수능대비	단원별 기출문제	수학2

01

지수함수와 로그함수

지수(2,3점)

[eqn: 2 ^{sqrt {3}} TIMES 2 ^{2- sqrt {3}}]의 값은? [2점][21년 6월 평가원]

④

[출제의도] 지수법칙을 이용하여 값을 구할 수 있는가?

[eqn: 2^sqrt3 times 2^{2- sqrt3 }][eqn: = 2^ { sqrt3 + left(2- sqrt3 right) }]
[eqn: = 2^2]
[eqn: = 4]

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 2 sqrt {2}]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 4 sqrt {2}]

[eqn: {1} over {root {4} of {3}} ``ITTIMES `IT 3 ^{`- {7} over {4}}`]의 값은? [2점] 9월 평가원]

①

[출제의도] 지수법칙을 이용하여 값을 구할 수 있는가?

[eqn: 1 over {`^4 root3} times 3^{- 7 over4}][eqn: = 3^{- 1 over4} times 3^{- 7 over4}]
[eqn: = 3^{- 1 over4 + left( - 7 over4 right)}]
[eqn: = 3^-2 = 1 over9]

① [eqn: {1} over {9}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: LEFT ( sqrt {3 ^{sqrt {2}}} RIGHT ) ^{sqrt {2}}]의 값은? [2점][21년 4월 교육청]

②

[출제의도] 지수 계산하기

[eqn: LEFT ( sqrt {3 ^{sqrt {2}}} RIGHT ) ^{sqrt {2}}][eqn: = LEFT { LEFT ( 3 ^{sqrt {2}} RIGHT ) ^{{1} over {2}} RIGHT } ^{sqrt {2}}][eqn: =3 ^{sqrt {2} TIMES {1} over {2} TIMES sqrt {2}}][eqn: =3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

지수(4점)

[eqn: 2] 이상의 두 자연수 [eqn: a,~n]에 대하여 [eqn: LEFT ( root {n} of {a} RIGHT ) ^{3}]의 값이 자연수가 되도록 하는 [eqn: n]의 최댓값을 [eqn: f LEFT ( a RIGHT )]라 하자. [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) +f LEFT ( 27 RIGHT )]의 값은? [4점][7월 교육청]

③

[출제의도] 거듭제곱근과 지수법칙 이해하기

[eqn: LEFT ( root {n} of {a} RIGHT ) ^{3}][eqn: =a ^{{3} over {n}}]

(ⅰ) [eqn: a][eqn: =4]일 때 [eqn: 4 ^{{3} over {n}}][eqn: =2 ^{{6} over {n}}]
[eqn: n][eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]가 [eqn: 6]의 양의 약수이어야 하므로
[eqn: n][eqn: =2,~3,~6]
그러므로 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: =6]

(ⅱ) [eqn: a][eqn: =27]일 때 [eqn: 27 ^{{3} over {n}}][eqn: =3 ^{{9} over {n}}]
[eqn: n][eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]가 [eqn: 9]의 양의 약수이어야 하므로
[eqn: n][eqn: =3,~9]
그러므로 [eqn: f LEFT ( 27 RIGHT )][eqn: =9]

따라서 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) +f LEFT ( 27 RIGHT )][eqn: =6+9][eqn: =15]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

다음 조건을 만족시키는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 존재하도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오. [4점][21년 6월 평가원]

[eqn: 24]

[출제의도] [eqn: a]의 [eqn: n]제곱근의 의미를 이해하고 있는가?

함수 [eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 최솟값이 음수이므로 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

(ⅰ) [eqn: n]이 홀수일 때,
방정식 [eqn: x^n =64]의 실근의 개수는 [eqn: 1]이다.
그러므로 방정식 [eqn: left (x^n -64 right) f(x)=0]의 근이 모두 중근일 수는 없다.

(ⅱ) [eqn: n]이 짝수일 때,
방정식 [eqn: x^n = 64]의 실근은
[eqn: x= rootn of64] 또는 [eqn: x= - rootn of64]
즉,
[eqn: x= 2^{ 6 overn}] 또는 [eqn: x= - 2^{ 6 overn }]
이때, 조건 (가)를 만족하기 위해서는
[eqn: f(x)= left(x- 2^{6 overn } right) left( x+ 2^{ 6 overn} right)]	[eqn: cdotscdots] ㉠
한편, 조건 (나)에서 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 음의 정수이다. ㉠에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 최솟값을 갖고 그 값은
[eqn: -2^{ 6 overn } times 2^{ 6 overn} = - 2 ^{ 12 overn }]
이 값이 음의 정수이기 위해서는 [eqn: n]의 값은
[eqn: 2,~4,~6,~12]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: n]의 값의 합은

[eqn: 2+4+6+12=24]

(가) [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: LEFT ( x ^{n} -64 RIGHT ) `f LEFT ( x RIGHT ) =0]은
서로 다른 두 실근을 갖고, 각각의 실근은 중근이다.

(나) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 음의 정수이다.

로그(2,3점)

[eqn: log` _{4} ` {2} over {3} +log` _{4} `24]의 값을 구하시오. [3점][21년 6월 평가원]

[eqn: 2]

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 값을 구할 수 있는가?

[eqn: log_4 2 over3 + log_4 24][eqn: = log_4 left( 2 over3 times 24 right)]
[eqn: = log_4 16]
[eqn: = log_4 4^2]
[eqn: =2]

[eqn: 4 ^{{1} over {2}} +log` _{2} `8]의 값은? [2점][7월 교육청]

⑤

[출제의도] 지수와 로그 계산하기

[eqn: 4 ^{{1} over {2}} +log` _{2} `8][eqn: =2+3][eqn: =5]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: log _{`3} ``x=3]일 때, [eqn: x`]의 값은? [2점][10월 교육청]

④

[출제의도] 로그의 정의를 이용하여 진수를 구한다.

[eqn: log _{`3} `x][eqn: =3]이므로 [eqn: x][eqn: = 3^3][eqn: = 27]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 81]

[eqn: log` _{8} `16]의 값은? [2점][21년 3월 교육청]

②

[출제의도] 로그의 값을 계산한다.

[eqn: log _{`8}`16][eqn: =log _{`2 ^{3} `} `2 ^{4}][eqn: = 4over3 `log_{`2} `2][eqn: = 4over3 times 1][eqn: = 4over3]

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

[eqn: log_{`2`} 100 ``it -2`log_{`2`} 5]의 값을 구하시오. [3점][9월 평가원]

[eqn: 2]

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가?

[eqn: log _{`2} `100-2`log _{`2}` 5][eqn: =log _{`2}` 100-log _{`2}` 25]
[eqn: =log _{`2}` {100} over {25}]
[eqn: =log _{`2} ``4]
[eqn: =log _{`2}`` 2 ^{`2}]
[eqn: = 2]

지수함수(2,3점)

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,~4 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x-2} +1]의 최댓값은? [3점][21년 4월 교육청]

⑤

[출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기

[eqn: 0< {1} over {3} <1]이므로 함수 [eqn: f(x)= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x-2} +1]은

[eqn: x]의 값이 증가하면 [eqn: f(x)]의 값은 감소한다.

따라서 닫힌구간 [eqn: [0,~ 4]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은

[eqn: f(0)][eqn: = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{-2} +1][eqn: =10]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

지수함수(4점)

그림과 같이 [eqn: 3] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=n ^{`x}], [eqn: y=2 ^{`x}]이 직선 [eqn: x=1]과 만나는 점을 각각 [eqn: \A], [eqn: \B]라 하고, 두 곡선 [eqn: y=n ^{`x}], [eqn: y=2 ^{`x}]이 직선 [eqn: x=2]와 만나는 점을 각각 [eqn: \C], [eqn: \D]라 하자. 사다리꼴 [eqn: \ABDC]의 넓이가 [eqn: 18] 이하가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합을 구하시오. [3점][10월 교육청]

[eqn: 18]

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: \A LEFT ( 1,``itn RIGHT )], [eqn: \B LEFT ( 1,``2 RIGHT )], [eqn: \C LEFT ( 2 ,``itn^2 RIGHT )], [eqn: \D LEFT ( 2,``4 RIGHT )]이므로

[eqn: bar{\AB}][eqn: =n-2], [eqn: bar{\CD}][eqn: =n^2 -4]

사다리꼴 [eqn: \ABDC`]의 넓이는 [eqn: 18] 이하이므로

[eqn: 1 over 2 times LEFT ( n-2 + n^2 -4 RIGHT ) times 1][eqn: = 1 over 2 LEFT ( n^2 + n -6 RIGHT )][eqn: le18], [eqn: -7 le n le 6`]

그러므로 [eqn: 3] 이상의 자연수 [eqn: n`]의 값은 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6`]

따라서 조건을 만족시키는 [eqn: n`]의 값의 합은 [eqn: 18]

함수

③

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: g(x)][eqn: =2^x], [eqn: h(x)][eqn: =left( 1over4 right)^x+a - left( 1over4 right)^3+a +8`]이라 하면

곡선 [eqn: y][eqn: =g(x)`]의 점근선의 방정식은 [eqn: y][eqn: =0`]이고,

곡선 [eqn: y][eqn: =h(x)`]의 점근선의 방정식은
[eqn: y][eqn: =it- left(1over4 right)^3+a +8`]이다.

그러므로 함수 [eqn: y][eqn: =f(x)`]의 그래프를 좌표평면에 나타내면 다음과 같다.

곡선 [eqn: y][eqn: =f(x)] 위의 점 중에서 [eqn: y`]좌표가 정수인 점의 개수가 [eqn: 23`]이므로 [eqn: y le0`]에서 [eqn: y`]좌표가 정수인 점의 개수는 [eqn: 8`]이다.

곡선 [eqn: y][eqn: =h(x)`]의 점근선이 [eqn: y][eqn: =it- left(1over4 right)^3+a +8`]이므로

[eqn: it- left(1over4 right)^3+a +8`]은 [eqn: -8] 이상 [eqn: -7] 미만이어야 한다.

즉, [eqn: -8leit- left(1over4 right)^3+a +8`<it -7 `],

[eqn: 15< left( 1over4 right)^3+a le16], [eqn: 4 <15<4^{-3-a} le4^2],

[eqn: 1 <it -3-a le 2], [eqn: -5 le a < it -4]

따라서 구하는 정수 [eqn: a`]의 값은 [eqn: -5`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{2 ^{x}&~~~ LEFT ( x<3 RIGHT )#LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x+a} - LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{3+a} +8&~~~ LEFT ( x GEQ 3 RIGHT )}}]

에 대하여 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 중에서 [eqn: y]좌표가 정수인 점의 개수가 [eqn: 23]일 때, 정수 [eqn: a]의 값은? [4점][21년 3월 교육청]

① [eqn: -7]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -5]	④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -3]

로그함수(2,3점)

수능대비	단원별 기출문제	수학2

[eqn: 2]보다 큰 상수 [eqn: k`]에 대하여 두 곡선 [eqn: y= left|log_{`2} `left(-x+k right) right|], [eqn: y= left|log_{`2} `x right|]가 만나는 세 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R]의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: x _{`1}], [eqn: x _{`2}], [eqn: x _{`3}]이라 하자. [eqn: x _{`3} -x _{`1} =2 sqrt {3}]일 때, [eqn: x _{`1} +x _{`3}]의 값은?

③

[출제의도] 로그함수를 활용하여 문제를 해결한다.

점 [eqn: rm P`]는 두 곡선 [eqn: y=log _{`2} ` LEFT ( -x+k RIGHT )], [eqn: y=it-log _{`2} `x`]의 교점이므로

[eqn: log _{`2} ` LEFT ( -x _{1} +k RIGHT ) = it -log _{`2} `x _{1}], [eqn: -x _{1} +k= {1} over {x _{1}}]

즉, [eqn: {x_{1}^{`2}} -kx_1 +1=0`]	[eqn: cdotscdotsit]㉠

점 [eqn: rmR`]는 두 곡선 [eqn: y= it -log _{`2} ` LEFT ( -x+k RIGHT )], [eqn: y= log _{`2} `x`]의 교점이므로 [eqn: -log _{`2} ` LEFT ( -x _{3} +k RIGHT ) = log _{`2} `x _{3}], [eqn: {1} over {-x _{3} +k} = {x _{3}}]

즉, [eqn: {x_{3}^{`2}} -kx_3 +1=0`]	[eqn: cdotscdotsit]㉡

㉠, ㉡에 의해 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{3} `]은 이차방정식 [eqn: x ^{2} -kx+1=0`]의 서로 다른 두 실근이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에서 [eqn: x _{1} x _{3} =1`]

그러므로 [eqn: x _{3} -x _{1} =2 sqrt {3} `]에서
[eqn: left(x _{1} +x _{3} right) ^{2}][eqn: =left(x _{3} -x _{1} right) ^{2} +4x _{1} x _{3}][eqn: =left(2 sqrt {3} right) ^{2} +4` TIMES `1][eqn: =16]

따라서 [eqn: x _{1} +x _{3} =4`]

(단, [eqn: x _{`1} `<x _{`2} `<x _{`3}]) [3점][10월 교육청]

① [eqn: 7 over 2]	② [eqn: 15 over 4]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 17 over 4]	⑤ [eqn: 9 over 2]

로그함수(4점)

[eqn: n GEQ 2]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 곡선

②

[출제의도] 로그함수의 그래프가 만나는 점이 조건을 만족하도록 하는 [eqn: n]의 값을 구할 수 있는가?

진수 조건에서 [eqn: x>0]

[eqn: - log_n (x+3 )+1 = log_n n overn+3]이므로

[eqn: log_n x = log_n n overx+3]에서

[eqn: x= n overx+3]

[eqn: x^2 +3x-n=0]

[eqn: f(x)= x^2 +3x-n]이라 하면

[eqn: f(1)<0,] [eqn: f(2)>0]이어야 한다.

