□[eqn: {} ^{1- sqrt {3}}] ×□[eqn: {} ^{2 sqrt {3} -1}] 의 값은? [2점]

2023년 7월 고3 전국연합학력평가

제 2 교시      수학 영역

④

[eqn: 4 ^{1- sqrt {3} `} TIMES 2 ^{2 sqrt {3} -1} =2 ^{2-2 sqrt {3} +2 sqrt {3} +1} =2]

① [eqn: {1} over {4}]   ② [eqn: {1} over {2}]    ③ □   ④ □   ⑤ □

함수 □□□□□[eqn: x ^{3}]□□□□□에 대하여 [eqn: lim _{h` -> `0} {` {f(2+h)-f(2)} over {h}}] 의 값은? [2점]

⑤

[eqn: lim _{h`-> 0} {{f(2+h)-f(2)} over {h} `=`f`'(2)}]이다.

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} -7] 이므로

[eqn: f`'(2)=12-7=5]

① □    ② □    ③ □    ④ □    ⑤ □

sin[eqn: LEFT ( {pi } over {2} + theta RIGHT )] □ [eqn: {3} over {5}] 이고 sin□cos□ □ □일 때, sin□□□cos□ 의 값은? [3점]

⑤

[eqn: sin LEFT ( {pi } over {2} + theta RIGHT ) =cos theta = {3} over {5}]

[eqn: sin ^{2} theta =1-cos ^{2} theta = {16} over {25}]

[eqn: sin theta cos theta <0] 이므로 [eqn: sin theta =- {4} over {5}]

따라서 [eqn: sin theta +2cos theta = {2} over {5}]

① [eqn: - {2} over {5}]    ② [eqn: - {1} over {5}]   ③ [eqn: 0]    ④ [eqn: {1} over {5}]    ⑤ [eqn: {2} over {5}]

함수 □ □□□□□의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{x` -> `-1+} {f(x)+ lim _{x` -> `1-} {f(x)}}]  의 값은? [3점]

③

① □□     ② □     ③ □     ④ □     ⑤ □

함수

□□□□□[eqn: {cases{eqalign{3x+a# }&eqalign{(x LEQ 1)# }#2x ^{3} +bx+1`&(x>1)}}]

이 □ □□에서 미분가능할 때, □□□의 값은? (단, □, □    는 상수이다.) [3점]

[eqn: lim _{x`-> -1+} {f(x)=0`,`}] [eqn: lim _{x` -> 1-} {f(x)=1``}]

[eqn: lim _{x` -> -1+} {f(x)+`}][eqn: lim _{x` -> 1-} {f(x)=0+1=1``}]

②

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 미분가능 이고 연속이다.

[eqn: f(1-)=f(1+)=f(1)], [eqn: f`'(1+)=f``'(1-)]

[eqn: f(1-)=a+3`][eqn: ,`f(1+)=b+3`]

[eqn: a+3=b+3] 이므로 [eqn: a=b CDOTS ㉠]

[eqn: f`'(1-)=3`,`f`'(1+)=a+6]

[eqn: 3=a+b] 이므로 [eqn: a=-3`,`b=-3 CDOTS ㉡]

따라서 [eqn: a+b=-6]

① □□    ② □□    ③ □□    ④ □□    ⑤ □

모든 항이 양수인 등비수열 □[eqn: a _{n}]□에 대하여

[eqn: a _{3} ^{````2} =a _{6} `,``a _{2} -a _{1} =2] 일 때, [eqn: a _{5}]의 값은? [3점]

④

등비수열 [eqn: a _{n} =ar ^{n-1}] 이고

[eqn: a _{3} ` ^{2} =a _{6}] 에서 [eqn: a _{3} ^{````2} =a _{3} `r ^{3} CDOTS ㉠]이다.

모든항이 양수이므로 [eqn: a _{3} != 0] 이므로 [eqn: ㉠]의 양변을

[eqn: a _{3}]로 나누면 [eqn: a _{3} =r ^{3}] 이다.

즉, [eqn: a=r`,``a _{n} =r ^{`n} CDOTS ㉡] 이다.

[eqn: a _{2} -a _{1} =2] 이므로 [eqn: r ^{2} -r=2] 에서 [eqn: (r-2)(r+1)=0]

모든항이 양수이므로 [eqn: r=2 CDOTS ㉢]

따라서 [eqn: a _{5} =r ^{5} =32]

① □□    ② □□    ③ □□    ④ □□    ⑤ □□

함수 □□□□□□[eqn: {} ^{3}]□□□[eqn: {} ^{2}]□□□□□ 가 □ □□에서 극값을 갖는다. 함수 □□□□의 극댓값은? (단, □는 상수이다.) [3점]

①

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 극값을 가지므로 [eqn: f`'(1)=0]

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} +2ax-9] 에서

[eqn: f`'(1)=3+2a-9=0] 에서 [eqn: a=3 CDOTS ㉠]

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} +6x-9=3(x-1)(x+3)]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-3]에서 극댓값을 갖는다.

따라서 [eqn: f(-3)=-27+27+27+4=31]

① 31    ② 33   ③ 35    ④ 37    ⑤ 39

수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 □ □□ ≥ □□에서의 속도 □□□□가 □□□□□□[eqn: {} ^{2}]□□□□□ 이다.

점 P가 시각 □ □□, □ □□□□□ □□에서 운동 방향을      바꿀 때, 점 P가 시각 □ □□에서 □ □□까지 움직인     거리는? [3점]

②

[eqn: v(t)=t ^{2} -4t+3=(t-1)(t-3)]

점 [eqn: P]가 운동방향을 바꿀 때는 [eqn: v(t)=0] 이므로

[eqn: t=1`,`t=3 CDOTS ㉠]

[eqn: v(t)= {cases{eqalign{v(t)# # -v(t)}&eqalign{`(0 LEQ t LEQ 1)# # `(1<t<3)}#eqalign{# v(t)}&eqalign{# `(t GEQ 3)}}}]

점 [eqn: P]가 [eqn: t=0] 부터 [eqn: t=3]까지 움직인 거리 [eqn: s]는

[eqn: s= int _{0} ^{3} {LEFT | v(t) RIGHT | `dt} = int _{0} ^{1} {v`(t)`dt+ int _{1} ^{3} {-v(t)`dt}}]

[eqn: = int _{0} ^{1} {(t ^{2} -4t+3)dt} `+ int _{1} ^{3} {(-t ^{2} +4t-3)dt}]

[eqn: = LEFT [ {1} over {3} t ^{3} -2t ^{2} +3t RIGHT ] _{0} ^{1} +][eqn: LEFT [ - {1} over {3} t ^{3} +2t ^{2} -3t RIGHT ] _{1} ^{3}]

[eqn: = {4} over {3} + {4} over {3} = {8} over {3}]

① [eqn: {7} over {3}]    ② [eqn: {8} over {3}]   ③ [eqn: 3]   ④ [eqn: {10} over {3}]    ⑤ [eqn: {11} over {3}]

□ 이상의 자연수 □ 에 대하여 □에 대한 방정식

□□[eqn: {} ^{n}]□□□□□[eqn: {} ^{2n}]□□□□□ 의 모든 실근의 곱이 □□일 때,

□ 의 값은? [4점]

②

방정식 [eqn: (x ^{n} -8)(x ^{2n} -8)=0]의 실근은

[eqn: n]이 짝수일때와 홀수일 때 실근의 개수가 달라지므로

[eqn: (ⅰ)n]이 짝수이 일 때,

[eqn: x=± root {n} of {8} `,`x=± root {2n} of {8}] 이렇게 4개의 실근 존재

모든 실근의 곱은 양수 이므로 조건 불만족

[eqn: (ⅱ)`n]이 홀수 일 때,

[eqn: x= root {n} of {8} `,`x=± root {2n} of {8}] 이렇게 3개의 실근 존재

모든 실근의 곱이 음수 이므로 조건 만족

[eqn: 2 ^{{3} over {n}} TIMES 2 ^{{3} over {2n}} TIMES LEFT ( -2 ^{{3} over {2n}} RIGHT ) =-2 ^{{6} over {n}} =-4]

