이차방정식과 이차함수

[동아]

이차방정식과 이차함수의 관계

ㄱ, ㄴ

이차함수 [eqn: f(x)=x^{2}+a x+b]에 대하여 일 때, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만난다.  안에 알맞은 조건만을 다음 중 있는 대로 고르시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이다.)

ㄱ. [eqn: a^{2}-4 b>0]

ㄴ. [eqn: b<0]

ㄷ. [eqn: f(1)>0]

③

두 이차방정식 [eqn: f(x) = 0`], [eqn: g(x) = 0`]의 판별식을 각각 [eqn: D_1 `], [eqn: D_2 `]라 하면

[eqn: D_1 `][eqn: =4 ^{2} -4 LEFT ( -3k ^{2} -12k+40 RIGHT ) `][eqn: =12 LEFT ( k-2 RIGHT ) LEFT ( k+6 RIGHT )]       [eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: D_2 `][eqn: = LEFT ( -12 RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( 3k ^{2} -36k+96 RIGHT ) `][eqn: = -12 left( k-10 right) left(k-2 right)] [eqn: cdotscdots] ㉡

(ⅰ) 두 함수 [eqn: y =f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 [eqn: x`]축이 만나는 점      의 개수가 [eqn: 0`]으로 같은 경우

㉠, ㉡에서 [eqn: {cases{`12 LEFT ( k-2 RIGHT ) LEFT ( k+6 RIGHT ) <0#`-12 LEFT ( k-10 RIGHT ) LEFT ( k-2 RIGHT ) <0}} ``]의 해가 [eqn: -6 <k<2`]이

므로 정수 [eqn: k`]는 [eqn: -5`], [eqn: -4`], [eqn: -3`], [eqn: -2`], [eqn: -1`], [eqn: 0`], [eqn: 1`]이고 그

개수는 [eqn: 7`]

(ⅱ) 두 함수 [eqn: y =f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 [eqn: x`]축이 만나는 점      의 개수가 [eqn: 1`]로 같은 경우

㉠, ㉡에서 [eqn: {cases{`12 LEFT ( k-2 RIGHT ) LEFT ( k+6 RIGHT ) =0#`-12 LEFT ( k-10 RIGHT ) LEFT ( k-2 RIGHT ) =0}} `]의 해가 [eqn: k=2`]이므로

정수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 1`]

(ⅲ) 두 함수 [eqn: y =f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 [eqn: x`]축이 만나는 점

의 개수가 [eqn: 2`]로 같은 경우

㉠, ㉡에서 [eqn: {cases{`12 LEFT ( k-2 RIGHT ) LEFT ( k+6 RIGHT ) >0#`-12 LEFT ( k-10 RIGHT ) LEFT ( k-2 RIGHT ) >0}} `]의 해가 [eqn: 2 <k<10`]이

므로 정수 [eqn: k`]는 [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`], [eqn: 6`], [eqn: 7`], [eqn: 8`], [eqn: 9`]이고 그 개수는 [eqn: 7`]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 모든 정수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 15`]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +4x-3k ^{2} -12k+40]의 그래프와 [eqn: x]축이 만나는 점의 개수와, 함수

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -12x+3k ^{2} -36k+96]의 그래프와 [eqn: x]축이 만나는 점의 개수가 서로 같도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 개수는?

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

[eqn: 2]

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -4x+k ^{2}]의 그래프가 [eqn: x]축과 한 점에서 만나려면 이차방정식 [eqn: x ^{2} -4x+k ^{2} =0]이 중근을 가져야 하므로 판별식을 [eqn: D _{1}]이라고 하면

[eqn: {D _{1}} over {4} = LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} -k ^{2} =4-k ^{2} =0]

[eqn: THEREFORE ~k=2`] 또는 [eqn: k=-2]      [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠          [eqn: CDOTS]➊

이차함수 [eqn: y=x ^{2} +2 LEFT ( k-1 RIGHT ) x+k ^{2} +2]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나지 않으려면 이차방정식

[eqn: x ^{2} +2 LEFT ( k-1 RIGHT ) x+k ^{2} +2=0]이 허근을 가져야 하므로 판별식을 [eqn: D _{2}]라고 하면

[eqn: {D _{2}} over {4} = LEFT ( k-1 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( k ^{2} +2 RIGHT ) <0]

[eqn: -2k-1<0]  [eqn: THEREFORE `~k>- {1} over {2}]      [eqn: CDOTS CDOTS] ㉡       [eqn: CDOTS]➋

㉠, ㉡에서 [eqn: k=2]                      [eqn: `]       [eqn: CDOTS]➌

채점 기준	배점
➊ 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -4x+k ^{2}]의 그래프가 [eqn: x]축과 한 점에서 만나는 조건 구하기	2점
➋ 이차함수 [eqn: y=x ^{2} +2(k-1)x+k ^{2} +2] 의 그래프가 [eqn: x]축과 만나지 않는 조건 구하기	3점
➌ 상수 [eqn: k]의 값 구하기	1점

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -4x+k ^{2}]의 그래프는 [eqn: x]축과 한 점에서 만나고, 이차함수 [eqn: y=x ^{2} +2 LEFT ( k-1 RIGHT ) x+k ^{2} +2]의 그래프는 [eqn: x]축과 만나지 않을 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오.

[eqn: b<1`]

이차방정식 [eqn: x ^{2}-(a+2)bx+(a+1)b=0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면

실근을 가질 조건은 [eqn: D=(a+2) ^{2} b ^{2} -4`(a+1)`b>0`]

[eqn: therefore~ b>{4`(a+1)} over (a+2)^2]	…… ㉠

두 근이 모두 [eqn: 1`]이하라고 하면

(두 근의 합)[eqn: =(a+2)`b LEQ 2`]  …… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: {4`(a+1)} over a+2 <2`]   [eqn: therefore~ a<0]

[eqn: a>0]이라는 조건에 모순이다.

따라서 적어도 한 개의 근은 [eqn: 1]보다 크다.

[eqn: f(x)=x ^{2} -(a+2)bx+(a+1)b]라고 하자.

[eqn: f`(1)`>`0]이면 두 근이 모두 [eqn: 1`]보다 크게 된다.

∴ [eqn: f`(1) = 1-(a+2)b+(a+1)b `>`0`]  [eqn: therefore~ b<1]

따라서 필요한 조건은 [eqn: b<1]이다.

이차방정식 [eqn: x^2 -(a+2)bx +(a+1)b =0]이 서로 다른 두 개의 실근을 가질 때, 두 개의 근이 모두 [eqn: 1`]보다 크기 위해 필요한 조건을 구하시오. (단, [eqn: a>0], [eqn: b>0]이다.)

③

이차함수 [eqn: y=x^2 +ax+b`]의 그래프가 점 [eqn: left(`1`,``0`right)`]에서 [eqn: x`]축과 접하므로

이차방정식 [eqn: x^2 +ax+b=0`]은 중근 [eqn: x=1`]을 갖는다.

[eqn: y=x ^{2} +ax+b= LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} =x ^{2} -2x+1`]이므로

[eqn: a=-2`], [eqn: b=1`]

그러므로 이차함수 [eqn: y=x^2 +x -2 =LEFT(x+2RIGHT)LEFT(x-1RIGHT)`]의

그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 두 점은 [eqn: left(`-2`,``0`right)`], [eqn: left(`1`,``0`right)`]

따라서 두 점 사이의 거리는

[eqn: sqrt { left { 1-left (-2right )right } ^2 + LEFT(0-0RIGHT)^2} =3`]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 이차함수 [eqn: y=x ^{2} +ax+b]의

그래프가 점 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )]에서 [eqn: x]축과 접할 때, 이차함수

[eqn: y=x ^{2} +bx+a]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 두 점

사이의 거리는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 3]

이차방정식 [eqn: ax ^{2} +2bx-a+4=0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면 [eqn: {D} over {4} =b ^{2} -a(-a+4)=b ^{2} +a ^{2} -4a=0]

즉, [eqn: (a-2) ^2 +b^2 =4]에서 정수인 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]는

[eqn: (2,~2)], [eqn: (2,~-2)], [eqn: (4,~0)], [eqn: (0,```0)]

이때 [eqn: a != 0]이므로 구하는 순서쌍은 [eqn: 3]개이다.

이차함수 [eqn: f(x)=ax^2 +2bx -a+4]의 그래프가 [eqn: x]축과 한 점에서 만나도록 하는 정수 [eqn: a,~b]의 순서쌍 [eqn: (a,~b)]의 개수를 구하시오.

[eqn: 8]

[eqn: x^{2}]의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: y=f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다. 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축이 만나는 서로 다른 두 점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때,

[eqn: alpha^{2}+beta^{2}]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오.

(가) 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와

직선  [eqn: y=-4]는 한 점에서 만난다.

(나) 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와

직선  [eqn: y=2 x]가 만나는 서로 다른 두 점의

[eqn: x]좌표의 합은 [eqn: 2]이다.

④

점 [eqn: (-1,```0)`]을 지나고 기울기가 [eqn: m]인 직선의 방정식은

[eqn: y=m left{x-(-1) right}], 즉 [eqn: y=mx+m]

[eqn: y=mx+m`]을 [eqn: y=x ^{2} +x+4`]에 대입하면

[eqn: mx+m=x ^{2} +x+4]

[eqn: x^2 +(1-m)x+4-m = 0]

직선 [eqn: y=mx+m]이 곡선 [eqn: y=x ^{2} +x+4`]에 접하므로

이차방정식 [eqn: x ^{2} +(1-m)x+4-m=0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 할 때 [eqn: D=0`]이다.

[eqn: D][eqn: =(1-m)^2 -4(4-m)][eqn: =m^2 +2m -15][eqn: =(m+5)(m-3)][eqn: =0] 에서 [eqn: m=it-5] 또는 [eqn: m=3]

[eqn: m>0]이므로 [eqn: m=3]

점 [eqn: left(-1 `,~ 0 right)]을 지나고 기울기가 [eqn: m]인 직선이 곡선

[eqn: y = x^2 +x+4]에 접할 때, 양수 [eqn: m]의 값은?

① [eqn: 3 over2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5 over2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7 over2]

[eqn: y=2] 또는 [eqn: y= -8x+2]

점 [eqn: (0,~2)]를 지나고 이차함수 [eqn: y=x^{2}-4 x+6]의 그래프에 접하는 직선의 방정식을 모두 구하시오.

[eqn: 1]

자연수 [eqn: n]에 대하여 이차함수 [eqn: y=x^{2}+3 x+k]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+n-2]가 만나는 점의 개수를 [eqn: f(n)]이라고 하자. [eqn: f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=5]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

②

직선 [eqn: y=x+k]가 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2x+4]의 그래프와 만나므로 방정식 [eqn: x ^{2} -2x+4=x+k]는

[eqn: x ^{2} -3x+4-k=0]   [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

㉠의 판별식을 [eqn: D _{1}]이라 하면

[eqn: D _{1} =(-3) ^{2} -4 TIMES 1 TIMES (4-k){geq}0]

[eqn: 4k-7{geq}0], [eqn: k{geq} {7} over {4}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

직선 [eqn: y=x+k]가 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -5x+15]의 그래프와 만나지 않으므로 방정식 [eqn: x ^{2} -5x+15=x+k]는

[eqn: x ^{2} -6x+15-k=0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

㉢의 판별식을 [eqn: D _{2}]라 하면

[eqn: D _{2} =(-6) ^{2} -4 TIMES 1 TIMES (15-k)<0]

[eqn: 4k-24<0], [eqn: k<6]   [eqn: CDOTS CDOTS] ㉣

㉡, ㉣에서 [eqn: {7} over {4} {leq}k<6]

따라서 모든 정수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 2,```3,```4,```5]이고 그 개수는 [eqn: 4]

직선 [eqn: y=x+k]가 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2x+4]의 그래프와

만나고, 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -5x+15]의 그래프와 만나지

않도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 개수는?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[eqn: y=-1]

구하는 직선의 방정식을 [eqn: y=mx+n]이라고 하자.

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2ax+a ^{2} -1]의 그래프와 직선

[eqn: y=mx+n]이 접하므로 [eqn: x]에 대한 방정식

[eqn: x ^{2} -2ax+a ^{2} -1=mx+n], 즉

[eqn: x ^{2} -(2a+m)x+a ^{2} -1-n=0]의 판별식을 [eqn: D`]라고 하면

[eqn: D= LEFT { -(2a+m) RIGHT } ^{2} -4(a ^{2} -1-n)=0]

∴ [eqn: 4ma+(m ^{2} +4+4n)=0]

이 식이 [eqn: a]의 값에 관계없이 항상 성립하므로

[eqn: 4m=0],	[eqn: m ^{2} +4+4n=0]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: m=0], [eqn: n=-1]

따라서 구하는 직선의 방정식은 [eqn: y=-1]

실수 [eqn: a]의 값에 관계없이 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2ax+a ^{2} -1]의 그래프에 항상 접하는 직선의 방정식을 구하시오.

[eqn: a LEQ 1]

이차함수 [eqn: y=x ^{2} +2ax+a ^{2}]의 그래프와 직선

[eqn: y=2x+1]이 적어도 한 점에서 만나려면 이차방정식 [eqn: x ^{2} +2ax+a ^{2} =2x+1], 즉 [eqn: x ^{2} +2 LEFT ( a-1 RIGHT ) x+a ^{2} -1=0]의 판별식을 [eqn: D]라고 할 때,

[eqn: {D} over {4} = LEFT ( a-1 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( a ^{2} -1 RIGHT ) GEQ 0]                    [eqn: CDOTS]➊

[eqn: -2a+2 GEQ 0]     [eqn: THEREFORE ```a LEQ 1]                   [eqn: `][eqn: CDOTS]➋

채점 기준	배점
➊ 적어도 한 점에서 만나는 경우의 판별식 구하기	3점
➋ [eqn: a]의 값의 범위 구하기	2점

이차함수 [eqn: y=x ^{2} +2ax+a ^{2}]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x+1]이 적어도 한 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하는 풀이과정과 답을 구하시오.

[eqn: 17]

직선 [eqn: y=t]가 두 이차함수 [eqn: y= {1} over {2} x ^{2} +3],

[eqn: y=- {1} over {2} x ^{2} +x+5]의 그래프와 만날 때, 만나는 서로 다른 점의 개수가 [eqn: 3]인 경우는 그림과 같다.

따라서 모든 실수 [eqn: t]의 값의 합은 [eqn: 3+ {7} over {2} +5+ {11} over {2} =17]

좌표평면에서 직선 [eqn: y=t]가 두 이차함수 [eqn: y= {1} over {2} x ^{2} +3],

[eqn: y=- {1} over {2} x ^{2} +x+5]의 그래프와 만날 때, 만나는 서로 다른 점의 개수가 [eqn: 3]인 모든 실수 [eqn: t]의 값의 합을 구하시오.

⑤

조건 (가)에서 [eqn: f(x)=][eqn: a(x-1)^2 +9] ([eqn: a`]는 [eqn: a<0`]인 상수)로 놓을 수 있다.

조건 (나)에서 직선 [eqn: 2x-y+1=0`], 즉 [eqn: y=2x+1`]의 기울기가 [eqn: 2`]이므로 이 직선과 평행한 직선의 기울기는 [eqn: 2`]이다.

따라서 기울기가 [eqn: 2`]이고 [eqn: y`]절편이 [eqn: 9`]인 직선 [eqn: y=2x+9`]가 곡선 [eqn: y=f(x)`]에 접하므로

[eqn: a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +9=2x+9`]

[eqn: ax ^{2} -2(a+1)x+a=0`]

이차방정식 [eqn: ax^2 -2(a+1)x +a=0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 할 때, [eqn: D=0`]이어야 한다.

[eqn: {D} over {4} `][eqn: = LEFT { - LEFT ( a+1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} -a TIMES a][eqn: =2a+1][eqn: =0]

[eqn: a=it- {1} over {2} `]

[eqn: f(x)=it- {1} over {2} LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +9`]

따라서 [eqn: f(2)][eqn: = it - {1} over {2} LEFT ( 2-1 RIGHT ) ^{2} +9][eqn: = {17} over {2}]

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

(가) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 최댓값 [eqn: 9]를 갖는다.

(나) 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]에 접하고 직선 [eqn: 2x-y+1=0]과

평행한 직선의 [eqn: y]절편은 [eqn: 9]이다.

① [eqn: {9} over {2}]	② [eqn: {11} over {2}]	③ [eqn: {13} over {2}]

④ [eqn: {15} over {2}]	⑤ [eqn: {17} over {2}]

[eqn: -11]

이차함수 [eqn: y=x^2 -2kx +k+10]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 점의 [eqn: x`]좌표는 이차방정식 [eqn: x^2 -2kx +k+10 =0]의 실근과 같다.

이차방정식 [eqn: x^2 -2kx +k+10 =0]의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta `]라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =2k], [eqn: alpha beta =k+10]                       [eqn: CDOTS]➊

이차함수 [eqn: y=x^2 -2kx +k+10]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 두 점 사이의 거리가 [eqn: 2]이므로

[eqn: LEFT | alpha- beta RIGHT |=2]                                  [eqn: CDOTS]➋

위의 식의 양변을 제곱하면

[eqn: LEFT ( alpha- beta RIGHT )^2 =4], [eqn: LEFT ( alpha+ beta RIGHT )^2 -4 alpha beta = 4]

[eqn: (2k)^2 -4(k+10)=4], [eqn: 4k^2 -4k -44=0]        [eqn: CDOTS]➌

따라서 구하는 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 곱은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: -11]이다.                                              [eqn: CDOTS]➍

채점 기준	배점
➊ 이차함수의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표의 합과 곱 구하기	1점
➋ 이차함수의 그래프가 [eqn: x]축과 만난 두 점 사이의 거리를 식으로 나타내기	1점
➌ ➋의 식을 ➊에서 구한 [eqn: x]좌표의 합과 곱을 이용하여 [eqn: k]에 대한 식으로 나타내기	2점
➍ 모든 실수 [eqn: k]의 값의 곱 구하기	1점

이차함수 [eqn: y=x^2 -2kx +k+10]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 두 점 사이의 거리가 [eqn: 2]일 때, 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 곱을 구하는 풀이과정과 답을 구하시오.

