1. 태양까지 종이 접기

생활속의 수학

강북고등학교

신문지를 반으로 접고, 그것을 다시 반듯하게 반으로 접는다. 그리고 또 다시 반으로......, 이렇게 50번을 접을 때(만약 가능하다면), 신문지 한 장의 두께를 0.1mm라고 가정하면 그 두께는 어느 정도나 될까?

대개의 사람들은 종이가 50번 접혀진 두께라 생각하고 0.1(mm)□50=5(mm)라고 대답하거나, 또는 어떤 사람은 그보다는 훨씬 두껍겠지만 고작해야 몇km 정도라고 대답하기가 쉽다. 실제는 2의 50제곱장의 신문 두께이다. 따라서, 50번 접혀진 신문의 두께는 (실제 종이는 0.1(mm)보다 얇겠지만...)

0.1(mm)[eqn: bold{times 2^50}]=약 112,590,000,000,000(mm)=112,590,000(km)  이다.

우리는 2배, 3배, 4배,..., 50배라면 쉽게 그 크기가 상상이 되지만 2배, 4배, 8배,....의 이런 식으로 50번을 거듭 곱한 결과와 같은 비현실적인 상황에서는 아무래도 생각이 미치지 못한다. 실제로 112,590,000 km 는 지구에서 태양까지 거리의 2/3 이상에 해당한다. 답을 알고 나도 워낙 엄청난 숫자에 놀라지 않을 수 없다.

이 때, 마지막 50번 종이가 [eqn: bold{1rmcm^2}]인 정사각형이 되려면 처음 정사각형의 한 변의 길이는 약 335.5 km 가 되어야 한다는 계산이 나온다.

또한, 접어서는 불가능하고, 이론상 자른 다음 포개어 놓고 또 자르는 방법으로 하여야 할 것이다.

2. 3000년 1월 1일은 무슨 요일?

연월일만으로 요일을 계산하는 제라의 공식이 있다.

서기 a백 b년 c월 d일의 요일을 알아보자.(단, 1월과 2월은 전년의 13월과 14월로 생각한다.)

1. 먼저, w=[21a/4]+[5b/4]+[26(c+1)/10]+d-1 을 계산한다. (여기서 [x]는 가우스의 기호로써 x 이하의 정수 가운데 최대인 정수를 말한다.)

2. 다음에 w를 7로 나눈 나머지를 구하고, 그 나머지가 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6에 따라서 요일을 일, 월, 화, 수, 목, 금, 토로 한다.

제라의 공식은 1887년 제라가 처음 만들었다. 이전에 가우스도 요일의 계산 공식을 만들었으나 하나의 공식으로써 표현한 것은 아니고, 표를 이용하는 것이었다.

현재의 서기는 1582년 10월 15일 이후 사용되고 있는 그레고리력으로써 이 공식도 그 이후에만 적용된다. 그레고리력에 의하면 '서기 연수가 4로 나누어 떨어지는 해를 윤년으로 하고, 100으로 나누어 떨어지나 400으로는 나누어 떨어지지 않는 해는 윤년으로 하지 않는다.'로 되어 있다.

그러면 3000년 1월 1일은 무슨 요일일까?

제라의 공식을 이용하려면 3000년 1월 1일은 2999년 13월 1일로 생각해야 한다.

a=29, b=99, c=13, d=1 이므로

w=[21x29 / 4]+[5x99 / 4]+[26(13+1) / 10]+1-1

=[609/4]+[495/4]+[364/10]

=[152.25]+[123.75]+[36.4]

=152+123+36

=311

따라서, 311을 7로 나누면 나머지가 3 이므로 수요일이다.

3. 복권(福券)

어떤 복권에서 매상의 45%를 상금으로 내고 있다. 87,300프랑이 상금으로

나와 있다면, 한 장에 5프랑씩 하는 복권이 몇 장이나 팔린 것일까?

정답) 5프랑짜리 복권이 [eqn: x]장 팔렸다고 하자.

[eqn: &bold{5x times 45over100 =87300}## &bold{5x= {87300 times 100} over 45 = 194000, ~ x= 38800}]

따라서, 1장에 5프랑짜리 복권이 38300장이 팔린 것이다.

4. 삼각형의 넓이

삼각형의 넓이를 구하는 공식은 누구나 알고 있을 것이다. 이 공식을 종이를 접어서 확인하여 보자.

밑변의 길이가 b, 높이가 h인 삼각형을 「삼각형의 내각의 합」과 같은 방법으로 접어 직사각형의 넓이가 [eqn: bold{ { 1} over {2 }b TIMES { 1} over {2 } h= { 1} over {4} bh`}]가 된다.

5. 정원파티의 입장료

정원협회의 회장이 어느 정원파티의 입장료에 관하여 생각하고 있다.

입장은 협회 멤버 150명과 약 100명의 손님이 예상된다. 비용은 대략 420마르크

예상되고 있다. 이 비용은 모두 입장료로 충당하기로 정해져 있다. 그러나 입장료의 수입은 가능하면 420마르크보다 조금 많게 하고 싶다. ( 500마르크 이상이 되어선 안 된다. ) 손님은 협회 멤버보다 비싼 입장료를 지불하게 되지만 두 배를 넘지 못한다. 입장료의 가격을 정하는 데 어떻게 하면 좋을까?

정답) 멤버 : 1.5 마르크,  손님 : 2 마르크,    수입 : 425마르크

6. 운전기사의 강의

Einstein의 전속기사가 운전하는 차를 타고 다니면서 자기의 상대성 이론을 강의하며, 여러 대학에 다녔던 이야기가 있다. 어느 날 그들이 대학에 가는 도중에 운전기사는 말했다.

「박사님! 저는 박사님께서 강의하시는 내용을 약 30번은 들었습니다. 저는 그것을 다 외우고 있어 저도 강의할 수 있다고 자신합니다.」하고 말하니 □그럼 자네에게 강의할 기회를 주겠네, 다음 학교에서는 나를 몰라볼 거야 그래서 우리가 그곳에 도착하면 내가 자네 모자를 쓰겠네.   그리고 자네는 자네 자신을 나라고 소개하고 강의를 하게나□하고 Einstein은 말했다.

운전사는 Einstein의 강의를 완벽하게 해 냈다. 강의를 마치고 떠나려고 하는데, 교수 한 분이 차를 멈추게 하고 수학방정식이 가득 차 있는 복잡한 질문을 했다. 그 운전기사는 재빠르게 생각했다.

「그 질문에 대한 해결은 매우 간단합니다. 교수님께서 나에게 질문을 하시다니 매우 놀랬습니다. 사실 그것이 매우 간단하다는 것을 보여드리기 위하여 내 운전사를 이리로 오게 해서 당신의 질문에 답하도록 말하겠다.」라고 그 일화는 잘 알려진 이야기이다.

7. 환전

1마르크를 환전하는 데에 충분한 1페니, 5페니, 10페니, 20페니, 50페니의 동전이 있다면 어떤 식의 방법으로 환전이 가능할까? 그 방법은 몇가지나 될까?

정답) 343가지

8. 바스카라 1세(6세기)

2, 3, 4, 5, 6으로 나누면 1이 남고, 7로 나누면 나누어 떨어지는 수를 구해 보라.

정답) 구하는 수 [eqn: boldx]는 [eqn: bold{x=60n+1(n IN N)}], 동시에 [eqn: bold{x=7a (a in N) }]로 둘 수 있다.

[eqn: &bold{60n + 1 = 7a}# #&bold{a= 60n+1 over 7 = 8n + 4n+1 over 7}]

이 방정식은 [eqn: bold{n=}]5, 12, 19, …에 대해서 바른 정수해를 얻는다.

[eqn: BOLD{n=}]5 일 때  [eqn: BOLD{x=}]301

[eqn: BOLD{n=}]12 일 때  [eqn: bold{x=}]721

[eqn: bold{n=}]19 일 때  [eqn: bold{x=}]1141

9. 3대 작도 불능문제

Greece는 세 번에 걸친 페르시아군의 원정에도 굴하지 않고 결국 BC 480년 사라미스만 대해 전에서 페르시아의 대함대를 무찌르고 난 후 Greece의 세력은 에게해 해안 전역에 미치고 그 동안 번성하고 있던 페니키아인을 모두 추방시켰다. 그 결과 Athene는 문화의 중심이 되어 Pythagoras학파가 여기에 옮겨지고, Anaxagoras도 또한 Athene에 이오니아학파를 옮겼다.

「노예제도 없이 그리스의  예술과 과학은 없다」라고 한 엥겔스의 말대로 많은 노예를 사용함으로서 생활에 여유를 얻은 아테네 사람들은 생각할 여유를 갖게 되고 더욱이 그들은 지식을 사랑하는 우수한 민족적 소질과 더불어 과학 및 철학을 진보 발전시켰다.

그리고 그들은 고등 교양을 몸에 익히기 위하여 그들을 교육할 직업적 교사를 요구했다. 이것이 즉 Sophist(智者의 뜻이지만 지금은 詭辯家로 부르고 있다) 이다.

Sophist들은 주로 웅변술을 가르쳤지만 당시의 아테네는 민주주의 正體로 웅변을 중요시하였고 그 밖에 철학,  수학 등도 가르치며 각 도시를 돌아다니는 자가 많았다. 당시 Sophist들을 중심으로 연구의 초점이 된 것은 3대 작도 문제였다. 이들의 문제는 눈금 없는 자와 Compass만을 이용하여 푸는 것은 작도 불가능하다는 것이 19세기가 되어서 겨우 증명되었지만 당시의 사람들은 어떻게든 하여 이들의 문제를 해결하려고 오랜 시간에 걸쳐 꾸준히 노력했다.

1) 임의의 각을 3등분하기

아래 그림과 같이 임의로 주어진 각은 2등분 할 수 있다. 특히 직각도 3등분 할 수 있다. 그렇다면 일반적으로 임의의 각은  3등분 할 수 없을까? 라고 생각한 데서 생긴 문제다.

2) 圓積問題(Hippocrates의 초생달)

원적문제는 원의 넓이와 똑 같은 정사각형을 만드는 문제다. 이 문제는 아래 그림과 같이 정4각형, 정5각형 등과 같은 다각형의 넓이와 같은 삼각형을 작도할 수 있다. 특히 삼각형의 넓이와 같은 초생달도 만들 수가 있다.  그렇다면 원의 넓이와 같은 4각형은 작도할 수 없을까? 하고 생각한 데서 발생한 문제다.

3) 倍積問題(데로스 문제)

배적문제는 정6면체의 2배인 정6면체를 만드는 문제다.배적문제가 생긴 것은 다음과 같은 전설이 있다.  BC 4세기경 에게해(Aegean Sea) 데로스라는 작은 섬에 전염병이 유행하여 사망하는 사람들이 많았다.

그래서 섬 사람들은 그 섬에 있는 APOLLO신에게 기도를 드렸더니 APOLLO신이 이르기를 “내 앞에 있는 정육면체의 제단이 너무 좁으니 제단을 2배이 부피로 만들어 달라.”그러면 병을 없에 주겠다고 하였다. 그래서 백성들은 석공을 시켜 2배의 부피가 되는 정육면체를 만들려고 1변의 길이를 2배로하여 만들어 바쳤으나 질병은 그치지 않았다. 그런 후 처음으로 사람들은 이 문제를 진지하게 생각하게 되었다.

10. 타일 붙이기

타일 붙이기라는 것은 여러 가지 도형으로 평면을 까는 것이다. 여기서는 합동인 정다각형에 의한 평면 깔기에 대하여 생각하면

정n각형의 한 내각의 크기는

[eqn: &~~~~~~~~~~~~bold{( 1 over 2 - 1 over n ) × 360^0} ##& bold{∵~ 외각의~ 합``〓`` 4∠R, ~내각／외각Ａ180^0 }]

한 점 주위에 m가 모였을 때 [eqn: bold360^0]가 되는 것은

[eqn: bold{( 1 over 2 - 1 over n ) × 360^0 × m``=``360^0}]에서 [eqn: bold{1 over m + 1 over n = 1 over 2}]이 성립한다.

n≥3이므로 [eqn: bold{0 ＠ 1 over 2 - 1 over m = 1 over n ≤ 1 over 3 ~~~ ∴~ 3 ≤ m ≤6}]

m = 3일 때 n = 6

m = 4일 때 n = 4

m = 5일 때 정수 n 값은 없다.

m = 6일 때 n = 3

고로 정6각형 3개, 정4각형 4개, 정3각형 6개로 타일을 까는 3가지 방법  밖에 없으나 오늘날에는 변형한 모양으로 타일을 깔기도 한다.

11. 바스카라 2세(1114∼1185년)

한 단의 연꽃으로부터 꽃의 [eqn: bold{ {1} OVER {3} , {1} OVER {5}, {1} OVER {6} }]이 각각 여신 시바, 비슈누, 스랴에게, 또

[eqn: bold{{1} OVER {4}}]은 바봐니에게 올리어졌다. 남은 여섯 송이의 꽃은 명성 있는 고위직의 사람이 가졌다. 이 꽃단에 꽃의 있는 꽃의 수를 구하라.

정답) 연꽃의 수를 [eqn: x]라 하자.

[eqn: bold{1over3 x + 1 over5 x + 1 over6 x + 1 over 4 x + 6 = x}]    [eqn: bold{x=120}],

따라서, 꽃다발에는 120송이의 연꽃이 묶여있다.

12. 수학의 노벨상 - Fields상

노벨상 중에서 수학상은 왜 없는 것일까?

스웨덴의 화학자이자 발명가인 알프레드 노벨(1833~1896)은 많은 재산을 희사하여 물리, 화학, 의학, 문학, 평화, 경제의 6개 부분에 대하여 매년 세계에서 가장 훌륭하고 두드러진 업적을 남긴 사람들에게 상을 주도록 하였는데, 모든 학문의 기초가 되고, 특히 자연과학의 모체가 되는 수학 분야에 대하여는 노벨상이 제정되어 있지 않다.

전하는 말에 의하면 노벨과 같은 시대에 유명한 해석학자 미타그 레플러가 수학계에 태두로 활동하고 있었다. 그런데 어떤 이유인지는 몰라도 레플러와는 사이가 매우 좋지 못하였던 모양이다. 이러한 이유로 노벨은 레를러와 관계된 수학 부문만은 노벨상의 대상에서 제외하고 말았다고 한다.

한편, 1880년에 17세로 토론토 대학을 졸업하고, 미국의 존 홉킨스 대학의 대학원에서 수학을 전공한 캐나다의 수학자 존 찰스 필즈(1863~1932)는 토론토 대학에서 수학 교수로 일생을 마감하였는데, 수학 분야에도 노벨상에 해당하는 상을 재정하겠다는 것이 그의 염원이었다.

그는 제7회 국제 수학자 회의에서 회의비, 출판비를 결산하고도 상당한 금액 이 남아 있었으므로 이를 기금으로 하여 수학 분야에 노벨상에 해당하는 상을 제정하기 위하여 자금 조달과 세계 수학자의 단합을 위한 노력을 하였는데, 1932년 스위스의 취리히에서 열린 제9회 국제 수학자 회의에서 그의 제자들의 정식으로 제안하여 만장일치로 채택되었으나, 필즈 교수는 과로로 회의 수주 전에 죽었으며, 필즈는 자기의 전 재산을 이 상의 기금으로 희사하였다.

노벨상은 매년 수여되지만 필즈상은 4년에 한 번씩 수여되기 때문에 노벨상보다 4배의 가치가 있으며, 노벨상에는 연령의 제한이 없지만 이 상은 40세미만인 수학자만이 자격이 있기 때문에 노벨상보다 우위에 있다고 볼 수 있다.

첫 번째 필즈 메달 수상자는 1936년 알포스 교수(핀란드), 더글라스 교수(미국)였다.

13. 달팽이의 여행

깊이가 3m 되는 우물 바닥에 한 마리의 달팽이가 있다. 이 달팽이는 낮 동안에 30cm 기어올라갔다가 밤사이 20cm를 미끄러져 내려온다. 그렇다면 이 달팽이가 우물 밖으로 기어 나오는 데는 정작 며칠이나 걸릴까?

풀이)

이 달팽이는 결국 하루에 10cm를 올라가는 셈이다. 그렇다고 해서 30일 이라고 단순하게 생각해서는 안 된다. 28 일 째 아침에는 2m 70cm 올라와 있으므로 28일 낮에 하루 분 30cm를 오르면 우물 끝에 다다를 것이다. 위에 올라와 버리면 다시 미끄러질 일은 없으므로 이 달팽이가 우물 밖으로 나오는 데는 28일이 걸린다.

14. □, □, ÷, ×, = 의 역사

우리가 너무도 익숙하게 사용하고 있는 사칙 연산의 기호는 아무런 의심없이 원래 있었던 것으로만 생각하기 쉽다. 그러나 이런 기호들도 오랜 세월에 걸쳐 변화하면서 지금의 모양이 되었다.