[eqn: f(1)=4-n<0]에서 [eqn: n>4]

[eqn: f(2)=10-n >0]에서 [eqn: n<10]

따라서 [eqn: 4<n<10]이므로

[eqn: n]의 값은 [eqn: 5,~6,~7,~8,~9]이고, 그 합은

[eqn: 5+6+7+8+9=35]

[eqn: y][eqn: =log` _{n} `x], [eqn: y][eqn: = it -log` _{n} ` LEFT ( x+3 RIGHT ) +1]

이 만나는 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 1]보다 크고 [eqn: 2]보다 작도록 하는 모든 [eqn: n]의 값의 합은? [4점][21년 6월 평가원]

① [eqn: 30`]	② [eqn: 35`]	③ [eqn: 40`]	④ [eqn: 45`]	⑤ [eqn: 50`]

그림과 같이 [eqn: 1]보다 큰 실수 [eqn: k]에 대하여 두 곡선 [eqn: y][eqn: =log _{ 2} LEFT | kx RIGHT |]와 [eqn: y][eqn: =log _{2} LEFT ( x+4 RIGHT )]가 만나는 서로 다른 두 점을 [eqn: rmA,~B]라 하고, 점 [eqn: rmB]를 지나는 곡선 [eqn: y][eqn: =log _{2} LEFT ( -x+m RIGHT )]이 곡선 [eqn: y][eqn: =log _{ 2} LEFT | kx RIGHT |]와 만나는 점 중 [eqn: rmB]가 아닌 점을 [eqn: rmC]라 하자. 세 점 [eqn: rmA,~B,~C]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: x _{1} ,~x _{2} ,~x _{3}]이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: x _{1} <x _{2}]이고, [eqn: m]은 실수이다.) [4점][21년 4월 교육청]

③

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: log _{ 2} LEFT | kx _{1} RIGHT | =log _{2} (x _{1} +4)]에서 [eqn: x _{1} <0]이므로
[eqn: -kx _{1} =x _{1} +4 ,~ x _{1} = {-4} over {k+1}]
[eqn: log _{ 2} LEFT | kx _{2} RIGHT | =log _{2} (x _{2} +4)]에서 [eqn: x _{2} >0]이므로
[eqn: kx _{2} =x _{2} +4 ,~ x _{2} = {4} over {k-1}]
[eqn: x _{2} =-2x _{1}]에서
[eqn: {4} over {k-1} = {8} over {k+1}], [eqn: k+1=2k-2 ,~ k=3] (참)

ㄴ. [eqn: log _{ 2} LEFT | kx _{2} RIGHT | =log _{2} (-x _{2} +m)]에서 [eqn: x _{2} >0]이므로
[eqn: kx _{2} =-x _{2} +m],
[eqn: m=(k+1)x _{2} = {4(k+1)} over {k-1}]
[eqn: log _{ 2} LEFT | kx _{3} RIGHT | =log _{2} (-x _{3} +m)]에서 [eqn: x _{3} <0]이므로
[eqn: -kx _{3} =-x _{3} +m],
[eqn: x _{3}][eqn: = {-m} over {k-1}][eqn: = {-4(k+1)} over {(k-1) ^{2}}]
그러므로
[eqn: x _{1} x _{3}][eqn: = {-4} over {k+1} TIMES {-4(k+1)} over {(k-1) ^{2}}][eqn: = LEFT ( {4} over {k-1} RIGHT ) ^{2}][eqn: =x _{2} ` ^{2}] (참)

ㄷ. [eqn: x _{2} ` ^{2} =x _{1} x _{3}]에서 [eqn: {x _{2}} over {x _{1}} = {x _{3}} over {x _{2}}]
[eqn: {x _{2}} over {x _{1}} = {-k-1} over {k-1} =-1- {2} over {k-1} < -1]
[eqn: {x _{2}} over {x _{1}} =r ( r < -1)]이라 하면 [eqn: x _{2} =x _{1} r ,~ x _{3} =x _{1} r ^{2}]
세 점 [eqn: rm { A,~ B,~ C }]의 [eqn: y]좌표를 각각 [eqn: y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3}]이라 하면
두 직선 [eqn: rm { AB ,~ AC }]의 기울기의 합이 [eqn: 0]이므로
[eqn: {y _{2} -y _{1}} over {x _{2} -x _{1}} + {y _{3} -y _{1}} over {x _{3} -x _{1}}]
[eqn: = {log _{2} LEFT | kx _{2} RIGHT | -log _{2} LEFT | kx _{1} RIGHT |} over {x _{1} (r-1)} + {log _{2} LEFT | kx _{3} RIGHT | -log _{2} LEFT | kx _{1} RIGHT |} over {x _{1} (r ^{2} -1)}]
[eqn: = {log _{2} LEFT | {x _{2}} over {x _{1}} RIGHT |} over {x _{1} (r-1)} + {log _{2} LEFT | {x _{3}} over {x _{1}} RIGHT |} over {x _{1} (r ^{2} -1)}]
[eqn: = {log _{2} (-r)} over {x _{1} (r-1)} + {2 log _{2} (-r)} over {x _{1} (r ^{2} -1)}][eqn: =0]
에서 [eqn: 1+ {2} over {r+1} =0 ,~ r=-3]
[eqn: x _{2} =x _{1} r]에서
[eqn: {4} over {k-1} = {12} over {k+1}], [eqn: k+1=3k-3], [eqn: k=2]이고,
[eqn: m= {4(k+1)} over {k-1} =12]이므로 [eqn: m+k ^{2} =16] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

		| 보기 |
	ㄱ. [eqn: x _{2}][eqn: = it -2x _{1}]이면 [eqn: k=3]이다. ㄴ. [eqn: x _{2} ^{2}][eqn: =x _{1} x _{3}] ㄷ. 직선 [eqn: rmAB]의 기울기와 직선 [eqn: rmAC]의 기울기의 합이 [eqn: 0]일 때, [eqn: m+k ^{2}][eqn: =19]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ	④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: a>1]인 실수 [eqn: a]에 대하여 두 함수

④

[출제의도] 로그함수의 그래프의 성질을 활용하여 문제해결하기

직선 [eqn: y][eqn: = it -2]와 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점이 [eqn: rmA]이므로

[eqn: -2][eqn: = {1} over {2} `log` _{a} ` LEFT ( x-1 RIGHT ) -2]에서 [eqn: x][eqn: =2]

[eqn: rm A it LEFT ( 2,~-2 RIGHT )]

[eqn: rm B it LEFT ( 10,~ {1} over {2} `log` _{a} `9-2 RIGHT )], [eqn: rm C it LEFT ( 10,~-log` _{a} `8+1 RIGHT )]이고,

점 [eqn: rmA]와 직선 [eqn: x][eqn: =10] 사이의 거리는 [eqn: 8]이므로

삼각형 [eqn: rmACB]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 8 TIMES LEFT { LEFT ( {1} over {2} `log` _{a} `9-2 RIGHT ) - LEFT ( -log` _{a} `8+1 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =4 TIMES LEFT ( log` _{a} `24-3 RIGHT )][eqn: =28]

[eqn: log` _{a} `24][eqn: =10]

따라서 [eqn: a ^{10}][eqn: =24]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {2} `log` _{a} LEFT ( x-1 RIGHT ) -2], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =log` _{{1} over {2}} ` LEFT ( x-2 RIGHT ) +1]

이 있다. 직선 [eqn: y][eqn: = it -2]와 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하고, 직선 [eqn: x][eqn: =10]과 두 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점을 각각 [eqn: rmB,~C]라 하자. 삼각형 [eqn: rmACB]의 넓이가 [eqn: 28]일 때, [eqn: a ^{10}]의 값은? [4점][7월 교육청]

① [eqn: 15]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 21]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 27]

[eqn: a>1]인 실수 [eqn: a`]에 대하여 직선 [eqn: y``it=it-x+4]가 두 곡선

[eqn: 192]

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프의 성질을 이용하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있는가?

곡선 [eqn: y=a ^{`x-1}]은 곡선 [eqn: y=a ^{`x}]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 것이고, 곡선 [eqn: y= log`_a `(x-1)]은 곡선 [eqn: y= log `_a `x`]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 것이므로 두 곡선 [eqn: y=a ^{`x-1}], [eqn: y = log `_a `(x-1)]은 직선 [eqn: y= x-1]에 대하여 대칭이다.

즉, 두 직선 [eqn: y= it-x +4], [eqn: y= x-1]의 교점을 [eqn: rmM]이라 하면 점 [eqn: rmM]의 좌표는 [eqn: rmM left( 5 over 2 ,````3 over 2 right)]이고, 점 [eqn: rmM]은 선분 [eqn: rm AB]의 중점이므로 [eqn: rm barAM = root2]이다.

점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: (k`,``-k+4 )]라 하면

[eqn: left( k - 5 over 2 right)^2 + left( -k + 5 over 2 right)^2 = 2]

에서

[eqn: k= 3 over 2]

즉, [eqn: rmA left( 3 over 2 ,````5 over 2 right)]이므로

[eqn: 5 over 2 = a^{3 over 2 -1}]

[eqn: a^{1 over 2 }= 5 over 2]

[eqn: a= 25 over 4]

이때 점 [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: left( 0 ,````1 over a right)], 즉 [eqn: left( 0 ,````4 over 25 right)]이고, 점 [eqn: rmC]에서 직선 [eqn: y= it-x +4]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 선분 [eqn: rm CH]의 길이는 점 [eqn: rmC]와 직선 [eqn: y=it -x+4] 사이의 거리와 같으므로

[eqn: rm barCH = {left| 0 + 4 over 25 -4 right|}over {root{2}}][eqn: = {48root2}over 25]

따라서 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이는

[eqn: S`][eqn: = 1 over 2 times bar {rmAB} times bar{rm CH }]
[eqn: = 1 over 2 times 2root2 times{48 root2 }over 25]
[eqn: = 96 over 25]

이므로

[eqn: 50 times S][eqn: = 50 times 96 over 25][eqn: = 192]

[eqn: y``it=`it a ^{`x-1}],  [eqn: y``it=log _{`a`} left (x-1 right)`]

과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라 하고, 곡선 [eqn: y``it=a ^{`x-1}]이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: RM C]라 하자. [eqn: bar {rm AB} ``it= 2root2]일 때, 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이는 [eqn: S``]이다. [eqn: 50 times S``]의 값을 구하시오. [4점][9월 평가원]

지수로그함수의 활용(2,3점)

부등식 [eqn: 5 ^{2x-7} LEQ LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{x-2}]을 만족시키는 자연수 [eqn: x]의 개수는? [3점][7월 교육청]

③

[출제의도] 지수함수의 성질 이해하기

양변의 밑을 [eqn: 5]로 같게 하면

[eqn: 5 ^{2x-7} LEQ 5 ^{-x+2}]

[eqn: 2x-7 LEQ -x+2]에서 [eqn: x LEQ 3]

주어진 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: x]는

[eqn: 1,~2,~3]

따라서 자연수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

곡선 [eqn: y= 6^{-x] 위의 두 점 [eqn: rm A it (a,````6 ^{-a} )], [eqn: rm B it (a+1,````6 ^{-a-1} )]에 대하여 선분 [eqn: {rm AB}]는 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형의 대각선이다. [eqn: 6 ^{`-a}]의 값은? [3점][10월 교육청]

①

[출제의도] 지수에 미지수를 포함한 방정식을 푼다.

정사각형의 한 변의 길이가 [eqn: 1`]이므로

[eqn: 6 ^{`-a} -6 ^{`-a-1}][eqn: = 1], [eqn: 6 ^{`-a} - {6 ^{`-a}} over {6}][eqn: =1], [eqn: LEFT ( 1- {1} over {6} RIGHT ) TIMES 6 ^{`-a} =1]

따라서 [eqn: 6 ^{`-a} = {6} over {5}]

① [eqn: 6over5]	② [eqn: 7over5]	③ [eqn: {8} over {5}]

④ [eqn: {9} over {5}]	⑤ [eqn: 2]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 이차부등식

[eqn: 6]

[출제의도] 로그의 진수에 미지수가 포함된 부등식을 해결한다.

이차방정식 [eqn: 3x^2 -2left( log_{`2} `n right) x + log_{`2}`n][eqn: =0`]의 판별식을

[eqn: D``]라 할 때, 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 주어진 이차부등식이 성립하기 위해서는
[eqn: D over 4][eqn: =LEFT ( log _{`2} `n RIGHT ) ^{2} -3 TIMES log _{`2} `n<0`],

[eqn: left ( log_{`2} `n -3 right)`log_{`2}`n <0], [eqn: 0 < log_{`2} `n <3], [eqn: 1 < n <8]

[eqn: n`]은 자연수이므로 [eqn: n][eqn: =2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]

따라서 조건을 만족하는 자연수 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 6`]

[eqn: 3x ^{2} -2 LEFT ( log` _{2} `n RIGHT ) x+log` _{2} `n>0]

이 성립하도록 하는 자연수 [eqn: n]의 개수를 구하시오. [3점][21년 3월 교육청]

수능대비	단원별 기출문제	수학2

수능대비	단원별 기출문제	수학1

02

삼각함수

삼각함수의 뜻(2,3점)

[eqn: pi< theta < {3} over {2} pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: tan` theta][eqn: = {12} over {5}]일 때, [eqn: sin` theta +cos` theta]의 값은? [3점][21년 6월 평가원]

①

[출제의도] 삼각함수의 정의를 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있는가?

[eqn: tan theta = 12 over5]이고 [eqn: pi < theta< 3 over2 pi]이므로

각 [eqn: theta]가 나타내는 동경과 원점 [eqn: rmO]를 중심으로 하는 어떤 원의 교점이 [eqn: rmP(-5,~-12 )]이다.

