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수학 Ⅱ (고2)	내신대비 모의고사	범위 : 미분-적분
		시험시간 : 50분
총 24문항 : 객관식 18, 주관식 6
		이름 :

Du kannst, denn Du sollst !	| |	용문아 수학교실

[객관식]

함수

②

[eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} -9x+3]에서 [eqn: f` prime (x)=3x ^{2} +2ax-9]

[eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: f` prime (1)=3+2a-9=0]

[eqn: THEREFORE ~a=3]

[eqn: f(x)=x ^{3} +3x ^{2} -9x+3]에서 [eqn: f` prime (x)=3x ^{2} +6x-9=3(x+3)(x-1)]

[eqn: f` prime (x)=0]에서 [eqn: x=-3] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: f(x)]의 증가와 감소를 나타내면 다음 표와 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -3]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f` prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

따라서 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-3]에서 극대이고 극댓값 [eqn: f(-3)=30]을 갖는다.

[eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} -9x+3]

이 [eqn: x=1]에서 극솟값을 가질 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은?

(단, [eqn: a`]는 상수)

① [eqn: 29]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 31]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 33]

사차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같을 때, 다음 중 부등식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) f`' LEFT ( x RIGHT ) <0]을 만족하는 [eqn: x]의 값의 범위가 될 수 없는 것은?

⑤

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) f`' LEFT ( x RIGHT ) <0]에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >0,~f`' LEFT ( x RIGHT ) <0] 또는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) <0,~f` prime LEFT ( x RIGHT ) >0]

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >0,~f`' LEFT ( x RIGHT ) <0]일 때,
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 함숫값이 양수이고 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 감소하는 구간은
[eqn: x<a] 또는 [eqn: d<x<e]

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) <0,~f` prime LEFT ( x RIGHT ) >0]일 때,
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 함숫값이 음수이고 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 증가하는 구간은
[eqn: b<x<c] 또는 [eqn: f<x<g]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: x]의 값의 범위가 될 수 없는 것은 ⑤ [eqn: x>g]이다.

① [eqn: x<a]	② [eqn: b<x<c]	③ [eqn: d<x<e]
④ [eqn: f<x<g]	⑤ [eqn: x>g]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +6x ^{2} +9x]의 그래프를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동시켰더니 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 되었다. 이때 방정식 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =0]이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: a]의 합은?

①

[eqn: y=x ^{3} +6x ^{2} +9x]의 그래프를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동시키면 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 되므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) +a]

[eqn: THEREFORE~g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +6x ^{2} +9x+a]

방정식 [eqn: x ^{3} +6x ^{2} +9x+a=0]의 실근의 개수는

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +6x ^{2} +9x,~y=-a]의 그래프의 교점의 개수와 같다.

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +12x+9=3 LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=-3] 또는 [eqn: x=-1]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 나타내면 다음 표와 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -3]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

[eqn: x=-3]일 때, 극댓값 [eqn: f LEFT ( -3 RIGHT ) =0]

[eqn: x=-1]일 때, 극솟값 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =-4]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같다.

주어진 방정식이 서로 다른 세 실근을 가지려면 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y=-a]의 그래프가 서로 다른 세 점에서 만나야 하므로 [eqn: -4< -a<0]

[eqn: THEREFORE~0<a<4]

따라서 정수 [eqn: a]는 [eqn: 1,~2,~3]이므로 [eqn: 1+2+3=6]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]는 점 [eqn: LEFT ( 0,~-2 RIGHT )]를 지나고 이 곡선 위의 임의의 점 [eqn: LEFT ( x,~f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 3x ^{2} -6x-2]일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

②

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 임의의 점에서 접선의 기울기가 [eqn: f'(x)=3x^{2}-6x-2]이므로 [eqn: f(x)=int{(3x^{2}-6x-2)dx} = x^{3}-3x^{2}-2x+rmC]

