제 6장 각 변조(Angle modulation)

※ 변조의 종류

① Amplitude modulation

② Angle modulation

㉠ phase modulation

㉡ frequency modulation

6.1 주파수와 위상변조

⒜ 정현파 표현

① 진폭이 일정한 정현파의 phasor

[eqn: A]

[eqn: theta(t) ```: ``순시위상]

[eqn: phi(t)=Acos`` theta(t)]

② 순시 주파수

[eqn: omega`(`t`) ``=`` lim from { DELTA ` t``->` `0 } {DELTA `theta `(`t`) }over {DELTA `t}`` = ``{d `theta `(`t`)} over {d`t} ~~[`rad``/`` sec`]]

[eqn: omega`(`t`)``=``2` pi` f` (t)``=`` {d `theta} over {d `t}~~ RARROW ~~ f``(t)=`` 1 over {2 `pi}`` theta' (`t`)]  [eqn: [cycles/sec]]

③ 순시위상

[eqn: theta `(`t`) ``=`` int_-inf^t omega`(`tau`) ``d `tau ``=`` int_0^t omega `(`tau`)`` d `tau ``+`` theta_0]

④ 정현파 [eqn: phi `(`t`)]

[eqn: phi` (`t`)`` = ``A`` cos `theta `(`t`)]

◀예제▶ 6.1.1 [eqn: phi `(`t`) ``=`` A ``cos `(` 10 `pi` t `+` pi` t^2 `)]일 때

① 순시위상

[eqn: theta`(`t`) ``=`` 10` pi` t ``+`` pi` t^2]

② 순시 주파수

[eqn: omega`(`t`) ``=`` theta'(`t`)``=``10` pi` +` 2 `pi` t ``=`` 2 `pi` (`t` +`5`)]

[eqn: omega`(`0`) ``=`` 10 `pi~~ RARROW ~~f`` =`` {10 `pi} over { 2 `pi} ``=`` 5~ [`㎐`]]

[eqn: omega`(`1`) ``=`` 12 `pi~~ RARROW ~~f`` =`` {12 `pi} over { 2 `pi} ``=`` 6~ [`㎐`]]

※ 초당 1 ㎐ 비율로 선형적으로 증가

⒝ PM 변조

※ 변조신호 [eqn: f`(`t`)]에 비례하게 반송파의 순시위상을 변화시키는 변조

① 순시위상 및 순시주파수

[eqn: theta`(`t`) ``=`` omega_c` t `+` k_p `f`(`t`)]

여기서

[eqn: omega_c] : 반송파 주파수

[eqn: k_p] : 비례상수로 [eqn: |` f`(`t`)` | ``<=`` 1]일 경우 최대위상편이(peak phase deviation)

[eqn: omega`(`t`) ``=`` omega_c `+` k_p`{d ``f`(`t`)} over { d` t}]

※ PM변조는 [eqn: f`(`t`)]의 미분에 비례하게 순시 주파수를 변화시키는 변조

② PM변조 신호

[eqn: phi_PM `(`t`) ``=`` A ``cos `theta `(`t`)][eqn: =`` A ``cos `[` omega_c `t `+` k_p `f`(`t`)` ]]

③ [eqn: f`(`t`) =a`cos` omega_m` t]일 때 PM신호

[eqn: phi_PM `(`t`) ``=`` A ``cos `[`omega_c` t `+` k_p `a`cos` omega_m `t` ]]

여기서

[eqn: k_d ``=`k_p `a] (최대위상편이)

[eqn: phi_PM `(`t`) ``=`` A ``cos `[`omega_c` t `+` k_d `cos` omega_m `t` ]]

⒞ FM 변조

※ 변조신호 [eqn: f`(`t`)]에 비례하게 반송파의 순시주파수를 변화시키는 변조

① 순시위상 및 순시주파수

[eqn: omega`(`t`) ``=`` omega_c`` +`` k_f ``f`(`t`)]

여기서

[eqn: omega_c] : 반송파 주파수

[eqn: k_f]  : 비례상수로 [eqn: |` f`(`t`)` | ``<=`` 1]일 경우 최대주파수편이(peak frequency deviation)

[eqn: theta`(`t`) ``=`` int^t omega`(`tau`) ``d`` tau ``=`` omega_c` t ``+`` k_f`` int^t f`(`tau`) ``d`` tau]

※ FM 변조는 [eqn: f`(`t`)]의 적분에 비례하게 순시위상을 변화시키는 변조

② FM 변조신호

[eqn: phi_FM `(`t`) ``=`` A ``cos theta`(`t`)][eqn: =`` A ``cos `left[` omega_c` t ``+`` k_f ``int^t f`(` tau`) ``d ``tau `right]]

③ [eqn: f`(`t`) `=` a`cos omega_m `t]일 때 FM 신호

[eqn: phi_FM `(`t`) ``=`` A ``cos` left[ omega_c `t `+` k_f` a`int^t cos` omega_m `tau``{d`tau} `right]]

[eqn: =`` A ``cos` left[ omega_c `t `+` {k_f` a} over omega_m`` sin` omega_m `t`right]]

여기서

[eqn: DELTA `omega `==` k_f`a] ( 최대주파수 편이 )

[eqn: beta`` ==`` {DELTA ``omega} over omega_m ~left(= {최대주파수~ 편이} over 신호주파수 right)] ← 변조지수

[eqn: phi_FM `(`t`) ``=`` A ``cos` left[ omega_c `t `+` beta` sin` omega_m` t` right]]

⒟ PM과 FM의 비교 ([eqn: f`(`t`) `=` a`cos omega_m `t]일 경우)

	P M	F M
변조 식	[eqn: phi_PM (t) `=` A `cos [`omega_c t `+` k_p`a cos` omega_m t ]] [eqn: =` A `cos [omega_c t `+` k_d `cos omega_m t ]]	[eqn: phi_FM (t)`=` A `cos left[ omega_c t `+` {k_f`a} over omega_m` sin` omega_m t`right]] [eqn: =` A `cos left[ omega_c t `+` beta` sin` omega_m t` right]]
순시위상	신호 [eqn: f(t)]에 선형적으로 변화	신호 [eqn: f(t)]의 적분에 선형적으로 변화
순시주파수	신호 [eqn: f(t)]의 미분에 선형적으로 변화	신호 [eqn: f(t)]에 선형적으로 변화
[eqn: a]가 변화고 [eqn: omega_m]이 불변일 때	[eqn: k_p = k_f over omega_m]로 하면 PM의 최대 위상편이와 FM의 최대주파수와 동일
[eqn: a]가 불변이고 [eqn: omega_m]이 변할 때	최대 위상편이 [eqn: k_d = k_p a]	변조지수 [eqn: beta]는 [eqn: omega_m]에 반비례
파형비교	그림6.2 참조

⒠ PM (FM) 신호의 복소 표현

[eqn: phi_PM `(`t`) ``=`` A ``cos `[` omega_c` t` +` k_p `f`(`t`)`]]

[eqn: =`` Re`` left[` A`` e^{j` [`omega_c `t `+` k_p` f`(`t`)`]}` right]][eqn: =`` Re`` left[` A ``e^{j` omega_c` t} cdot e^{j` k_p `f`(`t`)}` right]]

여기서

[eqn: e^{j` k_p` f`(t)}`` =`` left[` 1 ``+`` j` k_p `f`(t) ``-`` 1 over 2! k_p^2`` f^{2}` (t)` `-`` j 1 over 3! k_p^3`` f^{3} `(t) ``+`` CDOTS ` + {j^n }over{n!} k_p^n f^n (t) + CDOTS right]]

[eqn: = sum_n=0^inf {j^n}over{n!} k_p^n f^n (t)]

[eqn: phi_PM (t)` =`Re left[A e^{j omega_c t}sum_n=0^inf {j^n}over{n!} k_p^n f^n (t)right]]

* PM신호는 중첩의 원리가 적용되지 않음 (선형이 아님)

6.2  협대역 FM (Narrow band FM)

⒜ 변조신호 [eqn: f`(`t`) ``=`` a`` cos `omega_m `t] 일 때 FM신호

① 순시 주파수

[eqn: omega`(`t`) ``=`` omega_c ``+`` k_f`` f`(`t`)][eqn: =`` omega_c ``+`` k_f`` a`` cos `omega_m `t]

여기서

[eqn: DELTA` omega ``==`` k_f`` a] : 최대 주파수 편이

[eqn: omega`(`t`) ``=`` omega_c `+` DELTA `omega`` cos `omega_m` t]

② 순시위상

[eqn: theta`(`t`) ``=`` int omega`(`tau`)`` d ``tau ``=`` omega_c` t `+` {DELTA `omega} over omega_m`` sin `omega_m` t]