[eqn: -2 ^{{6} over {n}} =-2 ^{`2} `,`] [eqn: {6} over {n} =2`,` THEREFORE n=3]

① □    ② □    ③ □    ④ □    ⑤ □

□ ≤ □ □ □□일 때, 곡선 □ □□□sin□□□□□와 직선 □ □□가 만나는 서로 다른 점의 개수는? [4점]

③

삼각함수 [eqn: y=4sin3x+2]는 주기가 [eqn: {2 pi } over {3} `,`] 최대 [eqn: 6] , 최소 [eqn: -2]

① □   ② □   ③ □   ④ □□   ⑤ □□

(가) 모든 실수 □에 대하여

□□□□□□□□□□□□□□□ 이다.

(나) [eqn: int _{-1} ^{3} {}][eqn: f`'(x)]□□ □□□

최고차항의 계수가 □인 삼차함수 □□□□가 다음 조건을 만족시킨다.

□□□□의 값은? [4점]

구간 [eqn: [0`,`2 pi )]에서 [eqn: y= LEFT | 4sin3x+2 RIGHT |]는

따라서 구간 [eqn: [0`,`2 pi )]에서 [eqn: y= LEFT | 4sin3x+2 RIGHT |]와 [eqn: y=2]가

만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: 9]개 이다.

①

조건 (가) [eqn: f(1+x)+f(1-x)=0] 에서

함수 [eqn: f(x)]는 점 [eqn: (1`,`0)]대칭이므로 [eqn: f(1)=0 CDOTS ㉠]

[eqn: f(x)=(x-1)(x ^{2} +ax+b)]로 둘수 있다.

조건 (나)에서 [eqn: int _{-1} ^{3} {`f`'(x)dx=f(3)-f(-1)=12 CDOTS ㉡}]

또한 조건 (가) 의 [eqn: f(1+x)+f(1-x)=0]는 항등식이므로

수치대입 [eqn: x=2]를 대입하면 [eqn: f(3)-f(-1)=0 CDOTS ㉢]

[eqn: ㉡`,`㉢]을 연립하면 [eqn: f(3)=6`,`f(-1)=-6] 이다.

[eqn: f(3)=2(9+3a+b)=6``,`` THEREFORE 3a+b=-6 CDOTS ㉣]

[eqn: f(-1)=-2(1-a+b)=-6`,``` THEREFORE a-b=-6 CDOTS ㉤]

[eqn: ㉣`,`㉤]을 연립하면 [eqn: a=-2`,`b=0]이므로

[eqn: f(x)=x(x-1)(x-2)]

따라서 [eqn: f(4)=24]

① 24    ② 28    ③ 32    ④ 36    ⑤ 40

(가) [eqn: sum _{k=1} ^{2m+1} a _{k} <0]

(나) □[eqn: a _{m}]□□□□[eqn: {} _{m+1}]□□□□[eqn: {} _{m+2}]□□ □□

모든 항이 정수이고 공차가 □인 등차수열 □[eqn: a _{n}]□과 자연수 □이 다음 조건을 만족시킨다.

□□ □ [eqn: a _{21}] □ □□일 때, □의 값은? [4점]

③

모든 항이 정수이고 공차가 [eqn: 5]인 등차수열 [eqn: a _{n}] 에 대하여

조건 (가) [eqn: sum _{k=1} ^{2m+1} = {(2m+1) LEFT ( a+a _{2m+1} RIGHT )} over {2} <0] 에서

[eqn: 2m+1>0] 이므로 [eqn: a+a _{2m+1} <0] 이다.

[eqn: a+a _{2m+1} =a+a+(2m)5=2a+10m]이고

[eqn: 2(a+5m)<0] [eqn: ,```2(a+md)<0``,` THEREFORE a+md<0]이다.

[eqn: a+md=a _{m+1}] 이므로  [eqn: a _{m+1} <0 CDOTS ㉠]

쪼건 (나) □[eqn: a _{m}]□□□□[eqn: {} _{m+1}]□□□□[eqn: {} _{m+2}]□□ □□에서

[eqn: LEFT | a _{m+1} RIGHT |]의 값이 좀 작은 정수값이라는 것을 알 수 있다.

만약 [eqn: a _{m+1} =-5] 라 하면 [eqn: a _{m} =-10`,`a _{m+2} =0]

□[eqn: a _{m}]□□□□[eqn: {} _{m+1}]□□□□[eqn: {} _{m+2}]□=15 이므로 조건 불만족

[eqn: a _{m+1} =`-1`,`] 일 때,  [eqn: a _{m+1} =`-2`]일 때

[eqn: a _{m+1} =`-3` CDOTS `], 이렇게 귀납적 정의로 접근해보면

[eqn: (ⅰ)`a _{m+1} =-1] 일 때

□[eqn: a _{m}]□□□□[eqn: {} _{m+1}]□□□□[eqn: {} _{m+2}]□=[eqn: 11] 이므로 조건(나) 만족

[eqn: a _{m+1} =-1`,`a _{m+2} =4` CDOTS `,`a _{m+6} =24`,`a _{m+7} =29]

[eqn: 24<a _{21} <29] 를 만족하지 않는다.

[eqn: (ⅱ)`a _{m+1} =-2] 일 때

□[eqn: a _{m}]□□□□[eqn: {} _{m+1}]□□□□[eqn: {} _{m+2}]□=[eqn: 12] 이므로 조건 (나0 만족

[eqn: a _{m+1} =-2`,`a _{m+2} =3` CDOTS `,`a _{m+6} =23`,`a _{m+7} =28]

[eqn: 24<a _{21} <29] 를 만족한다.

즉, [eqn: a _{21} =a _{m+7} ,````` THEREFORE m=14 CDOTS ㉡] .

[eqn: (ⅲ)`a _{m+1} =-3] 일 때

□[eqn: a _{m}]□□□□[eqn: {} _{m+1}]□□□□[eqn: {} _{m+2}]□=[eqn: 13] 이므로 조건(나) 불만족

따라서 [eqn: `a _{m+1} =-2] 일 때, 모든 조건을 만족하고

그때의 [eqn: m=14] 이다.

① 10   ② 12   ③ 14    ④ 16    ⑤ 18

그림과 같이 평행사변형 ABCD가 있다. 점 A에서 선분 BD에 내린 수선의 발을 E 라 하고, 직선 CE 가 선분 AB 와 만나는 점을 F라 하자.

cos□∠AFC□□ [eqn: {sqrt {10}} over {10}], [eqn: {bar{EC`}}] □□□이고

삼각형 CDE 의 외접원의 반지름의 길이가

□[eqn: sqrt {2}] 일 때, 삼각형 AFE 의 넓이는? [4점]

①

[eqn: ANGLE AFC`= alpha `,` ANGLE CDE= beta] 로 두면

[eqn: cos alpha = {sqrt {10}} over {10} `,`sin alpha = {3 sqrt {10}} over {10} CDOTS ㉠]

[eqn: ANGLE ECD= ANGLE EFB= pi - alpha]

삼각형 [eqn: CDE]에서 사인법칙 적용하면

[eqn: {{bar{ED}}} over {sin( pi - alpha )} = {{bar{EC}}} over {sin beta } =10 sqrt {2}] 에서

[eqn: {bar{ED`}} =10 sqrt {2} TIMES sin alpha =10 sqrt {2} TIMES {3 sqrt {10}} over {10} =6 sqrt {5}]이고

[eqn: {bar{EC}} `=10] 이므로 [eqn: sin beta = {sqrt {2}} over {2} `,`` beta = {pi } over {4} `]이다.