따라서 원점 [eqn: rmO]에 대하여

[eqn: rm barOP = sqrt {(-5)^2 + (-12)^2 }=13]

이므로

[eqn: sin theta + cos theta = -12 over13 + -5 over13 = - 17 over13]

① [eqn: - {17} over {13}]	② [eqn: - {7} over {13}]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: {7} over {13}]	⑤ [eqn: {17} over {13}]

[eqn: cos` LEFT ( - theta RIGHT ) +sin` LEFT ( pi+ theta RIGHT )][eqn: = {3} over {5}]일 때, [eqn: sin` theta `cos` theta]의 값은? [3점][7월 교육청]

④

[eqn: cos` LEFT ( - theta RIGHT ) +sin` LEFT ( pi+ theta RIGHT )][eqn: =cos` theta -sin` theta][eqn: = {3} over {5}]

[eqn: LEFT ( cos` theta -sin` theta RIGHT ) ^{2}][eqn: =cos ^{2} ` theta -2`cos` theta `sin` theta +sin ^{2} ` theta]
[eqn: = it 1-2`sin` theta `cos` theta]

[eqn: 1-2`sin` theta `cos` theta][eqn: = {9} over {25}]

따라서 [eqn: sin` theta `cos` theta][eqn: = {8} over {25}]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {6} over {25}]	③ [eqn: {7} over {25}]	④ [eqn: {8} over {25}]	⑤ [eqn: {9} over {25}]

[eqn: {pi } over {2}<theta<pi`]인 [eqn: theta`]에 대하여 [eqn: { sin `theta} over {1-sin`theta }- { sin`theta} over {1+sin`theta}=4]일 때,

①

[출제의도] 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있는가?

[eqn: {sin` theta}over{1- sin` theta}- {sin` theta}over{1+ sin` theta }=4]

에서

[eqn: {sin` theta (1+sin` theta )-sin` theta (1-sin` theta )} over {(1-sin` theta )(1+sin `theta )} =4]

[eqn: {2` sin ^2 `theta} over{1- sin ^2 `theta} =4]

[eqn: {2(1- cos^2 `theta) }over{cos^2 `theta }=4]

[eqn: 1- cos ^2 `theta = 2 `cos ^2 `theta]

따라서

[eqn: cos ^2 `theta = 1 over 3]

이고, [eqn: pi over 2 < theta < pi `]이므로

[eqn: cos` theta = it- root3 over 3]

[eqn: cos`theta`]의 값은? [3점][9월 평가원]

① [eqn: -{ sqrt3} over {3 }]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: { sqrt3} over {3 }]

[eqn: 0< theta < {pi } over {2}]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: sin theta cos theta][eqn: = {7} over {18}]일 때, [eqn: 30 LEFT ( sin theta +cos theta RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점][21년 4월 교육청]

[eqn: 40]

[출제의도] 삼각함수 이해하기

[eqn: sin ^{2} theta +cos ^{2} theta =1]이므로

[eqn: (sin theta +cos theta ) ^{2}][eqn: =1+2 sin theta cos theta][eqn: =1+2 TIMES {7} over {18}][eqn: = {16} over {9}]

[eqn: 0< theta < {pi } over {2}]에서 [eqn: sin theta >0 ,~ cos theta >0]이므로

[eqn: sin theta +cos theta = {4} over {3}]

따라서 [eqn: 30 (sin theta +cos theta )=40]

삼각함수의 뜻(4점)

그림과 같이 두 점 [eqn: rmO,~O']을 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 두 원 [eqn: O,~O prime]이 한 평면 위에 있다. 두 원 [eqn: O,~O prime]이 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 할 때, [eqn: ANGLE rm AOB][eqn: = {5} over {6} pi]이다.

④

[출제의도] 부채꼴의 넓이를 이용하여 문제를 해결한다.

원 [eqn: O`prime]에서 중심각의 크기가 [eqn: 7 over 6 pi`]인 부채꼴 [eqn: rmAO primeB`]의 넓이를 [eqn: T_{`1}], 원 [eqn: O`]에서 중심각의 크기가 [eqn: 5 over 6 pi`]인 부채꼴 [eqn: rmAOB`]의 넓이를 [eqn: T_{`2} `]라 하면,

[eqn: S _{`1}][eqn: =T_{`1}+S_{`2} -T_{`2}]
[eqn: = left({1} over {2} TIMES 3 ^{2} TIMES {7} over {6} pi right) +S _{`2} - left({1} over {2} TIMES 3 ^{2} TIMES {5} over {6} pi right)]
[eqn: = {3} over {2} pi +S_{`2}]

따라서 [eqn: S _{`1} -S _{`2}][eqn: ={3} over {2} pi]

원 [eqn: O]의 외부와 원 [eqn: O']의 내부의 공통부분의 넓이를 [eqn: S _{1}], 마름모 [eqn: rmAOBO']의 넓이를 [eqn: S _{2}]라 할 때, [eqn: S _{1} -S _{2}]의 값은? [4점][21년 3월 교육청]

① [eqn: {5} over {4} pi]	② [eqn: {4} over {3} pi]	③ [eqn: {17} over {12} pi]	④ [eqn: {3} over {2} pi]	⑤ [eqn: {19} over {12} pi]

삼각함수와 그래프(2,3점)

함수 [eqn: y=tan`left( pi x+ {pi } over {2} right)]의 주기는? [3점][10월 교육청]

③

[출제의도] 삼각함수의 주기를 이해한다.

[eqn: tan `LEFT ( pi x+ {pi } over {2} RIGHT )][eqn: =tan `LEFT ( pi x+ {pi } over {2} + pi RIGHT )][eqn: =tan `LEFT { pi (x+1)+ {pi } over {2} RIGHT }`]

따라서 함수 [eqn: y][eqn: =tan `LEFT ( pi x+ {pi } over {2} RIGHT )`]의 주기는 [eqn: 1`]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: piover4]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3 over 2]	⑤ [eqn: piover2]

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =sin LEFT ( ax+ {pi} over {6} RIGHT )]의 주기가 [eqn: 4pi]일 때, [eqn: f LEFT ( pi RIGHT )]의 값은? [3점][21년 4월 교육청]

④

[출제의도] 삼각함수 이해하기

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=sin LEFT ( ax+ {pi } over {6} RIGHT )]의 주기는

[eqn: {2 pi } over {a}]이므로 [eqn: {2 pi } over {a} =4 pi]에서 [eqn: a= {1} over {2}]

따라서 [eqn: f( pi )][eqn: =sin LEFT ( {pi } over {2} + {pi } over {6} RIGHT )][eqn: =cos {pi } over {6}][eqn: = {sqrt {3}} over {2}]

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	④ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

삼각함수와 그래프(4점)

두 양수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 곡선 [eqn: y=a`sin`b `pi x] [eqn: LEFT ( 0 le x le {3} over {b} RIGHT )]이 직선 [eqn: y=a`]와 만나는 서로 다른 두 점을 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라 하자.
삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이가 [eqn: 5]이고 직선 [eqn: RM OA]의 기울기와 직선 [eqn: rm OB]의 기울기의 곱이 [eqn: 5 over 4]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: RM O]는 원점이다.) [4점][9월 평가원]

③

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이해하고 조건을 만족시키는 삼각함수를 구할 수 있는가?

함수 [eqn: y= a` sin`b` pi` x`]의 주기는

[eqn: 2pi over {b pi} = 2 over b]

이므로 두 점 [eqn: \A, ~B]의 좌표는

[eqn: rm{A} it{LEFT ( {1} over {2b} ,~a RIGHT )}], [eqn: rm{\B} it{LEFT( 5 OVER 2b , ~a right)}]

따라서 삼각형 [eqn: \OAB]의 넓이가 [eqn: 5]이므로

[eqn: 1 OVER 2 TIMES a times left( 5 over 2b - 1 over 2b right) = 5], [eqn: a over b = 5]

[eqn: a = 5b]	[eqn: CDOTS CDOTSit]㉠

직선 [eqn: \OA]의 기울기와 직선 [eqn: \OB]의 기울기의 곱이 [eqn: 5 OVER 4]이므로

[eqn: a over {1 over 2b} times a over {5 over 2b}][eqn: = 2ab times 2ab over 5]
[eqn: = {4a^2 b^2} over 5 = 5 over 4]

[eqn: a^2 b^2 = 25 over 16], [eqn: ab = 5 over 4]	[eqn: CDOTS CDOTSit]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a= 5 over 2], [eqn: b = 1 over 2]이므로

[eqn: a+b = 3]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]

④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,````2 pi RIGHT ]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]는

④

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이해하여 문제를 해결한다.

그림은 [eqn: k`]의 값에 따른 두 곡선 [eqn: y=f(x)`], [eqn: y= sin`x`]와

직선 [eqn: y=sin` LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )`]를 좌표평면에 나타낸 것이다.

각 그림에서 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 직선 [eqn: y=sin` LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )`]의 교점의 개수

[eqn: a_k`]를 구하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: k=1`]일 때, [eqn: a _{1}][eqn: =2]

(ⅱ) [eqn: k=2`]일 때, [eqn: a _{2}][eqn: =2]

(ⅲ) [eqn: k=3`]일 때, [eqn: a _{3}][eqn: =1]

(ⅳ) [eqn: k=4`]일 때, [eqn: a _{4}][eqn: =2]

(ⅴ) [eqn: k=5`]일 때, [eqn: a _{5}][eqn: =2]

따라서 [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5}][eqn: =2+2+1+2+2][eqn: =9]

곡선 [eqn: y=f(x)`]와 직선 [eqn: y][eqn: =sin` LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )`]의 교점의 개수는
방정식 [eqn: f(x)][eqn: = sin `LEFT ( k over 6 pi RIGHT )`]의 서로 다른 실근의 개수와 같다. 즉,

(ⅰ) [eqn: 0 LEQ x LEQ {k} over {6} pi `]일 때, [eqn: sin`x][eqn: =sin`LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )`]

(ⅱ) [eqn: {k} over {6} pi <x LEQ 2pi`]일 때,
[eqn: 2sin `LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT ) -sin`x][eqn: =sin `LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )]에서 [eqn: sin`x][eqn: =sin`LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )`]

그러므로 교점의 개수는 구간 [eqn: left[0,``2piright]`]에서 방정식 [eqn: sin`x][eqn: =sin`LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )`]의 서로 다른 실근의 개수와 같다.

[eqn: k=1], [eqn: k=5`]일 때, [eqn: sin` LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )][eqn: = {1} over {2}`]이므로 [eqn: sin`x][eqn: = {1} over {2}]의 서로 다른 실근의 개수는 각각 [eqn: 2`]이다.

[eqn: k=2], [eqn: k=4`]일 때, [eqn: sin` LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )][eqn: = {sqrt {3}} over {2}`]이므로 [eqn: sin`x][eqn: = {sqrt3} over {2}`]의 서로 다른 실근의 개수는 각각 [eqn: 2`]이다.

[eqn: k=3`]일 때, [eqn: sin `LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )][eqn: =1`]이므로 [eqn: sin`x =1`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 1`]이다.

따라서 [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5} =2+2+1+2+2=9]

[eqn: f(x)= {cases{`sin`x~&LEFT ( 0 LEQ x LEQ {k} over {6} pi ` RIGHT )#`2sin` left( k over6 pi right) - sin`x~&LEFT ( {k} over {6} pi <x LEQ 2 pi RIGHT )}}]

이다. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=sin`left(k over6 pi right)]의 교점의 개수를 [eqn: a _{`k}]라 할 때, [eqn: a _{`1} +a _{`2} +a _{`3} +a _{`4} +a _{`5}]의 값은? [4점][10월 교육청]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

삼각방정식, 부등식(2,3점)

[eqn: 0 LEQ x<2pi]일 때, 방정식 [eqn: sin`4x][eqn: = {1} over {2}]의 서로 다른 실근의 개수는? [3점][21년 3월 교육청]

④

[출제의도] 삼각함수의 주기를 이해하여 방정식의 서로 다른 실근의 개수를 구한다.

[eqn: y=sin`4x`]의 주기는 [eqn: 2pi over { left | 4 right| }][eqn: ={pi} over {2} `]이다.

좌표평면에 직선 [eqn: y][eqn: = 1over2`]과 [eqn: 0 le x < 2pi`]의 범위에서

함수 [eqn: y][eqn: =sin`4x`]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

따라서 구하는 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 8`]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

삼각방정식, 부등식(4점)

[eqn: 0 LEQ x<2pi]일 때, 방정식

⑤

[출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: cos ^{2} `x][eqn: =1-sin ^{2} `x]이므로

[eqn: 3 LEFT ( 1-sin ^{2} `x RIGHT ) +5`sin`x-1][eqn: =0]

[eqn: 3`sin` ^{2} `x-5`sin`x-2][eqn: =0]

[eqn: LEFT ( 3`sin`x+1 RIGHT ) LEFT ( sin`x-2 RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: -1 LEQ sin`x LEQ 1]이므로 [eqn: sin`x][eqn: = it - {1} over {3}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

㉠을 만족시키는 [eqn: x]의 값을 [eqn: x][eqn: =alpha ,~ beta][eqn: LEFT ( alpha < beta RIGHT )]라 하면 [eqn: {alpha + beta } over {2}][eqn: = {3} over {2} pi]이므로 [eqn: alpha + beta][eqn: =3`pi]

따라서 모든 해의 합은 [eqn: 3pi]

[eqn: 3`cos ^{2} `x+5`sin`x-1][eqn: =0]

의 모든 해의 합은? [4점][7월 교육청]

① [eqn: pi]	② [eqn: {3} over {2} pi]	③ [eqn: 2pi]	④ [eqn: {5} over {2} pi]	⑤ [eqn: 3pi]

[eqn: 0<x<2pi]일 때, 방정식 [eqn: 2 cos ^{2} x-sin LEFT ( pi+x RIGHT ) -2][eqn: =0]의 모든 해의 합은? [4점][21년 4월 교육청]

③

[출제의도] 삼각함수 이해하기

[eqn: 2 cos ^{2} x-sin ( pi +x)-2][eqn: =2(1-sin ^{2} x)+sin x-2]
[eqn: =-2sin ^{2} x+sin x]
[eqn: =- sin x(2sin x-1)][eqn: =0]

[eqn: sin x=0]또는 [eqn: sin x= {1} over {2}]

[eqn: 0<x<2 pi]이므로

[eqn: sinx=0]에서 [eqn: x= pi]

[eqn: sinx= {1} over {2}]에서 [eqn: x= {pi } over {6}]또는 [eqn: x= {5} over {6} pi]

따라서 모든 해의 합은 [eqn: 2 pi]이다.