여기서

[eqn: beta ``=`` {DELTA `` omega } over {omega _{m}}]  ← 변조지수

[eqn: theta `(`t`) ``=`` omega_c` t`` +`` beta`` sin `omega_m` t]

③ FM 신호

[eqn: phi_FM `(`t`)`` = ``A ``cos theta `(`t`) ``=`` A ``cos (omega_c` t` +` beta` sin` omega_m `t`)]

[eqn: =`` Re`` left[` A ``e^{j` (`omega_c` t` +` beta` sin` omega_m `t`) } right]]

여기서

[eqn: PHI_FM `(`t`) ``=`` A ``e^{j` (`omega_c` t` +` beta` sin `omega_m `t`)}] : 복소 FM신호

[eqn: phi_FM `(`t`) ``=`` Re`` left[` PHI_FM `(`t`)` right]]

⒝ 협대역 FM 신호

① 복소 FM 신호의 전개

[eqn: PHI_FM `(`t`) ``=`` A ``e^{j` (`omega_c` t`` +`` beta` sin` omega_m `t`)}][eqn: =`` A ``e^{j` omega_c` t} cdot e^{j` beta` sin `omega_m` t}]

[eqn: =`` A e^{j omega_c t}` left[ 1 + j beta sin omega_m t - 1 over 2! beta^2 sin^2 omega_m t - j 1 over 3! beta^3 sin^3 omega_m t + cdots right]]

※ [eqn: beta ``<< ``1] 일 때 협대역 FM 신호라 함

② 복소 협대역 FM신호

[eqn: PHI_NBFM `(`t`) ``=`` A`` e^{j` omega_c` t}`` [` 1 `+` j` beta` sin` omega_m `t`]]

[eqn: =`` A` e^{j `omega_c` t}`` left[ 1 + beta over 2 (e^{j` omega_m `t} - e^{-j` omega_m` t}`) right]]

[eqn: = A left[ e^{j omega_c t} + beta over 2 e^{j (omega_c + omega_m ) t} - beta over 2 e^{j (omega_c - omega_m ) t} right]]  ---⑴

③ 복소 협대역 FM 신호의 phasor  ← 식 ⑴로부터

[eqn: r(t)]

[eqn: PHI_NBFM (t)]

[eqn: beta` sin `omega_m `t]

[eqn: omega_m]

[eqn: - beta over 2]

[eqn: -omega_m]

[eqn: beta over 2]

반송파

㉠ 반송파와 변조파의 위상차는 [eqn: gamma (t)]

㉡ 협대역 FM신호의 대역폭은 [eqn: 2 omega_m]

④ 협대역 FM이 되기 위한 β값

㉠ 협대역 FM 신호의 순시위상

[eqn: theta `(`t`) ``=`` omega_c` t` +` gamma `(`t`) ``=`` omega_c` t `+` tan^-1` beta`` sin` omega_m` t]

㉡ 순시주파수

[eqn: omega `(`t`) ``=`` theta'(`t`)`` =`` omega_c + {d gamma} over {d t}`` =`` omega_c + {beta`` omega_m`` cos omega_m `t} over {1 + beta^2` sin^2 omega_m `t}]

여기서  [eqn: beta^2` sin^2` omega_m `t ~<< ~1] 이면

[eqn: omega`(`t`) ``=`` omega_c`` +`` beta`` omega_m ``cos `omega_m` t]

[eqn: =`` omega_c`` +`` DELTA` omega`` cos` omega_m` t]

즉 [eqn: beta^2`` sin^2`` omega_m` t ~<<~ 1] 이면 [eqn: omega`(`t`)]는 FM신호의 순시 주파수 조건에 맞으므로 이 조건을 만족하면 협대역 FM신호가 됨

㉢ [eqn: beta] 값 결정

[eqn: beta^2`` sin^2`` omega_m` t ~<<` 1]

여기서 [eqn: sin^2` omega_m` t ~<=~ 1] 이므로

[eqn: beta^2 ~ << ~1]

[eqn: therefore] [eqn: beta^2~ =~ 0.1] 즉 [eqn: beta ~= ~ 1over sqrt 10 ~ = ~0.316]

[eqn: beta ~<<~ 0.316] 이면 협대역  FM 신호가 됨

⑤ 협대역 FM 신호

[eqn: phi_NBFM `(`t`) ``=`` Re ``[ `PHI_NBFM `(`t`)` ]]

[eqn: =`` A`` Re`` [` ( cos` omega_c` t` +` j` sin` omega_c` t`)`` (`1` +` j` beta` sin` omega_m` t`)` ]]

[eqn: =`` A``(`cos `omega_c` t` -` beta` sin` omega_m `t cdot sin` omega_c` t`)]

[eqn: =`` A ``left[ cos omega_c` t + beta` omega_m int^t cos` omega_m `tau ``d` tau cdot sin` omega_c` t` right]]

[eqn: =``A` left[ cos` omega_c` t + k_f`` a int^t cos` omega_m` tau`` d` tau cdot sin` omega_c `t` right]]

[eqn: =`` A `left[ cos` omega_c` t + k_f` int^t f(tau)`` d` tau cdot sin` omega_c` t` right]]    --- ⑵

⑥ 협대역 FM 신호의 발생 [eqn: <-] 식 ⑵로부터

[eqn: phi_NBFM (t`)]

[eqn: sin omega_c t]

∑

90。지연

[eqn: cos omega_c t]

[eqn: int `dt]

[eqn: f(t)]

～

[eqn: k_f]

⒞ 협대역 FM신호와 AM신호의 비교

① [eqn: f`(`t`) ``=`` a``cos`omega_m t]일 때 AM과 NBFM 신호

[eqn: PHI_AM `(`t`) ~=~A`[`1`+`m``cos`omega_m` t`]`cos`omega_c` t]

[eqn: =~Re`[`A``e^{j`omega_c` t}`(`1``+``m``cos`omega_m `t`)`]]

[eqn: =`Re left{` A``e^{j`omega_c` t}`left[`1``+``{m over2}`e^{j`omega_m `t}``+``{m over 2}`e^{-j`omega_m` t}`right] right}]

[eqn: =`Re`left{`A` left[`e^{j`omega_c` t}``+``{m over2}`e^{j`(`omega_c` +`omega_m `)`t}``+``{m over 2}`e^{j`(`omega_c`-`omega_m `)` t}`right]`right}]

[eqn: PHI_NBFM `(`t`) ``=``Re left{`A` left[`e^{j`omega_c` t}``+``{beta over2}`e^{j`(`omega_c `+`omega_m `)`t}`-`{beta over 2}`e^{j`(`omega_c`-`omega_m `)` t}`right]` right}]

② AM과 FM 신호 비교

㉠ phasor 도

[eqn: r(t)]

[eqn: PHI]

[eqn: beta` sin `omega_m `t]

[eqn: omega_m]

[eqn: - beta over 2]

[eqn: -omega_m]

[eqn: beta over 2]

[eqn: beta over 2]

반송파

NBFM변조

AM변조

[eqn: m cos omega_m t]

[eqn: -omega_m]

반송파

[eqn: omega_m]

[eqn: m over 2]

[eqn: m over 2]

㉡ AM파는 반송파와 동위상

㉢ NBFM파는 반송파와 [eqn: r(t)]만큼 위상차를 가짐

㉣ 대역폭은 공히 [eqn: 2 omega_m]

<예제 6.2.1> AM과 NBFM 의 phasor를 비교하면 한 측대파를 제거할 수 있다. 변조신호가 정현파일 경우  AM 과 NBFM을 이용하여 SSB-LC 신호를 얻을 수 있음을 보이시오

◀ 해 ▶

① AM 신호

[eqn: phi_AM (t)=A[1+m`cos omega_m t]cos omega_c `t `=`Re [A(1+m` cos `omega_m t)`e^{j`omega_c` t}]]

[eqn: =``Re`left[`A left(`1`+`{m over 2}``e^{j`omega_m` t} `+`{m over 2}``e^{-j`omega_m `t}`right)``e^{j`omega_c` t}`right]]

② NBFM 신호

[eqn: phi_NBFM `(`t`)``=``Re` [`A`(`1``+``j` beta` sin`omega_m `t`)``e^{j`omega_c` t}`]]

[eqn: =``Re`left[ ` A`left(`1``+``{beta over 2}``e^{j`omega_m `t}` -`{beta over 2}``e^{-j`omega_m `t} `right) e^{j` omega_c` t}` right]]