[eqn: {bar{CD`}} =x]라 하자.

삼각형 [eqn: CDE]에서 코사인법칙을 적용하면

[eqn: 180=x ^{2} +100-2 TIMES x TIMES 10 TIMES cos( pi - alpha )]

[eqn: =x ^{2} +100+2 TIMES x TIMES 10 TIMES cos alpha]

[eqn: =x ^{2} +2 sqrt {10} x+100]

[eqn: x ^{2} +2 sqrt {10} x-80=0] 이고 [eqn: x>0] 이므로

[eqn: x=- sqrt {10} + sqrt {10+80} =2 sqrt {10}]

[eqn: ANGLE ABE`= ANGLE CDE`= {pi } over {4}]이므로

심각형 [eqn: ABE]는 직각이등변삼각형이다.

[eqn: {bar{AB`}} =2 sqrt {10}]이므로 [eqn: {bar{BE`}} = {bar{AE`}} =2 sqrt {5}]

두 삼각형 [eqn: BEF`,`DEC] 는 서로 닮음이고 닮음비는 [eqn: 1`:3]이다.

[eqn: {bar{AF`}} = {2} over {3} TIMES {bar{AB`}} = {4 sqrt {10}} over {3}]

따라서 삼각형 [eqn: AFE]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{AF`}} TIMES {bar{AE`}} TIMES sin {pi } over {4}]

[eqn: = {1} over {2} TIMES {4 sqrt {10}} over {3} TIMES 2 sqrt {5} TIMES {sqrt {2}} over {2} = {20} over {3}]

① [eqn: {20} over {3}]    ② [eqn: 7]   ③ [eqn: {22} over {3}]   ④ [eqn: {23} over {3}]    ⑤ [eqn: 8]

최고차항의 계수가 □이고 □□□□□□□□□□인 삼차함수 □□□□에 대하여 함수 □□□□를

□□□□□[eqn: {cases{`f(x)&`(x<`-3```또는```x GEQ 0)#eqalign{# -f(x)`}&eqalign{# `(-3 LEQ x<0)}}}]

ㄱ. 함수 □□□□□□□□□□은 □ □□에서 연속이다.

ㄴ. □□□□□×□□□□□□

ㄷ. 함수 □□□□□□□□□□이 □□□에서 불연속인 실수      □가 음수일 때 집합 □□□□□□□□□, □는 실수□      의 모든 원소의 합이 □□이면 □□□□□□□□□이다.

이라 하자. 함수 □□□□□□□□□□이 □ □□에서 불연속인      실수 □의 값이 한 개일 때, <보기>에서 옳은 것만      을 있는 대로 고른 것은? [4점]

⑤

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 0+} {`g(x)g(x-3)=f(0) TIMES LEFT { -f(-3) RIGHT }}]

[eqn: lim _{x -> 0-} {`g(x)g(x-3)=-f(0) TIMES f(-3)}]

[eqn: f(0) TIMES LEFT { -f(3) RIGHT } =-f(0) TIMES f(-3)]

함수 □□□□□□□□□□은 □□□에서 연속이다. (참)

ㄴ. 함수 □□□□□□□□□□는 불연속이 되는 후보가

[eqn: x=±3`,`x=0] 그런데 ㄱ에서 [eqn: x=0]에서

연속 이므로 [eqn: x=±3]이 불연속의 후보이다.

조건에서 함수 □□□□□□□□□□이 □□□에서

불연속인 실수 □의 값이 한 개라 했으므로,

[eqn: k=3`] 또는 [eqn: k=-3]이다.

[eqn: (ⅰ)`x=-3]에서 연속, [eqn: x=3]에서 불연속일 때,

[eqn: lim _{x -> -3-} {`g(x)g(x-3)=f(-3) TIMES f(-6)}]

[eqn: lim _{x -> -3+} {`g(x)g(x-3)=-f(-3) TIMES f(-6)}]

[eqn: f(-3) TIMES f(-6)=-f(-3) TIMES f(-6)]이어야 하므로

[eqn: f(-3) TIMES f(-6)=0 CDOTS ☆]이다.

[eqn: lim _{x -> 3-} {`g(x)g(x-3)=f(3) TIMES LEFT { -f(0) RIGHT }}]

[eqn: lim _{x -> 3+} {`g(x)g(x-3)=f(3) TIMES f(0)}]

[eqn: f(3) TIMES f(0) != f(3) TIMES LEFT { -f(0) RIGHT }]이어야 하므로

[eqn: f(3) TIMES f(0) != 0 CDOTS ◎]: 둘다 [eqn: 0] 아 아니다.

☆ 과 ◎에서 [eqn: f(-3)=f(0)]이므로 [eqn: f(-6)=0]

[eqn: (ⅱ)`x=-3]에서 불연속, [eqn: x=3]에서 연속일 때,

위와 같은 방법으로 하면 [eqn: f(3)=0]

따라서 [eqn: f(-6) TIMES f(3)=0]이다. (참)

ㄷ. [eqn: k]가 음수이므로 [eqn: k=-3], [eqn: f(3)=0]

[eqn: f(x)=(x-3)(x ^{2} +ax+b)` CDOTS (ⅰ)]또는

[eqn: f(x)=(x-3) ^{2} (x-c) CDOTS (ⅱ)]

[eqn: f(x)=0] 에 대한 [eqn: x]가 집합의 원소이고 실근이다.

[eqn: (ⅰ)]에서 [eqn: x ^{2} +ax+b]가 서로 다른 근을 가질 때

모든 근의 합은  [eqn: 3+(-a)=-1`,` THEREFORE a=4]

[eqn: f(x)=(x-3)(x ^{2} +4x+b)]이다.

[eqn: f(0)=f(-3)]이므로

[eqn: -3b=-6(-3+b)`,`` THEREFORE ``b=6]

[eqn: f(x)=(x-3)(x ^{2} +4x+6)]이다.

위의 [eqn: f(x)]에서  [eqn: x ^{2} +4x+6=0]은 실근을

갖지 않는다. 따라서 (조건 불만족)

[eqn: (ⅰ)]에서 [eqn: x ^{2} +ax+b]가 중근을 가질 때

모든 근의 합은 [eqn: 3+ LEFT ( - {a} over {2} RIGHT ) =-1,` THEREFORE a=8]

[eqn: f(x)=(x-3)(x+4) ^{2}]

[eqn: f(0)=f(-3)]을 만족해야 하는데

[eqn: f(0)=-48,``f(-3)=-6],

위의 [eqn: f(x)]는 [eqn: f(0) != f(-3)]따라서 (조건 불만족)

[eqn: (ⅱ)]에서 [eqn: f(x)=(x-3) ^{2} (x-c)]의 모든 근의 합

[eqn: 3+c=-1`,` THEREFORE c=-4]

[eqn: f(x)=(x-3) ^{2} (x+4)]에서

[eqn: f(0)=36=``f(-3)]이므로 (조건을 만족)

그러므로 [eqn: g(-1)=-f(-1)=-48] (참)

따라서 [eqn: ㄱ`,`ㄴ`,`ㄷ] 모두 참이다.

① ㄱ        ② ㄱ, ㄴ       ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ    ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(가) □[eqn: {} _{1}] □ □□□

(나) 모든 자연수 □ 에 대하여

□[eqn: {} _{n+1}] □[eqn: {cases{eqalign{` {1} over {3} `a _{n} ```# }&eqalign{(`log` _{3} `a _{n} `이`자연수`인`경우)# }#a _{n} +6&(log` _{3} `a _{n} 자연수가`아닌`경우)}}]

이다.

