깃발이 양 끝에 오도록 만들 수 있는 신호의 수

올림픽 탁구의 단식 경기는 [eqn: 7]세트 중 먼저 [eqn: 4]세트를 이기는 사람이 승리한다. 두 선수 [eqn: RMA], [eqn: RMB]가 [eqn: 7]세트까지 경기를 한 후, 승리하는 선수가 [eqn: RMA]로 확정되는 경우의 수를 구하시오. (단, 매 세트에 무승부는 없다.)

[eqn: 20]

오른쪽 그림과 같은 도로망이 있다. [eqn: RMA]지점에서 출발하여 [eqn: RMB]지점까지 최단 거리로 갈 때, [eqn: RMP]지점은 지나고 [eqn: RMQ]지점은 지나지 않는 방법의 수를 다음 학생의 풀이를 이용하여 구해 보자.

[eqn: 40]

오른쪽 그림과 같이 두 지점을 [eqn: RMR], [eqn: RMS]라고 할 때,

(i) [eqn: RMA]지점에서 출발하여 [eqn: RMP]지점, [eqn: RMR]지점을 모두 지나 [eqn: RMB] 지점까지 최단거리로 가는 방법의 수는

[eqn: 5! OVER{3! TIMES 2! }TIMES1 TIMES 1=10]

(ii) [eqn: RMA]지점에서 출발하여 [eqn: RMP]지점, [eqn: RMS]지점을 모두 지나 [eqn: RMB]지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수는

[eqn: 5! OVER{3! TIMES 2! } TIMES1 TIMES 3! OVER{1! TIMES 2! }=10 TIMES 3 =30]

(i), (ii)에 의하여 구하는 방법의 수는

[eqn: 10+30=40]

진우의 풀이 방법과 다른 풀이 방법을 찾아 발표해 보자.

중복조합

흰색, 주황색, 연두색 세 종류의 골프공 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 7]개를 택하는 방법의 수를 구하시오.

[eqn: 36]

다항식 [eqn: (a+b+c)^6]을 전개할 때 생기는 서로 다른 항의 개수를 구하시오.

[eqn: 28]

[eqn: (a+b+c)^6][eqn: =(a+b+c)(a+b+c)times `cdots `times (a+b+c)]이므로 다항식

[eqn: (a+b+c)^6]을 전개할 때 생기는 각 항은 다음과 같은 꼴이다.

[eqn: a^6], [eqn: a^5 b], [eqn: cdots], [eqn: abc^4], [eqn: cdots], [eqn: bc^5], [eqn: c^6]

따라서 구하는 항의 개수는 [eqn: 3]개의 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 중에서 [eqn: 6]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: `_3 rmH_6 =`_3+6-1 RM C_6 =`_8 C _6 = `_8 C _2][eqn: =28]

다항식 [eqn: (a+b+c+d)^3]을 전개할 때 생기는 서로 다른 항의 개수를 구하시오.

[eqn: 20]

방정식 [eqn: x+y+z=8]에 대하여 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 45]	⑵ [eqn: 21]

⑴ 방정식 [eqn: x+y+z=8]의 해의 하나인 [eqn: x=1, ~y=3,~ z=4]를 [eqn: 3]개의 문자 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z] 중에서 [eqn: 1]개의 [eqn: x], [eqn: 3]개의 [eqn: y], [eqn: 4]개의 [eqn: z]를 선택하는 중복조합의 한 경우인 [eqn: xyyyzzzz]와 같이 나타낼 수 있다.

따라서 방정식 [eqn: x+y+z=8]의 음이 아닌 정수해의 개수는 [eqn: 3]개의  문자 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z] 중에서 [eqn: 8]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: `_3rmH_8 =`_3+8-1 C_8 =`_10 C_8 =`_10 C_2 =45]

⑵ [eqn: x=1+a], [eqn: y=1+b], [eqn: z=1+c]로 놓으면 방정식 [eqn: x+y+z=8]의 양의 정수해의 개수는 방정식 [eqn: a+b+c=5]의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.

따라서 방정식 [eqn: a+b+c=5]의 음이 아닌 정수해의 개수는 [eqn: 3]개의 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 중에서 [eqn: 5]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: `_3 rmH_5 =`_3+5-1 C_5 =`_7 C _5 =`_7 C_2 =21]

⑴ 음이 아닌 정수해의 개수	⑵ 양의 정수해의 개수

방정식 [eqn: x+y+z+w=6]에 대하여 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 84]	⑵ [eqn: 10]

⑴ 음이 아닌 정수해의 개수	⑵ 양의 정수해의 개수

두 학생이 다항식 [eqn: (x^2 +x+1)^3]을 전개할 때 생기는 서로 다른 항의 개수를 각각 다음과 같이 구하였다.

풀이 참조

선미가 잘못 구하였다.

[eqn: x^4]은 [eqn: 1]을 한 번, [eqn: x^2]을 두 번 택하거나 [eqn: x]를 두 번, [eqn: x^2]을 한 번 택하여 만들 수도 있다.

즉, [eqn: x^2], [eqn: x], [eqn: 1] 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 3]개를 택하여 곱하면 서로 같은 항이 나오는 경우가 있으므로 중복조합으로 구할 수 없다.

서로 다른 항의 개수를 잘못 구한 학생을 찾고, 그 까닭을 말해 보자.

소단원 확인문제

다음 등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n], [eqn: r]의 값을 오른쪽 그림에서 찾으시오.

⑴ [eqn: 9]	⑵ [eqn: 6]

⑴ [eqn: `_6 rmH_4 =`_{itn} rmC_4]

⑵ [eqn: `_3 rmH_{ITr} =`_8 rmC_6]

흰 우유, 초코 우유, 딸기 우유, 바나나 우유, 커피 우유 중에서 [eqn: 3]개의 우유를 구입하려고 할 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 10]	⑵ [eqn: 35]

⑴ 서로 다른 종류의 우유를 구입하는 방법의 수

⑵ 중복을 허용하여 우유를 구입하는 방법의 수

방정식 [eqn: x+y+z=9]에 대하여 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 55]	⑵ [eqn: 28]	⑶ [eqn: 10]

⑴ 음이 아닌 정수해의 개수

⑵ 양의 정수해의 개수

⑶ [eqn: x ge 1], [eqn: y ge2], [eqn: z ge3]인 정수해의 개수

집합 [eqn: X=left{1,~ 2,~ 3right}]에서 집합 [eqn: Y=left{1,~ 2,~ 3,~ 4,~ 5,~ 6}right]으로의 두 함수 [eqn: f], [eqn: g]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f], [eqn: g]의 개수를 각각 구해 보자.

⑴ [eqn: 20]	⑵ [eqn: 56]

⑴ [eqn: f(1)<f(2)<f(3)]	⑵ [eqn: g(1) le g(2) le g(3)]

유권자가 [eqn: 30]명인 어느 선거에 [eqn: 3]명의 후보가 출마하였다. 무기명으로 후보자 한 명에게 투표를 할 때, 가능한 투표 결과의 모든 경우의 수를 구해 보자. (단, 무효표나 기권은 없다.)

[eqn: 496]

(i) 무기명으로 투표를 할 때

유권자 [eqn: 30]명이 [eqn: 3]명의 후보 중에서 어느 한 명에게 무기명으로 투표를 할 때, 가능한 투표 결과의 모든 경우의 수는 [eqn: 3]개 중에서 [eqn: 30]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: `_3 rmH_30 =`_3+30-1 C_30 =`_32 C_20 =496]

(ii) 기명으로 투표를 할 때

유권자 [eqn: 30]명이 [eqn: 3]명의 후보 중에서 어느 한 명에게 기명으로 투표를 할 때, 가능한 투표 결과의 모든 경우의 수는 [eqn: 3]개 중에서 [eqn: 30]개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로

[eqn: `_3 PI_30 =3^30]

무기명으로 투표를 할 때와 기명으로 투표를 할 때 투표 결과의 모든 경우의 수는 어떻게 다른지 친구들과 토론해 보자.

중단원 연습문제

토론 대회에 참여한 여섯명의 학생이 오른쪽 그림과 같은 모양의 정육각형 탁자에 둘러앉아 토론을 하려고 한다. 탁자에 둘러앉는 방법의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 경우는 같은 것으로 본다.)

[eqn: 120]

세 개의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2] 중에서 네 개의 숫자를 택하여 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수를 구하시오. (단, 각 자리의 숫자는 서로 같아도 된다.)

[eqn: 54]

여섯 개의 문자 [eqn: rmA], [eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: RMB], [eqn: RMB], [eqn: RMC]를 모두 일렬로 나열하는 순열의 수를 구하시오.

[eqn: 60]

세 종류의 과일을 섞어서 여덟 개의 과일이 들어 있는 과일 바구니를 만들려고 한다. 만들 수 있는 서로 다른 종류의 과일 바구니의 개수를 구하시오. (단, 각 종류의 과일은 한 개 이상씩 과일 바구니에 넣는다.)

[eqn: 21]

세 쌍의 부부가 원탁에 둘러앉을 때, 부부끼리 이웃하여 앉는 방법의 수를 구하시오

[eqn: 16]

오른쪽 그림과 같이 [eqn: 5]개의 영역으로 나누어진 도형에 서로 다른 [eqn: 5]가지의 색을 모두 사용하여 칠하려고 한다. 한 역에는 한 가지 색만 칠할 때, 도형의 각 영역을 칠하는 방법의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 경우는 같은 것으로 본다.)

[eqn: 30]

여섯 개의 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e,] [eqn: f]를 모두 일렬로 나열할 때, [eqn: b]는 [eqn: d]의 앞에 오고 [eqn: d]는 [eqn: f]의 앞에 오도록 배열하는 방법의 수를 구하시오.

[eqn: 120]

방정식 [eqn: x+y+z=11]을 만족시키는 양의 정수해 중에서 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 모두 홀수인 것의 개수를 구하시오.

[eqn: 15]

집합 [eqn: X=left{1,~ 2,~ 3,~ 4, ~5right}]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수 [eqn: f] 중에서 [eqn: f(1)+f(2)=3]을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하시오.

[eqn: 250]

오른쪽 그림과 같은 바둑  판 모양의 도로망이 있다. 연서는 [eqn: rmA]지점에서 [eqn: RMB]지점까지, 세화는 [eqn: RMB]지점에서 [eqn: RMA]지점까지 최단 거리로 간다고 할 때, 연서와 세화가 서로 만나지 않는 방법의 수를 구하시오. (단, 두 사람은 동시에 출발하여 같은 속력으로 간다.)

[eqn: 236]

이항정리

이항정리를 이용하여 [eqn: (x-2y)^3]을 전개하시오.

[eqn: x ^{3} -6x ^{2} y+12xy ^{2} -8y ^{3}]

[eqn: x^3 -6x^2 y +12xy^2 -8y^3]

[eqn: (x-2y)^3][eqn: =left{x+(-2y)^3 right}]

[eqn: =`_3 rmC_0 {ITx^3} +`_3 C_1 {ITx^2 (-2y)} +`_3 C_2 {ITx(-2y)^2 } +`_3 C_3 {(-IT 2y)^3]

[eqn: =x^3 -6x^2 y +12xy^2 -8y^3]

이항정리를 이용하여 다음 식을 전개하시오.

⑴ [eqn: 81a^4 +108a^3 b +54a^2 b^2 +12ab^3 +b^4]

⑵ [eqn: a^5 -10a^4 b+40a^3 b^2 -80a^2 b^3 +80ab^4 -32b^5]

⑴ [eqn: (3a+b)^4]	⑵ [eqn: (a-2b)^5]

[eqn: left( 3x - 2 overx right)^6]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수를 구하시오.

[eqn: -2916]

[eqn: left( 3x - 2 overx right)^6]의 전개식의 일반항은

[eqn: `_6 {rmC}_{ITr} (it3x )^6-r left(- 2 overx right)^r =][eqn: `_6 {RMC}_r times 3^6-r times (-2)^r times {x^6-r} overx^r]

[eqn: x^6-r over x^r = x^4]에서 [eqn: x^6-r = x^4+r], [eqn: 6-r=4+r], 즉 [eqn: r=1]

따라서 [eqn: x^4]의 계수는 [eqn: `_6 rmC_1 TIMES 3^5 TIMES (-2)=-2916]

다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 240]	⑵ [eqn: -160]

⑴ [eqn: left( 2x + 3overx right)^5]의 전개식에서 [eqn: x^3]의 계수

⑵ [eqn: left( x - 2 overx right)^6]의 전개식에서 상수항

파스칼 삼각형을 이용하여 다음 식을 전개하시오.

⑴ [eqn: a^6 +6a^5 b +15a^4 b^2 +20a^3 b^3 +15a^2 b^4 +6ab^5 +b^6]

⑵  [eqn: x^ 7 -7x^6 y +21 x^5 y^2 -35x^4 y^3 +35x^3 y^4][eqn: -21x^2 y^5 +7xy^6 -y^7]

⑴ [eqn: (a+b)^6]	⑵ [eqn: (x-y)^7]

자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 등식이 성립함을 보이시오.

풀이 참조

이항정리를 이용하여 [eqn: (1+x)^n]을 전개하면

[eqn: (1+x)^n =`_n {rmC}_0 }+`_n {rmC}_1 x +_n {RMC}_2 x^2 +`cdots`+`_n {rmC}_n x^n]

이 식에 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 2^n =`_n {rmC}_0 }+`_n {rmC}_1 +_n {RMC}_2 +`cdots`+`_n {rmC}_n]

[eqn: `_n {rmC}_0 }+`_n {rmC}_1 +_n {RMC}_2 +`cdots`+`_n {rmC}_n =2^n]

다음 식의 값을 구하시오.

⑴ [eqn: 512]	⑵ [eqn: 1024]

⑴ [eqn: `_9 {rmC}_0 }+`_9 {rmC}_1 +_9 {RMC}_2 +`cdots`+`_9 {rmC}_9]

⑵ [eqn: `_10 {rmC}_0 }+`_10 {rmC}_1 +_10 {RMC}_2 +`cdots`+`_10 {rmC}_10]

자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 등식이 성립함을 보이시오.

풀이 참고

⑴ 이항정리를 이용하여[eqn: (1+x)^n]을 전개하면

[eqn: (1+x)^n =`_n {rmC}_0 +`_n {rmC}_1 x+`_n {RMC}_2 x^2 +`CDOTS`+`_n {rmC}_n x^n]

이 식의 양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: 0 =`_n {rmC}_0 -`_n {rmC}_1 +`_n {RMC}_2 +`_n{rmC}_3 +``CDOTS`+(-1)^n`_n {rmC}_n]

⑵ 이항정리를 이용하여[eqn: (1+x)^2n]을 전개하면

[eqn: (1+x)^2n =`_2n {rmC}_0 +`_2n {rmC}_1 x+`_2n {RMC}_2 x^2 +`CDOTS`+`_2n {rmC}_2n x^2n][eqn: cdotscdots]①

①의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 2^2n =`_2n {rmC}_0 +`_2n {rmC}_1 +`_2n {RMC}_2 +`CDOTS`+`_2n {rmC}_2n]     [eqn: cdotscdots]②

①의 양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: 0 =`_2n {rmC}_0 -`_2n {rmC}_1 +`_2n {RMC}_2 -`_2n {rmC}_3 +`CDOTS`+`_2n {rmC}_2n][eqn: cdotscdots]③

②[eqn: +]③을 하면

[eqn: 2^2n =2(`_2n {rmC}_0 +`_2n {RMC}_2 +`_2n {rmC}_4 +`CDOTS`+`_2n {rmC}_2n )]

이므로

[eqn: `_2n {rmC}_0 +`_2n {RMC}_2 +`_2n {rmC}_4 +`CDOTS`+`_2n {rmC}_2n =2^2n-1]   [eqn: cdotscdots]④

또, ②[eqn: -]③을 하면

[eqn: 2^2n =2(`_2n {rmC}_1 +`_2n {RMC}_3 +`_2n {rmC}_5 +`CDOTS`+`_2n {rmC}_2n-1 )]

이므로

[eqn: `_2n {rmC}_1 +`_2n {RMC}_3 +`_2n {rmC}_5 +`CDOTS`+`_2n {rmC}_2n-1 =2^2n-1]  [eqn: cdots]⑤

④, ⑤에서

[eqn: `_2n {rmC}_0 +`_2n {RMC}_2 +`_2n {rmC}_4 +`CDOTS`+`_2n {rmC}_2n]

[eqn: =`_2n {rmC}_1 +`_2n {RMC}_3 +`_2n {rmC}_5 +`CDOTS`+`_2n {rmC}_2n-1][eqn: =2^2n-1]

⑴ [eqn: `_n {rmC}_0 }-`_n {rmC}_1 +_n {RMC}_2 -`_n{rmC}_3 +`cdots`+(-1)^n`_n {rmC}_n =0]

⑵ [eqn: `_2n {rmC}_0 }+`_2n {rmC}_2 +_2n {RMC}_4 +`cdots`+`_2n {rmC}_2n]

[eqn: =`_2n {rmC}_1 +`_2n {rmC}_3 +_2n {RMC}_5 +`cdots`+`_2n {rmC}_2n-1][eqn: =2^{2n-1]

소단원 확인문제

다음 왼쪽의 전개식에서 구하는 항의 계수를 오른쪽에서 찾아 선으로 연결하시오.

⑴ - ㉢      ⑵ - ㉠         ⑶ - ㉡

⑴ [eqn: (a+2)^6]의 전개식에서 [eqn: a^4]의 계수				㉠ [eqn: 24] ㉡ [eqn: 36] ㉢ [eqn: 60] ㉣ [eqn: 96]
⑵ [eqn: (a+2b)^4]의 전개식에서 [eqn: a^2 b^2]의 계수
⑶ [eqn: (3a+2b)^3]의 전개식에서 [eqn: ab^2]의 계수

파스칼 삼각형을 이용하여 [eqn: `_n {rmC}_r +`_n {rmC}_r+1 =`_8 rmC_4]를 만족시키는 자연수 [eqn: n], [eqn: r]의 값을 각각 구하시오.

[eqn: n=7,~r=3]

다음을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오.

⑴ [eqn: 6]	⑵ [eqn: 10]

⑴ [eqn: `_6 {rmC}_0 }+`_6 {rmC}_1 +_6 {RMC}_2 +`cdots`+`_6 {rmC}_6 =2^n]

⑵ [eqn: 1000<`_n {rmC}_0 }+`_n {rmC}_1 +_n {RMC}_2 +`cdots`+`_n {rmC}_n <2000]

[eqn: left(x^2 - 2 overx right)^7]의 전개식에서 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: -280]	⑵ [eqn: 448]

⑴ [eqn: x^5]의 계수	⑵ [eqn: 1 overx^4]의 계수

다음 대화를 읽고, 회장을 포함하여 [eqn: 10]명으로 이루어진 동아리에서 동아리 발표 대회에 참여할 [eqn: 5]명의 대표를 뽑는 경우의 수를 두 학생의 방법으로 각각 구해 보자.

풀이 참고

[우리의 풀이]

[eqn: `_10 rmC_5 =252]

[승호의 풀이]

회장이 뽑히는 경우의 수는 [eqn: `_9 RMC_4], 회장이 뽑히지 않는 경우의 수는 [eqn: `_9 RMC_5]

이때 두 사건이 동시에 일어나지 않으므로 구하는 경우의 수는 [eqn: `_9 RMC_4 +`_9 C_5 =`_10 C_5 =252]

[eqn: n]명 중에서 [eqn: r]명을 뽑는 경우의 수는 [eqn: `_n {rmC}_r]이다.

한편, 특정인 한 명이 [eqn: r]명 중에서 뽑히는 경우의 수는 [eqn: `_n-1 {rmC}_r-1]이고, 뽑히지 않는 경우의 수는 [eqn: `_n-1 {rmC}_r]이다.

이때 두 사건이 동시에 일어나지 않으므로 구하는           경우의 수는 [eqn: `_n-1 {rmC}_r-1][eqn: +][eqn: `_n-1 {rmC}_r]이다.

따라서 [eqn: `_n {rmC}_r =][eqn: `_n-1 {rmC}_r-1][eqn: +][eqn: `_n-1 {rmC}_r]이다.

위 두 학생의 풀이를 참고하여 [eqn: `_n{rmC}_r =`_n-1 {rmC}_r-1 +`_n-1 {rmC}_r]임을 설명해 보자.

중단원 연습 문제

[eqn: (x+2)^7]의 전개식에서 [eqn: x^5]의 계수를 구하시오.

[eqn: 84]

다음 식의 값을 구하시오.

⑴ [eqn: 0]	⑵ [eqn: 2048]

⑴ [eqn: `_6 {rmC}_0 }-`_6 {rmC}_1 +_6 {RMC}_2 -`cdots`+`_6 {rmC}_6]

⑵ [eqn: `_12 {rmC}_1 }+`_12 {rmC}_3 +_12 {RMC}_5 +`cdots`+`_12 {rmC}_11]

[eqn: left( x - a overx right)^4]의 전개식에서 상수항이 [eqn: 24]가 되도록 하는 양수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 2]

[eqn: `_2n {rmC}_1 }+`_2n{rmC}_3 +_2n {RMC}_5 +`cdots` +`_2n {RMC}_2n-1 =512]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오.

[eqn: 5]

[eqn: (1+x)^4 (1+x^2 )^n]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 12]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오.

