22년 내신 기출	확률과 통계	순열과 조합

경기남부지역	- -	분당기출모임

1.

순열과 조합

여러가지 순열 (step1)

1.

순열

야탑고/2022년/G1/D

다음 두 가지 경우의 수의 합은? [[eqn: 3.5]점]

②

(가) [eqn: {} _{15} rmP _{2} =15 TIMES 14=210]

(나) [eqn: {} _{6} rmP _{2} =6 TIMES 5=30]

[eqn: 210+30=240]

(가) 회원이 [eqn: 15]명인 동아리에서 부장 [eqn: 1]명, 차장 [eqn: 1 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]명을
뽑는 경우의 수

(나) [eqn: 1 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]부터 [eqn: 6 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]까지의 자연수 중에서 서로 다른 두 수를
이용하여 만들 수 있는 두 자리 자연수의 개수

① [eqn: 230]	② [eqn: 240]	③ [eqn: 250]
④ [eqn: 260]	⑤ [eqn: 270]

영덕여고/2022년/G1/D

두 집합 [eqn: A = left{`1,``2,``3,``4`right}], [eqn: B = left{`0,``1,``2,``3,``4`right}]에 대하여 [eqn: A]에서 [eqn: B]로의 함수 [eqn: f] 중에서 [eqn: f(1) + f(2) = 5]를 만족시키는 함수의 개수는? [[eqn: 4.4]점]

③

[eqn: f(1) + f(2) = 5] 를 만족하려면

순서쌍은 [eqn: (1,```4)],[eqn: (4,```1)],[eqn: (2,```3)],[eqn: (3,```2)]이므로 [eqn: 4]가지이고,

나머지는 모두 [eqn: 5]가지 이다.

[eqn: 5times 5 times 4 = 100]

① [eqn: 90]	② [eqn: 95]	③ [eqn: 100]
④ [eqn: 105]	⑤ [eqn: 110]

원순열(원탁)

성남여고/2022년/G2/D

남학생 [eqn: 4]명과 여학생 [eqn: 4]명이 원탁에 둘러앉을 때, 남학생과 여학생이 교대로 앉는 경우의 수는? [[eqn: 4.7]점]

②

남학생 원순열 배치 [eqn: LEFT ( 4-1 RIGHT ) ! it =6]

남학생 사이에 여학생 배치 [eqn: 4!it=24]

따라서 곱의 법칙에 따라 [eqn: 6·24=144]

① [eqn: 96]	② [eqn: 144]	③ [eqn: 384]

④ [eqn: 720]	⑤ [eqn: 2304]

송림고/2022년/G2/D

남자 [eqn: 4]명과 여자 [eqn: 4]명이 원탁에 둘러앉아 토의를 할 때, 여자와 남자가 교대로 앉는 모든 경우의 수는? [3.8점]

① [eqn: 36]	② [eqn: 72]	③ [eqn: 144]
④ [eqn: 288]	⑤ [eqn: 576]

③

남자 [eqn: 4]명을 원탁에 앉힌 후 그 사이사이에 교대로 여자를 앉히면 되므로 모든 경우의 수는

[eqn: 3! TIMES 4 ! = 6 TIMES 24=144]

이다.

풍생고/2022년/G1/D

할머니와 할아버지를 포함한 [eqn: 6]명의 가족이 원형 식탁에 둘러 앉아 식사를 할 때, 할머니와 할아버지가 이웃하게 앉는 경우의 수는?
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: 40]	② [eqn: 44]	③ [eqn: 48]
④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 56]

③

할머니와 할아버지를 한 사람처럼 보고 [eqn: 5]명이 둘러앉는 경우: [eqn: 4!]

할머니와 할아버지 자리 바뀌는 경우: [eqn: 2]

[eqn: THEREFORE `4! TIMES 2=48]

성일고/2022년/G2/D

남학생 [eqn: 3]명과 여학생 [eqn: 2]명이 일정한 간격을 두고 원형의 탁자에 모두 둘러앉을 때, 여학생 [eqn: 2]명이 서로 이웃하게 앉는 경우의 수는?
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [[eqn: 3.7]점]

①

여학생끼리 이웃하여야 하므로 여학생 [eqn: 2]명을 [eqn: 1]명으로 생각하면
[eqn: 4]명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 [eqn: (4-1)! = 3! =6]

그 각각의 경우에 대하여 여학생끼리 자리를 바꾸어 앉는 경우의 수는 [eqn: 2! = 2]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 6 TIMES 2=12]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]
④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

영덕여고/2022년/G2/D

[eqn: 2]명의 주연 배우를 포함하여 한 영화에 출연한 [eqn: 6]명의 배우가 시상식에 참석해 원탁에 둘러않을 때, [eqn: 2]명의 주연 배우가 이웃하게 앉는 경우의 수는? [[eqn: 4]점]

⑤

이웃하여 있는 사람을 하나로 본다 [eqn: 4! times 2 = 48]

① [eqn: 36]	② [eqn: 39]	③ [eqn: 42]
④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 48]

판교고/2022년/G2/D

할머니와 할아버지를 포함한 [eqn: 7]명의 가족이 원형 식탁에 둘러앉아 식사를 할 때, 할머니 바로 오른쪽에 할아버지가 앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)[3.7점]

①

[eqn: 5!]

① [eqn: 120]	② [eqn: 150]	③ [eqn: 180]
④ [eqn: 210]	⑤ [eqn: 240]

홍천고/2022년/G2/D

[eqn: 6]명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 모두 둘러앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [[eqn: 3.6]점]

① [eqn: 1!]	② [eqn: 2!]	③ [eqn: 3!]
④ [eqn: 4!]	⑤ [eqn: 5!]

⑤

다섯 명을 원탁에 배열하는 경우의 수이므로 [eqn: 5!]

야탑고/2022년/G2/D

교사 [eqn: 3]명과 학생 [eqn: 3]명이 일정한 간격을 두고 원형의 탁자에 둘러앉을 때, 학생은 [eqn: 2]명만 서로 이웃하게 앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [[eqn: 3.6]점]

⑤

전체 경우 - (학생이 모두 이웃한 경우) - (학생이 모두 이웃하지 않은 경우)

[eqn: = LEFT ( 6-1 RIGHT ) !- LEFT ( 3! TIMES 3! RIGHT ) - LEFT ( 3-1 RIGHT ) ! TIMES 3!]

[eqn: =120-36-12=72]

① [eqn: 48]	② [eqn: 54]	③ [eqn: 60]
④ [eqn: 66]	⑤ [eqn: 72]

원순열(여러 모양의 탁자)

보평고/2022년/G2/D

다그림과 같은 정사각뿔의 각 면을 서로 다른 [eqn: 5]가지의 색을 모두 사용하여 칠하는 경우의 수는?. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다. [4.3점]

②

정사각뿔의 밑면에 칠할 색을 정하는 방법: [eqn: 5]가지

옆면에 [eqn: 4]개의 색을 원순열하는 방법의 수: [eqn: 3!]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 5 times 3! = 30]

① [eqn: 24]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 60]
④ [eqn: 72]	⑤ [eqn: 120]

송림고/2022년/G2/D

[eqn: 8 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]명의 학생이 다음 그림과 같은 정사각형 모양의 탁자에 둘러앉는 모든 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 경우는 모두 같은 것으로 본다.) [4.1점]

④

[eqn: 8 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]명의 학생이 정사각형 모양의 탁자에 둘러앉는 경우 [eqn: 4]가지가 합동이므로 그 경우의 수는

[eqn: {8!} over {4} =2 TIMES 7 ! = 10080]

이다.

① [eqn: 1680 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	② [eqn: 3360 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	③ [eqn: 5040 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]
④ [eqn: 10080 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	⑤ [eqn: 20160 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

중복순열

돌마고/2022년/G3/D

[eqn: {} _{n} rm C _{2} + _{it n} rm SMALLPROD _{2} =35] 을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은? [[eqn: 3.8]점]

①

[eqn: {n LEFT ( n-1 RIGHT )} over {2} +n ^{2} =35,````]식을 정리하면 [eqn: {3} over {2} n ^{2} - {1} over {2} n=35,`` {1} over {2} (n-5)(3n+14)=0], [eqn: n]은 자연수이므로 [eqn: n=5]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

판교고/2022년/G3/E

[eqn: {}_3 SMALLPROD_2`]의 값은? [[eqn: 3.5]점]

⑤

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

운중고/2022년(이)/G3/D

[eqn: {}_{5} SMALLPROD _{3}]의 값은? [[eqn: 4.2]점]

②

[eqn: {}_{5} SMALLPROD _{3} =5 ^{3} =125]

① [eqn: 120]	② [eqn: 125]	③ [eqn: 130]

④ [eqn: 135]	⑤ [eqn: 140]

풍생고/2022년/G3/D

[eqn: {}_{n} rmP _{2} + _{it n} PI _{2} =120]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은? [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

③

[eqn: n LEFT ( n-1 RIGHT ) +n ^{2} =120]

[eqn: 2n ^{2} -n-120=0]

[eqn: THEREFORE `n=8]

판교고/2022년/G3/D

[eqn: 3]명의 학생이 방과후 체육 활동으로 농구, 야구, 배구, 축구 중에서 한 가지를 택하는 경우의 수는? [3.6점]

③

[eqn: 4^3]

① [eqn: 47]	② [eqn: 55]	③ [eqn: 64]
④ [eqn: 72]	⑤ [eqn: 81]

중복순열(자연수의 개수)

야탑고/2022년/G3/D

[eqn: 1,`2,`3,`4]에서 중복을 허용하여 [eqn: 5]개의 수를 뽑아 다섯 자리 자연수를 만들 때, 만의 자리의 수와 일의 자리의 수는 서로 같고 같은 숫자가 [eqn: 3]번 이상 연속하여 나열되지 않는 자연수의 개수는? [[eqn: 4.3]점]

④

만의 자리의 수와 일의 자리의 수가 서로 같은 경우

-(만과 일의 자리의 수가 서로 같고 가운데 세자리가 모두 같은 경우)

-(앞 세자리가 같고 일의 자리도 같은 경우)

-(맨 앞과 뒤 세자리가 같은 경우)

[eqn: =4 TIMES (4 TIMES 4 TIMES 4) TIMES 1-4 TIMES (4 TIMES 1 TIMES 1) TIMES 1]

[eqn: -4 TIMES (1 TIMES 1 TIMES 3) TIMES 1-4 TIMES (3 TIMES 1 TIMES 1) TIMES 1]

[eqn: =256-16-12-12=216]

① [eqn: 204]	② [eqn: 208]	③ [eqn: 212]
④ [eqn: 216]	⑤ [eqn: 220]

죽전고/2022년/G3/D

서로 다른 종류의 연필 [eqn: 4]자루를 [eqn: 3]명의 학생 [eqn: A,``B,``C`]에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는?

④

[eqn: `_3 PI_4 = 3^ 4 = 81]

(단, 연필을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.) [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: 52]	② [eqn: 64]	③ [eqn: 73]
④ [eqn: 81]	⑤ [eqn: 95]

송림고/2022년/G3/D

중복을 허용하여 [eqn: 4]개의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]으로 만들 수 있는 네 자리 홀수의 개수는? [3.8점]

① [eqn: 96]	② [eqn: 112 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	③ [eqn: 128 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]
④ [eqn: 162 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	⑤ [eqn: 196 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

①

네 자리 홀수가 되려면 천의 자리는 [eqn: 0]을 제외한 [eqn: 1,~2,~3], 백과 십의 자리는 [eqn: 0,~1,~2,~3], 일의 자리는 [eqn: 1,~3]이 올 수 있으므로 네 자리 홀수의 개수는

[eqn: 3 TIMES 4 TIMES 4 TIMES 2=96]

이다.

운중고/2022년(이)/G3/D

숫자 [eqn: 0,~1,~2,~3]중에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는? [[eqn: 4.3 To 20010]점]

①

백의 자리에 올 수 있는 수의 경우의 수는 [eqn: 3]이고, 십의 자리와 일의 자리에 올 수 있는 경우의 수는 [eqn: {}_{4} SMALLPROD _{2} =4 ^{2} =16]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 16=48]

① [eqn: 48]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 64]

④ [eqn: 72]	⑤ [eqn: 80]

보평고/2022년/G3/E

네 개의 수 [eqn: 1,2,3,4]에서 중복을 허용하여 만들 수 있는 두 자리의 자연수의 개수는? [4.0점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 16]

⑤

[eqn: {}_4 Pi_2 = 16]가지

중복순열(함수의 개수)

성남여고/2022년/G3/D

두 집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2,~3 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수 [eqn: f] 중에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) != 2]인 함수의 개수는? [[eqn: 4.7]점]

②

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) != 2]임 가는한 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 개수는 [eqn: 3]개

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) ,~f LEFT ( 3 RIGHT )]의 개수는 [eqn: {}_{4} PI _{2} =4 ^{2} =16]개

따라서 함수의 개수는 [eqn: 3·16=48]개

① [eqn: 16]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 55]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 81]

송림고/2022년/G3/D

집합 [eqn: A= LEFT { 0,~1,~2,~3,~4 RIGHT }]에 대하여 [eqn: A from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]에서 [eqn: A from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]로의 함수 [eqn: f from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]가 있다. [eqn: f(2) f(3) f(4) != 0 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]을 만족시키는 함수의 개수를 구하고 풀이 과정을 논술하시오. [5점]

[eqn: 1600]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) ,~f LEFT ( 1 RIGHT )]은 [eqn: 0,~1,~2,~3,~4]와 대응하고, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) ,~f LEFT ( 3 RIGHT ) ,~f LEFT ( 4 RIGHT )]는 [eqn: 0]을 제외한 [eqn: 1,~2,~3,~4]와 대응하므로 함수의 개수는

[eqn: 5 TIMES 5 TIMES 4 TIMES 4 TIMES 4=1600]

이다.

풍생고/2022년/G3/D

두 집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { a,`b,`c RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]를 정의역, [eqn: Y`]를 공역으로 하는 함수 [eqn: f:X -> Y`]의 개수는? [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: 49]	② [eqn: 64]	③ [eqn: 81]
④ [eqn: 169]	⑤ [eqn: 243]

⑤

[eqn: {}_{3} PI _{5} =243]

같은 것을 포함한 순열

송림고/2022년/G4/D

빨간색 깃발 [eqn: 2 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]개, 파란색 깃발 [eqn: 3 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]개, 노란색 깃발 [eqn: 4 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]개를 일렬로 배열하여 신호를 만들 때, 양 끝에 노란색 깃발이 오도록 만들 수 있는 서로 다른 모든 신호의 개수는? (단, 같은 색깔의 깃발은 서로 구별되지 않는다.) [3.8점]

① [eqn: 180 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	② [eqn: 195 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	③ [eqn: 210 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]
④ [eqn: 225 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	⑤ [eqn: 240 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

③

빨간색 깃발을 [eqn: R], 파란색 깃발을 [eqn: B], 노란색 깃발을 [eqn: Y``]라 하면 양 끝에 노란색 깃발이 오므로 다음 그림과 같이 양 끝의 [eqn: Y] 사이에 나머지 [eqn: RRBBBYY]를 배열하면 된다.

[eqn: Y``][eqn: {BOX{````````}}][eqn: {BOX{````````}}][eqn: {BOX{````````}}][eqn: {BOX{````````}}][eqn: {BOX{````````}}][eqn: {BOX{````````}}][eqn: {BOX{````````}}][eqn: Y]

따라서 서로 다른 모든 신호의 개수는

[eqn: {7!} over {2!3!2!} =210]

이다.

보평고/2022년/G4/D

[eqn: 5]개의 문자 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: c]를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는?

③

[eqn: {5!} over {2!2!} =30]

[4.0점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 30]
④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 50]

죽전고/2022년/G4/D

[eqn: 8]개의 문자 [eqn: a,`a,`b,`b,`b,`c,`d,`e]를 일렬로 나열할 때, [eqn: c]가 [eqn: d]보다 앞에 오도록 나열하는 경우의 수는? [[eqn: 3.7]점]

②

[eqn: {8!} over {2!3!2!} =1680]

① [eqn: 840]	② [eqn: 1680]	③ [eqn: 2520]	④ [eqn: 3360]	⑤ [eqn: 4200]

죽전고/2022년/G4/D

[eqn: 7]개의 문자 [eqn: a,``a,``b,``b,``b,``c,``d]를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는? [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: 400]	② [eqn: 420]	③ [eqn: 440]
④ [eqn: 480]	⑤ [eqn: 500]

②

[eqn: {7`! }over { 2! `cdot3! } = 420]

판교고/2022년/G4/E

여섯 개의 문자 [eqn: a`,`a`,`a`,`b`,`b`,c]를 일렬로 나열하는 경우의 수는? [3.5점]

④

[eqn: 6! over3!cdot2!]

① [eqn: 30]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 50]
④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 70]

같은 것을 포함한 순열(자연수의 개수)

영덕여고/2022년/G4/D

숫자 [eqn: 1,``1,``2,``2,``3,``3,``3] 중에서 [eqn: 3]개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 세 자리의 자연수의 개수는? [[eqn: 4.2]점]

①

세 자리에 올수 있는 수는 [eqn: 3 ^3]개 이다.

그중에 모두 [eqn: 1]과 모두 [eqn: 2]는 안된다.

[eqn: 3^3 -2 = 25]

① [eqn: 25]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 29]
④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 33]

같은 것을 포함한 순열(순서가 정해진 순열)

성일고/2022년/G4/D

[eqn: 5]개의 문자 [eqn: a,```b,```c,```d,```e]를 일렬로 나열할 때, [eqn: a]가 [eqn: b]보다 왼쪽에 나열될 확률은? [[eqn: 4.2]점]

①

[eqn: 5]개를 나열하는 전체 경우의 수는 [eqn: 5`! = 120]

이때 [eqn: a]가 [eqn: b]보다 앞에 있을 경우는

[eqn: a,```b]를 같은 것으로 보고 [eqn: 5]개를 일렬로 세우는 경우의 수와 같으므로 [eqn: {5`!} over {2`!}]이다. 구하는 확률은 [eqn: {60} over {120} = {1} over {2}]

① [eqn: 1over 2]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 1 over 4]
④ [eqn: 1 over 5]	⑤ [eqn: 1 over 6]

최단거리

돌마고/2022년/G4/D

그림과 같은 도로망이 있다. [eqn: rmA]지점에서 [eqn: rm B,``C]를 모두 거쳐 [eqn: rmD]지점 까지 최단 거리로 가는 경우의 수는? [[eqn: 3.9]점]

②

[eqn: rm A -> ` rm B] : [eqn: 4]

[eqn: rm B -> `C] : [eqn: 3]

[eqn: rm C -> `D] : [eqn: 3]

[eqn: 4TIMES3TIMES3=36]

① [eqn: 35]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 37]
④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 39]

판교고/2022년/G4/D

그림과 같은 직사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을 따라 [eqn: A]지점에서 출발하여 [eqn: P]지점을 지나 [eqn: B]지점까지 최단거리로 이동하는 경우의 수는?[3.9점]

②

[eqn: {}_4 C_2 times{}_4 C_1]

① [eqn: 10]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 36]
④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 54]

여러가지 순열(step2)

1.

순열

판교고/2022년/G1/C

[eqn: 6]명의 학생 [eqn: A`,`B`,`C`,`D`,`E`,`F]가 부채춤을 추기 위하여 원형으로 둘러설 때, [eqn: A]와 [eqn: B]가 이웃하지 않고 [eqn: C]와 [eqn: D]도 이웃하지 않게 서는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [4.8점]

①

전체에서 [eqn: A`]와 [eqn: B`]가 이웃하는 경우와 [eqn: C`]와 [eqn: D`]가 이웃하는 경우를 밴다.

[eqn: 5!`-(4! times 2 + 4! times2 - 3! times 2^2 ) = 48]

① [eqn: 48]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 36]
④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 24]

원순열(원탁)

야탑고/2022년/G2/C

아래 그림과 같이 [eqn: 9]개의 자리가 있는 원탁에 남학생 [eqn: 3]명과 여학생 [eqn: 3]명이 둘러앉으려고 한다. 남학생 [eqn: 1]명과 여학생 [eqn: 1]명이 한 조씩 총 [eqn: 3]개의 조를 이루어 다른 조원 사이에는 빈자리를 두고 같은 조원들끼리는 이웃하게 앉는 경우의 수는? [[eqn: 4.1]점]

②

남학생이 일단 서고, 여학생이 남학생 뒤에 가서 각 조를 이루고 원탁에 세 조를 배열하고 남녀 자리를 배치한 다음, 사이에 빈자리를 둔다.

[eqn: 1 TIMES 3! TIMES LEFT ( 3-1 RIGHT ) ! TIMES 2 ^{3} TIMES 1][eqn: =96]

① [eqn: 94]	② [eqn: 96]	③ [eqn: 98]
④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 102]

돌마고/2022년/G2/C

남학생 [eqn: 4]명과 여학생 [eqn: 4]명이 원탁에 둘러앉을 때, 남학생과 여학생이 번갈아 가며 앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [[eqn: 4.0]점]

①

우선 남학생을 먼저 원순열로 앉힌다. [eqn: 3!`=6]

[eqn: 6 TIMES 4!`=144]

① [eqn: 144]	② [eqn: 145]	③ [eqn: 146]
④ [eqn: 147]	⑤ [eqn: 148]

죽전고/2022년/G2/C

남학생 대표 [eqn: 1]명과 여학생 대표 [eqn: 1]명을 포함하여 남학생 [eqn: 3]명과 여학생 [eqn: 3]명이 원탁에 둘러앉을 때, 남학생 대표와 여학생 대표가 마주 보고 앉는 경우의 수는?

②

[eqn: rm A]의 자리가 정해지면 [eqn: rm B]의 자리는 서로 마주보는 자리로 고정되므로

구하는 경우의 수는 [eqn: 5]명이 원 모양의 탁자에 둘러앉는 방법의 수와 같다.

[eqn: 6]명이 원 모양의 탁자에 둘러앉는 방법의 수는 원순열의 수이므로

즉 구하는 방법의 수는 [eqn: (5-1)! = 4! = 24]

(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [[eqn: 4.0]점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 48]
④ [eqn: 96]	⑤ [eqn: 120]

보평고/2022년/G2/C

남자 [eqn: 5]명과 여자 [eqn: 4]명이 원탁에 앉을 때, 여자들은 어느 누구도 이웃하지 않도록 앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [4.3점]

① [eqn: 9!]	② [eqn: 8!]	③ [eqn: 5! TIMES 4!]
④ [eqn: 4! TIMES 4!]	⑤ [eqn: 4! TIMES 3!]

③

남자 [eqn: 5]명을 원탁에 앉히는 경우의 수는 [eqn: {5!} over {5} =4!]이다.

여자 [eqn: 4]명을 남자 사이에 [eqn: 1]명씩 앉히는 경우의 수는 [eqn: {}_{5} rm P _{4} =5 TIMES 4 TIMES 3 TIMES 2=5!]이다.

따라서 문제에서 구하는 경우의 수는 [eqn: 5! TIMES 4!]이다.

죽전고/2022년/G2/C

그림과 같이 [eqn: 12]개의 자리가 있는 원탁에 남학생 [eqn: 4]명과 여학생 [eqn: 4]명이 둘러앉으려고 한다. 남학생 [eqn: 1]명과 여학생 [eqn: 1]명이 한 조씩 총 [eqn: 4]개의 조를 이루어 다른 조원 사이에는 빈자리를 두고 같은 조원들끼리는 이웃하게 앉는 경우의 수는?

⑤

[eqn: 4]자리에 남학생을 먼저 앉히는 방법은 [eqn: (4-1)! = 3! = 6]

여학생을 그 옆에 앉히고 사이사이에 빈의 자를 두고 [eqn: 4!`=`24`]

남학생과 여학생을 바꾸는 방법은 [eqn: 2 times2 times2 times2 = 16]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 6 × 24 times16 = 2304]가지이다.

(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [[eqn: 5.1]점]

① [eqn: 2296]	② [eqn: 2298]	③ [eqn: 2300]
④ [eqn: 2302]	⑤ [eqn: 2304]

죽전고/2022년/G2/C

세 남학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 포함한 [eqn: 4]명의 남학생과, 여학생 [eqn: rmD]를 포함한 [eqn: 4]명의 여학생이 있다. 이 [eqn: 8]명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 다음 조건을 만족시키도록 모두 둘러앉는 경우의 수는? [[eqn: 4.8]점]

① [eqn: 216]	② [eqn: 228]	③ [eqn: 240]	④ [eqn: 252]	⑤ [eqn: 264]

⑤

남은 남학생 한명을 E 나머지 여자 3명을 FGH라 하자.

C와 E 사이에 D가 들어가는 경우는 (AB),(CED),F,G,H를 배열하는 경우와 같으므로 [eqn: 4! TIMES 2 TIMES 2][eqn: =][eqn: 96]

A또는 B와 C 또는 E 사이에 D가 들어가는 경우를 세주면 되므로

((AB),D,C),E,F,G,H를 원순열 하면

[eqn: 2 TIMES 2][eqn: TIMES 4!][eqn: TIMES 2][eqn: =192]

이중에서 C가 A옆에 이웃해버리는 (CAB,D,E),F,G,H를 원순열하는 경우를 빼주어야 한다. [eqn: 3! TIMES 2 TIMES 2][eqn: =24]

[eqn: 96+(192-24)=264]가지 이다.

(가) [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]는 이웃한다.
(나) [eqn: rmA]와 [eqn: rmC]는 이웃하지 않는다.

(다) [eqn: rmD]는 여학생과 이웃하지 않는다.

원순열(색칠하기)

죽전고/2022년/G2/C

그림과 같이 합동인 부채꼴 [eqn: 4]개로 된 원 모양의 타일이 있다. [eqn: 4]보다 큰 자연수 [eqn: n]에 대하여 서로 다른 [eqn: n]가지 색 중에서 [eqn: 4]가지를 골라 다음 조건을 만족시키도록 타일을 칠하려고 한다.

③

[eqn: n]가지 색중에서 [eqn: 4]가지를 선택하여 칠하면 된다.

판에 색칠하는 방법의 수는 [eqn: `_n C_3 times(4-1)! = 210]

[eqn: `_n C_3 = 35] 이므로

[eqn: {n(n-1)(n-2)(n-3)} over {4 TIMES 3 TIMES 2 TIMES 1} =7 TIMES 5]

[eqn: n(n-1)(n-2)(n-3)=7 TIMES 6 TIMES 5 TIMES 4] 이므로

[eqn: n = 7]

[eqn: 210]가지 종류의 다른 타일을 만들 수 있다고 할 때, [eqn: n]의 값은?

(가) 골라낸 [eqn: 4]가지 색을 모두 사용하여 칠한다.

(나) 한 부채꼴에는 한 가지 색만을 칠할 수 있다.

(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 보며 뒤집는 경우는 생각하지 않는다.) [[eqn: 5.0]점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

죽전고/2022년/G2/C

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형의 각 꼭짓점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 사분원을 정사각형의 내부에 그린 도형이 있다. 한 면은 모두 흰색이고, 다른 면은 각각 노란색, 빨간색, 파란색, 초록색, 보라색인 색종이 [eqn: 5]장을 각 영역의 모양대로 잘라 도형의 [eqn: 5]개 영역에 붙이려고 한다. [eqn: 5]장의 색종이 중에서 흰 면이 보이는 색종이가 오직 한 개만 나타나는 경우의 수는? (단, 한 영역에는 한 가지 색종이만 붙이고 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다. 색종이는 한 영역을 채울 수 있을 만큼 충분히 크다.) [[eqn: 3.9]점]

① [eqn: 60]	② [eqn: 90]	③ [eqn: 120]	④ [eqn: 150]	⑤ [eqn: 180]

④

흰 면 선택하는 경우의 수 : [eqn: {} _{5} C _{1}]

가운데 칠하는 경우의 수 : [eqn: 5]

원순열 [eqn: 3!]

[eqn: 5TIMES 5 TIMES 6=150]

야탑고/2022년/G2/C

아래 그림과 같이 반지름의 길이가 같은 세 원이 각각 다른 두 원의 중심을 지나고 있다. 이 세 원으로 나누어진 [eqn: 7]개의 영역에 서로 다른 [eqn: 7]개의 색을 모두 사용하여 칠하는 경우의 수는? (단, 회전에 의하여 일치하는 것은 같은 것으로 하고, 한 영역에는 한 가지 색만 칠한다.) [[eqn: 4.2]점]

⑤

(가운데 선택)[eqn: TIMES](가운데 주변 세칸 선택)[eqn: TIMES](바깥쪽 세칸 선택)

[eqn: =7 TIMES {6 TIMES 5 TIMES 4} over {3} TIMES (3 TIMES 2 TIMES 1)=1680]

① [eqn: 720]	② [eqn: 840]	③ [eqn: 1008]
④ [eqn: 1260]	⑤ [eqn: 1680]

송림고/2022년/G2/C

그림과 같이 서로 접하고 크기가 같은 원 [eqn: 3 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]개와 이 세 원의 중심을 꼭짓점으로 하는 정삼각형이 있다. 원의 내부 또는 정삼각형의 내부에 만들어지는 [eqn: 7 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]개의 영역에 서로 다른 [eqn: 7 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]가지 색을 모두 사용하여 칠하려고 한다. 한 영역에 한 가지 색만을 칠할 때, 색칠한 결과로 나올 수 있는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 경우로 본다.) [4.3점]

③

가운데 영역에 칠하는 경우는 [eqn: 7]가지, 정삼각형과 원이 겹치는 영역에 칠하는 경우는 [eqn: {}_{6} rm C _{3} ` TIMES 2!`=20 TIMES 2=40], 나머지 바깥 원 영역에 칠하는 경우는 [eqn: 3!`=6]이므로 색칠한 결과로 나올 수 있는 경우의 수는

[eqn: 7 TIMES 40 TIMES 6=1680]

이다.

① [eqn: 560 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	② [eqn: 1260 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	③ [eqn: 1680 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]
④ [eqn: 3760 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	⑤ [eqn: 5040 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

보평고/2022년/G2/C

정사각형에 내접하는 원을 [eqn: 4]등분한 그림과 같은 도형에서 한 영역에 한 가지 색만 사용하여 [eqn: 8]개의 영역에 서로 다른 [eqn: 8]가지 색을 모두 칠하는 경우의 수를 구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [6.0점]

[eqn: 10080]

원의 내부에 색칠할 [eqn: 4]가지 색을 선택하는 방법의 수는 [eqn: {}_8 C _ 4 =70]

원의 내부에 색칠하는 경우는 [eqn: 3!]

원의 바깥 그리고 정사각형 내부인 귀퉁이 [eqn: 4]곳에 색칠하는 경우의 수는 [eqn: 4!]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 70 times 6 times 24=10080]

원순열(여러 모양의 탁자)

야탑고/2022년/G2/C

여자 [eqn: 2]명과 남자 [eqn: 4]명이 보드게임을 하기 위해 아래 그림과 같은 정삼각형 모양의 탁자에 둘러앉으려고 한다. 이때 여자 [eqn: 2]명이 탁자의 서로 다른 모서리에 앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [[eqn: 4]점]

②

전체 경우 – (여자 [eqn: 2`]명이 이웃하는 경우)

[eqn: = {6!} over {3} -2! TIMES 4!`=240-48=192]

① [eqn: 191]	② [eqn: 192]	③ [eqn: 1933]
④ [eqn: 194]	⑤ [eqn: 195]

죽전고/2022년/G2/C

[eqn: 6]명의 학생이 그림 (가)와 같이 정삼각형 모양의 탁자에 둘러 앉는 경우의 수를 [eqn: a], [eqn: 8]명의 학생이 그림 (나)와 같이 직사각형 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수를 [eqn: b]라 하자. [eqn: {b} over {a}]의 값은?

①

[eqn: 6]명의 학생을 원형으로 배열하는 원순열의 수는 [eqn: ( 6-1)! = 5!]

이때 각각의 탁자에 앉는 서로 다른 경우의 수를 구하면

정삼각형에서는 원형으로 배열하는 한 가지 경우에 대하여 서로 다른
경우가 [eqn: 2]가지씩 존재하므로 [eqn: a= 5! times 2]

직사각형에서는 원형으로 배열하는 한 가지 경우에 대하여 서로 다른 경우가 [eqn: 3]가지씩 존재하므로 [eqn: b= 7! times 4]

따라서 [eqn: {b} over {a} = {7! times 4 }over{5! times 2 } = 84]

(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [[eqn: 3.9]점]

① [eqn: 84]	② [eqn: 85]	③ [eqn: 86]
④ [eqn: 87]	⑤ [eqn: 88]

홍천고/2022년/G2/C

그림과 같은 직사각형 모양의 탁자에 일정한 간격으로 남학생 [eqn: 4]명, 여학생 [eqn: 4]명이 같은 성별끼리 이웃하지 않게 모두 둘러앉는 경우의 수는? (단, 직사각형 모양의 탁자의 모서리에 인접하여 앉는 것도 이웃하여 앉는 것으로 생각하고, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [[eqn: 4.0]점]

①

먼저 원형의 탁자에 여자 4명, 남자 4명을 같은 성별끼리 이웃하게 앉는 경우를 생각하면, [eqn: 3! times 4! = 144] 가지

그런데 그림의 직사각형 모양의 탁자에 앉는 경우는 각각의 경우마다 서로 다른 [eqn: 4]가지의 경우가 생긴다.

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 144 times 4 = 576]

① [eqn: 576]	② [eqn: 578]	③ [eqn: 580]
④ [eqn: 582]	⑤ [eqn: 584]

야탑고/2022년/G2/C

아래 그림과 같이 의자가 배열된 직사각형 모양의 탁자에 [eqn: rmA]반 학생 [eqn: 2]명, [eqn: rmB]반 학생 [eqn: 2]명, [eqn: rmC]반 학생 [eqn: 2]명으로 구성된 [eqn: 6]명이 둘러앉으려고 한다. [eqn: rmA]반 학생끼리는 서로 이웃하게 앉고, [eqn: rmB]반 학생끼리는 이웃하지 않게 앉도록 하는 경우의 수는? (단, 같은 변에 있지 않아도 옆에 있는 경우 이웃한 것으로 보며, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [[eqn: 4.5]점]

④

[eqn: A`]반 학생 두 명이 같은 변에 이웃한 경우

[eqn: 2! TIMES LEFT ( 4!-3! TIMES 2! RIGHT ) =24]

[eqn: A`]반 학생 두 명이 서로 모서리를 두고 이웃한 경우 (모양1)

[eqn: 2! TIMES LEFT ( 4!-3! TIMES 2! RIGHT ) =24]

[eqn: A`]반 학생 두 명이 서로 모서리를 두고 이웃한 경우 (모양2)

[eqn: 2! TIMES LEFT ( 4!-3! TIMES 2! RIGHT ) =24]

[eqn: 24+24+24=72]

① [eqn: 36]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 60]
④ [eqn: 72]	⑤ [eqn: 84]

야탑고/2022년/G2/C

그림과 같은 정십이면체에 대하여 다음 물음에 답하시오. [총 [eqn: 7]점]

(1) [eqn: 6] (2) [eqn: 768 from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================]

(1) 일반성을 잃지 않고 [eqn: 1`]을 맨 위로 두자. 마주보는 면에는 [eqn: 11`]가지의 숫자가 올 수 있다.

[eqn: 1`] 주위의 옆면:[eqn: {} _{10} rmC _{5}TIMES4!]

[eqn: 1`] 반대편의 옆면:[eqn: 5!]

[eqn: 11 TIMES {10!} over {5!``5!} TIMES 4! TIMES 5! = 11!TIMES { 4!} over { 5!}=11!TIMES { 1} over {5 }]

[eqn: THEREFORE p=5,````q=1]

[eqn: p+q=6]

(2) 마주보는 면의 합이 [eqn: 13`]이 되려면 총 [eqn: 6`]개의 순서쌍이 존재한다.

일반성을 잃지 않고 [eqn: 1`]을 맨 위로 두고 [eqn: 12`]를 맨 아래로 두자.

그러면 나머지 순서쌍은 원순열이 된다.

[eqn: 나머지 ``5쌍을``배열하면```4!```이``된다.]

각 순서쌍의 순서 즉, 위아래를 고려해야 하므로

[eqn: 4!TIMES2 ^{ 5}=`768]

(1) 각 면에 [eqn: 1~]부터 [eqn: 12]까지의 자연수를 하나씩 적어 만들 수 있는 정십이면체의 개수는 [eqn: {q} over {p} TIMES 11!`]이다. [eqn: p+q]를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소이다.) [[eqn: 4]점]

(2) 각 면에 [eqn: 1]부터 [eqn: 12]까지의 자연수를 하나씩 적어 정십이면체를 만들 때, 마주보는 면에 적힌 수의 합이 [eqn: 13]인 서로 다른 정십이면체의 개수를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 3]점]

중복순열

홍천고/2022년/G3/C

서로 다른 [eqn: 3]대의 버스를 각각 [eqn: 1]호차, [eqn: 2]호차, [eqn: 3]호차라고 하자. 여학생 [eqn: 3]명, 남학생 [eqn: 4]명을 모두 버스에 태워 체험 학습을 가려고 한다. 여학생은 [eqn: 1]호차 버스에 타지 않도록 학생들을 버스에 나눠 태울 수 있는 모든 경우의 수는? (단, 한 명도 탑승하지 않는 버스가 있을 수 있다.) [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: 60}]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 216}]
④ [eqn: 576]	⑤ [eqn: 648]

⑤

여학생 3명이 2호차, 3호차에 탑승하는 경우의 수는 [eqn: 2^3]

남학생 4명이 1호차, 2호차, 3호차에 탑승하는 경우 [eqn: 3^4]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 8 times 81 = 648]

중복순열(자연수의 개수)

성남여고/2022년/G3/C

[eqn: 0,~1,~2,~3,~4,~5]에서 중복을 허락하여 [eqn: 4]개를 뽑아 네 자리 자연수를 만들 때, 천의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자의 합이 [eqn: 5]인 자연수의 개수는? [[eqn: 4.9]점]

④

네 자리 자연수 □□□□

천의 자릿수 [eqn: +] 일의 자릿수 [eqn: =5]인 경우는 [eqn: LEFT ( 1,~4 RIGHT ) ,~ LEFT ( 2,~3 RIGHT ) ,~ LEFT ( 3,~2 RIGHT ) ,~ LEFT ( 4,~1 RIGHT ) ,~ LEFT ( 5,~0 RIGHT )]로 [eqn: 5]가지

나머지 두 자리는 중복이 허락되므로 [eqn: {}_{6} PI _{2} =6 ^{2} =36]

따라서 구하는 개수는 [eqn: 5·36=180]

① [eqn: 60]	② [eqn: 125]	③ [eqn: 144]

④ [eqn: 180]	⑤ [eqn: 216]

죽전고/2022년/G3/C

[eqn: 1]부터 [eqn: 7]까지의 자연수 중에서 짝수는 중복을 허용하여 사용하고, 홀수는 한 번씩만 사용하여 [eqn: 7]개의 자연수를 뽑아 일렬로 나열하려고 한다. 이때, 홀수는 모두 홀수 번째에, 짝수는 모두 짝수 번째에 오는 경우의 수는? [[eqn: 4.0]점]

④

짝수는 중복을 허용하므로 [eqn: {} _{3} SMALLPROD _{3} =27]

홀수는 [eqn: 4!]이다.

[eqn: 27 TIMES 24=648]

① [eqn: 144]	② [eqn: 256]	③ [eqn: 368]	④ [eqn: 648]	⑤ [eqn: 1536]

영덕여고/2022년/G3/C

숫자 [eqn: 1,``2,``3,``4,``5] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 택해 일렬로 나열하여 다섯 자리의 자연수를 만들고, 나열된 [eqn: 5]개의 수를 모두 곱한 값을 [eqn: N]이라 하자. 다음 조건을 만족시키는 다섯 자리의 자연수의 개수는? [[eqn: 4.6]점]

⑤

[eqn: N]은 [eqn: 24]의 배수 이고 [eqn: 16]의 배수가 아니므로

[eqn: 3]을 무조건 가진다.

[eqn: ⅰ)] [eqn: 3,~2,~4], 홀, 홀 을 가질 때
[eqn: `_5 C _2 times 2! times (3^3 - 2^ 3 ) = 10 times 2 times 19 = 380]

[eqn: ⅱ)] [eqn: 3,~2,~2,~2], 홀, 을 가질 때 [eqn: `_5 C _3 times (3^2 - 2^ 2 ) = 10 times 5 = 50]

그러므로 [eqn: 380 + 50 = 430]

[eqn: N]은 [eqn: 24]의 배수이고 [eqn: 16]의 배수가 아니다.

① [eqn: 390]	② [eqn: 400]	③ [eqn: 410]
④ [eqn: 420]	⑤ [eqn: 430]

야탑고/2022년/G3/C

[eqn: 2,`3,`4]에서 중복을 허용하여 네 자리의 자연수를 만들 때, 만들 수 있는 모든 자연수의 합은 [eqn: a TIMES 1111]이다. 이때, [eqn: a]의 값은? [[eqn: 4]점]

①

[eqn: 2]로 시작하는 네자리수는 [eqn: 1 TIMES 3 TIMES 3 TIMES 3=27]개다

[eqn: 3]로 시작하는 네자리수는 [eqn: 1 TIMES 3 TIMES 3 TIMES 3=27]개다

[eqn: 4]로 시작하는 네자리수는 [eqn: 1 TIMES 3 TIMES 3 TIMES 3=27]개다

따라서 모든 천의 자리의 숫자의 합은 [eqn: LEFT ( 2+3+4 RIGHT ) TIMES 27=243]이다.

이 과정은 백, 십, 일의 자리에서도 동일하게 성립한다.

따라서 만들 수 있는 모든 자연수의 합은 [eqn: 243 TIMES 1111] 이다.

① [eqn: 243]	② [eqn: 246]	③ [eqn: 249]
④ [eqn: 252]	⑤ [eqn: 255]

죽전고/2022년/G4/C

집합 [eqn: X= LEFT { 3,``4,``5,``6,``7,``8 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f:X`->`X]의 개수는? [[eqn: 5.0]점]

① [eqn: 1248]	② [eqn: 1250]	③ [eqn: 1252]
④ [eqn: 1254]	⑤ [eqn: 1256]

③

조건에 의하여

(ⅰ) [eqn: f(4) = 4]일 때, [eqn: 2]가지

(ⅱ) [eqn: f(4) = 8]일 때, [eqn: 2 times 5^4]가지 이므로

[eqn: 2+ 2times5^ 4 = 1252]가지.

집합 [eqn: X]의 임의의 원소 [eqn: a]에 대하여

[eqn: a]가 [eqn: 4]의 배수이면 [eqn: f(a)]도 [eqn: 4]의 배수이고,

[eqn: a]가 [eqn: 4]의 배수가 아니면 [eqn: f(a)<f(4)]이다.

보평고/2022년/G3/C

[eqn: 1,2,3,4,5,6]의 숫자가 하나씩 적힌 [eqn: 6]개의 공을 모두 [eqn: 3]개의 상자 [eqn: A,B,C]에 넣으려고 한다. 어느 상자에도 넣어진 공에 적힌 수의 합이 [eqn: 18]이상이 되는 경우가 없도록 공을 상자에 넣는 경우의 수는? (단, 빈 상자가 있을 수 있고, 빈 상자의 경우는 넣어진 공에 적힌 수의 합을 [eqn: 0]으로 한다.) [4.9점]

④

전체의 경우에서 한 상자에 넣은 공의 수의 합이 [eqn: 18] 이상인 경우의 수를 제외하자.

㉠ 한 상자에 [eqn: 3,4,5,6]의 숫자가 적힌 공을 넣고 다른 두 상자에 각각 [eqn: 1]과 [eqn: 2]의 숫자가 적힌 공을 넣는 경우 [eqn: 3times2times2=12]가지

㉡ 한 상자에 [eqn: 3,4,5,6]의 숫자가 적힌 공을 넣고 다른 한 상자에 [eqn: 1,2]의 숫자가 적힌 공을 넣는 경우 [eqn: 3! =6]가지

㉢ 한 상자에 [eqn: 1,3,4,5,6]의 숫자가 적힌 공을 넣고 다른 한 상자에 [eqn: 2]의 숫자가 적힌 공을 넣는 경우 [eqn: 3! = 6]

㉣ 한 상자에 [eqn: 2,3,4,5,6]의 숫자가 적힌 공을 넣고 다른 한 상자에 [eqn: 1]의 숫자가 적힌 공을 넣는 경우 [eqn: 3! = 6]

㉤ 한 상자에 [eqn: 1,2,3,4,5,6]의 숫자가 적힌 공을 모두 넣고 다른 두 상자에는 공을 넣지 않는 경우 [eqn: 3]가지

㉠~㉤에 의해 상자에 넣은 공의 수의 합이 [eqn: 18]이상인 경우의 수는 [eqn: 27]가지이다. 따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 ^{6} -33=696]

① [eqn: 699]	② [eqn: 698]	③ [eqn: 697]
④ [eqn: 696]	⑤ [eqn: 695]

죽전고/2022년/G3/C

세 숫자 [eqn: 1,``2,``3]에서 중복을 허용하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수 중 [eqn: 2332]보다 작은 수의 개수를 구하고 그 과정을 서술하시오.
[[eqn: 5.0]점]

[eqn: 53]가지

여사건으로 풀면 된다. [eqn: 2332]보다 큰 수의 개수는

백의 자리의 수가 [eqn: 3]인 네 자리 자연수의 개수는

[eqn: {}_3 ∏_3 = 3^3 = 27]

백의 자리의 수가 [eqn: 2]인 네 자리 자연수의 개수는

[eqn: 2333] [eqn: 1]가지 이다.

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 ^ 4 - ( 1+ 3^3 ) = 53]가지.

같은 것을 포함한 순열

성남여고/2022년/G1/C

[eqn: 7]개의 계단을 한 번에 한 계단 또는 두 계단씩 올라가는 경우의 수는? [[eqn: 5.1]점]

⑤

[eqn: n]개의 계단을 오르는 방법을 [eqn: a_n]개라 하면

[eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =2]이고

[eqn: n]번째 계단은 [eqn: a _{n-1}]에서 올라오는 방법과 [eqn: a _{n-2}]에서 올라오는 방법이 있으므로 [eqn: a _{n} =a _{n-1} +a _{n-2}]

[eqn: a _{3} =2+1=3], [eqn: a _{4} =3+2=5], [eqn: a _{5} =5+3=8], [eqn: a _{6} =8+5=13]

따라서 [eqn: a _{7} =13+8=21]

[다른 풀이]

[eqn: 1]계단 오르는 방법을 [eqn: x] [eqn: 2]계단 오르는 방법을 [eqn: y]라 하자

[eqn: x+2y=7]이므로

1)[eqn: x=7`,`y=0]이므로 [eqn: 1]가지

2)[eqn: x=5`,`y=1]이므로 [eqn: {6!} over {5!} =6]가지

3)[eqn: x=3,`y=2]이므로 [eqn: {5!} over {3!`2!} =10]가지

4)[eqn: x=1,`y=3]이므로 [eqn: {4!} over {3!`1!} =4]가지

1)~4)의 합은 [eqn: 21]가지

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 21]

홍천고/2022년/G4/C

길이가 각각 [eqn: 1cm,~3cm]인 두 종류의 나무막대를 사용하여 총 길이가 [eqn: 12cm]가 되도록 막대끼리 겹치지 않게 이어 붙이려 한다. 각 종류의 나무막대가 [eqn: 10]개씩 있을 때, 가능한 모든 경우의 수를 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, 나무막대의 폭은 무시하고, 같은 길이의 나무막대끼리는 서로 구별하지 않으며, 사용하지 않은 나무막대가 있을 수 있다.) [[eqn: 6.0]점]

[eqn: 59`]가지

[eqn: 1 cm] 나무막대의 개수를 [eqn: a]개

[eqn: 3cm] 나무막대의 개수를 [eqn: b]개라고 하자.

[eqn: a+3b=12]의 음이 아닌 정수의 해를 구해보면

[eqn: (a,b) = (0,4),~(3,3) ,~(6,2),~(9,1)``]의 [eqn: 4``]가지 가능

각각의 배열방법은 [eqn: {}_4 C_4 + {}_6 C_3 + {}_8 C_2 + {}_10 C_1 = 59]

풍생고/2022년/G4/C

세 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =17]을 만족하는
[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b,`c RIGHT )]의 개수는? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 36]
④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 48]

⑤

세 정수 제곱의 합이 [eqn: 17]경우는

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )] [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 16]

순서쌍 [eqn: LEFT ( a ^{2} ,`b ^{2} ,`c ^{2} RIGHT )]의 개수는 [eqn: 3!]

순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b,`c RIGHT )]를 결정하는 경우의 수는 [eqn: 3! TIMES 2 TIMES 2=24]

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )] [eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: 9]

순서쌍 [eqn: LEFT ( a ^{2} ,`b ^{2} ,`c ^{2} RIGHT )]의 개수는 [eqn: {3!} over {2!}]

순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b,`c RIGHT )]를 결정하는 경우의 수는
[eqn: {3!} over {2!} TIMES 2 TIMES 2 TIMES 2=24]

[eqn: THEREFORE] 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b,`c RIGHT )]의 개수는 [eqn: 48]

송림고/2022년/G4/C

집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT }]에서 집합 [eqn: Y= LEFT { 0,~1,~2,~3 RIGHT }]로의 함수 중에서 [eqn: sum _{ k=1} ^{ 4} f(k) =7 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]을 만족하는 함수 [eqn: f from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 개수를 구하고 풀이 과정을 논술하시오. [5점]

[eqn: 40]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) +f LEFT ( 4 RIGHT ) =7]이므로

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) ,~f LEFT ( 2 RIGHT ) ,~f LEFT ( 3 RIGHT ) ,~f LEFT ( 4 RIGHT )]가 [eqn: 3,~3,~1,~0]과 대응하는 경우의 수는

[eqn: {4!} over {2!} = {24} over {2} =12]

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) ,~f LEFT ( 2 RIGHT ) ,~f LEFT ( 3 RIGHT ) ,~f LEFT ( 4 RIGHT )]가 [eqn: 3,~2,~2,~0]과 대응하는 경우의 수는

[eqn: {4!} over {2!} = {24} over {2} =12]

(ⅲ) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) ,~f LEFT ( 2 RIGHT ) ,~f LEFT ( 3 RIGHT ) ,~f LEFT ( 4 RIGHT )]가 [eqn: 3,~2,~1,~1]과 대응하는 경우의 수는

[eqn: {4!} over {2!} = {24} over {2} =12]

(ⅳ) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) ,~f LEFT ( 2 RIGHT ) ,~f LEFT ( 3 RIGHT ) ,~f LEFT ( 4 RIGHT )]가 [eqn: 2,~2,~2,~1]과 대응하는 경우의 수는

[eqn: {4!} over {3!} = {24} over {6} =4]

이다. 따라서 함수 [eqn: f from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 개수는 [eqn: 12+12+12+4=40]이다.

같은 것을 포함한 순열(자연수의 개수)

영덕여고/2022년/G4/C

집합 [eqn: X = left{`1,``2,``3,``4,``5`right}] 에서 집합 [eqn: Y= LEFT { `0,``1,``2` RIGHT }]로의 함수 중에서 [eqn: sum _{k=1} ^{5} `f(k)=6]를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는? [[eqn: 4.4]점]

④

[eqn: f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5) = 6]

[eqn: f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)] 함수값을 가지는 방법은

[eqn: ⅰ)] [eqn: 2~~2~~2~~0~~0`] 이면 [eqn: 5! over { 3! `2 !} = 10]

[eqn: ⅱ)] [eqn: 2~~2~~1~~1~~0`] 이면 [eqn: 5! over { 2! `2 !} = 30]

[eqn: ⅲ)] [eqn: 2~~1~~1~~1~~1`] 이면 [eqn: 5! over { 4! } = 5] 이므로

[eqn: 10 + 30 + 5 = 45] 이다.

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]
④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

보평고/2022년/G4/C

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7] 중에서 중복을 허락하여 다섯 개를 다음 조건을 만족시키도록 선택한 후, 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 다섯 자리의 자연수 개수를 구한 것은? [4.9점]

① [eqn: 690]	② [eqn: 720]	③ [eqn: 750]
④ [eqn: 780]	⑤ [eqn: 810]

④

(ⅰ) 선택한 홀수의 개수가 [eqn: 1]이고, 짝수의 개수가 [eqn: 3]인 경우

[eqn: {}_{4} rmC _{1} TIMES _{3} C _{3} TIMES {5!} over {2!} =240]

(ⅱ) 선택한 홀수의 개수가 [eqn: 2]이고, 짝수의 개수가 [eqn: 1]인 경우

[eqn: {}_{4} rmC _{2} TIMES _{3} C _{1} TIMES {5!} over {2!2!} =540]

따라서 모든 다섯 자리의 자연수 개수는 [eqn: 240+540=780]이다.

(가) 각각의 홀수는 선택하지 않거나 두 번만 선택한다.

(나) 각각의 짝수는 선택하지 않거나 한 번만 선택한다.

홍천고/2022년/G4/D

[eqn: 5]개의 숫자 [eqn: 1,1,2,2,2]를 일렬로 배열하여 만들 수 있는 다섯 자리의 자연수의 개수는? [[eqn: 3.6]점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

④

5개 중에서 같은 것이 각각 2개, 3개 있는 경우의 수 [eqn: 5! over {2! times 3!} =10]

영덕여고/2022년/G4/C

[eqn: 1]에서 [eqn: 20]까지의 자연수가 하나씩 적힌 [eqn: 20]장의 카드 중에서 한 장의 카드를 뽑아서 숫자를 확인하는 시행을 세 번 반복한다. 세 번 반복한 결과 얻은 세수를 차례대로 [eqn: x,``y,``z]라고 할 때, [eqn: x,``y,``z]의 일의 자리의 수의 합이 [eqn: 3]으로 나누어 떨어지는 경우의 수를 구하시오. [[eqn: 5]점]

[eqn: 2672]

[eqn: 1]부터 [eqn: 20]까지의 일의 자리 자연수 중 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가
[eqn: 0,~1,~2]인 수들의 집합을 [eqn: rm A it ` it _{0}], [eqn: rm A it ` it _{1}], [eqn: rm A it ` it _{2}]라 하면
[eqn: rm A it ` it _{0} = LEFT { 3,~6,~9, ~13,~16,~19RIGHT }]
[eqn: rm A it ` it _{1} = LEFT { 1,~4,~7,~10,~11,~14,~17,~20 RIGHT }]
[eqn: rm A it ` it _{2} = LEFT { 2,~5,~8,~12,~15,~18 RIGHT }]

(ⅰ) 세 수가 모두 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 0]인 경우
[eqn: ` _{6} Pi it rm _{3} = {6^3 =216]
⇦ [eqn: rm A it ` it _{0}] 중에서 [eqn: 3]개 중복해서 택하는 경우

(ⅱ) 세 수가 모두 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 1]인 경우
[eqn: ` _{8} Pi it rm _{3} = {8^3 =512]
⇦ [eqn: rm A it ` it _{1}] 중에서 [eqn: 3]개 중복해서 택하는 경우

(ⅲ) 세 수가 모두 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 2]인 경우
[eqn: ` _{6} Pi it rm _{3} = {6^3 =216]
⇦ [eqn: rm A it ` it _{2}] 중에서 [eqn: 3]개 중복해서 택하는 경우

(ⅳ) 세 수를 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 각각 [eqn: 0,~1,~2]인 경우
[eqn: 6 cdot 8 cdot6 cdot 3! = 1728] 가지
⇦ [eqn: rm A it ` it _{0}], [eqn: rm A it ` it _{1}], [eqn: rm A it ` it _{2}] 중에서 각각 [eqn: 1]개씩을 택하고 순서를 바꾼다.

(ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 경우의 수는 [eqn: 216+512+216+1728=2672]

죽전고/2022년/G4/C

숫자 [eqn: 0,``1,``2,``3] 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 4]개를 택해 일렬로 나열하여 비밀번호를 만들려고 한다. 이 비밀번호에서 가장 왼쪽의 수부터 차례로 [eqn: a,``b,``c,``d]라 할 때, [eqn: a+b+c+d=5]인 경우의 수는? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 36]	② [eqn: 37]	③ [eqn: 38]
④ [eqn: 39]	⑤ [eqn: 40]

⑤

(ⅰ) [eqn: (3,~2,~0,~0)] 으로 나열하는 방법
일렬로 나열하는 방법의 수는 [eqn: {4!} over {2!} =12]

(ⅱ) [eqn: (3,~1,~1,~0)] 으로 나열하는 방법
일렬로 나열하는 방법의 수는 [eqn: {4!} over {2!} =12]

(ⅲ) [eqn: (2,~2,~1,~0)] 으로 나열하는 방법
일렬로 나열하는 방법의 수는 [eqn: {4!} over {2!} =12]

(ⅳ) [eqn: (2,~1,~1,~1)] 으로 나열하는 방법
일렬로 나열하는 방법의 수는 [eqn: {4!} over {2!} =4]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 12+12 +12+4 = 40]

풍생고/2022년/G4/C

여섯 개의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 2]를 모두 사용하여 만들 수 있는 여섯 자리 자연수 중 짝수의 개수는? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 32]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 36]
④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 40]

②

일의 자리 수가 [eqn: 0]인 경우: [eqn: {5!} over {2! TIMES 3!} =10]

일의 자리 수가 [eqn: 2]인 경우: [eqn: {5!} over {2! TIMES 2!} - {4!} over {2! TIMES 2!} =24]

같은 것을 포함한 순열(순서가 정해진 순열)

야탑고/2022년/G4/C

일곱 개의 문자 [eqn: a,`a,`b,`b,`b,`c,`c]를 일렬로 나열할 때, 두 개의 문자 [eqn: a]와 [eqn: a]사이에 홀수 개의 문자가 들어가는 경우의 수는? [[eqn: 4.4]점]

③

[eqn: b,`b,`b,`c,`c]를 배열하고 [eqn: a,`a]를 끼운다.

[eqn: {5!} over {3!2!} TIMES LEFT ( 5+3+1 RIGHT ) =90]

① [eqn: 82]	② [eqn: 86]	③ [eqn: 90]
④ [eqn: 94]	⑤ [eqn: 98]

판교고/2022년/G4/C

영어단어 [eqn: suc cess]에 있는 [eqn: 7]개의 문자를 일렬로 나열할 때, [eqn: e]가 두 개의 [eqn: c]보다 앞에 오도록 나열하는 경우의 수는? [4.0점]

④

[eqn: e`]가 두 개의 [eqn: c]보다 앞에 오도록 나열하는 경우는 [eqn: e`]와 [eqn: c`]를 같은 문자로 보고 나열하는 것과 같다.

즉, [eqn: ssscccu`]의 나열하는 경우인 [eqn: 7! over3!3!]

① [eqn: 200]	② [eqn: 180]	③ [eqn: 160]
④ [eqn: 140]	⑤ [eqn: 120]

송림고/2022년/G4/C

[eqn: 6 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]개의 문자 [eqn: a from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: b from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: c from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: d from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: e from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: f from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================] 모두를 다음 조건을 만족시키도록 일렬로 나열하는 경우의 수는? [4.1점]

① [eqn: 24 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	② [eqn: 48 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	③ [eqn: 120 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]
④ [eqn: 240 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	⑤ [eqn: 360 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

①

[eqn: a from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]와 [eqn: b from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]를 양쪽 끝에 나열하는 경우의 수는 [eqn: 2!]이고, [eqn: a from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]와 [eqn: b from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]사이에 나머지 문자를 나열할 때 [eqn: e-f] 순서대로 나열해야 하므로 나머지 문자를 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4!} over {2!}]이다. 따라서 모든 경우의 수는

[eqn: 2! TIMES {4!} over {2!} =24]

이다.

(가) [eqn: a from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]와 [eqn: b from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]는 반드시 양쪽 끝에 나열한다.

(나) [eqn: e from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]가 [eqn: f from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]보다 왼쪽에 오도록 나열한다.

야탑고/2022년/G4/C

[eqn: rmexperience]에 있는 [eqn: 10]개의 문자 중에서 [eqn: 4]개의 문자를 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 6]점]

[eqn: 1045 from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================]

[eqn: "experience" from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 알파벳 종류는

[eqn: e`]는 [eqn: `4`]개, 나머지 여섯 글자는 각 [eqn: 1`]개씩 존재한다.

[eqn: e`]가 [eqn: 0`] 개 쓰이는 경우: [eqn: rm {} _{6} P _{4} =360`]가지

[eqn: e`]가 [eqn: 1`] 개 쓰이는 경우: [eqn: {} _{6} rm C _{3} TIMES 4! = 480]가지

[eqn: e`]가 [eqn: 2`] 개 쓰이는 경우: [eqn: {} _{6} rm C _{2} TIMES {4!} over {2!} =180`]가지

[eqn: e`]가 [eqn: 3`] 개 쓰이는 경우: [eqn: {} _{6} rm C _{1} TIMES {4!} over {3!} =24`]가지

[eqn: e`]가 [eqn: `4`] 개 쓰이는 경우: [eqn: 1`]가지

총 [eqn: 1045`]가지

보평고/2022년/G4/C

[eqn: SCHOOL]의 [eqn: 6]개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수를 ㉠, [eqn: S]와 [eqn: C]가 이웃하는 경우의 수를 ㉡, [eqn: H]가 [eqn: L]보다 뒤에 오도록 나열하는 경우의 수를 ㉢ 이라 할 때, ㉠ + ㉡ + ㉢의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [7.0점]

[eqn: 660]

㉠ 같은 것이 있는 순열이므로 [eqn: 6! over 2! = 360]

㉡ [eqn: SC]를 이웃하여 하나처럼 취급하면 [eqn: 5! over 2! times 2! =120]

㉢ [eqn: H,L]을 [eqn: H,H]처럼 같은 문자로 취급하면 [eqn: 6! over 2!2! = 180]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 360+120+180=660]

홍천고/2022년/G4/C

[eqn: 8]개의 문자 [eqn: H,O,N,G,C,H,U,N]을 일렬로 배열 할 때, 모든 모음이 왼쪽에서부터 홀수 번째에 오는 모든 경우의 수는? [[eqn: 3.9]점]

① [eqn: 540]	② [eqn: 1080]	③ [eqn: 2160]
④ [eqn: 4320]	⑤ [eqn: 10080]

③

모음은 [eqn: O,U] 2개이고 홀수번째에 배치하는 경우는 [eqn: {}_4 P _2 =12]

나머지 여섯개의 문자는 6개중 같은것이 각각 2개씩 있는 것의 나열과 같으므로 [eqn: 6! over {2! 2!} = 180]

따라서 구하는 구하는 경우의 수는 [eqn: 12times 180= 2160]

최단거리

야탑고/2022년/G4/C

아래 그림과 같은 도로망이 있다. 호수가 있는 부분은 갈 수 없다고 할 때, [eqn: rmA] 지점에서 [eqn: rmB] 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 7]점]

[eqn: 87 from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================]

세어 보면 아래와 같다.

54

22

6

87

70

38

17

16

16

16

16

6

1

10

3

6

1

1

4

3

2

1

1

1

1

1

1

1

1

죽전고/2022년/G4/C

그림과 같이 정사각형 모양으로 연결된 도로망을 따라 갑은 [eqn: rmA]지점에서 출발하여 [eqn: rmB]지점을 향해, 을은 [eqn: rmB]지점에서 출발하여 [eqn: rmA]지점을 향해 서로 만날 때까지 각각 최단 거리로 이동한다. 갑과 을이 동시에 출발하여 서로 같은 속력으로 이동할 때, 두 사람이 만나는 경우의 수는? [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: 232] ② [eqn: 242] ③ [eqn: 252] ④ [eqn: 262] ⑤ [eqn: 272]

③

[eqn: P _{1} ,P _{6}]에서 만나는 경우의 수 [eqn: 1 TIMES 2]

[eqn: P _{2} ,P _{5}]에서 만나는 경우의 수 [eqn: 5 TIMES 5 TIMES 2]

[eqn: P _{3} ,P _{4}]에서 만나는 경우의 수 [eqn: 10 TIMES 10 TIMES 2]

만나는 모든 경우의 수는 [eqn: 252]이다.

보평고/2022년/G4/C

그림과 같은 도로망이 있다. [eqn: A]에서 출발하여 [eqn: B]까지 최단거리로 갈 때, [eqn: C]또는 [eqn: D]를 지나게 될 경우의 수는? [4.2점]

④

[eqn: A]에서 [eqn: B]로의 모든 최단경로의 개수는 [eqn: 7! over 3!4! =35]

[eqn: C]와 [eqn: D]를 지나지 않는 최단경로의 수는 [eqn: 8]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 35-8=27]

① [eqn: 9]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 18]
④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 35]

야탑고/2022년/G4/C

그림과 같은 도로망이 있다. [eqn: rmA] 지점에서 출발하여 강변도로의 일부 또는 전체를 지나 [eqn: rmB] 지점까지 도달하는 최단경로의 수는? (단, 모든 도로는 평행하거나 수직으로 만나고, 한 번 지난 도로는 다시 지나지 않는다.) [[eqn: 5.1]점]

⑤

강변도로를 선으로 도로망을 대칭시켰을 때, 점 [eqn: B]의 대칭점을 점 [eqn: B` prime]라 하자.

[eqn: A]에서 [eqn: B` prime]까지 이르는 최단거리 경로의 수는 [eqn: {13!} over {5!8!}]이다.

[eqn: A]에서 [eqn: B` prime]까지 강변도로를 지나지 않고 이르는 최단거리 경로의 수는

[eqn: {12!} over {5!7!}]이다.

[eqn: {13!} over {5!8!} - {12!} over {5!7!} = {12 TIMES 11 TIMES 10 TIMES 9} over {5!} LEFT ( 13-8 RIGHT ) =495]

① [eqn: 479]	② [eqn: 483]	③ [eqn: 487]
④ [eqn: 491]	⑤ [eqn: 495]

성일고/2022년/G4/C

그림과 같이 정사각형 모양으로 연결된 도로망을 따라 갑은 [eqn: A]지점에서 출발하여 [eqn: C]지점까지, 을은 [eqn: B]지점에서 출발하여[eqn: C] 지점까지 각각 최단거리로 이동한다. 갑과 을이 동시에 출발하여 서로 같은 속력으로 이동할 때, 두 사람이 [eqn: C]지점에서 처음으로 만나는 경우의 수는? [[eqn: 5.0]점]

①

갑과 을이 [eqn: rmC]지점에서 처음으로 만나려면 동시에 [eqn: rmC]앞의 점을 지나지 않아야 한다.

갑이 [eqn: rmA]지점에서 출발하여 [eqn: rmC]지점까지 최단 거리로 가는 경로의 수와 을이 [eqn: rmB]지점에서 출발하여 [eqn: rmC]지점까지 최단 거리로 가는 경로의 수는 각각

[eqn: {7!} over {5!2!} =21]

로 같고, 갑이 [eqn: rmA]지점에서 출발하여 [eqn: rmC]앞의 점을 지나 [eqn: rmC]지점까지 가는
경로의 수와 을이 [eqn: rmB]지점에서 출발하여 [eqn: rmC]앞의 점을 지나 [eqn: rmC]지점까지 가는 경로의 수는 각각

[eqn: {6!} over {4!2!} TIMES 1=15] 으로 같다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 21 ^{2} -15 ^{2} = LEFT ( 21+15 RIGHT ) TIMES LEFT ( 21-15 RIGHT )]
[eqn: =36 TIMES 6]

[eqn: =216]

① [eqn: 216]	② [eqn: 241]	③ [eqn: 266]
④ [eqn: 291]	⑤ [eqn: 316]

송림고/2022년/G4/C

그림과 같이 직사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을 따라 [eqn: rm A]지점에서 출발하여 [eqn: rm`B]지점을 거쳐 [eqn: rm`P]지점까지 최단 거리로 이동할 때, 중간에 [eqn: rm`P]지점을 지나지 않는 경로의 수는? [4.1점]

① [eqn: 60 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	② [eqn: 126 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	③ [eqn: 360 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]
④ [eqn: 600 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	⑤ [eqn: 660 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

⑤

[eqn: rmA]지점에서 출발하여 [eqn: rmP]지점을 지나지 않고 [eqn: rmB]지점으로 가는 최단경로의 수는 [eqn: rmA]지점에서 [eqn: rmB]지점으로 가는 경로에서 [eqn: rmA]지점에서 [eqn: rmP]지점을 반드시 지나고 [eqn: rmB]지점으로 가는 경로의 수를 제외하면 된다.

[eqn: {9!} over {5!4!} - {4!} over {2!2!} TIMES {5!} over {3!2!} =126-60=66]

그 이후 [eqn: rmB]지점에서 [eqn: rmP]지점으로 가는 경로의 수는 [eqn: {5!} over {3!2!} =10]이므로 모든 경로의 수는 [eqn: 66 TIMES 10=660]이다.

여러가지 순열(step3)

1.

분당대진고/2022년(이)/G1/A

크기와 모양이 같은 빨간 공 [eqn: 2]개, 파란 공 [eqn: 3]개, 노란 공 [eqn: 3]개를 일렬로 나열할 때, 그 결과가 같은 색의 공끼리는 이웃하지 않고 마지막에 빨간 공이 있도록 나열하는 경우의 수는? [[eqn: 5.0]점]

④

ⅰ)빨 파 파 파 빨 인 경우

빨 파 노 파 노 파 빨 이고 나머지 한 개의 노란색 공이 들어갈 수 있는 자리가 [eqn: 3]자리 있다.

ⅱ) 파 빨 파 파 빨 인 경우

파 빨 파 노 파 빨 이고, 나머지 [eqn: 2 To 20010]개의 노란 공이 [eqn: 4]자리 중에 골라서 들어갈 수 있다. [eqn: `_4{RmC}_2 = 6]

ⅲ) 파 파 빨 파 빨 인 경우

파 노 파 빨 파 빨 이므로 위와 같다. [eqn: 6]가지

ⅳ) 파 파 파 빨 빨인 경우

파 노 파 노 파 빨 노 빨 로 한 가지 밖에 없다.

[eqn: therefore~ 3+ 6+6+1 = 16]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

분당대진고/2022년(이)/G1/B

같은 종류의 빨간색, 주황색, 노란색, 초록색의 색연필이 각각 [eqn: 4]개씩 모두 [eqn: 16]개가 있다. 이 [eqn: 16]개의 색연필 중에서 [eqn: 4]개를 택하여 [eqn: 4]명의 학생에게 각각 [eqn: 1 To 20010]개씩 나누어 줄 때, [eqn: 4]명의 학생이 받은 [eqn: 4]개의 색연필이 모두 같은 색인 경우의 수를 [eqn: a], [eqn: 2]개의 색연필만 같은 색인 경우의 수를 [eqn: b], [eqn: 3]개의 색연필만 같은 색인 경우의 수를 [eqn: c], 모두 다른 색인 경우의 수를 [eqn: d]라 하자. [eqn: a+b+c+d]의 값은? [[eqn: 4.8]점]

③

[eqn: 4]명이 모두 같은 색을 받는 경우의 수 : [eqn: a=4]

[eqn: 2]명만 같은 경우 : [eqn: `_4{rmC}_1 times _3{RmC}_2 times { 4!} over { 2!} = 144], [eqn: b=144]

[eqn: 3]개만 같은 경우 : [eqn: `_4{RmC}_3 times _3{RmC}_1 times { 4!} over { 3!} = 48],　[eqn: c=48]

모두 다른 경우 :[eqn: 4! = 24]、[eqn: d=24]

[eqn: therefore~a+b+c+d= 220]

[다른 풀이]

[eqn: 16`]개의 색연필 중에서 [eqn: 4`]개를 택하여 [eqn: 4`]명의 학생에게 각각 [eqn: 1`]개씩 나누어 줄 수 있는 모든 경우의 수는 [eqn: 4^4 =256`]이다.

이 중에서 [eqn: 4`]명의 학생이 받은 색연필의 색이 [eqn: 2`]개, [eqn: 2`]개씩 같은 경우의 수를 [eqn: e`]라 하면 [eqn: a+b+c+d+e=256`]이므로, [eqn: a+b+c+d`]는 [eqn: 256-e`]의 값을 구하면 된다.

[eqn: e`]의 경우의 수를 구해보면 [eqn: 4`]개의 색 중에서 [eqn: 2`]개의 색을 고르고, [eqn: 4`]명의 학생 중에서 같은 색 받을 학생 [eqn: 2`]명을 고르면 되므로,
[eqn: it _4 {rmC}_2 times it _4 {rmC}_2 = 36`]이다. 따라서 [eqn: a+b+c+d=256-36=220]

① [eqn: 64]	② [eqn: 128]	③ [eqn: 220]

④ [eqn: 512]	⑤ [eqn: 1024]

성남여고/2022년/G1/B

주머니 속에 다섯 개의 숫자 [eqn: 0,~1,~2,~3,~4]가 각각 하나씩 적혀 있는 공 [eqn: 5]개가 들어 있다. 이 주머니에서 [eqn: 1]개의 공을 꺼내 이 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이 과정을 [eqn: 3]번 반복할 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 차례로 [eqn: a,~b,~c]라 하자. [eqn: {bc} over {a}]가 자연수가 되도록 하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]의 개수는? [[eqn: 5.5]점]

⑤

[eqn: {bc} over {a}]가 자연수이므로 [eqn: a!=0]이고 [eqn: bc=]자연수

[eqn: a=1]일 때, [eqn: bc]의 개수는 [eqn: 4·4=16]개

[eqn: a=2]일 때, [eqn: bc]는 2의 배수가 아닌 홀수를 제외한

[eqn: 4·4-2·2=12]개

[eqn: a=3]일 때, [eqn: bc]중 [eqn: 3]의 배수가 아닌 자연수를 제외한

[eqn: 4·4-3·3=7]개

[eqn: a=4]일 때, [eqn: bc]가 [eqn: 4]의 배수이므로 홀수이거나 짝수 중 [eqn: 4]의

배수가 아닌 수를 제외한 [eqn: 4·4-(2·2+2·2)=8]

따라서 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]의 개수는 [eqn: 16+12+7+8=43]

① [eqn: 39]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 41]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 43]

판교고/2022년/G2/B

그림과 같이 정팔각형 모양의 구절판의 색칠된 [eqn: 4]곳에 콩가루가 담겨져 있다. 서로 다른 [eqn: 4]가지 간식의 일부 또는 모두를 사용하여 비어있는 [eqn: 5]곳에 담으려고 한다. 인접한 중앙부분과는 서로 다른 종류로 담는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 보고 각 칸에는 [eqn: 1]가지의 간식을 담는다.)[5.0점]

④

중앙에 한 가지를 먼저 선택하고, 남은 빈곳 4곳을 선택한다.

바깥에 사용하는 개수에 따라 분류하면

1가지 : [eqn: {}_3 C_1 `]

2가지(1,3)(2,2) : [eqn: {}_3 C_2 `times(1times2 +2)]

3가지(1,1,2) : [eqn: {}_3 C_3 `times`(2+1)times3]

[eqn: {}_4 C_1`times` right( {}_3 C_1 `+ {}_3 C_2 `times(1times2 +2) + {}_3 C_3 `times`(2+1)times3 right)][eqn: =96]

① [eqn: 32]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 72]
④ [eqn: 96]	⑤ [eqn: 144]

운중고/2022년(이)/G2/B

여학생 [eqn: 2]명과 남학생 [eqn: 4]명이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 모두 둘러앉을 때, 여학생끼리 서로 이웃하게 되는 경우의 수는?

②

여학생 [eqn: 2]명을 한 사람으로 생각하면 모두 [eqn: 5]명이고, 이들이 원 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는 [eqn: (5-1)`{!}=4`{!}=24]

이때 각 경우에 대하여 여학생끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2`{!}=2]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 24 TIMES 2=48]

(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 72]

④ [eqn: 96]	⑤ [eqn: 120]

운중고/2022년(이)/G1/A

[eqn: 1]학년 학생 [eqn: 2]명, [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 3]명, [eqn: A]를 포함한 [eqn: 3]학년 학생 [eqn: 3]명이 있다. 이 [eqn: 8]명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 다음 조건을 만족시키도록 모두 둘러앉는 경우의 수는?

④

먼저 [eqn: A]의 자리를 고정하고, [eqn: 1]학년 학생 [eqn: 2]명을 한 묶음으로 생각한다.

[eqn: A]의 옆 자리에는 [eqn: 3]학년 [eqn: 2]명과 [eqn: 1]학년 [eqn: 2 To 20010]명 한 묶음 중에 앉을 수 있다. 이 방법의 수는 [eqn: {} _{3} {rm P} _{2} =6]이다.

그 후 남은 자리에 학생들이 앉는 경우의 수는 [eqn: 4!]

각각의 경우에 대하여 [eqn: 1]학년 [eqn: 2]명이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2!] 따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 6 TIMES 24 TIMES 2=288]

(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [[eqn: 5.0]점]

(가) [eqn: A]는 [eqn: 2 To 20010]학년과 이웃하지 않는다.