[eqn: 2]

이차함수 [eqn: y=x^2 -x+3]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x+k]의 두 교점의 [eqn: x]좌표는 방정식 [eqn: x^2 -x +3 = 2x +k], 즉 [eqn: x^2 -3x +3-k=0]의 근과 같다.               [eqn: CDOTS]➊

두 교점 [eqn: \A], [eqn: \B]의 좌표를 각각 [eqn: rm A(ita,~2a+k)],

[eqn: {rmB}it(b,~2b+k)]라고 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: a+b = 3], [eqn: ab= 3-k]

이때 [eqn: bar\AB =5]이므로

[eqn: {bar{rm AB it}} = sqrt {(a-b) ^{2} + LEFT { (2a+k)-(2b+k) RIGHT } ^{2}}]

[eqn: = sqrt { 5(a-b)^2}]
[eqn: = sqrt { 5} sqrt { (a+b)^2 -4ab}]
[eqn: =sqrt { 5} sqrt { 3^2 -4(3-k)}]
[eqn: = sqrt {5} sqrt {4k-3} =5]                        [eqn: CDOTS]➋

즉, [eqn: sqrt {5} sqrt {4k-3} =5]에서 [eqn: 5(4k-3)=25], [eqn: 4k-3=5]

[eqn: THEREFORE ~k=2]                                   [eqn: `] [eqn: CDOTS]➌

채점 기준	배점
➊ 이차함수의 그래프와 직선의 교점의 [eqn: x]좌표를 구할 수 있는 이차방정식 구하기	1점
➋ [eqn: {bar{rm AB it}}]를 [eqn: k]에 대한 식으로 나타내기	2점
➌ 상수 [eqn: k]의 값 구하기	2점

이차함수 [eqn: y=x^2 -x+3]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x+k]의 두 교점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라고 하면 [eqn: bar { rmAB}=5]이다. 이때 상수 [eqn: k`]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 구하시오.

[eqn: it (-1- sqrt {5} ,~2+2 sqrt {5} )]

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 이차함수 [eqn: y=x^2 -a]의 그래프와 직선 [eqn: y=bx]의 교점이므로 이차방정식 [eqn: x^2 -a = bx`]에서 [eqn: x^2 -bx -a =0]의 한 근이 [eqn: -1 + sqrt5]이고, 다른 한 근은 [eqn: -1-sqrt5]이다. (∵ [eqn: a], [eqn: b]는 유리수)

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: (-1 +sqrt5 ) + (-1 -sqrt5 ) =-2=b]

[eqn: (-1+sqrt5 )(-1-sqrt5 ) =-4 =-a]

따라서 [eqn: a=4], [eqn: b=-2]

즉, 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -4]의 그래프와 직선 [eqn: y=-2x]가 만나는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 좌표는 각각

[eqn: rm P it(-1 +sqrt5 ,~2-2sqrt5 )], [eqn: rm Q it(-1-sqrt5 , ~2+2sqrt5 )]

두 유리수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 이차함수 [eqn: y=x^2 -a]의 그래프와 직선 [eqn: y=bx]가 만나는 두 점을 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라고 하자.

점 [eqn: rmP]의 [eqn: `x]좌표가 [eqn: -1+sqrt5]일 때, 점 [eqn: rm Q]의 좌표를 구하시오.

[eqn: 12]

이차함수 [eqn: y=x^{2}-7 x+a]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+k]가 두 점 [eqn: rm{A}it LEFT (x_{1}], [eqn: y_{1} RIGHT ),~ rm{B}it LEFT (x_{2},~ y_{2} RIGHT )]에서 만난다. [eqn: x_{2}-x_{1}=4]일 때, 두 실수 [eqn: a], [eqn: k]에 대하여 [eqn: a-k]의 값을 구하시오.

[eqn: 2]

이차함수 [eqn: y=2x ^{2} -5x+a]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+14]의 두 교점의 [eqn: x]좌표의 곱이 [eqn: -6]이므로 이차방정식

[eqn: 2x ^{2} -5x+a=x+14], 즉 [eqn: 2x ^{2} -6x+a-14=0]의 두 근의 곱이 [eqn: -6]이다.

이차방정식의 근의 계수의 관계에 의하여

[eqn: {a-14} over {2} =-6], [eqn: a-14=-12]   ∴ [eqn: a=2]

이차함수 [eqn: y=2x ^{2} -5x+a]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+14]가 서로 다른 두 점에서 만나고 두 교점의 [eqn: x]좌표의 곱이 [eqn: -6]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 2]

이차함수 [eqn: y=x^{2}-3 x]의 그래프와 직선 [eqn: y=-x+k]가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 교점의 [eqn: x]좌표의 합을 [eqn: f(k)], 곱을 [eqn: g(k)]라고 하 자. [eqn: LEFT { rm g(][eqn: k) RIGHT } ^{2}][eqn: =f(1) TIMES f(4)]를 만족시키는 실수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

②

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: k]

[eqn: y=x]

[eqn: y= 1 over2 (x-k)^2]

점 [eqn: rm C`]의 좌표를 [eqn: left (`alpha `,``0`right)`]이라 하면 선분 [eqn: rmCD`]의 길이는 [eqn: 6`]이므로 점 [eqn: RMD`]의 좌표는 [eqn: it LEFT ( ` alpha +6`,``0` RIGHT ) `]

직선 [eqn: y=x] 위의 두 점 [eqn: rm A {it left( `alpha `, `` alpha`right)`], [eqn: rm B {it left( `alpha+6 `, `` alpha+6`right)`]은

이차함수 [eqn: y={1} over{2} left(x-k right)^2 `]의 그래프와 직선 [eqn: y=x`]의 교점이므로 [eqn: {1} over{2} left (x-k right)^2 =x`]

이차방정식 [eqn: x^2 -2left (k+1right )x +k^2 = 0`]의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + left(alpha+6right ) = 2 left(k+1right )`], [eqn: alpha =k-2]   [eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: alpha LEFT ( alpha +6 RIGHT ) =k ^{2}]                      [eqn: cdotscdots] ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: left(k-2right)left(k+4right) = k^2 `], [eqn: 2k-8 =0`]   [eqn: THEREFORE ``k=4`]

이차함수 [eqn: y= {1} over {2} LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2}]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]가 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 만난다. 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하자. 선분 [eqn: rmCD]의 길이가 [eqn: 6]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: {7} over {2}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: {9} over {2}]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: {11} over {2}]

②

이차함수 [eqn: y=ax^2 `]([eqn: a>0])의 그래프와 직선 [eqn: y=x+6`]이 만나는 점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: ax ^{2} =x+6`]에서

이차방정식 [eqn: ax ^{2} -x-6=0`]의 두 실근 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]([eqn: alpha < beta])와 같으므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
[eqn: alpha + beta = {1} over {a} `], [eqn: alpha beta = it - {6} over {a} `]

한편, [eqn: {bar{rm CA}}][eqn: = beta - alpha `]이고 직선 [eqn: y=x+6`]의 기울기가 [eqn: 1`]이므로 [eqn: {{bar{rm BC}}} over {{bar{rm CA}}} = {{bar{rm BC}}} over {beta - alpha } `=1`]에서 [eqn: beta - alpha = {bar{rm BC}}][eqn: = {7} over {2} `]

[eqn: LEFT ( beta - alpha RIGHT ) ^{2} = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -4 alpha beta `]이므로

[eqn: LEFT ( {7} over {2} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) ^{2} -4 TIMES LEFT ( - {6} over {a} RIGHT ) `],

[eqn: LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) ^{2} + {24} over {a} - {49} over {4} =0`]

이므로 [eqn: 49a ^{2} -96a-4=0`]에서 [eqn: LEFT ( 49a+2 RIGHT ) LEFT ( a-2 RIGHT ) =0`]

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: a=2`]

따라서

[eqn: alpha ^{`2} + beta ^{`2}][eqn: = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -2 alpha beta `][eqn: = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} -2 TIMES LEFT ( - {6} over {2} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {4} +6= {25} over {4}]

그림과 같이 이차함수 [eqn: y=ax^2][eqn: left(a>0 right)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+6]이 만나는 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하자. 점 [eqn: rmB]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH], 점 [eqn: rmA]에서 선분 [eqn: rmBH]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC]라 하자.

[eqn: rm barBC = 7 over2]일 때, [eqn: alpha^2 + beta^2]의 값은? (단, [eqn: alpha<beta])

① [eqn: 23 over4]	② [eqn: 25 over4]	③ [eqn: 27 over4]

④ [eqn: 29 over4]	⑤ [eqn: 31 over4]

[eqn: 12]

직선 [eqn: y=n]이 곡선 [eqn: y=x^2 -4x +4]와 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 이차방정식 [eqn: x^2 -4x +4=n]의 실근과 같다.

[eqn: x^2 -4x +4=n], [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} =n], [eqn: x-2= it+- sqrt {n}]

[eqn: x][eqn: =2- sqrt {n}] 또는 [eqn: x=2+ sqrt {n}]

[eqn: x_1], [eqn: x_2] 중 작은 것을 [eqn: alpha], 큰 것을 [eqn: beta]라 하면

[eqn: alpha = 2-sqrtn], [eqn: beta = 2+sqrtn]이다.

(ⅰ) [eqn: 1 le n le 4]인 경우
[eqn: alpha ge0], [eqn: beta >0]이므로

[eqn: left|x_1 right|+left|x_2 right|} over2][eqn: = {alpha +beta } over2] [eqn: = {LEFT ( 2- sqrt {n} RIGHT ) + LEFT ( 2+ sqrt {n} RIGHT )} over {2}][eqn: =2]

따라서 [eqn: left|x_1 right|+left|x_2 right|} over2]의 값이 자연수가 되는 [eqn: n]의 값은

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이므로 개수는 [eqn: 4`]이다.

(ⅱ) [eqn: n >4]인 경우
[eqn: alpha <0<beta]이므로

[eqn: left|x_1 right|+left|x_2 right|} over2][eqn: = {-alpha +beta}over2] [eqn: ={left(sqrtn -2 right)+ left(2+sqrtn right)}over2][eqn: =sqrtn]

따라서 [eqn: left|x_1 right|+left|x_2 right|} over2]의 값이 자연수가 되는 [eqn: 100] 이하의

자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 9], [eqn: 16], [eqn: 25], [eqn: 36], [eqn: 49], [eqn: 64], [eqn: 81], [eqn: 100]이므로 개수는 [eqn: 8`]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: left|x_1 right|+left|x_2 right|} over2]의 값이 자연수가 되도록 하는 [eqn: 100] 이하의 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 4+8=12`]

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y=n]이 이차함수

[eqn: y=x^2 - 4x+4]의 그래프와 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를

각각 [eqn: x_1], [eqn: x_2]라 하자. [eqn: { left| x_1 right| + left| x_2 right|} over2]의 값이 자연수가

되도록 하는 [eqn: 100] 이하의 자연수 [eqn: n]의 개수를 구하시오.

⑤

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -3x+1`]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+2`]의 교점의 [eqn: x`]좌표는 이차방정식 [eqn: x^2 -3x+1=x+2`],

[eqn: x^2 -4x-1=0`]에서 [eqn: x=2+- sqrt { 5}`]이다.

이차함수 [eqn: y=x ^{2`} -3x+1`]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+2`]로 둘러싸인 도형의 내부에 있는 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: p`], [eqn: y`]좌표를 [eqn: q`]라 하면

[eqn: 2- sqrt {5} <p<2+ sqrt {5} `]이다.

[eqn: -1<2- sqrt {5} <0`]이고 [eqn: 4<2+ sqrt {5} <5`]이므로

[eqn: 2- sqrt {5} <p<2+ sqrt {5} `]를 만족시키는 정수 [eqn: p`]의 값은

[eqn: 0`], [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`]이다.

[eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 정수인 점 [eqn: LEFT ( p`,``q RIGHT ) `]는 다음과 같다.

[eqn: p=0`]일 때, [eqn: 1<q<2`]이므로 존재하지 않는다.

[eqn: p=1`]일 때, [eqn: -1<q<3`]이므로 [eqn: LEFT ( 1`,``0 RIGHT )`], [eqn: LEFT ( 1`,``1 RIGHT )`], [eqn: LEFT ( 1`,``2 RIGHT )`]이다.

[eqn: p=2`]일 때, [eqn: -1<q<4`]이므로 [eqn: LEFT ( 2`,``0 RIGHT )`], [eqn: LEFT ( 2`,``1 RIGHT )`], [eqn: LEFT ( 2`,``2 RIGHT ) `],

[eqn: LEFT ( 2`,``3 RIGHT ) `]이다.

[eqn: p=3`]일 때, [eqn: 1<q<5`]이므로 [eqn: (3`,``2)`], [eqn: (3`,``3)`], [eqn: (3`,``4)`]이다.

[eqn: p=4`]일 때, [eqn: 5<q<6`]이므로 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 정수인 점의 개수는 [eqn: 10]이다.

이차함수 [eqn: y = x^2 - 3x+1]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+2]로 둘러싸인 도형의 내부에 있는 점 중에서 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수는?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

④

세 이차함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y][eqn: =h LEFT ( x RIGHT )]의 최고차항의 계수의 절댓값이 같으므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최고차항의 계수를

[eqn: a] ([eqn: a>0])이라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =a LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it -a LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) +h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =a LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) -a LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) +a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )]
[eqn: =a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT { LEFT ( x+1 RIGHT ) - LEFT ( x+2 RIGHT ) + LEFT ( x-2 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) +h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]에서

[eqn: a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: x][eqn: =1] 또는 [eqn: x][eqn: =3]

따라서 모든 근의 합은 [eqn: 1+3][eqn: =4]

그림과 같이 최고차항의 계수의 절댓값이 같은 세 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 있다.

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) +h LEFT ( x RIGHT ) =0]의 모든 근의 합은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

④

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: LEFT { x-f LEFT (k RIGHT ) it RIGHT } LEFT { x-g LEFT (k RIGHT ) it RIGHT } =0]이 서로 다른 두 실근 [eqn: rm 0], [eqn: rm 4]를 갖기 위해서는 실수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: {cases{f LEFT (k RIGHT )=0#g LEFT (k RIGHT )=4}}] 또는 [eqn: {cases{f LEFT ( k RIGHT ) =4#g LEFT ( k RIGHT ) =0}}]이다.

조건을 만족시키는 모든 실수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: rm 3]이므로 함수 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )]의 그래프가 두 직선 [eqn: y=0], [eqn: y=4]와 만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: rm 3] 또는 [eqn: rm 4]이다.

(ⅰ) 만나는 점의 개수가 [eqn: rm 3]인 경우
만나는 점의 [eqn: x]좌표를 작은 수부터 크기 순서대로 [eqn: k_{1}], [eqn: k_{2}], [eqn: k_{3}]이라 하자.
[eqn: g LEFT ( k _{1} RIGHT ) =4], [eqn: g LEFT ( k _{2} RIGHT ) =0], [eqn: g LEFT ( k _{3} RIGHT ) =4]이고 조건을 만족시키는 모든 실수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: rm 3]이므로 함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )]의 그래프는 세 점 [eqn: LEFT ( k _{1} ,`` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( k _{2} ,`` 4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( k _{3} ,`` 0 RIGHT )]을 모두 지나야 한다.

[eqn: f LEFT (2 RIGHT )=4]이므로 [eqn: k_{2}=2]이고 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 점 [eqn: LEFT (2,`` 0 RIGHT )]에서 직선 [eqn: y=0]에 접하므로 [eqn: g LEFT (x RIGHT )= LEFT (x-2 RIGHT ) ^{2}]
함수 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )]의 그래프가 두 점 [eqn: LEFT ( k _{1} ,`` 4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( k _{3} ,`` 4 RIGHT )]를 지나므로 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} =4]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=4]
[eqn: k _{1} =0], [eqn: k _{3} =4]
함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )]의 그래프가 점 [eqn: LEFT (2,`` 4 RIGHT )]에서 직선 [eqn: y=4]에 접하므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +4 ~ LEFT ( a<0 RIGHT )]이고 두 점 [eqn: LEFT (0,`` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT (4,`` 0 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=f LEFT (4 RIGHT )=4a+4=0], [eqn: a=`-1]
[eqn: f LEFT (x RIGHT )=`- LEFT (x-2 RIGHT ) ^{2} +4]

(ⅱ) 만나는 점의 개수가 [eqn: rm 4]인 경우

만나는 점의 [eqn: x]좌표를 작은 수부터 크기 순서대로 [eqn: k _{1}], [eqn: k_{2}], [eqn: k_{3}], [eqn: k_{4}]라 하자.
[eqn: g LEFT ( k _{1} RIGHT ) =4], [eqn: g LEFT ( k _{2} RIGHT ) =0], [eqn: g LEFT ( k _{3} RIGHT ) =0], [eqn: g LEFT ( k _{4} RIGHT ) =4]이고 함수 [eqn: y=g LEFT (x RIGHT )]의 그래프의 꼭짓점의 [eqn: x]좌표를
[eqn: alpha]라 하면 [eqn: {k _{1} +k _{4}} over {2} = {k _{2} +k _{3}} over {2} = alpha]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠
[eqn: k _{1} <k _{2} < alpha <k _{3} <k _{4}]
조건을 만족시키는 모든 실수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: rm 3]이므로 함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )]의 그래프는 네 점 [eqn: LEFT ( k _{1} ,`` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( k _{2} ,`` 4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( k _{3} ,`` 4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( k _{4} ,`` 0 RIGHT )] 중 세 점만을 지나야 한다.

(ㄱ) 두 점 [eqn: LEFT ( k _{1} ,`` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( k _{4} ,`` 0 RIGHT )]을 지나는 경우
㉠에 의하여 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 꼭짓점의 [eqn: x]좌표는  [eqn: alpha]이고 이차함수의 그래프의 성질에 의하여 함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )]의 그래프가 두 점 [eqn: LEFT ( k _{2} ,`` 4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( k _{3} ,`` 4 RIGHT )] 중 한 점만을 지날 수 없으므로 모든 실수 [eqn: k]의 값이 [eqn: k _{1}], [eqn: k _{2}], [eqn: k _{3}], [eqn: k _{4}]로 [eqn: rm 4]개가 되어 조건을 만족시키지 않는다.

(ㄴ) 두 점 [eqn: LEFT ( k _{2} ,`` 4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( k _{3} ,`` 4 RIGHT )]를 지나는 경우
㉠에 의하여 함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )]의 그래프의 꼭짓점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: alpha]이고 이차함수의 그래프의 성질에 의하여 함수 [eqn: y=f LEFT (x RIGHT )]의 그래프가 두 점 [eqn: LEFT ( k _{1} ,`` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( k _{4} ,`` 0 RIGHT )] 중 한 점만을 지날 수 없으므로 모든 실수 [eqn: k]의 값이 [eqn: k _{1}], [eqn: k _{2}], [eqn: k _{3}], [eqn: k _{4}]로 [eqn: rm 4]개가 되어 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: g LEFT (x RIGHT )= LEFT (x-2 RIGHT ) ^{2}], [eqn: f LEFT (x RIGHT )=`- LEFT (x-2 RIGHT ) ^{2} +4]

따라서 [eqn: g LEFT (8 RIGHT )-f LEFT (8 RIGHT )=36- LEFT (-32 RIGHT )=68]

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: left{x-f LEFT ( k RIGHT ) right}left{x-g LEFT ( k RIGHT ) right}=0]이 서로 다른 두 실근 [eqn: 0], [eqn: 4]를 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: 3]이다. [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =4]일 때, [eqn: g LEFT ( 8 RIGHT ) -f LEFT ( 8 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 62]	② [eqn: 64]	③ [eqn: 66]

④ [eqn: 68]	⑤ [eqn: 70]

①

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -x+k`]라 하면 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x+1`]의 두 실근이 [eqn: x=alpha`], [eqn: beta`]이므로 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선

[eqn: y=x+1`]은 [eqn: {rmA}` LEFT ( alpha`,``f LEFT ( alpha RIGHT ) RIGHT ) `], [eqn: rm {rmC}it` LEFT ( beta`,``f LEFT ( beta RIGHT ) RIGHT ) `]에서 만난다.