이때 곡선 [eqn: y=f(x)]가 점[eqn: (0,~-2)]를 지나므로 [eqn: f(0)=-2=rmC]

[eqn: therefore~ f(x)= x^{3}-3x^{2}-2x-2]

따라서 [eqn: f(x)=x^{3}-3x^{2}-2x-2]이므로

[eqn: f(2) =8-12-4-2=-10]

① [eqn: -12]	② [eqn: -10]	③ [eqn: -8]

④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -4]

함수 [eqn: f(x)= int _{ } ^{ } { { x^3 } over { x^2 +x+1} }`dx- int _{ } ^{ } { { 1} over {x^2 +x+1 } }`dx`]에 대하여 [eqn: f(2)=1`]일 때, [eqn: f(1)`]의 값은?

②

[eqn: f(x)`][eqn: =int _{ } ^{ } { { x^{3}} over {x^{2}+x+1 } }`dx- int _{ } ^{ } { { 1} over {x^{2}+x+1 } }`dx`]
[eqn: =int _{ } ^{ } { { x^{3}-1} over {x^{2}+x+1 } }`dx`]
[eqn: =int _{ } ^{ } { { (x-1)(x^{2}+x+1)} over { x^{2}+x+1} }`dx`]
[eqn: =int _{ } ^{ } { (x-1)}`dx= { 1} over { 2}x^{2}-x+rmC`]

[eqn: f(2)=1`]에서 [eqn: f(2)=2-2+rmC=1`]에서 [eqn: rmC=1`]

따라서 [eqn: f(x)= { 1} over { 2}x^{2}-x+1`]이므로 [eqn: f(1)= { 1} over { 2}`]

① [eqn: { 1} over {3 }`]	② [eqn: { 1} over {2}]	③ [eqn: 1`]

④ [eqn: { 3} over {2 }]	⑤ [eqn: 2`]

함수 [eqn: f(x)=-3x^{2}+5x]에 대하여 정적분 [eqn: int_{1}^{2}{f(x)} dx + int_{-2}^{1} {f(x)dx} - int_{4}^{2}{f(x)dx] 의 값은?

②

[eqn: int_{1}^{2} {f(x)dx } + int_{-2}^{1}{f(x)dx } - int_{4}^{2}{f(x)dx]

[eqn: = int_{-2}^{1} f(x)dx + int_{1}^{2} {f(x)dx} + int_{2}^{4} {f(x)dx}]

[eqn: = int_{-2}^{4}{f(x)dx}]

[eqn: =int_{-2}^{4}{(-3x^{2}+5x )dx]

[eqn: =left[ -x^{3}+ 5 over2 x^{2} right]_{-2}^{4}]

[eqn: = -42]

① [eqn: -52]	② [eqn: -42]	③ [eqn: -32]

④ [eqn: -24]	⑤ [eqn: 42]

두 함수

⑤

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x ^{3} -x ^{2} -x+1 RIGHT ) - LEFT ( -x ^{2} +2x+a RIGHT )]
[eqn: =x ^{3} -3x+1-a]

[eqn: h`' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -3=3 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT )]

[eqn: h`' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=1]

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,~2 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 나타내면 다음 표와 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]
[eqn: h`' LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: h LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: 1-a]	[eqn: SEARROW]	[eqn: -1-a]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 3-a]

구간 [eqn: LEFT [ 0,~2 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]일 때, 극소이면서 최소이므로 주어진 부등식이 항상 성립하려면 [eqn: h LEFT ( 1 RIGHT ) =-1-a GEQ0]이어야 한다.

따라서 [eqn: a LEQ-1]이므로 구하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: -1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -x ^{2} -x+1,~g LEFT ( x RIGHT ) =-x ^{2} +2x+a]

에 대하여 닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,~2 RIGHT ]]에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQg LEFT ( x RIGHT )]

가 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

오른쪽 그림과 같이 원기둥 모양의 벽과 반구 모양의 지붕으로 된 실내 농구장을 설계하려고 한다. 원기둥의 밑면의 반지름의 길이와 높이의 합이 [eqn: 45` rm m]로 일정할 때, 원기둥의 부피가 최대인 경우의 실내 농구장의 부피는?