단답형

모든 항이 자연수인 수열 □[eqn: a _{n}]□이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: sum _{k=4} ^{7}][eqn: a _{k}] □□□이 되도록 하는 모든 [eqn: a _{1}]의 값의 합은?                                            [4점]

④

(가) [eqn: a<300]

(나) [eqn: a _{n+1} =][eqn: {cases{eqalign{` {1} over {3} `a _{n} ```# }&eqalign{(`log` _{3} `a _{n} `이`자연수`인`경우) CDOTS (ⅰ)# }#a _{n} +6&(log` _{3} `a _{n} 자연수가`아닌`경우) CDOTS (ⅱ)}}]

(다) [eqn: a _{4} +a _{5} +a _{6} +a _{7} =40]

조건 (나)에서 [eqn: (ⅰ)] 이 적용되는 상황은

[eqn: a _{n} =][eqn: 3]의 거듭 제곱꼴

[eqn: a _{n}] 의 후보 : [eqn: 3`,`3 ^{2} `,`3 ^{3} `,`3 ^{4} `,`3 ^{5} , CDOTS]

조건 (다)에서 [eqn: a _{4} SIM a _{7}] 은 합이 40이므로 조금 작은 수이다.

[eqn: a _{4} SIM a _{7}] 이 모두 3의 거듭제곱꼴인 경우

[eqn: a _{4} SIM a _{7}] 일부가 3의 거듭제곱꼴인 경우

[eqn: a _{4} SIM a _{7}] 모두 3의 거듭제곱꼴이 아닌 경우로 구분 하자

[eqn: 1st`] : [eqn: a _{4} SIM a _{7}] 이 모두 3의 거듭제곱꼴인 경우

[eqn: a _{4}]	[eqn: a _{5}]	[eqn: a _{6}]	[eqn: a _{7}]	합
27	9	3	1	40

조건을 만족한다.

[eqn: 2nd`:] [eqn: a _{4} SIM a _{7}] 일부가 3의 거듭제곱꼴인 경우

① [eqn: a _{5} SIM a _{7} ~] 3개가 3의 거듭제곱꼴인 경우

② [eqn: a _{6} SIM a _{7} ~] 2개가 3의 거듭제곱꼴인 경우

③     [eqn: a _{7}]   1개가 3의 거듭제곱꼴인 경우

구분	[eqn: a _{4}]	[eqn: a _{5}]	[eqn: a _{6}]	[eqn: a _{7}]	합
①	21	27	9	3	60
②	15	21	27	9	72
③	9	15	21	27	오류
[eqn: ③] 상황에서 [eqn: a _{4} =9] 이면 [eqn: a _{5} =3] 이어야 한다.

즉, 일부만 3의 거듭제곱꼴인 것은 나올수 없다.

[eqn: 3rd`:] [eqn: a _{4} SIM a _{7}] 모두 3의 거듭제곱꼴이 아닌 경우

[eqn: a _{4}]	[eqn: a _{5}]	[eqn: a _{6}]	[eqn: a _{7}]	합
[eqn: k]	[eqn: k+6]	[eqn: k+12]	[eqn: k+18]	40

[eqn: a _{4} +a _{5} +a _{6} +a _{7} =4k+36=40``,``` THEREFORE k=1]    이므로

[eqn: a _{4}]	[eqn: a _{5}]	[eqn: a _{6}]	[eqn: a _{7}]	합
1	7	13	19	40

따라서 [eqn: a _{4} =27`] 또는 [eqn: a _{4} =1]일 때 주어진 조건 만족

[eqn: a _{4}]	[eqn: a _{3}]	[eqn: a _{2}]	[eqn: a _{1}]	비고
27	81	243	237	조건 만족
27	81	243	[eqn: 3 ^{6}]	조건 (가) 불만족
27	81	75	69	조건 만족
1	3	9	27	조건 만족

따라서 모든 [eqn: a _{1}] 값의 합은 [eqn: 237+69+27=333]

① □□□    ② □□□    ③ □□□    ④ □□□    ⑤ □□□

방정식 log[eqn: {} _{2}]□□□□□□log[eqn: {} _{4}]□□□□□을 만족시키는

실수 □의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 9]

진수조건에서 [eqn: x>5 CDOTS ㉠]

[eqn: log _{4} (x-5) ^{2} =log _{4} (x+7)] [eqn: ,(x-5) ^{2} =x+7]

[eqn: x ^{2} -11x+18=0`,`(x-2)(x-9)=0]

따라서 [eqn: x=9]

함수 □□□□에 대하여 □′□□□□□□[eqn: {} ^{2}]□□□□□이고 □□□□□□□일 때, □□□□의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 20]

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {9x ^{2} -8x+1`dx}]

[eqn: =3x ^{3} -4x ^{2} +x+C]

[eqn: f(1)=3-4+1+C=10``,`` THEREFORE C=10]

[eqn: f(x)=3x ^{3} -4x ^{2} +x+10] 이므로

[eqn: f(2)=24-16+2+10=20]

두 수열 □□[eqn: {} _{n}]□, □□[eqn: {} _{n}]□에 대하여

□□□[eqn: {} _{k}]□□□□□□ , [eqn: sum _{k=1} ^{10}]□□[eqn: {} _{k}]□□[eqn: {} _{k}]□□□□□ 일 때,

□□[eqn: {} _{k}]□□□의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 65]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (2a _{k} +3)=2 sum _{k=1} ^{10} a _{k} +30=40``]에서

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =5 CDOTS ㉠``]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (a _{k} -b _{k} )= sum _{k=1} ^{10} a _{k} - sum _{k=1} ^{10} b _{k} =-10``] 에서

[eqn: sum _{k=1} ^{10} b _{k} =15 CDOTS ㉡``]

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{10} (b _{k} +5)= sum _{k=1} ^{10} b _{k} +50=65``]

곡선 □ □□[eqn: {} ^{3}]□□□ 위의 점 P□□□□ □□□□에서의 접선과 곡선 □ □□[eqn: {} ^{3}]□□ 위의 점 Q에서의 접선이 일치할 때, 양수 □의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 22]

[eqn: f(x)=x ^{3} -10`,`g(x)=x ^{3} +k]라 하자.

[eqn: f`'(x)=3x ^{2}] 이므로

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: P(-2`,`-18)]에서의

접선의 기울기는 [eqn: `f`'(-2)=12]이고

접선의 방정식은 [eqn: y+18=12(x+2)`,``y=12x+6]

점 [eqn: Q]의 좌표를 [eqn: (a`,`a ^{3} +k)]라고 하면

[eqn: g`'(x)=3x ^{2}] 이고

곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: Q(a`,`a ^{2} +k)]에서의

접선의 기울기는 [eqn: g` prime (a)=3a ^{2}]이고

접선의 방정식은 [eqn: y-(a ^{3} +k)=3a ^{2} (x-a)`]

[eqn: y=3a ^{2} x-2a ^{3} +k]

두 접선이 일치하므로 [eqn: 3a ^{2} =12`,`-2a ^{3} +k=6]

[eqn: a=±2] 이다.

[eqn: a=2] 일 때, [eqn: k=22] 이고 [eqn: a=-2]일 때, [eqn: k=-10]

[eqn: k>0] 이므로 [eqn: k=22] 이다.

실수 □ [eqn: LEFT ( sqrt {3} <t< {13} over {4} RIGHT )] 에 대하여 두 함수

□□□□□□□[eqn: {} ^{2}]□□□□□□ ,  □□□□□□□□□

의 그래프가 만나는 서로 다른 네 점의 □좌표를 작     은 수부터 크기순으로 □[eqn: {} _{1}], □[eqn: {} _{2}], □[eqn: {} _{3}], □[eqn: {} _{4}]라 하자.