직선 [eqn: y=x+1`]의 기울기는 [eqn: 1`]이므로 삼각형 [eqn: rmABC`]는 직각 이등변삼각형이며 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) = alpha+1`], [eqn: f LEFT ( beta RIGHT ) = beta+1`]이고

삼각형의 넓이는 [eqn: LEFT ( beta- alpha RIGHT ) ^{2} TIMES {1} over {2} =8`]이고,

[eqn: alpha< beta`]이므로 [eqn: beta- alpha=4`]이다.

한편, 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha+ beta=2`]이므로 [eqn: alpha=-1,~beta=3`]

따라서 [eqn: k= it -2`]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -x-2`]이므로

[eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) =6 ^{2} -6-2=28`]

이차함수 [eqn: f left(x right)=x^2 - x +k]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+1]이 두 점에서 만날 때, 그 교점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]

([eqn: alpha < beta])라 하자. 세 점 [eqn: rmA LEFT(it alpha,~f LEFT( alpha RIGHT) RIGHT)], [eqn: rm B LEFT ( it beta,~f LEFT ( alpha RIGHT ) RIGHT )],

[eqn: rm C LEFT ( it beta ,~f LEFT ( beta RIGHT ) RIGHT )]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가

[eqn: 8]일 때, [eqn: f left(6 right)]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수이다.)

① [eqn: 28]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 32]

④

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

두 함수 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: y=g(x)`]의 그래프의 교점의 [eqn: x`]좌표를 구하면

[eqn: x ^{2} +n ^{2} =2nx+1`], [eqn: x ^{2} -2nx+n ^{2} -1=0`]이고

[eqn: x=n-1`] 또는 [eqn: x=n+1`]이다.

따라서 점

[eqn: rm A` LEFT ( itn-1`,``2n ^{2} -2n+1 RIGHT ) `], [eqn: rm B` LEFT ( itn+1`,``2n ^{2} +2n+1 RIGHT ) `]라 하면 [eqn: rm C it ` LEFT ( n-1`,``0 RIGHT ) `], [eqn: rm D it ` LEFT ( n+1`,``0 RIGHT )`]이다.

사각형 [eqn: rm ACDB`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} LEFT ( {bar{rm AC it}} + {bar{rm BD it}} RIGHT ) TIMES {bar{rm CD it}} = {1} over {2} LEFT ( 4n ^{2} +2 RIGHT ) TIMES2=4n ^{2} +2`]

따라서 문제의 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]은

[eqn: 4n ^{2} +2=66], [eqn: n ^{2} =16]이므로 [eqn: n=4]

자연수 [eqn: n]에 대하여 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +n ^{2}]과

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2nx+1]의 그래프가 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA],

[eqn: rmB]라 하고, 점 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을

각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하자. 네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]를 꼭짓점으로

하는 사각형의 넓이가 [eqn: 66]이 되도록 하는 [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 13]

[eqn: RMA]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha], [eqn: RMB]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: beta]라고 하면

[eqn: alpha], [eqn: beta]는 [eqn: x ^{2} -x-k=0]의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: alpha+beta=1], [eqn: alphabeta=-k]이다.

[eqn: alpha >0`], [eqn: beta <0`]이므로

[eqn: S _{1} = {1} over {2} alpha ^{3}], [eqn: S _{2} =- {1} over {2} beta ^{3}]

[eqn: S _{1} -S _{2} = {1} over {2} ( alpha ^{3} + beta ^{3} )=20]이고

[eqn: alpha ^{3} +beta ^{3} =( alpha + beta ) ^{3} -3 alpha beta ( alpha + beta )=40]이다.

[eqn: alpha+beta=1]에서 [eqn: alpha beta =-13]이므로 [eqn: k=13]

그림과 같이 이차함수 [eqn: y=x^2]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+k]가 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 점 [eqn: rmA]와 [eqn: rm][eqn: rmB]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm][eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하자. 삼각형 [eqn: rmAOC]의 넓이를 [eqn: S_1], 삼각형 [eqn: rmDOB]의 넓이를 [eqn: S_2]라 할 때, [eqn: S_1 - S_2 =20]을 만족시키는 양수 [eqn: k]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이고, 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 각각 제[eqn: 1]사분면과 제[eqn: 2]사분면 위에 있다.)

[eqn: 91]

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -4x+ {25} over {4} `]의 그래프가 직선 [eqn: y=ax`]와 한 점에서만 만나므로 [eqn: x ^{2} -4x+ {25} over {4} =ax`]에서 이차방정식 [eqn: x ^{2} - LEFT ( a+4 RIGHT ) x+ {25} over {4} =0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D= LEFT ( a+4 RIGHT ) ^{2} -4 TIMES 1 TIMES {25} over {4} =0`]

[eqn: LEFT ( a+4 RIGHT ) ^{2} =25`]에서 [eqn: a>0`]이므로 [eqn: a=1`]

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -4x+ {25} over {4} `]의 그래프가 직선 [eqn: y=x`]와 만나는 점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: x ^{2} -4x+ {25} over {4} =x`]에서

이차방정식 [eqn: x ^{2} -5x+ {25} over {4} =0`]의 실근과 같으므로

[eqn: LEFT ( x- {5} over {2} RIGHT ) ^{2} =0`]에서 [eqn: x= {5} over {2} `]이고, 세 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`], [eqn: rm H`]는 각각

[eqn: rm A LEFT ( {5} over {2} `,`` {5} over {2} RIGHT ) `], [eqn: rm B LEFT ( 0`,`` {25} over {4} RIGHT ) `], [eqn: rm H LEFT ( {5} over {2} `,``0 RIGHT ) `]이다.

[eqn: rm H LEFT ( {5} over {2} `,``0 RIGHT )]

[eqn: rm A LEFT ( {5} over {2} `,`` {5} over {2} RIGHT )]

[eqn: rm B LEFT ( 0`,`` {25} over {4} RIGHT )]

[eqn: y=x]

[eqn: y=x ^{2} -4x+ {25} over {4}]

[eqn: rm O]

[eqn: rm C]

[eqn: S _{`1}]

[eqn: S _{`2}]

[eqn: x]

[eqn: y]

한편, 삼각형 [eqn: rm BOH`]의 넓이를 [eqn: T _{`1} `], 삼각형 [eqn: rm AOH`]의 넓이를 [eqn: T _{`2} `]라 할 때, [eqn: T _{`1} -T _{`2} =S _{`1} -S _{`2} `]가 성립한다.

[eqn: S _{`1} -S _{`2} `][eqn: =T _{`1} -T _{`2} `]
[eqn: = {1} over {2} TIMES {5} over {2} TIMES {25} over {4} - {1} over {2} TIMES {5} over {2} TIMES {5} over {2} `][eqn: = {75} over {16} `]

따라서 [eqn: p=16`], [eqn: q=75`]이므로 [eqn: p+q=91`]

그림과 같이 이차함수 [eqn: y = x^2 -4 x+ 25 over4]의 그래프가

직선 [eqn: y=ax][eqn: left(a>0 right)]과 한 점 [eqn: rmA]에서만 만난다. 이차함수 [eqn: y = x^2 - 4x+ 25over4]의 그래프가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하고, 선분 [eqn: rmOA]와 선분 [eqn: rmBH]가 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. 삼각형 [eqn: rmBOC]의 넓이를 [eqn: S_1], 삼각형 [eqn: rmACH]의 넓이를 [eqn: S_2]라 할 때, [eqn: S_1 - S_2 = q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

②

[eqn: y][eqn: = LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2} -2]의 그래프와 직선 [eqn: y][eqn: =2]가 서로 다른 두 점 [eqn: rmA,~B]에서 만나므로

[eqn: LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2} -2][eqn: =2], [eqn: LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2}][eqn: =4]

[eqn: x][eqn: =k-2] 또는 [eqn: x][eqn: =k+2]

따라서 [eqn: rm A it LEFT ( k-2,~2 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( k+2,~2 RIGHT )]

[eqn: {bar{rm AB}}][eqn: = LEFT ( k+2 RIGHT ) - LEFT ( k-2 RIGHT )][eqn: =4]

삼각형 [eqn: rmAOB]가 이등변삼각형이 되는 경우는

(ⅰ) [eqn: {bar{rm OA}}][eqn: = {bar{rm OB}}]인 경우
[eqn: sqrt {LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2} +2 ^{2}}][eqn: = sqrt {LEFT ( k+2 RIGHT ) ^{2} +2 ^{2}}]
[eqn: LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( k+2 RIGHT ) ^{2}], [eqn: k][eqn: =0]

(ⅱ) [eqn: {bar{rm OA}}][eqn: = {bar{rm AB}}]인 경우
[eqn: sqrt {LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2} +2 ^{2}}][eqn: =4], [eqn: k ^{2} -4k-8][eqn: =0]
[eqn: k][eqn: =2-2 sqrt {3}] 또는 [eqn: k][eqn: =2+2 sqrt {3}]

[ [eqn: k][eqn: =2-2 sqrt {3}]인 경우 ]

[ [eqn: k][eqn: =2+2 sqrt {3}]인 경우 ]

(ⅲ) [eqn: {bar{rm OB}}][eqn: = {bar{rm AB}}]인 경우
[eqn: sqrt {LEFT ( k+2 RIGHT ) ^{2} +2 ^{2}}][eqn: =4], [eqn: k ^{2} +4k-8][eqn: =0]
[eqn: k][eqn: =-2-2 sqrt {3}] 또는 [eqn: k][eqn: = it -2+2 sqrt {3}]

[ [eqn: k][eqn: =-2-2 sqrt {3}]인 경우 ]

[ [eqn: k][eqn: =2+2 sqrt {3}]인 경우 ]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: n][eqn: =5], [eqn: M][eqn: =2+2 sqrt {3}]

따라서 [eqn: n+M][eqn: =5+ LEFT ( 2+2 sqrt {3} RIGHT )][eqn: =7+2 sqrt {3}]

실수 [eqn: k]에 대하여 이차함수 [eqn: y= LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2} -2]의 그래프와 직선 [eqn: y=2]는 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 만난다.

삼각형 [eqn: rmAOB]가 이등변삼각형이 되도록 하는 서로 다른 [eqn: k]의 개수를 [eqn: n], [eqn: k]의 최댓값을 [eqn: M]이라 하자. [eqn: n+M]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이고, 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표보다 작다.)

① [eqn: 7+ sqrt {3}]	② [eqn: 7+2 sqrt {3}]	③ [eqn: 7+3 sqrt {3}]

④ [eqn: 9+2 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 9+3 sqrt {3}]

[eqn: 31]

(가)에 의하여 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프는 아래로 볼록하고 이차함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프는 위로 볼록하다.

두 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]의 대칭축은 각각 [eqn: x=0`]으로 같고 (나)에 의하여 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )`]이 정수이므로 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )`]도 정수이다.

(ⅰ) [eqn: 0 LEQ p<1`]인 경우

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +1`], [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) +2`], [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) +3`]일 때,

두 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )+p=k`], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )-p=k`]의 서로 다른 실근의       개수가 각각 [eqn: 2`]로 같고

[eqn: k LEQ f LEFT ( 0 RIGHT ) `], [eqn: k GEQ f LEFT ( 0 RIGHT ) +4`]일 때,

두 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +p=k`], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )-p=k`]의 서로 다른 실근의

개수는 다르다.

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) +p]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +4]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +2]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +3]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT )]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +1]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) -p]

[eqn: x=0]

(ⅱ) [eqn: 1 LEQ p<2`]인 경우

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +2`]일 때,

두 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )+p=k `], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )-p=k`]의 서로 다른 실근의

개수가 각각 [eqn: 2`]로 같고

[eqn: k LEQ f LEFT ( 0 RIGHT ) +1`], [eqn: k GEQ f LEFT ( 0 RIGHT ) +3`]일 때,

두 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )+p=k`], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )-p=k`]의 서로 다른 실근의       개수는 다르다.

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) +p]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +4]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +2]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +3]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT )]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +1]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) -p]

[eqn: x=0]

(ⅲ) [eqn: p=2`]인 경우

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +2`]일 때,

두 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +p=k`], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )-p=k`]의 서로 다른 실근의       개수가 각각 [eqn: 1`]로 같고

[eqn: k != f LEFT ( 0 RIGHT ) +2`]일 때,

두 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +p=k`], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )-p=k`]의 서로 다른 실근의       개수는 다르다.

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) +p]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +4]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +2]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +3]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT )]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +1]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) -p]

[eqn: x=0]

(ⅳ) [eqn: 2<p LEQ 3`]인 경우

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +2`]일 때,

두 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +p=k`], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )-p=k`]의 서로 다른 실근의

개수가 각각 [eqn: 0`]으로 같고

[eqn: k != f LEFT ( 0 RIGHT ) +2`]일 때,

두 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +p=k`], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )-p=k`]의 서로 다른 실근의       개수는 다르다.

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) +p]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +4]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +2]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +3]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT )]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +1]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) -p]

[eqn: x=0]

(ⅴ) [eqn: p>3`]인 경우

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) -p<f LEFT ( x RIGHT ) +p`]이므로

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) -p<k<f LEFT ( 0 RIGHT ) +p`]인 정수 [eqn: k`]에 대하여

두 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )+p=k `], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )-p=k`]의 서로 다른 실근의

개수가 각각 같다.

이때 정수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 3`] 이상이다.

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) +p]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +4]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +2]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +3]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT )]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +1]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) -p]

[eqn: x=0]

(ⅵ) [eqn: p<0`]인 경우

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) -p- LEFT { f LEFT ( 0 RIGHT ) +p RIGHT } >4`]이므로

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) +p<k<g LEFT ( 0 RIGHT ) -p`]인 정수 [eqn: k`]에 대하여

두 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )+p=k `], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )-p=k`]의 서로 다른 실근의       개수가 같다.

이때 정수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 5`] 이상이다.

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) +p]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +4]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +2]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +3]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT )]

[eqn: k=f LEFT ( 0 RIGHT ) +1]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) -p]

[eqn: x=0]

(ⅰ) ~ (ⅵ)에 의하여

두 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )+p=k `], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )-p=k`]의 서로 다른 실근의 개수가 같게 되도록 하는 정수 [eqn: k`]의 개수가 [eqn: 1`]일 때, 모든 실수 [eqn: p`]의 범위는 [eqn: 1 LEQ p LEQ 3`]이므로

실수 [eqn: p`]의 최솟값은 [eqn: 1`], 최댓값은 [eqn: 3`]이다.

따라서 [eqn: m+10M=1+30=31`]이다.

두 이차함수 [eqn: f left( x right)], [eqn: g left( x right)]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f left( x right)ge f left(0 right)], [eqn: g left( x right)le g left(0 right)]이다.

(나) [eqn: f left(0 right)]은 정수이고, [eqn: g left(0 right) - f left(0 right) =4]이다.

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f left(x right)+p =k]의 서로 다른 실근의 개수와 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: g left(x right)-p=k]의 서로 다른 실근의 개수가 같게 되도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: 1]일 때, 실수 [eqn: p]의 최솟값을 [eqn: m], 최댓값을 [eqn: M]이라 하자. [eqn: m+10M]의 값을 구하시오.

⑤

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: b]

[eqn: d]

ㄱ. [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 [eqn: x`]축에 접하므로

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 판별식 [eqn: D=a ^{2} -4b=0`]이다.

ㄴ. ㄱ에 의하여 [eqn: b= {a ^{2}} over {4} `]이므로 [eqn: a ^{2} -4d=4b-4d`]이다.

[eqn: b-d<0`]이므로 [eqn: a ^{2} -4d<0`]이다.

ㄷ. 두 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나므로 이차방정식

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) `]는 서로 다른 두 실근을 갖는다.

[eqn: x ^{2} +ax+b=it-x ^{2} +cx+d`]

[eqn: 2x ^{2} + LEFT ( a-c RIGHT ) x+b-d=0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D= LEFT ( a-c RIGHT ) ^{2} -8 LEFT ( b-d RIGHT ) >0`]이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

두 이차함수 [eqn: f left(x right)=x^2 +ax +b], [eqn: g left( x right)=-x^2 +cx+d]에 대하여 그림과 같이 함수 [eqn: y=f left(x right)]의 그래프는 [eqn: x]축에 접하고, 두 함수 [eqn: y=f left(x right)]와 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 제[eqn: 1]사분면과 제[eqn: 2]사분면에서 만난다. 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. [eqn: a ^{2} -4b=0]

ㄴ. [eqn: a ^{2} -4d<0]

ㄷ. [eqn: left( a-c right)^2 -8 left( b-d right)>0]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

⑤

ㄱ. 방정식 [eqn: x ^{2} -6x+6=6`]의 해는 [eqn: x= it 0] 또는 [eqn: x=6`]이      므로 점 [eqn: rm C LEFT ( 0`,``6 RIGHT ) `], 점 [eqn: rmD LEFT ( 6`,``6 RIGHT ) `]에서 [eqn: {bar{rmCD}}][eqn: =6`]이다. (참)

ㄴ. 방정식 [eqn: x ^{2} =k`]의 해는 [eqn: x=it +- sqrt {k} `]이므로
점 [eqn: rm A( it - sqrt {k} `,``k)`], 점 [eqn: rm B( it sqrt {k} `,``k)`]에서 [eqn: {bar{rm AB}} ^{`2} =4 it k`]
두 점 [eqn: rm C`], [eqn: rmD`]의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]라 하면
방정식 [eqn: x ^{2} -6x+6=k`]에서 [eqn: alpha + beta =6`], [eqn: alpha beta =6-k`]
[eqn: {bar{rm CD}} ^{`2} = LEFT ( beta - alpha RIGHT ) ^{2} = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -4 alpha beta =12+4 it k`]
따라서 [eqn: {bar{rm CD}} ^{`2} - {bar{rm AB}} ^{`2} =12`]로 일정하다. (참)

ㄷ. [eqn: {bar{rm CD}} ^{`2} - {bar{rm AB}} ^{`2} = LEFT ( {bar{CD}} + {bar{AB}} RIGHT ) LEFT ( {bar{CD}} - {bar{AB}} RIGHT ) =12`]에서
[eqn: {bar{rm CD}} + {bar{rm AB}}][eqn: =4`]이므로 [eqn: {bar{rmCD}} - {bar{AB}}][eqn: =3`]
[eqn: {bar{rm AB}}][eqn: = {1} over {2} `], [eqn: {bar{rm CD}}][eqn: = {7} over {2} `]이고, [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =2 sqrt {it k} = {1} over {2}`]에서

[eqn: k= {1} over {16} `]이다.
점 [eqn: rmB`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: {1} over {4} `]이고, 방정식 [eqn: x ^{2} -6x+6= {1} over {16} `]에서  [eqn: 16x ^{2} -96x+95=0`]이므로 [eqn: x= {5} over {4}] 또는 [eqn: x= {19} over {4} `]이다.
점 [eqn: rmC`]의 [eqn: x`]좌표는 점 [eqn: rmD`]의 [eqn: x`]좌표보다 작으므로 점 [eqn: rmC`]의     [eqn: x`]좌표는 [eqn: {5} over {4} `]이고 [eqn: {bar{rmBC}}][eqn: =1`]
[eqn: THEREFORE ``k+ {bar{rm BC}}][eqn: = {17} over {16} `] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: 1]이 아닌 양수 [eqn: k]에 대하여 직선 [eqn: y=k]와 이차함수

[eqn: y=x^2]의 그래프가 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고,

직선 [eqn: y=k]와 이차함수 [eqn: y = x^2 - 6x+6]의 그래프가 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 할 때, 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표보다 작고, 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmD]의 [eqn: x]좌표보다 작다.)