15 세기 중엽 독일에서 인쇄술이 발명되어, 많은 고전과 타국의 번역본이 대량 출판되자, 기호의 정비와 계량도 함께 이루어졌다.

1) □ □ □  ---> 13세기경 이탈리아의 레오나르도 피사노가 7 더하기 8을 '7과 8'로 썼는데, 라틴어로 '과'를 et라고 한다. 이를 줄여 +의 기호가 만들어졌다고 한다.

2) □ □ □  ---> 1489년 독일의 비트만이 '모자란다'라는 라틴어 단어 mimus의 약자 -m에서 -만 따서 쓰는 것에서 생겨났다.

3) □ ÷ □  ---> 이 기호는 오랜 옛날부터 쓰여 왔고, 10세기경 수학책에는 '10 나누기 ÷5' 등과 같이 '나누기'라는 말도 함께 썼는데, 문자인 '나누기'를 없애고 ÷로만 쓰게 되었다.

4) □ × □  ---> 처음 사용한 사람은 영국의 윌리엄 오트레드이지만, 어떻게 하여 이런 기호가 만들어졌는지 그 유래는 모른다.

5) □ = □  ---> 1557년 영국의 R.레코드가 쓴 "지혜의 숫돌"이라는 책에 처음 쓰였으며, 그 모양은 우리가 지금 쓰는 것보다 옆으로 더 길었다.

15. 소수는 과연 몇 개일까?

자연수 중에서 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수를 소수라고 한다. 무한히 많은 자연수 중에서 소수는 과연 몇 개일까?

또, 가려내는 방법은 없을까?  많은 자연수 중에서 소수를 가려내는 방법으로 '에라토스테네스의 체'가 잘 알려져 있다.

자연수 중에서 소수를 찾는 방법은 '에라토스테네스의 체'에 의한 방법뿐이며 그 후 2200년 동안 연구해도 특별한 방법을 찾아내지 못했다. 어떤 수라도 즉시 소수인지 아닌지 구별하는 방법을 발견한다면 세계 수학사에 이름을 남기게 될 것이다.

16. 에라토스테네스의 체

1에서 50까지의 자연수 중에서 소수들을 가려내 보자.

먼저 1에서 50까지의 수를 차례로 쓴다.

우선 1은 소수에서 제외되므로 지우고, 다음에 나타나는 2를 남기고, 2의 배수들을 지워 나간다. 이어서 2 다음에 나타나는 3을 남기고, 3의 배수들을 지워 나간다. 또, 3다음의 5를 남기고 5의 배수를 지우고,…의 순서로 지워 나갔을 때, 남는 수들이 소수이다.

실제로 소수를 구해 보면 100을 넘어서면서부터는 그 수가 급격히 줄어드는 것을 알 수 있다.  그렇다면 과연 소수는 몇 개쯤이나 될까? 유한개일까? 무한개일까?

그리스의 대 수학자 유클리드는 무한개라고 자신있게 말했다. 유클리드의 증명을 알아보자.

만일 소수의 개수가 유한개라면 가장 큰 소수가 존재할 것이므로 그 최대 소수를 M이라 하고 다음과 같은 식을 만들어 보자.

2×3+1=7(∴7은 2,3의 배수가 아니다.)

2×3×5+1=31(∴31은 2,3,5의 배수가 아니다.)

2×3×5×7+1=211(∴211은 2,3,5,7의 배수가 아니다.)

2×3×5×7×11+1=2311(∴2311은 2,3,5,7,11의 배수가 아니다.)

………

2×3×5×7×…×M+1=p(p는 2,3,5,…,M의 배수가 아니다.)

여기서 자연수 p는 소수이거나 합성수이어야 한다. 만일 p가 소수라면 M이 최대 소수라는 가정에 위배되고, p가 합성수라면 p는 소수들의 곱으로 분해할 수 있으므로 p를 분해하는 M보다 더 큰 어떤 소수가 있어야 한다. 이것 역시 M이 최대 소수라는 가정에 위배된다. 따라서 소수는 무한개다.

그런 중에서도 어떤 소수들은 재미있는 형태로 되어 있다. 다음에 있는 수처럼 연속하여 있는 소수를 쌍둥이 소수(쌍자소수) 라고 한다.

(5,7), (11,13), (17,19), (29,31), …

이와 같은 짝은 1부터 200사이에 몇 개나 있을까?

답 : 100에서 200까지의 쌍자소수 (101,103), (107,109), (137,139), (149,151),

( 179,181), (191,193), (197,199) 를 포함해 10개이다.

소수의 발생은 분포 상태가 불규칙적이라는 것을 다음 표를 보면 곧 알 수 있다.

범 위                       소수의 개수                 분포율(%)

0 ∼ 10                           4                         40

0 ∼ 100                         25                         25

0 ∼ 1000                       168                         16.8

0 ∼ 10000                     1229                         12.3

0 ∼ 100000                    9592                          9.6

0 ∼1000000                   74898                          7.8

위의 표와 같이 그 범위가 넓어지면 넓어질수록 소수의 분포율이 적어진다는 것이다.

소수에 대한 순수한 연구와 사색은 겉으로 보기엔 무익한 것처럼 보이나 실제로는 신용카드와 원거리 통신, 국가 안보 등에 깊숙이 관련되어 있고, 또 큰 소수를 발견하기 위한 노력이 계속되고 있다. 1996년 미국의 크레이연구소가 발표한 바에 의하면 현재까지 발견된 소수 중 가장 큰 것은 한 번 적는 데만도 신문 12개 면이 필요한 37만 8천 6백 32 자리의 수로 알려져 있다.

17. 단추 만들기Ⅰ

4대의 단추 만드는 기계를 가지고 공장을 운영하는 사람이 있다.

1번 기계는 하루에 한 박스를 만들고, 2번 기계는 이틀에 한 박스를 만들고,

3번 기계는 3일에 한 박스를 만들고, 4번 기계는 4일에 한 박스를 만든다.

4대의 기계를 동시에 가동하면, 한 박스를 만드는 데는 몇 시간이나 필요할까?

풀이) 1번기계는 1일(24시간)에 1박스

2번기계는 1일(24시간)에 1/2박스

3번기계는 1일(24시간)에 1/3박스

4번기계는 1일(24시간)에 1/4박스를 만든다.

따라서, 4개를 모두 가동하면 1일(24시간에) 1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 =25/12 박스를 만들 수 있다.

따라서, 24(시간):25/12(박스)=x(시간):1(박스)를 풀면 11.52시간

*** 때로는 초점을 다른 곳에 두고 퀴즈를 풀어라.

"한 박스에 몇 시간이 소요되는가" 하는 문제를 "하루(24시간)에 몇 박스를

만드는가"로 초점을 바꾸어 풀었다.

18. 단추만들기Ⅱ

단추공장 사장이 단추 만드는 기계를 바꾸었다.

갈수록 점점 빨리 단추를 만드는 기계인데, 기계를 가동하여 1초후에는 1개, 2초 후에는 2개, 3초 후에는 4개, 4초 후에는 8개.... 그리하여, 30초 후에는 한 부대를 가득 채운다. 부대의 반을 채우는 것은 언제일까?

풀이)

1초만에 2배로 증가한다.

1초전에는 지금양의 절반이다.

따라서, 60초(1분) 의 1초전인 59초에는 한 부대의 절반인 반 부대가 된다.

답은 59초

19. 돼지 이야기

100만원을 주고 돼지 250마리를 샀다. 2만원에 5마리의 비율로 산 것이다.

250마리의 돼지를 125마리의 살찐 돼지와 125마리의 마른 돼지로 구분하였다. 마른 돼지는 1만원 당 3마리 비율로 120마리를 팔아서 돈 40만원을 받았다. 살찐 돼지는 1만원 당 돼지 2마리의 비율로 120마리를 팔아서 60만원을 받았다.

결국 100만원을 받은 것이다.

산 때와 같이 2만원에 돼지 5마리의 비율로 판 것인데, 돈은 100만원이 있고, 돼지는 마른 돼지 5마리와 살찐 돼지 5마리가 남아있다.

왜 그럴까?

풀이)  살때 : 1마리 2/5만원 2마리 4/5만원

팔때 : 마른 돼지 1마리 1/3만원

살진 돼지 1마리 1/2만원

따라서, 2마리 (1/3) × ( 1/2) = 5/6만원

그래서 차이가 납니다.

20.  히포크라테스의 초승달

아래 그림과 같이 직각 이등변 삼각형의 직각인 꼭지점을 중심으로 하고 직각을 사이에 둔 한변을 반지름으로 하는 부채꼴을 그린다. 또 직각 삼각형의 빗변을 지름으로 하는 반원을 바깥 쪽에 그리면 초승달 모양의 도형이 된다(이 도형을 히포크라테스의 초승달이라 한다).

답 : 두 개의 넓이는 같다.

OA = 2a라 하면 부채꼴 OADB의 넓이는

1/4×4□a2=□a2  으로 된다.

또 반원의 지름 AB=2√2a이므로 반원의 넓이는

1/2×2□a2=□a2  이다. 따라서

부채꼴 OADB=반원ACB 여기에서 활꼴 ADB를 빼면

△AOB=초승달 ACBD

결국 직각 이등변 삼각형과 히포크라테스의 초승달 넓이는 같다는 것을 알 수 있다.

21. 할아버지의 아들은 몇 명?

깊은 산골에 할아버지가 된 칠득이의 가족들만 살고 있었다. 칠득이의 할아버지는 아들만 있고, 그 아들들도 아들만 두었다. 칠득이 할아버지의 손자들도 아들만 두 었다.

칠득 할아버지의 증손자들은 한 명의 자녀도 없었다. 칠득이 할아버지와 그 아들 , 그 손자들은 모두 같은 수의 아들을 두었다. 어느 날 칠득이 할아버지의 부인과, 며느리들, 손자며느리들, 증손자 며느리들이 모두 단체로 여행을 떠났다.

칠득이 할아버지는 남은 아들, 손자, 증손자들 중 아무도 깊은 산골에서 밖으로 나가지 못하게 하고 다음날 아침을 준비하는데 자그마치 259인분을 준비하는 것이었다.

칠득이 할아버지가 실수를 한 것은 아니다. 그러면 칠득이 할아버지의 아들은 몇 명일까?

힌트)  남자어른 x, 여자어른 y, 어린이 z 라 두면,

x+y+z=12

200x+50y+25z = 1200

위 두 방정식을 풀어서 x, y, z가 모두 자연수가 되는 경우를 구하면 된다.

왜 자연수냐 하면 어른 -3명은 없고, 또한 어른 1.5명도 없기 때문이다.

22. 잠잔 동안에 간 거리?

한 승객이 급행열차로 자신의 여행길의 절반 정도 왔을 때 잠들어 버렸다.

눈을 떠 목적지까지 남아 있는 거리는 그가 자고 있는 사이에 간 거리의 반이었다.

이 승객은 전 여정의 어느 정도를 자면서 여행한 것일까?

정답) 여정의 1/3

23. 마이너스 곱하기 마이너스는 왜 플러스 일까?

이것은 마이너스와 마이너스를 곱하면 플러스가 되는 것이 아니라, 플러스라고 약속한 것이다. 어째서 그렇게 되는가 하는 이유를 서술해 보겠다. 우선,

(-2) × 3 = (-2) + (-2) + (-2) = -6

(-2) × 2 = (-2) + (-2) = -4

(-2) × 1 = -2

(-2) × 0 = 0

그러므로,

......

(-2) × 3 = -6

(-2) × 2 = -4

(-2) × 1 = -2

(-2) × 0 = 0

이라고 하는 표를 얻을 수 있다. 우리들이 생각하고 싶은 것은 이 다음이다. 즉,

......

(-2) × (-1) = ?

(-2) × (-2) = ?

(-2) × (-3) = ?

......

의 ?부분은 어떻게 라고 하는 것이다. 그런데, (-2) × 3, (-2) ×2, (-2) × 1, (-2) × 0과 같이 곱하는 수가 하나씩 줄어들면 그 답은, ..... , -6, -4, -2, 0과 같이 두 개씩 늘어난다. 따라서, 위의 표는 답이 두 개씩 늘어나듯이,

......

(-2) × 3 = -6

(-2) × 2 = -4

(-2) × 1 = -2

(-2) × 0 = 0

(-2) × (-1) = +2

(-2) × (-2) = +4

(-2) × (-3) = +6

......

와 같이 완성되는 것이 타당하다고 하는 말이 된다. 이렇게 생각하면 마이너스와 마이너스의 곱은 플러스라고 하는 것이 타당한 약속임을 알 수 있다.

24. 원숭이와 바나나

만수, 철수, 칠득 3명이 1마리의 원숭이를 기르고 있었다.

어느 날 주문한 바나나가 도착하였다.

만수는 1개의 바나나를 원숭이에게 주고 나머지 3분의 1은 자신이 가졌다.

이것을 모르는 철수는 역시 바나나 1개를 원숭이에게 주고 나머지 3분의 1은 자신이 가졌다.

여기까지 아무것도 모르는 칠득은 역시 1개의 바나나를 원숭이에게 주고 나머지 3분의 1을 자신이 가졌다.

다음날 3명이 함께 원숭이에게 가서 1개의 바나나를 주었더니, 나머지를 3명이 똑같이 나누어 가질 수 있었다고 한다.

(결과는 만수가 가장 많은 바나나를 가졌지만…)

그러면 처음에는 몇 개의 바나나가 배달되었을까?

풀이)

이 문제도 거꾸로 푸는 문제다.

마지막에 3의 배수가 남았다.

칠득이가 가져가고 남은 개수 (3의배수)+1

칠득이가 가져간 것이 1/3 이니까, 남은 것은 2/3,

따라서 칠득이가 가져가지 전에 남은 것은 {(3의배수)+1}□3/2

칠득이가 원숭이에게 준 1개를 더하면 {(3의배수)+1}□3/2 +1

철수가 가져간 것은 1/3이니까, 남은 것은 2/3

따라서, 철수가 가져가기 전에 남은 것은 {{(3의배수)+1}□3/2 +1 }□3/2

철수가 원숭이에게 준 1개를 더하면 {{(3의배수)+1}□3/2 +1 }□3/2 +1

만수가 가져간 것은 1/3 이니까 남은 것은 2/3

따라서, 만수가 가져가기 전에 남은 것은 {{{(3의배수)+1}□3/2 +1 }□3/2 +1}□3/2

만수가 원숭이에게 준 1개를 더하면, {{{(3의배수)+1}□3/2 +1 }□3/2 +1}□3/2+1

이것이 답이다.

답을 정리하면 (3의배수)□3/2□3/2□3/2 + 3/2□3/2□3/2 + 3/2□3/2 + 3/2 +1 이 된다.

좀 더 정리하면 (3의 배수)□17/8 + (1/8) + 8 이 된다.

또 정리하면 {(3의배수)□17+1}/8 +8 이 된다.

따라서, (3의배수)□17 + 1 이 8의 배수가 되는 (3의배수)를 구해야 한다.

25. 방정식의 해법을 발견한 사람

방정식의 정확한 정의는 뭘까? 방정식은 문자를 포함하는 등식에 있어서 문자에 어떤 특정한 수를 대입할 때만 성립하는 등식을 말한다. 문자란, 우리가 일반적으로 방정식이나 함수 등에 사용하는 x,y....와 같은 것이다. (아니면 숫자가 아닌 것이라고 해도 무관하겠다.) 그러면, 방정식을 처음으로 푼 사람은 누구일까? 지금 우리가 방정식의 해답을 구할 수 있게 도움을 준 사람은 과연 누구일까?  일반적으로, 대수학에서 방정식은 4차방정식까지 해답을 구할 수 있다고 한다. 1차방정식의 해법은 이집트인과 그리스인에 의하여 발견되었고, 지금 우리가 다루고 있는 2차방정식의 해법은 인도인에 의하여, 그리고 3, 4차방정식의 해법은 이탈리아의 수학자인 타르탈리아(1500? ~ 1557)와 카르다노(1501 ~ 1576), 그리고 페로(1465? ~ 1526)에 의해서 발견되었다고 한다.  또, 5차 이상의 방정식의 일반적인 해법이 존재하지 않는다는 것은 아벨(1802~ 1829)과 갈루아(1811~1832)에 의해 증명되었다고 한다.

그러면, 방정식의 미지수는 왜 26 자나 되는 알파벳 중 하필 x자가 쓰이는 것일까? 알파벳 x를 미지수로 사용하기 시작한 사람은 프랑스의 유명한 철학자이자 수학자인 데카르트이다. x를 사용한 이유는 어떻게 생각하면 당연하기도 하고 우습기도 하다. 그 이유는 프랑스어에 x자가 많이 사용되기 때문이었다. 방정식이라는 것이 사용되기 시작한 시기만 해도 지금처럼 인쇄술이 발전한 상태가 아니었기 때문에 활판으로 인쇄가 이루어졌다.  그 당시 프랑스에는 x자의 활판의 여분이 가장 많았다고 한다. 그 때부터 사람들은 x자를 미지수로 표기하기 시작했다고 한다.