③

오른쪽 그림과 같이 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 [eqn: r ,] 높이를 [eqn: h]라 하면 [eqn: r +h =45]이므로

[eqn: h= 45 - r]

[eqn: r>0,] [eqn: 45-r >0]이므로 [eqn: 0 < r < 45]

원기둥의 부피 [eqn: {rm V}(r)]라 하면

[eqn: {rm V}(r)= pir^2 h = pir^2 (45-r)][eqn: = pi(45 r^2 - r^3 )]

[eqn: {rm V}'(r)= pi(90r - 3r^2 )= - 3 pir ( r-30)]이므로

[eqn: {rm V}'(r) =0]에서 [eqn: r =0] 또는 [eqn: r = 30]

열린구간 [eqn: (0, ~ 4 5 )]에서 함수 [eqn: {rm V}(r)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: r]	[eqn: (0)]	[eqn: cdots]	[eqn: 30]	[eqn: cdots]	[eqn: (45)]
[eqn: {rm V}'(r)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: {rm V}(r)]		↗	극대	↘

함수 [eqn: {rm V}(r)]는 [eqn: r=30]에서 극대이면서 최대이다.

이때 [eqn: h= 45 - 30 = 15]

즉 밑면의 반지름 [eqn: 30,] 높이는 [eqn: 15]

따라서 구하는 실내 농구장의 부피는

[eqn: pi r^2 h + 1 over 2 cdot 4 over 3 pi r^3 = pi cdot 30^2 cdot 15 + 1 over 2 cdot 4 over 3 pi cdot 30 ^3 = 31500 pi]

① [eqn: 30000 pi]	② [eqn: 31000 pi]
③ [eqn: 31500 pi]	④ [eqn: 32000 pi]	⑤ [eqn: 32500 pi]

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP,~Q]의 시각 [eqn: t LEFT ( t GEQ0 RIGHT )]에서의 위치 [eqn: x _{1} ,~x _{2}]가 각각

⑤

점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 속도를 [eqn: v _{1}], 가속도를 [eqn: a _{1}]이라 하면

[eqn: v _{1} = {dx _{1}} over {dt} =3t ^{2} -4t+3]

[eqn: a _{1} = {dv _{1}} over {dt} =6t-4]

점 [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]에서의 속도를 [eqn: v _{2}], 가속도를 [eqn: a _{2}]이라 하면

[eqn: v _{2} = {dx _{2}} over {dt} =2t+3]

[eqn: a _{2} = {dv _{2}} over {dt} =2]

두 점 [eqn: rmP,~Q]의 속도가 서로 같아지는 순간의 시각 [eqn: t]는

방정식 [eqn: v _{1} =v _{2}]의 실근이므로 [eqn: 3t ^{2} -4t+3=2t+3]에서 [eqn: 3t LEFT ( t-2 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE~t=0] 또는 [eqn: t=2]

이때 [eqn: t>0]이므로 [eqn: t=2]

따라서 [eqn: t=2]일 때, 두 점 [eqn: rm P,~Q]의 가속도는 각각 [eqn: 8,~2]이므로 그 합은 [eqn: 8+2=10]

[eqn: x _{1} =t ^{3} -2t ^{2} +3t,~x _{2} =t ^{2} +3t]

이다. [eqn: t>0]에서 두 점 [eqn: rmP,~Q]의 속도가 서로 같아지는 순간의 두 점 [eqn: rmP,~Q]의 가속도의 합은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

정적분 [eqn: int _{-3} ^{2} {(2 LEFT | x RIGHT | +1)dx}]는?