(나) [eqn: 1]학년 학생 [eqn: 2]명은 서로 이웃한다.

① [eqn: 72]	② [eqn: 144]	③ [eqn: 216]

④ [eqn: 288]	⑤ [eqn: 360]

보평고/2022년/G2/B

그림과 같이 원 모양의 게임판을 [eqn: 6]등분 하여 각각의 부채꼴 위에 한 개씩의 게임 항목을 배치하려고 한다. 배치 할 수 있는 항목은

①

㉠ [eqn: A] 타입의 항목을 [eqn: 1]개 선택하는 경우

서로 다른 여섯 개의 항목의 원순열 배치이다.

[eqn: ({}_3 C_1 times {}_5 C_5 ) times 5! =360]

㉡ [eqn: A] 타입의 항목을 [eqn: 2]개 선택하는 경우

[eqn: A]타입의 두 항목을 이웃하지 않게 배치하는 경우는 [eqn: 3]가지 이므로

[eqn: ({}_3 C_2 times {}_5 C_4 ) times 3 times 4! = 1080]

㉢ [eqn: A] 타입의 항목을 [eqn: 3]개 배치하는 경우

[eqn: A]타입의 세 항목을 이웃하지 않게 배치하는 경우는 [eqn: 2!]가지 이므로

[eqn: ({}_3 C_3 times {}_5 C_3 ) times 2! times 3! = 120]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 360+1080+120= 1560]

[eqn: A~type] : [eqn: x,y,z]의 3개 항목

[eqn: B~type] : [eqn: a,b,c,d,e]의 [eqn: 5]개 항목

이다. 항목을 배치하는 규칙은 다음과 같다.

(가) [eqn: A ~type] 항목끼리는 서로 이웃한 부채꼴에 배치할 수 없다.

(나) 같은 항목을 두 개 이상의 부채꼴에 배치할 수 없다

<잘못된 예>

위 규칙을 적용하여 만들 수 있는 게임판의 개수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [5.0점]

① [eqn: 1560]	② [eqn: 1440]	③ [eqn: 1200]
④ [eqn: 1080]	⑤ [eqn: 540]

홍천고/2022년/G3/B

중복을 허락하여 [eqn: 5]개의 숫자 [eqn: 0,1,2,3,4]로 자연수를 만들려고 한다. 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수의 개수는? [[eqn: 4.4]점]

⑤

1000미만의 홀수의 개수는 [eqn: 5 times5 times 2=40]개이다.

이중에서 3의 배수를 개수를 제외하자

한 자리수 홀수 중에서 3의 배수는 1가지

두 자리수 홀수 중에서 3의 배수는 2가지

세 자리수 홀수 중에서 3의 배수는 13가지

따라서 [eqn: 50-16=34]

(가) [eqn: 3]의 배수가 아니다.

(나) [eqn: 1000]보다 작은 홀수이다.

① [eqn: 26]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 30]
④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 34]

분당대진고/2022년(이)/G1/A

다섯 개의 숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5]중에서 숫자 [eqn: 1]과 숫자 [eqn: 2]와 숫자 [eqn: 3]은 중복을 허락하지 않고 숫자 [eqn: 4]와 숫자 [eqn: 5]는 중복을 허락하여 택한 네 개의 숫자로 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수는? [[eqn: 4.6]점]

④

ⅰ) [eqn: LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]을 모두 사용하는 경우 : [eqn: 2 times 4! = 48 To 20010]

ⅱ) [eqn: LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )] 중 [eqn: 2]개만 사용하는 경우 : [eqn: `_3{RmC}_2 times _4{rmP}_2 times 2^2 = 144]

ⅲ) [eqn: LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )] 중 [eqn: 1]개만 사용하는 경우 : [eqn: `_3{rmC}_1 times _4{rmC}_1 times 2^3 = 96]

ⅳ) [eqn: LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]을 사용하지 않는 경우 : [eqn: 2^4 = 16]

[eqn: therefore~48 + 144+ 96 +16 = 304]

① [eqn: 301 To 20010]	② [eqn: 302]	③ [eqn: 303]

④ [eqn: 304]	⑤ [eqn: 305]

운중고/2022년(이)/G3/B

네 문자 [eqn: a,~b,~c,~d] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 택해 일렬로 나열할 때, 문자 [eqn: a]가 세 번 이상 나오는 경우의 수는? [[eqn: 4.8]점]

④

(ⅰ) [eqn: a]가 세 번 나오는 경우
나머지 두 자리에 [eqn: LEFT ( b,~b RIGHT ) ,~ LEFT ( b,~c RIGHT ) ,~ LEFT ( b,~d RIGHT ) ,~ LEFT ( c,~c RIGHT ) ,~ LEFT ( c,~d RIGHT ) ,~ LEFT ( d,~d RIGHT )]
가 올 수 있다.
각각의 경우를 구하면 [eqn: {5!} over {3!2!} TIMES 3+ {5!} over {3!} TIMES 3=30+60=90]이다.

(ⅱ) [eqn: a]가 네 번 나오는 경우
나머지 한 자리에 [eqn: b,~c,~d To 20010]가 올 수 있다.

따라서 [eqn: {5!} over {4!} TIMES 3=15]이다.

(ⅲ) [eqn: a]가 다섯 번 나오는 경우
[eqn: 1]가지이다.

따라서 문자 [eqn: a]가 세 번 이상 나오는 경우의 수는 총 [eqn: 106]가지이다.

① [eqn: 16]	② [eqn: 46]	③ [eqn: 76]

④ [eqn: 106]	⑤ [eqn: 136]

야탑고/2022년/G3/B

서로 다른 [eqn: 5]가지 음식을 파는 식당이 있다. 학생 [eqn: rmA]가 이 식당에서 아침, 점심, 저녁에 각각 하나씩의 음식을 서로 다르게 주문하고 같은 날 학생 [eqn: rmB]도 이 식당에서 아침, 점심, 저녁에 각각 하나씩의 음식을 서로 다르게 주문하려고 한다. 아침, 점심, 저녁 중 한 번만 두 학생이 주문한 음식이 같고 학생 [eqn: rmA]와 학생 [eqn: rmB]가 주문한 음식의 종류가 총 [eqn: 4]가지가 되도록 주문하는 경우의 수는? [[eqn: 4.5]점]

①

아침, 점심, 저녁 중 하나를 골라 같은 메뉴를 먹는다.

[eqn: 3 TIMES 5=15]

학생 [eqn: A`]가 나머지 두 끼를 선택하고,
학생 [eqn: B`]가 학생 [eqn: A`]가 선택한 음식 중 하나를 고르고, 선택하지 않은 음식 하나를 고른다.

[eqn: LEFT ( 4 TIMES 3 RIGHT ) TIMES LEFT ( 2 TIMES 2 RIGHT ) =48]

[eqn: 15 TIMES 48=720]

① [eqn: 720]	② [eqn: 724]	③ [eqn: 728]
④ [eqn: 732]	⑤ [eqn: 736]

죽전고/2022년/G3/B

두 집합 [eqn: X= LEFT { 2,`4,`6,`8,`10 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { 1,`2,`4,`5 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수 [eqn: f]의 개수는? [[eqn: 4.7]점]

① [eqn: 50]	② [eqn: 52]	③ [eqn: 54]	④ [eqn: 56]	⑤ [eqn: 58]

①

[eqn: f(2)][eqn: GEQ][eqn: 1]

[eqn: f(4)][eqn: GEQ][eqn: 2]

[eqn: f(6)][eqn: GEQ][eqn: 2.XXX]

[eqn: f(8)][eqn: GEQ][eqn: 3]

[eqn: f(10)][eqn: GEQ][eqn: 3.XXX]

치역의 원소가 ①[eqn: (1,2,4)] ②[eqn: (1,2,5)] ③[eqn: (1,4,5)] ④[eqn: (2,4,5)]일대로 나누어서 문제를 풀면 된다.

①의 경우 [eqn: f(6)]&[eqn: f(8)]&[eqn: f(10)]은 반드시 [eqn: 4]이므로 [eqn: f(4)][eqn: =2], [eqn: f(2)=1]인 경우 한가지 뿐이다.

②의 경우 [eqn: f(6)]&[eqn: f(8)]&[eqn: f(10)]은 반드시 [eqn: 5]이므로 [eqn: f(4)][eqn: =2], [eqn: f(2)=1]인 경우 한가지 뿐이다.

③의 경우 [eqn: f(2)=`1]이고 [eqn: f(4),`f(6),`f(8),f(10)]이 [eqn: 4] [eqn: 5]중 하나를 고르면 되므로 [eqn: 2 ^{4} -2=14]가지

④의 경우는 [eqn: f(2)=2]일 때 [eqn: f(4)=2]이면 [eqn: 2 ^{3} -2=6]가지

[eqn: f(2)=2]일 때 [eqn: f(4)=4]이면 [eqn: 2 ^{3} -2][eqn: =6]가지 [eqn: f(2)=2]일 때 [eqn: f(4)=5]이면 [eqn: 2 ^{3} -2][eqn: =6]가지이고 [eqn: f(2)=4]일 때 [eqn: f(4)=2]여야만 하므로 [eqn: 2 ^{3}][eqn: =8]가지 [eqn: f(2)=5]일 때 마찬가지로 [eqn: f(4)=2]이므로 [eqn: 8]가지이다.

총 [eqn: 34]가지. 모든 함수의 개수는 [eqn: 50]개다.

(가) 함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: 3]이다.

(나) 집합 [eqn: X]의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) GEQ log _{2} x]이다.

야탑고/2022년/G3/B

[eqn: rmPC] 비밀번호 [eqn: 5]자리를 다음 규칙에 따라 만들려고 한다.

[eqn: 160 from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================]

양 끝 자리와 가운데 세 자리 경우의 수를 각각 계산한 뒤 곱하자.

ⅰ) 양 끝의 경우

[eqn: a+b=10], [eqn: {} _{2} rmH _{8}={} _{9} rmC _{8}=9, `````(5,5)]는 숫자는 중복사용이 불가능하므로 제외하면 총 [eqn: `8`]가지의 경우의 수가 존재한다.

ⅱ) 가운데 세 자리의 경우

1) [eqn: 0`] 이 존재하는 경우

[eqn: 0`]이 들어가는 위치 [eqn: 3`]가지, [eqn: AST]와 [eqn: "#"`]이 각각 쓰이는 경우

[eqn: 3 TIMES 2 ^{2} =12]

2) [eqn: 0`] 이 존재하지 않는 경우

[eqn: 2 ^{3} =8]

ⅰ)[eqn: TIMES]ⅱ) [eqn: RARROW] [eqn: 8 TIMES (12+8)=160]

(가) 숫자 [eqn: 0 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]부터 [eqn: 9 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]까지와 특수문자 [eqn: AST ,~"#"] 모두 사용 가능하다.

(나) [eqn: AST ,~"#"]은 중복 사용 가능하다.

(다) 숫자는 중복 사용할 수 없다.

(라) 비밀번호의 가운데 세 자리에는 [eqn: AST ,~0,~"#"`]만을 사용한다.

(마) 숫자 [eqn: 1 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]부터 [eqn: 9 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]까지는 비밀번호의 양 끝에 사용하고, 두 숫자의 합은 항상 [eqn: 10 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]이다.

예를 들어 [eqn: 7 AST 0 AST 3] 과 같이 위의 규칙을 적용하여 만들 수 있는 비밀번호의 경우의 수를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 7]점]

야탑고/2022년/G3/A

[eqn: 2]개의 문자 [eqn: x,`y]에서 중복을 허용하여 [eqn: 6]개를 택하여 일렬로 나열할 때, 다음과 같은 규칙에 따라 검은색 공과 흰색 공을 그린다.

③

ㄱ. [eqn: xxyyyx] [eqn: RARROW] 흰검검검검흰 (참)

ㄴ. 흰공이 나올수 있는 최대개수는 [eqn: xyxyxy]에서와 같이 [eqn: 3]개다.

곧, 전체 경우의 수 [eqn: =f LEFT ( 0 RIGHT ) +f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) =2 ^{6} =64]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1] ([eqn: yyyyyy`` RARROW] 검검검검검검) 이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) =63] (참)

ㄷ. [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =4+9+12+10=35`] (거짓)

ⅰ) [eqn: XOR ``y`` XOR ~ RARROW ~xxxxx]

[eqn: LEFT ( x RIGHT ) ,~ LEFT ( xxxx RIGHT ) `:`][eqn: {} _{2} rm C _{2} TIMES 2!`=2`]가지

[eqn: LEFT ( xx RIGHT ) ,~ LEFT ( xxx RIGHT ) `:`][eqn: {} _{2} rm C _{2} TIMES 2!`=2`]가지

ⅱ) [eqn: XOR ``y`` XOR ``y`` XOR ~ RARROW ~xxxx]

[eqn: LEFT ( x RIGHT ) ,~ LEFT ( xxxx RIGHT ) `:`][eqn: {} _{3} rm C _{2} TIMES 2!`=6`]가지

[eqn: LEFT ( xx RIGHT ) ,~ LEFT ( xx RIGHT ) `:`] [eqn: {} _{3} rm C _{2} `=3`]가지

ⅲ) [eqn: XOR ``y`` XOR ``y`` XOR ``y`` XOR ~ RARROW ~xxx]

[eqn: LEFT ( x RIGHT ) ,~ LEFT ( xx RIGHT ) `:`][eqn: {} _{4} rm C _{2} TIMES 2!`=12`]가지

ⅳ) [eqn: XOR ``y`` XOR ``y`` XOR ``y`` XOR ``y`` XOR ~ RARROW ~xx]

[eqn: LEFT ( x RIGHT ) ,~ LEFT ( x RIGHT ) `:`] [eqn: {} _{5} rm C _{2} `=10`]가지

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

(가) 첫 번째 자리에 [eqn: x from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]를 나열하면 흰색 공을, [eqn: y from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]를 나열하면 검은색 공을 그린다.

(나) 두 번째 자리부터는 [eqn: y from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]를 나열하면 검은색 공을 그리고, [eqn: x from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]를 나열할 때는 바로 왼쪽에 나열된 문자가 [eqn: x from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]이면 검은색 공을, [eqn: y from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]이면 흰색 공을 그린다.

이때 흰색 공이 [eqn: n]개가 그려지는 경우의 수를 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라고 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 첫 번째 자리는 맨 왼쪽이며 같은 색 공끼리는 구별하지 않는다.) [[eqn: 5.4]점]

[보 기]

ㄱ. [eqn: xxyyyx from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]와 같이 나열하면 흰색 공은 [eqn: 2 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]개가 그려진다.

ㄴ. [eqn: f(1)+f(2)+f(3)=63 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

ㄷ. [eqn: f(2)=36 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ,ㄴ
④ ㄱ,ㄷ	⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

판교고/2022년/G4/B

[eqn: H`,`A`,`P`,`I`,`N`,`E`,`S`,`S]의 [eqn: 8]개의 문자를 일렬로 배열할 때, 양 끝에 [eqn: S]가 오고 [eqn: A]와 [eqn: E]사이에 [eqn: H]또는 [eqn: P]가 오도록 배열하는 경우의 수는? [4.9점]

⑤

[eqn: S] [eqn: S] 로 양 끝에 [eqn: S`]를 놓고

[eqn: AHE ```+```APE``-```AHPE] 꼴의 모양으로 계산한다.

[eqn: 2 `times`6! over3! `+2`times`6! over3!`-`6! over4! `times2^2`= 240+240-120=360]

① [eqn: 108]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 204]
④ [eqn: 286]	⑤ [eqn: 360]

보평고/2022년/G4/A

[eqn: 5]개의 상자 [eqn: A,B,C,D,E]에 각각 빨간색 공 [eqn: 5]개, 노란색 공 [eqn: 5]개, 초록색 공 [eqn: 5]개, 파란색 공 [eqn: 5]개, 보라색 공 [eqn: 5]개가 들어 있다. 이 때, [eqn: 4]개 이하의 상자에서 [eqn: 10]개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는? (단, 같은 상자에 들어 있는 공 끼리는 서로 구별하지 않는다. [5.2점]

④

㉠ [eqn: 4]개의 상자에서 공을 꺼내는 경우

[eqn: a+b+c+d =10]를 만족하는 해 중에서 [eqn: 1le a,b,c,d le 5]를 만족하는 해를 구해보면

[eqn: (5,3,1,1)]의 경우 [eqn: 12]가지

[eqn: (5,2,2,1)]의 경우 [eqn: 12]가지

[eqn: (4,4,1,1)]의 경우 [eqn: 6]가지

[eqn: (4,3,2,1)]의 경우 [eqn: 24]가지

[eqn: (4,2,2,2)]의 경우 [eqn: 4]가지

[eqn: (3,3,3,1)]의 경우 [eqn: 4]가지

[eqn: (3,3,2,2)]의 경우 [eqn: 6]가지

위의 모든 경우의 수의 합은 [eqn: 68]이고, [eqn: 5]개의 상자에서 [eqn: 4]개의 상자를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 5]가지 이므로

[eqn: 4]개의 상자에서 [eqn: 10]개의 공을 꺼내는 경우의 수는 [eqn: 68 times 5=340]

㉡ [eqn: 3]개의 상자에서 공을 꺼내는 경우

[eqn: a+b+c =10]를 만족하는 해 중에서 [eqn: 1le a,b,c le 5]를 만족하는 해를 구해보면

[eqn: (5,4,1)]의 경우 [eqn: 6]가지

[eqn: (5,3,2)]의 경우 [eqn: 6]가지

[eqn: (4,4,2)]의 경우 [eqn: 3]가지

[eqn: (4,3,3)]의 경우 [eqn: 3]가지

위의 모든 경우의 수는 합은 [eqn: 18]이고, [eqn: 5]개의 상자에서 [eqn: 3]개의 상자를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 10]가지 이므로

[eqn: 3]개의 상자에서 [eqn: 10]개의 공을 꺼내는 경우의 수는 [eqn: 18 TIMES 10=180]

㉢ [eqn: 2]개의 상자에서 공을 꺼내는 경우

[eqn: a+b =10]를 만족하는 해 중에서 [eqn: 1le a,b le 5]를 만족하는 해를 구해보면

[eqn: (5,5)]의 경우 [eqn: 1]가지

[eqn: 5]개의 상자에서 [eqn: 2]개의 상자를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 10]가지 이므로

[eqn: 3]개의 상자에서 [eqn: 10]개의 공을 꺼내는 경우의 수는 [eqn: 1 TIMES 10=10]

따라서 구하는 모든 경우의 수는 [eqn: 340+ 180+10= 530]

① [eqn: 250]	② [eqn: 360]	③ [eqn: 480]
④ [eqn: 530]	⑤ [eqn: 620]

분당대진고/2022년(이)/G1/A

집합 [eqn: X= LEFT { 1,~3,~5 RIGHT }]에서 집합 [eqn: Y = left{ 2,~4,~6,~8,~10 right}]으로의 함수 중에서 치역의 원소의 개수가 [eqn: 2]이상이고, 치역의 모든 원소의 곱이 [eqn: 3]의 배수인 함수의 개수는? [[eqn: 4.6]점]

③

치역에 [eqn: 6]은 반드시 포함해야 한다.

전체에서 치역이 [eqn: 1]개이거나 [eqn: 6 To 20010]이 포함되지 않은 경우를 뺀다.

치역이 [eqn: 1]개인 경우 [eqn: 5]가지, 치역에 [eqn: 6]이 포함되지 않은 경우 [eqn: 4^3]

[eqn: therefore~ 5^3 - LEFT ( 5 + 4^3 -4 RIGHT ) = 60]

① [eqn: 58]	② [eqn: 59]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 61]	⑤ [eqn: 62]

돌마고/2022년/G4/B

집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 모든 함수 중에서 임의로 하나를 선택할 때, 이 함수 [eqn: f]가 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) =8]을 만족시키고 [eqn: f]의 치역의 원소가 [eqn: 2]개인 경우의 수는? [[eqn: 5.2]점]

②

[eqn: f]의 치역의 원소가 [eqn: 2]개이고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) =8]인 경우는

[eqn: (2,2,4)], [eqn: (2,3,3)]이므로 치역은 [eqn: LEFT { 2,~4 RIGHT } ,``` LEFT { 2,~3 RIGHT }]만 존재한다.

[eqn: i)] [eqn: LEFT { 2,~4 RIGHT }]의 경우

[eqn: {3!} over {2!} TIMES 2 ^{2} =12]

[eqn: ii)``][eqn: LEFT { 2,~3 RIGHT }]의 경우

[eqn: {3!} over {2!} TIMES 2 ^{2} =12]

[eqn: THEREFOREi)+ii)=24]

① [eqn: 8]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 36]
④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 120]

돌마고/2022년/G4/B

[eqn: rmM,`I,`L,`L,`I,`O,`N]의 [eqn: 7]개 문자를 일렬로 나열하여 문자열을 만들 때, [eqn: rmILMLONI,~LONLIIM,~MILLION] 등과 같이 문자열 [eqn: rmIL] 또는 [eqn: rmLI]를 포함하는 문자열의 개수는? [[eqn: 5.2]점]

⑤

전체 경우에서 [eqn: ( L,I)]집합이 존재하지 않는 경우의 수를 제외하자.

전체 경우의 수: [eqn: { 7!} over {2!`2! }=1260]

[eqn: i)I```와``L이```1번```교차되는```경우:2! TIMES _{5} rm H _{2} TIMES 3!`=180]

[eqn: `ii)I```와``L이```2번```교차되는```경우:2! TIMES _{5} rm H _{1} TIMES 3!`=60]

[eqn: iii)I```와``L이```3번```교차되는```경우:2! TIMES _{5} rm H _{0} TIMES 3!`=12]

[eqn: THEREFORE 1260-180-60-12=1008]

[검수자 풀이추가]

[eqn: i)I```와``L이```1번```교차되는```경우:2! TIMES _{5} rm H _{2} TIMES 3!`=180]

[eqn: XOR ``I```` XOR ``I``` XOR ``L``` XOR ``L``` XOR] 또는 [eqn: XOR ``L```` XOR ``L``` XOR ``I``` XOR ``I``` XOR]

서로 다른 [eqn: 5]개의 [eqn: XOR]자리 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2]개의 자리를

선택하여 ([eqn: I``]와 [eqn: L``]사이에는 한 개의 문자가 들어가야 함) [eqn: 3]개의

문자 [eqn: M,``O,``N`]를 배열한다.

[eqn: `ii)I```와``L이```2번```교차되는```경우:2! TIMES _{5} rm H _{1} TIMES 3!`=60]

[eqn: XOR ``I```` XOR ``L``` XOR ``L``` XOR ``I``` XOR] 또는 [eqn: XOR ``L```` XOR ``I``` XOR ``I``` XOR ``L``` XOR]

서로 다른 [eqn: 5]개의 [eqn: XOR]자리 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 1]개의 자리를

선택하여 ([eqn: I``]와 [eqn: L``]사이에는 한 개의 문자가 들어가야 함) [eqn: 3]개의

문자 [eqn: M,``O,``N`]를 배열한다.

[eqn: iii)I```와``L이```3번```교차되는```경우:2! TIMES _{5} rm H _{0} TIMES 3!`=12]

[eqn: XOR ``I```` XOR ``L``` XOR ``I``` XOR ``L``` XOR] 또는 [eqn: XOR ``L```` XOR ``I``` XOR ``L``` XOR ``I``` XOR]

서로 다른 [eqn: 5]개의 [eqn: XOR]자리 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 0]개의 자리를

선택하여 ([eqn: I``]와 [eqn: L``]사이에는 한 개의 문자가 들어가야 함) [eqn: 3]개의

문자 [eqn: M,``O,``N`]를 배열한다.

① [eqn: 1004]	② [eqn: 1005]	③ [eqn: `1006]
④ [eqn: 1007]	⑤ [eqn: 1008]

홍천고/2022년/G4/B

반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원을 다음 조건을 만족시키도록 [eqn: n]개의 부채꼴로 나눈다.

④

[그림1] [그림2]

넓이가 [eqn: pi over 12]인 부채꼴의 중심각의 크기는 [eqn: {pi } over {6}]이고

넓이가 [eqn: pi over 6]인 부채꼴의 중심각의 크기는 [eqn: pi over 3]이다.

문제의 조건에 맞게 부채꼴을 배치하는 방법은 위의 두가지 경우이다.

[그림1]의 경우 색칠하는 방법은 [eqn: 9! over 3 = 24times 7!]이고

[그림2]의 경우 색칠하는 방법은 [eqn: 8! over 4 = 2 times 7!]이다.

[eqn: m]값은 합은 [eqn: 24+2 =26]이다.

(가) 각 부채꼴의 넓이는 [eqn: pi over 12]와 [eqn: pi over 6]중의 하나이다.

(나) 이웃한 두 부채꼴의 넓이의 합은 모두 [eqn: pi over 3] 미만이다.

(나) 넓이가 [eqn: pi over 6]인 부채꼴은 [eqn: 3]개 이상 존재하며, 그 사이의 넓이는 같다.

이 [eqn: n]개의 부채꼴에 서로 다른 [eqn: n]가지 색을 각각 [eqn: 1]개씩 칠하는 경우의 수를 [eqn: m times 7!]이라 할 때, 가능한 모든 [eqn: m]의 값의 합은? (단, [eqn: m,n]은 자연수이고, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 23]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 25]
④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 27]

보평고/2022년/G4/A

[eqn: 1,1,1,1,2,2,2,3,3] 의 [eqn: 9]개의 숫자를 일렬로 나열하여 [eqn: 9]자리의 자연수를 만들 때, 같은 숫자가 연속적으로 나열되지 않도록 하는 경우의 수는? [5.3점]

④

[eqn: 2,2,2,3,3]을 일렬로 나열한 후 문제의 조건에 맞게 [eqn: 1]을 네 개 추가하자. 예를 들어 [eqn: 2~2~2~3~3] 의 경우 먼저 [eqn: 3]곳([eqn: 2]와 [eqn: 2]사이 두 곳, [eqn: 3]과 [eqn: 3]사이 한 곳)의 위치에 [eqn: 1`]을 반드시 추가해야 하고 나머지 한 개의 [eqn: 1]은 [eqn: {}_3 C _1]의 위치에 추가할 수 있으므로 [eqn: 3]가지이다. 또 [eqn: 2~2~3~2~3]의 경우 먼저 [eqn: 1]곳([eqn: 2]와 [eqn: 2]사이)의 위치에 [eqn: 1]을 반드시 추가하고 나머지 [eqn: 3]개의 [eqn: 1]은 [eqn: {}_5 C _3]의 곳에 추가 할 수 있으므로 [eqn: 10]가지 이다. [eqn: 2,2,2,3,3]을 나열하는 경우는 아래의 [eqn: 10]가지에 대하여 같은 방식으로 경우의 수를 구해보면 다음과 같다.

[eqn: 2,2,2,3,3] : [eqn: 3]가지

[eqn: 2,2,3,3,2] : [eqn: 6]가지

[eqn: 2,3,3,2,2] : [eqn: 6]가지

[eqn: 3,3,2,2,2] : [eqn: 3]가지

[eqn: 2,2,3,2,3] : [eqn: 10]가지

[eqn: 2,3,2,3,2] : [eqn: 15]가지

[eqn: 3,2,3,2,2] : [eqn: 10]가지

[eqn: 2,3,2,2,3] : [eqn: 10]가지

[eqn: 3,2,2,3,2] : [eqn: 10]가지

[eqn: 3,2,2,2,3] : [eqn: 6]가지

따라서 구하는 모든 경우의 수는 [eqn: 79]

① [eqn: 73]	② [eqn: 75]	③ [eqn: 77]
④ [eqn: 79]	⑤ [eqn: 81]

홍천고/2022년/G4/B

숫자 [eqn: 1,2,3,4,5,6]중에서 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 택해 일렬로 나열하여 다섯 자리의 자연수를 만들고, 나열된 [eqn: 5]개의 수를 모두 곱한 값을 [eqn: N]이라 하자. 다음 조건을 만족시키는 다섯 자리 자연수의 개수는? [[eqn: 4.2]점]

③

18의 배수이면서 12의 배수가 아니기 위해서는

[eqn: N= 2times 3^2 times n prime]에서 [eqn: n prime]은 홀수의 형태여야 한다.

가능한 다섯 수의 조합과 그때의 경우의 수를 나열하면 다음과 같다

1) [eqn: 2 TIMES 3 TIMES 3 TIMES under{ 1 TIMES 1}]	D

2) [eqn: 2 TIMES 3 TIMES 3 TIMES under{ 1 TIMES 3}]	B

3) [eqn: 2 TIMES 3 TIMES 3 TIMES under{ 1 TIMES 5}]	A

4) [eqn: 2 TIMES 3 TIMES 3 TIMES under{ 3 TIMES 3}]	C

5) [eqn: 2 TIMES 3 TIMES 3 TIMES under{ 3 TIMES 5}]	B

6) [eqn: 2 TIMES 3 TIMES 3 TIMES under{ 5 TIMES 5}]	D

7) [eqn: 6 TIMES 3 TIMES under{ 1times 1 TIMES 1}]	B

8) [eqn: 6 TIMES 3 TIMES under{ 1times 1 TIMES 3}]	D

9) [eqn: 6 TIMES 3 TIMES under{ 1times 3 TIMES 3}]	B

10) [eqn: 6 TIMES 3 TIMES under{ 1times 1 TIMES 5}]	A

11) [eqn: 6 TIMES 3 TIMES under{ 1times 5 TIMES 5}]	A

12) [eqn: 6 TIMES 3 TIMES under{ 3times 3 TIMES 3}]	C

13) [eqn: 6 TIMES 3 TIMES under{ 3times 3 TIMES 5}]	B

15) [eqn: 6 TIMES 3 TIMES under{ 3times 5 TIMES 5}]	D

16) [eqn: 6 TIMES 3 TIMES under{ 5times 5 TIMES 5}]	B

16가지의 경우에서 같은 것이 있는 것의 종류를 기준으로 구분하면 5개의 숫자 중

같은 것이 2개 있는 A타입:	4가지

같은 것이 3개 있는 B타입:	6가지

같은 것이 4개 있는 C타입:	2가지

같은 것이 2개 2개 있는 D타입:	4가지

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 5! over 2! times 4 + 5! over 3! times 6 + 5! over 4! times 2 + 5! over 2!2! times 4 = 240+ 120 + 10 + 120= 490]

① [eqn: 270]	② [eqn: 325]	③ [eqn: 490]
④ [eqn: 540]	⑤ [eqn: 810]

[eqn: N]은 [eqn: 18]의 배수이고, [eqn: 12]의 배수가 아니다.

홍천고/2022년/G4/B

그림과 같은 도로망이 있다. 지점 [eqn: A]에서는 우회전을 할 수 없고, 지점 [eqn: B]에서는 좌회전을 할 수 없다고 한다. 이 때, 버스정류장에서 학교까지 가는 최단 경로의 수는? [[eqn: 4.1]점]

②

버스정류장에서 학교까지 가는 모든 최단경로의 개수에서

[eqn: A]지점에서 우회전 하는 경우와 [eqn: B]지점에서 좌회전하는 경우를 제외하면 구하는 경우의 수가 됨을 알 수 있다.

전체 경우의 수는 [eqn: {}_12 C _4 = 495]

[eqn: A]지점에서 우회전하는 경우는 그림에서 [eqn: A_1 -> A ->A_2]로 이동하는 경로이다. 버스 정류장에서 [eqn: A_1] 까지의 최단 경로의 수는 [eqn: 10]가지이고, [eqn: A_2]에서 학교까지의 최단 경로의 수 [eqn: 5]가지 이므로 [eqn: A]지점에서 우회전하는 모든 경우의 수는 [eqn: 10times 5 =50]

[eqn: A]지점에서 좌회전하는 경우는 그림에서 [eqn: B_1 -> B ->B_2]로 이동하는 경로이다. 버스 정류장에서 [eqn: B_1] 까지의 최단 경로의 수는 [eqn: 15]가지이고, [eqn: A_2]에서 학교까지의 최단 경로의 수 [eqn: 4]가지 이므로 [eqn: A]지점에서 우회전하는 모든 경우의 수는 [eqn: 15times 4 =60]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 495- 50-60=385]

① [eqn: 335]	② [eqn: 385]	③ [eqn: 445]
④ [eqn: 455]	⑤ [eqn: 495]

중복조합과 이항정리(step1)

2.

조합

영덕여고/2022년/G5/D

집합 [eqn: X = left{`1,``2,``3`right}] 에서 집합 [eqn: Y= LEFT { `1,``2,``3,``4` RIGHT }]로의 함수 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는? [[eqn: 4.6]점]

④

어떤 원소에 대해서 만족하려면 하나만 만족하면 되므로

전제 함수에서 [eqn: f(a) ge f(b)]를 만족하는 함수를 제외하면 된다.

[eqn: 4^ 3 - `_ 4 H _ 3 = 64 - ` _ 6 C _ 3 = 44]

집합 [eqn: X]의 어떤 두 원소 [eqn: a,``b] ([eqn: a<b]) 에 대하여 [eqn: f(a) < f(b)]이다.

① [eqn: 20]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 36]
④ [eqn: 44]	⑤ [eqn: 52]

중복조합

홍천고/2022년/G6/D

[eqn: rm {}_3 H_4]의 값은? [[eqn: 3.6]점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]
④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 25]

③

[eqn: {}_3 H_4 = {}_3+4-1 C_4 = {}_6 C _4 = {}_6 C _2 = 15]

성일고/2022년/G6/D

[eqn: `_5 H_3 + `_4 PI_2] 의 값은? [[eqn: 3.6]점]

①

[eqn: `_5 H_3 + `_4 PI_2 = ``_7 C _3 + 4 ^2 = 35 + 16 = 51]

① [eqn: 51]	② [eqn: 52]	③ [eqn: 53]
④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 55]

판교고/2022년/G6/E

[eqn: {}_{2} rm H _{3}]의 값은? [3.5점]

①

[eqn: {}_2 H_3`={}_4 C_3`]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

송림고/2022년/G6/D

[eqn: {}_{3} {rm H} it _{4} + {}_{2} {rm H} it _{5} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 값은? [3.9점]

① [eqn: 14 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	② [eqn: 21 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	③ [eqn: 35 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]
④ [eqn: 42 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	⑤ [eqn: 56 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

②

[eqn: {}_{3} rm H it _{4} + _{2} rm H it _{5} = rm _{6} C _{2} + _{6} C _{1} =15+6=21]

죽전고/2022년/G6/D

[eqn: {} _{5} RMH _{8} + _{8} RMH _{5}]의 값은? [[eqn: 3.6]점]

① [eqn: {} _{12} RMC _{5}]	② [eqn: {} _{12} rm C _{6}]	③ [eqn: {} _{13} rm C _{5}]	④ [eqn: {} _{13} rm C _{6}]	⑤ [eqn: {} _{14} rm C _{5}]

③

[eqn: {} _{5} RMH _{8} + _{8} RMH _{5}][eqn: = _{12} C _{8} _{} + _{12} C _{5}][eqn: =][eqn: {} _{13} rm C _{5}]

풍생고/2022년/G6/D

[eqn: rm {}_{3} H _{1} + _{3} H _{2} + _{3} H _{3} + _{3} H _{4} + _{3} H _{5} + _{3} H _{6}]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 80]	② [eqn: 81]	③ [eqn: 82]
④ [eqn: 83]	⑤ [eqn: 84]

④

[eqn: {}_{3} H _{1} + _{3} H _{2} + _{3} H _{3} + _{3} H _{4} + _{3} H _{5} + _{3} H _{6}]

[eqn: = _{3} C _{1} + _{4} C _{2} + _{5} C _{3} + _{6} C _{4} + _{7} C _{5} + _{8} C _{6}]

[eqn: = _{4} C _{1} + _{4} C _{2} + _{5} C _{3} + _{6} C _{4} + _{7} C _{5} + _{8} C _{6} -1]

[eqn: = _{9} C _{6} -1]

[eqn: =83]

분당대진고/2022년(이)/G6/D

[eqn: LEFT ( a+b+c RIGHT )^4 LEFT ( d+e RIGHT )^3 To 20010]의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는? [[eqn: 3.5]점]

⑤

[eqn: LEFT ( a+b+c RIGHT )^4]의 각 항을 [eqn: a^x`b^y`c^z]라 할 때, [eqn: x+y+z=4]

즉 [eqn: `_3{rmH}_4 = _6{rmC}_4 = 15]

[eqn: LEFT ( d+e RIGHT )^3]의 각 항을 [eqn: d^p`e^q]라 핧 때, [eqn: p+q = 3] 즉 [eqn: `_2{RmH}_3 = _4{rmC}_3 =4]

[eqn: therefore~ 15 times 4 = 60]

① [eqn: 35]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 45]

④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 60]

분당대진고/2022년(이)/G6/D

같은 종류의 사탕 [eqn: 3]개와 같은 종류의 과자 [eqn: 5]개를 두 개의 그릇 [eqn: A,~B]에 남김없이 나누어 담을 때, 그 결과가 서로 다른 경우의 수는? (단, 빈 그릇이 있을 수 있다.) [[eqn: 3.7]점]

②

사탕을 나누어 담는 경우의 수는 [eqn: a+b= 3] 즉 [eqn: `_2{rmH}_3 = _4{RmC}_3 = 4]

과자를 나누어 담는 경우의 수는 [eqn: a+b =5] 즉 [eqn: `_2{rmH}_5 = _6{rmC}_5 = 6]

[eqn: therefore~ 24]

① [eqn: 20]	② [eqn: 24 To 20010]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 90]

성일고/2022년/G6/D

서로 다른 [eqn: 6]개의 사탕을 서로 다른 [eqn: 3]개의 상자 [eqn: A,```B,```C] 에 남김없이 넣을 때, [eqn: A]상자에는 사탕을 [eqn: 1]개만 넣는 경우의 수는? (단, 빈 상자가 있을 수 있다.) [[eqn: 4.2]점]

④

서로 다른 [eqn: 6]개의 사탕을 [eqn: A,```B,```C] 에 남김없이 넣는데

[eqn: A]상자에는 사탕을 [eqn: 1]개만 넣는 방법은 [eqn: 6]가지

나머지 [eqn: B,```C] 에 [eqn: 5]개를 넣는 방법은 [eqn: 2^ 5 = 32]이므로

[eqn: 6 TIMES 32=192]이다.

① [eqn: 150]	② [eqn: 164]	③ [eqn: 178]
④ [eqn: 192]	⑤ [eqn: 206]

풍생고/2022년/G6/C

같은 종류의 볼펜 [eqn: 15]개를 다섯 명의 학생 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C], [eqn: D], [eqn: E`]에게 남김없이 나누어 주려고 한다. 각 학생은 적어도 [eqn: 1]개의 볼펜을 받고 학생 [eqn: A]가 받은 볼펜의 개수가 학생 [eqn: B`]가 받은 볼펜이 개수의 [eqn: 3]배가 되도록 볼펜을 나누어 주는 방법의 수는? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 61]	② [eqn: 63]	③ [eqn: 65]
④ [eqn: 67]	⑤ [eqn: 69]

①

학생 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C], [eqn: D], [eqn: E`]가 받은 볼펜의 개수를
[eqn: 3a+3], [eqn: a+1], [eqn: c+1], [eqn: d+1], [eqn: e+1] ([eqn: a], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]는 [eqn: 0]이상의 정수)

[eqn: 4a+c+d+e=8]

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )] [eqn: a=0]일 때, [eqn: {}_{3} H _{8} =45]

[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )] [eqn: a=1]일 때, [eqn: {}_{3} H _{4} =15]

[eqn: LEFT ( 3 RIGHT )] [eqn: a=2]일 때, [eqn: 1]

[eqn: THEREFORE `61]가지

영덕여고/2022년/G6/D

빨간 공 [eqn: 3]개, 노란 공 [eqn: 5]개, 파란 공 [eqn: 5]개 중에서 [eqn: 5]개의 공을 택하는 경우의 수는? (단, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않는다.) [[eqn: 4.4]점]

②

세 가지 색의 공중에서 순서 없이 다섯 가지의 공을 고르는 방법은
중복조합이다. [eqn: `_3 H _ 5 = `_7 C _ 2 = 21] 가지

빨간 공이 [eqn: 5]개가 아니므로 빨간 공이 [eqn: 4]개일 때, 빨간 공이 [eqn: 5]개일
때를 빼면 된다.

[eqn: 21 - ( 2 +1)= 18]이다.

① [eqn: 14]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 22]
④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 30]

죽전고/2022년/G6/D

같은 종류의 사탕 [eqn: 8]개를 세 상자 [eqn: A,``B,``C]에 남김없이 나누어 넣는 경우의 수는? (단, 사탕을 하나도 넣지 않은 상자가 있을 수 있다.) [[eqn: 3.9]점]

① [eqn: 25]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 35]
④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 45]

⑤

[eqn: `_ 3 H_8 = `_3+8-1 C _ 8 = `_10 C _2 = 45]

야탑고/2022년/G6/D

세 상자 [eqn: rmA,`B,`C]에 같은 종류의 사탕 [eqn: 5]개를 남김없이 나누어 넣고, 서로 다른 종류의 음료수 [eqn: 4]개를 남김없이 나누어 넣는 경우의 수는? (단, 빈 상자가 있을 수 있다.) [[eqn: 3.7]점]

③

[eqn: {} _{3} rmH _{5} TIMES _{3} SMALLPROD _{4} = _{3+5-1} rmC _{5} TIMES 3 ^{4} =21 TIMES 81=1701]

① [eqn: 1699]	② [eqn: 1700]	③ [eqn: 1701]
④ [eqn: 1702]	⑤ [eqn: 1703]

돌마고/2022년/G6/D

[eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지 자연수에서 중복을 허용하여 [eqn: 4]개를 택하는 경우의 수는? [[eqn: 3.6]점]

⑤

[eqn: {} _{6} rm H _{4}={} _{9} rm C _{4}=126]

① [eqn: 122]	② [eqn: 123]	③ [eqn: 124]
④ [eqn: 125]	⑤ [eqn: 126]

돌마고/2022년/G6/C

[eqn: 1<r<n]인 자연수 [eqn: n,~r]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4.2]점]

④

[eqn: ㄱ.] (좌변)[eqn: ={} _{n} SMALLPROD _{r} =n ^{r}], (우변)[eqn: ={} _{n} rm P _{it r rm} TIMES {1} over {it r!} = _{it n} rm C _{it r }] 이므로 거짓.

[eqn: ㄴ.] (우변)[eqn: ={} _{n+r-1} rm C _{it n-1 rm} = _{it n+r-1 rm} rm C _{it r rm} = _{it n rm} rm H _{it r rm}=](좌변) 이므로 참.

[eqn: ㄷ.] (좌변)[eqn: = _{n+r-1} rm P _{it r rm} = _{it n+r-1 rm} rm C _{it r rm} TIMES it r!`= _{n} rm H _{it r rm} TIMES it r!`=](우변) 이므로 참.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: {} _{n} SMALLPROD _{r} = _{n} rm P _{it r} TIMES {1} over {it r! rm}]

ㄴ. [eqn: {} _{n} rm H _{r} = _{it n+r-1} rm C _{it n-1 rm}]

ㄷ. [eqn: {} _{n+r-1} rm P _{itr} =it r! TIMES _{n} rmH _{it r}]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

분당대진고/2022년(이)/G6/D

방정식 [eqn: x+y+z+w =21]을 만족시키는 자연수 [eqn: x,~y,~z,~w]중에서 [eqn: 2]개는 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 1]이고, [eqn: 2]개는 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 2 To 20010]를 만족하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,~y,~z,~w RIGHT )]의 개수는? [[eqn: 3.7]점]

④

[eqn: x,~y,~z,~w]를 [eqn: 3a+1,~3b+1], [eqn: 3c+2,~3d+2]이라고 하면

[eqn: 3LEFT ( a+b+c+d RIGHT ) = 15]이므로 [eqn: a+b+c+d=5]이고 각 문자는 음이 아닌 정수이다.

[eqn: therefore~_4{RmC}_2 times _4{RmH}_5 = 6 times _8{RmC}_5 = 336]

① [eqn: 168]	② [eqn: 220]	③ [eqn: 248]

④ [eqn: 336]	⑤ [eqn: 420]

방정식과 부등식 함수

풍생고/2022년/G6/D

집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4 RIGHT }]에 대하여 함수 [eqn: f:X -> X] 중에서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 3 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 4 RIGHT )]를 만족하는 함수 [eqn: f]의 개수는? [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: 80]	② [eqn: 82]	③ [eqn: 84]
④ [eqn: 86]	⑤ [eqn: 88]

①

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값 결정하는 경우: [eqn: 4]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 3 RIGHT ) LEQ f LEFT ( 4 RIGHT )] 만족하는 경우: [eqn: {}_{4} H _{3} =20]

[eqn: THEREFORE `80]

보평고/2022년/G6/D

두 집합 [eqn: X= LEFT { 1,```2,```3,```4 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }]에 대하여 [eqn: a,```b IN X`]이고, 함수 [eqn: f`:`X` -> `Y`]일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) [eqn: 625] (2) [eqn: 5] (3) [eqn: 70]

(1) [eqn: {}_{5} SMALLPROD _{4} =5 ^{4} =625]

(2) [eqn: {}_{5} rmC _{4} =5]

(3) [eqn: {}_{5} rmH _{4} = _{8} C _{4} =70]

(1) 함수 [eqn: f]의 개수를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [2.0점]

(2) [eqn: a<b]이면 [eqn: f(a)<f(b)]를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [3.0점]

(3) [eqn: a<b]이면 [eqn: f(a) LEQ f(b)]를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [3.0점]

[eqn: (x+y+z)^n]의 전개식

보평고/2022년/G6/D

다항식 [eqn: (a+b+c) ^4]의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는?[4.1점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 15]
④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

③

[eqn: a^x b^y c^z]라 하면 [eqn: x+y+z=4]이고 [eqn: x,y,z]는 음이 아닌 정수이다.

따라서 항의 개수는 [eqn: {}_3 H_4 =12]

[eqn: LEFT( ax+ b over x right)^n]의 전개의 전개

풍생고/2022년/G7/D

[eqn: LEFT ( x- {2} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: {1} over {x}]의 계수는? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: -20]	② [eqn: -10]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 40]

⑤

전개식의 [eqn: r]번째 항은

[eqn: {}_{5} C _{r} ` LEFT ( -2 RIGHT ) ^{r} LEFT ( x RIGHT ) ^{5-r} LEFT ( - {2} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{r} = _{5} C _{r} LEFT ( -2 RIGHT ) ^{r} x ^{5-3r}] ([eqn: r=0,`1,`2,`3,`4,`5])

[eqn: x ^{-1}]의 계수는 [eqn: r=2]일 때

[eqn: THEREFORE ` _{5} C _{2} LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} =40]

풍생고/2022년/G7/D

[eqn: LEFT ( -x+ {2} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수는?[[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

③

이항정리에 따라 일반항은 [eqn: {}_{5} C _{r} (-x) ^{5-r} LEFT ( {2} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{r}]

정리하면 [eqn: {}_{5} C _{r} (-1) ^{5-r} 2 ^{r} x ^{5-3r}]

[eqn: x ^{2}]의 계수는 [eqn: r=1]일 때 이므로 [eqn: {}_{5} C _{1} (-1) ^{4} BULLET 2=10]

풍생고/2022년/G7/C

[eqn: LEFT ( 5x+ {a} over {x} RIGHT ) ^{6}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수와 [eqn: x ^{4}]의 계수가 같을 때, 자연수 [eqn: a]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

②

[eqn: LEFT ( 5x+ {a} over {x} RIGHT ) ^{6}]의 전개식에서 일반항은

[eqn: {}_{6} C _{r} LEFT ( 5x RIGHT ) ^{6-r} LEFT ( {a} over {x} RIGHT ) ^{r} = _{6} C _{r} `cdot`5 ^{6-r} `cdot`a ^{r} `cdot`x ^{6-2r}] [eqn: LEFT ( r=0,`1,`2,` CDOTS ,`6 RIGHT )]

[eqn: r=2]일 때, [eqn: x ^{2}]의 계수는 [eqn: {}_{6} C _{2} `cdot`5 ^{4} `cdot`a ^{2}]

[eqn: r=1]일 때, [eqn: x ^{4}]의 계수는 [eqn: {}_{6} C _{1} `cdot`5 ^{5} `cdot`a]

[eqn: THEREFORE `a=2]

[eqn: (1+x)^n]의 전개

돌마고/2022년/G7/D

다항식 [eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) ^{10}]의 전개식에서 [eqn: a ^{4} b ^{6}]의 계수는? [[eqn: 3.5]점]

④

[eqn: {} _{10} rm C _{6} = _{10} rm C _{4}]

① [eqn: {} _{10} rmC _{1}]	② [eqn: {} _{10} rm C _{2}]	③ [eqn: {} _{10} rm C _{3}]
④ [eqn: {} _{10} rm C _{4}]	⑤ [eqn: {} _{10} rm C _{5}]

야탑고/2022년/G7/D

[eqn: LEFT ( 1-2x RIGHT ) ^{10}]의 전개식에서 계수의 합은?[[eqn: 3.5]점]

① [eqn: -1]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

②

계수의 합은 [eqn: x=1]을 대입하면 되므로 ([eqn: (-1) ^{10} =1]

판교고/2022년/G7/D

[eqn: (a+b)^7]의 전개식에서 [eqn: a^4 b^3]의 계수는?[3.6점]

②

[eqn: {}_7 C_4`]

① [eqn: 21]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 41]
④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 51]

홍천고/2022년/G7/D

다항식[eqn: (1+x)^7]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수는? [[eqn: 3.6]점]

③

전개식의 일반항 [eqn: {}_7 C _r x^r 1^ 7-r]에서 [eqn: r=2]인 경우이므로 [eqn: {}_7 C _2 = 21]

① [eqn: 1]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 21]
④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 40]

송림고/2022년/G7/D

[eqn: LEFT ( 2x ^{ 2} +1 } RIGHT ) ^{5} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 전개식에서 [eqn: x ^{4} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 계수는? [3.9점]

① [eqn: 28 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	② [eqn: 32 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	③ [eqn: 36 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]
④ [eqn: 40 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	⑤ [eqn: 44 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

④

[eqn: LEFT ( 2x ^{ 2} +1 } RIGHT ) ^{5} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 일반항은

[eqn: {} _{5} rm C _{it r } LEFT ( it 2x ^{2} RIGHT ) ^{r} = _{5} rm C _{it r} 2 ^{it r} it x ^{2r}] ([eqn: 0 LEQ r LEQ 5]인 정수)

이므로 전개식에서 [eqn: x ^{4} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 계수는 [eqn: r=2]일 때

[eqn: {}_{5} rm C _{it 2} TIMES 2 ^{2} =10 TIMES 4=40]

이다.

풍생고/2022년/G7/D

[eqn: LEFT ( 3-ax RIGHT ) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: x ^{3}]의 계수가 [eqn: -720]일 때, 실수 [eqn: a]의 값은?

④

이항정리에 따라 일반항: [eqn: {}_{5} C _{r} (3) ^{5-r} LEFT ( -ax RIGHT ) ^{r}]

[eqn: x ^{3}]의 계수는 [eqn: r=3`]일 때이므로 [eqn: {}_{5} C _{3} ` BULLET 3 ^{2} BULLET (-a) ^{3} =720]

[eqn: (-a) ^{3} =8] [eqn: THEREFORE][eqn: a=-2]

[[eqn: 4.3]점]
① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

다항식의 전개

분당대진고/2022년(이)/G7/D

[eqn: LEFT ( x^2 -2x RIGHT )^4]의 전개식에서 [eqn: x^6]의 계수는? [[eqn: 3.3]점]

⑤

[eqn: `_4{rmC}_r LEFT ( x^2 RIGHT )^r LEFT ( -2x RIGHT )^4-r]이 일반항으로 [eqn: x^4+r = x^6]이므로 [eqn: r=2]

[eqn: therefore~ _4{rmC}_2 LEFT ( -2 RIGHT )^2 = 24]

① [eqn: -24]	② [eqn: -12]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 24]

성일고/2022년/G7/D

[eqn: (ax+y )^ 6] 의 전개식에서 [eqn: x^2 y^4]의 계수가 [eqn: 135]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은? [[eqn: 3.9]점]

②

[eqn: (ax+y )^ 6]의 전개식의 일반항은

[eqn: {}_{6} {C} _{r}`(ax)^r (y)^6-r] (단, [eqn: r=0,~1,~2,~3,~4,~5,~6])

따라서 [eqn: x^2 y^4]의 계수는 [eqn: r=2]일 때이므로, [eqn: {}_{6} {C} _{2} times a^2 =135]

[eqn: a^2 = 9] 이므로 [eqn: a = 3]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

풍생고/2022년/G7/D

[eqn: 3]이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 다항식 [eqn: (x+2) ^{n}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수와 [eqn: x ^{3}]계수가 같을 때, [eqn: n]의 값은?[[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

②

이항정리에 따라 일반항: [eqn: {}_{n} C _{r} ```x ^{r} 2 ^{n-r}]

[eqn: x ^{2}]의 계수는 [eqn: {}_{n} C _{2} ```2 ^{n-2}] , [eqn: x ^{3}]의 계수는 [eqn: {}_{n} C _{3} ```2 ^{n-3}]이므로

[eqn: {n(n-1)} over {2} TIMES 2 ^{n-2} = {n(n-1)(n-2)} over {6} TIMES 2 ^{n-3}]

양변에 [eqn: {6} over {2 ^{n-3}}]을 곱하면 [eqn: 3 TIMES 2=n-2]이므로 정리하면 [eqn: n=8]

풍생고/2022년/G7/D

[eqn: 3 TIMES _{10} C _{1} +3 ^{2} TIMES _{10} C _{2} +3 ^{3} TIMES _{10} C _{3} +` CDOTS ` +3 ^{10} TIMES _{10} C _{10} =A]라 할 때, [eqn: log _{2} (A+1)] 값은? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 20]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 22]
④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 24]

①

[eqn: (1+3) ^{10} =][eqn: {}_{10} C _{0`} +3 TIMES _{10} C _{1} +3 ^{2} TIMES _{10} C _{2} +3 ^{3} TIMES _{10} C _{3} +` CDOTS +3 ^{10} TIMES _{10} C _{10}]

[eqn: A=(1+3) ^{10} - _{10} C _{0} =4 ^{10`} -1]

[eqn: THEREFORE][eqn: log _{2} (A+1)][eqn: =log _{2} 4 ^{10} =log _{2} 2 ^{20} =20]

죽전고/2022년/G7/D

[eqn: {} _{10} RMC _{1} TIMES 3+ _{10} RMC _{2} TIMES 3 ^{2} + _{10} RMC _{3} TIMES 3 ^{3} + CDOTS + _{10} RMC _{10} TIMES 3 ^{10}]의 값은? [[eqn: 3.6]점]

① [eqn: 3 ^{10} -1] ② [eqn: 3 ^{10}] ③ [eqn: 4 ^{10} -1] ④ [eqn: 4 ^{10}] ⑤ [eqn: 5 ^{10} -1]

③

[eqn: {} _{10} RMC _{1} TIMES 3+ _{10} RMC _{2} TIMES 3 ^{2} + _{10} RMC _{3} TIMES 3 ^{3} + CDOTS + _{10} RMC _{10} TIMES 3 ^{10}]

[eqn: =(1+3) ^{10}][eqn: - _{10} C _{0}]
[eqn: =][eqn: 4 ^{10} -1]

성남여고/2022년/G7/D

[eqn: {}_{10} C _{0} + _{10} C _{1} TIMES 2+ _{10} C _{2} TIMES 2 ^{2} + _{10} C _{3} TIMES 2 ^{3} +` CDOTS ` + _{10} C _{10} TIMES 2 ^{10} =p ^{q}] 일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]는 소수, [eqn: q]는 자연수이다.) [[eqn: 4.7]점]

②

이항정리에 따라

[eqn: {}_{10} C _{0} + _{10} C _{1} TIMES 2+ _{10} C _{2} TIMES 2 ^{2} +` CDOTS `+ _{10} C _{10} TIMES 2 ^{10} = LEFT ( 1+2 RIGHT ) ^{10} =3 ^{10} =p ^{q}]

따라서 [eqn: p+q=13]

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

이항계수

죽전고/2022년/G7/D

부등식 [eqn: 180< _{n} C _{1} + _{n} C _{2} + _{n} C _{3} + CDOTS _{n} C _{n-1} + _{n} C _{n} <280]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은? [[eqn: 4.0]점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

④

[eqn: ` _n C_1 +_n C_2 +_n C_3 + ~cdots~+ _n C_n = 2^ n -1] 이므로

[eqn: 180<2 ^{n}-1 <280] 을 만족하는 [eqn: n]의 값은 [eqn: 8]이다.

영덕여고/2022년/G7/D

다음 부등식을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은? [[eqn: 4.4]점]

③

[eqn: ` _{n} C _{1} + _{n} C _{2} + _{n} C _{3} +~ CDOTS ~+ _{n} C _{n} =2 ^{n} -1] 이므로

[eqn: 500<2 ^{n} -1<5000] 을 만족하는 [eqn: n]의 값은 [eqn: 9,```10,```11,```12]이다.

모두 합하면 [eqn: 42]이다.

[eqn: 500 < _n C_1 +_n C_2 +_n C_3 + ~cdots~+ _n C_n < 5000]

① [eqn: 30]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 42]
④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 54]

운중고/2022년(이)/G7/D

등식 [eqn: sum _{r=0} ^{n-1}`_{n}{rm C}_{r} =127]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

④

[eqn: sum _{r=0} ^{n-1} ` _{n} {rm C} _{r}][eqn: = _{n} {rm C} it _{0} + _{n} {rm C} _{1} + _{n} {rm C} _{2} + CDOTS _{n} {rm C} _{n-1}][eqn: =2 ^{n} -1][eqn: =127]

[eqn: 2 ^{n} -1=127]에서 [eqn: 2 ^{n} =128]이므로 [eqn: n=7]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5 To 20010]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

성일고/2022년/G7/D

[eqn: `_9 C_1 +_9 C_3 +`_9 C_5 +_9 C_7 +`_9 C_9] 의 값은? [[eqn: 3.6]점]

②

[eqn: ` _{9} C _{1} + _{9} C _{3} +` _{9} C _{5} + _{9} C _{7} +` _{9} C _{9} =2 ^{8}]

① [eqn: 2^7]	② [eqn: 2^8]	③ [eqn: 2^9]
④ [eqn: 2^10]	⑤ [eqn: 2^11]

풍생고/2022년/G7/D

부등식 [eqn: 500< _{2n} C _{1} + _{2n} C _{3} + _{2n} C _{5} +` CDOTS + _{2n} C _{2n-1} <1000]을 만족하는 자연수 [eqn: n]이 값은? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

③

[eqn: 500<2 ^{2n-1} <1000]

[eqn: 2n-1=9]

[eqn: n=5]

송림고/2022년/G7/D

식 [eqn: it _{99} rm C it _{0} + it _{99} rm C it _{1} + it _{99} rm C it _{2} +` CDOTS ` + it _{99} rm C it _{48} + it _{99} rm C it _{49}]의 값은? [3.9점]

① [eqn: 2 ^{98} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	② [eqn: 2 ^{99} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	③ [eqn: 2 ^{100} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]
④ [eqn: 2 ^{101} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	⑤ [eqn: 2 ^{102} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

①

[eqn: it _{99} rm C it _{0} + it _{99} rm C it _{1} + it _{99} rm C it _{2} +` CDOTS `+ it _{99} rm C it _{48} + it _{99} rm C it _{49} = {2 ^{99}} over {2} =2 ^{98}]

풍생고/2022년/G5/D

어느 서점에 [eqn: 6]권의 서로 다른 책과 [eqn: 6]권의 똑같은 공책이 있다. 이 중에서 [eqn: 6]권을 택하여 살 때, 책과 공책을 사는 경우의 수는? (단, 똑같은 공책 [eqn: 6]권은 서로 구분하지 않는다.) [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 56]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 64]
④ [eqn: 68]	⑤ [eqn: 72]

③

공책 [eqn: 6]권은 모두 같으므로 서로 다른 책 [eqn: 6]권을 각각 고르는 경우를 구하면

[eqn: {}_{6} C _{0} + _{6} C _{1} + _{6} C _{2} + _{6} C _{3} + _{6} C _{4} + _{6} C _{5} + _{6} C _{6} =1+6+15+20+15+6+1]

[eqn: THEREFORE][eqn: 64]

[다른 풀이]

서로 다른 책 [eqn: 6]권 중 선택할 경우의 수를 구하고 나머지를 공책으로 채우면 되므로 이항정리에 따라

[eqn: {}_{6} C _{0} + _{6} C _{1} + _{6} C _{2} + _{6} C _{3} + _{6} C _{4} + _{6} C _{5} + _{6} C _{6} =2 ^{6} =64]

중복조합과 이항정리(step2)

2.

조합

성남여고/2022년/G7/C

[eqn: rm c ollege]에 있는 [eqn: 7]개의 문자 중에서 [eqn: 4]개를 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수는? [[eqn: 5.1]점]

②

[eqn: 4]개의 문자가 모두 다를 경우 [eqn: c,~o,~l.~e,~g]중 [eqn: 4]개 선택 후 나열

[eqn: {}_{5} C _{4} ·4 !it= 5·24=120]

[eqn: 3]개의 문자가 다른 경우 [eqn: l,~l]과 [eqn: c,~o,~e,~g]중 [eqn: 2]개 선택 후 나열

또는 [eqn: e,~e]과 [eqn: c,~o,~l,~g]중 [eqn: 2]개 선택 후 나열 [eqn: 2· _{4} C _{2} · {4!} over {2!} =144]

[eqn: 2]개의 문자가 다른 경우 [eqn: l,~l,~e,~e]로 나열 [eqn: {4!} over {2!·2!} =6]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 120+144+6=270]

① [eqn: 252]	② [eqn: 270]	③ [eqn: 480]

④ [eqn: 1045]	⑤ [eqn: 1260]

돌마고/2022년/G5/C

크기와 모양이 같은 빨간 구슬 [eqn: 5]개와 파란 구슬 [eqn: 3]개를 일렬로 나열하는 경우의 수를 [eqn: {} _{n} rmC _{it r}] [eqn: LEFT ( 단,`~r< {n} over {2} RIGHT )]이라 하자. 음이 아닌 정수 [eqn: n,~r]에 대하여 [eqn: n-r]의 값은? [[eqn: 4.1]점]

⑤

각 파란 구슬의 사이와 양 끝에 총 [eqn: 4]개의 자리가 있다고 생각해보자.

[eqn: 4]개의 자리에 빨간 구슬 [eqn: 5]개를 넣는 경우는 [eqn: {} _{4} rm H _{5} = _{8} rm C _{5} = _{8} rm C _{3}]

[eqn: THEREFORE n=8,```r=3], [eqn: n-r=5]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

돌마고/2022년/G5/C

똑같은 공 [eqn: 6]개를 똑같은 상자 [eqn: 2]개와 다른 상자 [eqn: 1]개에 모두 나누어 담을 때, 상자를 일부만 사용해도 되도록 나누어 담는 경우의 수는? [[eqn: 4.6]점]

②

다른 상자에 넣는 공의 수를 기준으로 분류하자.

1) 다른 상자에 공을 [eqn: 0]개 넣는 경우: [eqn: 4]가지

2) 다른 상자에 공을 [eqn: 1]개 넣는 경우: [eqn: 3]가지

3) 다른 상자에 공을 [eqn: 2]개 넣는 경우: [eqn: 3]가지

4) 다른 상자에 공을 [eqn: 3]개 넣는 경우: [eqn: 2]가지

5) 다른 상자에 공을 [eqn: 4]개 넣는 경우: [eqn: 2]가지

6) 다른 상자에 공을 [eqn: 5]개 넣는 경우: [eqn: 1]가지

7) 다른 상자에 공을 [eqn: 6]개 넣는 경우: [eqn: 1]가지

[eqn: THEREFORE4+3+3+2+2+1+1=16]가지

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]
④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

중복조합

판교고/2022년/G6/C

[eqn: 2]이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

⑤

ㄴ. [eqn: {}_2 H_n`=` {}_n C_0 `+{}_n C _1 =n+1]

ㄷ. [eqn: {}_n H_2 `=`{}_n C_1 + {}_n C_2 = {}_n+1 C_2]

<보 기>

ㄱ. [eqn: {}_2 H_n`=` {}_n+1 C _1]

ㄴ. [eqn: {}_2 H_n`=` {}_n C_0 `+{}_n C _1]

ㄷ. [eqn: {}_n H_2 `=`{}_n C_1 + {}_n C_2]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

죽전고/2022년/G6/C

빨강 사인펜 [eqn: 3]개, 파랑 사인펜 [eqn: 1]개, 검정 사인펜 [eqn: 4]개를 두 명의 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에게 남김없이 나누어 줄 때, 사인펜을 못 받는 학생이 없도록 나누어 주는 경우의 수는? (단, 같은 색깔의 사인펜은 서로 구별하지 않는다.) [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 32]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 36]	④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 40]

④

전체 중복조합의 수에서 [eqn: A]가 모든 사인펜을 다 가져가는 경우와 [eqn: B]가 모든 사인펜을 다가져가는 경우를 빼주면 된다.

[eqn: {} _{2} H _{3}][eqn: TIMES][eqn: {} _{2} H _{1}][eqn: TIMES][eqn: {} _{2} H _{4}]－[eqn: 2]＝[eqn: 38]가지

성남여고/2022년/G6/C

빨간 공 [eqn: 1]개, 노란 공 [eqn: 7]개, 파란 공 [eqn: 7]개 중에서 [eqn: 7]개의 공을 택하는 경우의 수는? (단, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않는다.) [[eqn: 5.1]점]

①

노란 공과 파란 공의 개수를 각각 [eqn: a,~b]라 하면

빨간 공이 [eqn: 0]개일 때, [eqn: a+b=7] [eqn: {}_{2} ETA _{7} = _{8} C _{7} =8]

빨간 공이 [eqn: 1]개일 때, [eqn: a+b=6] [eqn: {}_{2} ETA _{6} = _{7} C _{6} =7]

따라서 합의 법칙에 따라 [eqn: 8+7=15]

① [eqn: 15]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 36]

홍천고/2022년/G6/C

같은 종류의 구슬 [eqn: 10]개가 있다. 다음 조건을 만족시키도록 구슬을 서로 다른 [eqn: 4]개의 주머니에 넣는 모든 경우의 수는? [[eqn: 4.3]점]

④

빈 주머니가 없으므로 각 주머니마다 하나씩 넣은 상태에서 생각한다.

각 주머니에 추가로 넣을 구슬의 개수를 각각 [eqn: a,b,c,d]라 하면

[eqn: a+b+c+d=0] , [eqn: {}_4 H _0 = {}_3 C _0]

[eqn: a+b+c+d=1] , [eqn: {}_4 H _1 = {}_4 C _1]

[eqn: a+b+c+d=2] , [eqn: {}_4 H _2 = {}_5 C _2]

[eqn: a+b+c+d=3] , [eqn: {}_4 H _3 = {}_6 C _3]

[eqn: a+b+c+d=4] , [eqn: {}_4 H _4 = {}_7 C _4]

[eqn: a+b+c+d=5] , [eqn: {}_4 H _5 = {}_8 C _5]

[eqn: a+b+c+d=6] , [eqn: {}_4 H _6 = {}_9 C _6]

그런데 [eqn: a+b+c+d=5]의 해에서 한 주머니에 추가로 [eqn: 5]개를 모두 넣는 경우는 4가지이고, [eqn: a+b+c+d=6]의 해에서 한 주머니에 추가로 [eqn: 5]개를 넣는 경우는 12가지, 한 주머니에 추가로 [eqn: 6]개를 넣는 경우 4가지이므로 20가지를 제외한다.

[eqn: {}_3 C _0 +{}_4 C _1 + {}_5 C _2 + cdots + {}_9 C _6 = {}_10 C _6 =210] 이므로

구하는 경우의 수는 [eqn: 210-20=190]

(가) 각 주머니에는 [eqn: 5]개 이하의 구슬을 넣고 빈 주머니는 없다.

(나) 어느 주머니에도 들어가지 않은 구슬이 있을 수 있다.

① [eqn: 160]	② [eqn: 170]	③ [eqn: 180]
④ [eqn: 190]	⑤ [eqn: 200]

판교고/2022년/G6/C

[eqn: 4]개의 문자 [eqn: a`,`b`,`c`,`d]에서 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 택할 때, 문자 [eqn: a]를 [eqn: 2]개 이상 택하는 경우의 수는? [4.5점]

②

[eqn: a+b+c+d=5`]에서 [eqn: a>=2]이므로 [eqn: a=a`'+2]라 하자.

[eqn: a`'+b+c+d=3`]이므로 [eqn: {}_4 H_3`=` {}_6 C_3 `]

① [eqn: 19]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 21]
④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 23]

판교고/2022년/G6/C

집합 [eqn: X`=`left{`1`,`2`,`3`,`4`right}]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f`:`X`rarrow X]의 개수는? [4.6점]

①

[eqn: f(1)`]과 [eqn: f(3)`]은 [eqn: 2`] 또는 [eqn: 3`]에 대응된다.

(나) 조건에서 [eqn: f(2)>=f(4)`]이므로 [eqn: x=2`]와 [eqn: 4`]를 대응하는 경우의 수는 [eqn: {}_4 H_2`]이다.

따라서 [eqn: 2times2times][eqn: {}_4 H_2` =40]

(가) 집합 [eqn: X]의 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x]가 홀수이면 [eqn: f(x)]는

소수이다.

(나) [eqn: f(2) ge f(4)]

① [eqn: 40]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 32]
④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 24]

보평고/2022년/G6/C

네 자연수 [eqn: 2,3,5,7]중에서 중복을 허락하여 [eqn: 8]개를 택하여 모두 곱한 값 중에서 [eqn: 100]의 배수의 개수는? [4.5점]

① [eqn: 25]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 35]
④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 45]

③

[eqn: 100]의 배수이므로 [eqn: 2,~5]는 각각 [eqn: 2]번씩 선택한 것으로 본다.

나머지 4번의 선택에서 [eqn: 2,3,4,5]를 택하는 경우의 수이므로

[eqn: a+b+c+d=4]의 음 아닌 정수해의 개수와 같다.

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: {}_4 H _4 = 35]

죽전고/2022년/G6/C

사과 [eqn: 3]개, 배 [eqn: 1]개, 귤 [eqn: 4]개를 세 상자 [eqn: A,``B,``C]에 남김없이 나누어 담을 때, 빈 상자가 없도록 나누어 담는 경우의 수는?

③

(ⅰ) 사과 [eqn: 3]개를 [eqn: A,``B,``C] 나누어 주는 경우의 수는
[eqn: {}_{3} rm H _{3} = _{3+3-1} rm C _{4} = _{5} rm C _{4} =5]

(ⅱ) 배 [eqn: 1]개를 [eqn: A,``B,``C] 나누어 주는 경우의 수는
[eqn: {}_{3} rm H _{1} = _{3+1-1} rm C _{2} = _{3} rm C _{2} =3]

(ⅲ) 귤 [eqn: 4]개를 [eqn: A,``B,``C] 나누어 주는 경우의 수는
[eqn: {}_{3} rm H _{4} = _{3+4-1} rm C _{4} = _{6} rm C _{2} = 15]

빈 상자가 있을 경우는

두 상자를 정하는 방법 [eqn: `_3 C _2 = 3]

(ⅰ) 사과 [eqn: 3]개를 두 상자에 나누어 주는 경우의 수는
[eqn: {}_{2} rm H _{3} = _{2+3-1} rm C _{3} = _{5} rm C _{3} =10]

(ⅱ) 배 [eqn: 1]개를 두 상자에 주는 경우의 수는
[eqn: 2]

(ⅲ) 귤 [eqn: 4]개를 두 상자에 주는 경우의 수는
[eqn: {}_{2} rm H _{4} = _{2+4-1} rm C _{4} = _{5} rm C _{1} = 5]

[eqn: 5 times 3 times 15 - 3 times( 10times 2 times 5 ) - 3 = 333]가지이다.

(단, 같은 종류의 과일은 서로 구별하지 않는다.) [[eqn: 5.1]점]

① [eqn: 331]	② [eqn: 332]	③ [eqn: 333]
④ [eqn: 334]	⑤ [eqn: 335]

보평고/2022년/G6/C

[eqn: 10]권의 책이 책꽂이에 나란히 꽂혀 있다. 이 중 서로 인접한 [eqn: 2]권의 책은 선택되지 않도록 [eqn: 3]권의 책을 선택하는 경우의 수는? [4.9점]

③

[eqn: 10]권의 책 중에서 선택한 세 권의 책을 왼쪽부터 [eqn: X,Y,Z]라고 하자.

[eqn: X]의 왼쪽에 선택되지 않은 책의 개수를 [eqn: a], [eqn: X,Y]사이에 선택되지 않은 책의 개수를 [eqn: b], [eqn: Y,Z]사이에 선택되지 않은 책의 개수를 [eqn: c], [eqn: Z]의 오른쪽에 선택되지 않은 책의 개수를 [eqn: d]라 하면, 문제의 조건에 의해서 [eqn: b,c ge 1]이어야 하고. [eqn: a,d]는 음이 아닌 정수이다.

[eqn: a+b+c+d = 7]

[eqn: a+b prime +c prime +d =5] (단 [eqn: a, b prime, c prime , d]는 음이 아닌 정수)의 정수해의 개수와 같으므로 [eqn: {}_4 H _5 = {}_8 C _5 = 56]

① [eqn: 52]	② [eqn: 54]	③ [eqn: 56]
④ [eqn: 58]	⑤ [eqn: 60]

돌마고/2022년/G6/C

사과 [eqn: 4]개, 딸기 [eqn: 3]개, 귤 [eqn: 5]개를 [eqn: 3]명의 학생에게 남김없이 줄 때, 모든 학생이 적어도 [eqn: 1]개의 귤을 받도록 나누어 주는 경우의 수는? [[eqn: 4.8]점]

③

세 학생에게 우선적으로 귤을 [eqn: 1]개씩 나누어준 후 나머지 중복조합의 값을 모두 곱하면 된다.

서로 다른 세 명의 학생에게 귤 [eqn: 2]개를 나누어 주는 경우의 수: [eqn: {} _{3} rm H _{2}]

사과 [eqn: 4]개를 나누어 주는 경우의 수: [eqn: {} _{3} rm H _{4}]

딸기 [eqn: 3]개를 나누어 주는 경우의 수: [eqn: {} _{3} rm H _{3}]

[eqn: {} _{3} rm H _{2}TIMES{} _{3} rm H _{4}TIMES{} _{3} rm H _{3}=6TIMES15TIMES10=900]

① [eqn: 700]	② [eqn: 800]	③ [eqn: 900]
④ [eqn: 1000]	⑤ [eqn: 1100]

송림고/2022년/G6/C

흰 공 [eqn: 5 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]개, 검은 공 [eqn: 6 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]개와 다섯 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE]가 있다. 이 [eqn: 11 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]개의 공을 [eqn: 5 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]개의 상자에 다음 조건을 만족시키도록 남김없이 나누어 넣는 경우의 수는? (단, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않는다.) [4.5점]

① [eqn: 900 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	② [eqn: 1200 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	③ [eqn: 1500 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]
④ [eqn: 1800 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	⑤ [eqn: 2100 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

④

다섯 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE] 중 흰 공이 들어갈 상자 [eqn: 3]개를 선택한 후, 흰 공 [eqn: 5 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]개를 각 상자에 적어도 한 개 이상 넣는 경우의 수는

[eqn: {}_{5} rm C _{3} TIMES _{3} H _{2} = _{5} rm C _{3} TIMES _{4} C _{2} =10 TIMES 6=60]

이다. 이후 흰 공이 들어간 상자 중 한 개는 검은 공이 들어있지 않아야 하고, 흰 공이 들어가지 않은 상자는 모두 적어도 한 개 이상의 검은 공이 들어가야 한다. 따라서 흰 공이 들어간 상자 중 검은 공이 들어가는 상자 [eqn: 2]개를 선택 후 검은 공이 들어갈 상자 [eqn: 4]개에 검은 공을 적어도 한 개 이상 넣는 경우의 수는

[eqn: {}_{3} rm C _{2} TIMES _{4} H _{2} = _{3} rm C _{2} TIMES _{5} C _{2} =3 TIMES 10=30]

이다. 그러므로 모든 경우의 수는 [eqn: 60 TIMES 30=1800]이다.

(가) 흰 공이 들어 있지 않은 상자의 개수는 [eqn: 2 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]이다.

(나) 검은 공이 들어 있지 않은 상자의 개수는 [eqn: 1 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]이다.

(다) 모든 상자에는 적어도 한 개의 공이 들어 있다.

죽전고/2022년/G6/C

세 명의 학생 [eqn: A,``B,``C]에게 같은 종류의 연필 [eqn: 11]개를 남김없이 나누어 줄 때, 각 학생이 받는 연필의 개수가 [eqn: 7] 이하인 경우의 수는?

