◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 써 넣으시오.

◦ 답안지에 성명과 수험 번호를 써 넣고, 또 수험번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2008학년도 10월 고1 학업성취도평가 문제지

수리 영역

성명			수험번호						1

제 2 교시

고 1	수리 영역

	수리 영역	고 1

8

8

1. 전체집합 [eqn: U``]의 공집합이 아닌 두 진부분집합 [eqn: A`,``B``]에 대하여 [eqn: B SUBSET A`]를 만족할 때, [eqn: A CUP B` ^{``C} ``]와 같은 집합은? [[eqn: 2`]점]

① [eqn: A]       ② [eqn: B]       ③ [eqn: A ^{C}]       ④ [eqn: B ^{``C}]       ⑤ [eqn: U]

2. 이차방정식 [eqn: x ^{2} +(m+3)x+3m=0] 이 중근을 갖도록 하는 상수 [eqn: m]의 값은? [[eqn: 2`]점]

① [eqn: -3]       ② [eqn: -1]       ③ [eqn: 0]       ④ [eqn: 1]       ⑤ [eqn: 3]

3. 유리식 [eqn: LEFT ( 1- {1} over {x} RIGHT ) ` TIMES {2x} over {1-x} `]를 간단히 하면? [[eqn: 2`]점]

① [eqn: -2]       ② [eqn: -1]       ③ [eqn: x]       ④ [eqn: { 1} over {x }]       ⑤ [eqn: { 1} over {x^2 }]

4. 복소수 [eqn: {1+i} over {2}]의 곱셈에 대한 역원을 [eqn: z`]라 할 때, [eqn: {bar{ z`}} over {z} `]의 값은?
[eqn: (`]단, [eqn: bar{z} `]는 [eqn: z`]의 켤레복소수, [eqn: i= sqrt {-1}] [eqn: )`] [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 1]         ② [eqn: -1]       ③ [eqn: 0]        ④ [eqn: -i]        ⑤ [eqn: i]

5. 실수 [eqn: a``,``b``,``c``]에 대하여 조건 [eqn: p``]가 조건 [eqn: q``]이기 위한 필요충분조건인 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 3`]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: p:] [eqn: a>0] 이고 [eqn: b>0] [eqn: q:] [eqn: a+b>0] 이고 [eqn: ab>0] ㄴ. [eqn: p:] [eqn: |`ab`|+|`bc`|=0] [eqn: q:] [eqn: a=c=0] ㄷ. [eqn: p:] [eqn: ab<0`] [eqn: q:] [eqn: sqrt {a ^{2} +2ab+b ^{2}} `< sqrt {a ^{2} -2ab+b ^{2}} `]

① ㄱ                ② ㄴ                 ③ ㄱ , ㄷ

④ ㄴ , ㄷ           ⑤ ㄱ , ㄴ , ㄷ

6. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 두 이차다항식 [eqn: A`,````B``]의
최소공배수는 [eqn: x ^{3} +2x ^{2} -x-2`]이고 최대공약수가 [eqn: G``]일 때,
[eqn: {G} over {A} + {G} over {B} = {2x} over {x ^{2} -1} `]가 성립한다. 이 때, [eqn: A+B``]는? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 2x ^{2} +x-3]        ② [eqn: 2x ^{2} +x]             ③ [eqn: 2x ^{2} +3x+1]

④ [eqn: 2x ^{2} +4x]          ⑤ [eqn: 2x ^{2} +4x+3]

7. [그림[eqn: 1]]의 연산장치는 다항식 [eqn: f(x)]가 입력되면 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1`]로 나눈 몫 [eqn: Q(x)``]와 나머지 [eqn: R``]이 나오는 연산장치이다.

예를 들어 다항식 [eqn: f(x)=x^2 +x+3] 을 [그림[eqn: 1]]의 연산장치에 입력하면 [그림[eqn: 2]]와 같다.