③

[eqn: int _{-3} ^{2} {(2 LEFT | x RIGHT | +1)dx}][eqn: = int _{-3} ^{0} {(-2x+1)dx+ int _{0} ^{2} {(2x+1)dx}}] [eqn: = LEFT [ -x ^{2} +x RIGHT ] _{-3}^{0} + LEFT [ x ^{2} +x RIGHT ] _{0}^{2}] [eqn: =18]

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

두 다항함수 [eqn: f(x),~g(x)`]가

⑤

[eqn: f(x)= int _{ } ^{ } { xg(x)}`dx`]에서 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(x)=xg(x)`]	[eqn: cdotscdots`]㉠

[eqn: { d} over { dx}left{ f(x)-g(x)right}=4x^{3}+2x`]에서

[eqn: f`'(x)-g`'(x)=4x^{3}+2x`]	[eqn: cdotscdots`]㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: xg(x)-g`'(x)=4x^{3}+2x`]	[eqn: cdotscdots`]㉢

이때 ㉢의 양변을 비교하면 함수 [eqn: g(x)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 4`]인 이차함수이므로 [eqn: g(x)=4x^{2}+ax+b`]([eqn: a,~b`]는 상수)이라 하자.

[eqn: g(x)=4x^{2}+ax+b`]에서 [eqn: g`'(x)=8x+a`]

㉢에 대입하면

[eqn: xg(x)-g`'(x)`][eqn: =x(4x^{2}+ax+b)-(8x+a)`]
[eqn: =4x^{3}+ax^{2}+(b-8)x-a`]
[eqn: =4x^{3}+2x`]

계수를 비교하면

[eqn: a=0,~b-8=2`]에서 [eqn: b=10`]

따라서 [eqn: g(x)=4x^{2}+10`]이므로 [eqn: g(1)=4+10=14`]

[eqn: f(x)= int _{ } ^{ } {xg(x) }`dx,~ { d} over { dx} LEFT { f(x)-g(x) RIGHT }=4x^3 +2x`]

를 만족시킬 때, [eqn: g(1)`]의 값은?

① [eqn: 10`]	② [eqn: 11`]	③ [eqn: 12`]

④ [eqn: 13`]	⑤ [eqn: 14`]

지면으로부터 [eqn: 40rmm]의 높이에서 처음 속도 [eqn: 30rmm/s]초로 위로 던진 물체의 [eqn: t]초 후의 높이 [eqn: x=-5t ^{2} +30t+40]인 관계가 성립한다. 다음 [보기] 중 옳은 것을 있는 대로 고르면?

⑤

물체의 [eqn: t]초 후의 속도를 [eqn: v`rmm/s]라 하면

[eqn: v= {dx} over {dt} =-10t+30]

ㄱ. 최고 지점에 도달했을 때, 물체의 속도는 [eqn: v=0]이므로
[eqn: v=30-10t=0]	[eqn: THEREFORE~t=3] [참]
즉 물체가 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간은 [eqn: 3]초이다.

ㄴ. 물체의 최고 높이는 [eqn: t=3]일 때의 높이이므로
[eqn: x LEFT ( 3 RIGHT ) =-45+90+40=85 LEFT ( rmm RIGHT )] [참]

ㄷ. 물체가 땅에 떨어질 때까지 움직인 거리는 [eqn: LEFT ( 85-40 RIGHT ) +85=130 LEFT ( rmm RIGHT )] [참]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[보 기]

ㄱ. 물체가 최고높이에 도달하는 데 걸리는 시간은 [eqn: 3]초이다.

ㄴ. 물체의 최고높이는 [eqn: 85rmm]이다.

ㄷ. 물체가 땅에 떨어질 때까지 움직인 거리는 [eqn: 130rmm]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

최고차항의 계수가 양수인 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( a RIGHT )]의 값은?

