프랙탈 구조의 신비

청원고등학교 생명수 동아리

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내용상 중요한 부분은 진하게

테트레이션 연산은 덧셈, 곱셈, 지수에 비해 크기가 크고, 다루기 어렵다.

1. 목적  (함초롱바탕, 12, 진하게)

테트레이션 연산의 이해

2. (내용 개론)  (함초롱바탕, 12, 진하게)

테트레이션 그래프를 관찰하며 프랙탈을 이해한다.

테트레이션 연산의 계산 과정에서 지수함수와 오일러 등식을 이해한다.

3. 나만의 프랙탈 만들기 (함초롱바탕, 12, 진하게)

가. 준비물

스티커 프린터, 라벨지, 노트북 4대, 상품용 간식

나. 활동방법(개인별 활동시간 : 약 10분) (함초롱바탕, 11, 진하게)

필요한 개념 : 테트레이션, 복소수, 복소평면, 정의역

1)파워 타워 함수의 정의역을 복소평면에 나타낸 그래프를 관찰한다.

2)모양의 반복에서 프랙탈을 이해한다. 그래프를 이동, 확대하며 예쁜 모양을 찾아 저장한다.

3) 스티커 프린터로 뽑아 가져간다.

4. 활동에서 수학 찾기 (함초롱바탕, 12, 진하게)

테트레이션 연산은 [eqn: {}^{n} x][eqn: =][eqn: f(x,n)=g _{n-1} (x)]로 정의된다([eqn: g(x)=x ^{x}], [eqn: g _{n} (x)]는 [eqn: g(x)]를 n번 합성한 함수). 실수에서 테트레이션 연산의 발산과 수렴은 지수함수와 [eqn: y=x]를 활용해 합성함수를 표현해 수렴값과 수렴하는 수의 범위를 직관적으로 계산할 수 있다. 복소수 범위에서 테트레이션 연산은 오일러 공식을 통해 계산할 수 있다. 2층까지  계산은 다음과 같다. [eqn: e ^{i {2} over {pi}}=i], [eqn: LEFT (e ^{i {2} over {pi }}RIGHT ) ^{i} =e ^{-{2} over {pi }}=i^i]

복소 평면에서 수렴과 발산의 값을 계산하면 테트레이션 함수의 그래프가 프랙탈의 형태로 나타난다.

5. 자료출처 (함초롱바탕, 12, 진하게)

https://dmtpark.tistory.com/21

https://thatsmaths.com/2016/04/14/the-power-tower-fractal/

		제14회 충북수학축제
주 제	프랙탈 구조의 신비		수 준	초, 중, 고 학습지
( )학교 ( )학년 ( )반 ( )번 이름 : ( )

테트레이션 연산

테트레이션은 [eqn: {}^{n} x=f(n,x)=g _{n-1} (x)]로 정의된다. ([eqn: g(x)=x ^{x}], [eqn: g _{n} (x)]는 [eqn: g(x)]를 n번 합성한 함수) ex) [eqn: {}^{3} x=x ^{x ^{x}}]

(1)[eqn: {}^{2} 3]을 계산해보자.

(2)[eqn: {}^{3} 3]을 계산해보자.

지수함수를 통한 이해

실수에서 테트레이션의 극한값을을 계산해보자.

(1) [eqn: lim _{n rarrow INF } {{}^{n} 1}]을 계산해보자.

(2) [eqn: lim _{n rarrow INF } {{}^{n} a}]를 [eqn: y=a ^{x}]와 [eqn: y=x]를 이용해 계산해보자.

(3)[eqn: h(x)= lim _{n rarrow INF } {{}^{n} x}]로 정의할 때, [eqn: h(x)]의 정의역을 구해보자.

오일러 등식을 통한 이해

오일러 등식은 다음과 같다. [eqn: e ^{i theta } =cos{theta}+i sin{theta]

(1) [eqn: e^{i{2overpi}]의 값을 계산해보자.

(2)[eqn: e^{i{2overpi}]의 값을 활용하여 [eqn: i^i]의 값을 계산해보자.

(3)[eqn: i^i^i]를 계산해보고 경향성을 파악해보자.