□[eqn: {} _{4}] □  □[eqn: {} _{1}] □□일 때, 닫힌구간 □□[eqn: {} _{3}]□ □[eqn: {} _{4}]□에서

두 함수 □ □□□□□, □ □□□□□의 그래프로 둘러싸인

부분의 넓이는 □□□[eqn: sqrt {3}] 이다. □×□의 값을 구하시오.     (단, □, □는 유리수이다.) [4점]

[eqn: 54]

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{x ^{2} -2x-3# `}&eqalign{`(x LEQ - sqrt {3} `,`x GEQ sqrt {3} )# }#-x ^{2} -2x+3&`(- sqrt {3} <x< sqrt {3} )}}]

[eqn: f(x)=-x+t] 의 방정식의 근을 [eqn: x _{1} `,`x _{2} `,`x _{3} `,`x _{4}]

[eqn: x _{1} `,`x _{4}]는 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2x-3=-x+t]의 두 근

근과 계수의 관계에서 [eqn: x _{1} +x _{4} =1`,`x _{1} x _{4} =-t-3]

[eqn: x _{4} -x _{1} =5] 이므로 [eqn: x _{1} =-2`,`x _{4} =3`,`t=3 CDOTS ㉠]

[eqn: x _{2} `,`x _{3}]는 이차방정식 [eqn: -x ^{2} -2x+3=-x+3]의 두 근

[eqn: x _{2} =-1`,`x _{3} =0 CDOTS ㉡]

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0`,`3 RIGHT ]]에서 두 함수 [eqn: y=f(x)`,`y=g(x)]로

둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: int _{0} ^{3} {LEFT | f(x)-g(x) RIGHT | dx}]

[eqn: = int _{0} ^{sqrt {3}} {eqalign{LEFT { (-x+3)-(-x ^{2} -2x+3 RIGHT } dx# # # + int _{root {3} of {3}} ^{3} {LEFT { (-x+3)-(x ^{2} -2x-3 RIGHT } dx}}}]

[eqn: = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{sqrt {3}} +][eqn: LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} +6x RIGHT ] _{sqrt {3}} ^{3}]

[eqn: = {27} over {2} -4 sqrt {3}]  , [eqn: THEREFORE `p= {27} over {2} ``,`q=4]

따라서 [eqn: pq= {27} over {2} TIMES 4=54]

그림과 같이 곡선 □ □□[eqn: {} ^{x-m}] □ □ □□ □ □□ □ □ □□과 직선 □ □□□가 서로 다른 두 점 A, B 에서 만날 때, 점 B 를 지나며 직선 □ □□□에 수직인 직선이 □축과 만나는 점을 C 라 하자. 직선 CA가 □축과 만나는 점을 D라 하면 점 D는 선분 CA를 □ □□으로 외분하는 점이다. 삼각형 ABC 의 넓이가 □□일 때, □□□ 의 값을 구하시오. (단, 점 A의 □좌표는 점 B 의 □좌표보다 작다.) [4점]

[eqn: 13]

외분점을 내분점으로 바꿔서 해석하면 [eqn: {bar{AC`}} : {bar{AD`}} =2`:`3]

이므로 [eqn: {bar{AC`}} =2k`,` {bar{AD`}} =3k]  라 하자.

점 [eqn: A] 에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: H]라 하면

[eqn: TRIANGLE CHA`]와 [eqn: TRIANGLE COB] 는 [eqn: 2`:`3] 닮음이다.

점 [eqn: B]는 [eqn: y=3x] 위의 점 이므로 [eqn: B(t`,`3t)] 로 두면

[eqn: {bar{BC}}]의 기울기는 [eqn: - {1} over {3}] 이다.

모든 점들의 좌표를 [eqn: t]에 대하여 표현 할수 있다.

[eqn: TRIANGLE ABC] 의 넓이[eqn: = {1} over {2} {bar{AB`}} TIMES {bar{BC`}} =20]  에서

[eqn: {bar{AB`}} TIMES {bar{BC`}} =40 CDOTS ㉠]

[eqn: {bar{AB`}} = sqrt {{t ^{2}} over {9} +t ^{2}} = sqrt {{10} over {9} t ^{2}}]

[eqn: {bar{B`C}} = sqrt {t ^{2} + {t ^{2}} over {9}} = sqrt {{10} over {9} t ^{2}}]

아 [eqn: !] [eqn: TRIANGLE ABC] 는 직각 이등변 삼각형이 였음을 발견할 수 있다.

[eqn: 40= {10} over {9} t ^{2} `,``` THEREFORE t=6 CDOTS ㉡]

[eqn: A(4`,`12)`,`B(6`,`18)]  이고 지수함수 [eqn: y=2 ^{x-m} +n]  가

두점 [eqn: A`,`B] 를 지나므로 대입하면

[eqn: 12=2 ^{4-m} +n` CDOTS ㉢]

[eqn: 18=4 TIMES 2 ^{4-m} +n` CDOTS ㉣]

[eqn: ㉢`,`㉣]을 연립하면 [eqn: m=3`,`n=10]

따라서 [eqn: m+n=13]

최고차항의 계수가 양수인 사차함수 □□□□가 있다. 실수 □ 에 대하여 함수 □□□□를

□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 라 할 때,

방정식 □□□□□□의 서로 다른 실근의 개수를 □□□□라      하자. 두 함수 □□□□와 □□□□가 다음 조건을

만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{t` -> `-1} {}]□□□□□□□□□□□□□[eqn: lim _{t` -> `1} {}]□□□□□□□□□□□□□

(나) [eqn: int _{0} ^{alpha } {}]□□□□□□ □[eqn: int _{0} ^{alpha } {}]□□□□□□□□를 만족시키는

실수 □의 최솟값은 □□이다.

(다) 모든 실수 □에 대하여

[eqn: {d} over {dx} int _{0} ^{x} {LEFT { f(u)-ku RIGHT } du GEQ 0}]  이되도록 하는

실수 □의 최댓값은 [eqn: f`'( sqrt {2} )]이다.

□□□□의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 182]

[eqn: g(x)=f(x)-x-f(t)+t]

[eqn: g(x)=0] 에 대하여 [eqn: f(x)-x=f(t)-t]   에서

[eqn: p(x)=f(x)-x`,``p(t)=f(t)-t]    라 하면

[eqn: p(x)=p(t)`]  : ([eqn: p(x)] 는 사차함수, [eqn: p(t)]는 상수함수)

사차함수 [eqn: p(x)]의 여러 계형중              와 조건 (가)에서

즉,  [eqn: h(-1±)=2`,`h(-1)=1]   이므로 조건 (가) 불만족

사차함수 [eqn: p(x)]의 여러 계형중                와 조건 (가)에서

[eqn: p(-1±)=4=p(1±)]

[eqn: p(-1)=2=p(1)]

[eqn: -1-][eqn: -1][eqn: -1+]      [eqn: 1-] [eqn: 1]  [eqn: 1+]

즉, [eqn: h(-1±)=4`,`h(-1)=2,`]   [eqn: h(1±)=4`,`h(1)=2`]

이므로 조건 (가)를 만족한다.