③ AM 과 NBFM 의 결합신호

[eqn: phi(t)`=`Re`left[`A`left(`1`+`{m over 2}`e^{j`omega_m `t} + {m over 2}`e^{-j`omega_m` t}`right)][eqn: cdot` left(`1`+`{beta over 2}`e^{j`omega_m` t}` -`{beta over 2}`e^{-j`omega_m `t}`right)`e^{j`omega_c` t}`right]]

[eqn: =``Re`left[ `A`left(`1`+`{beta over 2}``e^{j`omega_m `t}` -`{beta over 2}``e^{-j`omega_m `t} `+`{m over 2}``e^{j`omega_m` t}]

[eqn: `+` {{m beta} over 4}``e^{j`2`omega_m `t}`-` {m beta} over 4 +`{m over 2}``e^{-j`omega_m `t} `+`{{m beta} over4}][eqn: -` {{m beta} over 4}``e^{-j`2`omega_m `t}`right)``e^{j`omega_c` t}` right]]

여기서  [eqn: m ``<<`` 1], [eqn: beta ``<<`` 1] 이므로

[eqn: m `beta ``SIMEQ `` 0]

[eqn: phi`(`t`)``=``Re`left[`A`left(`1`+`{{m`+`beta} over 2}``e^{j`omega_m` t} `+` {{m`-`beta} over 2}``e^{-j`omega_m `t}`right)``e^{j`omega_c` t}`right]]

여기서  [eqn: m``=`` beta] 라 두면

[eqn: phi`(`t`)``=``Re`left[`A`left(`1`+`m``e^{j`omega_m `t}`right)``e^{j`omega_c `t}`right]]

[eqn: =``Re`left[`A``e^{j`omega_c` t}`right] ``+`` Re`left[`A`m``e^{j`left(`omega_c `+`omega_m `right)`t`} `right]]

[eqn: =``A``cos`omega_c` t`+` A`m``cos`(`omega_c` +` omega_m`)`t]

[eqn: =`A`cos omega_c` t + A`m` cos omega_m `t cdot cos omega_c `t - A`m sin omega_m `t cdot sin` omega_c t]

여기서 [eqn: f`(`t`)``=``Am ``cos `omega_m `t] 일 때

[eqn: hat f`(`t`) ``=`` - j over {2 pi} int_{-inf}^{inf} F`(`omega`)`` sgn`(`omega`)`` e^{j` omega` t} ``d `omega ``=`` Am ``sin` omega_m` t]이므로

[eqn: phi `(`t`)``=`` under{ A``cos`omega_c` t}``+`` under {f`(`t`)`` cos` omega_c` t `-` hat f `(`t`) ``sin` omega_c` t}]  ← SSB-LC

반송파             SSB-DS

※ AM과 NBFM을 이용하여 SSB-LC를 얻을 수 있음

6.3 Wideband FM

※ [eqn: f`(`t`) ``=`` a``cos`omega_m` t] 일 때 FM신호의 대역폭

① [eqn: f`(`t`) ``=`` a``cos`omega_m` t]일 경우 FM신호

[eqn: phi_FM`(`t`) ``=`` A``cos `(`omega_c` t`+`beta `sin`omega_m `t`)]

여기서

[eqn: beta ``=`` {Delta `omega} over omega_m ``=`` {k_f`` a} over omega_m]

[eqn: Delta``omega``=``k_f`` a]  ← 최대 주파수편이

② [eqn: phi_FM `(`t`)] 의  순시주파수와 대역폭

[eqn: theta`(`t`)``=`` omega_c` t`` +`` beta`` sin`omega_m` t]

[eqn: omega_i ``=`` theta'(`t`)`` =`` omega_c `+`beta ㆍomega_m ``cos`omega_m `t]

[eqn: =`` omega_c `+` DELTA``omega``cos`omega_m `t]    ← 그림 6.5

㉠ 최대주파수 편이  는 신호의 크기에 비례

㉡ 순시주파수 [eqn: omega_i] 는 파형에 따라 변화

㉢ 순시주파수 [eqn: omega_i] 는 [eqn: DELTA``omega]([eqn: DELTA`omega ``=`` k_f` a])와 [eqn: omega_m] 의 함수(=β의 함수)

[eqn: beta ``<<`` 1] ([eqn: DELTA ``omega ~<<~ omega_m])일 경우 [eqn: phi_FM `(`t`)] 의 대역폭은 2[eqn: omega_m]

[eqn: beta ``>>`` 1] ([eqn: DELTA ``omega ~>>~ omega_m])일 경우 [eqn: phi_FM `(`t`)]의 대역폭은 2[eqn: DELTA`omega]

6.3.1 FM 신호의 일반적인 근사화

① [eqn: f`(`t`)``=`` a``cos`omega_m `t] 일 때 FM 신호의 순시 주파수

[eqn: omega_i ``=`` omega_c` + `k_f `a`cosomega_m `t`]

여기서

[eqn: Delta`omega ``=`` k_f``a]   ←  최대주파수 편이

[eqn: omega_i ``=``omega_c ``+`` DELTA``omega``cos`omega_m `t]

② 주파수 편이

[eqn: omega_i`' ``=`` omega_i ``-``omega_c ``=`` DELTA ``omega``cos `omega_m `t]

③ 주파수 변화율

[eqn: cos`omega_m `t`` =`` {omega_i`'} over {DELTA`` omega}]

[eqn: omega_m` t``=``cos^-1`` {omega_i`'} over {DELTA``omega}]

[eqn: t``=`` 1 over omega_m ``cos^-1 {omega_i '} over {Delta`omega}]    for [eqn: | `omega_i`' | ~<=~ DELTA` omega]

[eqn: {d`t} over {d` omega_i '} ``=`` 1OVER omega_m`` 1 over sqrt {`1`-` LEFT(omega_i over {DELTA omega} `RIGHT )}^2 } ~1 OVER {Delta omega}]

[eqn: 1 OVER T {d`t} over {d ``omega_i`'} ``=`` 1 over {2`pi`` Delta` omega`` sqrt {`1`-` LEFT (omega_i over {DELTA` omega} RIGHT )}^2} }]

여기서[eqn: beta~ rarrow~ inf]일 때 [eqn: 1 over sqrt {1- LEFT (omega_i over DELTAomega RIGHT )}^2 }]의  graph ← 그림 6.6

※ FM 신호의 대역폭 : [eqn: 2``DELTA`omega]

예제 6.3.1 반송파 주파수 [eqn: omega_c], 최대 주파수 편이 [eqn: DELTAomega] 인 FM일 경우 다음 신호 [eqn: f`(`t`)]를 FM하였을 때 spectrum

[eqn: f(t) = 2 over T t]

[eqn: T over 2]

1

-1

[eqn: - T over 2]

[eqn: f(t)]

① FM신호의 순시 주파수

[eqn: omega_i = omega_c + DELTAomegaf(t) = omega_c + DELTAomega 2 over T t]

② 주파수 편이

[eqn: omega_i` ' = omega_i - omega_c = {2 DELTAomega} over T t]        [eqn: - T over 2 ~<~ t ~<~ T over 2]

[eqn: t~=~ T OVER {2`` DELTA``omega}`` omega_i`']

[eqn: dt over {d`omega_i`'} ``=`` T over {2``DELTA ``omega}]            [eqn: -``DELTA``omega ~<~omega_i` '~<~DELTA omega]

6.3.2 정현파에 대한 FM 신호

※ 배경

① AM 신호나 협대역 FM신호의 주파수 특성은 Fourier 변환으로 표현이 가능

② 일반신호에 대한 광대역 FM신호의 주파수 특성은 Fourier 변환으로 표현이 불가능

③ 정현파에 대한 광대역 FM신호의 주파수 특성은 Fourier 변환으로 표현 가능

⒜ 정현파 [eqn: f`(`t`)`` = ``a ``cos` omega_m`` t] 에 대한 광대역 FM신호 [eqn: phi_FM `(`t`)]

① 순시 주파수

[eqn: omega_i `(`t`) ``=`` omega_c ``+`` k_f` a``cos`omega_m `t``=`` omega_c`+ ``DELTA`omega``cos`omega_m` t]

② 순시위상

[eqn: theta`(`t`) `=` int from 0 to t omega_i `(`tau`) `d `tau `=` omega_c` t `+` { DELTA `omega} over omega_m `sin`omega_m` t`=` omega_c` t` +` beta` sin`omega_m` t]

여기서

[eqn: Delta` omega ``=`` k_f`` a] : 최대 주파수 편이

[eqn: beta ``=`` {Delta `omega} over omega_m]  : 변조지수

③ FM 신호

[eqn: phi_FM `(`t`)`` = ``A ``cos `theta `(`t`)]