①

여사건은 [eqn: 8]이상 받는 것이므로

(ⅰ) [eqn: 8,~2,~1] 개 받는 경우의 수 [eqn: 3 ! = 6]가지

(ⅱ) [eqn: 9,~1,~1] 개 받는 경우의 수 [eqn: 3 !} over { 2!}= 3]가지

전체의 경우는 [eqn: rm `_3 H_8 = `_3+8-1 C _8 = `_10 C _2 = 45]가지

그러므로 [eqn: 45 - 6-3 = 36]가지.

(단, 각 학생은 [eqn: 1]개 이상의 연필을 받는다.) [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 36]	② [eqn: 37]	③ [eqn: 38]
④ [eqn: 39]	⑤ [eqn: 40]

판교고/2022년/G6/C

[eqn: (x+y)^n]의 전개식에서 서로 다른 항의 개수가 [eqn: 8]이 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 값은? [4.0점]

③

[eqn: {}_2 H_n = 8]

[eqn: {}_n+1 C_n = n+1=8]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

조건이 있는 중복조합(적어도)

성일고/2022년/G6/C

세 문자 [eqn: a,``b,``c] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 11]개를 택해 일렬로 나열할 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수는?
(단, [eqn: a,``b,``c]는 각각 적어도 [eqn: 1]개를 택한다.) [[eqn: 5.5]점]

②

[eqn: a,~b,~c] 가 순서대로 나열되어야 한다.

[eqn: a,~a,~cdots~~b,~b,~cdots~~c,~c]를 일렬로 배열한 다음

[eqn: a]의 개수를 [eqn: x]개, [eqn: b]의 개수를 [eqn: y]개, [eqn: c`]의 개수를 [eqn: z`]개라 하면

[eqn: x`y`z`=`]짝수 이므로 전체에서 [eqn: x`y`z`=`]홀수를 빼면 된다.

[eqn: x+`y`+`z`=`11] 이므로

전체의 개수는

[eqn: x=x prime +1], [eqn: y=y prime +1], [eqn: z=z prime +1] ([eqn: x prime ,````y prime ,````z prime]은 음이 아닌 정수)

[eqn: x prime +y prime +z prime =8]

위 등식을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( x prime ,````y prime ,````z prime RIGHT )] 의 개수는 서로

다른 [eqn: 3]개에서 [eqn: 8]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: {}_{3} rm H _{8}][eqn: = _{3+8-1} rm C _{8}]
[eqn: = _{10} rm C _{2]
[eqn: = {10 TIMES 9} over { 2 TIMES 1}] [eqn: =45]가지.

모두 홀수의 경우는

[eqn: x=2x prime +1], [eqn: y=2y prime +1], [eqn: z=2z prime +1] ([eqn: x prime ,````y prime ,````z prime]은 음이 아닌 정수)

[eqn: x prime +y prime +z prime =4]

위 등식을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( x prime ,````y prime ,````z prime RIGHT )] 의 개수는 서로

다른 [eqn: 3]개에서 [eqn: 4]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: {}_{3} rm H _{4}][eqn: = _{3+4-1} rm C _{4}]
[eqn: = _{6} rm C _{2]
[eqn: = {6 TIMES 5} over { 2 TIMES 1}] [eqn: =15]가지.

[eqn: 45 -15 =30]가지 이다.

(가) [eqn: a]가 모든 [eqn: b,``c] 보다 왼쪽에 있다.

(나) [eqn: b]가 모든 [eqn: c] 보다 왼쪽에 있다.

(다) ([eqn: a]의 개수)[eqn: times]([eqn: b]의 개수) [eqn: times]([eqn: c]의 개수) 는 짝수이다.

① [eqn: 20]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 40]
④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 60]

영덕여고/2022년/G6/C

흰 공 [eqn: 3]개, 검은 공 [eqn: 4]개와 세 상자 [eqn: A,``B,``C] 가 있다. 이 [eqn: 7]개의 공을 [eqn: 3]개의 상자에 다음 조건을 만족시키도록 남김없이 나누어 넣는 경우의 수는? (단, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않는다.) [[eqn: 5]점]

⑤

조건 (가)에서 흰 공이 들어 있지 않은 상자 [eqn: 1`]개를 택하는 경우의 수는

[eqn: {} _{3} rmC _{1} =3]

흰 공이 들어 있지 않은 상자를 [eqn: rmA]라 하자.

세 상자 [eqn: rmB,````C]에 각각 흰 공을 [eqn: 1`]개씩 넣은 후 남아 있는 [eqn: 1]개의 흰 공을 세 상자 [eqn: rmB,````C]에 나누어 넣는 경우의 수는 [eqn: 1]가지

조건 (나)에서 검은 공이 들어 있지 않은 상자의 개수는 [eqn: 1`]이고, 조건 (다)에서 모든 상자에는 적어도 한 개의 공이 들어 있으므로 상자 [eqn: rmA]에는 검은 공을 넣어야 한다.
세 상자 [eqn: rmB,````C]에서 검은 공이 들어 있지 않은 상자 [eqn: 1`]개를 택하는 경우의 수는

[eqn: ` _{2} C _{1} =2]

검은 공이 들어 있지 않은 상자를 [eqn: rmB]라 하자.

세 상자 [eqn: rmA,````C]에 검은 공을 [eqn: 1`]개씩 넣은 후 남아 있는 [eqn: 2]개의 검은 공을 세 상자 [eqn: rmA,````C]에 나누어 넣는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 2]개에서 [eqn: 2]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: {}_{2} rm H _{2}][eqn: = _{2+2-1} rm C _{2}]
[eqn: = _{3} rm C _{2}]
[eqn: =3]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: LEFT ( 3 TIMES 2 RIGHT ) ` TIMES LEFT ( 2 TIMES 3 RIGHT )][eqn: =36]

(가) 흰 공이 들어 있지 않은 상자의 개수는 [eqn: 1]이다.

(나) 검은 공이 들어 있지 않은 상자의 개수는 [eqn: 1]이다.

(다) 모든 상자에는 적어도 한 개의 공이 들어 있다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 11]
④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 36]

방정식과 부등식

돌마고/2022년/G6/C

다음 조건을 만족시키는 정수 [eqn: a,`b,`c]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b,`c RIGHT )]의 개수는? [[eqn: 4.4]점]

①

[eqn: a+b+c=10]

[eqn: b=b'+1, ```c=c'+2] 라 하면 [eqn: a GEQ 0,````b' GE 0, ```c' GE 0]

[eqn: a+b'+c'=7, `````````{} _{3} rm H _{7}={} _{9} rm C _{2}=36]

(가) [eqn: a+b+c=10]

(나) [eqn: a GEQ 0,~b GEQ 1,~c GEQ 2]

① [eqn: 36]	② [eqn: 37]	③ [eqn: 38]
④ [eqn: 39]	⑤ [eqn: 40]

송림고/2022년/G6/C

방정식 [eqn: a+b+c=d from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================] [eqn: ( from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================][eqn: 4 LEQ d LEQ 8 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================][eqn: ) from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]을 만족시키는 자연수 [eqn: a from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: b from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: c from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: d from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 모든 순서쌍 [eqn: (a`,~b`,~c`,~d)]의 개수를 구하고 풀이 과정을 논술하시오. [6점]

[eqn: 55]

[eqn: 4 LEQ d LEQ 8 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]이므로 자연수 [eqn: a from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: b from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: c from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: d from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 순서쌍 [eqn: (a`,~b`,~c`,~d)]의 개수는

(ⅰ) [eqn: a+b+c=4]인 경우 [eqn: {}_{3} rm H _{1} = _{3} C _{1} =3]

(ⅱ) [eqn: a+b+c=5]인 경우 [eqn: {}_{3} rm H _{2} = _{4} C _{2} =6]

(ⅲ) [eqn: a+b+c=6]인 경우 [eqn: {}_{3} rm H _{3} = _{5} C _{3} =10]

(ⅳ) [eqn: a+b+c=7]인 경우 [eqn: {}_{3} rm H _{4} = _{6} C _{4} =15]

(ⅴ) [eqn: a+b+c=8]인 경우 [eqn: {}_{3} rm H _{5} = _{7} C _{5} =21]

이다. 따라서 모든 순서쌍 [eqn: (a`,~b`,~c`,~d)]의 개수는

[eqn: 3+6+10+15+21=55]

이다.

판교고/2022년/G6/C

부등식 [eqn: x+y+z le 4]를 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x`,`y`,`z]의 모든 순서쌍 [eqn: (x,`y`,z)]의 개수는? [3.9점]

④

할머니 바로 오른쪽에 할아버지가 앉아야 하므로 전체 6명의 원순열과 같다. 즉, [eqn: 5!]

① [eqn: 20]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 30]
④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 40]

성일고/2022년/G6/C

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a,```b,```c,```d]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c,```d)]의 개수는? [[eqn: 5.0]점]

③

[eqn: a=a'+1], [eqn: b=b prime +1], [eqn: c=c prime +1], [eqn: d=d prime +1]

([eqn: a'], [eqn: b'], [eqn: c'], [eqn: d'`]은 음이 아닌 정수)

로 놓으면 조건 (가)에서

[eqn: a'+b'+c'+d'=10]

위 등식을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( a',````b',````c',````d' RIGHT )] 의 개수는 서로

다른 [eqn: 4`]개에서 [eqn: 10]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: {} _{4} rm H _{10}][eqn: = _{4+10-1} rm C _{10}]
[eqn: = _{13} rm C _{10}]
[eqn: = _{13} rm C _{3}]
[eqn: = {13 TIMES 12 TIMES 11} over {3 TIMES 2 TIMES 1}]
[eqn: =286]

따라서 조건 (가)를 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,````b,````c,````d RIGHT )] 의 개수는 [eqn: 286`]이다.

이제 조건 (가)를 만족시키면서 [eqn: a,````b,````c,````d`]가 모두 짝수인 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,````b,````c,````d RIGHT )] 의 개수를 구하자.

[eqn: a=2x+2], [eqn: b=2y+2], [eqn: c=2z+2], [eqn: d=2omega+2]

([eqn: x,````y,````z,```` omega `]는 음이 아닌 정수)

로 놓으면 조건 (가)에서

[eqn: x+y+z+omega=3]

위 등식을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,````y,````z,````w RIGHT )] 의 개수는 서로 다른 [eqn: 4`]개에서 [eqn: 3`]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: {} _{4} rm H _{3}][eqn: = _{4+3-1} rm C _{3}]
[eqn: = _{6} rm C _{3}]
[eqn: = {6 TIMES5 TIMES 4} over {3 TIMES 2 TIMES 1}]
[eqn: =20]

따라서 조건 (가)를 만족시키면서 [eqn: a,````b,````c,````d`]가 모두 짝수인 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,````b,````c,````d RIGHT )] 의 개수는 [eqn: 20`]이다.

그러므로 두 조건 (가), (나)를 모두 만족시키는 순서쌍
[eqn: LEFT ( a,````b,````c,````d RIGHT )] 의 개수는

[eqn: 286-20=266]

(가) [eqn: a+b+c+d = 14]

(나) [eqn: a,```b,```c,```d] 중 적어도 하나는 홀수이다.

① [eqn: 246]	② [eqn: 256]	③ [eqn: 266]
④ [eqn: 276]	⑤ [eqn: 286]

죽전고/2022년/G6/C

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a,``b,``c,``d]의 모든 순서쌍

①

[eqn: c,~d]는 모두 짝수 [eqn: a,~b]는 모두 홀수이므로

[eqn: a=2x+1,~b=2y+1,~c=2z+2,~d=2w+2]

(단, [eqn: x,~y,~z,~w]는 음이 아닌 정수)로 놓으면
[eqn: a+b+c+d=(2x+1)+(2y+1)+(2z+2)+(2w+2)= 16]

[eqn: THEREFORE ~x+y+z+w=5]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

따라서 방정식 ㉠을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x,```y,```z,```w`]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,~y,~z,~w RIGHT )]의 개수는 네 문자 [eqn: x,~y,~z,~w] 중에서 [eqn: 5]개를 택하는
중복조합의 수와 같으므로 [eqn: rm` _{4} H _{5} = _{4+5-1} C _{5} = _{8} C _{5} = _{8} C _{3} =56]

[eqn: (a,``b,``c,``d)]의 개수는? [[eqn: 4.7]점]

① [eqn: 56]	② [eqn: 64]	③ [eqn: 72]
④ [eqn: 84]	⑤ [eqn: 96]

(가) [eqn: a+b+c+d=16]

(나) [eqn: a]와 [eqn: b]는 홀수이다.

(다) [eqn: c]와 [eqn: d]는 짝수이다.

풍생고/2022년/G6/C

다음 조건을 만족시키는 [eqn: 5]개의 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b,`c,`d,`e RIGHT )]의 개수는? [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 82]	② [eqn: 84]	③ [eqn: 86]
④ [eqn: 88]	⑤ [eqn: 90]

④

[eqn: a+b+c+d+e=30]

[eqn: LEFT ( 2a prime +2 RIGHT ) + LEFT ( 2b prime +2 RIGHT ) + LEFT ( 2c prime +2 RIGHT ) + LEFT ( 2d prime +2 RIGHT ) + LEFT ( 5e prime +5 RIGHT ) =30]

[eqn: 2a prime +2b prime +2c prime +2d prime +5e prime =17]
([eqn: a prime], [eqn: b prime], [eqn: c prime], [eqn: d prime], [eqn: e prime]은 모두 [eqn: 0]이상의 정수)

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )] [eqn: e prime =1]일 때,

[eqn: a prime +b prime +c prime +d prime =6]

[eqn: {}_{4} H _{6} =84]

[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )] [eqn: e prime =3]일 때,

[eqn: a prime +b prime +c prime +d prime =1]

[eqn: {}_{4} H _{1} =4]

[eqn: THEREFORE] 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b,`c,`d RIGHT )]의 개수는 [eqn: 88]

(가) [eqn: a+b+c+d+e=30]

(나) [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]는 모두 짝수이고, [eqn: e]는 [eqn: 5]의 배수이다.

송림고/2022년/G6/C

방정식 [eqn: 6x+y+z+w=17 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]을 만족시키는 양의 정수 [eqn: x from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: y from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: z from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: w from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 모든 순서쌍 [eqn: (x`,~y`,~z`,~w)]의 개수는? [4.3점]

① [eqn: 43 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	② [eqn: 45 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	③ [eqn: 47 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]
④ [eqn: 49 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	⑤ [eqn: 51 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

⑤

방정식 [eqn: 6x+y+z+w=17 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]을 만족시키는 양의 정수 [eqn: x from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]는 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]이므로

(ⅰ) [eqn: x=1]인 경우

[eqn: y+z+w=11]인 양의 정수 [eqn: y from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: z from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: w from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 개수는 [eqn: {}_{3} rm H _{8} ={}_{10}rm C _{2}=45]

(ⅱ) [eqn: x=2]인 경우

[eqn: y+z+w=5]인 양의 정수 [eqn: y from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: z from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: w from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 개수는 [eqn: {}_{3} rm H _{2} = _{4} rm C _{2} =6]

이다. 따라서 모든 순서쌍 [eqn: (x`,~y`,~z`,~w)]의 개수는 [eqn: 45+6=51]이다.

풍생고/2022년/G6/C

다음 조건을 만족시키는 세 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b,`c RIGHT )]의 개수는? [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 49]	② [eqn: 64]	③ [eqn: 81]
④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 121]

④

[eqn: abc=2 ^{5} TIMES 5 ^{5}]

[eqn: a=2 TIMES a prime], [eqn: b=5 TIMES b prime], [eqn: c=10 TIMES c prime]

남은 [eqn: 2 ^{3}], [eqn: 5 ^{3}]을 [eqn: a prime], [eqn: b prime], [eqn: c prime]에 나누어 넣는 경우의 수는

[eqn: {}_{3} H _{3} TIMES _{3} H _{3} =100]

(가) [eqn: abc=10 ^{5}]

(나) [eqn: a]는 [eqn: 2]의 배수, [eqn: b]는 [eqn: 5]의 배수, [eqn: c]는 [eqn: 10]의 배수이다.

영덕여고/2022년/G6/C

다음 조건을 모두 만족시키는 세 자연수 [eqn: a,``b,``c]의 순서쌍 [eqn: (`a,```b,```c`)]의 개수는? [[eqn: 4.6]점]

①

[eqn: (`a,```b,```c`)]의 세수의 합이 짝수이려면

[eqn: ⅰ)] 짝, 짝, 짝 일 때, [eqn: `_ 4 H _ 3 = ` _ 6 C _ 3 = 20]가지

[eqn: ⅱ)] 하나만 짝 일 때, [eqn: `_ 5 H _ 2 times `_ 4 H _ 1 = `_ 6 C _ 2 times `_ 4 C _ 1 = 15 times 4 = 60]가지

[eqn: 20 + 60 = 80]이다.

(가) 세 수 [eqn: a,``b,``c]의 합은 짝수이다.

(나) [eqn: a leb le c le 9]

① [eqn: 80]	② [eqn: 90]	③ [eqn: 100]
④ [eqn: 110]	⑤ [eqn: 120]

돌마고/2022년/G6/C

연립방정식 [eqn: {cases{&a+b+c+5d+e=20#&#&a+b+c+2d+e=14}} `]를 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a,`b,`c,`d,`e]에 대하여 [eqn: 2]개의 정수만 [eqn: 0]이 되도록 하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b,`c,`d,`e RIGHT )]의 개수는? [[eqn: 4.7]점]

②

연립방정식을 빼면 [eqn: d=2]

[eqn: a+b+c+e=10]

[eqn: i)````] 이 중 [eqn: 2]개의 정수를 골라 [eqn: 0]이 되도록 하는 경우의 수: [eqn: {} _{4} rm C _{2}=6]

[eqn: ii)````]나머지 두 자연수의 중복조합: [eqn: {} _{2} rm H _{8} = _{9} rm C _{8} =9]

[eqn: i)TIMESii)=6TIMES9=54]

① [eqn: 45]	② [eqn: 54]	③ [eqn: 66]
④ [eqn: 165]	⑤ [eqn: 216]

함수의 개수

야탑고/2022년/G6/C

집합 [eqn: X= LEFT { 2,`3,`4,`5 RIGHT }]에서 집합 [eqn: Y= LEFT { 4,`5,`6,`7,`8,`9,`10 RIGHT }]로의 함수 [eqn: f]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는? [[eqn: 4.5]점]

①

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =4]일 때, [eqn: 1 TIMES 1 TIMES _{7} rmH _{2} = _{8} C _{2} =28]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =5]일 때, [eqn: {} _{2} rmH _{1} TIMES 1 TIMES _{6} rm H _{2} =2 TIMES _{7} C _{2} =42]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =6]일 때, [eqn: {} _{3} rmH _{1} TIMES 1 TIMES _{5} rm H _{2} =3 TIMES _{6} C _{2} =45]

[eqn: 28+42+45=115]

(가) [eqn: f(3) le 6 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

(나) 집합 [eqn: X from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 임의의 두 원소 [eqn: x_1 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: x_2 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]에 대하여
[eqn: x_1 < x_2 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]이면 [eqn: f(x_1 ) le f(x_2 ) from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]이다.

① [eqn: 115]	② [eqn: 116]	③ [eqn: 117]
④ [eqn: 118]	⑤ [eqn: 119]

.

분당대진고/2022년(이)/G6/C

두 집합 [eqn: A = left{1,~2,~3,~4,~5,~6 right}], [eqn: B= left{1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8 right}] 에 대하여 [eqn: A]에서 [eqn: B]로의 함수 [eqn: f]중에서 다음 조건을 모두 만족시키는 함수의 개수는? [[eqn: 3.9]점]

③

[eqn: f`LEFT ( 1 RIGHT ) leq f LEFT ( 2 RIGHT ) leq4< f LEFT ( 4 RIGHT ) < f LEFT ( 5 RIGHT ) < f LEFT ( 6 RIGHT )]를 만족해야 하므로

[eqn: `_4{rmH}_2 times _4{rmC}_3 = _5{RmC}_2 times 4 = 40]

(가) [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =4]

(나) [eqn: f`LEFT ( 1 RIGHT ) leq f LEFT ( 2 RIGHT ) leq f LEFT ( 3 RIGHT ) < f LEFT ( 4 RIGHT ) < f LEFT ( 5 RIGHT ) < f LEFT ( 6 RIGHT ) To 20010]

① [eqn: 20]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 80]

성일고/2022년/G6/C

[다음 조건을 만족시키는 서로 다른 삼차함수 [eqn: f(x)]의 개수를 구하는 과정을 논리적으로 서술하시오. [[eqn: 6]점]

[eqn: 56]가지

[eqn: f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d] 라 하면

[eqn: f(1) = a+b+c+d = 6] 이고 [eqn: a]를 제외한 [eqn: b,```c,```d`]는 음이아닌 정수
이므로 [eqn: a=a'+1]이라 하면

[eqn: a'+b+c+d=5]

위 등식을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( a prime ,````b ,````c ,````d RIGHT )] 의 개수는 서로

다른 [eqn: 4`]개에서 [eqn: 5]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: {} _{4} rm H _{5} _{ }][eqn: = _{4+5-1} rm C _{5}]
[eqn: = _{8} rm C _{3}]
[eqn: = {8 TIMES 7 TIMES 6} over {3 TIMES 2 TIMES 1}]
[eqn: =56]

(가) [eqn: f(1) = 6]

(나) 함수 [eqn: f(x)]의 모든 항의 계수와 상수항은 음이 아닌 정수이다.

죽전고/2022년/G6/C

집합 [eqn: X= LEFT { 1,``2,``3,``4,``5 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f:X`->`X]의 개수를 구하고 그 과정을 서술하시오. [[eqn: 7.0]점]

[eqn: 75]가지

조건 (가)에 의하여 [eqn: f(2) TIMESf(3)]은 [eqn: 6]의 배수이므로
다음 네 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다.

(ⅰ) [eqn: f(2)= 2, `~~ f(3) = 3]인 경우

[eqn: f(1) LEQf(2)]이므로 [eqn: f(1)]은 [eqn: 2]가지 ,

[eqn: f(3) LEQf(4) LEQf(5)]이므로 [eqn: 3,~4,~5]에서 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를
택한 후 작은 수부터 크기순으로 정하면 된다.

[eqn: rm _{3} rm H it rm _{2} = rm _{3+2-1} rm C it rm _{2} = rm _{4} rm C it rm _{2} =6]
즉 이 경우의 수는 [eqn: 2`times 6= 12]

(ⅱ) [eqn: f(2)= 3, `~~ f(3) = 2]인 경우

[eqn: f(1) LEQf(2)]이므로 [eqn: f(1)]은 [eqn: 3]가지 ,

[eqn: f(3) LEQf(4) LEQf(5)]이므로 [eqn: 2,~3,~4,~5]에서 중복을 허락하여
[eqn: 2]개를 택한 후 작은 수부터 크기순으로 정하면 된다.
[eqn: rm _{4} rm H it rm _{2} = rm _{4+2-1} rm C it rm _{2} = rm _{5} rm C it rm _{2} =10]
즉 이 경우의 수는 [eqn: 3`times 10= 30]

(ⅲ) [eqn: f(2)= 3, `~~ f(3) = 4]인 경우

[eqn: f(1) LEQf(2)]이므로 [eqn: f(1)]은 [eqn: 3]가지 ,

[eqn: f(3) LEQf(4) LEQf(5)]이므로 [eqn: 4,~5]에서 중복을 허락하여
[eqn: 2]개를 택한 후 작은 수부터 크기순으로 정하면 된다.
[eqn: rm _{2} rm H it rm _{2} = rm _{2+2-1} rm C it rm _{2} = rm _{3} rm C it rm _{2} =3]
즉 이 경우의 수는 [eqn: 3`times 3= 9]

(ⅳ) [eqn: f(2)= 4, `~~ f(3) = 3]인 경우

[eqn: f(1) LEQf(2)]이므로 [eqn: f(1)]은 [eqn: 4]가지 ,

[eqn: f(3) LEQf(4) LEQf(5)]이므로 [eqn: 3,~4,~5]에서 중복을 허락하여
[eqn: 3]개를 택한 후 작은 수부터 크기순으로 정하면 된다.
[eqn: rm _{3} rm H it rm _{2} = rm _{3+2-1} rm C it rm _{2} = rm _{4} rm C it rm _{2} =6]
즉 이 경우의 수는 [eqn: 4`times 6= 24]

그러므로 구하는 함수의 개수는 [eqn: 12+30+9+24 = 75]

(가) [eqn: f(2) TIMESf(3)]는 [eqn: 6]의 배수이다.

(나) [eqn: f(1) LEQf(2)]이고 [eqn: f(3) LEQf(4) LEQf(5)]이다.

성일고/2022년/G6/C

집합 [eqn: X= LEFT { `1,``2,``3,``4,``5,``6` RIGHT }] 에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는? [[eqn: 5.1]점]

④

조건 (가)에 의하여 [eqn: f(3)]은 [eqn: 3]의 배수이므로 다음 두 가지 경우로
나누어 생각할 수 있다.

(ⅰ) [eqn: f(3)=3]인 경우
[eqn: f(1)` ge `f(2)` ge `f(3)]이므로 [eqn: 3,~4,~5,~6]에서 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 택한 후 작은 수부터 크기순으로 [eqn: f(1),~f(2)]의 값으로 정하면 된다.
즉 [eqn: f(1),~f(2)]의 값을 정하는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 4]개에서 [eqn: 2]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: rm _{4} rm H it rm _{2} = rm _{4+2-1} rm C it rm _{2} = rm _{5} rm C it rm _{2} =10]
이 각각에 대하여 [eqn: 3` ge `f(4)` ge `f(5)` ge `f(6)]이므로
[eqn: 1,~2,~3]에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 택한 후 작은 수부터

크기순으로 [eqn: f(4),~f(5),~f(6)]의 값으로 정하면 된다.
즉 [eqn: f(4),~f(5),~f(6)]의 값을 정하는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 3]개에서 [eqn: 3]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: rm _{3} rm H it rm _{3} = rm _{3+3-1} rm C it rm _{3} = rm _{5} rm C it rm _{3} =10]
즉 이 경우의 수는 [eqn: 10`times 10=100]

(ⅱ) [eqn: f(3)=6]인 경우
[eqn: f(1)`ge`f(2)`ge`6]이므로 [eqn: 1]가지

[eqn: 3` ge `f(4)` ge `f(5)` ge `f(6)] 이므로

[eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6]에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 택한 후 큰수부터 크기순으로 [eqn: f(4),~f(5),~f(6)]의 값으로 정하면 된다.
즉 [eqn: f(4),~f(5),~f(6)]의 값을 정하는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 6]개에서 [eqn: 3]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: rm _{6} rm H it rm _{3} = rm _{6+3-1} rm C it rm _{3} = rm _{8} rm C it rm _{3} =56]
즉 이 경우의 수는 [eqn: 1 TIMES 56=56]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 함수의 개수는 [eqn: 100+56=156]

(가) [eqn: f(3)]은 [eqn: 3]의 배수이다.

(나) 집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x_1,````x_2]에 대하여

[eqn: x_1 < x_2]이면 [eqn: f(x_1 ) gef(x_2 )]이다.

① [eqn: 141]	② [eqn: 146]	③ [eqn: 151]
④ [eqn: 156]	⑤ [eqn: 161]

보평고/2022년/G6/C

집합 [eqn: X="{"1,2,3,4,5"}"]에 대하여 함수 [eqn: f: X ~rarrow ~X] 일 때, 다음 물음에 답하시오. [총 8.0점]

(1) [eqn: 126] (2) [eqn: 21]

(1) [eqn: {}_ 5 H _ 5 = {}_ 9 C _5 = 126]

(2) [eqn: f(1) le f(2) <f(3) <f(4) le f(5)]의 조건을 다음과 같이 [eqn: 4]개의 경우로 나누어 생각하면

[eqn: f(1) <f(2)<f(3)<f(4)<f(5)] : 구하는 경우의 수 [eqn: {}_5 C _5 =1]

[eqn: f(1)=f(2)<f(3)<f(4)<f(5)] : 구하는 경우의 수 [eqn: {}_5 C _4 =5]

[eqn: f(1)<f(2)<f(3)<f(4)=f(5)] : 구하는 경우의 수 [eqn: {}_5 C _4 =5]

[eqn: f(1) =f(2)<f(3)<f(4)=f(5)] : 구하는 경우의 수 [eqn: {}_5 C _3 =10]

따라서 조건을 만족하는 모든 함수의 개수는 [eqn: 21]

(1) [eqn: f(1) le f(2) le f(3) le f(4) le f(5)]를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [3.0점]

(2) [eqn: f(1) le f(2) <f(3) <f(4) le f(5)]를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [5.0점]

돌마고/2022년/G6/C

집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5 RIGHT }]에서 [eqn: Y= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5,`6,`7 RIGHT }]로의 함수 [eqn: f] 중에서 다음 조건 (가), (나), (다)를 모두 만족시키는 함수의 개수를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [부분점수 있음. [eqn: 8.0]점]

[eqn: 69]

(가), (나)를 통해 [eqn: f(1),``f(2)]는 홀수, [eqn: f(3)]은 짝수임을 알 수 있다.

[eqn: `f(3)]을 기준으로 분류하자.

[eqn: i)`````````f(3)=2] [eqn: {} _{1} rm H _{2} TIMES _{6} rm H _{2} =21]

[eqn: ii)```````f(3)=4] [eqn: {} _{2} rm H _{2} TIMES _{4} rm H _{2} =30]

[eqn: iii)`````f(3)=6] [eqn: {} _{3} rm H _{2} TIMES _{2} rm H _{2} =18]

[eqn: THEREFORE 21+30+18=69]

(가) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) TIMES f LEFT ( 2 RIGHT )]는 홀수이다.

(나) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) TIMES f LEFT ( 3 RIGHT )]는 짝수이다.

(다) 집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x _{1} ,`x _{2}]에 대하여

[eqn: x _{1} <x _{2}]이면 [eqn: f LEFT ( x _{1} RIGHT ) LEQ f LEFT ( x _{2} RIGHT )]이다.

[eqn: (x+y+z)^n]의 전개식

성남여고/2022년/G6/C

다항식 [eqn: LEFT ( x+y+z+w RIGHT ) ^{5}]의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는? [[eqn: 4.5]점]

①

[eqn: LEFT ( x+y+x+w RIGHT ) ^{5}]의 서로 다른 항의 일반항은 [eqn: {5!} over {a!b!c!d!}][eqn: x ^{a} y ^{b} z ^{c} w ^{d}]이므로

[eqn: a+b+c+d=5] [eqn: (a GEQ 0,~b GEQ 0,~c GEQ 0,~d GEQ 0)]

따라서 구하는 항의 개수는 [eqn: {}_{4} ETA _{5} = _{8} C _{5} = _{8} C _{3} =56]

① [eqn: 56]	② [eqn: 70]	③ [eqn: 120]

④ [eqn: 256]	⑤ [eqn: 625]

홍천고/2022년/G6/C

[eqn: (x+y+z+w) ^8]의 전개식에서 [eqn: x]를 포함하는 서로 다른 항의 개수는? [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: 90]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 150]
④ [eqn: 180]	⑤ [eqn: 210]

②

전개식의 모양은 [eqn: x^a y^b z^c w ^d] ([eqn: a,b,c,d]는 음이 아닌 정수) 꼴이다.

[eqn: a+b+c+d=8] 에서 [eqn: x]를 포함하는 경우는 [eqn: a= 1,2 , cdots, 8] 인 경우이다.

[eqn: a=1] 이면 [eqn: b+c+d=7] 이고 구하는 경우의 수는 [eqn: {}_3 H _7 = {}_9 C _2]

[eqn: a=2] 이면 [eqn: b+c+d=6] 이고 구하는 경우의 수는 [eqn: {}_3 H _6 = {}_8 C _2]

[eqn: cdots]

[eqn: a=8] 이면 [eqn: b+c+d=0] 이고 구하는 경우의 수는 [eqn: {}_3 H _0 = {}_2 C _2]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: {}_2 C_2 + {}_3 C _2 + cdots +{}_9 C_2 = {}_10 C _3 =120]

[eqn: LEFT( ax+ b over x right)^n]의 전개

죽전고/2022년/G7C

[eqn: LEFT ( ax ^{3} + {2} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{4}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 96]이 되도록 하는 양수 [eqn: a]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: sqrt {5}]	⑤ [eqn: 3]

③

전개식의 일반항은 [eqn: {}_{4} C _{r} ` LEFT ( ax^3 RIGHT ) ^{4-r} LEFT ( {2} over {x^2} RIGHT ) ^{r} = _{4} C _{r} `a ^{4-r} CDOT 2 ^{r} CDOT x ^{12-5r}]

[eqn: x^2`]의 항은 [eqn: 12-5r=2]인 경우이므로 [eqn: r=2]

[eqn: x ^{2}`]의 계수가 [eqn: 96]이므로 [eqn: 24a ^{2} = 96]

따라서 [eqn: a`]는 양수이므로 [eqn: a= {2}]

성일고/2022년/G7/C

[eqn: left(`rootx + root2 over x `right)^8 left(`rootx - root2 over x `right)^8]의 전재식에서 [eqn: x^2]의 계수는?
(단, [eqn: x>0]) [[eqn: 4.4]점]

④

[eqn: LEFT ( ` sqrt {x} + {sqrt {2}} over {x} ` RIGHT ) ^{8} LEFT ( ` sqrt {x} - {sqrt {2}} over {x} ` RIGHT ) ^{8} = LEFT ( ` {x} - {{2}} over {x^2} ` RIGHT ) ^{8}]

에서 일반항은

[eqn: ` _{8} C _{r} `(x) ^{8-r} ` LEFT (- {2} over {x ^{2}} RIGHT ) ^{r} =` _{8} C _{r} `{(-2 ^{r}) `x ^{8-3r} `](단, [eqn: r=0,~1,~2,~3,~cdots,~8])

이때 [eqn: x^2]은 [eqn: 8-3r=2]

[eqn: therefore] [eqn: r=2]

따라서 [eqn: x^2]의 계수는 [eqn: (-2) ^{2} CDOT ` _{8} rm C _{2} =112]

① [eqn: -448]	② [eqn: -224]	③ [eqn: -112]
④ [eqn: 112]	⑤ [eqn: 224]

돌마고/2022년/G7/C

다항식 [eqn: LEFT ( {a} over {x} + {x ^{2}} over {2} RIGHT ) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: x ^{4}]의 계수가 [eqn: 20]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

④

[eqn: LEFT ( ax ^{ -1} + {x ^{2}} over {2} RIGHT ) ^{5}]에서 [eqn: x ^{4}]의 계수는 [eqn: 2 ^{-3} TIMES a ^{2} TIMES _{5} rm C _{3}][eqn: = {5} over {4} a ^{2}=20]

[eqn: THEREFOREa=4]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

분당대진고/2022년(이)/G7/C

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT ( x ^{n}+` {2} over {x}} RIGHT )^n]의 전개식에서 [eqn: 1 over x^n]의 계수를 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) times f LEFT ( n+1 RIGHT ) = 2^15]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하고, 그 과정을 자세히 서술하시오. [[eqn: 6]점]

[eqn: n=7]

[eqn: LEFT ( x ^{n}+` {2} over {x}} RIGHT )^n]의 일반항은 [eqn: `_n{rmC}_4 LEFT ( x^2 RIGHT )^r LEFT ( 2 over x RIGHT )^n-r To 20010]로 [eqn: x^3r-n]이다.

[eqn: 3r- n = -n]이므로 [eqn: r=0]일 때 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = `_n{RmC}_ 0 2^n`= 2^n]

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) times f LEFT ( n+1 RIGHT ) = 2^2n+1 =2^15]이므로 [eqn: n=7]

[eqn: (1+x)^n]의 전개

홍천고/2022년/G7/C

자연수 [eqn: n]에 대하여

①

[eqn: {}_{5} C _{0} +7 TIMES _{5} C _{1}+7^2 TIMES _{5} C _{2}+7^3 TIMES _{5} C _{3}+ 7^4 TIMES _{5} C _{4} +7^5 TIMES _{5} C _{5}]

[eqn: = (7+1) ^5 = 8 ^ 5 = 2 ^15]

따라서 [eqn: n=15]

[eqn: {}_{5} C _{0} +7 TIMES _{5} C _{1}+7^2 TIMES _{5} C _{2}+7^3 TIMES _{5} C _{3}+ 7^4 TIMES _{5} C _{4} +7^5 TIMES _{5} C _{5} =2^n]

일 때, [eqn: n]의 값은? [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 21]
④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 27]

판교고/2022년/G7/C

[eqn: {}_15 C_0 times 2^15 + {}_15 C_1 times 2^14 times3`+ _{15} C _{2} TIMES 2 ^{13``} TIMES } 3 ^{2} `+ ``CDOTS `]

③

[eqn: (2+3)^15 = 5^15]

[eqn: + _{15} C _{14} TIMES 2 TIMES 3 ^{14} `+` _{15} C _{15} TIMES 3 ^{15}]의 값은? [4.4점]

① [eqn: 2^15]	② [eqn: 3^15]	③ [eqn: 5^15]
④ [eqn: 6^15]	⑤ [eqn: 7^15]

송림고/2022년/G7/C

[eqn: LEFT ( 2+ { 1} over { x} RIGHT ) (2x+1)^{6} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 전개식에서 [eqn: x ^{3} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 계수는? [4.3점]

① [eqn: 550 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	② [eqn: 560 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	③ [eqn: 570 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]
④ [eqn: 580 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	⑤ [eqn: 590 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

②

[eqn: LEFT ( 2x+1 RIGHT ) ^{6}]의 일반항은 [eqn: {}_{6} rm C _{it r} LEFT ( it 2x RIGHT ) ^{r} = _{6} rm C _{it r} 2 ^{it r}it x ^{r}] ([eqn: 0 LEQ r LEQ 6]인 정수)이므로 [eqn: LEFT ( 2+ { 1} over { x} RIGHT ) (2x+1)^{6} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 전개식의 항은

[eqn: 2 TIMES _{6} rm C _{it r} 2 ^{it r} it x ^{r} = _{6} rm C _{it r} 2 ^{it r+1}it x ^{r}] 또는 [eqn: {1} over {x} TIMES _{6} rm C _{it r} LEFT ( it 2x RIGHT ) ^{r} = _{6} rm C _{it r} 2 ^{it r} it x ^{r-1}]

이다. 따라서 [eqn: x ^{3}]의 계수는

[eqn: {}_{6} rm C _{3} 2 ^{4} + _{6} rm C _{4} 2 ^{4} =20 TIMES 16+15 TIMES 16=560]

이다.

다항식의 전개

보평고/2022년/G7/C

[eqn: (1+x) + (1+x) ^2 + (1+x) ^3 + cdots + (1+x) ^8 + (1+x) ^9]의 전개식에서 [eqn: x^3]의 계수는? [4.6점]

① [eqn: 210]	② [eqn: 180]	③ [eqn: 150]
④ [eqn: 120]	⑤ [eqn: 90]

①

[eqn: {}_3 C _3 + {}_4 C _3 + cdots +{}_9 C _3 = {}_10 C _4 = 210]

판교고/2022년/G7/C

[eqn: (1+x)^3`+(1+x)^4`+(1+x)^5`+`cdots`+(1+x)^19]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수는? [4.1점]

②

파스칼 삼각형의 원리를 이용하면

[eqn: {}_3 C_2 + {}_4 C_2 + {}_5 C_2 + cdots`+`{}_19 C_2 = {}_20 C_3 -1]

① [eqn: 1140]	② [eqn: 1139]	③ [eqn: 1138]
④ [eqn: 1137]	⑤ [eqn: 1136]

야탑고/2022년/I1/B

[eqn: LEFT ( x+1` RIGHT ) ^{2} LEFT ( x+a RIGHT ) ^{4}]의 전개식에서 [eqn: x ^{5}]의 계수가 [eqn: 10]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 7.0]점]

[eqn: a=2]

[eqn: LEFT ( x+1` RIGHT ) ^{2} LEFT ( x+a RIGHT ) ^{4}] [eqn: x ^{5}]의 계수는

[eqn: x ^{2} TIMES][eqn: {} _{4} C _{3} TIMES a][eqn: TIMES][eqn: x ^{3}][eqn: =4a]와

[eqn: 2x ^{} TIMES _{4} C _{4} TIMES x ^{4}][eqn: =2]의 합과 같으므로 [eqn: 4a+2=][eqn: 10]

죽전고/2022년/G7/C

다항식 [eqn: (x ^{3} +1) ^{4} (x ^{4} +3) ^{n}]의 전개식에서 [eqn: x ^{6}]의 계수가 [eqn: 1458]일 때, [eqn: x ^{12}]의 계수는? (단, [eqn: n]은 자연수이다.) [[eqn: 4.2]점]

②

[eqn: (x ^{3} +1) ^{4} (x ^{4} +3) ^{n}]
[eqn: x ^{6}]의 계수는 [eqn: {} _{4} C _{2} TIMES 3 ^{n}][eqn: =1458] [eqn: n=5]

[eqn: x ^{12}]의 계수는 [eqn: 1 TIMES 3 ^{5} +][eqn: 1 TIMES _{5} C _{3}][eqn: TIMES 3 ^{2}][eqn: =][eqn: 243+90][eqn: =333]

① [eqn: 332]	② [eqn: 333]	③ [eqn: 334]	④ [eqn: 335]	⑤ [eqn: 1336]

보평고/2022년/G7/C

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: (x ^{2} +ax) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: x ^{6}]의 계수가 [eqn: 80]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은? [4.4점]

① [eqn: 2 sqrt {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: sqrt {2}]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]

②

[eqn: (x ^{2} +ax) ^{5} = sum _{r=0} ^{5} ` _{5} rmC _{itr} (itx ^{2} ) ^{5-itr} (itax) ^{itr}]

[eqn: {}_{5} rm C _{it r rm} ( it x ^{2} ) ^{5- it r} ( it ax) ^{it r} = _{5} rm C _{it r rm} ita ^{itr} itx ^{10-itr}]

[eqn: x ^{10-r} =x ^{6}]에서 [eqn: r=4]를 얻는다.

[eqn: x ^{6}]의 계수 [eqn: {}_{5} rm C _{4} it a ^{4} =80]이므로 [eqn: a=2]이다.

풍생고/2022년/G7/C

[eqn: (1+x) ^{10} (1+2x) ^{9}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수는? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 329]	② [eqn: 339]	③ [eqn: 349]
④ [eqn: 359]	⑤ [eqn: 369]

⑤

이항정리에 따라 전개식의 일반항은

[eqn: {}_{10} C _{r} 1 ^{10-r} `x ^{r} BULLET _{9} C _{s} 1 ^{9-s} (2x) ^{s}] [eqn: = _{10} C _{r} `` _{9} C _{s} ````2 ^{s} `x ^{r+s}] 이므로

[eqn: x ^{2}]의 계수는 세 가지 경우로 나눌 수 있다.

1) [eqn: r=0``,~s=2] 일 때 [eqn: {}_{10} C _{0} `` _{9} C _{2} ````2 ^{2} =144]

2) [eqn: r=1`,~s=1] 일 때 [eqn: {}_{10} C _{1} `` _{9} C _{1} ````2 ^{1} =180]

3) [eqn: r=2`,~s=0] 일 때 [eqn: {}_{10} C _{2} `` _{9} C _{0} ````2 ^{0} =45]

[eqn: THEREFORE][eqn: x ^{2}]의 계수는 [eqn: 144+180+45=369]

거듭제곱의 나눗셈

보평고/2022년/G7/C

[eqn: a_n = 5^n + 7 ^ n]일 때, [eqn: a_10]을 [eqn: 36]으로 나누었을 때의 나머지를 구한 것은? [4.8점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

②

[eqn: 5` ^{10} = (6- 1)^10 = {}_10 C_0 times 6 ^0 times (-1)^10 + {}_10 C_1 times 6 ^1 times (-1)^9]

[eqn: +{}_10 C_2 times 6 ^2 times (-1) ^8 + cdots + {}_10 C_10 times 6 ^10 times (-1) ^ 0]

세 번째 항 이후로는 모두 [eqn: 36]으로 나누어 떨어지므로 [eqn: 5^n]을 [eqn: 36]으로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: -5], 즉 [eqn: 31]이다.

[eqn: 7` ^{10} = (6+ 1)^10 = {}_10 C_0 times 6 ^0 + {}_10 C_1 times 6 ^1 +{}_10 C_2 times 6 ^2 + cdots + {}_10 C_10 times 6 ^10]

세 번째 항 이후로는 모두 [eqn: 36]으로 나누어 떨어지므로 [eqn: 5^n]을 [eqn: 36]으로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 7]이다.

따라서 [eqn: 5^10 + 7 ^10]을 [eqn: 36]으로 나눈 나머지는 [eqn: 2]이다.

판교고/2022년/G7/C

[eqn: 19^11]을 [eqn: 40]으로 나누었을 때의 나머지는? [4.2점]

①

[eqn: (20-1)^11 = {}_11 C_0 `20^0 (-1)^11 + {}_11 C_1 `20^1 (-1)^10 + {}_11 C_2 `20^2 (-1)^9 + cdots`]

[eqn: +`{}_11 C_11 `20^11]

[eqn: {}_11 C_2 `20^2 (-1)^9 + cdots`][eqn: +`{}_11 C_11 `20^11]은 [eqn: 40`]으로 나누어떨어지므로 나머지는 [eqn: 0`]이다.

[eqn: (20-1)^11 `]을 [eqn: 40`]으로 나눈 나머지는 [eqn: 11`times20-1`]을 나눈 나머지와 같다. 따라서 [eqn: 40`]으로 나눈 나머지는 [eqn: 219]

① [eqn: 19]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 21]
④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 23]

야탑고/2022년/I2/C

오늘이 월요일일 때, 오늘로부터 [eqn: 15 ^{7}]일 후는 무슨 요일인지 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 7.0]점]

화요일

[eqn: x=14]라 하자.

[eqn: (x+1) ^{7} =xQ(x)+1]

이므로 화요일이 답이다.

이항계수

판교고/2022년/G7/C

[eqn: {}_2 C_0 + {}_3 C_1 + {}_4 C_2 + cdots`+`{}_10 C_8]의 값은? [3.7점]

⑤

[eqn: {}_2 C_0 + {}_3 C_1 + {}_4 C_2 + cdots`+`{}_10 C_8 ={}_11 C_8 ={}_11 C_3]

① [eqn: 55]	② [eqn: 80]	③ [eqn: 115]
④ [eqn: 135]	⑤ [eqn: 165]

죽전고/2022년/G7/C

집합 [eqn: A= LEFT { x`|`x는``50``이하의``짝수인``자연수 RIGHT }]의 부분집합 중 원소의 개수가 홀수인 집합의 개수는 [eqn: N]이다. [eqn: log _{2} N]의 값은? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 23]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 25]
④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 27]

②

[eqn: N = rm`_25 C_1 + `_25 C_3 + `_25 C_5 + ```cdots ```+`_25 C_25 = 2^24]

[eqn: log _{2} N =log _{2} 2^24 = 24]

판교고/2022년/G7/C

[eqn: X`=`left{`1`,`2,`3`,`4`,`5`,`6`,`7`,`8`,`9`,`10`right}]의 부분집합 중에서 원소의 개수가 홀수인 부분집합의 개수는?[4.1점]

③

[eqn: {}_10 C_1 + {}_10 C_3 + {}_10 C_5 + cdots`+`{}_10 C_9 = 2^10 over2 = 2^9]

① [eqn: 128]	② [eqn: 256]	③ [eqn: 512]
④ [eqn: 1024]	⑤ [eqn: 2048]

야탑고/2022년/G7/C

집합 [eqn: A=]{[eqn: x`□`x]는 [eqn: 60] 이하의 홀수인 자연수} 의 부분집합 중 원소의 개수가 홀수인 집합의 개수는 [eqn: N]이다. [eqn: log _{2} N] 의 값은? [[eqn: 4.1]점]

②

집합 A의 원소의 개수가 30개 이므로
[eqn: N=][eqn: {} _{30} C _{1} + _{30} C _{3} + _{30} C _{5} + CDOTS + _{30} C _{29} =2 ^{29}]
[eqn: log _{2} 2 ^{29} =29]

① [eqn: 28]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 30]
④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 32]

죽전고/2022년/G7/C

같은 종류의 구슬 [eqn: 5]개와 서로 다른 종류의 구슬 [eqn: 11]개가 있다. 이들 [eqn: 16]개의 구슬 중에서 [eqn: 11]개를 뽑는 경우의 수는? [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 511]	② [eqn: 512]	③ [eqn: 1023]
④ [eqn: 1024]	⑤ [eqn: 2048]

④

서로 다른 종류의 구슬 [eqn: 11]개 중에서 [eqn: r`]개를 택하고 나머지 [eqn: LEFT ( 16-r RIGHT )]개는 같은 종류의 구슬을 택하면 된다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: {} _{11} rm C _{6} + _{11} rm C _{7} + _{11} rm C _{8} + _{11} rm C _{9} + _{11} rm C _{10} + _{11} rm C _{11} =2 ^{10} =1024]

보평고/2022년/G7/C

실수 [eqn: a,b,c] 가 다음 조건을 만족시킬 때 [eqn: a+b+c]의 값을 구한 것은? [4.4점]

③

[eqn: a= 2^11-1 =1024]

[eqn: b=0]

[eqn: c= log_2 2 ^10 =10]

[eqn: a+b+c =1034]

(가) [eqn: {}_{11} C _{1} +{}_11 C_3 +{}_11 C_5 +{}_11 C_5 +{}_11 C_9 +{}_11 C_11 = a]

(나) [eqn: {}_5 C_0 -{}_5 C_1 +{}_5 C_2 - _5 C_3 + {}_5 C_4 - {}_5 C_5 =b]

(다) [eqn: log ( {}_11 C_0 + {}_11 C_1 + {}_11 C_2 + {}_11 C_3 + {}_11 C_4 + {}_11 C_5 ) = c]

① [eqn: 1014]	② [eqn: 1024]	③ [eqn: 1034]
④ [eqn: 1044]	⑤ [eqn: 1054]

판교고/2022년/G7/C

자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: f(n)`=`{}_2n C_1`+`{}_2n C_3`+{}_2n C_5`+`cdots`+{}_2n C_2n-1] 일 때,
[eqn: f(3)]의 값은? [4.3점]

⑤

[eqn: f(n) = 2^2n-1`]이므로 [eqn: f(3) = 2^5]

① [eqn: 512]	② [eqn: 256]	③ [eqn: 128]
④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 32]

보평고/2022년/G7/C

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항이 [eqn: a _{n} = _{it 2n+1} rm C _{1} + _{it 2n+1 rm} rm C _{3} + _{it 2n+1 rm} rm C _{5} +` CDOTS `+ _{it 2n+1 rm} rm C _{it2n+1}]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n}]의 값은? [4.5점]

① [eqn: 1356]	② [eqn: 1360]	③ [eqn: 1364]
④ [eqn: 1368]	⑤ [eqn: 1372]

③

[eqn: {}_{it n} rm C it rm _{1} + _{it n rm } rm C it rm _{3} + _{it n rm } rm C it rm _{5} +` CDOTS `=2 ^{it n-1 rm }]이므로

[eqn: a _{n} = _{it 2n+1} rm C _{1} + _{it 2n+1 rm} rm C _{3} + _{it 2n+1 rm} rm C _{5} +` CDOTS `+ _{it 2n+1 rm} rm C _{it 2n+1 rm} =2 ^{it 2n rm} =4 ^{itn}]이다.

[eqn: THEREFORE ~ sum _{n=1} ^{5} a _{n} = sum _{n=1} ^{5} 4 ^{n} = {4(4 ^{5} -1)} over {4-1} = {4 TIMES 1023} over {3} =4 TIMES 341=1364]

야탑고/2022년/G7/C

등식 [eqn: sum _{r=0} ^{n-1}][eqn: {} _{2n-1} C _{r} =1024]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

③

[eqn: sum _{r=0} ^{n-1}][eqn: {} _{2n-1} C _{r} =2 ^{2n-2} =1024=2 ^{10}] [eqn: n=6]

홍천고/2022년/G7/C

l [eqn: {}_{3} C _{3} + _{4} C _{3} + _{5} C _{3} + CDOTS + {}_10 C _3 + {}_11 C _3] 의 값은? [[eqn: 3.9]점]

① [eqn: 485]	② [eqn: 490]	③ [eqn: 495]
④ [eqn: 500]	⑤ [eqn: 505]

③

[eqn: {}_{3} C _{3} + _{4} C _{3} + _{5} C _{3} + CDOTS + {}_10 C _3 + {}_11 C _3 = {}_12 C_ 4 = 495]

야탑고/2022년/G7/C

등식 [eqn: {} _{9} C _{0} + _{9} C _{2} + _{9} C _{4} + _{9} C _{6} + _{9} C _{8} = _{m} SMALLPROD _{n}]을 만족시키는 자연수 [eqn: m,`n]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( m,`n RIGHT )]의 개수는? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

④

[eqn: {} _{9} C _{0} + _{9} C _{2} + _{9} C _{4} + _{9} C _{6} + _{9} C _{8} =2 ^{8} = _{m} SMALLPROD _{n}]

[eqn: 8]의 약수의 개수는 4개이므로 [eqn: (m,n)]의 개수는 4개이다.

야탑고/2022년/G7/C

[eqn: log _{ 4} LEFT ( _{ 101}C _{ 0}+ _{ 101}C _{ 1}+ _{ 101}C _{ 2}+ CDOTS+ _{ 101}C _{ 50} RIGHT )]의 값은? [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: 42]	② [eqn: 44]	③ [eqn: 46]
④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 50]

⑤

[eqn: LEFT ( {} _{101} C _{0} + _{101} C _{1} + _{101} C _{2} + CDOTS + _{101} C _{50} RIGHT ) =2 ^{100}]
[eqn: log _{4} LEFT ( 2 ^{100} RIGHT )][eqn: =50]

홍천고/2022년/G7/C

부등식 [eqn: 100< {}_{2n} C _{1} + _{2n} C _{3} + _{2n} C _{5} + CDOTS + {}_2n C _2n-1 <3000] 을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은? [[eqn: 4.0]점]

⑤

이항계수의 성질에 의해

[eqn: {}_{2n} C _{1} + _{2n} C _{3} + _{2n} C _{5} + CDOTS + {}_2n C _2n-1 = 2^ 2n-1]이 성립한다.

[eqn: 100<2^2n-1 < 3000], [eqn: 200<2^2n < 6000]

[eqn: 2^8 =256 ,~ 2^ 12 = 4096,~ ~ 2^13 = 1892] 이므로

부등식을 만족시키는 [eqn: n]의 값은 [eqn: 4,5,6]이다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]
④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

돌마고/2022년/G7/C

다음을 만족시키는 정수 [eqn: x,`y,`z]에 대하여 [eqn: x+y+z]의 값은? [[eqn: 4.5]점]

③

[eqn: x+y+z=3x- _{6} rm C _{6} =3 TIMES 2 ^{5} -1=95]

(가) [eqn: {} _{6} rm C _{1} + _{6} C _{3} + _{6} C _{5} =itx]

(나) [eqn: {} _{6} rm C _{1} + _{6} C _{2} + _{6} C _{3} + _{6} C _{4} + _{6} C _{5} = it y]

(다) [eqn: {} _{6} rm C _{1} - _{6} C _{2} + _{6} C _{3} - _{6} C _{4} + _{6} C _{5} - _{6} C _{6} =itz]

① [eqn: 93]	② [eqn: 94]	③ [eqn: 95]
④ [eqn: 96]	⑤ [eqn: 97]

보평고/2022년/G7/C

l [eqn: ({}_{6} C _{0} )^2 + ({}_{6} C _{1} )^2 +({}_{6} C _{2} )^2 + cdots + ({}_{6} C _{6} )^2] 의 값을 다음을 이용하여 구한 것은? [4.7점]

①

(가)에 의해 [eqn: ( _{6} C _{0} ) ^{2} +( _{6} C _{1} ) ^{2} +( _{6} C _{2} ) ^{2} + CDOTS +( _{6} C _{6} ) ^{2} `=` {}_{12} C _6 = 924]

(가) [eqn: (1+x ) ^ 12 = (1+x) ^6 (1+x ) ^6]

(나) [eqn: {}_n C_r = {}_n C_n-r] ([eqn: n]은 자연수, [eqn: r]은 [eqn: 0 le r le n]인 정수)

① [eqn: 924]	② [eqn: 1024]	③ [eqn: 1848]
④ [eqn: 2048]	⑤ [eqn: 4096]

보평고/2022년/G7/C

이항정리를 이용하여 다음 물음에 답하시오. [총 9.0점]

(1) [eqn: 5 & ^7] (2) [eqn: 360]

(1) [eqn: {}_{7} C _{0} + _{7} C _{1} TIMES 2 ^{2} + _{7} C _{2} TIMES 2 ^{4} + _{7} C _{3} TIMES 2 ^{6} + CDOTS + _{7} C _{7} TIMES 2 ^{14} = (1+2^ 2 ) ^7]

이 성립한다.

(2) [eqn: left (1+ 1 over xy right)^4]의 전개식의 일반항은 [eqn: {}_4 C _a times left(1 over xy right)^a 1^4-a = {}_4 C _a times left(1 over xy right)^a] 이고 [eqn: (x-3y)^5]의 전개식의 일반항은 [eqn: {}_5 C_b times x ^ b times (-3y) ^ 5-b]

[eqn: left (1+ 1 over xy right)^4 (x-3y)^5]의 전개식에서 [eqn: x^2 y]항은 [eqn: a=1,~ b=3]이다.

따라서 구하는 계수는 [eqn: {}_4 C _1 times {}_5 C _3 times (-3)^2 =360] 이다,

(1) [eqn: {}_{7} C _{0} + _{7} C _{1} TIMES 2 ^{2} + _{7} C _{2} TIMES 2 ^{4} + _{7} C _{3} TIMES 2 ^{6} + CDOTS + _{7} C _{7} TIMES 2 ^{14}]의 값을

[eqn: a^n]([eqn: a]는 양수, [eqn: n]은 자연수) 꼴로 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [4.0점]

(2) 다항식 [eqn: left (1+ 1 over xy right)^4 (x-3y)^5]의 전개식에서 [eqn: x^2 y]의 계수를 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, 풀이과정에서 이항정리에서 전개식의 일반항을 이용해 구하는 과정이 있어야 함.)

돌마고/2022년/G7/C

그림과 같은 파스칼의 삼각형에서 색칠된 도형 안에 있는 모든 수들의 합은? [[eqn: 4.9]점]

④

맨 아랫줄의 합: [eqn: LEFT ( _{10} rm C _{0} + _{10} rm C _{1} + CDOTS + _{10} rm C _{10} RIGHT ) - _{10} rm C _{0} - _{10} rm C _{10} =2 ^{10} -2=1022]

나머지 두 줄의 합: [eqn: (2+3+ cdots +9) TIMES 2- _{2} rm C _{1} =86]

[eqn: THEREFORE 1022+86=1108]

① [eqn: 1102]	② [eqn: 1104]	③ [eqn: 1106]
④ [eqn: 1108]	⑤ [eqn: 1110]

야탑고/2022년/G7/C

다음 식의 값을 만족하는 모든 [eqn: r]값의 합은? [[eqn: 3.6]점]

①

[eqn: {} _{3} C _{0} = _{4} C _{0}]이고, [eqn: {} _{n-1} C _{r-1} + _{n-1} C _{r} = _{n} C _{r}] 이므로
[eqn: {} _{4} C _{0} + _{4} C _{1} = _{5} C _{1}]과 같이 차례대로 정리하면
[eqn: {} _{3} C _{0} + _{4} C _{1} + _{5} C _{2} + CDOTS + _{99} C _{96} = _{100} C _{100}]

[eqn: {} _{3} C _{0} + _{4} C _{1} + _{5} C _{2} + CDOTS + _{99} C _{96} = _{100} C _{r}]

① [eqn: 100]	② [eqn: 102]	③ [eqn: 104]
④ [eqn: 106]	⑤ [eqn: 108]

분당대진고/2022년(이)/G7/B

[eqn: 3]이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n]각형의 대각선의 수를 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라 하자. [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) +f LEFT ( 4 RIGHT ) +f LEFT ( 5 RIGHT ) +`CDOTS`+f LEFT ( 11 RIGHT )]의 값은? [[eqn: 4.2 To 20010]점]

②

[eqn: f`LEFT ( n RIGHT ) = `_n{rmC}_2 - n]

[eqn: sum _{ k=3} ^{ 11} `_k{rmC}_2 -k][eqn: = _12{RmC}_3 -1- 63][eqn: = 156]

① [eqn: 112]	② [eqn: 156]	③ [eqn: 164]

④ [eqn: 190]	⑤ [eqn: 253]

중복조합과 이항정리(step3)

2.

돌마고/2022년/G5/B

세 가지 모양 [eqn: BIGCIRC ,` TRIANGLE ,` STAR]의 도형이 각각 [eqn: BIGCIRC]가 [eqn: 3]개, [eqn: TRIANGLE]가 [eqn: 4]개, [eqn: STAR]가 [eqn: 4]개 있다. 이 도형을 일렬로 나열할 때 이웃한 두 도형의 모양이 다른 횟수가 [eqn: n]회가 되도록 나열하는 경우의 수를 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라 하자. 예를 들어, [eqn: ' BIGCIRC TRIANGLE TRIANGLE TRIANGLE TRIANGLE BIGCIRC STAR STAR STAR STAR BIGCIRC ']와 같이 나열한 것은 이웃한 두 도형의 모양이 다른 횟수가 [eqn: 4]회이다. [eqn: n]의 최솟값을 [eqn: a], 최댓값을 [eqn: b]라 할 때, [eqn: b+f LEFT ( a RIGHT )]의 값은? [[eqn: 5.0]점]

③

[eqn: BIGCIRC, TRIANGLE, STAR]를 각각 [eqn: A,`B,`C] 라 하자.

어떠한 두 문자도 연속되지 않는 경우가 존재하므로 교차되는 횟수의 최댓값은 [eqn: 10]회, [eqn: b=10]

[eqn: ex) ABCABCABCBC]

[eqn: A,`B,`C] 문자열을 하나의 집합으로 놓고 생각한다면 교차되는 횟수의 최솟값은 [eqn: 2]회, [eqn: a=2], [eqn: LEFT . f(a RIGHT ) =3 ! = 6]

[eqn: THEREFOREb+f(a)=10+6=16]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]
④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

송림고/2022년/G5/B

집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8,~9 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]에서 [eqn: X from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]로의 함수 [eqn: f from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]중에서 다음 조건을 만족시키는 함수의 개수는? [4.5점]

① [eqn: 500 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	② [eqn: 502 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	③ [eqn: 504 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]
④ [eqn: 506 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	⑤ [eqn: 508 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

②

함수 [eqn: f from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]는 [eqn: f(n+1) < f(n) from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]을 만족시키는 [eqn: n from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================][eqn: ( from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================][eqn: 1 LEQ n LEQ 8 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================][eqn: ) from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]이 하나만 존재하는 일대일대응이다.

(ⅰ) [eqn: n=1]인 경우 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) >f(2)<f(3)<f(4)<` CDOTS `<f LEFT ( 9 RIGHT )]
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1]이고, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]만 결정하면 되므로 그 경우의 수는
[eqn: {}_{8} rm C _{1} =8]

(ⅱ) [eqn: n=2]인 경우 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) <f(2)>f(3)<f(4)< f(5)<` CDOTS `<f LEFT ( 9 RIGHT )]
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =1]이면, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) <f LEFT ( 2 RIGHT )]인 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) ,~f LEFT ( 2 RIGHT )]만 결정하면 되므로 그 경우의 수는
[eqn: {}_{8} rm C _{2} =28]
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =2]이면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]이고, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]만 결정하면 되므로 그 경우의 수는
[eqn: {}_{7} rm C _{1} =7]
이므로 모든 경우의 수는 [eqn: 28+7=35]이다.

(ⅲ) [eqn: n=3]인 경우
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) <f(2)<f(3)>f(4)<f(5)<f(6)<` CDOTS `<f LEFT ( 9 RIGHT )]
[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =1]이면, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) <f LEFT ( 2 RIGHT ) <f LEFT ( 3 RIGHT )]인 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) ,~f LEFT ( 2 RIGHT ) ,~f LEFT ( 3 RIGHT )]만 결정하면 되므로 그 경우의 수는
[eqn: {}_{8} rm C _{3} =56]
[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =2]이면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]이고, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) <f LEFT ( 3 RIGHT )]인 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) ,~f LEFT ( 3 RIGHT )]만 결정하면 되므로 그 경우의 수는
[eqn: {}_{7} rm C _{2} =21]
[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =3]이면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1,`~f LEFT ( 2 RIGHT ) =2]이고, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]만 결정하면 되므로 그 경우의 수는
[eqn: {}_{6} rm C _{1} =6]
이므로 모든 경우의 수는 [eqn: 56+21+6=83]이다.

(ⅳ) [eqn: n=4]인 경우
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) <f(2)<f(3)<f(4)>f(5)<f(6)<f LEFT ( 7 RIGHT ) <f LEFT ( 8 RIGHT ) <f LEFT ( 9 RIGHT )]
[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =1]이면, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) <f LEFT ( 2 RIGHT ) <f LEFT ( 3 RIGHT ) <f LEFT ( 4 RIGHT )]인 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )]만 결정하면 되므로 그 경우의 수는
[eqn: {}_{8} rm C _{4} =70]
[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =2]이면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]이고, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) <f LEFT ( 3 RIGHT ) <f LEFT ( 4 RIGHT )]인 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )]만 결정하면 되므로 그 경우의 수는
[eqn: {}_{7} rm C _{3} =35]
[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =3]이면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1,`~f LEFT ( 2 RIGHT ) =2]이고, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )]만 결정하면 되므로 그 경우의 수는
[eqn: {}_{6} rm C _{2} =15]
[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =4]이면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1,`~f LEFT ( 2 RIGHT ) =2,~f LEFT ( 3 RIGHT ) =3]이고, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )]만 결정하면 되므로 그 경우의 수는
[eqn: {}_{5} rm C _{1} =5]
이므로 모든 경우의 수는 [eqn: 70+35+15+5=125]이다.

또한 [eqn: n=5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8]인 경우는 [eqn: n=4,~3,~2,~1]인 경우와 그 경우의 수가 각각 같으므로 가능한 함수의 개수는

[eqn: LEFT ( 8+35+83+125 RIGHT ) TIMES 2=251 TIMES 2=502]

이다.

[참고]

가능한 함수의 개수 [eqn: = sum _{k=1} ^{8} LEFT ( 2 ^{k} -1 RIGHT ) = {2 LEFT ( 2 ^{8} -1 RIGHT )} over {2-1} -8=502]

(가) 함수 [eqn: f from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]는 일대일대응이다.

(나) [eqn: f(n+1) < f(n) from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]을 만족시키는 [eqn: n from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================][eqn: ( from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================][eqn: 1 LEQ n LEQ 8 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================][eqn: ) from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]은 하나만 존재한다.

운중고/2022년(이)/G5/B

두 집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수 [eqn: f] 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수의 개수를 구하고 그 과정을 서술하시오. [[eqn: 7 To 20010]점]

[eqn: 40]

[eqn: f(2)+f(3)=5]이면서 (나) 조건을 만족하는 경우의 수는

(ⅰ) [eqn: f(2)=1], [eqn: f(3)=4]

[eqn: f(1)=1]일 수밖에 없고 [eqn: f(4)]와 [eqn: f(5) To 20010]가 될 수 있는 경우의 수는 [eqn: {} _{4} rm H _{2} = _{5} C _{2} =10]

(ⅱ) [eqn: f(2)=2], [eqn: f(3)=3]

[eqn: f(1)]은 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]가 될 수 있고, [eqn: f(4)]와 [eqn: f(5)]가 될 수 있는 경우의 수는 [eqn: {} _{5} rm H _{2} = _{6} C _{2} =15]이므로 [eqn: 2 TIMES 15=30]

따라서 조건을 만족시키는 함수는 총 [eqn: 10+30=40]개다.

(가) [eqn: f(2)+f(3)=5]

(나) 집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]에 대하여 [eqn: x _{1} <x _{2}]이면 [eqn: f(x _{1} )` LEQ f(x _{2} )]이다.

판교고/2022년/G5/B

집합 [eqn: X`=`left{`1`,`2`,`3`,`4`,5right}], [eqn: Y`=`left{`3`,`4`,`5`,`6`,`7`right}]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f`:`X`rarrowY]의 개수를 [eqn: k]라 할 때, [eqn: 1 over10`k]의 값은? [5.1점]

③

함숫값의 총 합이 짝수이고, [eqn: Y`]에서 짝수의 개수 2개에 대하여 다음과 같이 분류하면 된다.

(i) 짝홀홀홀홀

[eqn: {}_2 C_1 `times`{}_3 C_2 `times`{}_5 C_1 ``times`(2^4 -2) = 420]

(ii) 짝짝짝홀홀

(짝, 홀)의 종류 뽑기 : (2, 1) 또는 (1, 2)

(2, 1) : [eqn: {}_2 C_2 `times`{}_3 C_1 `times`{}_5 C_3 ``times`(2^3 -2) times `1^2 = 180]

(1, 2) : [eqn: {}_2 C_1 `times`{}_3 C_2 `times`{}_5 C_3 ``times`2! =120]

(가) [eqn: f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]는 짝수이다.

(나) 함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: 3]이다.

① [eqn: 58]	② [eqn: 65]	③ [eqn: 72]
④ [eqn: 79]	⑤ [eqn: 86]

홍천고/2022년/G6/B

흰 공 [eqn: 4]개, 검은 공 [eqn: 6]개와 서로 다른 네 상자 [eqn: A,B,C,D]가 있다. 이 [eqn: 10]개의 공을 [eqn: 4]개의 상자에 다음 조건을 만족시키도록 남김없이 나누어 넣는 모든 경우의 수는? (단, 같은 색의 공끼리는 서로 구별하지 않는다.) [[eqn: 4.2]점]

②

흰 공이 들어있지 않은 상자 1개와 검은 공이 들어있지 않은 상자 2개를 결정하는 방법의 수는 [eqn: 12]가지이다.

A 상자에 흰 공이 들어있지 않고, B,C상자에 검은 공이 들어있지 않다고 가정하면, 빈 상자는 존재하지 않으므로 A상자에는 검은공이 적어도 1개 들어있고 마찬가지로 B,C 상자에는 흰 공이 적어도 하나 들어있다고 할 수 있다. 또 D상자에는 검은 공과 흰 공이 각각 하나씩 들어있다.

A상자	B상자 C상자 D상자

●

○

○

○●

나머지 흰 공 1개를 넣는 경우는 3가지

검은 공 4개를 넣는 경우는 [eqn: {}_2 H_4 = 5]가지

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 12 times 3 times 5 = 180]

(가) 흰 공이 들어 있지 않은 상자의 개수는 [eqn: 1]이다.

(나) 검은 공이 들어 있지 않은 상자의 개수는 [eqn: 2]이다.

(나) 모든 상자에는 적어도 한 개의 공이 들어 있다.

① [eqn: 120]	② [eqn: 180]	③ [eqn: 240]
④ [eqn: 300]	⑤ [eqn: 360]

풍생고/2022년/G6/B

방정식 [eqn: x+y+z=k]를 만족하는 음이 아닌 정수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,`y,`z RIGHT )]의 개수가 [eqn: 6] 이상 [eqn: 15] 이하인 [eqn: k]의 값 중 각각의 [eqn: k]의 값에 대하여 방정식 [eqn: a+b+c=k]를 만족하는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b,`c RIGHT )] 중에서 임의로 하나를 택한다.
이때, 택한 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b,`c RIGHT )]에서 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값이 모두 자연수일 확률이 [eqn: {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 4.6]점]

②

[eqn: x+y+z=k]을 만족하는 음이 아닌 정수 순서쌍은

[eqn: {}_{3} H _{k} = _{k+2} C _{2} = {LEFT ( k+2 RIGHT ) LEFT ( k+1 RIGHT )} over {2}]

[eqn: 6 LEQ {LEFT ( k+2 RIGHT ) LEFT ( k+1 RIGHT )} over {2} LEQ 15]

[eqn: 2 LEQ k LEQ 4]

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )] [eqn: k=2]일 때, [eqn: x+y+z=2]을 만족하는 경우의 수는 [eqn: {}_{3} H _{2} =6]

모두 자연수인 경우는 없다.

[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )] [eqn: k=3]일 때, [eqn: x+y+z=3]을 만족하는 경우의 수는 [eqn: {}_{3} H _{3} =10]

모두 자연수인 경우는 [eqn: LEFT ( 1,`1,`1 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( 3 RIGHT )] [eqn: k=4]일 때, [eqn: x+y+z=4]를 만족하는 경우의 수는 [eqn: {}_{3} H _{4} =15]

모두 자연수인 경우는 [eqn: LEFT ( 2,`1,`1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,`2,`1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,`1,`2 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE] 모두 자연수일 확률은 [eqn: {4} over {31}]

① [eqn: 34]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 36]
④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: 38]

송림고/2022년/G6/B

집합 [eqn: X= LEFT { x` vert ` LEFT | x RIGHT | LEQ 4,~x는~0이~아닌~정수 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f:X->X from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 개수를 [eqn: a TIMES 2 ^{b} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]이라고 할 때, [eqn: a+b from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 값을 구하고 풀이 과정을 논술하시오.
(단, [eqn: a from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]는 홀수, [eqn: b from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]는 양의 정수이다.) [7점]

[eqn: 26]

집합 [eqn: X= LEFT { -4,~-3,~-2,~-1,~1,~2,~3,~4 RIGHT }]이므로 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT |]가 될 수 있는 값은 [eqn: 1,~2,~3,~4]이고, 함수 [eqn: left| f(x) right| from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================2]의 최댓값은 [eqn: 4 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]이므로 [eqn: LEFT | f(-4) RIGHT | =4]이고,

[eqn: 4 GEQ LEFT | f(-3) RIGHT | GEQ LEFT | f(-2) RIGHT | GEQ ` CDOTS ` GEQ LEFT | f(4) RIGHT | GEQ 1]

이므로 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT |]를 결정하는 경우의 수는 [eqn: {}_{4} rm H _{7} = _{10} C _{7} = _{10} C _{3} =120]이다. 또한 [eqn: f(x)]의 부호를 결정하는 경우는 각각 [eqn: 2]가지이므로 함수 [eqn: f:X->X from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 개수는

[eqn: 120 TIMES 2 ^{8} = LEFT ( 2 ^{3} TIMES 15 RIGHT ) TIMES 2 ^{8} =15 TIMES 2 ^{11}]

이다. 따라서 [eqn: a+b from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 값은 [eqn: 15+11=26]이다.

(가) 집합 [eqn: X from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 임의의 두 원소 [eqn: x _{1} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: x _{2} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]에 대하여
[eqn: x _{1}<x _{2} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]이면 [eqn: left| f(x _{ 1} ) right| GEQ left| f(x _{ 2} ) right| from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================2]이다.

(나) 함수 [eqn: left| f(x) right| from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================2]의 최댓값은 [eqn: 4 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]이다.

풍생고/2022년/G6/B

빨간 구슬 [eqn: 8]개와 노란 구슬 [eqn: 5]개를 서로 다른 [eqn: 3]개의 상자에 남김없이 나누어 넣을 때, 다음 조건을 만족시키도록 넣는 경우의 수는? (단, 같은 색의 구슬은 서로 구별하지 않는다.) [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 290]	② [eqn: 295]	③ [eqn: 300]
④ [eqn: 305]	⑤ [eqn: 315]

⑤

각 상자에 빨간 구슬을 [eqn: 1]개씩 넣고 남은 [eqn: 5]개의 구슬을 각 상자에 넣은 경우의 수는 [eqn: {}_{3} H _{5} =21]

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )] 노란 구슬 [eqn: 5]개를 모두 한 상자에 넣는 경우

[eqn: 1]가지

[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )] 노란 구슬을 [eqn: LEFT ( 1,`4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,`3 RIGHT )]으로 나누어 두 상자에 넣는 경우

[eqn: 2 TIMES _{3} C _{2} TIMES 2=12]

[eqn: THEREFORE `21 TIMES LEFT ( 3+12 RIGHT ) =315]

(가) 모든 상자에 빨간 구슬을 적어도 하나씩 넣는다.

(나) 어떤 상자에는 노란 구슬을 하나도 넣지 않는다.

판교고/2022년/G6/B

네 명의 학생 [eqn: A`,`B`,`C`,`D]에게 서로 구별되지 않는 같은 종류의 연필 [eqn: 9]개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수는? [4.6점]

④

[eqn: A+B+C+D=9`]에서 [eqn: B`]가 [eqn: C`]보다 더 많은 연필을 받으므로

[eqn: (B`,``C)`=(2`,``1)`,``(3`,``1)`,``(3`,``2), ``(4`,`1)`,``(4`,`2)`,``(4`,``3)`,`]

[eqn: `(5`,`1)`,``(5`,`2)`,``(6`,``1)]

[eqn: {}_2 H_4 + {}_2 H_3 + {}_2 H_2 times 2`+`{}_2 H_1 times2 +{}_2 H_0 times3 ` = 22]

(가) 각 학생은 적어도 [eqn: 1]개의 연필을 받는다.

