제 5장 진폭 변조(Amplitude Modulation : AM)

※ 변조 : 어떤 신호의 성질이나 파라메타를 다른 신호에 의해 변화시키는 과정

※ 신호를 변조시키는 이유

① 전자파 송신에 있어 송수신용 안테나 설계를 용이하게 함

◀예▶ 3㎑ 신호를 변조하지 않고 전송할 때 반 파장 안테나의 길이는

[eqn: {300,000 Km/sec} over {3KHz}}× 1 over 2 =50,000m]

② 다중통신

※ AM 방법

① DSB-SC (Double Sideband - Suppressed Carrier)

② DSB-LC (Double Sideband - Large Carrier)

③ SSB (Single Sideband)

④ VSB (Vestigial Sideband)

5.1 DSB-SC (반송파 억압 진폭 변조)

⒜ 정현파 신호의 일반적 표현

[eqn: phi(t)=a(t)cos theta (t)]

․[eqn: a(t)] : 시변 진폭(time-varying Amplitude)

․[eqn: theta(t)] : 시변 각(time-varying Angle)

[eqn: theta(t)=w_c t + gamma (t)]

․[eqn: w_c]  : 반송파 주파수

․[eqn: gamma(t)] : 위상 성분

[eqn: phi(t)=a(t)cos[omega_c t + gamma (t)]]

① [eqn: a(t)]와 [eqn: gamma(t)]가 [eqn: w_c t]에 비해 천천히 변화하면 [eqn: a(t)]는 [eqn: phi(t)]의 포락선

② 위상성분 [eqn: gamma(t)]가 [eqn: 0] 또는 상수이고[eqn: a(t)]가 신호 [eqn: f(t)]일 때 [eqn: phi(t)]를 진폭변조 , 즉

[eqn: phi(t)= f(t) cos omega_c t]

③ [eqn: a(t)]가 상수이고 [eqn: gamma(t)]가 신호 [eqn: f(t)]에 비례할 때 [eqn: phi(t)]를 각 변조

[eqn: phi(t)= Acos[omega_c t + k f(t)]]

⒝ DSB-SC 신호의 발생원리(= DSB-SC 신호의 변조)

① 기능도

[eqn: f(t)]

[eqn: cos omega_c t]

[eqn: phi (t)]

② 변조된 신호 [eqn: phi(t)]의 표현

[eqn: phi(t)= f(t) cos omega_c t]

③ 변조된 신호 [eqn: phi(t)]의 spectrum

[eqn: Phi(omega)= {1}over{2pi}F(omega)*[pi delta(omega-omega_c )+ pi delta(omega+omega_c ) ]]

[eqn: = 1 over 2 F(omega) * delta(omega - omega_c ) + 1over 2 F(omega) * delta (omega + omega_c )]

[eqn: = 1 over 2 F(omega - omega_c ) + 1 over 2 F(omega + omega_c )]

④ 의미 : 그림 5.1 참조

㉠ 진폭변조는 신호 spectrum [eqn: F(omega)]를 [eqn: +- omega_c] 만큼 이동한다.

㉡ [eqn: Phi(omega)]는 [eqn: +- omega_c]를 중심으로 대칭이지만 반송파 성분을 존재하지 않으므로 반송파억압변조라 함

㉢ 진폭 변조된 신호[eqn: phi(t)]의 대역폭은 신호 대역폭의 [eqn: 2]배이므로 Double Sideband(DSB)라 함

㉣ DSB-SC에서 반송파 주파수 [eqn: omega_c]는 신호[eqn: f(t)]의 대역폭의 [eqn: 2]배보다 커야 한다.

⒞ DSB-SC 신호의 재생 원리(= DSB-SC 신호의 복조)

① 동기 검파의 기능도

[eqn: g(t)]

[eqn: e_o (t)]

국부 발진기

[eqn: cos omega_c t]

[eqn: LPF]

[eqn: phi (t) = f (t) cos omega_c t]

② 혼합기 출력[eqn: g(t)]와 그 spectrum

[eqn: g(t) = phi(t) cos omega_c t]

[eqn: =f(t) cos^2 omega_c t] [eqn: = 1 over 2 f(t) [1+ cos 2 omega_c t]]

[eqn: = 1 over 2 f(t) + 1 over 2 f(t)cos2omega_c t]

[eqn: G(omega)= 1over 2 F(omega) + 1 over 4 F(omega - 2 omega_c ) + 1over4 F(omega + 2omega_c )]

③ LPF의 출력

㉠ LPF의 주파수 특성 ← 신호의 대역폭이 [eqn: W] 이면 LPF의 대역폭도 [eqn: W]

[eqn: 1]

[eqn: omega]

-[eqn: W]

[eqn: W]

㉡ [eqn: e_o (t)]의 spectrum

[eqn: E_o (omega)= 1over 2 F(omega)]

㉢ [eqn: e_o (t)]

[eqn: e_o (t) = 1 over 2 f(t)]

⒟ 국부발진기 주파수와 위상이 반송파 주파수 및 위상과 서로 상이할 때 복조 신호

① 혼합기 출력

[eqn: g(t)=phi(t)cos[(omega_c + Delta omega) t + Delta theta]]

[eqn: =f(t) cos omega_c t ․ cos [(omega_c + Delta omega )t + Delta theta]]

[eqn: = 1 over 2 f(t) left{ cos [Delta omega t + Delta theta ] + cos[(2omega_c + Delta omega ) t + Delta theta]right}]

② LPF의 출력

[eqn: e_o (t) = 1 over 2 f(t) cos [Delta omega t + Delta theta]]

③[eqn: e_o (t)]의 해석

㉠ 주파수 오차 [eqn: Delta omega =0]이고 [eqn: Delta theta != 0]이면 [eqn: e_o (t) = 1 over 2 f(t) cos Delta theta] 이므로 위상동기가 되지 않더라도 복조 가능

㉡ [eqn: Delta omega !=0]이고 [eqn: Delta theta = 0]이면 [eqn: e_o (t) = f(t) cos Delta omega t]이므로 주파수 동기가 되지 않으면 복조할 수 없음

※ DSB-SC 복조는 동기검파이어야만 함

◀ 예제 5.1.1 ▶ 구적 다중화(quadrature multiplexing) : 동일 반송파  주파수로 두 신호를 전송하는 시스템

① 구적 다중화 송수신 시스템의 기능도

[eqn: e_1 (t)]

[eqn: sin omega_c t]

[eqn: g_2 (t)]

[eqn: g_1 (t)]

[eqn: phi (t)]

[eqn: cos omega_c t]

[eqn: sin omega_c t]

[eqn: LPF]

∑

[eqn: cos omega_c t]

[eqn: LPF]

[eqn: e_2 (t)]

[eqn: f_2 (t)]

[eqn: f_1 (t)]

수신기

송신기

② 송신기 출력

[eqn: phi(t) = f_1 (t) cos w_c t + f_2 (t) sin omega_c t]

③ 수신기 출력

[eqn: g_1 (t) = phi(t) cos w_c t][eqn: =f_1 (t) cos^2 omega_c t + f_2 (t) sin omega_c t cos omega_c t]

[eqn: = 1over 2 f_1 (t) + 1over2 f_1 (t) cos2 omega_c t + 1over2 f_2 (t)sin2 omega_c t]

[eqn: e_1 (t) = 1over 2 f_1 (t)]

[eqn: g_2 (t)= phi(t) sin omega_c t][eqn: =f_1 (t) cos omega_c t sin omega_c t + f_2 (t) sin^2 omega_c t]

[eqn: = 1over2 f_1 (t) sin2omega_c t + 1over2 f_2 (t) - 1over2 f_2 (t) cos2omega_c t]

[eqn: e_2 (t) = 1over 2 f_2 (t)]

※ 구적 다중화 시스템은 color 정보 신호의 전송에 사용

5.1.1 DSB-SC 신호의 발생

⒜ 주파수 혼합기(frequency mixer)원리

※ 의미 : 입력 신호의 주파수와 다른 출력 주파수를 만드는 시스템으로 이 시스템은 시변 비선형시스템이 되며 주파수 변환기 또는 Heterodyne이라 함

① 주파수 혼합기의 이론적 기능도

[eqn: f_s (t)]

⇔

[eqn: g (t)]

[eqn: f (t)]

[eqn: BPF]

[eqn: cos omega_c t]

[eqn: f (t)]

[eqn: g (t)]

[eqn: p_T (t)]

※ [eqn: p_T (t)] : pulse 폭 [eqn: tau], 주기 [eqn: T]인 구형파

-2T

-T

T

2T

[eqn: tau]

0

[eqn: p_T (t)]

※ BPF : 중심 주파수 [eqn: omega_c = 2pi over T]인 대역 통과 필터

[eqn: -omega_c]

[eqn: -omega_c - W]

[eqn: -omega_c +W]

[eqn: omega_c - W]

[eqn: omega_c +W]

[eqn: omega_c]

[eqn: left| H(omega) right|]

0

② 표본함수 [eqn: p_T (t)]

[eqn: p_T (t)]는 주기 [eqn: T]인 주기함수이므로 Fourier 급수로 전개

[eqn: p_T (t) = sum from{n=-inf}to{inf} P_n e^{jn omega_c t}]

여기서

[eqn: omega_c = 2pi over T]

[eqn: P_n] : Fourier 급수의 계수

[eqn: P_T (omega) = 2 pi sum from{n=-inf} to {inf} P_n delta (omega - n omega_c )]

③ 표본화 된 신호 [eqn: f_s (t)]

[eqn: f_s (t) = f(t) p_T (t)]

[eqn: F_s (omega )= 1 over 2pi F(omega) * P_T (omega)]

[eqn: = sum from{n=-inf} to{inf} P_n F(omega) * delta (omega - n omega_c )]

[eqn: = sum from{n=-inf} to{inf} P_n F(omega - n omega_c )]

④ BPF의 출력 [eqn: g(t)]

[eqn: G(omega)][eqn: = P_1 F(omega - omega_c )+ P_{-1} F(omega + omega_c )]

[eqn: g(t)= P_1 f(t) e^{j omega_c t}+ P_{-1} f(t) e^{-j omega_c t}]

여기서 [eqn: P_1 = P_{-1}]이므로

[eqn: g(t) = 2 P_1 f(t) cos omega_c t]

◀예제5.1.2▶ 신호 [eqn: f(t)]를 주기 [eqn: T]이고 파형 [eqn: p_T (t) = e^{-at}]  ([eqn: 0<= t<=T, a>0])인 표본함수로 sampling 하여 중심주파수 [eqn: omega_c = 2pi over T]인 BPF를 통과시킨 AM신호와 Spectrum을 구하시오.

[eqn: a >0]

[eqn: ( 0 <= t <= T )]

[eqn: g (t)]

[eqn: f (t)]

[eqn: BPF]

[eqn: p_T (t) = e^{-at}]

[eqn: e_o (t)]

① [eqn: p_T (t)]

[eqn: T]

[eqn: 0]

[eqn: 2T]

[eqn: 3T]

[eqn: p_T (t)]

[eqn: p_T (t)][eqn: =sum from{n=-inf}to{inf} P_n e^{j n w_c t}]

여기서   [eqn: w_c = 2pi over T]

[eqn: P_n = 1 over T int_0^T p_T (t) e^{-j n omega_c t}dt = 1 over T int_0^T e^{- (a + jn omega_c )t }dt]

[eqn: = 1over T [{e^{-(a + j n omega_c t)}}over{- (a + j n omega_c )}]_0^T][eqn: = 1over T [{1 - e^{-(a + j n omega_c ) T}}over{ (a + j n omega_c )}]]

[eqn: = 1 over T {1- e^{-aT}}over{ a + jn omega_c}]

[eqn: p_T (t) = sum from{n=-inf} to{inf} 1 over T {1-e^{-aT}}over{a+jn omega_c } e^{jn omega_c t}]

[eqn: P_T (omega) = 1overT sum from{n=-inf} to{inf} {1-e^{-aT}}over{a+jn omega_c }2 pi delta(omega - n omega_c )]

② [eqn: g(t)]

[eqn: g(t)= f(t)p_T (t)]

[eqn: G(omega) = 1 over 2pi F(omega) * P_T (omega) = {1-e^{-aT}} over T sum from{n=-inf}to{inf} {1}over{a+jn omega_c }F(omega - n omega_c )]

③ [eqn: e_o (t)]

BPF는 중심주파수 [eqn: omega_c]인 BPF이므로 [eqn: G(omega)]의 [eqn: n=+-1] 일 때의 값만을 통과시킨다.

[eqn: E_o (omega) = {(1 - e^{aT})} over T [{1}over{a+j omega_c} F(omega- omega_c ) +{1}over{a-j omega_c} F(omega+ omega_c ) ]]

[eqn: e_o (t) = {(1 - e^{aT})} over T [{f(t)}over{a+j omega_c} e^{j omega_c t} +{f(t)}over{a-j omega_c} e^{-j omega_c t}]]

[eqn: = {(1 - e^{aT})} over {T(a^2 +omega_c ^2 )} f(t) [(a- j omega_c ) e^{j omega_c t }+ (a+ j omega_c ) e^{-j omega_c t}]]

[eqn: =~ {(1 - e^{aT})} over {T (a^2 + w_c^2 )} f(t) [(a-j omega_c )}( cos omega_c t + j sin omega_c t)]

[eqn: + (a+j omega_c ) (cos omega_c t - j sin omega_c t)]]

[eqn: = {2 (1 - e^{-a T})} over {T (a^2 + w_c^2 )}f(t) (acos omega_c t + omega_c sin omega_c t)]

[eqn: = {2 (1 - e^{-a T})} over {T sqrt{a^2 + w_c^2}} f(t) cos (w_c t + theta_o )]

여기서    [eqn: theta_0 = tan^{-1} ({-{omega_c}over{a}})], [eqn: omega_c = 2pi over T]

※ [eqn: p`(`t`)``=`` e^{-a`t}][eqn: (``0``<=``t``<=``T``)]를 반복하는 sample 신호 [eqn: p_T (t)]로 [eqn: f`(`t`)]를 sampling 하더라도 DSB-SC신호를 얻을 수 있다.