26. 구장산술(九章算術)

동양 최고(最古)의 수학서인 구장산술은 진한 시대의 산술서를 계승하고 후한 시대가 되어서 비로소 본 모습을 갖추게 된 옛 산술서이다. 이 책을 집필한 사람은 알려져 있지 않지만 263년에 삼국시대 위나라의 유휘(劉徽)가 뛰어난 주석을 붙여 펴낸 것으로 되어 있다.

중국에서는 당나라 시대에 수학교육이 제도화되었고, 나라에서 '산학(算學)'이라 불리우는 학교를 설립하였다. 그 학교에서는 다음과 같은 10종의 수학서가 교과서로 사용되었다.

주비산경 2권, 구장산술,  9권해도산경 1권, 손자산경 3권, 오조산경 5권, 하후양산경 3권, 장구건산경 3권, 오경산술 2권, 철술, 집고산경 1권

유교의 경전과 마찬가지로 수학서에도 '산경(算經)'이라는 이름이 붙은 책들이 많았다. 이들이 소위 '산경십서(算經十書)'인데 이 가운데 '철술(綴術)'을 제외하고 모두 현재까지 전해지고 있다.

권수에서 보더라도 ≪구장산술≫은 그 내용이 매우 풍부하였고, 수준도 높아서 당나라 시대 이전의 대표적인 수학서라고 할 만한 것이다. '산학'이 창설되기 전 이순풍은 임금의 명을 받아 '산경십서'에 새로운 주석을 가했다. 그런데 당나라 시대의 제도를 기록한 '당육전(唐六典)'에 의하면 '산학'을 공부하는 연한은 7년이고, 학급을 두 개조로 나누었는데 각 조에서 사용하던 교과서와 각각의 수업 연한은 다음과 같았다.

제 1조

손자산경□오조산경 1년, 구장산술□해도산경 3년, 장구건산경 1년, 하후양산경 1년

주비산경□오조산경 1년

제 2조

철술 4년 , 집고산경 3년

이 가운데 ≪철술≫은 현재는 전해지지 않아 본 모습을 알 수 없으나 매우 난해하여 학습을 마치는 데 4년이라는 세월이 걸려야 했다.

그런데 수업년한이 길다는 점에서 ≪철술≫다음 가는 것이 당나라 시대에 쓰인 ≪집고산경≫과 ≪구장산술≫ ≪해도산경≫이다. ≪해도산경≫은 피타고라스 정리를 응용하여 측량상의 문제를 해결하는 책으로 ≪구장산술≫의 마지막 권인 <구고장(句股章)>의 부록이라고도 할 수 있는 수학서이다.

그렇게 보면 3년이라는 기간은 대부분 구장산술을 학습하는 데 쓰였다고 해도 관언이 아니다. 이러한 학습 햇수로 보더라도 구장산술이 매우 중요하게 여겨졌음을 알 수 있다. 두 조에서는 모두 그 책들 외에 부전공과목으로 ≪수술기유(數術記遺)≫및 ≪삼등수(三等數)≫를 학습했다. '산학'에서는 매년 시험이 치러졌는데 시험문제는 모두 이미 학습한 데서 출제되었다. 이 '산학' 외에도 과거제도에 '명산과(明算科)'라는 것이 있었다. 여기서도 수학자가 관리로 등용되는 길이 열려 있었다.

이렇게 양성된 수학자 중에서 수학교육을 담당하는 산학박사가 배출되었다. 하지만 대부분은 특별히 수학을 필요로 하는 관청에 배속되었다고 할 수 있다.

따라서 당시 중국에서는 현재와 같이 수학연구가 장려되었다고는 할 수 없고, 더욱이 산학박사를 비롯한 수학자들의 지위는 극히 낮은 것이었다.

27. 걸음이 다른 형제

형제인 칠득이와 만득이는 학교에 간다. 칠득이는 걸음이 빨라서 20분 걸리고, 만득이는 30분 걸린다.

만득이가 출발한 5분 후 칠득이가 출발했다. 칠득이는 집에서 나서서 몇분 만에 만득이를 따라 잡을까?

풀이)

학교까지의 거리를 x km이라 하면,.........

칠득이의 속도는 x/20(km/분).......만득이의 속도는 x/30(km/분).....이 된다.

칠득이가 집을 나서서 t분 후에 만득이를 만났다면

그동안 칠득이가 걸어간 거리는.........(x/20)□t ......가 되고,

.........만득이가 걸어간 거리는..........(x/30)□(t+5) ........가 된다.

(5분더 걸어갔으므로)

만났다는 것은 두 명이 걸어간 거리가 같다는 뜻이므로,

(x/20)□t = (x/30)□(t+5).......이것을 풀면.................t=10

즉, 10분 후에 칠득이와 만득이는 만난다.

28.  난폭한 새끼 호랑이

인도에 3마리의 새끼를 가진 어미 호랑이가 있었다.

그 가운데 1마리는 난폭하여 어미가 없을 때는 형제들을 잡아먹을 위험이 있었다.

지금 어미 호랑이가 3마리 새끼를 데리고 강에 도착하였다.

강을 건널 때는 새끼를 1마리 밖에는 데리고 건널 수 없다.(입이 하나 뿐이므로)

난폭한 새끼 호랑이가 형제를 해치지 않도록 하면서 강을 건너려면 어떻게 해야 할까?

풀이) 어미, 1, 2, 3    | |

2, 3   | |  어미, 1

3, 어미   | |  1

3    | |  1, 어미, 2

3, 어미, 1    | |  2

1    | |  2, 어미, 3

1, 어미    | |  2, 3

| |  2, 3, 어미, 1

29. 강건너기

3쌍의 부부가 함께 여행을 떠났다.

강에 도착하였으나, 그곳에는 2인승 보트 밖에 없었다.

그런데 3명의 남편은 모두 질투심이 많은 사람들이다.

자신이 옆에 없을 때는 부인이 다른 남자와 함께 있는 것을 허용하지 않는 것이다.

어떻게 하면 무사히 건널 수 있을까?

노를 저을 수 있는 사람은 세 명의 남편과 한 명의 부인이다.

풀이) 남자 : 1, 2, 3, 여자는 각각 : 일, 이, 삼 (일만 노를 저을 수 있다.)

1, 2, 3, 일, 이, 삼    | 배 |

1, 2, 3, 삼         | 배 |     일 , 이

1, 2, 3, 삼, 일     | 배 |              이

1, 2, 3,         | 배 |     이, 일, 삼

1, 2, 3, 일     | 배 |         이, 삼

1, 일          | 배 |    이, 삼, 2, 3

1, 일, 2, 이      | 배 |         3, 삼

2, 이          | 배 |    3, 삼, 1, 일

2, 이,  3, 삼      | 배 |         1, 일

삼, 이           | 배 |     1, 일, 2, 3

삼, 이, 일      | 배 |         1, 2, 3

삼          | 배 |    1, 2, 3, 일, 이

삼, 일      | 배 |         1, 2, 3, 이

| 배 |    1, 2, 3, 이, 일, 삼

30. 성벽의 길이

네 변이 동서남북으로 향하고 있는 정사각형의 성벽으로 둘러싸인 마을이 있다.

각 성벽의 한가운데 문이 하나씩 있다.

북문을 나와서 20보 북쪽으로 간 곳에 한 그루의 나무가 서 있다.

또 남문을 나와서 남쪽으로 14보 간 곳에서 직각으로 서쪽으로 1775보 가면 처음으로 이 나무가 보인다

이 마을의 한 성벽의 길이는 얼마나 될까?

풀이) 성의 한 변의 길이를 2x보라 하면,

오른쪽과 같은 그림을 그릴 수 있습니다.

20 : (20 + 2x + 14 ) = x : 17775 라는 비례식을 세울 수 있습니다.

이것은 (x^2 ) + 17x-17750 = 0이라는 방정식이 나옵니다.

이 방정식을 풀면 784보라는 답이 나옵니다.

이 방정식을 푸는 것은 상당히 어려운 일입니다.

중학교에서 배운 근의 공식이라는 것을 이용하면 조금 쉬운데, 그것도 숫자가 커서 어렵습니다.

31. 이상한 암산

적당한 자연수를 하나 생각하여라.

그수에 5를 더하여라. 다시 2를 더하여라

3을 또 더하여라

거기서 8을 빼라

그 답에서 처음 생각한 수를 빼라

2로 나누어라

그 답은 1 이다

이 암산의 이치를 발견하고

친구들을 놀라게 해 보자

32. 나그네와 감자

세 사람이 길을 가다가 날이 저물어 어느 농가에 묵게 되었다.

주인아주머니가 감자를 가득 삶아와서 보니 세 명은 곤히 자고 있었다.

깨우지 않고 방에 감자바구니를 두고 나갔다.

첫 번째 사람이 깨어보니 감자가 있었다. 그는 감자의 1/3을 먹고 잤다(세 명이니까 1/3인 것이 당연하다.)

다음 두 번째 사람이 깨어보니 감자가 있었다. 그도 남은 감자의1/3을 먹고 잤다.

세 번째 사람이 깨어보니 감자가 있었다. 그도 남은 감자의1/3을 먹고 잤다.

아침에 일어나니 감자가 8개 남아있었고 세 사람은 각자 다른 개수의 감자를 먹은 것을 알았다.

세 명이 감자를 공평하게 나누어 먹으려면, 어떻게 나누어야 할까?

또, 아주머니는 감자를 몇 개나 갖다 놓았을까?

풀이) 마지막에 남은 것은 8개

세 번째 남자가 일어났을 때 남은 것을 x개라 하면, x의 2/3 가 8개니까 x는 12개 , 먹은 것은 4개.

두 번째 남자가 일어났을 때 남은 것을 y개라 하면, x의 2/3 가 12개니까 y는 18개 , 먹은 것은 6개.

첫 번째 남자가 일어났을 때 남은 것을 z개라 하면, x의 2/3 가 18개니까 z는 27개 , 먹은 것은 9개. 따라서, 아주머니가 갖다놓은 감자는 27개, 각각 9개씩 먹으면 공평하다.

두 번째 남자 3개, 첫 번재 남자 5개를 먹으면 각각 9개씩 먹은 것이 된다.

33. 백인과 토인

전해오는 이야기로 남태평양에서는 백인도 햇볕에 그을리면 토인과 다름없는 빛깔로 된다고 한다.

백인과 토인을 구별하려면, 이들이 말하는 것을 듣고 판단하는 방법뿐이다. 토인들은 서로 거짓말을 하고 토인 아닌 사람은 언제나 참말을 한다.

한 관광객이 어떤 섬의 해변에 카누를 타고 다가갔더니 검은 빛깔의 세 사나이가 서 있었다. 그래서 그 손님은 물었다. '당신은 피부가 탄 백인입니까, 그렇지 않으면 섬의 토착민입니까?' 한 사나이가 무언가 큰소리로 소리를 질렀지만 파도소리 때문에 들리지 않았다. 그래서 카누의 사나이는 다시 한 번 물었다. '당신은 섬사람입니까, 그렇지 않으면 햇볕에 그을린 백인입니까?'

이번에는 바닷가에 있는 두 번째 사나이가 대답했다. '처음에 대답한 사람은 자신이 백인이라고 말하고 있습니다. 정말 그는 백인입니다. 그렇게 말하는 나도 백인입니다.' 그런데 세 번째 사나이는 '앞에 대답한 두 사람은 섬사람입니다. 그러나 나는 햇볕에 그을린 백인입니다.'라고 말했다.

이들이 말한 것만을 듣고 있던 관광객은 한 사람 한 사람의 정체를 아래와 같이 밝힐 수 있었다. 처음 사나이는 백인이건 아니건 간에 자신은 백인이라고 말한다.

백인이라면 그것은 정말이며 섬의 토인이라면 거짓말을 할테니까 결과는 마찬가지이다.

두 번째의 사나이는 처음 사람이 말한 것을 바로 전하고 있으니까 그가 말하는 다른 것도 정말이다.

그러므로 처음과 두 번째의 사나이는 백인이다. 세 번째의 사나이는 거짓말을 하고 있으니까 섬사람이다.

34. 원뿔과 구와 원기둥의 부피의 비

밑면의 지름과 높이가 같은 원기둥과, 이것에 내접하는 구와 원기둥과 밑면이 공통이고 높이가 같은 원뿔이 있다. 원뿔과 구와 원기둥의 부피의 비를 구하라.

풀이) 답 :  원뿔 : 구 : 원기둥 = 1 : 2 : 3

원기둥 밑면의 반지름을 r, 높이를 h라 하면

원기둥의 부피 = □r2h

원뿔의 부피 = 1/3□r2h   이다. 한편 구의 부피 = 4/3□r3  이므로 이 경우 구가    원기둥에 내접하고 있으므로 h = 2r이다.

원뿔 : 구 : 원기둥 = 2/3□r3 : 4/3□r3 ＞2□r3 = 1 : 2 : 3  으로 된다.

35. 나무의 높이

한 그루의 나무가 10m 길이의 그림자를 드리우고 있다. 그에 반해 3m 길이의

말뚝은 2m길이의 그림자를 드리우고 있다 나무의 높이는 정도일까?

정답) 15m

36. 완전수와 친화수

그리스인들은 어떤 수가 있어, 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 자신과 같은 수를 완전수(perfect number)라고 불렀다.

최초의 완전수는 6이다.

6의 약수는 1, 2, 3, 6인데 여기서 자기 자신인 6을 제외한 나머지 약수의 합이 1 + 2 + 3 = 6이 되어 자신의 수인 6이 되므로 6은 완전수이다.

신이 6일 만에 세상을 창조하였으므로 6을 완전수라고 한다는 일설도 있다.

28도 28을 제외한 모든 약수의 합이 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28이 되므로 완전수이다. 그 후 2천여 년이 지나는 동안 이러한 완전수는 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328 등 11개가 더 있음을 알았다.

그리스인들은 수에 어떤 의미를 주어 그것을 믿으려 하였다. 1은 이성으로, 2는 여론, 3은 권력, 4는 정의, 5는 결혼, 7은 건강, 8은 사랑과 우의로 여겼다.

그리스인들이 4를 정의로 여긴 것은 점 4개를 바르게 배열하면 정사각형 모양을 나타냈기 때문이었다.

또 그들은 짝수는 여자, 홀수는 남자로 생각하였다. 그래서 최초의 여자수(2)와 남자수(3)의 합이 5이므로 5를 결혼으로 생각하였다.

그러나 로마인들은 이 두 수의 곱이 6이므로 6을 결혼으로 생각하였다.

피타고라스 학파들은 10에 특별한 애정을 가지고 있었는데 그것은 10이 기하학적으로 여러 가지 뜻을 품고 있기 때문이었다. 10은 점을 뜻하는 수인 1과 선을 뜻하는 수인 2, 면을 뜻하는 수인 3, 그리고 부피를 뜻하는 수인 4의 합으로 되어 있는 수이기 때문이었다. (1 + 2 + 3 + 4 = 10)

그리스인들은 이 밖에 친화수에 대해서도 관심을 가졌다.

220의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220이고, 여기서 자기 자신인 220을 제외한 모든 약수의 합은 1 + 2+ 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 + =284이다.

또 284의 약수는 1, 2, 4, 71, 142, 284이고, 여기서 자기 자신인 284를 제외한 모든 약수의 합은 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220이다.

이와 같이 2개의 수가 있어서, 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 서로 상대수가 되는 두 수를 친화수라고 하였다.

친화수는 위의 두 수 이외에 18416과 17296, 9437056과  9363544 등이 있다.

37. 케이크 판매

한 개의 12마르크인 크리스마스 케이크와 한 개에 17마르크인 크리스마스 케이크가 단시간에 487마르크만큼 팔렸다.

두 종류 모두 10개 이상 팔렸다고 한다.

그렇다면 각각 몇 개씩 팔린 것일까?

정답) 12마르크짜리 20개, 17마르크짜리 14개

38. 천국으로 가는 길

저격을 받아 쓰러진 케네디의 혼이 하늘로 올라가는 도중에 흰 날개가 달린 천사로부터 다음과 같은 이야기를 들었다.

'당신은 이제 곧 갈림길에 들어설 것입니다. 하나의 길은 천국으로, 또 하나의 길은 지옥으로 가는 길입니다. 그 곳에는 세 사람이 서 있고, 당신은 그 중 두 사람에게 한 번씩 질문할 수가 있습니다. 천국으로 가는 길을 알 수 있도록 잘 질문하십시오.'

세 사람은 천사의 모습을 하고 있어서 누가 누구인지는 알 수 없지만, 처칠, 히틀러, 그리고 스탈린이다.