(나) 학생 [eqn: B]는 학생 [eqn: C]보다 더 많은 연필을 받는다.

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]
④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

성남여고/2022년/G6/B

다른 조건을 만족시키는 양의 정수 [eqn: a,~b,~c,~d]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b,~c,~d RIGHT )]의 개수를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [[eqn: 10.0]점]

[eqn: 224]

[eqn: a+b+c+d=20]

[eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 2]인 양의 정수 선택 [eqn: {}_{4} C _{1} =4]가지 [eqn: CDOTS 1)]

네 수를 [eqn: 3x+1,~3y+1,~3z+1,~3w+2]라 하면

[eqn: LEFT ( 3x+1 RIGHT ) + LEFT ( 3y+1 RIGHT ) + LEFT ( 3z+1 RIGHT ) + LEFT ( 3w+2 RIGHT ) =20]

[eqn: 3 LEFT ( x+y+z+w RIGHT ) +5=20]

[eqn: x+y+z+w=5] [eqn: LEFT ( x GEQ 0,~y GEQ 0,~z GEQ 0,~w GEQ 0 RIGHT )]

[eqn: {}_{4} ETA _{5} = _{8} C _{5} = _{8} C _{3} = {8·7·6} over {3·2·1} =56] [eqn: CDOTS 2)]

[eqn: 1),`2)]에 의해 구하는 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b,~c,~d RIGHT )]의 개수는 [eqn: 4·56=224]

(가) [eqn: a+b+c+d=20]

(나) [eqn: a,~b,~c,~d] 중에서 [eqn: 3]개는 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가

[eqn: 1]이고, [eqn: 1]개는 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 2]이다.

돌마고/2022년/G6/B

흰 공 [eqn: 12]개, 검은 공 [eqn: 12]개, 파란 공 [eqn: 12]개 중에서 [eqn: 12]개의 공을 임의로 택하여 세 상자 [eqn: rmA,`B,`C]에 각각 [eqn: 4]개씩 넣을 때, 상자 [eqn: rmA]와 상자 [eqn: rmB]에 넣은 흰 공의 총 개수가 [eqn: 5]이고, 상자 [eqn: rmC]에 넣은 파란 공의 개수가 상자 [eqn: rmA]에 넣은 흰 공의 개수와 같은 경우의 수는? (단, 같은 색의 공은 구분하지 않는다.) [[eqn: 5.3]점]

③

[eqn: A]와 [eqn: B]에 들어가는 흰 공의 개수의 순서쌍에 따라 경우의 수를 분류하자.

[eqn: i)```(A,B)=(4,1)`````````````` _{2} rm H _{3} TIMES ( _{2} rm H _{0} ) ^{2} =4]

[eqn: ii)```(A,B)=(3,2)`````````````` _{2} rm H _{2} TIMES ( _{2} rm H _{1} ) ^{2} =12]

[eqn: iii)```(A,B)=(2,3)`````````````` _{2} rm H _{1} TIMES ( _{2} rm H _{2} ) ^{2} =18]

[eqn: iv)```(A,B)=(1,4)````````````` _{2} rm H _{0} TIMES ( _{2} rm H _{3} ) ^{2} =16]

[eqn: THEREFORE4+12+18+16=50]

① [eqn: 48]	② [eqn: 49]	③ [eqn: 50]
④ [eqn: 51]	⑤ [eqn: 52]

보평고/2022년/G6/B

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: u]의 모든 순서쌍 [eqn: (x,```y,```z,```u)]의 개수를 구한 것은? [5.0점]

⑤

(ⅰ) [eqn: u=1]일 때

[eqn: x+y+z LEQ 14]에서

[eqn: x+y+z+w=14] ([eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]는 자연수, [eqn: w]는 음이 아닌 정수)

[eqn: (x`'+1)+(y`'+1)+(z`'+1)+w=14]

[eqn: x`'+y`'+z`'+w=11] ([eqn: x`'], [eqn: y`'], [eqn: z`'], [eqn: w]는 음이 아닌 정수)

이를 만족하는 경우의 수는 [eqn: {}_{4} rmH _{11} = _{14} C _{11} = _{14} C _{3} = {14 TIMES 13 TIMES 12} over {3 TIMES 2 TIMES 1} =364]

(ⅱ) [eqn: u=2]일 때

[eqn: x+y+z LEQ 7]에서

[eqn: x+y+z+w=7] ([eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]는 자연수, [eqn: w]는 음이 아닌 정수)

[eqn: (x` prime +1)+(y` prime +1)+(z` prime +1)+w=7]

[eqn: x` prime +y` prime +z` prime +w=4] ([eqn: x`'], [eqn: y`'], [eqn: z`'], [eqn: w]는 음이 아닌 정수)

이를 만족하는 경우의 수는

[eqn: {}_{4} rm H _{4} = _{7} C _{4} = _{7} C _{3} = {7 TIMES 6 TIMES 5} over {3 TIMES 2 TIMES 1} =35]

따라서 모든 순서쌍의 개수는 [eqn: 364+35=399]이다.

[eqn: x+y+z+u ^{3} LEQ 15]

① [eqn: 395]	② [eqn: 396]	③ [eqn: 397]
④ [eqn: 398]	⑤ [eqn: 399]

보평고/2022년/G6/B

흰 공 [eqn: 3]개와 검은 공 [eqn: 6]개를 세 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 남김없이 나누어 넣을 때, 각 상자에 공이 [eqn: 1]개 이상씩 들어가도록 나누어 넣는 경우의 수를 구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.) [5.0점]

[eqn: 199]

세 상자에 들어가는 흰 공의 개수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 하면 [eqn: a+b+c=3]이므로 세 상자에 흰 공을 나누어 넣는 경우의 수는 [eqn: {}_{3} rmH _{3} = _{5} C _{3} = _{5} C _{2} =10]이다.

세 상자에 들어가는 검은 공의 개수를 각각 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]라 하면 [eqn: x+y+z=6]이므로 세 상자에 검은 공을 나누어 넣는 경우의 수는 [eqn: {}_{3} rm H _{6} = _{8} C _{6} = _{8} C _{2} =28]이다.

따라서 흰 공 [eqn: 3]개와 검은 공 [eqn: 6]개를 세 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 남김없이 나누어 넣는 전체 경우의 수는 [eqn: 10 TIMES 28=280]이다.

(단, 빈 상자가 있을 수 있다.)

두 상자에만 공을 나누어 넣는 경우의 수를 마찬가지로 구하면

[eqn: {}_{3} rmC _{2} TIMES _{2} rm H _{3} TIMES _{2} H _{6} =3 TIMES _{4} C _{3} TIMES _{7} C _{6} =84]이다.

[eqn: rmA], [eqn: rmB]에만 담는 경우 / [eqn: rmA], [eqn: rmC]에만 담는 경우 / [eqn: rmB], [eqn: rmC]에만 담는 경우가 있는데 이 중 [eqn: rmA]에만 담는 경우, [eqn: rmB]에만 담는 경우, [eqn: rmC]에만 담는 경우가 중복되어 있다.

따라서 문제에서 구하는 경우의 수는 [eqn: 280-84+3=199]이다.

풍생고/2022년/G6/B

부등식 [eqn: x+y+z LEQ k]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,`y,`z RIGHT )]의 개수가 [eqn: 100] 이하가 되도록 하는 정수 [eqn: k]의 최댓값은? [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

④

부등식 [eqn: x+y+z LEQ k]만족하는 순서쌍의 개수는

[eqn: {}_{3} H _{0} + _{3} H _{1} + _{3} H _{2} +` CDOTS + _{3} H _{k} LEQ 100]

[eqn: {}_{2} C _{0} + _{3} C _{1} + _{4} C _{2} +` CDOTS + _{2+k} C _{k} LEQ 100]

[eqn: {}_{3+k} C _{k} LEQ 100]

[eqn: {LEFT ( k+3 RIGHT ) LEFT ( k+2 RIGHT ) LEFT ( k+1 RIGHT )} over {6} LEQ 100]

[eqn: THEREFORE] 정수 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 6]

보평고/2022년/G6/B

검은 공 [eqn: 3]개, 흰 공 [eqn: 3]개, 빨간 공 [eqn: 3]개가 있다. 이 [eqn: 9]개의 공 중에서 [eqn: 5]개를 선택하여 [eqn: 2]명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는? (단, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않고, 공을 한 개도 받지 못하는 학생은 없다.) [5.1점]

⑤

검은 공을 [eqn: a], 흰 공을 [eqn: b,] 빨간 공을 [eqn: c]라 하자.

㉠ [eqn: aaabb] 꼴

같은 색의 공을 각각 [eqn: 3]개 [eqn: 2]개씩 선택하는 경우의 수는 [eqn: 6]가지

이 [eqn: 5]개의 공을 두 그룹으로 나는 방법은

[eqn: 4 +1] : [eqn: 2]가지 ([eqn: 1]개 받는 사람이 받는 공 [eqn: a,b])

[eqn: 3+2] : [eqn: 3]가지 ([eqn: 2]개 받는 사람이 받는 공 [eqn: aa,bb,ab])

구하는 경우의 수는 [eqn: 6times 5 times 2! = 60]

㉡ [eqn: aaabc] 꼴

같은 색의 공을 [eqn: 3]개 나머지 색의 공을 각각 [eqn: 1]개씩 선택하는 경우의 수는 [eqn: 3]가지

이 [eqn: 5]개의 공을 두 그룹으로 나는 방법은

[eqn: 4 +1] : [eqn: 3]가지 ([eqn: 1]개 받는 사람이 받는 공 [eqn: a,b,c])

[eqn: 3+2] : [eqn: 4]가지 ([eqn: 2]개 받는 사람이 받는 공 [eqn: aa,ab,ac,bc])

구하는 경우의 수는 [eqn: 3times 7 times 2! = 42]

㉢ [eqn: aabbc] 꼴

같은 색의 공을 각각 [eqn: 2]개씩 선택하는 경우의 수는 [eqn: 3]가지

이 [eqn: 5]개의 공을 두 그룹으로 나는 방법은

[eqn: 4 +1] : [eqn: 3]가지 ([eqn: 1]개 받는 사람이 받는 공 [eqn: a,b,c])

[eqn: 3+2] : [eqn: 5]가지 ([eqn: 2]개 받는 사람이 받는 공 [eqn: aa,bb,ab,ac,bc])

구하는 경우의 수는 [eqn: 3times 8 times 2! = 48]

따라서 구하는 모든 경우의 수는 [eqn: 60+42+48=150]

① [eqn: 60]	② [eqn: 85]	③ [eqn: 108]
④ [eqn: 120]	⑤ [eqn: 150]

분당대진고/2022년(이)/G6/B

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a,~b,~c,~d,~e]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b,~c,~d,~e RIGHT )]의 개수를 구하고, 그 과정을 자세히 서술하시오. [[eqn: 7]점]

[eqn: 241]가지.

[eqn: 0 leq 6 LEFT ( d+e RIGHT ) <18]이므로 [eqn: 0 leq d+e < 3]

ⅰ) [eqn: d+e =0,~ a+b+c=0 To 20010]일 때, [eqn: 1]가지.

ⅱ) [eqn: d+e =1,~ a+b+c= 5]일 때, [eqn: `_2{rmH}_1 times _3{rmH}_5 = 42]

ⅲ) [eqn: d+e=2,~ a+b+c = 10]일 때, [eqn: `_2{RmH}_2 times _3{RmH}_10 = 198]

[eqn: therefore~241]

(가) [eqn: a+b+c = 5 LEFT ( d+e RIGHT )]

(나) [eqn: 0 leq a+b+c+d+e < 18]

홍천고/2022년/G6/B

네 명의 학생 [eqn: A,B,C,D]에게 같은 종류의 초콜릿 [eqn: 6]개와 같은 종류의 사탕 [eqn: 2]개를 남김없이 나누어 줄 때, 각 학생이 초콜릿 또는 사탕을 [eqn: 1]개 이상 받도록 나누어 주는 경우의 수를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [[eqn: 7.0]점]

[eqn: 290]

㉠ 사탕 [eqn: 2]개를 1명에게 모두 나누어 주는 경우, 나머지 3명은 초콜릿을 적어도 하나 이상 받는다. 구하는 경우의 수는 [eqn: {}_4 C_1 times {}_ 4 H _3] [eqn: =80]

㉡ 사탕 [eqn: 2]개를 2명에게 한 개씩 나누어 주는 경우, 나머지 2명은 초콜릿을 적어도 하나 이상 받는다. 구하는 경우의 수는 [eqn: {}_4 C _2 times {}_ 4 H_4 = 210]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 80+ 210= 290]

야탑고/2022년/G6/B

집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5 RIGHT }]에서 집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5 RIGHT }]로의 함수 [eqn: f]중 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는? [[eqn: 5.2]점]

⑤

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =1,~f LEFT ( 5 RIGHT ) =5]일 때, 나머지 치역의 원소를 [eqn: a]라 하면

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) ,f LEFT ( 2 RIGHT ) ,f LEFT ( 3 RIGHT )]의 경우의 수는 [eqn: {} _{3} rmH _{3} - _{2} H _{3} = _{5} C _{3} - _{4} C _{3} =6]

[eqn: 3 TIMES 6=18]가지

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =3,~f LEFT ( 5 RIGHT ) =3]일 때, 나머지 치역의 원소를 [eqn: a,~b]라 하면

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) ,f LEFT ( 2 RIGHT ) ,f LEFT ( 3 RIGHT )]의 경우의 수는 전부 [eqn: a,`b]에 대응하거나 [eqn: a,`b,`3]에 하나씩 대응해야 하므로 [eqn: rm {} _{2} H _{3} +1= _{4} C _{3} +1=5]

[eqn: a,`b]를 뽑는 경우를 고려하면 [eqn: {} _{4} rm C _{2} TIMES 5=30]가지

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) +f LEFT ( 5 RIGHT ) =1+5=2+4=3+3=4+2=5+1] 이므로

[eqn: 18 TIMES 4+30 TIMES 1=102] 가지다.

(가) [eqn: f from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: 3 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]개다.

(나) [eqn: f(4)+f(5)=6 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

(다) [eqn: f(1) le f(2) le f(3) from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

① [eqn: 90]	② [eqn: 93]	③ [eqn: 96]
④ [eqn: 99]	⑤ [eqn: 102]

야탑고/2022년/G6/B

방정식 [eqn: a+b+c+d+e=23]을 만족시키는 양의 정수 [eqn: a,`b,`c,`d,`e]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b,`c,`d,`e RIGHT )]의 개수를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [총 [eqn: 8]점]

(1) [eqn: 495 from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================] (2) [eqn: 1820 from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================]

(1) [eqn: a=2a prime ,``b=2b prime ,``c=2c prime -1,``d=2d` prime -1,``e=2e prime -1]

라 하자 (단, [eqn: a',b',c',d',e']은 자연수이다.)

문제의 식을 정리하면 [eqn: a prime +b prime +c prime +d prime +e prime =13`]이므로

[eqn: {} _{5} rm H _{8} = _{12} rm C _{4} =495]

(2) [eqn: a+b+c+d+e=23]을

[eqn: (a'+1)+(b'+1)+(c'+2)+(d'+3)+(e'+4)=23,]

[eqn: a prime +b prime +c prime +d` prime +e prime =12`]이므로

[eqn: {} _{5} rm H _{12}={} _{16} rm C _{4}=1820]

(1) [eqn: a,`b]는 짝수이고 [eqn: c,`d,`e]는 홀수일 때 [[eqn: 4]점]

(2) [eqn: c GEQ 2,~d GEQ 3,~e GEQ 4]일 때 [[eqn: 4]점]

운중고/2022년(이)/G6/B

다음 조건을 만족시키는 네 자연수 [eqn: x _{1} ,~x _{2} ,~x _{3} ,~x _{4}]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( x _{1} ,~x _{2} ,~x _{3} ,~x _{4} RIGHT )]의 개수는? [[eqn: 5.0]점]

⑤

(ⅰ) [eqn: x _{1} ,~x _{2} ,~x _{4}] 중 짝수가 [eqn: 3]개일 때
[eqn: x _{3}]도 짝수이므로

[eqn: x _{1} =2a+2,~x _{2} =2b+2,~x _{3} =2c+2,~x _{4} =2d+2]
([eqn: a,~b,~c,~d]는 음이 아닌 정수)라고 할 수 있다.
[eqn: a+b+c+d=6] 이므로 [eqn: {}_{4} rm H _{6} = _{9} C _{6} = _{9} C _{3} =84]이다.

(ⅱ) [eqn: x _{1} ,~x _{2} ,~x _{4}] 중 짝수가 [eqn: 1]개일 때
[eqn: x _{1} =2a+2,~x _{2} =2b+1,~x _{3} =2c+2,~x _{4} =2d+1 To 20010]
([eqn: a,~b,~c,~d]는 음이 아닌 정수)라고 할 수 있다.
[eqn: a+b+c+d=7] 이므로 [eqn: {}_{4} rm H _{7} = _{10} C _{7} = _{10} C _{3} =120]이다.
[eqn: x _{1}]외에 [eqn: x _{2} ,~x _{4}]도 짝수인 경우가 있으므로
구하는 경우의 수는 [eqn: 120 TIMES 3=360]이다.

따라서 모든 순서쌍의 개수는 [eqn: 444]이다.

(가) [eqn: x _{1} +x _{2} +x _{3} +x _{4} =20]

(나) 세 수 [eqn: x _{1,} ~x _{2} ,~x _{4}]의 합은 짝수이다.

① [eqn: 204]	② [eqn: 264]	③ [eqn: 324]

④ [eqn: 384]	⑤ [eqn: 444 To 20010]

성남여고/2022년/G6/A

[eqn: 5]이하의 자연수 [eqn: a,~b,~c,~d]에 대하여 부등식

④

[eqn: 5]이하의 자연수 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b,~c,~d RIGHT )]의 개수는

[eqn: c=1]일 때, [eqn: 1 LEQ a LEQ b LEQ 2 LEQ d LEQ 5] [eqn: {}_{2} ETA _{2} ·4= _{3} C _{2} ·4=12]개

[eqn: c=2]일 때, [eqn: 1 LEQ a LEQ b LEQ 3 LEQ d LEQ 5] [eqn: {}_{3} ETA _{2} ·3= _{4} C _{2} ·3=18]개

[eqn: c=3]일 때, [eqn: 1 LEQ a LEQ b LEQ 4 LEQ d LEQ 5] [eqn: {}_{4} ETA _{2} ·2= _{5} C _{2} ·2=20]개

[eqn: c=4]일 때, [eqn: 1 LEQ a LEQ b LEQ 5= d] [eqn: {}_{5} ETA _{2} ·1= _{6} C _{2} ·1=15]개

따라서 순서쌍의 개수는 [eqn: 12+18+20+15=65]

[eqn: a LEQ b LEQ c+1 LEQ d]

를 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b~c,~d RIGHT )]의 개수는? [[eqn: 5.3]점]

① [eqn: 35]	② [eqn: 45]	③ [eqn: 55]

④ [eqn: 65]	⑤ [eqn: 75]

홍천고/2022년/G6/A

두 집합 [eqn: X="{"1,2,3,4,5,6"}",~ Y="{"1,2,3,4,5,10,15"}"]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 집합 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수 [eqn: f]의 개수는? [[eqn: 4.4]점]

②

문제의 조건에서 치역의 원소는 [eqn: 10]이 될 수 없다.

㉠ 치역의 원소의 개수가 [eqn: 1]개인 경우

함수의 개수는 [eqn: 6]가지

㉡ 치역의 원소의 개수가 [eqn: 2]개인 경우

가능한 치역의 개수는 [eqn: {}_6 C _2 -4 =11]가지

([eqn: "{"2,5"}" ,~"{"2,15"}",~ "{"4,5"}",~"{"4,15"}"]제외 )

이 때 함수의 개수는 [eqn: 2]개의 원소에 대응되는 정의역의 원소의 개수를 세는 것으로 할 수 있다. 예를 들어, 치역이 [eqn: "{"2,5"}"]일 때, [eqn: 2]에 대응하는 정의역의 원소의 개수를 [eqn: a], [eqn: 5]에 대응하는 정의역의 원소의 개수를 [eqn: b]라 하면 [eqn: a+b=6] ([eqn: a,b]자연수) 를 만족하는 순서쌍의 개수와 같으므로, [eqn: {{}_2 H _4 = {}_5 C _4 = 5]

따라서 치역의 원소의 개수가 [eqn: 2]개인 함수의 개수는 [eqn: 11times 5 =55]

㉢ 치역의 원소의 개수가 [eqn: 3]개인 경우

치역의 개수 [eqn: :8]가지

함수의 개수 : [eqn: {}_3 H _3 =10]

따라서 치역의 원소의 개수가 [eqn: 3]개인 함수의 개수는 [eqn: 8 times 10 =80]

㉣ 치역의 원소의 개수가 [eqn: 4]개인 경우

치역의 개수 : [eqn: 2]가지

함수의 개수 : [eqn: {}_4 H _2 =10]

따라서 치역의 원소의 개수가 [eqn: 3]개인 함수의 개수는 [eqn: 2 times 10 =20]

㉠, ㉡, ㉢, ㉣에서 함수의 개수는 [eqn: 6+ 55+ 80+20 =161]가지이다.

(가) 집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x_1 , x_2]에 대하여

[eqn: x_1 < x_2]이면 [eqn: f(x_1 ) le f( x_2 )]이다.

(나) 집합 [eqn: "{"f(x) ~ | ~x in X "}"]의 모든 원소의 곱은 [eqn: 10]의 배수가 아니다.

① [eqn: 160]	② [eqn: 161]	③ [eqn: 162]
④ [eqn: 163]	⑤ [eqn: 164]

성남여고/2022년/G6/A

빨간 공, 노란 공, 파란 공이 있다. 각 색의 공을 적어도 하나씩 포함하여 [eqn: 10]개 이하의 공을 선택하는 경우의 수는 ? (단, 각 색의 공은 [eqn: 10]개 이상씩 있고, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않는다.) [[eqn: 5.5]점]

①

빨간 공, 노란 공, 파란 공의 개수를 각각 [eqn: a,~b,~c]라 하면

[eqn: a+b+c LEQ 10] [eqn: LEFT ( a GEQ 1,~b GEQ 1,~c GEQ 1 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( a-1 RIGHT ) + LEFT ( b-1 RIGHT ) + LEFT ( c-1 RIGHT ) LEQ 7] 이므로

[eqn: {}_{3} ETA _{0} + _{3} ETA _{1} +` CDOTS `+ _{3} ETA _{7} = _{2} C _{0} + _{3} C _{1} + _{4} C _{2} +` CDOTS `+ _{9} C _{7}]

[eqn: = _{3} C _{0} + _{3} C _{1} + _{3} C _{2} +` CDOTS `+ _{9} C _{7}] (파스칼의 삼각형에 따라)

[eqn: = _{9} C _{6} `+ _{9} C _{7} = _{10} C _{7} = _{10} C _{3} = {10·9·8} over {3·2·1} =120]

① [eqn: 120]	② [eqn: 125]	③ [eqn: 130]

④ [eqn: 135]	⑤ [eqn: 140]

홍천고/2022년/G7/B

전체집합 [eqn: U="{"1,2,3, cdots ,10"}"]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 공집합이 아닌 두 집합 [eqn: A,B]의 모든 순서쌍 [eqn: (A,B)]의 개수는? [[eqn: 4.1]점]

⑤

[eqn: A]의 원소의 개수가 0개인 경우 [eqn: {}_10 C_0] (공집합)

[eqn: A]의 원소의 개수가 1개인 경우 [eqn: {}_10 C_1]

[eqn: cdots]

[eqn: A]의 원소의 개수가 1개인 경우 [eqn: {}_10 C_10]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: {}_10 C_0 + {}_10 C_1 +{}_10 C_2 + cdots + {}_10 C_10 = 2^10]

그런데 [eqn: A,B]가 각각 공집합인 경우 [eqn: 2]가지를 제외해야 하므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 1022]

(가) [eqn: A cap B= emptyset]

(나) [eqn: A cup B= U]

① [eqn: 1014]	② [eqn: 1016]	③ [eqn: 1018]
④ [eqn: 1020]	⑤ [eqn: 1022]

성남여고/2022년/G7/B

[eqn: p]가 소수일 때, [eqn: LEFT ( px+ {1} over {x} RIGHT ) ^{n}]의 [eqn: x]에 대한 전개식에서 상수항이 [eqn: 540]이다. 자연수 [eqn: n]의 값은? [[eqn: 5.7]점]

④

[eqn: LEFT ( px+ {1} over {x} RIGHT ) ^{n}]의 일반항이 [eqn: {}_{n} C _{r} · LEFT ( px RIGHT ) ^{r} · LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) ^{n-r} = _{n} C _{r} ·p ^{r} ·x ^{2r-n}]이므로

[eqn: 2r-n=0], [eqn: n=2r]일 때 상수항이므로 계수는 [eqn: {}_{2r} C _{r} p ^{r} =540]

[eqn: r=1]일 때, [eqn: 2p=540] [eqn: p=270 !=]소수

[eqn: r=2]일 때, [eqn: 6p ^{2} =540] [eqn: p ^{2} =90] [eqn: p= +- 3 sqrt {10} !=]소수

[eqn: r=3]일 때, [eqn: 20p ^{3} =540] [eqn: p ^{3} =27] [eqn: p=3=]소수 성립

따라서 [eqn: n=2·3=6]

홍천고/2022년/G7/B

[eqn: left (x^2 +root2 over x right) + left (x^2 +root2 over x right)^2 + left (x^2 +root2 over x right)^3 + cdots + left (x^2 +root2 over x right)^10]의 전개식에서 상수항을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [[eqn: 7.0]]

[eqn: 738]

[eqn: left (x^2 +root2 over x right) ^n]이 전개식의 일반항은

[eqn: {}_n C _r left(root2 over x right) ^r (x&^2 )^ n-r = {}_n C _r (root 2 ) ^r times (x) ^2n-3r]

상수항이 되려면 [eqn: 2n-3r=0]

[eqn: n=3,r=2]일 때 계수는 [eqn: {}_3 C_2 times (root 2 ) ^2 = 6]

[eqn: n=6,r=4]일 때 계수는 [eqn: {}_6 C_4 times (root 2 ) ^4 = 60]

[eqn: n=9,r=6]일 때 계수는 [eqn: {}_9 C_6 times (root 2 ) ^6 = 672]

따라서 상수항은 [eqn: 6+60+ 672 = 738]

운중고/2022년(이)/G7/B

[eqn: LEFT ( x- {1} over {4x} RIGHT ) ^{2} LEFT ( 2x+a RIGHT ) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: x ^{3}]의 계수가 [eqn: 452]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은? [[eqn: 4.9]점]

③

[eqn: 3]차 항은 다음 세 가지 경우로 얻어진다.

(ⅰ) [eqn: {} _{2} {rm C} _{2}x ^{2} BULLET _{5} {rm C} _{1} LEFT ( 2x RIGHT ) ^{1} a ^{4} =10a ^{4}x^3]

(ⅱ) [eqn: {} _{2} {rm C} _{1}x LEFT ( - {1} over {4x} RIGHT ) BULLET _{5} {rm C} _{3}LEFT ( 2x RIGHT ) ^{3} a ^{2} =-40a ^{2}x^3]

(ⅲ) [eqn: {} _{2} {rm C} _{0}LEFT ( - {1} over {4x} RIGHT ) ^{2} BULLET _{5} {rm C} _{5}LEFT ( 2x RIGHT ) ^{5} =2x^3]

따라서 [eqn: 10a ^{4} -40a ^{2} +2=452]이고, [eqn: a ^{4} -4a ^{2} -45=0], [eqn: a ^{2} =9]이다.

양수 [eqn: a]는 [eqn: 3]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2 To 20010]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

분당대진고/2022년(이)/G7/A

다항식 [eqn: x`LEFT ( a+x RIGHT )^n]의 전개식에서 [eqn: x^n-1]의 계수와 다항식 [eqn: 4 left{ LEFT ( a+x RIGHT )^n - LEFT ( a-x RIGHT )^n right}]의 전개식에서 [eqn: x^n-1]의 계수가 같게 되는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~n RIGHT )]의 개수는?

①

[eqn: x`LEFT ( a+x RIGHT )^n]에서 [eqn: x^n-1]의 계수 : [eqn: `_n{RmC}_ n-2 a^2]

[eqn: 4 left{ LEFT ( a+x RIGHT )^n - LEFT ( a-x RIGHT )^n right}]에서 [eqn: x^n-1]의 계수 :

[eqn: n]이 홀수 일 때 : [eqn: 0]

[eqn: n]이 짝수일 때 : [eqn: 4 times 2 times _n{rmC}_n-1 a]

두 다항식에서 [eqn: x^n-1]의 계수가 같아야하므로 [eqn: n]은 짝수이고

[eqn: `_n{rmC}_ n-2 a^2 = 8a _n{rmC}_n-1] 즉 [eqn: a LEFT ( n-1 RIGHT ) =1 6 To 20010]

[eqn: n]이 짝수이므로 [eqn: n=2] [eqn: a=16]으로 한 개만 가능하다.

(단, [eqn: a]는 자연수이고, [eqn: n]은 [eqn: 2]이상의 자연수이다.) [[eqn: 4.8]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5 To 20010]

분당대진고/2022년(이)/G7/B

정의역이 [eqn: left{0,~1,~2,~3,~cdots,~89,~90 right}]인 함수 [eqn: f`LEFT ( x RIGHT )]가

⑤

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) To 20010][eqn: = _90{rmC it}_x times { 91 times 92 times 93} over {x^3 + 6x^2 +11x+6 }][eqn: = `_90{rmC it}_x times { 91 times 92 times 93} over { LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT ) }]
[eqn: = { 93!} over { LEFT ( x+3 RIGHT ) ! LEFT ( 90-x RIGHT ) !}][eqn: = _93{rmC it}_x+3]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) + f LEFT ( 1 RIGHT ) + f LEFT ( 2 RIGHT ) +~cdots~ + f LEFT ( 89 RIGHT ) + f LEFT ( 90 RIGHT )]

[eqn: =sum _{ k=0} ^{ 90}`_93{rmC it}_k+3][eqn: = 2^93 -`_93{rmC}_0 -_93{rmC}_1 -_93{rmC}_2]

[eqn: therefore~k= 1+93+ 4278=4372]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = _90{rmC}_{itx} times { 91 times 92 times 93} over {x^3 + 6x^2 +11x+6 }]

이다. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) + f LEFT ( 1 RIGHT ) + f LEFT ( 2 RIGHT ) +~cdots~ + f LEFT ( 89 RIGHT ) + f LEFT ( 90 RIGHT ) = 2^93 -k]일 때, 자연수 [eqn: k]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 4016]	② [eqn: 4026]	③ [eqn: 4188 To 20010]

④ [eqn: 4278]	⑤ [eqn: 4372]

야탑고/2022년/G7/A

[eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{4n}]의 전개식을 이용하여 다음 등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n]에 대한 식 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]을 바르게 구한 것은? [[eqn: 5.4]점]

[eqn: {} _{4n} C _{0} + _{4n} C _{4} + _{4n} C _{8} + CDOTS + _{4n} C _{4n} =2 ^{4n-2} +f LEFT ( n RIGHT )]

① [eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} TIMES 2 ^{2n+1}]	② [eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n-1} TIMES 2 ^{2n+1}]	③ [eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} TIMES 2 ^{2n}]
④ [eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} TIMES 2 ^{2n-1}]	⑤ [eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n-1} TIMES 2 ^{2n}]

④

[eqn: {} _{4n} C _{0} + _{4n} C _{4} + _{4n} C _{8} + CDOTS + _{4n} C _{4n} =2 ^{4n-2} +f LEFT ( n RIGHT )]
[eqn: x=1]대입 [eqn: {} _{4n} C _{0} + _{4n} C _{1} + _{4n} C _{2} + CDOTS + _{4n} C _{4n} =2 ^{{} ^{4n}}] ㄱ식
[eqn: x=-1]대입 [eqn: {} _{4n} C _{0} - _{4n} C _{1} + _{4n} C _{2} + CDOTS + _{4n} C _{4n} =0] ㄴ식
[eqn: x=i]대입하면 실수부분과 허수부분은 다음과 같다.
[eqn: ( _{4n} C _{0} - _{4n} C _{2} + _{4n} C _{4} + CDOTS + _{4n} C _{4n} )=(-4) ^{n}# ( _{4n} C _{1} - _{4n} C _{3} + _{4n} C _{5} + CDOTS - _{4n} C _{4n-1} )i=0i] ㄷ식

ㄱ식과 ㄴ식을 더하고 ㄷ식의 실수부분을 더하여 정리하면
[eqn: f(n)=][eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} TIMES 2 ^{2n-1}]이다.

돌마고/2022년/G7/B

[eqn: LEFT ( 1-x RIGHT ) ^{n} LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{9-n}]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수와 [eqn: x ^{2}]의 계수가 모두 음의 정수가 되는 [eqn: n]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: n]은 [eqn: 0 LEQ n LEQ 9]인 정수이다.) [부분점수 있음. [eqn: 12.0]점]

[eqn: 5]

[eqn: (1-x) ^{n} (1+x) ^{9-n}]

[eqn: = LEFT ( {} _{n} rm C _{0} it x ^{0} - _{n} rm C _{1} it x ^{1} + _{n} rm C _{2} it x ^{2} -` CDOTS rm RIGHT ) LEFT ( _{it n} rm C _{0} it x ^{0} + _{(9-n)} rm C _{1} it x ^{1} + _{(9-n)} rm C _{2} it x ^{2} -` CDOTS rm RIGHT )]

[eqn: =1x ^{0} + LEFT { LEFT ( 9-n RIGHT ) -n RIGHT } x ^{1} + LEFT { {} _{n} rm C _{2} + _{(9- it n) rm} rm C _{2} - it n(9- it n) RIGHT } x ^{2} +` CDOTS]

[eqn: x]의 계수: [eqn: 9-2n<0,```n> {9} over {2}]

[eqn: x ^{2}]의 계수: [eqn: 2(n ^{2} -9n+18)<0,```2(n-3) LEFT ( n-6 RIGHT ) <0]

부등식을 정리하면 [eqn: {9} over {2} <n<6]

[eqn: THEREFORE]정수 [eqn: n]은 [eqn: 5]이다.

분당대진고/2022년(이)/G7/B

등식 [eqn: ` _{9} rm C it _{0} + _{9} rm C it _{2} + _{9} rm C it _{4} + _{9} rm C it _{6} + _{9} rm C it _{8} = _{itm} {rm smallprod}_{it n]을 만족시키는 자연수 [eqn: m,~n]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( m,~n RIGHT )]에 대하여 [eqn: m+n]의 최댓값과 최솟값의 합은? [[eqn: 4.4]점]

③

[eqn: ` _{9} rm C it _{0} + _{9} rm C it _{2} + _{9} rm C it _{4} + _{9} rm C it _{6} + _{9} rm C it _{8} = 2^8]

[eqn: 2^8 = m^n]이므로 [eqn: LEFT (2^8`,`~1 RIGHT ),~ LEFT ( 2^4`,~2 RIGHT ),~ LEFT ( 2^2`,~4 RIGHT ),~ LEFT ( 2,~8 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ~257+8=265]

① [eqn: 256]	② [eqn: 257]	③ [eqn: 265]

④ [eqn: 267]	⑤ [eqn: 275]

홍천고/2022년/G7/A

다음은 부등식

①

(가) [eqn: {}_2n C _n]

(나) [eqn: n over 2]

[eqn: S= {({}_n C_1})^2 + 2times{({}_n C_2})^2 + cdots + (n-1) times {({}_n C_n-1})^2 + n times {({}_n C_n})^2]

[eqn: S=( _{n} C _{n-1} ) ^{2} +2 TIMES ( _{n} C _{n-2} ) ^{2} + CDOTS +(n-1) TIMES ( _{n} C _{1} ) ^{2} +n TIMES ( _{n} C _{0} ) ^{2}]

라 하고 변변 더하면

[eqn: 2S = n times][eqn: "{"( _{n} C _{0} ) ^{2} + ( _{n} C _{1} ) ^{2}+ ( _{n} C _{2} ) ^{2} +cdots + ( _{n} C _{n} ) ^{2}"}"]

(다) [eqn: 9]

[eqn: n over 2 times {}_2n C _n ge 5 times {}_2n C_ n-1]

간단히 하면 [eqn: n+1 ge 10] 따라서 최솟값은 [eqn: 9]

[eqn: f(4) ={}_8 C _4 = 70,~~g(4) =2, ~~k=9]이므로 구하는 값은 [eqn: 81]

[eqn: "{"{({}_n C_1})^2 + 2times{({}_n C_2})^2 + cdots + (n-1) times {({}_n C_n-1})^2 + n times {({}_n C_n})^2 "}"]

[eqn: ge 5times_2n C_n-1 cdots cdots (*)]

을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하는 과정이다.

[eqn: (1+x)^2n]의 전개식에서 [eqn: x^n]의 계수는 [eqn: box{~(가)~] 이다.

[eqn: (1+x) ^n (1+x)^n]의 전개식에서 [eqn: x^n]의 계수는

[eqn: (_n C_0 times _n C_n ) + (_n C_1 times _n C_n-1 ) + (_n C_2 times _n C_n-2 )+ cdots + (_n C_n times _n C_0 )]

[eqn: =( _{n} C _{0} ) ^{2} + ( _{n} C _{1} ) ^{2}+ ( _{n} C _{2} ) ^{2} +cdots + ( _{n} C _{n} ) ^{2}]이다

또한

[eqn: {({}_n C_1})^2 + 2times{({}_n C_2})^2 + cdots + (n-1) times {({}_n C_n-1})^2 + n times {({}_n C_n})^2]

[eqn: =( _{n} C _{n-1} ) ^{2} +2 TIMES ( _{n} C _{n-2} ) ^{2} + CDOTS +(n-1) TIMES ( _{n} C _{1} ) ^{2} +n TIMES ( _{n} C _{0} ) ^{2}]

이므로

[eqn: "{"{({}_n C_1})^2 + 2times{({}_n C_2})^2 + cdots + (n-1) times {({}_n C_n-1})^2 + n times {({}_n C_n})^2 "}"]

[eqn: = box{~(나) ~} ~times] [eqn: "{"( _{n} C _{0} ) ^{2} + ( _{n} C _{1} ) ^{2}+ ( _{n} C _{2} ) ^{2} +cdots + ( _{n} C _{n} ) ^{2}"}"]

[eqn: = box{~(나) ~} ~times] [eqn: box{~(가)~]

따라서 부등식 [eqn: (*)]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: box {~(다)~] 이다

위의 (가), (나)에 알맞는 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 하고, (다)에 알맞는 수를 [eqn: k]라 할 때, [eqn: f(4) +g(4) +k]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 81]	② [eqn: 82]	③ [eqn: 83]
④ [eqn: 84]	⑤ [eqn: 85]

22년 내신 기출	확률과 통계	확률

2.

확률

확률의 뜻과 활용 (step1)

1.

시행과 사건(사건, 배반사건, 여사건)

서원고/2022년/H2/D

[eqn: 1]에서 [eqn: 8]까지의 자연수가 하나씩 적힌 [eqn: 8]장의 카드가 있다. 이

③

[eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~6 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 4,~8 RIGHT }], [eqn: C= LEFT { 2,~3,~5 RIGHT }]

[eqn: A SMALLINTER B=B SMALLINTER C= EMPTYSET]

따라서 배반인 사건은 [eqn: A]와 [eqn: B], [eqn: B]와 [eqn: C]

카드들 중에서 임의로 [eqn: 1]장을 택하는 시행에서 [eqn: 6]의 약수가 나오는 사건을 [eqn: A], [eqn: 4]의 배수가 나오는 사건을 [eqn: B], 소수가 나오는 사건을 [eqn: C]라 할 때, 서로 배반사건인 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 3.4]점]

[보 기]

[eqn: ㄱ.] [eqn: A]와 [eqn: B] [eqn: ㄴ.] [eqn: B]와 [eqn: C] [eqn: ㄷ.] [eqn: A]와 [eqn: C]

① [eqn: ㄴ]	② [eqn: ㄷ]	③ [eqn: ㄱ,~ㄴ]
④ [eqn: ㄱ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

보평고/2022년/H1/D

주사위를 한 번 던져 소수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: A]라고 할 때, 원소 [eqn: 6]을 포함하고 사건 [eqn: A]와 서로 배반사건이 되는 사건 [eqn: B]를 모두 구하고, 그 과정을 서술하시오. [eqn: [6.0점]]

[eqn: "{"6"}",~"{"1,~6"}",~"{"4,~6"}",~"{"1,~4,~6"}"]

표본공간 [eqn: S = "{"1,~2,~3,~4,~5,~6"}"]이고,

소수의 눈이 나오는 사건 [eqn: A="{"2,~3,~5"}"]이다.

[eqn: A]와 [eqn: B]가 배반사건이려면 [eqn: P(A capB) =0]이므로 [eqn: A capB= emptyset]이어야 한다. 따라서, [eqn: B]는 [eqn: A^C = "{"1,~4,~6"}"]의 부분집합 중 [eqn: 6]을 반드시 포함하는 사건이다.

그러므로 구하고자 하는 사건 [eqn: B]는

[eqn: "{"6"}",~"{"1,~6"}",~"{"4,~6"}",~"{"1,~4,~6"}"]와 같이 [eqn: 4]개다.

야탑고/2022년/H2/D

한 개의 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수가 [eqn: 6]의 약수일 때, 그 수가 소수일 확률은 [eqn: {p} over {q}]이다. [eqn: p+q `]의 값은? (단, [eqn: p`]와 [eqn: q `]는 서로소이다.) [[eqn: 3.6]점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

①

주사위 눈의 수가 [eqn: 6]의 약수가 나오는 사건을 [eqn: A]라고 하고 소수의 눈의 수가 나오는 사건을 [eqn: B]라고 하자.

[eqn: rmP(itA)= {4} over {6}]

[eqn: rmP(itA SMALLINTER B)= {2} over {6}]

[eqn: rmP(itB｜A)= {rmP(itA SMALLINTER B)} over {rmP(itA)} = {1} over {2}]

따라서 [eqn: {p} over {q} = {1} over {2}], [eqn: p+q`=3]이다.

수학적 확률

성남여고/2022년/H1/D

어느 농구 선수는 지금까지 [eqn: 2000]번의 자유투를 던져 [eqn: 1350]번 성공했다고 한다. 이 선수가 자유투를 [eqn: 1]번 던질 때, 성공할 확률은? [[eqn: 4.3]점]

⑤

성공할 확률 [eqn: p= {1350} over {2000} = {675} over {1000} =0.675]

① [eqn: 0.65]	② [eqn: 0.654]	③ [eqn: 0.666]

④ [eqn: 0.67]	⑤ [eqn: 0.675]

죽전고/2022년/H1/D

두 양궁 선수 [eqn: rmA], [eqn: RMB]가 화살을 각각 한 번씩 쏠 때, 두 선수 중에서 한 명만 [eqn: 10]점 영역을 맞힐 확률은 [eqn: 0.6], 두 명 모두 [eqn: 10]점 영역을 맞힐 확률은 [eqn: 0.1]이라고 한다. 두 선수 [eqn: RMA], [eqn: RMB] 모두 [eqn: 10]점 영역을 맞히지 못할 확률은? [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: 0.1]	② [eqn: 0.3]	③ [eqn: 0.5]	④ [eqn: 0.7]	⑤ [eqn: 0.9]

②

[eqn: 1-0.6-0.1=0.3]

분당대진고/2022년(이)/H1/D

[eqn: 5 To 20010]명이 가위바위보를 한 번 할 때, [eqn: 3]명이 이길 확률은? [[eqn: 3.5]점]

②

[eqn: `_5{rmC}_3 LEFT ( 1 over 3 RIGHT )^5 times _3{RmC}_1 = { 10} over { 81}]

① [eqn: 8 over 81]	② [eqn: 10 over 81]	③ [eqn: 4 over27]

④ [eqn: 5 over 27]	⑤ [eqn: 2 over9]

풍생고/2022년/H1/D

흰 공 [eqn: 5]개와 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 꺼낼 때, [eqn: 2]개가 서로 다른 색깔일 확률은? [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: {1} over {9}]	② [eqn: {2} over {9}]	③ [eqn: {1} over {3}]
④ [eqn: {4} over {9}]	⑤ [eqn: {5} over {9}]

⑤

흰 공 [eqn: 1]개, 검은 공 [eqn: 1]개 뽑을 확률은

[eqn: {{}_{5} C _{1} TIMES _{4} C _{1}} over {{}_{9} C _{2}} = {5} over {9}]

판교고/2022년/H1/D

동전 두 개와 주사위 두 개를 동시에 던질 때, 동전은 서로 다른 면이 나오고 주사위는 서로 같은 눈의 수가 나올 확률은? [3.5점]

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]
④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

①

동전 두 개는 서로 다른 면이 나오고, 주사위는 서로 같은 눈의 수가 나올 확률은

[eqn: {2} over {2 TIMES 2} TIMES {6} over {6 TIMES 6} = {1} over {12}]

이다.

서원고/2022년/H1/D

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 두 눈의 합이 [eqn: 8]일 확률은? [[eqn: 3.4]점]

① [eqn: {1} over {9}]	② [eqn: {5} over {36}]	③ [eqn: { 1} over {6 }]
④ [eqn: {7} over {36}]	⑤ [eqn: {2} over {9}]

②

분모 : [eqn: 6·6=36]

분자 : [eqn: 8=2+6=3+5=4+4]이므로 가능한 경우의 수는 [eqn: 5]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {5} over {36}]

성일고/2022년/D

흰색 탁구공 [eqn: 4]개, 주황색 탁구공 [eqn: 8]개가 들어 있는 상자에서 임의로 공을 한 개씩 두 번 꺼낼 때, 첫 번째는 흰색 탁구공, 두 번째는 주황색 탁구공이 나올 확률은? (단, 꺼낸 공은 상자에 다시 넣지 않는다. ) [[eqn: 3.9]점]

④

처음에 흰색공이 나올 확률은 [eqn: 4 over 12 = 1 over 3]

두번 째에 주황색 공이 나올 확률은 [eqn: 8 over 11] 이다.

[eqn: 1 over 3 times 8 over 11 = 8 over 33]

① [eqn: 5 over 33]	② [eqn: 2 over 11]	③ [eqn: 7 over 33]
④ [eqn: 8 over 33]	⑤ [eqn: 3 over11]

보평고/2022년/H1/D

주머니 속에 흰 구슬이 [eqn: 3]개, 빨간 구슬이 [eqn: 2]개, 검은 구슬이 [eqn: n]개 들어 있다. 이 주머니에서 한 개의 구슬을 꺼내어 색을 확인하고 다시 넣는 시행을 [eqn: 3000]번 하였더니 그 중 흰 구슬이 [eqn: 500]번 나왔다. 이 때, [eqn: n]의 값은? [eqn: [4.5점]]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

⑤

한 번의 시행에서 흰 구슬이 뽑힐 확률은 [eqn: 3 overn+5]이므로

[eqn: 3 overn+5 = 500 over3000 = 1over6]에서 [eqn: n=13]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

풍생고/2022년/H1/D

[eqn: n]이 [eqn: 50] 이하의 자연수일 때, [eqn: x#]에 대한 이차방정식 [eqn: 12x ^{2} -7nx+n ^{2} =0]의 정수해가 존재할 확률은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: {2} over {5}]	② [eqn: {11} over {25}]	③ [eqn: {12} over {25}]
④ [eqn: {13} over {25}]	⑤ [eqn: {14} over {25}]

③

[eqn: n]이 [eqn: 50] 이하의 자연수이므로 전체 경우의 수는 [eqn: 50]가지

[eqn: 12x ^{2} -7nx+n ^{2} =0] , [eqn: (3x-n)(4x-n)=0]

[eqn: x= {n} over {3}]또는 [eqn: x= {n} over {4}] 이므로 정수해가 존재하려면

[eqn: x]는 [eqn: 3]의 배수 또는 [eqn: 4`]의 배수이므로 경우의 수는

[eqn: n]([eqn: 3]의 배수)+[eqn: n]([eqn: 4]의 배수)-[eqn: n]([eqn: 12]의 배수)[eqn: =16+12-4=24]가지

[eqn: THEREFORE {24} over {50} = {12} over {25}]

보평고/2022년/H1/D

주머니 속에 흰 구슬이 [eqn: 3]개, 빨간 구슬이 [eqn: 2]개, 검은 구슬이 [eqn: n]개 들어 있다. 이 주머니에서 한 개의 구슬을 꺼내어 색을 확인하고 다시 넣는 시행을 [eqn: 3000]번 하였더니 그 중 흰 구슬이 [eqn: 500]번 나왔다. 이 때, [eqn: n]의 값은? [eqn: [4.5점]]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

⑤

한 번의 시행에서 흰 구슬이 뽑힐 확률은 [eqn: 3 overn+5]이므로

[eqn: 3 overn+5 = 500 over3000 = 1over6]에서 [eqn: n=13]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

순열을 이용한 확률

풍생고/2022년/h1/D

남학생 [eqn: 4]명과 여학생 [eqn: 4]명이 원탁에 앉을 때, 남학생과 여학생이 교대로 앉을 확률은? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: {1} over {56}]	② [eqn: {1} over {42}]	③ [eqn: {1} over {35}]
④ [eqn: {1} over {30}]	⑤ [eqn: {1} over {25}]

③

남학생이 먼저 원탁에 앉고 여학생이 사이에 들어갈 확률은
[eqn: {3! TIMES 4!} over {7!} = {1} over {35}]

보평고/2022년/H1/D

어른 [eqn: 4]명, 어린이 [eqn: 4]명이 한 줄로 설 때, 어른과 어린이가 번갈아 서게 될 확률은? [eqn: [4.3점]]

① [eqn: 1over35]	② [eqn: 1over28]	③ [eqn: 1over21]

①

어른을 ◯, 어린이를 ×이라 놓으면 어른 [eqn: 4]명과 어린이 [eqn: 4]명을 번갈아 세우는 방법은 ◯×◯×◯×◯×, ×◯×◯×◯×◯인 [eqn: 2]가지이다.

따라서, 전체 경우의 수는 [eqn: 8!]이고, 번갈아 세우는 경우의 수는 [eqn: 2 times 4!times 4!]이므로 구하고자 하는 확률은 [eqn: 2 times 4! times 4!} over8! = 1 over35]이다.

④ [eqn: 1 over14]	⑤ [eqn: 1 over7]

서원고/2022년/H1/D

[eqn: rm I♡MATH]의 [eqn: 6]개의 문자 또는 기호를 임의로 일렬로 배열할 때, 기호 [eqn: ♡]가 맨 뒤에 오지 않을 확률은? [[eqn: 3.6]점]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]
④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

⑤

분모 : [eqn: 6!]

분자 : (여사건) [eqn: ♡]가 맨 뒤에 오는 확률은 [eqn: 5!·1=5!]

따라서 구하는 확률은 [eqn: 1- {5!} over {6!} =1- {1} over {6} = {5} over {6}]

보평고/2022년/H1/D

어른 [eqn: 4]명, 어린이 [eqn: 4]명이 한 줄로 설 때, 어른과 어린이가 번갈아 서게 될 확률은? [eqn: [4.3점]]

① [eqn: 1over35]	② [eqn: 1over28]	③ [eqn: 1over21]

①

어른을 ◯, 어린이를 ×이라 놓으면 어른 [eqn: 4]명과 어린이 [eqn: 4]명을 번갈아 세우는 방법은 ◯×◯×◯×◯×, ×◯×◯×◯×◯인 [eqn: 2]가지이다.

따라서, 전체 경우의 수는 [eqn: 8!]이고, 번갈아 세우는 경우의 수는 [eqn: 2 times 4!times 4!]이므로 구하고자 하는 확률은 [eqn: 2 times 4! times 4!} over8! = 1 over35]이다.

④ [eqn: 1 over14]	⑤ [eqn: 1 over7]

송림고/2022년/H1/D

두 집합
[eqn: X= LEFT { a,~b,~c RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { 1,~3,~5,~7 RIGHT }]
에 대하여 [eqn: X from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]에서 [eqn: Y from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]로의 함수 중에서 임의로 하나를 택할 때, 그 함수가 일대일 함수일 확률은? [4.1점]

① [eqn: {1} over {4} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	② [eqn: { 3 } over { 8} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	③ [eqn: { 1 } over { 2 } from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]
④ [eqn: { 5 } over { 8} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	⑤ [eqn: { 3 } over { 4 } from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

②

두 집합	[eqn: X= LEFT { a,~b,~c RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { 1,~3,~5,~7 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]에서 [eqn: Y from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]로의 함수의 개수는 [eqn: 4 ^{3}]이고, 일대일 함수의 개수는 [eqn: {}_{4} rm P _{3}]이므로 그 확률은

[eqn: {{}_{4} rm P _{3}} over {4 ^{3}} = {24} over {64} = {3} over {8}]

이다.

보평고/2022년/H1/D

[eqn: 1,~2,~3,~4,~5]의 [eqn: 5]개의 숫자를 한 번씩 사용하여 만든 다섯 자리 자연수 중에서 임의로 한 수를 택할 때, [eqn: 40000]보다 큰 수를 택할 확률은? [eqn: [4.2점]]

① [eqn: 1 over5]	② [eqn: 2 over5]	③ [eqn: 1 over2]

②

전체 다섯 자리 자연수의 개수는 [eqn: 5! =120]개다.

그중 [eqn: 40000]보다 큰 수의 개수는 만의 자리 숫자가 [eqn: 4] 또는 [eqn: 5]인 경우이므로 [eqn: 2 times 4! = 48]개

따라서, 구하고자 하는 확률은 [eqn: 48 over120 = 2over5]이다.

④ [eqn: 3over5]	⑤ [eqn: 4over5]

보평고/2022년/H1/D

[eqn: 1,~2,~3,~4,~5]의 [eqn: 5]개의 숫자를 한 번씩 사용하여 만든 다섯 자리 자연수 중에서 임의로 한 수를 택할 때, [eqn: 40000]보다 큰 수를 택할 확률은? [eqn: [4.2점]]

① [eqn: 1 over5]	② [eqn: 2 over5]	③ [eqn: 1 over2]

②

전체 다섯 자리 자연수의 개수는 [eqn: 5! =120]개다.

그중 [eqn: 40000]보다 큰 수의 개수는 만의 자리 숫자가 [eqn: 4] 또는 [eqn: 5]인 경우이므로 [eqn: 2 times 4! = 48]개

따라서, 구하고자 하는 확률은 [eqn: 48 over120 = 2over5]이다.

④ [eqn: 3over5]	⑤ [eqn: 4over5]

중복순열을 이용한 확률

성일고/2022년/H1/D

그림과 같이 크기가 같은 [eqn: 11]개의 원이 일렬로 놓여 있다.

이 원 중에서 [eqn: 4]개는 빨간색으로, [eqn: 5]개는 파란색으로, [eqn: 2]개는 노란색으로 [eqn: 11]개의 원의 내부를 모두 임의로 칠할 때, 색칠한 그림이 좌우 대칭일 확률은? [[eqn: 4.7]점]

⑤

원 중에서 [eqn: 4]개는 빨간색으로, [eqn: 5]개는 파란색으로, [eqn: 2]개는 노란색으로 [eqn: 11]개의 원의 내부를 모두 임의로 칠할 때, 색칠한 그림이 좌우 대칭일 확률은?

전체 경우의 수는 [eqn: 11! over {4! times`5! `times2!}]가지

좌우 대칭이 되려면 가운데 파란색을 배치하고 나머지 왼쪽에 빨간색 [eqn: 2]개 파란색 [eqn: 2]개 노란색 [eqn: 1]개를 배치하면 된다.

대칭일 확률은 [eqn: {5! over {2! times`2! }} over {11! over {4! times`5! `times2!} } = 1 over 231] 이다.

① [eqn: 1 over 227]	② [eqn: 1 over 228]	③ [eqn: 1 over 229]
④ [eqn: 1 over 230]	⑤ [eqn: 1 over 231]

조합과 확률

성남여고/2022년/H1/D

방정식 [eqn: x+y=10]을 만족시키는 자연수 [eqn: x,~y]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT )]중에서 임의로 한 개를 택할 때, [eqn: xy LEQ 24]일 확률은? [[eqn: 4.5]점]

⑤

분모 [eqn: x+y=10]일 때 [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT ) = LEFT ( 1,~9 RIGHT ) ,~ LEFT ( 2,~8 RIGHT ) ,~ CDOTS ~ ,~ LEFT ( 9,~1 RIGHT )] [eqn: 9]개

분자 (여사건) [eqn: xy GEQ 25]인 [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT ) = LEFT ( 5,~5 RIGHT )] [eqn: 1]개

따라서 구하는 확률은 [eqn: 1- {1} over {9} = {8} over {9}]

① [eqn: {1} over {10}]	② [eqn: {3} over {10}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: {8} over {9}]

영덕여고/2022년/H1/D

[eqn: 1]부터 [eqn: 8]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 8]개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 공에 적힌 두 수의 곱이 짝수일 확률은? [[eqn: 4]점]

③

두수의 곱이 짝수이면 짝짝과 홀짝이다.

[eqn: { `_4 C_2 +`_4 C_1 times`_4 C_1 } over {`_8 C_2} = {6 +16} over 28 = 11 over 14]

① [eqn: 9 over 14]	② [eqn: 5 over 7]	③ [eqn: 11 over14]
④ [eqn: 6 over 7]	⑤ [eqn: 13 over 14]

확률의 덧셈정리

풍생고/2022년/H1/D

두 사건 [eqn: A], [eqn: B`]에 대하여
[eqn: P LEFT ( A RIGHT ) = {1} over {2}], [eqn: P LEFT ( B RIGHT ) = {3} over {5}], [eqn: P LEFT ( A CUP B RIGHT ) = {9} over {10}]
일 때, [eqn: P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )]의 값은? [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {3} over {10}]	③ [eqn: {2} over {5}]
④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {3} over {5}]

①

[eqn: P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) =P LEFT ( A RIGHT ) +P LEFT ( B RIGHT ) -P LEFT ( A CUP B RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} + {3} over {5} - {9} over {10}]

[eqn: = {1} over {5}]

성일고/2022년/H2/D

두 사건 [eqn: A,``B]에 대하여 [eqn: P(A) = 2 over 5], [eqn: P(B) = 4 over 5], [eqn: P(A cupB ) = 9 over 10] 일 때, [eqn: P ( B```|``A)]의 값은? [[eqn: 3.7]점]

⑤

[eqn: P(A) = 2 over 5], [eqn: P(B) = 4 over 5],

[eqn: P(A cupB ) = P(A) + P(B) - P(A capB)]

[eqn: 9 over 10 = 2 over 5 + 4 over 5 - P(A cap B)]이다.. [eqn: P(A cap B) = 3 over 10]

[eqn: rm P it LEFT ( B` LEFT | `A RIGHT . RIGHT ) = {n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )} over {n LEFT ( A RIGHT )} = {3} over {4}]

① [eqn: 5 over 12]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 7 over 12]
④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 3 over 4]

보평고/2022년/H2/D

두 사건 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 대하여

④

[eqn: rmP(A CUP B)=P(A)+P(B)-P(A SMALLINTER B)]

[eqn: rm P(A SMALLINTER B)= {3} over {5} + {2} over {5} - {7} over {10} = {3} over {10}]

[eqn: rm THEREFORE ~P(A`|`B)= {P(A SMALLINTER B)} over {P(B)} = {{3} over {10}} over {{2} over {5}} = {3} over {4}]

[eqn: rmP(A)= {3} over {5}], [eqn: rmP(B)= {2} over {5}], [eqn: rmP(A CUP B)= {7} over {10}]

일 때, [eqn: rm P(A`|`B)]의 값은? [4.1점]

① [eqn: 3over8]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 5over8]
④ [eqn: 3over4]	⑤ [eqn: 7over8]

분당대진고/2022년(이)/H1/D

두 사건 [eqn: A,~B]에 대하여

④

[eqn: rm P LEFT ( itA^C cap B^C RIGHT ) = 1 over 3]에서 [eqn: rmP LEFT ( it A cup B RIGHT ) = 2 over 3]

[eqn: rmP LEFT (it A cup B RIGHT )][eqn: =rm{ P`LEFT ( itA cap B^C RIGHT ) +rmP LEFT ( it A cap B RIGHT ) + rmP LEFT ( itA^C cap B RIGHT )]이므로

[eqn: rmP LEFT ( it A cap B RIGHT )][eqn: = { 2} over { 3} - 1 over 6 - 1 over 6][eqn: =`1 over 3]

[eqn: rm P LEFT ( itA cap B^C RIGHT ) = rmP LEFT ( it A^C cap B RIGHT ) = 1 over6], [eqn: rm P LEFT ( itA^C cap B^C RIGHT ) = 1 over 3]

일 때, [eqn: rmP LEFT (itA cap B RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: A^C To 20010]은 [eqn: A]의 여사건이다.) [[eqn: 3.9]점]

① [eqn: 1 over 12]	② [eqn: 1 over6]	③ [eqn: 1 over 4]

④ [eqn: 1 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 12]

풍생고/2022년/H1/D

두 사건 [eqn: A,~B]에 대하여 [eqn: P(A CUP B)=1,`] [eqn: P(B)= {1} over {3}], [eqn: P(`A SMALLINTER B)= {1} over {6}]일 때, [eqn: P(A ^{C} )]의 값은? [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]
④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

②

[eqn: P(A)=P LEFT ( A CUP B RIGHT ) -P(B)+P(A SMALLINTER B)]이므로

[eqn: P(A)=1- {1} over {3} + {1} over {6} = {5} over {6}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: P(A ^{C} )=1- {5} over {6} = {1} over {6}]

덧셈정리와 여사건

풍생고/2022년/H1/D

[eqn: 3]장의 경품권을 포함한 [eqn: 10]장의 카드가 들어 있는 추첨함에서 임의로 두 장의 카드를 꺼낼 때, 적어도 한 장은 경품권일 확률은? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {7} over {15}]
④ [eqn: {8} over {15}]	⑤ [eqn: {3} over {5}]

④

전체에서 경품권을 한 장도 꺼내지 못할 확률은

[eqn: 1- {{}_{7} C _{2}} over {{}_{10} C _{2}} = {8} over {15}]

덧셈정리와 배반사건

성남여고/2022년/H2/D

표본공간 [eqn: S]의 두 사건 [eqn: A,~B]가 서로 배반사건이고 사건 [eqn: C]는 사건 [eqn: A]의 여사건일 때, 옳지 않은 것은? (단, [eqn: P LEFT ( A RIGHT ) != 0,~P LEFT ( B RIGHT ) != 0]) [[eqn: 4.7]점]

①

[eqn: A SMALLINTER B= EMPTYSET]이고 [eqn: C=A ^{C}]이므로

① [eqn: P LEFT ( A` vert B RIGHT ) = {P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )} over {P LEFT ( B RIGHT )} =0]

② [eqn: P LEFT ( C` vert B RIGHT ) = {P LEFT ( C SMALLINTER B RIGHT )} over {P LEFT ( B RIGHT )} = {P LEFT ( B RIGHT )} over {P LEFT ( B RIGHT )} =1]

⑤ [eqn: B SUBSET C] 이므로 [eqn: P LEFT ( B RIGHT ) LEQ P LEFT ( C RIGHT )]

① [eqn: P LEFT ( A` vert B RIGHT ) =1]	② [eqn: P LEFT ( C` vert B RIGHT ) =1]	③ [eqn: P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) =0]

④ [eqn: P LEFT ( A CUP C RIGHT ) =1]	⑤ [eqn: P LEFT ( A RIGHT ) LEQ P LEFT ( C RIGHT )]

보평고/2022년/H1/D

주사위를 한 번 던져 소수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: A]라고 할 때, 원소 [eqn: 6]을 포함하고 사건 [eqn: A]와 서로 배반사건이 되는 사건 [eqn: B]를 모두 구하고, 그 과정을 서술하시오. [eqn: [6.0점]]

[eqn: "{"6"}",~"{"1,~6"}",~"{"4,~6"}",~"{"1,~4,~6"}"]

표본공간 [eqn: S = "{"1,~2,~3,~4,~5,~6"}"]이고,

소수의 눈이 나오는 사건 [eqn: A="{"2,~3,~5"}"]이다.

[eqn: A]와 [eqn: B]가 배반사건이려면 [eqn: P(A capB) =0]이므로 [eqn: A capB= emptyset]이어야 한다. 따라서, [eqn: B]는 [eqn: A^C = "{"1,~4,~6"}"]의 부분집합 중 [eqn: 6]을 반드시 포함하는 사건이다.

그러므로 구하고자 하는 사건 [eqn: B]는

[eqn: "{"6"}",~"{"1,~6"}",~"{"4,~6"}",~"{"1,~4,~6"}"]와 같이 [eqn: 4]개다.

여사건의 확률(적어도, 이상, 이하, 미만등)

보평고/2022년/H1/D

남학생 [eqn: 3]명과 여학생 [eqn: 4]명을 일렬로 세울 때, 적어도 한 쪽 끝에는 여학생을 세울 확률은? [eqn: [4.0점]]

① [eqn: 1 over7]	② [eqn: 2over7]	③ [eqn: 3 over7]

⑤

전체 확률에서 양 끝에 모두 남학생이 세워질 확률을 빼면 되므로

[eqn: 1 - {`_3 P_2 times 5!} over7! = 1 - 1over7 = 6 over7]

④ [eqn: 5over7]	⑤ [eqn: 6 over7]

성일고/2022년/H2/D

[eqn: 12]개의 제비 중에 당첨 제비가 [eqn: k]개 들어 있다. 이 중에서 임의로 [eqn: 2]개의 제비를 동시에 뽑을 때, 적어도 한 개가 당첨 제비일 확률이 [eqn: 19 over 33]이다. 상수 [eqn: k]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

②

[eqn: 12]개의 제비 중에 당첨제비가 없는 것을 빼면 된다.

[eqn: 1 - { `_12-k C _2 } over { { `_12 C _2 } } = 19 over 33] 그러므로

[eqn: {` _{12-k} C _{2}} over {`6 TIMES 11} = {14} over {33}]

[eqn: (12-k)(11-k)=8 TIMES 7] 이므로

[eqn: k = 4]이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

보평고/2022년/H1/D

검은 공 [eqn: 4]개, 흰 공 [eqn: 3]개가 들어있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 [eqn: 3]개의 공 중에서 적어도 한 개가 검은 공일 확률은? [4.2점]

① [eqn: 22over35]	② [eqn: 4over5]	③ [eqn: 5over7]
④ [eqn: 31over35]	⑤ [eqn: 34over35]

⑤

[eqn: 3]개의 공이 모두 흰 공일 확률은 [eqn: rm {{}_{3} C _{3}} over {{}_{7} C _{3}} = {1} over {35}]이다.

따라서 적어도 한 개가 검은 공일 확률은 [eqn: 1- {1} over {35} = {34} over {35}]이다.

보평고/2022년/H1/D

남학생 [eqn: 3]명과 여학생 [eqn: 4]명을 일렬로 세울 때, 적어도 한 쪽 끝에는 여학생을 세울 확률은? [eqn: [4.0점]]

① [eqn: 1 over7]	② [eqn: 2over7]	③ [eqn: 3 over7]

⑤

전체 확률에서 양 끝에 모두 남학생이 세워질 확률을 빼면 되므로

[eqn: 1 - {`_3 P_2 times 5!} over7! = 1 - 1over7 = 6 over7]

④ [eqn: 5over7]	⑤ [eqn: 6 over7]

운중고/2022년(이)/H1/D

그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 1]인 정육면체에서 임의로 두 꼭짓점을 택할 때, 두 꼭짓점 사이의 거리가 [eqn: sqrt {3}]보다 작을 확률은? [[eqn: 4.4]점]

⑤

두 꼭짓점을 연결하여 만든 선분 중 길이가 [eqn: sqrt {3}]인 선분은 총 [eqn: 4]개이고 나머지는 모두 길이가 [eqn: sqrt {3}]보다 작다.

따라서 여사건을 이용하면 확률은 [eqn: 1- {4} over {{} _{8} rm C _{2} it} = {6} over {7}]

① [eqn: {2} over {7}]	② [eqn: {3} over {7}]	③ [eqn: {4} over {7}]

④ [eqn: {5} over {7}]	⑤ [eqn: {6} over {7}]

확률의 뜻과 활용(step2)

1.

시행과 사건(사건, 배반사건, 여사건)

송림고/2022년/H1/C

표본공간 [eqn: S= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8,~9,~10 RIGHT }]의 세 사건 [eqn: A from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: B from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: C from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]에 대하여 [eqn: A= LEFT { x` vert `x는~소수 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { x` vert `x GEQ 7 RIGHT }]이다. 두 사건 [eqn: A SMALLUNION B from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]와 [eqn: C ^{C} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]이 서로 배반사건이 되도록 하는 사건 [eqn: C from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 개수는? (단, [eqn: C ^{C} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]은 [eqn: C from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 여사건이다.) [4.3점]

① [eqn: 2 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	② [eqn: 4 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	③ [eqn: 8 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]
④ [eqn: 16 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	⑤ [eqn: 32 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

③

[eqn: A= LEFT { 2,~3,~5,~7 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 7,~8,~9,~10 RIGHT }]이므로

[eqn: A CUP B= LEFT { 2,~3,~5,~7,~8,~9,~10 RIGHT }]

[eqn: LEFT ( A CUP B RIGHT ) ^{C} = LEFT { 1,~4,~6 RIGHT }]

이다. 두 사건 [eqn: A SMALLUNION B from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]와 [eqn: C ^{C} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]이 서로 배반사건이 되려면 [eqn: C ^{C} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]은 [eqn: A CUP B]의 원소는 포함하지 않고, [eqn: LEFT ( A CUP B RIGHT ) ^{C}]의 원소는 포함가능하다. 따라서 [eqn: C ^{C} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]은 [eqn: LEFT ( A CUP B RIGHT ) ^{C}]의 부분집합이므로 그 개수는 [eqn: 2 ^{3} =8]개이고, 사건 [eqn: C from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 개수도 [eqn: 8]개다.

야탑고/2022년/H1/C

한 개의 주사위를 두 번 던지는 시행에서 나오는 두 눈의 수의 합이 짝수인 사건을 [eqn: A,`3]의 배수인 사건을 [eqn: B,`2 LEQ n LEQ 12]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 눈의 수의 합이 [eqn: n]의 약수인 사건을 [eqn: E _{n}]이라 하자. 이 시행에서 두 사건 [eqn: A ^{C} SMALLINTER B] 와 [eqn: E _{n}]이 서로 배반사건이 되도록 하는 모든 [eqn: n]의 값의 합은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 35]	② [eqn: 38]	③ [eqn: 41]
④ [eqn: 44]	⑤ [eqn: 47]

⑤

[eqn: A ^{C} SMALLINTER B]는 합이 홀수이면서 3의 배수인 사건이므로 합이 [eqn: 3,`9]가 되어야 한다. 두 사건 [eqn: A ^{C} SMALLINTER B] 와 [eqn: E _{n}]이 서로 배반사건이 되려면 [eqn: n]은 [eqn: 3]과 [eqn: 9]를 약수로 가지지 않는 [eqn: 2,4,5,7,8,10,11]이 되고 합은 [eqn: 47]이 된다.

야탑고/2022년/H1/C

흰 공 [eqn: 2]개와 노란 공 [eqn: 3]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4.1]점]

④

ㄱ. [eqn: P(A)=1]이므로 거짓

ㄴ. ㄷ. 3개의 공을 꺼내서 흰 공만 나올 수가 없으므로 노란공이 나오거나 나오지 않는 확률을 합치면 1이 되어야 한다.

[보 기]

ㄱ. 노란 공이 나오는 사건을 [eqn: A]라 할 때, [eqn: 0<`RMP LEFT ( A RIGHT ) <1] 이다.

ㄴ. 노란 공이 나오는 사건을 [eqn: A], 노란 공이 나오지 않는 사건을 [eqn: B]라 할 때, [eqn: RMP LEFT ( B RIGHT ) =1-P LEFT ( A RIGHT )]이다.

ㄷ. 노란 공이 나오는 사건을 [eqn: A], [eqn: 3]개 모두 흰 공이 나오는 사건을 [eqn: C]라 할 때, [eqn: RMP LEFT ( A CUP C RIGHT ) =1]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ,ㄴ
④ ㄴ,ㄷ	⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

수학적 확률

성남여고/2022년/H1/C

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a,~b]라 할 때, [eqn: LEFT | a-1 RIGHT | + LEFT | b-3 RIGHT | =2]이거나 [eqn: a=b]일 확률은? [[eqn: 5.3]점]

③

분모 : [eqn: 6·6=36]

분자 : [eqn: a=b]일 때,

순서쌍은 [eqn: LEFT ( 1,~1 RIGHT ) ,~ LEFT ( 2,~2 RIGHT ) ,~ CDOTS `,~ LEFT ( 6,~6 RIGHT )]로 [eqn: 6]개

[eqn: LEFT | a-1 RIGHT | + LEFT | b-3 RIGHT | =2]일 때,

순서쌍은 [eqn: LEFT ( 1,~1 RIGHT ) ,~ LEFT ( 1,~5 RIGHT ) ,~ LEFT ( 2,~2 RIGHT ) ,~ LEFT ( 2,~4 RIGHT ) ,~ LEFT ( 3,~3 RIGHT )]로 [eqn: 5]개

공통인 순서쌍이 [eqn: 3]개이므로

조건을 만족하는 순서쌍의 개수는 [eqn: 6+5-3=8]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {8} over {36} = {2} over {9}]

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {2} over {9}]

④ [eqn: {11} over {36}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

죽전고/2022년/H1/C

한 개의 동전을 한 번 던져서 앞면이 나오면 한 개의 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수에 [eqn: 4]를 더한 값을 점수로 하고, 뒷면이 나오면 한 개의 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수의 [eqn: 3]배를 점수로 하는 시행을 한다. 이 시행을 한 번 하여 얻는 점수가 [eqn: 8]점 이상일 확률은? [[eqn: 4.0]점]

① [eqn: {5} over {12}]	② [eqn: {11} over {24}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {13} over {24}]	⑤ [eqn: {7} over {12}]

⑤

[eqn: (앞,1)]: 5점 [eqn: (앞,2)]: 6점 ... [eqn: (앞,6)]: 10점
[eqn: (뒤,1)]: 3점 [eqn: (뒤,2)]: 6점 ... [eqn: (뒤,6)]: 18점

8점 이상은 [eqn: (앞,4),(앞,5),(앞,6)] [eqn: (뒤,3),(뒤,4),(뒤,5),(뒤,6)]로 총 7가지이다.
[eqn: {7} over {12}]

서원고/2022년/H1/C

[eqn: 1]부터 [eqn: 12]까지의 자연수가 적힌 정십이면체 모양의 주사위를 두 번 던질 때, 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a,~b]라 하자. 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -12x+32]에 대하여 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) f LEFT ( b RIGHT ) <0]이 성립할 확률을 구하고, 그 풀이 과정을 서술하시오. [[eqn: 6.0]점]

[eqn: {7} over {24}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x-8 RIGHT )]에 대해 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) f LEFT ( b RIGHT ) <0]이므로

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) >0] 이고 [eqn: f LEFT ( b RIGHT ) <0]일 경우

{[eqn: a<4] 또는 [eqn: 8<a]} 이고 {[eqn: 4<b<8]}이므로 [eqn: {7} over {12} · {3} over {12} = {7} over {48}]

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) <0] 이고 [eqn: f LEFT ( b RIGHT ) >0]일 경우

{[eqn: 4<a<8]} 이고 {[eqn: b<4] 또는 [eqn: 8<b]}이므로 [eqn: {3} over {12} · {7} over {12} = {7} over {48}]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {7} over {48} + {7} over {48} = {7} over {24}]

야탑고/2022년/H1/C

상자 안에 흰 구슬 [eqn: 3]개, 파란 구슬 [eqn: 4]개, 빨간 구슬 [eqn: n]개가 들어 있다. 이 상자에서 임의로 [eqn: 2]개의 구슬을 동시에 꺼내어 색을 확인하고 다시 넣는 시행을 [eqn: 3000]번 하였더니 그 중 같은 색 구슬이 [eqn: 800]번 나왔다. 이때 [eqn: n]의 값은? (단, [eqn: n,` GEQ 2]) [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 2 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	② [eqn: 3 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	③ [eqn: 4 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]
④ [eqn: 5 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	⑤ [eqn: 6 from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

②

[eqn: {800} over {3000} =][eqn: {4} over {15} = {{} _{3} C _{2} + _{4} C _{2} + _{n} C _{2}} over {{} _{n+7} C _{2}}][eqn: = {6+12+n(n-1)} over {(n+7)(n+6)}]을 풀면
[eqn: n=][eqn: 3]

야탑고/2022년/H1/C

5명이 가위 바위 보를 한 번 할 때, 이기는 사람이 한 명도 없을 확률은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: {11} over {27}]	② [eqn: {14} over {27}]	③ [eqn: {17} over {27}]
④ [eqn: {20} over {27}]	⑤ [eqn: {23} over {27}]

③

전체 경우의 수 : [eqn: 3 ^{5}]

모두 같은 것을 내는 경우의 수 : [eqn: 3]
R(바위)S(가위)P(보) 라고 할 때

RSP/RR, RSP/SS RSP/PP : [eqn: 3 TIMES {5!} over {3!} =60]

RSP/RS RSP/RP RSP/PS : [eqn: 3 TIMES {5!} over {2!2!} =90]
구하고자 하는 확률은 [eqn: {153} over {3 ^{5}} = {17} over {27}]이다.