[eqn: =`` A`` cos` (`omega_c `t ``+`` beta`` sin `omega_m `t `)]

[eqn: =`` Re` left[` A ``e^{j `(`omega_c` t `+` beta` sin` omega_m `t`)}`right]]

⒝ FM신호의 전개

[eqn: phi_FM `(`t`)``=`` Re`` [`A``e^{j`omega_c` t} ㆍe^{j` beta` sin omega_m `t}` ]]                    □□□ ⑴

① [eqn: e^{j` beta` sin` omega_m `t}] 의 Fourier 급수

• [eqn: e^{j` beta `sin `omega_m `t}] 는 주파수 [eqn: omega_m]인 주기함수 이므로 Fourier급수로 전개 가능

[eqn: e^{j` beta` sin `omega_m `t}``=``SUM from { {n}=- inf } to inf F_n`` e^{j`n`omega_m `t}]                          □□□ ⑵

여기서

[eqn: F_n ``=`` 1 over T INT FROM {- T OVER 2} TO {T OVER 2} e ^{j `beta` sin omega_m `t} ㆍ e ^ {-j`n`omega_m `t}`` d`t]

여기서 [eqn: zeta ``=`` omega_m` t ``=`` {2`pi} over T` t] 라 두면

[eqn: F_n ``=`` 1 over T int_{-pi}^{pi} e^{j `beta` sin` zeta} ``e^{-j`n` zeta}`` T over {2`pi}`` d `zeta]

[eqn: =`` under{1 over {2`pi} int_{-pi}^{pi} e^{j`(`beta` sin` zeta` - `n `zeta`)}`` d `zeta ``=`` J_n` (`beta`)}]         --- ⑶

[eqn: n]차 제 1종 Bessel함수

※ 계수 [eqn: F_n ``=`` J_n`(`beta`)]의 graph ← 그림 6.9

㉠ [eqn: J_n `(`beta`)]는 [eqn: n]과 β의 함수

㉡ [eqn: J_n `(`beta`)]는 모든 β에 대하여 수렴

㉢ [eqn: J_n `(`beta`)]는 실수 값을 가짐

㉣ [eqn: J_n `(`beta`)]의 성질

[eqn: J_n `(`beta`) ``=`` J_-n `(`beta`)]    : [eqn: n]이 우수일 경우

[eqn: J_n `(`beta`) ``=`` -J_-n `(`beta`)]  : [eqn: n]이 기수일 경우

[eqn: SUM from { { n}=-inf} to inf J_n^{2} `(`beta`)``=`` 1]

㉤ [eqn: n`` >`` beta]이고 β가 클 경우 [eqn: J_n `(`beta`)]는 급격히 감소

• 식 ⑶을 식 ⑵에 대입하면

[eqn: e^{j` beta`sin`omega_m `t} ``=`` SUM from { { n}=-inf} to inf {J_n`(`beta`)``e^{j`n`omega_m `t}}]                  -----⑷

② FM 신호의 전개식

식 ⑷를 식 ⑴에 대입

[eqn: phi_FM `(`t`)``=`` Re` left[`A``e^{j`omega_c` t} SUM from { { n}=-inf} to inf J_n`(`beta`)``e^{j`n`omega_m `t}`right]]

[eqn: =`` Re `left[`A SUM from { { n}=-inf} to inf J_n`(`beta`)``e^{j`(`omega_c `+`n`omega_m`)` t}`right]]

[eqn: =``A SUM from { { n}=-inf} to inf J_n`(`beta`)``cos`(`omega_c` +`n`omega_m `)` t}]

[eqn: =``A`[`J_0 `(`beta`)``cos`omega_c `t]

[eqn: +``J_1 `(`beta`)` LEFT {` cos`(`omega_c `+`omega_m `)` t`-`cos`(`omega_c `-`omega_m` )`t `RIGHT}]

[eqn: +``J_2 `(`beta`) `LEFT{` cos`(`omega_c` +`2`omega_m` ) `t`+`cos`(`omega_c `-`2`omega_m `)`t` RIGHT}]

[eqn: +`` CDOTS` cdots]]

⒞ FM  신호의 주파수 특성

[eqn: PHI_FM `(`omega`) ``=``ℱ left{`A SUM from { {n}=-inf} to inf J_n `(`beta`) ``cos `(`omega_c` +`n`omega_m `)` t `right}]

[eqn: =``A SUM from { {n}=-inf} to inf J_n `(`beta`) left[ pi `delta `left{` omega`-`(`omega_c` +`n`omega_m `) right}]

[eqn: +``pi` delta left{`omega`+` (`omega_c` + `n`omega_m `) right} right]]

① 이론상 FM신호의 spectrum 은 무한한 측대가 존재하지만 [eqn: n``->``inf] 일 경우 [eqn: J_n` (`beta`)]는 수렴하므로 유한 대역폭을 가짐

◀예▶ 여러 가지의 [eqn: beta]에 대한 [eqn: PHI_FM `(`omega`)]의 Graph[eqn: <-] 그림 6.10

② [eqn: beta]가 아주 크고 [eqn: n `(`고조파`) ``>`` beta]일 경우 [eqn: J_n `(`beta`)]는 급격히 감소

◀예▶ [eqn: beta ``=``5]이고 [eqn: n``=``8]일 때 [eqn: J_8 `(`5`) ``=`` 0]

③ 측대의 크기 [eqn: A``J_n `(`beta`)]가 반송파의 크기 A의 1% 이상이면 그 측대는 중요

즉,  [eqn: |` J_n `(`beta`) `| ``>=`` 0.01] 인 측대는 중요

④ [eqn: |` J_n `(`beta`) `| ``>=`` 0.01]을 만족하는 [eqn: n]과 [eqn: beta]에 대하여 [eqn: beta]가 증가 하면 [eqn: n over beta]은 1로 수렴

그림 6.11 참조

⑤ 정현파 해석에 의한 광대역  FM 신호의 대역폭

[eqn: |` J_n `(`beta`) `| ``>=`` 0.01]을 만족하고 [eqn: n over beta``=``1] ([eqn: n ``=`` beta])이 될 때까지의 측대를 취하여 FM의 대역폭 [eqn: W] 로 함

[eqn: W``=``2`n`omega_m][eqn: =``2` beta`omega_m][eqn: =`` 2ㆍ{DELTA`omega} over omega_m `omega_m][eqn: =`` 2ㆍDELTA`omega]

[eqn: =`` 2ㆍk_f` a]

※ NBFM은 [eqn: J_0 ( beta)] 와 [eqn: J_1 ( beta)] 만을 취하므로 대역폭 [eqn: W``=`` 2 `omega_m]

⑥ [eqn: beta]가 아주 적지도 크지도 않을 경우 FM 신호의 대역폭(carson 법칙에 의한 대역폭)

[eqn: W ``=``2 `(`Delta`omega `+` omega_m `)][eqn: =``2`omega_m` (`1`+`beta `)]

예제 6.3.2 [eqn: omega_c``=`` 10` ㎒] 최대주파수편이 [eqn: Delta`omega ``=`` 50`㎑]인 FM에서 다음 정현파 신호에 대한 FM 신호의 대역폭

⒜ 500 ㎑

[eqn: beta ``=`` {Delta`omega} over omega_m ``=`` {50` ㎑} OVER {500`㎑} ``=``0.1]

[eqn: beta ``<<``0.316] 이므로 협대역 FM이므로 대역폭 W는

[eqn: W``=`` 2`f_m ``=``2 ``TIMES`` 500 ``=`` 1` ㎒]

⒝ 500 ㎐

[eqn: beta ``=`` {Delta`omega} over omega_m ``=`` {50` ㎑} OVER {500` ㎐} ``=``100]

[eqn: beta ``=`` 100 ``>>`` 1]이므로 광대역  FM이므로 대역폭 W는

[eqn: W``=`` 2 `Delta `omega ``=`` 2 ``TIMES`` 50`㎑`` =``100`㎑]

carson법칙에 의하면 대역폭 W는

[eqn: W``=`` 2`omega_m `(`1`+`beta`)``=``2 ``times`` 500`㎐` (`1`+`100`)``=`` 101`㎑]

⒞ 10 ㎑

[eqn: beta``=`` Delta`omega``=`` {50`㎑} OVER {10`㎑} ``=``5]

[eqn: beta``=``5]이므로 광대역 FM이지만 [eqn: beta``=``5]이고 [eqn: n`` =`` 8] 일 때[eqn: J_n `(`beta`)``=``0]이 되므로 대역폭 [eqn: W] 는

