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수학 Ⅱ (고2)	내신대비 모의고사	범위 : 미분-적분
		시험시간 : 50분
총 22문항 : 객관식 16, 주관식 6
		이름 :

Du kannst, denn Du sollst !	| |	용문아 수학교실

[객관식]

정적분 [eqn: int _{0} ^{2} {} (6x ^{2} +4x+3)dx]을 구하면?

③

[eqn: int _{0} ^{2} {} (6x ^{2} +4x+3)dx`=` LEFT [ 3x ^{3} +2x ^{2} +3x RIGHT ] _{0} ^{2} =30]

① [eqn: 10]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 50]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: P]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x]가 [eqn: x=t ^{4} +t ^{3} -2t ^{2} +3t]일 때, [eqn: t = 1]에서의 속도를 구하면?

⑤

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) `=4t ^{3} +3t ^{2} -4t+3# f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =6]

① [eqn: -2]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

함수 [eqn: f(x)= {1} over {3} x ^{3} - {1} over {2} x ^{2} -6x+3]은 [eqn: x = a]에서 극댓값을, [eqn: x = b]에서 극솟값을 갖는다. [eqn: b-a]의 값은?

①

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) `=`x ^{2} -x-6`=` LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )]

[eqn: x=-2]에서 극댓값, [eqn: x=3]에서 극솟값

[eqn: b-a=3- LEFT ( -2 RIGHT ) =5]

① [eqn: 5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

곡선 [eqn: y = f(x)] 위의 점 [eqn: (x `,` f(x) )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 3x ^{2} -6x+3]이다. 이 곡선이 점 [eqn: (1`,`4)]을 지날 때, [eqn: f(-1)]의 값은?

➁

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -6x+3]

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) `=`x ^{3} -3x ^{2} +3x+C]

[eqn: f` LEFT ( 1 RIGHT ) =4], [eqn: C`=`3]

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) `=`x ^{3} -3x ^{2} +3x+3]

[eqn: f` LEFT ( -1 RIGHT ) =-4]

① [eqn: -3]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 2]

곡선 [eqn: y=x ^{2} -2x-3]과 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=-1], [eqn: x=3]로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하면?

①

[eqn: int _{-1} ^{3} {`(`x ^{2} -2x-3} `)`dx`= LEFT [ {1} over {3} x ^{3} `-`x ^{2} -3x RIGHT ] _{-1} ^{3} = {32} over {3}]

① [eqn: {32} over {3}]	② [eqn: {17} over {3}]	③ [eqn: 10 over 3]

④ [eqn: 13 over 3]	⑤ [eqn: {7} over {3}]

다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int _{1} ^{x} {} f(t)dt=x ^{3} +2ax ^{2} -ax+1]를 만족시킬 때, [eqn: f(a)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

⑤

[eqn: f`` LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +4ax`-a]

[eqn: int _{1} ^{1} {} f(t)dt=x ^{3} +2ax ^{2} -ax+1`=`1+2a-a+1=0]

[eqn: a=-2]

[eqn: f`` LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -8x`+2]

[eqn: f` LEFT ( -2 RIGHT ) `=`30]

① [eqn: 5]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 30]

임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=3x ^{2} + int _{0} ^{1} {x} f(t)dt]일 때, [eqn: f(1)]의 값은?

➄

[eqn: int _{0} ^{1} {f` LEFT ( t RIGHT ) dt=`A}]

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) `=`3x ^{2} +Ax]

[eqn: int _{0} ^{1} {`(`3x ^{2} +Ax`)`dt`=`A}]

[eqn: LEFT [ x ^{3} + {1} over {2} Ax ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1} `=1+ {1} over {2} A=A]

[eqn: A=2]

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) `=`3x ^{2} +2x]

[eqn: f` LEFT ( 1 RIGHT ) =3+2=5]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +x ^{2} +x]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 두 곡선 [eqn: y = f(x)], [eqn: y = g(x)]로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하면?