⒝ Chopper형 변조기

※ Chopper : [eqn: T = {2 pi} over omega_c]를 주기로 switch를 반주기 동안은 ON, 나머지 반주기 동안은 OFF시켜 신호 [eqn: f(t)]를 sampling 하는 것

[eqn: f (t)]

[eqn: f_s (t)]

[eqn: f_s (t) = cases{f(t) & cos omega_c t >0 # 0 & cos omega_c t < 0}]

⑴ Chopper형 변조기의 원리 : 그림 5.6(a)

① [eqn: cos omega_c t > 0]이면 Switch는 off 되므로 [eqn: e_i (t) = f(t)]

[eqn: cos omega_c t < 0]이면 Switch는 on 되므로 [eqn: e_i (t)=0]

[eqn: e_i `(`t`) ``=`` cases{~~f(t) &~~~ cos omega_c` t ``>``0#~~~ 0 &~~~ cos omega_c `t ``<``0}]

[eqn: = ``f`(`t`)`` p_T `(`t`)]

여기서

[eqn: p_T (t)= cases{1& cos omega_c t>0 # 0 & cos omega_c t<0}]

② [eqn: p_T (t)]

[eqn: p_T (t) = sum from{n=-inf}to{inf} P_n e^{j n omega_c t}]

[eqn: P_T (omega)= 2 pi sum from{n=-inf} to {inf} P_n delta (omega - n omega_c )]

③ [eqn: e_i (t)]

[eqn: e_i (t) = f(t) p_T (t)]

[eqn: E_i (omega) = 1 over 2pi F(omega) * P_T (omega)][eqn: = sum from{n=-inf}to{inf} P_n F(omega)* delta (omega - n omega_c )]

[eqn: = sum from{n=-inf}to{inf} P_n F(omega - n omega_c )]

④ [eqn: e_o (t)]

[eqn: E_o (omega) = P_1 F (omega - omega_c ) + P_{-1} F(omega + omega_c )]

[eqn: e_o (t) = P_1 f(t) e^{j omega_c t} + P_{-1} f(t) e^{-j omega_c t}]

[eqn: =(P_1 + P_{-1}) f(t) cos omega_c (t) + j (P_1 - P_{-1}) f(t) sin omega_c (t)]

여기서 [eqn: P_1 = P_{-1}]이므로

[eqn: e_o (t) = 2P_1 f(t) cos omega_c t]

⑵ chopper형 변조기 회로 : 그림 5.6 (b)

① [eqn: cos omega_c t > 0]이면 Diode는 off 되므로 [eqn: e_i (t) = f(t)]

[eqn: cos omega_c t < 0]이면 Diode는 on 되므로 [eqn: e_i (t)=0]

[eqn: e_i `(`t`) ``=`` cases{~~f`(`t`) &~~~ cos omega_c` t`` >``0#~~~ 0 &~~~ cos omega_c `t ``<``0}]

[eqn: = ``f`(`t`)`` p_T `(`t`)]

여기서

[eqn: p_T `(`t`)``=`` cases{~~1&~~ cos omega_c `t``>``0 #~~ 0 &~~ cos omega_c` t``<``0}]

[eqn: = sum from{n=-inf}to{inf} P_n e^{jn omega_c t}]

[eqn: E_i (omega) = 1 over 2pi F(omega) * P_T (omega)][eqn: = sum from{n=-inf}to{inf} P_n F(omega)* delta (omega - n omega_c )]

[eqn: = sum from{n=-inf}to{inf} P_n F(omega - n omega_c )]

② [eqn: e_o (t)]

[eqn: E_o (omega) = P_1 F (omega - omega_c ) + P_{-1} F(omega + omega_c )]

[eqn: e_o (t) = P_1 f(t) e^{j omega_c t} + P_{-1} f(t) e^{-j omega_c t}][eqn: = 2P_1 f(t) cos omega_c t]

⑶ 이중 평형 ring 변조기 : 그림 5.7

① [eqn: e_i (t) = 0] 일 때

㉠ [eqn: cos omega_c t > 0] 이면 [eqn: D_1]과 [eqn: D_2]가 on, [eqn: D_3]와 [eqn: D_4]는 off되므로 [eqn: a]점은 입력과 연결되며 [eqn: D_1], [eqn: D_2]의 특성이 같고 변압기가 정확히 center tap 되어 있다면 출력 변압기에 전류가 흐르지 않음

㉡ [eqn: cos omega_c t < 0]이면 [eqn: D_3], [eqn: D_4] 가 on, [eqn: D_1], [eqn: D_2]는 off되므로 b점은 입력과 연결되며 [eqn: D_3], [eqn: D_4]  특성이 같고 변압기가 정확히 center tap되어 있다면 출력 변압기에 전류가 흐르지 않음

※ ㉠㉡에서 변조기는 평형 상태

② [eqn: e_i (t) =f(t)> 0]일 때

㉠ [eqn: cos omega_c t > 0]이면 a는 접지되어 전류는 위쪽으로 흐름으로 출력전압의 진폭은 [eqn: f(t)]와 동일하며 양의 전압이 유기

㉡ [eqn: cos omega_c t< 0]일 때 b는 접지되어 전류가 아래쪽으로 흐름으로 출력 전압의 진폭은 [eqn: f(t)]와 동일하며 음의 전압

[eqn: e_o `(`t`) ``=`` cases { ~~f`(`t`) & ~~cos omega_c `t`` >``0 #~~ -f`(`t`) &~~ cos omega_c `t`` <``0}]

∴ ㉠㉡에서   [eqn: e_o (t) = f(t) cos omega_c t]

③ [eqn: e_i (t) =f(t)< 0]일 때 출력 전압은 ②의 경우와 [eqn: 180°]반전

※ ②와 ③으로부터

[eqn: e_o (t) = f(t) cos omega_c t]

※ 평형조건 및 특징

① diode 특성이 정확하게 동일

② center-tap transformer 이어야 함

③ 특별한 회로 없이 DSB-SC 신호를 발생

⒞ 비선형 소자를 이용한 평형 변조기 : 그림 5.8

⑴ 비선형 소자의 특성

비선형 소자

[eqn: i(t)]

[eqn: e (t)]

[eqn: i(t) = a_1 e(t) + a_2 e^2 (t) + a_3 e^3 (t) + …]

[eqn: cong a_1 e(t) + a_2 e^2 (t)]

⑵ 비선형 소자를 이용한 평형 변조기 : 그림 5. 8

•[eqn: e_1 (t) = cos omega_c t + f(t)] 이므로

[eqn: i_1 (t) = a_1 [cos omega_c t + f(t)]+ a_2 [cos omega_c t + f(t)]^2]

•[eqn: e_2 (t) = cos omega_c t - f(t)] 이므로

[eqn: i_2 (t) = a_1 [cos omega_c t - f(t)]+ a_2 [cos omega_c t - f(t)]^2]

• 저항 R의 양단 전압

[eqn: R[i_1 (t) - i_2 (t)]][eqn: =`` R`` [`` 2` a_1 `f`(`t`) ``+`` 4` a_2 `f`(`t`)` cos omega_c` t`` ]]

[eqn: = 4 a_2 R [f(t) cos omega_c t + {a_1}over{2a_2} f(t)]]

• BPF의 출력

[eqn: e_o `(`t`) ``=`` 4a_2 R f(t) cos omega_c t]

5.1.2 DSB-SC 신호의 복조(검파)

※ 복조

① 변조된 신호[eqn: phi(t)]로부터 원 신호 [eqn: f(t)]를 복원하는 것

② 변조 시 이동시킨 신호 [eqn: f(t)]의 Spectrum을 원래의 위치로 다시 이동시키는 것

※ 복조와 변조의 차이

① 변조기는 원 신호[eqn: f(t)]의 spectrum [eqn: F(omega)]를 [eqn: +- omega_c] 만큼 이동시키므로 중심주파수 [eqn: omega_c]인 BPF를 사용하는 반면 복조기는 [eqn: +- omega_c]만큼 이동된 spectrum으로부터 원 spectrum [eqn: F(omega)]를 얻으므로 LBP가 필요

② 복조기는 반송파 주파수 [eqn: omega_c]에 동기 되는 정현파(pilot carrier)를 생성해야 함

⒜ 제곱기를 이용한 검파

① 기능도

[eqn: phi (t)]

[eqn: e_o (t)]

[eqn: e_4 (t)]

2:1 주파수 분배기

[eqn: e_1 (t)]

[eqn: (․)^2]

NBPF@[eqn: 2 omega_c]

[eqn: LPF]

[eqn: e_2 (t)]

[eqn: e_3 (t)]

② 각 단자의 출력

[eqn: e_1 (t)= phi^2 (t) = f^2 (t) cos^2 omega_c t = 1 over 2 f^2 (t) + 1 over 2 f^2 (t) cos2 omega_c t]

[eqn: e_2 (t) cong k cos 2 omega_c t]

[eqn: e_3 (t) = k cos omega_c t]

[eqn: e_4 (t) = phi (t) e_3 (t) = k f(t) cos^2 omega_c t]

[eqn: = 1over2 k f(t) + 1 over 2 k f(t) cos 2 omega_c t]

[eqn: e_o (t)= 1 over 2 k f(t)]

⒝ costas 검파기

① 기능도

[eqn: e_1 (t)]

[eqn: y_1 (t)]

[eqn: y_2 (t)]

[eqn: x_1 (t)]

[eqn: x_2 (t)]

[eqn: e_3 (t)]

[eqn: phi (t)]

[eqn: e_2 (t)]

[eqn: LPF]

[eqn: VCO]

[eqn: LPF]

[eqn: pi / 2 지연]

～

[eqn: cos (omega t + theta)]

[eqn: NLPF]

② 각 단자 출력

[eqn: x_1 (t)= phi(t) cos (omega t+ theta) = f(t) cos omega_c t cos(omega t + theta)]

[eqn: = 1 over2 f(t) cos[(omega + omega_c )t + theta]+ 1over 2 f(t)cos[(omega-omega_c )t + theta]]

[eqn: x_2 (t) = 1 over 2 f(t) cos[(omega - omega_c )t + theta]]

[eqn: y_1 (t) = phi(t) sin(omega t + theta)= f(t) cos omega_c t sin (omega t + theta)]

[eqn: = 1 over2 f(t) sin[(omega - omega_c )t + theta]- 1over 2 f(t)sin[(omega+omega_c )t + theta]]

[eqn: y_2 (t) = 1 over 2 f(t) sin [(omega - omega_c )t +theta]]

[eqn: e_1 (t) = x_2 (t) y_2 (t)]

[eqn: = 1 over 4 f^2 (t) cos[(omega - omega_c )t + theta] sin [(omega - omega_c )t + theta ]]

[eqn: = 1 over 8 f^2 (t) sin [2 (omega - omega_c )t + 2theta]]

[eqn: e_2 (t) = k sin[2 (omega - omega_c ) t + 2 theta ]][eqn: cong 2k (omega - omega_c )t]

③ VCO(Voltage Controlled Oscillator)의 출력

㉠ VCO의 주파수 변화

[eqn: Delta omega = k'e_2 (t) = 2 kk'(omega - omega_c )t =k''(omega - omega_c )t]

VCO는 [eqn: Delta omega]를 [eqn: 0](Phase Lock) 즉 [eqn: omega = omega_c]가 되게 한다.

㉡ [eqn: w = w_c]일 때 (동기가 되었을 때)

[eqn: x_2 (t) = 1 over 2 f(t) cos theta = k''f(t)]

5.1.3 DSB-SC 변조의 응용

⒜ chopper형 증폭기

⑴ 배경

① 저주파용 증폭기는 결합 용량이 크므로 저주파 증폭은 용이하지 못함

② 저주파 신호를 DSB-SC하여 증폭하고 증폭된 고주파 신호를 복조하여 증폭된 저주파 신호를 얻음 (=chopper 증폭기)

⑵ chopper형 증폭기 기능도

DSB-SC

증폭기

- k

LPF

저주파

신호

고주파신호

증폭된 저주파 신호

① 기능도

② [eqn: f_12 `(`t`)] 와 [eqn: F_12 (`omega`)]  ←  그림 5.10 ⒝

[eqn: f_12 (`t`) ``=`` cases {~f`(`t`) & ~cos `omega_c` t ``>`` 0 # ~~0 & ~cos `omega_c` t`` <`` 0}]

[eqn: =`` f`(`t`)`` p_T `(`t`) ``= SUM from { { n}=-inf} to inf P_n ``f`(`t`)`` e^{j` n` omega_c `t}]

[eqn: F_12 `(`omega`)``=`` SUM from { { n}=-inf} to inf P_n`` F`(`omega`-`n `omega_c`)]

③ [eqn: f_34`(`t`)] 와 [eqn: F_34 `(`omega`)]

[eqn: F_34 `(`omega`)`` =`` K` [`P_1 ``F`(`omega `-` omega_c` ) ``+`` P_{-1}`` (`omega` `+`` omega_c` )`]]

여기서    [eqn: P_1 ``=``P_{-1} ``=`` 1 over 2] 일 때

[eqn: F_34 `(`omega`)``=`` K over 2 ``left[` F `(`omega `-` omega_c `) ``+`` F `(`omega `+ `omega_c`) `right]]

[eqn: f_34` (`t`) ``=`` K``f`(`t`)`` cos omega_c `t]

④ [eqn: f_56 `(`t`)] 와 [eqn: F_56 `(`omega`)]

[eqn: f_56 `(`t`) ``= ``cases{ ~~ f_34 `(`t`) &~~~ cos `omega_c `t ``<`` 0 # ~~~~0 &~~~ cos` omega_c `t ``>`` 0 }]

[eqn: = SUM from { { n}=-inf} to inf P_n`` f_34 `(`t`)`` e^{j` n` omega_c` t}]

[eqn: F_56 `(`omega`)``= SUM from { { n}=-inf} to inf P_n`` F_34`(`omega`-`n `omega_c`)]

[eqn: = K over 2 SUM from { { n}=-inf} to inf P_n left[ F(omega-omega_c - n omega_c ) + F(omega+omega_c - n omega_c ) right]]

⑤ [eqn: e_o `(`t`)] 와 [eqn: E_o `(`omega`)]

[eqn: E_o `(`omega`)`` =`` K over 2 `[ P_{-1}`` F(`omega`) ``+`` P_1`` F(omega) ] ``=`` K ``F`(`omega`)]

[eqn: e_o `(`t`) ``=`` K ``f`(`t`)]

※ 신호 [eqn: f`(`t`)]를 K배 증폭

⒝ pilot-carrier system

FM에서 mono signal과 stereo signal을 mux함

⑴ FM의 stereo-multiplexing system의 대역폭

① 대역폭 75 ㎑

L+R

L-R

L-R

15

19

23

53

59

75

38

subsidiary

㎐

DSB-SC

② [eqn: f_{L+R} `(`t`) ``=`` f_L `(`t`) ``+`` f_R `(`t`)] 의 대역폭  :  15 ㎑

[eqn: f_{L-R} `(`t`) ``=`` f_L `(`t`) ``-`` f_R `(`t`)] 의 DSB-SC 대역폭 : 30 ㎑

② 동기 검파를 위해 주파수 [eqn: 1over2 omega_s =19[kHz]]인 pilot-carrier 첨가

⑵ FM stereo의 pilot-carrier system  ←  그림 5.12 ⒜

① stereo system을 위해 [eqn: f_{L-R} `(`t`)]를 [eqn: cos `omega_s` t] 로 DSB-SC

② 검파를 위해 pilot carrier [eqn: cos 1over2`omega_s` t]를 첨가

③ mono system을 위해 [eqn: f_{L+R} `(`t`)]를 첨가

④ 출력 [eqn: f_{L-R}` (`t`) ``cos `2` omega_c` t ``+`` K ``cos` omega_c` t ``+`` f_{L+R} `(`t`)]를 FM변조하여 전송