[eqn: 6]

[eqn: (x+a)^6]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수가 [eqn: x^5]의 계수의 [eqn: 10]배일 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 4]

이순신 장군은 임진왜란 때 해전에서 명령을 내리거나 통신을 하는 데 우리나라 고유의 연을 사용하였다. 군사작전 신호용으로 사용된 이 연은 연에 그려진 문양과 색깔에 따라 명령 내용을 달리하여 사용되었다. 이때 명령 신호는 여러 개의 연을 조합하여 만들기도 하였다고 한다. 특히, 신호연에 사용된 색은 방향을 상징하기도 하는데 청은 동쪽, 백은 서쪽, 홍은 남쪽, 흑은 북쪽, 황은 중앙을 뜻한다고 한다.

풀이 참고

좌우 대칭인 신호연이 되려면 [eqn: RMA]와 [eqn: RMB], [eqn: RMD]와 [eqn: RME] 영역은 서로 같은 색을 칠해야 한다. 따라서 [eqn: RMA], [eqn: RMC], [eqn: rm D]세 영역에 빨간색과 검은색의 두 가지 색 중 한 가지 색을 칠하는 경우의 수이므로 구하는 가짓수는 [eqn: 2^3 =8]이다.

[eqn: 3]개의 신호연 중 [eqn: 1]개의 신호연을 선택하여 만들수 있는 신호의 가짓수는 [eqn: `_3 RMC_1], [eqn: 2]개의 신호연을 선택하여 만들 수 있는 신호의 가짓수는 [eqn: `_3 RMC_2], [eqn: 3]개의 신호연을 모두 선택하여 만들 수 있는 신호의 가짓수는 [eqn: `_3 RMC_3]이다.

따라서 주어진 신호연 중 [eqn: 3]개 이하를 조합하여 만들 수 있는 신호의 가짓수는 [eqn: `_3 RMC_1 + `_3 RMC_2 + `_3 RMC_3 = 3+3+1 =7]이다.

다음 활동을 통해 만들 수 있는 신호의 가짓수를 구해 보자.

오른쪽 그림과 같이 디자인된 연의 [eqn: rmA,~B,~C,~D,~E] 각 영역에 빨간색과 검은색의 두 가지 색 중 한 가지 색을 칠하려고 한다. 이때 만들 수 있는 좌우 대칭인 신호연의 가짓수를 말해 보자.

다음 그림과 같이 좌우 대칭인 신호연 [eqn: 3]개가 있다. 이들 중 [eqn: 3]개 이하를 조합하여 신호를 만든다고 할 때, 만들 수 있는 신호의 가짓수를 생각해 보자.

모둠별로 다음 단계에 따라 신호연을 만들고, 이들 연을 이용하여 동, 서, 남, 북, 중앙에 있는 다섯 함대에게 행동 명령을 내리는 통신을 체험해 보자.

동, 서, 남, 북, 중앙에 있는 함대를 나타내는 신호연 [eqn: 5]개를 [eqn: RMA][eqn: 4]용지에 색연필을 이용하여 디자인한다.

위 과 다른 신호연 [eqn: 3]개를 만든 후, 이들 중 [eqn: 3]개 이하를 조합하여 전진, 후퇴, 유인, 집결, 공격 명령을 나타내는 행동 신호를 정한다.

각 모둠을 송신 팀과 수신 팀으로 나누어 [eqn: 10~rmm] 떨어진 지점에서 각각 대기한다.

신호자가 제시하는 신호를 송신 팀에서 신호연을 조합하여 만들고, 그 신호를 수신 팀에게 보낸다.

수신 팀이 제대로 신호를 인식하였는지 신호자의 확인을 받는다.

대단원 종합 문제

네 사람이 가위바위보를 한 번 할 때, 나올 수 있는 모든 경우의 수는? (단, 네 사람 모두 가위바위보 중 하나는 반드시 내는 것으로 한다.)

⑤

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 81]

서로 다른 [eqn: 7]가지 색 중에서 [eqn: 4]가지 색을 골라 오른쪽 그림과 같이 정사각형을 [eqn: 4]등분 한 도형에 칠하는 방법의 수는? (단, 회전하여 일치하는 경우는 같은 것으로 본다.)

④

① [eqn: 35]	② [eqn: 70]	③ [eqn: 140]

④ [eqn: 210]	⑤ [eqn: 280]

여섯 개의 숫자 [eqn: 1,~1,~2,~2,~3,~3]을 모두 일렬로 나열하여 여섯 자리의 수를 만들 때, [eqn: 6]의 배수의 개수는?

②

① [eqn: 20]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 60]

빨간색, 파란색, 노란색, 보라색 색연필이 각각 [eqn: 7]개씩 있다. 이 색연필 중에서 [eqn: 7]개를 선택하는 경우의 수는? (단, 같은 색의 색연필끼리는 구별하지 않는다.)

①

① [eqn: 120]	② [eqn: 124]	③ [eqn: 128]

④ [eqn: 132]	⑤ [eqn: 136]

[eqn: (ax+2)^7]의 전개식에서 [eqn: x^3]의 계수가 [eqn: 70]일 때, 실수 [eqn: a]의 값은?

③

① [eqn: 1over8]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: (x+y)^6 left(1 + 1 overxy right)^6]을 전개하였을 때, [eqn: xy]의 계수는?

①

① [eqn: 300]	② [eqn: 320]	③ [eqn: 340]

④ [eqn: 360]	⑤ [eqn: 380]

자연수 [eqn: N]에 대하여

④

[eqn: N=`_10 rmC _0 +`_10 C _1 TIMES3 +`_10 C_2 TIMES 3^2 +`CDOTS`+ `_10 C_10 TIMES 3^10]

일 때, [eqn: N]의 양의 약수의 개수는?

① [eqn: 18]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 22]

오른쪽 그림은 정삼각형의 세 변의 중점을 연결하여  정삼각형을 만들고, 그 내접원을 그린 것이다. 정삼각형 내부의 [eqn: 7]개의 각 영역에 한 가지 색을 칠할 때, 서로 다른 [eqn: 7]가지 색을 모두 사용하여 칠하는 방법의 수는?

⑤

(단, 회전하여 일치하는 경우는 같은 것으로 본다.)

① [eqn: 28]	② [eqn: 84]	③ [eqn: 336]

④ [eqn: 560]	⑤ [eqn: 1680]

오른쪽 그림과 같은 도로망이 있다. [eqn: RMA]지점에서 [eqn: RMB] 지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수는?

③

① [eqn: 122]	② [eqn: 126]	③ [eqn: 130]

④ [eqn: 134]	⑤ [eqn: 138]

전체집합 [eqn: U=LEFT{1,~2,~3,~4,~5,~6,~7 RIGHT]의 두 부분집합 [eqn: A,`` B]에 대하여 [eqn: A SMALLINTER B =LEFT{2,~4,~ 6 RIGHT]을 만족시키는 두 집합 [eqn: A,`` B]를 정하는 경우의 수는?

④

① [eqn: 16]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 64]

④ [eqn: 81]	⑤ [eqn: 243]

직사각형을 여덟 개의 칸으로 등분한 도형에서 각 칸을 왼쪽부터 빨간색, 노란색, 초록색, 파란색의 순서로 네 가지 색을 모두 이용하여 칠하려고 한다. 이때 색을 칠하여 도형을 네 부분으로 나누는 모든 방법의 수는? (단, 다음은 위의 방법으로 칠한 하나의 예이다.)

①

① [eqn: 35]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 56]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 72]

두 집합

③

[eqn: A =LEFT{a,~b,~c right], [eqn: B=LEFT{1,~2,~3,~4,~5 right]

에 대하여 함수 [eqn: f`:`A`->`B]라고 할 때, [eqn: f(a)!=1]을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는?

① [eqn: 80]	② [eqn: 90]	③ [eqn: 100]

④ [eqn: 110]	⑤ [eqn: 120]

방정식 [eqn: x+y+z+w=12]를 만족시키는 음이 아닌 정수해 중에서 [eqn: x], [eqn: y]는 모두 짝수, [eqn: z], [eqn: w]는 모두 홀수인 것의 개수는? (단, [eqn: 0]은 짝수로 본다.)

②

① [eqn: 35]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 70]

④ [eqn: 126]	⑤ [eqn: 210]

네 개의 숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4]와 세 개의 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를 모두 일렬로 나열할 때, [eqn: 1c23ab4], [eqn: a1cb234]와 같이 숫자가 작은 수부터 차례로 나열되는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 210]

➊ 숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4]의 순서가 정해져 있으므로 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]를 모두 [eqn: 1]로 바꾸어 생각한다.

➋ 즉, [eqn: 1,~1,~1,~1,~a,~b,~c]를 일렬로 나열한 후 두 번째, 세 번째, 네 번째 [eqn: 1]을 차례로 [eqn: 2,~3,~4]로 바꾸면 된다.

➌ 따라서 구하는 경우의 수는
[eqn: 7! over 4! =210]

[eqn: x]에 대한 항등식

[eqn: 165]

➊ [eqn: a_2]는 [eqn: (1+x)^2 +(1+x)^3 +(1+x)^4 +`cdots`+(1+x)^10]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수이다.
[eqn: (1+x)^2]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수는 [eqn: `_2 rmC_2],
[eqn: (1+x)^3]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수는 [eqn: `_3rmC_2],
[eqn: VDOTS]
[eqn: (1+x)^10]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수는 [eqn: `_10 rmC_2]

➋ 즉,
[eqn: a_2 = `_2 rmC_2 +`_3 C_2 +`_4 C_2 +`_5 C_2 +`CDOTS`+`_10 C_2]
[eqn: = `_3 rmC_3 +`_3 C_2 +`_4 C_2 +`_5 C_2 +`CDOTS`+`_10 C_2]
[eqn: = `_4 rmC_3 +`_4 C_2 +`_5 C_2 +`CDOTS`+`_10 C_2]
[eqn: = `_5 rmC_3 +`_5 C_2 +`CDOTS`+`_10 C_2]
[eqn: VDOTS]

[eqn: =`_10 RMC_3 +`_10 C_2]

[eqn: =`_11 RMC_3]

➌ 따라서 구하는 값은

[eqn: `_11 RMC_3 =165]

[eqn: (1+x)^2 +(1 +x)^3 +(1+x)^4 +`cdots`+(1+x)^10]

[eqn: =a_0 +a_1 x +a_2 x^2 +`cdots`+a_10 x^10]
에서 [eqn: a_2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a_0 ,~a_1 ,~a_2 ,~cdots,~a_10]은 상수)

두 집합

[eqn: 87]

➊ 조건 ㈎, ㈏를 모두 만족시키는 경우는 [eqn: f(2)=1], [eqn: f(3)=6]일 때와 [eqn: f(2)=2], [eqn: f(3)=3]일 때이다.
(i) [eqn: f(2)=1], [eqn: f(3)=6]일 때
조건 ㈏에서 [eqn: f(1) lef (2)]이므로 [eqn: f(1)=1]
이때 [eqn: f(3) le f(4) le f(5)]이어야 하므로 [eqn: f(4)],  [eqn: f(5)]의 값이 될 수 있는 자연수는 [eqn: 6,~7,~8,~9,~10] 중 각각 한 개씩이다.
따라서 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: `_5 rmH_2 =`_5+2-1 C_2 =`_6 C_2 =15]

➋ (ii) [eqn: f(2)=2,~f(3)=3]일 때
[eqn: f(1)]의 값이 될 수 있는 자연수는 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]
이때 [eqn: f(4),~f(5)]의 값이 될 수 있는 자연수는 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10] 중 각각 한 개씩이다.
따라서 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: 2 times `_8RMH_2 =2 TIMES _8+2-1 C_2 =2 TIMES `_9 C_2 =72]

➌ (i), (ii)에 의하여 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: 15+72=87]

[eqn: X=LEFT{1,~2,~3,~4,~5 RIGHT }]

[eqn: Y=LEFT{x`|`x는~10~이하의~자연수 right]

에 대하여 함수 [eqn: f`:`X`->`Y] 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하시오.

㈎ [eqn: f(2)f(3)=6]

㈏ [eqn: f(n)le f(n+1)] (단, [eqn: n]은 [eqn: 4] 이하의 자연수)

전체집합 [eqn: U=left{1,~ 2,~ 3, ~4, ~5right}]의 공집합이 아닌 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A SUBSET B]를 만족시키는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 211]

➊ [eqn: n(B)=k(1 le k le5)]일 때, 집합 [eqn: B]의 경우의 수는 [eqn: `_5 {RMC}_k]이고, 그 각각에 대하여 집합 [eqn: A]의 경우의 수는 [eqn: 2^k -1]이다.

➋ 즉, [eqn: A SUBSETB]를 만족시키는 경우의 수는
[eqn: `_5 RMC _1 TIMES (2^1 -1)+`_5 C_2 TIMES (2^2 -1)+`_5 C_3 TIMES (2^3 -1)]
[eqn: + `_5 RMC_4 TIMES (2^4 -1) +`_5 C_5 TIMES (2^5 -1)]
[eqn: =(`_5 RMC _1 TIMES 2^1 +`_5 C_2 TIMES 2^2+`_5 C_3 TIMES 2^3 -1+`_5 C_4 TIMES 2^4]
[eqn: +`_5 RMC_5 TIMES 2^5 )]
[eqn: -(`_5 RMC_1 +`_5 C_2 +`_5 C_3 +`_5 C_4 +`_5 C_5 )]

➌ 이때
[eqn: (`_5 RMC _0 +`_5 C_1 TIMES 2^1 +`_5 C_2 TIMES2^2 +`CDOTS`+`_5 C_5 TIMES 2^5 )-_5 C_0]
[eqn: =(1+2)^5 -1 =242]
이고
[eqn: (`_5 RMC _0 +`_5 C_1 +`_5 C_2 +`CDOTS`+`_5 C_5 )-_5 C_0]
[eqn: =2^5 -1 =31]

➍ 따라서 구하는 경우의 수는
[eqn: 242-31=211]

확률과 통계(고2)	내신대비	천재(이) 교과서 편집본 2. 확 률

확률의 뜻

두 사람이 가위바위보를 하는 시행에서 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: left{(가위,~바위),~(가위,~바위),~(가위,~보),]
[eqn: (바위,~가위),~(바위,~바위),~(바위,~보),]
[eqn: (보,~가위),~(보,~바위),~(보,~보)right]
⑵ [eqn: left{(가위,~가위),~(바위,~바위),~(보,~보)right]

⑴ 표본공간

⑵ 두 사람이 비기는 사건

각 면에 [eqn: 1]부터 [eqn: 12]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 정십이면체 주사위를 한 번 던질 때, 윗면에 적힌 수가 [eqn: 8]의 약수인 사건을 [eqn: A], [eqn: 12]의 약수인 사건을 [eqn: B]라고 하자. 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: left{1,~2,~4 right]
⑵ [eqn: left{1,~2,~3,~4,~6,~8,~12 right]
⑶ [eqn: left{3,~5,~6,~7,~9,~10,~11,~12right]
⑷ [eqn: left{3,~5,~6,~7,~8,~9,~10,~11,~12 right]

⑴ [eqn: A SMALLINTERB]	⑵ [eqn: A SMALLUNION B]

⑶ [eqn: A^C]	⑷ [eqn: A^C SMALLUNIONB^C]

네 개의 숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4]가 각각 하나씩 적힌 네 장의 카드가 들어 있는 상자에서 임의로 한 장의 카드를 뽑을 때, 그 카드에 적힌 숫자가 소수인 사건을 [eqn: A], [eqn: 3]의 약수인 사건을 [eqn: B], [eqn: 2]의 배수인 사건을 [eqn: C]라고 하자. 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: B]와 [eqn: C]	⑵ [eqn: LEFT{1,~4 RIGHT]

⑴ 사건 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C] 중에서 서로 배반인 두 사건

⑵ 사건 [eqn: A]의 여사건

한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 나오는 두 눈의 수의 합이 [eqn: 9]일 확률을 구하시오.

[eqn: 1OVER9]

한 개의 주사위를 두 번 던지는 시행에서 표본공간 [eqn: S]는

[eqn: S=LEFT{(1,~1),~(1,~2),``CDOTS,~(6,~5),~(6,~6)RIGHT]

이므로 [eqn: n(S)= 6 TIMES 6=36]이다.

이때 나오는 두 눈의 수의 합이 [eqn: 9]인 사건을 [eqn: A]라고 하면

[eqn: A=LEFT{(3,~6),~(4,~5),~(5,~4),~(6,~3)RIGHT]

이므로 [eqn: n(A) =4]이다.

따라서 구하는 확률 [eqn: RM P(IT A)]는

[eqn: RM P(IT A)=ITn(A) OVERn(S) = 4 OVER36 = 1 OVER9]

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 2 OVER9]	⑵ [eqn: 1 OVER3]

⑴ 나오는 두 눈의 수의 차가 [eqn: 2]일 확률

⑵ 나오는 두 눈의 수의 차가 [eqn: 2]보다 클 확률

어느 축구 경기에서 승부차기로 승패를 가리게 되었다. 두 공격수 [eqn: RMA], [eqn: RMB]를 포함한 [eqn: 11]명의 축구 선수 중에서 승부차기할 [eqn: 5]명의 선수를 임의로 선발할 때, 두 공격수 [eqn: RMA], [eqn: RMB]가 모두 뽑힐 확률을 구하시오.

[eqn: 2OVER11]

[eqn: 11]명의 축구 선수 중에서 [eqn: 5]명을 뽑는 경우의 수는

[eqn: `_11 RMC_5 =462]

이때 두 공격수 [eqn: RMA], [eqn: RMB]를 포함하여 [eqn: 5]명을 뽑는 것은 [eqn: 2]명을 제외한

나머지 [eqn: 9]명 중에서 [eqn: 3]명을 뽑는 경우의 수와 같으므로

[eqn: `_9RMC_3 =84]

따라서 구하는 확률은

[eqn: 84 OVER462 = 2 OVER11]

남학생 [eqn: 8]명, 여학생 [eqn: 8]명으로 구성된 어느 학교 수학 동아리에서 홍보 담당 학생 [eqn: 2]명을 임의로 뽑을 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 8 OVER15]	⑵ [eqn: 1 OVER8]

⑴ 남학생 [eqn: 1]명, 여학생 [eqn: 1]명이 홍보 담당으로 뽑힐 확률

⑵ 이 동아리 회원인 특정 여학생 [eqn: 1]명이 홍보 담당으로 뽑힐 확률

서로 다른 곰 인형 [eqn: 5]개와 토끼 인형 [eqn: 3]개를 모두 일렬로 진열하려고 한다. 이들 인형을 임의로 진열할 때, 토끼 인형 [eqn: 3]개가 이웃하게 진열될 확률을 구하시오.

[eqn: 3over28]

오

연령(세)	생존자(명)
	남자	여자
[eqn: 0]	[eqn: 100000]	[eqn: 100000]
[eqn: 20]	[eqn: 99403]	[eqn: 99552]
[eqn: 40]	[eqn: 98038]	[eqn: 98738]
[eqn: 60]	[eqn: 90910]	[eqn: 95965]
[eqn: 80]	[eqn: 56521]	[eqn: 77662]

른쪽 표는 [eqn: 2015]년 우리나라에서 출생한 남녀 각 [eqn: 10]만 명 중에서 각 연령까지 생존할 것으로 예측되는 사람의 수를   나타낸 생명표이다. 다음 확률을 소수 셋째 자리에서 반올림하여 나타내시오.

⑴ [eqn: 0.91]	⑵ [eqn: 0.79]

⑴ [eqn: 20]세의 남자 [eqn: 99403]명이 [eqn: 40]년 후 [eqn: 60]세가 될 때는 [eqn: 90910]명이다.

이때 [eqn: 90910 over99403 =0.914cdots]이므로 구하는 확률은 [eqn: 0.91]이다.

⑵ [eqn: 40]세의 여자 [eqn: 98738]명이 [eqn: 40]년 후 [eqn: 80]세가 될 때는 [eqn: 77662]명이다.

이때 [eqn: 77662 over98738 =0.786cdots]이므로 구하는 확률은 [eqn: 0.79]이다.

⑴ [eqn: 20]세의 남자가 앞으로 [eqn: 40]년간 생존할 확률

⑵ [eqn: 40]세의 여자가 앞으로 [eqn: 40]년간 생존할 확률

다

연령(세)	생존자(명)
	남자	여자
[eqn: 0]	[eqn: 100000]	[eqn: 100000]
[eqn: 20]	[eqn: 99403]	[eqn: 99552]
[eqn: 40]	[eqn: 98038]	[eqn: 98738]
[eqn: 60]	[eqn: 90910]	[eqn: 95965]
[eqn: 80]	[eqn: 56521]	[eqn: 77662]

음 생명표에서 다음 확률을 소수 셋째 자리에서 반올림하여 나타내시오.

⑴ [eqn: 0.93]	⑵ [eqn: 0.81]

⑴ [eqn: 40]세의 남자가 앞으로 [eqn: 20]년간 생존할 확률

⑵ [eqn: 60]세의 여자가 앞으로 [eqn: 20]년간 생존할 확률

감자 크로켓 [eqn: 3]개와 잡채 크로켓 [eqn: 4]개가 들어 있는 상자에서 임의로 [eqn: 4]개의 크로켓을 동시에 꺼낼 때, 다음을 구하시오.

[eqn: 0]             ⑵ [eqn: 1]             ⑶ [eqn: 18 over35]

⑴ 감자 크로켓이 [eqn: 4]개 나올 확률

⑵ 잡채 크로켓이 [eqn: 1]개 이상 나올 확률

⑶ 감자 크로켓 [eqn: 2]개, 잡채 크로켓 [eqn: 2]개가 나올 확률

소단원 확인 문제

한 개의 주사위를 한 번 던지는 시행에 대하여 ㈎~㈓에 알맞은 것을 써넣으시오.