다항식 [eqn: x ^{3} +x ^{2} -3x-2`]를 [그림[eqn: 1]]의 연산장치에 입력하여 나온 몫을 다시 [그림[eqn: 1]]의 연산장치에 입력할 때 나오는 나머지는? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 4]        ② [eqn: 2]         ③ [eqn: 0]        ④ [eqn: -2]        ⑤ [eqn: -4]

8. 실수가 아닌 복소수 [eqn: z`] 에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [eqn: (`]단, [eqn: bar{z} `]는 [eqn: z`]의 켤레복소수[eqn: )`] [[eqn: 3]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: z- bar{z} `]는 순허수이다. ㄴ. [eqn: z` alpha `]를 실수가 되게 하는 복소수 [eqn: alpha `]의 개수는 한 개이다. ㄷ. [eqn: z+ {1} over {z} `]이 실수일 때, [eqn: z` bar{z} =1`]이다.

① ㄱ               ② ㄴ                ③ ㄱ , ㄷ

④ ㄴ , ㄷ          ⑤ ㄱ , ㄴ , ㄷ

9. 세 정사각형 [eqn: S _{1} ``,```S _{2} ``,```S _{3} ``]을 그림과 같이 겹치지 않게 빈틈없이 붙여 놓았다. [eqn: S _{1} `]의 넓이가 [eqn: 6-4 sqrt {2} `]이고, [eqn: S _{2} ``]의 넓이가 [eqn: 3+2 sqrt {2} `]일 때, [eqn: S _{3} `]의 넓이는? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 8]         ② [eqn: 9]         ③ [eqn: 10]         ④ [eqn: 11]         ⑤ [eqn: 12]

10. 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: rm O prime `]위의 점 [eqn: rm K`]에서 외접하는 원 [eqn: rm O`]의 반지름의 길이는 [eqn: 3]이고, 두 원의 공통외접선의 교점은 [eqn: rm P`]이다. 원 [eqn: rm O prime `]가 원 [eqn: rm O`]의 원주 위를 미끄러지지 않고 한 바퀴 굴러 점 [eqn: rm K`]가 처음으로 원 [eqn: rm O`]의 원주 위에 다시 놓일 때, 두 원의 공통 외접선의 교점 [eqn: rm P`]가 그리는 도형의 길이는? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 2 pi]        ② [eqn: 4 pi]        ③ [eqn: 6 pi]        ④ [eqn: 8 pi]        ⑤ [eqn: 10 pi]

11. 부등식 [eqn: (a ^{2} +b ^{2} )x+1>4x+a``]가 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 항상 성립하도록 실수 [eqn: a``,``b`]를 정할 때, 점 [eqn: (a``,``b)`]가 그리는 도형의 길이는? [[eqn: 3]점]

① [eqn: {4} over {3} pi]      ② [eqn: {5} over {3} pi]      ③ [eqn: 2 pi]      ④ [eqn: {7} over {3} pi]      ⑤ [eqn: {8} over {3} pi]

12. 다음은 어느 학급 학생 [eqn: 20`]명의 봉사활동시간을 나타낸 도수분포표이다. 그런데 일부가 지워져 보이지 않는다. 봉사활동시간의 평균이 [eqn: 6`]시간일 때, 봉사활동시간의 계급값이 [eqn: 9`]시간인 학생은 모두 몇 명인가? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 2]          ② [eqn: 3]          ③ [eqn: 4]          ④ [eqn: 5]          ⑤ [eqn: 6]

13. 두 직선  [eqn: l````:`x+y-2=0`,`````m``:`k`x-y+k+1=0``]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4]점]

		<보 기>
	ㄱ. 직선 [eqn: m`]은 점 [eqn: (-1``,``1)`]을 지난다. ㄴ. [eqn: k=1`]일 때, 두 직선 [eqn: l] 과 [eqn: m`]은 수직으로 만난다. ㄷ. 두 직선 [eqn: l``]과 [eqn: m``]이 제 [eqn: 1`]사분면에서 만나도록 하는 정수 [eqn: k``]의 개수는 [eqn: 2]개이다.