①

[eqn: x ^{3} -x ^{2} +x=x]

[eqn: x=`1] 또는 [eqn: x=0]

[eqn: 2 TIMES LEFT { - int _{0} ^{1} {` LEFT ( x ^{3} -x ^{2} RIGHT ) `dx} ` RIGHT } = {1} over {6}]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: 1 over 8]	③ [eqn: 1 over 4]

④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: 1]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: 2x ^{4} -4x ^{2} GEQ k]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 최댓값은?

②

[eqn: 8x ^{3} -8x`=0]

[eqn: x=-1],[eqn: x=1]에서 극솟값 그래서 최솟값은 [eqn: -2]

[eqn: -2 GEQ k]

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

곡선 [eqn: y=x ^{3} -x]과 직선 [eqn: y=2x+k]가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 [eqn: alpha < k < beta]라 할 때, [eqn: beta - alpha]의 값은?

④

[eqn: x ^{3} -x`=`2x+k]

[eqn: x ^{3} -3x=k]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -3x]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -3]

[eqn: x=-1]에서 극댓값 [eqn: 2], [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: -2]

[eqn: -2`<`k`<`2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 두 조건을 만족한다.

③

[eqn: int _{-2} ^{1} {f` LEFT ( x RIGHT ) dx`=`F` LEFT ( 1 RIGHT ) -F` LEFT ( -2 RIGHT )} `=3]

[eqn: f(x)]는 기함수, [eqn: F(x)`]는 우함수

[eqn: int _{1} ^{2} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +1 RIGHT } dx`=` int _{1} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx+ int _{1} ^{2} {}} 1dx`=`F` LEFT ( 2 RIGHT ) -F` LEFT ( 1 RIGHT ) +2-1=-2}]

(가) [eqn: f( -x ) = - f(x)]	(나) [eqn: int _{-2} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx=3}]

이 때, 정적분 [eqn: int _{1} ^{2} {} LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) +1 RIGHT ) `dx]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: -1]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

두 함수 [eqn: f(x)=-2x ^{2} -8x+a], [eqn: g(x) = x^4 + x^2 - 6x]가 있다. 임의의 두 실수 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여 [eqn: f( x_1 ) le g ( x_2 )]가 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은?

②

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) =-2x ^{2} -8x+a`=-2 LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} +a+8]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +x ^{2} -6x]

[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} +2x-6`=`2 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( 2x ^{2} +2x+3 RIGHT )]

[eqn: x=1]에서 최솟값 [eqn: -4]

[eqn: a+8 LEQ -4]

[eqn: a LEQ -12]

① [eqn: -13]	② [eqn: -12]	③ [eqn: -10]

④ [eqn: -8]	⑤ [eqn: -5]

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: A], [eqn: B]의 시각 [eqn: t]에서의 속도가 각각 [eqn: t ^{2} -10t], [eqn: t ^{3} -11t ^{2} +22t]이다. 두 점 [eqn: A], [eqn: B]사이의 거리의 최댓값은? (단, [eqn: 0 LEQ t LEQ 10])

⑤

[eqn: v _{A} =t ^{2} -10t], [eqn: v _{B} `=`t ^{3} -11t ^{2} +22t]

[eqn: int _{} ^{} {(v _{B}} `-v _{A} )`dx`=` int _{} ^{} {`(`t ^{3} -12t ^{2} +32t`)`dt}]

[eqn: t ^{3} -12t ^{2} +32t`=t LEFT ( t-4 RIGHT ) LEFT ( t-8 RIGHT )]

[eqn: t=4]일 때 최댓값을 갖는다.

[eqn: ` int _{0} ^{4} {`(`t ^{3} -12t ^{2} +32t`)`dt= LEFT [ {1} over {4} t ^{4} - {10} over {3} t ^{3} +12t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{4} =64}]

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 64]

임의의 다항함수 [eqn: f(x)]와 양의 실수 [eqn: a]에 대하여 다음 <보기> 중 옳은 것을 있는 대로 고른 것은?