이 세 사람은 물로 정확한 길을 알고 있으며, 누가 누구인지도 서로 알고 있다. 처칠은 항상 참말을 하지만, 히틀러는 반드시 거짓말만 한다. 이 세 사람 중 누구인지도 알 수 없는 두 사람에게 '예'와 '아니오'로 답할 수 있는 질문을 해야만 한다. 케네디가 천국으로 가는 올바른 길을 알기 위해서는 어떤 질문을 해야 할까?

이 물음은 '부정의 부정은 긍정'임은 이용해서 참말만 하는 처칠과 거짓말만 하는 히틀러의 답변이 언제나 똑같게 되는 질문을 생각해냄으로써 해결할 수가 있다.

"당신은 '이 사람이 스탈린입니까?'라는 질문을 받으면, '예'라고 대답하겠습니까?" 그리고 답이 '예'이면 왼쪽의 천사에게, '아니오'이면 오른쪽의 천사에게 다음의 질문을 한다.

"당신은 '이쪽 길이 천국으로 가는 길입니까?'라는 질문을 받으면 '예'라고 대답하겠습니까?"

이것으로 천국으로 가는 길을 틀림없이 알 수 있음은 가능한 모든 경우를 검토하여 확인할 수 있다.

39. 최초의 일대일대응

호머 시대의 전설에는 다음과 같은 이야기가 있다.

율리시스가 외눈박이 거인 폴리페모스를 장님으로 만들고 퀴클로프스의 땅을 떠났을 때,  그 불행한  늙은 거인은 아침마다 자신의 동굴입구에 앉아서 , 자신의 양을 한 마리씩 동굴에서 나오게 할 때마다 조약돌을 한 개씩 집어 들었다.

그리고 저녁이 되어 양들이 되돌아오면, 양을 한 마리씩 동굴에 들어가게 할 때마다 조약돌을 한 개씩 내려놓았다.

이와 같은 방법으로, 그가 아침에 집어 들었던 조약돌이 모두 없어지고 나면, 그는 양들이 저녁에 모두 되돌아 왔다는 사실을 확인 할 수 있었다.

폴리페모스의 이야기는 셈의 기본으로서 일대일 대응관계의 개념에 대해 문헌상에 언급된 최초의 기록중 하나이다.

40. 아름다운 숫자의 세계

1                   =1×1

1+2+1                 =2×2

1+2+3+2+1               =3×3

1+2+3+4+3+2+1             =4×4

1+2+3+4+5+4+3+2+1           =5×5

1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1         =6×6

1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1       =7×7

1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1     =8×8

1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1    =9×9

0×9+1=1                    32+     62=45

1×9+2=11                  332+    662=5445

12×9+3=111                3332+   6662=554445

123×9+4=1111              33332+  66662=55544445

1234×9+5=11111            333332+ 666662=5555444445

12345×9+6=111111

123456×9+7=1111111

1234567×9+8=11111111

12345678×9+9=111111111                    □□□

123456789×9+10=1111111111

1×8+1=9

12×8+2=98

123×8+3=987

1234×8+4=9876

12345×8+5=98765

123456×8+6=987654

1234567×8+7=9876543

12345678×8+8=98765432

123456789×8+9=987654321

41. 1에서 9까지 수로써 100 만들기

1에서부터 9까지의 수를 작은 것 또는 큰 것부터 차례로 나열하여 적당한 구간에

+, -의 기호를 넣어 그 계산 결과가 꼭 100이 되게 해보자.

123-45-67+89       =100	12+3-4+5+67+8+9       =100

123+4-5+67-89      =100	1+23-4+5+6+78-9       =100

123+45-67+8-9      =100	1+2+34-5+67-8+9       =100

123-4-5-6-7+8-9    =100	1+23-4+56+7+8+9       =100

12-3-4+5-6+7+89    =100	1+2+3-4+5+6+78+9      =100

12+3+4+5-6-7+89    =100	-1+2-3+4+5+6+78+9     =100

98-76+54+3+21      =100	98-7-6+5+4+3+2+1      =100

98-7-6-5-4+3+21    =100	9-8+76+54-32+1        =100

98-7+6+5+4-3-2-1   =100	9-8+7+65-4+32-1       =100

98+7-6+5-4+3-2-1   =100	9-8+76-5+4+3+21       =100

98+7+6-5-4-3+2+1   =100	9+8+76+5+4-3+2-1      =100

98+7-6+5-4-3+2+1   =100	9+8+76+5-4+3+2+1      =100

98-7+6+5-4+3-2+1   =100	-9+8+76+5-4+3+21      =100

98-7+6-5+4+3+2-1   =100	-9+8+7+65-4+32+1      =100

98+7-6-5+4+3-2+1   =100	-9-8+76-5+43+2+1      =100

42. 복권 매매

어떤 복권에서 매상의 45%를 상금으로 내고 있다. 87,300프랑이 상금으로

나와 있다면, 한 장에 5프랑씩 하는 복권이 몇 장이나 팔린 것일까?

정답) 5프랑짜리 복권이 [eqn: x]장 팔렸다고 하자.

[eqn: &bold{5x times 45over100 =87300}## &bold{5x= {87300 times 100} over 45 = 194000, x= 38800}]

따라서, 1장에 5프랑짜리 복권이 38300장이 팔린 것이다.

43. 후벨리츠미(기원전 850∼780년)

더하면 10이 되고, 제곱하여 더하면 58이 되는 두 개의 수를 구하라.

정답) 3과 7

44. 좋아하는 숫자 만들기

어떤 사람이 좋아하는 한 가지 숫자가 연이어 있는 수를 나타내는 식을 생각해 보자. 먼저 0에서 9까지의 정수 중에서 여러분이 좋아하는 수를 생각하여라. 그 수에 37을 곱하고 그 곱에 다시 3을 곱하여라. 그러면  여러분이 좋아하는 숫자로만 된 세 자리의 수가 나올 것이다. 왜 그럴까?

풀이) 이것을 식으로 나타내면 다음과 같다. 즉 여러분이 좋아하는 수를 □라 하면

□ □ 37 □ 3 = □□□

가 된다. 만일 좋아하는 숫자가 6이라면

6 □ 37 = 222,  222 □ 3 = 666

이 식의 원리를 생각하기 전에 다음과 같은 것을 하나 더 알아보자.

좋아하는 수에 12345679를 곱하여라. 그리고 그 곱에 다시 9를 곱하여라. 그러면 좋아하는 숫자로만 된 9자리의 수가 나올 것이다.

예를 들어 좋아하는 숫자가 7이라고 하자.

7 □ 12345679 = 86419753

86419753 □ 9 = 777777777

따라서 이것을 식으로 나타내면 다음과 같이 된다.

즉 학생이 좋아하는 수를 □라 하면,

□ □ 12345679 □ 9 = □□□□□□□□□

이제 이식이 이루어지는 원리를 생각해 보자

□ = 7일 때를 생각하면,

7 □ 12345679 □ 9 = 777777777

양변을 7로 나누면

12345679 □ 9 = 111111111

우변의 수 111111111은 9자리의 수이고 각 자리의 숫자가 1이므로 각 자리의 수의 합은 9이다. 따라서 111111111은 9의 배수이다.

이것을 9로 나누면 몫은 12345679이다

따라서,

□ □ 12345679 □ 9 에서 12345679 □ 9는 항상 111111111이 됨을 알 수 있고 여기에 좋아하는 □수를 곱하면 □만으로 된 9자리의 수가 나오게 된다.

다시 처음으로 돌아가서

□ □ 37 □ 3 = □□□ 에서 생각해보자.

이 식은 37 □ 3 = 11이 되는 것에 착안하여 만들어진 식이다.

이와 같은 원리를 활용하면 또 다른 방법도 얼마든지 생각할 수 있다.

45. 동전 채우기

한 변의 길이가 1m인 정사각형의 유리판에 지름 10cm인 동전으로 채울 때 남는 면적과 지름 5cm 동전으로 채울 때 남는 면적 중 어느 것이 더 많은가?

정답: 같다

46. 구슬 채우기

한 변의 길이가 1m인 정육면체를 지름 10cm인 구슬로 채우고 남는 공간에 들어가는 물과, 지름 5cm인 구슬로 채우고 남는 공간에 들어가는 물은 어느 것이 더 많은가?

정답: 같다

47. 사원은 몇 명?

칠득이가 다니는 사무실의 아침인사는 뺨을 때리는 것이다.

어느날 칠득이가 뺨때리는 소리를 들어보니 132회나 들렸다.

사무실의 사원은 몇 명인가?

정답: 12명

48. 강아지 나누기

"101마리의 강아지"라는 영화가 있었다. 점박이 강아지가 바글바글......

칠득이는 강아지를 나누어주기로 했다.

그래서, 강아지의 절반과 반마리<강아지 반마리라니, 얼마나 잔혹한 계산인가?>는 일순이에게 주었다.

남은 강아지의 절반과 반마리는 이순이에게 주고,

남은 강아지의 절반과 반마리는 삼순이에게 주고,

남은 강아지의 절반과 반마리는 사순이에게 주니 남는 강아지가 한 마리도 없었다.

3일 후 칠득이는 강아지가 보고 싶어서 일순이, 이순이, 삼순이, 사순이의 강아지들을 모두 한자리에 모으니, 처음의 강아지와 같은 수였다.

한 마리도 죽지 않았다.

처음의 강아지는 몇 마리였을까?

정답: 15마리

49. 로프는 몇 개?

길이가 8미터인 로프를 반으로 접고, 다시 반으로 접고, 다시 반으로 접었다.

대략 길이가 1미터 정도인 묶음이 생겼다.

가운데 부분을 잘랐다.

로프를 펼쳐놓으면 몇 개로 나누어져 있겠는가?

정답: 9개

50. 강아지 나누기 (2)

"101마리의 강아지"라는 영화가 있었다. 점박이 강아지가 바글바글......

칠득이는 또 강아지를 나누어주기로 했다.

48번에서 사순이가 자기의 강아지가 너무 적다고 불평을 했기 때문이다.

일순이에게 강아지의 5분의1과 5분의1마리를 주고,

이순이에게 남은 강아지의 4분의 1과 4분의 1마리를 주고, 삼순이에게 남은 강아지의 3분의 1과 3분의 1마리를 주고, 사순이에게 남은 강아지의 2분의 1과 2분의 1마리를 주었다. 그랬더니 칠득이에게 한 마리의 강아지가 남아 있었다.

처음의 강아지와 각각 몇 마리씩 나누어주었는지 알 수 있는가?

물론 강아지는 한 마리도 죽지 않았다.

정답: 9마리

51. 모자 때문에

칠득이는 큰 호수에서 최고 30km/h 의 속도로 달릴 수 있는 배를 가지고 시속 5km로 흐르는 강으로 갔다.

칠순이 집으로 강을 최고속도로 거슬러 올라가기를 몇 시간 칠득이는 자기 모자가 산들바람에 날려 없어진 것을 알았다.

칠득이는 최고속도로 강을 따라 15km를 되돌아가서 모자를 찾았다.

칠득이는 칠순이 집으로 가는데 몇 시간이나 늦어진 것일까?

정답: 1시간

52. 각자 증명하여 보자.

연속한 두 자연수의 곱의 두 배는, 그 두 자연수 각각의 제곱의 합보다도

항상 1만큼 작다. 이것을 증명하라.

53. 강을 거슬러 …

칠득이는 큰 호수에서 최고 40km/h 의 속도로 달릴 수 있는 배를 가지고 시속 5km로 흐르는 강으로 갔다.

칠득이가 강을 거슬러 20km를 갔다가 되돌아오는데 걸리는 시간은?

정답: 64/63시간

54. 시계를 맞춘 시간은?

칠득이의 방에는 두 개의 시계가 있다.

둥근 시계는 1시간에 1분씩 빨리 가고, 네모시계는 1시간에 2분씩 늦게 간다.

어느 날 칠득이는 두 시계의 시간을 맞추어 놓았더니

다음날 아침 둥근 시계는 7시 네모시계는 6시였다.

칠득이는 몇 시 몇 분에 시계를 맞추었을까?

정답: 10시 40분

55. 사각형 BCDE의 넓이는?

정답: 22.5

56. 다음 식이 성립하도록 같은 문자에 같은 숫자를 넣어라.

정답: 345054+402758

57. 다음 식이 성립하도록 같은 문자에 같은 숫자를 넣어라.

정답: 9108-1098

58. 땅의 넓이의 비는?

길이가 같은 긴 끈 두 다발이 있다.

칠득이는 그 끈으로 정삼각형 모양의 울타리를 치고, 만득이는 정사각형 모양의 울타리를 쳐서 자기 땅을 만들었다.

칠득이가 만든 땅과 만득이가 만든 땅의 넓이의 비는?

정답: [eqn: bold{4root3 :9}]

59. 브라마굽타(기원전 600년경)

인도의 수학자인 브라마굽타의 수학책 『구타카』에는 이렇게 씌어져 있다. 어느 날수에서 1을 빼고, 그것을 6으로 나누고 다시 3을 더하면 원래 날수의 [eqn: {1} over {5}]이 된다. 그렇다면 이 날수는 얼마인가?

정답) 구하는 날수를 [eqn: x]라 하면,

[eqn: &bold{x-1 over 6 +3 = x over 5}##&bold{x=85}]

따라서 구하는 날수는 85일이다.

60. 양말 색깔

어두운 방에 서랍이 하나 있는데 그 속에는 각각 24개의 붉은 양말과 푸른 양말이 있다. 이 서랍에서 최소 몇 개의 양말을 꺼내야 같은 색깔의 양말을 적어도 두 개 골랐다고 안심할 수 있을까?     짝짝이면 안 되니까?

정답) 세 개

61. 최소공배수와 최대공약수

공통의 배수, 즉 공배수의 가장 오래된 예는 □십간 십이지(十干十二支)□라는 것일 게다. 이 십간 십이지는 옛날부터 중국에서 쓰여져 왔고, 지금도 우리나라에서 사람이 나이를 말할 때, □갑자생(甲子生)□이니 □무술생(戊戌生)□이니 하는 말을 자주 쓴다.

십간(十干)은,

갑   을   병   정   무   기   경   신   임   계

(甲) (乙) (丙)  (丁)  (戊)  (己) (庚) (辛)  (壬) (癸)

십이지(十二支)는,

자   축   인   묘   진   사   오   미   신   유   술   해

(子) (丑)  (寅) (卯)  (辰) (巳)  (午) (未)  (申)  (酉) (戌)  (亥)

십간은 10년에 1번, 그리고 십이지는 12년에 1번 되돌아오게 되어 있다. 그렇다면 □갑자(甲子)□의 해가 한 번 지난 다음에 다시 돌아오려면 몇 년 후가 될까?

□갑□은 10년에 1번 돌아오기 때문에 10의 배수이고, □자□는 12의 배수가 된다. 따라서 □갑자□는 10과 12의 공통의 배수가 되는 해에 찾아온다. 즉,

십 간  : 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, □□□□□

십이지 : 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, □□□□□

이 중에서 공통의 수를 찾으면 면저 60이 눈에 뛴다. 이 60은 10과 12의 공통의 배수 중에서 가장 작은 것이다. 즉 최소공배수이다. 만 60세를 환갑이니 회갑이니 하는 것은 이런 뜻에서이다.

그 다음에 □갑자□의 해가 찾아오는 것은, 120년째, 다음에는 180년째, ……, 그러니까 10과 12의 공배수는 60, 120, 180, 240 ……과 같이 60의 배수가 된다.

이러한 규칙이 있기 때문에, 공배수를 구하기 위해서는 먼저 최소공배수를 찾으면 된다.

공배수 중에서는 가장 작은 최소공배수가 중요하지만, 공통의 약수 즉, 공약수에서는 반대로 가장 큰 최대공약수가 중요하다.

공약수에서는 최소의 것은 언제나 1이어서 별로 뜻이 없기 때문이다.

62. [eqn: bold{root2}]의 근사값

한 변의 길이가 12인 정사각형 ABCD가 있다.

그 대각선 AC를 한 변으로 하는 정사각형 ACEF의 넓이는 원래의 정사각형 ABCD의 넓이의 2배이다. 즉,

F

AC2= 2 × AB2 =2 × 122 = 288 A ≒ 289 = 172 12			E
			D

B             C

이므로, AC ≒ 17이라고 생각한다. 그러므로

√2 = AC/AB ≒ 17/12 = 1.4166 …  이다.

더욱 상세한 근사값을 구하기 위해

(17 - x)2 = 2 × 122

아라 하고, 근사값을 구해 보자.

풀이) 답 : √2 ≒ 577/408 = 1.4142156 …

(17 - x)2 = 2 × 122

289 - 34x + x2 =288

x는 작은 수이므로, x2은 더욱 작은 수로 된다. 따라서 x2은 무시할 수 있다.

289 - 34x ≒ 288

따라서 x ≒ 1/34

(17 - 1/34)2 ≒ 2×122  이므로

√2 ≒ 1/12 × (17 × 34 -1)/34 = 577/408

63. 수학 관련 퍼즐

가로, 세로에 알맞은 단어를 써넣으시오.

