5지선다형

2022학년도 수학능력시험 수학(공통 + 미적분) 21/11/18시행	DC-Math

DC mathematics                    010-7506-3542

1. [eqn: left ( 2 ^sqrt3 times 4 right)^{sqrt3 -2 }]의 값은?[2점]

➁

[eqn: 2^{(sqrt3 + 2)(sqrt3 -2 ) } = 2^-1 = 1over2]

➀ [eqn: 1over4]         ➁ [eqn: 1over2]         ➂ [eqn: 1]         ➃ [eqn: 2]         ➄ [eqn: 4]

2. 함수 [eqn: f(x) = x^3 + 3x^2 +x -1]에 대하여 [eqn: f`'(1)]의 값은?[2점]

➄

[eqn: f`' (x) = 3x^2 +6x +1], [eqn: f`'(1) = 3+6+1 =10]

➀ [eqn: 6]         ➁ [eqn: 7]         ➂ [eqn: 8]         ➃ [eqn: 9]         ➄ [eqn: 10]

3. 등차수열 [eqn: left { a_n right}]에 대하여 [eqn: a_2 = 6], [eqn: a_4 + a_6 =36]일 때, [eqn: a_10]의 값은?[3점]

➄

수열의 공차를 [eqn: d]라 할 때,

[eqn: a_2 = a_1 + d =6],

[eqn: a_4 = a_1 + 3d , ```a_6 = a_1 +5d], [eqn: a_4 + a_6 = 2a_1 + 8d = 36]

[eqn: cases { ``` a_1 + d = 6#``` a_1 +4d =18]을 연립하면, [eqn: d=4 ,``` a_1 =2]

[eqn: therefore ``` a_10 = a_1 +9d = 2+ 36 =38]

➀ [eqn: 30]        ➁ [eqn: 32]        ➂ [eqn: 34]        ➃ [eqn: 36]        ➄ [eqn: 38]

4. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{ x` rarrow`-1-} { f(x)} `+` lim _{ x` rarrow`2} { f(x)}]의 값은?[3점]

➃

주어진 그래프에서 [eqn: lim _{ x` rarrow`-1-} { f(x)}= 3 ,```` lim _{ x`rarrow` 2 } { f(x) } = 1]이므로

[eqn: lim _{ x` rarrow`-1-} { f(x)} `+` lim _{ x` rarrow`2} { f(x)}=4]

➀ [eqn: 1]          ➁ [eqn: 2]          ➂ [eqn: 3]          ➃ [eqn: 4]          ➄ [eqn: 5]

5. 첫째항이 [eqn: 1]인 수열 [eqn: left{a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n+1 = cases { `````` 2a_n &```(a_n <7)#``` a_n -7&```(a_n ge 7)]일 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{ 8}a_k]의 값은?[3점]

➀

[eqn: a_2 = 2a_1 =2], [eqn: a_3 = 2a_2 =4], [eqn: a_4 = 2a_3 =8]

[eqn: a_5 = a_4 -7= 1], [eqn: a_6 =2a_5 = 2], [eqn: a_7 = 2a_6 = 4], [eqn: a_8 = 2a_7 = 8]

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 8}a_k= 1+2+4+8+1+2+4+8 =30]

➀ [eqn: 30]        ➁ [eqn: 32]        ➂ [eqn: 34]        ➃ [eqn: 36]        ➄ [eqn: 38]

6. 방정식 [eqn: 2x^3 -3x^2 -12x +k=0]이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는?[3점]

➂

주어진 방정식의 실근개수는

[eqn: y= -2x^3 +3x^2 +12x]와 [eqn: y= k]의 교점개수와 같다.

[eqn: y`' = -6x^2 +6x +12 = -6(x-2)(x+1)]이므로

[eqn: x=-1]에서 극솟값 [eqn: -7], [eqn: x=2]에서 극댓값 [eqn: 20]을 갖는다.

그래프를 그리면 위의 그림과 같다.

주어진 방정식이 세 실근을 가지기 위해 [eqn: -7 < k <20]임을 알 수 있다.

[eqn: k = -6 ,```-5 ,```cdots ,``` 19]이므로 [eqn: 26]개

➀ [eqn: 20]        ➁ [eqn: 23]        ➂ [eqn: 26]        ➃ [eqn: 29]        ➄ [eqn: 32]

7. [eqn: pi < theta < 3over2 pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: tan theta - 6 over tantheta =1]일 때, [eqn: sintheta + cos theta]의 값은?[3점]

➀

[eqn: tan theta - 6 over tantheta = {tan^2 theta -6 } overtantheta = 1]에서 [eqn: tan^2 theta -6= tantheta]

[eqn: tantheta = x]로 치환하면, [eqn: pi < theta < 3over2 pi]이므로 [eqn: x >0]이고,

[eqn: x^2 -x -6 =0], [eqn: (x-3)(x+2)=0]에서 [eqn: x=3],

[eqn: tantheta = 3]이고, [eqn: theta]의 동경이 [eqn: 3]사분면에 있으므로

[eqn: sintheta = - 3 over sqrt10 ,```cos theta = - 1 over sqrt10]

[eqn: sintheta + cos theta = - 4over sqrt10 = - {4sqrt10 }over10 = - {2sqrt10} over5]

➀ [eqn: - {2sqrt10}over5]    ➁ [eqn: - {sqrt10}over5]    ➂ [eqn: 0]    ➃ [eqn: {sqrt10}over5]    ➄ [eqn: {2sqrt10}over5]

8. 곡선 [eqn: y= x^2 -5x]와 직선 [eqn: y=x]로 둘러싸인 부분의 넓이를 직선 [eqn: x=k]가 이등분할 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

➀

두 함수의 넓이를 구하는 과정에서 [eqn: f(x)-g(x) = x^2 -6x]이므로

[eqn: y]축에 수직인 직선으로 이등분 할 때, 이차함수는 대칭함수이므로 [eqn: k=3]임을 알 수 있어야 한다.

두 함수의 교점은 [eqn: x^2 -5x =x]의 실근이므로

[eqn: x^2 -6x = x(x-6)=0]에서 [eqn: x=0 ,``` x=6]

두 함수로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: {|`1`|}over6 (6-0)^3 = 36]

[eqn: x=k]로 이등분 되는 넓이는

[eqn: int_0^k left { x -(x^2 -5x ) right} dx = int _{ 0} ^{ k} { (-x^2 +6x )dx } = left [ - 1over3 x^3 +3x^2 right ]_0^k]

[eqn: = - 1over3 k^3 +3k^2 = 18]

[eqn: k^3 -9k^2 +54=0]

방정식을 풀면

	[eqn: 1]	[eqn: -9]	[eqn: 0]	[eqn: 54]
[eqn: 3]		[eqn: 3]	[eqn: -18]	[eqn: -54]
	[eqn: 1]	[eqn: -6]	[eqn: -18]	[eqn: 0]

[eqn: (k-3)(k^2 -6k -18)=0]에서 [eqn: k=3 ,``` 3+-3sqrt3]

얻어진 값 중에서 열린구간[eqn: (`0,```6`)]에 포함되는 값은 [eqn: 3]