① ㄱ               ② ㄷ                 ③ ㄱ , ㄴ

④ ㄴ , ㄷ          ⑤ ㄱ , ㄴ , ㄷ

14. 그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} ``=`4``,```` bar{AC} ``=`5`]인 삼각형 [eqn: rm ABC`] 에서 [eqn: rm ANGLE A`] 의 이등분선이 변 [eqn: rm BC`]와 만나는 점을 [eqn: rm D`]라 하자. [eqn: rm bar{AD} ``=` bar{CD} `] 일 때, 변 [eqn: rm {BC} `]의 길이는? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 6]        ② [eqn: {19} over {3}]        ③ [eqn: 7]        ④ [eqn: {22} over {3}]        ⑤ [eqn: 8]

15. [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: x ^{3} +3x+1=0`]의 한 허근 [eqn: omega `]에 대하여 다항식 [eqn: f(x)`= {1} over {3} x ^{2} +ax+b```]가 [eqn: LEFT ( `` omega ^{2} ``-` omega ``+`1` RIGHT ) ``f`(` omega )```=`1`]을 만족할 때, 상수 [eqn: b``]의 값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: {1} over {6}]        ② [eqn: {1} over {3}]        ③ [eqn: {1} over {2} `]        ④ [eqn: {2} over {3}]        ⑤ [eqn: {5} over {6}]

16. 그림과 같이 가로의 길이가 [eqn: 6``], 세로의 길이가 [eqn: 3`]인 직사각형 [eqn: rm ABCD`]에 대하여 [eqn: bar{rm AB it}], [eqn: bar{rm BC it}], [eqn: bar{rm CD it}], [eqn: bar{rm DA it} `]를 각각 [eqn: m`:`n`]으로 내분한 점을 [eqn: rm P`,~Q`,~R`,~S`]라 하자. 평행사변형 [eqn: rm P`Q`R`S`] 의  넓이를 [eqn: rm H it LEFT ( m``,``n RIGHT ) `]이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: m,````n`]은 양의 정수) [[eqn: 4]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: rm H it LEFT ( 2``,``1 RIGHT ) `=8] ㄴ. [eqn: rm H it LEFT ( m``,``n RIGHT ) `= rm H it LEFT ( n``,``m RIGHT )] ㄷ. [eqn: rm H it LEFT ( m``,``n RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: 9`]이다.

① ㄱ               ② ㄴ                 ③ ㄱ , ㄷ

④ ㄴ , ㄷ          ⑤ ㄱ , ㄴ , ㄷ

17. 이차방정식 [eqn: x ^{2} -x+p=0`]의 두 근이 [eqn: x=alpha ```,```` x=beta ``]이고 이차방정식 [eqn: x ^{2} -qx-1=0`]의 두 근이 [eqn: x={ alpha + 1 over beta } `,``` x={ beta + 1 over alpha} `]일 때,  [eqn: p+q``]의 값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: -2`]        ② [eqn: -1`]       ③ [eqn: 0`]        ④ [eqn: 1`]        ⑤ [eqn: 2`]

18. 다음은 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 외심을 [eqn: rm F`], 무게중심을 [eqn: rm G`], 수심을 [eqn: rm H`]라 할 때, 선분 [eqn: rm FH`]를 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점이 무게중심 [eqn: rm G`]와 일치함을 증명하는 과정이다.

<증명>

그림과 같이 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 꼭짓점을

[eqn: rm A it (a``,``b),```` rm B it (-c``,``0),```` rm C it (c``,``0)````(c>0)`]라 하자.