[eqn: W``=``2`n`omega_m ``=`` 2``times``8``times``10`㎑ ``=``160`㎑]

carson의 법칙에 의하면 대역폭 W는

[eqn: W``=``2`omega_m `(`1`+`beta`) ``=`` 2``times``10`㎑`(`6`) ``=``120`㎑]

6.3.3 상업용 FM 방송

⒜ 협대역 FM

① 협대역 FM은 선형이므로 AM의 해석법을 적용 가능

② 원격 측정 및 이동통신에 사용

③  AM과 비교할 때 NBFM의 장점

㉠ zero 주파수 응답이 가능

㉡ clipping, limiting, 파형의 진폭에 의해 발생하는 잡음을 제거시킬 수 있음

⒝ 광대역 FM 의 대역폭

① 정현파 해석 결과를 일반적인 파에도 해석 가능

[eqn: W``=``2`n`omega_m ``=`` 2`beta`omega_m ``=`` 2`Delta`omega ``=`` 2k_f` a]

② 대역폭 [eqn: W] 는 최대주파수 편이 [eqn: Delta`` omega]에 의존하며 [eqn: Delta`` omega]는 변조신호의 크기에 의존하므로 변조신호를 제한해야 함

⒞ 상업용 방송에 대한 미국 FCC(Federal Communication Commission)의 제한조건

① 반송파 주파수 범위 : 88 ㎒ ～ 108 ㎒

② 반송파와 반송파 간의 간격 : 200 ㎑

③ 최대 주파수 편이 [eqn: DELTA`omega``=``75`㎑]

⒟ mono FM 방송

① 변조신호(음성신호)의 최대주파수 [eqn: f_m ``=``15`㎑]

② 최대 주파수 편이 [eqn: DELTA`f ``=`` 75`㎑]

③ 대역폭

㉠ 변조지수 [eqn: beta ``=`` {Delta`f} over f_m ``=``{75`㎑} OVER {15`㎑} ``=``5]

㉡ 정현파 해석에 의한 대역폭

[eqn: |` J_n `(`beta`) `| ``>=`` 0.01]인 측대파는 유효 하므로[eqn: |` J_n `(`5`) `| ``>=`` 0.01]를 만족하는 [eqn: n``=``8] 즉 제 8 측대파까지 유효

[eqn: B ``=`` 2`n`f_m`` =`` 2``times``8``times``15`㎑``=``240`㎑]

㉢ [eqn: n``=``beta]일 경우의 대역폭

[eqn: B ``=`` 2`n` `f_m`` =`` 2``times``5``times``15`㎑``=``150`㎑]

㉣  carson 법칙에 의한 대역폭

[eqn: B ``=`` 2`f_m`(1 `+` beta`)`` =`` 2``times``15`㎑``times``(`1 `+`5`)``=``160`㎑]

※ ㉡의 경우는 극단적인 경우이며 ㉢과 ㉣에 의하면 음성일 경우 FM 의 대역폭은 150 ～ 160 ㎑이다.

⒠ mono + SCA FM 방송

※ SCA (Subsidinary Communication Authorization : 부가 방송)

- 가계나 병원에 배경음악을 전송

① 최대 주파수 편이 [eqn: Delta`f``=``75`㎑]

② nono를 위한 최대 주파수 편이 : [eqn: Delta`f ``times`` 0.3``=`` 22.5`㎑] (협대역)

③ SCA를 위한 최대 주파수 편이 : [eqn: Delta`f ``times`` 0.7``=`` 52.5`㎑] (광대역)

⒡ stereo FM 방송

① 최대 주파수 편이 [eqn: Delta`f`` =`` 75 `㎑]

L-R

L+R

0

15

19㎑

23

75

pilot carrier

② pilot carrier([eqn: f_p`` =`` 19`㎑])를 위한 최대 주파수 편이

[eqn: Delta`f_p ``=``Delta`f ``times`` 0.1``=``75`㎑``=``7.5`㎑]

[eqn: beta_p ``=``{Delta `f_p} over f_p ``=``{7.5`㎑} OVER {19`㎑} ``=``0.395]  (협대역 FM)

③ stereo를 위한 최대 주파수 편이

[eqn: Delta `f_s ``=`` Delta`f ``times`` 0.9``=`` 67.5`㎑]

[eqn: beta_s ``=``{Delta` f_s} over f_m ``=``{67.5`㎑} OVER {15`㎑} ``=``4.5] (광대역 FM)

⒢ stereo + SCA FM 방송

① 최대 주파수 편이 [eqn: Delta`f``=``75`㎑]

L-R

하측대

L+R

0

15

19㎑

23

75

DSB-SC

38

53

59

L-R

상측대

SCA

② pilot carrier를 위한 최대 주파수 편이

[eqn: Delta`f_p ``=``Delta`f ``times`` 0.1``=``75`㎑ ``times`` 0.1 ``=`` 7.5`㎑]

[eqn: beta_p ``=``{Delta` f_p} over f_p ``=``{7.5`㎑} OVER {19`㎑}`` =``0.395]   (협대역)

③ SCA를 위한 최대 주파수 편이

[eqn: Deltaf_SCA ``=``Delta`f ``times`` 0.1``=``75`㎑``times ``0.1 ``=`` 7.5`㎑]

[eqn: beta_SCA ``=`` {7.5`㎑} OVER {15`㎑} ``=``0.5]     (협대역)

④ stereo를 위한 최대주파수 편이

[eqn: Delta`f_s ``=`` Delta`f ``times`` 0.8 ``=``75`㎑ ``times`` 0.8 ``=`` 60`㎑]

[eqn: beta_s ``=``{Delta` f_s} over f_m ``=``{60`㎑} OVER {15`㎑}`` =``4]   (광대역)

⒣ 상업 TV의 음성 변조   ←  FM 변조

① 최대 주파수 편이 : 25 ㎑

② carson 에 의한 대역폭

[eqn: B``=``2`f_m `(`1`+ `beta` ) ``=`` 2 ``times`` 15`㎑~LEFT(`1`+` {25`㎑} OVER {15`㎑}`RIGHT)]

[eqn: =``30`㎑ ``TIMES`` (`1`+`1.67`) ``SIMEQ`` 80`㎑]

6.4 각 변조 신호의 평균전력

① [eqn: f`(`t`)``=`` a``cos`omega_m `t] 일 때 FM 신호

[eqn: phi_FM `(`t`)``=``A ``cos `(`omega_c `t `+` beta` sin`omega_m `t`)]

[eqn: =``A SUM from { {n}=-inf} to inf J_n `(`beta`) ``cos `(`omega_c` +` n`omega_m `)`t]

여기서

[eqn: beta`` = ``{Delta`omega} over {omega_m}``=`` {k_f` a} over {omega_m}]

② [eqn: f`(`t`)``=`` a ``cos `omega_m `t] 일 때 [eqn: phi_FM (t)]의 평균전력

[eqn: overline {phi_FM ^2 `(`t`)} ``=`` A^2`` overline {cos^2 `(`omega_c`t `+` beta` sin`omega_m `t`) } ``=`` A^2 over 2]

[eqn: =`` A^2 SUM from { { n}=-inf} to inf J_n^{2} `(`beta`) bar { cos^2 `(`omega_c `+` n`omega_m `)` t }]

[eqn: =`` A^2 over 2 SUM from { { n}=-inf} to inf J_n ^{2} `(`beta`)]

㉠ FM 신호 [eqn: phi_FM (t)]의 평균전력은 변조신호에 관계없이 항상 [eqn: A^2 OVER 2]

㉡ 각 측대파의 평균전력은 [eqn: A^2 OVER 2 J_n^{2} `(`beta`)] 이다

[eqn: ◉] 변조시 반송파 전력 [eqn: P_c`` =`` A^2 OVER 2 J_o^{2} `(`beta`)]

[eqn: ◉] 무변조시 반송파 전력 : [eqn: A^2 OVER 2 J_o^{2} `(`0`) ``=`` A^2 OVER 2]

㉢ 특정 측대파의 전력을 0 으로 만들 수 있다

◀ 예 ▶

[eqn: n``=``0](반송파)이고 [eqn: beta``=``2.405`, ``5.52]일 때 [eqn: J_o `(`beta`) ``=`` 0] 이므로[eqn: beta``=``2.405`, ``5.52]일 경우 반송파 전력은 0 이 됨

◀예제 6.4.1▶ 무변조시 50[eqn: OMEGA] 부하에서 FM 송신기의 출력 [eqn: P_t =100] [watt]인 FM에서 [eqn: J_1 `(`beta`)``=``0]이 될 때까지 [eqn: Delta`omega]를 0에서부터 증가시킬 때