⑤ spectrum  ←  그림 5.12 ⒝

⒞ phase locked Loop ( PLL )

※수신된 반송파의 위상과 국부발진기의 위상을 같게 하여 (phase-lock) 수신기의 국부발진기 주파수를 반송파 주파수에 동기 시키는 것

⑴ PLL의 기능도  ←  그림 5.13

LPF

VCO

[eqn: k_o]

phase detector

[eqn: y(t)]

[eqn: r(t)]

[eqn: x(t)]

[eqn: e(t)]

① phase detector

수신된 신호 [eqn: gamma (t)]와 VCO 신호(replica) [eqn: x`(`t`)]의 위상차를 검출

② LPF

㉠ 협대역 LPF

㉡ impulse response [eqn: g`(`t`)]

③ VCO (Voltage Controlled Oscillator)

입력 전압에 비례하여 발진주파수를 변화시키는 oscillator

⑵ PLL 해석

① 정규화된 입력 신호

[eqn: r`(`t`) ``=`` cos `left[` omega_c` t`` +`` theta`(`t`)` right]]

[eqn: omega_c] : 반송파 주파수

[eqn: theta `(`t`)] : 반송파 위상으로 서서히 변함

② 정규화된 VCO 출력

[eqn: x`(`t`) ``=`` 2 ``sin `left[ `omega_c `t` `+`` hat theta `(`t`)` right]]

③ phase detector 출력

[eqn: e`(`t`)`` =`` x`(`t`)`` r`(`t`)`` = ``2`` sin [ omega_c` t `+` hat theta `(`t`) ] ``cos [ omega_c t` +` theta (`t`) ]]

[eqn: = ``sin [ theta (`t`) `-` hat theta (`t`) ] ``+`` sin [ 2 omega_c t` + `theta (`t`) `+ `hat theta(`t`) ]]

④ LPF의 출력

[eqn: y`(`t`) ``=`` e`(`t`) `* `g`(`t`)``=``sin `[` theta `(`t`) ``-`` hat theta `(`t`) `]]

[eqn: SIMEQ `` theta`(`t`) ``-`` hat theta `(`t`)]

⑤ VCO의 주파수 변화

[eqn: {d` hat theta `(`t`)} over { d``t}`` == `` TRIANGLE `omega`(`t`) ``=`` k_0 ``y`(`t`)]

[eqn: =`` k_0 ``e`(`t`) ``*`` g`(`t`)]

여기서

[eqn: k_0] : VCO의 이득

[eqn: g(t)] : LPF의 impulse response

[eqn: {d` hat theta `(`t`)} over { d``t}`` == `` TRIANGLE `omega`(`t`)``SIMEQ~ k_0 ``[ `theta `(`t`) ``-`` hat theta `(`t`) `] ``*`` g`(`t`)]

∴ [eqn: {d` hat theta `(`t`)} over { d``t}`` =`` k_0 ``[ `theta `(`t`) ``-`` hat theta `(`t`) `] ``*`` g`(`t`)]

㉠  [eqn: theta`(`t`) ``-`` hat theta `(`t`)]가 아주 적을 때 유용

㉡ 위식을 선형 loop 방정식

㉢ loop의 동작을 기술하는 방정식

⑥ loop 방정식의 Fourier Transform

[eqn: j`` omega`` hat THETA `(`omega`) ``=`` k_0`` [` THETA `(`omega`) ``-`` hat THETA `(` omega`)` ]`` G`(`omega`)]

[eqn: {hat THETA `(` omega`)} over { THETA `(`omega`)} ``=`` H `(`omega`) ``=`` {k_0`` G`(`omega`)} over {j`` omega`` +`` k_0`` G`(`omega`)}]

← closed loop transfoer function

⑦ 정상 상태 오차신호 [eqn: e`(`t`)]

㉠ small-angle 근사화에 의한 phase 오차 신호와 그 spectrum

[eqn: e`(`t`)`` SIMEQ `` y`(`t`)`` SIMEQ ``theta `(`t`) ``-`` hat theta `(`t`)]

[eqn: E`(`omega`) ``=`` THETA `(`omega`) ``-`` hat THETA`(` omega`)]

여기서 [eqn: hat THETA`(` omega`) ``=`` THETA `(`omega`) ``H `(`omega`)] 이므로

[eqn: E `(`omega`) ``=`` [``1`` - ``H `(`omega`) ``] ``THETA`(`omega`)]

[eqn: =`` left[`` 1`` -`` {k_0`` G`(`omega`)} over {j `omega ``+`` k_0 `G`(`omega`)} ``right] ``THETA`(`omega`)]

[eqn: =`` {j`` omega`` THETA`(`omega`)} over {j` omega ``+`` k_0` G `(`omega`) }]

㉡ 정상상태에서 위상오차

Fourier Transform의 최종 치 정리에 의하여

[eqn: lim from {t -> inf }~ e`(`t`) ``=`` lim from {omega -> 0 }~ j`` omega`` E`(`omega`)]

[eqn: lim from {t -> inf }~ e`(`t`) #][eqn: =`` lim from { omega ->0}~ {(j` omega)^2`` THETA `(`omega`)} over { j `omega ``+`` k_0` G`(`omega`) } ``=`` 0]

∴ [eqn: e`(`t`) ``=`` theta` (`t`) ``-`` hat theta`(`t`) ``=`` 0]

[eqn: theta `(`t`) ``=`` hat theta `(`t`)]  ←  phase lock

※ [eqn: theta`(`t`)]가 서서히 변화할 때 PLL은 phase lock을 시켜 수신된 신호의 반송파와 PLL의 발진 주파수가 같아진다.

⑧ small-angle 근사화의 loop 방정식에 의한 phase lock

[eqn: TRIANGLE `` omega`(`t`) ``=`` {d ``hat theta` (`t`)} over {d ``t} ``=`` k_0 `[` theta` (`t`) ``-`` hat theta(`t`) `]`` *`` g`(`t`)]

㉠ [eqn: theta` (`t`) ~>~ hat theta `(`t`)]이면 [eqn: hat theta`(`t`)]의 미분은 양이 되고[eqn: hat theta`(`t`)]는 증가하므로 [eqn: | `theta`(`t`) ``-`` hat theta `(`t`)` |]는 감소

㉡ [eqn: theta` (`t`) ~<~ hat theta `(`t`)]이면 [eqn: hat theta`(`t`)]의 미분은 음이 되고[eqn: hat theta`(`t`)]는 감소하므로 [eqn: | `theta`(`t`) ``-`` hat theta `(`t`)` |]는 감소

㉢ [eqn: theta` (`t`) ~=~ hat theta `(`t`)]이면 [eqn: hat theta`(`t`)]의 미분은 0이 되고 [eqn: theta`(`t`) = hat theta `(`t`)`]가 되어 phase lock

5.2 DSB-LC( Double Side Band-Large Carrier: 반송파가 있는 진폭 변조 )

※ 배경

① DSB-SC 신호를 복조할 때 동기 검파를 해야 하므로 수신기 측에 복잡한 회로를 요구

② 값싼 수신기를 위해 송신기 측에서 동기화를 해결해야 함

⒜ DSB-LC의 원리

① DSB-SC에 반송파 성분을 더하여 변조된 신호 [eqn: phi _AM `(`t`)]로 함

A

∑

[eqn: f(t)]

[eqn: phi_AM (t)]

[eqn: cos omega_c t]

[eqn: phi_AM `(`t`) ``=`` f`(`t`) ``cos omega_c `t ``+`` A`` cos omega_c` t]

[eqn: =`` [` A`` +`` f`(`t`)` ] ``cos omega_c` t]

㉠ 반송파의 진폭은 [eqn: [` A`` +`` f`(`t`)` ]]로 함

㉡ [eqn: A + f`(`t`) >= 0] ([eqn: A >= | min `left{` f`(`t`) `right}` |])이면 [eqn: phi_AM `(`t`)]의 포락선은 [eqn: f`(`t`)]에 비례 ← 그림 5.17

㉢ [eqn: phi_AM `(`t`)]의 포락선이 [eqn: f`(`t`)]에 비례하므로 포락선 검파를 할 수 있음

㉣ 반송파 항 [eqn: A``cos omega_c` t]는 [eqn: f`(`t`)]의 어떤 정보도 갖지 못하며 단지 검파를 위해 사용

② [eqn: phi_AM `(`t`)]의 spectrum  ←  그림 5.16

[eqn: PHI_AM (omega) = 1 over 2 F(omega - omega_c ) + 1 over 2 F (omega + omega_c ) + A pi delta(omega - omega_c ) + A pi delta(omega + omega_c )]

㉠ [eqn: +- omega_c]에서 spectrum 크기는 [eqn: 1 over 2 `F`(`0`) ``+`` A ``pi`` delta `(`0`)] 이므로 [eqn: f`(`t`)]의 저주파 응답은 왜곡

㉡ [eqn: phi_AM `(`t`)]를 검파하면 [eqn: f`(`t`)]의 저주파 성분은 소거됨(왜곡됨)

㉢ 일반적으로 [eqn: f`(`t`)]가 음성일 경우 저주파 성분이 왜곡되더라도 문제가 없음

③ [eqn: f`(`t`) ``=`` a`` cos omega_m `t] 일 때 [eqn: phi_AM `(`t`)]의 해석

[eqn: phi_AM `(`t`) ``=`` A ``cos omega_c` t ``+`` a`` cos omega_m `t` cdot` cos omega_c` t]

[eqn: =`` [` A ``+ ``a`` cos omega_m `t `]`` cos omega_c` t]

[eqn: =`` A`` [` 1 ``+`` a over A` cos omega_m `t `] ``cos omega_c` t]

변조지수 m

[eqn: m ``=`` {DSB-SC의~ 최대진폭} over {반송파의~ 최대진폭} ``=`` a over A]

[eqn: phi_AM `(`t`) ``=`` A`` [` 1 ``+`` m`` cos omega_m `t `] ``cos omega_c` t]

㉠ 서로 다른 m에 대한 graph  ←  그림 5.18

㉡ [eqn: phi_AM `(`t`)]의 최대값은 [eqn: A`[ `1+ m`]]이고 최소값은 [eqn: A`[ `1 - m`]]  이므로 [eqn: A`[ `1 - m`] ``>= ``0] 일 때 즉 [eqn: m ``<= ``1] 일 때 [eqn: phi_AM `(`t`)]의 포락선은 [eqn: f`(`t`)]가 됨

[eqn: %``변조 ``=`` { 최대크기 ``-`` 최소크기} over {최대크기 ``+`` 최소크기} `TIMES` 100``]

[eqn: =`` {(`1`+`m`)`A `-` (`1`-`m`)`A} over {(`1`+`m`)`A `+` (`1`-`m`)`A} `times` 100]

[eqn: =`` m ``times`` 100]

5.2.1 AM에서 반송파와 측대파의 전력

① AM신호 [eqn: phi_AM `(`t`)]

[eqn: phi_AM `(`t`)`` =`` A ``cos omega_c` t ``+`` f`(`t`)`` cos omega_c `t]

㉠ 반송파 항 [eqn: A ``cos omega_c` t]는 [eqn: f`(`t`)]의 어떤 정보도 갖지 못함

㉡ 반송파 항은 값싼 수신기를 만들기 위해 제공되는 항으로 정보전송과는 무관

② AM신호 [eqn: phi_AM `(`t`)]의 전력

[eqn: bar {{phi^2}_AM `(`t`)} ``=``bar{ [ `A ``cos omega_c `t ``+`` f`(`t`) ``cos omega_c `t `]^2 }]

[eqn: =`` bar { A^2 cos^2 omega_c t } ``+`` bar{f^{2} (t) cos^2 omega_c t} ``+`` bar {2 A f(t) cos^2 omega_c t}]

[eqn: =`` A^2 over 2`` ( `1 `+ `bar {cos 2 `omega_c` t} `) ``+`` {bar {f^{2} (`t`)}} over 2 ( `1` + `bar {cos 2 `omega_c `t} `)]

[eqn: +`` bar {2`A`f`(`t`)}`` ( `1 `+` bar {cos 2` omega_c `t}` )]

[eqn: =`` {A^2} over 2 ``+`` {bar {f^{2} `(`t`)}} over 2]

□□□□□□□     □□□□□□□□□

반송파 전력 [eqn: P_c]   측파대전력 [eqn: P_s]

[eqn: P_t ``=`` P_c ``+`` P_s]

③ 전송 효율 [eqn: mu]

[eqn: mu ``=`` {측파대~ 전력} over {phi_AM (t)`의~ 전체 전력} `=` P_s over {P_c + P_s} `=` {bar {f^{2} (t)}} over {A^2 + bar {f^{2} (t)} }]

※ [eqn: f`(`t`) ``=`` a ``cos omega_m `t] 에 대한 전송 효율 [eqn: mu]

[eqn: phi_AM `(`t`) ``=`` A ``[` 1`` +`` m ``cos omega_m `t `] ``cos omega_c `t]

[eqn: =`` A`` cos omega_c` t`` +`` A`` m ``cos omega_m `t `cdot` cos omega_c` t]

[eqn: P_c ``=`` A^2 over 2]

[eqn: P_s `= `{A^2` m^2} over 2` bar { cos ^2 omega_m t}` =` {A^2 m^2} over 4 `=` m^2 over 2 P_c]

[eqn: P_t ``=`` A^2 over 2 `+` {A^2 m^2} over 4 `=` A^2 over 2 left( 1 + m^2 over 2 right) `=` P_c left( 1 + m^2 over 2 right)]

[eqn: mu ``=`` {P_s} over {P_c `+` P_s}`` =`` {{A^2 `m^2}over 4} over {{A^2 over 2} + {A^2 `m^2} over 4} ``=`` m^2 over {2+m^2}]

∴ [eqn: phi_AM `(`t`)] 로부터 [eqn: f`(`t`)]를 검출하기 위한 m은 [eqn: m``<= ``1] 이므로

[eqn: mu ``<=`` 1 over {2 `+` 1} ``=`` 1 over 3 ``=`` 33` %]

의미 ← 송신기 전력의 33%는 신호 전송을 위해 67%는 동조를 위해 사용됨

◀예제 5.2.1▶ 반송파 전력 [eqn: P_c ``=`` 40``㎾], [eqn: m ``=`` 1 over sqrt{2} ``=`` 0.707]인 정현파 AM변조에 대한 ⒜ 전체 평균 전력 [eqn: P_t] ,  ⒝ 전송 효율 [eqn: mu] ,  ⒞ 50 Ω 안테나의 최대 출력 전압