1	17			19			2
			3		20
	4				5	21
6				7				22
		8				9
10	18				11
			12				13	23
14						15
			16

▣가로 열쇠▣

1.  미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식

2.  양수, 음수를 나타내는 기호

3.  석가가 그 아래에서 도를 깨달았다는 나무

4.  각도를 재는 데 쓰는 도구

5.  사막에서 잘 자라는 가시 돋힌 식물

6.  동그라미 모양

7.  이른 새벽에 길은 우물물.

8.  이른 봄에 피는 노란색의 꽃

9.  흩어져 퍼져 있는 실태를 쉽게 파악할 수 있게 만든 도표

10. 같은 위치 관계에 있는  두 각

11.  대한민국 임시정부가 수립되었던 중국의 도시

12.  실수 중에서 유리수가 아닌 수(□, √2, √3, …)

13.  조선 시대의 임금으로 규장각을 설치하고, 자신이 「홍재전서」라는 문집을 내기도 함.

14.  수돗물을 틀거나 잠그게 하는 장치

15.  직선위에 원점을 정하여 그 오른쪽에는 양수, 왼쪽에는 음수의 눈금을 매겨 놓은 직선,

16.  밤에 비치는 이 곤충의 불빛을 반딧불이라 함.

▣세로 열쇠▣

2.   반장을 도와 학급의 일을 이끌어 나가는 이,

3.   본보기의 준말

6.   전라북도 무주에 위치한 물맑고 경치좋은 동네

7.   증명된 명제 중에서 기본이 되는 것,  8. 내각을 개편함.

11.  일정한 값을 나타내는 수나 문자

12.  비가 갠 후에 태양과 반대쪽 하늘에 나타나는 일곱 색깔  ○○○

13. ‘○○이 최선의 정책’, 거짓이 없이 마음이 바르고 곧음.

15.  바퀴를 달아 굴러 가게 만든 것

17.  모든 변의 길이가 같고, 또 모든 내각의 크기가 같은 다각형

18.  큰 도시의 주변에 있어 그 종속적 지위에 있는 작은 도시

19.  청렴하지 못한 관리, 탐관 ○○,

20.  daffodil

21.  하나의 다항식을 2개 이상의 다항식의 곱의 꼴로 나타낸 것

22.  자와 컴퍼스만을 사용하여 도형을 그리는 것

23.  선박을 건조·개조·수선하는 곳

(정답)

방	정	식		오			부	호
	다		보	리	수		반
	각	도	기		선	인	장
구	형			정	화	수		작
천		개	나	리		분	포	도
등	위	각			상	해
	성		무	리	수		정	조
수	도	꼭	지			수	직	선
	시		개	똥	벌	레		소

64. 식수 배달

식수를 실은 배가 다음 그림의 15개의 섬을 다니며 골고루 물을 나누어주려고 한다. 같은 섬을 두 번 거치지 않고 (1)번 섬에서 (15)번 섬까지 가려면 어떻게 가면 되나?

단, 섬사이에는 암초가 있어 배는 그림에서 줄친 항로 이외로는 갈 수가 없다.

정답)  1 - 2 - 6 - 4 - 3 - 7 - 5 - 12 - 14 - 9 - 8 - 10 - 11 - 13 - 15

65. 조각 맞추기

아래에 있는 네 조각을 한데 결합하여 처음에는 정삼각형으로 만들어 보고 나서 정사각형으로 만들어 보시오.

정답)

66. 양의 분배

옛날 어느 곳에 양치기가 17마리의 양을 가지고 있었다. 그 사람이 죽을 때 3명의 아들에게 다음과 같이 유언을 남겼다.

「장남은 1/2을, 차남은 1/3을 3남은 1/9을 가져라.」라고.

그런데 그대로는 분배할 수 없는 곤란이 생겼다. 그 때 이웃 사람이 한 마리의 양을 데리고 와서 다음과 같이 분배해 주었다.

장남에게는 (17 + 1) × 1/2 = 9     □□□

차남에게는 (17 + 1) × 1/3 = 6       □ 17

삼남에게는 (17 + 1) × 1/9 = 2     □□□

그래서 분배한 양은 합계 17마리가 되었기 때문에 데리고 온 양은 이웃 사람이 다시 데리고 돌아갔다.

67. 날아가고 있는 화살은 사실 정지하고 있다?

기원전 5세기 그리스에서는 궤변학파(sophist)가 매우 성행하였다. 그들의 영수격인 제논은 해괴망측(?)한 주장을 하였는데, 바로 "날아가고 있는 화살은 실은 정지하고 있다"는 설이다.

지금 날아가고 잇는 화살이 있으며, 그 위치가 A지점이라고 하자. 이 화살은 A지점에 도달하기 전에 중간지점인 B를 통과하지 않으면 안 된다. 더욱이 B지점에 도달하기 전에 C지점을, C지점에 도달하기 전에 D지점을, ... 각각 통과하지 않으면 안 된다. 그런데 그리스인은 시간은 얼마든지 무한히 자를 수가 있지만 화살의 궤적(선)은 무한히 자를 수가 없는 유한한 점으로 구성되어 있다고 생각해 왔다. 그래서 결국 '날아가고 있는 화살이라 해도 출발점 X에서 조금도 앞으로 날지 못한다'는 생각을 하게 된 것이다.

결정적인 문제점은 '선이란 크기가 있는 유한한 점으로 구성되어 있다'는 상식에 있었다. 유클리드는 <기하학원론>에서 '선에는 폭이 없으며 점에는 크기가 없다'고 정의했는데, 이러한 문제는 17세기 미분이 등장할 때까지 해결되지 못했다.

68. 왜  0 으로 나누면 안되는 것일까?

우선 나눗셈의 의미를 생각해 보자.

6 ÷ 2 = □ 은, 사실 2를 곱하면 6이 되는 수, 즉, 6 = □ × 2가  되는 수이다. 이것은 물론 3이다. 그런데 만을  6 ÷0 이라고 하는 나눗셈을 생각한다고 하면, 그 답, 6 ÷  0 = □은,  0을 곱하면 6이 되는 수, 즉, 6 = □ × 0이 되는 수라고 하는 말이 된다. 이와 같은 수가 있을까. 답은 이 속에 어떤 수를 넣어도 이 식은 성립하지 않는다.

이와 같이 6 ÷ 0은 답이 없는 계산이기 때문에 해서는 안된다고 하는 것이다.

만일 등식의 양변을 0으로 나누면 모순이 되어 버린다.

예를 들어, 1 × 0 = 2 × 0 은 올바른 식이지만, 이 양변을 0으로 나눈, 1 = 2 은 옳은 식이 아니다.

69. 방앗간과 뫼비우스의 띠의 관계

우리들은 너무나 고정 관념의 틀 속에 갇혀 지내고 있다. 가끔 이 고정 관념을 깨는 습관을 갖도록 하자.

예를 들면 우리 옆집에 사는 아저씨와 2백 리나 멀리 떨어진 곳에 사시는 고모님과의 관계를 생각해보자. 누가 더 가까운가? 옆집 아저씨? 멀리서 사시는 고모님? 생각하기에 따라서 답이 달라질 수 있다.

거리 개념으로 따지면 옆집이니까 옆집 아저씨가 가깝지만, 혈족 개념으로 따지면 2백리나 떨어져 있어도 아버지의 누이동생이므로 고모님이 무척 가깝다.

이와 같이 무엇에 기준을 두느냐에 따라 답이 달라지는 것이다.

독일의 유명한 수학자 뫼비우스(Mobius, A. F.;1790∼1868)도 당시에는 생각하지도 못한 것을 생각해 냈다. 그 당시에는 유클리드 기하학이 널리 퍼져 있었다. 사람도 앞과 뒤가 있듯이 모든 물체에는 앞면이 있으면 반드시 뒷면이 있다고 믿고 있었으며, 아무도 앞면만 있을 수 있다는 것을 생각하려고 하지도 않았던 때, 뫼비우스는 혹시 앞면만 있을 수 없을까? 를 생각하여 만들어 낸 띠가 바로 뫼비우스의 띠이다.

오늘날 방앗간에서 벨트를 이용하여 기계의 축을 돌리는데, 이 벨트 중 한 번 꼬여 있는 것이 바로 뫼비우스의 띠이다. 이와 같이 만들어 기계의 축을 돌리면, 면이 모두 기계에 닿게 되므로 벨트의 수명이 훨씬 길어지게 되는 것이다.

70. 함수는 변화의 언어이다.

어떤 수학자는 수학을 '함수 관계를 다루는 학문'이라고 규정짓고 있지만, 이것이 설령 과장일지라도 현대 수학의 기본이 함수라는 것은 틀림없는 사실이다. 그만큼 함수는 수학에서는 중요한 개념이며 여러 가지 대상을 분류하거나, 대응시킬 때는 이 개념이 반드시 쓰인다. 흔히 우리는 이러한 함수를 변화의 언어라 일컫는다.

우리의 일상 생활에서 겪는 일들은 변하는 것과 변하지 않는 것의 두 가지로 분류할 수 있다.

예를 들어 '고속 버스가 달린다.'에서 '달린다'라는 동사는 위치의 변화를 나타내고, '고속 버스'라는 명사는 위치의 변화에도 불구하고 변화하지 않는 것을 의미한다.

수학에서 다루는 내용도 변화하는 것과 변화하지 않는 것의 두 가지 측면이 있다. 변화하지 않는 것을 강조하느냐, 변하는 것을 강조하느냐에 따라 수학의 내용은 크게 달라진다.

예를 들면 산수는 변화하지 않는 측면을 특히 강조한 분야이다. 1, 2, 3, … 이라는 상수라든가, 여러분이 배우고 있는 도형, 즉 삼각형이나 원은 움직이지 않는 정지 상태의 도형들이다.

그러나 근대에 들어와 이러한 정적인 수학, 즉 변화하지 않는 수학은 뒤로 물러나고, 그 대신 변화와 운동의 수학이 등장하였다. 이 동적인 수학은 활발한 변화를 요구하는 근대라는 새로운 새대 양상과 깊은 연관이 있다.

그래서 콜럼버스 (Columbus, Christopher ; 1451∼ 1506)를 필두로 상선들이 큰 바다로 항해를 시작했다. 망망대해에서는 배의 위치를 알기 위한 새로운 항해술이 필요하였으며, 자꾸만 변화해 가는 대상을 연구하기 위해서는 좌표와 변수, 함수라는 새로운 수학이 필요하게 하였다.

즉, 근대 변혁의 주인공인 상품이 함수라는 수학을 발전시킨 것이다.

앞으로 다가올 21세기의 주인공은 '정보'임에 틀림없다. 컴퓨터를 통해서 필요한 정보를 수시로 단숨에 입수할 수 있는 세상이기 때문이다. 정보화 사회에 필요한 새로운 수학은 과연 어떤 것일까 각자 생각해 보기 바란다.

71. 파라볼라 안테나는 왜 포물선일까?

요새 길을 가다 아파트의 창문을 살펴보면 우산을 반대로 걸어 놓은 듯한 접시 모양의 것을 많이 보게 된다. 그것이 바로 위성 중계 TV를 보기 위한 파라볼라 안테나이다. 보통 TV 수신안테나는 가지형으로 길쭉한 막대에 가지가 여러 개 나있는 모양인 반면에, 위성 중계 안테나는 왜 하필 포물선 모양을 하고 있는 것일까?

그것은 포물선만의 독특한 성질 때문인데, 다음 그림에서 보듯이 외부에서 포물선의 초점을 지나는 광선과 평행하게 들어오는 광선이나 전파는 모두 포물선의 초점에 모이게 된다는 성질을 갖고 있다. 이렇듯 아무리 약한 광선이나 전파라도 한 곳에 모이니 멀리서 오는 전파를 받을 때에는 안성맞춤인 것이다.

포물선의 이러한 성질을 이용한 물건은 안테나 외에도 손전등, 스탠드의 갓이 있다.  이들은 포물선의 성질을 파라볼라 안테나와는 반대로 응용한 것이다.

즉, 포물선의 초점에서 나온 광선은 포물선에 반사가 되어 모두 평행하게 나아가게 되어 약한 광선이라도 멀리까지 보낼 수 있는 장점이 있는 것이다.

이 외에도 수학의 많은 내용들이 우리 주변의 생활에 사용된 예는 많다.

72. 누구의 사진일까?

어떤 사진을 물끄러미 보고있는 사람에게 누군가가 물었다. "당신은 지금 누구의 사진을 보고 계십니까?"  그러자 그 사람이 대답했다.  "나는 남자형제도 여자형제도 없는데, 사진 속의 이 남자의 아버지는 내 아버지의 아들입니다."

그 사람이 보고있던 것은 누구의 사진일까?

정답) 자기 아들

73. 요일 맞추기

앨리스가 망각의 숲에 발을 들여놓는 순간, 기억을 모두 상실한 것은 아니고 단지 어떤 것만을 잊었다. 자신의 이름을 잊은 적도 한 두번이 아니었지만, 앨리스가 단골로 잘 잊은 것은 요일이었다. 이 망각의 숲에는 사자와 유니콘도 자주 들락거렸는데 이들은 이상야릇한 동물이었다.

사자는 월요일, 화요일, 수요일에는 거짓말을, 그 나머지 요일에는 참말을 하였고, 이와 반대로 유니콘은 목요일, 금요일, 토요일에만 거짓말을 하고 그 나머지 요일에는 참말만을 했다. 어느 날 앨리스는 사자와 유니콘이 나무 그늘 아래에서 함께 쉬고 있는 것을 발견했는데, 그들은 다음과 같은 이야기를 하는 것이었다

사자: 어제는 내가 거짓말을 하는 날이었어.

유니콘: 어제는 나도 거짓말을 하는 날이었지.

앨리스는 매우 총명한 소녀였기 때문에 사자와 유니콘 간의 대화를 듣고는 그 날이 무슨 요일인지 추리해 낼 수 있었다. 그 날은 무슨 요일이었나?

정답) 목요일

74. 벌은 왜 육각형의 집을 짓는 걸까?

원은 예로부터 '완전한 형태'로 여겨져 왔다. 그리고 자연계의 대부분이 태양이나 달과 같은 완전한 원의 형태를 지니고 있다.  그런데 세모나 네모의 형태를 지닌 것은 찾아보기가 어려운 데 비해 육각형은 생각보다 많이 존재하고 잇다. 그 하나가 은어의 세력권으로 서로의 세력을 형성하기 위한 다른 은어들과의 세력 다툼으로 원형의 형태가 이그러진 육각형의 형태를 만든다.

비슷한 예로 꿀벌의 집을 들 수 있다. 분주하게 움직이며 활동하는 꿀벌에게는 집의 모양이 육각형보다는 원형이 편리하겠지만, 은어의 경우처럼 원으로는 공간을 채울 수가 없기 때문에 결국 육각형의 집을 만든다고 한다.

75. 주사위에는 기억이란 없다.

10원짜리 동전 (100원짜리, 아니 500원짜리라도 상관이 없다.)을 던졌을 때, 앞면이 나올 확률은 1/2이라는 것쯤은 누구나 알고 있다. 그리고 이것을 이렇게 풀이하는 것이 보통이다. 100번쯤 동전을 던지면 다소는 우연이 있다 하더라도, 앞면이 50번 정도 나온다는 뜻으로 말이다.

이 상식과는 달리, '우연'은 의외로 끈질기게 우리를 놀린다. 그러나 200번 이상 던지면, 이 '우연'이라는 장난꾸러기도 지쳐버린 탓인지 앞면이 나올 확률은 대체로 1/2에 가까워진다. 그리고 계속 그 횟수를 늘릴수록 앞면이 나올 비율은

1/2근처에 머물게 된다.

이러한 현상을 확률학이라는 학문에서는 '대수의 법칙'이라고 부르고 있다. 시행 횟수를 크게 늘리면, 상대 도수가 확률값에 가까워진다는 것을 말하는 법칙이다. 그러나 오해해서는 안 된다.

"주사위를 던졌을 때, 1의 눈이 나올 확률은 1/6" 이라는 말은, 주사위를 던지면 여섯 번에 한 번  꼴로 1의 눈이 나온다는 것을 보증하고 있지는 않다. 다만 길게 내다볼 때 (던지는 회수를 크게 늘리면) 평균 여섯 번에 한 번 꼴로 1의 눈이 나

올 가능성이 높다는 것만을 보장하고 있는 데 지나지 않는 것이다.