[eqn: therefore ```k=3]

➀ [eqn: 3]        ➁ [eqn: 13 over4]        ➂ [eqn: 7 over2]        ➃ [eqn: 15 over4]        ➄ [eqn: 4]

9. 직선 [eqn: y=2x+k]가 두 함수

[eqn: y= left ( 2over3 right)^{x+3 } +1], [eqn: y= left ( 2over3 right)^{x+1} + 8over3]의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP,```Q]라 하자. [eqn: rmbarPQ = sqrt5]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?[4점]

➃

점[eqn: rmP,```Q]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha ,```beta]라 할 때,

[eqn: rmP( alpha ,```2alpha + it k )], [eqn: rmQ( ` beta ,```2beta + it k ` )]

[eqn: rmbar PQ = sqrt {(alpha -beta )^2 + (2alpha - 2beta )^2 } = (beta -alpha ) sqrt5 = sqrt 5], [eqn: beta - alpha =1]

점[eqn: rmP,```Q]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha ,```beta]라 할 때,

[eqn: left ( 2over3 right )^{alpha +3 } + 1= 2alpha + k], [eqn: left ( 2over3 right)^{beta +1 } + 8over3 = 2beta +k]

두식을 같은 변끼리 빼주면

[eqn: left ( 2over3 right)^{alpha +3 } - left ( 2over3 right)^{beta +1 } - 5over3 = 2alpha - 2beta]이고, [eqn: beta - alpha =1]이므로

[eqn: left ( 2over3 right)^{alpha +3 } - left ( 2over3 right)^{beta +1}= -2 + 5over3 = - 1over3]

얻어진 식에 [eqn: beta = alpha +1]을 대입하면

[eqn: left ( 2over3 right)^{alpha +3 } - left ( 2over3 right)^{alpha+ 2 }= - 1over3]

[eqn: left ( 2over3 right)^{alpha +3 } - left ( 2over3 right)^{alpha+ 2 }= 2over3 left ( 2over3 right)^{alpha+ 2 } - left ( 2over3 right)^{alpha+ 2 } = - 1over3 left ( 2over3 right)^{alpha+ 2 }= - 1over3]

[eqn: left ( 2over3 right)^{alpha+ 2 }= 1]에서 [eqn: alpha=-2], [eqn: beta =-1]

[eqn: left ( 2over3 right)^{beta +1 } + 8over3 = 2beta +k]에 [eqn: alpha=-2], [eqn: beta =-1]을 대입하면

[eqn: 1+ 8 over3 = -2 + k]에서 [eqn: k = 2+1+ 8over3 = 17 over3]

➀ [eqn: 31 over6]       ➁ [eqn: 16 over3]       ➂ [eqn: 11 over2]       ➃ [eqn: 17 over3]       ➄ [eqn: 35 over6]

10. 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y= f(x)] 위의 점 [eqn: (` 0,```0`)]에서의 접선과 곡선 [eqn: y=xf(x)] 위의 점 [eqn: (` 1,```2`)]에서의 접선이 일치할 때, [eqn: f`'(2)]의 값은?[4점]

➄

곡선 [eqn: y= f(x)] 위의 점 [eqn: (` 0,```0`)]에서의 접선은 [eqn: y=f`'(0) x]

곡선 [eqn: y=xf(x)] 위의 점 [eqn: (` 1,```2`)]에서의 접선은

[eqn: left { xf(x) right}`' = f(x) + xf`'(x)]

[eqn: y= left { f(1) + f`'(1) right }(x-1 ) + f(1)]에서 [eqn: f(1) =2]이므로

[eqn: y = (2+ f`'(1) )x -2-f`'(1) +2 = left { 2 + f`'(1) right } x - f`'(1)]

구해진 두 접선이 서로 같으므로

기울기가 서로 같으므로 [eqn: f`'(0) = 2+f`'(1)],

[eqn: y]절편이 서로 같으므로 [eqn: f`'(1) = 0]

[eqn: therefore ``` f`'(0) =2 ,```f`'(1) = 0]

주어진 조건에서 [eqn: f(0) = 0], [eqn: f(1)=2]

[eqn: f`'(1)=0 ,```f(1)=2]에서 [eqn: f(x) -2 = m (x-1)^2 (x-alpha)]라 할 때,

[eqn: f(0) = 0]에서 [eqn: -2 = - m alpha], [eqn: m alpha =2]

[eqn: f`'(x)= 2m(x-1)(x-alpha) +m(x-1)^2]에서

[eqn: f`'(0)=2]이므로 [eqn: f`'(0) = 2m alpha +m =2], [eqn: m alpha =2]이므로 [eqn: 4+m=2]

[eqn: m=-2], [eqn: alpha = -1]

[eqn: f(x) = -2(x-1)^2 (x+1)]

[eqn: f`'(x)= -4(x-1)(x+1)-2(x-1)^2]

[eqn: therefore ```f`'(2) = -4 times 1 times 3 -2 times 1 = -12 -2 =-14]

➀ [eqn: -18]      ➁ [eqn: -17]      ➂ [eqn: -16]      ➃ [eqn: -15]      ➄ [eqn: -14]

11. 양수 [eqn: a]에 대하여 집합 [eqn: left { ``x `` left | `` - a over2 <x le a ,``` x ne a over 2 right }]에서 정의된 함수 [eqn: f(x) = { tan pix over a }]가 있다. 그림과 같이 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프 위의 세 점 [eqn: rmO,```A,```B]를 지나는 직선이 있다. 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmC]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABC]가 정삼각형일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는?(단, [eqn: rmO]는 원점이다.)[4점]

➂

[eqn: f(x) = { tan pix over a }]의 주기가 [eqn: pi over {pi overa } = a]이므로 [eqn: rm barAC = it a]

그림의 삼각형이 정삼각형이므로 [eqn: rm angle BAC = pi over3]이고 직선의 방정식은 [eqn: y= sqrt3 x]

[eqn: rm barOB = it a over2]이므로 점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: left ( a over4 ,``` a over4 sqrt3 right)]

[eqn: f(x)= tan pix overa]에 대입하면, [eqn: tan pi over4 = 1 = a over4 sqrt3]

[eqn: therefore ``` a= 4over {sqrt3 }]

정삼각형의 넓이는 [eqn: sqrt3 over4 a^2 = sqrt3 over4 times 16 over 3 = { 4sqrt3 } over3]

➀ [eqn: {3sqrt3 }over2]                  ➁ [eqn: {17sqrt3 }over12]                ➂ [eqn: {4sqrt3 }over3]  ➃ [eqn: {5sqrt3 }over4]                   ➄ [eqn: {7sqrt3 }over6]

12. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: left { f(x) right }^3 - left { f(x) right }^2 -x^2 f(x) +x^2 =0]을 만족시킨다. 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값이 [eqn: 1]이고 최솟값이 [eqn: 0]일 때, [eqn: f left ( - 4 over3 right ) + f(0) + f left ( 1over2 right )]의 값은?[4점]

➂

주어진 조건에서 [eqn: 0 le f(x) le 1]

[eqn: f ( x ) =t]라 할 때,

[eqn: t^3 -t^2 - x^2 t + x^2 =t^2 (t-1) -x^2 (t-1) = (t-1)(t^2 -x^2 )],

[eqn: =(t-x)(t+x)(t-1)= 0], [eqn: f(x)= +-x it `` or `` 1]

[eqn: y=x ,```y=-x ,```y=1]의 그래프를 그려보면 아래 그림과 같다.