조건 (나)에서 절댓값을 매긴 함수와 안매긴 함수의 정적분 값이

같아지는 [eqn: x= alpha]의 최솟값이 [eqn: -1] 이라는 말은

[eqn: f(x)`Graph``=` LEFT | f(x) RIGHT | Graph]   라는 것이므로

<예>

즉, [eqn: f(-1)=0 CDOTS ㉠]

함수 [eqn: p(x)] 에서 [eqn: p(x)]의 그래프가

[eqn: p(x)-p(-1)=a(x+1) ^{2} (x-1) ^{2}]   이고

[eqn: f(x)-x-f(-1)-1=a(x+1) ^{2} (x-1) ^{2}]

[eqn: THEREFORE f(x)=a(x+1) ^{2} (x-1) ^{2} +x+1]

[eqn: =a(x ^{2} -1) ^{2} +x+1 CDOTS ㉡]

조건 (다)에서 [eqn: f(x)-kx GEQ 0`]  에서 [eqn: f(x) GEQ kx]

기울기 [eqn: =k=f``'( sqrt {2} )]

[eqn: (0`,`0)] 과 [eqn: ( sqrt {2} `,`f( sqrt {2} )`)] 평균변화율 [eqn: =] [eqn: f`'( sqrt {2} )]

[eqn: {f( sqrt {2} )} over {sqrt {2}} =f`'`( sqrt {2} )]   [eqn: ,`` THEREFORE f( sqrt {2} )= sqrt {2} TIMES f``'( sqrt {2} ) CDOTS ㉢]

[eqn: ㉢] 에서 [eqn: f( sqrt {2} )=a+ sqrt {2} +1````] 이고

[eqn: sqrt {2} `f`'( sqrt {2} )=8a+ sqrt {2}]   이므로

[eqn: a+ sqrt {2} +1=8a+ sqrt {2} `]  에서 [eqn: 7a=1``,` THEREFORE a= {1} over {7} CDOTS ㉣]

즉, [eqn: f(x)= {1} over {7} (x ^{2} -1) ^{2} +x+1]   이므로

[eqn: f(6)= {1} over {7} TIMES 35 ^{2} +6+1=182]

2023년 7월 고3 전국연합학력평가

제 2 교시      수학 영역 (확통)

다항식 □□[eqn: {} ^{2}]□□□ 의 전개식에서 □[eqn: {} ^{8}]의 계수는?

[2점]

<확통>

③

계수찾기 일반항 [eqn: {} _{6} C _{r} ``2 ^{6-r} `x ^{2r} `]  에서

[eqn: x ^{8}]의 계수는 [eqn: r=4] 일 때, 이다.

따라서 [eqn: {} _{6} C _{4} ` TIMES 2 ^{6-4} =15 TIMES 4=60]

<물론> 계수찾기 일반항 [eqn: {} _{6} C _{r} ``2 ^{r} `x ^{12-2r} `]  에서

[eqn: x ^{8}]의 계수는 [eqn: r=2] 일 때, 이다.

① 30    ② 45   ③ 60   ④ 75   ⑤ 90

한 개의 주사위를 네 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 □, □, □, □라 하자. 네 수 □, □, □, □의 곱 □×□×□×□가 □□의 배수일 확률은? [3점]

따라서 [eqn: {} _{6} C _{2} ` TIMES 2 ^{2} =15 TIMES 4=60]  도 가능하다.

①

한 개의 주사위를 네 번 던질 때 나오는 네 눈의

수의 곱이 □□ 의 배수이려면 □ 의 배수의 눈이

세 번 또는 네 번 나와야 한다.

한 개의 주사위를 한 번 던질 때,

□ 의 배수의 눈이 나오는 확률은 [eqn: {1} over {3}]

한 개의 주사위를 네 번 던질 때, □ 의 배수의 눈이

나오는 횟수를 □ □□ □ □□ □□ □□ □□ □□라 하면

독립시행의 확률에서

[eqn: P(X=3)= _{4} C _{3} ` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{1} = {8} over {81}]

[eqn: P(X=4)= _{4} C _{4} ` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{0} = {1} over {81}]

따라서 [eqn: {8+1} over {81} = {1} over {9}]

① [eqn: {1} over {9}]    ② [eqn: {7} over {24}]   ③ [eqn: {5} over {27}]   ④ [eqn: {2} over {9}]    ⑤ [eqn: {7} over {27}]

이산확률변수 □ 의 확률분포를 표로 나타내면

[eqn: X]	1	2	3	합계
[eqn: P(X=x)]	[eqn: a]	[eqn: a+b]	[eqn: b]	1

다음과 같다.

E□□ [eqn: {} ^{2}]□□□□□일 때, □□□의 값은?

(단, □, □는 상수이다.) [3점]

②

주어진 확률분포에서 □□□□□□□□□ □ □

[eqn: a+b= {1} over {2} ` CDOTS ㉠]

[eqn: E(X ^{2} )=a+4(a+b)+9b=a+5]    에서

[eqn: 4a+13b=5 CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠`,`㉡]을 연립하면 [eqn: a= {1} over {6} `,`b= {1} over {3}] 이다.

따라서 [eqn: b-a= {1} over {6}]

① [eqn: {1} over {12}]    ② [eqn: {1} over {6}]   ③ [eqn: {1} over {4}]   ④ [eqn: {1} over {3}]    ⑤ [eqn: {5} over {12}]

주머니 A에는 흰 공 □개, 검은 공 □개가 들어 있고, 주머니 B 에는 흰 공 □개, 검은 공 □개가 들어 있다. 주머니 A에서 임의로 □개의 공을 꺼내어 주머니 B에 넣은 후 주머니 B 에서 임의로 □개의 공을 동시에 꺼낼 때, 주머니 B 에서 꺼낸 □개의 공 중에서 적어도 한 개가 흰 공일 확률은?

[3점]

④

주머니 A 에서 임의로 꺼낸 □ 개의 공이 흰 공인 사건을

□ , 주머니 B에서 임의로 꺼낸 □ 개의 공 중에서

적어도 한 개가 흰 공인 사건을 □ 라 하자

[eqn: P(X)= {1} over {3} `,`P(X ^{c} )= {2} over {3}]   이다.

(ⅰ) 주머니 A에서 임의로 꺼낸 공이 흰 공일 때

주머니 B에서 임의로 꺼낸 □ 개의 공 중에서 적어도

한 개가 흰 공일 확률은

[eqn: 1- {{} _{3} C _{3}} over {{} _{7} C _{3}} =1- {1} over {35} = {34} over {35}]

(ⅱ) 주머니 A에서 임의로 꺼낸 공이 검은 공일 때

주머니 B에서 임의로 꺼낸 □ 개의 공 중에서

적어도 한 개가 흰 공일 확률은

[eqn: 1- {{} _{4} C _{3}} over {{} _{7} C _{3}} =1- {4} over {35} = {31} over {35}]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: P(Y)=P(X SMALLINTER Y)+P(X ^{c} SMALLINTER Y)]

[eqn: =P(X)P(Y``□X)+P(X ^{c} )P(Y``□X ^{c} )]

[eqn: = {1} over {3} TIMES {34} over {35} + {2} over {3} TIMES {31} over {35} = {32} over {35}]

① [eqn: {6} over {7}]    ② [eqn: {92} over {105}]   ③ [eqn: {94} over {105}]   ④ [eqn: {32} over {35}]    ⑤ [eqn: {14} over {15}]

숫자 □, □, □, □, □, □, □가 하나씩 적힌 □장의 카드가 있다. 이 □장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 이웃하는 두 장의 카드에 적힌 수의 곱이 모두 □ 이하가 되도록 나열하는 경우의 수는? (단, 같은 숫자가 적힌 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.) [3점]

⑤

주어진 □ 장의 카드를 일렬로 나열할 때,

이웃하는 두 카드에 적힌 수의 곱이 모두 □ 이하가

되도록 나열하려면 □, □와 □, □ 는 각각 서로

이웃하지 않아야 한다.