야탑고/2022년/I3/C

방정식 [eqn: x+y=100]을 만족시키는 양의 정수 [eqn: x,y]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,y RIGHT )]중에서 임의로 한 개를 택할 때, [eqn: xy GEQ 2400]일 확률을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 7.0]점]

[eqn: {7} over {33}]

전체 경우의 수는 [eqn: (1,99)],[eqn: (2,98)]...[eqn: (99,1)]로 99가지이고

곱이 [eqn: 2400]보다 커지려면 [eqn: 40 TIMES 60]보다 크거나 같아야 하므로

[eqn: (40,60)],[eqn: (41,59)]...[eqn: (60,40)] 로 총 [eqn: 21]가지이다.

확률은 [eqn: {7} over {33}]과 같다.

풍생고/2022년/H1/C

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a,~b]라 할 때, [eqn: LEFT | a-4 RIGHT | + LEFT | b-4 RIGHT | =2]이거나 [eqn: a=b]일 확률은? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {2} over {9}]	③ [eqn: {5} over {18}]
④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {7} over {18}]

④

1) [eqn: LEFT | a-4 RIGHT | + LEFT | b-4 RIGHT | =2]인 경우

[eqn: LEFT | a-4 RIGHT | =2],[eqn: LEFT | b-4 RIGHT | =0] 에서 [eqn: (a,~b)=(2,~4)`(6,~4)]

[eqn: LEFT | a-4 RIGHT | =1],[eqn: LEFT | b-4 RIGHT | =1] 에서 [eqn: (a,~b)=(5,~5)`(3,~5)`(5,~3)`(3,~3)]

[eqn: LEFT | a-4 RIGHT | =0],[eqn: LEFT | b-4 RIGHT | =2] 에서 [eqn: (a,~b)=(4,~6)`(4,~2)]

2) [eqn: a=b]인 경우

[eqn: (a,~b)=(1,~1)`(2,~2)`(3,~3)(4,~4)(5,~5)`(6,~6)]

1)과 2)에서 중복되는 [eqn: (3,~3)`(5,~5)]을 제외하면 [eqn: 8+6-2=12]가지

[eqn: THEREFORE {12} over {36} = {1} over {3}]

죽전고/2022년/H1/C

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: p,``q]라 할 때, 이차함수 [eqn: y=px ^{2}]의 그래프와 일차함수 [eqn: y=4x-q]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 확률은? [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: {1} over {18}]	② [eqn: {1} over {12}]	③ [eqn: {1} over {9}]
④ [eqn: {5} over {36}]	⑤ [eqn: {1} over {6}]

④

직선 [eqn: y=4x-q] [eqn: (1 leq q leq 6 )]과 포물선 [eqn: y=px ^{2}] [eqn: (1 LEQ p LEQ 6)] 이
만나려면 이차방정식 [eqn: 4x-q=px ^{2}]

즉 [eqn: px ^{2} -4x+q=0]에서 실근 [eqn: x]의 값이 존재하므로

판별식 [eqn: D/4 = 4 -pq> 0], [eqn: pq <4]

따라서 [eqn: (p,```q )]의 순서쌍의 개수는 [eqn: (1,```1 )], [eqn: (1,```2 )], [eqn: (1,```3 )], [eqn: (2,```1)], [eqn: (3,```1 )] [eqn: 5]개 이다.

[eqn: 5 over 36]

죽전고/2022년/H1/C

한 개의 주사위를 세 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a,``b,``c]라 하자. 세 수 [eqn: a,``b,``c]가 부등식 [eqn: a<b-3 LEQc]를 만족시킬 확률은? [[eqn: 4.7]점]

① [eqn: {5} over {108}]	② [eqn: {13} over {216}]	③ [eqn: {2} over {27}]
④ [eqn: {19} over {216}]	⑤ [eqn: {11} over {108}]

②

한 개의 주사위를 세 번 던질 때, 일어날 수 있는 모든 경우의 수는 [eqn: 6 times 6 times 6 = 216]

[eqn: a<b-3 LEQc]를 만족시킬 확률은 ([eqn: b<5]가 되면 성립하지 않는다.)

[eqn: b=5]일 때, [eqn: a<2 LEQc] 이면 [eqn: 1 times 5 = 5]가지

[eqn: b=6]일 때, [eqn: a<3 LEQc] 이면 [eqn: 2 times 4 = 8]가지

따라서 구하는 확률은 [eqn: 13 over216]

순열을 이용한 확률

풍생고/2022년/H1/C

서로 다른 두 개의 주사위 [eqn: A], [eqn: B]를 동시에 던지는 시행에서 나오는 눈의 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b]라 할 때, [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -ax+b=0]이 서로 다른 두 개의 양의 실근을 가질 확률은? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: {4} over {9}]	② [eqn: {17} over {36}]	③ [eqn: {1} over {2}]
④ [eqn: {19} over {36}]	⑤ [eqn: {5} over {9}]

②

이차방정식 [eqn: x ^{2} -ax+b=0]이 서로 다른 두 양의 실근을 가지려면
두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때,

[eqn: D=a ^{2} -4b>0], [eqn: alpha + beta =a>0], [eqn: alpha beta =b>0]

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )] [eqn: a=6]일 때, [eqn: b<9]를 만족하는 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b RIGHT )]은 [eqn: 6]개

[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )] [eqn: a=5]일 때, [eqn: b< {25} over {4}]를 만족하는 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b RIGHT )]은 [eqn: 6]개

[eqn: LEFT ( 3 RIGHT )] [eqn: a=4]일 때, [eqn: b<4]를 만족하는 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b RIGHT )]은 [eqn: 3]개

[eqn: LEFT ( 4 RIGHT )] [eqn: a=3]일 때, [eqn: b< {9} over {4}]를 만족하는 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b RIGHT )]은 [eqn: 2]개

[eqn: LEFT ( 5 RIGHT )] [eqn: a=2]일 때, [eqn: b<1]를 만족하는 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b RIGHT )]은 [eqn: 0]개

서로 다른 두 개의 양의 실근을 가질 확률은 [eqn: {17} over {36}]

송림고/2022년/H1/C

한 개의 주사위를 세 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: b from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: c from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]라 할 때, [eqn: a+b from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]가 [eqn: c from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 배수일 확률은? [4.3점]

① [eqn: { 1 } over { 3 } from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	② [eqn: {19} over {54} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	③ [eqn: {10} over {27} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]
④ [eqn: {7} over {18} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]	⑤ [eqn: {11} over {27} from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]

⑤

한 개의 주사위를 세 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: b from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================], [eqn: c from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]라 할 때, 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]의 개수는 [eqn: 6 TIMES 6 TIMES 6=216]이다.

(ⅰ) [eqn: c=1]인 경우 : [eqn: a+b from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]가 [eqn: 1]의 배수인 경우 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]의 개수는
[eqn: 6 TIMES 6=36]
이다.

(ⅱ) [eqn: c=2]인 경우 : [eqn: a+b from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]가 [eqn: 2]의 배수인 경우 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]는
(홀수, 홀수) 이거나 (짝수, 짝수)이므로 그 개수는
[eqn: 3 TIMES 3+3 TIMES 3=18]
이다.

(ⅲ) [eqn: c=3]인 경우 : [eqn: a+b from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]가 [eqn: 3]의 배수인 경우 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]는
[eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,~5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,~1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,~4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,~3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,~6 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,~2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,~5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,~1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,~4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 6,~3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 6,~6 RIGHT )]
이므로 그 개수는 [eqn: 12]이다.

(ⅳ) [eqn: c=4]인 경우 : [eqn: a+b from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]가 [eqn: 4]의 배수인 경우 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]는
[eqn: LEFT ( 1,~3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,~2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,~6 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,~1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,~5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,~4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,~3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 6,~2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 6,~6 RIGHT )]
이므로 그 개수는 [eqn: 9]이다.

(ⅴ) [eqn: c=5]인 경우 : [eqn: a+b from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]가 [eqn: 5]의 배수인 경우 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]는
[eqn: LEFT ( 1,~4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,~3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,~2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,~1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,~6 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,~5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 6,~4 RIGHT )]
이므로 그 개수는 [eqn: 7]이다.

(ⅵ) [eqn: c=6]인 경우 : [eqn: a+b from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]가 [eqn: 6]의 배수인 경우 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]는
[eqn: LEFT ( 1,~5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,~4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,~3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,~2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,~1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 6,~6 RIGHT )]
이므로 그 개수는 [eqn: 6]이다.

따라서 [eqn: a+b from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]가 [eqn: c from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 배수일 확률은

[eqn: {36+18+12+9+7+6} over {216} = {88} over {216} = {11} over {27}]

이다.

영덕여고/2022년/H1/C

집합 [eqn: X = left{`1,``2,``3,``4`right}] 에서 [eqn: X]로의 일대일 대응 [eqn: f]중에서 임의로 하나 뽑을 때, 이 함수 [eqn: f]가 다음 조건을 만족시킬 확률이 [eqn: q over p]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다. ) [[eqn: 5]점]

②

주어진 조건에서

[eqn: f(1)`=`1,`~2] 이고,

[eqn: f(2) ge 5-2 = 3],

[eqn: f(3) ge 5-3 = 2],

[eqn: f(4) ge 5-4 = 1] 이므로

일대일 대응의 개수는 [eqn: 24]개이고,

(ⅰ) [eqn: f(1)`=`1]인 경우
[eqn: 2 times2 =4]

(ⅱ) [eqn: f(1)`=`2]인 경우

[eqn: 2]가지 이므로

[eqn: {`4`+`2 } over {`24 } = 6 over 24 = 1 over 4] 이므로 [eqn: p+ q = 5] 이다.

(가) [eqn: f(1) le2]

(나) [eqn: n=2,```3,```4]일 때, [eqn: f(n) ge 5-n] 이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

원순열을 이용한 확률

운중고/2022년(이)/H1/C

그림과 같이 원의 둘레를 [eqn: 8]등분하는 [eqn: 8]개의 점이 있다. 이 중에서 임의로 세 개의 점을 택하여 그 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 만들 때, 만든 삼각형이 직각삼각형이 아닐 확률은? [[eqn: 4.6]점]

③

원 위의 [eqn: 8]개의 점에서 [eqn: 3]개의 점을 선택하여 삼각형을 만들 때, 이 삼각형이 직각삼각형이 되려면 빗변이 지름이여야 한다.

선택한 세 개의 점 중 두 점이 지름인 경우는 [eqn: 4]가지이고 나머지 한 점은 [eqn: 6]개이므로 직각삼각형일 확률은 [eqn: {4 TIMES 6} over {{} _{8} rm C _{3} it} = {3} over {7}]이다.

따라서 직각삼각형이 아닐 확률은 [eqn: 1- {3} over {7} = {4} over {7}]

① [eqn: {2} over {7}]	② [eqn: {3} over {7}]	③ [eqn: {4} over {7} To 20010]

④ [eqn: {5} over {7}]	⑤ [eqn: {6} over {7}]

중복순열을 이용한 확률

분당대진고/2022년(이)/H1/C

집합 [eqn: X = left{1,~2,~3,~4,~5,~6 right}]에서 [eqn: X]로의 함수 중에서 치역의 모든 원소의 곱이 짝수인 함수의 개수를 [eqn: n]이라 하자. [eqn: { n} over { 3^5}]의 값은? [[eqn: 4.2]점]

②

치역에 적어도 한 개의 짝수가 있어야하므로

[eqn: n][eqn: =6^6 - 3^6][eqn: = 3^6 LEFT ( 2^6 -1 RIGHT )]

[eqn: therefore~ { n} over { 3^5} = 3 times 63 = 189]

① [eqn: 179]	② [eqn: 189]	③ [eqn: 199 To 20010]

④ [eqn: 209]	⑤ [eqn: 219]

죽전고/2022년/H1/C

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: 3]개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 [eqn: 4]번 반복하여 확인한 [eqn: 4]개의 수의 곱이 [eqn: 6]의 배수일 확률은? [[eqn: 4.1]점]

①

전체 경우의 수 : [eqn: 3 ^{4}]

6의 배수가 되려면 2와 3을 가지고 있어야 하므로,

[eqn: (2,3,1,1)] : [eqn: {4!} over {2!}][eqn: =12] [eqn: (2,3,2,2,)]: [eqn: {4!} over {3!} =4] [eqn: (2,3,3,3)] : [eqn: {4!} over {3!} =4]

[eqn: (2,3,1,2)] : [eqn: {4!} over {2!}][eqn: =12] [eqn: (2,3,2,3)] : [eqn: {4!} over {2!2!} =6] [eqn: (2,3,1,3)] : [eqn: {4!} over {2!}][eqn: =12]

구하고자하는 확률은 [eqn: {50} over {81}]이다.

① [eqn: {50} over {81}]	② [eqn: {52} over {81}]	③ [eqn: {2} over {3}]	④ [eqn: {56} over {81}]	⑤ [eqn: {58} over {81}]

보평고/2022년/H1/C

집합 [eqn: X ="{"1,~2,~3,~4"}"]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 모든 함수 [eqn: f]중에서 임의로 하나를 택할 때, [eqn: f(1) le f(2)]일 확률은? [eqn: [4.1점]]

① [eqn: 7 over16]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 9 over16]

④

함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: `_4 PI_4 = 4^4 = 256]이고, [eqn: f(1)le f(2)]인 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: f(1) le f(2)]를 만족하게끔 공역 [eqn: 4]개중에서 선택하는 방법의 수가 [eqn: `_4 H_2]이고, 남은 [eqn: f(3),~f(4)]는 아무런 제한이 없으므로 [eqn: `_4 PI_2]가지만큼 경우가 생기므로 [eqn: `_4 H_2 times _4 PI_2][eqn: =10 times 4^2 = 160]이다.

따라서, 구하고자 하는 확률은 [eqn: 160 over256 = 5 over8]이다.

④ [eqn: 5over8]	⑤ [eqn: 3 over4]

보평고/2022년/H1/C

집합 [eqn: X ="{"1,~2,~3,~4"}"]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 모든 함수 [eqn: f]중에서 임의로 하나를 택할 때, [eqn: f(1) le f(2)]일 확률은? [eqn: [4.1점]]

① [eqn: 7 over16]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 9 over16]

④

함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: `_4 PI_4 = 4^4 = 256]이고, [eqn: f(1)le f(2)]인 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: f(1) le f(2)]를 만족하게끔 공역 [eqn: 4]개중에서 선택하는 방법의 수가 [eqn: `_4 H_2]이고, 남은 [eqn: f(3),~f(4)]는 아무런 제한이 없으므로 [eqn: `_4 PI_2]가지만큼 경우가 생기므로 [eqn: `_4 H_2 times _4 PI_2][eqn: =10 times 4^2 = 160]이다.

따라서, 구하고자 하는 확률은 [eqn: 160 over256 = 5 over8]이다.

④ [eqn: 5over8]	⑤ [eqn: 3 over4]

조합과 확률

풍생고/2022년/H1/C

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]가 각각 적힌 검은 공 [eqn: 5]개와 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]가 각각 적힌 흰 공 [eqn: 4]개가 들어 있는 주머니에서 [eqn: 3]개의 공을 임의로 꺼낼 때, 홀수가 적힌 흰 공과 홀수가 적힌 검은 공을 각각 [eqn: 1]개 이상 꺼낼 확률은? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: {11} over {28}]	② [eqn: {3} over {7}]	③ [eqn: {13} over {28}]
④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {15} over {28}]

①

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )] 검은 공 홀수 [eqn: 2]개, 흰 공 홀수 [eqn: 1]개

[eqn: {}_{3} C _{2} TIMES _{2} C _{1} =6]

[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )] 검은 공 홀수 [eqn: 1]개, 검은 공 짝수 [eqn: 1]개, 흰 공 홀수 [eqn: 1]개

[eqn: {}_{3} C _{1} TIMES _{2} C _{1} TIMES _{2} C _{1} =12]

[eqn: LEFT ( 3 RIGHT )] 검은 공 홀수 [eqn: 1]개, 흰 공 홀수 [eqn: 2]개

[eqn: {}_{3} C _{1} TIMES _{2} C _{2} =3]

[eqn: LEFT ( 4 RIGHT )] 검은 공 홀수 [eqn: 1]개, 흰 공 홀수 [eqn: 1]개, 흰 공 짝수 [eqn: 1]개

[eqn: {}_{3} C _{1} TIMES _{2} C _{1} TIMES _{2} C _{1} =12]

[eqn: THEREFORE ` {33} over {{}_{9} C _{3}} = {11} over {28}]

보평고/2022년/H1/C

[eqn: 6]명의 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmF]를 임의로 [eqn: 3]명씩 짝을 지어 [eqn: 2]개의 조로 편성하려고 한다. 이때, [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]는 같은 조에 편성되고, [eqn: rmA]와 [eqn: rmC]는 서로 다른 조에 편성될 확률은? [4.7점]

① [eqn: 2over15]	② [eqn: 1over5]	③ [eqn: 4over15]
④ [eqn: 3over10]	⑤ [eqn: 3over5]

④

[eqn: 3]명씩 [eqn: 2]개의 조로 나누는 전체 경우의 수는 [eqn: rm {{}_{6} C _{3} TIMES _{3} C _{3}} over {2!} =10]이다.

[eqn: rmA]와 [eqn: rmB]는 같은 조에 편성되고, [eqn: rmA]와 [eqn: rmC]는 서로 다른 조에 편성되는 경우의 수는 [eqn: 3]가지이므로 문제에서 구하는 확률은 [eqn: {3} over {10}]이다.

영덕여고/2022년/H1/C

[eqn: r]개의 당첨 제비를 포함하여 [eqn: 8]개의 제비가 들어 있는 상자에서 임의로 [eqn: 2]개의 제비를 동시에 꺼낼 때, 적어도 [eqn: 1]개가 당첨 제비일 확률이 [eqn: 11 over 14]이라고 한다. 이 때 자연수 [eqn: r]의 값을 구하시오. [[eqn: 5]점]

[eqn: 4]

[eqn: 8]개의 제비 중에서 [eqn: 2]개를 꺼내는 경우의 수는 [eqn: `_8 RM C _2]

적어도 한 개가 당첨 제비일 사건을 [eqn: A]라 하면

여사건 [eqn: A^C]은 모두 당첨 제비가 아닌 제비를 꺼내는 사건이므로

당첨 제비가 아닌 [eqn: (8-r)]개에서 [eqn: 2]개를 꺼내는 경우의 수는 [eqn: `_8-r RM C _2]

[eqn: rm P(A ^{C} )= {` _{8-r} rm C _{2}} over {` _{8} rm C _{2}} = {(8-r)(7-r)} over {56}]

이때 적어도 한 개가 당첨 제비일 확률이 [eqn: 11 over 14]이므로

[eqn: rm P(A)=1- rm P(A ^{C} )=1- {(8-r)(7-r)} over {56} = {11} over {14}]

즉 [eqn: {(8-r)(7-r)} over {56} = {3} over {14}]에서 [eqn: r^2 - 15r +44 = 0 ,~(r-4) (r -11 ) =0]

따라서 [eqn: r< 8] 이므로 [eqn: r=4]

6번 해설 수정

7번 해설 수정

14번 해설 추가

16번 해설 추가

20번 문제점수 수정

풍생고/2022년/H1/C

방정식 [eqn: x+y+z=10]의 음이 아닌 정수인 해 중에서 임의로 하나를 택할 때, [eqn: y]의 값이 [eqn: 3`]일 확률은 [eqn: {b} over {a}]이다. [eqn: a+b]의 값은?(단,[eqn: a,~b]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 33]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 35]
④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 37]

⑤

전체 경우의 수 [eqn: {}_{3} H _{10} = _{12} C _{10} = _{12} C _{2} =66]

[eqn: y=3]인 경우의 수는 [eqn: x+z=7`] [eqn: (x,z]는 음이 아닌 정수) 인 경우의 수와 같으므로 [eqn: {}_{2} H _{7} = _{8} C _{7} = _{8} C _{1} =8]

따라서 확률은 [eqn: {8} over {66} = {4} over {33}]이므로 [eqn: a=33,`b=4]

[eqn: THEREFORE][eqn: a+b=33+4=37]

보평고/2022년/H1/C

바구니 안에 딸기 맛 사탕 [eqn: 2]개, 포도 맛 사탕 [eqn: 3]개, 사과 맛 사탕 [eqn: 5]개가 들어 있다. 이 바구니에서 [eqn: 3]개의 사탕을 임의로 꺼낼 때, 딸기 맛 사탕과 사과 맛 사탕이 적어도 하나씩 포함될 확률은? (단, 각 사탕을 꺼낼 확률은 모두 같다.) [eqn: [4.9점]]

① [eqn: 5over24]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 11 over24]

③

딸기 맛 사탕을 [eqn: S], 포도 맛 사탕을 [eqn: G], 사과 맛 사탕을 [eqn: A]라고 놓자.

[eqn: 5]개의 사탕 중 [eqn: 3]개의 사탕을 꺼낼 때, 딸기 맛과 사과 맛 사탕이 적어도 하나씩 포함되는 경우는 [eqn: SSA,~SAA,~SGA]이다.

전체 근원사건 수는 [eqn: `_ 10 C_3]가지이고, [eqn: SSA]인 경우는 [eqn: `_2 C_2 times _5 C_1]가지, [eqn: SAA]인 경우는 [eqn: `_2 C_1 times _5 C_2]가지, [eqn: SGA]인 경우는 [eqn: `_2 C_1 times _3 C_1 times _5 C_1]가지이므로 구하고자 하는 확률은

[eqn: {`_2 C_2 times _5 C_1 + _ 2 C_1 times _5 C_2 + _2 C_1 times _3 C_1 times _5 C_1} over{`_10 C_3} = 55 over120 = 11 over24]이다.

④ [eqn: 5 over8]	⑤ [eqn: 5 over6]

보평고/2022년/H1/C

[eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지의 숫자가 하나씩 적힌 [eqn: 9]개의 구슬에서 서로 다른 [eqn: 2]개의 구슬을 동시에 꺼내어 작은 수를 [eqn: a], 큰 수를 [eqn: b]라 할 때, 집합 [eqn: M="{"x left|a le x le b,~x]는 정수[eqn: "}"]이 [eqn: N="{"x left| 4 le x le 7,~x]는 정수[eqn: "}"]의 부분집합이 되지 않을 확률은? [eqn: [4.8점]]

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2]

⑤

전체 확률에서 부분집합일 확률을 빼면 부분집합이 되지 않을 확률이므로 전체 경우의 수인 [eqn: `_9 C_2]가지 중 부분집합이 되기 위해서는 [eqn: 4]이상 [eqn: 7]이하인 숫자가 적힌 공을 [eqn: 2]개 뽑아야 하므로 [eqn: `_4 C_2]가지

[eqn: therefore] [eqn: 1-{`_4 C_2} over{`_9 C_2} = 5 over6]

④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 5 over6]

야탑고/2022년/I3/C

집합 [eqn: S= LEFT { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 RIGHT }]의 원소가 [eqn: 2]개 이상인 부분집합 중에서 임의로 한 개를 뽑을 때, 이 부분집합의 모든 원소의 곱이 짝수일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)[[eqn: 7.0]점]

[eqn: 489]

전체 경우의 수 [eqn: 2 ^{9}][eqn: - _{9} C _{1} - _{9} C _{0}][eqn: =][eqn: 502]가지

전체 경우의 수에서 곱이 홀수가 되는 경우의 수를 빼는 여사건으로 생각하는 것이 더 편하므로,

곱이 홀수가 되는 경우의 수 : [eqn: 2 ^{5} - _{5} C _{1} - _{5} C _{0}][eqn: =26]

곱이 짝수가 되는 경우의 수 : [eqn: 502-26][eqn: =476]

확률은 [eqn: {238} over {251}]이고, [eqn: p+q]는 [eqn: 489]이다.

야탑고/2022년/I3/C

[eqn: 1]부터 [eqn: 20]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 20]장의 카드가 있다. 이 [eqn: 20]장의 카드 중에서 두 장의 카드를 임의로 꺼내어 두 수를 더하였을 때, 두 수의 합이 [eqn: 20]이상일 확률을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 7.0]점]

[eqn: {109} over {190}]

전체 경우의 수 [eqn: {} _{20} C _{2}][eqn: =190]가지

전체 경우의 수에서 20 미만인 합을 빼는 식으로 문제를 푸는 것이 편하다.

[eqn: (1,18)..(1,2)]은 17가지

[eqn: (2,17)...(2,3)]은 15가지

[eqn: (3,16)..(3,4)]는 13가지로 총 경우의 수는 [eqn: 17]까지의 홀수의 합과 같으므로 [eqn: 1+3+5...+17=81]가지이다

[eqn: 190-81=109]이므로 답은 [eqn: {109} over {190}]

송림고/2022년/H1/C

집합 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT }]가 있다. [eqn: A from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 부분집합 중에서 임의로 서로 다른 두 집합을 택하였을 때, 한 집합이 다른 집합의 부분집합이 될 확률을 구하고 풀이 과정을 논술하시오. [7점]

[eqn: {13} over {24}]

[eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT }]의 부분집합의 개수는 [eqn: 2 ^{4} =16]이므로 [eqn: A from ========================================================================================================= 족보닷컴(zocbo.com) 본 문제는 족보닷컴에서 직접 제작, 자료화, 해설작업을 수행하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. =========================================================================================================]의 부분집합 중에서 임의로 서로 다른 두 집합을 택하는 경우의 수는

[eqn: {}_{16} rm C _{2}=120]

이다. 또한 서로 다른 두 집합 중 한 집합이 다른 집합의 부분집합이 되는 경우는 [eqn: A]의 두 부분 집합을 [eqn: X,~Y]라 할 때, [eqn: X SUBSET Y]에서 [eqn: X= Y]인 경우를 제외하면 되므로 그 경우의 수는

[eqn: 3 ^{4} -2 ^{4} =81-16=65]

이다. 따라서 구하는 확률은 [eqn: {65} over {120} = {13} over {24}]이다.

서원고/2022년/H1/C

포도 맛 사탕 [eqn: 5]개와 사과 맛 사탕 [eqn: 5]개가 들어 있는 상자에서 임의로 사탕 [eqn: 5]개를 동시에 꺼낼 때, 포도 맛 사탕과 사과 맛 사탕의 수의 차가 [eqn: 2]이상일 확률은? [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: {13} over {63}]	② [eqn: {22} over {63}]	③ [eqn: {31} over {63}]
④ [eqn: {41} over {63}]	⑤ [eqn: {50} over {63}]

①

포도 맛 사탕의 개수를 [eqn: a], 사과 맛 사탕의 개수를 [eqn: b]라 하면

분모 : [eqn: {}_{10} C _{5} = {10·9·8·7·6} over {5·4·3·2·1} =252]

분자 : (여사건) [eqn: a+b=5]이고 두 수의 차가 [eqn: 1]이하이므로 [eqn: LEFT | a-b RIGHT | LEQ 1]

[eqn: a-b=it-1]일 때, [eqn: LEFT ( 2,~3 RIGHT )]이므로 [eqn: {}_{5} C _{2} · _{5} C _{3} =100]

[eqn: a-b=0]일 때, 존재하지 않음

[eqn: a-b=1]일 때, [eqn: LEFT ( 3,~2 RIGHT )]이므로 [eqn: {}_{5} C _{3} · _{5} C _{2} =100]

따라서 구하는 확률은 [eqn: 1- {200} over {252} =1- {50} over {63} = {13} over {63}]

보평고/2022년/H1/C

[eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지의 숫자가 하나씩 적힌 [eqn: 9]개의 구슬에서 서로 다른 [eqn: 2]개의 구슬을 동시에 꺼내어 작은 수를 [eqn: a], 큰 수를 [eqn: b]라 할 때, 집합 [eqn: M="{"x left|a le x le b,~x]는 정수[eqn: "}"]이 [eqn: N="{"x left| 4 le x le 7,~x]는 정수[eqn: "}"]의 부분집합이 되지 않을 확률은? [eqn: [4.8점]]

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2]

⑤

전체 확률에서 부분집합일 확률을 빼면 부분집합이 되지 않을 확률이므로 전체 경우의 수인 [eqn: `_9 C_2]가지 중 부분집합이 되기 위해서는 [eqn: 4]이상 [eqn: 7]이하인 숫자가 적힌 공을 [eqn: 2]개 뽑아야 하므로 [eqn: `_4 C_2]가지

[eqn: therefore] [eqn: 1-{`_4 C_2} over{`_9 C_2} = 5 over6]

④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 5 over6]

보평고/2022년/H1/C

바구니 안에 딸기 맛 사탕 [eqn: 2]개, 포도 맛 사탕 [eqn: 3]개, 사과 맛 사탕 [eqn: 5]개가 들어 있다. 이 바구니에서 [eqn: 3]개의 사탕을 임의로 꺼낼 때, 딸기 맛 사탕과 사과 맛 사탕이 적어도 하나씩 포함될 확률은? (단, 각 사탕을 꺼낼 확률은 모두 같다.) [eqn: [4.9점]]

① [eqn: 5over24]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 11 over24]

③

딸기 맛 사탕을 [eqn: S], 포도 맛 사탕을 [eqn: G], 사과 맛 사탕을 [eqn: A]라고 놓자.

[eqn: 5]개의 사탕 중 [eqn: 3]개의 사탕을 꺼낼 때, 딸기 맛과 사과 맛 사탕이 적어도 하나씩 포함되는 경우는 [eqn: SSA,~SAA,~SGA]이다.

전체 근원사건 수는 [eqn: `_ 10 C_3]가지이고, [eqn: SSA]인 경우는 [eqn: `_2 C_2 times _5 C_1]가지, [eqn: SAA]인 경우는 [eqn: `_2 C_1 times _5 C_2]가지, [eqn: SGA]인 경우는 [eqn: `_2 C_1 times _3 C_1 times _5 C_1]가지이므로 구하고자 하는 확률은

[eqn: {`_2 C_2 times _5 C_1 + _ 2 C_1 times _5 C_2 + _2 C_1 times _3 C_1 times _5 C_1} over{`_10 C_3} = 55 over120 = 11 over24]이다.

④ [eqn: 5 over8]	⑤ [eqn: 5 over6]

기하학적 확률

죽전고/2022년/H1/C

좌표평면 위에 두 점 [eqn: rmA(0,`2)], [eqn: rmB(0,`-2)]가 있다. 한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: m], [eqn: n]이라 하자. 점 [eqn: rm C it (m`cos {n pi } over {3} ,`m`sin {n pi } over {3} )]에 대하여 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 6]보다 작을 확률은 [eqn: p], [eqn: 6]보다 클 확률은 [eqn: q]이다. [eqn: pq]의 값은? [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: {1} over {15}]	② [eqn: {1} over {12}]	③ [eqn: {1} over {9}]	④ [eqn: {2} over {9}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

③

[eqn: {bar{AB}} =4]이므로 넓이가 [eqn: 6]보다 커지려면 높이는 [eqn: h>3]이어야 한다.

높이는 [eqn: x]좌표와 같으므로, [eqn: rm m`cos {n pi } over {3}][eqn: >3]을 만족하는 순서쌍을 구하면 된다.

[eqn: m=4]일 때 [eqn: n=][eqn: 6]

[eqn: m=5]일 때 [eqn: n=][eqn: 6]

[eqn: m=6]일 때 [eqn: n=][eqn: 5,`6]

전체 경우의 수는 [eqn: 36]이고 만족하는 경우가 총 4가지이므로 [eqn: {1} over {9}]이 답이다.

확률의 덧셈정리

보평고/2022년/H1/C

한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a,~b]라 하자. 이차함수 [eqn: f(x) = x^2 -6x +8]에 대하여 [eqn: f(a)f(b)>0]이 성립할 확률은? [eqn: [4.6점]]

① [eqn: 5 over18]	② [eqn: 4 over9]	③ [eqn: 17 over36]

①

[eqn: f(x) =(x-2)(x-4)]이므로

[eqn: x<2~or~x>4]일 경우는 [eqn: f(x) >0]이고, [eqn: 2<x<4]일 경우는 [eqn: f(x)<0]이며, [eqn: x=2~or~4]일 경우는 [eqn: f(x)=0]이다.

따라서, [eqn: f(x)>0]인 사건을 [eqn: A], [eqn: f(x)<0]인 사건을 [eqn: B]라 하면

[eqn: P(A) = 1over2 ,~ P(B) = 1over6]이다.

또한, [eqn: f(a)f(b)>0]이 성립하려면

[eqn: f(a)>0 ,~f(b)>0~or~f(a)<0,~f(b)<0]이다.

[eqn: f(a)>0,~f(b)>0]일 확률은 [eqn: left( 1over2 right)^2 = 1over4]이고,

[eqn: f(a)<0,~f(b)<0]일 확률은 [eqn: left( 1over6 right)^2 = 1over36]이므로

구하고자 하는 확률은 [eqn: 1over4 + 1over36 = 5 over18]이다.

④ [eqn: 5 over9]	⑤ [eqn: 11over18]

보평고/2022년/H1/C

한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a,~b]라 하자. 이차함수 [eqn: f(x) = x^2 -6x +8]에 대하여 [eqn: f(a)f(b)>0]이 성립할 확률은? [eqn: [4.6점]]

① [eqn: 5 over18]	② [eqn: 4 over9]	③ [eqn: 17 over36]

①

[eqn: f(x) =(x-2)(x-4)]이므로

[eqn: x<2~or~x>4]일 경우는 [eqn: f(x) >0]이고, [eqn: 2<x<4]일 경우는 [eqn: f(x)<0]이며, [eqn: x=2~or~4]일 경우는 [eqn: f(x)=0]이다.

따라서, [eqn: f(x)>0]인 사건을 [eqn: A], [eqn: f(x)<0]인 사건을 [eqn: B]라 하면

[eqn: P(A) = 1over2 ,~ P(B) = 1over6]이다.

또한, [eqn: f(a)f(b)>0]이 성립하려면

[eqn: f(a)>0 ,~f(b)>0~or~f(a)<0,~f(b)<0]이다.

[eqn: f(a)>0,~f(b)>0]일 확률은 [eqn: left( 1over2 right)^2 = 1over4]이고,

[eqn: f(a)<0,~f(b)<0]일 확률은 [eqn: left( 1over6 right)^2 = 1over36]이므로

구하고자 하는 확률은 [eqn: 1over4 + 1over36 = 5 over18]이다.

④ [eqn: 5 over9]	⑤ [eqn: 11over18]

덧셈정리와 배반사건

야탑고/2022년/H1/D

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 배반사건이고 [eqn: RMP LEFT ( A ^{C} RIGHT ) = {5} over {8} ,``P LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B ^{C} RIGHT ) = {1} over {6}]일 때, [eqn: RMP LEFT ( B RIGHT )]의 값은? [[eqn: 4.0]점]

①

[eqn: rm P LEFT ( A ^{} RIGHT ) = {3} over {8}][eqn: P LEFT ( A CUP B RIGHT ) = {5} over {6}] [eqn: P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) =0]
[eqn: rm P LEFT ( B RIGHT ) =][eqn: {11} over {24}]

① [eqn: {11} over {24}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {13} over {24}]
④ [eqn: {7} over {12}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

여사건의 확률(적어도, 이상, 이하, 미만등)

야탑고/2022년/H1/C

[eqn: 1]부터 까[eqn: 8]지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 8]개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 [eqn: 4]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 공에 적힌 수 중 연속하는 자연수가 [eqn: 2]개 이상일 확률은? [[eqn: 4.6]점]

④

연속하는 자연수가 없을 확률을 빼서 여사건으로 구하는 것이 편하다.

전체 경우의 수는 [eqn: {} _{8} C _{4}]이고 8개의 숫자 중 연속하지 않는 자연수를 뽑는 것은 빈 공간 7개중 3개를 선택하는 경우의 수와 같으므로
[eqn: {{} _{7} C _{3}} over {{} _{8} C _{4}}][eqn: =][eqn: {1} over {2}]
[eqn: 1- {1} over {2} = {1} over {2}]

① [eqn: {1} over {14}]	② [eqn: {3} over {14}]	③ [eqn: {5} over {14}]
④ [eqn: {7} over {14}]	⑤ [eqn: {9} over {14}]

죽전고/2022년/H1/C

불량품 [eqn: 3]개를 포함한 [eqn: 10]개의 제품이 있다. 이 [eqn: 10]개의 제품 중에서 임의로 [eqn: 4]개의 제품을 택하여 검사할 때, 불량품이 [eqn: 2]개 이하일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p-q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 3.9]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

①

불량품이 3개 이상인 경우를 빼서 여사건으로 계산한다.

[eqn: 1- {{} _{3} C _{3} TIMES 7} over {{} _{10} C _{4}}][eqn: =][eqn: {29} over {30}] [eqn: p-q=1]이다.

영덕여고/2022년/H1/C

방정식 [eqn: x + y + x = 12]를 만족시키는 자연수 [eqn: x,``y,``z]의 모든 순서쌍 [eqn: (`x,```y,```z`)] 중에서 임의로 한 개를 택할 때, 택한 순서쌍 [eqn: (`x,```y,```z`)]의 [eqn: x,``y,``z]중 적어도 하나가 홀수일 확률은? [[eqn: 4.8]점]

④

[eqn: x,``y,``z]가 다 짝수일 때로 여사건으로 풀이한다.

[eqn: x = 2a+2], [eqn: y = 2b+2], [eqn: z = 2c+2]로 ( [eqn: a,``b,``c]는 음이 아닌 정수)놓으면 [eqn: a+b+c = 3] ( [eqn: a ge 0], [eqn: b ge 0], [eqn: c ge 0] ) 이므로

[eqn: `_3 H _9 -`_3 H _3 = `_11 C _9 -`_5 C _3 = {11 times10 }over 2 - 10 = 45]

[eqn: 1 - 45 over 55 = 9 over 11]

① [eqn: 6 over 11]	② [eqn: 7 over 11]	③ [eqn: 8 over 11]
④ [eqn: 9 over 11]	⑤ [eqn: 10 over 11]

확률의 뜻과 활용(step3)

1.

성남여고/2022년/H1/B

[eqn: 1]에서 [eqn: 9]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 9]개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 공에 적힌 수 중 연속하는 자연수가 없을 확률은? [[eqn: 5.3]점]

②

분모 : [eqn: {}_{9} C _{3} = {9·8·7} over {3·2·1} =84]

분자 : 선택할 세 수를 [eqn: a,~b,~c]라 하면

[eqn: (x),~a,~(y),~b,~(z),~c,~(w)]

[eqn: (x),~(y),~(z),~(w)]자리에 [eqn: 6]개의 수를 넣은 후 왼쪽부터 [eqn: 1]에서

[eqn: 9]를 배열 단 [eqn: (y),~(z)] 자리에 적어도 하나 이상의 수가 존재

[eqn: LEFT ( x RIGHT ) + LEFT ( y RIGHT ) + LEFT ( z RIGHT ) + LEFT ( w RIGHT ) =6]이면서

[eqn: LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0,~ LEFT ( y RIGHT ) GEQ 1,~(z) GEQ 1,~ LEFT ( w RIGHT ) GEQ 0]이므로

[eqn: LEFT ( x RIGHT ) + LEFT { LEFT ( y RIGHT ) -1 RIGHT } + LEFT { (z)-1 RIGHT } + LEFT ( w RIGHT ) =4]

[eqn: {}_{4} ETA _{4} = _{7} C _{4} = _{7} C _{3} =35]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {35} over {84} = {5} over {12}]

[다른풀이]

1) 세 수 모두 연속할 경우

[eqn: (1,2,3)`(2,3,4)` CDOTS (7,8,9)] : [eqn: 7]가지

2)두 수만 연속할 경우 : [eqn: 42]가지

[eqn: (1,2, TRIANGLE )] : [eqn: 6]가지

[eqn: (2,3, TRIANGLE )]:[eqn: 5]가지

[eqn: (3,4, TRIANGLE )] : [eqn: 5]가지

[eqn: (4,5, TRIANGLE )] : [eqn: 5]가지

[eqn: (5,6, TRIANGLE )] : [eqn: 5]가지

[eqn: (6,7, TRIANGLE )] : [eqn: 5]가지

[eqn: (7,8, TRIANGLE )] : [eqn: 5]가지

[eqn: (8,9, TRIANGLE )] : [eqn: 6]가지

1) 2)에 의해 [eqn: 7+42=49]이므로

여사건에 의해 [eqn: 1- {49} over {84} = {35} over {84} = {5} over {12}]

① [eqn: {5} over {14}]	② [eqn: {5} over {12}]	③ [eqn: {7} over {12}]

④ [eqn: {9} over {14}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

죽전고/2022년/H1/B

세 명의 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에게 서로 다른 종류의 사탕 [eqn: 6]개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 줄 확률은? (단, 사탕을 받지 못하는 학생이 있을 수도 있다.) [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: {611} over {729}]	② [eqn: {68} over {81}]	③ [eqn: {613} over {729}]	④ [eqn: {614} over {729}]	⑤ [eqn: {205} over {243}]

④

전체 경우의 수 [eqn: 3 ^{6} =729]

[eqn: B=3] : [eqn: {} _{6} C _{3}][eqn: TIMES][eqn: (2 ^{3} -1)][eqn: =140]

[eqn: B=2] : [eqn: {} _{6} C _{2}][eqn: TIMES][eqn: (2 ^{4} -1)][eqn: =225]

[eqn: B=1] : [eqn: {} _{6} C _{1}][eqn: TIMES][eqn: (2 ^{5} -1)][eqn: =186]

[eqn: B=0] : [eqn: {} _{6} C _{0}][eqn: TIMES][eqn: (2 ^{6} -1)][eqn: =63]

총 [eqn: 614]가지이다.

(가) 학생 [eqn: rmA]는 적어도 하나의 사탕을 받는다.
(나) 학생 [eqn: rmB]가 받는 사탕의 개수는 [eqn: 3] 이하이다.

영덕여고/2022년/H1/B

[eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]개의 공이 들어 있는 상자와 빈 주머니가 있다. 이 상자에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 짝수이면 상자에서 임으로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼내어 이 [eqn: 2]개의 공을 주머니에 넣고, 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 홀수이면 상자에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼내어 이 [eqn: 3]개의 공을 주머니에 넣을 때, 주머니에 있는 공에 적혀 있는 수의 최솟값이 [eqn: 3]일 확률은? (단, 꺼낸 공은 상자에 다시 넣지 않는다.) [[eqn: 5.0]점]

①

상자에서 처음 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 짝수인 사건을 [eqn: A], 주머니에
있는 공에 적혀 있는 수의 최솟값이 [eqn: 3]인 사건을 [eqn: B]라 하자.

이때 [eqn: A]의 여사건 [eqn: A ^{C}]은 상자에서 처음 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 홀수인 사건이다.

(ⅰ) 상자에서 처음 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 짝수인 경우
㉠ 상자에서 처음 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 [eqn: 2]일 확률은 [eqn: {1} over {6}]
이때 주머니에 있는 두 공에 적혀 있는 수의 최솟값이
[eqn: 3]일 확률은 [eqn: RM{{} _{3} C _{1}} over {{} _{5} C _{2}} = {3} over {10}]
㉡ 상자에서 처음 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 [eqn: 4]이상의 짝수일 확률은
[eqn: {1} over {3}]
이때 주머니에 있는 두 공에 적혀 있는 수의 최솟값이 [eqn: 3]일 확률은
[eqn: rm {{}_{2} C _{1}} over {{}_{5} C _{2}} = {1} over {5}]
㉠, ㉡에 의하여
[eqn: rm P it LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )][eqn: = {1} over {6} TIMES {3} over {10} + {1} over {3} TIMES {1} over {5}]
[eqn: = {7} over {60}]

(ⅱ) 상자에서 처음 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 홀수인 경우
㉠ 상자에서 처음 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 [eqn: 1]일 확률은 [eqn: {1} over {6}]
이때 주머니에 있는 세 공에 적혀 있는 수의 최솟값이
[eqn: 3]일 확률은
[eqn: rm {{} _{3} C _{2}} over {{} _{5} C _{3}} = {3} over {10}]
㉡ 상자에서 처음 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 [eqn: 5]일 확률은 [eqn: {1} over {6}]
이때 주머니에 있는 세 공에 적혀 있는 수의 최솟값이 [eqn: 3]일 확률은
[eqn: rm {{}_{2} C _{2}} over {{}_{5} C _{3}} = {1} over {10}]
㉠, ㉡에 의하여
[eqn: rm P it LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B` RIGHT )][eqn: = {1} over {6} TIMES {3} over {10} + {1} over {6} TIMES {1} over {10}]
[eqn: = {1} over {15}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 확률은

[eqn: rm P it LEFT ( B` RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) + rm P it LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B` RIGHT )]
[eqn: = {7} over {60} + {1} over {15}]
[eqn: = {11} over {60}]

① [eqn: {11} over {60}]	② [eqn: 1 over 5]	③ [eqn: 13 over 60]
④ [eqn: 7 over 30]	⑤ [eqn: 1 over 4]

죽전고/2022년/H1/B

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: m,``n]이라 할 때, 함수 [eqn: y=m`cosx+4]이 그래프와 직선 [eqn: y=3n]이
만날 확률을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [[eqn: 8.0]점]

[eqn: {13} over {36}]

서로 다른 두 개의 주사위를 던질 때, 일어날 수 있는 모든 경우의 수는 [eqn: 6 times 6 =36]

함수 [eqn: y=m`cosx+4]이 그래프와 직선 [eqn: y=3n]이 만나려면

[eqn: -1le cos x le 1] 이므로 [eqn: - m + 4 le 3n le m+ 4]를 만족한다.

(ⅰ) [eqn: m = 1] 일 때의 경우는 [eqn: 3 le 3n le 5] 이므로 [eqn: n = 1]

(ⅱ) [eqn: m = 1] 일 때의 경우는 [eqn: 2 le 3n le 6] 이므로 [eqn: n = 1,~2]

(ⅲ) [eqn: m = 1] 일 때의 경우는 [eqn: 1 le 3n le 7] 이므로 [eqn: n = 1,~2]

(ⅳ) [eqn: m = 1] 일 때의 경우는 [eqn: 0 le 3n le 8] 이므로 [eqn: n = 1,~2]

(ⅴ) [eqn: m = 1] 일 때의 경우는 [eqn: -1 le 3n le 9] 이므로 [eqn: n=1,~2,~3]

(ⅵ) [eqn: m = 1] 일 때의 경우는 [eqn: -2 le 3n le 10] 이므로 [eqn: n=1,~2,~3]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {13} over {36}]

6번 오답수정

11번 해설오류수정

15번 해설추가

19번 문제점수기재

보평고/2022년/H1/B

세 집합 [eqn: X="{"1,~3,~5"}",~Y = "{"a,~b,~c,~d"}",~Z="{"2,~4"}"]에 대하여 두 함수 [eqn: f :X->Y,~g: Y ->Z]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 합성함수 [eqn: g circf :X->Z]의 치역이 [eqn: Z]일 확률은? [eqn: [4.9점]]

④

[eqn: (가)]의 조건은 [eqn: f]가 일대일함수라는 뜻이므로 [eqn: `_4 P_3 =24]가지

[eqn: (나)]의 조건을 만족하려면 [eqn: Y]에서 [eqn: Z]로의 함수 [eqn: g]중에서 상수함수인 경우를 제외하면 되므로 [eqn: `_2 PI_4 -2 = 14]가지

따라서, 전체 경우의 수는 [eqn: 24 times 14]가지이다.

위의 경우 중에서 합성함수 [eqn: g circf]의 치역이 [eqn: Z]가 되기 위해서는 [eqn: f]의 치역으로 선택받은 [eqn: Y]의 원소 [eqn: 3]개가 [eqn: Z]의 원소와 대응시에 상수함수가 아니어야 하고, 늠은 [eqn: Y]의 원소 하나는 [eqn: Z]의 원소중 아무것이나 선택이 가능하므로 [eqn: 24 times "{"(`_2 PI _3 -2 ) times 2"}" = 24 times 12]가지이다.

따라서, 구하고자 하는 확률은 [eqn: 24 times 12} over{ 24 times 14 } = 6 over7]이다.

① [eqn: 9 over14]	② [eqn: 5 over7]	③ [eqn: 11over14]

[eqn: (가)] 집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x_1 ,~x_2]에 대하여 [eqn: x_1 not = x_2]이면 [eqn: f(x_1 ) not= f(x_2 )]이다.

[eqn: (나)] [eqn: g]의 치역은 [eqn: Z]이다.

④ [eqn: 6 over7]	⑤ [eqn: 13 over14]

서원고/2022년/H1/A

문자 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C`]가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 3]장의 카드와 숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4]가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 4]장의 카드가 있다. 이 [eqn: 7]장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로 나열할 때, 숫자 [eqn: 1]이 적혀 있는 카드와 숫자 [eqn: 2]가 적혀 있는 카드 사이에 문자가 적혀 있는 카드의 개수가 [eqn: 1]개일 확률은? [[eqn: 4.7]점]

⑤

분모 : [eqn: 7!]

분자 :

[eqn: 1,~2`]사이에 문자 [eqn: 1]개만 있는 경우 [eqn: 2! it · _{3} C _{1} ·5 !it= 6!]

[eqn: 1,~2`]사이에 문자 [eqn: 1]개, 숫자 [eqn: 1]개가 있는 경우 [eqn: 2! it · LEFT { {}_{3} C _{1} · _{2} C _{1} ·2! RIGHT } ·4! it]

[eqn: 1,~2`]사이에 문자 [eqn: 1]개, 숫자 [eqn: 2]개가 있는 경우 [eqn: 2! it · LEFT { {}_{3} C _{1} · _{2} C _{2} ·2! RIGHT } ·3! it]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {6!+24·4!+36·3!} over {7!} = {6·5·4+24·4+36} over {7·6·5·4} = {10+8+3} over {70} = {3} over {10}]

① [eqn: {17} over {70}]	② [eqn: {9} over {35}]	③ [eqn: {19} over {70}]
④ [eqn: {2} over {7}]	⑤ [eqn: {3} over {10}]

서원고/2022년/H1/B

집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 모든 함수 중에서 임의로 하나를 선택할 때, 이 함수 [eqn: f]가 다음 조건을 만족시킬 확률은 [eqn: {p} over {q}]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 4.9]점]

②

분모 : [eqn: {}_{5} PI _{5} =5 ^{5}]

분자 :

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =1]일 경우 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) <f LEFT ( 3 RIGHT ) <f LEFT ( 5 RIGHT )]인 경우 [eqn: {}_{4} C _{2} =6]이고 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]는 [eqn: 5]가지이므로 [eqn: 30]개

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =2]일 경우 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) <f LEFT ( 3 RIGHT ) <f LEFT ( 5 RIGHT )]인 경우 [eqn: {}_{5} C _{3} = _{5} C _{2} =10]이므로 [eqn: 10]개

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =3]일 경우 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =1]이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) <f LEFT ( 3 RIGHT ) <f LEFT ( 5 RIGHT )]에 모순

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =4]일 경우 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 4 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) =4]로 모순

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =5]일 경우 [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =1]이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) <f LEFT ( 3 RIGHT ) <f LEFT ( 5 RIGHT )]에 모순

조건을 만족시키는 확률은 [eqn: {30+10} over {5!} = {8} over {625} = {p} over {q}]

따라서 [eqn: p+q=8+625=633]

(가) [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 4 RIGHT ) RIGHT ) =1]

(나) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) <f LEFT ( 3 RIGHT ) <f LEFT ( 5 RIGHT )]

① [eqn: 631]	② [eqn: 633]	③ [eqn: 635]
④ [eqn: 637]	⑤ [eqn: 639]

보평고/2022년/H1/B

세 집합 [eqn: X="{"1,~3,~5"}",~Y = "{"a,~b,~c,~d"}",~Z="{"2,~4"}"]에 대하여 두 함수 [eqn: f :X->Y,~g: Y ->Z]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 합성함수 [eqn: g circf :X->Z]의 치역이 [eqn: Z]일 확률은? [eqn: [4.9점]]

④

[eqn: (가)]의 조건은 [eqn: f]가 일대일함수라는 뜻이므로 [eqn: `_4 P_3 =24]가지

[eqn: (나)]의 조건을 만족하려면 [eqn: Y]에서 [eqn: Z]로의 함수 [eqn: g]중에서 상수함수인 경우를 제외하면 되므로 [eqn: `_2 PI_4 -2 = 14]가지

따라서, 전체 경우의 수는 [eqn: 24 times 14]가지이다.

위의 경우 중에서 합성함수 [eqn: g circf]의 치역이 [eqn: Z]가 되기 위해서는 [eqn: f]의 치역으로 선택받은 [eqn: Y]의 원소 [eqn: 3]개가 [eqn: Z]의 원소와 대응시에 상수함수가 아니어야 하고, 늠은 [eqn: Y]의 원소 하나는 [eqn: Z]의 원소중 아무것이나 선택이 가능하므로 [eqn: 24 times "{"(`_2 PI _3 -2 ) times 2"}" = 24 times 12]가지이다.

따라서, 구하고자 하는 확률은 [eqn: 24 times 12} over{ 24 times 14 } = 6 over7]이다.

① [eqn: 9 over14]	② [eqn: 5 over7]	③ [eqn: 11over14]

[eqn: (가)] 집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x_1 ,~x_2]에 대하여 [eqn: x_1 not = x_2]이면 [eqn: f(x_1 ) not= f(x_2 )]이다.

[eqn: (나)] [eqn: g]의 치역은 [eqn: Z]이다.

④ [eqn: 6 over7]	⑤ [eqn: 13 over14]

보평고/2022년/H2/B

어느 고등학교의 [eqn: 1]학년 학생 [eqn: 100]명과 [eqn: 2]학년 학생 [eqn: n]명을 대상으로 봄과 여름 중 선호하는 계절을 하나만 반드시 택하도록 조사하였더니 전체 학생의 [eqn: 60%]가 봄을 택하였다. 조사 대상이 된 전체 학생 중 임의로 택한 한 명이 [eqn: 2]학년 학생일 때, 이 학생이 봄을 택한 학생일 확률은 [eqn: 1over2]이고, 조사 대상이 된 전체 학생 중 임의로 택한 한 명이 봄을 택한 학생일 때, 이 학생이 [eqn: 1]학년 학생일 확률은 [eqn: 37 over72]이다. [eqn: n]의 값은? [eqn: [5.0점]]

① [eqn: 120]	② [eqn: 130]	③ [eqn: 140]

③

전체 학생 중 임의로 택한 학생이 봄을 좋아하는 사건을 [eqn: A]라 하면 [eqn: P(A) = 60 over100 = 3 over5]이고, 전체 학생 중 임의로 택한 학생이 [eqn: 1]학년인 사건을 [eqn: B]라 하면 [eqn: P(B) = 100 over100+n]이다.

조사 대상이 된 전체 학생 중 임의로 택한 한 명이 [eqn: 2]학년 학생일 때, 이 학생이 봄을 택한 학생일 확률은 [eqn: P(A |B^C )]라 놓을 수 있으므로

[eqn: P(A |B^C ) = { P (A cap B^C ) } over{P(B^C )} = {P(A cap B^C )} over { n over100+n } = 1 over2]

[eqn: therefore~ P(A capB^C ) = n over{ 2(100+n)].................................................[eqn: (1)]

조사 대상이 된 전체 학생 중 임의로 택한 한 명이 봄을 택한 학생일 때, 이 학생이 [eqn: 1]학년일 확률은 [eqn: P(B|A)]라 놓을 수 있으므로

[eqn: P(B |A) = {P(A capB)} overP(A) ={P(A capB)} over{3 over5} = 37 over72]

[eqn: therefore~ P(A capB) = 37 over120].............................................................[eqn: (2)]

[eqn: (1),~(2)]에서

[eqn: P(A capB^C ) = P(A) - P(A capB)= 3over5 - 37 over120 = 7 over24][eqn: = n over{2 (100+n)]

[eqn: therefore ~n = 140]

④ [eqn: 150]	⑤ [eqn: 160]

분당대진고/2022년(이)/H1/B

그림과 같이 한 정삼각형의 세 변의 중점을 꼭짓점으로 하는 정삼각형을 그리고, 또 새로 그린 정삼각형의 세 변의 중점을 꼭짓점으로 하는 정삼각형을 그려서 [eqn: 7]개의 영역으로 구분되는 도형이 있다. 서로 다른 [eqn: 9]개의 색 중 [eqn: 7]개의 색을 택해 각 영역에 [eqn: 1]개의 색을 칠할 때, 그 결과가 서로 다른 경우의 수를 [eqn: n]이라 하자. [eqn: { 9!} over { n}]의 값은?

④

[eqn: n=`_9{rmC}_7 times _7{RmC}_1 times _6{rmC}_3 times 2! times 3!]

[eqn: therefore~ { 9!} over { n} = 6]

(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

분당대진고/2022년(이)/H1/B

숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8]이 하나씩 적혀있는 [eqn: 8]장의 카드가 있다. 이 [eqn: 8]장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로 나열할 때, [eqn: 5]가 적혀있는 카드의 바로 양 옆에는 각각 [eqn: 5]보다 큰 수가 적혀있고, [eqn: 6]이 적혀있는 카드의 바로 양 옆에는 각각 [eqn: 6]보다 작은 수가 적혀있을 확률을 [eqn: q over p]라 하자. [eqn: p+q]의 값은?

③

ⅰ)[eqn: 5]가 적혀있는 카드의 바로 양 옆에는 각각 [eqn: 5]보다 큰 수가 적혀있고, [eqn: 6]이 적혀있는 카드의 바로 양 옆에는 각각 [eqn: 6]보다 작은 수가 적혀있는 사건의 경우의 수 (단, [eqn: 5,~6]이 이웃하지 않을 때)

[eqn: -5-,~-6-] : [eqn: 2! times _4{rmP}_2 times 4! = LEFT ( 4! RIGHT ) ^2]

ⅲ) [eqn: 5,~6]이 이웃할 때

[eqn: -56-] 또는 [eqn: -65-] : [eqn: 2 times 4times4! times 5 times 2]

전체 경우의 수 :[eqn: 8!]

[eqn: { 4! times 4! + 5! times 16} over {8!}][eqn: = { 13} over { 210}]

[eqn: therefore~p+q=223 To 20010]

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 219]	② [eqn: 221]	③ [eqn: 223]

④ [eqn: 225]	⑤ [eqn: 227 To 20010]

운중고/2022년(이)/H1/B

교내 농구대회에서 [eqn: rmA]팀이 [eqn: rmB]팀을 이길 확률은 [eqn: {2} over {3}], [eqn: rmB]팀이 [eqn: rmC]팀을 이길 확률은 [eqn: {3} over {5}], [eqn: rmC]팀이 [eqn: rmA]팀을 이길 확률은 [eqn: {1} over {2}]이다. 아래 대진표와 같이 승자 진출전 방식으로 농구 대회를 할 때, [eqn: rmA]팀이 우승할 확률은 [eqn: p]이다. [eqn: 90p]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: rmA,~B,~C]팀이 각각 대진표의 세 자리에 배정될 확률은 같고, 비기는 경우는 없다.)

[eqn: 38]

대진표의 자리를 왼쪽부터 순서대로 ①, ②, ③라고 하자.

(ⅰ) [eqn: rmA]팀이 ③에 배정되고 결승에서 [eqn: rmB]팀을 만나서 우승할 확률은

[eqn: {1} over {3} TIMES LEFT ( {3} over {5} TIMES {2} over {3} RIGHT ) = {2} over {15}]

(ⅱ) [eqn: rmA]팀이 ③에 배정되고 결승에서 [eqn: rmC]팀을 만나서 우승할 확률은

[eqn: {1} over {3} TIMES LEFT ( {2} over {5} TIMES {1} over {2} RIGHT ) = {1} over {15}]

(ⅲ) [eqn: rmB]팀이 ③에 배정되고 [eqn: rmA]팀이 우승할 확률은

[eqn: {1} over {3} TIMES LEFT ( {1} over {2} TIMES {2} over {3} RIGHT ) = {1} over {9}]

(ⅳ) [eqn: rmC To 20010]팀이 ③에 배정되고 [eqn: rmA]팀이 우승할 확률은

[eqn: {1} over {3} TIMES LEFT ( {2} over {3} TIMES {1} over {2} RIGHT ) = {1} over {9}]

(ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 확률은 [eqn: {2} over {15} + {1} over {15} + {1} over {9} + {1} over {9} = {19} over {45}]

[eqn: p= {19} over {45}]이므로 [eqn: 90p=38]

[[eqn: 7]점]

서원고/2022년/H1/

[eqn: 5]종류의 열대어 [eqn: A,~B,~C,~D,~E``]가 각각 한 마리씩 있다. [eqn: A]는 [eqn: B]를 공격하고, [eqn: B]는 [eqn: C]를 공격하고, [eqn: C]는 [eqn: D]를 공격하고, [eqn: D]는 [eqn: E]와 [eqn: A]를 공격한다고 할 때, 물음에 답하시오. [총 [eqn: 6.0]점]

[eqn: 1-1] [eqn: {2} over {3}], [eqn: 1-2] [eqn: {2} over {11}]

[eqn: 1-1]

[eqn: A,~B,~C`]가 [eqn: 3]어항에 각각 들어가 있을 때,

[eqn: D` rarrow B]어항, [eqn: E` rarrow A] 또는 [eqn: C`]어항에 들어가는 [eqn: 2]가지

([eqn: B]와 [eqn: D]가 같은 어항에 있는 경우 [eqn: 2]개 존재)

[eqn: A]와 [eqn: C]가 같은 어항에 [eqn: B]가 다른 어항에 있을 경우

[eqn: D rarrow `B]어항, [eqn: E` rarrow `A]와 [eqn: C]어항 또는 빈 어항에 들어가는 [eqn: 2]가지

([eqn: B]와 [eqn: D]가 같은 어항에 있는 경우 [eqn: 2]개 존재)

[eqn: D rarrow `]빈 어항, [eqn: E` rarrow `A]와 [eqn: C]어항 또는 [eqn: B]어항에 들어가는 [eqn: 2]가지

따라서 [eqn: B,~D]를 [eqn: 1]어항에 넣은 확률은 [eqn: {2+2} over {2+2+2} = {4} over {6} = {2} over {3}]

[eqn: 2-2]

[eqn: A,~B,~C`,~D]가 [eqn: 4]어항에 각각 들어가 있을 때,

[eqn: E` rarrow A]어항 또는 [eqn: B`]어항 또는 [eqn: C]어항에 들어가는 [eqn: 3]가지

[eqn: A]와 [eqn: C]가 같은 어항에 [eqn: B], [eqn: D]가 다른 어항에 있을 경우

[eqn: E` rarrow `A]와 [eqn: C]어항 또는 [eqn: B]어항 또는 빈 어항에 들어가는 [eqn: 3]가지

([eqn: A,~C,~E]가 같은 어항에 있는 경우 [eqn: 1]개 존재)

[eqn: A]와 [eqn: C]가 같은 어항에 [eqn: B]와 [eqn: D]가 같은 어항에 있을 경우

[eqn: E` rarrow `A]와 [eqn: C]어항 또는 빈 어항에 들어가는 [eqn: 2]가지

([eqn: A,~C,~E]가 같은 어항에 있는 경우 [eqn: 1]개 존재)

[eqn: B]와 [eqn: D]가 같은 어항에 [eqn: A,~C`]가 다른 어항에 있는 경우

[eqn: E` rarrow `A]어항 또는 [eqn: C]어항 또는 빈 어항에 들어가는 [eqn: 3]가지

따라서 [eqn: A,~C,~E]를 [eqn: 1]어항에 넣은 확률은 [eqn: {2} over {3+3+2+3} = {2} over {11}]

[eqn: 1-1] [eqn: 5]마리의 열대어를 서로 공격하지 않는 종류끼리 함께 [eqn: 3]개의 어항에 나누어 넣을 때, [eqn: B,~D]를 [eqn: 1]개의 어항에 함께 넣을 확률을 다음 [조건]을 활용하여 구하고, 그 풀이 과정을 서술하시오.

(단, [eqn: 3]개의 어항은 구별되지 않고, 빈 어항이 있을 수 있다.)

[[eqn: 3.0]점]

[조건]

어항에 나누어 넣는 방법을 구체적으로 나열하여 확률을 계산할 것.

[eqn: 1-2] [eqn: 5]마리의 열대어를 서로 공격하지 않는 종류끼리 함께 [eqn: 4]개의 어항에 나누어 넣을 때, [eqn: A,~C,~E]를 [eqn: 1]개의 어항에 함께 넣을 확률을 다음 [조건]을 활용하여 구하고, 그 풀이 과정을 서술하시오.

(단, [eqn: 4]개의 어항은 구별되지 않고, 빈 어항이 있을 수 있다.)

[[eqn: 3.0]점]

[조건]

어항에 나누어 넣는 방법을 구체적으로 나열하여 확률을 계산할 것.

운중고/2022년(이)/H1/B

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나온 눈의 수를 차례로 [eqn: a], [eqn: b]라 할 때, 직선 [eqn: y=ax+b]가 곡선 [eqn: f(x)=- {1} over {2} x ^{2} +3x]와 만나지 않을 확률을 구하고 그 과정을 서술하시오. [[eqn: 6]점]

[eqn: {7} over {9}]

직선 [eqn: y=ax+b]가 곡선 [eqn: f(x)=- {1} over {2} x ^{2} +3x]와 만나지 않는 경우는

이차방정식 [eqn: ax+b=- {1} over {2} x ^{2} +3x]의 실근이 존재하지 않는 경우와 같다.

[eqn: ax+b=- {1} over {2} x ^{2} +3x]

[eqn: {1} over {2} x ^{2} +(a-3)x+b=0 To 20010]의 실근이 존재하지 않는 경우는 판별식 [eqn: D<0]인 경우이다.

[eqn: D=(a-3) ^{2} -2b<0]

[eqn: (a-3) ^{2} <2b] 을 만족하는 경우는

[eqn: a=1]일 때 [eqn: b=3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]

[eqn: a=2]일 때 [eqn: b=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]

[eqn: a=3]일 때 [eqn: b=1 To 20010], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]

[eqn: a=4]일 때 [eqn: b=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]

[eqn: a=5]일 때 [eqn: b=3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6 To 20010]

[eqn: a=6]일 때 [eqn: b=5], [eqn: 6]

총 [eqn: 28]가지이므로 구하는 확률은 [eqn: {28} over {36} = {7} over {9}]

분당대진고/2022년(이)/H1/B

집합 [eqn: X = left{ a,~b,~c,~d right}]에서 집합 [eqn: Y = left{-3,~-2,~-1,~0,~1,~2 right}]으로의 함수 중에서 임의로 택한 한 함수를 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) f LEFT ( b RIGHT ) leq 0] 또는 [eqn: f LEFT ( c RIGHT ) f LEFT ( d RIGHT ) GEQ 0]이 성립할 확률은? [[eqn: 4.9]점]

⑤

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) f LEFT ( b RIGHT ) leq 0] 또는 [eqn: f LEFT ( c RIGHT ) f LEFT ( d RIGHT ) GEQ 0 To 20010]일 확률은

전체 확률 [eqn: 1]에서 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) f LEFT ( b RIGHT ) >0] 이고 [eqn: f LEFT ( c RIGHT ) f LEFT ( d RIGHT ) < 0] 인 확률을 뺀 것과 같다.

[eqn: 1 - LEFT ( { 3^2 + 2^2} over {6^2 } times { 2`times 3 times 2} over {6^2 } RIGHT ) ={ 95} over { 108}]

① [eqn: {13} over {108}]	② [eqn: {13} over {218}]	③ [eqn: {205} over {218}]

④ [eqn: {17} over {216}]	⑤ [eqn: {95} over {108}]

분당대진고/2022년(이)/H1/B

방정식 [eqn: x+y+z =7]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x,~y,~z]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,~y,~z RIGHT )]중에서 [eqn: 2^x times 4^y]이 [eqn: 8]의 배수일 확률은 [eqn: q over p]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하고, 그 과정을 자세히 서술하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 7]점]

[eqn: 17]

[eqn: 2^x times 4^y][eqn: =2 ^x+2y] 가 [eqn: 8]의 배수이기 위해서는 [eqn: x+2y geq 3]

즉 전체 확률에서 [eqn: x+2y leq 2 To 20010]일 때를 빼면 된다.

[eqn: x+2y leq 2]를 만족하는 [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT )]의 경우는

[eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT ),~ LEFT ( 1,~0 RIGHT ),~ LEFT ( 0,`0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,~1 RIGHT )]로 총 [eqn: 4]가지뿐이다.

[eqn: 1- { 4} over { `_3{RmH}_7} = 1- { 4} over { 36} = { 8} over { 9}]

[eqn: therefore~p+q = 17]

풍생고/2022년/H1/B

[eqn: A], [eqn: B], [eqn: C`] 세 개의 반으로 구성된 어느 동아리 회원 [eqn: 15]명이 있다. 다음 조건을 만족시킬 때, 이 동아리 회원 중에서 [eqn: A]반과 [eqn: C`]반의 학생 수의 합은? (단, 각 반 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C`]에서 적어도 한 명 이상은 이 동아리의 회원이다.) [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]
④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

③

[eqn: A]반: [eqn: 2x] 명, [eqn: B]반: [eqn: x] 명, [eqn: C`]반: [eqn: 15-3x] 명

같은 반 [eqn: 2]명이 대표로 뽑힐 확률은

[eqn: {{}_{2x} C _{2} + _{x} C _{2} + _{15-3x} C _{2}} over {{}_{15} C _{2}} = {11} over {35}]

[eqn: 7x ^{2} -45x+72=0]

[eqn: LEFT ( 7x-24 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) =0]

[eqn: x=3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: A]반과 [eqn: C`]반의 합은 [eqn: 12]명

(가) 이 동아리의 [eqn: A]반의 학생 수는 [eqn: B]반의 학생 수의 [eqn: 2]배이다.

(나) [eqn: 15]명의 회원 중에서 대표 [eqn: 2]명을 뽑을 때, 같은 반의 학생이 뽑힐 확률은 [eqn: {11} over {35}]이다.

운중고/2022년(이)/H1/B

농구 경기에서 [eqn: rmA,~B]두 팀이 [eqn: 5]번의 대결을 하여 [eqn: 3]번을 먼저 이기는 팀이 우승한다. 첫 번째 대결이 끝난 현재 [eqn: rmA]팀이 이긴 상황에서 [eqn: rmB To 20010]팀이 우승할 확률은?

②

[eqn: rmB]팀이 우승하는 경우의 확률은 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: 3]번의 경기를 연속하여 모두 이기는 경우

[eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} = {1} over {8}]

(ⅱ) [eqn: 3]번의 경기에서 [eqn: 2]승 [eqn: 1]패를 하고, 마지막 경기를 이기는 경우

[eqn: {}_{3} rm C _{2} TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} TIMES {1} over {2} = {3} over {16}]

따라서 [eqn: rmB]팀이 우승할 확률은 [eqn: {1} over {8} + {3} over {16} = {5} over {16}]

(단, [eqn: rmA]팀이 [eqn: rmB]팀을 이길 확률은 [eqn: {1} over {2}]이고, 비기는 경우는 없다.) [[eqn: 4.9]점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {5} over {16}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {7} over {16}]	⑤ [eqn: {9} over {16}]

야탑고/2022년/H1/B

다음 조건을 만족시키는 두 집합 [eqn: A,`B]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( A,`B RIGHT )] 중에서 임의로 하나를 택할 때, 두 집합 [eqn: A,`B]가 서로소일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 5.1]점]

④

전체 경우의 수를 먼저 구하면

[eqn: n(B)=1]일 때 [eqn: {} _{4} C _{1}][eqn: TIMES]2=[eqn: 8]
[eqn: n(B)=2]일 때 [eqn: {} _{4} C _{2}][eqn: TIMES][eqn: 2 ^{2}]=[eqn: 24]
[eqn: n(B)=3]일 때 [eqn: {} _{4} C _{3}][eqn: TIMES][eqn: 4]=[eqn: 16] [eqn: ex)`B= LEFT { 1,2,3 RIGHT }] [eqn: A]는 4가 반드시 필요하고 [eqn: 1,2,3]중 2개 혹은 3개를 가지고 있어야 하므로 [eqn: {} _{3} C _{2} + _{3} C _{3} =4]
[eqn: n(B)=4]일 때 [eqn: {} _{4} C _{4}][eqn: TIMES][eqn: 1]=[eqn: 1]
[eqn: 49]가지
서로소가 되는 경우의 수는 합집합이 항상 [eqn: LEFT { 1,2,3,4 RIGHT }]이므로
[eqn: n(B)=1]일 때 [eqn: n(A)=3]개 [eqn: {} _{4} C _{1} =4]
[eqn: n(B)=2]일 때 [eqn: n(A)=]2개 [eqn: {} _{4} C _{2} =6]
[eqn: n(B)=3]일 때 불가능
[eqn: n(B)=4]일 때 불가능
답은 [eqn: {10} over {49}]이다

(가) [eqn: A CUP B= LEFT { 1,2,3,4 RIGHT }]

(나) [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) GEQ n LEFT ( B RIGHT ) GEQ 1]

① [eqn: 57]	② [eqn: 58]	③ [eqn: 59]
④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 61]

풍생고/2022년/H1/B

일곱 개의 숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7]중에서 서로 다른 세 개를 택하여 세 자리 자연수를 만들 때, [eqn: 9]의 배수일 확률은 [eqn: {b} over {a}]이다. [eqn: a+b]의 값은? ( 단, [eqn: a,~b]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 31]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 35]
④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: 39]

⑤

전체 경우: [eqn: {}_{7} C _{3} TIMES 3!`]

[eqn: 9]의 배수인 경우는

[eqn: (1,~2,~6)`(1,~3,~5)`(2,~3,~4)`(5,~6,~7)] 을 뽑았을 때이므로

[eqn: 4TIMES 3!`]

[eqn: {b} over {a} = {4 TIMES 3!} over {{}_{7} C _{3} TIMES 3!} = {4} over {35}] [eqn: thereforea+b=35+4=39]

[다른 풀이]

전체 경우: [eqn: {}_{7} P _{3} `] (이하동일)

성일고/2022년/H1/A

서로 다른 세 주머니에 숫자 [eqn: 1,``2,``3,``4,``5,``6]이 하나씩 적힌 [eqn: 6]개의 공이 각각 들어 있다. 갑이 서로 다른 세 주머니에서 각각 공을 한 개씩 임의로 꺼낸 후, 을도 서로 다른 세 주머니에서 각각 공을 한 개씩 임의로 꺼낸다. 갑이 꺼낸 [eqn: 3]개의 공에 적힌 숫자를 크기순으로 [eqn: a _{1} ,```a _{2} ,```a _{3}] [eqn: (`a_1 le a_2 le a_3`)] 이라 하고 을이 꺼낸 [eqn: 3]개의 공에 적힌 숫자를 크기순으로 [eqn: b _{1} ,```b _{2} ,```b _{3}] [eqn: (`b _{1} LEQ b _{2} LEQ b _{3} `)] 이라 할 때, [eqn: a_i !=b_i]인 [eqn: i ```( i = 1,```2,```3 )]이 존재할 확률을 구하는 과정을 논리적으로 서술하시오. (단, 꺼낸 공은 주머니에 다시 넣지 않는다.) [[eqn: 4.8]점]

[eqn: 223 over 225]

갑이 꺼낸 공이 [eqn: a _{1} ,```a _{2} ,```a _{3}] [eqn: (`a_1 le a_2 le a_3`)] 이고

을이 꺼낸 공이 [eqn: b _{1} ,```b _{2} ,```b _{3}] [eqn: (`b _{1} LEQ b _{2} LEQ b _{3} `)] 이면

[eqn: a_i !=b_i]인 [eqn: i ```( i = 1,```2,```3 )]이 존재할 확률은 적어도 하나 존재할 확률과 같다.

그러므로 전체 확률에서 [eqn: a_i =b_i]인 [eqn: i ```( i = 1,```2,```3 )]이 모두 성립하는 것을 빼면 된다.