위의 그림에서 [eqn: y=1 ,]과 [eqn: y= +-x]가 일정 구간에서 [eqn: f(x)]가 되어

최대, 최소는 [eqn: 1 ,```0]을 만족하고, 연속인 함수가 되어야 한다.

그러므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 아래의 그림과 같다.

[eqn: therefore] [eqn: f left ( - 4over3 right) =1], [eqn: f(0) =0], [eqn: f left ( 1over2 right) = 1over2]

[eqn: therefore] [eqn: f left ( - 4 over3 right ) + f(0) + f left ( 1over2 right ) = 1+0+ 1over2 = 3over2]

➀ [eqn: 1 over2]         ➁ [eqn: 1]         ➂ [eqn: 3 over2]         ➃ [eqn: 2]         ➄ [eqn: 5 over2]

13. 두 상수 [eqn: a,```b ``( 1 <a <b )]에 대하여 좌표평면 위의

두 점 [eqn: ( ` a , ``` log_2 a ) ,```(` b ,``` log_2 b `)]를 지나는 직선의 [eqn: y]절편과

두 점 [eqn: ( ` a , ``` log_4 a ) ,```(` b ,``` log_4 b `)]를 지나는 직선의 [eqn: y]절편이 같다.

함수 [eqn: f(x) =a^bx +b^ax]에 대하여 [eqn: f(1) =40]일 때, [eqn: f(2)]의 값은?[4점]

➁

주어진 두 직선의 방정식은 아래와 같다.

[eqn: y= {log_2 b - log_2 a } over b-a (x-a ) + log_2 a]

[eqn: y= {log_4 b - log_4 a } over b-a (x-a ) + log_4 a]

두 직선의 [eqn: y]절편이 같으므로

[eqn: - a over {b-a } `left ( log_2 b overa right ) + log_2 a = - a over {b-a } `left ( log_4 b overa right ) + log_4 a]

얻어진 조건식을 간단히 해보자.

[eqn: a over b-a left ( log_4 b overa -log_2 b over a right ) = log_4 a - log_2 a]

[eqn: a over b-a left ( 1over2 ` log_2 b over a - log_2 b over a right) = 1over2` log_2 a - log_2 a]

[eqn: a over b-a times left( - 1over 2 ` log_ 2 b over a right ) = - 1over 2 ` log_2 a]

[eqn: a log_2 b - a log_2 a = (b-a) log_2 a], [eqn: a` log_2 b = b ` log_2 a], [eqn: a` log b = b ` log a]

[eqn: log a^b = log b^a], [eqn: a^b = b^a] [eqn: cdots ``` ㉠]

[eqn: f(1) = a^b + b^a = 40 ``` cdots ``` ㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: a^b = b^a = 20],

[eqn: f(2) = a^2b + b^2a = (a^b )^2 + (b^a )^2 = 20^2 + 20^2 = 800]

➀ [eqn: 760]       ➁ [eqn: 800]       ➂ [eqn: 840]       ➃ [eqn: 880]       ➄ [eqn: 920]

14. 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x(t)]가 두 상수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: x(t) = t (t-1) (at+b) `` (a ne 0 )]이다. 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 속도 [eqn: v(t)]가 [eqn: int _0^1 |`v(t)`| dt =2]를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?[4점]

➂

ㄱ. 참

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { v(t)} dt = x(1) -x(0) = 0]

ㄴ. 거짓

[eqn: int _0^1 |`v(t)`| dt =2]이므로 구간[eqn: (0 ,```1`)]에서 [eqn: v(t)]가 음수인 구간과 양수인 구간이 반드시 존재한다.

이 때, 극댓값을 [eqn: alpha], 극솟값을 [eqn: - beta]라 할 때, [eqn: y=x(t)]의 그래프를 그려보면 아래의 그림과 같다.

[eqn: int _0^1 |`v(t)`| dt]는 [eqn: t]가 움직인 거리이므로 위치가 [eqn: 0]에서 [eqn: alpha]가 되고 그 후에 [eqn: -beta]가 된 후 다시 [eqn: 0]이 되었으므로

[eqn: int _0^1 |`v(t)`| dt = alpha + alpha+beta + beta = 2alpha +2beta =2]

[eqn: alpha +beta =1]그러므로 [eqn: alpha <1], [eqn: -beta < -1],

[eqn: therefore] [eqn: left |`x(t_1 ) ` right | le 1]

ㄷ. 참

ㄴ의 결과에서 [eqn: alpha le 1]이므로 [eqn: beta = 1- alpha ge 0]

[eqn: x(t)]의 극솟값은 [eqn: -beta]이므로 음수가 된다.

열린구간 [eqn: (` 0 ,```1`)]에서 (극댓값)[eqn: times](극솟값)[eqn: <0]이므로 극대점과 극소점 사이에 [eqn: x(t_2 )=0]을 만족하는 [eqn: t_2]가 존재한다.

ㄱ. [eqn: int _{ 0} ^{1 } { v(t)} dt =0]

ㄴ. [eqn: left | ` x left (t_1 right)` right| >1]인 [eqn: t_1]이 열린구간 [eqn: (` 0 ,```1`)]에 존재한다.

ㄷ. [eqn: 0 le t le 1]인 모든 [eqn: t]에 대하여 [eqn: |`x(t)`| <1]이면 [eqn: x left (t_2 right ) =0]인

[eqn: t_2]가 열린구간 [eqn: (` 0 ,```1`)]에 존재한다.

➀ ㄱ	➁ ㄱ, ㄴ	➂ ㄱ, ㄷ

➃ ㄴ, ㄷ	➄ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 두 점 [eqn: rmO_1 ,```O_2]를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: rmbar{O_1 O_2 }]인 두원 [eqn: C_1 ,``` C_2]가 있다. 그림과 같이 원 [eqn: C_1] 위의 서로 다른 세 점 [eqn: rmA,```B,````C]와 원 [eqn: C_2] 위의 점 [eqn: rmD]가 주어져 있고, 세 점 [eqn: rmA ,```O_1 ,```O_2]와 세 점 [eqn: rmC,```O_2 ,```D]가 각각 한 직선 위에 있다. 이 때 [eqn: rm angle BO_1 A = theta _1], [eqn: rm angle O_2 O_1 C = theta _2], [eqn: rm angle O_1 O_2 D = theta _3]이라 하자.

다음은 [eqn: rm barAB ` :` bar {O_1 D} `=` 1 :` 2sqrt2]이고 [eqn: theta _3 = theta _1 + theta _2]일 때, 선분 [eqn: rmAB]와 선분 [eqn: rmCD]의 길이의 비를 구하는 과정이다.

[eqn: rm angle CO_2 O_1 + angle O_1 O_2 D = pi]이므로 [eqn: theta _3 = pi over 2 + theta_2 over2]이고

[eqn: theta_3 = theta_1 + theta_2]에서 [eqn: 2theta_1 + theta_2 = pi]이므로 [eqn: rmangle CO_1 B = theta_1]이다.