① [eqn: pi]	② [eqn: {3} over {2} pi]	③ [eqn: 2pi]	④ [eqn: {5} over {2} pi]	⑤ [eqn: 3pi]

[eqn: -1 LEQ t LEQ 1]인 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식

②

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이해하고 이를 이용하여 삼각함수가 포함된 방정식의 근에 관련된 문제를 추론할 수 있는가?

ㄱ. 방정식
[eqn: left( sin pix over2 - t right) left( cos pix over2 -t right )=0]
에서
[eqn: sin pix over2 =t] 또는 [eqn: cos pix over2 =t]
이 방정식의 실근은 두 함수
[eqn: y= sin pix over2 ,] [eqn: y= cos pix over2]의 그래프와 [eqn: y=t]와의 교점의 [eqn: x]좌표이다.
한편, 두 함수 [eqn: y= sin pix over2 ,] [eqn: y= cos pix over2]의 주기가 모두 [eqn: 4]이므로 다음과 같다.

[eqn: -1 leq t <0]이면 직선 [eqn: y=t]와 [eqn: alpha(t),] [eqn: beta(t)]는 다음 그림과 같다.

이때, 함수 [eqn: y= cos pix over2]의 그래프는 함수 [eqn: y= sin pix over2]의 그래프를 평행이동시키면 겹쳐질 수 있고 함수 [eqn: y= sin pix over2]의 그래프는 직선 [eqn: x=1 ,] [eqn: x=3]에 대하여 대칭이고 점 [eqn: (2,~0)]에 대하여 대칭이다.
그러므로
[eqn: alpha(t)= 1+k] [eqn: left(0<k leq1)]
로 놓으면
[eqn: beta(t)= 4-k]
그러므로
[eqn: alpha(t)+ beta(t)=5] <참>

ㄴ. 실근 [eqn: alpha(t) ,] [eqn: beta (t)]는 집합 [eqn: left{x``| ``0 leqx <4 right}]의 원소이므로
[eqn: beta(0)=3,] [eqn: alpha(0)=0]
그러므로 주어진 식은

[eqn: left{ t ``|`` beta(t) - alpha(t) = beta(0)- alpha(0) right}][eqn: = left{ t``|`` beta(t)- alpha(t)=3 right}]

(ⅰ) [eqn: 0 leq t leq sqrt2 over2]일 때,
[eqn: t=0]이면 [eqn: beta(0)- alpha(0)=3-0=3]
[eqn: t!=0]이면 다음 그림과 같다.

이때, [eqn: alpha (t)=k] [eqn: left(0<k leq 1 over2 right)]
이라 하면
[eqn: beta(t)=3+k]
그러므로 [eqn: beta(t)-alpha(t)=3]

(ⅱ) [eqn: sqrt2 over2 <t<1]일 때,

이때, [eqn: alpha(t)=k] [eqn: left(0 <k< 1 over2 right)]
이라 하면
[eqn: beta(t)= 4-k]
그러므로
[eqn: beta(t)- alpha(t)=4-2k] [eqn: (0 <2k<1)]

(ⅲ) [eqn: t=1]일 때,
[eqn: alpha(1)=0,] [eqn: beta(1)=1]이므로
[eqn: beta(1)-alpha(1)=1]

(ⅳ) [eqn: -1 leq t<0]일 때,

[eqn: 1< alpha(t) leq2 ,] [eqn: 3 leq beta(t) <4]이므로
[eqn: beta(t)-alpha(t)<3]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에서
[eqn: left{t``|``beta(t)- alpha(t)=3 right}][eqn: = left{t left| 0 leq t leq sqrt2 over2 right}] <참>

ㄷ. [eqn: alpha left(t_1 right) = alpha left(t_2 right)]이기 위해서는
[eqn: 0<t_1 < sqrt2 over2 <t_2]
이때, [eqn: alpha(t_1 ) = alpha(t_2 ) = alpha]라 하면
[eqn: t_1 = sin pi over2 alpha ,] [eqn: t_2 = cos pi over2 alpha]
이때, [eqn: t_2 = t_1 + 1 over2]이므로
[eqn: cos pi over2 alpha = sin pi over2 alpha + 1 over2]
이 식을 [eqn: cos^2 pi over2 alpha + sin^2 pi over2 alpha =1]에 대입하면
[eqn: 2 sin^2 pi over2 alpha + sin pi over2 alpha + 1 over4 =1]
[eqn: 8 sin^2 pi over2 alpha + 4 sin pi over2 alpha -3=0]
[eqn: sin pi over2 alpha = {- 2 +- sqrt28} over8]
이때, [eqn: sin pi over2 alpha >0]이므로
[eqn: sin pi over2 alpha = {-1 + sqrt7 } over4]
그러므로
[eqn: t_1 = {-1+ sqrt7} over4 ,]
[eqn: t_2 = t_1 + 1 over2 = { 1+ sqrt7 } over4]
따라서
[eqn: t_1 times t_2 = { left(-1 + sqrt7 right) left(1+ sqrt7 right )} over16 = 3 over8] <거짓>

[eqn: LEFT ( sin` {pi`x} over {2} -t RIGHT ) LEFT ( cos` {pi`x} over {2} -t RIGHT )][eqn: =0]

의 실근 중에서 집합 [eqn: LEFT { x``|``0 LEQ x<4 RIGHT }]에 속하는 가장 작은 값을 [eqn: alpha LEFT ( t RIGHT )], 가장 큰 값을 [eqn: beta LEFT ( t RIGHT )]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점][21년 6월 평가원]

		| 보기 |
	ㄱ. [eqn: -1 LEQ t<0]인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: alpha LEFT ( t RIGHT ) + beta LEFT ( t RIGHT )][eqn: =5]이다. ㄴ. [eqn: LEFT { t``|`` beta LEFT ( t RIGHT ) - alpha LEFT ( t RIGHT ) = beta LEFT ( 0 RIGHT ) - alpha LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT }][eqn: = LEFT { t` LEFT | `0 LEQ t LEQ {sqrt {2}} over {2} RIGHT . RIGHT }] ㄷ. [eqn: alpha LEFT ( t _{1} RIGHT )][eqn: = alpha LEFT ( t _{2} RIGHT )]인 두 실수 [eqn: t _{1} ,~t _{2}]에 대하여 [eqn: t _{2} -t _{1}][eqn: = {1} over {2}]이면 [eqn: t _{1} TIMES t _{2}][eqn: = {1} over {3}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ	④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

삼각함수의 활용(4점)

그림과 같이 [eqn: rm {bar{AB}}][eqn: =4], [eqn: {bar{rmAC}}][eqn: =5]이고 [eqn: cos` LEFT ( ANGLE rm BAC RIGHT )][eqn: = {1} over {8}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmAC] 위의 점 [eqn: rmD]와 선분 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rmE]에 대하여

③

[출제의도] 코사인법칙과 삼각비를 이용하여 변의 길이를 구할 수 있는가?

삼각형 [eqn: rmABD]에서

[eqn: rm angle BAC = angleBDA]이고 [eqn: rm barAB =4]이므로

[eqn: rm barBD =4]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이때 점 [eqn: rmB]에서 선분 [eqn: rmAD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

[eqn: rm barAH = barAB cos left( angleBAC right) = 4 times 1 over8 = 1 over2]

그러므로

[eqn: rm barAD =1]

삼각형 [eqn: rmBCD]는 [eqn: rm barDB = barDC =4]인 이등변삼각형이다.

점 [eqn: rmD]에서 변 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`' ,] [eqn: rm barDE = itx]라 하면

[eqn: rm bar {DH`'}][eqn: = x sin left( angle rmH`'ED right)]
[eqn: = x times sqrt{ 1- left( 1 over8 right)^2 }]
[eqn: = sqrt63 over8 x]	[eqn: cdotscdots] ㉡

한편, 삼각형 [eqn: rm ABC]에서

[eqn: rm {barBC}^2][eqn: = rm {barAB}^2 + {barAC}^2]
[eqn: = -2 times rm barAB times barAC times cos left( angleBAC right)]
[eqn: = 4^2 + 5^2 - 2 times 4 times 5 times 1 over8]
[eqn: = 36]

이므로

[eqn: rm barBC =6]

이때, [eqn: rm{bar{BH`'} } = 1 over2 barBC =3]	[eqn: cdotscdots] ㉢

직각삼각형 [eqn: rm DBH`']에서 ㉠, ㉡, ㉢을 이용하면

[eqn: 4^2 = left( sqrt63 over8 x right)^2 +3^2]

[eqn: 63 over64 x^2 =7]

[eqn: x^2 = 64 over9]

[eqn: rm barDE = itx]이므로 [eqn: x>0]

따라서 [eqn: rm barDE = 8 over3]

[eqn: ANGLE rm BAC= ANGLE rm BDA= ANGLE rm BED]

일 때, 선분 [eqn: rmDE]의 길이는? [4점][21년 6월 평가원]

① [eqn: {7} over {3}]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: {8} over {3}]	④ [eqn: {17} over {6}]	⑤ [eqn: 3]

그림과 같이 [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =2], [eqn: {bar{rm AC}} // {bar{rm BD}}], [eqn: {bar{rm AC}} ``:`` {bar{rm BD}}][eqn: =1``:``2]인 두 삼각형 [eqn: rmABC], [eqn: rmABD]가 있다. 점 [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발 [eqn: rmH]는 선분 [eqn: rmrmAB]를 [eqn: 1``:``3]으로 내분한다.

[eqn: 15]

[출제의도] 사인법칙을 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: {bar{rm AC it}}][eqn: =k`]라 하면 [eqn: {bar{rm BD it}}][eqn: =2k`]이고

[eqn: rm bar{AH} : bar{HB}][eqn: =1:3`]이므로 [eqn: {bar{rm AH it}}][eqn: = {1} over {2} `]

[eqn: ANGLE rm CAB][eqn: = theta `]라 할 때, 두 삼각형 [eqn: rmABC], [eqn: rmABD`]에서 사인법칙을 이용하면

[eqn: {{bar{rm BC it}} over {sin ` theta}][eqn: =2 it r], [eqn: {{bar{rm AD it}}} over { sin ( pi - theta )][eqn: ={{bar{rm AD it}}} over { sin ` theta}][eqn: =2R]

즉, [eqn: {{bar{rm BC it}}][eqn: } =2 it r sin` theta], [eqn: rm bar{AD}][eqn: =2R sin` theta]

[eqn: 4(R ^{2} -r ^{2} ) TIMES sin ^{2} `theta][eqn: = left( 2R sin `theta right)^2 - left( 2 r sin ` theta )^2]이므로

두 식을 [eqn: left( 2R sin `theta right)^2 - left( 2 r sin ` theta )^2][eqn: =51`]에 대입하면

[eqn: {bar{rm AD it}} ^{2} - {bar{rm BC it}} ^{2}][eqn: =51]	[eqn: cdotscdots] ㉠

삼각형 [eqn: rmAHC`]에서 [eqn: cos`theta][eqn: = rm {bar{AH}} over { bar{CA}}][eqn: = {1} over {2k}`]이므로

두 삼각형 [eqn: rmABC], [eqn: rmABD`]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: {bar{rm BC it}} ^{2}][eqn: = rm {bar{AB}} ^{2} + rm {bar{AC}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{AB}} TIMES rm {bar{AC}} TIMES cos `theta]
[eqn: =4+k ^{2} -2 TIMES 2 TIMES k TIMES cos `theta][eqn: =k^{2} +2] [eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: {bar{rm AD it}}^{2}][eqn: = rm {bar{AB}} ^{2} + rm {bar{BD}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{AB}} TIMES rm {bar{BD}} TIMES cos ( pi - theta )]
[eqn: =4+4k^{2} +2 TIMES 2 TIMES 2k TIMES cos` theta][eqn: =4k ^{2} +8] [eqn: cdotscdots] ㉢

㉡, ㉢을 ㉠에 대입하면 [eqn: {bar{rm AD it}} ^{2} - {bar{rm BC it}} ^{2}][eqn: =3k^{2} +6][eqn: =51]

즉, [eqn: k ^{2}][eqn: =15`]

따라서 [eqn: {bar{rm AC it}} ^{2}][eqn: =15]

두 삼각형 [eqn: rmABC], [eqn: rmABD]의 외접원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: r], [eqn: R]라 할 때, [eqn: 4 LEFT ( R ^{2} -r ^{2} RIGHT ) TIMES sin ^{2} ` LEFT ( ANGLE rm CAB RIGHT )][eqn: =51]이다. [eqn: {bar{rm AC}} ^{2}]의 값을 구하시오. [eqn: LEFT ( pile{it#it}]단, [eqn: ANGLE rm CAB< {pi} over {2}][eqn: pile{it#it} RIGHT )] [4점][21년 3월 교육청]

반지름의 길이가 [eqn: 2 sqrt {7}]인 원에 내접하고 [eqn: angle rm A = pi over 3]인 삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 점 [eqn: rm A]를 포함하지 않는 호 [eqn: rm BC] 위의 점 [eqn: rm D]에 대하여 [eqn: sin LEFT ( angle rmBCD RIGHT )``it= {2sqrt {7}} over {7}]일 때, [eqn: bar {rm BD}`it+bar {rm CD}]의 값은? [4점][9월 평가원]

②

[출제의도] 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 삼각형의 변의 길이를 구할 수 있는가?

