도블 속 숨은 수학 원리 찾기

청원고등학교 생명수 동아리

1. 목적

가. 남녀노소 누구나 즐길 수 있는 보드게임인 도블, 이곳에도 흥미로운 수학적 원리가 숨겨져 있었다. 요즘은 아이, 어른 할 것 없이 수학을 어렵게만 생각한다. 그러나 수학은 우리 생활속에 너무나도 익숙하게 숨겨져 있다. 이번 활동을 통해 사람들이 수학은 우리 생활에서 어디든지 쓰이고 있는 어렵기만 하지 않은 것이라는 걸, 오히려 이렇게 도블처럼 우리에게 재미를 주기도 한다는 것을 알리고 싶다.

2. 내용

1) 사영평면이란?

사영 평면(projective plane)은 3차원 공간에서 원점을 지나는 모든 직선들의 모임이다.

2) 사영 평면의 조건

-임의의 두 점을 지나는 유일한 직선이 존재한다

-임의의 두 선이 만나는 유일한 교점이 존재한다

3) n차 유한 사영 평면의 특징

-모든 직선이 n+1개의 점과 인접하는 n이 존재한다

-모든 점이 n+1개의 직선과 인접한다

-점의 개수=직선의 개수= [eqn: n ^{2`} +n+1]

(n이 소수의 거듭제곱이면 n차 사영 평면은 반드시 존재한다.

3. 도블 속 숨은 수학 원리 찾기

가. 준비물

없음

나. 활동방법(개인별 활동시간 : 약 10분 ~ 20분) (함초롱바탕, 11, 진하게)

①도블 보드게임에서 카드를 한 장씩 가져간 뒤 남은 카드를      모아 뒤집어 놓는다

②카드 더미의 맨 위 카드를 뒤집어 자신의 카드와 같은 그림     을 찾는다.

③같은 그림을 먼저 찾는 사람이 그 카드를 가져간다.

④이와 같은 방식으로 반복하여 카드를 많이 가진 사람이 승리     한다.

⑤도블 게임을 끝낸 후 도블에 숨겨진 수학을 찾아보자!

4. 활동에서 수학 찾기

사영 평면 살펴보기

사영평면의 두 개의 조건을 만족하는 점, 선의 개수를 유한하게 놓으면 n차 유한 사영 평면의 특징을 만족한다.

점의 개수=직선의 개수[eqn: =n ^{2} +n+1] 이므로

점은 총 7개, [eqn: 2^2 +2+1=7]이다. 따라서 이것은 2차 유한 사영평면이다.

점은 총 13개, [eqn: 3^3 +3+1=13]이므로 이것은 3차 유한 사영평면이다.

도블에 대입해보기

도블은 한 장(카드 하나=선분 하나)당 8개의 그림(그림=점)을 포함하고 있다. 따라서 한 선분이 n+1개의 점을 지난다는 성질에 따라 도블은 7차 유한 사영 평면이다. 따라서 이 사영평면의 총 점의 개수는 [eqn: 7^2 +7+1=57]개다. 실제로 이 도블의 그림의 개수는 57개이다.

위 평면들 모두 어떤 두 개의 직선을 선택하든 반드시 하나의 교점을 포함하고 있다. 이것을 도블에 대입해보면 어떤 카드를 고르든 겹치는 그림이 한 개 나온다는 성질이 된다. 따라서 도블은 한 장의 카드에 8개의 그림이 있는 7차 유한 사영평면이다.

그러나 도블의 총 카드 수는 55장이다. 그 이유는 아직 밝혀지지 않았지만 우리의 추측으로는 57은 소인수분해 하면 [eqn: 3 times 19]이여서 3명이서 게임을 하면 동점이 나올 수 있지만, 56을 소인수분해하면 [eqn: 2^3 times 7]이여서 약수가 1,2,4,7,8 이므로 2명, 4명이서 게임할 때 동점이 나올 확률이 높다. 그러나 55는 소인수분해 하면 [eqn: 5 times 11]이므로 5명이서 게임을 해야 동점이 나온다. 확률적으로 3명이서 게임을 할 때보다 5명이서 게임을 하는 경우의 수가 더 적으므로 55장을 선택한 듯 보이다. 물론 제작비도 절감 할 수 있고 말이다.

5. 자료출처

가. 게임 소개 출처

https://asanredbox.tistory.com/20

나. 사영 평면 소개 출처

https://www.youtube.com/watch?v=af2d21GFXRg&t=274s

https://m.blog.naver.com/limchung90/221734243072

		제14회 충북수학축제
주 제	도블 속 숨은 수학 원리 찾기		수 준	초, 중, 고 학습지
( )학교 ( )학년 ( )반 ( )번 이름 : ( )

1.보드게임, 도블

-도블은 어떠한 두 카드를 펼쳐도 단 (   )개의 그림만이 겹치는 특징이 있습니다.

-도블의 카드 한 장에는 (   )개의 서로다른 그림이 있고 총 (   )장의 카드가 있습니다.

-도블의 게임방법

①도블 보드게임에서 카드를 한 장씩 가져간 뒤 남은 카드를 모아 뒤집어 놓는다

②카드 더미의 맨 위 카드를 뒤집어 자신의 카드와 같은 그림을 찾는다.

③같은 그림을 먼저 찾는 사람이 그 카드를 가져간다.

④이와 같은 방식으로 반복하여 카드를 많이 가진 사람이 승리한다.

2. 사영평면이란?

사영 평면(projective plane)은 3차원 공간에서 원점을 지나는 모든 직선들의 모임이다.

3. 사영 평면의 조건(초)

-임의의 두 점을 지나는 유일한 직선이 존재한다

-임의의 두 선이 만나는 유일한 교점이 존재한다

4. n차 유한 사영 평면의 특징(중)

-모든 직선이 n+1개의 점과 인접하는 n이 존재한다

-모든 점이 n+1개의 직선과 인접한다

-점의 개수=직선의 개수= [eqn: n ^{2`} +n+1]

(n이 소수의 거듭제곱이면 n차 사영 평면은 반드시 존재한다.

5. 사영 평면 살펴보기(중)

사영평면의 두 개의 조건을 만족하는 점, 선의 개수를 유한하게 놓으면 n차 유한 사영 평면의 특징을 만족한다.

점의 개수=직선의 개수[eqn: =n ^{2} +n+1]

5. 도블에 대입 해보기(중)