이때, [eqn: rm angle O_2 O_1 B = theta _1 +theta _2 = theta_3]이므로 삼각형 [eqn: rmO_1 O_2 B]와 삼각형 [eqn: rmO_2 O_1 D]는 합동이다.

[eqn: rmbarAB = it k]라 할 때,

[eqn: rm barBO_2 = bar{O_1 D } = 2sqrt2 it k]이므로 [eqn: rm bar{AO_2 } = box {``````````(가)````````````}]이고

[eqn: rm angle BO_2 A = theta_1 over2]이므로 [eqn: cos theta_1 over 2 = box {``````````(나)``````````}]이다.

삼각형 [eqn: rmO_2 BC]에서

[eqn: rmbarBC = it k ,```rm bar {BO_2}= 2sqrt2 it k , ``` rm angle CO_2 B = theta_1 over2]이므로

코사인법칙에 의하여 [eqn: rmbar{O_2 C}= box {``````````(다)````````````}]이다.

[eqn: rmbarCD = bar{O_2 D} + bar{O_2 C} = bar{O_1 O_2 } + bar{O_2 C}]이므로

[eqn: rmbarAB ` :` barCD = it k `:` left ( { box {``````````(가)````````````}}over2 + box {``````````(다)````````````} right )]이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k), ```g(k)]라 하고, (나)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때, [eqn: f(p) times g(p)]의 값은?[4점]

➁

삼각형 [eqn: rmABO_2]에서 [eqn: rm barAO_2]는 원 [eqn: C_1]의 지름이고 점 [eqn: rmB]는 그 원 위의 한 점이므로 삼각형 [eqn: rmABO_2]는 [eqn: rm angleABO_2 = 90DEG]인 직각삼각형이다. 피타고라스정리에 따라

[eqn: rm bar{AB}`^2 + bar{BO_2}`^2 = bar{AO_2}`^2]이므로 [eqn: k^2 + (2sqrt2 k )^2 = 9k^2], [eqn: rm bar {AO_2 } = it 3k]

직각삼각형 [eqn: rmABO_2]에서 [eqn: rm cos angle BO_2 A = {barBO_2 } over {barAO_2 } = it {2sqrt2 k } over 3k = {2sqrt2 } over3]

[eqn: rm barCO_2 = it x]라 할 때, 코사인 법칙에 따라

[eqn: rm barBC`^2 = barBO_2 `^2 + barCO_2`^2 - 2 times barBO_2 `^2 times barCO_2 `^2 times cos angle CO_2 B]

[eqn: k^2 = 8k^2 + x^2 - 4sqrt2 kx times cos theta_1 over2], [eqn: k^2 = 8k^2 +x^2 - 4sqrt2 k x times {2sqrt2 } over3]

[eqn: x^2 - 16 over3 kx +7k^2 =0], [eqn: 3x^2 - 16kx + 21 k^2 = 0]

[eqn: 3x^2 - 16kx + 21 k^2 = 0(3x -7k)(x-3k)=0]

[eqn: x = rm bar{CO_2 } = it 7 over3 k] 또는 [eqn: x = rm bar{CO_2 } = it 3k]

[eqn: rm barCO_2 ne barAO_2 = it 3 k]이므로 [eqn: rm bar{CO_2 } = it 7 over3 k]

[eqn: therefore] [eqn: f(k) = 3k], [eqn: g(k) = 7 over3 k], [eqn: p = {2sqrt2 }over3]

[eqn: therefore] [eqn: f left ( {2sqrt2 }over3 right ) times g left ( {2sqrt2 }over3 right ) = 3 times {2sqrt2 }over3 times 7 over3 times {2sqrt2 }over3 = 56 over9]

➀ [eqn: 169 over27]      ➁ [eqn: 56 over9]      ➂ [eqn: 167 over27]      ➃ [eqn: 166 over27]      ➄ [eqn: 55 over9]

단답형

16. [eqn: log_2 120 - 1over {log_15 2 }]의 값을 구하시오.[3점]

[eqn: 3]

[eqn: log_2 120 - 1over {log_15 2 }= log_2 120 - log_2 15 = log_2 {120 over15 = log_2 8 =3 }]

17. 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'(x) =3x^2 +2x]이고 [eqn: f(0) =2]일 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 4]

[eqn: f(x) = int _{ } ^{ } { f`'(x) dx } = int (3x^2 +2x) dx = x^3 +x^2 +C]

[eqn: f(0) = C =2]이므로 [eqn: f(1) = 1+1+C= 4]

18. 수열 [eqn: left { a_n right }]에 대하여 [eqn: sum _{ k=1} ^{ 10 } a_k - sum _{ k=1 } ^{ 7} a_k over2 =56], [eqn: sum _{ k=1} ^{ 10}2a_k - sum _{ k=1} ^{ 8}a_k = 100]일 때, [eqn: a_8]의 값을 구하시오.[3점]

[eqn: 12]

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 10 } a_k - sum _{ k=1 } ^{ 7} a_k over2 =56]의 양변에 [eqn: 2]를 곱하면 [eqn: sum _{ k=1} ^{ 10}2a_k - sum _{ k=1} ^{ 7}a_k = 112]

[eqn: sum _{ k=1 } ^{ 7} a_k = sum _{ k=1 } ^{ 8 } a_k - a_8]이므로

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 10}2a_k - sum _{ k=1} ^{ 7}a_k =sum _{ k=1} ^{ 10}2a_k - left ( sum _{ k=1 } ^{ 8 } a_k - a_8 right ) = 112]

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 10}2a_k - sum _{ k=1} ^{ 8}a_k + a_8 = 112], [eqn: 100 + a_8 =112]이므로 [eqn: a_8 =12]

19. 함수 [eqn: f(x)= x^3 +ax^2 - (a^2 -8a )x +3]이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값을 구하시오.[3점]

[eqn: 6]

[eqn: f`'(x)= 3x^2 +2ax -a^2 +8a]

실수 전체에서 [eqn: 3x^2 +2ax - a^2 +8a ge 0]을 만족해야 하므로

[eqn: f`'(x)]의 판별식 [eqn: D/4 = a^2 -3(-a^2 +8a) le 0]

[eqn: 4a^2 -24a = 4a (a-6) le 0], [eqn: therefore ``` 0 le a le 6]

[eqn: therefore] [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 6]

20. 실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 닫힌구간 [eqn: [` 0 ,```1]]에서 [eqn: f(x)=x]이다.

(나) 어떤 상수 [eqn: a,```b]에 대하여 구간 [eqn: [` 0 ,```inf `)]에서

[eqn: f(x+1) -xf(x) =ax +b]이다.