즉, 이것은 주사위를 던지는 횟수를 한없이 크게 늘리면, 1의 눈이 나올 횟수는 주사위를 던진 횟수의 1/6에 자꾸자꾸 가까워진다는 것을 말해 주고 있을 뿐이다. 거듭 말하지만, 이 법칙이 확률의 '대수 법칙'이다. 두 번씩이나 이 말을 강

조하는 이유는 괜히 '확률'을 안답시고, 자칫 엉뚱한 착각에 빠지지 않도록 조심하라는 주의를 주기 위해서이다. 주사위를 던졌을 때 1의 눈이 나올 확률은 1/6이라는 것을 우리는 잘 안다. 그래서 주사위를 다섯 번이나 던졌는데도 1의 눈

이 한 번도 나오지 않았다면, 여섯 번째 주사위를 던지려고 하면서, 여러분은 틀림 없이 이렇게 다짐할 것이다.

"1의 눈이 나올 확률은 1/6이다. 그런데 여섯 번에 한 번 꼴로 1의 눈이 나오는 것이 보통이니까 이번에는 1의 눈이 나올 가능성이 크다."

그러나 이것은 이만저만한 오해가 아니다. 주사위 자신은 지금까지의 시행에서 어떤 눈이 나왔는지에 대해서 전혀 기억하고 있지 않기 때문에 주사위로서는 다시 완전히 새로운 마음으로 바닥 위로 굴러나갈 뿐이다.

요컨대,  "이번에는 1의 눈이 나올 것 같다." 라는 기대는 터무니없는 착각인 것이다.

76. 토끼는 몇 마리일까?

막 태어난 한 쌍의 토끼는 1개월 성장하여, 생후 2개월이면 한 쌍의 토끼를 낳는다. 그 후 1개월마다 한 쌍의 토끼를 낳는다. 처음에, 막 태어난 한 쌍의 토끼가 있다. 위와 같이 2개월이 되면 한 쌍의 토끼를 낳고, 그 후 매월 한 쌍의 토끼를 낳는다. 채어난 어느 쌍의 토끼도 2개월이 지나면 한 쌍의 새끼를 낳고, 그 후 매월 한 쌍의 새끼를 낳는다. 그러면 1년 후에는 몇 마리의 토끼로 될까? 물론 어느 토끼도 그 동안에는 죽지 않는 것으로 한다.

<답> 1개월 후에는 한 쌍이나, 2개월 후 한 쌍의 토끼를 낳으므로 1 + 1 = 2쌍의 토끼로 된다. 3개월 후에는 처음의 한 쌍이 새끼를 낳으므로, 1 + 2 = 3으로 된다. 4개월 후에는, 2개월 먼저 태어난 토끼는 모두 새끼를 낳으므로, 2 + 3 = 5로 된다.12개월후, 233쌍의 토끼가 되므로, 토끼의 수는 466마리이다.

이것은 이탈리아 피사의 레오나르도(?1170 - 1240?)의 [산반서]에 나온 문제이다. 레오나르도의 아버지는 모낫치라고 하므로 그의 아들을 뜻하는 의미에서 휘보낫치라고도 부른다.

따라서 위의 수열 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, .......를 휘보낫치 수열이라고도 한다.

77. 브라만의 탑의 수수께끼

아주 먼 옛날 인도의 갠지스 강 기슭에 브라만교의 대 사원이 있었다. 그곳에는 세계의 중심임을 나타내는 큰 답이 있는데 그 아래에는 구리로 만든 판자 위에 높이가 약 50m 정도인 다이아몬드 기둥이 세 개 세워져 있고 그 중 한 기둥에는 위로 올라갈수록 작아지는 원뿔대 모양으로 64개의 원판이 끼워져 있다.

여기에는 다음과 같은 신의지시가 옛날부터 전해 내려오고 있다.

"이 세 개의 기둥을 적당히 써서 한 개의 기둥에 끼워진 원판을 다른 기둥으로 옮겨라. 다만 원판은 한 번에 1개씩 옮기되 큰 것을 작은 것 위에 얹으면 안된다. 이제부터 내 말을 충실히 시행하고 한 순간도 게을리하지 말아라. 만일게을리하는 일이 있으면 그 때는 이 사원의 탑도 무너지고 세계는 종말을 고하게 되리라."

브라만 교의 스님들은 어떻게 했을까? 사원이 무너지지 않게 하기 위하여 부지런히 원판을 옮기기 시작했을 것이다. 그러면 이 64개의 원판을 옮기려면 원판을 몇 번이나 이동시켜야 할까 ?

문제를 간단히 풀기 위하여 우선 원판의 개수를 줄여보자.

만약 원판이 1개라면 이것을 옮기는 데는 1번의 이동으로 충분하다. 만약 원판이 2개라면 3번 이동시키면 된다. 그러면 원판이 3개라면 몇 번 이동시켜야 할까? 오른쪽 그림에서 기둥의 이름을 A, B, C라 하자. 작은 원판 2개를 B로 이동시키려면 원판이 2개인 경우와 같이 3번 이동시키면 된다. 그 다음에 가장 큰 원판을 C로 옮기고(1)번) 다시 B에 있는 원판 2개를 3번 이동하면 C로 옮길 수 있다. 곧 3+1+3=7(번) 옮기면 된다.

이것을 정리하면 n개의 원판을 옮기려면 n-1개의 원판을 옮기는 횟수의 2배에 1을 더한 횟수만큼 이동시키면 된다는 것을 알 수 있다.

이제 원판이 4개, 5개 있을 때의 이동 횟수를 계산한 후, 그 횟수의 규칙을 찾아보자. 과연 브라만의 스님들은 언제쯤 이것을 완성할 수 있을까…

78. 열려 있는 문의 개수

1에서 100까지의 번호가 붙은 100개의 문이 일렬로 놓여 있고 모두 닫혀 있다. 먼저 1번 학생이 1의 배수가 되는 문을 열면서 지나간다. 2번 학생이 2의 배수가 되는 문을 닫혀 있으면 열고, 열려있으면 닫으면서 지나간다. 또 3번 학생은 3의 배수가 되는 문을 반대로 하면서 가고,.....

위의 방법으로 100번의 학생까지 모두 지나갔을 때 , 열려 있는 문은 모두 몇 개이겠는가?

(풀이) 대부분의 사람들은 1번 학생이 건드린 문은 무엇이고, 2번 학생이 건드린 문은 무엇이고 ..하는 식으로 학생의 입장에서 생각한다. 하지만 입장을 바꾸어 문의 위치에서 생각해보자.

학생은 자기 번호의 배수가 되는 문을 열고 닫겠지만 문의 입장에서 생각하면 자기 번호의 약수가 되는 학생이 오는 것이다. 그러므로 처음에 닫혀있던 문이 마지막에 열려 있는 것은 약수의 개수가 홀수인 경우이다.

6=1[eqn: TIMES]6=2[eqn: TIMES]3,   9=1[eqn: TIMES]9=3[eqn: TIMES]3

위의 예에서 보듯이 약수가 홀수가 되려면 n[eqn: TIMES]n의 형태, 즉 제곱수가 되어야 한다.

그러므로 열려 있는 문의 번호는 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100의 10개 뿐이다.

79. 방 값을 지불하는 방법

한국에서 미국으로 관광하고 있는 어떤 아가씨는 어느 한 호텔에서 1주일간 방을 빌리려고 한다. 그런데 하루에 방 값으로 현금 100달러를 지불해야 하는데 지금 당장 현금이 없다고 한다. 1주일 후면 현금을 구할 수 있는데 그동안 1주일간 현금 대신에 아래 그림과 같은 7개의 고리로 되어 있는 금팔찌를 하루에 하나씩 맡기고 1주일 후에 현금과 교환하기로 했다면 몇 군데의 고리를 절단해야 하는가? (단, 금팔찌는 한 번 자르면 다음에 다시 붙일 때 보석 세공비를 지불하여야 하므로 가급적 적게 절단해야 한다.)

해답 ) 호텔 직원에게 맡겨놓은 금팔찌와 교환할 수 있으므로 팔지의 연결부분을 모두 자를 필요는 없다. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7개의 고리를 만들기 위해서는 1, 2, 4개의 고리들의 조합만으로 충분하다. 그러므로 위 그림에서 왼쪽(또는 오른쪽)에서 세 번째에 있는 하나의 고리를 자르는 것만으로 팔찌를 1, 2, 4개의 고리를 만들 수 있으므로 한 군데만 절단하면 된다. (여기서 1, 2, 4의 숫자는 2의 거듭제곱 숫자이다.)

80. 불량품 생산회사 찾는 법

어느 제품에 다이아몬드가 10그램씩 들어간다고 한다. 다이아몬드를 납품하는 회사가 10개가 있다. 이 10개의 회사 가운데 한 회사가 다이아몬드를 9그램에 납품하고 있다는 정보를 입수하였다. 그래서 각 10개의 회사에서 여러 개의 샘플을 가지고 와서 불량품을 납품하고 있는 회사를 찾으려고 한다. 이때 눈금 저울을 한 번만 사용하여 불량 제품을 생산하는 1개의 회사를 어떻게 찾을 수 있겠는가?

(풀이와 정답)

눈금저울을 한 번만 사용하여 불량품을 납품하는 회사를 찾아야 한다. 그러기 위해서 10개의 각 회사에 1에서 10까지 고유번호를 부여한 후 1번 회사에는 제품 1개를, 2번 회사에는 제품 2개를, … , 10번 회사에는 제품 10개를 눈금저울 위에 올려놓으면 된다. 10개 회사 모두 불량품이 없이 정상적인 제품을 납품하고 있다면 [eqn: bold{(1+2+3+ CDOTS +10) TIMES 10=550}]  그램이 되어야 한다. 그런데 1개 회사가 불량품을 납품하고 있으므로 전체의 양은 550그램이 안될 것이다. 그 모자라는 양을 보면 몇 번째 회사가 불량품을 납품하는지 알 수 있다. 만약 6번 회사가 불량품을 납품한다면 1개에 1그램씩 6개가 각 1그램씩 부족하므로 544그램이 될 것이다. 곧, 눈금저울에 나타난 무게가 544그램이면 6번 회사가 불량품을 납품하고 있는 것이 된다. 만약 눈금저울에 나타난 무게가 548그램이면 2번 회사가 납품하고 있는 것이다.

81. 우유나누기

우유가 가득 든 4L들이 병이 있다. 차은이가 미진이와 은희에게 2L씩 나누어주려고 한다. 그런데 차은이에게는 용량 2.5L들이 병 한 개와 1.5L들이 병 한 개밖에 없다. 어떻게 해야 할까?

풀이)

1회: 4L들이 병의 우유를 2.5L들이 병에 가득 붓는다(4L병에 1.5L남음)

2회: 채워진 2.5L들이 병의 우유를 1.5L들이 병에 가득 붓는다  .(2.5L병에 1L남음)

3회: 1.5L들이 병의 우유를 모두 4L병에 부으면 4L의 병은 3L가 된다.

4회: 2.5L 병에 남아있던 1L을 1.5L에 붓는다.(2.5L.들이 병에는 우유 없음)

5회: 4L병의 것을 2.5L 병에 가득 붓는다.(4L들이 병에는 0.5L 남음)

6회: 2.5L들이 병에 2L만 남기고 0.5L를 1.5L병에 부어 가득 채운다.

7회: 1.5L 병의 것을 4L병에 부으면 2L가 된다.

82. 숫자찾기

내게는 3025라고 쓰여진 번호표가 있다. 그런데 잘못해서 번호표가 반으로 찢어지고 말았다. 30과 25 두 숫자를 가지고 여러 가지 셈을 해본 나는 재미있는 사실을 발견하였다. 30과 25를 더한 다음 제곱을 하면 원래의 숫자가 되는 것이다. 30 더하기 25는 55이고 55[eqn: TIMES]55=3025이다. 이런 경우가 되는 다른 숫자를 찾아보세요.

(풀이)

네 자리 수 가운데 주어진 조건을 만족하는 수는 3025와 9801뿐이다.

2025도 될 것 같지만 2가 두 번 들어가기 때문에 안 된다.

그래서 정답은 9801

83. 쥬스 나누기

8L짜리 쥬스병에 쥬스가 가득 들어 있다. 정률이와 병철이에게 똑같이 나누어 주려고 하는데 용량이 5L,3L인 빈 병 2개 밖에 없다. 어떻게 하면 이 두 개의 빈병을 이용하여 쥬스를 4L씩 나누어 줄 수 있을까?

(풀이)

1회: 처음에 쥬스를 8L병에서 5L병에 옮긴다. 그러면 8L병에는 3L의 쥬스가 남는다.

2회: 5L병에서 3L의 병으로 쥬스를 옮긴다. 그러면 5L병에는 2L의 쥬스가 남는다.

3회: 3L의 병에서 8L의 병으로 쥬스를 옮긴다. 그러면 8L의 병에는 6L의 쥬스가 남는다.

4회: 5L의 병에 있는 2L쥬스를 3L의 병으로 옮긴다.

5회: 8L의 병에 있는 6L의 쥬스를 5L의 병으로 옮긴다. 그러면 8L의 병에는 1L의 쥬스가 남는다.

6회: 5L의 병에서 이미 2L가 들어 있는 3L의 병으로 쥬스를 옮기면 5L의 병에는 4L의 쥬스가 남는다.

7회: 3L의 병에서 이미 1L가 들어 있는 8L의 병으로 쥬스를 옮기면 8L와 5L의병에 각각 4L의 쥬스가 남게 된다.

84. 걸리버의 식료품과 식사

〈걸리버 여행기〉를 읽으면 소인국의 릴리파트인은 걸리버에게 지급하는 식료품의 기준량을 다음과 같이 정했다.

「……그에게는 매일 릴리파트인의 1728 명분의 식량과 음료수를 지급한다.」

또, 걸리버는 이렇게 이야기하고 있다. ―「……300인의 요리사가 나를 위해 음식을 만들었다. 내 집의 주위에는 조그만 집이 지어졌고 그 곳에서 취사를 하고 요리사를 하고 요리사들도 가족과 함께 거기에 살았다. 식사 때에 나는 20명의 하인들을 식탁 위에 올려놓아 주었다. 그러자 바닥에 있는 100명 정도의 하인들이 대기하고 있으면서 어떤 사람은 음식물이 담긴 접시를 올리고, 어떤 사람들은 포도주나 그 밖의 통을 서로 어깨에서 어깨로 걸친 나무 봉으로 운반했다. 위에 있는 하인들은 내가 원하기만 하면 무엇이든 밧줄과 도르래로 식탁 위에 끌어 올려놓았다.……」

그런데 릴리파트인들은 어떤 계산에서 이렇게 많은 음식물의 양을 정했을까?

또, 한 사람의 인간에게 음식을 주는 데 어떻게 이렇게 많은 하인들이 필요했을까?

걸리버는 키가 큰 릴리파트인보다 고작 해서 12배밖에 크지 않았다. 걸리버가 먹는 음식물의 양도 식욕도 릴리파트인의 12배가 큰 것이었을까?

풀이)

그와 같은 계산은 아주 옳은 것이다. 릴리파트인의 키는 걸리버의 키의 12분의 1이지만 부피도 12분의 1이라는 것은 아니고 부피는 1728(=12×12×12)분의 1이 된다. 릴리파트인보다 12배 큰 걸리버는 생명을 유지하기 위해 그에 어울리는 식량을 취하지 않으면 안 된다. 따라서 릴리파트인은 걸리버에게 자기들의 1728명분에 해당하는 음식이 필요하다고 계산을 한 것이다.

여기서 걸리버를 위해서 그렇게 많은 요리사가 필요했다는 것도 이해할 수 있다. 1728명분의 요리를 만드는 데는 한 사람의 릴리파트인의 요리사가 릴리파트인 6인분의 요리를 만들 수 있다고 해도 적어도 300명은 필요했을 것이다. 따라서 하인이 100명 정도 있었다는 것도 납득할 수 있다.

85. 여섯 마리 양과 울타리

한 농부에게 크기가 똑같은 양 여섯 마리가 있었습니다. 농부는 나무 13개로 크기가 똑같은 우리를 6개 만들었습니다. 아래 그림을 보세요. 13개의 성냥개비는 농부가 우리를 만드는 데 쓴 나무를 나타냅니다. 농부는 그렇게 만든 6개의 우리에 양을 한 마리씩 길렀지요. 그런데, 어느 날 도둑이 들어서 가운데에 있는 나무하나를 훔쳐 갔습니다. 농부는 큰일이 났다고 생각했습니다. 우리는 5개밖에 남지 않았기 때문이지요. 어떻게 한다? 농부는 한참 생각하다가 "옳지!" 하며 무릎을 탁 쳤습니다. 농부는 남아 있는 12개의 나무를 가지고 다시 우리를 만들었습니다. 그러면 농부가 만든 우리는 어떤 모양을 하고 있었을까요?

정답)

86. 계산의 천재

헝가리의 계산의 천재 훼렌스파다키는 수 초 안에 세 자리 두 수의 곱셈을 암산한다고 한다. 그가 1997년에 TV프로그램에 출연하여 다음과 같은 문제를 내었다.