ㄱ. [eqn: k=6]일 때, [eqn: rm barCD =6]이다.

ㄴ. [eqn: k]의 값에 관계없이

[eqn: {bar{rmCD}} ^{2} - {bar{rm AB}} ^{2}]의 값은 일정하다.

ㄷ. [eqn: rm barCD + barAB =4]일 때, [eqn: k + rm barBC = 17 over16]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

⑤

ㄱ. [eqn: a=1`]이므로

[eqn: f(x)=left(x-1{right) ^{2} -1=x ^{2} -2x`],

[eqn: g(x)= it -{left(x-2{right) ^{2} +4+b= it -x ^{2} +4x+b`]이다.

(가)에서 [eqn: x^2 -2x=it-x^2 +4x+b`], [eqn: 2x ^{2} -6x-b=0`]

(나)에서 [eqn: beta= alpha+2`]이므로

이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -6x-b=0`]은 두 근 [eqn: alpha`], [eqn: alpha+2`]를 갖는다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha +left( alpha +2{right)=3`], [eqn: alpha {left( alpha +2{right)= it - {b} over {2} `]이다.

[eqn: alpha +{left( alpha +2{right)=3`]에서 [eqn: alpha= {1} over {2}`]이고

[eqn: alpha {left( alpha +2{right)= it - {b} over {2} `]에서 [eqn: - {b} over {2} = {1} over {2} TIMES {5} over {2} `]이다.

따라서 [eqn: b= it - {5} over {2} `] (참)

ㄴ. [eqn: f(x)=left(x-a{right) ^{2} -a ^{2} `]이므로

[eqn: f(x)`]의 최솟값은 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) = it -a ^{2} `]이다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = it - LEFT ( x-2a RIGHT ) ^{2} +4a ^{2} +b`]이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: g{left(2a{right)=4a ^{2} +b`]이다.

(가)에 의하여 [eqn: f{left( alpha {right)=g{left( alpha{right )`], [eqn: f{left( beta{right )=g{left( beta {right)`]이므로

두 이차함수 [eqn: LEFT. f LEFT(x RIGHT ) `], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 서로 다른 두 점에서 만난다.

두 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 서로 다른 두 점에서  만나므로 [eqn: g LEFT ( 2a RIGHT ) >f LEFT ( a RIGHT ) `]이다.

따라서 서로 다른 두 점에서 만나는 경우는 [eqn: a<0`], [eqn: a=0`], [eqn: a>0`]인 세 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다. (다음 그림은 [eqn: a`]의 부호에 따른 예이다.)

(ⅰ) [eqn: a<0`]인 경우

[eqn: f LEFT ( beta RIGHT ) -g LEFT ( alpha RIGHT ) =f LEFT ( beta RIGHT ) -f LEFT ( alpha RIGHT ) <g LEFT ( 2a RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT ) `]이다.

[eqn: LEFT. LEFT ( 2a`,``g{left(2a RIGHT ) RIGHT )]

[eqn: left( alpha `,``g{left( alpha {right){right)]

[eqn: left(beta`,``f{left(beta{right){right)]

[eqn: LEFT ( a`,``f{left(a{right){right) RIGHT .]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

(ⅱ) [eqn: a=0`]인 경우

[eqn: f{left( beta {right)-g{left( alpha{right )=f{left( beta{right )-f{left( alpha{right )<g{left(2a{right)-f{left(a{right)`]이다.

[eqn: left(beta`,``f{left(beta{right){right)]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: {left(0`,``f{left(0{right){right)]

[eqn: {left( alpha `,``g{left( alpha {right){right)]

[eqn: left(0`,``g{left(0{right){right)]

(ⅲ) [eqn: a>0`]인 경우

[eqn: f{left( beta {right)-g{left( alpha {right)=f{left( beta {right)-f{left( alpha {right) LEQ g{left(2a{right)-f{left(a{right)`]이다.

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: left(alpha`,``g{left(alpha{right){right)]

[eqn: left(a`,``f{left(a{right){right)]

[eqn: left( beta `,``f{left( beta {right){right)]

[eqn: left(2a`,``g{left(2a{right)right)]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 주어진 부등식은 성립한다.  (참)

ㄷ. [eqn: g{left( beta {right)=f{left( alpha {right)+5a ^{2} +b`]에서 [eqn: g LEFT ( beta RIGHT ) =f LEFT ( beta RIGHT )]이므로

[eqn: f{left( beta {right)-f{left( alpha {right)=5a ^{2} +b`]이다.

[eqn: g{left(2a{right)-f{left(a{right)=4a ^{2} +b-{left(-a ^{2} {right)=5a ^{2} +b`]이므로
[eqn: f{left( beta {right)-f{left( alpha {right)=g{left(2a{right)-f{left(a{right)`]  … ①

①을 만족하기 위해서는 두 이차함수의 그래프의 교점은 두     이차함수의 그래프의 꼭짓점이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: a<0`]인 경우
ㄴ의 (ⅰ)에 의하여 ①을 만족하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a=0`]인 경우
ㄴ의 (ⅱ)에 의하여 ①을 만족하지 않는다.

(ⅲ) [eqn: a>0`]인 경우
[eqn: a>0`]이므로 [eqn: a<2a`]가 된다.
[eqn: alpha=a`], [eqn: beta =2a`]이므로
[eqn: beta - alpha =2a-a=2`]이고 [eqn: a=2`]이다.
따라서 [eqn: f{left(x{right)={left(x-2{right) ^{2} -4`], [eqn: g{left(x{right)= it -{left(x-4{right) ^{2} +b+16`]
이차함수 [eqn: g{left(x{right)`]의 그래프가 이차함수 [eqn: f{left(x{right)`]의 그래프의 꼭짓점 [eqn: {left(2`,``-4{right)`]를 지나야 하므로
[eqn: -4= it -{left(-2{right) ^{2} +b+16`]이고 [eqn: b=it-16`]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: -4]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: rmO]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: x]

[eqn: y]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 [eqn: b=it-16`]이다. (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ은 모두 참이다.

두 이차함수

[eqn: f(x) = (x-a)^ 2 -a^2],

[eqn: g(x) = -(x-2a)^2 +4a^ 2 +b]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]는 서로 다른 두 실근

[eqn: alpha], [eqn: beta]를 갖는다.

(나) [eqn: beta - alpha=2]

옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

ㄱ. [eqn: a=1]일 때, [eqn: b = - 5 over2]

ㄴ. [eqn: f( beta) - g ( alpha ) le g(2a)-f(a)]

ㄷ. [eqn: g (beta) = f(alpha ) + 5a^2 + b]이면 [eqn: b=-16]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

⑤

조건 (가)에 의하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )`]이고

조건 (나)에 의하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 두 실근이 [eqn: alpha `], [eqn: alpha+5]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 두 실근의 차가 [eqn: 5`]이다.

따라서 [eqn: {cases{``f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )#``g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {a} LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )}}`]이거나

[eqn: {cases{``f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )#``g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {a} LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )}}`]이다. (단, [eqn: a != 0`]는 상수)

ㄱ. [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =0`]이면 [eqn: {cases{``f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )#``g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {a} LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )}}`]이므로

[eqn: g LEFT ( 3 RIGHT ) =0`].      (참)

ㄴ. [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) >0`]이므로

[eqn: {cases{``f LEFT ( x RIGHT ) = it a LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )#``g LEFT ( x RIGHT ) = it {1} over {a} LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )}} `]이고, [eqn: a<0`]인 상수이다.

[eqn: f LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) = {11} over {4} a<0`], [eqn: g LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) =it- {9} over {4a} >0`]

따라서 [eqn: f LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) <0<g LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) `]이다. (참)

ㄷ. (ⅰ) [eqn: {cases{``f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )#``g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {a} LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )}}`](단, [eqn: a!=0`])인 경우

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( a- {1} over {a} RIGHT ) x ^{2} + LEFT ( a+ {1} over {a} RIGHT ) x-6 LEFT ( a- {1} over {a} RIGHT ) =0`]이 서로 다른 두 정수 근을 가지므로 이차방정식이다.

그러므로 [eqn: a- {1} over {a} !=0`], [eqn: a != it +- 1`]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 양변에 [eqn: a`]를 곱하면

[eqn: LEFT ( a ^{2} -1 RIGHT ) x ^{2} + LEFT ( a ^{2} +1 RIGHT ) x-6 LEFT ( a ^{2} -1 RIGHT ) =0`]이다.

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: mn=it-6`]이고, [eqn: m`], [eqn: n`]이 정수이므로

[eqn: LEFT ( m`,``n RIGHT ) = LEFT ( -6`,``1 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 1`,``-6 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( -3`,``2 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 2`,``-3 RIGHT ) `],

[eqn: LEFT ( -2`,``3 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 3`,``-2 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( -1`,``6 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 6`,``-1 RIGHT ) `]
로 [eqn: 8`]가지 경우이다.

① [eqn: LEFT ( m`,``n RIGHT ) = LEFT ( -6`,``1 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 1`,``-6 RIGHT ) `]인 경우

[eqn: m+n= {-a ^{2} -1} over {a ^{2} -1} =it-5`], [eqn: -a ^{2} -1=it-5a ^{2} +5`]

[eqn: a= it +- sqrt {{3} over {2}} `]이다.

[eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =0`]은 [eqn: x=it-6`], [eqn: x=1`]을

두 정수 근으로 갖는다.

② [eqn: LEFT ( m`,``n RIGHT ) = LEFT ( -3`,``2 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 2`,``-3 RIGHT ) `]인 경우

[eqn: m+n= {-a ^{2} -1} over {a ^{2} -1} = it -1`], [eqn: -a ^{2} -1= it -a ^{2} +1`]

만족하는 [eqn: a`]의 값은 존재하지 않는다.

[eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =0`]은 [eqn: x= it -3`], [eqn: x=2`]를

두 정수 근으로 가질 수 없다.

③ [eqn: LEFT ( m`,``n RIGHT ) = LEFT ( -2`,``3 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 3`,``-2 RIGHT ) `]인 경우

[eqn: m+n= {-a ^{2} -1} over {a ^{2} -1} = 1`], [eqn: -a ^{2} -1= a ^{2} -1`]에서 [eqn: a=0`]

[eqn: a!=0`]이므로 [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =0`]은
[eqn: x=it-2`], [eqn: x= 3`]을 두 정수 근으로 가질 수 없다.

④ [eqn: LEFT ( m`,``n RIGHT ) = LEFT ( -1`,``6 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 6`,``-1 RIGHT ) `]인 경우

[eqn: m+n= {-a ^{2} -1} over {a ^{2} -1} = 5`], [eqn: -a ^{2} -1= it 5a ^{2} -5`]

에서 [eqn: a= it +- sqrt {{2} over {3}} `]

[eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =0`]은 [eqn: x=it-1`], [eqn: x= 6`]을 두

정수 근으로 갖는다.

(ⅱ) [eqn: {cases{``f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )#``g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {a} LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )}}`](단, [eqn: a!=0`])인 경우

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( a- {1} over {a} RIGHT ) x ^{2} - LEFT ( a+ {1} over {a} RIGHT ) x-6 LEFT ( a- {1} over {a} RIGHT ) `]에서
(ⅰ)과 같은 방법으로 하면 된다.

따라서 [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =0`]이 서로 다른 두

정수 [eqn: m`], [eqn: n`]을 근으로 가지면 [eqn: LEFT | `m+n` RIGHT | =5`]이다. (참)

두 이차함수 [eqn: f left(x right)], [eqn: g left( x right)]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f left(x right) g left(x right) = left(x ^2 - 4 right) left( x ^2 - 9 right)]

(나) [eqn: f left( alpha right)= f left( alpha +5 right)= 0]인 실수 [eqn: alpha]가 존재한다.

옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. [eqn: f left(2 right)= 0]일 때, [eqn: g left(3 right)= 0]이다.

ㄴ. [eqn: g left(2 right)>0]일 때, [eqn: f left( 5 over2 right)< g left(5 over2 right)]이다.

ㄷ. [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f left(x right)- g left(x right) = 0]이 서로 다른

두 정수 [eqn: m], [eqn: n]을 근을 가질 때, [eqn: left|m+n right|=5]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: 45]

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{pile{``f LEFT ( x RIGHT )#}&pile{~~ LEFT ( x LEQ -2```또는```x GEQ 1 RIGHT )#}#``g LEFT ( x RIGHT )&~~ LEFT ( -2<x<1 RIGHT )}}]
의 그래프를 그리면 아래의 그림과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: -2]

[eqn: 4]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: rm O]

직선 [eqn: y=mx+6`]의 [eqn: y`]절편은 [eqn: 6`]이다.

[eqn: y`]절편이 [eqn: 6`]인 직선의 기울기를 변화시키며 그래프를 그려보면

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 6]

[eqn: 1]

[eqn: -2]

[eqn: rm `O]

[eqn: 4]

직선 [eqn: y=mx+6`]과 함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 서로 다른 세 점에서 만나는 경우는 다음 두 가지뿐이다.

(ⅰ) [eqn: y=mx+6`]이 점 [eqn: LEFT ( -2`,``1 RIGHT ) `]을 지나는 경우

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 6]

[eqn: 1]

[eqn: -2]

[eqn: rm `O]

[eqn: 1]

[eqn: 4]

[eqn: y=mx+6`]에 점 [eqn: LEFT ( -2`,``1 RIGHT ) `]을 대입하면

[eqn: 1=it-2m+6`], [eqn: m= {5} over {2} `]이다.

(ⅱ) [eqn: y=mx+6`]이 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]에 접하는 경우

이차방정식 [eqn: -x ^{2} +5=mx+6`], [eqn: x ^{2} +mx+1=0`]의 판별식     [eqn: D=m ^{2} -4=0`]이므로 [eqn: m=it +- 2`]이다.

[eqn: m=2`]인 경우, 아래의 그림과 같이 직선

[eqn: y=mx+6`]과 함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( -1`,``4 RIGHT ) `]를 포함한 서로 다른 세 점에서 만난다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 6]

[eqn: rm`O]

[eqn: 1]

[eqn: -2]

[eqn: 1]

[eqn: 4]

[eqn: -1]

[eqn: m=it-2`]인 경우, 아래의 그림과 같이 직선 [eqn: y=it-2x+6`]과  함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( 1`,``4 RIGHT )`]를 포함한 서로 다른 두 점에서 만난다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: 4]

[eqn: 6]

[eqn: rm`O]

[eqn: -2]

[eqn: 1]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 [eqn: m`]의 값은 [eqn: {5} over {2}`], [eqn: 2`]이다.

[eqn: S= {5} over {2} +2= {9} over {2}`]이므로 [eqn: 10S= 10 TIMES {9} over {2} =45`]이다.

두 이차함수 [eqn: f left( x right) = x^2 + 2x+1], [eqn: g left(x right) = -x^2 +5]에 대하여 함수 [eqn: h left(x right)]를

[eqn: h left( x right)= cases{f left( x right) &~~~left(x le -2 ~또는~x ge 1 right)#&#g left( x right) &~~~left(-2 <x <1 right)}]

이라 하자. 직선 [eqn: y = mx + 6]과 [eqn: y =h left( x right)]의 그래프가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 모든 실수 [eqn: m]의 값의 합을 [eqn: S]라 할 때, [eqn: 10S]의 값을 구하시오.

[eqn: 35]

함수 [eqn: f left(x right) =x^2 +ax+b`]([eqn: a`], [eqn: b`]는 상수)라 하면

함수 [eqn: g left(x right)= -x^2 +ax-b`]

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: - {a} over {2}`]

곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: {a} over {2}`]

두 곡선 [eqn: y=f left(x right)`], [eqn: y=g left(x right )`]의 교점의 [eqn: x`]좌표 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]와 [eqn: - {a} over {2}`], [eqn: {a} over {2}`]의 대소 관계에 의하여 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )`]가 서로 다른 두 실근을 갖는 경우는 다음과 같다.

[eqn: ⓐ] [eqn: - {a} over {2} LEQ alpha < beta LEQ {a} over {2}]	[eqn: ⓑ] [eqn: alpha < -{a} over {2} < {a} over {2} < beta]
[eqn: rm O] [eqn: x] [eqn: y] [eqn: y=f(x)] [eqn: y=g(x)]	[eqn: rm O] [eqn: x] [eqn: y] [eqn: y=f(x)] [eqn: y=g(x)]
[eqn: ⓒ] [eqn: alpha < - {a} over {2} = {a} over {2} < beta]	[eqn: ⓓ] [eqn: alpha < {a} over {2} < - {a} over {2} < beta]
[eqn: rm O] [eqn: x] [eqn: y] [eqn: y=f(x)] [eqn: y=g(x)]	[eqn: y] [eqn: x] [eqn: rmO] [eqn: y=f(x)] [eqn: y=g(x)] [eqn: rm O] [eqn: x] [eqn: y] [eqn: y=f(x)] [eqn: y=g(x)]

[eqn: ⓔ] [eqn: {a} over {2} LEQ alpha < beta LEQ - {a} over {2}]
[eqn: rm O] [eqn: x] [eqn: y] [eqn: y=f(x)] [eqn: y=g(x)]

(ⅰ) [eqn: ⓐ`], [eqn: ⓒ`]인 경우

방정식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =h LEFT ( beta RIGHT )`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2`]

(ⅱ) [eqn: ⓑ`]인 경우

방정식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =h LEFT ( beta RIGHT )`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 3`]

(ⅲ) [eqn: ⓓ`]인 경우

방정식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =h LEFT ( beta RIGHT )`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 1`]

(ⅳ) [eqn: ⓔ`]인 경우

방정식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =h LEFT ( beta RIGHT )`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2`]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여 [eqn: ⓑ`]인 경우만 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3`]이다.