삼각형 [eqn: rm ABC]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 2root7]이므로 사인법칙에 의하여

[eqn: {rm bar BC }over{sin (angle rm BAC )}= 4root7]

즉,

[eqn: rm {bar{BC}}][eqn: rm =sin` {pi } over {3} TIMES 4 sqrt {7}]
[eqn: = root3 over 2 times 4 root7][eqn: = 2 root21]

또, 삼각형 [eqn: rm BCD]의 외접원의 반지름의 길이도 [eqn: 2root7]이므로 삼각형 [eqn: rm BCD]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {rm {bar{BD}}} over {sin( ANGLE rm BCD)} =4 sqrt {7}]

즉,

[eqn: rm barBD][eqn: = sin (rm angle BCD ) times 4 root7]
[eqn: = {2root7 }over 7 times 4root7 = 8]

한편, [eqn: rm angle BDC = pi - angle BAC = 2 over 3 pi `]이므로

[eqn: rm bar CD = it x`]라 하면 삼각형 [eqn: rm BCD]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: (2root21 )^2 = x^2 + 8^2 - 2 times x times 8 times cos` 2 over 3 pi]

[eqn: x^2 +8x -20 =0]

[eqn: (x-2)(x+10) =0]

[eqn: x>0]이므로 [eqn: x=2]

즉, [eqn: rm bar CD =2]

따라서 [eqn: rm bar BD + bar CD = 8+2 = 10]

① [eqn: 19 over 2]	② [eqn: 10`]	③ [eqn: 21 over 2]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 23 over 2]

그림과 같이 [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: = it 5], [eqn: {bar{rm BC}}][eqn: =4], [eqn: cos` LEFT ( ANGLE rm ABC RIGHT )][eqn: = {1} over {8}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. [eqn: ANGLE rm ABC]의 이등분선과 [eqn: ANGLE rm CAB]의 이등분선이 만나는 점을 [eqn: rmD], 선분 [eqn: rmBD]의 연장선과 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원이 만나는 점을 [eqn: rmE]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점][21년 3월 교육청]

②

[출제의도] 코사인법칙을 이용하여 도형의 성질을 추론한다.

[eqn: angle rm ABC][eqn: =theta`]라 하자.

ㄱ. 삼각형 [eqn: rmABC`]에서 코사인법칙을 이용하면
[eqn: rm {bar{AC}} ^{2}][eqn: = rm {bar{AB}} ^{2} + rm {bar{BC}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{AB}} TIMES rm {bar{BC}} TIMES cos `theta]
이므로 [eqn: rm {bar{AC}} ^{2}][eqn: =5 ^{2} +4 ^{2} -2 TIMES 5 TIMES 4 TIMES {1} over {8}][eqn: =36`]
그러므로 [eqn: rmbar{AC}][eqn: =6] (참)

ㄴ. 호 [eqn: rm EA`]에 대한 원주각의 크기는 서로 같으므로
[eqn: rm ANGLE ACE][eqn: = rm ANGLE ABE]
호 [eqn: rm CE`]에 대한 원주각의 크기는 서로 같으므로
[eqn: rmangleEAC][eqn: =rmangleEBC]
한편, [eqn: rm ANGLE ABE][eqn: = rm ANGLE EBC`]이므로 [eqn: rm ANGLE ACE][eqn: = rm ANGLE EAC]
그러므로 삼각형 [eqn: rm EAC`]는 [eqn: rm {bar{EA}}][eqn: = rm {bar{EC}} `]인 이등변삼각형이다. (참)

ㄷ. 삼각형 [eqn: rm ABD`]에서 [eqn: rm ANGLE ADE][eqn: = rm ANGLE DAB+ ANGLE ABD]
한편, [eqn: anglerm DAB][eqn: rm =angleCAD], [eqn: rm ANGLE ABD][eqn: = rm ANGLE EBC`]

그러므로 [eqn: rm ANGLE ADE][eqn: = rm ANGLE CAD+ ANGLE EBC]
[eqn: = rm ANGLE CAD+ ANGLE EAC]
[eqn: = rm ANGLE EAD]

즉, 삼각형 [eqn: rmEAD`]는 [eqn: rmbar{EA}][eqn: = rm {bar{ED}} `]인 이등변삼각형이다. 삼각형 [eqn: rmEAC`]에서 코사인법칙을 이용하면
[eqn: rm {bar{AC}} ^{2}][eqn: = rm {bar{EA}} ^{2} + rm {bar{EC}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{EA}} TIMES rm {bar{EC}} TIMES `cos `LEFT ( rm pi - thetaRIGHT ) `]이고
ㄴ에서 [eqn: rm {bar{EA}}][eqn: = rm {bar{EC}} `]이므로
[eqn: 36][eqn: =2 TIMES rm {bar{EA}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{EA}} ^{2} TIMES LEFT ( - {1} over {8} RIGHT )], [eqn: rm {bar{EA}}][eqn: =4]
그러므로 [eqn: rmbar{EA}][eqn: = rm {bar{ED}} `]에서 [eqn: rm {bar{ED}}][eqn: =4] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

		| 보기 |
	ㄱ. [eqn: {bar{rm AC}}][eqn: =6] ㄴ. [eqn: {bar{rm EA}}][eqn: = {bar{rm Ec}}] ㄷ. [eqn: {bar{rm ED}}][eqn: = {31} over {8}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ	④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원 위의 점 [eqn: rmC]에 대하여

[eqn: 27]

[출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제해결하기

선분 [eqn: rmAB]는 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 지름이므로

삼각형 [eqn: rmABC]는 직각삼각형이다.

[eqn: ANGLE rm BCA][eqn: = {pi} over {2}], [eqn: ANGLE rm CAB][eqn: = alpha]라 하면

[eqn: cos` alpha][eqn: = {1} over {3}]이고, [eqn: sin ^{2} ` alpha][eqn: =1-cos ^{2} ` alpha][eqn: = {8} over {9}]이므로

[eqn: sin` alpha][eqn: = {2 sqrt {2}} over {3}]

[eqn: {bar{rm BC}}][eqn: = {bar{rm AB it}} TIMES sin` alpha]이므로 [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =18]이고, [eqn: {bar{rm AC}}][eqn: =6]

점 [eqn: rmD]는 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 5``:``4]로 내분하는 점이므로

[eqn: {bar{rm AD}}][eqn: =10]

삼각형 [eqn: rmCAD]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rm DC}} ^{2}][eqn: =6 ^{2} +10 ^{2} -2 TIMES 6 TIMES 10 TIMES cos` alpha][eqn: =96]

[eqn: {bar{rmDC}}][eqn: = sqrt {96}][eqn: =4 sqrt {6}]

삼각형 [eqn: rmCAD]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면,

사인법칙에 의하여

[eqn: {{bar{rm DC}}} over {sin` alpha }][eqn: =2R]에서 [eqn: R][eqn: =3 sqrt {3}]

삼각형 [eqn: rmCAD]의 외접원의 넓이 [eqn: S][eqn: =27pi]

따라서 [eqn: {S} over {pi}][eqn: =27]

[eqn: {bar{rm BC}}][eqn: =12 sqrt {2}], [eqn: cos LEFT ( ANGLE rm CAB RIGHT )][eqn: = {1} over {3}]

이다. 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 5``:``4]로 내분하는 점을 [eqn: rmD]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmCAD]의 외접원의 넓이는 [eqn: S]이다. [eqn: {S} over {pi}]의 값을 구하시오. [4점][7월 교육청]

[eqn: rm {bar{AB}} =6], [eqn: rm barAC = 8]인 예각삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: angle rm A]의 이등분선과 삼각형 [eqn: rm ABC]의 외접원이 만나는 점을 [eqn: rm D], 점 [eqn: rm D]에서 선분 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm E]라 하자. 선분 [eqn: \AE]의 길이를 [eqn: k`]라 할 때, [eqn: 12k`]의 값을 구하시오. [4점][10월 교육청]

[eqn: 84]

[출제의도] 코사인법칙을 이용하여 문제를 해결한다.

호 [eqn: \BD`]와 호 [eqn: \DC`]에 대한 원주각의 크기가 같으므로

[eqn: \ angleCBD = angleCAD = angleDAB =angle DCB`]이다. 즉, [eqn: {bar{rm BD}}][eqn: = {bar{rm DC}}]

[eqn: {bar{rm BD}}][eqn: = {bar{rm DC}}][eqn: =a], [eqn: bar{rmAD}][eqn: =b], [eqn: ANGLE rm CAD= theta `]라 하면 [eqn: ANGLE rm DAB= theta `]이고

[eqn: {{bar{rm BD}}^2 = {bar{rm DC}}^2`]이므로 삼각형 [eqn: \DAB`]와 삼각형 [eqn: \CAD`]에 각각

코사인법칙을 적용하면

[eqn: 6^2 + b^2 - 2 times 6 times b times \cos` theta][eqn: =b^2 + 8^2 - 2 times b times 8 times \cos `theta],

[eqn: 4b cos `theta][eqn: = 28`]이므로 직각삼각형 [eqn: \ADE`]에서 [eqn: k][eqn: =b cos `theta][eqn: = 7]

따라서 [eqn: 12k][eqn: = 84]

수능대비	단원별 기출문제	수학1

03

수열

등차수열(2,3점)

공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{4`}][eqn: =100]일 때, [eqn: a _{1}]의 값은? [2점][21년 3월 교육청]

①

[출제의도] 등차수열의 첫째항을 구한다.

등차수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{`n}][eqn: =a+ ( n-1 ) d`]

그러므로 [eqn: a _{`4}][eqn: =a_{`1}+ ( 4-1 ) TIMES 3][eqn: =a_{`1}+9]

즉, [eqn: a_{`1}+9][eqn: =100]

따라서 [eqn: a_{`1}][eqn: =91]

① [eqn: 91]	② [eqn: 93]	③ [eqn: 95]	④ [eqn: 97]	⑤ [eqn: 99]

공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{5} -a _{2}]의 값은? [2점][21년 4월 교육청]

①

[출제의도] 등차수열 이해하기

[eqn: a _{5} -a _{2}][eqn: =3 TIMES 2][eqn: =6]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

공차가 [eqn: d`]인 등차수열 [eqn: left{a_{`n} right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 [eqn: n^2 -5n`]일 때, [eqn: a_{`1} +d `]의 값은? [3점][10월 교육청]

②

[출제의도] 등차수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이해한다.

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{`n}]이라 하면

[eqn: S _{`1}][eqn: =`1 ^{2} -5times1][eqn: =it-4], [eqn: S _{`2}][eqn: =`2^2 -5 times2][eqn: =it-6]

그러므로 [eqn: a_2][eqn: =S_{`2} - S_{`1}][eqn: =it -6 - (-4)][eqn: =it-2]

따라서 [eqn: a_1 +d][eqn: =a_2][eqn: =it-2]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

첫째항이 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자.

②

[출제의도] 등차수열에서 주어진 조건을 만족시키는 수열의 합을 구할 수 있는가?

[eqn: S_3 -S_2 =a_3]이므로

[eqn: a_6 = 2a_3]

등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: 2+ 5d = 2(2+2d)]

[eqn: 2+ 5d =4+4d]에서

[eqn: d=2]

따라서 [eqn: a_10 = 2+ 9 times 2 = 20]이므로

[eqn: S_10][eqn: = {10 left(a_1 + a_10 right) } over2]
[eqn: = { 10 times left(2+ 20 right) } over2]
[eqn: = 110]

[eqn: a _{6}][eqn: =2 LEFT ( S _{3} -S _{2} RIGHT )]

일 때, [eqn: S _{10}]의 값은? [3점][21년 6월 평가원]

① [eqn: 100`]	② [eqn: 110`]	③ [eqn: 120`]	④ [eqn: 130`]	⑤ [eqn: 140`]

등차수열(4점)

첫째항이 [eqn: -45]이고 공차가 [eqn: d`]인 등차수열 [eqn: left{a _{`n} right}]이 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 자연수 [eqn: d`]의 값의 합은? [4점][9월 평가원]

②

[출제의도] 등차수열의 성질과 합을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 등차수열의 공차를 구할 수 있는가?

[eqn: a_1 = it-45 <0] 이고 [eqn: d>0]이므로 조건 (가)를 만족시키기 위해서는

[eqn: a_m <0], [eqn: a_m+3 >0]

즉, [eqn: - a_m = a_m+3] 에서 [eqn: a_m + a_m+3 =0]

따라서,

[eqn: LEFT { -45+(m-1)d RIGHT } + LEFT { -45+(m+2)d RIGHT } =0]

[eqn: -90 +(2m+1)d =0]

[eqn: (2m+1)d = 90]	[eqn: CDOTS CDOTSit]㉠

이고 [eqn: 2m+1]은 [eqn: 1]보다 큰 홀수이므로 [eqn: d`]는 짝수이다.

그런데, [eqn: 90 = 2 times 3^2 times 5] 이므로 ㉠을 만족시키는 [eqn: 90]의 약수 중에서 짝수인 것은 [eqn: 2], [eqn: 6], [eqn: 10], [eqn: 18], [eqn: 30]이다.

또한, 조건 (나)에서

[eqn: sum from k=1 to n a_k = {n left{ 2 times (-45) + (n-1)d right}} over 2 >it-100]

[eqn: n left{ -90+(n-1) d right} >-200]	[eqn: CDOTS CDOTSit]㉡

따라서 [eqn: 2], [eqn: 6], [eqn: 10], [eqn: 18], [eqn: 30] 중에서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 ㉡을 만족시키는 경우는 [eqn: 18], [eqn: 30]이므로 구하는 모든 자연수 [eqn: d`]의 값의 합은

[eqn: 18+30 = 48]

(가) [eqn: LEFT | `a _{`m} ` RIGHT |`it = LEFT | `a _{`m+3} ` RIGHT |]인 자연수 [eqn: m`]이 존재한다.

(나) 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: sum _{k`=`1} ^{n} a _{`k} > rm-100]이다.

① [eqn: 44]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 52]

④ [eqn: 56]	⑤ [eqn: 60]

등비수열(2,3점)

등비수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }`]에 대하여

⑤

[출제의도] 등비수열의 일반항을 이해하고 있는가?