[eqn: 60 times int _{ 1} ^{2 } { f(x)dx}]의 값을 구하시오.[4점]

[eqn: 110]

주어진 조건식에 [eqn: x=0]을 대입하면, [eqn: f(1) =b]

(가) 조건에서 [eqn: f(1)=b=1]

주어진 조건식의 양변을 미분하면 [eqn: f`'(x+1)- f(x) -xf`'(x) =a]

[eqn: x=0]을 대입하면, [eqn: f`'(1) -f(0) = a]에서 [eqn: f`'(1) = a]

(가) 조건에서 미분 가능한 함수이므로 [eqn: f`'(1) = 1 =a]

[eqn: f(x+1 ) = xf(x) +x+1]

[eqn: int _{ 0} ^{1 } {f(x+1) dx } = int _{ 1} ^{ 2 } {f(x)dx } = int _{ 0} ^{1 } left {xf(x) +x+1 right } dx]

[eqn: = int _{ 0} ^{1 } left {x^2 +x+1 right } dx = left [ 1over3 x^3 + 1over 2 x^2 +x right ]_0^1 = 1over3 + 1over2 + 1 = 11 over6]

[eqn: 60 times int _{ 1} ^{2 } { f(x)dx}= 60 times 11 over6 = 110]

21. 수열 [eqn: left { a_n right }]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: left | a_1 right | = 2]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: left | a_n+1 right | = 2 left | a_n right |]이다.

(다) [eqn: sum _{n=1 } ^{ 10 } a_n = -14]

[eqn: a_1 + a_3 + a_5 + a_7 +a_9]의 값을 구하시오.[4점]

[eqn: 678]

[eqn: a_1 ,``` cdots ,``` a_10]중에 양수인 항들의 합을 [eqn: x]

음수인 항들의 합을 [eqn: y]라 할 때,

[eqn: x-y = 2+4+8+ ```cdots ``` +1024 = {2(2^10 -1 ) } over 2-1 =2^11 -2 = 2046]

[eqn: sum _{n=1 } ^{ 10 } a_n = x+y =-14]

[eqn: cases {``` x+y =-14 #``` x-y =2046]을 연립하면 , [eqn: x = 1016 ,``` y = -1030]

[eqn: 1016 = 512 +256+128+64+32+16+8]

[eqn: =2^9 + 2^8 + 2^7 + 2^6 + 2^5 +2^4 + 2^3 = a_9 + a_8 +a_7 +a_6 +a_5 +a_4 +a_3]

[eqn: 1030 = 1024 + 4+2 = 2^10 + 2^2 + 2^1 = - (a_10 + a_2 + a_1 )]

[eqn: therefore] [eqn: a_1 + a_3 + a_5 + a_7 +a_9 = - 2 +8+32+128+512 = 678]

22. 최고차항의 계수가 [eqn: 1over2]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 실수 [eqn: t]에 대하여 방정식 [eqn: f`'(x) =0]이 닫힌구간 [eqn: [` t ,```t+2 ` ]]에서 갖는 실근의 개수를 [eqn: g(t)]라 할 때, 함수 [eqn: g(t)]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: lim _{ t` rarrow ` a + } { g(t) } + lim _{t ` rarrow ` a - } { g(t) } le 2]이다.

(나) [eqn: g(f(1)) = g(f(4))=2], [eqn: g(f(0))=1]

[eqn: f(5)]의 값을 구하시오.[4점]

[eqn: 9]

[eqn: f`'(x) =0]의 두 실근을 [eqn: alpha, ``` beta]라 할 때, [eqn: |`beta- alpha `| <2]일 때,

[eqn: lim _{ t` rarrow ` alpha + } { g(t) } =1]

[eqn: lim _{ t` rarrow ` alpha - } { g(t) } =2],

그러므로 (가) 조건에서 [eqn: y= f`'(x)]의 두 [eqn: x]절편 사이의 거리가 [eqn: 2]보다 크거나 같다.

[eqn: g(f(1))=2]이므로 구간 [eqn: [ ` f(1) ,```f(1) +2 `]]에서 [eqn: f`'(x) =0]의 실근이 [eqn: 2]개다. 크기가 [eqn: 2]인 닫힌구간에 두 개의 실근이 포함되어야 하는데 두 실근의 차가 [eqn: 2]이상이므로 [eqn: beta - alpha = 2]이고 [eqn: alpha = f(1)]이어야 한다.

같은 식으로 [eqn: g(f(4))= 2]이므로 [eqn: f(4)= alpha]

[eqn: f(x) - alpha = 1over2 (x-1)(x-4)(x-a)]

[eqn: f`'(x)= 1over2 left { (x-1)(x-4) + (x-4)(x-a) +(x-1)(x-a) right }]

[eqn: f`'(x) = ` 1over2 left { 3x^2 - ( 2a +10 )x +5a +4 right }]

얻어진 조건에서 [eqn: 3x^2 - (2a+10)x + 5a +4 =0]의 두 실근의 차가 [eqn: 2]

근과 계수의 관계에 따라 [eqn: alpha +beta = 2a+10 over3 ,```` alpha beta = 5a+4 over 3]이므로

[eqn: (beta -alpha)^2 = (beta + alpha )^2 - 4 alpha beta = {4a^2 +40a +100} over 9 -4times 5a+4 over3 =4]

양변에 [eqn: 9]를 곱해서 간단히 하면, [eqn: 4a^2 +40a +100 - 60a-48 =36]

[eqn: 4a^2 -20a +16=0], [eqn: a^2 -5a +4 = (a-4)(a-1) =0]

[eqn: a=4] 또는 [eqn: 1]

ⅰ) [eqn: a=4]일 때,

[eqn: f`'(x) = 1over2 ( 3x^2 - 18x +24)]이고, [eqn: alpha =2 ,```beta = 4]

[eqn: f(x) = 1over2 (x-1)(x-4)^2 +2]

[eqn: g(f(0))=1]이므로

닫힌구간 [eqn: [ f(0) ,``` f(0) +2 ]]에 [eqn: x=2]이 포함될 때,

[eqn: 2 le f(0) +2 <4 , ``` 0 le f(0) <2]

닫힌구간 [eqn: [ f(0) ,``` f(0) +2 ]]에 [eqn: x=4]이 포함될 때, [eqn: 2 < f(0) le 4]

[eqn: f(0)= 1over2 times (-1) times 16 +2 = -6]

[eqn: g(f(0)) ne 1]이므로 [eqn: a ne 4]

ⅱ) [eqn: a=1]일 때,

[eqn: f`'(x) = 1over2 (3x^2 - 12x + 9 )]이고 [eqn: alpha =1], [eqn: beta =3]

[eqn: f(x)-alpha = 1over2 (x-1)(x-4) (x-a)]이므로

[eqn: f(x) = 1over2 (x-1)^2 (x-4) + 1],

[eqn: g(f(0))=1]이므로

닫힌구간 [eqn: [ f(0) ,``` f(0) +2 ]]에 [eqn: x=1]이 포함될 때, [eqn: 1 le f(0)+2 <3]

닫힌구간 [eqn: [ f(0) ,``` f(0) +2 ]]에 [eqn: x=3]이 포함될 때, [eqn: 1 < f(0) le 3]

[eqn: f(0) = 1over2 times 1 times (-4) +1 = -1]

[eqn: g(f(0)) =1]이므로 [eqn: a =1]

[eqn: therefore ``` f(x) = 1over2 (x-1)^2 (x-4) +1]