③

조건 (나)의 등식의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x) + f(x) f`prime(x) = 27x^5 + 15x^3 + 2ax]	[eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: f(x)]의 차수를 [eqn: n]이라 하면 좌변의 차수가 [eqn: n+(n-1)=2n-1]이므로

[eqn: 2n-1=5]	[eqn: therefore~n=3]

즉 [eqn: f(x)]는 삼차함수이므로 조건 (가)에 의하여

[eqn: f(x) = px^3 + qx] ([eqn: p,`q]는 상수, [eqn: p>0])

라 하면

[eqn: f`prime(x) = 3px^2 + q]

㉠에서

[eqn: px^3 + qx +(px^3 + qx)(3px^2 +q )]

[eqn: =px^3 + qx + (3p^2 x^5 + 4pqx^3 + q^2 x )]

[eqn: =3p^2 x^5 + (4pq+p) x^3 + (q^2 + q) x]

[eqn: =27x^5 + 15x^3 + 2ax]

이 식은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: 3p^2 = 27,~4pq+p=15,~q^2 + q = 2a]

[eqn: therefore~p=3,~q=1,~a=1] ([eqn: because ~p>0])

따라서 [eqn: f(x) = 3x^3 + x]이므로

[eqn: f(a) = f(1) = 3+1=4]

(단, [eqn: a]는 상수이고, [eqn: C]는 적분상수이다.)

(가) 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

(나) [eqn: int _{ } ^{ } { left{ f(x) + f(x) f `prime (x ) dx right} } = 9 over 2 x^6 + 15 over 4 x ^4 + ax^2 +C]

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: lim_{h ` -> ` 0 } ` 1 over h int_{1-h}^{1+h} (x-2)(x+1) ` dx]의 값은?

②

[eqn: f(x) = (x-2)(x+1)]이라 하고 [eqn: f(x)]의 한 부정적분을 [eqn: F(x)]라고 하면

[eqn: lim_{h ` -> ` 0 } ` 1 over h int_{1-h}^{1+h} f(t)`dt]

[eqn: = lim_{h ` -> ` 0 } ` {F(1 +h) - F(1 - h )}over{h}]
[eqn: = lim_{h ` -> ` 0 } ` {F(1 +h ) - F(1) - F(1 -h ) + F(1)}over{h}]
[eqn: = lim_{h ` -> ` 0 } ` {F(1 +h)- F(1)}over{h} + lim_{h ` -> ` 0 } ` {F(1 - h) - F(1)}over{-h}]
[eqn: = F` ' (1) + F` ' (1) = 2 F` ' (1)]
[eqn: = 2 f(1) = 2 cdot (-1) cdot 2 = -4]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

다항함수 [eqn: f(x)]가 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여

②

[eqn: f(x)=6x ^{2} + int _{0} ^{1} {(2x+1)f(t)dt=6x ^{2} +(2x+1)} int _{0} ^{1} {f(t)dt}]

[eqn: int _{0} ^{1} {f(t)dt} =k] ([eqn: k]는 상수)	…… ㉠

로 놓으면 [eqn: f(x)=6x ^{2} +(2x+1)k]	…… ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: k= int _{0} ^{1} {f(t)dt} = int _{0} ^{1} {(6t ^{2} +2kt+k)dt} = LEFT [ 2t ^{3} +kt ^{2} +kt RIGHT ] _{0}^{1} =2+2k]

즉 [eqn: k=2+2k]에서 [eqn: k=-2]

따라서 [eqn: int _{0} ^{1} {f(t)dt} = int _{0} ^{1} {f(x)dx} =-2]

[eqn: f(x)=6x ^{2} + int _{0} ^{1} {(2x+1)f(t)dt}]

를 만족할 때, [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx}]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: f(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+3)=f(x)]를 만족시키고

①

[eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: y]축에 대하여 대칭이므로

[eqn: int _{-a} ^{a} {f(x)dx} =2 int _{0} ^{a} {f(x)dx=13}]	[eqn: THEREFORE ~ int _{0} ^{a} {f(x)dx} = {13} over {2}]