㈎ [eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6]
㈏ [eqn: left{1 right},~left{2 right}{,~left{3 right},~left{4 right},~left{5 right}{,~left{6 right]
㈐ [eqn: 6]  ㈑ [eqn: 2,~3,~5]  ㈒ [eqn: 1,~4,~6]  ㈓ [eqn: 8]

오른쪽 그림과 같이 원을 [eqn: 5]등분한 돌림판을 돌려 돌림판이 멈추었을 때 고정 핀이 가리키는 칸에 적힌 점수를 얻는 게임이 있다. 이 게임을 [eqn: 3]번 시행하여 얻은 점수의 곱이 [eqn: 5]일 확률을 구하시오.

[eqn: 3 over125]

어느 수영 대회에 참가한 [eqn: 8]명의 수영 선수가 출발할 레인을 제비뽑기로 정하기로 하였다. 이 대회에 참가한 희수와 진아가 이웃한 레인에서 출발할 확률을 구하시오.

[eqn: 1over4]

초록 구슬 [eqn: 2]개, 파란 구슬 [eqn: 3]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 구슬을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 구슬이 서로 다른 색일 확률을 구하려고 한다. 다음 학생의 풀이가 옳은지 말하고, 그 까닭을 설명해 보자.

풀이 참고

민영이의 풀이는 옳지 않다. 그 까닭은 민영이가 센 [eqn: 3]가지 각 경우가 일어날 가능성이 같지 않으므로 나올 수 있는 경우를 [eqn: 3]가지로 세는 것은 옳지 않다.

[옳은 풀이]

[eqn: 5]개의 구슬 중에서 [eqn: 2]개의 구슬을 꺼내는 경우의 수는

[eqn: `_5 RMC _2 =10]

이때 꺼낸 구슬이 서로 다른 색인 경우는 초록 구슬 [eqn: 1]개, 파란 구슬 [eqn: 1]개를 꺼내는 경우이므로 그 경우의 수는

[eqn: `_2 rmC_1 TIMES `_3 C_1 =6]

따라서 구하는 확률은 [eqn: 6 OVER10 = 3 OVER5]

민영 : 나올 수 있는 경우는 초록 구슬과 초록 구슬, 초록 구슬과 파란 구슬, 파란 구슬과 파란 구슬의 [eqn: 3]가지가 있으므로, 꺼낸 구슬이 서로 다른 색일 확률은 [eqn: {1}over{3}]이지.

확률의 덧셈정리

[eqn: 1]부터 [eqn: 50]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 50]개의 공이 들어 있는 상자에서 임의로 한 개의 공을 꺼낼 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 8 OVER25]	⑵ [eqn: 13 OVER50]

⑴ [eqn: 4]의 배수가 적힌 공이 나오는 사건을 [eqn: A], [eqn: 6]의 배수가 적힌 공이 나오는 사건을 [eqn: B]라고 하면 [eqn: n(A)=12], [eqn: n(B)=8], [eqn: n(A SMALLINTER B)=4]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(A SMALLUNION B) ={RMP}(A)+{RMP}(B)-{RMP}(A SMALLINTER B)]

[eqn: = 12 OVER50 + 8 OVER50 - 4 OVER50 = 8 OVER25]

⑵ [eqn: 9] 이하의 수가 적힌 공이 나오는 사건을 [eqn: C], [eqn: 47] 이상의 수가 적힌 공이 나오는 사건을 [eqn: D]라고 하면 [eqn: n(C)=9], [eqn: n(D)=4]이고 두 사건은 서로 배반사건이다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(C SMALLUNION D) ={RMP}(C`)+{RMP}(D)]

[eqn: = 9 OVER50 + 4 OVER50 = 13 OVER50]

⑴ [eqn: 4]의 배수 또는 [eqn: 6]의 배수가 적힌 공이 나올 확률

⑵ [eqn: 9] 이하의 수 또는 [eqn: 47] 이상의 수가 적힌 공이 나올 확률

영철이네 반 학생 [eqn: 32]명을 대상으로 통학할 때의 교통수단을 조사하였더니 버스를 이용하는 학생이 [eqn: 20]명, 지하철을 이용하는 학생이 [eqn: 13]명, 버스와 지하철을 모두 이용하는 학생이 [eqn: 5]명이었다. 이 반 학생 중에서 임의로 한 명의 학생을 뽑을 때, 이 학생이 버스 또는 지하철을 이용하여 통학하는 학생일 확률을 구하시오.

[eqn: 7 OVER8]

어느 반 진로 체험 프로그램에서 ‘방송국 험’에 신청한 학생은 반 전체의 [eqn: 3 OVER5], ‘박물관 체험’에 신청한 학생은 반 전체의 [eqn: 1OVER2], 두 체험을 모두 신청한 학생은 반 전체의 [eqn: 1OVER5]이다. 이 반 학생 중에서 임의로 한 명의 학생을 뽑을 때, 이 학생이 ‘방송국 체험’ 또는 ‘박물관 체험’에 신청한 학생일 확률을 구하시오.

[eqn: 9OVER10]

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 서로 다른 눈이 나올 확률을 구하시오.

[eqn: 5 OVER6]

남학생 [eqn: 12]명, 여학생 [eqn: 13]명으로 구성된 어느 학교 연극 동아리에서 임의로 두 명의 학생을 뽑아 설문조사를 할 때, 적어도 한 명의 남학생 이 뽑힐 확률을 구하시오.

[eqn: 37 OVER50]

적어도 한 명의 남학생이 뽑히는 사건을 [eqn: A]라고 하면, [eqn: A]의 여사건

[eqn: A^C]는 남학생이 한 명도 뽑히지 않는 사건이다.

즉, 모두 여학생이 뽑히는 사건이므로

[eqn: rm P it (A ^{C} `)={`_13 RMC_2 } OVER{`_25 RMC_2 }= 13 OVER50]

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P it (A )=1- rm P it (A^C``)]

[eqn: = 1- 13 OVER50 = 37 OVER50]

진이네 학교 운동장에 있는 세면대의 수도꼭지는 [eqn: 20]개 중에서 [eqn: 16]개만 제대로 작동한다고 한다. 체육 수업을 마친 진이네 반 학생 [eqn: 3]명이 각각 임의로 한 개씩 수도꼭지를 틀었을 때, 적어도 한 개의 수도꼭지가 작동할 확률을 구하시오.

[eqn: 284 OVER285]

보통 한 반에서 생일이 같은 두 학생이 있다면 ‘놀라운 우연’이라고 생각하게 된다. 과연 우리 반 학생 중에서 생일이 같은 학생이 있을 확률이 얼마나 될까?

[eqn: 0.29]	[eqn: 0.71]

다음 단계에 따라 학생 수가 [eqn: 30]명인 반에서 생일이 같은 학생이 있을 확률을 구해 보자.

(단, [eqn: 2]월 [eqn: 29]일생은 고려하지 않고, [eqn: 1]년은 [eqn: 365]일로 생각한다.)

[eqn: 30]명의 학생 모두 생일이 다를 확률을 구해 보자.

(단, 소수 셋째 자리에서 반올림한다.)

이 반에서 생일이 같은 학생이 있을 확률을 여사건의 확률을 이용하여 구해 보자.

소단원 확인 문제

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 다음에서 구하는 확률을 오른쪽 그림에서 찾으시오.

⑴ [eqn: 19 over20]	⑵ [eqn: 1over6]	⑶ [eqn: 1over2]

⑴ [eqn: {RMP} (A )= 4 OVER5], [eqn: {RMP} (B )= 2 OVER5], [eqn: {RMP} (A SMALLINTER B)= 1OVER4]일 때, [eqn: {RMP}(A SMALLUNIONB)]

⑵ [eqn: {RMP} (A )= 1OVER3], [eqn: {RMP} (B )= 1 OVER4], [eqn: {RMP}(A SMALLUNIONB) = 5 OVER12]일 때, [eqn: {RMP} (A SMALLINTER B)]

⑶ [eqn: A SMALLINTERB= EMPTYSET]이고, [eqn: {RMP} (A )= 1OVER4], [eqn: {RMP} (B )= 1 OVER4]일 때, [eqn: {RMP}(A SMALLUNIONB)]

민혁이네 반 학생 [eqn: 35]명을 대상으로 혈액형을 조사하였더니 [eqn: RMA]형, [eqn: RMB]형, [eqn: RMAB]형, [eqn: RMO]형인 학생이 각각 [eqn: 11]명, [eqn: 11]명, [eqn: 3]명, [eqn: 10]명이었다. 이 반 학생 중에서 임의로 한 명의 학생을 뽑을 때, 이 학생의 혈액형이 [eqn: RMA]형 또는 [eqn: RMO]형일 확률을 구하시오.

[eqn: 3over5]

클래식 음악 파일이 [eqn: 4]개, 영화 음악 파일이 [eqn: 3]개 저장된 음악 플레이어에서 임의로 세 개의 파일을 재생시킬 때, 적어도 한 번은 영화 음악 파일이 재생될 확률을 구하시오. (단, 같은 파일이 반복 재생될 수 있다.)

[eqn: 279 over343]

빨간 볼펜이 [eqn: 3]개, 파란 볼펜이 [eqn: n]개 들어 있는 필통에서 임의로 두 개의 볼펜을 동시에 꺼낼 때, 적어도 한 개는 파란 볼펜이 나올 확률이 [eqn: 7 over10]이다. 이때 [eqn: n]의 값을 구하시오.

[eqn: 2]

영기와 유찬이를 포함한 [eqn: 8]명의 친구가 영화를 보기 위해 극장을 방문하여 오른쪽 그림과 같은 좌석의 영화표를 구매하였다. 영화표를 임의로 뽑아 좌석을 결정하기로 할 때, 영기와 유찬이가 서로 이웃하게 앉을 확률을 다음 단계에 따라 구해 보자. (단, 두 명이 같은 열의 바로 옆에 있을 때 이웃한 것으로 본다.)

[eqn: 8! = 40320]           [eqn: 5 times 2! times 6! = 7200]
[eqn: 5 over28]

[eqn: 8]명의 친구가 좌석에 앉는 경우의 수를 구해 보자.

영기와 유찬이가 서로 이웃하게 앉는 경우의 수를 구해 보자.

영기와 유찬이가 서로 이웃하게 앉을 확률을 구해 보자.

위 단계의 풀이 과정을 설명해 보자.

중단원 연습 문제

[eqn: 1]부터 [eqn: 5]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 5]장의 카드 중에서 임의로 한 장의 카드를 뽑을 때, 다음을 집합으로 나타내시오.

⑴ [eqn: left{1,~3,~5 right]	⑵ [eqn: left{2,~4 right]

⑴ 홀수가 나오는 사건

⑵ 짝수가 나오는 사건

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 [eqn: 5]일 확률을 구하시오.

[eqn: 1over9]

여섯 개의 문자 [eqn: RMC], [eqn: RMH], [eqn: RMA], [eqn: RMN], [eqn: RMC], [eqn: RME]를 모두 일렬로 나열할 때, 양 끝에 모음이 올 확률을 구하시오.

[eqn: 1over15]

여학생 [eqn: 3]명, 남학생 [eqn: 4]명 중에서 임의로 두명의 학생을 뽑을 때, 적어도 한 명의 여학생 이 뽑힐 확률을 구하시오.

[eqn: 5 over7]

[eqn: 1]부터 [eqn: 100]까지의 자연수 중에서 임의로 서로 다른 두 개의 수를 뽑을 때, 한 수가 다른 수의 [eqn: 4]배일 확률을 구하시오.

[eqn: 1 OVER198]

세 장의 카드의 앞면과 뒷면에 각각 [eqn: a]와 [eqn: b], [eqn: b]와 [eqn: c], [eqn: c]와 [eqn: a]의 문자가 하나씩 적혀 있다. 세 장의 카드를 던져 펼쳐진 면의 문자를 비교하여 두 장의 카드의 문자가 같으면 갑이 이기고, 세 장의 카드의 문자가 모두 다르면 을이 이기는 게임을 한다. 이때 갑이 이길 확률을 구하시오.

[eqn: 3 OVER4]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[eqn: 2OVER3]

[eqn: {RMP}(A SMALLUNION B) = 1OVER2], [eqn: {RMP}(A^C ` SMALLUNION B^C `) = 5 OVER6]

일 때, [eqn: {RMP} (A )+{RMP}(B)]의 값을 구하시오.

하진이는 겨울 방학에 답사 여행을 하려고 한다. 이번 겨울 방학에는 전라도 권역의 답사지 [eqn: 5]곳, 경상도 권역의 답사지 [eqn: 3]곳 중에서 임의로 [eqn: 3]곳을 선택하여 여행을 하려고 할 때, 경상도 권역의 답사지가 적어도 [eqn: 1]곳 포함될 확률을 구하시오.

[eqn: 23 OVER28]

민수네 반에서는 [eqn: 1]번부터 [eqn: 10]번까지의 학생들 중에서 임의로 [eqn: 3]명을 뽑아 급식 당번을 정하려고 한다. 급식 당번으로 정해진 학생의 번호가 어느 두 수도 연속하지 않을 확률을 구하시오.

[eqn: 7 OVER15]

한 개의 주사위를 세 번 던져 나온 눈의 수를 차례로 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라고 할 때, [eqn: (a-b)(b-c)=][eqn: 0]일 확률을 구하시오.

[eqn: 11 OVER36]

조건부 확률과 확률의 곱셈정리

한 개의 주사위를 던져 짝수의 눈이 나왔을 때, 그 눈이 소수일 확률을 구하시오.

[eqn: {1} over {3}]

어느 학교에서 새로 도입한 교복 점퍼에 대한 구매 희망 여부를 조사하였더니 구매를 희망하는 학생은 전체 학생의 [eqn: 75~%]이고, 구매를 희망하는 [eqn: 2]학년 학생은 전체 학생의 [eqn: 30~%]이었다. 전체 학생 중에서 임의로 뽑은 한 명이 구매를 희망하는 학생일 때, 그 학생이 [eqn: 2]학년 학생일 확률을 구하시오.

[eqn: 2OVER5]

임의로 뽑은 학생이 교복 점퍼 구매를 희망하는 학생일 사건을 [eqn: A], [eqn: 2]학년 학생일 사건을 [eqn: B]라고 하면

[eqn: {RMP}(A)= 75 OVER100 = 3OVER4], [eqn: {RMP}(A SMALLINTER B )} = 30 OVER100 = 3OVER10]

따라서 구하는 확률은 사건 [eqn: A]가 일어났을 때의 사건 [eqn: B]의 조건부확률이므로

[eqn: {RMP}(B``|` A)][eqn: ={ {RMP}(A SMALLINTER B )} OVER{{RMP}(A)}][eqn: = 2OVER5]

어느 분식집의 [eqn: 1]년간 이용 고객 수를 조사하였더니 학생이 전체 고객의 [eqn: 3OVER4]이고, 여학생이 전체 고객의 [eqn: 1 OVER2]이었다. 이 분식집 이용 고객 중에서 임의로 뽑은 한 명이 학생일 때, 그 학생이 여학생일 확률을 구하시오.

[eqn: {2} over {3}]

윤영이가 사과 맛 젤리 [eqn: 6]개와 딸기 맛 젤리 [eqn: 4]개가 들어 있는 봉지에서 임의로 [eqn: 2]개의 젤리를 한 개씩 차례로 꺼낼 때, 첫 번째에는 사과 맛 젤리를 꺼내고, 두 번째에는 딸기 맛 젤리를 꺼낼 확률을 구하시오. (단, 꺼낸 젤리는 다시 넣지 않는다.)

[eqn: {4}over{15}]

첫 번째에 사과 맛 젤리를 꺼내는 사건을 [eqn: A], 두 번째에 딸기 맛 젤리를 꺼내는 사건을 [eqn: B]라고 하면 첫 번째에 사과 맛 젤리를 꺼낼 확률은 [eqn: {rmP}(A)={6}over{10}={3}over{5}]

첫 번째에 사과 맛 젤리를 꺼냈을 때, 두 번째에는 딸기 맛 젤리를 꺼낼 확률은

[eqn: {rmP}(B``|``A)={4}over{9}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: rmP][eqn: (A cap B)={rmP} (A){rmP}(`B``|``A`)={3}over{5} times {4}over{9}={4}over{15}]

오른쪽 그림과 같이 책상 배열이 가로 [eqn: 6]줄, 세로 [eqn: 5]줄로 이루어진 어느 반에서 제비뽑기를 통해 자리를 정하려고 한다. 첫 번째로 자리를 뽑는 학생과 두 번째로 자리를 뽑는 학생 모두 맨 앞줄의 좌석을 뽑게 될 확률을 구하시오.

[eqn: {2} over {87}]

(단, 뽑은 제비는 다시 넣지 않는다.)

소단원 확인 문제

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: {RMP}(A)= 1OVER2], [eqn: {RMP}(B)= 3 OVER10], [eqn: {RMP}(A SMALLUNIONB )= 3 OVER5]일 때, 다음 확률을 구하시오.

⑴ [eqn: 1over3]        ⑵ [eqn: 2over3]          ⑶  [eqn: 2 OVER 5]

어느 봉사 단체 회원 중에서 외국인은 전체 회원의 [eqn: 14`%]이고, 외국인 중에서 독일인은 전체 회원의 [eqn: 2`%]라고 한다. 이 봉사 단체 회원 중에서 임의로 뽑은 한 명이 외국인일 때, 그 외국인이 독일인일 확률을 구하시오.

[eqn: 1 over7]

오

	[eqn: RMA]	[eqn: RMB]	합계
남학생	[eqn: 50]	[eqn: 40]	[eqn: 90]
여학생	[eqn: 48]	[eqn: 62]	[eqn: 110]
합계	[eqn: 98]	[eqn: 102]	[eqn: 200]

른쪽 표는 휴대 전화 제조 회사에서 학생 [eqn: 200]명을 대상으로 신제품 [eqn: RMA], [eqn: RMB] 중에서 선호하는 제품을 조사한 것이다. 조사한 학생 중에서 임의로 뽑은 한 명이 [eqn: RMB]제품을 선호하는 학생일 때, 그 학생이 여학생일 확률을 구하시오.

[eqn: 31 over51]

어느 학교 행사의 행운권 추첨에 대한 두 학생의 대화를 읽고, 다음 물음에 답해 보자.

⑴ [eqn: 1over5]	⑵ [eqn: 1 over5]
⑶ ⑴, ⑵의 확률이 같으므로 누가 더 유리하다고 할 수 없다.

		| 대 화 |
	남학생 : 먼저 우리 두 명이 순서를 정해 하나씩 뽑기로 하고, 뽑은 제비는 다시 넣지 않기로 하자. 여학생 : [eqn: 10]개의 제비 중 행운권은 [eqn: 2]개야. 남학생 : 내가 먼저 뽑아도 되지? 여학생 : 내가 먼저 뽑고 싶은데…. 그런데 먼저 뽑는 사람이 유리한 건가?

⑴ 첫 번째로 제비를 뽑는 사람이 행운권을 뽑을 확률을 구해 보자.

⑵ 두 번째로 제비를 뽑는 사람이 행운권을 뽑을 확률을 구해 보자.

⑶ 위 ⑴, ⑵의 결과를 비교하여 누가 더 유리한지 말해 보자.

사건의 독립과 종속

한 개의 주사위를 던져 소수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: A], [eqn: 3]의 배수의 눈   이 나오는 사건을 [eqn: B], [eqn: 4]의 약수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: C]라고 할 때, 다음 두 사건이 서로 독립인지 종속인지 조사하시오.

⑴ 독립 ⑵ 종속

[eqn: A=LEFT{2,~3,~5 RIGHT], [eqn: B= LEFT{3,~6RIGHT], [eqn: C=LEFT{1,~2,~4 RIGHT]이므로

[eqn: {RMP}(A)= 1OVER2], [eqn: {RMP}(B)= 1OVER3], [eqn: {RMP}(C`)= 1OVER2]

⑴ [eqn: A SMALLINTERB =LEFT{3 RIGHT]이므로 [eqn: {RMP}(A SMALLINTER B ) = 1OVER6]

또, [eqn: {RMP}(A){RMP}(B)= 1 OVER2 TIMES `1OVER3 = 1OVER6]

따라서 [eqn: {RMP}(A SMALLINTER B ) ={RMP}(A){RMP}(B)]이므로 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]는 서로 독립이다.

⑵ [eqn: A SMALLINTERC =LEFT{2 RIGHT]이므로 [eqn: {RMP}(A SMALLINTER C`` ) = 1OVER6]

또, [eqn: {RMP}(A){RMP}(C`)= 1 OVER2 TIMES `1OVER2 = 1OVER4]

따라서 [eqn: {RMP}(A SMALLINTER C`` ) !={RMP}(A){RMP}(C`)]이므로 두 사건 [eqn: A], [eqn: C]는 서로 종속이다.

⑴ 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]	⑵ 두 사건 [eqn: A], [eqn: C]

다음 그림과 같이 한글 자음과 모음이 각각 하나씩 적힌 [eqn: 12]장의 카드가 있다. 이 카드 중에서 임의로 한 장의 카드를 선택할 때, 자음이 적힌 카드를 선택하는 사건을 [eqn: A], 무늬가 있는 카드를 선택하는 사건을 [eqn: B]라고 하자. 이때 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립인지 종속인지 조사하시오.

종속

다음 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립일 때, 두 사건 [eqn: A^C], [eqn: B]도 서로 독립임을 보이시오. (단, [eqn: {RMP}(A)>0], [eqn: {RMP}(B)>0])

독립이다.

