대전광역시교육청 주관

2008학년도 대학수학능력시험 10월 모의평가 문제지

수리 영역

나    형

나 형	수리 영역

	수리 영역	나 형

8

제 2 교시

성명

1

수험 번호

1. [eqn: root3 ×27 ^{1over2}]의 값은? [2점]

① [eqn: 3root3]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 9root3]	④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 27 root3]

2. [eqn: lim _{ n rarrow INF } { {3 ^{ n+2}+2 ^{ 2n-1} } over { 4 ^{ n}-3 ^{ n+1} } }]의 값은? [2점]

① [eqn: { 1} over {2 }]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over2]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: { 5} over {2 }]

3. [eqn: log sub 2 ( \` sub 21 C sub 0 + ` sub 21 C sub 1 `+ `…+ sub 21 C sub 10 ) `]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 20]

4. [eqn: log_3 10]의 소수부분을 [eqn: alpha]라 할 때, [eqn: 3^alpha]의 값은? [3점]

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: { 10} over {9 }]	③ [eqn: { 10} over {3 }]	④ [eqn: 100 over 9]	⑤ [eqn: 100 over 3]

5. 행렬 [eqn: A `=` pmatrix { ``1 ~~~ b `# ``0 ```~ -1 ` }`]일 때, [eqn: (2A + A sup-1 `) ( 3A - A sup -1 `) `]를 간단히 하면? (단, [eqn: E]는 단위행렬이다.) [3점]

① [eqn: E `]	② [eqn: 6E `]	③ [eqn: A `]	④ [eqn: A+E `]	⑤ [eqn: 3A + 2E `]

6. [eqn: 2 sup alpha `=` 5 `]를 만족하는 [eqn: alpha `]에 대하여 [eqn: log sub2 ( log sub 5 x ) + log sub 2 alpha `=` 2 `]의 해를 [eqn: beta `]라고 할 때, [eqn: log sub 2 beta]의 값은? [3점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

7. [eqn: a=3 ^{55} ,```b=4 ^{44} ,```c=5 ^{33}`]일 때, 큰 것부터 차례로 나열한 것은? [3점]

① [eqn: a,``b,``c]	② [eqn: a,``c,``b]	③ [eqn: b,``c,``a]	④ [eqn: b,``a,``c]	⑤ [eqn: c,``b,``a]

8. 집합 [eqn: X=left{-1,``0,``1`right}`]일 때, 함수 [eqn: f`:`X `rarrow` X]에 대하여 [eqn: f``(`x)=`-f``(-x)]을 만족하는 함수 [eqn: f`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

9. 갑, 을, 병 세 사람이 시장 선거에 출마하였다. 갑, 을, 병 세 사람이 당선될 확률이 각각 [eqn: 3 over 10 , ``1over2 ,``1 over 5]이고, 당선되었을 때 버스 노선을 개편할 확률은 각각 [eqn: 4 over 5 ,`` 1 over 10 , `` 2 over5]이다. 선거가 끝난 후 버스 노선이 개편될 확률은? [3점]

① [eqn: 0.23 `]	② [eqn: 0.24`]	③ [eqn: 0.37]	④ [eqn: 0.40]	⑤ [eqn: 0.45]

10. 함수 [eqn: f`(x) `=` log sub 2 x ``]일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: n]은 자연수이다.) [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: x`>`1`]일 때, [eqn: f`(`f`(x)) `>`0 `]이다. ㄴ. [eqn: x >0`]일 때, [eqn: f` left ( x over 2 right ) `=` f`(x) `-` 1 `]이다. ㄷ. 수열 [eqn: left { f`( 8 sup n ) right } `]은 등차수열이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ	④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: z`]	[eqn: {\P}`(0` <= Z``` <= `z)`]
[eqn: 1.0] [eqn: 2.0] [eqn: 3.0]	[eqn: 0.3413] [eqn: 0.4772] [eqn: 0.4987]