[eqn: therefore ``` f(5) = 1over2 times 4^2 times 1 +1 = 8+1 =9]

미적분

23. [eqn: lim _{ n` rarrow ` inf } { 5 over n + 3 over n^2 } over {1over n - 2 over n^3 }]의 값은?[2점]

➄

[eqn: lim _{ n` rarrow ` inf } { 5 over n + 3 over n^2 } over {1over n - 2 over n^3 }= lim _{ n` rarrow ` inf } {5n+3 over n^2 } over { { n^2 -2}over n^3 }= lim _{ n` rarrow ` inf } {5n^2 +3 n } over {n^2 -2 } =5]

➀ [eqn: 1]          ➁ [eqn: 2]          ➂ [eqn: 3]          ➃ [eqn: 4]          ➄ [eqn: 5]

24. 실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f left ( x^3 + x right ) = e^x]을 만족시킬 때, [eqn: f`'(2)]의 값은?[3점]

➃

양변을 미분하면 [eqn: f`'(x^3 + x ) times (3x^2 +1) = e^x]

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: f`'(2) times 4 = e]

[eqn: therefore ``` f`'(2) = e over4]

➀ [eqn: e]         ➁ [eqn: e over 2]         ➂ [eqn: e over 3]         ➃ [eqn: e over 4]         ➄ [eqn: e over 5]

25. 등비수열 [eqn: left { a_n right }]에 대하여 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf } left ( a_{2n-1 } - a_2n right ) =3 ,``` sum _{ n=1} ^{ inf } (a_n )^2 =6]일 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf } a_n]의 값은?[3점]

➁

[eqn: a_n = ar^n-1]이라 할 때,

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf } left ( a_{2n-1 } - a_2n right ) =sum _{ n=1} ^{ inf } ar^{2n-2 } - sum _{ n=1} ^{ inf }ar^2n-1 = a over {1-r^2} - ar over {1-r^2}]

[eqn: = {a(1-r) } over {1-r^2 } =3],

얻어진 식을 간단히 하면

[eqn: a(1-r)= 3(1-r)(1+r)], [eqn: r ne 1]이므로 [eqn: a=3+3r] [eqn: cdots ``` ㉠]

[eqn: (a_n )^2 = a^2 r^2n-2]이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf } (a_n )^2 = sum _{ n=1} ^{ inf } a^2 r^2n-2 = a^2 over {1-r^2 }=6]

간단히 하면, [eqn: a^2 = 6 -6r^2][eqn: cdots ``` ㉡]

㉠을 ㉡에 대입하면 [eqn: (3+3r)^2 = 6-6r^2], [eqn: 15r^2 +18r +3 = 0]

[eqn: 5r^2 +6r +1 = (5r +1)(r+1)=0], [eqn: r=-1]일 때, 조건으로 주어진 두 급수의 합이 수렴하지 않으므로 [eqn: r= - 1over5], [eqn: a= 3 - 3over5 = 12 over5]

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf } a_n = {12 over5 } over {1 + 1over5 } = 12 over5 over {6 over5 } =2]

➀ [eqn: 1]          ➁ [eqn: 2]          ➂ [eqn: 3]          ➃ [eqn: 4]          ➄ [eqn: 5]

26. [eqn: lim _{ n` rarrow ` inf } sum _{ k=1} ^{ n} {k^2 + 2kn } over {k^3 + 3k^2 n + n^3 }]의 값은?[3점]

➂

[eqn: lim _{ n` rarrow ` inf } sum _{ k=1} ^{ n} {k^2 + 2kn } over {k^3 + 3k^2 n + n^3 } = lim _{ n` rarrow ` inf } sum _{ k=1} ^{ n} {1over n left ( k^2 over n^2 + 2 k overn right ) } over {k^3 overn^3 + 3 k^2 overn^2 + 1 }]

[eqn: k overn =x]라 할 때, [eqn: f(x) = {x^2 +2x } over {x^3 +3x^2 +1 }]

[eqn: lim _{ n` rarrow ` inf } 1over n sum _{ k=1} ^{ n} { k^2 over n^2 + 2 k overn } over {k^3 overn^3 + 3 k^2 overn^2 + 1 } =lim _{ n` rarrow ` inf } 1over n sum _{ k=1} ^{ n} f left ( k over n right ) = int _{ 0} ^{1 } {f(x) dx }]

[eqn: x^3 +3x^2 +1 =g(x)]라 할 때, [eqn: g`'(x) = 3x^2 +6x = 3 (x^2 +2x)]

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { x^2 +2 x } over {x^3 +3x^2 +1 } dx = 1over3 int _{ 0} ^{1 } {g`' (x) }over g(x) dx = 1over3 left [ ln (x^3 +3x^2 +1 ) right ]_0^1 = ln5 over3]

➀ [eqn: ln5]      ➁ [eqn: ln5 over2]      ➂ [eqn: ln5 over3]      ➃ [eqn: ln5 over4]      ➄ [eqn: ln5 over5]

27. 좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t``(t>0)]에서의 위치가 곡선 [eqn: y= x^2]과 직선 [eqn: y= t^2 x - lnt over8]가 만나는 서로 다른 두 점의 중점일 때, 시각 [eqn: t=1]에서 [eqn: t=e]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는?[3점]

➀

두 곡선의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x^2 = t^2 x - lnt over8]의 두 실근

[eqn: x^2 - t^2 x + lnt over8 = 0]의 두 실근을 [eqn: alpha ,```beta]라 할 때,

두 교점은 [eqn: ( alpha ,``` alpha ^2 ) ,``` (beta ,``` beta ^2 )]이므로

그 중점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: alpha+beta over2], [eqn: y]좌표는 [eqn: {alpha^2 + beta ^2 }over2]

얻어진 방정식의 근과 계수 관계에 따라

[eqn: alpha +beta = t^2 ,``` alpha beta = lnt over8], [eqn: alpha^2 +beta ^2 = (alpha +beta )^2 - 2alpha beta = t^4 - lnt over4]

두 교점의 중점은 [eqn: cases { ``` x = t^2 over2 #``` y= t^4 over 2 - lnt over8]

[eqn: dx over dt = t], [eqn: dy over dt = 2t^3 - 1over 8t]

움직인 거리는 [eqn: int _{ 1} ^{e } {sqrt { left ( dx over dt right )^2 + left (dy over dt right )^2 } } dt =int _{ 1} ^{e } {sqrt { t^2 + left (2t^3 - 1over 8t right )^2 } } dt]

[eqn: t^2 + left (2t^3 - 1over 8t right )^2 = t^2 + 4t^6 - t^2 over 2 + 1over {64t^2 } = 4t^6 + 1over 2 t^2 + 1 over {64t^2 }]

[eqn: = left ( 2t^3 + 1over8t right )^2]

[eqn: int _{ 1} ^{e } {sqrt { t^2 + left (2t^3 - 1over 8t right )^2 } } dt = int _{ 1} ^{e } sqrt {left ( 2t^3 + 1over8t right )^2} dt = int _{ 1} ^{e } { left | 2t^3 + 1over 8t right | } dt]

[eqn: = left [ 1over 2 t^4 + lnt over 8 right ]_1^e = e^4 over 2 + 1over 8 - left ( 1over 2 + 0 right ) = e^4 over 2 - 3 over8]

➀ [eqn: e^4 over2 - 3over8]             ➁ [eqn: e^4 over2 - 5over16]             ➂ [eqn: e^4 over2 - 1over4]    ➃ [eqn: e^4 over2 - 3over16]              ➄ [eqn: e^4 over2 - 1over8]

28. 함수 [eqn: f(x) = 6pi (x-1)^2]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x) = 3f(x) +4cos f(x)]라 하자. [eqn: 0 < x <2]에서 함수 [eqn: g(x)]가 극소가 되는 [eqn: x]의 개수는?[4점]

➁

[eqn: g`'(x) = 3f`'(x) -4 f`'(x) sin f(x) = f`'(x) left { 3 - 4 sin f(x) right }]

위의 두 그래프는 [eqn: y= sinx]와 [eqn: y= 6pi(x-1)^2]의 그래프이다.