[eqn: y=f(x)]의 그래프에서 [eqn: int _{0} ^{3} {f(x)dx} = {1} over {2} cdot(3+1)cdot1=2]

이고 함수 [eqn: f(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+3)=f(x)]이므로

[eqn: int _{0} ^{3} {f(x)dx} = int _{3} ^{6} {f(x)dx} = int _{6} ^{9} {f(x)dx} =2]

[eqn: THEREFORE ~ int _{0} ^{9} {f(x)dx} = int _{0} ^{9} {f(x)dx} + int _{3} ^{6} {f(x)dx} + int _{6} ^{9} {f(x)dx} =2+2+2=6]

이때 [eqn: int _{0} ^{a} {f(x)dx} = int _{0} ^{9} {f(x)dx} + int _{9} ^{a} {f(x)dx} = {13} over {2}]이므로

[eqn: 6+ int _{9} ^{a} {f(x)dx} = {13} over {2}]	[eqn: THEREFORE ~ int _{9} ^{a} {f(x)dx} = {1} over {2}]

따라서 [eqn: int _{9} ^{10} {f(x)dx} = int _{0} ^{1} {f(x)dx} = {1} over {2}]이므로 [eqn: a=10]

[eqn: f(x) ={cases{``` pile{``````x#````````1}&pile{(0 LEQ x<1)#(1 LEQ x<2)}#-x+3&(2 LEQ x<3)}}]

이다. [eqn: int _{-a} ^{a} {f(x)dx=13}]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

원점을 출발하여 수직선 위를 [eqn: 7]초 동안 움직이는 점 [eqn: rmP]의 [eqn: t]초 후의 속도 [eqn: v(t)]가 다음 그림과 같을 때, 다음 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?

②

시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]까지 수직선의 양의 방향으로 [eqn: 2]만큼 움직이고

시각 [eqn: t=2]에서 [eqn: t=4]까지는 음의 방향으로 [eqn: 2]만큼 움직이며

시각 [eqn: t=4]에서 [eqn: t=7]까지는 양의 방향으로 [eqn: 4]민큼 움직인 다음 멈춘다.

ㄱ. [eqn: 1]초 동안 멈춘다는 것은 [eqn: v(t) = 0]인 구간의 길이가 [eqn: 1]이 되는 [eqn: t]의 구간이 존재한다는 것인데, 주어진 그림에 의하면 [eqn: v(t) =0]인 [eqn: t]의 값이 연속적으로 나타나는 경우가 없다. [거짓]

ㄴ. 방향이 바뀐다는 것은 속도 [eqn: v(t)]의 값이 양에서 음으로, 혹은 음에서 양으로 바뀐다는 것이다.
주어진 그림을 보면 [eqn: v(t) =0]인 [eqn: t]의 값은 [eqn: t=2 ,~ t=4]이고 이 시각에 [eqn: v(t)]의 부호가 바뀌므로 점 [eqn: rmP]는 운동방향을 [eqn: 2]번 바꾼 것이다. [거짓]

ㄷ. 출발 후 다시 출발점으로 돌아온다는 것은 위치가 [eqn: 0]이라는 것이다. 그런데 [eqn: int_0^4 v(t)dt =0]이므로 [eqn: t=4]인 순간의 동점 [eqn: rmP]의 위치는 출발점이다. [참]

따라서 옳은 것은 ㄷ이다.

ㄱ. 점 [eqn: rmP]는 출발하고 나서 [eqn: 1]초 동안 멈춘 적이 있었다.

ㄴ. 점 [eqn: rmP]는 움직이는 동안 방향을 [eqn: 4]번 바꿨다.