<풀이>

⒜ [eqn: P_t ``=`` P_c`` +`` P_s]

[eqn: =`` A^2 over 2 + {A^2 m^2} over 4 `=` A^2 over 2 left[ 1 + m^2 over 2 right] `=` P_c left( 1 + m^2 over 2 right)]

[eqn: =``left( `1 `+` 1 over 4` right) `times` 40` ㎾ ``=`` 50` ㎾]

⒝ [eqn: P_s ``=`` P_t ``-`` P_c ``=`` 50 ``-`` 40 ``=`` 10`` ㎾]

[eqn: mu ``=`` P_s over P_t ``=`` 10 over 50 ``=`` 20``%]

⒞ 안테나의 최대 출력 전압

R

[eqn: A` cos omega_c t]

저항 R에 의한 반송파 전력

[eqn: P_c`` =``bar {A^2 ``cos^2 omega_c` t} over R ``=`` A^2 over {2`R}]

[eqn: A^2 ``= ``2 ``R`` P_c`` = ``2 `times `50 `times` 40``㎾ ``=`` 4 `times` 10^{6}]

[eqn: A ``=`` 2`` times`` 10^3]

[eqn: phi_AM `(`t`)]의 최대전압 [eqn: (`1 ``+`` m `) ``A]

[eqn: (`1 `+` m`)` A ``=`` (`1 `+ `0.707)` times `2 `times` 10^3 ``=`` 3414``V]

5.2.2 DSB-LC 신호의 발생

※ DSB-LC 신호 발생기의 개념

[eqn: cos omega_c t]

[eqn: phi_AM (t)]

A

∑

×

[eqn: f(t)]

[eqn: phi_AM `(`t`) ``=`` {f`(`t`) ``cos omega_c` t } ``+`` A ``cos omega_c` t]

□□□□□□□□□□□□   -□□□□□□□□□□

DSB-SC   +   반송파

⒜ chopper (정류기) 변조기

(i) diode를 이용한 chopper형 변조기

⑴ 기능도

[eqn: cos omega_c t]

[eqn: e_i (t)]

A

BPF

@[eqn: omega_c]

[eqn: e_o (t)]

∑

[eqn: D_1]

+

-

[eqn: f(t)]

[eqn: D_2]

[eqn: D_4]

[eqn: D_3]

[eqn: phi_AM (t)]

⑵ 회로 해석

① [eqn: cos omega_c` t > 0] 이면 [eqn: D_1],[eqn: D_4] on, [eqn: D_2],[eqn: D_3] off 이므로  [eqn: e_i (t) = - f(t)]

[eqn: cos omega_c` t ``<`` 0]이면 [eqn: D_2],[eqn: D_3] on, [eqn: D_1],[eqn: D_4] off 이므로 [eqn: e_i `(`t`) = f`(`t`)]

즉

[eqn: e_i `(`t`) ``=`` cases {~~- f`(`t`) & ~~~~cos omega_c `t ``>``0 # ~``~~~f`(`t`) & ~~~~cos omega_c `t ``<``0}]

- [eqn: p_T (t)]를 다음과 같이 정의한다.

[eqn: p_T `(`t`) ``=`` cases {~~-1 & ~~~~cos omega_c `t ``>``0 #~~~ 1 &~~~~cos omega_c` t ``<``0}]

- BPF의 입력 [eqn: e_i (t)]

[eqn: e_i `(`t`) ``=`` f`(`t`)`` p_T `(`t`)]

- [eqn: p_T (t)]는 주기 [eqn: T={2 pi}over{omega_c}]인 주기함수 이므로 Fourier 지수급수로 전개할 수 있다.

[eqn: {{pi}over{2 omega_c}]

[eqn: pi overomega_c]

[eqn: -{pi}over{omega_c}]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: cos`omega_c t]

[eqn: p_T (t)]

[eqn: -{T}over{2}]

[eqn: {T}over{2}]

[eqn: T over 4]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: p_T (t) = a_0 + sum_n=0^inf (a_n cos n omega_c t + b_n sin omega_c t )]

[eqn: p_T (t)]의 평균이 0이기 때문에 [eqn: a_0 =0]

[eqn: a_n = 2overT int_-T/2^T/2 p_T (t) cosn omega_c tdt = 4overT int_0^T/2 P_T (t) cos n omega_c t dt]

[eqn: ={2omega_c}over{pi}int_0^pi/omega_c p_T (t) cos n omega_c t dt][eqn: ={2 omega_c}over{pi} left{-int_{0}^pi/2omega_c cos n omega_c t dt +int_{pi/2 omega_c}^pi/omega_c cos n omega_c t dt right}]

[eqn: ={2 omega_c}over{pi} left{ left[ {sin n omega_c t}over{n omega_c} right]_0^pi/2omega_c + left[{-sin n omega_c t}over{n omega_c} right]_{pi/2omega_c }^{pi/omega_c} right}][eqn: ={2 omega_c}over{pi} left{{sin{n pi}over{2} -sin n pi +sin{n pi}over{2}}over{n omega_c} right}]

[eqn: = {4}over{pi} {sin{n pi}over{2}}over{n}]

[eqn: b_n]은 기함수 적분이므로 0이다.

[eqn: p_T (t) = 4overpi sum_n=1^inf {sin {n pi}over{2}}over{n} cosn omega_c t]

여기서 [eqn: n]이 짝수이면 [eqn: sin{n pi}over{2}]는 0이고 홀수이면 [eqn: +-1]이다 따라서 홀수 [eqn: n]을  [eqn: k=0,```1,``` CDOTS]로 표시 하면 [eqn: n=2k+1]이며 [eqn: sin {n pi} over {2}=(-1)^k]이다. 따라서

[eqn: p_T (t) = 4 over pi sum_n=0^inf {(-1)^n} over{2n+1} cos(2n+1) omega_c t]

- [eqn: e_i (t)]는 [eqn: f(t)P_T (t)]이므로

[eqn: e_i `(`t`)``=`` 4 over pi f`(`t`) SUM from { { n}=0} to inf {(-1)^n} over {2`n` +` 1} ``cos`[(2n +1)` omega_c `t]]

[eqn: =`` 4 over pi f(t) left[ cos omega_c t - 1 over 3 cos 3 omega_c t + 1 over 5 cos 5 omega_c t + DOTSLOW right]]

② BPF의 출력

[eqn: e_o `(`t`) ``=`` 4 over pi ``f`(`t`) ``cos omega_c `t]

[eqn: phi_AM `(`t`) ``=`` A ``cos omega_c` t ``+`` e_o `(`t`)]

[eqn: =`` 4 over pi`` f`(`t`)`` cos omega_c` t ``+`` A ``cos omega_c` t]

(ii)switch를 이용한 정류형 변조기

(1) sampling function [eqn: p_T (t)]와 spectrum

[eqn: p_T (t) = cases{1 &````` cosomega_c t >0 # 0 &`````cos omega_c t<0}]

[eqn: p_T (t)]는 주기 [eqn: T={ 2 pi} over{omega_c }]인 주기함수이므로 Fourier 급수로 전개가능

[eqn: p_T (t) = sum_n=-inf ^inf P_n e^{jn omega_c t}]

여기서

[eqn: P_n = 1 over {T} int_{-T/2}^{T/2} p_T (t)e^{-jn omega_c t}dt = omega_c over {2 pi} int_{- pi /omega_c}^{pi/omega_c} p_T (t)e^{-jn omega_c t}dt]

[eqn: = omega_c over {2 pi} int_{-pi /2 omega_c }^{pi/2 omega_c} e^{-jn omega_c t}dt= omega_c over {2 pi} left[ e^{-jn omega_c t} over{-jn omega_c }right]_{-pi / 2 omega_c}^{pi / 2 omega_c}]

[eqn: = 1 over {2 pi} left[ {e^{jn pi /2 } - e^{-jn pi /2 }} over{jn}right] = 1 over {2 pi} {2j sin (n pi /2 )} over{jn}]

[eqn: = {sin (n pi /2 )} over{n pi}= 1 over 2 Sa({n pi} over 2 )]

여기서

[eqn: P_0 = 1 over 2], [eqn: P_{-1} = P_{1} = 1 over pi], [eqn: P_{-2} =P_{2} =0]

[eqn: P_T (omega )=2 pi sum_{n=-inf}^{inf} P_n delta(omega-n omega_c )]

(2) chopping 신호 [eqn: e_i (t)]와 spectrum

[eqn: e_] [eqn: e_i (t) = cases{f(t)+ kcos omega_c t & `````cosomega_c t >0 # 0 &`````cos omega_c t<0}]

[eqn: =[f(t) +k cos omega_c t]p_T (t)]

[eqn: E_i (omega )= 1 over{2 pi}[F( omega)+k pi delta(omega-omega_c ) + k pi delta(omega+omega_c )]*P_T (omega)]

[eqn: = sum_{n=-inf}^{inf} P_n [F( omega)+k pi delta(omega-omega_c ) + k pi delta(omega+omega_c )]*delta(omega - n omega_c )]

[eqn: = sum_{n=-inf}^{inf} P_n [F( omega -n omega_c )+k pi delta(omega-omega_c -n omega_c ) + k pi delta(omega+omega_c -n omega_c ) ]]

[eqn: =⋯ +P_{-2} [F(omega+2omega_c ) + k pi delta(omega + omega_c ) + k pi delta( omega + 3 omega_c )]]

[eqn: +P_{-1} [F(omega+omega_c ) + k pi delta(omega ) + k pi delta( omega + 2 omega_c )]]

[eqn: +P_{0} [F(omega ) + k pi delta(omega - omega_c ) + k pi delta( omega + omega_c )]]

[eqn: +P_{1} [F(omega-omega_c ) + k pi delta(omega - 2 omega_c ) + k pi delta( omega )]]

[eqn: +P_{2} [F(omega- 2 omega_c ) + k pi delta(omega - 3 omega_c ) + k pi delta( omega - omega_c )] + ⋯]

(3) BPF의 출력 [eqn: e_o (t)]와 spectrum

증심주파수 [eqn: omega_c]인 BPF이므로

[eqn: E_o (omega) =k pi [P_{-2} + P_0 ] delta(omega + omega_c ) + k pi [P_0 + P_2 ] delta(omega - omega_c )]

[eqn: + P_{-1} F(omega + omega_c )+ P_{1} F(omega - omega_c )]

여기서

[eqn: P_{-2} + P_0 = P_0 + P_2 = P_0 = 1 over 2]

[eqn: P_{-1} = P_1 = 1 over pi]

[eqn: E_o (omega) = k over 2 [ pi delta(omega + omega_c ) + pi delta(omega - omega_c ) ] + 1 over pi left[ F(omega + omega_c )+ F(omega - omega_c )right]]

[eqn: e_o (t) = k over 2 cos omega_c t + 2 over pi f(t) cos omega_c t] [eqn: = k over 2 [ 1 + 4 over {k pi} f(t)]cos omega_c t]

여기서 [eqn: 4 over {k pi}<= 1] 즉, [eqn: k>= 4 over pi]되도록 하면 [eqn: e_o (t)]는 DSB-LC신호가 된다.

⒝ 비선형 소자를 이용한 변조기

⑴ 기능도

비선형 소자

BPF

[eqn: phi_AM (t)]

[eqn: k` cos omega_c t]

@[eqn: omega_c]

[eqn: i(t)]

[eqn: f(t)]

[eqn: e_i (t)]

⑵ 비선형 소자의 전류․전압 특성

[eqn: i`(`t`) ``=`` a_1`` e_`(`t`) ``+`` a_2`` e^2`(`t`) ``+`` CDOTS]

[eqn: SIMEQ`` a_1`` e`(`t`) ``+`` a_2 ``e^2 `(`t`)]

⑶ 회로 해석

[eqn: e_i `(`t`) ``=`` R` i (`t`) ``=`` R` a_1 [ f(t) + k cos omega_c t] `+` R` a_2 [ f(t) + k cos omega_c t]^2]

[eqn: =`` R` a_1 `f(t)` + `R `a_1 `k `cos omega_c `t `+` R` a_2` f^{2} `(t) `+` R `a_2` k^2` cos^2 omega_c `t]

[eqn: +` 2` R `a_2 `k `f(t)` cos omega_c `t]

[eqn: phi_AM `(t)`` =`` R `a_1` k` cos omega_c` t `+ `2`R `a_2 ` k` f(t)` cos omega_c` t]

[eqn: =`` R ``k`` a_1`` left[` 1 `+` {2 `a_2} over a_1 `f`(`t`) `right]`` cos omega_c` t]

[eqn: m ``=`` {2` a_2} over a_1 ``<`` 1]     (변조지수)라 두면

[eqn: phi_AM `(t)`` =`` R` k`a_1` [`1`` +``m `f`(`t`)`]` cos omega_c` t]  ←  AM 변조

5.2.3 DSB-LC(AM) 신호의 복조

⒜ 포락선 검파기 (envelope detector)

⑴ 기능도

[eqn: psi_AM (t)]

[eqn: e_o (t)]

R

C

⑵ 회로해석 ← 그림 5.22

① [eqn: phi_AM `(`t`) ``>`` e_o` (`t`)] 이면 diode는 on 되어 c에 충전

[eqn: phi_AM `(`t`) ``<`` e_o` (`t`)] 이면 diode는 off 되어 R을 통하여 방전

② 충․방전의 시정수 [eqn: tau ``=`` R`C]

㉠ [eqn: tau]가 [eqn: phi_AM `(`t`)]의 변화에 일치할 때 [eqn: e_o `(`t`)]는 [eqn: phi_AM `(`t`)]의 포락선 즉 [eqn: e_o `(`t`) ``=`` f`(`t`)]

㉡ [eqn: tau]가 [eqn: phi_AM `(`t`)]의 변화보다 너무 클 때 과 충전

㉢ [eqn: tau]가 [eqn: phi_AM `(`t`)]의 변화보다 너무 적을 때 과 방전

⒝ 정류형 검파기  ←  그림 5.23

① diode는 변조된 신호를 반파 정류

② LPF는 고주파 항을 제거한다.