등비수열 [eqn: left{ a_n right}]의 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a_2 a_4 = 36]

에서 [eqn: a_1 =2]이므로

[eqn: 2r times 2r^3 = 36]

즉, [eqn: r^4 = 9]

따라서

[eqn: a_7 over a_3 = {a_1 r^6 }over{a_1 r^2 }= r^4 = 9]

[eqn: a _{`1}`it = 2],  [eqn: a _{`2`} a _{`4} =36]

일 때, [eqn: {a _{`7}} over {a _{`3}}]의 값은? [3점][9월 평가원]

① [eqn: 1`]	② [eqn: SQRT3]	③ [eqn: 3`]

④ [eqn: 3SQRT3]	⑤ [eqn: 9`]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: 4]

[출제의도] 등비수열의 항을 구할 수 있는가?

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 공비를 [eqn: r ,] [eqn: a_1 =a]라 하면 [eqn: a_2 =36]에서

[eqn: ar=36]	[eqn: cdotscdots] ㉠

또, [eqn: a_7 = 1 over3 a_5]에서

[eqn: ar^6 = 1 over3 ar^4]

[eqn: r^2 = 1 over3]	[eqn: cdotscdots] ㉡

따라서 ㉠과 ㉡에서

[eqn: a_6] [eqn: = ar^5]
[eqn: = ar times r^4]
[eqn: = 36 times left( 1 over3 right)^2]
[eqn: =4]

[eqn: a _{2} =36], [eqn: a _{7}][eqn: = {1} over {3} a _{5}]

일 때, [eqn: a _{6}]의 값을 구하시오. [3점][21년 6월 평가원]

첫째항이 [eqn: {1} over {4}]이고 공비가 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: 16]

[출제의도] 등비수열 이해하기

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r (r>0)]이라 하자.

[eqn: a _{3} +a _{5} = {1} over {a _{3}} + {1} over {a _{5} }]에서

[eqn: a _{3} +a _{5} = {a _{3} +a _{5}} over {a _{3} a _{5}} ,~ a _{3} a _{5} =1]이므로

[eqn: {1} over {4} r ^{2} TIMES {1} over {4} r ^{4} =1 ,~ r ^{6} =16 ,~ r ^{3} =4]

따라서 [eqn: a _{10} = {1} over {4} r ^{9} = {1} over {4} (r ^{3} ) ^{3} =16]

[eqn: a _{3} +a _{5}][eqn: = {1} over {a _{3}} + {1} over {a _{5}}]

일 때, [eqn: a _{10}]의 값을 구하시오. [3점][21년 4월 교육청]

첫째항이 [eqn: a]([eqn: a>0])이고, 공비가 [eqn: r]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: 2a][eqn: =S _{2} +S _{3}], [eqn: r ^{2}][eqn: =64a ^{2}]일 때, [eqn: a _{5}]의 값은? [3점][7월 교육청]

②

[출제의도] 등비수열의 일반항 이해하기

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항은 [eqn: a _{n}][eqn: =ar ^{n-1}]

[eqn: 2a][eqn: =S _{2} +S _{3}]이므로

[eqn: 2a][eqn: = LEFT ( a+ar RIGHT ) + LEFT ( a+ar+ar ^{2} RIGHT )]

[eqn: ar LEFT ( 2+r RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: r ^{2}][eqn: =64a ^{2}][eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]에 의하여

[eqn: r != 0]이므로 [eqn: r][eqn: = it -2], [eqn: a][eqn: = {1} over {4}]

따라서 [eqn: a _{5}][eqn: = {1} over {4} TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) ^{4}][eqn: =4]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

등비수열(4점)

공차가 [eqn: d]이고 모든 항이 자연수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 117]

[출제의도] 등차수열과 등비수열의 성질을 활용하여 문제해결하기

[eqn: a _{1}][eqn: =a]라 하면

조건 (나)에 의하여

[eqn: LEFT { a+ LEFT ( k-1 RIGHT ) d RIGHT } ^{2}][eqn: = LEFT ( a+d RIGHT ) LEFT { a+ LEFT ( 3k-2 RIGHT ) d RIGHT }]

[eqn: d LEFT { k ^{2} -5k+3 RIGHT }][eqn: =a LEFT ( k+1 RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

모든 항이 자연수이므로

조건 (가)에서 [eqn: 0<a LEQ d]

[eqn: a LEFT ( k+1 RIGHT ) LEQ d LEFT ( k+1 RIGHT )]

[eqn: k ^{2} -5k+3 LEQ k+1]

[eqn: k ^{2} -6k+2 LEQ 0]

[eqn: 3- sqrt {7} LEQ k LEQ 3+ sqrt {7}]

[eqn: k GEQ 3]이므로 자연수 [eqn: k][eqn: =3,~4,~5]

㉠에서 [eqn: k ^{2} -5k+3>0]이므로 [eqn: k=5], [eqn: d=2a]

[eqn: 90 LEQ a _{16} LEQ 10], [eqn: a _{16}][eqn: =a+15d][eqn: =31a]

이므로 [eqn: a=3], [eqn: d=6]

따라서 [eqn: a _{20}][eqn: =a+19d][eqn: =][eqn: 117]

(가) [eqn: a _{1} LEQ d]

(나) 어떤 자연수 [eqn: k][eqn: LEFT ( k GEQ 3 RIGHT )]에 대하여
세 항 [eqn: a _{2} ,~a _{k} ,~a _{3k-1}]이 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

[eqn: 90 LEQ a _{16} LEQ 100]일 때, [eqn: a _{20}]의 값을 구하시오. [4점][7월 교육청]

수열의 합(2,3점)

두 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{`n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: 9]

[출제의도] 합의 기호의 성질을 이용하여 수열의 합을 구할 수 있는가?

[eqn: SUM_k=1^10 ( a_k + 2b_k ) = 45]에서

[eqn: SUM_k=1^10 a_k + 2 SUM_k=1^10 b_k = 45]	[eqn: cdotscdotsit]㉠

[eqn: SUM_k=1^10 (a_k - b_k ) = 3]에서

[eqn: SUM_k=1^10 a_k - SUM_k=1^10 b_k = 3]	[eqn: cdotscdotsit]㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: 3 SUM_k=1^10 b_k = 42]

즉, [eqn: SUM_k=1^10 b_k = 14]

따라서

[eqn: SUM_k=1^10 left(b_k - 1over 2 right)][eqn: = SUM_k=1^10 b_k - 10 times 1 over 2]
[eqn: = 14 - 5][eqn: =9]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} left(a _{`k} +2b _{`k} `right) =45],  [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{`k} -b _{`k} ` RIGHT ) =3]

일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} left(b _{`k} - 1 over 2 right)]의 값을 구하시오. [3점][9월 평가원]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항이

⑤

[출제의도] [eqn: rmSIGMA`]의 성질을 이용하여 수열의 합을 구한다.

자연수 [eqn: k`]에 대하여

[eqn: n][eqn: =2k-1`]일 때, [eqn: a_{`n }][eqn: =a_{`2k-1 }][eqn: = {left{ (2k-1)+1right}^2}over2][eqn: = 2k^2]

[eqn: n][eqn: =2k`]일 때, [eqn: a_{`n}][eqn: =a_{`2k}][eqn: = (2k)^2 over2 +2k+1][eqn: =2k^2 + 2k +1]

따라서 [eqn: sum_n=1^10 a_{`n}][eqn: = sum_k=1^5 a_{`2k-1} + sum_k=1^5 a_{`2k}]
[eqn: = sum_k=1^5 2k^2 + sum_k=1^5 (2k^2 +2k+1)]
[eqn: = sum_k=1^5 left{2k^2 + (2k^2 +2k+1)right}]
[eqn: = sum_k=1^5 (4k^2 +2k+1)]
[eqn: = 4 sum_k=1^5 k^2 +2 sum_k=1^5 k + sum_k=1^5 1]
[eqn: = 4times {5times6times11}over6 + 2times 5times6over2 + 1 times 5]
[eqn: = 255]

[eqn: a _{n}][eqn: = {cases{{LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} over {2}&~~~ LEFT ( n이~홀수인~경우 RIGHT )#{n ^{2}} over {2} +n+1&~~~ LEFT ( n이~짝수인~경우 RIGHT )}}]

일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{n}]의 값은? [3점][21년 3월 교육청]

① [eqn: 235`]	② [eqn: 240`]	③ [eqn: 245`]	④ [eqn: 250`]	⑤ [eqn: 255`]

수열 [eqn: left{a_{`n} right}`]은 [eqn: a _{`1} `it=it-4]이고, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

④

[출제의도] 여러 가지 수열의 합을 구할 수 있는가?

[eqn: sum from k=1 to n {a_k+1 -a_k} over {a_k a_k+1}][eqn: = sum from k=1 to n left( 1 over a_k - 1 over a_k+1 right)]
[eqn: = 1 over a_1 - 1 over a_n+1]
[eqn: = it- 1 over4 - 1 over a_n+1 = 1 over n]

이때, [eqn: 1 over a_n+1 = it- 1 over n - 1 over4]이므로 [eqn: n=12]를 대입하면

[eqn: 1 over a_13 = it- 1 over 12 - 1 over 4 =it - 1 over 3]

즉, [eqn: a_13 =it -3]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {a _{`k+1} -a _{`k}} over {a _{`k`}`a _{`k+1}}``it = {1} over {n}`]

을 만족시킨다. [eqn: a _{`13}]의 값은? [3점][9월 평가원]

① [eqn: -9]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -1]

수열의 합(4점)

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 구간 [eqn: (0,~1]]에서

⑤

[출제의도] 주기함수에서 함숫값을 구하고, 그 합을 구할 수 있는가?

(ⅰ) [eqn: k=1,~4,~9,~16]일 때
[eqn: f(1)=1]이고 [eqn: f(x+1)=f(x)]이므로
[eqn: f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=1]에서
[eqn: f left( sqrtk right) =1]

(ⅱ) [eqn: k != 1,~4,~9,~16]일 때
[eqn: f left( sqrtk right) =3]

따라서

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 20} k=210]이고, [eqn: 1+4+9+16=30]이므로

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 20 } { k times f left( sqrtk right) } over3]

[eqn: =sum _{ k=1 } ^{ 20} left{ k times f { left(sqrtk right)} over3 right}]

[eqn: = 30 times 1 over3 + (210-30) times 3 over3]

[eqn: = 10+ 180=190]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{eqalign{~3# }&eqalign{~~~ LEFT ( 0<x<1 RIGHT )# }#~1&~~~ LEFT ( x=1 RIGHT )}}]

이고, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+1 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]를 만족시킨다.

[eqn: sum _{k=1} ^{20} {k TIMES f LEFT ( sqrt {k} RIGHT )} over {3}]의 값은? [4점][21년 6월 평가원]

① [eqn: 150`]	② [eqn: 160`]	③ [eqn: 170`]	④ [eqn: 180`]	⑤ [eqn: 190`]

수열의 귀납적 정의(2,3점)

수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 7]

[출제의도] ∑의 성질을 이용하여 수열의 합을 구한다.

조건 (가)에서 [eqn: a_3][eqn: = a_1 -3], [eqn: a_4][eqn: =a_2 +3],

[eqn: a_5][eqn: = a_3 -3][eqn: = a_1 -6], [eqn: a_6][eqn: =a_4 +3][eqn: =a_2 +6`]이므로

[eqn: sum_k=1 ^6{a_k}][eqn: = a_1 +a_2 + left(a_ 1 -3 right) +left( a_2 +3 right) +left( a_1 -6 right) +left( a_2 +6 right)]
[eqn: = 3left( a_1 + a_2 right)]

조건 (나)에서 [eqn: sum_k=1 ^32 {a_k}][eqn: = 5 sum_k=1^6 {a_k }+a_1 +a_2][eqn: = 16 left( a_1 +a_2 right)]

따라서 [eqn: 16 left(a_1 +a_2 right)][eqn: = 112`]이므로 [eqn: a_1 +a_2][eqn: =7]

(가) [eqn: a _{`n+2} = {cases{a _{`n} -3 ~(n=1,````3)#a _{`n} +3 ~(n=2,````4)}}]

(나) 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a _{`n} =a _{`n+6}]이 성립한다.

[eqn: sum _{k=1} ^{32} a _{`k} =112]일 때, [eqn: a _{`1} +a _{`2}]의 값을 구하시오. [3점][10월 교육청]

수열 [eqn: left{ a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

⑤

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 수열의 합을 구한다.

자연수 [eqn: k`]에 대하여

(ⅰ) [eqn: n][eqn: =2k-1`]일 때, [eqn: a _{2k-1} +a _{2k}][eqn: =2(2k-1)][eqn: =4k-2]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{22} a _{n}][eqn: = sum _{k=1} ^{11} LEFT ( a _{2k-1} +a _{2k} RIGHT )]
[eqn: = sum _{k=1} ^{11} LEFT ( 4k-2 RIGHT )]
[eqn: =4times {11times12} over {2} -2times11][eqn: =242]

(ⅱ) [eqn: n][eqn: =2k`]일 때, [eqn: a _{2k} +a _{2k+1}][eqn: =2times2k][eqn: =4k]이므로

[eqn: sum _{n=2} ^{21} a _{n}][eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{2k} +a _{2k+1} RIGHT )]
[eqn: = sum _{k=1} ^{10} 4k]
[eqn: =4 TIMES {10 TIMES 11} over {2}][eqn: =220]

따라서 [eqn: a _{1} +a _{22}][eqn: = sum _{n=1} ^{22} a _{n} - sum _{n=2} ^{21} a _{n}][eqn: =242-220][eqn: =22]

자연수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: a _{2k} +a _{2k+1}][eqn: =4k], [eqn: a _{2k-1} +a _{2k}][eqn: =4k-2]이므로 [eqn: a _{2k+1} -a _{2k-1}][eqn: =2`]

즉, 수열 [eqn: LEFT { a _{2k-1} RIGHT } `]은 공차가 [eqn: 2`]인 등차수열이다.