□ 당신의 구두의 크기에 2를 곱하고 그 결과에 39를 더해주고, 그 합계에 50을 곱하고, 그 결과에 47을 더하여 그 합계로부터 당신이 태어난 연도(양력)를 빼주십시오. □

계산을 한 사람들이 모두 놀란 것은 답이 네 자리 수인데 앞의 두 숫자는 구두의 크기를 나타내고 뒤의 두 숫자는 계산한 사람의 당시의 연령을 나타내고 있다는 것이다.

어떻게 이러한 답이 나올 수 있을까?  단, 구두의 크기는 자연수이다.

풀이) 구두의 크기와 연령을 각각 [eqn: bolda], [eqn: boldb]라 하자. (단, [eqn: bolda], [eqn: boldb]는 자연수)

[eqn: bold{{(2a+39)times 50+47}-(1997-b)=100a+b}]

87. 덧셈카드 게임

1에서 9까지의 카드 세 쌍을 만듭니다. 카드 전체를 잘 섞어서 세 명에게 9장씩 나누어줍니다. 그리고 자기 손안에 있는 2장의 카드 수를 합해 10이 되면 그 2장의 카드를 세 사람이 둘러앉아 있는 중앙에 버립니다. 그리고 나서는 옆 사람에게 카드 1장을 받아 2장의 카드 수의 합이 또 10이 되면 버립니다. 그렇다면 마지막 남는 카드의 수는 어떤 수일까요 ?

답) 5

풀이 )  2장의 카드 수를 더해 10이 되는 조합을 생각해 보면 다음과 같습니다.

( 1 , 9 ) , ( 2 , 8 ) , ( 3 , 7 ) , ( 4 , 6 )

이와 같은 식으로 1 과 9 , 2 와 8 , 3 과 7 , 4 와 6 이 각각 조합되어 10이 됩니다. 남는 카드는 5 가 3장 입니다. 또한 5와 5 가 10이 되므로 5 카드가 1장 남습니다.  따라서 마지막에 5 카드를 가진 사람은 이 게임에서 지게 됩니다.

88. 우표 붙이기

우체국에 우표를 사러 갔는데 8원짜리 우표와 5원짜리 우표 두 가지만 있고 다른 우표는 모두 팔려 버렸습니다. 그런데 그 두 종의 우표로 아무리 해도 부칠 수가 없는 금액은 몇 원짜리 우표를 붙여야 하는 경우일까요?

답 ) 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 17, 19, 22, 27원

풀이 ) 위의 예 이외에는 어떤 금액이라도 부칠 수가 있다. 그것을 확인하려면 5원과 8원의 최소공배수인 40원 이하의 경우에서만 일일이 따져 보면 된다.

40원 이상은 얼마라도 가능하다. 예를 들어 41원이라면 8원짜리 두 장과 5원짜리 다섯장 붙이면 된다.

89. 미로의 정원

A에서 B까지의 길을 찾아내라. 단, 어떤 경우에도 아래에 열거되어 있는 네 개의 기호의 위에서 아래로의 순서와 같은 순서의 길이어야 한다.

												B
	○	●	□	●	□	●	○	○	○	□	■	○
	■	□	○	■	■	●	□	■	■	■	●	●
	●	●	■	○	□	○	○	○	○	■	■	●
	○	■	□	■	●	□	■	○	●	□	○	●
	■	□	■	■	■	○	■	■	■	●	●	●
	●	○	●	○	■	■	○	○	●	○	■	■
	○	●	○	■	●	○	□	○	■	●	□	●
■	■	○	□	●	○	●	■	●	■	○	■	□
□	○	●	○	●	■	●	■	○	●	■	○	○
●	■	○	●	○	●	□	■	■	●	●	□	□
○	●	□	○	●	■	○	□	●	□	○	□	●
A	■	●	○	■	●	●	□	○	□	□	●	○

	(정	답)										B
	○	●	□	●	□	●	○	○	○	□	■	○
	■	□	○	■	■	●	□	■	■	■	●	●
	●	●	■	○	□	○	○	○	○	■	■	●
	○	■	□	■	●	□	■	○	●	□	○	●
	■	□	■	■	■	○	■	■	■	●	●	●
	●	○	●	○	■	■	○	○	●	○	■	■
	○	●	○	■	●	○	□	○	■	●	□	●
	■	○	□	●	○	●	■	●	■	○	■	□
	○	●	○	●	■	●	■	○	●	■	○	○
	■	○	●	○	●	□	■	■	●	●	□	□
	●	□	○	●	■	○	□	●	□	○	□	●
A	■	●	○	■	●	●	□	○	□	□	●	○

90. 바코드 안전장치 '체크숫자'

출생 신고를 하면서 부여되는 주민등록번호를 시작으로 학교와 직장에서의 번호, 전화 번호, 아파트 동수와 호수, 버스 번호, 전철과 도로 등 우리는 숫자와 생활하고 있다고 해도 과언이 아니다. 수는 정말 만물을 지배하는 것일까.

슈퍼마켓과 서점에서 구입하는 대부분의 상품과 서적에도 숫자가 붙어있다. 이 숫자들은 여러 개의 검은 막대와 흰 막대를 달고 다닌다. 이것이 해당하는 숫자를 나타내는 바코드다. 스캐너로 읽히는 바코드는 판매 즉시 판매량과 금액 등 판매와 관련된 각종 정보를 신속하고 정확하게 집계해 재고 관리와 유통 업무를 효율적으로 처리할 수 있도록 한다. 그런데 바코드가 잘 읽히지 않아 스캐너를 여러 번 접촉시키다가 결국에는 키보드로 숫자를 입력하는 경우를 종종 볼 수 있다. 뿐만 아니라 바코드가 불명확하거나 유통 과정에서 손상되면, 스캐너는 다른 숫자로 읽을 수도 있다. 이런 문제에 대비해 바코드에는 체크 숫자라는 안전장치가 돼 있다. 이것은 상품의 정보를 간직한 고유 번호가 잘못 읽혀지는 것을 찾아내기 위한 숫자다.

91. 상품의 바코드이야기

우리 나라 상품에 붙어 있는 바코드는 유럽 상품 번호(EAN)를 따르고 있다. 통상 13개의 숫자로 이루지는데 처음 세 개의 숫자 ‘880’은 한국, 다음의 다섯 개는 제조업자이고, 그 다음 다섯 개는 상품을 나타내는 고유 번호인데 이중 마지막 숫자가 체크 숫자이다. 체크 숫자는 홀수번째 자리에 있는 숫자들을 그대로 더하고 짝수 번째 자리에 있는 숫자들은 3배해서 더한 전체의 합이(모듈 번호) 10의 배수가 되도록 정한다. 예를 들어 8801037002782의 경우를 생각해 보자.

이렇게 체크 숫자를 정하면, 한 개의 숫자를 잘못 읽은 경우를 모두(100%) 찾아내고, 인접한 두 숫자를 바꾸어 입력한 경우도 ‘대부분’(정확하게는 88.9%) 찾아낼 수 있다. 이것은 짝수번째 자리의 숫자에 3을 곱하는 가중치를 둔 효과다.

상품 번호의 약점 중 하나는 인접한 두 숫자의 차가 5일 때, 이 두 숫자를 바꾸어 입력한 경우에는 오류를 찾아낼 수 없다는 점이다.

예를 들어 위의 바코드에서 27을 72로 바꾸어 8801037007282로 입력했다고 하자. 그래도 결과는 10의 배수가 되므로 컴퓨터는 오류를 인식할 수 없다. 따라서 제조업자는 상품 번호를 정할 때 이런 경우를 미리 피해야 한다.

담배 같은 경우는 상품 번호가 8개의 숫자로(8800-9605) 이뤄졌다(그림2). 이런 경우에는 홀수 번째 자리에 있는 숫자들을 3배해서 더하고 짝수 번째에 있는 숫자들은 그대로 더한 전체의 합이 10의 배수가 되도록 체크 숫자를 정한다. 왜냐하면 체크 숫자에는 가중치가 곱해지지 않도록 하기 위해서다.

92. 두 사람의 타이피스트

두 사람의 타이피스트가 서류를 타이핑하게 되었습니다. 두 사람 중 경험이 많은 쪽은 일을 2시간에 마칠 수 있었지만 또 한 사람의 경험이 적은 사람은 똑같은 일에 3시간이 걸렸습니다.

그래서 이 타이핑을 가장 짧은 시간에 마치기 위해 두 사람은 일을 적절히 분담했습니다. 두 사람은 이 일을 과연 몇 시간만에 처리할 수 있을까요?

답) 1시간 12분

풀이) 경험이 풍부한 타이피스트 (가)는 경험이 적은 타이피스트 (나) 의 1.5배의 속도로 타이핑하고 두 사람이 동시에 일을 마쳤을 때 (가)가 한 일의 양은 (나)의 1.5배가 됩니다.

이것으로서 (가)는 전체의 3/5 을, (나) 는 전체의 2/5를 타이핑한 셈입니다.

그리고 (가)는 전부의 일을 2시간이면 정리할 수가 있기 때문에 (가)는 2시간 × 3/5 = 1시간 12분 (나)는 3시간 × 2/5 = 1시간 12분  따라서, 둘이 함께 타이핑하는 최소 시간은 1시간 12분입니다.

93. 물음표에 들어갈 수는?

지능검사에 나오는 문제보다 조금 어려운 규칙이 적용되어 나열된 다음 수들을 생각해 보자. 다음에 나올 수는 얼마일까 ?

3, 7, 16, 32, 57, ?

풀이 ) 3, 7, 16, 32, 57, ? 에서 다음 항에서 그 전의 항을 빼어 본다. 즉

7-3=4, 16-7=9, 32-16=16, 57-32=25, ?-57=?

이제 규칙을 찾을 수 있다. 즉 차가 제곱수가 됨을 알 수 있다. 그러므로 57+36= 93

2	5	6	7	11
6	10	12	9	20
8	10	?	4	18

94. 다음 표의 수들은 일정한 규칙으로 배열되어 있다. ? 안에 들어갈 알맞은 수를 찾아보자.

답)12

풀이) 세 번째 행은 두 번째 행에서 첫번째 행을 뺀 후 2 배한 값이다.

그러므로 (12-6)□2=12

95. 필요해서 생긴 도형의 지식

지구에는 경도, 위도를 나타내는 여러 선들이 있다. 그러면 여행을 할 때, 적도를 나타내는 선을 본 적이 있는가? 또는 날짜 변경선을 나타내는 선을 본 적이 있는가? 이 선들은 모두 우리의 머리 속에 있는 선이지 실제로 지구 둘레에 금을 그어 놓은 것은 아니다. 100m 달리기를 할 때, 트랙을 그어 놓고 달려 보았을 것이다. 그러면 그 트랙은 직선일까? 아니, 선분이라도 될까? 그렇지 않다. 우리가 땅에 그어 놓은 선은 이미 직선이 될 수 없기 때문이다. 직선도 우리의 머리 속에 있는 선일 뿐 일단 표현되면 엄격한 의미에서 직선이라고 할 수 없다. 이렇게 이론과 실제가 다른 직선이 없으면 어떻게 될까? 수학만이 아니라 우리 생활에서 직선이 없으면 얼마나 불편할지 생각해보라. 삼각형, 사각형을 못 그리는 것은 말할 것도 없고, 집을 짓기 위한 설계도도 그릴 수 없다. 유클리드는 선은 폭이 없다고 하였다. 그런데 우리가 그리는 사가형, 100m 트랙, 설계도 등의 선은 폭이 있다. 이런 모순이 생기는 이유는 실생활에서 선이 필요하기 때문이다. 필요하기 때문에 선이 생겨났고, 그 후에 선의 뜻을 정의해보려는 시도가 있었다. 유클리드가 해놓은 직선의 정의는 뒤에 힐버트에 의하여 폐기되었다. 힐버트는 점, 선 등을 무정의 용어라고 하여 정의없이 사용하기로 한 것이다. 그러면 60。는 어떻게 생겨난 것일까? 고대 바빌로니아에서는 태양이 궤도 위를 약 360일만에 일주한다는 사실을 알고 있었다. 그래서 원으로 태양의 궤도를 본떠서 태양의 하루 움직임을 길이가 원주의 인 호로 나타내었다. 그 결과 360의 인 60도 를 중요하게 여기게 된 것이다. 또, 원의 반지름으로 원의 둘레를 끊어 내접 정육각형을 만들면 60도가 만들어진다는 것도 알고 있었다. 이런 이유로 하여 60진법이 만들어졌고, 지급도 60진법이 쓰이는 것은 바빌로니아 시대로부터의 유산인 것이다. 그러면 직각은 어떻게 만들어졌을까? 건축술이 발달함에 따라서 직각은 매우 중요한 척도가 되었다. 벽을 쌓거나 기둥을 세우는 사람들에게는 줄을 늘어뜨렸을 때, 어느 쪽으로나 같은 각을 이루는 것이 중요하였다. 이 때, 줄과 땅이 이루는 각이 직각인 것이다.

96. 강건너기 (2)

부부와 두 아들이 배로 강을 건너려 한다.

부부의 몸무게는 각각 55Kg, 80Kg이고, 아들들의 몸무게는 각각 35Kg, 45Kg이다.

네 명이 모두 노를 저을 수 있고 배는 최대 적재량이 80Kg 이다.

어떻게 하면 강을 건너갈 수 있을까?

풀이)

부, 모, 1, 2      배

부, 모                배     1, 2

부, 모, 1        배             2

부, 1                 배     2, 모

부, 1, 2         배             모

부                    배    모, 1, 2

부, 1           배          모, 2

1,                    배    모, 2, 부

1, 2            배          모, 부

배   모, 부, 1, 2

97. 강건너기 (3)

3쌍의 남녀가 함께 여행을 떠났다.

강에 도착하였으나, 그곳에는 2인승 보트 밖에 없었다.

그런데 3명의 여자는 자기들 보다 많은 수의 남자들과 같이 있는 것을 싫어하였다.

더구나, 남자들은 모두 노를 저을 수 있지만, 여자중 한 명만 노를 저을 수 있다고 한다. 강을 건너서 즐거운 여행을 계속 할 수 있는 방법은?

풀이) 남자 : 1, 2, 3, 여자는 각각 : 일, 이, 삼 (일만 노를 저을 수 있다.)

1,2,3,일,이,삼 배

일,이,삼,3                배 1,2

일,이,삼,3,2  배              1

일,이,삼                 배 1,2,3

일,이,삼,1   배              2,3

삼,1                     배 2,3,일,이

삼,1,일,2    배              이,3

1,2                      배 이,3,일,삼

1,2,3        배             일,이,삼

3                        배 일,이,삼,1,2

3,1          배             일,이,삼,2

배 일,이,삼,2,3,1

98. 포도주 들어내기

110리터의 항아리에 포도주가 가득 들어있다.

30리터와 65리터들이 항아리가 하나씩 있는데, 포도주를 정확하게 10리터만 덜어내고 싶다. 어찌할까?

풀이) 110리터 통          65리터 통           30리터 통

110                   0                   0

45                  65                   0

15                  35                  30

75                  35                   0

75                   5                  30

105                   5                   0

105                   0                   5

40                  65                   5

40                  40                  30

70                  40                   0

70                  10                  30

99. 포도주 나누기

10리터의 항아리에 든 포도주를 두 사람이 각각 5리터씩 나누어 가지고 싶다.

항아리는 7리터, 3리터 두 개가 있다.  어찌할까?

풀이) 10리터 통            7리터 통            3리터 통

10                    0                   0

3                    7                   0

3                    4                   3

6                    4                   0

6                    1                   3

9                    1                   0

9                    0                   1

2                    7                   1

2                    5                   3

100. 아담 리스(1492∼1559년)

세 명의 견습공이 공동으로 204길더 짜리 집을 사려고 한다. 첫 번째 사람은 두 번째 사람보다 3배의 길더를 지불하고, 두 번째 사람은 세 번째 사람의 4배의 길더를 지불한다.

세 사람은 각각 몇 길더씩의 돈을 지불하는지 계산하라.

풀이) 세 번째 사람의 지불을 x 길더라 하면,

12x+4x+x=204,  x=12

따라서, 첫 번째 사람은 144길더, 두 번째 사람은  48길더, 세 번째 사람은 12길더씩 지불한 것이 된다.

101. 요하네스 부테후(1549년경)

부테후는 자신의 수학책 『로기스티카』에 이렇게 쓰고 있다.

아홉 개의 사과의 값이 배 한 개의 값만큼 싸게 되면 13데나리가 된다. 또한 15개의 배의 값이 사과 한 개의 값만큼 싸게 되면 6데나리가 된다고 한다.

사과 한 개, 배 한 개의 값은 각각 얼마인가?

풀이) 사과와 배 한 개의 가격을 x, y라 하자

9x-y=13 -----------(1)

-x+15y=6 , x=15y-6 --(2)

(2)를 (1)에 대입하면, 134y=67 , y=0.5

이것을 (2)에 대입하면, x=1.5

따라서, 사과 한 개의 가격은 1.5 데나리, 배 한 개의 가격은 0.5 데나리이다.