➃

ㄱ. [eqn: int _{-a} ^{a} {} LEFT { f(x)+f(-x) RIGHT } dx=4 int _{0} ^{a} {} f(x)dx]

우함수 일 때 만 성립

ㄴ. [eqn: int_ -a ^a left { f(x) - f( -x) right } dx = 0]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( -x RIGHT )]는 기함수이므로 성립

ㄷ. [eqn: int_ -a ^ a f( left| `x` right | ) dx = 2 int_ 0 ^a f(x) dx]

[eqn: f` LEFT ( LEFT | x RIGHT | RIGHT )]는 우함수이므로 성립.

		| 보기 |
	ㄱ. [eqn: int _{-a} ^{a} {} LEFT { f(x)+f(-x) RIGHT } dx=4 int _{0} ^{a} {} f(x)dx] ㄴ. [eqn: int _{-a} ^{a} {} LEFT { f(x)-f(-x) RIGHT } dx=0] ㄷ. [eqn: int_ -a ^ a f( left| `x` right | ) dx = 2 int_ 0 ^a f(x) dx]
용문아수학방

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음 그림과 같이 이차함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프 위에 두 점 [eqn: A(2`,` f(2) )], [eqn: B (4 `,` f(4) )]이 있다. 이 곡선에 접하고 직선 [eqn: AB]와 평행한 직선이 두 직선 [eqn: x=2], [eqn: x = 4]과 만나는 점을 각각 [eqn: C], [eqn: D]라고 하자. 평행사변형 [eqn: ACDB]의 넓이가 [eqn: 8]일 때, 곡선 [eqn: y = f(x)]와 직선 [eqn: AB]로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하면?

④

[eqn: {bar{CD}}]의 직선의 방정식을 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]

평행사변형의 넓이는 [eqn: 8] 밑변의 길이 [eqn: 2], 높이 [eqn: 4]

[eqn: h LEFT ( 4 RIGHT ) =4]

[eqn: h(x)=4 LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: int _{2} ^{4} {4 LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} dx= int _{-1} ^{1} {4x ^{2} dx=2 int _{0} ^{1} {4x ^{2} dx= LEFT [ {8} over {3} x ^{3} RIGHT ] ^{1}}} _{0}} = {8} over {3}]

[eqn: 8- {8} over {3} = {16} over {3}]

① [eqn: 4 over 3]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 8 over 3]

④ [eqn: {16} over {3}]	⑤ [eqn: 4]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

③

두 조건 (가), (나)를 만족시키는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 도함수 [eqn: y=f`'(x)]의 그래프는 그림과 같다.

ㄱ. 함수 [eqn: y=f`'(x)]의 그래프와 [eqn: x]축은 열린구간 [eqn: (k,~2)]에서 한 점에서 만난다. 즉, 방정식 [eqn: f'(x)=0]은 열린구간 [eqn: (0,~2)]에서 한 개의 실근을 갖는다.

ㄴ. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에서 함수 [eqn: f(x)]는 극솟값을 갖는다.

ㄷ. [eqn: f(0)=0]이면 양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: f(x)=x ^{3} (x-a)]로 놓을 수 있다.
이때 [eqn: f`'(x)=4x ^{3} -3ax ^{2}]이므로 [eqn: f prime (2)=32-12a=16]에서 [eqn: a= {4} over {3}] 그러므로 [eqn: f(x)=x^4 - 4over3 x^3]에서 [eqn: f`'(x)=4x^3 -4x^2 =4x^2 (x-1)]
[eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=1]
함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: - {1} over {3}]을 가지므로  [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)geq- {1} over {3}]이다.

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

(가) [eqn: f ` prime (0) = 0], [eqn: f` prime (2)=16]

(나) 어떤 양수 [eqn: k]에 대하여 두 열린구간 [eqn: ( -inf `,` 0)], [eqn: (0`,`k)]에서 [eqn: f ` prime (x) < 0]이다.