전체 확률은 [eqn: 6 ^ 3 times 5 ^ 3]가지 (꺼낸 공은 다시 넣지 않으므로)

구하는 확률은 [eqn: 1 - { `_6 P_3 times 2 } over { 6^ 3 times 5 ^ 3 } = 1 - 2 over 225 = 223 over 225]이다.

풍생고/2022년/H1/B

세 쌍의 부부가 원탁에 둘러앉을 때, 두 쌍의 부부만 이웃하여 앉을 확률은? [[eqn: 4.4`#]점]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {4} over {15}]	③ [eqn: {1} over {3}]
④ [eqn: {2} over {5}]	⑤ [eqn: {7} over {15}]

①

전체 경우의 수는 [eqn: (6-1)=`120]가지

두 쌍 부부를 선택하는 경우의 수 [eqn: {}_{3} C _{2} =3]가지

그 사이에 한 쌍의 부부가 이웃하지 않게 앉는 경우 [eqn: {}_{2} P _{2} =2`]가지

두 쌍의 부부가 각각 자리를 바꿀 때 [eqn: 2 TIMES 2=4`]가지

따라서 두 쌍의 부부만 이웃하여 앉는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 2 TIMES 4=24]가지

[eqn: THEREFORE {24} over {120} = {1} over {5}]

풍생고/2022년/H1/B

주머니에 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5]가 하나씩 적힌 공이 각각 [eqn: 2]개씩 모두 [eqn: 10]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 나온 공에 적힌 수의 최댓값이 [eqn: 4]일 확률은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {3} over {10}]	③ [eqn: {7} over {20}]
④ [eqn: {2} over {5}]	⑤ [eqn: {9} over {20}]

②

전체 경우의 수 [eqn: {}_{10} C _{3} =120]가지

1) [eqn: 4]가 적힌 공 [eqn: 2]개를 포함하여 공을 꺼내는 경우: [eqn: {}_{2} C _{2} TIMES _{6} C _{1=} 6]가지

2) [eqn: 4]가 적힌 공 [eqn: 1]개를 포함하여 공을 꺼내는 경우:[eqn: {}_{2} C _{1} TIMES _{6} C _{2=} 30]가지

[eqn: THEREFORE {36} over {120} = {3} over {10}]

현암고/2022년/H1/B

자연수 [eqn: n( n ge 4)]에 대하여 집합 [eqn: A]를 [eqn: A="{"(x,~y) left| 1 le x le y le n,~x]와 [eqn: y]는 자연수[eqn: "}"]라 하자. 집합 [eqn: A]에서 임의로 선택된 한 개의 원소 [eqn: (a,~b)]에 대하여 [eqn: b-a]가 [eqn: 3]일 때, [eqn: a]가 [eqn: 3]의 배수일 확률이 [eqn: 3over10]이 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은? [eqn: [4.9점]]

① [eqn: 32]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 36]

③

[eqn: 1 le x le y le n]을 만족하는 순서쌍 [eqn: (x,~y)]를 선택하는 모든 방법의 수는 [eqn: `_n H_2 = _n+1 C_2 = {(n+1) n} over2]가지

[eqn: (x,~y)]중 임의로 선택한 [eqn: (a,~b)]에서 [eqn: b-a =3]을 만족하는 경우의 수는 [eqn: (1,~4),~(2,~5),~cdots,~(n-3,~n)]와 같이 [eqn: n-3]가지

그중 [eqn: a]가 [eqn: 3]의 배수인 경우는 [eqn: left[ n-3 over3 right]]가지

[eqn: (]단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수[eqn: )]

[eqn: A]사건을 [eqn: b-a][eqn: =3]인 사건이라 놓고 [eqn: B]사건을 [eqn: a]가 [eqn: 3]의 배수인 사건이라 놓으면

[eqn: P(A) = n-3 over{ n(n+1) over2 }]

[eqn: P(A capB) = {left[ n-3 over3 right]} over{n(n+1) over2}]이고

문제에서 요구하는 확률은

[eqn: P(B |A) = {P(A capB)} overP(A) = { left[ n-3 over3 right]} overn-3 = 3 over10]

[eqn: therefore] [eqn: 10 left[ n-3 over3 right] =3(n-3)]에서 [eqn: left[ n-3 over3 right]]와 [eqn: n-3]은 모두 자연수이므로 [eqn: left[ n-3 over3 right]]는 [eqn: 3]의 배수이고 [eqn: n-3]은 [eqn: 10]의 배수여야 한다.

[eqn: n=13]일 때, [eqn: left[ n-3 over3 right] =3]이므로 성립

[eqn: n=23]일 때, [eqn: left[ n-3 over3 right] =6]이므로 성립

[eqn: n=33]일 때, [eqn: left[ n-3 over3 right] =10]이므로 성립하지 않는다.

[eqn: n=43]일 때, [eqn: left[ n-3 over3 right] =13]이므로 성립하지 않는다.

따라서, 만족하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 36]이다.

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 40]

운중고/2022년(이)/H1/B

상자 [eqn: rmA]에는 흰 공 [eqn: 6]개, 상자 [eqn: rmB]에는 검은 공 [eqn: 7]개가 들어 있다. 다음 과 같이 [실행[eqn: 1]]부터 [실행[eqn: 3]]까지 할 때, 상자 [eqn: rmB]의 검은 공의 개수가 짝수일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p-q]의 값은?

④

[실행[eqn: 3]]까지 할 때, 상자 [eqn: rmB]의 검은 공의 개수가 짝수가 되려면

(ⅰ) [실행[eqn: 2 To 20010]]에서 상자 [eqn: rmB]에서 검은 공 [eqn: 2]개를 상자 [eqn: rmA]로 넣고 [실행[eqn: 3]] 에서는 상자 [eqn: rmA]에서 흰 공 [eqn: 1]개, 검은 공 [eqn: 1]개를 상자 [eqn: rmB]로 넣는 경우

[eqn: {{}_{7} rm C _{2}} over {{}_{9} rm C _{2}} TIMES {{}_{4} rm C _{1} TIMES _{2} rm C _{1}} over {{}_{6} rm C _{2}} = {14} over {45}]

(ⅱ) [실행[eqn: 2]]에서 상자 [eqn: rmB]에서 흰 공 [eqn: 1]개, 검은 공 [eqn: 1]개를 상자 [eqn: rmA]로 넣고 [실행[eqn: 3]]에서는 상자 [eqn: rmA]에서 흰 공 [eqn: 2 To 20010]개를 상자 [eqn: rmB]로 넣는 경우

[eqn: {{}_{2} rm C _{1} TIMES _{7} C _{1}} over {{}_{9} rm C _{2}} TIMES {{}_{5} rm C _{2}} over {{}_{6} rm C _{2}} = {7} over {27}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: {14} over {45} + {7} over {27} = {77} over {135}] 따라서 [eqn: p-q=58]

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 4.8]점]

[실행[eqn: 1 To 20010]] 상자 [eqn: rmA]에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼내어 상자 [eqn: rmB]에 넣는다.

[실행[eqn: 2]] 상자 [eqn: rmB]에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼내어 상자 [eqn: rmA]에 넣는다.

[실행[eqn: 3]] 상자 [eqn: rmA]에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼내어 상자 [eqn: rmB]에 넣는다.

상자 [eqn: rmA] 상자 [eqn: rmB]

① [eqn: 55]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 57]

④ [eqn: 58 To 20010]	⑤ [eqn: 59]

야탑고/2022년/I2/B

그림과 같이 직사각형 [eqn: RMABCD]의 변 [eqn: RMAB] 위에 선분 [eqn: RMAB]를 [eqn: 5]등분 하는 [eqn: 4]개의 점이 있고. 변 [eqn: RMCD]위에 선분 [eqn: RMCD]를 [eqn: 6]등분하는 [eqn: 5]개의 점이 있다. 변 [eqn: RMCD] 위의 [eqn: 5]개의 점 중에 임의로 서로 다른 [eqn: 4]개의 점을 택하여 변[eqn: RMAB] 위의 서로 다른 [eqn: 4]개의 점과 일대일로 이어서 임의로 [eqn: 4]개의 선분을 그릴 때, [eqn: 4]개의 선분에 의하여 생기는 교점의 개수가 [eqn: n]인 사건을 [eqn: E _{n}]이라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 5.3]점]

④

그림과 같이 변 [eqn: \AB] 위의 [eqn: 4]개의 점에 각각 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]의 번호를 매기고, 변 [eqn: \CD] 위의 [eqn: 5]개의 점에 각각 [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9]의 번호를 매기자.

두 집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { 5,~6,~7,~8,~9 RIGHT }]라 하면 변 [eqn: \CD] 위의 [eqn: 5]개의 점 중에서 서로 다른 [eqn: 4]개의 점을 임의로 택하여 변 [eqn: \AB] 위의 네 점과 일대일로 이어서 임의로 [eqn: 4]개의 선분을 그리는 경우의 수는 집합 [eqn: X]에서 집합 [eqn: Y]로의 일대일함수의 개수와 같다.

이때 집합 [eqn: X]에서 집합 [eqn: Y]로의 일대일함수를 [eqn: f]라 하면 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: it _5 rm P it _4][eqn: = 5 times 4 times 3 times 2]
[eqn: =120]

주어진 시행에서 네 선분에 의하여 생기는 교점의 개수가 [eqn: 0]인 사건을 [eqn: E], [eqn: 1]인 사건을 [eqn: F]라 하면 구하는 확률은 [eqn: RM P IT LEFT ( LEFT ( E CUP F RIGHT )^C RIGHT )]이다.

(ⅰ) 네 선분에 의하여 생기는 교점의 개수가 [eqn: 0]인 경우는 함수 [eqn: f]가
[eqn: f(1) < f(2) < f(3) <f(4)]
를 만족시키는 경우이므로 이 경우의 수는
[eqn: it _5 rm C _4 = _5 RM C IT _1 =5]
그러므로 ㄱ은 참이다

(ⅱ) 네 선분에 의하여 생기는 교점의 개수가 [eqn: 1]인 경우는 다음과 같이 나누어 생각할 수 있다.

㉠ [eqn: f(2) < f(1) <f(3) <f(4)]인 경우
[eqn: f(1) = 6], [eqn: f(2) = 5]인 경우 [eqn: f(3)], [eqn: f(4)]의 값을 택하는 경우의 수는
[eqn: it _3 rm C IT _2 = 3]
[eqn: f(1) = 7], [eqn: f(2) = 5] 또는 [eqn: f(1)=7], [eqn: f(2) = 6]인 경우 [eqn: f(3) = 8], [eqn: f(4) = 9]이어야 하므로 경우의 수는
[eqn: 2 times 1 = 2]
그러므로 이 경우의 수는
[eqn: 3 + 2 = 5]

㉡ [eqn: f(1) < f(3) < f(2) < f(4)]인 경우
[eqn: f(2) =7], [eqn: f(3) = 6]인 경우 [eqn: f(1) =5]이고 [eqn: f(4)]의 값을 택하는 경우의 수는
[eqn: it _2 rm C IT_1 = 2]
[eqn: f(2) = 8], [eqn: f(3) = 6]인 경우 [eqn: f(1) = 5], [eqn: f(4) = 9]이어야 하므로 경우의 수는
[eqn: 1]
[eqn: f(2) = 8], [eqn: f(3) = 7]인 경우 [eqn: f(4) =9]이고 [eqn: f(1)]의 값을 택하는 경우의 수는
[eqn: it _2 rm C IT_1 = 2]
그러므로 이 경우의 수는
[eqn: 2+1+2=5]

㉢ [eqn: f(1) < f(2) <f(4)< f(3)]인 경우
[eqn: f(3) = 9], [eqn: f(4) =8]인 경우 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)]의 값을 택하는 경우의 수는
[eqn: it _3 rm C_2 =3]
[eqn: f(3) =9], [eqn: f(4) =7] 또는 [eqn: f(3) = 8], [eqn: f(4) =7]인 경우 [eqn: f(1) = 5], [eqn: f(2) =6]이어야 하므로 경우의 수는
[eqn: 2 times 1 = 2]
그러므로 이 경우의 수는
[eqn: 3+2= 5]

㉣ [eqn: f(3) < f(2) <f(1) < f(4)]인 경우
이 경우 [eqn: f(1) = 7], [eqn: f(2) = 6], [eqn: f(3) =5] 또는 [eqn: f(1) = 8], [eqn: f(2) = 7], [eqn: f(3) = 6]이면 세 선분이 한 점에서 만난다.
이때 [eqn: f(4)]의 값을 택하는 경우의 수는 각각 [eqn: 2], [eqn: 1]이므로 이 경우의 수는
[eqn: 2+1=3]

㉤ [eqn: f(1) < f(4) <f(3) < f(2)]인 경우
이 경우 [eqn: f(2) =9], [eqn: f(3) =8], [eqn: f(4) = 7] 또는 [eqn: f(2) = 8], [eqn: f(3) = 7], [eqn: f(4) =6]이면 세 선분이 한 점에서 만난다.
이때 [eqn: f(1)]의 값을 택하는 경우의 수는 각각 [eqn: 2], [eqn: 1]이므로 이 경우의 수는
[eqn: 2+1 =3]

㉥ [eqn: f(4) < f(3) < f(2) <f(1)]인 경우
이 경우 [eqn: f(1) = 8], [eqn: f(2) = 7], [eqn: f(3) = 6], [eqn: f(4) = 5] 또는 [eqn: f(1) = 9], [eqn: f(2) = 8], [eqn: f(3) = 7], [eqn: f(4) = 6]이면 네 선분이 한 점에서 만난다. 그러므로 이 경우의 수는
[eqn: 2]

㉠~㉥에 의하여 네 선분에 의하여 생기는 교점의 개수가 [eqn: 1]인 경우의 수는
[eqn: 5+5+5+3+3+2= 23]

ㄴ은 거짓이고

ㄷ은 확률이 [eqn: {5+23} over {120}]이므로 참이다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: n LEFT ( E _{0} RIGHT ) = _{5} C _{4}]

ㄴ. [eqn: n LEFT ( E _{1} RIGHT ) = _{5} C _{4} TIMES 3]

ㄷ. [eqn: rm P LEFT ( E _{0} CUP E _{1} RIGHT ) = {7} over {30}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ,ㄴ
④ ㄱ,ㄷ	⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

조건부 확률(step1)

2.

조건부확률

풍생고/2022년/H2/D

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

③

[eqn: P(A CUP B)= {2} over {5} + {7} over {10} - {1} over {5} = {9} over {10}]

[eqn: P(A ^{C} SMALLINTER B ^{C} )=P LEFT ( (A CUP B) ^{C} RIGHT ) = {1} over {10}]

[eqn: P(A ^{C} ` vert B ^{C} )= {P(A ^{C} SMALLINTER B ^{C} )} over {P(B ^{C} )} = {{1} over {10}} over {{3} over {10}} = {1} over {3}]

[eqn: P(A)= {2} over {5}], [eqn: P(B ^{C} )= {3} over {10}], [eqn: P(A SMALLINTER B)= {1} over {5}] 일 때,

[eqn: P LEFT ( A ^{C} ` vert B ^{C} ` RIGHT )]의 값은? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: {1} over {15}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {3}]
④ [eqn: {7} over {15}]	⑤ [eqn: {3} over {5}]

서원고/2022년/H2/D

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: P LEFT ( A RIGHT ) =0.2], [eqn: P LEFT ( B RIGHT ) =0.5], [eqn: P LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B ^{C} RIGHT ) =0.4]일 때, [eqn: P LEFT ( A` vert B RIGHT )]의 값은? [[eqn: 3.4]점]
① [eqn: {4} over {11}]	② [eqn: {2} over {9}]	③ [eqn: {2} over {7}]
④ [eqn: {1} over {6}]	⑤ [eqn: {1} over {5}]

⑤

[eqn: P LEFT ( A RIGHT ) =0.2], [eqn: P LEFT ( B RIGHT ) =0.5], [eqn: P LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B ^{C} RIGHT ) =0.4]에서 [eqn: P` LEFT ( A CUP B RIGHT ) =0.6]

[eqn: P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) =0.2+0.5-0.6=0.1]이므로

따라서 구하는 [eqn: P LEFT ( A` vert B RIGHT ) = {P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )} over {P LEFT ( B RIGHT )} = {0.1} over {0.5} = {1} over {5}]

서현고/2022년/H2/D

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]에 대하여
[eqn: rm{P}it(A)= {1} over {2}], [eqn: rm P it (B)= {2} over {5}], [eqn: rm P it (A ^{C} SMALLINTER B ^{C} )= {3} over {10}]
일 때, [eqn: rm P it (B``□A)]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: {3} over {10}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {3} over {5}]	⑤ [eqn: {7} over {10}]

②

[eqn: rm P it (A ^{C} SMALLINTER B ^{C} )=P((A CUP B) ^{C} )=1-P(A CUP B)= {3} over {10}]이므로

[eqn: P(A CUP B)= {7} over {10}]이고, [eqn: P(A SMALLINTER B)=P(A)+P(B)-P(A CUP B)= {1} over {5}]

[eqn: P(B`□`A)= {P(B SMALLINTER A)} over {P(A)} = {2} over {5}]

보평고/2022년/H2/C

두 사건 [eqn: A,~B]가 서로 배반사건이고 [eqn: P(A) = 1over4 ,~ P(B) = 1over3]일 때, [eqn: P(A left|B^C `)]의 값은? (단, [eqn: A^C]는 [eqn: A]의 여사건이다.) [eqn: [4.4점]]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 3over8]	③ [eqn: 1over2]

②

[eqn: A,~B]가 배반사건이므로 [eqn: P(A capB) = 0]이다.

[eqn: P(A) = 1over4], [eqn: P(B) = 1over3]에서 [eqn: P(B^C ) = 1- P(B) = 2 over3]이므로

[eqn: therefore] [eqn: P(A``|B^C ) = {P(A capB^C ) } over{P(B^C )} = P(A) over{ P(B^C )} = 1over4 over{2over3} = 3 over8]

[eqn: (becauseA capB = emptyset]이므로 [eqn: A subset B^C]이고 [eqn: A capB^C = A]이다.[eqn: )]

④ [eqn: 5 over8]	⑤ [eqn: 3over4]

서원고/2022년/h2/D

흰 공 [eqn: n]개와 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있는 상자에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 [eqn: 2]개의 공이 서로 다른 색의 공이 나올 확률이 [eqn: {4} over {7}]이 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은? [[eqn: 4.3]점]

③

분모 : [eqn: {}_{n+4} C _{2} = {LEFT ( n+4 RIGHT ) LEFT ( n+3 RIGHT )} over {2}]

분자 : [eqn: {}_{n} C _{1} · _{4} C _{1} =4n]

서로 다른 색의 공이 나올 확률 [eqn: {8n} over {LEFT ( n+4 RIGHT ) LEFT ( n+3 RIGHT )} = {4} over {7}]

[eqn: 14n=n ^{2} +7n+12] [eqn: n ^{2} -7n+12=0] [eqn: LEFT ( n-3 RIGHT ) LEFT ( n-4 RIGHT ) =0]

따라서 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 3+4=7]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

서원고/2022년/h2/D

어느 [eqn: TV] 진품명품 코너에는 고미술품에 대한 진품 감별 의뢰가 들어오는 데 고미술품의 [eqn: 80]%는 진품이고 [eqn: 20]%는 가품이라고 한다. 이 코너의 감별 전문가가 진품을 가품으로 잘못 감별할 확률은 [eqn: 0.01], 가품을 진품으로 잘못 감별할 확률이 [eqn: 0.02]이라고 할 때, 이 코너의 감별 전문가가 고미술품을 진품으로 감별할 확률은? [[eqn: 4.5]점]

	진품	가품
진품	[eqn: 0.8 TIMES 0.99]	[eqn: 0.8 TIMES 0.01]	[eqn: 0.8]
가품	[eqn: 0.2 TIMES 0.02]	[eqn: 0.2 TIMES 0.98]	[eqn: 0.2]

②

조건을 표로 나타내면

감별 전문가가 고미술품을 진품으로 감별할 확률은

(진품일 때, 진품이라고 할 확률)[eqn: +](가품일 때, 진품이라고 할 확률)

[eqn: =0.792+0.004=0.796]

① [eqn: 0.680]	② [eqn: 0.796]	③ [eqn: 0.820]
④ [eqn: 0.880]	⑤ [eqn: 0.932]

풍생고/2022년/H2/D

흰 공 [eqn: 5]개와 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있는 주머니에서 기태, 희정의 순서대로 공을 한 개씩 꺼낼 때, 희정이가 흰 공을 뽑을 확률은? (단, 꺼낸공은 다시 넣지 않는다.) [eqn: [4.1점]]

① [eqn: {2} over {9}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {4} over {9}]
④ [eqn: {5} over {9}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

④

기대가 흰공을 뽑는 사건을 [eqn: A]

희정이가 흰공을 뽑는 사건을 [eqn: B]

[eqn: P(B)=P(A` vert B)+P(A ^{C} ` vert B)= {5} over {9} TIMES {4} over {8} + {4} over {9} TIMES {5} over {8} = {5} over {9}]

조건부 확률(-일때)

성남여고/2022년/H2/D

어느 고등학교에서 여학생은 전체 학생의 [eqn: {1} over {2}]이고, 안경을 쓴 여학생은 전체 학생의 [eqn: {9} over {32}]이다. 이 고등학교 전체 학생 중에서 임의로 택한 한 명이 여학생일 때, 그 여학생이 안경을 쓴 학생일 확률은? [[eqn: 4.9]점]

③

여학생을 [eqn: A], 안경을 쓴 학생을 [eqn: B]라 하면

[eqn: P LEFT ( A RIGHT ) = {1} over {2}], [eqn: P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) = {9} over {32}]이므로 조건부 확률에 따라

[eqn: P LEFT ( B` vert A RIGHT ) = {P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )} over {P LEFT ( A RIGHT )} = {{9} over {32}} over {{1} over {2}} = {9} over {16}]

① [eqn: {9} over {32}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {9} over {16}]

④ [eqn: {5} over {8}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

풍생고/2022년/H2/D

[eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지의 자연수 중에서 임의로 한 개를 택할 때, 택한 수가 [eqn: 2]의 배수일 때, 그 수가 [eqn: 4]의 배수일 확률은? [3.9점]

① [eqn: {1} over {10}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {3} over {10}]
④ [eqn: {2} over {5}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

④

[eqn: 2]의 배수를 택한 사건을 [eqn: A]

[eqn: 4]의 배수를 택한 사건을 [eqn: B]

[eqn: P(A)= {5} over {10}]

[eqn: P(B)= {2} over {10}]

[eqn: P(B` vert A)= {2} over {5}]

죽전고/2022년/H2/D

어느 학급의 학생 [eqn: 30]명을 대상으로 과목 [eqn: RMA]와 과목 [eqn: RMB]에 대한 선호도를 조사하였다. 이 조사에 참여한 학생은 두 과목 중 반드시 하나를 선택하였고, 각각의 과목을 선택한 학생 수는 다음과 같다.

구분	과목 [eqn: RMA]	과목 [eqn: RMB]	합계
남학생	[eqn: 9]	[eqn: 5]	[eqn: 14]
여학생	[eqn: 4]	[eqn: 12]	[eqn: 16]
합계	[eqn: 13]	[eqn: 17]	[eqn: 30]

이 조사에 참여한 학생 [eqn: 30]명 중에서 임의로 선택한 한 명이 여학생일 때, 이 학생이 과목 [eqn: RMA]를 선택한 학생일 확률은? [[eqn: 3.7]점]

① [eqn: {2} over {15}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {4} over {13}]	④ [eqn: {9} over {16}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

②

[eqn: {4} over {16}][eqn: = {1} over {4}]

풍생고/2022년/H2/D

어느 바이러스의 감염 여부를 판정하는 검사를 받은 200명의 결과가 다음 표와 같다.

⑤

양성반응 보인 사람 [eqn: A]

바이러스에 감염판정 [eqn: B]

[eqn: P(E` vert A)= {P(A SMALLINTER E)} over {P(A)} = {36} over {52} = {9} over {13}]

(단위 : 명)

	양성 반응	음성 반응	합계
감염자	[eqn: 36]	[eqn: 4]	[eqn: 40]
비감염자	[eqn: 16]	[eqn: 144]	[eqn: 160]
합계	[eqn: 52]	[eqn: 148]	[eqn: 200]

이 검사를 받은 사람 [eqn: 200]명 중에서 임의로 선택한 한 명이 양성 반응을 보인 사람일 때, 그 사람이 실제로 바이러스에 감염된 사람일 확률은? [3.9점]

① [eqn: {1} over {13}]	② [eqn: {3} over {13}]	③ [eqn: {5} over {13}]
④ [eqn: {7} over {13}]	⑤ [eqn: {9} over {13}]

서원고/2022년/H2/D

[eqn: 3]개의 당첨제비를 포함하여 [eqn: 10]개의 제비가 들어 있는 상자에서 갑과 을이 차례로 제비를 [eqn: 1]개씩 임의로 뽑는다고 한다. 한 번 뽑은 제비는 다시 넣지 않을 때, 을이 당첨제비를 뽑을 확률은? [[eqn: 3.4]점]

①

갑이 당첨 후에 을이 당첨될 확률 [eqn: {3} over {10} · {2} over {9} = {6} over {90}]

갑이 당첨안 된 후에 을이 당첨 확률 [eqn: {7} over {10} · {3} over {9} = {21} over {90}]

따라서 을이 당첨될 확률은 [eqn: {6+21} over {90} = {27} over {90} = {3} over {10}]

① [eqn: {3} over {10}]	② [eqn: {2} over {9}]	③ [eqn: {3} over {8}]
④ [eqn: {3} over {5}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

서현고/2022년/H2/D

어느 농고 동아리 회원의 [eqn: 60%]는 남자이고, 이 동아리의 남자 회원의 [eqn: 60%], 여자 회원의 [eqn: 70%]가 현재 농구 레슨을 받고 있다. 이 동아리의 회원 중에서 임의로 한 명을 택할 때, 이 회원이 현재 레슨을 받고 있는 회원일 확률은? [[eqn: 4.3]점]

④

농구 동아리 회원 중 남자인 사건을 [eqn: A], 레슨을 받고 있는 회원을 [eqn: X]라고 하면
[eqn: P(A)=0.6], [eqn: P(A ^{c} )=0.4]

[eqn: P(X□A)=0.6], [eqn: P(X□A ^{C} )=0.7]

[eqn: P(X)=][eqn: P(X` SMALLINTER A)+P(X` SMALLINTER A ^{c} )][eqn: =P(A)P(X` vert A)+P(A ^{c} )P(X` vert A ^{c} )]

[eqn: =0.6 TIMES 0.6+0.4 TIMES 0.7=0.64]

① [eqn: {9} over {25}]	② [eqn: {12} over {25}]	③ [eqn: {14} over {25}]	④ [eqn: {16} over {25}]	⑤ [eqn: {18} over {25}]

종속과 독립

야탑고/2022년/H3/D

두 사건 [eqn: A``]와 [eqn: B``]가 서로 독립일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4.4]점]

③

[eqn: A``]와 [eqn: B``]가 서로 독립이므로 [eqn: rm P it (A)= rm P it LEFT ( A|B RIGHT ) = rm P it LEFT ( A|B ^{c} RIGHT )]

ㄱ. [eqn: rm P it LEFT ( A SMALLINTER A ^{c} RIGHT ) =0]이고 [eqn: rm P it (A) rm P it LEFT ( A ^{c} RIGHT ) != 0] (참)

ㄴ. 두 사건이 독립이라고 배반사건인 것은 아니다. (거짓)

ㄷ. [eqn: rm P it LEFT ( A-B RIGHT ) = rm P it LEFT ( A SMALLINTER B ^{c} RIGHT ) = rm P it (A) rm P it LEFT ( B ^{c} RIGHT )] (참)

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,~ㄷ]
④ [eqn: ㄴ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

[보 기]

ㄱ. 두 사건 [eqn: A]과 [eqn: A ^{c}]은 종속이다.

ㄴ. 두 사건 [eqn: A``]와 [eqn: B ``]는 서로 배반사건이다.

ㄷ. [eqn: rm P( it A-B)= rm P( it A) rm P( it B ^{c} )]

판교고/2022년/H3/D

한 개의 주사위를 던질 때, 짝수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: A], [eqn: 6]의 약수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: B], [eqn: 5] 이상의 눈이 나오는 사건을 [eqn: C]라 할 때, 보기에서 서로 독립인 것만을 있는 대로 고른 것은? [3.6점]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

④

[eqn: rm P LEFT ( it A` RIGHT ) = {3} over {6} = {1} over {2}], [eqn: rm P LEFT ( it B` RIGHT ) = {4} over {6} = {2} over {3}], [eqn: rm P LEFT ( it C` RIGHT ) = {2} over {6} = {1} over {3}]

[eqn: rm P LEFT ( it A SMALLINTER B` RIGHT ) = {2} over {6} = {1} over {3}], [eqn: rm P LEFT ( it B SMALLINTER C` RIGHT ) = {1} over {6}], [eqn: rm P LEFT ( it A SMALLINTER C` RIGHT ) = {1} over {6}]

ㄱ. [eqn: rm P LEFT ( it A SMALLINTER B` RIGHT ) = {1} over {3} = rm P LEFT ( it A` RIGHT ) TIMES rm P LEFT ( it B` RIGHT ) = {1} over {2} TIMES {2} over {3} = {1} over {3}]이므로 독립

ㄴ. [eqn: rm P LEFT ( it B SMALLINTER C` RIGHT ) = {1} over {6} != rm P LEFT ( it B` RIGHT ) TIMES rm P LEFT ( it C` RIGHT ) = {2} over {3} TIMES {1} over {3} = {2} over {9}]이므로 종속

ㄷ. [eqn: rm P LEFT ( it A SMALLINTER C` RIGHT ) = {1} over {6} = rm P LEFT ( it A` RIGHT ) TIMES rm P LEFT ( it C` RIGHT ) = {1} over {2} TIMES {1} over {3} = {1} over {6}]이므로 독립

따라서 <보기>에서 서로 독립인 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: A]와 [eqn: B]

ㄴ. [eqn: B]와 [eqn: C]

ㄷ. [eqn: A]와 [eqn: C]

독립사건의 확률

풍생고/2022년/H2/D

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이고 [eqn: P(A□B)= {2} over {3}], [eqn: P(B`□A ^{C} )= {2} over {5}]일 때, [eqn: P(B□A)+P(A ^{c} □B)] 의 값은?[[eqn: 4.2]점]

① [eqn: {3} over {5}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: {11} over {15}]
④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: {13} over {15}]

③

[eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이므로

[eqn: P(A□B)=P(A)= {2} over {3}], [eqn: P(B`□A ^{C} )=P(B)= {2} over {5}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: P(B□A)+P(A ^{c} □B)][eqn: =P(B)+P(A ^{C} )][eqn: = {2} over {5} + {1} over {3} = {11} over {15}]

판교고/2022년/H3/D

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이고 [eqn: rmP LEFT ( itA RIGHT ) = {2} over {3}], [eqn: rm P LEFT ( it B RIGHT ) = {3} over {4}]일 때, [eqn: rm P LEFT ( it A SMALLINTER B RIGHT )]의 값은? [3.5점]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {4}]
④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

⑤

[eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이므로

[eqn: rm P LEFT ( it A SMALLINTER B` RIGHT ) = rm P LEFT ( it A RIGHT ) TIMES rm P LEFT ( it B RIGHT ) = {2} over {3} TIMES {3} over {4} = {1} over {2}]

이다.

판교고/2022년/H3/D

공사건이 아닌 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이고 [eqn: rm P LEFT ( it A`` vert `B` RIGHT ) = {3} over {4} `]일 때, [eqn: rm P LEFT ( it A ^{C} ` RIGHT )]의 값은? [3.6점]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {4}]
④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

③

[eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이므로 [eqn: rm P LEFT ( it A` vert `B` RIGHT ) = rm P LEFT ( it A RIGHT ) = {3} over {4} `]이고,

[eqn: rm P LEFT ( it A ^{c} RIGHT ) =1- {3} over {4} = {1} over {4}]이다.

죽전고/2022년/H2/D

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이고 [eqn: rm P it (B```□`A)= {1} over {3} ,`` rm P it (A SMALLINTER B)= {2} over {15}]일 때, [eqn: {RMP}(A ^{C} )]의 값은?
([eqn: A ^{C}]은 [eqn: A]의 여사건이다.) [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: {2} over {5}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {5}]	④ [eqn: {7} over {10}]	⑤ [eqn: {4} over {5}]

③

[eqn: rm P it (B```□`A)= {1} over {3} = {rm P it (A SMALLINTER B)} over {P(A)} ,`` rm P it (A SMALLINTER B)= {2} over {15}]이므로 [eqn: P(A)= {2} over {5}], [eqn: {RMP}(A ^{C} )][eqn: = {3} over {5}]

판교고/2022년/H3/D

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: rm P LEFT ( it A` RIGHT ) = rm P LEFT ( it A`` vert `B` RIGHT ) `]일 때 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: 0< rm P LEFT ( it A` RIGHT ) <1], [eqn: 0< rm P LEFT ( it B` RIGHT ) <1]) [3.7점]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

④

[eqn: rm P LEFT ( it A RIGHT ) = rm P LEFT ( it A` vert `B` RIGHT ) `]이므로 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 독립이다.

ㄱ. 독립이므로 [eqn: rm P LEFT ( it B` RIGHT ) = rm P LEFT ( it B` vert `A ^{c} ` RIGHT ) `]는 참이다.

ㄴ. 독립이므로 [eqn: rm P LEFT ( it A CUP B` RIGHT ) = rm P LEFT ( it A` RIGHT ) + rm P LEFT ( it B` RIGHT )]는 거짓이다.

ㄷ. 독립이므로 [eqn: rm P LEFT ( it A SMALLINTER B` RIGHT ) = rm P LEFT ( it A` RIGHT ) rm P LEFT ( it B` RIGHT )]는 참이다.

따라서 <보기>에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: rm P LEFT ( it B` RIGHT ) = rm P LEFT ( it B`` vert `A ^{C} ` RIGHT )]

ㄴ. [eqn: rm P LEFT ( it A CUP B` RIGHT ) = rm P LEFT ( it A` RIGHT ) + rm P LEFT ( it B` RIGHT )]

ㄷ. [eqn: rm P LEFT ( it A SMALLINTER B` RIGHT ) = rm P LEFT ( it A` RIGHT ) rm P LEFT ( it B` RIGHT )]

독립시행

야탑고/2022년/H3/D

어느 야구선수가 타석에서 안타를 칠 확률이 [eqn: 0.25]라고 한다. 이 선수가 [eqn: 3]번의 타석에서 안타를 [eqn: 2]번 이상 칠 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q `]의 값은? (단, [eqn: p`]와 [eqn: q `]는 서로소이다.) [[eqn: 3.7]점]

① [eqn: 35]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 37]
④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 39]

③

안타를 칠 확률이 [eqn: 1over4]이므로 [eqn: 3] 번의 타석에서 [eqn: 2]번 이상의 안타를 칠 확률은 [eqn: 2]번 안타 칠 확률과 [eqn: 3] 번 안타를 칠 확률을 더해서 구한다. [eqn: {} _{3} rm C _{2} LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{1} + _{3} rm C _{3} LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{0} = {3 TIMES 3} over {4 ^{3}} + {1} over {4 ^{3}} = {10} over {64}]

[eqn: = {5} over {32}]

따라서 [eqn: {q} over {p} = {5} over {32}], [eqn: p+q`=37]이다.

서현고/2022년/H3/D

한 개의 주사위를 던져서 홀수의 눈이 나오면 동전을 [eqn: 3]번 던지고, 짝수의 눈이 나오면 동전을 [eqn: 2]번 던지기로 한다. 동전의 앞면이 [eqn: 2]번 나올 확률은? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: {5} over {16}]	② [eqn: {3} over {8}]	③ [eqn: {7} over {16}]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {9} over {16}]

①

홀수의 눈이 나올 때 동전의 앞면이 [eqn: 2]번 나올 확률은 [eqn: {1} over {2} ` _{3} C _{2} LEFT ( {1`} over {2} RIGHT ) ^{3} = {3} over {16}]

짝수의 눈이 나올 때 동전의 앞면이 [eqn: 2]번 나올 확률은 [eqn: {1} over {2} ` _{2} C _{2} LEFT ( {1`} over {2} RIGHT ) ^{2} = {1} over {8}]

따라서 [eqn: {3} over {16} + {1} over {8} = {5} over {16}]

판교고/2022년/H3/D

한 개의 주사위를 [eqn: 3]번 던질 때, [eqn: 5]의 약수의 눈이 [eqn: 2]번 나올 확률은? [3.5점]

① [eqn: {4} over {27}]	② [eqn: {5} over {27}]	③ [eqn: {2} over {9}]
④ [eqn: {7} over {27}]	⑤ [eqn: {8} over {27}]

③

주사위를 한 번 던질 때 [eqn: 5]의 약수의 눈이 나올 확률은 [eqn: {1} over {3}]이다. 따라서 한 개의 주사위를 [eqn: 3]번 던질 때 [eqn: 5]의 약수의 눈이 [eqn: 2]번 나올 확률은

[eqn: {}_{3} C _{2} TIMES LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} TIMES {2} over {3} = {2} over {9}]

이다.

풍생고/2022년/H3/D

한 개의 주사위를 [eqn: 6]번 던져서 홀수의 눈이 [eqn: 2]회 이상 나올 확률이 [eqn: {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단,[eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.)

①

홀수일 확률 [eqn: {3} over {6} = {1} over {2}]

한 개의 주사위를 [eqn: 6]번 던져서 홀수의 눈이 [eqn: 0]회, [eqn: 1]회 나오는 확률은

독립시행에 의해 구하면 [eqn: {}_{6} C _{0} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{0} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6} + _{6} C _{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5}]

따라서 한 개의 주사위를 [eqn: 6]번 던져서 홀수의 눈이 [eqn: 2]회 이상 나올 확률은

[eqn: 1-][eqn: LEFT { _{6} C _{0} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{0} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6} + _{6} C _{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5} RIGHT }]=[eqn: 1- {7} over {64} = {57} over {64}]

[eqn: p=64`,q=57] [eqn: THEREFORE p+q=121]

[[eqn: 4.3]점]
① [eqn: 121]	② [eqn: 122]	③ [eqn: 123]
④ [eqn: 124]	⑤ [eqn: 125]

현암고/2022년/H3/D

어느 야구 선수는 한 번의 타석에서 안타를 칠 확률이 [eqn: 0.4]라 한다. 이 야구 선수가 [eqn: 4]번의 타석에서 안타를 [eqn: 3]번 칠 확률은? [eqn: [4.1 점]]

① [eqn: 96 over625]	② [eqn: 97 over625]	③ [eqn: 98 over625]

①

독립시행의 확률이므로 [eqn: `_4 C_3 left( 2over5 right)^3 left( 3over5 right)^1 = 96 over625]

④ [eqn: 99 over625]	⑤ [eqn: 4 over25]

조건부 확률(step2)

2.

조건부확률

운중고/2022년(이)/H2/B

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: P(A)= {1} over {3}], [eqn: P(B)= {3} over {5}], [eqn: P(A cap B)= {1} over {5}]일 때, [eqn: P(B ^{c} `|`A ^{c} )]의 값은?

①

[eqn: P(A ^{c} )=1- {1} over {3} = {2} over {3}]

[eqn: P(A CUP B)=P(A)+P(B)-P(A CAP B)= {1} over {3} + {3} over {5} - {1} over {5} = {11} over {15} To 20010]

[eqn: P(A ^{c} cap B ^{c} )=P((A CUP B) ^{c} )=1-P(A CUP B)=1- {11} over {15} = {4} over {15}]

[eqn: P(B ^{c} `|`A ^{c} )= {P(A ^{c} cap B ^{c} )} over {P(A ^{c} )} = {{4} over {15}} over {{2} over {3}} = {2} over {5}]

(단, [eqn: A ^{c}]은 [eqn: A]의 여사건이다.) [[eqn: 4.7]점]

① [eqn: {2} over {5}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {5}]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {4} over {5}]

야탑고/2022년/H2/C

두 사건 [eqn: A], [eqn: B ``]에 대하여 [eqn: rm P( it A)= {1} over {3}], [eqn: rm P( it B` ^{c} )= {3} over {4}], [eqn: rm P( it B`` vert ``A)= {1} over {3}]일 때, [eqn: rm P( it A vert B ^{c} )]을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 7]점]

[eqn: {8} over {27}]

[eqn: rm P LEFT ( it B ^{c} RIGHT ) = {3} over {4}]이므로

[eqn: rm P LEFT ( it B RIGHT ) =1- {3} over {4} = {1} over {4}]

[eqn: rm P LEFT ( it B vert A RIGHT ) = rm {P LEFT ( it A SMALLINTER B RIGHT )} over {P LEFT ( it A RIGHT )} = {1} over {3}]에서

[eqn: rm P LEFT ( it A SMALLINTER B RIGHT ) = {1} over {3} rm P LEFT ( it A RIGHT ) = {1} over {9}]

[eqn: rm P LEFT ( it A vert B ^{c} RIGHT ) = rm {P LEFT ( it A SMALLINTER B ^{c} RIGHT )} over {P LEFT ( B ^{c} RIGHT )} = {P LEFT ( A RIGHT ) -P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )} over {P LEFT ( B ^{c} RIGHT )}]

[eqn: = {{1} over {3} - {1} over {9}} over {{3} over {4}}][eqn: = {8} over {27}]

보평고/2022년/H2/C

두 사건 [eqn: A,~B]가 서로 배반사건이고 [eqn: P(A) = 1over4 ,~ P(B) = 1over3]일 때, [eqn: P(A left|B^C `)]의 값은? (단, [eqn: A^C]는 [eqn: A]의 여사건이다.) [eqn: [4.4점]]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 3over8]	③ [eqn: 1over2]

②

[eqn: A,~B]가 배반사건이므로 [eqn: P(A capB) = 0]이다.

[eqn: P(A) = 1over4], [eqn: P(B) = 1over3]에서 [eqn: P(B^C ) = 1- P(B) = 2 over3]이므로

[eqn: therefore] [eqn: P(A``|B^C ) = {P(A capB^C ) } over{P(B^C )} = P(A) over{ P(B^C )} = 1over4 over{2over3} = 3 over8]

[eqn: (becauseA capB = emptyset]이므로 [eqn: A subset B^C]이고 [eqn: A capB^C = A]이다.[eqn: )]

④ [eqn: 5 over8]	⑤ [eqn: 3over4]

서원고/2022년/H2/C

숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 4]개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 네 자리의 자연수 중에서 임의로 하나의 수를 택할 때, 택한 수가 [eqn: 5]의 배수 또는 [eqn: 3400]보다 클 확률은? [[eqn: 4.5]점]

④

분모 : [eqn: {}_{5} PI _{4} =5 ^{4}]

분자 : [eqn: 5]의 배수일 경우 [eqn: {}_{---} 5]이므로 [eqn: {}_{5} PI _{3} =5 ^{3}]

[eqn: 3400]보다 크면서 [eqn: 5]의 배수가 아닌 경우

[eqn: 34 _{--}] 또는 [eqn: 35 _{--}]일 때, [eqn: 5·4]

[eqn: 4 _{---}] 또는 [eqn: 5 _{---}]일 때, [eqn: 5·5·4]

따라서 구하는 조건부 확률은

[eqn: {5 ^{3} + LEFT ( 5·4 RIGHT ) ·2+ LEFT ( 5·5·4 RIGHT ) ·2} over {5 ^{4}} = {25+8+40} over {125} = {73} over {125}]

① [eqn: {14} over {25}]	② [eqn: {71} over {125}]	③ [eqn: {72} over {125}]
④ [eqn: {73} over {125}]	⑤ [eqn: {74} over {125}]

풍생고/2022년/H2/C

한국사능력검정시험 [eqn: 3]급에 응시한 [eqn: 150]명의 응시생 중 합격한 남자의 수는 [eqn: 40]명, 여자의 수는 [eqn: 70]명이었다. 응시생 중에서 임의로 택한 한 명이 남자일 때, 이 응시생이 불합격한 응시생일 확률이 [eqn: {1} over {9}]이라고 한다. 이 때 불합격한 남자 응시생의 수는? [eqn: [4.2점]]

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]
④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 25]

①

	남자	여자	합계
합격자 수	[eqn: 40]	[eqn: 70]	[eqn: 110]
불합격자 수	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: 40]
합계	[eqn: 40+a]	[eqn: 70+b]	[eqn: 150]

남자를 택하는 사건을 [eqn: A]

불합격한 응시생을 택하는 사건 [eqn: B]

[eqn: P(B` vert A)= {P(A SMALLINTER B)} over {P(A)} = {a} over {40+a} = {1} over {9}]

[eqn: THEREFORE a=5]

풍생고/2022년/H2/C

서로 다른 세 개의 주사위를 동시에 던져서 나온 세 눈의 수의 합이 [eqn: 5]의 배수일 때, 나온 세 눈의 수 중에서 두 개가 같고 하나는 다른 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. 이때 [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p,``q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: [4.5점]]

① [eqn: 10]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 31]
④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 61]

⑤

세 개의 주사위 눈의 합이 [eqn: 5]의 배수인 사건을 [eqn: A]라 하자

[eqn: 1)] 합이 [eqn: 5]인 경우

[eqn: (1,```1,```3)] [eqn: 3]가지

[eqn: (2,```2,```1)] [eqn: 3]가지

[eqn: 2)] 합이 [eqn: 10]인 경우

[eqn: (6,```3,```1)] [eqn: 6]가지

[eqn: (6,```2,```2)] [eqn: 3]가지

[eqn: (5,```4,```1)] [eqn: 6]가지

[eqn: (5,```3,```2)] [eqn: 6]가지

[eqn: (4,```4,```2)] [eqn: 3]가지

[eqn: (4,```3,```3)] [eqn: 3]가지

[eqn: 3)] 합이 [eqn: 15]인 경우

[eqn: (6,```6,```4)] [eqn: 3]가지

[eqn: (6,```5,```4)] [eqn: 6]가지

[eqn: (5,```5,```5)] [eqn: 1]가지

그러므로 사건 [eqn: A]의 경우의 수는 [eqn: 43]개

[eqn: P(A)= {43} over {216}]

또한 세 개의 주사위 눈 중 두 개가 같고 하나가 다른 사건을 [eqn: E]라 하면

사건 [eqn: A SMALLINTER E]의 경우의 수는 [eqn: 18]개

[eqn: P(A SMALLINTER E)= {18} over {216}]

[eqn: P(E` vert A)= {18} over {43}]

[eqn: p+q=61]

서원고/2022년/H2/C

[eqn: A]와 [eqn: B]가 다음 규칙에 따라 [eqn: 7]번의 게임을 한다

③

[eqn: A]의 점수[eqn: +3] [eqn: GEQ] [eqn: B]의 점수는 독립시행의 확률에 따라

[eqn: 1]~[eqn: 6]회까지 [eqn: A]가 [eqn: 4]승, [eqn: B]가 [eqn: 2]승이고 [eqn: 7]회에 [eqn: A]가 승인 경우

[eqn: A-B=6-2=4]점이므로 [eqn: LEFT { {}_{6} C _{4} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} RIGHT } · {1} over {2} = {15} over {128}]

[eqn: 1]~[eqn: 6]회까지 [eqn: A]가 [eqn: 5]승, [eqn: B]가 [eqn: 1]승이고 [eqn: 7]회에 [eqn: A]가 승인 경우

[eqn: A-B=7-1=5]점이므로 [eqn: LEFT { {}_{6} C _{5} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) RIGHT } · {1} over {2} = {6} over {128}]

[eqn: 1]~[eqn: 6]회까지 [eqn: A]가 [eqn: 6]승, [eqn: B]가 [eqn: 0]승이면 [eqn: 7]회는 [eqn: A], [eqn: B] 어느 쪽이어도 무관

[eqn: A-B GEQ 4]점이므로 [eqn: LEFT { {}_{6} C _{6} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6} RIGHT } ·1= {1} over {64}]

구하는 확률은 [eqn: {15+6+2} over {128} = {23} over {128} = {p} over {q}]

따라서 [eqn: p+q=23+128=151]

(가) 각각의 게임에서 [eqn: A]와 [eqn: B]가 이길 확률은 같으며 무승부는 없다.

(나) 첫 번째 게임부터 여섯 번째 게임까지는 이기는 사람이 [eqn: 1]점을 얻는다

(다) 일곱 번째 게임에서는 이기는 사람이 [eqn: 2]점을 얻는다.

[eqn: 7]번의 게임을 한 결과 [eqn: A]의 점수가 [eqn: B]의 점수보다 [eqn: 3]점 이상 높을 확률이 [eqn: {p} over {q}]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 5.1]점]

① [eqn: 143]	② [eqn: 147]	③ [eqn: 151]
④ [eqn: 155]	⑤ [eqn: 159]

풍생고/2022년/H2/C

한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 나오는 눈의 수를 각각 [eqn: a,~b]라 하자. 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]이 실근을 가질 때, [eqn: a]가 짝수일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단,[eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.)

④

실근을 가지려면 [eqn: D=a ^{2} -4b GEQ 0`], [eqn: a ^{2} GEQ 4b] 이므로 경우의 수는

[eqn: a=1`]일 때 만족하는 [eqn: b]는 없다.

[eqn: a=2]일 때 만족하는 [eqn: b=1]

[eqn: a=3]일 때 만족하는 [eqn: b=1,~2]

[eqn: a=4]일 때 만족하는 [eqn: b=1,~2,~3,~4]

[eqn: a=5]일 때 만족하는 [eqn: b=1,~2,~3,~4,~5,~6]

[eqn: a=6]일 때 만족하는 [eqn: b=1,~2,~3,~4,~5,~6]

전체 경우의 수 : [eqn: 19]가지

이 중에서 [eqn: a]가 짝수인 경우는 [eqn: a=2], [eqn: a=4], [eqn: a=6]일 때의 [eqn: b]의 개수이므로 [eqn: 11`]가지이다.

따라서 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]이 실근을 가질 때, [eqn: a]가 짝수일 확률은 [eqn: {11} over {19}]이므로 [eqn: p=19,`q=11]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p+q=19+11=30]

[[eqn: 4.5]점]
① [eqn: 24]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 28]
④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 32]

성일고/2022년/H2/C

주머니 [eqn: A]에서 임의로 한 개의 공을 꺼낼 때, 흰 공이 나올 확률은 [eqn: 2 over 5]이고, 주머니 [eqn: B]에서 임의로 한 개의 공을 꺼낼 때, 흰 공이 나올 확률은 [eqn: 4 over 5]이다. 주머니 [eqn: A]에서 임의로 한 개의 공을 꺼내서 주머니 [eqn: B]에 넣은 후, 주머니 [eqn: B]에서 임의로 한 개의 공을 꺼냈더니 흰 공일 때, 주머니 [eqn: A]에서 주머니 [eqn: B]로 옮긴 공이 흰 공이었을 확률은 [eqn: 17 over 41]이다. 주머니 [eqn: B]에 들어있는 흰 공의 개수는? [[eqn: 5.4]점]

①

주머니 [eqn: rmB]에서 흰 공의 개수를 [eqn: 4n]개,

검은 공의 개수를 [eqn: n]개라 하자.

주머니 [eqn: A]에서 주머니 [eqn: B]에 공을 하나 더 넣으면 [eqn: 5n+1]개가 된다.

(ⅰ) 주머니 [eqn: rmA]에서 흰 공을 꺼내고 주머니 [eqn: rmB]에서 넣어서 흰 공을 꺼낼 확률은
[eqn: p _{1} = 2 over 5 TIMES {4n+1} over {5n+1}]

(ⅱ) 주머니 [eqn: rmA]에서 검은 공을 꺼내고 주머니 [eqn: rmB]에서 넣어서 흰 공을 꺼낼 확률은
[eqn: p _{2} = 3 over 5 TIMES {4n} over {5n+1}]

이므로 [eqn: p _{1} over { p_1 + p_2 } = 17 over 41]이다.

[eqn: { {2} over {5} TIMES {4n+1} over {5n+1}} over { { {2} over {5} TIMES {4n+1} over {5n+1}} +{ {3} over {5} TIMES {4n} over {5n+1}}} = 17 over 41]

이므로 [eqn: n = 2] 흰 공의 개수 [eqn: 4n = 8] 이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]
④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

보평고/2022년/H2/C

[eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 10]장의 카드가 들어 있는 바구니에서 [eqn: A,~B] 두 사람이 [eqn: A,~B]의 순서대로 카드를 한 장씩 뽑는다. [eqn: A,~B]가 [eqn: 3]의 배수가 적힌 카드를 뽑는 사건을 각각 [eqn: A,~B]라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 뽑은 카드는 다시 넣지 않는다.) [eqn: [총`9.0점]]

[eqn: (1)] [eqn: P(A` SMALLINTER B)]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [eqn: [2.0점]]

[eqn: (1)~ 1over15 ~~(2)~ 3over10 ~~(3)~ 종속]

[eqn: (1)] [eqn: A]와 [eqn: B]의 곱사건은 [eqn: A,~B] 모두 [eqn: 3]의 배수를 뽑아야 하므로

[eqn: therefore] [eqn: P(A capB) = 3 over10 times 2 over9 = 1 over15]

[eqn: (2)] [eqn: B]가 [eqn: 3]의 배수를 뽑는 사건은

[eqn: A]와 [eqn: B]가 모두 [eqn: 3]의 배수를 뽑는 경우와 [eqn: A]는 [eqn: 3]의 배수를 뽑지않고, [eqn: B]만 [eqn: 3]의 배수를 뽑는 경우로 나눌 수 있으므로

[eqn: therefore] [eqn: P(B) = 3over10 times 2 over9 + 7 over10 times 3 over9 = 3 over10]

[eqn: (3)] [eqn: P(A) = 3over10 ,~P(B) = 3 over10]이고 [eqn: P(A capB) = 1 over15]이므로

[eqn: P(A capB) not = P(A) times P(B)]

따라서, [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 종속이다.

[eqn: (2)] [eqn: P(B)]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [eqn: [3.0점]]

[eqn: (3)] 두 사건 [eqn: A,~B]가 서로 독립인지 종속인지를 판별하고, 그 과정을 서술하시오. [eqn: [4.0점]]

성일고/2022년/H3/C

한 개의 동전을 두 번 던져서 앞면이 적어도 한 번 나오면 한 개의 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수의 [eqn: 2]배를 점수로 하고, 앞면이 한 번도 나오지 않으면 한 개의 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수에 [eqn: 1]을 더한 값을 점수로 하는 시행을 한다. 이 시행을 한 번 하여 얻는 점수가 [eqn: 6] 이하일 때, 동전의 뒷면이 적어도 한 번 나왔을 확률은? [[eqn: 5.2]점]

③

이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 [eqn: 6]이하인 사건을 [eqn: A],
동전의 뒷면이 적어도 한 번 나오는 사건을 [eqn: B]라 하면 구하는
확률은 [eqn: rm P it LEFT ( B``|`A RIGHT )]이다.

이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 [eqn: 6]이하인 경우는

동전의 뒷면이 적어도 한 번 나오고 주사위에서 [eqn: 3]이하의 눈이 나오는 경우 또는 동전의 앞면이 한 번도 나오지 않고 주사위에서 [eqn: 5]이하의 눈이 나오는 경우 이므로

[eqn: rm P it LEFT ( A RIGHT )][eqn: = {1} over {4} TIMES {5} over {6} + {3} over {4} TIMES {1} over {2}]
[eqn: = {7} over {12}]

이때 동전의 뒷면이 적어도 한 번 나오고 얻은 점수가 [eqn: 6]이하인 경우는 동전을 던져서 한 번은 앞면, 한 번은 뒷면이 나오고 주사위에서 [eqn: 3]이하의 눈이 나오는 경우 또는 동전의 앞면에 한 번도 나오지 않고 주사위에서 [eqn: 5]이하의 눈이 나오는 경우이므로

[eqn: rm P it LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES {1} over {2} + {1} over {4} TIMES {5} over {6}]
[eqn: = {11} over {24}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P it LEFT ( B``|`A RIGHT )][eqn: = {rm P it LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )} over {rm P it LEFT ( A RIGHT )}]
[eqn: = {{11} over {24}} over {{7} over {12}} = {11} over {14}]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 9 over 14]	③ [eqn: 11 over 14]
④ [eqn: 11 over 18]	⑤ [eqn: 13 over 18]

현암고/2022년/H2/C

숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5]가 각각 하나씩 적혀 있는 흰 공 [eqn: 5]개와 숫자 [eqn: 1,~2,~3]이 각각 하나씩 적혀 있는 검은 공 [eqn: 3]개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 4]개의 공을 동시에 꺼내는 시행에서 나온 [eqn: 4]개의 공에 적힌 숫자가 모두 다를 때, 검은 공이 [eqn: 2]개 나올 확률은 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: [4.7점]]

① [eqn: 31]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 35]

④

[eqn: 1,~2,~3]은 흰 공과 검은 공이 모두 있고, [eqn: 4,~5]는 흰 공만 존재하므로 [eqn: 1,~2,~3]의 경우를 ◯, [eqn: 4,~5]의 경우를 [eqn: times]이라 가정하자.

[eqn: 4]개의 공을 동시에 꺼내는 시행에서 나온 [eqn: 4]개의 공에 적힌 숫자가 모두 다른 사건을 [eqn: A]라 하고, [eqn: 4]개의 공을 동시에 꺼내는 시행에서 나온 [eqn: 4]개의 공이 흰 공 [eqn: 2]개, 검은 공 [eqn: 2]개인 사건을 [eqn: B]라 놓으면

문제에서 요구하는 확률은 [eqn: P(B|A) = {P(A capB)} overP(A)]이므로

[eqn: A]사건은 [eqn: 4]개의 숫자가 모두 다르게 나와야 하므로

◯◯◯[eqn: times] 또는 ◯◯[eqn: times times]인 경우이다.

◯◯◯[eqn: times]인 경우는 숫자는 [eqn: 1,~2,~3]이 모두 뽑히고, [eqn: 4,~5]중 하나가 뽑힌 경우이므로 [eqn: 1,~2,~3]의 공이 각각 흰 공인지 검은 공인지 정하는 방법의 수가 [eqn: `_2 C_1 times _2 C_1 times _2 C_1]이고, [eqn: 4,~5]중 어떤 숫자가 뽑혔는지 정하는 방법의 수가 [eqn: `_2 C_1]이다.

◯◯[eqn: times times]인 경우는 숫자는 [eqn: 1,~2,~3]중에 [eqn: 2]개가 뽑히고, [eqn: 4,~5]가 모두 뽑힌 경우이므로 먼저 [eqn: 1,~2,~3]숫자 중 [eqn: 2]개를 정하는 방법이 [eqn: `_3 C_2]이고, 그 숫자의 공의 색을 정하는 방법이 [eqn: `_2 C_1 times _2 C_1]이다.

또한 전체 근원사건 수는 [eqn: `_8 C_4]가지이므로 [eqn: A]사건의 확률은 아래와 같다.

[eqn: P(A) = {{`_2 C_1 times _2 C_1 times _ 2 C_ 1} times _2 C_1} over{`_8 C_4} +{`_3 C_2 times _2 C_1 times _2 C_1} over{`_ 8 C_4} = 28 over{`_ 8 C_4 }]

[eqn: A capB]사건은 [eqn: 4]개의 숫자가 모두 다르게 나오면서 흰 공 [eqn: 2]개, 검은 공 [eqn: 2]개가 선택되어야 하므로

◯◯◯[eqn: times]인 경우는 숫자는 [eqn: 1,~2,~3]이 모두 뽑히고, [eqn: 4,~5]중 하나가 뽑힌 경우이고, [eqn: 1,~2,~3]중 [eqn: 2]개가 검은 공이어야 하므로 검은 공을 정하는 방법의 수가 [eqn: `_3 C_2]이고 [eqn: 4,~5]중 어떤 숫자가 뽑혔는지 정하는 방법의 수가 [eqn: `_2 C_1]이다.

◯◯[eqn: times times]인 경우는 숫자는 [eqn: 1,~2,~3]중에 [eqn: 2]개가 뽑히고, [eqn: 4,~5]가 모두 뽑힌 경우이이고 [eqn: 1,`~2,~3]숫자 중 [eqn: 2]개를 정하는 방법이 [eqn: `_3 C_2]이고, 그 선택받은 숫자는 모두 검은 공이어야 한다.

따라서, [eqn: P(A SMALLINTER B)= {` _{3} C _{2} TIMES _{2} C _{1}} over {` _{8} C _{4}} + {` _{3} C _{2}} over {` _{8} C _{4}} = {9} over {` _{8} C _{4}}]

[eqn: THEREFORE ~ P(B |A) = 9 over28]이므로 [eqn: p+q =37]

④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: 39]

야탑고/2022년/H2/C

주머니 [eqn: rmA`]에는 흰 공 [eqn: 3]개, 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있고, 주머니 [eqn: rmB]에는 흰 공 [eqn: 5]개, 검은 공 [eqn: 3]개가 들어 있다. 주머니 [eqn: rmA`]에서 임의로 두 개의 공을 동시에 꺼내고 주머니 [eqn: rmB]에서 임의로 두 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 주머니 [eqn: rmA`]에서 꺼낸 두 공의 색이 서로 같고 주머니 [eqn: rmB]에서 꺼낸 두 공의 색이 서로 다를 확률은? [[eqn: 4.1]점]

②

주머니 [eqn: rmA]에서 꺼낸 두 개의 공이 서로 같은 색인 사건을 [eqn: E],

주머니 [eqn: rmB]에서 꺼낸 두 개의 공이 서로 다른 색인 사건을 [eqn: F``]라 하면 구하는 확률은 [eqn: {rm P it} LEFT ( E{cap}F` RIGHT )]이다.

이때

[eqn: {rm P it} LEFT ( E` RIGHT )][eqn: = {{}_{3} rm C _{2} + _{4} rm C _{2}} over {{}_{7} rm C _{2}}][eqn: = {3} over {7}]

[eqn: {rm P it} LEFT ( F` RIGHT )][eqn: = {{}_{5} rm C _{1} TIMES _{3} rm C _{1}} over {{}_{8} rm C _{2}}][eqn: = {15} over {28}]

이고, 두 사건 [eqn: E``]와 [eqn: F``]가 서로 독립이므로

[eqn: {rm P it} LEFT ( E{cap}F` RIGHT )][eqn: ={rm P it} LEFT ( E` RIGHT ) {rm P it} LEFT ( F` RIGHT )][eqn: = {3} over {7} TIMES {15} over {28}][eqn: = {45} over {196}]

① [eqn: {11} over {49}]	② [eqn: {45} over {196}]	③ [eqn: {23} over {98}]
④ [eqn: {47} over {196}]	⑤ [eqn: {12} over {49}]

조건부 확률(-일때)

죽전고/2022년/H2/C

어느 비행기에서 전체 승객들을 대상으로 두 식사 메뉴 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 중 하나만을 반드시 선택하도록 했더니 전체 승객의 [eqn: 60%]가 [eqn: rmA] 메뉴를 선택하였다. 이 비행기의 전체 승객 중 임의로 택한 한 명이 [eqn: rmA] 메뉴를 선택하였을 때, 남자 승객일 확률은 [eqn: {3} over {4}]이고, 전체 승객 중 임의로 택한 한 명이 [eqn: rmB] 메뉴를 선택하였을 때, 여자 승객일 확률은 [eqn: {1} over {3}]이다. 이 비행기의 전체 승객 중 임의로 택한 한 명이 여자 승객일 때, 이 승객이 [eqn: rmA] 메뉴를 선택하였을 확률은? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: {9} over {17}]	② [eqn: {10} over {17}]	③ [eqn: {11} over {17}]	④ [eqn: {12} over {17}]	⑤ [eqn: {13} over {17}]

①

메뉴[eqn: A] 선택하는 확률: [eqn: P(A)= {6} over {10}]

메뉴[eqn: B] 선택하는 확률: [eqn: P(A ^{C} )= {4} over {10}]

남자일 확률을 [eqn: P(M)] 여자일 확률을 [eqn: P(M ^{C} )]라고 하자.

[eqn: P(M``□A)= {3} over {4}], [eqn: P(M ^{C} ``□A ^{C} )= {1} over {3}]

[eqn: P(A SMALLINTER M)=][eqn: {9} over {20}] [eqn: P(A ^{C} SMALLINTER M ^{C} )=][eqn: {2} over {15}] 이므로 [eqn: P(A SMALLINTER M ^{C} )][eqn: =][eqn: {3} over {20}]
[eqn: P(M ^{C} )=][eqn: P(A SMALLINTER M ^{C} )]+[eqn: P(A ^{C} SMALLINTER M ^{C} )=][eqn: {3} over {20} + {2} over {15}][eqn: = {17} over {60}]

[eqn: P(A``□M ^{C} )=][eqn: {P(A SMALLINTER M ^{C} )} over {P(M ^{C} )}][eqn: =][eqn: {9} over {17}]

영덕여고/2022년/H2/C

어느 고등학교에서 여학생은 전체의 학생의 [eqn: 50 `%]이고 안경을 쓴 여학생은 전체 학생의 [eqn: 20 `%]이다. 이 고등학교 전체 학생 중에서 임의로 택한 한 명이 여학생 일 때, 그 여학생이 안경을 쓴 학생일 확률은? [[eqn: 4]점]

④

여학생인 사건을 [eqn: A], 안경을 쓴 사건을 [eqn: B]라 하자.

[eqn: rmP(itA) = 1over2], [eqn: P(itA smallinterB) = 1over 5]

[eqn: rmP(itB```|`A)]를 구하면 된다.

[eqn: rmP(itB```|`A) = {P(A capB) } over {P(A) } = {1 over 5 } over {1 over 2 }= 2 over 5]이므로 [eqn: 40 `%]

① [eqn: 10 `%]	② [eqn: 20 `%]	③ [eqn: 30 `%]
④ [eqn: 40 `%]	⑤ [eqn: 50 `%]

야탑고/2022년/H2/C

어느 [eqn: rm TV] 프로그램에서 참가자는 세 개의 문 중에서 하나를 택하여 문 뒤에 있는 상품을 가질 수 있는 게임을 한다.

③

하나의 문을 선택하여 자동차를 탈 확률은 [eqn: {1} over {3}]이고, 선택을 유지하면 확률도 바뀌지 않는다.

※ [몬티홀 문제]는 조건부확률을 사용하여 설명할 수도 있다.

예를 들어 참가자가 [eqn: 1]번 문을 선택했다고 가정하자.

이때 진행자가 [eqn: 2]번 문을 열어 염소를 보여주었다면 자동차는 [eqn: 1]번 문 뒤에 있거나 또는 [eqn: 3]번 문 뒤에 있을 것이다.

진행자가 [eqn: 2]번 문을 여는 사건을 [eqn: A], 자동차가 [eqn: 1]번 문 뒤에 있는 사건을 [eqn: B], 자동차가 [eqn: 3]번 문 뒤에 있는 사건을 [eqn: C`]라고 하면

(ⅰ) 진행자가 [eqn: 2]번 문을 열었다는 조건에서 자동차가 [eqn: 1]번 문 뒤에 있을 확률 [eqn: rm P it (B vert A)`]를 구하면

[eqn: rm P it (B vert A)= {rm P it it (A SMALLINTER B)} over {rm P it (A)} = {rm P it (B) rm TIMES P it (A vert B)} over {rm P it (A)}]

위의 식에서 진행자가 [eqn: 2]번 문을 열 확률 [eqn: rm P it (A)`]는 참가자가 선택하지 않은 남은 두 개의 문 중 하나이므로 [eqn: {1} over {2}]이고, 또 자동차가 [eqn: 1]번 문 뒤에 있을 확률 [eqn: rm P it (B)`]는 [eqn: {1} over {3}]이다. 그리고 자동차가 [eqn: 1]번 문 뒤에 있다는 조건에서 진행자가 [eqn: 2]번 문을 열 확률 [eqn: rm P it (A vert B)`]는 참가자가 선택하지 않은 염소가 있는 두 개의 문 중 하나이므로 [eqn: {1} over {2}]이다. 따라서

[eqn: rm P it (B vert A)= {rm P it (B) rm ``P it (A vert B)} over {rm P it (A)} = {{1} over {3} TIMES {1} over {2}} over {{1} over {2}} = {1} over {3}]

그러므로 참가자가 처음 선택을 유지했을 때 자동차를 받을 확률은 [eqn: {1} over {3}]이 된다.

(ⅱ) 진행자가 [eqn: 2]번 문을 열었다는 조건에서 자동차가 [eqn: 3]번 문 뒤에 있을 확률 [eqn: rm P it (C vert A)`]를 구하면

[eqn: rm P it (C vert A)= {rm P it (A SMALLINTER C)} over {rm P it (A)} = {rm P it (C) rm TIMES P it (A vert C)} over {rm P it (A)}]

위의 식에서 진행자가 [eqn: 2]번 문을 열 확률 [eqn: rm P it (A)`]는 참가자가 선택하지 않은 남은 두 개의 문 중 하나이므로 [eqn: {1} over {2}]이고, 또 자동차가 [eqn: 3]번 문 뒤에 있을 확률 [eqn: rm P it (C)`]는 [eqn: {1} over {3}]이다. 그리고 자동차가 [eqn: 3]번 문 뒤에 있다는 조건에서 진행자가 [eqn: 2]번 문을 열 확률 [eqn: rm P it (A vert C)`]는 참가자가 선택하지 않은 염소가 있는 한 개의 문 중 하나이므로 [eqn: 1]이다. 따라서

[eqn: rm P it (C vert A)= {rm P it (C) rm ``P it (A vert C)} over {rm P it (A)} = {{1} over {3} TIMES 1} over {{1} over {2}} = {2} over {3}]

그러므로 참가자가 처음 선택을 유지했을 때 자동차를 받지 못할 확률은 [eqn: {2} over {3}]이 된다.

한 개의 문 뒤에는 자동차가 있고, 나머지 두 개의 문 뒤에는 염소가 있다. 참가자가 하나의 문을 선택하면 진행자는 선택하지 않은 두 개의 문 중에서 염소가 있는 문을 열어 보이며 참가자가 선택을 바꿀 기회를 준다. 이때, 참가자가 처음 선택을 유지했을 때, 자동차를 받을 수 있는 확률은? [[eqn: 3.9]점]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]
④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

보평고/2022년/H2/C

흰 공 [eqn: 2]개와 검은 공 [eqn: 3]개가 들어 있는 상자에서 임의로 [eqn: 1]개의 공을 꺼내어 색을 확인한 후, 꺼낸 공의 색깔과 같은 색의 공 [eqn: 2]개를 추가하여 꺼낸 공과 함께 모두 [eqn: 3]개의 공을 다시 상자에 되돌려 넣는 시행을 [eqn: 2]번 반복한다. 두 번째 시행에서 꺼낸 공이 흰 공이었을 때, 첫 번째 시행에서도 꺼낸 공이 흰 공이었을 확률을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [6.0점]

[eqn: 4over7]

첫 번째에 흰 공을 뽑는 사건을 [eqn: A], 두 번째에 흰 공을 뽑는 사건을 [eqn: B`]라 하자.

[eqn: rmP(itA)= {2} over {5}]이고,

[eqn: rm P( it B`)= rm P( it A SMALLINTER B`)+ rm P( it A ^{C} SMALLINTER B`)][eqn: = {2} over {5} TIMES {4} over {7} + {3} over {5} TIMES {2} over {7} = {14} over {35}]이다.

문제에서 구하는 확률은 [eqn: rm P( it A`|`B`)= {rm P( it A SMALLINTER B`)} over {rm P( it B`)} = {{8} over {35}} over {{14} over {35}} = {4} over {7}]이다.

영덕여고/2022년/H2/C

~어느 탁구 동아리 회원의 [eqn: 40`%]가 남자이고, 이 동아리의 남자 회원의 [eqn: 60`%], 여자회원의 [eqn: 70`%]가 현재 탁구 레슨을 받고 있다. 이 동아리의 회원 중에서 임의로 한 명을 택할 때, 이 회원이 현재 레슨을 받고 있는 회원일 확률은? [[eqn: 4.5]점]

③

[eqn: 40`%]가 남자이고, 이 동아리의 남자 회원의 [eqn: 60`%], 여자회원의 [eqn: 70`%]가 현재 탁구 레슨을 받고 있다. 이 동아리의 회원 중에서 임의로 한 명을 택할 때, 이 회원이 현재 레슨을 받고 있는 회원일 확률은?

이 동아리의 회원 중에서 임의로 한 명을 택할 때, 이 회원이 남자인 사건을 [eqn: A], 현재 레슨을 받고 있는 회원인 사건을 [eqn: B]라 하자. 이때 [eqn: A]의 여사건 [eqn: A^C]은 이 동아리의 회원 중에서 임의로 택한 한 명의 회원이 여자인 사건이다.

[eqn: rmP(itA) = 2over5], [eqn: rmP(itB`|A) = 3over5]이므로

[eqn: rmP(itA smallinterB)][eqn: = rmP(itA)rmP(itB`|A)]
[eqn: = 2over5 times 3 over5]

[eqn: = 6OVER25]

[eqn: rmP(itA^C `) = 3over5], [eqn: rm P( it B```|`A ^{C} `)= {7} over {10}]이므로

[eqn: rm P( it A ^{C} SMALLINTER B`)= rm P( it A ^{C} `) rm P( it B``|`A ^{C} `)]

[eqn: = {3} over {5} TIMES {7} over {10}]

[eqn: = {21} over {50}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: rmP(itB) = rmP(itA smallinterB) + rmP(itA^C smallinterB)]

[eqn: = {7} over {25} + {9} over {25} = {33} over {50}]

① [eqn: 62`%]	② [eqn: 64`%]	③ [eqn: 66`%]
④ [eqn: 68`%]	⑤ [eqn: 70`%]

성일고/2022년/H2/C

어느 탁구 동아리 회원의 [eqn: 40`%]는 남자이고 [eqn: 60`%]는 여자이다. 이 동아리 남자 회원의 [eqn: 70`%], 여자 회원의 [eqn: 60`%]가 현재 탁구 레슨을 받고 있다. 이 동아리의 회원 중에서 임의로 택한 한 명이 탁구 레슨을 받고 있는 회원일 때, 이 회원이 남자일 확률은? [[eqn: 4.5]점]

③

남학생 사건을 [eqn: A], 여학생일 사건을 [eqn: B]라 하고

탁구레슨을 받는 사건을 [eqn: C]라 하자.

[eqn: P it LEFT ( A RIGHT ) =0.4,~P it LEFT ( B RIGHT ) =0.6]

[eqn: P it LEFT ( C` LEFT | `A` RIGHT . RIGHT ) =0.7,~P it LEFT ( `C` LEFT | `B` RIGHT . RIGHT ) =0.6]

[eqn: P` it LEFT ( C` LEFT | `A` RIGHT . RIGHT ) = {P(A capC ) } over P(A) = 0.7] 이므로 [eqn: {P(A capC ) } = 0.4 times 0.7 = 0.28]

[eqn: P` it LEFT ( C` LEFT | `B` RIGHT . RIGHT ) = {P(B capC ) } over P(B) = 0.6] 이므로 [eqn: {P(B capC ) } = 0.6 times 0.6 = 0.36]

[eqn: P`(C) = {P(A capC ) } + {P(B capC ) } = 0.64] 이다.