ㄷ. 점 [eqn: rmP]는 출발하고 나서 [eqn: 4]초 후 출발점에 있었다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

다음 그림은 삼차함수 [eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]와 사차함수 [eqn: y= g LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: y=f`' LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y=g' LEFT ( x RIGHT )]의 그래프이다. 옳은 것을 보기에서 모두 고른 것은? (단, [eqn: f `' (0)=0 ,~ g '(0) = 0])

⑤

ㄱ. [eqn: x < 0]에서 [eqn: f`'(x) > g'(x)]이므로 [eqn: y '=f`'(x)-g'(x) > 0]

즉 [eqn: y = f(x)-g (x)]는 증가한다. [참]

ㄴ. [eqn: f`'(x) = g'(x)]의 세 근을 [eqn: 0 ,~ a ,~ b```( 0 < a < b)]라 하고

[eqn: f`'(x)-g'(x ) = 0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=a] 또는 [eqn: x=b]

함수 [eqn: y= f (x )- g (x )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과	같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: a]	[eqn: cdots]	[eqn: b]	[eqn: cdots]
[eqn: f`' (x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	↗	극대	↘	극소	↗	극대	↘

즉 [eqn: y= f (x )- g (x )]는 [eqn: x = a]에서 극솟값이 존재한다. [참]

ㄷ. [eqn: f`'(x)=g' (x)]의 세 근을 [eqn: 0 ,~ a ,~ b```( 0 < a < b)]라 하고

[eqn: f`'(x)-g'(x)= 0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=a] 또는 [eqn: x=b]이므로

[eqn: h(x)=f`'(x)-g'(x)= k `x(x-a)(x-b)] (단, [eqn: k < 0])

[eqn: y = h(x),~ y=h`'(x)]의 개형은 다음 그림과 같으므로	[eqn: h`' (x) = 0]은 서로 다른 [eqn: 2]개의 양의 실근을 갖는다. [참]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: x < 0]에서 [eqn: y =f(x) -g(x)]는 증가한다.

ㄴ. [eqn: y =f(x)-g(x)]는 한 개의 극솟값을 갖는다.

ㄷ. [eqn: h(x)=f`' (x)-g'(x)]라 할 때, [eqn: h'(x)=0]은 서로 다른	[eqn: 2]개의 양의 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[주관식]

다음을 구하시오.
(1)[eqn: int _{} ^{} {(2x ^{3} -x+1)dx}]

(1) [eqn: bold{1 over2 x^4 - 1over2 x^2 +x+C]  (2) [eqn: {bold{0}}]

(1)[eqn: int(2x^3 -x +1)dx = int 2x^3 `dx - int x`dx + int 1`dx]

[eqn: = 2 int x^3 `dx - int x`dx + int 1` dx]

[eqn: = 1over2 x^4 - 1over2 x^2 +x +C]

(2)[eqn: int _{1} ^{-2} {LEFT ( 6x ^{2} +2x-5 RIGHT ) dx}]
[eqn: =- int _{-2} ^{1} {LEFT ( 6x ^{2} +2x-5 RIGHT ) dx}]
[eqn: =- LEFT [ pile{`#`} 2x ^{3} +x ^{2} -5x RIGHT ] _{-2}^{1}]
[eqn: =- LEFT { LEFT ( 2+1-5 RIGHT ) - LEFT ( -16+4+10 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =0]

(2) [eqn: int _{1} ^{-2} {LEFT ( 6x ^{2} +2x-5 RIGHT ) dx}]

함수 [eqn: f(x)= {1} over {3} x ^{3} -ax ^{2} +3ax`]의 역함수가 존재하도록 하는 모든 정수 [eqn: a`]의 개수를 구하시오.

[eqn: 4]

함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 존재하기 위해서는 [eqn: f(x)]가 일대일대응이어야 한다.

[eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 양수이므로 [eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 증가해야 하므로 [eqn: f` prime (x) GEQ 0]이어야 한다.