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이므로

[eqn: {RMP}(A SMALLINTER B ) ={RMP}(A){RMP}(B)]

이때 [eqn: {RMP}(B SMALLINTER A^C `) ={RMP}(B)-{RMP}(A SMALLINTER B)]

[eqn: ={RMP}(B)-{RMP}(A){rmP}( B)]

[eqn: ={RMP}(B)LEFT{1-{RMP}(A) RIGHT]

[eqn: ={RMP}(B){RMP}(A^C`)]

이므로 두 사건 [eqn: A^C], [eqn: B]도 서로 독립이다.

윷놀이에서 윷짝 한 개를 던질 때, 둥근 면이 나올 확률은 [eqn: 2over5]이고, 평평한 면이 나올 확률은 [eqn: 3 over5]이라고 하자. 이 윷짝 네 개를 동시에 던질 때, 걸이 나올 확률을 구하시오.

[eqn: 216 OVER625]

걸이 나오는 경우는 네 개의 윷짝 중에서 한 개는 둥근 면이 나오고, 나머지 세 개는 평평한 면이 나와야 하므로 독립시행의 확률에 의하여

[eqn: `_4 rmC_1 TIMES LEFT( 2OVER 5 RIGHT)^1 TIMES LEFT( 3OVER5 RIGHT)^3 = 216 OVER625]

이다.

어느 퀴즈 프로그램 출연자는 보기 세 항목 중 정답이 한 개인 문제를 다섯 문제 풀어야 한다. 이 출연자가 각 문제에서 보기 항목 한 개를 임의로 선택할 때, 세 문제 이상 맞힐 확률을 구하시오.

[eqn: 17 OVER81]

[eqn: 17]세기 프랑스의 도박사 드 메레[eqn: (RMde~M grave { e }r grave { e})])는 다음과 같은 질문을 제기하였다.

[eqn: 0.52]                [eqn: 0.49]

드 메레는 수학적 지식을 이용하여 도박에서 큰 성공을 거두었지만 위 질문에 대한 판단을 잘못 내려 돈을 잃게 되자 친구인 수학자 파스칼에게 이 문제를 해결해 달라고 의뢰하였다. 드 메레의 질문을 다음 단계를 통해 해결해 보자.

한 개의 주사위를 [eqn: 4]번 던졌을 때, 적어도 한 번 [eqn: 6]의 눈이 나올 확률을 여사건의 확률을 이용하여 구해 보자. (단, 소수 셋째 자리에서 반올림한다.)

두 개의 주사위를 동시에 [eqn: 24]번 던졌을 때, 적어도 한 번 두 개의 주사위 모두 [eqn: 6]의 눈이 나올 확률을 여사건의 확률을 이용하여 구해 보자. (단, 소수 셋째 자리에서 반올림한다.)

위 과정을 통해 드 메레의 질문의 답을 설명해 보자.

소단원 확인 문제

다음 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이면 ‘독립’에, 종속이면 ‘종속’에 [eqn: ○]표를 하시오.

⑴ 종속	⑵ 독립

다섯 개의 구멍에서 물이 올라오는 바닥 분수대가 있다. 어느 순간 각 구멍에서 물이 나올 확률이 [eqn: 2 over3]라고 할 때, 두 개의 구멍에서만 물이 나올 확률을 구하시오.

[eqn: 40 OVER243]

두 개의 주사위를 동시에 [eqn: 4]번 던질 때, 주사위의 눈의 수가 세 번 같을 확률을 구하시오.

[eqn: 5 OVER324]

갑과 을이 테니스 시합을 하는데, 먼저 [eqn: 3]세트를 이기면 시합이 끝난다고 한다. 세트마다 갑이 을을 이길 확률이 [eqn: 1over3]일 때, [eqn: 5]세트에서 시합이 끝날 확률을 구하시오.

[eqn: 8 OVER27]

다음 표는 [eqn: 500]명을 대상으로 음식 [eqn: rmA]를 매주 한 번 이상 먹는 사람과 질병 [eqn: RMB]와의 연관성 여부를 조사한 것이다.

⑴ [eqn: 31 OVER125]    ⑵ [eqn: 3 OVER38]    ⑶ 영향을 끼친다고 볼 수 있다.

(단위: 명)

	질병 [eqn: RMB]에 걸림	질병 [eqn: RMB]에 걸리지 않음	합계
음식 [eqn: RMA]를 매주 한 번 이상 먹음	[eqn: 12]	[eqn: 140]	[eqn: 152]
음식 [eqn: RMA]를 매주 한 번 이상 먹지는 않음	[eqn: 112]	[eqn: 236]	[eqn: 348]
합계	[eqn: 124]	[eqn: 376]	[eqn: 500]

전체 [eqn: 500]명 중에서 임의로 한 명을 택할 때, 다음 물음에 답해 보자.

⑴ 택한 사람이 질병 [eqn: RMB]에 걸린 사람일 확률을 구해 보자.

⑵ 택한 사람이 음식 [eqn: RMA]를 매주 한 번 이상 먹는 사람일 때, 이 사람이 질병 [eqn: RMB]에 걸린 사람일 확률을 구해 보자.

⑶ 위 ⑴, ⑵에서 음식 [eqn: RMA]를 매주 한 번 이상 먹는 것이 질병 [eqn: RMB]에 걸릴 확률에 영향을 끼친다고 볼 수 있는지 말해 보자.

중단원 연습 문제

어느 시험에서 [eqn: RMA]가 [eqn: 1]차 시험에 합격할 확률은 [eqn: 1OVER10], [eqn: 1]차 시험과 [eqn: 2]차 시험에 모두 합격할 확률은 [eqn: 1OVER20]이라고 한다. [eqn: RMA]가 [eqn: 1]차 시험에 합격 했을 때, [eqn: 2]차 시험에도 합격할 확률을 구하시오.

[eqn: 1over2]

한 개의 주사위와 한 개의 동전을 동시에 던질 때, 주사위는 [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오고 동전은 앞면이 나올 확률을 구하시오.

[eqn: 1over6]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이고

[eqn: 0.12]

[eqn: RMP(ITA)=0.4], [eqn: RMP(ITB)=0.3]

일 때, [eqn: {RMP}(ITA SMALLINTER B )]를 구하시오.

다섯 개의 동전을 동시에 던질 때, 앞면이 한 개 이하로 나올 확률을 구하시오.

[eqn: 3over16]

어느 반 학생 [eqn: 36]명 중에서 [eqn: RMA] 영화를 본 학생은 [eqn: 20]명, [eqn: RMB] 영화를 본 학생은 [eqn: 28]명, [eqn: RMA] 영화와 [eqn: RMB] 영화를 모두 보지 않은 학생은 [eqn: 4]명이다. 이 반 학생 중에서 임의로 택한 한 명이 [eqn: RMA] 영화를 본 학생일 때, 이 학생이 [eqn: RMB] 영화도 본 학생일 확률을 구하시오.

[eqn: 4 over5]

상자 [eqn: RMA]에는 흰 공 [eqn: 3]개, 검은 공 [eqn: 3]개, 상자 [eqn: RMB]에는 흰 공 [eqn: 2]개, 검은 공 [eqn: 4]개가 각각 들어 있다. 상자 [eqn: RMA], [eqn: RMB] 중에서 임의로 상자 하나를 택하고, 그 상자에서 임의로 두 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 흰 공 [eqn: 2]개가 나올 확률을 구하시오.

[eqn: 2 over15]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이고

[eqn: 1over2]

[eqn: RMP(ITA)= 1OVER4], [eqn: {RMP}(ITA SMALLUNION B ) = 5 OVER8]

일 때, [eqn: RMP(ITB)]를 구하시오.

어느 회사의 사이버 교육 평가는 [eqn: ○], [eqn: TIMES]로 표시하는 [eqn: 10]문제 중에서 [eqn: 7]문제 이상을 맞혀야 합격이라고 한다. 이 회사의 어떤 직원이 [eqn: 10]문제의 답을 임의로 표시할 때, 이 평가에서 합격할 확률을 구하시오.

[eqn: 11 over64]

[eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: RMC], [eqn: RMD] [eqn: 4]명이 오른쪽 그림과 같은 대진표를 이용하여 시합을 하려고 한다. [eqn: RMA]가 [eqn: RMC], [eqn: RMD]와 시합을 할 때 이길 확률이 각각 [eqn: 2OVER3]이고, [eqn: RMB]가 [eqn: RMC], [eqn: RMD]와 시합을 할 때 이길 확률이 각각 [eqn: 1OVER2]이라고 한다. 이때 [eqn: RMA]와 [eqn: RMB]가 결승전에서 만날 확률을 구하시오.

[eqn: 2 over9]

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정오각형 위를 시계 반대 방향으로 변을 따라 움직이는 점 P가 있다. 한 개의 동전을 던져 앞면이 나오면 [eqn: 1]만큼, 뒷면이 나오면 [eqn: 2]만큼 움직일 때, 동전을 네 번 던져 점 [eqn: RMA]를 출발한 점 [eqn: RMP]가 다시 점 [eqn: RMA]에 도착할 확률을 구하시오.

[eqn: 1over4]

대단원 종합 문제

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 두 눈의 수의 곱이 짝수일 확률은?

④

① [eqn: 1OVER2]	② [eqn: 7 OVER12]	③ [eqn: 2OVER3]

④ [eqn: 3OVER4]	⑤ [eqn: 5 OVER6]

서랍 안에 같은 모양의 흰 양말 세 짝과 검은 양말 네 짝이 있다. 불이 꺼진 어두운 상태에서 임의로 양말 두 짝을 꺼낼 때, 꺼낸 양말의 색이 다를 확률은?

③

① [eqn: 2 OVER7]	② [eqn: 3 OVER7]	③ [eqn: 4 OVER7]

④ [eqn: 5 OVER7]	⑤ [eqn: 6 OVER7]

한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 소수의 눈이 한 번만 나올 확률은?

④

① [eqn: 1 OVER6]	② [eqn: 1OVER4]	③ [eqn: 1OVER3]

④ [eqn: 1OVER2]	⑤ [eqn: 2OVER3]

오른쪽 그림과 같이 원의 둘레 위에 같은 간격으로 [eqn: 8]개의 점이 있다. 이 중에서 임의로 세 점을 택하여 삼각형을 만들 때, 이 삼각형이 직각삼각형이 될 확률은?

②

① [eqn: 2 over 7]	② [eqn: 3 over 7]	③ [eqn: 4 over 7]

④ [eqn: 5over 7]	⑤ [eqn: 6over 7]

한 개의 주사위를 두 번 던져 첫 번째 나온 눈의 수를 [eqn: a], 두 번째 나온 눈의 수를 [eqn: b]라고 할 때, [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: 3x^2 +ax+b=0]이 서로 다른 두 실근을 가질 확률은?

②

① [eqn: 1over12]	② [eqn: 5 over36]	③ [eqn: 7 over36]

④ [eqn: 1 over4]	⑤ [eqn: 11 over36]

[eqn: 100]부터 [eqn: 999]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 900]장의 카드에서 임의로 한 장의 카드를 뽑을 때, 뽑힌 카드에 적혀 있는 수의 각 자리의 숫자들의 합이 [eqn: 7]일 확률은?

①

① [eqn: 7 over225]	② [eqn: 1over25]	③ [eqn: 11 over225]

④ [eqn: 13 over225]	⑤ [eqn: 1over15]

[eqn: 1]부터 [eqn: 12]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 12]장의 카드에서 임의로 한 장의 카드를 꺼낼 때, 카드에 적혀 있는 수가 [eqn: 3]의 배수인 사건을 [eqn: A], 소수인 사건을 [eqn: B], [eqn: 8]의 약수인 사건을 [eqn: C]라고 하자. 다음 보기에서 서로 배반인 사건만을 있는 대로 고른 것은?

		| 보 기 |
	ㄱ. [eqn: A]와 [eqn: C] ㄴ. [eqn: A SMALLINTERB]와 [eqn: B SMALLINTERC] ㄷ. [eqn: A SMALLUNIONB]와 [eqn: B^C]

③

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어느 제과점에 지난 한 달간 들른 손님 중 임의로 한 명을 택할 때, 그 손님이 식빵을 구매한 손님일 확률은 [eqn: 0.4]이고, 식빵과 샌드위치를 모두 구매한 손님일 확률은 [eqn: 0.1]이다. 이 제과점에 들른 손님 중에서 임의로 택한 한 명이 식빵을 구매한 손님일 때, 그 손님이 샌드위치를 구매하지 않은 손님일 확률은?
① [eqn: 3OVER8]	② [eqn: 1OVER2]	③ [eqn: 5 OVER8]

④

④ [eqn: 3 OVER4]	⑤ [eqn: 7 OVER8]

두 사건 [eqn: A,`B]에 대하여

③

[eqn: {RMP}(A)= 2 OVER3], [eqn: {RMP}(B)= 2 OVER5], [eqn: {RMP}(B``|` A)+{RMP}(A``|` B`) = 3 OVER2]

일 때, [eqn: {RMP}(A SMALLINTER B )}]는?

① [eqn: 1OVER8]	② [eqn: 1OVER4]	③ [eqn: 3OVER8]

④ [eqn: 1OVER2]	⑤ [eqn: 5 OVER8]

각 면에 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3]의 숫자가 각각 하나씩 적힌 정육면체 모양의 주사위를 [eqn: 5]번 던질 때, 나온 다섯 개의 숫자의 곱이 짝수일 확률은?

⑤

① [eqn: 203 OVER243]	② [eqn: 205 OVER243]	③ [eqn: 23 OVER27]

④ [eqn: 209 OVER243]	⑤ [eqn: 211 OVER243]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: RMP]가 있다. 한 개의 주사위를 던져 [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오면 점 [eqn: RMP]를 양의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오지 않으면 음의 방향으로 [eqn: 1]만큼 움직인다. 주사위를 네 번 던질 때, 점 [eqn: RMP]와 원점 사이의 거리가 [eqn: 5]가 될 확률은?

①

① [eqn: 8 OVER81]	② [eqn: 1OVER9]	③ [eqn: 10 OVER81]

④ [eqn: 11 OVER81]	⑤ [eqn: 4 OVER27]

다음 표는 어느 지역 주민 [eqn: 600]명을 대상으로 [eqn: rmA]드라마의 시청 여부를 조사한 것이다.

[eqn: a=160,~ b=80,~ c=240,~ d=120]

➊ 주민 [eqn: 600]명 중에서 임의로 한 명을 택할 때, 그 사람이 [eqn: rmA]드라마를 시청한 사람인 사건을 [eqn: A], 여자인 사건을 [eqn: B]라고 하면
[eqn: RMP(ITA)= 400 OVER600 = 2OVER3], [eqn: RMP(ITB)= 360 OVER600 = 3OVER5],
[eqn: {RMP}(ITA SMALLINTER B ) = c over600]

➋ 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이므로
[eqn: {RMP}(ITA SMALLINTER B ) ={RMP}(A){RMP}(B)]에서
[eqn: c over600 = 2 over3 times 3 over5], [eqn: c= 240]

➌ 따라서 [eqn: a=160,~ b=80,~ c=240,~ d=120]

(단위: 명)

	시청함	시청 안 함	합계
남자	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: 240]
여자	[eqn: c]	[eqn: d]	[eqn: 360]
합계	[eqn: 400]	[eqn: 200]	[eqn: 600]

주민 [eqn: 600]명 중에서 임의로 택한 한 명이 [eqn: rmA]드라마를 시청한 사람인 사건과 여자인 사건은 서로 독립이다. 이때 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 값을 각각 구하시오.

학생 [eqn: 4]명, 남학생 [eqn: 4]명이 공연을 보기 위해 연속된 [eqn: 8]개의 좌석을 예매하여 임의로 좌석에 앉기로 하였다. 여학생끼리는 어느 두 명도 이웃한 좌석에 앉지 않을 때, 남학생 두 명이 이웃한 좌석에 앉을 확률을 구하시오.

[eqn: 3 OVER5]

➊ [eqn: 8]명의 학생이 임의로 좌석에 앉는 경우의 수는 [eqn: 8!]
여학생끼리는 어느 두 명도 이웃한 좌석에 앉지 않는 사건을 [eqn: A], 남학생 두 명이 이웃한 좌석에 앉는 사건을 [eqn: B]라고 하자.
이때 사건 [eqn: A]가 일어나는 경우는 오른쪽 그림과 같이  남학생을 먼저 일렬로 나열한 후, 양 끝과 그 사이사이의 [eqn: 5]곳 중 [eqn: 4]곳에 여학생 [eqn: 4]명이 앉으면 되므로 그 경우의 수는 [eqn: 4! TIMES `_5 RMP_4]
즉, 사건 [eqn: A]가 일어날 확률은
[eqn: {RMP}(A)= {4! TIMES `_5 RMP_4 } OVER8! = 1OVER14]

➋ 또, 여학생끼리는 어느 두 명도 이웃한 좌석에   앉지 않고, 남학생 두 명은 이웃한 좌석에 앉는 사건은 [eqn: A SMALLINTERB]이다.
이때 사건 [eqn: A SMALLINTERB]가 일어나는 경우는 오른쪽 그림과 같이 남학생을 먼저 일렬로 나열한 후, 양 끝에 여학생 두 명이 앉고, 남학생 사이사이의 [eqn: 3]곳 중 [eqn: 2]곳에 나머지 두 명의 여학생이 앉으면 되므로 그 경우의 수는
[eqn: 4! TIMES `_4 RMP_2 TIMES `_3 RMP_2]
즉, 사건 [eqn: A SMALLINTERB]가 일어날 확률은
[eqn: {RMP}(A SMALLINTERB)={4! TIMES `_4 RMP_2 TIMES`_3 RMP_2} OVER8! = 3 OVER70]

➌ 따라서 구하는 확률은 [eqn: {RMP}(B``|` A`)]이므로
[eqn: {RMP}(B``|` A`) ={{RMP}(A SMALLINTERB )} OVER{{RMP}(A)} = 3 OVER5]

다음 그림과 같이 [eqn: 7]개의 스위치가 있는 전기 회로에서 각 스위치는 독립적으로 작동할 때, 각 스위치가 [eqn: rmON] 또는 [eqn: RMOFF]일 확률이 [eqn: 1OVER2]이다. 이때 [eqn: RMA]에서 [eqn: RMB]로 전류가 흐를 확률을 구하시오.

[eqn: 43 OVER128]

➊ 다음 그림과 같이 각 스위치를 [eqn: a∼g]라고 하면 전류가 흐르지 않는 경우는 (i), (ii)의 두 가지이다.

(i) [eqn: g]스위치가 [eqn: RMOFF]일 때
(ii) [eqn: g]스위치는 [eqn: rmON]이면서 [eqn: a]스위치가 [eqn: rmOFF]이고, [eqn: b,~c]      스위치 중 적어도 하나가 [eqn: rmOFF]이고, [eqn: d,~e,~f]스위      치 중 적어도 하나가 [eqn: rmOFF]일 때

➋ (i) [eqn: g]스위치가 [eqn: RMOFF]일 확률은 [eqn: 1OVER2]

(ii) [eqn: g]스위치는 [eqn: rmON]일 확률은 [eqn: 1OVER2],
[eqn: a]스위치가 [eqn: rmOFF]일 확률은 [eqn: 1 OVER2],
[eqn: b,~c]스위치 중 적어도 하나가 [eqn: rmOFF]일 확률은
[eqn: 1- 1OVER2 TIMES 1OVER2 = 3OVER4],
[eqn: d,~e,~f]스위치 중 적어도 하나가 [eqn: rmOFF]일 확률은
[eqn: 1- 1OVER2 TIMES 1OVER2 TIMES 1OVER2 = 7 OVER8]
이므로 [eqn: 1OVER2 TIMES 1OVER2 TIMES 3OVER4 TIMES 7 OVER8 = 21 OVER128]

➌ (i), (ii)에서 [eqn: RMA]에서 [eqn: RMB]로 전류가 흐르지 않을 확률은
[eqn: 1OVER2 + 21 OVER128 = 85 OVER128]

➍ 따라서 구하는 확률은
[eqn: 1- 85 OVER128 = 43 OVER128]

확률과 통계(고2)	내신대비	천재(이) 교과서 편집본 3. 통 계

확률변수와 확률분포

흰 공 [eqn: 5]개, 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 [eqn: 4]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 나오는 흰 공의 개수를 확률변수 [eqn: X]라고 하자. 이때 [eqn: X]가 가지는 값을 모두 구하시오.

[eqn: 0,~1,~2,~3,~4]

이산확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수가

⑴ 풀이 참조	⑵ [eqn: 3over4]

(1)

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	합계
[eqn: {RMP}(X=x)]	[eqn: 1over12]	[eqn: 1 over12]	[eqn: 1over3]	[eqn: 1over3]	[eqn: 1over12]	[eqn: 1 over12]	[eqn: 1]

[eqn: p(x)= cases{ 1over12 &~(x=0,~1,~4,~5) # 1over3& ~(x=2,~3)}]

일 때, 다음 물음에 답하시오.

⑴ [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내시오.

⑵ 확률 [eqn: {RMP}(2 LE X LE4)]를 구하시오.

남학생 [eqn: 6]명, 여학생 [eqn: 3]명으로 이루어진 중창단에서 임의로 [eqn: 3]명의 학생을 선발할 때, 선발되는 여학생의 수를 확률변수 [eqn: X]라고 하자. 다음 물음에 답하시오.