⒜ 반송파 전력

[eqn: P_c ``=`` A^2 OVER 2 J_o^{2} `(`beta`)]

여기서 [eqn: J_1 `(`beta`)=0]이 되는 [eqn: beta =3.8]이고 이때 [eqn: J_0` (`3.8`) =- 0.4]이므로

[eqn: P_c ``=`` A^2 OVER 2 J_o^{2} `(`3.8`) ``=`` 100`` TIMES`` (`-0.4`)^2 ``=`` 16 ``[omegaatt]]

⒝ 측대파 전력

[eqn: P_s ``=``P_t `-` P_c ``=`` 100 `-`16 ``=`` 84 ``[omegaatt]]

⒞ 2차 측대파 전력

[eqn: P_{s`2}``=`` A^2 OVER 2 J_2^{2} `(`beta`) ``=`` A^2 OVER 2 J_2^{2} `(`3.8`)]

[eqn: =`100 ``times`` (`0.41`)^2 ``=`` 34 ``[omegaatt]]

6.5 위상변조

① [eqn: f`(`t`)``=`` a``cos`omega_m` t] 일 때 FM 신호의 순시 주파수와 순시위상

• 순시 주파수

[eqn: omega_i `=` omega_c + k_f` a`cos`omega_m `t][eqn: =``omega_c` +` DELTA`omega`cos`omega_m` t]

• 순시위상

[eqn: theta`(`t`) `=` omega_c` t + {k_f `a} over omega_m sin`omega_m `t `=` omega_c `t + beta `sin`omega_m` t]

② [eqn: f`(`t`)``=`` a``cos`omega_m` t]일 때 PM 신호의 순시 주파수

• 순시 주파수

[eqn: omega_i``=`` omega_c `-` k_p `a` omega_m ``sin` omega_m `t][eqn: =`` omega_c` -` Delta `theta`` omega_m `sin`omega_m` t]

• 순시위상

[eqn: theta`(`t`)``=``omega_c` t` + `k_p `a`cos`omega_m` t][eqn: =``omega_c t `+` Delta` theta``cos`omega_m` t]

③ PM 과 FM 의 비교

변 조 항 목	F M	P M
최대 주파수 편이[eqn: Delta`omega]	[eqn: k_f a]	[eqn: k_p `a` omega_m = Delta `theta` omega_m]
변조지수 [eqn: beta]	[eqn: {k_f `a} over omega_m = {Delta`omega} over omega_m]	[eqn: k_p a = Delta theta]

◀예제6.5.1▶[eqn: f`(`t`) = cos`2`pi` times` 5000`t] 일 때 최대 위상편이[eqn: Delta `theta ``=`` 1]인 PM 신호의 대역폭을 다음에 의하여 계산

⒜ Carson 의 법칙에 의한 대역폭

① 최대 주파수 편이 [eqn: Delta`f``=``Delta` theta` f_m ``=`` 1``times`` 5` ㎑ ``=`` 5`㎑]

② 대역폭

[eqn: B ``=`` 2`(`Delta` f `+` f_m `) ``=`` 2 `(`5`㎑ `+` 5` ㎑`)`` = ``20`㎑]

⒝ 정현파 해석에 의한 대역폭

[eqn: beta = Delta theta = 1] 즉 [eqn: J_n (1) =0.01]를 만족하는 [eqn: n``=``3]

[eqn: B``=`` 2`n`f_m ``=`` 2 ``times ``3`` times`` 5`㎑``=``30`㎑]

6.6 광대역 FM 신호의 발생

※ 광대역 FM신호 발생방법

① 간접 FM 방식 - NBFM 신호를 주파수 체배하여 광대역 FM으로 변환

② 직접 FM 방식 - 반송파의 주파수를 직접 변조신호에 비례하게 변환

6.6.1 간접 FM 방식

⒜ block diagram [eqn: <-] NBFM 신호를 주파수체배하여 광대역 FM 신호로 변환

[eqn: cos omega_{c`2} t]

[eqn: cos omega_{c`1} t]

주파수 체배기

[eqn: times `n_1]

협대역 FM

[eqn: phi_NBFM (t)]

[eqn: phi_WBFM (t)]

[eqn: e_1 (t)]

[eqn: e_2 (t)]

주파수 변환기

주파수 체배기

[eqn: times `n_1]

[eqn: f(t)]

⒝ 협대역 FM

① block diagram

[eqn: phi_NBFM `(`t`) ``=`` A`left[`cos omega_{c`1} `t` +` k_{f`1} `int to t f `(`tau`)`` d `tau ㆍsin`omega_{c`1} `t `right]]

+

[eqn: x_NBFM (t`)]

+

[eqn: sin omega_{c`1} t]

∑

90。지연

[eqn: cos omega_{c`1} t]

[eqn: int `dt]

[eqn: f(t)]

～

[eqn: k_f1]

② [eqn: f`(`t`) ``=`` a``cos` omega_m` t] 일 경우 NBFM 신호

[eqn: phi_NBFM (t) = A cos (omega_c1 t +beta_1 sinomega_m t)]

여기서

[eqn: beta_1 ``=``{a`k_{f`1} } over omega_m~ <<~0.5]

⒞ 주파수 체배기

① block diagram

[eqn: phi_NBFM (t)]

[eqn: e_1 (t)]

비선형 소자

(diode)

BPF

[eqn: n_1 omega_{c`1}]

② 비선형 소자가 입력신호를 자승할 경우

[eqn: e_1 (t)= [ phi_NBFM^2 (t)]_BPF = [A^2 cos^2 (omega_{c`1}t + beta_1 sinomega_m t)]_BPF]

[eqn: =`` A^2 OVER 2 left[` 1+ cos(2omega_c1 t + 2beta_1sinomega_m t) right]_BPF]

[eqn: = A^2 over 2 cos(2omega_c1 t +2 beta_1 sinomega_m t)]

③ 비선형 소자가 입력신호를 [eqn: n_1]승 할 경우

[eqn: e_1 (t) = A^n over n_1 cos(n_1 omega_c1 t +n_1 beta_1 sinomega_m t) ~~<-~~]광대역 FM

[eqn: theta_1 (t) = n_1 omega_c1 t +n_1 beta_1 sinomega_m t]

[eqn: omega_1 (t)=n_1 omega_c1 + n_1 beta_1 omega_m cosomega_m t]

[eqn: = n_1 omega_c1 + n_1 Deltaomega cos omega_m t]

⒟ 주파수 변환기

[eqn: e_1 (t)]

[eqn: e_2 (t)]

B P F

[eqn: cos omega_{c`2} t]

[eqn: e_2 (t)] 의 주파수 : [eqn: omega_2 `(`t`)]

[eqn: omega_2`(t) =omega_1`(t) - omega_c2 `(t)= (n_1 omega_c1 -omega_c2 ) +n_1 Delta`omega`cos`omega_m t]

⒠ 주파수 체배기

① [eqn: phi_WBFM (t)]의 주파수

[eqn: omega_WBFM (t)=n_2 (n_1 omega_c1 - omega_c2 ) + n_1 n_2 Deltaomegacosomega_m t]

[eqn: = omega_c +n_1 n_2 Deltaomegacosomega_m t]

② 순시위상

[eqn: theta_WBFM (t)= omega_c t + n_1 n_2 {Delta omega} over omega_m sinomega_m t]

③ 광대역 FM신호

[eqn: phi_WBFM (t)= A'cos (omega_c t + n_1 n_2 beta_1 sin omega_m t )]

※ 협대역의 변조지수 [eqn: beta_1]에 [eqn: n_1][eqn: n_2]를 곱하여 광대역 FM신호를 만듬

◀예제6.6.1▶ 입력이 크기 1, 주파수 50㎐인 정현파를 각 변조 할 때 최대 주파수편이 [eqn: Delta`omega_1 = 20`㎐]이다. 입력이 크기 1, 주파수 100㎐인 정현파를 각 변조하여 주파수 체배 할 때 최대 주파수 편이 [eqn: Delta`omega_2 =20`㎑]이 되도록 주파수 체배기의 체배 계수 n을 구하시오

[eqn: Delta omega_1]

정 현 파

[eqn: Delta omega_2 = n Delta omega_1]

각변조

주파수 체배기 n

⒜ FM일 경우

․[eqn: Deltaomega_1 =k_f a] 이므로 [eqn: omega_m ``= ``50`` ㎐]일 때나 [eqn: omega_m ``=`` 100`` ㎐] 일 때 모두 [eqn: Delta`omega_1 =20` ㎐] 이다. 따라서

[eqn: n= {Delta`omega_2} over {Delta`omega_1} = {20` ㎑} over {20`㎐}= 1000]

⒝ PM일 경우

․[eqn: omega_m `=` 50`㎐]일 때 [eqn: Deltaomega_1 = 20 ㎐]이므로 [eqn: Deltaomega_1 =Delta theta omega_m]에서 [eqn: Delta theta = 20 over 50]

․[eqn: omega_m `=` 100` ㎐]일 때 [eqn: Deltaomega_1 =Delta theta omega_m]에서 [eqn: Deltaomega_1 = 2 over 5 times 100 = 40 ㎐]이다.