[eqn: f(x)= {1} over {3} x ^{3} -ax ^{2} +3ax`]에서 [eqn: f` prime (x)=x ^{2} -2ax+3a GEQ 0]이어야 하므로 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2ax+3a=0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: {D} over {4} =a ^{2} -3a LEQ 0,~a(a-3) LEQ 0]

[eqn: THEREFORE ~0 LEQ a LEQ 3]

따라서 정수 [eqn: a`]의 개수는 [eqn: 0,~1,~2,~3]이므로 [eqn: 4]개다.

곡선 [eqn: y = 3 x ` |`x`|]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x = -1 ,] [eqn: x = a]로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: 28]일 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 3]

곡선 [eqn: y = 3x `|`x`|= cases{ 3x^2 ~~&(x geq 0) # - 3x^2 ~~&(x < 0)}]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x = -1 ,] [eqn: x = a]로 둘러싸인 도형의 넓이는

[eqn: - int_-1^0 ( -3x^2 ) `dx + int_0^a 3x^2 ` dx]

[eqn: = int_-1^0 3x^2 ` dx + int_0^a 3x^2 ` dx]

[eqn: = left[` pile{it # it } x^3 ` right]_-1^0 + left[` pile{it # it } x^3 ` right]_0^a]

[eqn: = a^3 +1]

따라서 [eqn: a^3 +1 = 28]이므로 [eqn: a^3 = 27]

[eqn: therefore~ a = 3]

연속함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x,~y]에 대하여

[eqn: bold{0]

[eqn: f LEFT ( x+y RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( y RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: x=0,~y=0]을 ㉠에 대입하면

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 0 RIGHT ) +f LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: THEREFORE ~f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]

또 ㉠에 [eqn: y]대신 [eqn: -x]를 대입하면

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( -x RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ~f LEFT ( -x RIGHT ) = it -f LEFT ( x RIGHT )]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 기함수이므로

[eqn: int _{-2} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{-1} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}]

[eqn: = int _{-2} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}]

[eqn: = int _{-2} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{-1} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}]

[eqn: =0+0=0]

[eqn: f LEFT ( x+y RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( y RIGHT )]

를 만족시킬 때, [eqn: int _{-2} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{-1} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값을 구하시오.

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rmB]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가 각각

[eqn: bold1]번

점 [eqn: rmM]의 시각 [eqn: t]에서의 위치를 [eqn: m(t)]라 하면

[eqn: m(t)= {1} over {2} LEFT { f(t)+g(t) RIGHT } =t ^{2} -4t+3]

점 [eqn: rmM]의 속도를 [eqn: v]라 하면 [eqn: v=m'(t)=2t-4]

운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 [eqn: 0]이므로 [eqn: v=0]에서 [eqn: t=2]

따라서 점 [eqn: rmM]은 [eqn: t=2]에서 운동 방향을 [eqn: 1]번 바꾼다.

[eqn: f(t)=t ^{3} -2t+2], [eqn: g(t)=-t ^{3} +2t ^{2} -6t+4]

일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 중점 [eqn: rmM]이 운동 방향을 몇 번 바꾸는지 구하시오.

자연수 [eqn: n]에 대하여 방정식 [eqn: LEFT | 2x ^{3} -6x-1 RIGHT | = n]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: a_1 + a_2 + a_3 + `cdots`+ a_10]의 값을 구하시오.

[eqn: 34]

[eqn: f(x) = 2x^3 -6x -1]이라 하면

[eqn: f prime (x)=6x ^{2} -6=6(x+1)(x-1)]이므로

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극댓값 [eqn: f(-1) = 3],

[eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: f(1) = -5]를 갖는다.

이때, 함수 [eqn: y = left| f(x) right|]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: a_1 = a_2 = 6], [eqn: a_3 = 5], [eqn: a_4 = 4], [eqn: a_5 =3], [eqn: a_6 = a_7 = a_8 = a_9 = a_10 = 2]

[eqn: therefore] [eqn: a_1 + a_2 + a_3 + `cdots`+ a_10 = 6times2 + 5+4+3+2times5 = 34]