11. 어느 고등학교 [eqn: 3]학년 학생들의 한 달 동안 참고서 구입비용을 조사하였다. 그 결과 구입비용은 평균 [eqn: 6]만원, 표준편차 [eqn: 2]만원인 정규분포를 따른다. 임의로 한 학생을 선택하였을 때, 이 학생이 한 달 동안 참고서 구입비용으로 [eqn: 4]만원 이상 지출 할 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

① [eqn: 0.1587]	② [eqn: 0.3413]	③ [eqn: 0.6826]	④ [eqn: 0.8413]	⑤ [eqn: 0.9987]

12. 연립일차방정식 [eqn: cases{ax+by=0&#(b-2)x-ay=0&}]이 [eqn: x=0`], [eqn: y=0]이외의 해를 갖도록 하는 [eqn: a,``b]에 대하여, [eqn: b-a`]의 최대값은? [3점]

① [eqn: - sqrt {2}]	② [eqn: 1- sqrt {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: sqrt {2}]	⑤ [eqn: 1+sqrt {2}]

13. 첫째항이 [eqn: 1 `]인 두 무한등비급수 [eqn: sum from n=1 to inf a sub n `,~ sum from n=1 to inf b sub n `]이 모두 수렴하고, [eqn: sum from n=1 to inf ( a sub n + b sub n ) `=` 8 over 3 `], [eqn: sum from n=1 to inf ` a sub n b sub n `=` 4 over 5 `]가 성립한다. 이 때, 무한급수 [eqn: sum from n=1 to inf ( a sub n + b sub n ) sup 2 `]의 합은? [3점]

① [eqn: 64over 15]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 32 over 5 `]	④ [eqn: 15 over 2]	⑤ [eqn: 10]

14. 작년 H기업 직원의 임금 [eqn: X]는 최저 [eqn: 80]에서 최고 [eqn: 400]이고, [eqn: {\N}(200, ```50^{ 2})]인 정규분포를 따른다. 이 기업은 작년 말 수출호조와 높은 부가가치 창출로 많은 이윤을 얻었다. 올해 직원의 임금인상에 대한 노사 간의 협의 중 [eqn: Y= { 3} over { 2}X-50]인 식이 포함된 새로운 임금교섭안이 결정된다고 가정할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: {\P}(0≦Z≦2)=0.477]이고, 단위는 만원이다.) [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. 올해의 평균임금은 [eqn: 250]으로 오른다. ㄴ. 상위 [eqn: 2.3%]인 직원의 올해 임금은 [eqn: 380]이다. ㄷ. 올해 임금이 전혀 오르지 않거나 삭감된 사람도 있다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ	④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 네 숫자 [eqn: 1,``2,``3,``4`]로 중복을 허용하여 다섯 자리 자연수를 만들려고 한다. 아래 세 조건을 동시에 만족하는 자연수의 개수는? [4점]

(가) [eqn: 3`]의 배수이다.

(나) 같은 숫자가 [eqn: 3`]번 이상 연속하여 나열된다.

(다) 만의 자리와 일의 자리의 숫자는 서로 같다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 36]	④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 60]

16. 아래 그림은 함수 [eqn: y=|``log_10 x ``|]의 그래프이다. [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: |`` log_10 x ``|`=`ax+b]의 세 실근의 비가 [eqn: 1:2:3]일 때, 세 실근의 합은? [4점]

[eqn: 1]

[eqn: y=|``log _ 10 x``|]

① [eqn: {3root3} over 2]	② [eqn: 3root3]	③ [eqn: {9root3} over 2]	④ [eqn: {6root3}]	⑤ [eqn: {15root3} over 2]

17. 다음은 [eqn: a _{1} =1,``a _{2} =1`,``a _{n+2} =a _{n} +a _{n+1} ``(n=1,``2,``3,` CDOTS )]인 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT }]의 일반항을 구하는 과정이다.