③ capacitor는 DC 성분을 제거

④ 상업용 수신기에 사용되지 않으며 pulse 신호의 진폭 검파에 사용

5.3 주파수 분할 다중화 (Frequency Division Multiplexing)

※ 다중화 - 동일 전송매체를 통하여 여러 명의 사용자가 동시에 정보를 송수신 하는 것

※ 다중화의 방법 - FDM, TDM, CDM

⒜ 주파수 분할 다중화의 원리

① FDM의 주파수 - 시간 평면

주파수
사용자3			주파수대 3
		guard band
사용자2			주파수대 2
		guard band
사용자1			주파수대 1
	시간

모든 시간에 대하여 M명의 사용자에게 M개의 주파수 대역을 할당

② FDM의 송신 원리  ←  그림 5.24 ⒝

[eqn: omega_3]

[eqn: omega_1]

[eqn: psi_FDM (t)]

송신기

∑

×

[eqn: f_2 (t)]

[eqn: f_1 (t)]

×

×

[eqn: f_3 (t)]

[eqn: omega_2]

㉠ 전송하고자 하는 신호 [eqn: f_1 (t)], [eqn: f_2 (t)], [eqn: f_3 (t)]를 반송파[eqn: cos omega_1 t,][eqn: cos omega_2 t,][eqn: cos omega_3 t]로 각각 DSB-SC로 변조

[eqn: phi_FDM (t) = f_1 (t) cos omega_1 t + f_2 (t) cos omega_2 t + f_3 (t) cos omega_3 t]

㉡ 반송파 주파수 [eqn: omega_1], [eqn: omega_2], [eqn: omega_3] 의 차는 신호의 최대 주파수의 2배 이상이어야 함

[eqn: | `omega_1 ``-`` omega_2 `|`` >= ``2 ``omega_m] ,      [eqn: | `omega_2 ``-`` omega_3 `|`` >= ``2 ``omega_m]

㉢ 다중화 된 신호의 spectrum  ←  그림 5.24 ⒞

⒝ FDM의 수신 원리  ←  그림 5.24 ⒟ 와 ⒠

① 대역 통과 필터에 의한 수신 원리

[eqn: phi_3 (t)]

[eqn: phi_1 (t)]

BPF [eqn: omega_1]

×

[eqn: f_2 (t)]

[eqn: f_1 (t)]

×

×

[eqn: f_3 (t)]

[eqn: phi_2 (t)]

BPF [eqn: omega_2]

BPF [eqn: omega_3]

[eqn: omega_1]

[eqn: omega_3]

[eqn: omega_2]

• BPF는 중심 주파수는 [eqn: omega_1], [eqn: omega_2], [eqn: omega_3] 임

• 검파기는 DSB-SC 신호를 검파

② Heterodyne에 의한 수신기

[eqn: e_A (t)]

검파기

[eqn: omega_l = omega_c + omega_IF]

×

RF

IF amp

AF 증폭기

～

[eqn: e_B (t)]

[eqn: e_C (t)]

[eqn: e_D (t)]

㉠ RF 증폭기

• RF단 동조 (부분선택) - [eqn: omega_c - B ``<`` omega`` <`` omega_c + B]내에서 동조

• 부분 선택된 신호 [eqn: phi_AM (t)] 를 [eqn: k]배 증폭

[eqn: e_A `(`t`) ``=`` k `phi_AM `(`t`) ``=`` k `A_c` [ 1 + m` f(t) ] `cos omega_c `t]

[eqn: =`` a [ 1 + m `f(t) ]`` cos omega_c` t]

㉡ 국부 발진기

• IF단 동조(근접 채널 선택) ← 정확히 [eqn: omega_c]에 동조

• 국부 발진 주파수 [eqn: omega_l ``=`` omega_IF ``+`` omega_c]

㉢ 혼합기

[eqn: e_B`(`t`) ``=`` e_A `(`t`)`` cos (`omega_IF `+` omega_c `)` t]

[eqn: =`` a ``[` 1 `+` m `f`(`t)` ]`` cos omega_c` t` cdot` cos (`omega_IF `+` omega_c `)` t]

[eqn: =`` a over 2` [` 1`+`m `f(t) `]` [` cos omega_IF `t` +`cos (`omega_IF `+` 2` omega_c `)` t` ]]

㉣ IF증폭기

중심주파수 [eqn: omega_IF``]인 BPF인 동시에 이득 [eqn: k``]인 증폭기

[eqn: e_c (t)= {a k} over 2 [ 1+m f(t) ] cos omega_IF t ``][eqn: = a_2 [ 1+mf(t) ] cos w_IF t```]

㉤ 검파기 ← 포락선 검파기

[eqn: e_D (t) = a_2 [ 1+ m f(t) ]``]

㉥ Heterodyne 수신기의 장점

• RF증폭기는 입출력 주파수가 같을 경우 이득이 크면 발진하므로 입출력 주파수가 서로 다르게 증폭하면 이득을 증가시킬 수 있어 감도(보다 약한 신호를 수신할 수 있는 능력)가 좋다.

• RF증폭기에서 부분선택하고 국부 발진기에서 근접선택을 함으로서 선택도(다른 방송과 구별할 수 있는 능력)가 좋다.

• 포락선 검파 시 직선검파를 함으로서 충실도(원 신호에 비슷한 정도)가 좋다.

㉦ Heterodyne 수신기의 단점

• 영상 channel(image channel)이 존재할 수 있음

※ 영상 channel : 혼합기에서 변조된 신호 [eqn: phi_AM (t)``]에 [eqn: cos (omega_c +omega_IF ) t``]를 곱하는 것은 [eqn: cos (omega_c -omega_IF ) t``]를 곱하는 것과 같다. 즉 두 반송파 주파수 [eqn: omega_c1``],[eqn: omega_c2``]에 대하여  [eqn: omega_c1 +omega_IF =omega_c2 -omega_IF ``(omega_c2 -omega_c1 =2 omega_IF )``]인 두 방송은 혼성되어 나타나는데 이 현상을 영상 channel이라 함

※ 영상 channel의 제거방법 : RF 동조에서 부분 선택함으로서 제거

• 국부 발진기는 전압변동에 영향을 받으므로 파형이 완전 정형파가 아닐 경우 찌그러짐에 의한 beat현상이 생김

◀ 예제 5.3.1 ▶

첫 번째 radar의 반송파 주파수 [eqn: f_c1 = 2.8 GHz``], 국부발진 주파수  [eqn: f_l = 2.86 GHz``]이다. 두 번째 radar의 반송파 주파수 [eqn: f_c2]가 첫 번째 radar의 영상 주파수가 되어 영상채널현상이 발생한다.

⒜ 첫 번째 radar의 중간주파수 [eqn: f_IF``]를 구하라.

[eqn: f_l = f_c1 + f_IF``]

[eqn: f_IF =f_l -f_c1 =2.86 -2.8 =0.06 GHz =60MHz```]

⒝ 두 번째 radar의 반송파 주파수 [eqn: f_{c`2}``]는 얼마인가?

[eqn: f_c2 -f_c1 =2f_IF```]

[eqn: f_c2 = f_c1 +2 f_IF =2.80 + 2 ×0.06 = 2.96 `` GHz``]

⒞ 2.80 ～3.00 GHz의 radar 대역에서 영상 channel 영향을 제거하기 위한 중간주파수 [eqn: f_IF``]는 얼마인가.

[eqn: 2 f_IF ``>`` f_max ``-`` f_min ``=`` 3`-` 2.8 ``=`` 0.2 GHz]

[eqn: f_IF > 0.1 GHz = 100 MHz```]

5.4 단측대파 변조

※ DSB-SC의 주파수 특성

① DSB 신호 [eqn: phi (t)``]

[eqn: phi (t) = f (t) cos omega_c t``]

② DSB 신호 [eqn: phi (t)``]의 spectrum

[eqn: PHI (omega) = 1 over {2 pi} F (omega) * ℱ left{cos omega_c t right}]

[eqn: =``1 over {2 pi} `F` (`omega`)` pi `[`delta` (`omega-omega_c`) + delta`(`omega`+`omega_c`)`]]

[eqn: = 1 over 2 F( omega - omega_c ) + 1 over 2 F (`omega `+`omega_c`)]

[eqn: omega_c]

DSB-SC

Upper

Sideband

Lower

Sideband

Lower

Sideband

Upper

Sideband

[eqn: -omega_c]

㉠ 실 신호 [eqn: f (t) ``]의 spectrum [eqn: F (omega)``]는 대칭 [eqn: [F(-omega) = F^* (omega) ]]이므로 [eqn: PHI (omega)]는 [eqn: +-omega_c]를 중심으로 대칭

㉡ [eqn: PHI (omega)``]의 상측대 또는 하측대를 이용하여 [eqn: F(omega)``]를 재구성할 수 있다.

㉢ [eqn: PHI(omega)``]의 상측대 또는 하측대를 전송하여 [eqn: f(t)``]를 수신할 수 있다.

※ SSB변조 : DSB-SC 신호의 상측대 또는 하측대만을 전송하는 변조

5.4.1 SSB 신호발생

⒜ 측대 필터에 의한 SSB  신호 발생

① 기능도 ← 그림 5.29 참조

[eqn: phi _{DSB-SC} (t)`]

[eqn: phi _{SSB}(t)`]

Sideband

filter,[eqn: H(omega)`]

[eqn: f (t)`]

[eqn: cos omega_c t]

② 동작

㉠ [eqn: f(t)``]에 [eqn: cos omega_c t``]를 곱하여 DSB-SC신호를 발생

㉡ 측대 filter를 이용하여 DSB-SC의 상측대를 선택

③ 측대 필터의 특성

㉠ [eqn: omega_c``]의 상측대를 100% 통과시키고 하측대를 100% 저지시키는 이상적인 HPF

㉡ [eqn: omega `=` 0] 근방의 주파수 성분이 없는 신호일 경우 실현가능

⒝ 변조신호 [eqn: f(t) = e^{j omega_m t}``]일 때 [eqn: f(t) e^{j omega_c t}``]의 측대파

① [eqn: f(t) e^{j omega_c t}``]의 spectrum

[eqn: f(t) e^{j omega_c t} = e^{j omega_m t} e^{j omega_c t} = e^{j`(omega_c +omega_m ) t`}`````]

[eqn: ℱ left{ f(t) e^{j omega_c t}right} = 2 pi delta [omega - (omega_c +omega_m ) ] ``] ← 그림 5.30

② [eqn: Re [ f(t) e^{j omega_c t}]``]의 spectrum

[eqn: Re left[ f(t) e^{j omega _c t} right] = Re left[ {e^{j omega_m t} e^{j omega_c t}} right] = Re left[e^{j(omega_m +omega_c ) t)} right]]

[eqn: =Re [(cos( omega_m + omega_c ) t + j sin (omega_m +omega_c ) t ]``]

[eqn: =cos (omega_c +omega_m ) t``]

[eqn: =cos omega_m t cos omega_c t - sin omega_m t sin omega_c t``]

[eqn: ℱ left{ Re [f(t) e^{j omega_c t} ] right} = pi delta [ omega- (omega_c +omega_m )] + pi delta [ omega + (omega_c +omega_m ) ]]

③ ①②로부터 [eqn: e^{j omega_m t} e^{omega_c t}```]의 상측대파는 [eqn: Re [ e^{j omega_m t } e^{j omega_c t} ]``]이다

[eqn: phi_SSB+ (t) = cos omega_m t`` cos omega_c t`` -``sin omega_m t``sin omega_c t``]

⒞ 변조신호 [eqn: f(t) = e^{-j omega_m t}``]일 때  [eqn: f(t) e^{j omega_c t}``]의 측대파

① [eqn: f`(`t`) `e^{j `omega_c` t}``]의 spectrum

[eqn: ` f(t) e^{j omega_c t}= e ^{-j omega_m t }e^{j omega_c t} = e^{j{(omega_c - omega_m})t}```]

[eqn: ℱ left{ ``f(t) e^{j omega_c t} ``right}][eqn: = 2 pi delta` [ omega-(omega_c` `-``omega_m`)`]``][eqn: f(t) e^{j omega_c t]``]

② [eqn: Re [ f(t) e^{j omega_c t} ]``]의 spectrum

[eqn: Re left[ f(t) e^{j omega_c t} right]``= Re left[ e^{-j omega_m t}e^{j omega_c t} right] =Re left[e^{j(omega_c -omega_m ) t}right]]

[eqn: =Re left[cos(omega_c - omega_m )t +jsin(omega_c -omega_m )t right]``]

[eqn: =cos (omega_c - omega_m ) t```]

[eqn: ``=``cos omega_m t cos omega_c t + sin omega_m t ``sin omega_c t```]

[eqn: ℱ left{ Re [f(t) e^{j omega_c t} ] right} = pi delta [ (omega- (omega_c - omega_m )] + pi delta [ omega +(omega_c -omega_m )]``]

③ ①②로부터 [eqn: e^{-j omega_m t} e^{j omega_c t}```]의 하측대파는 [eqn: Re [ e^{-j omega_m t} e^{j omega_c t}]``]이다.

[eqn: phi _SSB- (t) = cos omega_m t cos omega_c t + sin omega_m t sin omega_c t```]

⒟ 일반신호 [eqn: f(t)``]에 대한 [eqn: f(t)`cos omega_c t```]의 측대파

[eqn: phi _{SSB -+} (t)= f(t) cos omega_c t ```+- hat f (t) sin omega_c t``]

여기서

[eqn: hatf (t) = -{j }over {2 pi} INT _{ -inf}^{inf } F(omega) sgn(omega) e^{j omega t} d omega``]

<증명>

① [eqn: f(t) cos omega_c t``]의 상측대 [eqn: PHI_SSB+ (omega)``]

[eqn: omega_c]

[eqn: omega]

[eqn: PHI _{SSB + }(omega)]

[eqn: 1over 2 F (omega-omega_c )]

[eqn: 1 over 2 F (omega+ omega_m )]

[eqn: -omega_c]

② 상측대파 신호 [eqn: phi _SSB+ (t) ``] ←Fourier 적분으로 표현

[eqn: phi _{SSB +} (t) = 1 over {2 pi }left[ 1 over 2 INT _{ omega_c}^{inf } F (omega - omega_c ) e^{j omega t}`` d` omega][eqn: + 1 over 2 INT _{ -inf}^{-omega_c } F (omega+omega_c ) e^{j omega t}``d`omega right]]

여기서  [eqn: u =omega -omega_c ``], [eqn: v = omega + omega_c ``]라 두면

[eqn: phi _{SSB +} `(`t`) = 1 over { 4 pi } [ INT _{ 0}^{inf }`F (u) e^{j (u + omega_c `)` t`}du + INT _{ -inf}^{0 }F(v) e^{j(v-omega_c`)` t}`dv`]]

[eqn: =`1 over {8 pi} [ e^{j omega _c t } INT _{ -inf}^{inf } F(omega) 2 u (omega) e^{ j omega t}d omega]

[eqn: +e^{-j omega_c t} INT _{ -inf}^{inf } F(omega) 2 u (-omega) e^{j omega t} d omega``]``]

[eqn: ={e^{j omega_c t}}over{8 pi} INT _{- inf}^{inf } F(omega) [2u(omega)-1] e^{j omega t}d omega]

[eqn: + ``{e^{-j omega_c t}}over{8 pi} INT _{- inf}^{inf } F(omega) [2u(-omega)-1] e^{j omega t}d omega]