(ⅰ) □□, □ □이 서로 이웃하지 않는 경우

□, □, □ 사이와 양 끝에 □ , □ , □ , □를

하나씩 넣는 경우의 수와 같으므로 [eqn: {4!} over {2!`2!} =6]

(ⅱ) □□, □ □이 서로 이웃하는 경우

□, □, □ 사이와 양 끝에 □ , □을 이웃하게 넣는

경우의 수는 [eqn: {} _{4} C _{1} =4] 가지

남은 자리에 □ , □ 를 하나씩 넣는

경우의 수는 [eqn: {} _{3} C _{2} =3]가지

그러므로 [eqn: 4 TIMES 3=12] 가지

따라서 [eqn: (ⅰ)`,`(ⅱ)] 에서 [eqn: 6+12=18]

① 14    ② 15   ③ 16   ④ 17   ⑤ 18

□부터 □까지의 자연수가 하나씩 적힌 □개의 공이 들어있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 공을 임의로 한 개씩 □번 꺼내어 □ □□ ≤ □ ≤ □□번째 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 □[eqn: {} _{n}]이라 하자. □[eqn: {} _{k}] ≤ □를 만족시키는 자연수 □ □□ ≤ □≤ □□의 최솟값이 □일 때, □[eqn: {} _{1}]□□[eqn: {} _{2}] □□[eqn: {} _{4}]□□[eqn: {} _{5}]일 확률은? (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.) [4점]

①

① [eqn: {4} over {19}]    ② [eqn: {5} over {19}]   ③ [eqn: {6} over {19}]   ④ [eqn: {7} over {19}]    ⑤ [eqn: {8} over {19}]

두 연속확률변수 □ 와 □ 가 갖는 값의 범위는 □ ≤□ ≤ □, □ ≤□ ≤ □이고, □ 와 □ 의 확률밀도함수는 각각 □□□□, □□□□이다. 확률변수 □ 의 확률밀도함수 □□□□의 그래프는 그림과 같다.

확률변수 □ 의 확률밀도함수 □□□□는 닫힌구간

□□□ □□에서 연속이고 □ ≤ □ ≤ □인 모든 실수 □에      대하여 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ (□는 상수)

를 만족시킨다. 두 확률변수 □ 와 □ 가 다음

(가) P□□ ≤□ ≤ □□□ P□□ ≤□ ≤ □□

(나) P□□ ≤□ ≤ □□□ P□□ ≤□ ≤ □□

조건을 만족시킨다.

P□□ ≤□ ≤ □□□□□□□[eqn: sqrt {2}] 일 때, □×□의 값을 구하     시오. (단, □, □는 자연수이다.) [4점]

[eqn: 1st] 과정

[eqn: a _{n} `:`n]번 꺼내어 [eqn: n]번째 꺼낸공에 적혀있는 수

[eqn: (1 LEQ n LEQ 5)]

[eqn: X`:`a _{k} LEQ k] 를 만족하는 [eqn: k]의 최솟값이 [eqn: 3]인 사건

[eqn: Y`:`a _{1} +a _{2} =a _{4} +a _{5}]

구하는 것은 [eqn: P(Y``□`X)] 이다.

사건 [eqn: X]에서 [eqn: k=1,`k=2] 일때는

[eqn: `a _{k} LEQ k] 를 만족하지 않으므로 [eqn: a _{1} >1`,`a _{2} >2] 이고

[eqn: k=3] 일때는 [eqn: `a _{k} LEQ k] 를 만족하므로 [eqn: a _{3} LEQ 3] 이다.

즉, [eqn: a _{1} >1`,`a _{2} >2`,`a _{3} LEQ 3 CDOTS ㉠]

[eqn: ㉠]에서 [eqn: a _{3} =1`,`a _{3} =2`,`a _{3} =3]  일때로 구분할 수 있다.

[eqn: a _{1}]	[eqn: a _{2}]	[eqn: a _{4}]	[eqn: a _{5}]	경우 의수
②	③,④,⑤ 3가지	남은 2개의 공 일렬배열 [eqn: 2!] 가지		6가지
③	④,⑤ 2가지	남은 2개의 공 일렬배열 [eqn: 2!] 가지		4가지
④	③,⑤ 2가지	남은 2개의 공 일렬배열 [eqn: 2!] 가지		4가지
⑤	③,④ 2가지	남은 2개의 공 일렬배열 [eqn: 2!] 가지		4가지

[eqn: (ⅰ)a _{3} =1] 일 때, (남은 공 ② ③ ④ ⑤ )

즉, 18가지

[eqn: (ⅱ)`a _{3} =2] 일 때, (남은 공 ① ③ ④ ⑤ )

[eqn: a _{1}]	[eqn: a _{2}]	[eqn: a _{4}]	[eqn: a _{5}]	경우 의수
③	④,⑤ 2가지	남은 2개의 공 일렬배열 [eqn: 2!] 가지		4가지
④	③,⑤ 2가지	남은 2개의 공 일렬배열 [eqn: 2!] 가지		4가지
⑤	③,④ 2가지	남은 2개의 공 일렬배열 [eqn: 2!] 가지		4가지

즉, 12가지

[eqn: (ⅲ)`a _{3} =3] 일 때, (남은 공 ① ② ④ ⑤ )

[eqn: a _{1}]	[eqn: a _{2}]	[eqn: a _{4}]	[eqn: a _{5}]	경우 의수
②	④,⑤ 2가지	남은 2개의 공 일렬배열 [eqn: 2!] 가지		4가지
④	⑤ 1가지	남은 2개의 공 일렬배열 [eqn: 2!] 가지		2가지
⑤	,④ 1가지	남은 2개의 공 일렬배열 [eqn: 2!] 가지		2가지

즉, 8가지

[eqn: (ⅰ) SIM (ⅲ)] 에서 [eqn: n(X)=18+12+8=38 CDOTS ㉡]

[eqn: 2nd] 과정

[eqn: Y`:`a _{1} +a _{2} =a _{4} +a _{5}]  에 대하여

[eqn: n(X SMALLINTER Y)] 구하기

[eqn: (ⅰ)a _{3} =1] 일 때 18가지 중에서 [eqn: `a _{1} +a _{2} =a _{4} +a _{5}]

순서쌍 [eqn: (a` _{1} ,`a _{2} ,`a _{4} ,`a _{5} )] 로 표현하면

[eqn: (②`,⑤,③,④),]   [eqn: (②`,⑤,④,③),]

[eqn: (③`,④,②,⑤),]   [eqn: (③,④,⑤,②),]

[eqn: (④`,③,②,⑤),]   [eqn: (④`,③,⑤,②),]

이렇게 6가지

[eqn: (ⅱ)`a _{3} =2] 일 때 12가지 중에서 [eqn: `a _{1} +a _{2} =a _{4} +a _{5}]

[eqn: `a _{1} +a _{2} != a _{4} +a _{5}]  이므로 0가지

[eqn: (ⅲ)`a _{3} =3] 일 때, 8가지 중에서 [eqn: `a _{1} +a _{2} =a _{4} +a _{5}]

순서쌍 [eqn: (a` _{1} ,`a _{2} ,`a _{4} ,`a _{5} )] 로 표현하면

[eqn: (②`,④,①,⑤),]  [eqn: (②`,④,⑤,①),]

이렇게 2가지

[eqn: (ⅰ) SIM (ⅲ)] 에서 [eqn: n(X SMALLINTER Y)=6+2=8 CDOTS ㉢]

따라서 [eqn: P(Y``□`X)= {n(X SMALLINTER Y)} over {n(X)} = {8} over {38} = {4} over {19}]

24

[eqn: LEFT { g(x)-f(x) RIGHT } LEFT { g(x)-a RIGHT } =0]   에서

[eqn: g(x)=f(x)`] 또는 [eqn: g(x)=a] 이다.