[eqn: P` it LEFT ( A` LEFT | `C` RIGHT . RIGHT ) = {P(A capC ) } over P(C) = { 0.28 } over 0.64 = 7 over 16]

① [eqn: 3 over 16]	② [eqn: 5 over 16]	③ [eqn: 7 over 16]
④ [eqn: 9 over 16]	⑤ [eqn: 11 over 16]

야탑고/2022년/H2/C

한 개의 동전을 두 번 던져서 앞면이 적어도 한 번 나오면 한 개의 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수에 [eqn: 2]를 더한 값을 점수로 하고, 앞면이 한 번도 나오지 않으면 한 개의 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수의 [eqn: 2]배를 점수로 하는 시행을 한다. 이 시행을 한 번 하여 얻는 점수가 [eqn: 6]이하일 때, 동전의 뒷면이 적어도 한 번 나왔을 확률은? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {7} over {15}]
④ [eqn: {3} over {5}]	⑤ [eqn: {11} over {15}]

⑤

한 개의 동전을 두 번 던지면 [eqn: LEFT ( 앞,앞 RIGHT ) ,``` LEFT ( 앞,뒤 RIGHT ) ,``` LEFT ( 뒤,앞 RIGHT ) ,``` LEFT ( 뒤,뒤 RIGHT )]

앞면이 적어도 한 번 나오고 점수가 [eqn: 6]이하인 사건을 [eqn: E],

→ [eqn: LEFT ( 앞,앞 RIGHT ) ,``` LEFT ( 앞,뒤 RIGHT ) ,``` LEFT ( 뒤,앞 RIGHT )]이고 주사위의 눈의 수는 [eqn: 1,2,3,4]

앞면이 한 번도 나오지 않고 점수가 [eqn: 6]이하인 사건을 [eqn: F],

→ [eqn: LEFT ( 뒤,뒤 RIGHT )]이고 주사위의 눈의 수는 [eqn: 1,2,3]

뒷면이 적어도 한 번 나오고 점수가 [eqn: 6]이하인 사건을 [eqn: G]라고 하면

→ [eqn: LEFT ( 앞,뒤 RIGHT ) ,``` LEFT ( 뒤,앞 RIGHT )]이고 주사위의 눈의 수는 [eqn: 1,2,3,4]

[eqn: LEFT ( 뒤,뒤 RIGHT )]이고 주사위의 눈의 수는 [eqn: 1,2,3]

얻는 점수가 [eqn: 6]이하일 때, 동전의 뒷면이 적어도 한 번 나왔을 확률은

[eqn: {rm P LEFT ( it G RIGHT )} over {rm P LEFT ( it E RIGHT ) + rm P LEFT ( it F RIGHT )}]이다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: {{2} over {4} TIMES {2} over {3} + {1} over {4} TIMES {1} over {2}} over {{3} over {4} TIMES {2} over {3} + {1} over {4} TIMES {1} over {2}} = {11} over {15}]

서현고/2022년/H2/C

어느 고등학교의 [eqn: 1]학년 학생 [eqn: n]명과 [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 240]명을 대상으로 선호하는 체육한마당 시기로 봄과 가을 중 하나만을 반드시 택하도록 했더니 조사 대상이 된 전체 학생의 [eqn: 60%]가 봄을 택하였다. 조사 대상이 된 전체 학생 중 임의로 택한 한 명이 [eqn: 1]학년일 때, 이 학생이 봄을 택한 학생일 확률은 [eqn: {3} over {4}]이고, 조사 대상이 된 전체 학생 중 임의로 택한 한 명이 봄을 택한 학생일 때, 이 학생이 [eqn: 2]학년 학생일 확률은 [eqn: {7} over {20}]이다. [eqn: n]의 값은? [[eqn: 5]점]

⑤

1학년을 선택하는 사건을 [eqn: X]라 하면
[eqn: P(X)= {n} over {n+240} ,P(X ^{c} )= {240} over {n+240} ~]

봄을 선택하는 사건을 [eqn: Y]라 하면 [eqn: P(Y)=0.6]

[eqn: P(Y`□X)= {3} over {4}]에서 [eqn: P(X SMALLINTER Y)= {3} over {4} P(X)= {3n} over {4(n+240)}]

[eqn: P(X ^{c} `□Y)= {7} over {20}]에서 [eqn: P(X ^{c} SMALLINTER Y)= {7} over {20} P(Y)= {21} over {100}]

[eqn: P(Y)=P(X SMALLINTER Y)+P(X ^{c} SMALLINTER Y)]이므로

[eqn: 0.6= {3n} over {4(n+240)} + {21} over {100}]

[eqn: n=260]

① [eqn: 220]	② [eqn: 230]	③ [eqn: 240]	④ [eqn: 250]	⑤ [eqn: 260]

서원고/2022년/H2/C

[eqn: A]고등학교 [eqn: 2]학년에서는 지난 [eqn: 5]월 중 진로 상담 주간에 [eqn: 2]학년 학생, 학부모 총 [eqn: 200]명을 대상으로 상담 활동을 실시하였다. 학생 중 남자는 [eqn: {3} over {7}], 학부모 중 남자는 [eqn: {1} over {3}]을 차지하였다. 상담을 받은 사람 중에서 임의로 뽑은 [eqn: 1]명이 남자일 때, 그 사람이 학부모일 확률은 [eqn: {1} over {4}]이다. 상담을 받은 학부모의 수는? [[eqn: 4.3]점]

	학부모	학생
남자	[eqn: x]	[eqn: 3y]
여자	[eqn: 2x]	[eqn: 4y]
	[eqn: 3x]	[eqn: 7y]

④

조건을 표로 나타내 보면

[eqn: 3x+7y=200]

조건부 확률에 따라

[eqn: P](학부모[eqn: vert]남자)[eqn: = {x} over {x+3y} = {1} over {4}]이므로 [eqn: 4x=x+3y] [eqn: x=y]

연립하면 [eqn: 3x+7y=10x=200]이므로 [eqn: x=20]

따라서 학부모의 수는 [eqn: 3x=3·20=60]

① [eqn: 15]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 45]
④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 75]

현암고/2022년/H2/C

어느 도시에서 야간에 뺑소니 사건이 일어났다. 이 도시 전체 차량의 [eqn: 60%]는 자가용이고, [eqn: 40%]는 영업용이다. 그런데 한 목격자가 뺑소니 차량을 자가용이라고 증언하였다. 이 증언의 타당성을 알아보기 위해 사고와 동일한 상황에서 그 목격자가 자가용 차량과 영업용 차량을 구별할 수 있는 능력을 측정해본 결과 바르게 구별할 확률이 [eqn: 80%]이었다. 그렇다면 목격자가 본 뺑소니 차량이 실제로 자가용일 확률은? [eqn: [4.9점]]

① [eqn: 1 over7]	② [eqn: 3 over11]	③ [eqn: 8 over11]

⑤

목격자가 본 뺑소니 차량이 실제로 자가용이고 구별을 잘하여 자가용이라고 증언했을 확률은 [eqn: 3 over5 times 4 over5][eqn: = 12 over25]이고

목격자가 본 뺑소니 차량이 실제로는 영업용인지 구별을 잘 못하여 자가용이라고 증언했을 확률은 [eqn: 2over5 times 1over5 = 2 over25]이므로

구하고자 하는 확률은 [eqn: 12 over25 } over{ 12 over25 + 2 over25} = 6 over7]이다.

④ [eqn: 4 over5]	⑤ [eqn: 6over7]

서원고/2022년/H2/D

어떤 회사의 제품은 해외 공장과 국내 공장에서 각각 전체 제품의 [eqn: 80]%, [eqn: 20]%가 생산되고 두 공장에서 생산된 제품의 불량률은 각각 [eqn: 3]%, [eqn: 1]%라고 한다. 이 회사의 제품 중에서 임의로 [eqn: 1]개를 택할 것이 불량품이었을 때, 그 제품이 국내 공장에서 생상된 제품일 확률은? [[eqn: 4.9]점]

①

불량품을 사건 [eqn: A], 국내 공장의 불량품을 사건 [eqn: B]라 하면

[eqn: P LEFT ( A RIGHT ) = LEFT ( 0.8 TIMES 0.3 RIGHT ) + LEFT ( 0.2 TIMES 0.1 RIGHT ) =0.26] [eqn: P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) =0.2 TIMES 0.1=0.02]

따라서 구하는 조건부 확률 [eqn: P LEFT ( B` vert A RIGHT ) = {0.02} over {0.26} = {1} over {13}]

① [eqn: {1} over {13}]	② [eqn: {1} over {12}]	③ [eqn: {1} over {10}]
④ [eqn: {1} over {9}]	⑤ [eqn: {1} over {8}]

풍생고/2022년/H3/C

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져 나온 눈의 수가 같으면 한 개의 동전을 [eqn: 4]번 던지고, 나온 눈의 수가 다르면 한 개의 동전을 [eqn: 3]번 던진다. 이 시행에서 동전의 앞면이 나온 횟수가 뒷면이 나온 횟수보다 많을 때, 앞면이 [eqn: 3]번 나올 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. 이때 [eqn: p]와 [eqn: q]의 차는? (단, [eqn: p,```q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: [4.6점]]

① [eqn: 15]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 31]
④ [eqn: 39]	⑤ [eqn: 47]

③

두 주사위를 던져 같은 눈이 나올 확률 [eqn: {1} over {6}], 서로 다른 눈이 나올 확률 [eqn: {5} over {6}]

동전의 앞면이 나온 횟수보다 뒷면이 나온 횟수보다 많은 사건을 [eqn: A]

동전의 앞면이 [eqn: 3]번 나온 사건을 [eqn: B]라 하면

[eqn: 1)] 주사위 눈이 같을 때

[eqn: ①] 앞면의 개수가 [eqn: 4]개

[eqn: {1} over {6} TIMES C LSUB {4} _{4} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4} = {1} over {96}]

[eqn: ②`] 앞면의 개수가 [eqn: 3]개

[eqn: {1} over {6} TIMES C LSUB {4} _{3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4} = {4} over {96}]

[eqn: 2)] 주사위 눈이 다를 때

[eqn: ①] 앞면의 개수가 [eqn: 3]개

[eqn: {5} over {6} TIMES C LSUB {3} _{3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} = {5} over {48}]

[eqn: ②] 앞면이 개수가 [eqn: 2]개

[eqn: {5} over {6} TIMES C LSUB {3} _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} = {15} over {48}]

사건 [eqn: B]의 확률은 [eqn: 1-2,```2-1]의 합이므로

[eqn: P(B` vert A)= {{14} over {96}} over {{5} over {96} + {40} over {96}} = {14} over {45}]

[eqn: p-q=31]

서원고/2022년/H3/C

주머니 [eqn: A]에는 흰 공 [eqn: 3]개, 검은 공 [eqn: 4]개다 들어 있고, 주머니 [eqn: B]에는 흰 공 [eqn: 2]개, 검은 공 [eqn: 3]개가 들어 있다. 한 개의 주사위를 던져 [eqn: 2]이하의 눈이 나오면 주머니 [eqn: A]를, [eqn: 3]이상의 눈이 나오면 주머니 [eqn: B]를 택한다. 택한 주머니에서 임의로 두 개의 공을 동시에 꺼내기로 한다. 이 시행을 한 번 하여 꺼낸 공의 색이 서로 다를 때, 주머니 [eqn: A]를 택하였을 확률을 구하고, 그 풀이 과정을 서술하시오. [[eqn: 6.0]점]

[eqn: {10} over {31}]

서로 다른 공이 나오는 사건을 각각 [eqn: A,~B]라 하면

[eqn: P LEFT ( A RIGHT ) = {1} over {3} · LEFT { {{}_{3} C _{1} · _{4} C _{1}} over {{}_{7} C _{2}} RIGHT } = {1} over {3} · {4} over {7} = {4} over {21}]

[eqn: P LEFT ( B RIGHT ) = {2} over {3} · LEFT { {{}_{2} C _{1} · _{3} C _{1}} over {{}_{5} C _{2}} RIGHT } = {2} over {3} · {3} over {5} = {2} over {5}]

따라서 공이 서로 다른 색이 나오는 사건을 [eqn: C]라 하면

[eqn: P LEFT ( C RIGHT ) =P LEFT ( A RIGHT ) +P LEFT ( B RIGHT )]

따라서 조건부 확률에 따라 구하는 확률은

[eqn: P LEFT ( A` vert C RIGHT ) = {{4} over {21}} over {{4} over {21} + {2} over {5}} = {20} over {20+42} = {20} over {62} = {10} over {31}]

종속과 독립

운중고/2022년(이)/H2/C

한 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수가 홀수인 사건을 [eqn: A], [eqn: 2 To 20010]의 배수인 사건을 [eqn: B], 소수인 사건을 [eqn: C]라고 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4.5]점]

③

[eqn: A= LEFT { 1,~3,~5 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 2,~4,~6 RIGHT } To 20010], [eqn: C= LEFT { 2,~3,~5 RIGHT }]

[eqn: ㄱ]. [eqn: P(A cap C)= {1} over {3}], [eqn: P(A)P(C)= {1} over {2} TIMES {1} over {2} = {1} over {4}]

따라서 [eqn: A]와 [eqn: C]는 서로 종속이다.

[eqn: ㄴ]. [eqn: P(B cap C)= {1} over {6}], [eqn: P(B)P(C)= {1} over {2} TIMES {1} over {2} = {1} over {4}]

따라서 [eqn: B]와 [eqn: C]는 서로 종속이다.

[eqn: ㄷ]. [eqn: P(A CAP B)=0] 따라서 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 배반사건이다.

[보 기]

ㄱ. 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: C]는 서로 종속이다.

ㄴ. 두 사건 [eqn: B]와 [eqn: C]는 서로 독립이다.

ㄷ. 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 배반사건이다.

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄱ], [eqn: ㄷ To 20010]

④ [eqn: ㄴ], [eqn: ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ], [eqn: ㄴ], [eqn: ㄷ]

서현고/2022년/H3/C

한 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수가 짝수인 사건을 [eqn: A], [eqn: 5]의 약수인 사건을 [eqn: B], 소수인 사건을 [eqn: C] 라고 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4.7]점]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

④

[eqn: A= LEFT { 2,~4,~6 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1,~5 RIGHT }], [eqn: C= LEFT { 2,~3,~5 RIGHT }]

ㄱ. [eqn: A SMALLINTER B= EMPTYSET]이므로 배반사건

ㄴ. [eqn: P(A)P(C)= {1} over {4}]이고 [eqn: A SMALLINTER C= LEFT { 2 RIGHT }]이므로 [eqn: P(A SMALLINTER C)= {1} over {6}]

따라서 두 사건은 독립사건이 아니다.

ㄷ. [eqn: P(B)P(C)= {1} over {6}]이고 [eqn: B SMALLINTER C= LEFT { 5 RIGHT }]이므로 [eqn: P(B SMALLINTER C)= {1} over {6}]

따라서 두 사건은 독립사건이다.

[보 기]

ㄱ. 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 배반 사건이다.

ㄴ. 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: C]는 서로 독립이다.

ㄴ. 두 사건 [eqn: B]와 [eqn: C]는 서로 독립이다.

서원고/2022년/H2/C

주사위 한 개를 던져 홀수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: A], 소수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: B], [eqn: 5]이상의 눈이 나오는 사건을 [eqn: C`]라고 할 때, 사건 [eqn: A]와 [eqn: B], [eqn: B]와 [eqn: C], [eqn: C`]와 [eqn: A]의 사이의 관계를 순서대로 나열한 것은? [[eqn: 3.6]점]

①

[eqn: A= LEFT { 1,~3,~5 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 2,~3,~5 RIGHT }], [eqn: C= LEFT { 5,~6 RIGHT }]

[eqn: P LEFT ( A RIGHT ) = {1} over {2}], [eqn: P LEFT ( B RIGHT ) = {1} over {2}], [eqn: P LEFT ( C RIGHT ) = {1} over {3}]

[eqn: P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) = {1} over {3}], [eqn: P LEFT ( B SMALLINTER C RIGHT ) = {1} over {6}], [eqn: P LEFT ( C SMALLINTER A RIGHT ) = {1} over {6}]

[eqn: P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) != P LEFT ( A RIGHT ) P LEFT ( B RIGHT )]이므로 종속

[eqn: P LEFT ( B SMALLINTER C RIGHT ) = P LEFT ( B RIGHT ) P LEFT ( C RIGHT )]이므로 독립

[eqn: P LEFT ( C SMALLINTER A RIGHT ) = P LEFT ( C RIGHT ) P LEFT ( A RIGHT )]이므로 독립

따라서 순서대로 나열하면 종속-독립-독립

① 종속-독립-독립 ② 종속-종속-독립 ③ 종속-독립-종속
④ 독립-독립-종속 ⑤ 독립-종속-독립

외대부고/2022년/H3/C

[eqn: 12]개의 수 [eqn: 1,`2,`3,`5,`6,`8,`10,`11,`13,`14,`16,`17]이 하나씩 적힌 카드 [eqn: 12]장에서 카드 [eqn: 1]장을 뽑을 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 그대로 고른 것은? [[eqn: 4.4]점]
① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

⑤

전체 경우의 수는 12가지

ㄱ. 짝수가 나오는 사건은 [eqn: LEFT { 2,6,8,10,14,16 RIGHT }]으로 [eqn: 6]가지

[eqn: 5]의 배수가 나오는 사건은 [eqn: LEFT { 5,10 RIGHT }]으로 [eqn: 2]가지

[eqn: P LEFT ( 짝수 SMALLINTER 5의배수 RIGHT ) =P LEFT ( 짝수 RIGHT ) TIMES P LEFT ( 5의배수 RIGHT )]

[eqn: {1} over {12} = {6} over {12} TIMES {2} over {12}] 가 되어 서로 독립이다.

ㄴ. 소수가 나오는 사건은 [eqn: LEFT { 2,3,5,11,13,17 RIGHT }]으로 [eqn: 6]가지

[eqn: 5]의 배수가 나오는 사건은 [eqn: LEFT { 3,6 RIGHT }]으로 [eqn: 2]가지

[eqn: P LEFT ( 소수 SMALLINTER 3의배수 RIGHT ) =P LEFT ( 소수 RIGHT ) TIMES P LEFT ( 3의배수 RIGHT )]

[eqn: {1} over {12} = {6} over {12} TIMES {2} over {12}] 가 되어 서로 독립이다.

ㄷ. 소수가 나오는 사건은 [eqn: LEFT { 2,3,5,11,13,17 RIGHT }]으로 [eqn: 6]가지

[eqn: 5]의 배수가 나오는 사건은 [eqn: LEFT { 5,10 RIGHT }]으로 [eqn: 2]가지

[eqn: P LEFT ( 소수 SMALLINTER 5의배수 RIGHT ) =P LEFT ( 소수 RIGHT ) TIMES P LEFT ( 5의배수 RIGHT )]

[eqn: {1} over {12} = {6} over {12} TIMES {2} over {12}] 가 되어 서로 독립이다.

[보 기]

ㄱ. 짝수가 나오는 사건과 [eqn: 5]의 배수가 나오는 사건은 독립이다.

ㄴ. 소수가 나오는 사건과 [eqn: 3]의 배수가 나오는 사건은 독립이다.

ㄷ. 소수가 나오는 사건과 [eqn: 5]의 배수가 나오는 사건은 독립이다.

보평고/2022년/H2/C

[eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 10]장의 카드가 들어 있는 바구니에서 [eqn: A,~B] 두 사람이 [eqn: A,~B]의 순서대로 카드를 한 장씩 뽑는다. [eqn: A,~B]가 [eqn: 3]의 배수가 적힌 카드를 뽑는 사건을 각각 [eqn: A,~B]라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 뽑은 카드는 다시 넣지 않는다.) [eqn: [총`9.0점]]

[eqn: (1)] [eqn: P(A` SMALLINTER B)]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [eqn: [2.0점]]

[eqn: (1)~ 1over15 ~~(2)~ 3over10 ~~(3)~ 종속]

[eqn: (1)] [eqn: A]와 [eqn: B]의 곱사건은 [eqn: A,~B] 모두 [eqn: 3]의 배수를 뽑아야 하므로

[eqn: therefore] [eqn: P(A capB) = 3 over10 times 2 over9 = 1 over15]

[eqn: (2)] [eqn: B]가 [eqn: 3]의 배수를 뽑는 사건은

[eqn: A]와 [eqn: B]가 모두 [eqn: 3]의 배수를 뽑는 경우와 [eqn: A]는 [eqn: 3]의 배수를 뽑지않고, [eqn: B]만 [eqn: 3]의 배수를 뽑는 경우로 나눌 수 있으므로

[eqn: therefore] [eqn: P(B) = 3over10 times 2 over9 + 7 over10 times 3 over9 = 3 over10]

[eqn: (3)] [eqn: P(A) = 3over10 ,~P(B) = 3 over10]이고 [eqn: P(A capB) = 1 over15]이므로

[eqn: P(A capB) not = P(A) times P(B)]

따라서, [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 종속이다.

[eqn: (2)] [eqn: P(B)]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [eqn: [3.0점]]

[eqn: (3)] 두 사건 [eqn: A,~B]가 서로 독립인지 종속인지를 판별하고, 그 과정을 서술하시오. [eqn: [4.0점]]

독립사건의 확률

보평고/2022년/H2/C

두 사건 [eqn: A,~B]가 서로 독립이고, [eqn: P(A capB^C ) = 1over2 ,~ P(A^C cap B^C ) = 1over4]일 때, [eqn: P(A^C capB)]의 값은? (단, [eqn: A^C]는 [eqn: A]의 여사건이다.) [eqn: [4.7점]]

① [eqn: 1 over4]	② [eqn: 1over6]	③ [eqn: 1over8]

⑤

[eqn: A,~B]가 독립이면 [eqn: A,~B^C]도 독립이고, [eqn: A^C ,~B]도 독립이며, [eqn: A^C ,~B^C]도 독립이다. 따라서,

[eqn: P(A capB^C ) = P(A) times P(B^C ) = P(A) times "{"1-P(B)"}" = 1over2].............[eqn: (1)]

[eqn: P(A^C capB^C ) = P(A^C ) timesP(B^C ) = "{"1-P(A)"}""{"1-P(B)"}" = 1over4] ...[eqn: (2)]

[eqn: (1)]과 [eqn: (2)]를 변변끼리 나누면

[eqn: P(A) over{1- P(A)} = 2]에서 [eqn: P(A) = 2over3 , ~P(B) = 1over4]임을 구할 수 있다.

[eqn: therefore~P(A ^C capB) = P(A^C ) times P(B) = 1over3 times 1over4 = 1over12]

④ [eqn: 1over10]	⑤ [eqn: 1 over12]

영덕여고/2022년/H3/C

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이고, [eqn: P(A) = 3 over 4], [eqn: P(B) = 3 over 5] 일 때, [eqn: P(A cupB^c )]의 값은? [[eqn: 4.5]점]

⑤

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이면
두 사건 [eqn: A`]와 [eqn: B^C]도 서로 독립이므로

[eqn: P( it A SMALLINTER B ^{C} `)=P(A)`P(B ^{c} )= {3} over {4} TIMES {2} over {5} = {3} over {10}]이다.

[eqn: P(A CUP B ^{c} )`=`P(A)`+P(B` ^{c`}) - {P (A cap B^c )]

[eqn: 3 over 4 + 2 over 5 - 3 over 10 = 17 over 20] 이다.

<해설보충>

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이면

[eqn: P(A SMALLINTER B)=P(A)P(B)]이고

[eqn: P(A SMALLINTER B ^{C``} )=P(A CUP B)-P(A)# ``````````````````````````````````````=P(A)+P(B)-P(A SMALLINTER B)-P(A)# ``````````````````````````````````````=P(B)-P(A)P(B)# ``````````````````````````````````````=P(B) LEFT { 1-P(A) RIGHT }# ``````````````````````````````````````=P(B)P(A ^{C``} )]

이므로 두 사건 [eqn: A`]와 [eqn: B^C]도 서로 독립이다

참고로 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이면

[eqn: A와`B ^{C} ``,`A ^{C} ``와`B`,`A ^{C``} 와`B ^{C} ``도`독립이다.]

① [eqn: 3 over 20]	② [eqn: 7 over 20]	③ [eqn: 11 over 20]
④ [eqn: 7 over 10]	⑤ [eqn: {17} over {20}]

보평고/2022년/H2/C

두 사건 [eqn: A,~B]가 서로 독립이고, [eqn: P(A capB^C ) = 1over2 ,~ P(A^C cap B^C ) = 1over4]일 때, [eqn: P(A^C capB)]의 값은? (단, [eqn: A^C]는 [eqn: A]의 여사건이다.) [eqn: [4.7점]]

① [eqn: 1 over4]	② [eqn: 1over6]	③ [eqn: 1over8]

⑤

[eqn: A,~B]가 독립이면 [eqn: A,~B^C]도 독립이고, [eqn: A^C ,~B]도 독립이며, [eqn: A^C ,~B^C]도 독립이다. 따라서,

[eqn: P(A capB^C ) = P(A) times P(B^C ) = P(A) times "{"1-P(B)"}" = 1over2].............[eqn: (1)]

[eqn: P(A^C capB^C ) = P(A^C ) timesP(B^C ) = "{"1-P(A)"}""{"1-P(B)"}" = 1over4] ...[eqn: (2)]

[eqn: (1)]과 [eqn: (2)]를 변변끼리 나누면

[eqn: P(A) over{1- P(A)} = 2]에서 [eqn: P(A) = 2over3 , ~P(B) = 1over4]임을 구할 수 있다.

[eqn: therefore~P(A ^C capB) = P(A^C ) times P(B) = 1over3 times 1over4 = 1over12]

④ [eqn: 1over10]	⑤ [eqn: 1 over12]

서원고/2022년/H3/C

다음 문항을 읽고 답하시오. [총 [eqn: 6.0]점]

[eqn: 2-1] [eqn: {25} over {36}], [eqn: 2-2] [eqn: {55} over {2048}]

[eqn: 2-1]

[eqn: P LEFT ( A CUP B ^{C} RIGHT ) =P LEFT ( LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B RIGHT ) ^{C} RIGHT ) =1-P LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B RIGHT ) = {7} over {12}]

[eqn: A,~B]가 독립이므로 [eqn: A ^{C} ,~B]도 독립

[eqn: P LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B RIGHT ) = {5} over {12}]이고 [eqn: P LEFT ( A ^{C} RIGHT ) = {3} over {5}]이므로

[eqn: P LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B RIGHT ) =P LEFT ( A ^{C} RIGHT ) ·P LEFT ( B RIGHT ) = {3} over {5} ·P LEFT ( B RIGHT ) = {5} over {12}]

따라서 [eqn: P LEFT ( B RIGHT ) = {25} over {36}]

[eqn: 2-2]

한 개의 주사위를 [eqn: 6]번 던질 때 소수의 눈이 [eqn: a]번 나오는 확률은

[eqn: {}_{6} C _{a} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{a} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6-a} = _{6} C _{a} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6}]

한 개의 동전을 [eqn: 5]회 던져 앞면이 나오는 횟수가 [eqn: b]번 나오는 확률은

[eqn: {}_{5} C _{b} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{b} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6-b} = _{5} C _{b} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6}]

[eqn: a-b=4]가 되려면

[eqn: a=4,~b=0]일 때, [eqn: LEFT { {}_{6} C _{4} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6} · _{5} C _{0} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5} RIGHT } = {15} over {2 ^{11}}]

[eqn: a=5,~b=1]일 때, [eqn: LEFT { {}_{6} C _{5} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6} · _{5} C _{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5} RIGHT } = {30} over {2 ^{11}}]

[eqn: a=6,~b=1]일 때, [eqn: LEFT { {}_{6} C _{6} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6} · _{5} C _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5} RIGHT } = {10} over {2 ^{11}}]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {15+30+10} over {2 ^{11}} = {55} over {2048}]

[eqn: 2-1] 두 사건 [eqn: A,~B]가 서로 독립이고, [eqn: P LEFT ( A ^{C} RIGHT ) = {3} over {5}], [eqn: P LEFT ( A CUP B ^{C} RIGHT ) = {7} over {12}]일 때, [eqn: P LEFT ( B RIGHT )]의 값을 구하고 그 풀이 과정을 서술하시오. (단 [eqn: A ^{C}]는 [eqn: A]의 여사건이다.) [[eqn: 3.0]점]

[eqn: 2-2] 한 개의 주사위를 [eqn: 6]회 던질 때, 소수 눈이 나오는 횟수를 [eqn: a]라고 하고, 한 개의 동전을 [eqn: 5]회 던져 앞면이 나오는 횟수를 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a-b]의 값이 [eqn: 4]일 확률을 구하고 그 풀이 과정을 서술하시오. [[eqn: 3.0]점]

현암고/2022년/H2/C

한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 첫 번째에 나오는 눈의 수가 [eqn: 4]의 약수인 사건을 [eqn: A], 나오는 눈의 수가 모두 짝수인 사건을 [eqn: B], 나오는 눈의 수의 합이 [eqn: 7]인 사건을 [eqn: C]라 하자. 옳은 것만을 [eqn: <보기>]에서 있는 대로 고른 것은? [eqn: [4.2 점]]

⑤

[eqn: 4]의 약수는 [eqn: 1,~2,~4]이고, 짝수는 [eqn: 2,~4,~6]이며, 나오는 눈의 수의 합이 [eqn: 7]인 경우는 [eqn: (1,~6),~(2,~5),~(3,~4),~(4,~3),~(5,~2),~(6,~1)]과 같이 [eqn: 6]가지이므로 각 사건의 확률을 계산하면 아래와 같다.

[eqn: P(A) = 3 over6 = 1over2 ,~ P(B) = 3 over6 times 3over6 = 1over4 ,~P(C) = 6 over36 = 1over6]

[eqn: ㄱ.] [eqn: A]와 [eqn: B]의 곱사건은 첫 번째는 [eqn: 4]의 약수이면서 짝수이고, 두 번째는 짝수인 눈이 나오는 경우이므로

[eqn: (2,~2),~(2,~4),~(2,~6),~(4,~2),~(4,~4),~(4,~6)]과 같이 [eqn: 6]가지이므로 [eqn: P(A capB) = 6 over36 = 1over6]

따라서, [eqn: P(B `|A) = {P(A capB)} overP(A) = 1over6 over{1over2} = 1over3]이므로 참

[eqn: ㄴ.] [eqn: A]와 [eqn: C]의 곱사건은 첫 번째는 [eqn: 4]의 약수이고, 두 번째는 첫 번째의 눈과 합하여 [eqn: 7]이 되는 눈이 나오는 경우이므로

[eqn: (1,~6) ,~(2,~5),~(4,~3)]과 같이 [eqn: 3]가지이므로 [eqn: P(A capC) = 3 over36 = 1over12]에서 참

[eqn: ㄷ.] [eqn: P(A) times P(C) = 1over2 times 1over6 = 1over12 = P(A capC)]이므로 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: C]는 서로 독립이다.

[eqn: ㄱ.] [eqn: P(B `|A) = 1over3]

[eqn: ㄴ.] [eqn: P(A capC) = 1over12]

[eqn: ㄷ.] 사건 [eqn: A]와 사건 [eqn: C]는 서로 독립이다.

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄷ]	③ [eqn: ㄱ,~ㄷ]

④ [eqn: ㄴ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

죽전고/2022년/H2/C

[eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]장의 카드에서 임의로 [eqn: 2]장의 카드를 동시에 선택한다. 선택한 [eqn: 2]장의 카드에 적혀 있는 두 수의 합이 [eqn: 3]의 배수인 사건을 [eqn: A], [eqn: 2] 이상 [eqn: 10] 이하의 자연수 [eqn: n]에 대하여 선택한 [eqn: 2]장의 카드에 적혀 있는 두 수의 곱이 [eqn: n] 이하인 사건을 [eqn: B]라 하자. 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이 되도록 하는 모든 [eqn: n]의 값의 합은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

⑤

[eqn: n(A)]를 구하면

합이 [eqn: 3] [eqn: (1,2)] 합이 [eqn: 6] [eqn: (1,5)] [eqn: (2,4)] 합이 [eqn: 9] [eqn: (3,6)] [eqn: (4,5)]으로 총 5개이다.

[eqn: P(A)][eqn: =][eqn: {5} over {{} _{6} C _{2}}][eqn: = {1} over {3}]

[eqn: P(B)]를 곱이 [eqn: n]이하가 되도록 확률을 구하면

[eqn: n]	2	3	4	5
[eqn: P(B)]	[eqn: {1} over {{} _{6} C _{2}}]	[eqn: {2} over {{} _{6} C _{2}}]	[eqn: {3} over {{} _{6} C _{2}}]	[eqn: {4} over {{} _{6} C _{2}}]

6	7	8	9	10
[eqn: {6} over {{} _{6} C _{2}}]	[eqn: {6} over {{} _{6} C _{2}}]	[eqn: {7} over {{} _{6} C _{2}}]	[eqn: {7} over {{} _{6} C _{2}}]	[eqn: {8} over {{} _{6} C _{2}}]

[eqn: P(A SMALLINTER B)=P(A)P(B)]를 만족해야 하므로 [eqn: {1} over {3} TIMES {n(B)} over {15} = {n(A SMALLINTER B)} over {15}]

[eqn: n(B)]가 [eqn: n(A SMALLINTER B)]의 [eqn: 3]배가 되어야 하므로 [eqn: n=4,`6,7] 모든 [eqn: n]의 합은 [eqn: 17]이다.

현암고/2022년/H2/C

집합 [eqn: "{"1,~2,~3,~4"}"]의 모든 부분집합 중에서 임의로 한 개를 택할 때, 택한 집합의 원소의 개수가 [eqn: 2]인 사건을 [eqn: A], [eqn: 1]이상 [eqn: 3]이하의 자연수 [eqn: n]에 대하여 택한 집합의 원소의 최솟값이 [eqn: n]인 사건을 [eqn: B_n]이라 하자. [eqn: <보기>]의 사건 중에서 사건 [eqn: A]와 서로 종속인 사건만을 있는 대로 고른 것은? [eqn: [4.4점]]

④

집합 [eqn: "{"1,~2,~3,~4"}"]의 부분집합의 개수는 [eqn: 2^4]개이므로

[eqn: P(A) = {`_4 C_2} over2^4 = 3 over8]이고

[eqn: B_1]은 최솟값이 [eqn: 1]인 경우이므로 [eqn: 1]을 반드시 포함해야 하고, [eqn: B_2]는 최솟값이 [eqn: 2]인 경우이므로 [eqn: 1]을 반드시 미포함 [eqn: 2]를 반드시 포함해야 하며 [eqn: B_3]는 최솟값이 [eqn: 3]인 경우이므로 [eqn: 1]과 [eqn: 2]를 반드시 미포함 [eqn: 3]을 반드시 포함해야 한다.

따라서, [eqn: P(B_1 ) = 2^3 over2^4 = 1 over2 ,~P(B_2 ) = 2^2 over2^4 = 1over4 ,~P(B_3 ) = 2 over2^4 = 1over8]이다.

[eqn: A]와 [eqn: B_n]의 곱사건은 [eqn: n-1]이하의 숫자는 반드시 미포함하고, [eqn: n]은 반드시 포함하면서 남은 원소중 [eqn: 1]개의 원소만 선택하여 원소의 개수가 [eqn: 2]개가 되는 사건이므로

[eqn: P(A capB_1 ) = 3 over16][eqn: ,~P(A capB_2 ) = 1over8 ,~P(A capB_3 ) = 1over16]이다.

[eqn: P(A) times P(B_1 ) = 3 over16 = P(A capB_1 )]이므로 [eqn: A]와 [eqn: B_1]은 독립인 사건

[eqn: P(A )times P(B_2 ) = 3 over32 not = P(A capB_2 ) = 1 over8]이므로 [eqn: A]와 [eqn: B_2]는 종속인 사건

[eqn: P(A ) times P(B_3 ) = 3 over64 not = P(A capB_3 ) = 1over16]이므로 [eqn: A]와 [eqn: B_3]는 종속인 사건

[eqn: therefore~ㄴ,~ㄷ]

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄷ]	③ [eqn: ㄱ,~ㄴ]

[eqn: ㄱ.] [eqn: B_1]	[eqn: ㄴ.] [eqn: B_2]	[eqn: ㄷ.] [eqn: B_3]

④ [eqn: ㄴ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

독립시행

보평고/2022년/H3/C

한 개의 주사위를 [eqn: 6]번 던질 때 홀수의 눈이 나오는 횟수를 [eqn: a]라 하고, 한 개의 동전을 [eqn: 4]번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 [eqn: b]라 하자. [eqn: a-b]의 값이 [eqn: 4]일 확률을 [eqn: {q} over {p}]라 할 때, [eqn: p+q]의 값은? [4.9점]

① [eqn: 1068]	② [eqn: 1069]	③ [eqn: 1070]
④ [eqn: 1071]	⑤ [eqn: 1072]

②

(ⅰ) [eqn: a=4], [eqn: b=0]일 확률

[eqn: {}_{6} rm C _{4} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} TIMES _{4} C _{0} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{0} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4} = {15} over {1024}]

(ⅱ) [eqn: a=5], [eqn: b=1]일 확률

[eqn: {}_{6} rm C _{5} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{1} TIMES _{4} C _{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} = {24} over {1024}]

(ⅲ) [eqn: a=6], [eqn: b=2]일 확률

[eqn: {}_{6} rm C _{6} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{0} TIMES _{4} C _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = {6} over {1024}]

따라서 [eqn: a-b=4]일 확률은 [eqn: {15+24+6} over {1024} = {45} over {1024}]이다.

[eqn: THEREFORE ~p+q=1024+45=1069]

풍생고/2022년/H3/C

동전 [eqn: A]의 앞면과 뒷면에는 각각 [eqn: 1]과 [eqn: 2]가 적혀 있고, 동전 [eqn: B]의 앞면과 뒷면에는 각각 [eqn: 3]과 [eqn: 4]가 적혀 있다. 동전 [eqn: A]를 두 번, 동전 [eqn: B]를 세 번 던져 나온 [eqn: 5]개의 수의 합이 [eqn: 14]또는 [eqn: 15]일 확률은? [eqn: [4.6점]]

① [eqn: {3} over {16}]	② [eqn: {9} over {32}]	③ [eqn: {3} over {8}]
④ [eqn: {15} over {32}]	⑤ [eqn: {9} over {16}]

④

[eqn: 1)] 동전 [eqn: 5]개에 적힌 숫자의 합이 15인 경우

([eqn: 1] 한 번, [eqn: 2] 한 번, [eqn: 4] 세 번) [eqn: C LSUB {2} _{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} TIMES C LSUB {3} _{3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} = {2} over {2 ^{5}}]

([eqn: 2] 두 번, [eqn: 3] 한 번, [eqn: 4] 두 번) [eqn: C LSUB {2} _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} TIMES C LSUB {3} _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} = {3} over {2 ^{5}}]

[eqn: 2)] 합이 14인 경우

[eqn: (`1] 두 번, [eqn: 4] 세 번) [eqn: C LSUB {2} _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} TIMES C LSUB {3} _{3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} = {1} over {2 ^{5}}]

[eqn: (1] 한 번, [eqn: 2] 한 번, [eqn: 3] 한 번, [eqn: 4] 두 번) [eqn: C LSUB {2} _{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} TIMES C LSUB {3} _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} = {6} over {2 ^{5}}]

[eqn: (2] 두 번, [eqn: 3] 두 번, [eqn: 4] 한 번) [eqn: C LSUB {2} _{0} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} TIMES C LSUB {3} _{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} = {3} over {2 ^{5}}]

그러므로 확률의 합은

[eqn: {15} over {32}]

서원고/2022년/H3/C

[eqn: 100]원짜리 동전 [eqn: 1]개와 [eqn: 500]원짜리 동전 [eqn: 1]개를 동시에 던지는 시행을 [eqn: 6]회 반복할 때, 두 동전이 동시에 앞면이 나오는 사건이 [eqn: 4]회 일어날 확률은? [[eqn: 4.1]점]

④

두 동전이 동시에 앞면이 나올 확률은 [eqn: {1} over {2} · {1} over {2} = {1} over {4}]

따라서 [eqn: 6]회 중 [eqn: 4]회가 두 동전이 동시에 앞면이 나올 확률은

독립시행의 확률에 따라 [eqn: {}_{6} C _{4} · LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{4} · LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2} = {15·3 ^{2}} over {2 ^{12}} = {135} over {4096}]

① [eqn: {2} over {5}]	② [eqn: {27} over {2048}]	③ [eqn: {111} over {4096}]
④ [eqn: {135} over {4096}]	⑤ [eqn: {157} over {4096}]

풍생고/2022년/H3/C

흰 공 [eqn: 2]개, 검은 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 상자에서 한 개의 공을 꺼낼 때, 꺼낸 공이 흰 공이면 한 개의 동전을 [eqn: 2]번 던지고 검은 공이면 한 개의 동전을 [eqn: 3]번 던진다. 이 시행에서 앞면이 [eqn: 2]번 나올 확률은?

②

1) 꺼낸 공이 흰 공이고 동전 2번 던졌을 때 앞면이 [eqn: 2]번 나올 확률 [eqn: {2} over {4} TIMES _{2} C _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{0} = {2} over {16} = {1} over {8}]

2) 꺼낸 공이 검은 공이고 동전 3번 던졌을 때 앞면이 [eqn: 2]번 나올 확률 [eqn: {2} over {4} TIMES _{3} C _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{1} = {6} over {32} = {3} over {16}]

1)2)에 의해 [eqn: THEREFORE] [eqn: {1} over {8} + {3} over {16} = {5} over {16}]

[[eqn: 4.4]점]
① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {5} over {16}]	③ [eqn: {3} over {8}]
④ [eqn: {7} over {16}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

보평고/2022년/H3/C

수직선 위의 점 [eqn: P]에 대하여 한 개의 주사위를 한 번 던져서 [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오면 점 [eqn: P]를 양의 방향으로 [eqn: 1]만큼 이동시키고, 그렇지 않으면 점 [eqn: P]를 음의 방향으로 [eqn: 2]만큼 이동시키는 시행을 한다. 이 시행을 [eqn: 4]번 반복할 때, 원점에서 출발한 점 [eqn: P]의 좌표가 [eqn: 0]보다 클 확률을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [eqn: [7.0점]]

[eqn: 1over9]

[eqn: 3]의 배수가 나올 확률은 [eqn: 1over3]이고 [eqn: 3]의 배수가 아닌 눈이 나올 확률을 [eqn: 2over3]이다. [eqn: 4]번의 시행에서 [eqn: 3]의 배수가 나온 횟수를 [eqn: k]회라 하면 [eqn: 3]의 배수가 아닌 눈이 나온 횟수는 [eqn: 4-k]회이고 이 때 점 [eqn: P]의 좌표는 [eqn: k-2(4-k) = 3k -8]이므로 [eqn: 4]번의 시행 후 [eqn: P]의 좌표가 [eqn: 0]보다 크기 위해서는 [eqn: k ge3]이어야 한다.

[eqn: k=3]일 때, [eqn: `_4 C_3 left(1 over3 right)^3 left(2 over3 right)]

[eqn: k=4]일 때, [eqn: `_4 C_4 left( 1over3 right)^4]

따라서, [eqn: 4]번의 시행 후 [eqn: P]의 좌표가 [eqn: 0]보다 클 확률은

[eqn: `_4 C_3 left( 1over3 right)^3 left( 2over3 right) + _4 C_4 left( 1over3 right)^4 = 1over9]이다.

보평고/2022년/H3/C

수직선 위의 점 [eqn: P]에 대하여 한 개의 주사위를 한 번 던져서 [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오면 점 [eqn: P]를 양의 방향으로 [eqn: 1]만큼 이동시키고, 그렇지 않으면 점 [eqn: P]를 음의 방향으로 [eqn: 2]만큼 이동시키는 시행을 한다. 이 시행을 [eqn: 4]번 반복할 때, 원점에서 출발한 점 [eqn: P]의 좌표가 [eqn: 0]보다 클 확률을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [eqn: [7.0점]]

[eqn: 1over9]

[eqn: 3]의 배수가 나올 확률은 [eqn: 1over3]이고 [eqn: 3]의 배수가 아닌 눈이 나올 확률을 [eqn: 2over3]이다. [eqn: 4]번의 시행에서 [eqn: 3]의 배수가 나온 횟수를 [eqn: k]회라 하면 [eqn: 3]의 배수가 아닌 눈이 나온 횟수는 [eqn: 4-k]회이고 이 때 점 [eqn: P]의 좌표는 [eqn: k-2(4-k) = 3k -8]이므로 [eqn: 4]번의 시행 후 [eqn: P]의 좌표가 [eqn: 0]보다 크기 위해서는 [eqn: k ge3]이어야 한다.

[eqn: k=3]일 때, [eqn: `_4 C_3 left(1 over3 right)^3 left(2 over3 right)]

[eqn: k=4]일 때, [eqn: `_4 C_4 left( 1over3 right)^4]

따라서, [eqn: 4]번의 시행 후 [eqn: P]의 좌표가 [eqn: 0]보다 클 확률은

[eqn: `_4 C_3 left( 1over3 right)^3 left( 2over3 right) + _4 C_4 left( 1over3 right)^4 = 1over9]이다.

서현고/2022년/H3/C

그림과 같이 수직선의 원점 위에 바둑돌이 놓여 있다. 한 개의 주사위를 던져서 [eqn: 6]의 약수의 눈이 나오면 양의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: 6]의 약수의 눈이 나오지 않으면 음의 방향으로 [eqn: 1]만큼 바둑돌을 이동시킨다고 하자. 한 개의 주사위를 네 번 던진 후의 바둑돌이 놓인 점이 나타내는 수를 [eqn: X]라고 할 때, 확률변수 [eqn: X]의 표준편차 [eqn: sigma (X)]의 값은? [[eqn: 5]점]

③

[eqn: 6]의 약수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: Y]라 하면 [eqn: Y]는 이항분포 [eqn: B LEFT ( 4,~ {2} over {3} RIGHT )]을 따른다. [eqn: sigma(Y)= {2 sqrt {2}} over {3}]

[eqn: X=2Y-(4-Y)=3Y-4]이므로
[eqn: sigma (X)= sigma (3Y-4)=3 sigma (Y)=2 sqrt {2}]

① [eqn: {2 sqrt {2}} over {3}]	② [eqn: {2 sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: 2 sqrt {2}]	④ [eqn: 2 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 3 sqrt {2}]

현암고/2022년/H3/C

점 [eqn: P]가 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: ABCD]의 변 위를 주사위를 한 번 던질 때마다 다음과 같은 규칙에 따라 움직인다. 주사위를 [eqn: 6]번 던질 때, 점 [eqn: A]를 출발한 점 [eqn: P]가 다시 점 [eqn: A]로 되돌아올 확률은 [eqn: p]이다. [eqn: 3^6 times p]의 값은? [eqn: [4.4점]]

⑤

[eqn: 3]의 배수가 나올 확률은 [eqn: 1 over3]이고 [eqn: 3]의 배수가 나오지 않을 확률은 [eqn: 2 over3]이다. [eqn: 6]번의 시행중에서 [eqn: 3]의 배수가 나오는 시행을 [eqn: a]회라 하면 [eqn: 3]의 배수가 나오지 않는 횟수는 [eqn: 6-a]회이고 반시계방향을 [eqn: +]방향으로 생각하면 [eqn: 6]회의 시행후 반시계방향으로 이동한 거리는 [eqn: a-(6-a) = 2a-6][eqn: (0 le a le 6)]이고 이 값이 [eqn: 4][eqn: times]정수이면 [eqn: A]로 돌아오게 되므로 [eqn: 2a-6 = -4 ~or~0 ~or~ 4 (because -6 le 2a-6 le 6 )]

따라서, [eqn: a = 1~or~3~or~5]

구하고자 하는 확률 [eqn: p]는

[eqn: p=_6 C_1 left( 1over3 right)left( 2 over3 right)^5 + _6 C_3 left( 1over3 right)^3 left( 2 over3 right)^3 + _6 C_5 left( 1over3 right)^5 left( 2over3 right) = 364 over3^6]

[eqn: therefore] [eqn: 3^6 times p = 364]

① [eqn: 204]	② [eqn: 244]	③ [eqn: 284]

[eqn: (가)] 나오는 눈의 수가 [eqn: 3]의 배수이면 시곗바늘이 도는 방향과 반대인 방향으로 [eqn: 1]만큼 움직인다.

[eqn: (나)] 나오는 눈의 수가 [eqn: 3]의 배수가 아니면 시곗바늘이 도는 방향으로 [eqn: 1]만큼 움직인다.

④ [eqn: 324]	⑤ [eqn: 364]

서현고/2022년/H3/C

상자에 [eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지의 자연수가 하나씩 적힌 [eqn: 10]개의 공이 들어 있다. 이 상자에서 [eqn: 1]개씩 공을 꺼내는 시행을 계속하여 [eqn: 3]의 배수가 적힌 공을 모두 꺼내면 시행을 멈춘다. [eqn: 6]번째 시행 후 시행을 멈출 확률은? (단, 꺼낸 공은 다시 상자에 넣지 않는다.) [[eqn: 5]점]

① [eqn: {1} over {18}]	② [eqn: {1} over {12}]	③ [eqn: {1} over {9}]	④ [eqn: {5} over {36}]	⑤ [eqn: {1} over {6}]

②

[eqn: 5]번째 시행까지 [eqn: 3]의 배수가 적힌 공을 [eqn: 2]개, 그렇지 않은 공 [eqn: 7]개 중 [eqn: 3]개를 꺼낸 후 마지막에 나머지 [eqn: 3]의 배수가 적힌 공을 꺼내면 된다.

[eqn: 5]번째 시행 까지의 확률은 [eqn: {{} _{3} C _{2} TIMES _{7} C _{3} TIMES 5!} over {{} _{10} P _{5}} = {5} over {12}]

[eqn: 6]번째 시행에서 [eqn: 3]의 배수가 적힌 공을 꺼낼 확률은 [eqn: {1} over {5}]

따라서 [eqn: {1} over {12}]

서현고/2022년/H3/C

프로 야구 한국 시리즈는 정규 리그의 [eqn: 1]위 팀과 플레이오프의 승리 팀의 경기로 [eqn: 7]번의 경기 중 먼저 [eqn: 4]번을 이기는 팀이 우승한다. [eqn: rmA]팀이 [eqn: rmB]팀을 이길 확률은 [eqn: {2} over {3}]이고, 비기는 경우는 없을 때, [eqn: rmA]팀과 [eqn: rmB]팀의 한국 시리즈에서 [eqn: 5]번 만에 경기가 끝났다. 이때 [eqn: rmA]팀이 첫 번째 경기에서 승리했을 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 5.2]점]

① [eqn: 55]	② [eqn: 57]	③ [eqn: 59]	④ [eqn: 61]	⑤ [eqn: 63]

④

[eqn: A]팀이 [eqn: 5]번 만에 경기를 끝내려면 [eqn: 4]번째 경기까지 3승1패에 5번째 경기에서 승리하면 된다. [eqn: B]팀이 우승하는 경우도 마찬가지이다.

[eqn: 5]번 만에 경기가 끝날 확률은 [eqn: {} _{4} C _{3} {1} over {3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{4} + _{4} C _{3} {2} over {3} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4} = {72} over {243}]

[eqn: A]팀이 첫 번째 경기에서 이기고 [eqn: A]팀이 우승할 확률은 [eqn: {2} over {3} TIMES ` _{3} C _{2} {1} over {3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} TIMES {2} over {3} = {48} over {243}]

[eqn: A]팀이 첫 번째 경기에서 이기고 [eqn: B]팀이 우승할 확률은 [eqn: {2} over {3} TIMES LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4} = {2} over {243}]

따라서 [eqn: A]팀이 첫 번째 경기에서 이기고, [eqn: 5]번만에 경기가 끝날 확률은 [eqn: {2+48} over {243} = {50} over {243}]

[eqn: 5]번 만에 경기에서 이겼을 때, 첫 번째 경기에서 [eqn: A]팀이 승리했을 확률은 [eqn: {{50} over {243}} over {{72} over {243}} = {25} over {36}]

풍생고/2022년/H3/C

흰 공 [eqn: 2]개, 검은 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 상자에서 한 개의 공을 꺼낼 때, 꺼낸 공이 흰 공이면 한 개의 동전을 [eqn: 3]번 던지고 검은 공이면 한 개의 동전을 [eqn: 4]번 던진다. 이 시행에서 앞면이 [eqn: 2]번 나올 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p,```q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: [4.3점]]

① [eqn: 11]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 17]
④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 23]

①

[eqn: 1)] 상자에서 흰공을 꺼냈을 경우 동전을 [eqn: 3]번 던지므로

[eqn: {1} over {2} TIMES C LSUB {3} _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {3} over {16}]

[eqn: 2)] 상자에서 검은공을 꺼냈을 경우 동전을 [eqn: 4]번 던지므로

[eqn: {1} over {2} TIMES C LSUB {4} _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = {3} over {16}]

[eqn: THEREFORE {3} over {8}]

[eqn: p+q=11]

조건부 확률(step3)

2.

풍생고/2022년/H2/B

오른쪽 그림과 같은 직육면체가 있다. 점 [eqn: P]가 임의의 꼭짓점에서 출발하여 동전을 던진 후 다음 규칙에 따라 이동한다.

②

[eqn: 1)] 동전의 앞면이 나오는 경우

[eqn: ①`A rarrow A`]경우 ([eqn: 3]의 배수가 두 번 나왔을 때)

[eqn: {1} over {2} TIMES C LSUB {2} _{2} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} = {1} over {18}]

[eqn: ②`A rarrow C] 경우 ([eqn: 3]의 배수가 아닌 수가 두 번 나왔을 때)

[eqn: {1} over {2} TIMES C LSUB {2} _{0} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} = {4} over {18}]

[eqn: 2)] 동전의 뒷면이 나오는 경우

[eqn: ①`A rarrow A]인 경우 ([eqn: 3]의 배수가 네 번 나왔을 때)

[eqn: {1} over {2} TIMES C LSUB {4} _{4} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4} = {1} over {162}]

[eqn: ②`A rarrow A]인 경우 (3의 배수가 아닌 수가 네 번 나왔을 때)

[eqn: {1} over {2} TIMES C LSUB {4} _{4} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{4} = {16} over {162}]

[eqn: ③`A rarrow C]인 경우 (3의 배수 두 번, 3의 배수가 아닌수가 네 번 나왔을 때)

[eqn: {1} over {2} TIMES C LSUB {4} _{2} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} = {24} over {162}]

점 [eqn: P]가 꼭짓점 [eqn: A,```B,```C,```D]에 도착하는 사건을 [eqn: E]라 하면

[eqn: P(E)= {86} over {162}]

점 [eqn: P]가 꼭짓점 [eqn: A]로 도착하는 사건을 [eqn: F]라 하면

[eqn: P(E SMALLINTER F)]는 위의 [eqn: 1-1,````2-1,```2-2```]의 합과 같다.

[eqn: P(E SMALLINTER F)= {1} over {18} + {1} over {162} + {16} over {162} = {26} over {162}]

[eqn: P(F` vert E)= {13} over {43}]

[eqn: p+q=56]

동전을 던져서 앞면이 나오면 주사위를 두 번 던지고, 뒷면이 나오면 주사위를 네 번 던진다.

주사위를 던질 때마다 다음 규칙에 따라 점 [eqn: P]가 이동한다.

(가) 주사위를 던져서 [eqn: 3]의 배수가 나오면 점 [eqn: P]가 꼭짓점 [eqn: A,``B,```C,```D]에 있을 때, 각각 [eqn: E,```F,```G,```H]로 이동한다. 점 [eqn: P]가 꼭짓점 [eqn: E,```F,```G,```H]에 있을 때, 각각 [eqn: A,``B,```C,```D]로 이동한다. (밑면에 수직인 방향으로 이동한다.)

(나) 주사위를 던져서 [eqn: 3]의 배수가 아닌 수가 나오면 모서리를 따라 화살표 방향으로 한 칸씩 이동한다.

예를 들어, 점 [eqn: P]가 꼭짓점 [eqn: F]에 있을 때 주사위를 던져서 [eqn: 3]의 눈이 나오면 꼭짓점 [eqn: B]로 이동한다. 한 번 더 주사위를 던져서 [eqn: 4]의 눈이 나오면 꼭짓점 [eqn: B]에서 꼭짓점 [eqn: C]로 이동한다.

점 [eqn: P]가 꼭짓점 [eqn: A]에서 출발하여 동전을 한 번 던지는 시행을 한 후에 점 [eqn: P]가 윗면에 있는 꼭짓점 [eqn: A,```B,```C,```D] 중 한 꼭짓점에 도착했을 때, 꼭짓점 [eqn: A]로 되돌아왔을 확률이 [eqn: {q} over {p}]이다.

이때 [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p,```q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: [4.8점]]

① [eqn: 55]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 57]
④ [eqn: 58]	⑤ [eqn: 59]

보평고/2022년/H2/A

숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6]이 각각 하나씩 적혀있는 흰 공 [eqn: 6]개와 숫자 [eqn: 4,~5,~6,~7]이 각각 하나씩 적혀있는 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 4]개의 공을 동시에 꺼내는 시행에서 나온 [eqn: 4]개의 공에 적힌 숫자가 모두 다를 때, 검은 공이 [eqn: 2]개 나올 확률은 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: [5.1점]]

① [eqn: 58]	② [eqn: 59]	③ [eqn: 60]

②

아래 표와 같이 흰 공과 검은 공을 겹치는 숫자와 아닌 숫자 별로 [eqn: alpha ,~beta,~gamma] 그룹으로 묶도록 하자.

	[eqn: alpha]	[eqn: beta]	[eqn: gamma]
흰 공	[eqn: 1,~2,~3]	[eqn: 4,~5,~6]
검은 공		[eqn: 4,~5,~6]	[eqn: 7]

[eqn: 4]개의 공을 동시에 꺼내는 시행에서 나온 [eqn: 4]개의 공에 적힌 숫자가 모두 다른 사건을 [eqn: A]라 하고, [eqn: 4]개의 공 중에서 [eqn: 2]개가 검은 공인 사건을 [eqn: B]라 하자.

[eqn: A]사건은 꺼낸 [eqn: 4]개의 숫자가

[eqn: alphaalphaalphabeta,~ alphaalphaalphagamma,~alphaalphabetabeta,~alphaalphabetagamma,~alpha betabetabeta,~alphabetabetagamma,~betabetabetagamma]인 경우들이고

각각의 경우에 숫자나 색을 선택하는 방법을 고려하여 방법의 수를 파악하면 [eqn: 6,~1,~36,~18,~24,~36,~8]이다.[eqn: (총 129가지)]

[eqn: (]예를들어, [eqn: alphaalphabetabeta]의 경우는 [eqn: alpha]중 [eqn: 2]개의 숫자를 정하는 방법의 수가 [eqn: `_3 C_2]가지이고 [eqn: beta]중 [eqn: 2]개의 숫자를 정하는 방법의 수가 [eqn: `_3 C_2]가지, 그 두 숫자의 색이 흰 색인지 검은 색인지 정하는 방법의 수가 [eqn: 2^2]이므로 [eqn: 36]가지의 경우가 된다.[eqn: )]

따라서, [eqn: P(A)= {129} over {` _{10} C _{4}}]

[eqn: A]와 [eqn: B]의 곱사건은

[eqn: alphaalphaalphabeta,~ alphaalphaalphagamma,~alphaalphabetabeta,~alphaalphabetagamma,~alpha betabetabeta,~alphabetabetagamma,~betabetabetagamma]인 경우들에서 각각의 경우마다 흰 공과 검은 공이 [eqn: 2]개씩 선택되도록 해야 하므로 이를 고려하여 방법의 수를 파악하면 [eqn: 0,~0,~9,~9,~9,~18,~3]이다.[eqn: (총 48가지)]

[eqn: (]예를들어, [eqn: alpha betabetagamma]의 경우는 [eqn: alpha]는 흰 색이고 [eqn: gamma]는 검은 색이므로 [eqn: beta]를 흰 색 하나와 검은 색 하나로 선택해야 한다. [eqn: alpha]의 숫자를 정하는 방법의 수가 [eqn: `_3 C_1]가지, [eqn: beta]의 숫자중 선택할 두 숫자를 정하는 방법의 수가 [eqn: `_3 C_2]가지, 그 두 숫자중 어떤 숫자가 흰 색이고 어떤 숫자가 검은 색인지 정하는 방법의 수가 [eqn: 2!]이므로 [eqn: 18]가지의 경우가 된다.[eqn: )]

따라서, [eqn: P(A capB) = 48 over{`_ 10 C_4}]

[eqn: therefore~ P(B |A) = { P(A capB)} overP(A) = 48 over129 = 16 over43]

[eqn: therefore~ p+q = 59]

④ [eqn: 61]	⑤ [eqn: 62]

보평고/2022년/H2/B

어느 고등학교의 [eqn: 1]학년 학생 [eqn: 100]명과 [eqn: 2]학년 학생 [eqn: n]명을 대상으로 봄과 여름 중 선호하는 계절을 하나만 반드시 택하도록 조사하였더니 전체 학생의 [eqn: 60%]가 봄을 택하였다. 조사 대상이 된 전체 학생 중 임의로 택한 한 명이 [eqn: 2]학년 학생일 때, 이 학생이 봄을 택한 학생일 확률은 [eqn: 1over2]이고, 조사 대상이 된 전체 학생 중 임의로 택한 한 명이 봄을 택한 학생일 때, 이 학생이 [eqn: 1]학년 학생일 확률은 [eqn: 37 over72]이다. [eqn: n]의 값은? [eqn: [5.0점]]

① [eqn: 120]	② [eqn: 130]	③ [eqn: 140]

③

전체 학생 중 임의로 택한 학생이 봄을 좋아하는 사건을 [eqn: A]라 하면 [eqn: P(A) = 60 over100 = 3 over5]이고, 전체 학생 중 임의로 택한 학생이 [eqn: 1]학년인 사건을 [eqn: B]라 하면 [eqn: P(B) = 100 over100+n]이다.

조사 대상이 된 전체 학생 중 임의로 택한 한 명이 [eqn: 2]학년 학생일 때, 이 학생이 봄을 택한 학생일 확률은 [eqn: P(A |B^C )]라 놓을 수 있으므로

[eqn: P(A |B^C ) = { P (A cap B^C ) } over{P(B^C )} = {P(A cap B^C )} over { n over100+n } = 1 over2]

[eqn: therefore~ P(A capB^C ) = n over{ 2(100+n)].................................................[eqn: (1)]

조사 대상이 된 전체 학생 중 임의로 택한 한 명이 봄을 택한 학생일 때, 이 학생이 [eqn: 1]학년일 확률은 [eqn: P(B|A)]라 놓을 수 있으므로

[eqn: P(B |A) = {P(A capB)} overP(A) ={P(A capB)} over{3 over5} = 37 over72]

[eqn: therefore~ P(A capB) = 37 over120].............................................................[eqn: (2)]

[eqn: (1),~(2)]에서

[eqn: P(A capB^C ) = P(A) - P(A capB)= 3over5 - 37 over120 = 7 over24][eqn: = n over{2 (100+n)]

[eqn: therefore ~n = 140]

④ [eqn: 150]	⑤ [eqn: 160]

보평고/2022년/H2/A

숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6]이 각각 하나씩 적혀있는 흰 공 [eqn: 6]개와 숫자 [eqn: 4,~5,~6,~7]이 각각 하나씩 적혀있는 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 4]개의 공을 동시에 꺼내는 시행에서 나온 [eqn: 4]개의 공에 적힌 숫자가 모두 다를 때, 검은 공이 [eqn: 2]개 나올 확률은 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: [5.1점]]

① [eqn: 58]	② [eqn: 59]	③ [eqn: 60]

②

아래 표와 같이 흰 공과 검은 공을 겹치는 숫자와 아닌 숫자 별로 [eqn: alpha ,~beta,~gamma] 그룹으로 묶도록 하자.

	[eqn: alpha]	[eqn: beta]	[eqn: gamma]
흰 공	[eqn: 1,~2,~3]	[eqn: 4,~5,~6]
검은 공		[eqn: 4,~5,~6]	[eqn: 7]

[eqn: 4]개의 공을 동시에 꺼내는 시행에서 나온 [eqn: 4]개의 공에 적힌 숫자가 모두 다른 사건을 [eqn: A]라 하고, [eqn: 4]개의 공 중에서 [eqn: 2]개가 검은 공인 사건을 [eqn: B]라 하자.

[eqn: A]사건은 꺼낸 [eqn: 4]개의 숫자가

[eqn: alphaalphaalphabeta,~ alphaalphaalphagamma,~alphaalphabetabeta,~alphaalphabetagamma,~alpha betabetabeta,~alphabetabetagamma,~betabetabetagamma]인 경우들이고

각각의 경우에 숫자나 색을 선택하는 방법을 고려하여 방법의 수를 파악하면 [eqn: 6,~1,~36,~18,~24,~36,~8]이다.[eqn: (총 129가지)]

[eqn: (]예를들어, [eqn: alphaalphabetabeta]의 경우는 [eqn: alpha]중 [eqn: 2]개의 숫자를 정하는 방법의 수가 [eqn: `_3 C_2]가지이고 [eqn: beta]중 [eqn: 2]개의 숫자를 정하는 방법의 수가 [eqn: `_3 C_2]가지, 그 두 숫자의 색이 흰 색인지 검은 색인지 정하는 방법의 수가 [eqn: 2^2]이므로 [eqn: 36]가지의 경우가 된다.[eqn: )]

따라서, [eqn: P(A)= {129} over {` _{10} C _{4}}]

[eqn: A]와 [eqn: B]의 곱사건은

[eqn: alphaalphaalphabeta,~ alphaalphaalphagamma,~alphaalphabetabeta,~alphaalphabetagamma,~alpha betabetabeta,~alphabetabetagamma,~betabetabetagamma]인 경우들에서 각각의 경우마다 흰 공과 검은 공이 [eqn: 2]개씩 선택되도록 해야 하므로 이를 고려하여 방법의 수를 파악하면 [eqn: 0,~0,~9,~9,~9,~18,~3]이다.[eqn: (총 48가지)]

[eqn: (]예를들어, [eqn: alpha betabetagamma]의 경우는 [eqn: alpha]는 흰 색이고 [eqn: gamma]는 검은 색이므로 [eqn: beta]를 흰 색 하나와 검은 색 하나로 선택해야 한다. [eqn: alpha]의 숫자를 정하는 방법의 수가 [eqn: `_3 C_1]가지, [eqn: beta]의 숫자중 선택할 두 숫자를 정하는 방법의 수가 [eqn: `_3 C_2]가지, 그 두 숫자중 어떤 숫자가 흰 색이고 어떤 숫자가 검은 색인지 정하는 방법의 수가 [eqn: 2!]이므로 [eqn: 18]가지의 경우가 된다.[eqn: )]

따라서, [eqn: P(A capB) = 48 over{`_ 10 C_4}]

[eqn: therefore~ P(B |A) = { P(A capB)} overP(A) = 48 over129 = 16 over43]

[eqn: therefore~ p+q = 59]

④ [eqn: 61]	⑤ [eqn: 62]

보평고/2022년/H2/B

주머니 [eqn: A]에는 [eqn: 1,~2,~3,~4]가 적혀있는 네 개의 구슬이 들어 있고, 주머니 [eqn: B]에는 [eqn: 3,~4,~5,~6]이 적혀있는 네 개의 구슬이 들어 있고, 주머니 [eqn: C]에는 [eqn: 5,~6,~7]이 적혀있는 세 개의 구슬이 들어 있다.

④

[eqn: A]	[eqn: B]	[eqn: C]에서 꺼낸 구슬에 홀수가 적혀있을 확률
홀수	홀수	[eqn: 1over4 times 4 over5]
홀수	짝수	[eqn: 1over4 times 3over5]
짝수	홀수	[eqn: 1over4 times 3over5]
짝수	짝수	[eqn: 1over4 times 2over5]

위의 표와 같이 주머니 [eqn: C]에서 꺼낸 구슬에 홀수가 적혀있는 사건을 [eqn: A]라 하고 그 확률 [eqn: P(A)]를 구해보면

[eqn: P(A) =][eqn: 1over4 times 4 over5][eqn: +][eqn: 1over4 times 3over5][eqn: +][eqn: 1over4 times 3over5][eqn: +][eqn: 1over4 times 2over5][eqn: =][eqn: 3 over5]

[eqn: A,~B]에서 꺼낸 구슬에 적혀있는 수의 합이 [eqn: 5]의 배수인 사건을 [eqn: B]라 하면 [eqn: A]와 [eqn: B]의 곱사건은 [eqn: A,~B]에서 꺼낸 구슬을 각각 [eqn: a,~b]라 할 때, [eqn: (a,~b)]가 [eqn: (1,~4),~(2,~3),~(4,~6)]인 경우 뿐이므로

[eqn: P(A capB) = 1over4 times 1over4 times 3over5 + 1over4 times 1over4 times 3over5 + 1over4 times 1over4 times 2over5 = 1over10]

따라서, 문제에서 묻는 [eqn: P(B|A) = { P(A capB)} overP(A) = 1over10 over{ 3 over5} = 1over6]이다.

두 주머니 [eqn: A,~B]에서 각각 한 개의 구슬을 꺼내어 두 구슬에 적혀있는 수를 확인한 후 주머니 [eqn: C]에 넣고, 주머니 [eqn: C]에서 다시 한 개의 구슬을 꺼낸다. 이때, 주머니 [eqn: C]에서 꺼낸 구슬에 적혀있는 수가 홀수일 때, 두 주머니 [eqn: A,~B]에서 꺼낸 구슬에 적혀있는 수의 합은 [eqn: 5]의 배수일 확률은? [eqn: [5.2점]]

① [eqn: 1over10]	② [eqn: 1 over9]	③ [eqn: 1over8]

④ [eqn: 1over6]	⑤ [eqn: 1over5]

보평고/2022년/H2/B

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정오각형 [eqn: ABCDE]에서 다음과 같은 규칙에 따라 말을 이동시키는 게임을 하려고 한다.

[eqn: 121 over512]

[eqn: A]에서 출발하여 시계방향으로 [eqn: n]만큼 이동한 꼭짓점에 도착할 확률을 [eqn: P_n]이라 가정하면, 동전의 앞면과 뒷면이 나올 확률은 [eqn: 1over2]로 동일하므로

[eqn: P_n+2 = 1over2 P_n+1 + 1over2 P_n]이다.(단, [eqn: n]은 [eqn: 0]이상의 정수)

[eqn: P_0 =1,~P_1 = 1over2]이므로 위 식에 대입하여 각각의 확률을 구하면

[eqn: P_2 = 1over2 P_1 + 1over2 P_0 = 3over4]

[eqn: P_3 = 1over2 P_2 + 1over2 P_1 = 5 over8]

[eqn: P_4 = 1over2 P_3 + 1over2 P_2 = 11 over16]

그런데 [eqn: A]에서 출발하여 시계방향으로 [eqn: 5]만큼 이동하면 한 바퀴만에 게임이 끝나므로 그 경우를 배제하면 [eqn: 4]만큼 이동한 꼭짓점 [eqn: E]에서 바로 [eqn: 2]만큼 이동하여 [eqn: B]로 가야만 한다.(즉, [eqn: P_5 =0]으로 생각한다.)

[eqn: P_6 = 1over2 P_4 = 11 over32]

[eqn: P_7 = 1over2 P_6 = 11 over64]

[eqn: P_ 8 = 1over2 P_7 + 1over2 P_6 = 33 over128]

[eqn: P_9 = 1over2 P_ 8 + 1over2 P_ 7 = 55 over256]

[eqn: P_10 = 1over2 P_ 9 + 1over2 P_8 = 121 over512]

따라서, 두 바퀴 돌아 게임이 끝날 확률은 [eqn: 121 over512]이다.

[다른풀이]

시계방향으로 [eqn: 4]만큼 이동할 확률은 [eqn: P_4 = 11over16]이므로

[eqn: 4]만큼 이동후 반드시 동전이 뒷면이 나와 [eqn: 2]만큼을 한번에 이동하고 다시 [eqn: 4]만큼을 이동해야 하므로 [eqn: 11over16 times 1over2 times 11 over16 = 121 over512]이다.

[eqn: (규칙1)] 꼭짓점 [eqn: A]에서 출발한 말이 다시 꼭짓점 [eqn: A]에 도착하면 게임은 끝난다.

[eqn: (규칙2)] 동전을 던져서 앞면이 나오면 [eqn: 1]만큼, 뒷면이 나오면 [eqn: 2]만큼 정오각형을 따라 시계방향으로 이동한다.

이때 정오각형을 두 바퀴 돌아 게임이 끝날 확률을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [eqn: [8.0점]]

풍생고/2022년/H2/B

두 집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2,~3 RIGHT } ,~Y= LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수 [eqn: f] 중에서 임의로 한 개의 함수를 택한다. 택한 함수가 [eqn: f(1)+f(2)+f(3)=7]을 만족시키는 함수일 때, [eqn: f(2)]의 값이 홀수일 확률은? [[eqn: 4.6]점]

②

[eqn: f(1)+f(2)+f(3)=7]을 만족시키는 함수의 경우 수는

[eqn: 1)] [eqn: (1,~2,~4)`]일 때 [eqn: 3!``=6]가지

[eqn: 2)] [eqn: (2,~2,~3)]일 때 [eqn: {3!} over {2!} =3]가지

[eqn: 3)][eqn: (1,~3,~3)]일 때 [eqn: {3!} over {2!} =3]가지

총 [eqn: 12]가지

여기에서 [eqn: f(2)]의 값이 홀수인 경우는

[eqn: (2,~1,~4)`(4,~1,~2)`(2,~3,~2)`(3,~1,~3)`(1,~3,~3)`(3,~3,~1)] [eqn: 6]가지

[eqn: THEREFORE {6} over {12} = {1} over {2}]

① [eqn: {5} over {12}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {7} over {12}]
④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

보평고/2022년/H2/A

[eqn: 4]명이 가위바위보를 하여 다음과 같은 방법으로 [eqn: 2]명의 대표를 선출하려고 한다.

①

첫 번째 이긴 인원 /게임 인원	두 번째 이긴 인원 /게임 인원	두 번째 게임에서 [eqn: 2]명의 대표가 선출될 확률
[eqn: 3][eqn: /4]	[eqn: 2][eqn: /][eqn: 3]	[eqn: 4 over27 times 1over3 = 4 over81]
[eqn: 1][eqn: /4]	[eqn: 1][eqn: /3]	[eqn: 4 over27 times 1over3 = 4 over81]
[eqn: 0/4]	[eqn: 2/4]	[eqn: 13 over27 times 2 over9 = 26 over243]
[eqn: 2/4]		불가

[eqn: 4]명의 가위바위보에서 각 상황별 확률을 구해보면

[eqn: (이긴인원/게임인원)]

[eqn: 3/4]일 확률[eqn: =][eqn: `_4 C_3 times _3 C_1 } over3^4 = 12 over81 = 4 over27][eqn: (because] [eqn: 4]명중 이길 사람 정하는 것이 [eqn: `_4 C_3]가지이고 이길 사람이 낼 가위바위보를 정하는 것이 [eqn: `_3 C_1]가지[eqn: )]

[eqn: 2/4]일 확률[eqn: =][eqn: `_4 C_2 times _3 C_1 } over3^4 = 18 over81][eqn: = 2 over9]

[eqn: 1/4]일 확률[eqn: = {`_4 C_1 times _3 C_1 } over3^4 = 12over81][eqn: = 4over27]

[eqn: 0/4]일 확률(즉, 비길 확률)[eqn: = { 3 + left( {`_4 C_2 times _2 C_1 } over2! right)times 3!} over3^4 = 39over81 = 13 over27]

[eqn: (because] 비기는 경우는 모두 같은 것을 내는 경우 [eqn: 3]가지와 [eqn: 4]명이 [eqn: 2]명, [eqn: 1]명, [eqn: 1]명씩 팀을 나누어 모두 다른 것을 내야 하므로[eqn: )]

[eqn: 2/3]일 확률[eqn: = {`_3 C_2 times _3 C_1 } over3^3 = 9 over27 = 1over3]

[eqn: 1/3]일 확률[eqn: = {`_3 C_1 times _3 C_1} over3^3 = 9 over27 = 1over3]

따라서, 구하고자 하는 확률은 [eqn: 4 over81 + 4over81 + 26 over243 = 50 over243]

[eqn: therefore~ p+q =293]

[eqn: (가)] 첫 번째 가위바위보에서 [eqn: 4]명중 [eqn: 1]명이 이기면 이긴 [eqn: 1]명을 대표로 선출하고 나머지 [eqn: 3]명이 다시 가위바위보를 하여 이긴 [eqn: 1]명을 대표로 선출한다.

[eqn: (나)] 첫 번째 가위바위보에서 [eqn: 4]명중 [eqn: 3]명이 이기면 이긴 [eqn: 3]명이 다시 가위바위보를 하여 이긴 [eqn: 2]명을 대표로 선출한다.

[eqn: (다)] 가위바위보에서 [eqn: 4]명중 [eqn: 2]명이 이기면 이긴 [eqn: 2]명을 대표로 선출한다.

이와 같은 방법으로 [eqn: 2]번째 가위바위보에서 [eqn: 2]명의 대표가 선출될 확률이 [eqn: q over p]일 때, [eqn: p +q]의 값은? (단, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: [5.3점]]

① [eqn: 293]	② [eqn: 294]	③ [eqn: 295]

④ [eqn: 296]	⑤ [eqn: 297]

풍생고/2022년/H2/B

어느 발표회에 남학생 [eqn: A,~B`]를 포함한 [eqn: 4]명과 여학생 [eqn: n]명이 참가했다. 참가한 모든 학생이 각각 [eqn: 1]회씩 발표하도록 발표 순서를 임의로 정한다고 하자. 남학생 [eqn: A]가 남학생 [eqn: B]보다 먼저 발표했을 때, 두 남학생 [eqn: A]와 [eqn: B`#]사이에 여학생 [eqn: 1]명이 발표할 확률이 [eqn: {1} over {7}]이다. 이때 모든 [eqn: n]의 값의 합은? [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

⑤

남학생 [eqn: A]가 남학생 [eqn: B]보다 먼저 발표할 경우의 수 : [eqn: {(n+4)!} over {2!}]

남학생 [eqn: A]와 [eqn: B`#]사이에 여학생 [eqn: 1]명이 발표할 경우의 수:[eqn: {}_{n} C _{1} TIMES (n+2)!]