방정식 [eqn: f left(x right)=g left(x right)`]의 두 실근이 [eqn: alpha `], [eqn: beta`]이므로

[eqn: f left( alpha right)=g left( alpha right)`], [eqn: f left( beta right )=g left( beta right)`]이고

[eqn: f left(x right)-g left(x right)=2 left( x- alpha right )left(x- beta right)=2x ^{2} +2b`]

[eqn: alpha =-beta`], [eqn: b=alpha beta]   [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

(ㄱ) [eqn: x< alpha`] 또는 [eqn: x> beta`]일 때,

방정식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =h LEFT ( beta RIGHT )`]는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =h LEFT ( beta RIGHT ) `]이고

[eqn: x^2 +ax+b-h LEFT ( beta RIGHT )=0`]의 한 근이 [eqn: beta `]이므로 근과 계수의

관계에 의하여 나머지 한 근은 [eqn: - a - beta `]

(ㄴ) [eqn: alpha LEQ x LEQ beta `]일 때,

방정식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =h LEFT ( beta RIGHT )`]는 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =h LEFT ( beta RIGHT )`]이고

[eqn: -x^2 +ax-b-h LEFT ( beta RIGHT )=0`]의 한 근이 [eqn: beta `]이므로 근과 계수의 관계에 의하여 나머지 한 근은 [eqn: a - beta `]

(ㄱ), (ㄴ)에 의하여 방정식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =h LEFT ( beta RIGHT )`]의 서로 다른 세 실근은 [eqn: - {a- beta `], [eqn: a - beta `], [eqn: beta`]

조건 (가)에 의하여 [eqn: left(- a- beta right) + left(a- beta right ) + beta =-4`]

[eqn: beta =4]             [eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에 의하여

[eqn: alpha =-4`], [eqn: b=-16]  [eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

[eqn: -1]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: alpha]

[eqn: -3]

[eqn: -6]

[eqn: -7]

[eqn: -8]

[eqn: -2]

[eqn: -4]

[eqn: -5]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y=h(x)]

[eqn: alpha LEQ x LEQ beta `]에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]의 최솟값은 [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT )`]이고 조건 (나)에 의하여 [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT ) =g LEFT ( -4 RIGHT ) =-16-4a+16=-8`]

[eqn: a=2]    [eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

㉡, ㉢, ㉣에 의하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +2x-16`]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =-x ^{2} +2x+16`]

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`x ^{2} +2x-16`&` LEFT (` x < - 4~또는~x>4` RIGHT )#`-x ^{2} +2x+16&`left(`-4 LEQ x LEQ 4` right)}}`]

따라서 [eqn: h LEFT ( 2RIGHT )+h LEFT ( 5 RIGHT )=35`]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하면 이차함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 일치한다. 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )]는 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta` LEFT ( alpha<beta RIGHT )]를 갖고, 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{eqalign{f LEFT ( x RIGHT )# }&eqalign{~~~ LEFT ( x<alpha~또는~x>beta RIGHT )# }#g LEFT ( x RIGHT )&~~~ LEFT ( alpha LEQ x LEQ beta RIGHT )}}]

일 때, 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =h LEFT ( beta RIGHT )]는 서로 다른 세 실근을

갖고, 세 실근의 합은 [eqn: -4]이다.

(나) 함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프 위의 점 중에서 [eqn: y]좌표

가 음의 정수인 점의 개수는 [eqn: 15]이다.

[eqn: h LEFT ( 2 RIGHT ) +h LEFT ( 5 RIGHT )]의 값을 구하시오.

이차함수의 최대, 최소

[eqn: -1]

[eqn: f(x) =-x^2 - 2ax + a -1] [eqn: `][eqn: = - (x+a)^2 +a^2 + a-1]

이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-a]일 때, 최댓값 [eqn: a^2 +a -1]을 갖는다.        [eqn: CDOTS]➊

[eqn: THEREFORE ~g(a)=a ^{2} +a-1= LEFT ( a+ {1} over {2} RIGHT ) ^{2} - {5} over {4}]

함수 [eqn: g(a)]의 꼭짓점의 [eqn: a]좌표 [eqn: - {1} over {2}]은 주어진 범위

[eqn: - {3} over {2} LEQ a LEQ -1]에 속하지 않는다.

[eqn: g LEFT ( - {3} over {2} RIGHT ) =- {1} over {4}], [eqn: g(-1)=-1]이므로

함수 [eqn: g(a)]는 [eqn: a=-1]일 때, 최솟값 [eqn: -1]을 갖는다.

[eqn: CDOTS]➋

채점 기준	배점
➊ 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값 구하기	4점
➋ [eqn: - {3} over {2} LEQ a LEQ -1]에서 함수 [eqn: g(a)]의 최솟값 구하기	2점

실수 [eqn: a]에 대하여 이차함수 [eqn: f(x) = -x^2 - 2ax+ a-1]의 최댓값을 [eqn: g(a)]라고 하자. [eqn: - {3} over {2} LEQ a LEQ -1]에서 함수 [eqn: g(a)]의 최솟값을 구하는 풀이과정과 답을 구하시오.

①

주어진 이차함수를 정리하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `][eqn: =`2x ^{2} -4ax+a ^{2} -3a+1]
[eqn: =`2 LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a ^{2} -3a+1]

함수 [eqn: f LEFT ( `x RIGHT )]는 [eqn: x=a]에서 최솟값 [eqn: -a ^{2} -3a+1]을 가지므로

[eqn: m LEFT ( `a RIGHT ) =-a ^{2} -3a+1][eqn: =- LEFT ( a+ {3} over {2} RIGHT ) ^{2} + {13} over {4}]

따라서 [eqn: a=- {3} over {2}]일 때 [eqn: m LEFT ( `a RIGHT )]는 최댓값 [eqn: {13} over {4}]을 갖는다.

이차함수 [eqn: f LEFT ( `x RIGHT ) =2x ^{2} -4ax+a ^{2} -3a+1]의 최솟값을 [eqn: m LEFT ( a RIGHT )]라고 할 때, [eqn: m LEFT ( a RIGHT )]가 최댓값을 갖도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은?
① [eqn: - {3} over {2}]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

⑤

[eqn: f(x)=a(x-1) ^{2} +2~(a<0)]

[eqn: g(x`)=b(x+1)^2 +1~(b>0)]

이라고 하면

[eqn: f(x) + g(x)]

[eqn: =(a+b)x ^{2} -2(a-b)x+a+b+3]	[eqn: `]…… ㉠

또, [eqn: f(x)+g(x)]는 [eqn: x=3]에서 최솟값 [eqn: -5]를 가지므로

[eqn: f(x) + g(x)= c(x-3)^2 -5~(c>0)]

[eqn: =cx ^{2} -6cx+9c-5]        …… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a+b=c], [eqn: a-b=3c], [eqn: a+b+3=9c-5]

[eqn: ∴~a=2], [eqn: b=-1], [eqn: c=1]

즉, [eqn: f(x)+g(x)=x^2 -6x+4]이므로 [eqn: f(0)+g(0)=4]

이차함수 [eqn: f`(x)]가 [eqn: x`=1]에서 최댓값 [eqn: 2]를 갖고, 이차함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=-1]에서 최솟값 [eqn: 1]을 갖는다.

또, [eqn: f`(x)+g(x)]가 [eqn: x=3]일 때 최솟값 [eqn: -5]를 가질 때,

[eqn: f(0)+g(0)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: 4 - root2 + root6]

[eqn: 0 LEQ x LEQ a]에서 이차함수 [eqn: y=x^{2}-4 x+3]의 최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: 4]가 되도록 하는 모든 양수 [eqn: a]의 값의 합을 구하시오.

최댓값: [eqn: 2], 최솟값: [eqn: {2} over {3}]
[eqn: x+y=1]에서 [eqn: y=1-x]    …… ㉠

이때 주어진 조건에서 [eqn: x GEQ 0], [eqn: y GEQ 0]이므로

[eqn: x GEQ 0], [eqn: y=1-x GEQ 0`````````````` THEREFORE ```0 LEQ x LEQ 1]          [eqn: CDOTS]➊

㉠을 [eqn: 2x ^{2} +y ^{2}]에 대입하면

[eqn: 2x ^{2} +y ^{2} =2x ^{2} +(1-x) ^{2} =3x ^{2} -2x+1]

[eqn: =3 LEFT ( `x- {1} over {3} RIGHT ) ^{2} + {2} over {3}]                    [eqn: CDOTS]➋

따라서 [eqn: 0 LEQ x LEQ 1]에서 [eqn: x=1]일 때 최댓값 [eqn: 2],

[eqn: x= {1} over {3}]일 때 최솟값 [eqn: {2} over {3}]를 갖는다.              [eqn: CDOTS]➌

채점 기준	배점
➊ [eqn: x]의 값의 범위 구하기	2점
➋ [eqn: 2x ^{2} +y ^{2}]을 [eqn: x]에 대하여 전개하기	2점
➌ [eqn: 2x ^{2} +y ^{2}]의 최댓값과 최솟값을 각각 구하기	2점

실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x GEQ 0], [eqn: y GEQ 0]이고 [eqn: x+y=1]일 때, [eqn: 2x ^{2} +y ^{2}]의 최댓값과 최솟값을 각각 구하는 풀이과정과 답을 구하시오.

①

[eqn: 4x+2y=9]에서 [eqn: 2y=-4x+9]    …… ㉠

[eqn: y GEQ 0]이므로 [eqn: -4x+9 GEQ 0]    [eqn: THEREFORE ~x LEQ {9} over {4}]

[eqn: x GEQ 0]이므로 [eqn: 0 LEQ x LEQ {9} over {4}]

[eqn: x ^{2} +2y]에 ㉠을 대입하면

[eqn: x ^{2} +2y=x ^{2} -4x+9]

[eqn: =(x-2) ^{2} +5]

따라서 [eqn: x=0]에서 최댓값은 [eqn: 9], [eqn: x=2]에서 최솟값은 [eqn: 5]이므로 합은 [eqn: 9+5=14]

[eqn: x GEQ 0], [eqn: y GEQ 0]이고 [eqn: 4x+2y=9]일 때, [eqn: x ^{2} +2y]의 최댓값과 최솟값의 합은?

① [eqn: 14`]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18`]

④ [eqn: 20`]	⑤ [eqn: 22]

[eqn: 1 over 2]

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =-p], [eqn: alpha beta = {p+2} over {4}]

[eqn: THEREFORE `` alpha ^{2} + beta ^{2} =( alpha + beta ) ^{2} -2 alpha beta & =p ^{2} - {p+2} over {2}]

[eqn: = LEFT ( p- {1} over {4} RIGHT ) ^{2} - {17} over {16}]

이때 [eqn: f(p)= left( p- 1 over 4 right) ^2 - 17 over 16] ([eqn: p le -1] 또는 [eqn: p ge 2])

이라고 하면

오른쪽 그림에서

[eqn: f(-1)= 1 over2], [eqn: f(2)=2]

따라서 [eqn: p=-1]일 때 최솟값 [eqn: 1 over 2]을 가지므로 [eqn: alpha ^2 +beta^2]의 최솟값은 [eqn: 1 over 2]이다.

[eqn: p LEQ -1] 또는 [eqn: p GEQ 2]인 실수 [eqn: p]에 대하여 이차방정식 [eqn: 4x^2 + 4px+ p+2=0]의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때,

[eqn: alpha ^2 + beta^2]의 최솟값을 구하시오.

[eqn: 9]

두 점 [eqn: rmA(1,~1)], [eqn: rmB(4,~-5)]를 잇는 선분 [eqn: rmAB]를 나타내는 직선의 방정식은

[eqn: y-1= {-5-1} over {4-1} (x-1)]

[eqn: THEREFORE ``y=-2x+3] (단, [eqn: 1 LEQ `x` LEQ 4])

[eqn: THEREFORE ``2x ^{2} -y ^{2}][eqn: =2x ^{2} -(-2x+3) ^{2} =-2x ^{2} +12x-9]
[eqn: =-2(x-3) ^{2} +9]

따라서 [eqn: x=3]일 때 최댓값은 [eqn: 9]이다.

점 [eqn: rmP][eqn: (x,~y)]가 두 점 [eqn: rmA(1,~1)], [eqn: rmB(4,~-5)]를 잇는 선분 [eqn: rmAB] 위를 움직일 때, [eqn: 2x ^{2} -y ^{2}]의 최댓값을 구하시오.

[eqn: 1]

[eqn: 0 LEQ x LEQ 4]에서 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2ax]의 최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: 7]일 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 구하시오.

[eqn: 18]

이차함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -2ax+2a ^{2}][eqn: =(x-a) ^{2} +a ^{2}]에서

(ⅰ) [eqn: 0<a<2]일 때
[eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =a ^{2}]
[eqn: 0<a ^{2} <4]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값이 [eqn: 10]이 되도록 하는 실수

[eqn: a]의 값은 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a`GEQ2]일 때
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: f(2)=2a ^{2} -4a+4]
[eqn: 2a ^{2} -4a+4=10]
[eqn: a ^{2} -2a-3= LEFT ( a-3 RIGHT ) LEFT ( a+1 RIGHT ) =0]에서 [eqn: a=3]
함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =2a ^{2} =18]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 18]

[eqn: 0 le x le 2]에서 정의된 이차함수 [eqn: f left(x right)= x^2 - 2ax+2a^2]

의 최솟값이 [eqn: 10]일 때, 함수 [eqn: f left(x right)]의 최댓값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 양수이다.)

[eqn: - 17 over8]

[eqn: 2 LEQ a LEQ 3]일 때, [eqn: x]에 대한 이차방정식

[eqn: x^{2}-2 a x+2 a^{2}-5 a+4=0]이 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta]를 갖는다. [eqn: (2-alpha)(2-beta)]의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오. (단, [eqn: a]는 실수이다.)

최댓값 [eqn: 25 over2], 최솟값 [eqn: 8]

[eqn: 0 LEQ t LEQ 2]인 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: x=t]와 두 이차함수 [eqn: y=x^{2}], [eqn: y=-x^{2}+6 x+8]의 그래프가 만나는 점을 각 각 [eqn: rm{A}it], [eqn: rm{B}it]라고 하자. 선분 [eqn: rm{AB}it]의 길이의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

③

(ⅰ) [eqn: -1 le x le 2]일 때
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )times f LEFT ( left|`x-2` right| RIGHT )]
[eqn: = f LEFT ( x RIGHT )times f LEFT ( -x + 2 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( -x-1 RIGHT )]
[eqn: =it -x^2 +2x + 3]
[eqn: = it - LEFT ( x-1 RIGHT )^2 + 4]
이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) times f LEFT ( left|`x-2` right| RIGHT )]는
[eqn: x= 1]일 때 최댓값 [eqn: 4],
[eqn: x=it -1]일 때 최솟값 [eqn: 0]을 갖는다.

(ⅱ) [eqn: 2 le x le 5]일 때
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )times f LEFT ( left|`x-2` right| RIGHT )]
[eqn: = f LEFT ( x RIGHT )times f LEFT ( x-2 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT )]
[eqn: = x^2 - 8x + 15]
[eqn: = LEFT ( x-4 RIGHT )^2 - 1]
이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )times f LEFT ( left|`x-2` right| RIGHT )]는
[eqn: x= 2]일 때 최댓값 [eqn: 3],
[eqn: x= 4]일 때 최솟값 [eqn: -1]을 갖는다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: -1 le x le 5]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )times f LEFT ( left|`x-2` right| RIGHT )]의 최댓값과 최솟값의 합은

[eqn: 4+ LEFT ( -1 RIGHT )= 3]

함수 [eqn: f left(x right) =x-3]에 대하여 [eqn: -1 le x le 5]에서 함수

[eqn: f left(x right) times f left( left|x-2 right| right)]의 최댓값과 최솟값의 합은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

①

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} `]이므로 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래

프의 꼭짓점의 좌표는 [eqn: LEFT ( a`,``0 RIGHT ) `]이고, 조건 (가)에 의하여

[eqn: 2 leq a leq 10`]이다.

(ⅰ) [eqn: a=2`]인 경우
[eqn: 2leqx leq6`]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최댓값과 [eqn: 6leqx leq10`]에서 함

수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최솟값은 [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) `]으로 같으므로 조건 (나)를 만족시

킨다. 그러므로 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) = LEFT ( -1-2 RIGHT ) ^{2} =9`]

[eqn: y]

[eqn: 2]

[eqn: 6]

[eqn: 10]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2}]

(ⅱ) [eqn: 2<a LEQ 6`]인 경우
[eqn: 2leqx leq6`]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최댓값은 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )] 또는 [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) `]이

고
[eqn: 6 LEQ x LEQ 10`]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최솟값은 [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) `]이므로 조건

(나)에 의하여 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 6 RIGHT ) `]이다.
[eqn: LEFT ( 2-a RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 6-a RIGHT ) ^{2} leq0`]에서 [eqn: a leq4`]이므로 [eqn: 2<a leq4`]
[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) = LEFT ( -1-a RIGHT ) ^{2} `]이므로 [eqn: 9<f LEFT ( -1 RIGHT )leq25`]

([eqn: 2<a le4`]인 경우)

[eqn: y]

[eqn: 4]

[eqn: 2]

[eqn: 6]

[eqn: 10]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: f(x)= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2}]

([eqn: 4<a LEQ 6`]인 경우)

[eqn: y]

[eqn: 4]

[eqn: 2]

[eqn: 6]

[eqn: 10]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: f(x)= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2}]

(ⅲ) [eqn: 6<a leq10`]인 경우
[eqn: 2leqx leq6`]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최댓값은 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]이고
[eqn: 6leqx leq10`]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최솟값은 [eqn: 0`]이다.
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) >0`]이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

[eqn: y]

[eqn: 4]

[eqn: 2]

[eqn: 6]

[eqn: 10]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: f(x)= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2}]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 [eqn: 9 LEQ f LEFT ( -1 RIGHT ) leq25`]이므로

[eqn: M+m=25+9=34`]이다.

실수 [eqn: a]에 대하여 이차함수 [eqn: f left(x right) = left(x-a right)^2]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 2 le x le 10]에서 함수 [eqn: f left(x right)]의 최솟값은 [eqn: 0]이다.

(나) [eqn: 2 le x le 6]에서 함수 [eqn: f left(x right)]의 최댓값과

[eqn: 6 le x le 10]에서 함수 [eqn: f left(x right)]의 최솟값은 같다.

[eqn: f left(-1 right)]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은?

① [eqn: 34]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: 38]

[eqn: 60]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =it-x ^{2} +px-q=it- LEFT ( x- {p} over {2} RIGHT ) ^{2} + {p ^{2}} over {4} -q`]

(가)에 의하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 [eqn: x`]축에 접하므로 [eqn: {p ^{2}} over {4} -q=0`]이다.