다음 <보기> 중 옳은 것을 있는 대로 고른 것은?

		| 보기 |
	ㄱ. 방정식 [eqn: f ` prime (x) = 0]은 열린구간 [eqn: ( 0`,`2)]에서 한 개의 실근을 갖는다. ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값이 존재한다. ㄷ. [eqn: f(0) = 0]이면, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) GEQ - {1} over {3}]이다.
용문아수학방

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[주관식]

다음 식 또는 문장이 맞으면 ○, 틀리면 Ｘ를 적으시오.

(1) ×  (2) ○  (3) ×  (4) ○  (5) ×  (6) ○

(1) [eqn: int _{} ^{} {} (3x ^{2} -2x)dx=x ^{3} -x ^{2} +C]

(2) [eqn: int _{-1} ^{1} {} (3x ^{2} +10x+3)dx=2 int _{0} ^{1} {(3x ^{2} +3)dx=2 LEFT [ x ^{3} +3x RIGHT ] _{0} ^{1} =8}]

(3) 함수 [eqn: f(x)]가  [eqn: x = a]에서 극값을 가지면 [eqn: f ` prime (a) = 0]이 아니더라도 극값을 가질 수 있다.

(4) 원점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: P]의 시각 [eqn: t]에서의 속도가 [eqn: v(t) = 8 - 4t]일 때, [eqn: t = 0]에서 [eqn: t = 3]까지 점 [eqn: P]의 위치는 [eqn: 6]이다.

[eqn: int _{0} ^{3} {LEFT ( 8-4t RIGHT ) dt`=` LEFT [ 8t-2t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{3} =24-18=6}]

(5) [eqn: int _{} ^{} {} LEFT { {d} over {dx} f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx= int _{} ^{} {LEFT { {d} over {dx} g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} dx]이면 [eqn: f(x) = g(x)]이다.

[반례] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +1], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2}]이면
[eqn: int _{} ^{} {} LEFT { {d} over {dx} f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx= int _{} ^{} {2x`dx} =x ^{2} +C _{1}][eqn: int _{} ^{} {LEFT { {d} over {dx} g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} dx= int _{} ^{} {2x`dx} =x ^{2} +C _{2}]
[eqn: C _{1} =C _{2} =0`]일 때 가정은 참이지만 결론은 거짓.

(6) 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: {d} over {dx} int _{} ^{} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx=f(x)]이다.

(1) [eqn: int _{} ^{} {} (3x ^{2} -2x)dx=x ^{3} -x ^{2}]

(2) [eqn: int _{-1} ^{1} {} (3x ^{2} +10x+3)dx=8]

(3) 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x = a]에서 극값을 가지면 [eqn: f ` prime (a) = 0]이다.

(4) 원점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: P]의 시각 [eqn: t]에서의 속도가 [eqn: v(t) = 8 - 4t]일 때, [eqn: t = 0]에서 [eqn: t = 3]까지 점 [eqn: P]의 위치는 [eqn: 6]이다.

(5) [eqn: int _{} ^{} {} LEFT { {d} over {dx} f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx= int _{} ^{} {LEFT { {d} over {dx} g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} dx]이면 [eqn: f(x) = g(x)]이다.

(6) 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: {d} over {dx} int _{} ^{} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx=f(x)]이다.

다항함수 [eqn: f(x)]와 그 부정적분 [eqn: F(x)]에 대하여 [eqn: F(x)+ int _{} ^{} {} xf(x)dx=x ^{3} -x ^{2} -5x+3]가 성립할 때, [eqn: f(1)]을 구하시오.