조건 (가), (나)에서 확률밀도함수 [eqn: y=g(x)] 의 그래프는

아래와 같다.

[eqn: P(0 LEQ Y LEQ 4)=1]  이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES 2a TIMES a+(4-4a) TIMES a+ {1} over {2} TIMES 2a TIMES a=1]

[eqn: 2a ^{2} -4a+1=0`]  에서 [eqn: a= {2± sqrt {2}} over {2}]

[eqn: 0<a< {1} over {2} `] 이므로 [eqn: a= {2- sqrt {2}} over {2} `,``1<5a<2]

[eqn: P(0 LEQ Y LEQ 5a)]

[eqn: =P(0 LEQ Y LEQ 2a)+P(2a LEQ Y LEQ 5a)]

[eqn: = {1} over {2} TIMES 2a TIMES a+3a TIMES a=4a ^{2}]

[eqn: =4 TIMES LEFT ( {2- sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ^{2} =6-4 sqrt {2}]

따라서 [eqn: p=6`,`q=4]  이므로 [eqn: pq=24]

(가) □□□□□□□□□□□

(나) □ 이하의 모든 자연수 □ 에 대하여

□□□□≤ □□□□□□이다.

(다) [eqn: {1} over {3}]□□□□□□□□□□□과 [eqn: {1} over {3} sum _{k=1} ^{4}]□□□□□□□의 값은

모두 자연수이다.

집합 □ □□□□ □□ □□ □□ □□ □□ □□에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 □ □□ →□ 의 개수를 구하시오. [4점]

150

조건 (가)에서  순서쌍 [eqn: LEFT { f(7),`f(1) RIGHT }] 로 표현하면

[eqn: (7,`4)`,`(6,`3),`(5`,`2),`(4`,1)]   이렇게 4가지 상황 생긴다.

조건(나)에서 [eqn: {cases{f(1) LEQ f(3) LEQ f(5) LEQ f(7)&#f(2) LEQ f(4) LEQ f(6)&}}]

조건(다)에서 [eqn: {cases{LEFT | f(2)-f(1) RIGHT | ='3'``또는``'6'&#f(1)+f(3)+f(5)+f(7)=3의`배수&}}]

[eqn: (ⅰ)`(7`,4)] 인 경우 [eqn: f(7)+f(1)=11]  이다.

[eqn: 4 LEQ f(3) LEQ f(5) LEQ 7]  이므로 [eqn: 8 LEQ f(3)+f(5) LEQ 14]

[eqn: f(3)+f(5)=13`]  또는 [eqn: f(3)+f(5)=10`]

순서쌍 [eqn: LEFT { f(3),`f(5) RIGHT }] 에서

[eqn: (4`,`6)`,`(5,`5),(6`,7)]  이렇게 3가지[eqn: CDOTS (□)]

[eqn: LEFT | f(2)-f(1) RIGHT | =3`] 에서

[eqn: f(2)=7] 또는 [eqn: f(2)=1]  이렇게 2가지이다.

[eqn: f(2) LEQ f(4) LEQ f(6)]  를 만족해야 하므로

[eqn: f(2)=1] 일 때, [eqn: 1 LEQ f(4) LEQ f(6)`] 에서

[eqn: {} _{7} H _{2} = _{8} C _{2} =28] 가지

[eqn: f(2)=7] 일 때, [eqn: 7 LEQ f(4) LEQ f(6)`] 에서 1가지

[eqn: 28+1=29] 가지[eqn: CDOTS □]

즉,   [eqn: □,□] 에서 [eqn: 3 TIMES 29=87] 가지[eqn: CDOTS ㉠]

[eqn: (ⅱ)`(6`,`3)] 인 경우 [eqn: f(7)+f(1)=9]  이다.

[eqn: 3 LEQ f(3) LEQ f(5) LEQ 6]  이므로 [eqn: 6LEQ f(3)+f(5) LEQ 12]

[eqn: f(3)+f(5)=12`]  또는 [eqn: f(3)+f(5)=9`]  또는

[eqn: f(3)+f(5)=6]

순서쌍 [eqn: LEFT { f(3),`f(5) RIGHT }] 에서

[eqn: (3`,3)`,`(3,`6),(4`,5),`(6`,6)]   이렇게 4가지[eqn: CDOTS (□)]

[eqn: LEFT | f(2)-f(1) RIGHT | =3`] 에서 [eqn: f(2)=6]  이다.

[eqn: f(2) LEQ f(4) LEQ f(6)]  를 만족해야 하므로

[eqn: f(2)=6]  이므로 , [eqn: 6 LEQ f(4) LEQ f(6)`] 에서

[eqn: {} _{2} H _{2} = _{3} C _{2} =3] 가지[eqn: CDOTS □]

즉,   [eqn: □,□] 에서 [eqn: 4 TIMES 3=12] 가지[eqn: CDOTS ㉡]

[eqn: (ⅲ)`(5`,`2)] 인 경우 [eqn: f(7)+f(1)=7]  이다.

[eqn: 2 LEQ f(3) LEQ f(5) LEQ 5]  이므로 [eqn: 4LEQ f(3)+f(5) LEQ 10]

[eqn: f(3)+f(5)=8`]  또는 [eqn: f(3)+f(5)=5`]

순서쌍 [eqn: LEFT { f(3),`f(5) RIGHT }] 에서

[eqn: (2`,3)`,`(3,`5),(4`,4)]   이렇게 3가지[eqn: CDOTS (□)]

[eqn: LEFT | f(2)-f(1) RIGHT | =3`] 에서 [eqn: f(2)=5]  이다.

[eqn: f(2) LEQ f(4) LEQ f(6)]  를 만족해야 하므로

[eqn: f(2)=5]  이므로 , [eqn: 5 LEQ f(4) LEQ f(6)`] 에서

[eqn: {} _{3} H _{2} = _{4} C _{2} =6] 가지[eqn: CDOTS □]

즉,   [eqn: □,□] 에서 [eqn: 3 TIMES 6=18] 가지[eqn: CDOTS ㉢]

[eqn: (ⅳ)`(4`,`1)] 인 경우 [eqn: f(7)+f(1)=5]  이다.

[eqn: 1 LEQ f(3) LEQ f(5) LEQ 4]  이므로 [eqn: 2LEQ f(3)+f(5) LEQ 8]

[eqn: f(3)+f(5)=7`]  또는 [eqn: f(3)+f(5)=4`]

순서쌍 [eqn: LEFT { f(3),`f(5) RIGHT }] 에서

[eqn: (1,`3)`,`(2,`2),(3`,4)]  이렇게 3가지[eqn: CDOTS (□)]

[eqn: LEFT | f(2)-f(1) RIGHT | =3`]  에서 [eqn: f(2)=4]

[eqn: LEFT | f(2)-f(1) RIGHT | =6`]  에서 [eqn: f(2)=7]

[eqn: f(2) LEQ f(4) LEQ f(6)]  를 만족해야 하므로

[eqn: f(2)=4] 일 때, [eqn: 4 LEQ f(4) LEQ f(6)`] 에서

[eqn: {} _{4} H _{2} = _{5} C _{2} =10] 가지

[eqn: f(2)=7] 일 때, [eqn: 7 LEQ f(4) LEQ f(6)`] 에서 1가지

[eqn: 10+1=11] 가지[eqn: CDOTS □]

즉,   [eqn: □,□] 에서 [eqn: 3 TIMES 11=33] 가지[eqn: CDOTS ㉣]

따라서 [eqn: ㉠+㉡+㉢+㉣]  에서

[eqn: 87+12+18+33=150]   가지

2023년 7월 확통