102. 스리니바사 라마누양(1887∼1920년)

영국의 수학자 G. H. 하디가 그의 친구인 인도의 수학자 S. 라마누양이 있는 곳에 1729번의 택시를 타고 갔다. □재미없는 수야□라고 하디가 말했다. □그렇지 않아. 오히려 그와 반대야.□ 라마누양은 곧 대답했다. □이것은 아주 재미있는 숫자야. 즉, 두 가지의 서로 다른 방법으로 각각 두 수의 세제곱의 합으로서 표현되는 최소의 수야.□

두 개의 서로 다른 방법으로 이 수를 나타내라.

정답) [eqn: bold{~~1^3 + 12^3 = 1+ 1728=1729~~`} # # bold{ 9^3 + 10^3 = 729 + 1000 = 1729}]

103. 아이잭 뉴턴(1642∼1727년)

그의 저서 『일반대수학』중에 뉴턴은 다음과 같이 섰다. □공부할 때에는 규칙보다도 문제가 도움이 되는 경우가 종종 있다.□ 이것에 덧붙여 그는 다음과 같은 과제를 내었다.

세 곳의 목장의 넓이가 각각 [eqn: 3{1} OVER {3}]헥타르, 10헥타르, 24헥타르이다. 세 목장의 모든 곳에서 풀이 자라는 조건은 완전히 똑같고, 풀이 돋아나는 상태나 성장 상태도 같은 것으로 한다. 첫 번째의 목장에서는 12마리의 소가 4주간 사용되었을 때, 두 번째의 목장에서는 21마리의 소가 9주간 사육되었을 때, 목장의 풀이 다 없어져 목장은 쉬어야만 했다. 세 번째의  목장에서 18주간 소를 사육한다면 몇 마리의 소를 사육할 수 있을까?

정답) 36마리

104. 특급열차의 평균 속도

세계에서 가장 빠른 특급열차를 알고 있는가. 이름이 □히카리□인 도쿄-하카타 간의 이 열차의 거리는 1,176.5km이고 최고 속도는 210km/h로 지속 시간은 최고 12분이다. 이 특급열차의 도쿄-나고야 간의(발차 6시, 도착 8시 1분) 평균 속도를 계산해 보라. 이 사이의 거리는 366km이다. 그리고 도쿄-하카타 사이의 전선에서는  (발차 6시, 도착 12시 45분) 평균 속도가 어느 정도일까?

정답) 도쿄 - 나고야 간의 평균 속도는 약 181.5 km/h

도쿄 - 하타카 간의 평균 속도는 약 174.3 km/h

105. 오페라의 TV 중계

밀라노 스칼라 극장의 오페라가 노르웨이에 TV 중계되었다. 누가 가장 빨리 오페라의 시작을 듣게 될까?  오페라의 무대로부터 25m 떨어진 좌석에 앉아 있는 밀라노 스칼라 극장의 관객일까, 아니면 하마페스토의 TV 시청자일까? (밀라노와 하마페스토 간의 거리는 약 2.900km, 음파의 속도는 340m/s, 전자파의 속도는 300,000km/s이다.)

정답) 음파의 경우는 약 0.07초 걸리고, 전자파의 경우는 약 0.01초 걸리기 때문에, 하마페스토의 TV 시청자 쪽이 보다 빨리 오페라의 시작을 듣게 된다.

106. 오토바이 사고와 같이

어떤 경솔한 오토바이 운전자가 대도시의 한복판을 50km/h의 속도로 달리다가 브레이크를 밟을 틈도 없이 단단한 장애물과 충돌했다. 높은 곳에서 떨어진다고 할 때 몇 미터 높이에서 떨어지면 이 사고와 같은 결과가 될까?

정답) 약 9.8m

107. 진동이 기록된 시간

음치(소리굽쇠)는 조화 있는 진동을 만들어 낸다. 이 진동을 기록하기 위해서는 음차를 검정으로 칠한 유리판 위에 두들겨 보면 된다. 이런 실험을 440헤르츠의 진동수를 가진 음차로 했을 때, 50의 진동을 셀 수 있다. 그렇다면 진동이 기록된 시간은 얼마일까?

정답) 약 0.114초

108. 속도 구하기

A) 어떤 낙하산 하강자가 낙하산을 펴지 않은 채 80m 떨어져 가는 것이 가능하다. 공기저항을 무시하고 그가 낙하산을 폈을 때 어느 정도의 속도에 달해 있을까?

B) 5m 높이의 점프대로부터 풀에 뛰어든 선수는 어느 정도의 속도로 물에 뛰어들게 될까?

정답) A) 약 142.5 km/h

B) 약 35.6 km/h

109. 여자 100m 장애물 달리기

1976년 몬트리올 하계 올림픽 대회에서 동독의 육상경기 선수 요한나 사라는 여자 100m 장애물달리기에서 12.77초를 기록하여 우승하였다. 그녀는 소련의 타샤나 아미시모화보다도 [eqn: bold {{1} over {100}}]초 빨랐다. 이 두 사람의 선수가 달린 속도가 일정하다고 하면 요한나 사라가 골인하였을 때 타샤나 아미시모화를 어느 정도 리드하고 있었던 것일까?

풀이) 아시미모화의 기록은 12.77+0.01=12.78초로,

그 속도는 v=10000cm/12.78s 이다.

따라서, 1/100초 사이에 아시미모화가 달린 거리는

10000cm/12.78s □ 1/100,  s□7.82cm.

사라는 불과 8cm 정도 리드하고 있다.

110. 범선의 경주

두 척의 범선이 경기에 참가하였다. 경주는 24km 왕복 시간을 겨루는 것이었다.  첫 번째의 범선은 한 시간에 20km의 속도로 왕복 거리를 일정하게 항해했다. 두 번째의 범선은 가는 것은 한 시간에 16km 돌아오는 것은 한 시간에 24km의 속도로 항해했다. 첫 번째의 범선이 경주에서 승리한 이유는 무엇일까?

풀이) 첫 번째 범선은 왕복에 2□24km/ 20km/h = 2.4h 걸렸다.

그러나 두 번째의 범선은 가는데 24km/ 16km/h = 1.5h, 돌아오는데

24km/ 24km/h = 1h 걸렸기 때문에, 왕복에 1.5h + 1h = 2.5h 걸린 것이 된다.

111. 분침의 추월

어떤 시계가 9시를 나타내고 있다.

몇 분만에 분침이 시침을 추월할까?

정답) [eqn: bold{49 1over11}] 분만에 분침과 시침은 같아진다.

112. 분침과 시침의 속도 비교

어느 시게의 분침의 길이가 2cm, 시침의 길이가 1.5cm이다.

분침 끝의 속도는 시침 끝의 속도와 비교하여 어느 정도 빠른가?

정답) 16배

113. 시침과 분침의 직각

시계의 분침과 시침은 24시간 동안 몇 번 직각을 만들까?

정답) 44회

114. 시계바늘의 일직선

시계의 바늘이 지금 바로 겹쳐져 있다.

몇 분이 경과하면 일직선이 될까?

풀이) 바늘이 일직선상에 늘어설 때까지 요하는 시간을 x 분으로 나타내는 것으로 하자. 그러면 분침은 시계반상의 x 부분의 눈금을 움직이고 같은 시간 내에 시침은 x/12분 분의 눈금을 움직이게 된다. 바늘이 일직선상에 늘어선다고 하는 것은 양 바늘 사이에 30분 분의 눈금의 차이가 있다는 것이다. 즉,

x - x/12 = 30 ,  x=32+8/11

바늘은 [eqn: bold{32 8over11}]분 후에 일직선상에 늘어서게 된다.

115. 수업 중의 시간

어느 날 6교시에 크라우스는 시계를 보았다. 분침은 시침에 가까이 있었지만 아직 3분 정도 떨어져 있었다. 몇 시였을까?  단, 6교시는 5시부터 수업이 시작한다.

정답) 5시 24분

116. 인공위성의 속도

인공위성은 지구에 떨어지지 않기 위하여 적어도 어느 정도의 속도를 가져야만 할까?

지구에 대한 제일우주속도로 불리는 이 속도를 알기 위해서는 위성이 지표에 아주 가까운 원 궤도상을 움직이고 마찰력은 없는 것으로 가정한다. 이 때 이 궤도의 반경을 6,378km, 중력가속도를 9.81□으로 한다.

정답) 7.91km/s

117. 명왕성까지

명왕성은 태양계의 가장 끝에 있는 혹성이며, 약 5,910,000,000km=59억 1천만 km나 태양으로부터 떨어져 있다. 빛이 이 거리를 날아가기 위해서는 어느 정도의 시간이 필요할까?

(진공에서의 빛의 속도는 300000km/s), 분과 시간으로 각각 답을 써라.

풀이)

v = s / t에서

t = s / v

t = 5910000000km / 300000km/s

t = 19700s

t = 328+1/3 분

= 5시간 28+1/3분

즉, 약 5.5시간을 필요로 한다.

118. 짐마차와 자전거

자치지구 A, B와 도시 C가 이 순서로 국도에 늘어서 있다. B로부터 짐마차가 아침 6시에 평균 속도 10km/h로 C를 향하여 출발하였다. 같은 날 A로부터 자전거를 탄 사람이 아침 7시에 평균 속도 15km/h로 C를 향하여 출발하였다. 자치지구 A와 B의 거리가 5km이고, 자전거를 탄 사람이 짐마차보다 20분 먼저 C에 도착했다고 하면 B와 C 사이의 거리는 몇 km인가?

또 자전거를 탄 사람은 몇 시에, C로부터 어느 정도 떨어진 곳에서 짐마차를 추월하였을까?

정답) B와 C 사이의 거리는 50km 이고, 자전거를 탄 사람은 10시에 C의 앞 10km 지점에서 짐마차를 추월하게 된다.

119. 썰매의 속도

썰매의 일종인 루지가 처음 속도 18km/h, 평균 가속도 0.8□으로 미끄러지고 있다.

스타트 지점으로부터 몇 초가 경과하여 몇 미터 달렸을 때 루지의 속도는       90km/h가 될까?

정답) 이 루지는 25초 후에 스타트 지점에서 375m 떨어진 곳을 달릴 때 90km/h의 속도에 이른다.

120. 터널의 길이

급행열차가 타우에른(알프스의 봉우리)의 터널을 통과하는 데 7분 30초가 걸리고 화물열차는 9분 30초 정도 걸린다. 급행열차의 속도는 화물열차의 속도보다  4m/s 빠르다. 타우에른 터널의 길이를 구하라.

정답) 8,850m

121. 후 후시(기원전 3000년경)

후 후시의 기호에는□는 현재의 6을 나타내고.  □는 1을 □는 3을 나타내고 있다.

a) □가 나타내는 숫자는 무엇일까?

b) 3개의 선과 3개의 중절선만을 가지고 이와 같은 기호를 만들어 도대체 몇 개의 수가, 또 어떠한 수가 표시될 수 있을까?

정답) a) 4를 나타낸다.

b) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7을 나타낼 수 있다.

122. 고대 바빌로니아 시대(기원전 2000년경)

폭의 [eqn: { 1} over { 4}]과 길이를 함께 하면 7자가 되고 폭과 길이를 함께 하면 10자가 된다.

폭과 길이는 각각  몇 자일까?

정답) 폭은 4자, 길이는 6자

123. 인도의 수학(기원전 2000년경)

고대 인도에서는 특별한 스포츠가 널리 유행하고 있었다. 그 스포츠라는 것은 복잡한 문제를 경쟁적으로 푸는 방식의 경기였다. 인도의 수학 헨드북 속에는 사고 스포츠의 선수권을 위하여 그러한 경기에 대비하기 위한 것도 있었다. 이러한 교과서 중에서 다음과 같은 내용이 적혀 있는 것이 있다. □현명한 사람은 여기에 씌어 있는 규칙으로 수 천 가지의 문제를 만들어 낼 수 있다.

태양의 광명이 별들의 광채를 잃어버리게 하듯이 박식한 사람도 다른 사람들의 명성을 사그라지게 하고 산술의 문제를 내어 그것을 푼다.□ 이 책은 처음부터 끝까지 운문으로 씌어 있지만 한 문제를 산문으로 바꾸어보았다. □ 무리 전체의 [eqn: { 1} over {2 }]의 제곱근과 동일한 수의꿀벌이 재스민 꽃밭에, 그리고 무리 전체의 [eqn: { 8} over { 9}]에 해당하는 꿀벌이 집으로 날아갔다. 단 한 마리의 꿀벌만이 연꽃 주위를 날면서. 부주의로 향기로운 꽃 속으로 떨어져 버린 여자친구의 날갯짓 소리를 슬프게 듣고 있었다. 도대체 꿀벌 무리 전체의 수는?

정답) 72마리

124. 중국의 수학(기원전 2000년경)

한 변의 길이가 10피트인 정사각형 연못의 정 중앙에 갈대가 자라 수면에서 1피트만큼 머리를 내밀고 있었다.

그 갈대를 잡아당겨 물가에 가까이 대었더니 바로 연못의 한 변의 정 중앙에 닿았다.

연못의 깊이는 어느 정도일까?

정답) 12피트

125. 사모스의 피타고라스(기원전580-501년)

시라의 바라도에서 유명한 사모스의 전제군주 포리쿠라테스가 어느 날 피타고라스를 맞이하는 연회에서 그에게 배우는 학생이 몇 명이나 되느냐고 물었다. 피타고라스는 이렇게 말하였다. □포리쿠라테스왕이시여, 가르쳐 드릴 테니 잘 보십시오. 학생의 [eqn: bold{ { 1} over { 2} }]은 훌륭히 수학을 연구하고 있고[eqn: bold{ { 1} over {4 } }]은 자연에의 불사의 깊은 뜻을 연구하고 있습니다. 또[eqn: bold{ { 1} over { 7} }]은 침묵 속에서 영혼의 힘을 마음으로 가르침을 따르고 또 기르고 있습니다. 그 외에 3명의 처녀가 있습니다만 그 들 중에서는 데아노가 가장 뛰어납니다. 나는 이 학생들을 영원의 진리의 선으로 이끌고있습니다.”

정답) 피타고라스의 학생은 28명

126. 유클리드(기원전 300년경)

라바와 로바가 곡물을 등에 지고 있었다. 각자가 등에 지고 있는 곡물의 양을

다음의 대화를 읽고 구해 보라.

□만약 자네가 자네의 짐 중 한 꾸러미를 준다면 나는 자네의 2배나 되는 양의 곡물을 등에 지는 것이 되네. 만약 내가 자네에게 한 꾸러미를 준다면 같은 양을 지게 되는 셈이지.”

정답) 라바가 일곱 꾸러미, 로바가 다섯 꾸러미를 지고 있다.

127. 장 창(기원전 152년 사망)

풍년 수확물3단, 평년 수확물2단, 흉년 수확물1단의 총 무게는 39도우(고대중국의단위)가 되었다. 또한 풍년 수확물2단, 평년 수확물3단, 흉년 수확물1단으로는 34도우가 되고, 풍년 수확물1단, 평년 수확물2단, 흉년 수확물3단으로는 26도우가 되었다

그러면 풍년 수확물, 평년 수확물, 흉년 수확물 1단의 각 무게는 몇 도우인가?

정답) 각 각 [eqn: bold{ 9 1over4 ~,~ 4 1over4 ~,~ 2 3over4}] 이다.

128. 린도의 파피루스(기원전 1700년경)

19세기말 영국인 린도에 의해 발견된 이 파피루스는 고대 이집트의 기원전 1700  년경의 수학의 사본일 것이라고 추측되고  있다. 그것으로부터의 2문제.

a) 어느 수학자가 목초지에 70마리의 가축 무리를 이끌고 온1명의 양치기에게 지금 데리고 온 가축 무리는 전체 중 어느 정도냐고 묻자 양치기는 이렇게 대답했다.

□나는 지금, 나에게 맡겨진 무리 중의 [eqn: bold{ { 1} over {3 } }]에서 다시 그[eqn: bold{ { 2} over { 3} }]를 목초지에 데리고

왔습니다.” 그에게 맡겨져 있는 무리는 몇 마리일까?

b)다음의 방정식을 만족시키는 x를 구해 보라.

□□x+[eqn: bold {{ 2} over { 3} }]□+[eqn: bold{ { 1} over {3 } }]□x+[eqn: bold{ { 2} over {3 } }]x□□□[eqn: bold{ { 1} over {3 } }]=10

정답) a) 315마리

b) x = 13.5

129. 벨기에의 수학 문제

다음의 방정식을 만족시키는  [eqn: bolda,] [eqn: boldb,] [eqn: boldc] 로, [eqn: boldabc] 형태의 세 자리 수를 만들라.

[eqn: bold{ { a}^{ 2}- { b}^{ 2}- { c}^{ 2} =a-b-c }]

정답) 746과 967