⑴ 풀이 참조	⑵ [eqn: 65 OVER84]

⑴ 확률변수 [eqn: X]가 가지는 값은 [eqn: 0,~1,~2,~3]이고

[eqn: {RMP}(X=0)= {`_3 RMC_0 TIMES `_6 C_3 } OVER{`_9 RMC_3 }= 5 OVER21], [eqn: {RMP}(X=1)={`_3 RMC_1 TIMES `_6 C_2 } OVER{`_9 RMC_3} = 15 OVER28]

[eqn: rm P it (X=2)= {` _{3} rm C _{2} TIMES ` _{6} C _{1} it} over {` _{9} rm C _{3} it} = {3} over {14}], [eqn: rm P it (X=3)= {` _{3} rm C _{3} TIMES ` _{6} C _{0} it} over {` _{9} rm C _{3} it} = {1} over {84}]

이므로 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: {RMP}(X=x)]	[eqn: 5 OVER21]	[eqn: 15 OVER28]	[eqn: 3 OVER14]	[eqn: 1 OVER84]	[eqn: 1]

⑵ 여학생이 [eqn: 1]명 이하로 선발될 확률은 [eqn: rm P it(X LE1)]이므로

[eqn: {RMP}(X LE1)={RMP}(X=0)+{RMP}(X=1)]

[eqn: = 5 OVER21 + 15 OVER28 = 65 OVER84]

⑴ [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내시오.

⑵ 여학생이 [eqn: 1]명 이하로 선발될 확률을 구하시오.

빨간 방울토마토 [eqn: 8]개, 노란 방울토마토 [eqn: 7]개가 들어 있는 바구니에서 임의로 [eqn: 2]개의 방울토마토를 동시에 꺼낼 때, 나오는 빨간 방울토마토의 개수를 확률변수 [eqn: X]라고 하자. 다음 물음에 답하시오.

⑴ 풀이 참조	⑵ [eqn: 4over5]

(1)

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	합계
[eqn: {RMP}(X=x)]	[eqn: 1over5]	[eqn: 8 over15]	[eqn: 4 over15]	[eqn: 1]

⑴ [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내시오.

⑵ 빨간 방울토마토가 [eqn: 1]개 이상 나올 확률을 구하시오.

연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가 [eqn: f(x)=k(2-x)] [eqn: (0 LE x le2)]일 때, 다음을 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수)

⑴ [eqn: 1 over2]	⑵ [eqn: 5 over16]

⑴ 함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로

둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 1]이므로

[eqn: 1over2 times 2 times 2k =1,~ k= 1over2]

⑵ 확률 [eqn: {rmP} LEFT( 1OVER2 LE X LE1 RIGHT)]은 오른쪽 그림에서 색칠한 부분의 넓이와 같으므로

[eqn: {rmP} LEFT( 1OVER2 LE X LE1 RIGHT)][eqn: = 1over2 times left( 3over4 + 1over2 right) times 1over2 = 5 over16]

⑴ [eqn: k]의 값	⑵ [eqn: {rmP} LEFT( 1OVER2 LE X LE1 RIGHT)]

어느 지하철역에서 [eqn: 5]분 간격으로 운행되는 지하철을 임의의 시각에 도착하여 기다리는 시간(단위: 분)을 확률변수 [eqn: X]라고 하자. [eqn: X]의 확률밀도함수가 [eqn: f(x)= 1 OVERk (0 LE x LE5)]일 때, 다음을 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수)

⑴ [eqn: 5]                    ⑵  [eqn: 2 over5]

⑴ [eqn: k]의 값

⑵ 지하철을 [eqn: 3]분 이상 기다릴 확률

어느 회사에서 생산되는 통조림의 실제 용량에서 표시 용량을 뺀 값을 확률변수 [eqn: X]라고 하자. 확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수 [eqn: f(x)]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 확률 [eqn: {rmP}(|`X``| le5)]를 여러 가지 방법으로 구해 보자. (단, [eqn: k]는 상수)

풀이 참고

[방법[eqn: 1]]

함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 1]이므로

[eqn: 1over2 times 20 times k =1,~ k = 1over10]

따라서 연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수는

[eqn: f(x)= cases{ 1 over100 x + 1over10&~( -10 le x le10) #- 1over100 x + 1over10 &~(0 le x le10) }]

이때 확률 [eqn: {rmP}(|X`| LE 5)]는 오른쪽 그림의 색칠한 부분의 넓이이므로

[eqn: 1- 2 TIMES LEFT( 1OVER2 TIMES 5 TIMES 1OVER20 RIGHT)]

[eqn: =1- 1OVER4 = 3OVER4]

[방법 [eqn: 2]]

오른쪽 그림에서 [eqn: rm TRIANGLE ACD]□[eqn: rm triangle AOB]이고, 닮음비가 [eqn: 1:2]이므로 [eqn: RMTRIANGLE ACD]와 [eqn: RMTRIANGLE AOB]의 넓이의 비는 [eqn: 1:4]이다.

즉, [eqn: RMTRIANGLE AOB]의 넓이가 [eqn: 1OVER2]이므로 [eqn: RMTRIANGLE ACD]의 넓이는 [eqn: 1 OVER8]이다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: 2 TIMES LEFT( 1OVER2 - 1 OVER8 RIGHT)= 3 OVER4]

연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가

⑴ [eqn: 1over50]	⑵ [eqn: 21 over100]

⑴ 함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축, [eqn: y]축 및 직선 [eqn: x=10]으로 둘러싸인

부분의 넓이가 [eqn: 1]이므로

[eqn: int_0^10 f(x)``dx=1], 즉

[eqn: int_0^10 kx ``dx= k left [ 1over 2 x^2 right]_0^10 = 100k over2 =1]

따라서 [eqn: k = 1over50]

⑵ [eqn: {rmP}(2 leX le 5)][eqn: = int_2 ^5 x over50 ``dx = left[ x^2 over100 right]_2 ^5 = 21 over100]

[eqn: f(x)=kx (0 LE x LE 10)]

일 때, 다음을 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수)

⑴ [eqn: k]의 값	⑵ [eqn: {rmP}(2 leX le 5)]

연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가

⑴ [eqn: 3]	⑵ [eqn: 19 OVER216]

[eqn: f(x)=kx^2 ~ (0 LE x LE1)]

일 때, 다음을 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수)

⑴ [eqn: k]의 값	⑵ [eqn: {rmP}left( 1over3 leX le 1over 2 right)]

소단원 확인 문제

다음 확률변수가 이산확률변수인지 연속확률변수인지 말하시오.

⑴ 연속확률변수  ⑵ 이산확률변수  ⑶ 이산확률변수

⑴ 어느 가게에서 계산하기 위해 기다리는 시간

⑵ 어느 축구 선수가 승부차기에서 슛을 성공한 횟수

⑶ 어느 해의 태풍 발생 횟수

모양과 크기가 같은 우유 비누 [eqn: 4]개, 살구 비누 [eqn: 3]개가 들어 있는 상자에서 임의로 [eqn: 3]개의 비누를 동시에 꺼낼 때, 나오는 살구 비누의 개수를 확률변수 [eqn: X]라고 하자. 이때 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내시오.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: {RMP}(X=x)]	[eqn: 4 OVER35]	[eqn: 18 OVER35]	[eqn: 12 OVER35]	[eqn: 1OVER35]	[eqn: 1]

타율이 [eqn: 2]할 [eqn: 5]푼인 야구 선수가 [eqn: 4]번 타석에 들어가 안타를 친 횟수를 확률변수 [eqn: X]라고 할 때, 안타를 [eqn: 3]번 이상 칠 확률을 구하시오.

[eqn: 13 OVER256]

어느 공항에서 비행기의 도착 예정 시각과 실제 도착 시각의 차(단위: 분)를 확률변수 [eqn: X]라고 할 때, [eqn: X]의 확률밀도함수는

[eqn: 1OVER10]	[eqn: 1 OVER8]

[eqn: f(x)= cases{ 1over400 x &~(0 le x le20) #k- 1over400 x &~(20 le x le 40) }]

라고 한다. 도착 예정 시각과 실제 도착 시각의 차가 [eqn: 30]분 이상일 확률을 다음 단계에 따라 구해 보자. (단, [eqn: k]는 상수)

[eqn: k]의 값을 구해 보자.

도착 예정 시각과 실제 도착 시각의 차가 [eqn: 30]분 이상일 확률을 구해 보자.

위 단계의 결과를 이용하여 풀이 과정을 설명해 보자.

이산확률변수의 기댓값과 표준편차

[eqn: 10]원, [eqn: 100]원, [eqn: 500]원짜리 동전이 각각 [eqn: 4]개, [eqn: 3]개, [eqn: 3]개가 들어 있는 동전 지갑에서 임의로 한 개의 동전을 꺼낼 때, 나오는 동전의 금액의 기댓값을 구하시오.

[eqn: 184]원

한 개의 동전을 꺼낼 때 나오는 금액을 확률변수 [eqn: X]라고 하자.

이

[eqn: X]	[eqn: 10]	[eqn: 100]	[eqn: 500]	합계
[eqn: {RMP}(X=x)]	[eqn: 2 over5]	[eqn: 3 over10]	[eqn: 3over10]	[eqn: 1]

때 확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 오른쪽과 같다. 따라서 [eqn: X]의 기댓값은

[eqn: {rmE}(X)= 10 TIMES 2OVER5 + 100 TIMES 3OVER10 + 500 TIMES 3OVER10 = 184](원)

오른쪽 시는 피천득의 ‘꽃씨와 도둑’이다. 이 시에서 임의로 한 어절을 택할 때, 택한 어절의 글자 수의 기댓값을 구하시오.

[eqn: 3]

(단, 어절은 띄어쓰기의 단위이다.)

어느 터널을 통과하는 승용차의 탑승자 수를 확률변수 [eqn: X]라고 하자. [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같을 때, [eqn: X]의 표준편차를 구하시오.

[eqn: 1]

확률변수 [eqn: X]의 기댓값은

[eqn: {RME}(X)=1 TIMES0.4 +2 TIMES 0.3 + 3 TIMES 0.2 + 4 TIMES 0.1=2]

확률변수 [eqn: X]의 분산은

[eqn: {RMV}(X)={RME}(X^2 `)-LEFT{{RME}(X) RIGHT }^2]

[eqn: =(1^2 TIMES0.4+2^2 TIMES 0.3 + 3^2 TIMES 0.2 +4 ^2 TIMES 0.1)-2^2]

[eqn: =1]

따라서 [eqn: sigma(X) =SQRT{{RMV}(X)}=1]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	합계
[eqn: {RMP}(X=x)]	[eqn: 0.4]	[eqn: 0.3]	[eqn: 0.2]	[eqn: 0.1]	[eqn: 1]

새 건전지 [eqn: 2]개와 폐건전지 [eqn: 3]개가 실수로 섞여 새 건전지 하나를 찾을 때까지 한 개씩 계속 검사를 진행하려고 한다. 새 건전지를 찾을 때까지 검사한 폐건전지의 수를 확률변수 [eqn: X]라고 할 때, [eqn: X]의 표준편차를 구하시오.

[eqn: 1]

이산확률변수 [eqn: X]의 평균, 분산이 각각 [eqn: 10], [eqn: 25]일 때, 확률변수 [eqn: Y=3X+7]의 평균, 분산, 표준편차를 각각 구하시오.

평균: [eqn: 37], 분산: [eqn: 225], 표준편차: [eqn: 15]

이산확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 다음 표와 같을 때, 확률변수 [eqn: Y=2X-5]의 평균, 분산, 표준편차를 각각 구하시오.

평균: [eqn: 0], 분산: [eqn: 3], 표준편차: [eqn: SQRT3]

[eqn: {RME}(X)=1 TIMES 1OVER8 +2 TIMES 3OVER8 + 3TIMES 3 OVER8 + 4 TIMES 1OVER8 = 5 OVER2]

[eqn: {RMV}(X)=LEFT( 1^2 TIMES 1OVER 8 +2^2 TIMES 3OVER8 +3^2 TIMES 3 OVER8 +4^2 TIMES 1 OVER8 RIGHT) - LEFT( 5 OVER2 RIGHT)^2 = 3OVER4]

[eqn: sigma(X) =SQRT{{RMV}(X)}= SQRT 3 OVER2]

따라서 [eqn: {RME}(Y)={RME}(2X-5)=2{RME}(X)-5=0]

[eqn: {RMV}(Y)={RMV}(2X-5)=4{RMV}(X)=3]

[eqn: sigma(Y)= sigma(2X-5)=2 sigma(X)=SQRT3]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	합계
[eqn: {RMP}(X=x)]	[eqn: 1OVER8]	[eqn: 3OVER8]	[eqn: 3OVER8]	[eqn: 1OVER8]	[eqn: 1]

이산확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 다음 표와 같을 때, 확률변수 [eqn: Y=-5X+1]의 평균, 분산, 표준편차를 각각 구하시오.

평균: [eqn: -9], 분산: [eqn: 35], 표준편차: [eqn: SQRT35]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	합계
[eqn: {RMP}(X=x)]	[eqn: 1over5]	[eqn: 1 over10]	[eqn: 1over5]	[eqn: 1over2]	[eqn: 1]

연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가 [eqn: f(x)= 1over2 x~(0 le x le2)]일 때, [eqn: X]의 평균과 분산을 각각 구하시오.

평균: [eqn: 4over3], 분산: [eqn: 2over9]

[eqn: {RME}(X)=int_0^2 1OVER2 x^2 dx = left[ 1over6 x^3 right]_0^2 = 4 over3]

[eqn: {rmV}(X)={RME}(X^2 )- left{{rmE}(X) RIGHT }^2 =int_0^2 1 OVER2 x^3 dx - left( 4 over3 right)^2][eqn: = left[ 1over8 x^4 right]_0^2 - 16 over9 = 2 over9]

연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가

평균: [eqn: 0], 분산: [eqn: 1OVER5]

[eqn: f(x)= 3 over4 (1-x^2 )~(-1 le x le1)]

일 때, [eqn: X]의 평균과 분산을 각각 구하시오.

소단원 확인 문제

이산확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 오른쪽 표와 같을 때, 다음 그림의 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 수를 써넣으시오. (단, [eqn: p]는 상수)

㈎ [eqn: 1OVER10]  ㈏ [eqn: 11 OVER5]  ㈐ [eqn: 19 OVER25]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	합계
[eqn: {RMP}(X=x)]	[eqn: 1over5]	[eqn: 1over2]	[eqn: 1over5]	[eqn: p]	[eqn: 1]

이산확률변수 [eqn: X]의 평균, 분산이 각각 [eqn: 7,~16]일 때, 확률변수 [eqn: Y= - 1OVER4 X +3]의 평균, 분산, 표준편차를 각각 구하시오.

평균: [eqn: 5 OVER4], 분산: [eqn: 1], 표준편차: [eqn: 1]

깨, 콩, 밤이 들어 있는 송편이 각각 [eqn: 3]개, [eqn: 3]개, [eqn: 2]개 놓여 있는 접시에서 임의로 [eqn: 2]개의 송편을 동시에 택할 때, 깨가 들어 있는 송편의 개수를 확률변수 [eqn: X]라고 하자. 이때 [eqn: X]의 평균과 분산을 각각 구하시오.

평균: [eqn: 3 OVER4], 분산: [eqn: 45 OVER112]

확률변수 [eqn: Y=5X-3]의 평균이 [eqn: 0]이고 분산이 [eqn: 1]일 때, [eqn: {RME}(X^2 `)]을 구하시오.

[eqn: 2OVER5]

오른쪽 그림과 같이 [eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 정육면체 주사위 한 개와 [eqn: 1]부터 [eqn: 4]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 정사면체 주사위 한 개를 동시에 던졌을 때, 바닥에 놓인 면에 적힌 숫자의 합을 확률변수 [eqn: X]라고 하자. [eqn: X]의 평균을 다음 단계에 따라 구해 보자.

풀이 참조

[eqn: 2,~3,~CDOTS,~10]

[eqn: X]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]	[eqn: 10]	합계
[eqn: {RMP}(X=x)]	[eqn: 1 over24]	[eqn: 1 over12]	[eqn: 1over8]	[eqn: 1over6]	[eqn: 1over6]	[eqn: 1over6]	[eqn: 1over8]	[eqn: 1 over12]	[eqn: 1 over24]	[eqn: 1]

[eqn: 6]

[eqn: X]가 가지는 값을 모두 구해 보자.

[eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내 보자.

확률변수 [eqn: X]의 평균을 구해 보자.

이항분포와 그 성질

다음 확률변수의 확률분포를 [eqn: {RMB}(n,~p)] 꼴로 나타내시오.

⑴ [eqn: {rmB} LEFT( 8 ,~ 2 OVER3 RIGHT)]	⑵ [eqn: {rmB} LEFT(200 , ~3 OVER10 RIGHT)]

⑴ 한 개의 주사위를 [eqn: 8]번 던질 때, [eqn: 3] 이상의 눈이 나오는 횟수

⑵ 국수를 주문하는 손님의 비율이 전체의 [eqn: 30~%]인 어느 식당에서 [eqn: 200]명의 손님 중 국수를 주문하는 손님의 수

표적 명중률이 [eqn: 75`%]인 어느 클레이 사격 선수가 [eqn: 4]번의 사격을 할 때, [eqn: 3]번 이상 명중시킬 확률을 구하시오.

[eqn: 189 over256]

[eqn: 4]번의 사격을 할 때 명중시키는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라고 하자.

이때 한 번의 사격에서 명중시킬 확률이 [eqn: 3 OVER4]이므로 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: {RMB}LEFT( 4,~ 3 OVER4 RIGHT)]을 따른다.

따라서 [eqn: 3]번 이상 명중시킬 확률은

[eqn: {RMP}(X GE3)={RMP}(X=3)+{RMP}(X=4)]

[eqn: =`_4 {RMC}_3 LEFT( 3OVER4 RIGHT)^3 LEFT( 1OVER4 RIGHT)^1 +`_4 RMC_4 LEFT( 3OVER 4 RIGHT)^4]

[eqn: = 189 OVER256]

공격 성공률이 [eqn: 40`%]인 어느 배구 선수가 [eqn: 5]번의 공격을 할 때, [eqn: 2]번 이상 공격이 성공할 확률을 구하시오.

[eqn: 2072 OVER3125]

발아율이 [eqn: 70`%]로 일정한 봉숭아 씨앗 [eqn: 300]개를 뿌릴 때, 발아되는 씨앗의 개수의 평균과 분산을 각각 구하시오.

평균: [eqn: 210], 분산: [eqn: 63]

이항분포 [eqn: {rmB}left( n,~ 1over6 right)]을 따르는 확률변수 [eqn: X]의 확률분포표를 이용하여 [eqn: n]의 값이 [eqn: 10,~30,~50]일 때, 확률 [eqn: {rmP} LEFT(LEFT| X OVERn - 1over6 right| <0.05 right)]를 각각 구하시오. 또, [eqn: n]의 값이 커짐에 따라 이 확률이 [eqn: 1]에 더 가까워짐을 확인하시오.

➊ [eqn: n=10]일 때, [eqn: 0.291]
➋ [eqn: n=30]일 때, [eqn: 0.537]
➌ [eqn: n=50]일 때, [eqn: 0.66]
[eqn: n]의 값이 커짐에 따라 이 확률은 [eqn: 1]에 더 가까워진다.

소단원 확인 문제

다음과 같은 확률분포를 가지는 확률변수 [eqn: X]의 평균과 분산을 다음 그림에서 각각 찾으시오.

⑴ 평균: [eqn: 15], 분산: [eqn: 10]
⑵ 평균: [eqn: 50], 분산: [eqn: 25]

⑴ [eqn: {RMP}(X=x) =`_45 {RMC}_x left( 1over3 right)^x left( 2over3 right)^45-x ~(x=0,~1,~2,~cdots,~45)]

⑵ [eqn: rm P it (X=x)=` _{100} {rm C} it _{x} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{100-x} ~(x=0,~1,~2,~ CDOTS ,~100)]

어느 제약 회사에서 새로 개발한 치료약은 특정 질병의 환자에게 [eqn: 75~%]의 치유율을 보인다고 한다. 특정 질병의 환자 중 임의로 5명을 뽑아 이 약을 먹였을 때, [eqn: 4]명 이상이 치유될 확률을 구하시오.

[eqn: 81 over128]

오른쪽 그림과 같은 교차로에 진입하는 차량 전체의 [eqn: 40~%]가 좌회전을 한다고 한다. 이 교차로에 진입하는 [eqn: 60]대의 차량 중에서 좌회전하는 차량의 수를 확률변수 [eqn: X]라고 할 때, [eqn: X]의 평균과 표준편차를 각각 구하시오.

평균: [eqn: 24], 분산: [eqn: {6sqrt10 }over5]

탑승 가능한 좌석이 [eqn: 80]석인 어느 항공 노선에서 전산 오류로 인해 [eqn: 82]명이 예약되었다고 한다. 예약된 사람이 사전 통보 없이 탑승하지 않을 확률이 [eqn: 0.05]라고 할 때, 좌석이 부족하지 않을 확률을 다음 두 학생의 방법으로 각각 구해 보자.