[eqn: a _{n+2} =a _{n} +a _{n+1}]에서 [eqn: a _{n+2} -a _{n+1} -a _{n} =0`]…㉠

[eqn: (`a _{n+2} - alpha `a _{n+1} )=` beta ``(`a _{n+1} - alpha `a _{n} )]이라 하면,

[eqn: a _{n+2} -( alpha + beta )a _{n+1} + alpha beta `a _{n} =0`]…㉡

㉠과 ㉡에서  [eqn: alpha + beta =1,`` alpha beta =-1]을 얻을 수 있다.

[eqn: alpha ,`` beta `]는 이차방정식  의 두 근이다.

(가)

[eqn: THEREFORE alpha = {1+ sqrt {5}} over {2} ,`` beta = {1- sqrt {5}} over {2} `] 또는 [eqn: alpha = {1- sqrt {5}} over {2} ,`` beta = {1+ sqrt {5}} over {2} `]

[eqn: (`a _{n+2} - alpha `a _{n+1} )=` beta ``(`a _{n+1} - alpha `a _{n} )]에서

수열 [eqn: LEFT { a _{n+1} - alpha `a _{n} RIGHT } `]은 첫째항이 [eqn: a _{2} - alpha `a _{1} `,``]공비가 [eqn: beta `]인 등비수열이다.

[eqn: THEREFORE ``a _{n+1} - alpha `a _{n} =(a _{2} - alpha `a _{1} )`` beta `` ^{n-1} `]

(1) [eqn: alpha = {1+ sqrt {5}} over {2} ,`` beta = {1- sqrt {5}} over {2} `]

[eqn: THEREFORE ``a _{n+1} - {1+ sqrt {5}} over {2} a _{n} =]  …㉢

(나)

(2) [eqn: alpha = {1- sqrt {5}} over {2} ,`` beta = {1+ sqrt {5}} over {2} `]

[eqn: THEREFORE ``a _{n+1} - {1- sqrt {5}} over {2} a _{n} =]  …㉣

(다)

㉣ - ㉢을 하면,

[eqn: THEREFORE ``a _{n} = {sqrt {5}} over {5} LEFT { RIGHT .]  [eqn: -] [eqn: LEFT. RIGHT }]이 된다.

(다)

(나)

위의 풀이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: x ^{2} -x-1=0]	[eqn: LEFT( {1- sqrt {5}} over {2} RIGHT) ^{n}]	[eqn: LEFT( {1+ sqrt {5}} over {2} RIGHT) ^{n}]
②	[eqn: x ^{2} +x-1=0]	[eqn: LEFT( {1- sqrt {5}} over {2} RIGHT) ^{n}]	[eqn: LEFT( {1+ sqrt {5}} over {2} RIGHT) ^{n-1}]
③	[eqn: x ^{2} -x-1=0]	[eqn: LEFT( {1+ sqrt {5}} over {2} RIGHT) ^{n}]	[eqn: LEFT( {1- sqrt {5}} over {2} RIGHT) ^{n}]
④	[eqn: x ^{2} +x-1=0]	[eqn: LEFT( {1+ sqrt {5}} over {2} RIGHT) ^{n}]	[eqn: LEFT( {1- sqrt {5}} over {2} RIGHT) ^{n-1}]
⑤	[eqn: x ^{2} -x-1=0]	[eqn: LEFT( {1+ sqrt {5}} over {2} RIGHT) ^{n}]	[eqn: LEFT( {1+ sqrt {5}} over {2} RIGHT) ^{n}]

단 답 형

18. 등식 [eqn: sum _{k=1} ^{10} (k ^{2} +k)``` `+``c``=`` sum _{k=2} ^{11} ``(k^2 + k)]가 성립할 때, 상수 [eqn: c]의 값을 구하시오. [3점]

19. 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } `]의 계차수열은 공비가 [eqn: { 1} over {2 }`]인 등비수열이다. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} =20`]일 때, [eqn: a `_{1`}]의 값을 구하시오. [3점]