그러므로 [eqn: a _{2k-1}][eqn: =a _{1} + LEFT ( k-1 RIGHT ) times2]	[eqn: cdotscdotsit]㉠

㉠에 [eqn: k=11`]을 대입하면 [eqn: a _{21}][eqn: =a _{1} +20]	[eqn: cdotscdotsit]㉡

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a _{n} +a _{n+1}][eqn: =2n`]이므로

[eqn: n=21`]을 대입하면 [eqn: a _{21} +a _{22}][eqn: =42`]	[eqn: cdotscdotsit]㉢

㉡을 ㉢에 대입하면 [eqn: LEFT ( a _{1} +20 RIGHT ) +a _{22}][eqn: =42`]

따라서 [eqn: a _{1} +a _{22}][eqn: =22`]

[eqn: a _{n} +a _{n+1} =2n]

을 만족시킬 때, [eqn: a _{1} +a _{22}`]의 값은? [4점][10월 교육청]

① [eqn: 18]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 22]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1}][eqn: =10]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

④

[출제의도] 수열의 귀납적 정의 이해하기

[eqn: a _{1}][eqn: =10]이므로

[eqn: a _{2}][eqn: =5- {10} over {10}][eqn: =4]

[eqn: a _{3}][eqn: =5- {10} over {4}][eqn: = {5} over {2}]

[eqn: a _{4}][eqn: = it -2 TIMES {5} over {2} +3][eqn: = it -2]

[eqn: a _{5}][eqn: =5- {10} over {-2}][eqn: =5+5][eqn: =10]

[eqn: VDOTS]

[eqn: a _{9}][eqn: =a _{5}][eqn: =a _{1}][eqn: =10], [eqn: a _{12}][eqn: =a _{8}][eqn: =a _{4}][eqn: = it -2]

따라서 [eqn: a _{9} +a _{12}][eqn: =8]

[eqn: a _{n+1} = {cases{5- {10} over {a _{n}}&~~~ LEFT ( a _{n} 이~정수인~경우 RIGHT )#eqalign{# -2a _{n} +3}&eqalign{# ~~~ LEFT ( a _{n} 이~정수가~아닌~경우 RIGHT )}}}]

를 만족시킨다. [eqn: a _{9} +a _{12}]의 값은? [3점][7월 교육청]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

⑤

[출제의도] 귀납적으로 정의된 수열의 항을 찾을 수 있는가?

[eqn: a_12 = 1 over2]이고 [eqn: a _{12} = {1} over {a _{11}}]이므로

[eqn: a_11 =2]

또, [eqn: a_11 = 8a_10]이므로

[eqn: a_10 = 1 over4]

또, [eqn: a_10 = 1 overa_9]이므로

[eqn: a_9 =4]

또, [eqn: a_9 = 8a_8]이므로

[eqn: a_8 = 1 over2]

또, [eqn: a_8 = 1 overa_7]이므로

[eqn: a_7 =2]

또, [eqn: a_7 = 8a_6]이므로

[eqn: a _{6} = {1} over 4]

또, [eqn: a_6 = 1 overa_5]이므로

[eqn: a_5 =4]

또, [eqn: a_5 = 8a_4]이므로

[eqn: a_4 = 1 over2]

또, [eqn: a_4 = 1 overa_3]이므로

[eqn: a_3 =2]

또, [eqn: a_3 = 8a_2]이므로

[eqn: a_2 = 1 over4]

또, [eqn: a_2 = 1 overa_1]이므로

[eqn: a_1 =4]

따라서

[eqn: a_1 +a_4 = 4+ 1 over2 = 9 over2]

[eqn: a _{n+1} = {cases{eqalign{~ {1} over {a _{n}}# }&eqalign{~~~ LEFT ( n이~홀수인~경우 RIGHT )# }#~8a _{n}&~~~ LEFT ( n이~짝수인~경우 RIGHT )}}]

이고 [eqn: a _{12}][eqn: = {1} over {2}]일 때, [eqn: a _{1} +a _{4}]의 값은? [4점][21년 6월 평가원]

① [eqn: {3} over {4}]	② [eqn: {9} over {4}]	③ [eqn: {5} over {2}]	④ [eqn: {17} over {4}]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: a _{1}][eqn: =2], [eqn: a _{2}][eqn: =4]이고 [eqn: 2] 이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: 162]

[출제의도] 수열의 귀납적 성질을 이용하여 수열의 합을 구한다.

[eqn: S_{`n+1}][eqn: =a_{`n+1} + S_{`n}`]이므로 [eqn: a _{`n+1} S _{`n}][eqn: =a _{`n}left (a _{`n+1} +S _{`n} right)],

[eqn: LEFT ( S _{`n} -a _{`n} RIGHT ) a _{`n+1}][eqn: =a _{n} S _{n}]

즉, [eqn: S _{`n-1} a _{`n+1}][eqn: =a _{`n} S _{`n}][eqn: (n ge2 )] [eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: a _{`1}][eqn: =`S _{`1}][eqn: =2], [eqn: a_2 =4`]이므로 [eqn: S_{`2}][eqn: =a_{`1} + a_{`2}][eqn: =6]

㉠에서 [eqn: a_{`n+1}][eqn: = { a_{`n} S_{`n}} over {S_{`n-1}} `] [eqn: cdotscdots] ㉡

㉡에 [eqn: n=2`], [eqn: 3], [eqn: 4`]를 차례로 대입하면

[eqn: a _{`3}][eqn: = {a_{`2} S_{`2}} over { S_{`1}}][eqn: ={4 times 6 } over 2][eqn: =12`]에서 [eqn: S _{`3}][eqn: =S_{`2} +a_{`3}][eqn: =6+12][eqn: =18]

[eqn: a _{`4}][eqn: = {a_{`3} S_{`3}} over { S_{`2}}][eqn: ={12 times 18 } over 6`][eqn: =36`]에서 [eqn: S _{`4}][eqn: =S_{`3} +a_{`4}][eqn: = 18 + 36][eqn: =54]

[eqn: a _{`5}][eqn: = {a_{`4} S_{`4}} over { S_{`3}}][eqn: ={36 times 54 } over 18`][eqn: =108`]

따라서 [eqn: S _{`5}][eqn: =S_{`4} +a_{`5}][eqn: =162]

[eqn: a _{n+1} `S _{n}][eqn: =a _{n} `S _{n+1}]

이 성립할 때, [eqn: S _{5}]의 값을 구하시오. [3점][21년 3월 교육청]

수열의 귀납적 정의(4점)

수열 [eqn: left{ a_{`n} right}]은 [eqn: LEFT |` a_{`1`}RIGHT | LEQ1]이고, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

①

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 조건을 만족시키는 첫째항을 구할 수 있는가?

먼저 [eqn: a_5]의 값을 구해 보자.

[eqn: -1 LEQ a _{5} <it- {1} over {2}]이면 [eqn: a_6 =it -2a_5 -2]이므로
[eqn: a_5 + a_6 =0]에서 [eqn: -a_5 -2=0]

즉, [eqn: a_5 =it -2]이고 이것은 조건을 만족시키지 않는다.

[eqn: - 1 over 2 le a_5 le 1 over 2]이면 [eqn: a_6 = 2a_5]이므로

[eqn: a_5 + a_6 = 0]에서 [eqn: 3a_5 =0]

즉, [eqn: a_5 =0]

[eqn: 1 over 2 < a_5 le 1]이면 [eqn: a_6 = it-2a_5 +2]이므로

[eqn: a_5 + a_6 =0]에서 [eqn: -a_5 +2 =0]

즉, [eqn: a_5 =2]이고 이것은 조건을 만족시키지 않는다.

그러므로 [eqn: a_5 =0]이고 이때 [eqn: a_4 =it -1] 또는 [eqn: a_4 =0] 또는 [eqn: a_4 = 1]이다.

한편 [eqn: 0 le a_n+1 le 1]일 때

[eqn: a_n = 1 over 2 a_n+1] 또는 [eqn: a_n = 1- 1 over 2 a_n+1]

(ⅰ) [eqn: a_4 =it -1]인 경우
[eqn: a_3 <0], [eqn: a_2 <0], [eqn: a_1 <0]이므로 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a_4 =0]인 경우

㉠ [eqn: a_3 =it -1]인 경우
[eqn: a_2 <0], [eqn: a_1 <0]이므로 조건을 만족시키지 않는다.

㉡ [eqn: a_3 =0]인 경우
[eqn: a_2 =0] 또는 [eqn: a_2 =1]이고,
[eqn: a_2 =0]일 때 [eqn: a_1 =1]이면 조건을 만족시키고, [eqn: a_2 = 1]일 때 [eqn: a_1 = 1 over 2]이고 이 경우도 조건을 만족시킨다.

㉢ [eqn: a_3 =1]인 경우
[eqn: a_2 = 1 over 2]이고 이때 [eqn: a_1 = 1 over 4] 또는 [eqn: a_ 1 = 3 over 4]이며, 이것은 조건을 만족시킨다.

(ⅲ) [eqn: a_4 =1]인 경우
[eqn: a_3 = 1 over 2]이고 이때 [eqn: a_2 = 1 over 4] 또는 [eqn: a_2 = 3 over 4]

㉠ [eqn: a_2 = 1 over 4]인 경우
[eqn: a_1 = 1 over 8] 또는 [eqn: a_1 = 7 over 8]이고 이것은 조건을 만족시킨다.

㉡ [eqn: a_2 = 3 over 4]인 경우
[eqn: a_1 = 3 over 8] 또는 [eqn: a_1 = 5 over 8]이고 이것은 조건을 만족시킨다.

따라서 조건을 만족시키는 모든 [eqn: a_1]의 값의 합은

[eqn: 1 + 1 over 2 + 1 over 4 + 3 over 4 + 1 over 8 + 7 over 8 + 3 over 8 + 5 over 8 = 9 over 2]

[eqn: a _{`n+1} `` it = {cases{~-2a _{`n} ` it -2~~` ^{` ^{` ^{`}}}&LEFT ( ` it -1`` it LEQ ` it a _{`n} ` it <` it - {1} over {2} ` it RIGHT ) ` ^{` ^{` ^{` ^{` ^{` ^{` ^{` ^{` ^{` ^{`}}}}}}}}}}# &# ~~~2a _{`n} ~~&LEFT ( ` it - {1} over {2} `` it LEQ ` it a _{`n} `` it LEQ ` it {1} over {2} ` it RIGHT )# &# ~-2a _{`n} ` it +2~~` _{` _{`}}&LEFT ( ` it {1} over {2} `` it <` it a _{`n} `` it LEQ 1` it RIGHT ) ` _{` _{` _{` _{` _{` _{` _{` _{` _{` _{`}}}}}}}}}}}}]

을 만족시킨다. [eqn: a_{`5}`it + a_{`6} = 0]이고 [eqn: sum_k=1^5 a_{`k} >0]이 되도록 하는 모든 [eqn: a_{`1}]의 값의 합은? [4점][9월 평가원]

① [eqn: 9over2 `]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 11 over 2]

④ [eqn: 6`]	⑤ [eqn: 13 over 2`]

첫째항이 자연수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: 5]

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 추론하기

(ⅰ) [eqn: a _{1} =1]일 때
[eqn: a _{1} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{2} =a _{1} -2=-1]
[eqn: a _{2} <0]이므로 [eqn: a _{3} =a _{2} +5=4]
[eqn: a _{3} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{4} =a _{3} -2=2]
[eqn: a _{4} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{5} =a _{4} -2=0]
[eqn: a _{5} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{6} =a _{5} -2=-2]
[eqn: a _{6} <0]이므로 [eqn: a _{7} =a _{6} +5=3]
[eqn: a _{7} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{8} =a _{7} -2=1=a _{1}]
[eqn: a _{8} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{9} =a _{8} -2=-1=a _{2 }]
[eqn: VDOTS]
그러므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+7} =a _{n}]을 만족시키고 [eqn: a _{15} =a _{8} =a _{1} =1]

(ⅱ) [eqn: a _{1} =2]일 때
(ⅰ)과 같은 방법으로 구하면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+7} =a _{n}]을 만족시키고
[eqn: a _{15} =a _{8} =a _{1} =2]

(ⅲ) [eqn: a _{1} =3]일 때
(ⅰ)과 같은 방법으로 구하면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+7} =a _{n}]을 만족시키고
[eqn: a _{15} =a _{8} =a _{1} =3]

(ⅳ) [eqn: a _{1} =4]일 때
(ⅰ)과 같은 방법으로 구하면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+7} =a _{n}]을 만족시키고
[eqn: a _{15} =a _{8} =a _{1} =4]

(ⅴ) [eqn: a _{1} =5]일 때
[eqn: a _{1} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{2} =a _{1} -2=3]
[eqn: a _{2} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{3} =a _{2} -2=1]
[eqn: a _{3} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{4} =a _{3} -2=-1]
[eqn: a _{4} <0]이므로 [eqn: a _{5} =a _{4} +5=4]
[eqn: a _{5} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{6} =a _{5} -2=2]
[eqn: a _{6} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{7} =a _{6} -2=0]
[eqn: a _{7} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{8} =a _{7} -2=-2]
[eqn: a _{8} <0]이므로 [eqn: a _{9} =a _{8} +5=3=a _{2 }]
[eqn: a _{9} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{10} =a _{9} -2=1=a _{3 }]
[eqn: VDOTS]
그러므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: 2]이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+7} =a _{n}]을 만족시키고
[eqn: a _{15} =a _{8} =-2 <0]

따라서 [eqn: a _{15} <0]이 되도록 하는 [eqn: a _{1}]의 최솟값은 [eqn: 5]이다.

[eqn: a _{n+1}][eqn: = {cases{eqalign{a _{n} -2# }&eqalign{~~~ LEFT ( a _{n} GEQ 0 RIGHT )# }#a _{n} +5&~~~ LEFT ( a _{n} <0 RIGHT )}}]

을 만족시킨다. [eqn: a _{15} <0]이 되도록 하는 [eqn: a _{1}]의 최솟값을 구하시오. [4점][21년 4월 교육청]

수학적 귀납법(4점)

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: l :x-2y + root5 =0] 위의 점 [eqn: rmP_{it`n}]과 [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: \Q_{`itn}]이 다음 조건을 만족시킨다.