위의 두 그래프를 이용해서 합성함수의 [eqn: y= sin 6pi(x-1)^2]의 그래프를 그려보자.

➀ [eqn: 6pi (x-1)^2]은 [eqn: x]가 [eqn: 0]에서 [eqn: 1]까지 증가할 때, [eqn: 6pi]에서 [eqn: 0]까지 감소한다. 그러므로 [eqn: sin 6pi(x-1)^2]의 그래프는 [eqn: x]가 [eqn: 0]에서 [eqn: 1]까지 증가할 때 [eqn: sinx]의 그래프에서 [eqn: 6pi]에서 [eqn: 0]까지 역으로 진행하는 형태를 갖게 된다. 그러므로 구간[eqn: (` 0,```1`)]에서 역으로 진행하는 사인곡선이 3번 반복된다.

➁ [eqn: x]가 [eqn: 1]에서 [eqn: 2]까지 증가할 때, [eqn: 6pi(x-1)^2]은 [eqn: 0]에서 [eqn: 6pi]까지 증가한다. 그러므로 [eqn: sin 6pi(x-1)^2]의 그래프는 [eqn: x]가 [eqn: 1]에서 [eqn: 2]까지 증가할 때 [eqn: sinx]의 그래프에서 [eqn: 0]에서 [eqn: 6pi]까지 진행하는 형태를 갖게 된다.

그러므로 구간[eqn: (`1,```2`)]에서 사인곡선이 3번 반복된다.

두 함수의 합성함수 [eqn: y= sin 6pi(x-1)^2]의 그래프는 아래 그림과 같다. [eqn: sin 6pi(x-1)^2]

➂ [eqn: 3 - 4 sin 6pi(x-1)^2]의 부호는

[eqn: y=3]과 [eqn: y= 4 sin 6pi(x-1)^2]의 위치관계를 통해 알 수 있다.

[eqn: 3 > 4 sin 6pi(x-1)^2]일 때, [eqn: 3-4 sin 6pi (x-1)^2]의 부호는 [eqn: +]

➃ [eqn: y=f`'(x)]와 [eqn: 3 - 4 sin 6pi(x-1)^2]의 부호를 그래프로 나타내면 아래 그림과 같다.

[eqn: 3- 4sin 6pi(x-1)^2]의 부호는 [eqn: y= 4sin 6pi(x-1)^2]과 [eqn: y=3]이 만나는 점에서 부호가 바뀐다.

[eqn: y= 12pi(x-1)]은 [eqn: x=1]에서 부호가 바뀐다.

[eqn: x <1]에서 [eqn: 4sin 6pi(x-1)^2]의 부호가 [eqn: +]에서 [eqn: -]로 바뀔 때,

[eqn: f`'(x)]가 곱해져서 [eqn: g`'(x) = f`'(x) left { 3 - 4 sin f(x) right }]의 부호는 [eqn: -] 에서 [eqn: +]로 바뀐다.

[eqn: x>1]에서 [eqn: 4sin 6pi(x-1)^2]의 부호가 [eqn: -]에서 [eqn: +]로 바뀔 때, [eqn: f`'(x)]가 곱해져서 [eqn: g`'(x)]의 부호도 [eqn: -]에서 [eqn: +]로 바뀐다.

그러므로 [eqn: y= g(x)]는 위의 그림과 같이 [eqn: 7]개의 점에서 극솟값을 갖는다.

➀ [eqn: 6]         ➁ [eqn: 7]         ➂ [eqn: 8]         ➃ [eqn: 9]         ➄ [eqn: 10]

29. 그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 [eqn: rmAB] 위에 두 점 [eqn: rmP,```Q]를 [eqn: rm angle PAB= theta], [eqn: rm angle QBA= 2 theta]가 되도록 잡고, 두 선 분 [eqn: rmAP ,```BQ]의 교점을 [eqn: rmR]라 하자. 선분 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmS], 선분 [eqn: rmBR] 위의 점 [eqn: rmT], 선분 [eqn: rmAR] 위의 점 [eqn: rmU]를 선분 [eqn: rm UT]가 선분 [eqn: rmAB]에 평행하고 삼각형 [eqn: rmSTU]가 정삼각형이 되도록 잡는다. 두 선분 [eqn: rmAR ,```QR]와 호 [eqn: rmAQ]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: f( theta )], 삼각형 [eqn: rmSTU]의 넓이를 [eqn: g(theta )]라 할 때, [eqn: lim _{ theta ` rarrow ` 0+ } { g(theta ) } over {theta times f(theta )} = q over p sqrt3]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.(단, [eqn: 0< theta < pi over6]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 11]

(접근방법)

[eqn: 1st]. 도형에서 주어진 평행조건은 거의 99.9% 닮음을 이용하라는 신호이다.

[eqn: 2nd.] 삼각형에서 두 개의 각을 알려주면, 사인법칙을 먼저 떠올린다.

[eqn: 3rd.] 두 도형이 겹쳐진 부분의 넓이가 필요할 때, 각각의 넓이들의 합, 차를 생각해본다.

ⅰ) [eqn: g(theta)] 구하기

[eqn: rm angle ARB = pi - 3theta]이므로 삼각형 [eqn: rmABR]에서 사인법칙에 따라

[eqn: 2 over {rm sin (pi-3theta) } = bar {rm AR }over sin2theta], [eqn: rm barAR = {2sin2theta} over sin3theta]

삼각형 [eqn: rmABR]에서 선분[eqn: barUT]와 [eqn: rmbarAB]가 평행하므로 닮음을 이용하자.

정삼각형[eqn: rm UTS]의 한 변 길이를 [eqn: a]라 할 때,

삼각형 [eqn: rm ABR]의 높이는 [eqn: {2sin2theta sin theta } over sin3theta], 정삼각형의 높이는 [eqn: sqrt3 over2 a]

[eqn: barUT ` :` barAB `=` triangle ABR의 높이 -triangle UTS의높이 ` :` triangle ABR의 높이]

수식으로 정리하면 아래와 같다.