따라서 [eqn: q= {p ^{2}} over {4} `], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =it- LEFT ( x- {p} over {2} RIGHT ) ^{2} `]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: {p} over {2} `]이므로 (나)에 의하여

[eqn: -p LEQx LEQp`]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최솟값은 [eqn: f LEFT ( -p RIGHT )]이다.

[eqn: f LEFT ( -p RIGHT ) = it - {9p ^{2}} over {4} =it-54`]이고 [eqn: p ^{2} =24`]

[eqn: q= {p ^{2}} over {4} `]이므로 [eqn: q=6`]

따라서 [eqn: p ^{2} +q ^{2} =60`]

두 양수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-x ^{2} +px-q]

가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: p ^{2} +q ^{2}]의 값을 구하시오.

(가) [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: x]축에 접한다.

(나) [eqn: -p LEQ x LEQ p]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: -54]이다.

[eqn: 11]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT )]이므로 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 대칭축은 [eqn: x=2`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a{left(x-2{right) ^{2} +b`] ([eqn: a`], [eqn: b`]는 상수, [eqn: a!=0`])이라 하자.

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 대칭축이 [eqn: x=2`]이므로 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) != f LEFT ( 4 RIGHT ) `]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) + LEFT | `f LEFT ( 4 RIGHT ) ` RIGHT | =0`]에서
[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) =0`]은 성립하지 않으므로

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) = it - LEFT | `f LEFT ( 4 RIGHT ) ` RIGHT | <0`]이고 [eqn: LEFT | `f LEFT ( -1 RIGHT ) ` RIGHT | = LEFT | `f LEFT ( 4 RIGHT ) ` RIGHT |] … ①

(ⅰ) [eqn: a>0`]인 경우

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) <f LEFT ( -1 RIGHT ) <0`]이 되어 ①을 만족시키지 않는다.

[eqn: x]

[eqn: 5]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: 4]

[eqn: -2]

[eqn: (-1`,``f(-1))]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: (4`,``f(4))]

(ⅱ) [eqn: a<0`]인 경우

[eqn: -1]

[eqn: left(4`,``f{left(4{right){right)]

[eqn: 5]

[eqn: 4]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

[eqn: x]

[eqn: {left(-1`,``f{left(-1{right){right)]

[eqn: y=f{left(x{right)]

①에서 [eqn: f{left(-1{right)<0`]이므로 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) >0`]이다.

그러므로 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) + LEFT | `f{left(4{right)` RIGHT | =0`]에서
[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) +f LEFT ( 4 RIGHT ) =13a+2b=0`] … ②

[eqn: a<0`]이므로 [eqn: -2 LEQ x LEQ 5`]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은
[eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) =16a+b= it -19`]     … ③

②와 ③을 연립하면 [eqn: a=it-2`], [eqn: b=13`]이다.

따라서 [eqn: f(x)= it -2{left(x-2{right) ^{2} +13`]이므로 [eqn: f{left(3{right)=11`]이다.

[eqn: -2 leq x leq 5]에서 정의된 이차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(0)=f(4)], [eqn: f(-1) + left| f(4) right|=0]을 만족시킨다. 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값이 [eqn: -19]일 때, [eqn: f(3)]의 값을 구하시오.

[eqn: 3]

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +bx+5=a LEFT ( x+ {b} over {2a} RIGHT ) ^{2} - {b ^{2}} over {4a} +5`]
에서 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: x=it- {b} over {2a} <0`]이고,

[eqn: a<0`]이므로 [eqn: 1 LEQ x LEQ 2`]에서 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]는 감소한다.

이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 최댓값은 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =a+b+5=3`]이다.

[eqn: a+b=it-2`]이고 [eqn: a`], [eqn: b`]는 음의 정수이므로 [eqn: a=it-1`], [eqn: b=it-1`]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) =4a-2b+5= it -4+2+5=3`]이다.

이차함수 [eqn: f left(x right)= ax^2 + bx +5]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f left(-2 right)]의 값을 구하시오.

(가) [eqn: a], [eqn: b]는 음의 정수이다.

(나) [eqn: 1 le x le 2]일 때,

이차함수 [eqn: f left(x right)]의 최댓값은 [eqn: 3]이다.

⑤

ㄱ. [eqn: a= {3} over {2} `]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x- {3} over {2} RIGHT ) ^{2} +b`]이고 [eqn: x= {3} over {2} `]에서

최솟값 [eqn: 5`]를 가지므로 [eqn: f LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) =b=5`]이다. (참)

ㄴ. [eqn: a LEQ 1`]일 때, [eqn: f LEFT(x RIGHT ) `]는 [eqn: x=1`]에서 최솟값을 가지므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = LEFT ( 1-a RIGHT ) ^{2} +b=5`]이고 [eqn: b= it -a ^{2} +2a+4`]이다. (참)

ㄷ. (ⅰ) [eqn: a LEQ 1`]인 경우

ㄴ에서 [eqn: b=it-a ^{2} +2a+4`]이므로

[eqn: a+b=it-a ^{2} +3a+4=it- LEFT ( a- {3} over {2} RIGHT ) ^{2} + {25} over {4} `]이다.

따라서 [eqn: a+b`]는 [eqn: a=1`]에서 최댓값 [eqn: 6`]을 가진다.

(ⅱ) [eqn: 1<a LEQ 2`]인 경우

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=a`]에서 최솟값 [eqn: b=5`]이므로

[eqn: 6<a+b LEQ 7`]이고 [eqn: a+b`]는 [eqn: a=2`]에서 최댓값 [eqn: 7`]을 가진다.

(ⅲ) [eqn: a>2`]인 경우

[eqn: f LEFT(x RIGHT ) `]는 [eqn: x=2`]에서 최솟값을 가지고

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) = LEFT ( 2-a RIGHT ) ^{2} +b=5`], [eqn: b=it-a ^{2} +4a+1`]에서

[eqn: a+b=it-a ^{2} +5a+1=it- LEFT ( a- {5} over {2} RIGHT ) ^{2} + {29} over {4} `]이므로

[eqn: a+b`]는 [eqn: a= {5} over {2} `]에서 최댓값 [eqn: {29} over {4} `]를 가진다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 [eqn: a+b`]의 최댓값은 [eqn: {29} over {4} `]이다. (참)

[eqn: 1 le x le 2]에서 이차함수 [eqn: f left( x right)= left(x-a right)^2 +b]의 최솟값이 [eqn: 5]일 때, 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. [eqn: a = 3 over2]일 때, [eqn: b=5]이다.

ㄴ. [eqn: a le 1]일 때, [eqn: b = -a^2 +2a+4]이다.

ㄷ. [eqn: a+b]의 최댓값은 [eqn: 29 over4]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

⑤

조건 (가), (나)에 의하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax LEFT ( x+4 RIGHT )] ([eqn: a<0])이고 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )]

[eqn: 1]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: -1]

[eqn: -4]

[eqn: x=it-2]

[eqn: rmO]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

ㄱ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 대칭축이 [eqn: x= it -2]이므로 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0] (참)

ㄴ. 위 그림과 같이 [eqn: -1 LEQ x LEQ 1]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]이다. (참)

ㄷ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에서

(ⅰ) [eqn: p= it -3]일 때

[eqn: f LEFT ( p RIGHT ) =f LEFT ( p+2 RIGHT )]이므로 [eqn: g LEFT ( p RIGHT ) =f LEFT ( p RIGHT )]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: p]

[eqn: p+2]

[eqn: f LEFT ( p RIGHT )]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: -4]

[eqn: x=it-2]

(ⅱ) [eqn: p< -3]일 때

[eqn: f LEFT ( p RIGHT ) <f LEFT ( p+2 RIGHT )]이므로 [eqn: g LEFT ( p RIGHT ) =f LEFT ( p RIGHT )]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: p]

[eqn: p+2]

[eqn: f LEFT ( p RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( p+2 RIGHT )]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: -4]

[eqn: x=it-2]

(ⅲ) [eqn: p>-3]일 때

[eqn: f LEFT ( p RIGHT ) >f LEFT ( p+2 RIGHT )]이므로 [eqn: g LEFT ( p RIGHT ) =f LEFT ( p+2 RIGHT )]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: p]

[eqn: p+2]

[eqn: f LEFT ( p+2 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( p RIGHT )]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: -4]

[eqn: x=it-2]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 함수 [eqn: g LEFT ( p RIGHT )]는 다음과 같다.
[eqn: g LEFT ( p RIGHT ) = {cases{f LEFT ( p RIGHT ) _{{}_{`}}&````` LEFT ( p LEQ -3 RIGHT ) _{{}_{`}}#f LEFT ( p+2 RIGHT ) ^{{}^{`}}&````` LEFT ( p>-3 RIGHT ) ^{{}^{`}}}}]
[eqn: p LEQ -3]인 모든 [eqn: p]에 대하여 [eqn: g LEFT ( p RIGHT ) LEQ f LEFT ( -3 RIGHT )]이고
[eqn: p>-3]인 모든 [eqn: p]에 대하여 [eqn: g LEFT ( p RIGHT ) <f LEFT ( -3 RIGHT )]이므로
[eqn: g LEFT ( p RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: f LEFT ( -3 RIGHT )]이다.
[eqn: f LEFT ( -3 RIGHT ) =1]에서 [eqn: a= it - {1} over {3}]이므로
[eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) = it - {1} over {3} TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) TIMES LEFT ( -2+4 RIGHT ) = {4} over {3}] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f LEFT ( -4 RIGHT ) =0]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) LEQ f LEFT ( -2 RIGHT )]이다.

옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]

ㄴ. [eqn: -1 LEQ x LEQ 1]에서

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]이다.

ㄷ. 실수 [eqn: p]에 대하여 [eqn: p LEQ x LEQ p+2]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의

최솟값을 [eqn: g LEFT ( p RIGHT )]라 할 때, 함수 [eqn: g LEFT ( p RIGHT )]의 최댓값이

[eqn: 1]이면 [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) = {4} over {3}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: 225]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} -4tx+10t][eqn: = LEFT ( x-2t RIGHT ) ^{2} -4t ^{2} +10t]

(ⅰ) [eqn: t LEQ 2t LEQ t+3] 즉, [eqn: 0 LEQ t LEQ 3]일 때
함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: x][eqn: =2t]에서 [eqn: -4t ^{2} +10t]

[eqn: 2t-t LEQ t+3-2t] 즉, [eqn: 0 LEQ t LEQ {3} over {2}]일 때
함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: x][eqn: =t+3]에서 [eqn: -3t ^{2} +4t+9]
따라서 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = it -7t ^{2} +14t+9]

[eqn: 2t-t>t+3-2t] 즉, [eqn: {3} over {2} <t LEQ 3]일 때
함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: x][eqn: =t]에서 [eqn: -3t ^{2} +10t]
따라서 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = it -7t ^{2} +10t]

(ⅱ) [eqn: 2t>t+3] 즉, [eqn: t>3]일 때
함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: x][eqn: =t+3]에서 [eqn: -3t ^{2} +4t+9]
함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: x][eqn: =t]에서 [eqn: -3t ^{2} +10t]
따라서 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: =-6t ^{2} +14t+9]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = {cases{-7t ^{2} +14t+9~~ LEFT ( 0 LEQ t LEQ {3} over {2} RIGHT )&~~~ CDOTS CDOTS ~①#eqalign{-7t ^{2} +20t~~~~~ LEFT ( {3} over {2} <t LEQ 3 RIGHT )# -6t ^{2} +14t+9~~ LEFT ( t>3 RIGHT )}&pile{~~~ CDOTS CDOTS ~②#eqalign{~~~# ~~~ CDOTS CDOTS ~③}} ~~~}}]

함수 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( t RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y][eqn: = it -4t+a]가 만나는 서로 다른 점의 개수가 [eqn: 3]이려면 직선 [eqn: y][eqn: = it -4t+a]가 점 [eqn: LEFT ( {3} over {2} ,~ {57} over {4} RIGHT )]을 지날 때이므로

[eqn: {57} over {4}][eqn: = it -6+a], [eqn: a][eqn: = {81} over {4}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

또한 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = it -7t ^{2} +14t+9] [eqn: LEFT ( 0 LEQ t LEQ {3} over {2} RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y][eqn: = it -4t+a]가 접하는 [eqn: a]의 값은

[eqn: it -7t ^{2} +14t+9][eqn: = it -4t+a]

[eqn: 7t ^{2} -18t+a-9][eqn: =0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉡의 판별식을 [eqn: D _{1}]이라 하면

[eqn: {D _{1}} over {4}][eqn: =81-7a+63][eqn: =0], [eqn: a][eqn: = {144} over {7}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

[eqn: LEFT ( pile{it#it}] [eqn: 0 LEQ t LEQ {3} over {2}]에서 함수 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( t RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y][eqn: = it -4t+ {144} over {7}]가 점 [eqn: LEFT ( {9} over {7} ,~ {108} over {7} RIGHT )]에서 접한다. [eqn: pile{it#it} RIGHT )]

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = it -7t ^{2} +20t] [eqn: LEFT ( {3} over {2} <t LEQ 3 RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y][eqn: = it -4t+a]가 접하는 [eqn: a]의 값은

[eqn: -7t ^{2} +20t][eqn: = it -4t+a]

[eqn: 7t ^{2} -24t+a][eqn: =0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉣

㉣의 판별식을 [eqn: D _{2}]라 하면

[eqn: {D _{2}} over {4}][eqn: =144-7a][eqn: =0], [eqn: a= {144} over {7}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉤

[eqn: LEFT ( pile{it#it}] [eqn: {3} over {2} <t LEQ 3]에서 함수 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( t RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y][eqn: = it -4t+ {144} over {7}]가 점 [eqn: LEFT ( {12} over {7} ,~ {96} over {7} RIGHT )]에서 접한다. [eqn: pile{it#it} RIGHT )]

따라서 ㉠, ㉢, ㉤에서 방정식 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = it -4t+a]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 범위는

[eqn: {81} over {4} <a< {144} over {7}]

[eqn: p][eqn: = {81} over {4}], [eqn: q][eqn: = {144} over {7}]

따라서 [eqn: 4p+7q][eqn: =225]

[eqn: t GEQ 0]인 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: t LEQ x LEQ t+3]에서 이차함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4tx+10t]의 최댓값과 최솟값의 합을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자. [eqn: t]에 대한 방정식 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =-4t+a]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 범위는 [eqn: p<a<q]이다. [eqn: 4p+7q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 상수이다.)

[eqn: 74]

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]의 두 실근을 [eqn: alpha,~beta] [eqn: LEFT ( alpha<beta RIGHT )]라 하면

[eqn: LEFT | ``f LEFT ( x RIGHT ) `` RIGHT | = {cases{f(x)&(x<alpha~또는~x>beta)#-f(x)``&(alpha`LEQ`x`LEQ`beta)}}]

이고 함수 [eqn: y= LEFT | ``f(x)`` RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: y=10]이 만나는 서로 다른 세 점 중 [eqn: x]좌표가 [eqn: 1]이 아닌 두 점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: p,~q] [eqn: (p<q)]라 하면 함수 [eqn: y= LEFT | ``f(x)`` RIGHT |]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: 1]은 방정식 [eqn: f(k-1)=f(k+1)]의 한 실근이고 [eqn: q-p<2]이면 [eqn: LEFT ( k+1 RIGHT ) - LEFT ( k-1 RIGHT ) >q-p]이므로 함수 [eqn: y= LEFT | ``f(x)`` RIGHT |]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: k<1]이면 [eqn: g(k)=f(k-1)>10,]

[eqn: k`GEQ1]이면 [eqn: g(k)=f(k+1)>10]이므로

[eqn: g(k)=10]을 만족시키는 실수 [eqn: k]는 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: q-p`GEQ2]

[eqn: k+1=q]이면 [eqn: k-1=q-2GEQp]이고

[eqn: g(k)= LEFT | ``f(k+1)`` RIGHT | =f(k+1)=f(q)=10]이다.

[eqn: k+1>q]이면 [eqn: g(k)= LEFT | ``f(k+1)`` RIGHT | =f(k+1)>10]이므로 [eqn: g(k)=10]을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: q-1]이다.

조건에서 [eqn: q-1= sqrt {10}], [eqn: q= sqrt {10} +1]이므로

[eqn: f(q)=f( sqrt {10} +1)=10]이고

[eqn: f( sqrt {10} +1)=a LEFT ( sqrt {10} +1-1 RIGHT ) ^{2} -10=10a-10=10]에서 [eqn: a=2]

그러므로 [eqn: f(x)=2 LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} -10=2x ^{2} -4x-8]이다.

방정식 [eqn: f(x)=0]의 실근은

[eqn: alpha=1- sqrt {5}], [eqn: beta=1+ sqrt {5}]이다.

함수 [eqn: LEFT | ``f(x)`` RIGHT |]에서 두 실수 [eqn: x _{1} ,~x _{2}] [eqn: (x _{1} <x _{2} )]에 대하여

[eqn: x _{1} <x _{2} <1- sqrt {5}]이면 [eqn: LEFT | ``f(x _{1} )`` RIGHT | > LEFT | ``f(x _{2} ) RIGHT |]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: 1- sqrt {5} LEQ`x _{1} <x _{2} <1]이면 [eqn: LEFT | ``f(x _{1} )`` RIGHT | < LEFT | ``f(x _{2} ) RIGHT |]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

[eqn: 1`LEQ`x _{1} <x _{2} <1+ sqrt {5}]이면 [eqn: LEFT | ``f(x _{1} )`` RIGHT | > LEFT | ``f(x _{2} ) RIGHT |]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

[eqn: 1+ sqrt {5} LEQ`x _{1} <x _{2}]이면 [eqn: LEFT | ``f(x _{1} )`` RIGHT | < LEFT | ``f(x _{2} )`` RIGHT |]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉣

이다. [eqn: k-1LEQ`x`LEQ`k+1]에서

함수 [eqn: LEFT | ``f(x)`` RIGHT |]의 최댓값 [eqn: g(k)]는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: k+1<1- sqrt {5}]일 때
[eqn: k<`- sqrt {5}]이고 ㉠에서 [eqn: g(k)= LEFT | ``f(k-1)`` RIGHT |]

(ⅱ) [eqn: k-1<1- sqrt {5} LEQ`k+1]일 때
[eqn: - sqrt {5} LEQ`k<2- sqrt {5}]이고
㉠, ㉡에서 [eqn: g(k)]의 값은
[eqn: LEFT | ``f(k-1)`` RIGHT |]과 [eqn: LEFT | ``f(k+1)`` RIGHT |] 중 큰 값이다.
[eqn: LEFT | ``f(k-1)`` RIGHT |][eqn: =f(k-1)=2k ^{2} -8k-2,]
[eqn: LEFT | ``f(k+1)`` RIGHT |][eqn: =-f(k+1)=-2k ^{2} +10]이므로
[eqn: LEFT | ``f(k-1)`` RIGHT |][eqn: >][eqn: LEFT | ``f(k+1)`` RIGHT |]에서
[eqn: 2k ^{2} -8k-2>-2k ^{2} +10]
[eqn: 4 LEFT ( k-3 RIGHT ) LEFT ( k+1 RIGHT ) >0]
[eqn: k<`-1] 또는 [eqn: k>3]
[eqn: LEFT | ``f(k-1)`` RIGHT |][eqn: =][eqn: LEFT | ``f(k+1)`` RIGHT |]에서 [eqn: k=`-1] 또는 [eqn: k=3]
[eqn: LEFT | ``f(k-1)`` RIGHT |][eqn: <][eqn: LEFT | ``f(k+1)`` RIGHT |]에서 [eqn: -1`<k<3]이다. 그러므로
[eqn: - sqrt {5} LEQ`k<`-1]일 때 [eqn: g(k)= LEFT | ``f(k-1)`` RIGHT |],
[eqn: -1LEQ`k`<2- sqrt {5}]일 때 [eqn: g(k)= LEFT | ``f(k+1)`` RIGHT |]이다.