따라서 주파수 체배 계수 n은

[eqn: n = Deltaomega_2 over Deltaomega_1 = {20 ㎑} OVER 40 =500]

6.6.2 Direct FM

⒜ varactor (variable reactor) diode

pn 접합 diode에 역 bias를 인가할 때 역 bias 전압에 따라 capacitance가 변화하는 diode

C

L

[eqn: f(t) =0] 일 때 varactor 의 capacitance를 [eqn: C_0]라 하면 [eqn: f(t) != 0] 일 때 varactor 의 capacitance C는

[eqn: C = C_o - DeltaCf(t) = C_o [ 1- DeltaC over C_o f(t) ]]

여기서

[eqn: DeltaC] : 최대 capacitance 편이

⒝ LC 공진회로의 순시 주파수

[eqn: omega = 1 over sqrt {LC} &= 1 OVER sqrt {LC_o left[ 1-{Delta C} OVER {C_o} f(t) right]}][eqn: = 1 over SQRT {LC_o} left[ 1+ {Delta C} OVER {2C_o} f(t) right]]

여기서

[eqn: omega_c = 1 over sqrt {LC_o}]

[eqn: k_f = {Delta C omega_c} over 2C_o]

[eqn: omega= 1 over {sqrt{ LC}}= omega_c + k_f f(t)]

⒞ 가변 공진회로 발진기

[eqn: phi (t)]

[eqn: f(t)]

L

～

C

[eqn: V_cc]

[eqn: C_c]

[eqn: C^{''}]

[eqn: R_e]

[eqn: R_2]

[eqn: R_1]

①  [eqn: R_1], [eqn: R_2], [eqn: R_e] 는 정적 self bias ( quiescent self bias )

②  [eqn: R_2], C" 는 dynamic self bias

③  Tank 회로

㉠ [eqn: C_c] 는 큰 impedance를 가지므로 [eqn: C_c >> C]

㉡ [eqn: C_c >> C] 이면 순간 공진 주파수 [eqn: omega]는 [eqn: C_c] 에 영향을 받지 않음

④ 공진회로의 순시 주파수

[eqn: omega_i = 1 over sqrt {LC} = omega_c + k_f f(t)]

여기서

[eqn: omega_c = 1 over sqrt {LC_o} ~~, k_f = {Delta C omega_c} over {2C_o}]

◀예▶ [eqn: f_c = 30 [㎒]], 최대 주파수 편이 [eqn: Delta f = 25 ㎑] 일 때

[eqn: {Delta C} OVER 2C_0 = {Delta f} over f_c = 25 over 30 times 10^-3 = 0.833 times 10^-3]

⑤ 순시위상

[eqn: theta (t) = omega_c t + k_f int f `(t)~dt]

⑥ 출력 신호 [eqn: phi`(`t`)]

[eqn: phi (t) = cos left[omega_c t + k_f int f `(t)~dt right]]

⒟ direct FM 시스템의 계통도

[eqn: f(t)]

가변공진회로

발진기

주파수 체배기

× 3

전력 증폭기

[eqn: Delta f = 25㎑]

[eqn: Delta f = 75㎑]

[eqn: f_c = 90㎒]

[eqn: f_c = 30㎒]

① 장점: 주파수 체배기 수와 heterodyne 주파수 변환기 수가 감소

② 단점: 고주파 반송파 신호가 저주파 변조신호 [eqn: f(t)]에 안정 되어야 하므로 발진 주파수를 안정시키기 위해 feedback이 필요

◀예제6.6.2▶ 역 bias 전압 V에 대하여 varactor의 capacitance [eqn: C= C_0 over sqrt {1+ 2V}]이고 [eqn: V``=``4`V]일 때 LC 공진회로의 공진 주파수 [eqn: omega_o = 10 ㎒] 이다.

⒜ 변조지수 [eqn: k_f] 를 구하라

① tank 회로의 순시주파수

[eqn: omega= 1 over sqrt {LC} = 1 over sqrt {{L ` C_o} over sqrt {1+2V} }} = 1 over sqrt {LC_o} 1 over { ( 1+2V )}^{-{1over4}}]

[eqn: =``1 over sqrt {LC_o} ( 1+2V)^{1over4}]                          --- ⑴

② 공진 주파수

[eqn: V=V_0] 일 때 [eqn: omega= omega_o] 로 공진 되었다면

[eqn: omega_o = 1 over sqrt {LC_o} ( 1+ 2V_o )^{1over4}]                         --- ⑵

③ 순시 주파수를 공진주파수로 표현

[eqn: omega over omega_o = (1+2V)^{1over4} over {(1+2V_o )^{1over4}} = left( 1+2V over 1+2V_o RIGHT)^{1over4}]

[eqn: omega= omega_o left( 1+2V over 1+2V_o RIGHT)^{1over4}]

여기서 공진 주파수를 기준으로 varactor의 역 bias 전압 V를 표현하면 [eqn: V=V_o + v]  ([eqn: v]는 [eqn: V_o] 를 기준으로 할 때의 증분)

[eqn: omega= omega_0 left [ {{1+2(V_0 + v )} over {1+2V_0}} right]^{1over4}][eqn: = omega_0 left [ {1+{2v} over {1+2V_0}} right]^{1over4} = omega_0 left[1+ 2v over k right]^{1over4}]

[eqn: SIMEQ omega_0 left [ 1+ 1over4 left(2v over k right)- 3 over 32 left ( 2v over k right )^2 + ㆍㆍㆍㆍright]][eqn: SIMEQ omega_0 + omega_0 over 4 left(2v over k right) = omega_0 + omega_0 over2k v]

[eqn: = omega_0 + k_f`` v]

[eqn: THEREFORE~~ k_f &= omega_0 over 2k = omega_0 over {2(1+2V_0 )}][eqn: = {10`㎒} over {2(1+2times 4)} = 0.56` ㎒ /V]

⒝ 선형 주파수-전압 특성으로부터 1%의 최대오차에 의해 허용되는 최대 주파수 편이

① 오차 계산

[eqn: omega = omega_0 left [ 1+ 1over4 left(2v over k right)- 3 over 32 left ( 2v over k right )^2 + ㆍㆍㆍㆍright]#] 에서 오차는 2차 항에서 만들어 지므로 허용오차는

[eqn: {3 over 32 left ( 2v over k right )^2} over {1 over 4 left( 2v over k right)}~ <=~ 0.01]

[eqn: v <= 4k over 300]

② 최대 주파수 편이

[eqn: Delta omega= k_f ``v_max = omega_0 over 2k times 4k over 300 = omega_0 over 150]

[eqn: Delta f = {Delta f} over 150 = 10㎒ over 150 = 66.7 ㎑]

6.6.3 FM 다중화

여러 개의 전송신호 [eqn: f_1 (t), f_2 (t), ... f_n (t)]를 부반송파 [eqn: omega_1, omega_2, ... omega_n]으로 변조하여 합하고 이것을 주 반송파 [eqn: omega_0]로  FM하는 다중화 ←그림 6.15

※ FM 다중화 방법

• AM -FM : 변조 신호를 부반송파로 DSB-SC나 SSB-SC로 변조하고 주반송파로 FM 변조 (예 FM 방송의 stero)

• FM-FM  : 변조 신호를 부반송파로 FM하여 다중화 하고 주 반송파로 FM 변조

6.7  FM 신호의 복조

※ discriminator (변별기) - 주파수를 전압으로 변환하는 시스템을 변별기라 하므로 FM  복조기를 변별기라고도 함

6.7.1 직접 FM 신호의 복조

⒜ 미분기에 의한 FM 신호의 복조

① FM신호의 미분

[eqn: phi_FM (t) = Acos left[omega_c t + k_f int _0 ^t f( tau ) d tau right]]

[eqn: phi_FM^{'} (t) = A [omega_c + k_f f(t) ] sin left[ omega_c t + k_f int _0 ^t f (tau) d tau right]]

[eqn: = A`omega_c left[1 + k_f over omega_c f(t) right] sin left[ omega_c t + k_f int _0 ^t f (tau) d tau right]]

[eqn: k_f`` f(t) << omega_c](양수) 이면 [eqn: phi_{FM}^{'} (t)]는  AM 과 같으므로 [eqn: phi_{FM}^{'} (t)]를 포락선 검파 하면 [eqn: f (t)]를 얻을 수 있음

② Block diagram

[eqn: phi_FM^' (t)]

[eqn: phi_FM (t)]

[eqn: f(t)]

[eqn: d over {d`t}]

포락선 검파기

[eqn: omega]

[eqn: | H (omega) |]

[eqn: phi_FM^' (t)]

[eqn: omega]

[eqn: e_o (t)]

◀예제 6.7.1▶ 다음 RC HPF 로 FM 신호[eqn: phi_FM (t) = A cos (omega_c t + beta sin omega_m t)]를 검파 할 수 있음을 보이시오.