[eqn: a ` :` 2 = {2sin2thetasintheta} over sin3theta - sqrt3 over2 a `:` {2sin2thetasintheta} over sin3theta]

[eqn: {4sin2theta sin theta } over sin3theta - sqrt3 a = {2sin2theta sin theta } over sin3theta a]

[eqn: left ( {2sin2theta sin theta } over sin3theta + sqrt3 right ) a = {4sin2theta sin theta } over sin3theta], [eqn: a= {4sin2theta sin theta } over {2sin2theta sintheta + sqrt3 `sin3theta }]

ⅱ) [eqn: f(theta)]구하기

활꼴[eqn: rmAP]의 넓이를 [eqn: S_1], 활꼴 [eqn: BQ]의 넓이를 [eqn: S_2], 삼각형 [eqn: rmABR]의 넓이를 [eqn: S_3], 반원의 넓이를 [eqn: S_4]라 할 때,

[eqn: S_1 +S_2 +S_3 - S_4 = S]라 할 때, [eqn: S]는 선분[eqn: QR ,``` PR]와 호[eqn: rmPQ]로 둘러싸인 부분의 넓이이므로 [eqn: f(theta )= S_1 -S = S_4 - S_2 -S_3]

[eqn: S_1 = 1over2 (pi-2theta ) - 1over 2 times sin (pi-2theta )]

[eqn: S_2 = 1over2 (pi-4theta ) - 1over 2 times sin (pi-4theta )]

[eqn: S_3 = 1over2 times 2 times {2sin2theta sintheta }over sin3theta]( (ⅰ)의 과정을 통해 구해진 결과)

[eqn: S_4= pi over2]

[eqn: f(theta) = pi over 2 - {pi -4theta }over2 + {sin4theta } over2 - {2sin2theta sintheta}over sin3theta ={4theta +sin4theta }over2 - {2sin2theta sintheta}over sin3theta]

[eqn: = {4theta sin3theta + sin4theta sin3theta - 4sin2theta sintheta }over {2sin3theta }]

ⅲ) 결과

[eqn: lim _{ theta ` rarrow ` 0+ } { g(theta ) } over {theta times f(theta )} = lim _{ theta `rarrow` 0+} { theta } over f(theta) times lim _{ theta ` rarrow ` 0+ } { g(theta) over theta^2}]이라 할 때,

[eqn: lim _{ theta `rarrow` 0+} { theta } over f(theta) = lim _{ theta `rarrow` 0+} { 2 theta sin3theta } over {4thetasin3theta+ sin4theta sin3theta - 4sin2theta sintheta }]

[eqn: = lim _{ theta ` rarrow ` 0+} { 2} over { {4thetasin3theta }over {theta `sin3theta } + {sin4theta sin3theta} over {theta `sin3theta } - {4sin2theta sintheta }over {theta `sin3theta }} = 2 over {4 +4 - 8 over3 }= 2 over {16 over3 }= 3over8]

[eqn: g(theta) = sqrt3 over4 a^2]이므로

[eqn: lim _{ theta ` rarrow ` 0+ } { g(theta) over theta^2} = sqrt3 over4 lim _{ theta ` rarrow ` 0+ }{(4sin2theta sin theta )^2 } over {theta ^2 (2sin2theta sintheta + sqrt3 `sin3theta)^2}]

[eqn: = sqrt3 over4 lim _{ theta `rarrow` 0+ } { 1 }over { left ( {2 theta sin2theta sintheta }over {4sin2theta sintheta } + {sqrt3 theta sin3theta } over {4sin2theta sintheta } right )^2 } = sqrt3 over4 times 1 over {left ( 0+ {3sqrt3 } over 8 right )^2 }]

[eqn: = sqrt3 over 4 times 64 over27 = {16 sqrt3 } over 27]

[eqn: lim _{ theta ` rarrow ` 0+ } { g(theta ) } over {theta times f(theta )} = lim _{ theta `rarrow` 0+} { theta } over f(theta) times lim _{ theta ` rarrow ` 0+ } { g(theta) over theta^2}= 3 over8 times {16 sqrt3 } over 27][eqn: = {2sqrt3 } over 9]

[eqn: therefore ``` p +q = 11]

30. 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분 가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(1) = 1 , ``` int _{ 1} ^{2 } { f(x) dx } = 5 over4]

(나) 함수 [eqn: f(x)]이 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: x ge 1]인 모든 실수

[eqn: x]에 대하여 [eqn: g(2x ) = 2f(x)]이다.

[eqn: int _{ 1} ^{8 } { xf`'(x) dx } = q overp]일 때, [eqn: p +q]의 값을 구하시오.(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 143]

[eqn: int _{ 1} ^{8 } { xf`'(x) dx } = [ xf(x)]_1^8 - int _{ 1} ^{ 8} { f(x) dx }]

ⅰ) [eqn: [ xf(x)]_1^8]구하기

[eqn: g(2)= 2f(1)=2], 역함수관계를 생각해보면

[eqn: g(2)=2]이므로 [eqn: f(2) =2]

같은 방법을 이용하면 [eqn: g(4) =2f(2) =4], [eqn: f(4)=4]

[eqn: g(8)=2f(4) = 8], [eqn: f(8)=8]

[eqn: [ xf(x)]_1^8 = 8f(8) -f(1) = 63]

ⅱ) [eqn: int _{ 1} ^{ 8} { f(x) dx }] 구하기

[eqn: int _{ 2} ^{4 } { g(t) }dt]를 [eqn: t= 2x]로 치환하면 [eqn: x = t over2], [eqn: dt = 2dx]이므로

[eqn: int _{ 2} ^{4 } { g(t) }dt = 2 int _{ 1} ^{2 } {g(2x) } dx]

[eqn: g(2x)= 2f(x)]를 대입하면,

[eqn: int _{ 2} ^{4 } { g(t) }dt = 2 int _{ 1} ^{2 } {g(2x) } dx = 4 int _{ 1} ^{2 } { f(x)}dx= 4 times 5over4 = 5]

위의 그림에서 역함수의 대칭성을 이용하면

[eqn: int _{ 2} ^{4 } { f(x) }dx = 16- 4 - int _{ 2} ^{4 } {g(x)dx } = 12 -5 =7]

얻어진 값을 이용하면

[eqn: int _{ 4} ^{ 8} { g(t)dt } =2 int _{2 } ^{4 } { g(2x)} dx =4 int _{ 2} ^{4 } { f(x)} dx= 28]

위에서와 같이 역함수 대칭성을 이용하면

[eqn: int _{ 4} ^{8 } {f(x)dx } = 64-16 - int _{ 4} ^{8 } {g(x)dx }=48 - 28=20]

[eqn: int _{ 1} ^{ 8} { f(x)dx } = int _{ 1} ^{2 } {f(x)dx } + int _{ 2} ^{4 } { f(x) dx } + int _{ 4} ^{8 } { f(x)dx }]

[eqn: = 5 over4 +7+ 20=28+ 1over4]

ⅲ) 얻어진 결과를 이용하면,

[eqn: int _{ 1} ^{8 } { xf`'(x) dx } = [ xf(x)]_1^8 - int _{ 1} ^{ 8} { f(x) dx }]

[eqn: 63- 28- 1over4 = 35 - 1over4 = 139 over4]

[eqn: therefore ``` p +q = 143]