(ⅲ) [eqn: 1- sqrt {5} LEQ`k-1<k+1<1]일 때
[eqn: 2- sqrt {5} LEQ`k<0]이고 ㉡에서 [eqn: g(k)= LEFT | ``f(k+1)`` RIGHT |]

(ⅳ) [eqn: k-1`<1LEQ`k+1]일 때
[eqn: 0`LEQ`k`<2]이고 [eqn: g(k)=10]

(ⅴ) [eqn: 1`LEQ`k-1`<k+1<1+ sqrt {5}]일 때
[eqn: 2` LEQ `k`< sqrt {5}]이고 ㉢에서 [eqn: g(k)= LEFT | ``f(k-1)`` RIGHT |]

(ⅵ) [eqn: k-1`<1+ sqrt {5} LEQ`k+1]일 때
[eqn: sqrt {5} LEQ`k`<2+ sqrt {5}]이고
㉢, ㉣에서 [eqn: g(k)]의 값은
[eqn: LEFT | ``f(k-1)`` RIGHT |]과 [eqn: LEFT | ``f(k+1)`` RIGHT |] 중 큰 값이다.
[eqn: LEFT | ``f(k-1)`` RIGHT |][eqn: =-f(k-1)=-2k ^{2} +8k+2,]
[eqn: LEFT | ``f(k+1)`` RIGHT |][eqn: =f(k+1)=2k ^{2} -10]이므로
[eqn: LEFT | ``f(k-1)`` RIGHT |][eqn: >][eqn: LEFT | ``f(k+1)`` RIGHT |]에서
[eqn: -2k ^{2} +8k+2>2k ^{2} -10]
[eqn: 4(k-3) LEFT ( k+1 RIGHT ) <0]
[eqn: -1<k<3]
[eqn: LEFT | ``f(k-1)`` RIGHT |][eqn: =][eqn: LEFT | ``f(k+1)`` RIGHT |]에서 [eqn: k=-1] 또는 [eqn: k=3]
[eqn: LEFT | ``f(k-1)`` RIGHT |][eqn: <][eqn: LEFT | ``f(k+1)`` RIGHT |]에서 [eqn: k<`-1] 또는 [eqn: k>3]
이다. 그러므로
[eqn: sqrt {5} LEQ`k<3]일 때 [eqn: g(k)= LEFT | ``f(k-1)`` RIGHT |],
[eqn: 3`LEQ`k`<2+ sqrt {5}]일 때 [eqn: g(k)= LEFT | ``f(k+1)`` RIGHT |]이다.

(ⅶ) [eqn: 1+ sqrt {5} LEQ`k-1]일 때
[eqn: 2+ sqrt {5} LEQ`k]이고 ㉣에서 [eqn: g(k)= LEFT | ``f(k+1)`` RIGHT |]

(ⅰ)~(ⅶ)에서

[eqn: g(k)= {cases{LEFT | ``f(k-1)`` RIGHT | =2 LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2} -10````&(k<`-1)#LEFT | ``f(k+1)`` RIGHT | =-2k ^{2} +10&(-1` LEQ `k<0)#10&(0 LEQ `k<2)#LEFT | ``f(k-1)`` RIGHT | =-2 LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2} +10&(2 LEQ ``k<3)#LEFT | ``f(k+1)`` RIGHT | =2k ^{2} -10&(k` GEQ 3)}}]

이고 함수 [eqn: g(k)]는 [eqn: k=-1]과 [eqn: k=3]에서 최솟값 [eqn: 8]을 가지므로 [eqn: b ^{2} +c ^{2} +m ^{2} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} +3 ^{2} +8 ^{2} =74]

이차함수 [eqn: f left(x right)= a left(x-1 right)^2 - 10] ([eqn: a]는 양의 상수)와 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: k-1 le x le k+1]에서 함수 [eqn: left| f left(x right) right|]의 최댓값을 [eqn: g left(k right)]라 할 때, 함수 [eqn: g left(k right)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: g left(k right)=10]을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 최댓값은

[eqn: root10]이다.

함수 [eqn: g left(k right)]가 [eqn: k =b]와 [eqn: k=c]에서 최솟값 [eqn: m]을 가질 때,

[eqn: b^2 +c^2 +m^2]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: b], [eqn: c]는 서로 다른 상수이다.)

[eqn: 50]

컴퓨터의 원래 가격을 [eqn: a]원이라고 하자.

가격이 [eqn: a]원일 때 컴퓨터가 [eqn: b]대 팔린다고 하면 가격을 [eqn: x`%] 올렸을 때 세금을 제외한 매출 금액 [eqn: y]는

[eqn: y & =a LEFT ( 1+ {x} over {100} RIGHT ) TIMES b LEFT ( 1- {x} over {200} RIGHT ) TIMES LEFT ( 1- {1} over {10} RIGHT )]

[eqn: = {9ab} over {200000} (100+x)(200-x)]

[eqn: = {9ab} over {200000} LEFT { -(x-50) ^{2} +22500 RIGHT }]

따라서 [eqn: x=50]일 때 매출 금액이 최대이다.

어떤 컴퓨터의 가격을 [eqn: x``%] 올리면 그 판매 대수는 [eqn: 1 over 2 x ``%] 감소한다고 한다. 세금이 정가의 [eqn: 10``%]라고 할 때, 세금을 제외한 이 컴퓨터의 매출 금액이 최대가 되도록 하는 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[eqn: 3500]원
입장료를 [eqn: 100]원씩 [eqn: x]번 올린다고 할 때, 수입을 [eqn: y`]원이라고 하면
[eqn: y=(3000+100x)(2000-50x)]
[eqn: `][eqn: =5000(30+x)(40-x)][eqn: =5000 left(-x^2 +10x+1200 right)`]
[eqn: `][eqn: =5000 left{-(x-5)^2 +1225 right}`] (단, [eqn: x>0])       [eqn: CDOTS]➊
따라서 [eqn: x=5`]일 때 [eqn: y`]가 최대이므로 수입을 최대로 하는 입장료는 [eqn: 3000+100 times 5 =3500`](원)   [eqn: CDOTS]➋

채점 기준	배점
➊ 식 세우기	3점
➋ 조건을 만족시키는 입장료 구하기	3점

시장 조사에 따르면 어느 전시장에서는 [eqn: 3000`]원의 입장료를 받으면 [eqn: 2000`]명의 관람객이 입장하고 입장료를 [eqn: 100`]원씩 올릴 때마다 관람객이 [eqn: 50`]명씩 감소한다고 한다. 이 전시장의 수입을 최대로 하려면 입장료를 얼마로 정해야 하는지 구하시오.

[eqn: 150 m^2]

다음 그림과 같이 전체 길이가 [eqn: 60 rm{~m}it]인 검정 테이프를 겹치지 않고 남김없이 사용하여 강당 바닥에 합동인 두 직사각형 모양으로 된 동아리 부스를 만들려고 한다. 만들 수 있는 동아리 부스의 넓이의 최댓값을 구하시 오. (단, 검정 테이프의 너비는 생각하지 않는다.)

최댓값 [eqn: 98 m^2], 최솟값 [eqn: 48 m^2]

그림과 같이 벽 면을 활용하여 길이가 [eqn: 28 rm{``m}it]인 철망으로 ㄷ자 모양의 울타리를 만들려고 한다. 울타리 안쪽 직사각형 모양 땅의 가로의 길이와 세로의 길이가 모두 [eqn: 4 rm{~m}it] 이상이 되도록 만들 때, 울타리 안쪽 땅의 넓이의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

(단, 철망의 두께는 생각하지 않는다.)

③

[eqn: b ^{2}`]의 최댓값을 구하기 위해 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =4a LEFT ( 10-a RIGHT )`]라 하면

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =4a LEFT ( 10-a RIGHT )] [eqn: (0<a<10)]

[eqn: =it-4 LEFT ( a ^{2} -10a RIGHT )]

[eqn: =it-4 LEFT ( a ^{2} -10a+25 RIGHT ) +100]

[eqn: =it-4 LEFT ( a-5 RIGHT ) ^{2} +100`]이므로

[eqn: f LEFT ( a RIGHT )`]는 [eqn: a=5`]일 때 최댓값 [eqn: 100`]을 갖는다.

따라서 [eqn: b ^{2}`]의 최댓값은 [eqn: 100`]

그림과 같이 윗면이 개방된 원통형 용기에 높이가 [eqn: h]인 지점까지 물이 채워져 있다. 용기에 충분히 작은 구멍을 뚫어 물을 흘려보내는 동시에 물을 공급하여 물의 높이를 [eqn: h]로 유지한다. 구멍의 높이를 [eqn: a], 구멍으로부터 물이 바닥에 떨어지는 지점까지의 수평거리를 [eqn: b]라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다.

[eqn: b = root{4a left( h - a right)}] (단, [eqn: 0<a<h])

[eqn: h=10]일 때, [eqn: b^2]의 최댓값은?

① [eqn: 64]	② [eqn: 81]	③ [eqn: 100]

④ [eqn: 121]	⑤ [eqn: 144]

[eqn: 74]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=-x^{2}+12 x] 위의 두 점 [eqn: rm A it], [eqn: rm B it]와 [eqn: x]축 위의 두 점 [eqn: rm C], [eqn: rm D]를 꼭짓점으로 하는 직사각형 [eqn: rm{ACDB}it]의 둘레의 길이의 최댓값을 구하시오. (단, 두 점 [eqn: rm A it], [eqn: rm B it] 는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.)

[eqn: 4]

[eqn: rm bar BQ = itx] [eqn: (0＜x＜8)]라고 하면 [eqn: TRIANGLE rm PQC`□ TRIANGLE ABC]이므로

[eqn: rm {bar{PQ}} ``:`4= LEFT ( 8- it x RIGHT ) `:`8]

[eqn: 8 rm {bar{PQ}} =32-4itx~~~ THEREFORE ~][eqn: rm bar PQ = 4 - 1 over2 itx]

[eqn: rm THEREFORE ~ TRIANGLE BQP= {1} over {2} TIMES it x TIMES LEFT ( 4- {1} over {2} x RIGHT )]

[eqn: =- {1} over {4} it x ^{2} +2x=- {1} over {4} (x-4) ^{2} +4]

따라서 [eqn: x=4]일 때 넓이의 최댓값은 [eqn: 4]이다.

그림과 같이 [eqn: rmangle B=90 DEG], [eqn: rm {bar{AB}} =4], [eqn: rm {bar{BC}} =8]인 직각삼각형
[eqn: rmABC]가 있다. 빗변 [eqn: rmAC] 위의 임의의 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: rmbarBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라고 할 때, 삼각형 [eqn: rmBQP]의 넓이의 최댓값을 구하시오.

⑤

두 직선 [eqn: l _{1} ,~l _{2}]의 교점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,~3 RIGHT )]이고 각각의 [eqn: x]절편이 [eqn: - {1} over {2} ,~4] 이므로 [eqn: x]축 위에 있는 직사각형의 두 꼭짓점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: a,~b] [eqn: LEFT ( - {1} over {2} <a<1,~1<b<4 RIGHT )]라 하면

나머지 두 꼭짓점의 좌표는 [eqn: LEFT ( a,~2a+1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( b,~-b+4 RIGHT )]이다.

두 꼭짓점의 [eqn: y]좌표가 같으므로

[eqn: 2a+1][eqn: = it -b+4], [eqn: b][eqn: = it -2a+3]

직사각형의 넓이는

[eqn: LEFT ( b-a RIGHT ) LEFT ( 2a+1 RIGHT )][eqn: = LEFT ( it -2a+3-a RIGHT ) LEFT ( 2a+1 RIGHT )][eqn: = it -3 LEFT ( 2a ^{2} -a-1 RIGHT )]

이므로, 직사각형의 넓이를 [eqn: S LEFT ( a RIGHT )]라 하면

[eqn: - {1} over {2} <a<1]에서

[eqn: S LEFT ( a RIGHT )][eqn: = it -3 LEFT ( 2a ^{2} -a-1 RIGHT )][eqn: = it -6 LEFT ( a- {1} over {4} RIGHT ) ^{2} + {27} over {8}]

따라서 직사각형의 넓이의 최댓값은 [eqn: {27} over {8}]

그림과 같이 두 직선

[eqn: l _{1} `:`2x-y+1=0], [eqn: l _{2} `:`x+y-4=0]

과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분에 직사각형이 있다. 이 직사각형의 한 변은 [eqn: x]축 위에 있고 두 꼭짓점은 각각 [eqn: l _{1}], [eqn: l _{2}] 위에 있을 때, 직사각형의 넓이의 최댓값은?

① [eqn: {23} over {8}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {25} over {8}]

④ [eqn: {13} over {4}]	⑤ [eqn: {27} over {8}]

⑤

[eqn: rm H]

[eqn: rm J]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm G]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: 20]

[eqn: rm I]

점 [eqn: rm A`]에서 선분 [eqn: rm DG`], 선분 [eqn: rm BC`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm H`], [eqn: rm I`]라 하고, 원과 선분 [eqn: rm BC`]와의 교점을 [eqn: rm J`]라 하자.

선분 [eqn: rm DH`]의 길이를 [eqn: a`]([eqn: 0<a<10])라 하면 선분 [eqn: rm AH`]의 길이는 [eqn: sqrt {3} a`]이고 선분 [eqn: rm DE`]의 길이는 [eqn: 10 sqrt {3} - sqrt {3} a`]이다. 직사각형 [eqn: rm DEFG`]의 넓이를 [eqn: S`]라 하면

[eqn: S=2a LEFT ( 10 sqrt {3} - sqrt {3} a RIGHT ) = it -2 sqrt {3} LEFT ( a-5 RIGHT ) ^{2} +50 sqrt {3}]

따라서 [eqn: a=5`]일 때 직사각형 [eqn: rm DEFG`]의 넓이는 최대이다.

원의 반지름의 길이를 [eqn: b`]라 하면

[eqn: rm {bar{EI}} =it{a`], [eqn: rm {bar{JE}} = it b`], [eqn: rm {bar{BJ}}=it sqrt {3} b`]이므로

[eqn: a+ LEFT ( 1+ sqrt {3} RIGHT ) b=10`]

[eqn: a=5`]일 때 [eqn: b= {5 LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT )} over {2} `]이므로 원의 둘레는

[eqn: 5 LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT ) pi`]

[eqn: p`], [eqn: q`]는 유리수이므로 [eqn: p=5], [eqn: q=it-5`]이고

[eqn: p ^{2} +q ^{2} =50`]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 20]인 정삼각형 [eqn: rmABC]에

대하여 변 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmD], 변 [eqn: rmAC] 위의 점 [eqn: rmG], 변 [eqn: rmBC] 위의 두 점 [eqn: rmE], [eqn: rmF]를 꼭짓점으로 하는 직사각형 [eqn: rmDEFG]가 있다. 직사각형 [eqn: rmDEFG]의 넓이가 최대일 때, 삼각형 [eqn: rmDBE]에 내접하는 원의 둘레의 길이는 [eqn: LEFT(p sqrt{3}+q RIGHT) pi]이다. [eqn: p^2 +q^2]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 유리수이다.)

① [eqn: 10]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 50]

①

사각형 [eqn: rm OABC`]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( 1+2 RIGHT ) TIMES 1= {3} over {2}`]이다.

두 점 [eqn: rmO`], [eqn: rmB`]를 지나는 직선의 방정식은 [eqn: y=2x`]이다.

직선 [eqn: y=k`]와 선분 [eqn: rmOB`]의 교점 [eqn: rmE`]는 두 직선 [eqn: y=k`], [eqn: y=2x`]의 교점이다.

그러므로 점 [eqn: RME`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {k} over {2} `,``k RIGHT ) `]

[eqn: S _{1} = {1} over {2} TIMES {k} over {2} TIMES k= {k ^{2}} over {4} `], [eqn: S _{3} = {1} over {2} TIMES LEFT ( 1- {k} over {2} RIGHT ) TIMES LEFT ( 2-k RIGHT ) = { LEFT ( 2-k RIGHT ) ^{2}} over {4} `]이므로

[eqn: S _{1} -S _{3} = {k ^{2}} over {4} - {LEFT ( 2-k RIGHT ) ^{2}} over {4} =k-1`] 이다.

[eqn: S _{1} +S _{2} =k`]이므로 [eqn: S _{2} =k- {k ^{2}} over {4} `]

[eqn: S _{3} +S _{4} = {3} over {2} -k`]이므로

[eqn: S _{4} = LEFT ( {3} over {2} -k RIGHT ) - { LEFT ( 2-k RIGHT ) ^{2}} over {4} = {2-k ^{2}} over {4} `]이다.

그러므로 [eqn: S _{2} -S _{4} = LEFT ( k- {k ^{2}} over {4} RIGHT ) - {2-k ^{2}} over {4} =k- {1} over {2} `]이다.

따라서
[eqn: left(S _{1} -S _{3} right) ^{2} +left(S _{2} -S _{4} right) ^{2} `]

[eqn: =left(k-1right) ^{2} + LEFT ( `k- {1} over {2} ` RIGHT ) ^{2} `][eqn: = 2k^2 -3k + 5 over4`]

[eqn: =2 LEFT ( k- {3} over {4} RIGHT ) ^{2} + {1} over {8} ```` LEFT ( 0<k<1 RIGHT ) `]이므로

[eqn: left(S _{1} -S _{3} right) ^{2} +left(S _{2} -S _{4} right) ^{2} `]은 [eqn: k= 3 over4`]일 때, 최솟값 [eqn: 1 over8`]을 갖는다.