[eqn: -2]

[eqn: F(x)+ int _{} ^{} {} xf(x)dx=x ^{3} -x ^{2} -5x+3]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +xf LEFT ( x RIGHT ) `=`3x ^{2} -2x-5]

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 3x-5 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x-5]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =-2]

삼차함수 [eqn: y = f(x)]의 도함수의 그래프가 다음 그림과 같고, [eqn: f(x)]의 극댓값이 [eqn: 4`]일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) [eqn: a=0], [eqn: b=4], [eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} x ^{3} -2x ^{2} +4]	(2) [eqn: 36]

(1) [eqn: a=0], [eqn: b=4], [eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} x ^{3} -2x ^{2} +4]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =Ax LEFT ( x-4 RIGHT )]

[eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =`-4]

[eqn: A=1]

[eqn: x=0]에서 극대, [eqn: x=4]에서 극소

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} x ^{3} -2x ^{2} +C]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =4]

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} x ^{3} -2x ^{2} +4]

(2) [eqn: 36]

[eqn: int _{0} ^{6} {LEFT ( 4- {1} over {3} x ^{3} +2x ^{2} -4 RIGHT ) dx`=` LEFT [ - {1} over {12} x ^{4} + {2} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{6} =36}]

(1) 함수 [eqn: y = f(x)]는 [eqn: x = a]에서 극댓값을, [eqn: x = b]에서 극솟값을 갖는다. [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하고 [eqn: y = f(x)]의 그래프의 개형을 좌표평면에 그리시오.

(2) 곡선 [eqn: y = f(x)]와 [eqn: y=4]으로 둘러싸인 도형 넓이를 구하시오.

두 곡선 [eqn: y=6-x ^{2}], [eqn: y=-6+x ^{2} `(- sqrt {6} LEQ x LEQ sqrt {6} )]으로 둘러싸인 도형에 내접하는 직사각형의 넓이의 최댓값을 구하시오.

[eqn: 16 sqrt {2}]

[eqn: y=6-x ^{2}]위에 한 점 [eqn: LEFT ( t,`6-t ^{2} RIGHT )], [eqn: y=-6+x ^{2}]위의 한 점 [eqn: LEFT ( t,`-6+t ^{2} RIGHT )]로 이루어진 직사각형의 넓이는 [eqn: 2t TIMES LEFT ( 12-2t ^{2} RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: y`=`24t-4t ^{3}]

[eqn: y` prime `=`24-12t ^{2} =-12 LEFT ( t- sqrt {2} RIGHT ) LEFT ( t+ sqrt {2} RIGHT )]

[eqn: t= sqrt {2}]에서 최댓값 [eqn: 16 sqrt {2}]을 가진다.

점 [eqn: (-2,`a)]에서 곡선 [eqn: y=-x ^{3} +2x]에 서로 다른 세 접선을 그을 수 있게 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하시오.

[eqn: -4<a<4]

[eqn: y= LEFT ( -3t ^{2} +2 RIGHT ) LEFT ( x-t RIGHT ) -t ^{3} +2t]

[eqn: a= LEFT ( -3t ^{2} +2 RIGHT ) LEFT ( -2-t RIGHT ) -t ^{3} +2t]

[eqn: 2t ^{3} +6t ^{2} -4=a]

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =2t ^{3} +6t ^{2} -4]

[eqn: f` prime LEFT ( t RIGHT ) =6t ^{2} +12t ^{} =6t LEFT ( t+2 RIGHT )]

[eqn: t=-2]에서 극댓값 [eqn: 4], [eqn: t=0]에서 극솟값 [eqn: -4]

[eqn: -4<a<4]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=6x+ int _{0} ^{x} {} (3x+4t)t ^{2} dt]를 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]의 구간 [eqn: [1`,`2]]에서 최솟값이 [eqn: p]일 때, [eqn: p]의 값을 구하시오.

[eqn: 8]

[eqn: f(x)=6x+3x int _{0} ^{x} {} t ^{2} dt`+4 int _{0} ^{x} {t ^{3} dt} `=`6x+x ^{4} +x ^{4} =6x+2x ^{4}]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =6+8x ^{3}]

[eqn: 1 LEQ x LEQ 2] 에서 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) >0]이므로 증가함수

[eqn: f` LEFT ( 1 RIGHT )]일 때 최솟값

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =6+2=8]