ⅰ) 외심 [eqn: rm F`]의 좌표
직선 [eqn: rm AC`]의 기울기를 [eqn: m`]이라 하면, [eqn: m=`]

(가)

변 [eqn: rm AC`]의 수직이등분선은
[eqn: y= {c-a} over {b} x``+`]

(나)

---------------------- ①
변 [eqn: rm BC`]의 수직이등분선은 [eqn: x=0]  ------------- ②
①과 ②의 교점이 외심 [eqn: rm F`]의 좌표이므로
[eqn: THEREFORE][eqn: rm F it (``0``,`````]

(나)

[eqn: )]

ⅱ) 수심 [eqn: rm H`]의 좌표
꼭짓점 [eqn: rm B`]에서 변 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 방정식은
[eqn: y= c-a over b (x+c)]  -------------------------- ③
꼭짓점 [eqn: rm A`]에서 변 [eqn: rm BC`]에 내린 수선의 방정식은

(다)

------------------------------------ ④
③과 ④의 교점이 수심 [eqn: rm H`]의 좌표이므로
[eqn: THEREFORE][eqn: rm H it LEFT ( ``a```,```` {c ^{2} -a ^{2}} over {b} RIGHT )]

선분 [eqn: rm FH`]를 [eqn: 1:2] 로 내분하는 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( {a} over {3} `,````` {b} over {3} RIGHT )] 이므로

무게중심 [eqn: rm G`]와 일치한다.

위 증명과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [[eqn: 4]점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: a-c over b]	[eqn: {a ^{2} +b ^{2} -c ^{2}} over {2b}]	[eqn: x=a]
②	[eqn: {a-c} over {b}]	[eqn: {a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}} over {2b}]	[eqn: x=a]
③	[eqn: b over a-c]	[eqn: {a ^{2} +b ^{2} -c ^{2}} over {2b}]	[eqn: x=a]
④	[eqn: b over a-c]	[eqn: {a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}} over {2b}]	[eqn: y=b]
⑤	[eqn: b over a-c]	[eqn: {a ^{2} +b ^{2} -c ^{2}} over {2b}]	[eqn: y=b]

19. 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형 모양의 종이 [eqn: rm `A`B`C`D`]가 있다. [eqn: rm ANGLE ECD=30 DEG]인 변 [eqn: rm AD`] 위의 점 [eqn: rm E`]에 대하여 선분 [eqn: rm `CE`]를 기준으로 그림과 같이 아래 부분의 종이를 접었을 때, 점 [eqn: rm `D` prime `]과 선분 [eqn: rm `AC`]사이의 거리는? [[eqn: 3]점]

① [eqn: {sqrt {6} + sqrt {2}} over {4} `]	② [eqn: {sqrt {6} - sqrt {2}} over {2} `]	③ [eqn: {sqrt {3} +1} over 4]

④ [eqn: {sqrt {3} -1} over {2} `]	⑤ [eqn: sqrt {2} over 2]

20. 직선 [eqn: ax-y=0`]이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -6x-4y+9=0`]과 서로 다른 두 점 [eqn: rm P`,``Q`]에서 만날 때, [eqn: rm bar{OP} cdot bar{OQ} `]의 값은? [eqn: (]단, [eqn: rm O`]는 원점[eqn: )`]

[[eqn: 3]점]

① [eqn: 9]      ② [eqn: 3sqrt { 10}]      ③ [eqn: 10]      ④ [eqn: 6sqrt { 3}]      ⑤ [eqn: 11]

21. 다음 두 조건을 만족하는 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 개수는? [[eqn: 4]점]

	(가) [eqn: 10`]이하의 자연수 [eqn: a`,``b`]에 대하여 점 [eqn: rm `A` it (`a``,``b`)`]와 두 점 [eqn: rm `B(-1``,``1)`], [eqn: rm `C`(2```,``-2)`]를 연결하여 삼각형을 만든다. (나) [eqn: y`]축이 선분 [eqn: rm `AB`]를 [eqn: m`:`n`]으로 내분하고, [eqn: x`]축이 선분 [eqn: rm `AC`]를 [eqn: m`:`n`]으로 내분한다. (단, [eqn: m,````n`]은 양의 정수)

① [eqn: 4]        ② [eqn: 5]        ③ [eqn: 6]        ④ [eqn: 7]        ⑤ [eqn: 8]

단답형(22～30)

22. 두 집합 [eqn: A= LEFT { x`RIGHT |`x ^{3`} -7x ^{2} +14x-8=0` RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 4``,``6``,``10 RIGHT } `]에 대하여 집합 [eqn: (A-B) CUP (B-A)`]의 모든 원소의 합을 구하시오.