[eqn: +`{e^{j omega_c t}}over{8 pi} INT _{- inf}^{inf } F(omega) e^{j omega t}d omega][eqn: +`{e^{-j omega_c t}}over{8 pi} INT _{- inf}^{inf } F(omega) e^{j omega t}d omega ``]

[eqn: ={e^{j omega_c t}}over {8 pi} INT _{ -inf}^{inf } F(omega)sgn(omega) e^{j omega t}d omega]

[eqn: +`{e^{-j omega_c t}}over {8 pi} INT _{ -inf}^{inf } F(omega) sgn(-omega) e^{j omega t}d omega ``][eqn: + {e^{j omega_c t}}over {4} f `(`t`) + {e^{-j omega t}}over {4} f `(`t`)``]

[eqn: ={e^{j omega_c t} - e^{-j omega_c t}}over {8 pi} INT _{ -inf}^{inf } F(omega ) sgn (omega) e^{j omega t}d omega] [eqn: + {e^{j omega_c t} + e^{-j omega_c t}}over{4} f `(`t`)`]

[eqn: =`j over {4 pi} sin omega_c t INT _{ -inf}^{inf }F(omega) sgn(omega) e^{j omega t} d omega][eqn: +`1 over 2 cos omega_c t ․f(t)``]

[eqn: =```1 over 2 [` f(t) cos omega_c t `-` hat f (t)sin omega_c t ]``]

여기서

[eqn: hat f (t) = -j over {2 pi} INT _{-inf}^{inf} F(omega) sgn (omega) e^{j omega t}d omega``]

③ [eqn: f(t) cos omega_c t ``]의 하측대파 [eqn: phi _{SSB-} (t) ``]

②와 같은 방법으로 계산하면

[eqn: `phi_{SSB-} `(`t`)`` = ``1over 2 ``[` f(`t`) `cos `omega_c` t` +` hat f (t )` sin` omega_c `t `]``]

④ ②③으로부터 [eqn: f(t) cos omega_c t`]의 상․하측대파 [eqn: f_SSB-+ (t)]는

[eqn: f_{SSB-+}(t) = f(t)cos omega_c t ``+-`` hat f (t) sin omega_c t]

여기서

[eqn: hat f `(`t`) ``=`` {- j} over {2` pi}` int_{-inf}^{inf}` F`(`omega`)`` sgn `(`omega`)`` e^{j` omega `t}`` d `omega]

⒠ 상․하측대파 [eqn: phi _{SSB-+} (t) ``]발생기

[eqn: hat f (t)`]

[eqn: phi _{SSB-+} (t)]

[eqn: f(t) cos omega_c t`]

[eqn: f (t)`]

[eqn: pi over 2 지연`]

[eqn: hat f (t) sin omega_c t]

[eqn: +-]

+

[eqn: sin omega_c t``]

[eqn: cos omega_c t``]

[eqn: pi over 2 위상기`]

5.4.2 신호 분석과 Hilbert 변환

⒜ [eqn: hat f `(`t`)]의 spectrum

[eqn: hat f `(`t`) ``=`` {- j} over {2` pi}` int_{-inf}^{inf}` F`(`omega`)`` sgn `(`omega`)`` e^{j` omega `t}`` d `omega]

[eqn: =`` { 1} over {2` pi}` int_{-inf}^{inf}` F`(`omega`)`` [` - j `sgn `(`omega`)`]`` e^{j` omega `t}`` d `omega]  --- ⑴

식 ⑴로부터

[eqn: hat F `(`omega`) ``=`` F`(`omega`) ``[ `- j `sgn `(`omega`) `]]                --- ⑵

[eqn: =`` cases { ~- j` F`(`omega`) &~~ omega ``>`` 0 #~~~ j` F`(`omega`) &~~omega`` <`` 0}]

⒝ [eqn: pi over 2]위상기의 주파수 전달함수 [eqn: H`(`omega`)]와 impulse response [eqn: h`(`t`)]

[eqn: pi over 2]위상기 [eqn: h(t)]

[eqn: f(t)]

[eqn: hat f (t)]

[eqn: H(omega)]

[eqn: F(omega)]

[eqn: hat F (omega)]

[eqn: hat F `(`omega`) ``=`` F`(`omega`) ``H `(`omega`)]                        --- ⑶

식 ⑶과 식 ⑵를 비교하면 위상기의 주파수 전달함수 [eqn: H`(`omega`)]는

[eqn: H` (`omega`) ``=`` - j`` sgn `(`omega`)]

① [eqn: H`(`omega`)]의 크기 특성

[eqn: | `H`(`omega`) `| ``=`` |` - j ``sgn `(`omega`) `| ``=`` |`- j` |`` |` sgn `(`omega`) `| ``=`` 1]

[eqn: |H(omega)|]

1

0

[eqn: omega]

② [eqn: H`(`omega`)]의 위상 특성

[eqn: theta `(`omega`) ``=`` cases {~~ pi over 2 &~~~ ( `omega ``<`` 0 `) # ~- pi over 2 &~~~ (` omega ``>`` 0 `) }][eqn: =`` - pi over 2`` sgn `(`omega`)]

0

[eqn: omega]

[eqn: pi over 2]

-[eqn: pi over 2]

∴ [eqn: H `(`omega`) ``=`` e^{-j pi over 2`` sgn`(`omega`)}] ← [eqn: pi over 2]위상기의 주파수 전달함수

③ impulse response [eqn: h(t)]

[eqn: h`(`t`) ``=`` ℱ^-1 `left{ - j`` sgn `(`omega`)` right} ``=`` - j`` ℱ^-1` left{` sgn` (`omega`)` right} ``]

[eqn: =`` - j` j over {pi `t}`` =`` 1 over { pi` t}]

⒞ [eqn: hat f `(`t`)]의 해석

[eqn: hat F` (`omega`) ``=`` F `(`omega`) ``[ - j ``sgn` (`omega`)` ]]

[eqn: hat f `(` t`) ``= ``ℱ^-1`` left{` F`(`omega`) right}`*` ℱ^-1` left{`` - j`` sgn `(`omega`) ``right}`` =`` f`(`t`) ``*`` 1 over {pi`t}]

[eqn: =`` int_{- inf}^{inf} f`(`tau`)`` 1 over { pi` (` t `- `tau` ) } ``d ``tau ``=`` 1 over pi int_{-inf}^{inf} {f`(`tau`)} over {t `-` tau}`` d`` tau]

← [eqn: f`(`t`)]의 Hilbert transform

◀ 예제 ▶ [eqn: f(t) = rect left( t over tau right)] 일 때 [eqn: hat f `(`t`)] 계산 ← 그림 5.32

[eqn: hat f`(`t`) ``=`` 1 over pi int_{-inf}^{inf} {f`(`x`)} over {t `-` x} ``d`x]

[eqn: =`` 1 over pi int_{- tau over 2}^{tau over 2} {1} over {t `-` x} ``d`x]

[eqn: =`` 1 over pi`` [` - ln (` t` -` x`)` ]_{- tau over 2}^{tau over 2}]

[eqn: =`` 1 over pi`` [` ln` left(` t `+` tau over 2` right) ``-`` ln` left(` t` - `tau over 2` right)]

[eqn: =`` 1 over pi`` ln` { t`+` tau over 2} over {t `-` tau over 2}]

※[eqn: f`(`t`)]가 구형파일 때 [eqn: hat f `(`t`) 는~ t``=`` +- `tau over 2]에서 무한 값을 가지므로 구형파를 SSB변조 할 수 없음

⒟ 실 신호 [eqn: f`(`t`)]의 단측대 파 [eqn: z`(`t`)]

[eqn: z`(`t`) ``=`` f`(`t`) ``+`` j ``hat f `(`t`)]

여기서

[eqn: hat f` (`t`) ``=`` f`(`t`) ``*`` 1 over {pi `t} ``=`` 1 over pi int_{-inf}^{inf} `{f`(`tau`)} over {t` - `tau}`` d ``tau]

< 증명 >

[eqn: Z`(`omega`) ``=`` F `(`omega`) ``+`` j`` hat F `(`omega`)] ---    ⑴

[eqn: hat F `(`omega`) ``=`` F `(`omega`) ``[ `- j`` sgn `(`omega`) `]] ---⑵

식 ⑵를 식 ⑴에 대입

[eqn: Z`(`omega`) ``=`` F`(`omega`) ``+`` F`(`omega`) ``sgn `(`omega`) ``=`` cases { ~2` F` (`omega`) &~ omega ``>`` 0 #~~~ 0 &~ omega`` <`` 0}]

5.4.3 SSB 신호의 복조

⒜ 동기검파

① 기능도

L P F

[eqn: e_1 (t)]

[eqn: e_o (t)]

[eqn: phi_SSB (t)]

[eqn: cos omega_c t]

② [eqn: e_1 `(`t`)]의 해석

[eqn: e_1 `(`t`)`` =`` phi_SSB `(`t`)`` cos omega_c` t]

[eqn: =` `[ `f`(`t`)`` cos omega_c` t`` -`` hat f` (`t`) ``sin omega_c `t` ] ``cos omega_c` t]

[eqn: =f(t)cos^2 omega_c t - hat f (t) sin omega_c t~ cos omega_c t]

[eqn: = 1 over 2 f(t) + 1 over 2 f(t) cos2omega_c t - 1over2 hat f (t) sin2omega_c t]

[eqn: E_1 (omega) = 1 over 2 F(omega) + 1over 4 [ F(omega-2omega_c ) + F(omega + 2 omega_c )]]

[eqn: + j over 4 [ hat F (omega - 2omega_c ) - hat F (omega+2omega_c ) ]]

③ LPF 의 출력

[eqn: E_0 (omega) = 1 over 2 F(omega)# e_0 = 1 over 2 f(t)~~~~~]

※ 동기 검파일 경우 국부 발진기의 주파수 차에 의한 영향

[eqn: phi_SSB (t) cos (omega_c + DELTA omega) t = [f(t) cos omega_c t -+ hat f (t) sin omega_c t] cos (omega_c + DELTA omega )t]

[eqn: =f(t) cos omega_c t cos(omega_c + DELTA omega)t]

[eqn: -+ hat f (t) sinomega_c t cos (omega_c + DELTAomega) t]

[eqn: = 1 over 2 f(t) cos DELTA omegat + 1 over 2 f(t) cos (2 omega_c + DELTAomega) t]                                 [eqn: -+ 1 over 2 f(t) sin DELTA omegat ``+-`` 1 over 2 f(t) sin (2 omega_c + DELTAomega) t]

[eqn: e_o (t) = 1 over 2 f(t) cos DELTA omegat -+ 1 over 2 hat f (t) sin DELTA omegat]

검파된 신호는 [eqn: hat f (t) sin DELTA omegat]를 포함하므로 [eqn: f(t)]가 구형파일 경우 불연속점에서 [eqn: hat f (t)]는 무한한 값을 가지므로 심각한 왜곡이 생기나 음성 신호의 경우 크게 영향을 받지 않는다.

⒝ SSB-LC 검파

① SSB-LC신호

[eqn: phi_SSB-LC (t) = Acos omega_c t + f(t) cosomega_c t -+ hat f (t)sin omega_c t]

[eqn: = [A+f(t)] cos omega_c t -+ hat f (t) sin omega_c t]

[eqn: = root {[A + f(t)]^2 + hat f (t)^2} cos [omega_c t -+ theta (t)]]

여기서

[eqn: theta (t) = tan^-1 {hat f (t)} over A+f(t)]

② SSB-LC 의 검파 ← 포락선 검파

[eqn: A>>f(t)]이면 [eqn: phi_SSB-LC (t) = [A+f(t)] cos [omega_c t +- theta (t)]] 이므로 포락선 검파를 할 수 있다.

5.5 잔류측대 변조 (vestigial sideband modulation)

⒜ 잔류측대 변조의 원리

① 기능도

VSB 필터

LPF

[eqn: f (t)`]

[eqn: cos omega_c t``]

[eqn: phi (t)``]

[eqn: h_v (t)]

송신기

[eqn: phi _{VSB} (t)``]

[eqn: cos omega_c t``]

수신기

[eqn: e_1 (t)]

[eqn: e_o (t)]

㉠ DSB-SC하여 VSB filter를 통과시킴

㉡ 동기검파

② 혼합기 출력과 그 spectrum

[eqn: phi (t) = f(t) cos omega_c t `~~`⇔``~~PHI (omega) = 1 over 2 F (omega + omega_c ) + 1 over 2 F(omega - omega_c )``]

③ VSB filter 특성과 그 출력

㉠ VSB filter의 주파수 특성

[eqn: -omega_c``]

0

[eqn: H_v (omega)`]

[eqn: omega_c``]

- VSB filter의 대역폭은 SSB filter 대역폭의 1.25배

㉡ 필터출력 [eqn: phi _{VSB} (t) = phi (t) * h_v (t)``]

[eqn: PHI _{VSB}(omega)= PHI (omega) H_v (omega) = 1 over 2 H_v (omega) [ F(omega-omega_c) + F(omega +omega_c )]``]

[eqn: -omega_c``]

0

[eqn: PHI_VSB (omega)`]

[eqn: omega_c``]

- DSB-SC의 상측대 대부분과 하측대의 일부 (잔류측대)를 통과시킴

④ 수신기 혼합기 출력과 그 spectrum

[eqn: e_1 (t ) = phi _{VSB}(t) cos omega_c t``]

[eqn: E_1 (omega) = 1 over 2 PHI _{VSB} (omega - omega_c ) + 1 over 2 PHI _{VSB} (omega +omega_c )}``]

[eqn: = 1over 4 H_v (omega- omega_c ) [ F(omega- 2omega_c ) + F (omega) ]]

[eqn: + ` 1over 4`` H_v` (`omega`+` omega_c )` [` F(`omega`) `+`F(`omega`+` 2omega_c `)`]```]

[eqn: =`1 over 4 [ H_v (omega -omega_c ) + H_v (omega +omega_c ) ] ``F(omega)]

[eqn: + 1 over 4 H_v (omega- omega_c ) F(omega-2 omega_c ) + 1 over 4 H_v (omega+omega_c ) F(omega + 2 omega_c )``]

㉠ [eqn: [H_v (omega-omega_c ) + H_v (omega+omega_c ) ] F(omega)``]

[eqn: -2 omega_c ``]

[eqn: -omega_c``]

[eqn: omega_c``]

[eqn: 2omega_c`]

0

[eqn: [H_v (omega- omega_c ) +H_v (omega +omega_c )] F(omega) SIMEQ F (omega)``]

㉡ [eqn: ``H_v (omega-omega_c ) `F (omega-2 omega_c ) + H_v (omega+omega_c ) F(omega `+`2 omega_c``) ``]

[eqn: -2 omega_c ``]

[eqn: -omega_c``]

[eqn: omega_c``]