풀이 참고

[수현이의 방법]

확률변수 [eqn: X]의 확률분포는

[eqn: {RMP}(X=x)=`_82 {rmC}_x` 0.95^x` 0.05^82-x (x=0,~1,~2,~cdots,~82)]

이므로 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(X LE80)]

[eqn: ={RMP}(X=0)+{RMP}(X=1)+`CDOTS`+{RMP}(X=80)]

[eqn: =1-LEFT{{RMP}(X=81)+{RMP}(X=82) RIGHT]

[eqn: =1-( `_82{RMC}_81 TIMES 0.95^81 TIMES 0.05 +` _82rmC_82 TIMES 0.95^82 )]

[eqn: =1-(82 TIMES 0.0157 TIMES 0.05 +0.0149)]

[eqn: =1-0.07927=0.92073]

[혜윤이의 방법]

확률변수 [eqn: Y]의 확률분포는

[eqn: {RMP}(Y=y)=`_82{rmC}_y 0.05^y 0.95^82-y ~(y=0,~1,~2,~cdots,~82)]

이므로 구하는 확률은

[eqn: 1- {rmP}(Y le 1)]

[eqn: =1-left{{rmP}(Y=0)+{RMP}(Y=1) RIGHT }]

[eqn: =1-(`_82 RMC_0 TIMES 0.95^82 +`_82 C_1 TIMES 0.05 TIMES0.95 ^81 )]

[eqn: =1-(0.0149+82TIMES0.05TIMES 0.0157)]

[eqn: =1-0.07927=0.92073]

(단, [eqn: 0.95^81 =0.0157,~ 0.95^82 =0.0149]로 계산한다.)

두 학생의 풀이를 비교하고, 그 풀이 방법을 설명해 보자.

정규분포와 그 성질

오른쪽 그림은 여러 가지 정규분포곡선을 나타낸 것이다. 이 중에서 평균이 가장 큰 것과 표준편차가 가장 큰 것을 각각 말하시오.

평균이 가장 큰 것: ㉢, 표준편차가 가장 큰 것: ㉠

확률변수 [eqn: Z]가 표준정규분포 [eqn: {{RMN}(0,~1)]을 따를 때, 표준정규분포표를 이용하여 다음 확률을 구하시오.

⑴ [eqn: 0.1359]	⑵ [eqn: 0.8712]

⑴ [eqn: {RMP}(1 LE Z LE2 )]

[eqn: ={RMP}(0 LE Z LE2 )- {RMP}(0 LE Z LE1)]

[eqn: =0.4772-0.3413=0.1359]

⑵ [eqn: {RMP}(-1.96 LE Z LE1.26 )]

[eqn: ={RMP}(-1.96 LE Z LE0 )+{RMP}(0 LE Z LE1.26)]

[eqn: ={RMP}(0 LE Z LE1.96 )+{RMP}(0 LE Z LE1.26)]

[eqn: =0.4750+0.3962=0.8712]

⑴ [eqn: {RMP}(1 LE Z LE2 )]	⑵ [eqn: {RMP}(-1.96 LE Z LE1.26 )]

확률변수 [eqn: Z]가 표준정규분포 [eqn: RMN(0,~1)]을 따를 때, 표준정규분포표를 이용하여 다음 확률을 구하시오.

⑴ [eqn: 0.8485]	⑵ [eqn: 0.95]
⑶ [eqn: 0.017]	⑷ [eqn: 0.9951]

⑴ [eqn: {RMP}(Z LE1.03)]	⑵ [eqn: {RMP}(|Z``|LE 1.96 )]

⑶ [eqn: {RMP}(Z LE-2.12)]	⑷ [eqn: {RMP}(Z GE-2.58)]

확률변수 [eqn: Z]가 표준정규분포 [eqn: {{RMN}(0,~1)]을 따를 때, 표준정규분포표를 이용하여 [eqn: {RMP}( Z GEa)=0.0322]를 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 1.85]

[eqn: {RMP}( Z GEa)=0.0322]이므로

[eqn: {rmP}(0 LE Z LE a) =0.5-0.0322 =0.4678]

이때 표준정규분포표에서

[eqn: {rmP}(0 LE Z LE 1.85) =0.4678]

이므로 [eqn: a=1.85]

확률변수 [eqn: Z]가 표준정규분포 [eqn: {{RMN}(0,~1)]을 따를 때, 표준정규분포표를 이용하여 [eqn: {RMP}( Z LE a)=0.9222]를 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 1.42]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {{RMN}(5,~4^2 )]을 따를 때, 확률 [eqn: {RMP}(1 LE X LE7)]을 구하시오.

[eqn: 0.5328]

확률변수 [eqn: Z= X-5 OVER4]는 표준정규분포 [eqn: {{RMN}(0,~1)]을 따르므로 구하는 확률은

[eqn: rm P it (1 LEQ X LEQ 7)= rm P it LEFT ( {1-5} over {4} LEQ Z LEQ {7-5} over {4 } RIGHT ) ={RMP}(-1 LE Z LE 0.5)]

[eqn: ={RMP}(0 LE Z LE 1)+ {RMP}(0 LE Z LE 0.5)]

[eqn: =0.3413+0.1915=0.5328]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {{RMN}(30,~5^2 )]을 따를 때, 다음 확률을 구하시오.

⑴ [eqn: 0.8664]	⑵ [eqn: 0.1587]

⑴ [eqn: {RMP}(22.5 LE X LE 37.5 )]	⑵ [eqn: {RMP}(X <25)]

어느 제과 회사에서 생산하는 과자의 무게는 평균이 [eqn: 82` rm g], 표준편차가 [eqn: 5`rmg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산하는 과자 한 개를 임의로 택할 때, 과자의 무게가 [eqn: 79` rm g] 이상 [eqn: rm 87` rm g] 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.6294]

과자의 무게를 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {{RMN}(82,~5^2 )]을 따르므로 확률변수 [eqn: Z = X-82 OVER5]는 표준정규분포를 따른다. 따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(78 LE X LE 87)={RMP}LEFT( 78-82 OVER5 LE Z LE 87-82 OVER5 RIGHT)]

[eqn: ={RMP}(-0.8 LE Z LE1)]

[eqn: ={RMP}(0 LE Z LE 0.8) +{RMP}(0 LE Z LE1)]

[eqn: =0.2881+0.3413=0.6294]

어느 쌀 모으기 행사에 참여한 각 학생이 기부한 쌀의 무게는 평균이 [eqn: 1.5` rm kg], 표준편차가 [eqn: 0.2` rm kg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 행사에 참여한 학생 중에서 임의로 한 명을 택할 때, 이 학생이 기부한 쌀의 무게가 [eqn: 1.3` rm kg] 이상 [eqn: rm 1.8`kg] 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.7745]

한 개의 주사위를 [eqn: 450]번 던질 때, [eqn: 5] 이상의 눈이 나오는 횟수가 [eqn: 140]번 이상 [eqn: 170]번 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.8185]

한 개의 주사위를 [eqn: 450]번 던질 때, [eqn: 5] 이상의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: {RMB} LEFT(450,~ 1OVER3 RIGHT)]을 따르므로 평균 [eqn: m]과 표준편차 [eqn: sigma]는

[eqn: m=450 times 1over3 = 150], [eqn: sigma=sqrt{450 times 1over 3 times 2over3} =10]

이때 시행 횟수 [eqn: 450]은 충분히 크므로 [eqn: X]는 근사적으로 정규분포

[eqn: {RMN} (150,~10^2 )]을 따른다.

따라서 확률변수 [eqn: Z= X-150 OVER10]은 표준정규분포를 따르므로 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(140 LE X LE 170)={RMP} LEFT( 140-150 OVER10 LE Z LE 170-150 OVER10 RIGHT)]

[eqn: = {RMP}(-1 LE Z LE2)]

[eqn: ={RMP}(0 LE Z LE1)+{RMP}(0 LE Z LE2)]

[eqn: =0.3413+0.4772=0.8185]

어느 고등학교에서 퍼즐 맞추기가 취미인 학생의 비율이 전체의 [eqn: 20~%]라고 한다. 이 학교 학생 중에서 임의로 [eqn: 100]명을 뽑을 때, 퍼즐 맞추기가 취미인 학생이 [eqn: 25]명 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.8944]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {RMN}(m,~ sigma^2 )]을 따를 때, 표준정규분포표를 이용하면

[eqn: 1.96]	[eqn: 2.58]

[eqn: {rmP}(|X-m|< sigma )=0.6826],

[eqn: {rmP}(|X-m|<2 sigma )=0.9544],

[eqn: {rmP}(|X-m|< 3 sigma )=0.9974]

임을 알 수 있다. 즉, 확률변수 [eqn: X]의 값과 평균 [eqn: m]의 차가 각각 [eqn: sigma,~ 2sigma,~3 sigma]이내에 있을 확률은 [eqn: 68.26``%,~95.44``%,~99.74``%]이다.

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {RMN}(m,~ sigma^2 )]을 따를 때, 표준정규분포표를 이용하여 다음 조건을 만족시키는 상수 [eqn: k]의 값을 구해 보자.

➊ [eqn: {rmP}(|X-m| <k sigma)=0.95]

➋ [eqn: {rmP}(|X-m| <k sigma)=0.9902]

소단원 확인 문제

다음 정규분포에 대한 설명이 맞으면 오른쪽 그림의 ‘[eqn: ○]’ 칸에, 틀리면 ‘[eqn: rmtimes]’ 칸에 그 번호를 써넣으시오.

○: ⑴, ⑵,	×: ⑶

⑴ 정규분포 [eqn: {rmN}(3,~2^2 )]을 따르는 확률변수 [eqn: X]의 평균은 [eqn: 3]이고 표준편차는 [eqn: 2]이다.

⑵ 정규분포 [eqn: {rmN}(2,~2^2 )]의 확률밀도함수의 그래프는 정규분포 [eqn: {rmN}(2,~1^2 )]의 확률밀도함수의 그래프보다 낮으면서 양쪽으로 더 퍼져 있다.

⑶ 확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: {RMB}(10,~0.5)]를 따를 때, [eqn: X]는 근사적으로 정규분포 [eqn: {rmN}(5,~2.5^2 )]을 따른다.

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {rmN}(m,~ sigma ^2 )]을 따르고 [eqn: {rmP}(X ge20)={rmP}(X le10)]일 때, [eqn: m]의 값을 구하시오.

[eqn: 15]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {rmN}(100,~10^2 )]을 따르고 [eqn: {rmP}(k le X LE 95)=0.2417]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[eqn: 85]

세 학교 [eqn: RMA,~B,~C]의 수학 성적은 각각 정규분포를 따르고, 정규분포곡선은 오른쪽 그림과 같다. 다음 네 학생의 설명 중 옳게 말한 학생을 모두 찾아보자.

형미, 희태

중단원 연습 문제

이산확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 다음 표와 같을 때, 확률 [eqn: {RMP}(2 LE X LE3)]을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수)

[eqn: 1OVER2]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	합계
[eqn: {RMP}(X=x)]	[eqn: 1 over8]	[eqn: 1over4]	[eqn: a]	[eqn: 3 over8]	[eqn: 1]

이산확률변수 [eqn: X]의 평균과 분산이 각각 [eqn: 5], [eqn: 3]일 때, 확률변수 [eqn: Y=4X+2]의 평균과 분산을 각각 구하시오.

평균: [eqn: 22], 분산: [eqn: 48]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {RMN}(20,~5^2 )]을 따를 때, 다음 확률을 구하시오.

⑴ [eqn: 0.2881]	⑵ [eqn: 0.3085]

⑴ [eqn: {RMP}(16 LE X LE 20)]	⑵ [eqn: {RMP}( X GE 22.5)]

이산확률변수 [eqn: X]의 확률분포가
[eqn: {RMP}(X=x)=k(x-1)~(x=1,~2,~3,~4)]
일 때, 확률 [eqn: {rmP}(X GE3)]을 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수)

[eqn: 5 OVER6]

연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가
[eqn: f(x)= cases{ 1over5 x&~(0 le x le2) #- 2 over15 (x-5) &~(2 le x le 5) }]
일 때, 확률 [eqn: rm P it (1 LEQ X LEQ 3)]을 구하시오.

[eqn: 19 OVER30]

남학생 [eqn: 5]명, 여학생 [eqn: 4]명으로 구성된 시사 토론 동아리에서 임의로 [eqn: 5]명의 토론 대회 대표를 선발할 때, 선발되는 여학생의 수를 확률변수 [eqn: X]라고 하자. 이때 [eqn: X]의 평균을 구하시오.

[eqn: 20 OVER9]

각 면에 [eqn: 1,~2,~3,~4]의 숫자가 각각 하나씩 적힌 정사면체 주사위 두 개를 동시에 던졌을 때, 바닥에 놓인 면에 적힌 숫자의 차를 확률변수 [eqn: X]라고 하자. 이때 [eqn: X]의 분산을 구하시오.

[eqn: 15 OVER16]

이항분포 [eqn: rm B it (100,~p)]를 따르는 확률변수 [eqn: X]의 평균이 [eqn: 20]일 때, [eqn: rm E it (X ^{2} )]을 구하시오.

[eqn: 416]

어느 단체 회원 중에서 혈액형이 [eqn: rm B]형인 사람의 비율은 전체의 [eqn: 25~%]라고 한다. 이 단체 회원 중에서 임의로 [eqn: 4800]명을 조사할 때, 혈액형이 [eqn: rm B]형인 사람이 [eqn: 1170]명 이상 [eqn: 1260]명 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.8185]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: rm N it (10,~2 ^{2} )]을 따를 때, 확률 [eqn: rm P it (a LEQ X LEQ a+2)]가 최대가 되는 실수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 9]

어느 회사에서 [eqn: 166]명의 신입 사원을 선발하기 위해 입사 시험을 시행하였다. 응시자 [eqn: 1000]명의 성적은 평균이 [eqn: 820]점, 표준편차가 [eqn: 50]점인 정규분포를 따른다고 할 때, 합격자의 최저 점수를 구하시오.

[eqn: 868.5]점

모집단과 표본

어느 여론 조사 기관에서는 투표권이 있는 특정 지역구 유권자를 대상으로 지지하는 국회의원 후보자를 알아보기 위해 [eqn: 1000]명을 뽑아 조사하였다. 이때 모집단과 표본을 각각 말하시오.

모집단 : 특정 지역구 유권자 전체
표본 : 특정 지역구 유권자 중 뽑힌 [eqn: 1000]명

공학용 계산기를 이용하여 우리 반 학생 중에서 임의추출하여 크기가 [eqn: 5]인 표본을 구성하시오. 또, 특정 학생이 표본으로 추출될 확률을 구하시오.

풀이 참고

[eqn: RMRAND]를 눌러서 나온 수

[eqn: 0.0417,~ 0.277,~ 0.039,~ 0.133,~ 0.254]

에 [eqn: 100]을 곱하여 정수 부분을 읽으면

[eqn: 4,~27,~3,~13,~25]

이므로 해당하는 번호를 가진 학생으로 크기가 [eqn: 5]인 표본을 구성할 수 있다.

이때 특정 학생이 표본으로 추출될 확률은

[eqn: 5 OVER{(우리~반~학생~수)]이다.

모평균이 [eqn: 20], 모분산이 [eqn: 9]인 모집단에서 크기가 [eqn: 16]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: BARX]의 평균과 분산을 각각 구하시오.

평균: [eqn: 20], 분산: [eqn: 9 OVER16]

정규분포 [eqn: {rmN}(2,~4^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 9]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: barX]의 분포를 말하시오.

정규분포 [eqn: {RMN} LEFT(2,~LEFT( 4OVER3 RIGHT)^2 RIGHT)]을 따른다.

모평균이 [eqn: 15], 모분산이 [eqn: 25]인 모집단에서 크기가 [eqn: 100]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: barX]는 근사적으로 어떤 분포를 따르는지 말하시오.

근사적으로 정규분포 [eqn: {RMN}LEFT( 15,~ LEFT( 1OVER2 RIGHT)^2 RIGHT)]을 따른다.

어느 도시에서 공용 자전거의 [eqn: 1]회 이용 시간은 평균이 [eqn: 50]분, 표준편차가 [eqn: 10]분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 도시의 공용 자전거를 이용한 시민 중에서 [eqn: 25]명을 임의추출할 때, [eqn: 1]회 이용 시간의 평균이 [eqn: 48]분 이상 [eqn: 54]분 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.8185]

[eqn: 1]회 이용 시간을 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {RMN}(50,~10^2 )]을 따르므로 [eqn: 25]명의 [eqn: 1]회 이용 시간의 평균 [eqn: BARX]는 정규분포 [eqn: {RMN}LEFT( 50 ,~ 10^2 OVER25 RIGHT)]을 따른다.

따라서 확률변수 [eqn: Z ={BARX -50 } OVER2]은 표준정규분포를 따르므로 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(48 LE BARX LE 54) ={RMP} LEFT( 48-50 OVER2 LE Z LE 54-50 OVER2 RIGHT) ={RMP}(-1 LE Z LE2)]

[eqn: ={RMP}(0 LE Z LE1)+{RMP}(0 LE Z LE2)]

[eqn: =0.3413+0.4772=0.8185]

어느 회사에서 생산하는 음료 한 병에 들어 있는 칼슘 함유량은 평균이 [eqn: 12.34~RMmg], 표준편차가 [eqn: 2~rmmg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산한 음료 중 [eqn: 16]병을 임의추출할 때, 음료 한 병에 들어 있는 칼슘 함유량의 평균이 [eqn: 11.36~rmmg] 이상일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.975]

표본의 크기 [eqn: n]이 충분히 크면 모집단의 분포에 관계없이 표본평균의 분포는 근사적으로 정규분포를 따르는지 컴퓨터 프로그램을 이용하여 확인해 보자.

풀이 참고

앞면이 나올 확률이 [eqn: 0.4]인 찌그러진 동전 한 개를 차례로 [eqn: 10]번, [eqn: 50]번, [eqn: 200]번, [eqn: 1000]번 던질 때, 앞면이 나온 횟수의 평균의 분포는 다음 그림과 같다. 즉, 던지는 횟수가 커짐에 따라 정규분포에 가까워진다.

예를 들어, 평평한 면이 나올 확률이 [eqn: 0.6]인 윷짝 한 개를 차례로  [eqn: 10]번, [eqn: 50]번, [eqn: 200]번, [eqn: 1000]번 던질 때, 평평한 면이 나온 횟수의 평균의 분포는 다음 그림과 같다. 즉, 던지는 횟수가 커짐에 따라 정규분포에 가까워짐을 알 수 있다.

확률이 [eqn: 0.5]가 아닌 사건을 찾아 표본의 크기가 커짐에 따른 표본평균의 분포를 컴퓨터 프로그램을 이용하여 확인하고, 이를 발표해 보자.

소단원 확인 문제

정규분포 [eqn: {RMN}(200,~20^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 100]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: BARX]에 대하여 ㈎~㈑에 알맞은 수를 오른쪽 그림에서 찾으시오.

㈎ [eqn: 200]      ㈏ [eqn: 4]	㈐ [eqn: 2]	㈑ [eqn: -1]

정규분포 [eqn: {RMN}(27,~2^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균을 [eqn: barX]라고 하자. 이때 [eqn: {RMP}(26 LE BARX LE 28 )=0.9876]을 만족시키는 [eqn: n]의 값을 구하시오.

[eqn: 25]

어느 공장에서 생산하는 테니스공의 무게는 정규분포 [eqn: {RMN}(58,~0.5^2 )]을 따른다고 한다. 이 공장에서 생산한 테니스공 중 [eqn: 25]개를 임의추출할 때, 테니스공의 무게의 평균을 [eqn: barX]라고 하자. 이때 [eqn: {RMP}(BARX GE k)=0.025]를 만족시키는 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오．

[eqn: 58.196]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {RMN}(10,~1^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: BARX], 크기가 [eqn: 9]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: BARY]라고 하자. 세 확률변수 [eqn: X,~BARX ,] [eqn: bar{Y}]의 확률밀도함수의 그래프를 오른쪽 그림에서 각각 찾고, 그 까닭을 설명해 보자.

풀이 참고

확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수의 그래프: ㉢

확률변수 [eqn: BARX]의 확률밀도함수의 그래프: ㉡

확률변수 [eqn: bar Y]의 확률밀도함수의 그래프: ㉠

표본의 크기가 클수록 표준편차가 작아지므로 그래프는 높아지면서 뾰족해진다.

모평균의 추정

어느 방송사의 ‘○○뉴스’의 방송 시간은 평균이 [eqn: m]분, 표준편차가 [eqn: 2]분인 정규분포를 따른다고 한다. 방송된 ‘○○뉴스’를 대상으로 크기가 [eqn: 16]인 표본을 임의추출하여 방송 시간을 조사하였더니 평균이 [eqn: 50]분이었다. 방송된 ‘○○ 뉴스’의 평균 방송 시간 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95~%]의 신뢰구간을 구하시오.

[eqn: 49.02 le m le 50. 98]

[eqn: sigma=2,~ n=16,~barx =50]이므로 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95~%]의 신뢰구간의 양 끝값은

[eqn: {bar{x}} -1.96 sigma oversqrtn =50- 1.96 times 2 oversqrt16 = 50-0.98=49.02]

[eqn: barx + 1.96 sigma oversqrtn =50+ 1.96 times 2 oversqrt16 =50+0.98=50.98]

따라서 구하는 신뢰구간은 [eqn: 49.02 le m le 50. 98]

어느 고등학교 [eqn: 2]학년 학생들의 오래 매달리기 기록은 표준편차가 [eqn: 3]초인 정규분포를 따른다고 한다. 이 고등학교 [eqn: 2]학년 학생 중에서 [eqn: 36]명을 임의추출하여 기록을 측정하였더니 평균이 [eqn: 8]초이었다. 이 고등학교 [eqn: 2]학년 전체 학생의 평균 기록 [eqn: m]초에 대한 신뢰도 [eqn: 99~%]의 신뢰구간을 구하시오.