20. 아래 그림과 같이 크기별로 [eqn: 5]가지 종류의 반원이 [eqn: 31]개 있다. [eqn: \A]지점에서 출발하여 [eqn: \B]지점을 거쳐 다시 [eqn: \A]지점으로 돌아올 때, 반원을 크기별로 적어도 한 번 이상 지나오는 최단거리의 방법의 수를 구하시오. [3점]

21. [eqn: 9`]로 나누면 [eqn: 7 `]이 남고, [eqn: 15 `]로 나누면 [eqn: 4 `]가 남는 세 자리 자연수의 개수를 구하시오. [4점]

22. 아래 그림은 [eqn: log_2 x]와 [eqn: log_ 4 y]사이의 관계를 나타낸 그래프이다.

[eqn: x], [eqn: y] 사이에 [eqn: y=f(x)]가 성립할 때, 방정식 [eqn: 4 ^{[f(x)]} =16]의 정수해의 합을 구하시오. (단, [eqn: [`x`]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

[4점]

23.    [eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 임의추출하여 순서쌍 [eqn: (a_1 , ``a_2 ,``a_3 ,``a_4 )]로 나타낸다. 서로 다른 순서쌍을 모두 구하여 각각을 [eqn: A _{1} ,``A _{2} `,``]…[eqn: ,``A _{k} `]라 하자. 순서쌍 [eqn: A sub i `]([eqn: i`=`1`,~2`,]…[eqn: ,``k`])에 속한 모든 성분의 합을 [eqn: s sub i `]라 할 때, [eqn: sum from i=1 to k s sub i over k `]의 값을 구하시오. [4점]

24. [eqn: 100]만 원짜리 노트북 컴퓨터를 이 달 초에 [eqn: 50]만 원을 주고 나머지 금액은 매월 갚기로 하고 구입하였다. 월이율 [eqn: 1%], [eqn: 1]개월마다 복리로 계산하고, [eqn: 36]회에 걸쳐 이 달 말부터 매달 말에 일정한 금액을 갚아 나가기로 하였다. 매월 갚아야 하는 금액을 [eqn: a]원 이라 할　때, [eqn: {a} over {100}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 1.01 ^{36} =1.4`]로 계산한다.) [4점]

25. 동전을 [eqn: n]번 던져 앞면이 나오는 횟수를 [eqn: X`]라 하자. 충분히 큰 [eqn: n`]에 대하여, [eqn: {\P}left(left|X- {n} over {2}right | <= {21} over {2} `right)``>=``0.954]를 만족하는 [eqn: n`]의 최대값을 구하시오. (단, [eqn: {\P}(0<=Z<=2)][eqn: =0.477`]이다.) [4점]

5지선다형

26. [eqn: x` >= 1]일 때, [eqn: log_2`x`]의 정수 부분을 [eqn: f`(x)]라고 하자. 방정식 [eqn: f`({2x+12})=f`(x) +3]의 해를 [eqn: alpha <= x <beta]라 할 때, [eqn: alpha+ beta]의 값은?

[4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

27. 역행렬이 존재하지 않는 행렬 [eqn: A `=` pmatrix { 2a+1`&`a-1#2a-1`&` a+1 } `]가 [eqn: E+A+A ^{2} + CDOTS +A ^{2008} `=`pE+qA]를 만족할 때, [eqn: p+q `]의 값은?

[4점]

① [eqn: 2009]	② [eqn: 2 sup 1004]	③ [eqn: 2 ^{2008}]

④ [eqn: 2009 + 2 sup 1004]	⑤ [eqn: 2009 + 2 sup 2008]

28. [eqn: 1000rmmL]의 물이 가득 들어있는 용기가 있다. 이 용기에서 담긴 양의 [eqn: { 1} over {2 }]을 덜어내고 물 [eqn: 300rmmL]와 알콜 [eqn: 100rmmL]를 다시 넣는 것을 첫 번째 시행이라 하고, 이 시행 후 용기에 남아 있는 양의 [eqn: { 1} over {2 }]을 덜어내고 물 [eqn: 300rmmL]와 알콜 [eqn: 100rmmL]를 다시 넣는 것을 두 번째 시행이라 하자. 이와 같은 과정을 한 없이 반복한다고 할 때, 용기 안에 알콜의 농도([eqn: %])는? (단, 자연증발 및 기타 유실량은 무시한다.) [4점]