⑤

[출제의도] 등비수열을 이용하여 삼각형의 넓이를 구하는 과정을 추론한다.

점 [eqn: rmR_{`itn+1}`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H _{` it n+1} `]이라 하면 직선 [eqn: l`]의 기울기가 [eqn: 1 over 2`]이므로 직선 [eqn: rm Q _{` it n} rm R _{` it n+1} `]의 기울기는 [eqn: {1} over {2} `]이다. 즉, [eqn: rm {bar{Q _{` it n} rm H _{` it n+1}}} `:` rm {bar{H _{` it n+1} rm R _{` it n+1}}} =2:1`]

직각삼각형 [eqn: rm Q _{`it n} rm R _{`it n+1} rm Q _{` it n+1} `]과 직각삼각형 [eqn: rm Q _{` it n} rm H _{`it n+1} rm R _{`it n+1} `]은 서로 닮음이므로 [eqn: rm {bar{Q _{` it n} rm R _{` it n+1}}} `:` rm {bar{R _{` it n+1} rm Q _{` it n+1}}} =2:1`]에서

[eqn: {bar{rm R _{` it n+1} rm Q _{` it n+1}}} = 1 OVER 2 TIMES rm {bar{rm Q _{` it n} rm R _{` it n+1}}}]

[eqn: rm {bar{rm Q _{` it n} rm R _{` it n+1}}}][eqn: =rm {bar{rm P _{` it n} rm P _{` it n+1}}}]이므로 [eqn: box{~(가)^`~}][eqn: = 1 over 2]

[eqn: bar{rmP_{`itn+1}rmQ_{`itn+1} }][eqn: = LEFT ( 1+ {BOX{~ (가)^` ~}} ` RIGHT ) TIMES {bar{rm P _{` it n} rm Q _{` it n}}}][eqn: = {3} over {2} TIMES {bar{rm P _{` it n} rm Q _{` it n}}}]이고

[eqn: rm bar{P_{`1} Q_{`1} }=1`]이므로 선분 [eqn: rm {P_{`itn}rmQ_{`itn}}]의 길이는 첫째항이 [eqn: 1], 공비가 [eqn: 3 over 2`]인 등비수열이다. 즉, [eqn: bar{rmP_{`itn}rmQ_{`itn}}][eqn: =LEFT ( 3 over2 RIGHT ) ^n-1]

그러므로 [eqn: box{~(나)^`~}][eqn: = { LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{n-1} }]

[eqn: bar{rmP_{`itn}rmP_{`itn+1}}][eqn: =bar{rmP_{`itn}rmQ_{`itn}} `]이므로

[eqn: bar{rmP_{`1}rmP_{`itn}}][eqn: = sum_ {k=1} ^n-1 `bar{rmP_{`itk} \P_{`itk+1} }][eqn: = {1 times left{LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{n-1} -1 right}} over {{3} over {2} -1}][eqn: = {2 LEFT { LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{n-1} -1 RIGHT }}]

그러므로 [eqn: box{~(다)^`~}][eqn: = {2 LEFT { LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{n-1} -1 RIGHT }}]

따라서 [eqn: p= {1} over {2}], [eqn: f(n)= LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{n-1}], [eqn: g(n)=2 left{ LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{n-1} -1 right}`]

이므로 [eqn: f(6p)+g(8p)][eqn: =f(3)+g(4)][eqn: = {9} over {4} + {19} over {4}][eqn: =7]

∙ 직선 [eqn: rmP_{it`n}rmQ_{it`n}]과 직선 [eqn: l`]이 서로 수직이다.

∙ [eqn: rm{bar{P_{it`n} rmQ_{it`n}}=bar{rmP_{it`n}rmP_{it`n+1}]이고 점 [eqn: rmP_{`itn+1}]의 [eqn: x`]좌표는 점 [eqn: rmP_{`itn}]의 [eqn: x`]좌표보다 크다.

다음은 점 [eqn: rmP_{`1}]이 원 [eqn: x^2 +y^2 =1]과 직선 [eqn: l`]의 접점일 때, [eqn: 2] 이상의 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 삼각형 [eqn: rmO rmQ_{`itn}rmP_{`itn}]의 넓이를 구하는 과정이다.

(단, [eqn: \O`]는 원점이다.)

자연수 [eqn: n`]에 대하여 점 [eqn: rmQ_{`itn}]을 지나고 직선 [eqn: l`]과 평행한 직선이

선분 [eqn: rmP_{`itn+1}rmQ_{`itn+1}]과 만나는 점을 [eqn: rmR_{`itn+1}]이라 하면
사각형 [eqn: {rmP_{`itn}{\Q_{`itn} }{\R}_{`itn+1} rmP_{`itn+1} }]은 정사각형이다.

직선 [eqn: l`]의 기울기가 [eqn: 1 over 2]이므로

[eqn: bar{rmR_{`itn+1}rmQ_{`itn+1} }= {BOX{~(가)^{`}~}} timesrm bar{rmP_{`itn}rmP_{`itn+1} }]

이고

[eqn: bar{rmP_{`itn+1}rmQ_{`itn+1} }][eqn: = left(1+ {BOX{~(가)^`~}} `right) times bar{rmP_{`itn}rmQ_{`itn}}]

이다. 이때, [eqn: rm bar{P_{`1} Q_{`1} }=1]이므로 [eqn: rm bar{P_{`itn}rmQ_{`itn}}][eqn: = BOX{~( 나)^{`}~}]이다.

그러므로 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: bar{rmP_{`1}rmP_{`itn}}][eqn: = sum_ {k=1} ^n-1 `bar{rmP_{`itk} \P_{`itk+1} }][eqn: = BOX{~(다)^{`}~}]

이다. 따라서 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 삼각형 [eqn: rmOQ_{`itn} rmP_{`itn}]의 넓이는

[eqn: 1over2 times bar{rmP_{`itn} rmQ_{`itn} }times bar{rmP_{`1}P_{`itn}][eqn: = 1over2 times BOX{~(나)^{`}~} `times left( `BOX{~(다)^{`}~} `right)]

이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나)와 (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때, [eqn: f(6p) + g(8p)]의 값은? [4점][10월 교육청]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: rm A it _{itn} LEFT ( itn,~n ^{2} RIGHT )]을 지나고 직선 [eqn: y][eqn: =nx]에 수직인 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmB _{itn}]이라 하자.

⑤

[출제의도] 수열의 합을 구하는 과정을 추론한다.

점 [eqn: rmA_{it` n} left( it n,``n^2 right)`]을 지나고 직선 [eqn: y][eqn: =nx`]에 수직인 직선의 기울기는 [eqn: - 1overn `]이므로 직선의 방정식은
[eqn: y -n^2][eqn: = it - 1overn (x-n)], [eqn: y][eqn: =it`box{~-{ 1over n }^` ~ }`timesx+n^2 +1]

즉, [eqn: box{~(가)^` ~}][eqn: = it - 1overn]

점 [eqn: \B_{it` n}`]의 좌표는 [eqn: - 1overn x +n^2 +1][eqn: =0`]에서 [eqn: left(it n^3 +n,``0 right)`]

점 [eqn: rm A_ {it `n} `]의 좌표는 [eqn: left( n ,`` n^2 right)`]이므로

[eqn: S_{`n}][eqn: = 1over2 times left( n^3 +n right) times n^2][eqn: = box{{~ n^5 + n^3 ^`} over 2 ~}]

즉, [eqn: box{~(나)^` ~}][eqn: = {n^5 +n^3} over {2}]

[eqn: sum_n=1^8 S_{`n} overn^3`][eqn: = sum_ n=1 ^8 { n^5 +n^3 }over {2 n^3}][eqn: = sum_ n=1 ^8 { n^2 +1 }over 2]
[eqn: = 1over 2 sum_n=1 ^8 n^2 + 1over2 sum_n=1 ^8 1]
[eqn: = 1over2 times { 8 times 9 times 17}over6 + 1over2 times 1 times 8]
[eqn: = 102+4][eqn: ={{BOX{~106^`~}}}]

즉, [eqn: box{~(다)^` ~}][eqn: = 106]

따라서 [eqn: f(n)][eqn: = it - 1 overn], [eqn: g(n)][eqn: = {n^5 + n^3 } over2], [eqn: r][eqn: =106`]이므로

[eqn: f(1)+g(2)+r][eqn: =it -1 + 20 + 106][eqn: =125]

다음은 삼각형 [eqn: rmA _{itn} rmOB _{itn}]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{8} {S _{n}} over {n ^{3}}]의 값을 구하는 과정이다. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

점 [eqn: rm A it _{itn} LEFT ( itn,~n ^{2} RIGHT )]을 지나고 직선 [eqn: y][eqn: =nx]에 수직인 직선의 방정식

[eqn: y][eqn: = {BOX{~~ LEFT ( 가 RIGHT ) ~~}} TIMES x+n ^{2} +1]

이므로 두 점 [eqn: rmA _{itn}], [eqn: rmB _{itn}]의 좌표를 이용하여 [eqn: S _{n}]을 구하면

[eqn: S _{n}][eqn: = {BOX{~~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~~}}]

따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{8} {S _{n}} over {n ^{3}}][eqn: = {BOX{~~ LEFT ( 다 RIGHT ) ~~}}]

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )], [eqn: g LEFT ( n RIGHT )]이라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: r]라 할 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +g LEFT ( 2 RIGHT ) +r]의 값은? [4점][21년 3월 교육청]

① [eqn: 105`]	② [eqn: 110`]	③ [eqn: 115`]	④ [eqn: 120`]	⑤ [eqn: 125`]

[eqn: 4] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [eqn: n] 이하의 네 자연수 [eqn: a,~b,~c,~d]가 있다.

⑤

[출제의도] 수열의 합을 이용하여 추론하기

점 [eqn: rmA(ita,~b)]에 대하여 점 [eqn: rmB(itc,~d)]가

[eqn: rm { {bar{OA }} BOT {bar{AB }} }], [eqn: {bar{rm OA}} = {bar{rm AB}}]를 만족시키려면

[eqn: c=a-b ,~ d=a+b]이어야 한다.

이때, [eqn: a>b]이고 [eqn: d]가 [eqn: n]이하의 자연수이므로

[eqn: b< {n} over {2}]이다.

[eqn: {n} over {2}] 미만의 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: b=k]일 때, [eqn: a+b LEQ n]을 만족시키는 자연수

[eqn: a]의 개수는 [eqn: n-2k]이다.

[eqn: 2]이상의 자연수 [eqn: m]에 대하여

(ⅰ) [eqn: n=2m]인 경우
[eqn: b]가 될 수 있는 자연수는
[eqn: 1]부터 [eqn: {BOX{~m-1~}}]까지이므로

[eqn: T _{2m}][eqn: = sum _{k=1} ^{{BOX{~m-1~}}} (2m-2k)]
[eqn: =2m(m-1)-m(m-1)]
[eqn: = {BOX{~m ^{2} -m~}}]

(ⅱ) [eqn: n=2m+1]인 경우
[eqn: b]가 될 수 있는 자연수는 [eqn: 1]부터 [eqn: m]까지이므로

[eqn: T _{2m+1}][eqn: = sum _{k=1} ^{m} (2m+1-2k)]
[eqn: =m(2m+1)-m(m+1)]
[eqn: = {BOX{~m ^{2} ~}}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: sum _{n=4} ^{20} T _{m} =614]

따라서 [eqn: f(m)=m-1,~ g(m)=m ^{2} -m ,~ h(m)=m ^{2}]

이므로 [eqn: f(5)+g(6)+h(7)][eqn: =4+30+49][eqn: =83]

∘ [eqn: a>b]

∘ 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( a,~b RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( c,~d RIGHT )]와 원점 [eqn: rmO]에 대하여 삼각형 [eqn: rmOAB]는 [eqn: ANGLE rm A][eqn: = {pi} over {2}]인 직각이등변삼각형이다.

다음은 [eqn: a,~b,~c,~d]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b,~c,~d RIGHT )]의 개수를 [eqn: T _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=4} ^{20} T _{n}]의 값을 구하는 과정이다.

점 [eqn: rm A it LEFT ( a,~b RIGHT )]에 대하여

점 [eqn: rm B it LEFT ( c,~d RIGHT )]가 [eqn: {bar{rm OA}} BOT {bar{rm AB}}], [eqn: {bar{rm OA}}][eqn: = {bar{rm AB}}]를 만족시키려면

[eqn: c][eqn: =a-b], [eqn: d][eqn: =a+b]이어야 한다.

이때, [eqn: a>b]이고 [eqn: d]가 [eqn: n] 이하의 자연수이므로 [eqn: b< {n} over {2}]이다.

[eqn: {n} over {2}] 미만의 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: b][eqn: =k]일 때, [eqn: a+b LEQ n]을 만족시키는 자연수 [eqn: a]의 개수는

[eqn: n-2k]이다.

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: m]에 대하여

(ⅰ) [eqn: n=2m]인 경우
[eqn: b]가 될 수 있는 자연수는 [eqn: 1]부터 [eqn: {BOX{~~ LEFT ( 가 RIGHT ) ~~}}]까지이므로
[eqn: T _{2m}][eqn: = sum _{k=1} ^{{BOX{~~ LEFT ( 가 RIGHT ) ~~}}} LEFT ( 2m-2k RIGHT )][eqn: = {BOX{~~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~~}}]

(ⅱ) [eqn: n][eqn: =2m+1]인 경우
[eqn: T _{2m+1}][eqn: = {BOX{~~ LEFT ( 다 RIGHT ) ~~}}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: sum _{n=4} ^{20} T _{n}][eqn: =614]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( m RIGHT ) ,~g LEFT ( m RIGHT ) ,~h LEFT ( m RIGHT )]이라 할 때, [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) +g LEFT ( 6 RIGHT ) +h LEFT ( 7 RIGHT )]의 값은? [4점][21년 4월 교육청]

① [eqn: 71]	② [eqn: 74]	③ [eqn: 77]	④ [eqn: 80]	⑤ [eqn: 83]