[eqn: 6.71 LE m le 9.29]

어느 빵집에서 만든 식빵의 무게는 모표준편차가 [eqn: 8~rmg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 빵집에서 만든 식빵의 평균 무게를 신뢰도 [eqn: 95~%]로 추정할 때, 그 신뢰구간의 길이가 [eqn: 2~rmg] 이하가 되려면 적어도 몇 개의 식빵을 조사해야 하는지 구하시오.

[eqn: 246]개

표본의 크기를 [eqn: n]이라고 하면 식빵의 평균 무게에 대한 신뢰도 [eqn: 95~%]의 신뢰구간의 길이는 [eqn: 2 times 1.96 times 8 oversqrtn]이다.

이때 식빵의 평균 무게에 대한 신뢰도 [eqn: 95~%]의 신뢰구간의 길이가 [eqn: 2] 이하이므로

[eqn: 2 times 1.96 times 8 oversqrt n le 2,~ n ge245.8624]

그런데 [eqn: n]은 자연수이므로 적어도 [eqn: 246]개의 식빵을 조사해야 한다.

어느 연구소에서 개발한 새로운 품종의 배추의 무게는 모표준편차가 [eqn: 300` rm g]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 품종의 배추의 평균 무게를 신뢰도 [eqn: 99`%]로 추정할 때, 그 신뢰구간의 길이가 [eqn: 100` rm g] 이하가 되려면 적어도 몇 포기의 배추를 조사해야 하는지 구하시오.

[eqn: 240]포기

소단원 확인 문제

정규분포 [eqn: {RMN}(m,~ 225)]를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 100]인 표본을 임의추출하였더니 평균이 [eqn: 70]이었다. 다음 설명이 맞으면 오른쪽 그림의 ‘○’ 칸에, 틀리면 ‘×’ 칸에 그 번호를 써넣으시오.

○: ⑵, ⑶,	×: ⑴

⑴ 모표준편차 [eqn: sigma]는 [eqn: 5]이다.

⑵ 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95~%]의 신뢰구간은 [eqn: 67.06 le m le72.94]이다.

⑶ 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99~%]의 신뢰구간의 길이는 [eqn: 7.74]이다.

어느 광어 양식장에서 키우는 광어의 무게는 모표준편차가 [eqn: sigma ` rm kg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 양식장에서 키우는 광어 중 [eqn: 16]마리를 임의추출하여 무게를 조사하였더니 평균이 [eqn: 2.3` rm kg]이었다. 이 양식장에서 키우는 광어 전체의 평균 무게 [eqn: m` rm kg]에 대한 신뢰도 [eqn: 99`%]의 신뢰구간이 [eqn: 1.9775 le m le2.622][eqn: 5]일 때, [eqn: sigma]의 값을 구하시오.

[eqn: 0.5]

어느 공장에서 새로 개발한 건전지의 수명은 모표준편차가 [eqn: 25]시간인 정규분포를 따른다고 한다. 이 건전지의 평균 수명을 신뢰도 [eqn: 99`%]로 추정할 때, 그 신뢰구간의 길이가 [eqn: 5]시간 이하가 되려면 적어도 몇 개의 건전지를 조사해야 하는지 구하시오.

[eqn: 666]개

모평균을 추정하여 자료를 분석할 때, 신뢰도는 높을수록, 신뢰구간의 길이는 짧을수록 자료 분석에 유용하다. 다음 물음에 답해 보자.

⑴ 길어진다.	⑵ 표본의 크기를 크게 해야 한다.

⑴ 표본의 크기가 일정할 때, 신뢰도가 높아질수록 신뢰구간의 길이는 어떻게 변하는지 말해 보자.

⑵ 신뢰도가 일정할 때, 신뢰구간의 길이를 짧게 하려면 어떻게 해야 하는지 말해 보자.

중단원 연습 문제

우리나라 농어촌 지역 고등학교의 정보화 환경을 알아보기 위해 농어촌 지역에서 [eqn: 100]개의 고등학교를 뽑아 조사하였다. 이때 다음을 말하시오.

⑴ 우리나라 농어촌 지역 고등학교
⑵ 농어촌 지역 [eqn: 100]개 고등학교
⑶ [eqn: 100]

⑴ 모집단	⑵ 표본

⑶ 표본의 크기

정규분포 [eqn: {rmN}(5,~2^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: BARX]에 대하여 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 5]	⑵ [eqn: 1]	⑶ [eqn: 0.4772]

⑴ [eqn: BARX]의 평균	⑵ [eqn: BARX]의 표준편차

⑶ [eqn: {RMP}(3 LE BARX LE 5)]

모평균이 [eqn: 40], 모표준편차가 [eqn: 3]인 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: barX]는 근사적으로 정규분포 [eqn: {RMN} LEFT(m,~ 1over 4 right)]을 따른다. 이때 [eqn: m], [eqn: n]의 값을 각각 구하시오.

[eqn: m=40,~n=36]

어느 통신사 이용자들의 [eqn: 1]일 통화 시간은 표준편차가 [eqn: 20]분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 통신사 이용자 중에서 [eqn: 100]명을 임의추출하여 [eqn: 1]일 통화 시간을 조사하였더니 평균이 [eqn: 50]분이었다. 이 통신사 전체 이용자의 평균 [eqn: 1]일 통화 시간 [eqn: m]분에 대한 신뢰도 [eqn: 95`%]의 신뢰구간을 구하시오.

[eqn: 46.08 le m le 53.92]

모평균이 [eqn: 20], 모표준편차가 [eqn: 8]인 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: barX]에 대하여 [eqn: {RME}(BARX )+{RMV}(BARX )=24]이다. 이때 [eqn: n]의 값을 구하시오.

[eqn: 16]

어느 회사 직원들의 일주일 동안 운동하는 시간은 평균이 [eqn: 65]분, 표준편차가 [eqn: 15]분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사 직원 중에서 [eqn: 25]명을 임의추출할 때, 일주일 동안 운동하는 시간의 평균이 [eqn: 71]분 이상일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.0228]

어느 병원 응급실을 찾은 환자들의 진료 대기 시간은 평균이 [eqn: 13]분, 표준편차가 [eqn: 2]분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 병원 응급실을 찾은 환자들 중에서 임의로 선택한 [eqn: 4]명의 진료 대기 시간의 합이 [eqn: 54]분 이상일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.3085]

어느 과수원에서 수확한 배의 무게는 정규분포를 따른다고 한다. 이 과수원에서 수확한 배 중 [eqn: 100]개를 임의추출하여 무게를 측정하였더니 평균이 [eqn: 250` rm g], 표준편차가 [eqn: s` rm g]이었다. 이 과수원에서 수확한 배의 평균 무게 [eqn: m` rm g]에 대한 신뢰도 [eqn: 95`%]의 신뢰구간이 [eqn: a le m le 251. 96]일 때, [eqn: a+s]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수)

[eqn: 258.04]

정규분포 [eqn: {rmN} (m,~5^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균을 [eqn: barX]라고 하자. 이때 [eqn: {RMP} LEFT( |BARX -m | le 7 over10 right) ge 0.95]를 만족시키는 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.

[eqn: 196]

어느 회사에서 생산하는 핸드볼공의 무게는 평균이 [eqn: 350` rm g], 표준편차가 [eqn: 16` rm g]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사는 일정 기간 동안 생산된 핸드볼공 중에서 임의추출한 핸드볼공 [eqn: 64]개의 무게의 평균이 [eqn: 346` rm g] 이하이거나 [eqn: 355` rm g] 이상이면 생산 공정에 문제가 있다고 판단한다. 이 회사에서 생산 공정에 문제가 있다고 판단할 확률을 구하시오.

[eqn: 0.029]

대단원 종합 문제

연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수 [eqn: f(x)~(0 le x le4)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

④

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 1over6]

③ [eqn: 1over4]	④ [eqn: 1over3]

⑤ [eqn: 5 over12]

이산확률변수 [eqn: X]의 확률분포가
[eqn: {RMP}(X=x) = cases{ x over10 +k &~(x=1,~2,~3) #k & ~(x=4,~5,~6)}]
일 때, 확률 [eqn: {RMP}(|X-5| LE1 )]은? (단, [eqn: k]는 상수)

③

① [eqn: 1over7]	② [eqn: 1over6]	③ [eqn: 1over5]

④ [eqn: 1over4]	⑤ [eqn: 1over3]

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: {rmB} LEFT( n,~ 1over10 right)]을 따르고 [eqn: {rmE}(X^2 )=2LEFT{{RME}(X) RIGHT }^2]일 때, [eqn: n]의 값은?

①

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]가 각각 정규분포

②

[eqn: RM{N}(12,~2^2 ),~{RMN}(18,~3^2 )]

을 따르고, [eqn: {RMP}(10 LE X LE12)={RMP}(18 LE Y LE a)]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 19]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 23]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 27]

검은 공 [eqn: 8]개, 흰 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 색을 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 [eqn: 10]번 반복할 때, 흰 공이 나온 횟수를 확률변수 [eqn: X]라고 하자. 이때 [eqn: {RME}(X)+{RMV}(X)]의 값은?

④

① [eqn: 12 OVER5]	② [eqn: 14 OVER5]	③ [eqn: 16 OVER5]

④ [eqn: 18 OVER5]	⑤ [eqn: 4]

두 사람 [eqn: RMA], [eqn: RMB]가 각각 주사위 한 개를 동시에 던질 때, 나온 두 주사위의 눈의 수의 합이 [eqn: 3]의 배수이면 [eqn: RMA]가 [eqn: 1]점을 얻고, 그렇지 않으면 [eqn: RMB]가 [eqn: 1]점을 얻는다. 이와 같은 시행을 [eqn: 30]번 반복할 때, [eqn: RMA]가 얻는 점수의 합의 기댓값과 [eqn: RMB]가 얻는 점수의 합의 기댓값의 차는?
① [eqn: 2]점	② [eqn: 4]점	③ [eqn: 6]점

⑤

④ [eqn: 8]점	⑤ [eqn: 10]점

정규분포 [eqn: {RMN}(m,~ sigma^2 )]을 따르는 확률변수 [eqn: X]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: m times sigma^2]의 값은?

②

① [eqn: 17 over9]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 19 over9]

㈎ [eqn: {rmP}(X GE11)={RMP}(X LE 7)]	㈏ [eqn: {RMV}(3X )=2]

④ [eqn: 20 over9]	⑤ [eqn: 7over3]

어느 회사에서 생산하는 배드민턴 라켓의 무게는 모표준편차가 [eqn: sigma ` rm g]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산한 배드민턴 라켓 중 [eqn: 49]개를 임의추출하여 평균 무게를 신뢰도 [eqn: 95`%]로 추정할 때, 그 신뢰구간의 길이가 [eqn: 1.12` rm g]이었다. 이때 [eqn: sigma]의 값을 구하시오.

[eqn: 2]

평균이 [eqn: m], 표준편차가 [eqn: 1over4]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 16]인 표본을 임의추출하였을 때, 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95~%]의 신뢰구간이 [eqn: a le m le b]이었다. 이때 [eqn: {rmP}(|Z``| LE c)=0.95]를 만족시키는 [eqn: c]를 [eqn: a,~b]로 나타낸 것은? (단, [eqn: a,~b,~c]는 상수)

③

① [eqn: 6(b-a)]	② [eqn: 7(b-a)]	③ [eqn: 8(b-a)]

④ [eqn: 9(b-a)]	⑤ [eqn: 10(b-a)]

다음 표는 어느 독서 동아리의 학년별 학생수를 나타낸 것이다.

학년	[eqn: 1]학년	[eqn: 2]학년	[eqn: 3]학년	합계
학생 수	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 3]	[eqn: 10]

이 동아리 학생 중에서 임의로 [eqn: 4]명의 학생을 뽑을 때, 뽑힌 [eqn: 2]학년 학생의 수를 확률변수 [eqn: X]라고 하자. 이때 [eqn: X]의 평균을 구하시오.

[eqn: 8 over5]

다음은 어느 모집단에서 확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타낸 것이다.

⑤

[eqn: X]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	합계
[eqn: {RMP}(X=x)]	[eqn: 1over4]	[eqn: 1over2]	[eqn: 1over4]	[eqn: 1]

이 모집단에서 크기가 [eqn: 2]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: X]에 대하여 확률 [eqn: {RMP}( BARX LE3 )]은?

① [eqn: 1OVER16]	② [eqn: 1OVER8]	③ [eqn: 3 OVER16]

④ [eqn: 1OVER4]	⑤ [eqn: 5 OVER16]

어느 농장에서 생산하는 단호박 한 개의 무게는 평균이 [eqn: 460` rm g], 표준편차가 [eqn: 25` rm g]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 농장에서 생산한 단호박 중 [eqn: 100]개를 임의추출하여 무게를 검사할 때, [eqn: 13]개 이상이 무게가 [eqn: 492` rm g] 이상일 확률을 구하시오. (단, [eqn: {rmP} (0 LE Z LE1) =0.34], [eqn: {RMP}(0 LE Z LE 1.28 )=0.4]로 계산한다.)

[eqn: 0.16]

어느 연구소에서 토마토 모종을 심은 지 [eqn: 3]주가 지났을 때, 토마토 줄기의 길이를 조사한 결과 토마토 줄기의 길이는 평균이 [eqn: 30` rm cm], 표준편차가 [eqn: 2` rm cm]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 연구소에서 토마토 모종을 심은 지 [eqn: 3]주가 지났을 때, 토마토 줄기 중 임의로 선택한 줄기의 길이가 [eqn: 28` rm cm] 이하이거나 [eqn: 32` rm cm] 이상일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.3174]

➊ 토마토 줄기의 길이를 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {RmN}(30,~2^2 )]을 따르므로 확률변수 [eqn: Z = X-30 OVER2]은 표준정규분포를 따른다.

➋ 이때 임의로 선택한 줄기의 길이가 [eqn: 28~rmcm] 이하이거나 [eqn: 32~rmcm] 이상일 확률은

[eqn: {RMP}(X LE 28 )+{RMP}(X GE32)]

이므로 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(X LE 28 )+{RMP}(X GE32)]

[eqn: ={RMP}LEFT( Z LE 28-30 OVER2 RIGHT)+{RMP}LEFT(Z GE 32-30 OVER2 RIGHT)]

[eqn: ={RMP} (Z LE-1)+{RMP}(Z GE1)]

[eqn: =2 TIMES LEFT{0.5 -{RMP} (0 LE Z LE1) RIGHT]

[eqn: =2 TIMES (0.5 -0.3413)]

[eqn: =0.3174]

정규분포 [eqn: {rmN}(60,~5^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균을 [eqn: X]라고 하자. 이때 [eqn: {RMP}(BARX GE 61) LE 0.025]를 만족시키는 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.

[eqn: 97]

➊ 표본평균 [eqn: BARX]의 평균과 표준편차는 각각
[eqn: {RME}(BARX ) =60,~ sigma(BARX ) = 5 OVERsqrtn]

➋ 이때 표본평균 [eqn: barX]는 정규분포 [eqn: {RMN} LEFT( 60,~ LEFT( 5 OVERSQRTn right)^2 right)]을 따르므로 확률변수 [eqn: Z = {BARX -60} OVER{5 OVERSQRTn]은 표준정규분포를 따른다.

➌ 따라서 구하는 확률은
[eqn: {rmP} ( BARX GE61)]
[eqn: = {RMP} LEFT(Z GE {61-60} OVER{5 OVERsqrtn }right)]
[eqn: ={rmP}left(Z GE SQRTn over5 right) leftle0.025]

➍ 즉, [eqn: {rmP} LEFT( 0 LE Z LE SQRTn over5 right) ge0.475]이어야 하므로
[eqn: sqrtn over5 ge1.96 ,~ sqrtn ge9.8]
[eqn: n ge96.04]
따라서 구하는 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 97]이다.

표준편차가 [eqn: sigma]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하였을 때, 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95`%]의 신뢰구간이 [eqn: 100.4 le m le 139.6]이었다. 이때 같은 표본을 이용하여 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99`%]의 신뢰구간을 구하시오.

[eqn: 94.2 le m le 145.8]

➊ 표본평균을 [eqn: barx]라고 하면 표본의 크기가 [eqn: n]이므로 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95~%]의 신뢰구간은
[eqn: barx - 1.96 sigma oversqrtn le m le barx +1.96 sigma oversqrtn]

➋ 이때 신뢰구간의 양 끝값은
[eqn: barx - 1.96 sigma oversqrtn =100.4],
[eqn: barx +1.96 sigma oversqrtn =139.6]

➌ 위 두 식을 연립하여 풀면
[eqn: barx =120,~ sigma oversqrtn =10]

➍ 따라서 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99~%]의 신뢰구간은
[eqn: barx - 2.58 sigma oversqrtn le m le barx +2.58 sigma oversqrtn]

이므로
[eqn: 120-2.58 times 10 le m le 120+2.58 times 10]
[eqn: 94.2 le m le 145.8]

빠른답지

확률과 통계(고2)	내신대비	천재(이) 교과서 편집본 정답 및 풀이

⑴ [eqn: 120]	⑵ [eqn: 48]	⑶ [eqn: 24]

⑴ [eqn: 5040]	⑵ [eqn: 1440]	⑶[eqn: 720]

⑴[eqn: 24]	⑵[eqn: 144]

[eqn: 840]

풀이 참고

㈎ [eqn: 720]  ㈏ [eqn: 3]  ㈐ [eqn: 240]

서로 다른 [eqn: 6]개를 일렬로 나열하는 순열의 수는 [eqn: 6!]           이고, 직사각형 둘레에 다음 그림과 같이 배열하면           회전하여 일치하는 경우가 [eqn: 2]가지씩 있으므로 구하는 방법의 수는 [eqn: 6! over2 =360]이다.

⑴ [eqn: 36]	⑵ [eqn: 243]	⑶ [eqn: 256]

[eqn: 81]

[eqn: 64]

⑴ [eqn: 500]	⑵ [eqn: 300]

⑴ [eqn: 4]	⑵ [eqn: 6]

[eqn: 125]

⑴ [eqn: 375]	⑵ [eqn: 383]번째

풀이 참조

[한석이의 풀이]

야구공을 못 받는 학생이 있는 경우는 세지 않았다.

[현진이의 풀이]

야구공을 [eqn: 1,~2,~3,~4]라고 하면 현진이의 풀이에서는 [eqn: 1]번 야구공을 세 학생이 중복하여 받는 경우로 세지만, 이것은 [eqn: 1]번 공이 한 개뿐이므로 불가능하다.

[옳은 풀이]

세 명의 학생에게 서로 다른 야구공 네 개를 나누어 주는 방법의 수는 서로 다른 [eqn: 3]개에서 [eqn: 4]개를 택하는 중복순열의 수와 같다. 따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 3^4 =81]

이다.

⑴ [eqn: 15120]	⑵ [eqn: 1260]

[eqn: 35]

[eqn: 60]

[eqn: `_7RMC_4 TIMES`_3 C_3]          [eqn: `_7RMC_4 TIMES`_4 C_2 TIMES `_2 C_2]

⑴ [eqn: 140]	⑵ [eqn: 2520]	⑶ [eqn: 1680]

⑴ [eqn: 210]	⑵ [eqn: 10]

[eqn: 20]

[eqn: 40]

[eqn: 36]

[eqn: 28]

[eqn: 20]

⑴ [eqn: 45]	⑵ [eqn: 21]

⑴ [eqn: 84]	⑵ [eqn: 10]

풀이 참조

선미가 잘못 구하였다.

[eqn: x^4]은 [eqn: 1]을 한 번, [eqn: x^2]을 두 번 택하거나 [eqn: x]를 두 번, [eqn: x^2]을 한 번 택하여 만들 수도 있다.

즉, [eqn: x^2], [eqn: x], [eqn: 1] 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 3]개를 택하여 곱하면 서로 같은 항이 나오는 경우가 있으므로 중복조합으로 구할 수 없다.