[eqn: 2omega_c`]

0

⑤ LPF의 출력과 그 spectrum

[eqn: E_o (omega) = 1 over 4 F(omega)``]

[eqn: e_o (t) = 1over 4 f (t)``]

⒝ VSB 신호의 해석

① VSB 신호 [eqn: phi _{VSB} (t)``]

[eqn: PHI _{VSB} (omega) = 1 over 2 H_v (omega) [ F (omega- omega_c ) + F(omega + omega_c )]``]

[eqn: phi_{VSB}(t) = 1 over {2 pi} INT _{inf}^{inf}PHI _{VSB}(omega) e^{j omega t}d omega```]

[eqn: ``=``1 over {4 pi} INT _{-inf}^{inf} H_v (omega ) [ F (omega -omega_c ) + F(omega +omega_c ) ] e^{j omega t}d omega``]

여기서 [eqn: u = omega -omega_c ``] , [eqn: v= omega + omega_c``]라 두면

[eqn: phi _{VSB} (t) = 1 over {4 pi } INT _{-inf}^{inf} H_v (u + omega_c ) F(u) e ^{j (u + omega_c ) t } d u ``]

[eqn: + 1 over {4 pi } INT _{-inf}^{inf} H_v (v - omega_c ) F(v) e ^{j` (v-omega_c ) t } d` v]

[eqn: =` {e ^{j omega_c t}} over {4 pi } INT _{-inf}^{inf} H_v (omega + omega_c ) F(omega) e ^{j omega t} d omega ``]

[eqn: +` {e ^{-j omega_c t}} over {4 pi } INT _{-inf}^{inf} H_v (omega - omega_c ) F(omega) e ^{j omega t} d omega ``]

여기서 [eqn: H_v (omega`-`omega_c`)]와 [eqn: H_v (omega`+`omega_c`)`]를 0 근방의 [eqn: omega]에 대해 고찰하면

[eqn: H_V`(omega_c`)``=``1over2]

0

[eqn: H_V`(omega``-``omega_c`)``]

[eqn: 2`omega_c``]

0

[eqn: -`2`omega_c``]

[eqn: H_V`(omega_c`)``=``1over2]

[eqn: H_V`(omega``+``omega_c`)``]

[eqn: 1over2]

0

[eqn: -`1over2]

[eqn: Y(omega)]

[eqn: H_v`(omega``+``omega_c``)``=``H_v`(omega_c`)``+``Y`(omega`)``=``1over2``+``Y`(omega`)``]

[eqn: H_v`(omega``-``omega_c``)``=``H_v`(omega_c`)``-``Y`(omega`)``=``1over2``-``Y`(omega`)``]

[eqn: phi_{V`S`B`}`(t`)``=&``{e^{j`omega_c`t}over4pi}`` INT _{ -inf}^{inf }``[`1over2``+``Y`(omega`)]``F`(omega`)``e^{j`omega`t}`d`omega``]

[eqn: +``{e^{-j`omega_c`t}over4pi}`` INT _{ -inf}^{inf }``[`1over2``-``Y`(omega`)]``F`(omega`)``e^{j`omega`t}`d`omega``]

[eqn: =&``{{e^{j`omega_c`t}``+``e^{-j`omega_c`t}}over8pi}`` INT _{ -inf}^{inf }`F`(omega`)`e^{j`omega_c`t}`d`omega``]

[eqn: +``{{e^{j`omega_c`t}``-``e^{-j`omega_c`t}}over4pi}`` INT _{ -inf}^{inf }`Y`(omega`)``F`(omega`)`e^{j`omega_c`t}`d`omega``]

[eqn: = 1over2 f(t) cos omega_c t+{j sin omega_c t}over{2`pi} INT _{ -inf}^{inf }Y(omega) F(omega) e^{j omega t} d omega]

여기서

[eqn: q`(t`)``=``{-j}over{pi}`` INT _{ -inf}^{inf }``Y`(omega`)``F`(omega`)``e^{j`omega`t}`d`omega]

[eqn: phi_{V`S`B`}`(t`)``=``1over2``f`(t`)`cos`omega_c`t``-`1over 2`q`(t`)``sin`omega_c`t``]

② VSB신호 [eqn: phi_{V`S`B}`(t`)``]의 해석

㉠ [eqn: Y`(omega`)``]는 기함수 즉 [eqn: Y`(-omega`)=-`Y`(omega`)]이므로 하측대 VSB신호 [eqn: phi_{V`S`B-}`(t`)``]는

[eqn: phi_{V`S`B-}`(t`)``=``f`(t`)`cos`omega_c`t``+``q`(t`)`sin`omega_c`t``]

㉡ [eqn: Y`(omega`)``]의 천이 폭이 좁으면 [eqn: Y`(omega`)``=``sgn`(omega`)``]가 되므로

[eqn: phi_{V`S`B}`(t`)``]는 [eqn: phi_{S`S`B}`(t`)``]가 됨

㉢ [eqn: Y`(omega`)``->``0``]으로 하면 [eqn: q`(t`)``=``0``]이므로 [eqn: phi_{V`S`B}`(t`)``]는

[eqn: phi_{D`S`B``-``S`C`}`(t`)``]가 됨

⒞ VSB신호의 검파

동기검파를 하며 동기를 위해 PLL을 이용하거나 작은 반송파신호(pilot carrier)를 전송

⒟ 응용 ← TV 영상신호변조

① 수평방향으로 525 line으로 raster scanning하고 1초에 30 frame을 전송

② 영상신호의 주파수 대역은 4MHz이며 낮은 주파수 성분이 많음

③ VSB 변조하면 대역폭은 5MHz

④ Audio 신호는 반송파 주파수로부터 5.5 MHz거리에 있는 주파수로 FM변조

⑤ TV의 한 channel은 6MHz

5.6 대역통과 잡음의 시간 표현

⒜ 중심주파수 [eqn: omega_c``]인 협대역 BPF의 잡음 표현

BPF  [eqn: omega_c``]

광대역 잡음

협대역 잡음 [eqn: a_n``]

① 잡음은 random 신호이기 때문에 시간 표현이 불가능하나 협대역 BPF를 통과하면 대역이 제한되므로 시간 표현이 가능

② 협대역 잡음의 phasor도

[eqn: theta_n``]

[eqn: n_c`(t`)``]

[eqn: n_s`(t`)`]

[eqn: a_n``]

[eqn: n_c (t)] : 반송파와의 동위상 잡음성분

[eqn: n_s (t)] : 반송파와의 구적위상 잡음성분

[eqn: a_n] : 잡음크기

㉠ [eqn: omega_c]근방에서 잡음 [eqn: a_n``]의 복소수 표현

[eqn: a_n`e^{j`omega_c`t}``=``[`n_c`(t`)``+``j`n_s`(t`)``]``e^{j`omega_c`t}``]

㉡ 잡음 [eqn: a_n``]의 시간 표현

[eqn: n`(t`)``&=``Re`[` LEFT { n_c`(t`)``+``j`n_s`(t`)`` RIGHT } ``e^{j`omega_c`t}``]``]

[eqn: =``n_c`(t`)`cos`omega_c`t``-``n_s`(t`)``sin`omega_c`t]

③ 잡음전력밀도 스펙트럼

※ 전력밀도 스펙트럼 ← 단위주파수당 평균전력

㉠ 잡음 [eqn: n`(t`)``]의 전력밀도 스펙트럼

[eqn: n`(t`)``]

[eqn: T over2]

[eqn: n_T`(t`)``=``n`(t`)`r`e`c`t`(`t overT`)]

[eqn: -`T over2]

[eqn: n`(t`)`` LRARROW ``N`(omega`)``]              [eqn: n_T`(t`)`` LRARROW ``N_T`(omega`)``]

[eqn: S_n`(omega`)``=`` lim from { T -> inf } {LEFT | N_T`(omega`) RIGHT | ^2} overT]

[eqn: P``=``bar{n^2`(t`)}``=`` INT _{ -inf}^{inf } `S_n`(omega`)`d`omega``]

㉡ [eqn: phi (t) = n`(t`)``cosomega_c`t``]의 전력밀도 스펙트럼

[eqn: phi(t)`=`n(t)`cos`omega_c`t` LRARROW `1over2 [`N(omega-omega_c )+N(omega+omega_c )]]이므로

[eqn: phi_T`(t`)``=``[``n`(t`)`cos`omega_c`t`]``rect``(`t over T`)]

⇕

[eqn: PHI _T`(omega`)``=``1over2``[`N_T`(omega``-``omega_c`)``+``N_T`(omega``+``omega_c`)`]``]

∴ [eqn: S_phi`(omega`)``&=`` lim from { T ->inf } ``{ LEFT | PHI_T`(omega`) RIGHT |^2 }overT]

[eqn: = lim from { T ->inf }{1over4 LEFT | N_T`(omega`-`omega_c`) RIGHT |^2`+`1over4` LEFT | N_T`(omega`-`omega_c`) RIGHT |^2 }overT]

[eqn: =`` 1over4` [`` S_n`(omega``-``omega_c`)``+``S_n`(omega``+``omega_c`)``]]

⒝ 동기검파 시 잡음전력밀도 스펙트럼

① [eqn: cosomega_c`t``]에 의한 검파

[eqn: rho _o`(t`)``]

[eqn: cosomega`_c`t`]

L  P  F

[eqn: n`(t`)`]

[eqn: e_o`(t`)``&=``[`n`(t`)`cos`omega_c`t``]_{L`P`F}]

[eqn: =``[` LEFT { n_c`(t`)`cos`omega_c`t``-``n_s`(t`)`sin`omega_c`t`RIGHT }``cos`omega_c`t`` ]_{L`P`F}]

[eqn: =``1over2``n_c`(t`)]

[eqn: 1over4 [`S_n`(omega`-`omega_c)`+`S_n`(omega`+`omega_c)]_{LPF}`=`1over4 S_nc`(omega)] ← 그림 5.41

② [eqn: sinomega_c`t``]에 의한 검파

[eqn: rho _o`(t`)``]

[eqn: sinomega`_c`t`]

L  P  F

[eqn: n`(t`)`]

[eqn: e_o`(t`)``&=``[`n`(t`)`sin`omega_c`t``]_{L`P`F}]

[eqn: =``[` LEFT { n_c`(t`)`cos`omega_c`t``-``n_s`(t`)`sin`omega_c`t`RIGHT }``sin`omega_c`t`` ]_{L`P`F}]

[eqn: =``1over2``n_s`(t`)]

[eqn: THEREFORE ~~1over4`[`S_n`(`omega``+`omega_c`)``+``S_n`(omega``-`omega_c``)]_{L`P`F}``=``1over4 S_ns`(omega`)``]

①, ②로부터 [eqn: S_nc`(omega`)``=``S_ns`(omega`)``]이므로 [eqn: bar{n_c^2`(t`)}``=``bar{n_s^2`(t`)}``]

③ [eqn: n`(t`)``]의 평균전력

[eqn: bar{n^2`(t`)}``&=``bar{[n_c`(t`)`cos`omega_c`t``-``n_s`(t`)`sin`omega_c`t`]^2}]

[eqn: =``1over2`bar{n_c^2`(t`)}``+``1over2`bar{n_s^2`(t`)}``=``bar{n_c^2`(t`)}``=``bar{n_s^2`(t`)}``]

5.7 AM 수신기의 신호대잡음비

※ 수신기의 성능평가 기준 - 신호대잡음비

[eqn: S_i``+``N_i``]

[eqn: s_o`(t`)``+``n_o`(t`)``]

[eqn: S_o``+``N_o``]

수  신  기

[eqn: s_i`(t`)``+``n_i`(t`)``]

[eqn: S_i``] : 입력 신호 [eqn: s_i`(t`)``]의 전력

[eqn: N_i``] : 입력 잡음 [eqn: n_i`(t`)``]의 전력

[eqn: S_o``] : 출력 신호 [eqn: s_o`(t`)``]의 전력

[eqn: N_o``] : 출력 잡음 [eqn: n_o`(t`)``]의 전력

입력의 신호대잡음비 ≡ [eqn: S_i overN_i]

출력의 신호대잡음비 ≡ [eqn: S_o overN_o``]

5.7.1 DSB-SC (동기검파)의 신호대잡음비

[eqn: 1over2`f`(t`)``+``n_o`(t`)``]

[eqn: cosomega`_c`t`]

L  P  F

[eqn: f`(t`)`cos`omega_c`t``+``n`(t`)``]

⒜ 입력에서의 신호대잡음비

① 입력 신호 전력 [eqn: S_i``]

[eqn: S_i``=``bar{s_i^2`(t`)}``=``bar{[`f`(t`)`cos`omega_c`t`]^2}``=``bar{f``^2`(t`)}```bar{cos`^2`omega_c`t}]

[eqn: =``1over2`bar{f``^2`(t`)}]

② 입력 잡음 전력 [eqn: N_i``]

[eqn: N_i``=``bar{n^2`(t`)}``=``bar{n_c^2`(t`)}``]

③ 입력 신호의 신호대잡음비

[eqn: (`S over N`)_i``=``{S_i}over{N_i}``=``1over2`{bar{f``^2`(t`)}}over{bar{n_c^2`(t`)}}``]

⒝ 출력에서의 신호대잡음비

① 출력 신호 전력 [eqn: S_o``]

[eqn: S_o``=``bar{s_o^2`(t`)}``=``bar{[`1over2`f`(t`)`]^2}``=``1over4`bar{f``^2`(t`)}``=``1over2`S_i``]

② 출력 잡음 전력 [eqn: N_o``]

[eqn: n_o`(t`)``&=``[`n_i`(t`)`cos`omega_c`t`]_{L`P`F}``]

[eqn: = LEFT { [`n_c`(t)`cosomega_c`t`-`n_s`(t)`sin`omega_c`t`]`cos`omega_c`t`RIGHT }_{LPF}]

[eqn: =``1over2`n_c`(t`)``]

[eqn: N_o``=``bar{n_o^2`(t`)}``=``1over4`bar{n_c^2`(t`)}``=``1over4`N_i``]

③ 출력에서의 신호대잡음비

[eqn: (`S over N`)_o``=``{S_o}over{N_o}``=``{1over4`bar{f``^2`(t`)}}over{1over4`bar{n_c^2`(t`)}}``=``{bar{f``^2`(t`)}}over{bar{n_c^2`(t`)}}``=``{1over2`S_i}over{1over4`N_i}``]

[eqn: THEREFORE ~~{S_o}over{N_o}``=``2`CDOT {S_i}over{N_i}``=``bar{f^2`(t`)}overbar{n_c^2`(t`)}``]