그림과 같이 좌표평면 위의 네 점 [eqn: rmO(0`,~0)], [eqn: rmA(1`,~0)], [eqn: rmB(1`,~2)], [eqn: rmC(0`,~1)]을 꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: rmOABC]가 있다. 실수 [eqn: k]([eqn: 0<k<1])에 대하여 직선 [eqn: y=k]가 세 선분 [eqn: rmOC], [eqn: rmOB], [eqn: rmAB]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmF]라 하자. 삼각형 [eqn: rmOED]의 넓이를 [eqn: S_1], 사각형 [eqn: rmOAFE]의 넓이를 [eqn: S_2], 삼각형 [eqn: rmEFB]의 넓이를 [eqn: S_3], 사각형 [eqn: rmDEBC]의 넓이를 [eqn: S_4]라 할 때, [eqn: left(S_1 -S_3 right)^2 + left(S_2 - S_4 right)^2]의 최솟값은?

① [eqn: 1 over8]	② [eqn: 3 over16]	③ [eqn: 1 over4]

④ [eqn: 5 over16]	⑤ [eqn: 3 over8]

②

이차방정식

[eqn: x ^{2} - LEFT ( a+4 RIGHT ) x+3a+3][eqn: = LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT { x- LEFT ( a+1 RIGHT ) RIGHT } =0`]의 근은

[eqn: x=3`], [eqn: x=a+1`]이다. [eqn: 0<a<2`]이므로

[eqn: rm A it LEFT ( a+1`,``0 RIGHT ) `], [eqn: rm B it LEFT ( 3`,``0 RIGHT ) `], [eqn: rm C it LEFT ( 0`,``3a+3 RIGHT ) `]이다.

삼각형 [eqn: rm ABC`]의 밑변의 길이 [eqn: {bar{rm AB}} = it 2-a`]이고,

높이 [eqn: {bar{rm OC it}} =3a+3`]이다.

삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} LEFT ( 2-a RIGHT ) LEFT ( 3a+3 RIGHT )][eqn: =it- {3} over {2} LEFT ( a-2 RIGHT ) LEFT ( a+1 RIGHT )]

[eqn: =it- {3} over {2} LEFT ( a ^{2} -a-2 RIGHT )] [eqn: =it- {3} over {2} LEFT ( a- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {27} over {8} `]

따라서 [eqn: 0<a<2`]에서 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이의 최댓값은

[eqn: a= {1} over {2}`]일 때 [eqn: {27} over {8}`]이다.

그림과 같이 이차함수 [eqn: y = x^2 - left(a + 4 right ) x + 3a+3]의 그

래프가 [eqn: x]축과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]

라 하고, [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자.

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이의 최댓값은? (단, [eqn: 0<a<2])

① [eqn: 13 over4]	② [eqn: 27 over8]	③ [eqn: 7 over2]

④ [eqn: 29 over8]	⑤ [eqn: 15 over4]

③

이차방정식 [eqn: -x ^{2} +11x-10= it -x+10`]의 근은

[eqn: x=2`], [eqn: 10`]이므로 두 점 [eqn: LEFT ( 2`,``8 RIGHT ) `]과 [eqn: LEFT ( 10`,``0 RIGHT ) `]에서 두 그래프가 만난다.

[eqn: rm A` it LEFT ( t`,``-t+10 RIGHT ) `], [eqn: rm B` it LEFT ( t`,``-t ^{2} +11t-10 RIGHT ) `]

라 하면 선분 [eqn: rm AB it`]의 길이는

[eqn: -t ^{2} +11t-10- LEFT ( -t+10 RIGHT ) = it -t ^{2} +12t-20`]이다.

(ⅰ) [eqn: 2<t< {11} over {2} `]인 경우

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: y=it-x+10]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: rm B]

[eqn: rmA]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: t]

[eqn: 11-t]

선분 [eqn: rmBC`]의 길이는 [eqn: 2 TIMES LEFT ( {11} over {2} -t RIGHT ) =11-2t`]이다.

직사각형 [eqn: rm BADC`]의 둘레의 길이는

[eqn: 2 LEFT ( -t ^{2} +10t-9 RIGHT ) = it -2 LEFT ( t-5 RIGHT ) ^{2} +32`]이다.

[eqn: 2<t< {11} over {2} `]에서 직사각형 [eqn: rm BADC`]의 둘레의 길이의

최댓값은 [eqn: 32`]이다.

(ⅱ) [eqn: {11} over {2} <t<10`]인 경우

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: y=it-x+10]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

[eqn: 11-t]

[eqn: t]

선분 [eqn: rmBC`]의 길이는 [eqn: 2 TIMES LEFT ( t- {11} over {2} RIGHT ) =2t-11`]이다.

직사각형 [eqn: rm ABCD`]의 둘레의 길이는

[eqn: 2 LEFT ( -t ^{2} +14t-31 RIGHT ) = it -2 LEFT ( t-7 RIGHT ) ^{2} +36`]이다.

[eqn: {11} over {2} <t<10`]에서 직사각형 [eqn: rmABCD`]의 둘레의 길이의 최댓값은 [eqn: 36`]이다.

따라서 직사각형 [eqn: rm ABCD`]의 둘레의 길이의 최댓값은 [eqn: 36`]이다.

그림은 이차함수 [eqn: f left(x right)=-x^2 +11x-10]의 그래프와 직선 [eqn: y=-x+10]을 나타낸 것이다. 직선 [eqn: y=-x+10] 위의 한 점 [eqn: rm A left(it t,~-t+10 right)]에 대하여 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 이차함수 [eqn: y=f left(x right)]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmB]를 지나고 [eqn: x]축과 평행한 직선이 이차함수 [eqn: y=f left(x right)]의 그래프와 만나는 점 중 [eqn: rmB]가 아닌 점을 [eqn: rmC], 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선과 점 [eqn: rmC]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. 네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]를 꼭짓점으로 하는 직사각형의 둘레의 길이의 최댓값은? (단, [eqn: 2<t<10], [eqn: t!= {11} over {2}]이다.)

① [eqn: 30]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 39]	⑤ [eqn: 42]

②

두 점 [eqn: rm P`], [eqn: rmQ`]는 각각 [eqn: rm P( it t`,``2t ^{2} +1)`], [eqn: rmQ( it t`,``-(t-3) ^{2} +1)`]이므로 [eqn: rm {bar{PQ}}][eqn: = it 2t ^{2} +(t-3) ^{2} =3t ^{2} -6t+9]

[eqn: rm {bar{AB}}][eqn: =3`]이고 [eqn: rm {bar{AB}} BOT {bar{PQ}} `]이므로 사각형 [eqn: rm PAQB`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm AB}} TIMES {bar{rm PQ}}][eqn: = {3} over {2} LEFT ( 3 it t ^{2} -6t+9 RIGHT ) `]이다.

사각형 [eqn: rm PAQB`]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( t RIGHT ) `]라 하면

[eqn: 0<t<3`]에서  [eqn: S` LEFT ( t RIGHT ) = {3} over {2} LEFT ( 3t ^{2} -6t+9 RIGHT ) = {9} over {2} LEFT ( t-1 RIGHT ) ^{2} +9`]

[eqn: S` LEFT ( t RIGHT ) `]는 [eqn: t=1`]일 때 최솟값 [eqn: 9`]를 갖는다.

따라서 사각형 [eqn: rm PAQB`]의 넓이의 최솟값은 [eqn: 9`]이다.

그림과 같이 직선 [eqn: x=t][eqn: left(0<t<3 right)]이 두 이차함수

[eqn: y=2x^2 +1], [eqn: y=-left(x-3 right)^2 +1]의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. 두 점 [eqn: rmA left(0 `,~ 1 right)], [eqn: rmB left(3`,~1right)]에 대하여 사각형 [eqn: rmPAQB]의 넓이의 최솟값은?

① [eqn: 15 over2]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 21 over2]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 27 over2]

[eqn: 121]

두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]는 직선 [eqn: y=4a]와 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2}]의 그래프가 만나는 점이므로

[eqn: 4a=ax ^{2}], [eqn: x ^{2} =4]

[eqn: x=`-2] 또는 [eqn: x=2]

두 점 [eqn: rm A it], [eqn: rm B it]의 좌표는 각각 [eqn: LEFT (-2,`` 4a RIGHT )], [eqn: LEFT (2,`` 4a RIGHT )]

두 점 [eqn: rm C it], [eqn: rm D it]는 직선 [eqn: y=ax]와 함수

[eqn: g LEFT (x RIGHT )=`-a LEFT (x-a RIGHT ) ^{2} +a ^{2}]의 그래프가 만나는 점이므로

[eqn: ax=`-a LEFT (x-a RIGHT ) ^{2} +a ^{2}]

[eqn: x ^{2} - LEFT (2a-1 RIGHT )x+a LEFT (a-1 RIGHT )=0]

[eqn: LEFT (x-a+1 RIGHT ) LEFT (x-a RIGHT )=0]

[eqn: x=a-1] 또는 [eqn: x=a]

두 점 [eqn: rm C it], [eqn: rm D it]의 좌표는 각각 [eqn: LEFT ( a-1,`` a ^{2} -a RIGHT )], [eqn: LEFT ( a,`` a ^{2} RIGHT )]

직선 [eqn: y=4a]와 직선 [eqn: y=ax]가 만나는 점을 [eqn: rm E it]라 하면

[eqn: 4a=ax], [eqn: x=4]

점 [eqn: rm E it]의 좌표는 [eqn: LEFT (4,`` 4a RIGHT )]

[eqn: {bar{rm AE it}} = LEFT | 4- LEFT ( -2 RIGHT ) RIGHT | =6]

[eqn: {bar{rm BE it}} = LEFT | 4-2 RIGHT | =2]

점 [eqn: rm C it LEFT ( a-1,`` a ^{2} -a RIGHT )]와 직선 [eqn: y=4a] 사이의 거리를 [eqn: h _{1}]이라 하면

[eqn: h _{1} = LEFT | 4a- LEFT ( a ^{2} -a RIGHT ) RIGHT | =`-a ^{2} +5a]

삼각형 [eqn: rm ACE it]의 넓이를 [eqn: S _{1}]이라 하면

[eqn: S _{1}][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm AE it}} TIMES h _{1} = {1} over {2} TIMES 6 TIMES LEFT ( -a ^{2} +5a RIGHT )][eqn: =`-3a ^{2} +15a]

점 [eqn: rm D it LEFT ( a,`` a ^{2} RIGHT )]과 직선 [eqn: y=4a] 사이의 거리를 [eqn: h _{2}]라 하면

[eqn: h _{2} = LEFT | 4a-a ^{2} RIGHT | =`-a ^{2} +4a]

삼각형 [eqn: rm BDE it]의 넓이를 [eqn: S _{2}]라 하면

[eqn: S _{2}][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm BE it}} TIMES h _{2} = {1} over {2} TIMES 2 TIMES LEFT ( -a ^{2} +4a RIGHT )][eqn: =`-a ^{2} +4a]

사각형 [eqn: rm ACDB it]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S][eqn: =S _{1} -S _{2} = LEFT ( -3a ^{2} +15a RIGHT ) - LEFT ( -a ^{2} +4a RIGHT )]
[eqn: =`-2a ^{2} +11a=`-2 LEFT ( a- {11} over {4} RIGHT ) ^{2} + {121} over {8}]

[eqn: 2<a<4]에서 사각형 [eqn: rm ACDB it]의 넓이는 [eqn: a= {11} over {4}]일 때,

최댓값 [eqn: M= {121} over {8}]을 갖는다.

따라서 [eqn: 8 TIMES M=121]

그림과 같이 [eqn: 2<a<4]인 실수 [eqn: a]에 대하여 두 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =-a LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} +a ^{2}]의 그래프가 있다. 직선 [eqn: y=4a]와 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 직선 [eqn: y=ax]와 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하자. 사각형 [eqn: rmACDB]의 넓이의 최댓값을 [eqn: M]이라 할 때, [eqn: 8timesM]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표보다 작고, 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmD]의 [eqn: x]좌표보다 작다.)

③

[eqn: {bar{rm PQ it}} =x`]이므로 [eqn: {bar{rm BQ it}} ^{2} ={bar{rm CQ}} ^{2}=it{1 ^{2} +x ^{2}}`]이다.

[eqn: rm {bar{AQ}} ^{2} + rm {bar{BQ}} ^{2} + {bar{CQ}} ^{2}][eqn: = LEFT ( sqrt{3}-x RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( 1+x ^{2} RIGHT ) `]
[eqn: =3x ^{2} -2 sqrt {3} x+5`][eqn: =3 LEFT ( x ^{2} - {2} over {3} sqrt {3} x RIGHT ) +5]
[eqn: =3 LEFT ( x ^{2} - {2} over {3} sqrt {3} x+ {1} over {3} - {1} over {3} RIGHT ) +5][eqn: =3 LEFT ( x- {sqrt {3}} over {3} RIGHT ) ^{2} +4`]

[eqn: rm {bar{AQ}} ^{2} + rm {bar{BQ}} ^{2} + {bar{CQ}} ^{2}`]은 [eqn: x= {sqrt {3}} over {3}`]에서 최솟값 [eqn: 4`]를 가진다.

따라서 [eqn: a= {sqrt {3}} over {3} `], [eqn: m=4`]이므로 [eqn: {m} over {a }=4 sqrt {3} `]이다.

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 변 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmP]라 하고, 선분 [eqn: rmAP] 위의 점 [eqn: rmQ]에 대하여 선분 [eqn: rmPQ]의 길이를 [eqn: x]라 하자. [eqn: {bar{rmAQ}} ^{2} + {bar{rmBQ}} ^{2} + {bar{rmCQ}} ^{2}]은 [eqn: x=a]에서 최솟값 [eqn: m]을 가진다. [eqn: m overa]의 값은?

(단, [eqn: 0<x<root3]이고, [eqn: a]는 실수이다.)

① [eqn: 3root3]	② [eqn: 7 over2 root3]	③ [eqn: 4root3]

④ [eqn: 9 over2 root3]	⑤ [eqn: 5root3]

[eqn: 20]

[eqn: rmD]

[eqn: rm F]

[eqn: rm E]

[eqn: rm G]

[eqn: rm H]

[eqn: rm J]

[eqn: rm I]

두 변 [eqn: rm JG], [eqn: rm JI]의 길이를 각각 [eqn: x`]([eqn: rmm]), [eqn: y`]([eqn: rmm])라 할 때 삼각형 [eqn: rm DJI]와 삼각형 [eqn: rm DEF]는 닮음이므로

[eqn: (4-x)`:`4=y`:`6], [eqn: 4y=6(4-x)], [eqn: y=6- {3} over {2} x]

오벨리스크의 부피는

[eqn: {1} over {3} TIMES 10 TIMES x TIMES y][eqn: =20x-5x ^{2} `][eqn: =`-5(x-2) ^{2} +20`] ([eqn: 0<x<4])

[eqn: x=2]일 때 최대 부피는 [eqn: 20`]([eqn: rmm ^{3}])

따라서 [eqn: V=20]

고대 이집트의 태양신을 상징하는 어느 오벨리스크는 사각뿔 모양의 돌이다. [그림 [eqn: 1]]과 같이 높이가 [eqn: 10`rmm]인 삼각기둥 [eqn: rmABC - DEF] 모양의 돌을 이용하여 [그림 [eqn: 2]]와 같이 밑면이 직사각형인 사각뿔 모양의 오벨리스크를 만들려고 한다. 삼각기둥 [eqn: rmABC - DEF] 모양의 돌은 모서리 [eqn: rmEF]의 길이가 [eqn: 6`rmm], 꼭짓점 [eqn: rmD]에서 모서리 [eqn: rmEF]에 내린 수선의 발과 꼭짓점 [eqn: rmD] 사이의 거리가 [eqn: 4`rmm]이다.

모서리 [eqn: rmEF] 위의 두 점 [eqn: rmG], [eqn: rmH]와 두 모서리 [eqn: rmFD], [eqn: rmDE] 위의 각각의 점 [eqn: rmI], [eqn: rmJ]가 직사각형 [eqn: rmGHIJ]의 네 꼭짓점이 될 때, 높이가 [eqn: 10`rmm]이고 직사각형 [eqn: rmGHIJ]를 밑면으로 하는 부피가 최대인 사각뿔 모양의 오벨리스크의 부피는 [eqn: V `rmm^3]이다. [eqn: V]의 값을 구하시오. (단, 각 면에 있는 무늬는 무시한다.)

[eqn: 360]

두 원의 접점을 [eqn: rmT`], 점 [eqn: rm P]에서 [eqn: {bar{rm BC it}}], [eqn: {bar{rm AB it}}]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm H_1], [eqn: rm H _{2}]라 하고 원 [eqn: O_1]의 반지름의 길이를 [eqn: r`](단, [eqn: 0<r<6`])라 하자.

∆[eqn: rm `AH _{2} P][eqn: □]∆[eqn: rm `ABC]이므로 [eqn: rm bar{PH _{2}} `= {4} over {5} itr]

[eqn: rm bar{BH _{1}} `=` bar{PH _{2}} `= {4} over {5} it r`,`]

[eqn: rm bar{BQ} `=` bar{BT} `=6- it r`]이므로

[eqn: rm bar{QH _{1}} ` & = LEFT | bar{BH _{1}} - bar{BQ} RIGHT |]

[eqn: rm = LEFT | it {4} over {5} r-(6-r) RIGHT |]

[eqn: & = LEFT | {9} over {5} r-6 RIGHT |]   …… ㉠

∆[eqn: rm `PH _{1} C][eqn: □]∆[eqn: rm `ABC`], [eqn: rm bar CP = 10 - it r`] 이므로

[eqn: rm bar{PH _{1}} = it {3} over {5} (10-r)`]  …… ㉡

㉠, ㉡에 의하여

[eqn: {bar{rm PQ it}}`^2 =][eqn: {bar{rm PH_1 it}}`^2 + {bar{rm QH_1 it}}`^2][eqn: = LEFT { {3} over {5} (10-r) RIGHT } ^{2} +` LEFT ( {9} over {5} r-6 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = {18} over {5} (r ^{2} -8r+20)][eqn: = {18} over {5} (r-4) ^{2} + {72} over {5} `]

[eqn: {bar{rm PQ it}}` ^{2}]은 [eqn: r =4]일 때 최솟값 [eqn: {b} over {a} `=` {72} over {5} `]

따라서 [eqn: ab`=`360`]

그림과 같이 [eqn: rm barAB = 6], [eqn: rm barBC =8], [eqn: rm barCA =10]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]의 두 꼭짓점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 각각 중심으로 하는 두 원 [eqn: O_1], [eqn: O_2]가 서로 외접하고 있다. 변 [eqn: rmAC]와 원 [eqn: O_1]과의 교점을 [eqn: rmP], 변 [eqn: rmBC]와 원 [eqn: O_2]와의 교점을 [eqn: rmQ]라 할 때, [eqn: {rm barPQ}^2]의 최솟값은 [eqn: b overa]이다. [eqn: ab]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 서로소인 자연수이다.)