① [eqn: 10%]	② [eqn: 15%]	③ [eqn: 20%]	④ [eqn: 25%]	⑤ [eqn: 30%]

29. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형 [eqn: rm OA _{1} B _{1} C _{1} `]에서 [eqn: ANGLE rm O]의 [eqn: 3]등분선이 [eqn: bar{rm A _{1} B _{1} ` it} ,`` bar{rm B _{1} C _{1} ` it} `]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm P _{1} ,``Q _{1} `]이라 하자. 점 [eqn: rm O`]가 중심이고 [eqn: bar{rm OP _{1} it} `]을 반지름으로 하는 부채꼴 [eqn: rm OP _{1} Q _{1} `]을 그린다. [그림[eqn: 1`]]에서 도형 [eqn: rm B _{1} Q _{1} P _{1} `]의 넓이를 [eqn: S _{1} `]이라 하자. 호 [eqn: rm P _{1} Q _{1} `]의 중점 [eqn: \B _{2} `], [eqn: bar {rm OA _{1} }]□[eqn: bar { \C _{ 2} B _{ 2} }`]인 [eqn: bar{\OC_1}] 위의 점 [eqn: \C_2], [eqn: ```bar { \OC _{ 1} }]□[eqn: bar { \A _{ 2} B _{ 2} }`]인 [eqn: bar{\OA_1}] 위의 점 [eqn: \A_2], 점 [eqn: \O]를 꼭지점으로 하는  정사각형 [eqn: rm OA _{2} B _{2} C _{2} `]를 그린다. [eqn: bar{rm OP _{1} it} `]과 [eqn: bar{rm A _{2} B _{2} ` it} `]가 만나는 점을 [eqn: rm P _{2} `], [eqn: bar{rm OQ _{1} it} `]과 [eqn: bar{rm B _{2} C _{2} ` it} `]가 만나는 점을 [eqn: rm Q _{2} `]라 하자. 점 [eqn: rm O`]가 중심이고 [eqn: bar{rm OP _{2} it} `]를 반지름으로 하는 부채꼴 [eqn: rm OP _{2} Q _{2} `]를 그린다. [그림[eqn: 2`]]에서 도형 [eqn: rm B _{2} Q _{2} P _{2} `]의 넓이를 [eqn: S _{2} `]라 하자. 이와 같은 과정을 계속할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} `]의 합은? [4점]

…

[그림1]              [그림2]              [그림3]

① [eqn: -3+ pi]	② [eqn: 4- pi]	③ [eqn: root3 - pi over 3]

④ [eqn: 3- root3 - pi over 3]	⑤ [eqn: 4- root3 - pi over 2]

	[eqn: A]	[eqn: B]	[eqn: C]
가위	[eqn: { 1} over {5 }]	[eqn: { 1} over {2 }]	[eqn: { 1} over {4 }]
바위	[eqn: { 3} over { 5}]	[eqn: { 1} over {3 }]	[eqn: { 1} over {2 }]
보	[eqn: { 1} over {5 }]	[eqn: { 1} over { 6}]	[eqn: { 1} over { 4}]

단 답 형

30. 세 사람 [eqn: A,``B,``C``]가 한 번의 시행으로 승부를 결정하는 ‘가위, 바위, 보’ 게임을 하려고 한다. 오른쪽 표는 이 세 사람이 게임을 할 때 ‘가위, 바위, 보’를 낼 각각의 확률을 나타낸 것이다. [eqn: C``]가 혼자 이겼다고 할 때, ‘보’를 내어 이겼을 확률은 [eqn: { q} over {p }]이다. 이 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,``q] 는 서로소인 자연수이다.) [4점]