의미 ← DSB-SC 동기검파일 경우 2만큼 신호대잡음비가 향상

※ DSB-LC (동기검파)의 신호대잡음비

① 입력에서의 신호대잡음비

•[eqn: s_i`(t`)``=``[`A``+``f`(t`)`]`cos`omega_c`t``] 이므로

[eqn: S_i``&=``bar{s_i^2`(t`)}``=``bar{[`A``+``f`(t`)]^2}``bar{cos^2`omega_c`t`}]

[eqn: =`` left[ A^2 `+` bar{f^{2} `(`t`)}` right]`` {bar{1 `+ `cos 2` omega_c` t} over 2}``=`` {A^2 `+` bar{f^{2} `(`t`)}} over 2]

• [eqn: n_i`(t`)``=``n`(t`)``]이므로

[eqn: N_i``=``bar{n^2`(t`)}``=``bar{n_c^2`(t`)}``]

※[eqn: {S_i}over{N_i}``=``{1over2`(A^2``+``bar{f``^2`(t)})}overbar{n_c^2`(t`)}]

[eqn: bar{n_c^2`(t`)}``=``1over2` left[`A^2``+``bar{f``^2`(t`)}``right]``N_i overS_i``]

② 출력에서의 신호대잡음비

• [eqn: s_o`(t)`=`[`s_i`(t)`cos omega_c`t`]_{LPF}`=` LEFT { `[`A`+`f`(t)]`cos^2`omega_c`t`RIGHT }_{LPF}]

[eqn: =``1over2`f`(t`)``]

[eqn: S_o``=``1over4`bar{f``^2`(t`)}``]

• [eqn: n_o`(t`)``=``n_i`(t`)`cos`omega_c`t``=``1over2`n_c`(t`)``]

[eqn: N_o``=``1over4`bar{n_c``^2`(t`)`}``]

[eqn: S_o overN_o``=``{1over4`bar{f``^2`(t`)}}over{1over4`bar{n_c^2`(t`)}}``=``bar{f``^2`(t`)}overbar{n_c^2`(t`)}]

[eqn: =``bar{f``^2`(t`)}over{1over2`left[`A^2``+``bar{f``^2`(t`)}right]``N_i overS_i}`` =``{2bar{f``^2`(t`)}}over{`A^2``+``bar{f``^2`(t`)}}``S_i overN_i]

∴ [eqn: A``>`` LEFT | f `(t`)`RIGHT | ``]이므로 DSB-LC가 DSB-SC보다 신호대잡음비가 적음

5.7.2 SSB

[eqn: s_o`(t`)``+``n_o`(t`)``]

[eqn: cosomega`_c`t`]

L  P  F

[eqn: s_i`(t`)``+``n_i`(t`)``]

① 입력에서의 신호대잡음비

• [eqn: s_i`(t`)``=``phi_{S`S`B}`(t`)``=``f`(t`)`cos`omega_c`t``-``hatf`(t`)`sin`omega_c`t``] 이므로

[eqn: S_i```&=``bar{phi_{S`S`B}^2`(t`)}``=``bar{f``^2`(t`)}``bar{cos^2`omega_c`t}``+``bar{hatf``^2`(t`)}``bar{sin^2`omega_c`t}``]

[eqn: =``1over2`bar{f``^2`(t`)}``+``1over2`bar{hatf``^2`(t`)}]

여기서 [eqn: LEFT | F`(omega`) RIGHT | ^2``=`` LEFT | hatF`(omega`) RIGHT | ^2``]이므로 [eqn: bar{f``^2``(t`)}``=``bar{hatf``^2`(t`)}``]

[eqn: S_i``=``bar{f``^2``(t`)}``]

• [eqn: n_i`(t`)``=``n`(t`)``]이므로

[eqn: N_i``=``bar{n^2`(t`)}``=``bar{n_c^2`(t`)}]

[eqn: THEREFORE~~ S_i overN_i``=``bar{f``^2`(t`)}overbar{n_c^2`(t`)}``]                           --- ⑴

② 출력에서의 신호대잡음비

• [eqn: s_o`(t`)``=``[`phi_{S`S`B}`(t`)`cos`omega_c`t`]_{L`P`F}``=``1over2`f`(t`)``]이므로

[eqn: S_o``=``1over4`bar{f``^2`(t`)}``]

• [eqn: n_o`(t`)``=``left[ n_i`(t`)`cos`omega_c`t right]_LPF``=``1over2`n_c`(t`)``]이므로

[eqn: N_o``=``1over4`bar{n_c^2`(t`)}``]

[eqn: THEREFORE ~~S_o overN_o``=``bar{f``^2`(t`)}overbar{n_c^2`(t`)}``]                           --- ⑵

• 식 (1), (2)로부터 SSB의 신호대잡음비

[eqn: S_o overN_o``=``S_i overN_i``]

※ DSB-SC의 [eqn: S_o overN_o``=``2`CDOT S_i overN_i``]이고 SSB의 [eqn: S_o overN_o``=``S_i overN_i``]이므로 DSB-SC가 신호대잡음비가 향상되는 것 같이 보이지만 잡음전력이 대역폭에 비례할 경우 DSC-SC와 SSB는 동일

5.7.3 DSB-LC(포락선 검파)의 신호대잡음비

⒜ DSB-LC의 포락선 검파시 신호대잡음비

① 입력에서의 신호대잡음비

• [eqn: s_i`(t`)``=``[`A``+``f`(t`)`]`cos`omega_c`t``] 이므로

[eqn: S_i``=``bar{s_i`^2`(t`)}``=``A^2 over2``+``bar{f``^2`(t`)}over2]

• [eqn: n_i`(t`)``=``n(t`)``] 이므로

[eqn: N_i``=``bar{n^2`(t`)}``=``bar{n_c`^2`(t`)}``]

[eqn: THEREFORE ~~S_i overN_i``=``{A^2``+``bar{f``^2`(t`)}}over{2`bar{n_c^2`(t`)}}]

② 출력에서 신호대잡음비

•[eqn: r`(t`)``]의 포락선

[eqn: r`(t`)``&=``s_i`(t`)``+``n_i`(t`)]

[eqn: =``[A`+`f`(t)]`cos`omega_c`t`+`n_c`(t)`cos omega_c`t`-`n_s`(t)`sin omega_c`t]

[eqn: =``[A``+``f`(t`)``+``n_c`(t`)]`cos`omega_c`t``-``n_s`(t`)`sin`omega_c`t]

[eqn: =``root{[A``+``f`(t`)``+``n_c`(t`)]^2``+``n_s^2`(t`)`}`cos`(`omega_c`t``+`` theta`)]

• 포락선 검파기의 출력[eqn: A+s_{ o } (t)+n_{ o } t)] 은 [eqn: r`(t`)``]의 포락선이고 [eqn: n_{ s } ^{ 2 } (t)]는 아주 작으므로

[eqn: s_o`(t`)``+``n_o`(t`)``+A``&=``root{[`A``+``f`(t`) +n_c (t)]^2``+`n_s^2 (t)}]

[eqn: SIMEQ `A``+``f`(t`)``+``n_c`(t`)``]

∴ [eqn: s_o`(t`)``=``f`(t`)``]

[eqn: n_o`(t`)``=``n_c`(t`)``]

[eqn: S_o``=``bar{f``^2`(t`)}``]

[eqn: N_o``=``bar{n_c``^2`(t`)}``]

∴ [eqn: S_o overN_o``=``bar{f``^2`(t`)}overbar{n_c^2`(t`)}``=``{2`bar{f``^2`(t`)}}over{A^2``+``bar{f``^2`(t`)}}``S_i overN_i``]

⇨ DSB-LC의 동기검파와 동일

※ [eqn: f`(t`)``=``m`A`cos`omega`_m`t``] 일 때 신호대잡음비

[eqn: S_o overN_o``&=``{2`bar{f``^2`(t`)}}over{A^2``+``bar{f``^2`(t`)}}``S_i overN_i``=``{2`A^2`m^2`bar{cos^2`omega_m`t}}over{A^2``+``A^2`m^2`bar{cos^2`omega_m`t}}]

[eqn: =``m^2 over{1``+``m^2 over2}`S_i overN_i``=``2m over{2``+``m^2}``S_i overN_i``]

③ DSB-LC 검파시 반송파에 대한 신호대잡음비

[eqn: s_o`(t`)``+``n_o`(t`)``]

포락선 검파

[eqn: A`cos`omega_c`t``+``f`(t`)`cos`omega_c`t``+``n_i`(t`)``]

㉠ 반송파의 신호대잡음비

• 반송파 전력

[eqn: S_c``=``bar{A^2`cos^2`omega_c`t`}``=``A^2 over2``]

• 반송파 잡음

[eqn: N_c``=``N_i``=``bar{n_c^2`(t`)}``]

• 반송파의 신호대잡음비

[eqn: S_c overN_c``=``1over2`A^2 overbar{n_c^2`(t`)}``]

㉡ 출력에서의 신호대잡음비

• [eqn: s_o `(`t`) ``=`` f`(`t`)] 이므로

[eqn: S_o``=``bar{f``^2`(t`)``}]

• [eqn: n_o `(`t`) ``=`` n_c `(`t`)] 이므로

[eqn: N_o``=``bar{n_c^2`(t`)``}]

[eqn: S_o overN_o``=``{bar{f``^2`(t`)}}over{bar{n_c`^2`(t`)}}``=``{2`bar{f``^2`(t`)`}}overA^2`cdot S_c overN_c``]

㉢ [eqn: f`(t`)``=``m`A`cos`omega_m`t``] 일 때 [eqn: bar{f``^2`(t`)}``=``{m^2`A^2}over2``]이므로

[eqn: S_o overN_o``=``m^2``S_c overN_c``]

⒝ 전력밀도 스펙트럼 [eqn: eta over2``]인 백색잡음이고 변조대역폭 [eqn: omega_m``]인 경우 신호대잡음비

① DSB-SC인 경우

• 출력에서의 신호대잡음비

[eqn: S_o overN_o``=``2 cdot S_i overN_i``]

• 입력 잡음 전력 [eqn: N_i``]

B  P  F

백색 잡음

[eqn: n_i`(t`)``]

[eqn: omega_c +omega_m`]

[eqn: -omega_c``]

[eqn: omega_c`-`omega_m`]

[eqn: eta over2]

[eqn: s_{n`i}`(omega`)`]

[eqn: omega_c``]

[eqn: N_i``&=`` INT _{ -inf}^{inf }``s_{n`i}`(omega`)`d`omega` =`eta over2``2`omega_m``+``eta over2``2`omega_m`=` 2 `eta` omega_m]

[eqn: S_o overN_o``=``S_i over{eta`omega_m`}``]

② SSB 동기검파일 경우

[eqn: omega_c``+omega_m`]

[eqn: -omega_c``]

[eqn: s_{n`i}`(omega`)`]

[eqn: omega_c``]

[eqn: S_o overN_o``=``S_i overN_i``]

여기서 [eqn: N_i ``=`` eta`omega_m``]

[eqn: S_o overN_o``=``S_i over{eta`omega_m`}``]

※ ①, ②로부터 DSB나 SSB의 신호대잡음비는 동일

5.8 전파의 효과

⒜ 평면파

⑴ [eqn: x``]축에 평행인 전계와 [eqn: y``]축에 평행인 자계를 갖는 평면파가 [eqn: z``]축 방향으로 진행할 때의 전파

[eqn: H_y``]

x

y

z

자계

전계

[eqn: E_x``]

※ 전계와 자계는 수직을 이루며 전․자계에 수직방향으로 진행

① 평면파의 전계

[eqn: {rmE}`(z`)``=``{rma}_x`E`e^{-j`k`z}]

[eqn: epsilon `(z`,`t)``=``{rma}_x`E`cos`(omega`t``-``k`z``)``]

② 평면파의 자계

[eqn: ℍ(z)``=`{rma}_y`E`e^{-j`k`z}``]

[eqn: ℍ`(z`,`t)``=``{rma}_y`E`cos`(omega`t``-``k`z``)``]

⑵ 편파 (polarization)

평면파가 두 매질의 경계면에 입사할 경우 평면파의 전계가 경계면에 평행일 때 수평편파(vertical polarization)라 하며 수직일 때 수직편파(perpendicular polarization)이라 함

※ 저주파 - 수직편파  ←  그림 5.44 ⒜

※ 고주파 - 수평편파  ←  그림 5.44 ⒝

⒝ 전파의 구성

지표면을 따라 진행하는 지표파와 공간을 통해 전파하는 공중파로구성

⑴ 지표파

VLF(30KHz이하)일 경우 수평편파는 거의 없고 수직편파만 존재하므로 수직편파를 이용한 통신을 함

⑵ 공중파

① HF(3MHz～30MHz) - 30～70 mile 거리에 있는 전리층에 의해 굴절되며 수평편파를 이용하여 통신

② VHF(30MHz～300MHz) - 전리층을 통과할 정도로 직진성이 강하므로 직접파에 의한 통신을 하며 지표와 장애물에 의한 다중경로에 의해 영향을 받음

※ fading ← 두 개 또는 여러 개의 전파가 다중경로를 따라 수신점에 도달할 때 전파강도는 다양하게 변화하는데 한  파에 의해 다른 파가 소멸되는 현상

※ fading 제거 방법 ← frequency diversity(여러 개의 서로 다른 주파수 사용)나 space diversity(서로 다른 안테나 사용)를 이용해 제거

※ VHF의 가시선(line of sight)거리

㉠ radio horizon ← VHF이상은 굴절에 의하여 지구 반지름의 4/3가 radio 반지름(=3.960×4/3=5280 mile)이 되며 이 반지름에 의해 이루어지는 수평선

㉡ 안테나 높이 [eqn: h``]와 가시선 거리 [eqn: d``]와의 관계 ← 그림 5.46

[eqn: r^2``+``d^2``=``(`r``+``h`)`^2``=``r^2``+2`h`r``+``h^2``]

[eqn: d``=``root{2`h`r``+``h^2}]

[eqn: 2`h`r``>>``h^2``] 이므로

[eqn: d``=``root{2`h`r}`` SIMEQ ``root{2`h}``]

5.9 AM 시스템의 비교

parameter 시스템	검파	소모 전력	대역폭	충실도	신호대잡음비	용도	fading
DSB-LC	포락선검파 (간단)	대	2B	아주 양호	[eqn: (`S overN`)_0``=``{2``bar{f``^2`(t`)}}over{A^2``+``bar{f``^2`(t`)}}``(`S overN`)_i``]	상업용 방송	대
DSB-SC	동기검파 (복잡)	중	2B	아주 양호	[eqn: (`S overN`)_0``=``2`cdot (`S overN`)_i``]	FDM, chopper 증폭기	소
SSB	동기검파 (복잡)	소	B	양호	[eqn: (`S overN`)_0``=``(`S overN`)_i``]	점대점 통신	소
VSB	동기검파 (복잡)	소	1.25B	양호	[eqn: (`S overN`)_0``=``(`S overN`)_i``]	TV, FAX	소