[eqn: {n TIMES (n+2)!} over {{(n+4)!} over {2!}} = {1} over {7}] 이므로 이를 정리하면 [eqn: {2n} over {(n+4)(n+3)} = {1} over {7}]

[eqn: 14n=n ^{2} +7n+12] [eqn: n ^{2} -7n+12=0]

[eqn: (n-4)(n-3)=0]

[eqn: n=4]또는 [eqn: 3]이므로 모든 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 4+3=7]

풍생고/2022년/H2/B

주머니에 숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4]가 하나씩 적혀 있는 흰 공 [eqn: 4]개와 숫자 [eqn: 3,~4,~5,~6,~7]이 하나씩 적혀 있는 검은 공 [eqn: 5]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 4]개의 공을 동시에 꺼내는 시행을 한다. 이 시행에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 같은 것이 있을 때, 꺼낸 공 중 검은 공이 [eqn: 2]개일 확률은? [[eqn: 4.7]점]

④

적혀 있는 수가 같은 것이 있는 경우

1) 숫자 [eqn: 3`]이 적혀 있는 공 두 개 뽑는 경우

나머지 공들 중 [eqn: 2]개 뽑는 경우 [eqn: {}_{7} C _{2} =21]가지

2) 숫자 [eqn: 4]가 적혀 있는 공 두 개 뽑는 경우

나머지 공들 중 [eqn: 2]개 뽑는 경우 [eqn: {}_{7} C _{2} =21]가지

3) 숫자 [eqn: 3]이 적힌 공 [eqn: 2]개, 숫자 [eqn: 4]이 적힌 공 [eqn: 2]개 뽑는 경우 [eqn: 1]가지는

공통이므로 제외한다.

[eqn: 21+21-1=41`]가지

적혀 있는 수가 같은 것이 있고 꺼낸 공 중 검은 공이 [eqn: 2]개인 경우

1) 숫자 [eqn: 3]이 적혀 있는 공 두 개를 뽑는 경우

나머지 중 각각 흰 공 검은 공이 [eqn: 1]개씩인 경우

[eqn: {}_{3} C _{1} TIMES _{4} C _{1}]

2) 숫자 [eqn: 4]가 적혀 있는 공 두 개를 뽑는 경우

나머지 중 각각 흰 공 검은 공이 [eqn: 1]개씩인 경우

[eqn: {}_{3} C _{1} TIMES _{4} C _{1}]

1)2)에서 숫자[eqn: 3]과 [eqn: 4]가 적혀 있는 흰 공 검은 공이 포함되어 있어 [eqn: 1]가지는 공통이므로 제외한다.

[eqn: {}_{}]

[eqn: {}_{3} C _{1} TIMES _{4} C _{1} + _{3} C _{1} TIMES _{4} C _{1} -1=23]가지

구하는 확률은[eqn: {23} over {41}]

① [eqn: {9} over {13}]	② [eqn: {17} over {29}]	③ [eqn: {17} over {31}]
④ [eqn: {23} over {41}]	⑤ [eqn: {31} over {111}]

보평고/2022년/H2/B

주머니 [eqn: A]에는 [eqn: 1,~2,~3,~4]가 적혀있는 네 개의 구슬이 들어 있고, 주머니 [eqn: B]에는 [eqn: 3,~4,~5,~6]이 적혀있는 네 개의 구슬이 들어 있고, 주머니 [eqn: C]에는 [eqn: 5,~6,~7]이 적혀있는 세 개의 구슬이 들어 있다.

④

[eqn: A]	[eqn: B]	[eqn: C]에서 꺼낸 구슬에 홀수가 적혀있을 확률
홀수	홀수	[eqn: 1over4 times 4 over5]
홀수	짝수	[eqn: 1over4 times 3over5]
짝수	홀수	[eqn: 1over4 times 3over5]
짝수	짝수	[eqn: 1over4 times 2over5]

위의 표와 같이 주머니 [eqn: C]에서 꺼낸 구슬에 홀수가 적혀있는 사건을 [eqn: A]라 하고 그 확률 [eqn: P(A)]를 구해보면

[eqn: P(A) =][eqn: 1over4 times 4 over5][eqn: +][eqn: 1over4 times 3over5][eqn: +][eqn: 1over4 times 3over5][eqn: +][eqn: 1over4 times 2over5][eqn: =][eqn: 3 over5]

[eqn: A,~B]에서 꺼낸 구슬에 적혀있는 수의 합이 [eqn: 5]의 배수인 사건을 [eqn: B]라 하면 [eqn: A]와 [eqn: B]의 곱사건은 [eqn: A,~B]에서 꺼낸 구슬을 각각 [eqn: a,~b]라 할 때, [eqn: (a,~b)]가 [eqn: (1,~4),~(2,~3),~(4,~6)]인 경우 뿐이므로

[eqn: P(A capB) = 1over4 times 1over4 times 3over5 + 1over4 times 1over4 times 3over5 + 1over4 times 1over4 times 2over5 = 1over10]

따라서, 문제에서 묻는 [eqn: P(B|A) = { P(A capB)} overP(A) = 1over10 over{ 3 over5} = 1over6]이다.

두 주머니 [eqn: A,~B]에서 각각 한 개의 구슬을 꺼내어 두 구슬에 적혀있는 수를 확인한 후 주머니 [eqn: C]에 넣고, 주머니 [eqn: C]에서 다시 한 개의 구슬을 꺼낸다. 이때, 주머니 [eqn: C]에서 꺼낸 구슬에 적혀있는 수가 홀수일 때, 두 주머니 [eqn: A,~B]에서 꺼낸 구슬에 적혀있는 수의 합은 [eqn: 5]의 배수일 확률은? [eqn: [5.2점]]

① [eqn: 1over10]	② [eqn: 1 over9]	③ [eqn: 1over8]

④ [eqn: 1over6]	⑤ [eqn: 1over5]

보평고/2022년/H2/A

[eqn: 4]명이 가위바위보를 하여 다음과 같은 방법으로 [eqn: 2]명의 대표를 선출하려고 한다.

①

첫 번째 이긴 인원 /게임 인원	두 번째 이긴 인원 /게임 인원	두 번째 게임에서 [eqn: 2]명의 대표가 선출될 확률
[eqn: 3][eqn: /4]	[eqn: 2][eqn: /][eqn: 3]	[eqn: 4 over27 times 1over3 = 4 over81]
[eqn: 1][eqn: /4]	[eqn: 1][eqn: /3]	[eqn: 4 over27 times 1over3 = 4 over81]
[eqn: 0/4]	[eqn: 2/4]	[eqn: 13 over27 times 2 over9 = 26 over243]
[eqn: 2/4]		불가

[eqn: 4]명의 가위바위보에서 각 상황별 확률을 구해보면

[eqn: (이긴인원/게임인원)]

[eqn: 3/4]일 확률[eqn: =][eqn: `_4 C_3 times _3 C_1 } over3^4 = 12 over81 = 4 over27][eqn: (because] [eqn: 4]명중 이길 사람 정하는 것이 [eqn: `_4 C_3]가지이고 이길 사람이 낼 가위바위보를 정하는 것이 [eqn: `_3 C_1]가지[eqn: )]

[eqn: 2/4]일 확률[eqn: =][eqn: `_4 C_2 times _3 C_1 } over3^4 = 18 over81][eqn: = 2 over9]

[eqn: 1/4]일 확률[eqn: = {`_4 C_1 times _3 C_1 } over3^4 = 12over81][eqn: = 4over27]

[eqn: 0/4]일 확률(즉, 비길 확률)[eqn: = { 3 + left( {`_4 C_2 times _2 C_1 } over2! right)times 3!} over3^4 = 39over81 = 13 over27]

[eqn: (because] 비기는 경우는 모두 같은 것을 내는 경우 [eqn: 3]가지와 [eqn: 4]명이 [eqn: 2]명, [eqn: 1]명, [eqn: 1]명씩 팀을 나누어 모두 다른 것을 내야 하므로[eqn: )]

[eqn: 2/3]일 확률[eqn: = {`_3 C_2 times _3 C_1 } over3^3 = 9 over27 = 1over3]

[eqn: 1/3]일 확률[eqn: = {`_3 C_1 times _3 C_1} over3^3 = 9 over27 = 1over3]

따라서, 구하고자 하는 확률은 [eqn: 4 over81 + 4over81 + 26 over243 = 50 over243]

[eqn: therefore~ p+q =293]

[eqn: (가)] 첫 번째 가위바위보에서 [eqn: 4]명중 [eqn: 1]명이 이기면 이긴 [eqn: 1]명을 대표로 선출하고 나머지 [eqn: 3]명이 다시 가위바위보를 하여 이긴 [eqn: 1]명을 대표로 선출한다.

[eqn: (나)] 첫 번째 가위바위보에서 [eqn: 4]명중 [eqn: 3]명이 이기면 이긴 [eqn: 3]명이 다시 가위바위보를 하여 이긴 [eqn: 2]명을 대표로 선출한다.

[eqn: (다)] 가위바위보에서 [eqn: 4]명중 [eqn: 2]명이 이기면 이긴 [eqn: 2]명을 대표로 선출한다.

이와 같은 방법으로 [eqn: 2]번째 가위바위보에서 [eqn: 2]명의 대표가 선출될 확률이 [eqn: q over p]일 때, [eqn: p +q]의 값은? (단, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: [5.3점]]

① [eqn: 293]	② [eqn: 294]	③ [eqn: 295]

④ [eqn: 296]	⑤ [eqn: 297]

운중고/2022년(이)/H2/B

어느 고등학교 학생 [eqn: 60]명을 대상으로 바다와 산에 대한 선호도를 조사하였다. 이 조사에 참여한 학생은 바다와 산 중 하나를 반드시 선택하였고 바다와 산을 선택한 학생의 수는 다음과 같다.

⑤

여학생인 사건과 산을 선호하는 사건은 서로 독립이므로

[eqn: rm P LEFT ( 여학생 RIGHT ) = {15} over {60} = {1} over {4} To 20010], [eqn: rm P LEFT ( 산 RIGHT ) = {36} over {60} = {3} over {5}]

[eqn: rm P LEFT ( 여학생 cap 산 RIGHT ) = {it d rm} over {60} = {1} over {4} TIMES {3} over {5} = {3} over {20}]

따라서 [eqn: d=9]이므로 [eqn: c=27], [eqn: a=18] 이다.

[eqn: rm P LEFT ( 바다` |`남학생 RIGHT ) = {rm P LEFT ( 바다 SMALLINTER 남학생 RIGHT )} over {rm P LEFT ( 남학생 RIGHT )}]이므로 [eqn: THEREFORE ~ {q} over {p} = {18} over {45} = {2} over {5}]

따라서 [eqn: p+q=7]

(단위 : 명)

	남학생	여학생	합계
바다	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: 24]
산	[eqn: c]	[eqn: d]	[eqn: 36]
합계	[eqn: 45]	[eqn: 15 To 20010]	[eqn: 60]

이 조사에 참여한 학생 중에서 임의로 한 명을 선택할 때, 여학생인 사건과 산을 선호하는 사건은 서로 독립이다. 이 조사에 참여한 학생 중에서 임의로 선택한 한 명이 남학생일 때, 이 학생이 바다를 선호할 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값은?

(단, [eqn: a,~b,~c,~d]는 상수이고 [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 4.7]점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

영덕여고/2022년/H2/B

다음 조건을 만족시키는 두 집합 [eqn: A,``B]의 모든 순서쌍 [eqn: (A,``B)] 중에서 임의로 하나를 택할 때, 두 집합 [eqn: A,``B]가 서로소일 확률은? [[eqn: 4.8]점]

①

주어진 조건을 만족시키는 두 집합 [eqn: A], [eqn: B]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( A,~B RIGHT )]의 개수를
구해 보자.

(ⅰ) [eqn: n LEFT ( A CAP B RIGHT ) =0]인 경우
네 수 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중에서 집합 [eqn: A]의 원소가 될 수를 택하고 나머지 원소를 집합 [eqn: B]의 원소로 하면 된다.
이때 조건 (나)를 만족시키려면

[eqn: n LEFT ( A RIGHT ) = 3]일 때, [eqn: IT _4 RM C _3 =4]

[eqn: n LEFT ( A RIGHT ) = 2]일 때, [eqn: IT _4 RM C _2 =6] 이므로 [eqn: 10]가지

(ⅱ) [eqn: n LEFT ( A CAP B RIGHT ) =1]인 경우
네 수 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중에서 집합 [eqn: A CAP B]의 원소가 될 수를 [eqn: 1]개 택하고, 나머지 세 수 중에서 집합 [eqn: A-B]의 원소가 될 수를 택한 후 나머지 원소를 집합 [eqn: B-A]의 원소로 하면 된다.
이때 조건 (나)를 만족시키려면 [eqn: n LEFT ( A-B RIGHT ) =2] 또는 [eqn: n LEFT ( A-B RIGHT ) =3]이어야 하므로 이 경우의 수

[eqn: it _{4} rm C _{1} TIMES LEFT ( {} _{3} C _{2} + _{3} C _{3} RIGHT )][eqn: =4 TIMES (3+1)]
[eqn: =16]

(ⅲ) [eqn: n LEFT ( A CAP B RIGHT ) =2]인 경우
네 수 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중에서 집합 [eqn: A CAP B]의 원소가 될 수를 [eqn: 2]개 택하고, 나머지 두 수 중에서 집합 [eqn: A-B]의 원소가 될 수를 택한 후 나머지 원소를 집합 [eqn: B-A]의 원소로 하면 된다.
이때 조건 (나)를 만족시키려면
[eqn: n LEFT ( A-B RIGHT ) =2] 일 때,	[eqn: IT _4 RM C _2 TIMES _2 C _2][eqn: = 6 TIMES 1][eqn: =6]

[eqn: n LEFT ( A-B RIGHT ) =0] 일 때, [eqn: IT _4 RM C _2 TIMES _2 C _1][eqn: = 6 TIMES 2][eqn: =12] 이므로

[eqn: 6 +12 = 18]

(ⅳ) [eqn: n LEFT ( A CAP B RIGHT ) =3]인 경우
네 수 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중에서 집합 [eqn: A CAP B]의 원소가 될 수를 [eqn: 3]개 택하고, 조건 (나)를 만족시키려면 나머지 한 수는 집합 [eqn: A-B]의 원소로 해야 하므로 이 경우의 수는
[eqn: IT _4 RM C _3 = 4]

ⅵ) [eqn: n LEFT ( A CAP B RIGHT ) =4]일 경우 [eqn: 1]가지

(ⅰ)~(ⅵ)에서 조건을 만족시키는 두 집합 [eqn: A], [eqn: B]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( A,~B RIGHT )]의
개수는

[eqn: 10+16+18+4+1=49]

이때 두 집합 [eqn: A], [eqn: B]가 서로소인 경우의 수는 (ⅰ)에 의하여 [eqn: 10]이므로
구하는 확률은 [eqn: {10} over {49}]

(가) [eqn: A cupB = left{ `1,``2,``3,``4 ` right]

(나) [eqn: n (A) gen(B) ge1]

① [eqn: 10 over 49]	② [eqn: 2 over 7]	③ [eqn: 18 over 49]
④ [eqn: 22 over 49]	⑤ [eqn: 26 over 49]

운중고/2022년(이)/H2/A

어느 보석 감정 회사의 보석 감별사가 진품을 진품으로 감별할 확률이 [eqn: 0.98]이고, 가품을 가품으로 감별할 확률이 [eqn: 0.97]이라고 한다. 이 보석 감정 회사에 감정 의뢰가 들어오는 보석의 [eqn: 80%]가 진품이고 [eqn: 20%]는 가품이라고 할 때, 감별사가 진품으로 감별한 보석이 실제로 가품일 확률은? [[eqn: 5.1]점]

②

감별사가 진품으로 감별했을 때, 그 보석이 가품일 확률을 구하는 것이므로 감별사가 진품으로 감별하는 경우는

(ⅰ) 감정 의뢰가 들어온 보석을 진품으로 감별했을 때 진품일 확률

[eqn: 4 over 5 TIMES 98over100]

(ⅱ) 감정 의뢰가 들어온 보석을 진품으로 감별했을 때 가품일 확률

[eqn: 1over5 TIMES 3 over100]

따라서 감별사가 진품으로 감별했을 때, 그 보석이 가품일 확률은

[eqn: {{1} over {5} TIMES {3} over {100}} over {{4} over {5} TIMES{98} over {100} + {1} over {5} TIMES{3} over {100}} = {3} over {395} To 20010]

① [eqn: {2} over {395}]	② [eqn: {3} over {395}]	③ [eqn: {4} over {395}]

④ [eqn: {6} over {395}]	⑤ [eqn: {7} over {395}]

서원고/2022년/H2/B

어느 학교에서 [eqn: 2]학년 학생을 대상으로 안경 착용 여부를 조사하였더니 안경을 쓴 남학생은 [eqn: 30]명, 안경을 안 쓴 남학생은 [eqn: 20]명, 또 여학생 중 안경을 착용하지 않은 여학생은 [eqn: 10]명이었다. 조사된 학생 중에서 임의로 택한 [eqn: 1]명이 남학생인 사건과 안경을 쓴 학생이 서로 독립일 때, 안경을 쓴 학생의 수는? [[eqn: 4.7]점]

④

조건을 표로 나타내면

	안경○	안경×
남자	[eqn: 30]	[eqn: 20]
여자	[eqn: x]	[eqn: 10]
	[eqn: x+30]	[eqn: 30]

남학생을 사건 [eqn: A], 안경을 사건 [eqn: B]라 하면

[eqn: P LEFT ( A RIGHT ) = {50} over {x+60}], [eqn: P LEFT ( B RIGHT ) = {x+30} over {x+60}]

[eqn: P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) = {30} over {x+60}]

사건 [eqn: A]와 사건 [eqn: B]가 독립이므로 [eqn: P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) =P LEFT ( A RIGHT ) P LEFT ( B RIGHT )]

[eqn: {30} over {x+60} = {50} over {x+60} · {x+30} over {x+60}] [eqn: 3 LEFT ( x+60 RIGHT ) =5 LEFT ( x+30 RIGHT )] [eqn: 2x=30]

따라서 안경을 쓴 여학생의 수 [eqn: x=15]명

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 20]

영덕여고/2022년/H2/B

[eqn: 5] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 1]부터 [eqn: n] 까지의 자연수 중에서 임의로 서로 다른 세 수를 택할 때, 택한 세수의 합이 홀수일 확률을 [eqn: f(n)]이라 하자. [eqn: sum _{n=5} ^{8} `f(n)= q over p] 일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 4.8]점]

②

[eqn: 1]부터 [eqn: n]까지의 자연수 중에서 임의로 서로 다른 세 수를 택할 때, 택한 세 수의 합이 홀수인 경우는 홀수 [eqn: 3]개를 택하거나 홀수 [eqn: 1]개, 짝수 [eqn: 2]개를 택하는 경우이다.

홀수 [eqn: 3]개를 택하는 사건을 [eqn: A]라 하고, 홀수 [eqn: 1]개, 짝수 [eqn: 2]개를 택하는 사건을 [eqn: B]라 하자.

(ⅰ) [eqn: n=2m] ([eqn: m]은 [eqn: 2] 이상의 자연수)일 때
[eqn: 1]부터 [eqn: 2m]까지의 자연수 중에서 서로 다른 세 수를 택하는 경우의 수는
[eqn: it _2m rm C it _3]
이때 홀수 [eqn: 3]개를 택하는 경우의 수는 [eqn: it _m rm C it _3]이므로

[eqn: rm P IT LEFT ( A RIGHT )][eqn: = { it _m rm C it _3 } over { it _2m rm C it _3}]
[eqn: = {{m LEFT ( m-1 RIGHT ) LEFT ( m-2 RIGHT )} over {6}} over {{2m LEFT ( 2m-1 RIGHT ) LEFT ( 2m-2 RIGHT )} over {6}}]
[eqn: = { m-2} over { 4 LEFT ( 2m-1 RIGHT ) }]

또 홀수 [eqn: 1`]개, 짝수 [eqn: 2`]개를 택하는 경우의 수는

[eqn: it _{m} rm C it rm _{1}][eqn: times][eqn: it _{m} rm C it rm _{2}]

이므로

[eqn: rm P it LEFT ( B RIGHT )][eqn: = {it _{m} rm C it rm _{1} it TIMES it _{m} rm C it rm _{2}} over {it _{2m} rm C it rm _{3} it}]
[eqn: = {m TIMES {m LEFT ( m-1 RIGHT )} over {2}} over {{2m LEFT ( 2m-1 RIGHT ) LEFT ( 2m-2 RIGHT )} over {6}}]
[eqn: = {3m} over {4 LEFT ( 2m-1 RIGHT )}]

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 배반사건이므로

[eqn: RM P IT LEFT ( A CUP B RIGHT )][eqn: = RM P IT LEFT ( A RIGHT ) + RM P IT LEFT ( B RIGHT )]
[eqn: ={ m-2} over { 4 LEFT ( 2m-1 RIGHT ) } + { 3m} over { 4 LEFT ( 2m-1 RIGHT ) }]
[eqn: ={ 1} over { 2}]

그러므로 [eqn: n]이 [eqn: 3] 이상의 짝수일 때,
[eqn: f(n) = { 1} over { 2}]

(ⅱ) [eqn: n= 2m+1] ([eqn: m]은 자연수)일 때
[eqn: 1]부터 [eqn: 2m+1]까지의 자연수 중에서 서로 다른 세 수를 택하는 경우의 수는
[eqn: it _2m+1 rm C it _3]
이때 홀수 [eqn: 3]개를 택하는 경우의 수는
[eqn: it _m+1 rm C it _3]
이므로

[eqn: rm P IT LEFT ( A RIGHT )][eqn: = { it _m+1 rm C it _3} over { it _2m+1 rm C it _3}]
[eqn: ={ { m LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m-1 RIGHT ) } over {6 } } over { { 2m LEFT ( 2m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m-1 RIGHT ) } over { 6} }]
[eqn: ={ LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m-1 RIGHT ) } over { 2 LEFT ( 2m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m-1 RIGHT ) }]

또 홀수 [eqn: 1`]개, 짝수 [eqn: 2`]개를 택하는 경우의 수는

[eqn: {} _{it m+1} rm C _{1} TIMES _{it m rm} rm C _{2}]

이므로

[eqn: rm P it LEFT ( B RIGHT )][eqn: = {it _{m+1} rm C it rm _{1} it TIMES it _{m} rm C it rm _{2} it} over {it _{2m+1} rm C it rm _{3} it}]
[eqn: = {LEFT ( m+1 RIGHT ) TIMES {m LEFT ( m-1 RIGHT )} over {2}} over {{2m LEFT ( 2m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m-1 RIGHT )} over {6}}]
[eqn: = {3 LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m-1 RIGHT )} over {2 LEFT ( 2m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m-1 RIGHT )}]

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 배반사건이므로

[eqn: RM P IT LEFT ( A CUP B RIGHT )][eqn: = RM P IT LEFT ( A RIGHT ) + RM P IT LEFT ( B RIGHT )]
[eqn: ={ LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m-1 RIGHT ) } over { 2 LEFT ( 2m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m-1 RIGHT ) } + { 3 LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m-1 RIGHT ) } over {2 LEFT ( 2m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m-1 RIGHT ) }]
[eqn: ={ 2m^2 -2} over { 4m^2 -1}]

그러므로 [eqn: n]이 [eqn: 5] 이상의 홀수일 때,

[eqn: f(n)][eqn: ={ 2m^2 -2} over { 4m^2 -1}]
[eqn: ={ 2 times LEFT ( { n-1} over { 2} RIGHT )^2 -2 } over { 4 times LEFT ( { n-1} over { 2} RIGHT )^2 -1 }]
[eqn: = { LEFT ( n-1 RIGHT )^2 -4 } over { 2 LEFT ( n-1 RIGHT )^2 -2 }]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: sum _{n=5} ^{8} f(n)][eqn: = {2} over {5} + {1} over {2} + {16} over {35} + {1} over {2}]
[eqn: = {13} over {7}]

따라서	[eqn: p+q =13 +7 = 20]

<다른풀이>

구하고자 하는 값이 [eqn: f(5)+f(6)+f(7)+f(8)]이므로

일반화 하지 않아도 4개의 값만 넣어 보아도 상관없다

[eqn: f(5)= {{} _{3} C _{3} + _{3} C _{1} TIMES _{2} C _{2}} over {{} _{5} C _{3}} = {2} over {5}]

[eqn: f(6)= {{} _{3} C _{3} + _{3} C _{1} TIMES _{3} C _{2}} over {{} _{6} C _{3}} = {1} over {2}]

[eqn: f(7)= {{} _{4} C _{3} + _{4} C _{1} TIMES _{3} C _{2}} over {{} _{7} C _{3}} = {16} over {35}]

[eqn: f(8)= {{} _{4} C _{3} + _{4} C _{1} TIMES _{4} C _{2}} over {{} _{8} C _{3}} = {1} over {2}]

① [eqn: 18]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 22]
④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 26]

서원고/2022년/H2/A

주머니에 [eqn: 3]에서 [eqn: 15]까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 [eqn: 13]개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 작은 수부터 크기 순서대로 [eqn: a,~b,~c]라 하자. [eqn: b-a GEQ 7]일 때, [eqn: c-a GEQ 11]일 확률은? [[eqn: 5.1]점]

⑤

분모 : [eqn: b-a GEQ 7]일 경우를 사건 [eqn: A]라 하면

[eqn: a=3]일 때, [eqn: 10 LEQ b<c]인 경우 [eqn: {}_{6} C _{2} =15]개

[eqn: a=4]일 때, [eqn: 11 LEQ b<c]인 경우 [eqn: {}_{5} C _{2} =10]개

[eqn: a=5]일 때, [eqn: 12 LEQ b<c]인 경우 [eqn: {}_{4} C _{2} =6]개

[eqn: a=6]일 때, [eqn: 13 LEQ b<c]인 경우 [eqn: {}_{3} C _{2} =3]개

[eqn: a=7]일 때, [eqn: 14 LEQ b<c]인 경우 [eqn: {}_{2} C _{2} =1]개

분자 : [eqn: b-a GEQ 7] 이고 [eqn: c-a GEQ 11]인 경우를 사건 [eqn: B]라 하면

[eqn: a=3]일 때, [eqn: 10 LEQ b<14 LEQ c]인 경우 [eqn: 4·2=8]개

[eqn: 14 LEQ b<c]인 경우 [eqn: 1]개

[eqn: a=4]일 때, [eqn: 11 LEQ b<c=15]으로 [eqn: 4]개

따라서 구하는 조건부 확률은 [eqn: {8+1+4} over {15+10+6+3+1} = {13} over {35}]

① [eqn: {7} over {25}]	② [eqn: {11} over {25}]	③ [eqn: {7} over {35}]
④ [eqn: {9} over {35}]	⑤ [eqn: {13} over {35}]

성일고/2022년/H2/B

그림과 같은 도형의 [eqn: 5]개의 꼭짓점에 [eqn: 2]부터 [eqn: 8]까지의 자연수 [eqn: 7]개 중 서로 다른 [eqn: 5]개의 자연수를 임의로 써넣으려고 한다. 선분으로 연결된 두 수의 곱이 모두 짝수일 때, 사용된 홀수의 개수가 [eqn: 1]일 확률을 구하는 과정을 논리적으로 서술하시오. [[eqn: 7]점]

[eqn: 5 over 11]

(ⅰ) 홀수의 개수가 [eqn: 1]개 일 때,
[eqn: p _{1} = { 3 times 5 ! } over {` _7 P _5 } = 1 over 7]

(ⅱ) 홀수의 개수가 [eqn: 2]개 일 때,

[eqn: p _{2} = { ` _3 P _2 times 3 times ` _4 P _3 } over {` _7 P _5 } = 6 over 35] 이다. (홀수가 [eqn: 3]개일 때는 없다.)

따라서 구하는 확률은 [eqn: { 1over 7 } over { 1 over 7 + 6 over 35 } = 5 over 11]이다.

현암고/2022년/H2/B

집합 [eqn: X= "{"1,~2,~3,~4,~5"}"]를 정의역과 공역으로 하고 [eqn: f(f(1))=4]를 만족시키는 함수 [eqn: f]가 있다. 함수 [eqn: f]중에서 임의로 택한 하나의 함수가 [eqn: f(5) =1]을 만족시킬 때, 이 함수가 일대일대응일 확률은 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하면? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: [5.2점]]

① [eqn: 69]	② [eqn: 79]	③ [eqn: 89]

②

[eqn: f(f(1))=4]이고 [eqn: f(5) =1]인 함수를 구하기 위하여 [eqn: f(1)]의 값에 따른 표를 만들어 보면 아래와 같다.

[eqn: f(1)]	[eqn: f(2)]	[eqn: f(3)]	[eqn: f(4)]	[eqn: f(5)]	비고
[eqn: 1]				[eqn: 1]	[eqn: f(f(1))=4]에서 [eqn: f(1)=4]가 되어 불능
[eqn: 2]	[eqn: 4]			[eqn: 1]
[eqn: 3]		[eqn: 4]		[eqn: 1]
[eqn: 4]			[eqn: 4]	[eqn: 1]	[eqn: f(1)=f(4)=4]이므로 일대일대응 불가
[eqn: 5]				[eqn: 1]	[eqn: f(f(1))=4]에서 [eqn: f(5)=4]가 되어 불능

따라서, [eqn: f(f(1))=4,~f(5)=1]을 만족하는 함수의 개수는 [eqn: `_5 PI_2 times3 = 75]가지이다.

[eqn: (because] [eqn: f(1)=2]이면 [eqn: f(2)=4]이고, [eqn: f(5)=1]이므로 [eqn: f(3),~f(4)]의 값을 정하기만 하면 되므로 [eqn: `_5 PI_2 = 5^2]가지이고, [eqn: f(1)=3,~f(1)=4]도 같은 방식으로 세면 된다.[eqn: )]

위의 경우 중에서 일대일대응인 함수의 개수는 [eqn: f(1)=2]와 [eqn: f(1)=3]인 경우에서 각각 남은 두 함수값을 선택받지 못하고 남은 공역의 원소에서 선택하면 되므로 [eqn: 2!]가지씩 생기게 된다.

그러므로, 구하고자 하는 확률은 [eqn: 2!+ 2!} over75 = 4 over75]이므로 [eqn: p+q =79]

④ [eqn: 99]	⑤ [eqn: 109]

죽전고/2022년/H2/B

3 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 1]부터 [eqn: n]까지의 자연수 중에서 임의로 서로 다른 세 수를 택할 때, 택한 세 수의 합이 홀수일 확률을 [eqn: f(n)]이라 하고, 택한 세 수의 합이 짝수일 확률을 [eqn: g(n)]이라 하자. [eqn: f(4)+f(5)+g(8)+g(9)+g(10)=a]일 때, [eqn: 210a]의 값은? (단, [eqn: a]는 유리수이다.) [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 501]	② [eqn: 503]	③ [eqn: 505]	④ [eqn: 507]	⑤ [eqn: 509]

⑤

[eqn: 1]부터 [eqn: n]까지의 자연수 중에서 임의로 서로 다른 세 수를 택할 때, 택한 세 수의 합이 홀수인 경우는 홀수 [eqn: 3]개를 택하거나 홀수 [eqn: 1]개, 짝수 [eqn: 2]개를 택하는 경우이다.

홀수 [eqn: 3]개를 택하는 사건을 [eqn: A]라 하고, 홀수 [eqn: 1]개, 짝수 [eqn: 2]개를 택하는 사건을 [eqn: B]라 하자.

(ⅰ) [eqn: n=2m] ([eqn: m]은 [eqn: 2] 이상의 자연수)일 때
[eqn: 1]부터 [eqn: 2m]까지의 자연수 중에서 서로 다른 세 수를 택하는 경우의 수는
[eqn: it _2m rm C it _3]
이때 홀수 [eqn: 3]개를 택하는 경우의 수는 [eqn: it _m rm C it _3]이므로

[eqn: rm P IT LEFT ( A RIGHT )][eqn: = { it _m rm C it _3 } over { it _2m rm C it _3}]
[eqn: ={ { m LEFT ( m-1 RIGHT ) LEFT ( m-2 RIGHT ) } over {6 } } over { { 2m LEFT ( 2m-1 RIGHT ) LEFT ( 2m-2 RIGHT ) } over { 6} }]
[eqn: = { m-2} over { 4 LEFT ( 2m-1 RIGHT ) }]

또 홀수 [eqn: 1`]개, 짝수 [eqn: 2`]개를 택하는 경우의 수는

[eqn: it _{m} rm C it rm _{1}][eqn: times][eqn: it _{m} rm C it rm _{2}]

이므로

[eqn: rm P it LEFT ( B RIGHT )][eqn: = {it _{m} rm C it rm _{1} it TIMES it _{m} rm C it rm _{2}} over {it _{2m} rm C it rm _{3} it}]
[eqn: = {m TIMES {m LEFT ( m-1 RIGHT )} over {2}} over {{2m LEFT ( 2m-1 RIGHT ) LEFT ( 2m-2 RIGHT )} over {6}}]
[eqn: = {3m} over {4 LEFT ( 2m-1 RIGHT )}]

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 배반사건이므로

[eqn: RM P IT LEFT ( A CUP B RIGHT )][eqn: = RM P IT LEFT ( A RIGHT ) + RM P IT LEFT ( B RIGHT )]
[eqn: ={ m-2} over { 4 LEFT ( 2m-1 RIGHT ) } + { 3m} over { 4 LEFT ( 2m-1 RIGHT ) }]
[eqn: ={ 1} over { 2}]

그러므로 [eqn: n]이 [eqn: 3] 이상의 짝수일 때,
[eqn: f(n) = { 1} over { 2}]

(ⅱ) [eqn: n= 2m+1] ([eqn: m]은 자연수)일 때
[eqn: 1]부터 [eqn: 2m+1]까지의 자연수 중에서 서로 다른 세 수를 택하는 경우의 수는
[eqn: it _2m+1 rm C it _3]
이때 홀수 [eqn: 3]개를 택하는 경우의 수는
[eqn: it _m+1 rm C it _3]
이므로

[eqn: rm P IT LEFT ( A RIGHT )][eqn: = { it _m+1 rm C it _3} over { it _2m+1 rm C it _3}]
[eqn: ={ { m LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m-1 RIGHT ) } over {6 } } over { { 2m LEFT ( 2m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m-1 RIGHT ) } over { 6} }]
[eqn: ={ LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m-1 RIGHT ) } over { 2 LEFT ( 2m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m-1 RIGHT ) }]

또 홀수 [eqn: 1`]개, 짝수 [eqn: 2`]개를 택하는 경우의 수는

[eqn: {} _{it m+1} rm C _{1} TIMES _{it m rm} rm C _{2}]

이므로

[eqn: rm P it LEFT ( B RIGHT )][eqn: = {it _{m+1} rm C it rm _{1} it TIMES it _{m} rm C it rm _{2} it} over {it _{2m+1} rm C it rm _{3} it}]
[eqn: = {LEFT ( m+1 RIGHT ) TIMES {m LEFT ( m-1 RIGHT )} over {2}} over {{2m LEFT ( 2m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m-1 RIGHT )} over {6}}]
[eqn: = {3 LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m-1 RIGHT )} over {2 LEFT ( 2m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m-1 RIGHT )}]

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 배반사건이므로

[eqn: RM P IT LEFT ( A CUP B RIGHT )][eqn: = RM P IT LEFT ( A RIGHT ) + RM P IT LEFT ( B RIGHT )]
[eqn: ={ LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m-1 RIGHT ) } over { 2 LEFT ( 2m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m-1 RIGHT ) } + { 3 LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m-1 RIGHT ) } over {2 LEFT ( 2m+1 RIGHT ) LEFT ( 2m-1 RIGHT ) }]
[eqn: ={ 2m^2 -2} over { 4m^2 -1}]

그러므로 [eqn: n]이 [eqn: 3] 이상의 홀수일 때,

[eqn: f(n)][eqn: ={ 2m^2 -2} over { 4m^2 -1}]

[eqn: f(4)+f(5)+g(8)+g(9)+g(10)=a]

[eqn: g(8)=1-f(8)], [eqn: g(9)=1-f(9)] [eqn: g(10)=1-f(10)]를 이용해서 식을 정리하면 [eqn: {3} over {2} + {2} over {5} + LEFT ( 1- {10} over {21} RIGHT ) = {315+84+110} over {210} = {509} over {210}]

죽전고/2022년/H2/B

[eqn: 1]부터 [eqn: 8]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 8]개의 공이 들어 있는 상자와 빈 주머니가 있다. 이 상자에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 [eqn: 3]의 배수이면 상자에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼내어 이 [eqn: 2]개의 공을 주머니에 넣고, 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 [eqn: 3]의 배수가 아니면 상자에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼내어 이 [eqn: 3]개의 공을 주머니에 넣는 시행을 한다. 이 시행에서 주머니에 있는 공에 적혀 있는 수의 최솟값이 [eqn: 4]일 때, 상자에서 처음 꺼낸 공이 홀수일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, 꺼낸 공은 상자에 다시 넣지 않으며, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 4.9]점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

②

[eqn: 3]의 배수 [eqn: 3,`6]를 뽑으면 2개의 공을 뽑는데 그중에서 가장 작은 수가 4가 되려면 4를뽑고 5,6,7,8중에서 하나를 뽑으면 되므로 4가지씩이 된다.

[eqn: 3]의 배수가 아닌 수 [eqn: 1,2,4,5,7,8,]를 뽑으면 3개의 공을 뽑는데 가장 작은수가 4가 되려면 4를 뽑고 5,6,7,8 중에 두 개를 뽑으면 되므로 12가지 씩이 된다.

이중에서 첫 번째 숫자가 홀수인 경우는 1 3, 5, 7이므로

[eqn: {12+4+12+12} over {2 TIMES 4+6 TIMES 12}][eqn: = {3} over {8}] [eqn: p+q=11]이 된다.

야탑고/2022년/H2/B

주머니에 검은 공 [eqn: 2]개와 흰 공 [eqn: 1]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 서로 같은 색이면 흰 공 [eqn: 1]개를, 서로 다른 색이면 검은 공 [eqn: 1]개를 꺼낸 [eqn: 2]개의 공과 함께 다시 주머니에 넣는다. 이와 같이 한 번의 시행 후에는 주머니의 공은 [eqn: 1]개씩 늘어난다. 두 번째 시행 후 흰 공과 검은 공의 개수의 차가 [eqn: 1]일 확률은? (단, 주머니에 넣을 수 있는 공은 충분히 준비되어 있다.) [[eqn: 4.9]점]

③

(ⅰ) 두 번의 시행에서 서로 같은 색일 때:

[eqn: {` _{2} C _{2}} over {` _{3} C _{2}} LEFT ( {` _{2} C _{2}} over {` _{4} C _{2}} + {` _{2} C _{2}} over {` _{4} C _{2}} RIGHT ) = {1} over {9}]

(ⅱ) 첫 번째 시행에서 다른 색, 두 번째 시행에서 같은 색일 때:

[eqn: {` _{2} C _{1} TIMES ` _{1} C _{1}} over {` _{3} C _{2} it} TIMES {` _{3} C _{2} it} over {` _{4} C _{2} it} = {1} over {3}]

(ⅲ) 첫 번째 시행에서 같은색, 두 번째 시행에서 다른 색일 때:

[eqn: {` _{2} C _{2}} over {` _{3} C _{2}} TIMES {` _{2} C _{1} TIMES _{2} C _{1}} over {` _{4} C _{2}} = {2} over {9}]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 흰 공과 검은 공의 개수의 차가 [eqn: 1]일 확률은

[eqn: {1} over {9} + {1} over {3} + {2} over {9} = {2} over {3}]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {7} over {12}]	③ [eqn: {2} over {3}]
④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

야탑고/2022년/H2/B

어떤 의사가 폐렴에 걸린 사람을 폐렴에 걸렸다고 진단할 확률은 [eqn: 95``%]이고, 폐렴에 걸리지 않은 사람을 폐렴에 걸리지 않았다고 진단할 확률은 [eqn: 90``%]이다. 이 의사가 실제로 폐렴에 걸린 사람 [eqn: 80]명과 실제로 폐렴에 걸리지 않은 사람 [eqn: 320]명을 진찰하여 폐렴에 걸렸는지 아닌지를 진단하였다. 이들 [eqn: 400]명 중에서 임의로 택한 한 사람이 폐렴에 걸렸다고 진단받은 사람일 확률이 [eqn: p`%]라고 할 때, [eqn: p`]의 값은? [[eqn: 4.1]점]

④

	폐렴 환자 [eqn: 80]명	정상인 [eqn: 320]명	합계
폐렴 판정	[eqn: 76]	[eqn: 32]	[eqn: 108]
정상 판정	[eqn: 4]	[eqn: 288]	[eqn: 292]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {108} over {400} = {27} over {100}]이므로 [eqn: p%=27%]

① [eqn: 24]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 26]
④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 28]

야탑고/2022년/H3/B

한 개의 주사위를 던지는 시행을 [eqn: 8]번 반복할 때, [eqn: k]번째 던져 나오는 눈의 수를 [eqn: a _{k}] [eqn: (k=1,`2,`3,` CDOTS ,8)]라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{4} a _{2k-1} a _{2k}]의 값이 홀수일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q `]의 값은? (단, [eqn: p`]와 [eqn: q `]는 서로소이다.) [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 43]	② [eqn: 44]	③ [eqn: 45]
④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 47]

⑤

[eqn: 8]번의 시행 중 [eqn: sum _{k=1} ^{4} a _{2k-1} a _{2k}]의 값이 홀수가 되려면 [eqn: a _{1} a _{2} ,``a _{3} a _{4} ,``a _{5} a _{6} ,``a _{7} a _{8} `]의 네 개의 값 중에서 홀수가 [eqn: 1]개이거나 홀수가 [eqn: 3]개인 경우이다. 이때 하나의 값이 홀수일 확률은 [eqn: {1} over {4}]이므로

[eqn: rm ` _{4} C _{1} LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{3} + _{4} C _{3} LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {3} over {4} RIGHT )]

[eqn: = {4 TIMES 3 ^{3} +4 TIMES 3} over {4 ^{4}}]

[eqn: = {15} over {32}]

따라서 [eqn: {q} over {p} = {15} over {32}], [eqn: p+q`=47]이다.

야탑고/2022년/H3/B

주사위 한 개를 던지는 시행에서 표본공간을 [eqn: S]라 하자. 다음 조건을 만족시키는 [eqn: S]의 부분집합인 사건 [eqn: A,`B]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( A,`B RIGHT )]의 개수는? [[eqn: 4.7]점]

①

[eqn: n LEFT ( S RIGHT ) =6], [eqn: n LEFT ( A` RIGHT ) =a+p], [eqn: n LEFT ( B` RIGHT ) =b+p], [eqn: n(A SMALLINTER B)=p]

[eqn: a,`b,`p]는 자연수라 하자.

두 사건 [eqn: A], [eqn: B `]는 서로 독립이므로

[eqn: rm P it (A) CDOT rm P it (B`)][eqn: = rm P it LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )]에서

[eqn: {LEFT ( a+p RIGHT ) LEFT ( b+p RIGHT )} over {6 ^{2}} = {p} over {6}]

[eqn: LEFT ( a+p RIGHT ) LEFT ( b+p RIGHT ) =6p]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: rmP(itA)+rmP(itB) GEQ 1]에서

[eqn: a+b+2p GEQ 6]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 만족하는 [eqn: LEFT ( a,`b,`p RIGHT )]의 순서쌍은

[eqn: LEFT ( 1,`2,`2 RIGHT )],[eqn: LEFT ( 2,`1,`2 RIGHT )]의 두 쌍이다.

[eqn: therefore] [eqn: ` _{6} rm C it _{1} TIMES _{5} rm C it _{2} TIMES _{3} rm C it _{2} TIMES 2][eqn: =360] (가지)

(가) 두 사건 [eqn: A]과 [eqn: B]는 서로 독립이다.

(나) [eqn: 0< rm P( it A)<1,```0< rm P( it B)<1]

(다) [eqn: rmP(itA)+rmP(itB) GEQ 1]

① [eqn: 360]	② [eqn: 370]	③ [eqn: 380]
④ [eqn: 390]	⑤ [eqn: 400]

야탑고/2022년/H3/B

표본공간 [eqn: S= left{`1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8`right}]의 부분집합인 두 사건 [eqn: A,`B]가 다음 조건을 만족한다.

②

(나) [eqn: rm P it left( A | B right) = rm P it (A) = 1over2]
⇒ 두 사건 [eqn: A], [eqn: B `]는 서로 독립, [eqn: rm P it (A)= 1over2]

(가) [eqn: rm P it left( A cap B right) = 1over8]
⇒ [eqn: rm P it (A) cdot rm P it (B`)= 1over8], [eqn: rm P it (B)= 1over4]

따라서 [eqn: n left( S right) =8], [eqn: n left(A `right) =4], [eqn: n left( B `right) =2], [eqn: n (A cap B) = 1]

[eqn: therefore] [eqn: `_8 {rm C it }_1 times _7 {rm C it }_3 times _4 {rm C it }_1 times _3{ rm C it}_3][eqn: = 1120] (가지)

(가) [eqn: rm P( it A SMALLINTER B)= {1} over {8}]

(나) [eqn: rm P( it A vert B)= rm P( it A``)= {1} over {2}]

두 사건 [eqn: A,`B]에 대하여 모든 순서쌍의 개수는? [[eqn: 4.8]점]

① [eqn: 1118]	② [eqn: 1120]	③ [eqn: 1122]
④ [eqn: 1124]	⑤ [eqn: 1126]

죽전고/2022년/H3/B

주머니 [eqn: rmA]에는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: 9]가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 5]개의 공이 들어 있고, 주머니 [eqn: rmB]에는 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8], [eqn: 10]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: 5]개의 공이 들어 있다. 두 주머니 [eqn: rmA], [eqn: rmB]와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

①

[eqn: 6]의 약수일 확률은 [eqn: {2} over {3}](A주머니) 6의 약수가 아닐 확률은 [eqn: {1} over {3}](B주머니)

합이 [eqn: 26]이 되려면 ㄱ.[eqn: (6,10,10)], ㄴ.[eqn: (7,9,10)], ㄷ.[eqn: (8,8,10)] ㄹ.[eqn: (8,9,9)]의 조합만 가능하다.

ㄱ. [eqn: {} _{3} C _{1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{0} LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{3}] (B주머니만 3번) : [eqn: {3} over {15 ^{3}}]

ㄴ. [eqn: 3! LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{3}] (B주머니 1번 A주머니 2번) : [eqn: {24} over {15 ^{3}}]

ㄷ. [eqn: {} _{3} C _{1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{0} LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{3}] (B주머니만 3번) : [eqn: {3} over {15 ^{3}}]
ㄹ. [eqn: {} _{3} C _{1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{3}] (B주머니 1번 A주머니 2번) : [eqn: {12} over {15 ^{3}}]
[eqn: 15 ^{3} p]는 [eqn: 42]이다.

위의 시행을 [eqn: 3]번 반복할 때, 확인한 [eqn: 3]개의 수의 합이 [eqn: 26]일 확률은 [eqn: p]이다. [eqn: 15 ^{3} p]의 값은? [[eqn: 4.5]점]]

① [eqn: 42]	② [eqn: 43]	③ [eqn: 44]	④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 46]

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 [eqn: 6]의 약수이면

주머니 [eqn: rmA]에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 주머니에 넣고, [eqn: 6]의 약수가 아니면

주머니 [eqn: rmB]에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 주머니에 넣는다.

현암고/2022년/H3/B

[eqn: A,~B] 두 사람이 각각 [eqn: 4]개씩 공을 가지고 다음 시행을 한다.

①

[eqn: A]	짝수	홀수	짝수	홀수
[eqn: B]	홀수	짝수	짝수	홀수
[eqn: 1]번의 시행 후 [eqn: A]의 공의 개수 변화	[eqn: +1]	[eqn: -1]	[eqn: +-0]	[eqn: +-0]
사건의 이름	◯	[eqn: times]	[eqn: triangle]
사건의 확률	[eqn: 1over4]	[eqn: 1over4]	[eqn: 1over2]

[eqn: 5]번째 시행 후 공의 개수가 [eqn: 7]이 되려면 ◯◯◯[eqn: triangle][eqn: triangle]나 ◯◯◯◯[eqn: times]여야만 한다.

[eqn: (1)] ◯◯◯[eqn: triangle triangle]인 경우에서 [eqn: 5]번째 시행 후 공의 개수가 처음으로 [eqn: 7]이 되기 위해서는 마지막 사건이 ◯이어야 한다.

따라서, 확률은 [eqn: `_4 C_2 left( 1over4 right)^2 left( 1over2 right)^2 times 1over4]이다.

[eqn: (2)] ◯◯◯◯[eqn: times]인 경우에서 [eqn: 5]번째 시행 후 공의 개수가 처음으로 [eqn: 7]이 되기 위해서는 마지막 두 사건이 ◯이어야 한다.

따라서, 확률은 [eqn: `_3 C_2 left(1over 4 right)^2 left( 1over4 right)^1 times left( 1over4 right)^2]이다.

[eqn: (1)]과 [eqn: (2)]에서 [eqn: 5]번의 시행 후 공의 개수가 처음으로 [eqn: 7]이 되는 사건을 [eqn: A]라 할 때 [eqn: P(A)]의 값은

[eqn: P(A)=][eqn: `_4 C_2 left( 1over4 right)^2 left( 1over2 right)^2 times 1over4][eqn: +][eqn: `_3 C_2 left(1over 4 right)^2 left( 1over4 right)^1 times left( 1over4 right)^2][eqn: = 27 over1024]

이제, 두 번째 시행 후 [eqn: A]가 가진 공의 개수가 [eqn: 4]인 사건을 [eqn: B]라 놓자.

[eqn: A]와 [eqn: B]의 곱사건은 [eqn: triangle triangle]◯◯◯의 순서로 [eqn: 5]번의 시행을 하거나,

◯[eqn: times]◯◯◯, [eqn: times]◯◯◯◯의 순서로 [eqn: 5]번의 시행을 하는 경우 뿐이므로

[eqn: P(A capB) = left( 1over2 right)^2 left( 1over4 right)^3 + _2 C_1 left( 1over4 right)^4 left( 1over4 right)^1 = 6 over 1024]

따라서, 구하고자 하는 확률은 [eqn: P(B |A) = {P(A capB)} over P(A) = 6 over27 = 2 over9]이다.

[eqn: A,~B] 두 사람이 주사위를 한 번씩 던져 나온 눈의 수가 짝수인 사람은 상대방으로부터 공을 한 개 받는다.

각 시행 후 [eqn: A]가 가진 공의 개수를 세도록 한다. [eqn: 5]번째 시행 후 공의 개수가 처음으로 [eqn: 7]이 되었을 때, 두 번째 시행 후 [eqn: A]가 가진 공의 개수가 [eqn: 4]일 확률은? [eqn: [5.4점]]

① [eqn: 2 over9]	② [eqn: 1 over3]	③ [eqn: 2 over5]

④ [eqn: 4 over9]	⑤ [eqn: 2over3]

현암고/2022년/H3/B

숫자 [eqn: 1,~1,~2,~3,~3]이 하나씩 적힌 [eqn: 5]개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다.

[eqn: 36]

[eqn: (1)] 주사위의 눈이 [eqn: 3]의 배수인 사건을 [eqn: A]라 하고 [eqn: P(A)]를 구하기 위해 일단 주사위 눈이 [eqn: 3]의 배수가 나올 확률은 [eqn: 1over3]이고

[eqn: 4]번의 시행에서 [eqn: 9]점을 얻으려면 [eqn: 3,~3,~2,~1]점을 얻거나, [eqn: 3,~2,~2,~2]점을 얻는 경우이므로 [eqn: 9]점을 얻을 확률은

[eqn: P(A) =][eqn: 1over3 times left{ 4! over2! left( 2over5 right)^2 left( 1over5 right) left(2 over5 right) + 4! over3! left( 2 over5 right) left( 1over5 right)^3 right} = 104 over{ 3 times5^4}]

[eqn: (because] [eqn: 3,~2,~1]의 공을 뽑을 확률은 각각 [eqn: 2over5 ,~ 1over5 ,~ 2over5]이므로[eqn: )]

[eqn: (2)] 주사위의 눈이 [eqn: 3]의 배수가 아닌 사건을 [eqn: B]라 하고 [eqn: P(B)]를 구하기 위해 일단 주사위 눈이 [eqn: 3]의 배수가 아닐 확률은 [eqn: 2over3]이고

[eqn: 3]번의 시행에서 [eqn: 9]점을 얻으려면 [eqn: 3,~3,~3]점만 얻어야 하므로 [eqn: 9]점을 얻을 확률은

[eqn: P(B) =][eqn: 2 over3 times left( 2 over5 right)^3 = 16 over{ 3 times 5^3}]

따라서, 얻은 점수가 [eqn: 9]점일 때, 주사위의 눈이 [eqn: 3]의 배수일 확률은

[eqn: {P(A)} over {P(A)+P(B)} = {주사위``눈이``3의``배수이고``9점을``얻을``확률} over {9점을``얻을``확률}]이므로

[eqn: therefore] [eqn: q overp =][eqn: 13 over23]에서 [eqn: p+q = 36]

주사위를 한 번 던져서

주사위의 눈이 [eqn: 3]의 배수이면 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 적혀있는 수를 확인하고 다시 주머니에 넣는 시행을 [eqn: 4]번 반복하고, 확인한 [eqn: 4]개의 수의 합을 점수로 한다.

주사위의 눈이 [eqn: 3]의 배수가 아니면 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 적혀있는 수를 확인하고 다시 주머니에 넣는 시행을 [eqn: 3]번 반복하고, 확인한 [eqn: 3]개의 수의 합을 점수로 한다.

얻는 점수가 [eqn: 9]점일 때, 주사위의 눈이 [eqn: 3]의 배수일 확률은 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하고, 그 과정을 논술하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: [8.0점]]

판교고/2022년/H3/B

점 [eqn: rmP]가 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rmABCD]의 변 위를 동전을 한 번 던질 때마다 다음과 같은 규칙에 따라 움직인다. 동전을 [eqn: 7]번 던질 때, 점 [eqn: rmA]를 출발한 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmD]에 있을 확률은? [4.8점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {4}]
④ [eqn: {1} over {5}]	⑤ [eqn: {1} over {6}]

①

동전을 [eqn: 7]번 던질 때, 앞면이 나온 횟수를 [eqn: r] ([eqn: 0 LEQ r LEQ 7])이라 하면 뒤가 나온 횟수는 [eqn: 7-r]이다. 동전을 [eqn: 7]번 던질 때, 점 [eqn: rmA]를 출발한 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmD]에 있으려면 [eqn: r=1,~3,~5,~7]인 경우이므로

[eqn: {} _{7} C _{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{7} + _{7} C _{3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{7} + _{7} C _{5} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{7} + _{7} C _{7} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{7} `]

[eqn: =7 TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{7} +35 TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{7} +21 TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{7} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{7} `=64 TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{7} = {1} over {2}]

이다.

(가) 앞면이 나오면 시곗바늘이 도는 방향과 반대인 방향으로 [eqn: 1]만큼 움직인다.

(나) 뒷면이 나오면 시곗바늘이 도는 방향으로 [eqn: 1]만큼 움직인다.

판교고/2022년/H3/B

그림과 같이 네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]가 다섯 개의 선분 [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}], [eqn: a _{4}], [eqn: a _{5}]로 연결되어 있다. 한 개의 주사위를 [eqn: 5]번 던져서 나오는 눈의 수에 따라 다음과 같이 선분을 색칠한다.

한 개의 주사위를 [eqn: 5]번 던진 후 점 [eqn: rmA]와 점 [eqn: rmC]가 빨간색으로 색칠 된 선분을 따라 연결되어 있을 확률은? [4.9점]

① [eqn: {182} over {243}]	② [eqn: {61} over {81}]	③ [eqn: {184} over {243}]
④ [eqn: {185} over {243}]	⑤ [eqn: {62} over {81}]

③

[eqn: n]번째 나온 눈의 수가 [eqn: 3]이상일 확률은 [eqn: {2} over {3}]이고, [eqn: 2]이하일 확률은 [eqn: {1} over {3}]이다. 또한 한 개의 주사위를 [eqn: 5]번 던진 후 점 [eqn: rmA]와 점 [eqn: rmC]가 빨간색 선분을 따라 연결되는 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) 다섯 개의 선분이 모두 빨간색인 경우

점 [eqn: rmA]에서 빨간색 선분을 따라 점 [eqn: rmC]와 항상 연결되어 있고 그 확률은

[eqn: {}_{5} rm C _{5} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{5} = {32} over {243}]

(ⅱ) 네 개의 선분이 빨간색인 경우

점 [eqn: rmA]에서 빨간색 선분을 따라 점 C와 항상 연결되어 있고 그 확률은

[eqn: {}_{5} rm C _{4} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) = {80} over {243}]

(ⅲ) 세 개의 선분이 빨간색인 경우

[eqn: (a _{1} ,~a _{4} ,~a _{5} )]나 [eqn: (a_2 , ~ a_3 , ~ a_5 )]에 빨간색이 색칠되는 경우를 제외하면 점 [eqn: rmA]에서 빨간색 선분을 따라 점 C와 연결되어 있고 그 확률은

[eqn: LEFT ( {}_{5} rm C _{3} -2 RIGHT ) LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} = {64} over {243}]

(ⅳ) 두 개의 선분이 빨간색인 경우

[eqn: (a_1 , ~a_2 )]나 [eqn: (a_4 ,~ a_3 )]에 빨간색으로 색칠되면 되므로 그 확률은

[eqn: 2 TIMES LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3} = {8} over {243}]

(ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 확률은

[eqn: {32} over {243} + {80} over {243} + {64} over {243} + {8} over {243} = {184} over {243}]

이다.

(가) [eqn: n]번째 나온 눈의 수가 [eqn: 3] 이상이면 선분 [eqn: a _{n}]을 빨간색으로 색칠한다.

(나) [eqn: n]번째 나온 눈의 수가 [eqn: 2] 이하이면 선분 [eqn: a _{n}]을 흰색으로 색칠한다.

판교고/2022년/H3/B

주머니 안에 스티커가 [eqn: 1]개, [eqn: 2]개, [eqn: 3]개 붙어 있는 카드가 각각 [eqn: 1]장씩 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 카드 [eqn: 1]장을 꺼내어 스티커 [eqn: 1]개를 더 붙인 후 다시 주머니에 넣는 시행을 반복한다. 주머니 안의 각 카드에 붙어 있는 스티커의 개수를 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 모두 같아지는 사건을 [eqn: A]라 하자. 이 시행을 [eqn: 12]번 반복하였을 때, [eqn: 12]회에서 사건 [eqn: A]가 두 번째로 일어날 확률은? [5.0점]

① [eqn: {2} over {27}]	② [eqn: {1} over {9}]	③ [eqn: {4} over {27}]
④ [eqn: {5} over {27}]	⑤ [eqn: {2} over {9}]

③

카드에 붙어 있는 스티커의 수를 [eqn: 3]으로 나눈 나머지를 [eqn: (a,~b,~c)]로 나타내기로 하자.

카드에 붙어 있는 스티커의 수를 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 각각 [eqn: LEFT ( 0,~1,~2 RIGHT )]이면 두 번의 시행으로는 [eqn: LEFT ( 0,~0,~0 RIGHT )] 또는 [eqn: LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT )] 또는 [eqn: LEFT ( 2,~2,~2 RIGHT )]를 만들 수가 없다.

또한, 세 번의 시행으로 나올 수 있는 모든 경우의 수는

[eqn: 3 times 3 times 3 = 27]

이고 세 번의 시행에서 [eqn: LEFT ( 0,~0,~0 RIGHT )]이 되는 경우는

[eqn: LEFT ( 0,~1,~2 RIGHT ) rarrow LEFT ( 0,~2,~2 RIGHT ) rarrow LEFT ( 0,~2,~3 RIGHT ) rarrow LEFT ( 0,~3,~3 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( 0,~1,~2 RIGHT ) rarrow LEFT ( 0,~2,~2 RIGHT ) rarrow LEFT ( 0,~3,~2 RIGHT ) rarrow LEFT ( 0,~3,~3 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( 0,~1,~2 RIGHT ) rarrow LEFT ( 0,~1,~3 RIGHT ) rarrow LEFT ( 0,~2,~3 RIGHT ) rarrow LEFT ( 0,~3,~3 RIGHT )]

의 [eqn: 3]가지이고 [eqn: LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT )] 또는 [eqn: LEFT ( 2,~2,~2 RIGHT )]가 될 수 있는 경우도 각각 [eqn: 3]가지씩이다.

따라서 [eqn: 3]번째 시행에서 사건 [eqn: RMA]가 일어날 확률은

[eqn: rmP LEFT ( itA` RIGHT ) = {3+3+3} over {27} = {1} over {3}]

이고, 사건 [eqn: RMA]가 일어나지 않을 확률은

[eqn: rmP(itA ^{c} `)=1- {1} over {3} = {2} over {3}]

이다. 또한, [eqn: 3]번의 시행 후에는 모든 카드에 붙어 있는 스티커의 수를 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: LEFT ( 0,~1,~2 RIGHT )] 또는 [eqn: LEFT ( 0,~0,~0 RIGHT )] 또는 [eqn: LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT )] 또는 [eqn: LEFT ( 2,~2,~2 RIGHT )]이므로 [eqn: 4]번째, [eqn: 5]번째 시행에서는 사건 [eqn: A]가 일어나지 않고 [eqn: 6]번째 시행에서 사건 [eqn: A]가 일어날 확률은 같은 방법으로 생각하면 [eqn: 1 OVER 3]이다. 따라서 이 시행을 [eqn: 12]번 반복하였을 때, [eqn: 12]회에서 사건 [eqn: A]가 두 번째로 일어나는 경우는 [eqn: 3]번째, [eqn: 12]번째 또는 [eqn: 6]번째, [eqn: 12]번째 또는 [eqn: 9]번째, [eqn: 12]번째에 사건 [eqn: A]가 일어나는 경우이다. 따라서 구하고자 하는 확률은

[eqn: LEFT ( 1 TIMES 1 TIMES {1} over {3} TIMES 1 TIMES 1 TIMES {2} over {3} TIMES 1 TIMES 1 TIMES {2} over {3} TIMES 1 TIMES 1 TIMES {1} over {3} RIGHT ) TIMES 3= {4} over {27}]

이다.

별도풀이

[eqn: rmP LEFT ( itA` RIGHT ) = {3+3+3} over {27} = {1} over {3}]

[eqn: rmP(itA ^{c} `)=1- {1} over {3} = {2} over {3}]

[eqn: 3,6,9] 시행중 [eqn: 1]번만 [eqn: A]가 발생하고, 마지막 [eqn: 12]번째에 [eqn: A]사건이 발생하면 되므로

[eqn: {} _{3} C _{1`}][eqn: LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} = {4} over {27}]이다.

영덕여고/2022년/H3/B

한 개의 동전을 두 번 던져서 앞면이 적어도 한 번 나오면 한 개의 주사위를 한번 던져서 나온 눈의 수에 [eqn: 1]을 더한 값을 점수로 하고, 앞면이 한 번도 나오지 않으면 한 개의 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수에 [eqn: 2]를 더한 값을 점수로 하는 시행을 한다. 이 시행을 한 번 하여 얻는 점수가 [eqn: 6]이하 일 때, 동전의 뒷면이 적어도 한 번 나왔을 확률은? [[eqn: 4.8]점]

②

이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 [eqn: 6]이하인 사건을 [eqn: A], 동전의 뒷면이
적어도 한 번 나오는 사건을 [eqn: B]라 하면 구하는 확률은 [eqn: rm P it LEFT ( B``|`A RIGHT )]이다.

이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 [eqn: 6]이하인 경우는 동전의 앞면이 적어도 한 번 나오고 주사위에서 [eqn: 5]이하의 눈이 나오는 경우 또는 동전의 앞면이 한 번도 나오지 않고 주사위에서 [eqn: 4]이하의 눈이 나오는 경우이므로

[eqn: rm P it LEFT ( A RIGHT )][eqn: = {3} over {4} TIMES {5} over {6} + {1} over {4} TIMES {2} over {3}]
[eqn: = {19} over {24}]

이때 동전의 뒷면이 적어도 한 번 나오고 얻은 점수가 [eqn: 6]이하인 경우는 동전을 던져서 한 번은 앞면, 한 번은 뒷면이 나오고 주사위에서 [eqn: 5]이하의 눈이 나오는 경우 또는 동전의 앞면에 한 번도 나오지 않고 주사위에서 [eqn: 4]이하의 눈이 나오는 경우이므로

[eqn: rm P it LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES {5} over {6} + {1} over {4} TIMES {2} over {3}]
[eqn: = {7} over {12}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P it LEFT ( B``|`A RIGHT )][eqn: = {rm P it LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )} over {rm P it LEFT ( A RIGHT )}]
[eqn: = {{7} over {12}} over {{19} over {24}} = {14} over {19}]

① [eqn: 13 over 19]	② [eqn: 14 over 19]	③ [eqn: 15 over 19]
④ [eqn: {16} over {19}]	⑤ [eqn: {17} over {19}]

야탑고/2022년/H3/B

출발 지점에서 시작하여 한 개의 주사위를 [eqn: 1]번 던져서 [eqn: 1,2,3,`4]의 눈이 나오면 왼쪽 아래로, 나머지 [eqn: 5] 또는 [eqn: 6]의 눈이 나오면 오른쪽 아래로 이동하는 사다리 타기 게임을 한다. 한 개의 주사위를 [eqn: 4]번 던져서 경로를 따라 [[eqn: 4]단계]까지 내려왔을 때. [eqn: A,` rm B,``C,`D,`E`]의 각 지점 중 도착할 확률이 가장 큰 지점은? [[eqn: 4.7]점]

②

한 개의 주사위를 [eqn: 1]번 던져서 왼쪽 아래로 또는 오른쪽 아래로 이동하는 확률은 각각 [eqn: {2} over {3}], [eqn: {1} over {3}]이다.

각 단계별 사다리 도착 확률은

[[eqn: 1]단계]	[eqn: {2} over {3} ,`` {1} over {3}]

[[eqn: 2]단계]	[eqn: {4} over {9} ,`` {4} over {9} ,`` {1} over {9}]

[[eqn: 3]단계]	[eqn: {8} over {27} ,`` {12} over {27} ,`` {6} over {27} ,`` {1} over {27}]

[[eqn: 4]단계][eqn: {16} over {81} ,`` {32} over {81} ,`` {24} over {81} ,`` {8} over {81} ,`` {1} over {81}]

따라서 [eqn: rm B]에 도착할 확률이 제일 크다

① [eqn: RMA]	② [eqn: rmB]	③ [eqn: rmC]
④ [eqn: rmD]	⑤ [eqn: rmE]

야탑고/2022년/H3/B

좌표평면 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 다음 시행을 한다.

[eqn: {48} over {625}]

주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률은 [eqn: {2} over {5}], 검은 공을 꺼낼 확률은 [eqn: {3} over {5}]이고, 직선 [eqn: y=6-x] 위에 있을 때까지 흰 공을 꺼낸 횟수를 [eqn: a`]라 하면 검은 공을 꺼낸 횟수는 [eqn: 5-a`]이다.

원점에서 출발한 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 2a- LEFT ( 5-a RIGHT )]이고,

점 [eqn: rmP]의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: -a+3 LEFT ( 5-a RIGHT )]

즉, 점 [eqn: rmP]는 점 [eqn: LEFT ( 3a-5,~-4a+15 RIGHT )]로 이동된다.

이 점이 직선 [eqn: y=6-x] 위에 있으려면

[eqn: -4a+15=6-3a+5]이어야 하므로

[eqn: a=4]

따라서 [eqn: 5]번의 시행에서 흰 공을 [eqn: 4]번, 검은 공을 [eqn: 1]번 꺼내야 하고, 각 시행은 서로 독립이므로 구하는 확률은

[eqn: {}_{5} rm C _{4} LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{1} = {48} over {625}]

흰 공 [eqn: 2]개, 검은 공 [eqn: 3]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내 흰 공이 나오면 점 [eqn: RMP]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 이동시키고, 검은 공이 나오면 점 [eqn: RMP]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 이동시킨 후, 꺼낸 공은 다시 주머니에 넣는다.

이 시행을 [eqn: 5]번 반복할 때, 원점에서 출발한 점 [eqn: rmP]가 점 직선[eqn: y=6-x]위에 있을 확률을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [[eqn: 7]점]

죽전고/2022년/H3/B

좌표평면 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 다음 시행을 한다.

이 시행을 [eqn: 5]번 반복할 때, 원점에서 출발한 점 [eqn: rmP]가 직선 [eqn: x-2y-2=0] 위에 있을 확률은? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: {15} over {1024}]	② [eqn: {15} over {512}]	③ [eqn: {15} over {256}]	④ [eqn: {45} over {512}]	⑤ [eqn: {135} over {512}]

④

곱이 홀수일 확률 : [eqn: {1} over {4}] 곱이 짝수일 확률 : [eqn: {3} over {4}]
[eqn: (2,-1)]이동을 세 번 [eqn: (1,3)] 이동을 두 번 하게되면 위치가 [eqn: (8,3)]이 되고 [eqn: x-2y-2=0]을 만족시키므로

[eqn: {} _{5} C _{3} TIMES LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{3} TIMES LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2}][eqn: = {45} over {512}]

서로 다른 두 주사위를 동시에 던져 나온 두 눈의 수의 곱이 홀수이면 점 [eqn: rmP]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동시키고, 두 눈의 수의 곱이 짝수이면 점 [eqn: rmP]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동시킨다.

판교고/2022년/H3/A

상자 [eqn: rmA]와 상자 [eqn: rmB]에 각각 [eqn: 6]개의 공이 들어 있다. 주사위 [eqn: 1]개를 사용하여 다음 시행을 한다.
위의 시행을 [eqn: 6]번 반복할 때, 상자 [eqn: rmB]에 있는 공의 개수가 [eqn: 6]번째 시행 후 처음으로 [eqn: 8]이 될 확률은? [5.1점]

① [eqn: {23} over {729}]	② [eqn: {22} over {729}]	③ [eqn: {7} over {243}]
④ [eqn: {20} over {729}]	⑤ [eqn: {19} over {729}]

④

한 개의 주사위를 한 번 던지는 시행에서 [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: D], 그 이외의 눈이 나오는 사건을 [eqn: E]라 하면

[eqn: rm P( it D`)= {1} over {3} ,~ rm P( it E`)= {2} over {3}]

[eqn: 6]번의 시행에서 [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오는 횟수를 [eqn: a]라 하면 그 이외의 눈이 나오는 횟수는 [eqn: 6-a]이다.

이때 상자 [eqn: rmB]에 들어 있는 공의 개수는

[eqn: 6+a-(6-a)=2a]

이고, 상자 [eqn: rmB]에 들어 있는 공의 개수가 [eqn: 8]이 되려면

[eqn: 2a=8], [eqn: a=4]

이다. 따라서 상자 [eqn: rmB]에 들어 있는 공의 개수가 [eqn: 6]번째 시행 후 처음으로 [eqn: 8]이 되는 경우는 [eqn: 6]번째 시행까지 [eqn: D]가 [eqn: 4]번, [eqn: E]가 [eqn: 2]번 일어나는 경우에서 [eqn: DD]인 경우, [eqn: EDDD]인 경우, [eqn: DEDD]인 경우를 제외시키면 된다.

[eqn: 6]번째 시행까지 [eqn: D]가 [eqn: 4]번, [eqn: E]가 [eqn: 2]번 일어날 확률은

[eqn: {}_{6} C _{4} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} = {60} over {729}]

이고, [eqn: DD]인 경우, [eqn: EDDD]인 경우, [eqn: DEDD]가 일어날 확률은

[eqn: LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} TIMES _{4} C _{2} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} +2 TIMES LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3} ` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) TIMES _{2} C _{1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) `= {40`} over {729}]

이다. 따라서 구하는 확률은

[eqn: {60} over {729} - {40} over {729} = {20} over {729}]

이다.

수정사항

문제 4번 6번 수식 수정

문제 12번 오타수정

해설 4번 6번 수식 수정

해설 21번 풀이 수정

주사위를 한 번 던져 [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오면 상자 [eqn: rmA]에서 공 [eqn: 1]개를 꺼내어 상자 [eqn: rmB]에 넣고, 그 이외의 눈이 나오면 상자 [eqn: rmB] 에서 공 [eqn: 1]개를 꺼내어 상자 [eqn: rmA]에 넣는다.

22년 내신 기출	확률과 통계	정답 및 풀이

②

③

②

③

③

①

⑤

①

⑤

⑤

②

④

①

⑤

②

③

③

④

④

①

①

⑤

②

[eqn: 1600]

⑤

③

③

②

②

④

①

①

②

②

①

②

①

②

③

⑤

⑤

③

④

⑤

③

[eqn: 10080]

②

①

①

④

(1) [eqn: 6] (2) [eqn: 768 from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================]

⑤

④

④

⑤

①

③

④

[eqn: 53]가지

⑤

[eqn: 59`]가지

⑤

[eqn: 40]

④

④

④

[eqn: 2672]

⑤

②

③

④

①

[eqn: 1045 from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================]

[eqn: 660]

③

[eqn: 87 from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================]

③

④

⑤

①

⑤

④

③

⑤

④

②

④

①

⑤

④

④

①

①

[eqn: 160 from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================]

③

⑤

④

③

②

⑤

④

④

③

②

④

③

①

①

②

③

④

⑤

②

④

①

②

⑤

③

⑤

④

④

①

(1) [eqn: 625] (2) [eqn: 5] (3) [eqn: 70]

③

⑤

③

②

④

②

②

③

④

④

⑤

②

②

①

③

②

④

③

④

②

③

①

③

②

⑤

②

⑤

④

①

④

②

①

③

③

③

③

④

①

③

②

⑤

①

[eqn: 55]

④

③

①

④

⑤

④

①

②

①

③

[eqn: 56]가지

[eqn: 75]가지

④

(1) [eqn: 126] (2) [eqn: 21]

[eqn: 69]

①

②

③

④

④

[eqn: n=7]

①

③

②

①

②

[eqn: a=2]

②

②

⑤

②

①

화요일

⑤

②

③

②

④

③

⑤

③

③

③

④

⑤

⑤

③

①

(1) [eqn: 5 & ^7] (2) [eqn: 360]

④

①

②

③

②

[eqn: 40]

③

②

②

[eqn: 26]

⑤

④

[eqn: 224]

③

⑤

[eqn: 199]

④

⑤

[eqn: 241]가지.

[eqn: 290]

⑤

(1) [eqn: 495 from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================] (2) [eqn: 1820 from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================]

⑤

④

②

①

⑤

④

[eqn: 738]

③

①

⑤

④

[eqn: 5]

③

①

③

[eqn: "{"6"}",~"{"1,~6"}",~"{"4,~6"}",~"{"1,~4,~6"}"]

①

⑤

②

②

⑤

①

②

④

⑤

③

⑤

③

①

⑤

①

②

②

②

⑤

⑤

③

①

⑤

④

④

②

④

①

[eqn: "{"6"}",~"{"1,~6"}",~"{"4,~6"}",~"{"1,~4,~6"}"]

⑤

②

⑤

⑤

⑤

③

⑤

④

③

⑤

[eqn: {7} over {24}]

②

③

[eqn: {7} over {33}]

④

④

②

②

⑤

②

③

②

①

④

④

①

④

[eqn: 4]

⑤

③

⑤

[eqn: 489]

[eqn: {109} over {190}]

[eqn: {13} over {24}]

①

⑤

③

③

①

①

①

④

①

④

②

④

①

[eqn: {13} over {36}]

④

⑤

②

④

③

④

③

[eqn: 38]

[eqn: 1-1] [eqn: {2} over {3}], [eqn: 1-2] [eqn: {2} over {11}]

[eqn: {7} over {9}]

⑤

[eqn: 17]

③

②

④

⑤

[eqn: 223 over 225]

①

②

③

④

④

③

⑤

②

②

③

②

④

③

④

②

⑤

①

④

③

④

③

⑤

③

③

④

③

①

③

①

①

①

[eqn: {8} over {27}]

②

④

①

⑤

③

④

①

[eqn: (1)~ 1over15 ~~(2)~ 3over10 ~~(3)~ 종속]

③

④

②

①

④

③

[eqn: 4over7]

③

③

⑤

⑤

④

⑤

①

③

[eqn: {10} over {31}]

③

④

①

⑤

[eqn: (1)~ 1over15 ~~(2)~ 3over10 ~~(3)~ 종속]

⑤

⑤

⑤

[eqn: 2-1] [eqn: {25} over {36}], [eqn: 2-2] [eqn: {55} over {2048}]

⑤

⑤

④

②

④

④

②

[eqn: 1over9]

[eqn: 1over9]

③

⑤

②

④

①

②

②

③

②

④

[eqn: 121 over512]

②

①

⑤

④

④

①

⑤

①

②

④

②

⑤

[eqn: 5 over 11]

②

⑤

②

③

④

⑤

①

②

①

①

[eqn: 36]

①

③

③

②

②

[eqn: {48} over {625}]

④

④