[[eqn: 3]점]

23. [eqn: x+ {1} over {x} =4`]일 때, [eqn: {x ^{4} +x ^{2} +1} over {x ^{2}} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

24. 부등식 [eqn: LEFT ( x-10 RIGHT )` LEFT | ``x-a`` RIGHT | ` <= 0`]을 만족하는 자연수 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 11`]개일 때, 상수 [eqn: a`]의 최솟값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

25. 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm `A(1``,``6)`], [eqn: rm `B(5``,``-6)`], [eqn: rm `C it (0``,``p`)`]를 연결하여 둘레의 길이가 최소가 되는 삼각형을 만들 때, 이 삼각형의 넓이를 구하시오. [[eqn: 4]점]

26. [eqn: rm ANGLE B = 90 DEG`]인 직각이등변삼각형 [eqn: rm ABC`]의 빗변의 길이를 [eqn: 2`]만큼 늘여 그림과 같이 [eqn: rm ANGLE B prime = 90 DEG`]인 직각이등변삼각형 [eqn: rm AB prime C`']를 만들었다. 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 외접원의 넓이와 삼각형 [eqn: rm AB prime C`']의 외접원의 넓이의 합이 [eqn: 85` pi `]일 때, 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이를 구하시오. [[eqn: 3]점]

27. [eqn: bar{rm AB it} =6`], [eqn: bar{rm AD it} =4`]인 직사각형 [eqn: rm ABCD`]가 있다. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 3`]이고 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]가 중심인 두 사분원과 변 [eqn: {rm CD it} `]의 중점 [eqn: rm M`]이 중심인 반원이 점 [eqn: rm Q``], [eqn: rm R`]에서 동시에 접한다. [eqn: bar{rm AB it} `]의 중점을 [eqn: rm P`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm PQR`]의 넓이는 [eqn: {b} over {a} `]이다. [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [eqn: (`]단, [eqn: a`,``b`]는 서로소인 자연수[eqn: )`] [[eqn: 4]점]

28. 대한민국의 시각이 오전 정각 [eqn: 5`]시일 때, 독일은 오후 정각 [eqn: 10`]시이다. [eqn: t `]분 후 대한민국과 독일 두 시계의 시침과 분침이 이루는 각의 크기가 처음으로 같아졌을 때, [eqn: 11`t`]의 값을 구하시오.

[[eqn: 4]점]

29. 그림과 같이 직선 [eqn: l```:``x+`y-10``=0`] 과 [eqn: y] 축에 동시에 접하는 반지름의 길이가 [eqn: 2`]인 원 [eqn: rm C]가 있다. 이 원 [eqn: rm C]를 [eqn: x`]축 방향으로 [eqn: a`], [eqn: y`]축 방향으로 [eqn: -b`]만큼 평행이동하였더니 그림과 같이 직선 [eqn: l] 과 [eqn: x`]축에 동시에 접하는 원 [eqn: rm C prime]이 되었다. [eqn: ab`]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

30. [그림[eqn: 1]]의 블록은 가로의 길이, 세로의 길이, 높이가 각각 [eqn: 2``,``3``,``5`]인 직육면체이다. 이 블록은 빨간색 면, 파란색 면, 노란색 면이 각 [eqn: 2]개씩이고 마주보는 면의 색은 서로 같다.

이 블록을 가장 적게 사용하여 윗면이 같은 색인 정사각형이 되도록 직육면체를 세 개 만든 후, 세 단으로 쌓아 [그림[eqn: 2]]와 같은 입체도형을 만들었다. 이 입체도형을 위에서 바라본 모양과 면의 색이 [그림[eqn: 3]]과 같을 때, 이 입체도형의 겉넓이 중 노란색 부분의 넓이를 구하시오. (단, 사용된 모든 블록은 같은 블록이다.) [[eqn: 4]점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.