⑴ [eqn: 9]	⑵ [eqn: 6]

⑴ [eqn: 10]	⑵ [eqn: 35]

⑴ [eqn: 55]	⑵ [eqn: 28]	⑶ [eqn: 10]

⑴ [eqn: 20]	⑵ [eqn: 56]

[eqn: 496]

[eqn: 120]

[eqn: 54]

[eqn: 60]

[eqn: 21]

[eqn: 16]

[eqn: 30]

[eqn: 120]

[eqn: 15]

[eqn: 250]

[eqn: 236]

[eqn: x ^{3} -6x ^{2} y+12xy ^{2} -8y ^{3}]

⑴ [eqn: 81a^4 +108a^3 b +54a^2 b^2 +12ab^3 +b^4]

⑵ [eqn: a^5 -10a^4 b+40a^3 b^2 -80a^2 b^3 +80ab^4 -32b^5]

[eqn: -2916]

⑴ [eqn: 240]	⑵ [eqn: -160]

⑴ [eqn: a^6 +6a^5 b +15a^4 b^2 +20a^3 b^3 +15a^2 b^4 +6ab^5 +b^6]

풀이 참조

이항정리를 이용하여 [eqn: (1+x)^n]을 전개하면

[eqn: (1+x)^n =`_n {rmC}_0 }+`_n {rmC}_1 x +_n {RMC}_2 x^2 +`cdots`+`_n {rmC}_n x^n]

이 식에 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 2^n =`_n {rmC}_0 }+`_n {rmC}_1 +_n {RMC}_2 +`cdots`+`_n {rmC}_n]

⑴ [eqn: 512]	⑵ [eqn: 1024]

풀이 참고

⑴ 이항정리를 이용하여[eqn: (1+x)^n]을 전개하면

[eqn: (1+x)^n =`_n {rmC}_0 +`_n {rmC}_1 x+`_n {RMC}_2 x^2 +`CDOTS`+`_n {rmC}_n x^n]

이 식의 양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: 0 =`_n {rmC}_0 -`_n {rmC}_1 +`_n {RMC}_2 +`_n{rmC}_3 +``CDOTS`+(-1)^n`_n {rmC}_n]

⑵ 이항정리를 이용하여[eqn: (1+x)^2n]을 전개하면

[eqn: (1+x)^2n =`_2n {rmC}_0 +`_2n {rmC}_1 x+`_2n {RMC}_2 x^2 +`CDOTS`+`_2n {rmC}_2n x^2n][eqn: cdotscdots]①

①의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 2^2n =`_2n {rmC}_0 +`_2n {rmC}_1 +`_2n {RMC}_2 +`CDOTS`+`_2n {rmC}_2n]     [eqn: cdotscdots]②

①의 양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: 0 =`_2n {rmC}_0 -`_2n {rmC}_1 +`_2n {RMC}_2 -`_2n {rmC}_3 +`CDOTS`+`_2n {rmC}_2n][eqn: cdotscdots]③

②[eqn: +]③을 하면

[eqn: 2^2n =2(`_2n {rmC}_0 +`_2n {RMC}_2 +`_2n {rmC}_4 +`CDOTS`+`_2n {rmC}_2n )]

이므로

[eqn: `_2n {rmC}_0 +`_2n {RMC}_2 +`_2n {rmC}_4 +`CDOTS`+`_2n {rmC}_2n =2^2n-1]   [eqn: cdotscdots]④

또, ②[eqn: -]③을 하면

[eqn: 2^2n =2(`_2n {rmC}_1 +`_2n {RMC}_3 +`_2n {rmC}_5 +`CDOTS`+`_2n {rmC}_2n-1 )]

이므로

[eqn: `_2n {rmC}_1 +`_2n {RMC}_3 +`_2n {rmC}_5 +`CDOTS`+`_2n {rmC}_2n-1 =2^2n-1]  [eqn: cdots]⑤

④, ⑤에서

[eqn: `_2n {rmC}_0 +`_2n {RMC}_2 +`_2n {rmC}_4 +`CDOTS`+`_2n {rmC}_2n]

[eqn: =`_2n {rmC}_1 +`_2n {RMC}_3 +`_2n {rmC}_5 +`CDOTS`+`_2n {rmC}_2n-1][eqn: =2^2n-1]

⑴ - ㉢      ⑵ - ㉠         ⑶ - ㉡

[eqn: n=7,~r=3]

⑴ [eqn: 6]	⑵ [eqn: 10]

⑴ [eqn: -280]	⑵ [eqn: 448]

풀이 참고[우리의 풀이]

[eqn: `_10 rmC_5 =252]

[승호의 풀이]

회장이 뽑히는 경우의 수는 [eqn: `_9 RMC_4], 회장이 뽑히지 않는 경우의 수는 [eqn: `_9 RMC_5]

이때 두 사건이 동시에 일어나지 않으므로 구하는 경우의 수는 [eqn: `_9 RMC_4 +`_9 C_5 =`_10 C_5 =252]

[eqn: n]명 중에서 [eqn: r]명을 뽑는 경우의 수는 [eqn: `_n {rmC}_r]이다.

한편, 특정인 한 명이 [eqn: r]명 중에서 뽑히는 경우의 수는 [eqn: `_n-1 {rmC}_r-1]이고, 뽑히지 않는 경우의 수는 [eqn: `_n-1 {rmC}_r]이다.

이때 두 사건이 동시에 일어나지 않으므로 구하는           경우의 수는 [eqn: `_n-1 {rmC}_r-1][eqn: +][eqn: `_n-1 {rmC}_r]이다.

따라서 [eqn: `_n {rmC}_r =][eqn: `_n-1 {rmC}_r-1][eqn: +][eqn: `_n-1 {rmC}_r]이다.

[eqn: 84]

⑴ [eqn: 0]	⑵ [eqn: 2048]

[eqn: 2]

[eqn: 5]

[eqn: 6]

[eqn: 4]

풀이 참고

좌우 대칭인 신호연이 되려면 [eqn: RMA]와 [eqn: RMB], [eqn: RMD]와 [eqn: RME] 영역은 서로 같은 색을 칠해야 한다. 따라서 [eqn: RMA], [eqn: RMC], [eqn: rm D]세 영역에 빨간색과 검은색의 두 가지 색 중 한 가지 색을 칠하는 경우의 수이므로 구하는 가짓수는 [eqn: 2^3 =8]이다.

[eqn: 3]개의 신호연 중 [eqn: 1]개의 신호연을 선택하여 만들수 있는 신호의 가짓수는 [eqn: `_3 RMC_1], [eqn: 2]개의 신호연을 선택하여 만들 수 있는 신호의 가짓수는 [eqn: `_3 RMC_2], [eqn: 3]개의 신호연을 모두 선택하여 만들 수 있는 신호의 가짓수는 [eqn: `_3 RMC_3]이다.

따라서 주어진 신호연 중 [eqn: 3]개 이하를 조합하여 만들 수 있는 신호의 가짓수는 [eqn: `_3 RMC_1 + `_3 RMC_2 + `_3 RMC_3 = 3+3+1 =7]이다.

⑤

④

②

①

③

①

④

⑤

③

④

①

③

②

[eqn: 210]

[eqn: 165]

[eqn: 87]

[eqn: 211]

⑴ [eqn: left{(가위,~바위),~(가위,~바위),~(가위,~보),]
[eqn: (바위,~가위),~(바위,~바위),~(바위,~보),]
[eqn: (보,~가위),~(보,~바위),~(보,~보)right]
⑵ [eqn: left{(가위,~가위),~(바위,~바위),~(보,~보)right]

⑴ [eqn: left{1,~2,~4 right]
⑵ [eqn: left{1,~2,~3,~4,~6,~8,~12 right]
⑶ [eqn: left{3,~5,~6,~7,~9,~10,~11,~12right]
⑷ [eqn: left{3,~5,~6,~7,~8,~9,~10,~11,~12 right]

⑴ [eqn: B]와 [eqn: C]	⑵ [eqn: LEFT{1,~4 RIGHT]

[eqn: 1OVER9]

⑴ [eqn: 2 OVER9]	⑵ [eqn: 1 OVER3]

[eqn: 2OVER11]

⑴ [eqn: 8 OVER15]	⑵ [eqn: 1 OVER8]

[eqn: 3over28]

⑴ [eqn: 0.91]	⑵ [eqn: 0.79]

⑴ [eqn: 0.93]	⑵ [eqn: 0.81]

[eqn: 0]	⑵ [eqn: 1]             ⑶ [eqn: 18 over35]

㈎ [eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6]
㈏ [eqn: left{1 right},~left{2 right}{,~left{3 right},~left{4 right},~left{5 right}{,~left{6 right]
㈐ [eqn: 6]  ㈑ [eqn: 2,~3,~5]  ㈒ [eqn: 1,~4,~6]  ㈓ [eqn: 8]

[eqn: 3 over125]

[eqn: 1over4]

풀이 참고

민영이의 풀이는 옳지 않다. 그 까닭은 민영이가 센 [eqn: 3]가지 각 경우가 일어날 가능성이 같지 않으므로 나올 수 있는 경우를 [eqn: 3]가지로 세는 것은 옳지 않다.

[옳은 풀이]

[eqn: 5]개의 구슬 중에서 [eqn: 2]개의 구슬을 꺼내는 경우의 수는

[eqn: `_5 RMC _2 =10]

이때 꺼낸 구슬이 서로 다른 색인 경우는 초록 구슬 [eqn: 1]개, 파란 구슬 [eqn: 1]개를 꺼내는 경우이므로 그 경우의 수는

[eqn: `_2 rmC_1 TIMES `_3 C_1 =6]

따라서 구하는 확률은 [eqn: 6 OVER10 = 3 OVER5]

⑴ [eqn: 8 OVER25]	⑵ [eqn: 13 OVER50]

[eqn: 7 OVER8]

[eqn: 9OVER10]

[eqn: 5 OVER6]

[eqn: 37 OVER50]

[eqn: 284 OVER285]

[eqn: 0.29]	[eqn: 0.71]

⑴ [eqn: 19 over20]	⑵ [eqn: 1over6]	⑶ [eqn: 1over2]

[eqn: 3over5]

[eqn: 279 over343]

[eqn: 2]

[eqn: 8! = 40320]           [eqn: 5 times 2! times 6! = 7200]
[eqn: 5 over28]

⑴ [eqn: left{1,~3,~5 right]	⑵ [eqn: left{2,~4 right]

[eqn: 1over9]

[eqn: 1over15]

[eqn: 5 over7]

[eqn: 1 OVER198]

[eqn: 3 OVER4]

[eqn: 2OVER3]

[eqn: 23 OVER28]

[eqn: 7 OVER15]

[eqn: 11 OVER36]

[eqn: {1} over {3}]

[eqn: 2OVER5]

[eqn: {2} over {3}]

[eqn: {4}over{15}]

[eqn: {2} over {87}]

⑴ [eqn: 1over3]        ⑵ [eqn: 2over3]          ⑶  [eqn: 2 OVER 5]

[eqn: 1 over7]

[eqn: 31 over51]

⑴ [eqn: 1over5]	⑵ [eqn: 1 over5]

⑴ 독립 ⑵ 종속

종속

독립이다.

[eqn: 216 OVER625]

[eqn: 17 OVER81]

[eqn: 0.52]                [eqn: 0.49]

⑴ 종속	⑵ 독립

[eqn: 40 OVER243]

[eqn: 5 OVER324]

[eqn: 8 OVER27]

⑴ [eqn: 31 OVER125]    ⑵ [eqn: 3 OVER38]    ⑶ 영향을 끼친다고 볼 수 있다.

[eqn: 1over2]

[eqn: 1over6]

[eqn: 0.12]

[eqn: 3over16]

[eqn: 4 over5]

[eqn: 2 over15]

[eqn: 1over2]

[eqn: 11 over64]

[eqn: 2 over9]

[eqn: 1over4]

④

③

④

②

②

①

③

④

③

⑤

①

[eqn: a=160,~ b=80,~ c=240,~ d=120]

[eqn: 3 OVER5]

[eqn: 43 OVER128]

[eqn: 0,~1,~2,~3,~4]

⑴ 풀이 참조	⑵ [eqn: 3over4](1)

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	합계
[eqn: {RMP}(X=x)]	[eqn: 1over12]	[eqn: 1 over12]	[eqn: 1over3]	[eqn: 1over3]	[eqn: 1over12]	[eqn: 1 over12]	[eqn: 1]

⑴ 풀이 참조	⑵ [eqn: 65 OVER84]⑴ 확률변수 [eqn: X]가 가지는 값은 [eqn: 0,~1,~2,~3]이고

[eqn: {RMP}(X=0)= {`_3 RMC_0 TIMES `_6 C_3 } OVER{`_9 RMC_3 }= 5 OVER21], [eqn: {RMP}(X=1)={`_3 RMC_1 TIMES `_6 C_2 } OVER{`_9 RMC_3} = 15 OVER28]

[eqn: rm P it (X=2)= {` _{3} rm C _{2} TIMES ` _{6} C _{1} it} over {` _{9} rm C _{3} it} = {3} over {14}], [eqn: rm P it (X=3)= {` _{3} rm C _{3} TIMES ` _{6} C _{0} it} over {` _{9} rm C _{3} it} = {1} over {84}]

이므로 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: {RMP}(X=x)]	[eqn: 5 OVER21]	[eqn: 15 OVER28]	[eqn: 3 OVER14]	[eqn: 1 OVER84]	[eqn: 1]

⑴ 풀이 참조	⑵ [eqn: 4over5](1)

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	합계
[eqn: {RMP}(X=x)]	[eqn: 1over5]	[eqn: 8 over15]	[eqn: 4 over15]	[eqn: 1]

⑴ [eqn: 1 over2]	⑵ [eqn: 5 over16]

⑴ [eqn: 5]                    ⑵  [eqn: 2 over5]

풀이 참고

[방법[eqn: 1]]

함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 1]이므로

[eqn: 1over2 times 20 times k =1,~ k = 1over10]

따라서 연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수는

[eqn: f(x)= cases{ 1 over100 x + 1over10&~( -10 le x le10) #- 1over100 x + 1over10 &~(0 le x le10) }]

이때 확률 [eqn: {rmP}(|X`| LE 5)]는 오른쪽 그림의 색칠한 부분의 넓이이므로

[eqn: 1- 2 TIMES LEFT( 1OVER2 TIMES 5 TIMES 1OVER20 RIGHT)]

[eqn: =1- 1OVER4 = 3OVER4]

[방법 [eqn: 2]]

오른쪽 그림에서 [eqn: rm TRIANGLE ACD]□[eqn: rm triangle AOB]이고, 닮음비가 [eqn: 1:2]이므로 [eqn: RMTRIANGLE ACD]와 [eqn: RMTRIANGLE AOB]의 넓이의 비는 [eqn: 1:4]이다.

즉, [eqn: RMTRIANGLE AOB]의 넓이가 [eqn: 1OVER2]이므로 [eqn: RMTRIANGLE ACD]의 넓이는 [eqn: 1 OVER8]이다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: 2 TIMES LEFT( 1OVER2 - 1 OVER8 RIGHT)= 3 OVER4]

⑴ [eqn: 1over50]	⑵ [eqn: 21 over100]

⑴ [eqn: 3]	⑵ [eqn: 19 OVER216]

⑴ 연속확률변수  ⑵ 이산확률변수  ⑶ 이산확률변수

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: {RMP}(X=x)]	[eqn: 4 OVER35]	[eqn: 18 OVER35]	[eqn: 12 OVER35]	[eqn: 1OVER35]	[eqn: 1]

[eqn: 13 OVER256]

[eqn: 1OVER10]	[eqn: 1 OVER8]

[eqn: 184]원

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

평균: [eqn: 37], 분산: [eqn: 225], 표준편차: [eqn: 15]

평균: [eqn: 0], 분산: [eqn: 3], 표준편차: [eqn: SQRT3]

평균: [eqn: -9], 분산: [eqn: 35], 표준편차: [eqn: SQRT35]

평균: [eqn: 4over3], 분산: [eqn: 2over9]

평균: [eqn: 0], 분산: [eqn: 1OVER5]

㈎ [eqn: 1OVER10]  ㈏ [eqn: 11 OVER5]  ㈐ [eqn: 19 OVER25]

평균: [eqn: 5 OVER4], 분산: [eqn: 1], 표준편차: [eqn: 1]

평균: [eqn: 3 OVER4], 분산: [eqn: 45 OVER112]

[eqn: 2OVER5]

풀이 참조

[eqn: 2,~3,~CDOTS,~10]

[eqn: X]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]	[eqn: 10]	합계
[eqn: {RMP}(X=x)]	[eqn: 1 over24]	[eqn: 1 over12]	[eqn: 1over8]	[eqn: 1over6]	[eqn: 1over6]	[eqn: 1over6]	[eqn: 1over8]	[eqn: 1 over12]	[eqn: 1 over24]	[eqn: 1]

[eqn: 6]

⑴ [eqn: {rmB} LEFT( 8 ,~ 2 OVER3 RIGHT)]	⑵ [eqn: {rmB} LEFT(200 , ~3 OVER10 RIGHT)]

[eqn: 189 over256]

[eqn: 2072 OVER3125]

평균: [eqn: 210], 분산: [eqn: 63]

➊ [eqn: n=10]일 때, [eqn: 0.291]
➋ [eqn: n=30]일 때, [eqn: 0.537]
➌ [eqn: n=50]일 때, [eqn: 0.66]
[eqn: n]의 값이 커짐에 따라 이 확률은 [eqn: 1]에 더 가까워진다.

⑴ 평균: [eqn: 15], 분산: [eqn: 10]
⑵ 평균: [eqn: 50], 분산: [eqn: 25]

[eqn: 81 over128]

평균: [eqn: 24], 분산: [eqn: {6sqrt10 }over5]

풀이 참고[수현이의 방법]

확률변수 [eqn: X]의 확률분포는

[eqn: {RMP}(X=x)=`_82 {rmC}_x` 0.95^x` 0.05^82-x (x=0,~1,~2,~cdots,~82)]

이므로 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(X LE80)]

[eqn: ={RMP}(X=0)+{RMP}(X=1)+`CDOTS`+{RMP}(X=80)]

[eqn: =1-LEFT{{RMP}(X=81)+{RMP}(X=82) RIGHT]

[eqn: =1-( `_82{RMC}_81 TIMES 0.95^81 TIMES 0.05 +` _82rmC_82 TIMES 0.95^82 )]

[eqn: =1-(82 TIMES 0.0157 TIMES 0.05 +0.0149)]

[eqn: =1-0.07927=0.92073]

[혜윤이의 방법]

확률변수 [eqn: Y]의 확률분포는

[eqn: {RMP}(Y=y)=`_82{rmC}_y 0.05^y 0.95^82-y ~(y=0,~1,~2,~cdots,~82)]

이므로 구하는 확률은

[eqn: 1- {rmP}(Y le 1)]

[eqn: =1-left{{rmP}(Y=0)+{RMP}(Y=1) RIGHT }]

[eqn: =1-(`_82 RMC_0 TIMES 0.95^82 +`_82 C_1 TIMES 0.05 TIMES0.95 ^81 )]

[eqn: =1-(0.0149+82TIMES0.05TIMES 0.0157)]

[eqn: =1-0.07927=0.92073]

평균이 가장 큰 것: ㉢, 표준편차가 가장 큰 것: ㉠

⑴ [eqn: 0.1359]	⑵ [eqn: 0.8712]

⑴ [eqn: 0.8485]	⑵ [eqn: 0.95]

[eqn: 1.85]

[eqn: 1.42]

[eqn: 0.5328]

⑴ [eqn: 0.8664]	⑵ [eqn: 0.1587]

[eqn: 0.6294]

[eqn: 0.7745]

[eqn: 0.8185]

[eqn: 0.8944]

[eqn: 1.96]	[eqn: 2.58]

○: ⑴, ⑵,	×: ⑶

[eqn: 15]

[eqn: 85]

형미, 희태

[eqn: 1OVER2]

평균: [eqn: 22], 분산: [eqn: 48]

⑴ [eqn: 0.2881]	⑵ [eqn: 0.3085]

[eqn: 5 OVER6]

[eqn: 19 OVER30]

[eqn: 20 OVER9]

[eqn: 15 OVER16]

[eqn: 416]

[eqn: 0.8185]

[eqn: 9]

[eqn: 868.5]점

모집단 : 특정 지역구 유권자 전체

풀이 참고

[eqn: RMRAND]를 눌러서 나온 수

[eqn: 0.0417,~ 0.277,~ 0.039,~ 0.133,~ 0.254]

에 [eqn: 100]을 곱하여 정수 부분을 읽으면

[eqn: 4,~27,~3,~13,~25]

이므로 해당하는 번호를 가진 학생으로 크기가 [eqn: 5]인 표본을 구성할 수 있다.

이때 특정 학생이 표본으로 추출될 확률은

[eqn: 5 OVER{(우리~반~학생~수)]이다.

평균: [eqn: 20], 분산: [eqn: 9 OVER16]

정규분포 [eqn: {RMN} LEFT(2,~LEFT( 4OVER3 RIGHT)^2 RIGHT)]을 따른다.

근사적으로 정규분포 [eqn: {RMN}LEFT( 15,~ LEFT( 1OVER2 RIGHT)^2 RIGHT)]을 따른다.

[eqn: 0.8185]

[eqn: 0.975]

풀이 참고

앞면이 나올 확률이 [eqn: 0.4]인 찌그러진 동전 한 개를 차례로 [eqn: 10]번, [eqn: 50]번, [eqn: 200]번, [eqn: 1000]번 던질 때, 앞면이 나온 횟수의 평균의 분포는 다음 그림과 같다. 즉, 던지는 횟수가 커짐에 따라 정규분포에 가까워진다.

㈎ [eqn: 200]      ㈏ [eqn: 4]	㈐ [eqn: 2]	㈑ [eqn: -1]

[eqn: 25]

[eqn: 58.196]

풀이 참고

확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수의 그래프: ㉢

확률변수 [eqn: BARX]의 확률밀도함수의 그래프: ㉡

확률변수 [eqn: bar Y]의 확률밀도함수의 그래프: ㉠

표본의 크기가 클수록 표준편차가 작아지므로 그래프는 높아지면서 뾰족해진다.

[eqn: 49.02 le m le 50. 98]

[eqn: 6.71 LE m le 9.29]

[eqn: 246]개

[eqn: 240]포기

○: ⑵, ⑶,	×: ⑴

[eqn: 0.5]

[eqn: 666]개

⑴ 길어진다.	⑵ 표본의 크기를 크게 해야 한다.

⑴ 우리나라 농어촌 지역 고등학교

⑴ [eqn: 5]	⑵ [eqn: 1]	⑶ [eqn: 0.4772]

[eqn: m=40,~n=36]

[eqn: 46.08 le m le 53.92]

[eqn: 16]

[eqn: 0.0228]

[eqn: 0.3085]

[eqn: 258.04]

[eqn: 196]

[eqn: 0.029]

④

③

①

②

④

⑤

②

[eqn: 2]

③

[eqn: 8 over5]

⑤

[eqn: 0.16]

[eqn: 0.3174]

[eqn: 97]

[eqn: 94.2 le m le 145.8]

[ 정답 및 해설]