C

R

[eqn: phi_FM (t)]

[eqn: v_o (t)]

RC HPF (RC 미분기)

① RC HPF 의 주파수 특성

[eqn: H(omega)= R over { R + 1 over {j`omega`C} }][eqn: = {j`omega`RC} over {1+ j`omega`RC}]

여기서 [eqn: omega~ << 1 over RC]  이면

[eqn: H(omega) SIMEQ j`omega`RC]

② 出力

[eqn: H(omega) = {V_o (omega)} over {PHI_FM (omega)} SIMEQ j`omega`RC]

[eqn: V_o (omega) = j`omega`RC PHI_FM (omega)]

[eqn: v_o (t) = RC {d phi_FM (t)} over dt]

[eqn: =RC d over dt [ Acos(omega_c t + beta sinomega_m t) ]]

[eqn: =-ARC [ omega_c + beta omega_m cosomega_m t ] sin (omega_c t + beta sin omega_m t )]

[eqn: =-ARC omega_c left[1+ {beta omega_m} over omega_c cosomega_m t right] sin (omega_c t + beta sin omega_m t )]

[eqn: m= betaomega_m over omega_c = Deltaomega over omega_c ~~< 1] 이면 AM 신호이므로 포락선 검파하여 [eqn: cosomega_m t] 를 검파할 수 있다

※ RL 미분기에 의한 FM 신호 검파기  ← 그림 6.17 ⒝

⒝ slope detector (경사형 검파기)

[1] 유사 안정 방정식 (quasi-static method : QSM )

⑴ FM 신호

[eqn: phi_FM (t) = cos left[omega_c t + k_f int ^t f(tau) d tau right]]

여기서

[eqn: mu(t) = k_f int ^t f(tau) d tau]

[eqn: phi_FM (t) = cos [omega_c t +mu(t) ]][eqn: = Re left[ e^{j left{omega_c t + mu(t)right} }right ]]

여기서

[eqn: z(t)=e^{j[omega_c t + mu(t)]}] : 복소 FM 신호

[eqn: phi_FM (t) = Re [z(t)]]

①  FM 신호의 순시 위상 : [eqn: theta(t) = omega_c t + mu (t)]

②  FM 신호의 주파수    : [eqn: omega_i = omega_c + dot mu (t)]

⑵ 선형시스템의 주파수 특성

① 필터의 주파수 특성

[eqn: omega]

[eqn: H (omega)]

선형영역

[eqn: omega_c]

[eqn: omega]

[eqn: H (omega)]

선형영역

[eqn: omega_c]

HPF

BPF

필 터

[eqn: H (omega)]

※ 필터의 주파수 특성은 차단주파수 [eqn: omega_c]를 중심으로 선형 영역이 존재

② 반송파 주파수 [eqn: omega_c] 근방에서 주파수 특성

㉠ Taylor 급수로 전개

[eqn: H(omega) = SUM from { { n}=0} to inf 1 over n！ H^(n) (omega_c ) (omega-omega_c )^n]                     --- ⑴

㉡ FM신호의 순시 주파수 [eqn: omega=omega_c + dot mu (t)] 일 때 주파수 특성

[eqn: H[omega_c + dot mu (t)] = SUM from { { n}=0} to inf 1 over n！ H^(n) (omega_c ) dot mu^n (t)]

여기서  2차 항 까지 선택하면

[eqn: H[omega_c + dot mu (t)] = H(omega_c ) + H^' (omega_c ) dot mu (t) + 1 over 2 H^'' (omega_c ) dot mu^2 (t)]-⑵

⑶ 복소 FM 신호 [eqn: z(t)]에 대한 선형 시스템의 출력 [eqn: eta (t)]

[eqn: H(omega)]

[eqn: eta (t)]

[eqn: z(t)]

[eqn: H(omega)]

[eqn: N(omega)=H(omega)Z(omega)]

[eqn: Z(omega)]

① 출력 [eqn: eta (t)] 의 fourier 적분

[eqn: eta(t) &= 1 over 2pi int_-inf ^inf N(omega) e^{j`omegat} d`omega]

[eqn: = 1 over 2pi int_-inf^inf H(omega) Z(omega) e^{j`omega`t} d`omega]                        --- ⑶

• 식 ⑴을 식 ⑶에 대입

[eqn: eta(t)= 1 over {2 pi} int _-inf ^inf SUM from { { n}=0} to inf 1 over n! H^(n) (omega_c ) (omega-omega_c )^n Z(omega) e^{j`omega t} d`omega]

[eqn: = e^{j`omega_c t}over 2pi SUM from { { n}=0} to inf 1 over n! H^(n) (omega_c ) int_-inf ^inf (omega-omega_c )^n Z(omega) e^{j(omega-omega_c ) t} d`omega] -⑷

여기서

[eqn: d over dt [ Z(omega) e^{j(omega-omega_c )t} ] = j(omega-omega_c ) Z(omega)e^{j(omega-omega_c )t}]

[eqn: d^2 over dt^2 [ Z(omega) e^{j(omega-omega_c )t} ] = j^2 (omega-omega_c )^2 Z(omega)e^{j(omega-omega_c )t}]

[eqn: d^n over dt^n [ Z(omega) e^{j(omega-omega_c )t} ] = j^n (omega-omega_c )^n Z(omega)e^{j(omega-omega_c )t}]

∴ [eqn: Z(omega) (omega-omega_c )^n e^{j(omega-omega_c )t } = 1 over j^n d^n over dt left[ Z(omega)e^{j(omega-omega_c ) t} right]]           -- ⑸

• 식⑸ 의 양면을 [eqn: omega]에 대해 적분하면

[eqn: int _-inf^inf Z(omega) (omega-omega_c )^n e^{j(omega-omega_c ) t} d`omega = 1 over j^n int_-inf^inf d^n over dt^n left[ Z(omega) e^{j(omega-omega_c ) t} d omega right]]

[eqn: = 1 over j^n d^n over dt^n left[ int_-inf^inf Z(omega) e^{j(omega-omega_c ) t }d`omega right]] -⑹

② 복소 입력 [eqn: z(t)] 의 fourier 적분

[eqn: z(t) = 1 over 2pi int _-inf^inf Z(omega) e^{j`omega` t} d`omega]

[eqn: z(t)e^{-j`omega_c t} = 1 over 2pi int_-inf^inf Z(omega) e^{j(omega-omega_c )t} d`omega]

∴[eqn: int_-inf^inf Z(omega) e^{j(omega-omega_c ) t }d`omega & = 2pi z(t) e^{-j`omega_c t}]

[eqn: = 2pi e^{j[omega_c t + mu (t) ]} e^{-j`omega_c t}]

[eqn: = 2pie^{j mu (t) }]                           --- ⑺

• 식 ⑺을 식 ⑹에 대입

[eqn: int_-inf^inf Z(omega) (omega-omega_c )^n e^{j(omega-omega_c ) t }d `omega & = 2pi over j^n d^n over dt^n [e^{j mu (t)} ]]         --- ⑻

• 식 ⑻을 식 ⑷에 입력

[eqn: eta(t)= e^{j`omega_c t} SUM from { { n}=0} to inf 1 over n! 1 over j^n H^(n) (omega_c ) d^n over dt^n [e^{j mu (t)}]]

[eqn: = e^{j`omega_c t} left[H(omega_c ) e^{j mu(t)} + 1 over j H^' (omega_c ) j dot mu (t) e^{j mu(t)}]

[eqn: + 1 over 2 1 over j^2 H^'' (omega_c ) left { [j dot mu (t)]^2 e^{j mu(t)} + j `dot dot mu (t) e^{j mu (t)} right } + cdots right]]

[eqn: = e^{j[omega_c t+ mu (t)]} [H(omega_c ) + H^' (omega_c ) dot mu (t)]

[eqn: + 1 over 2 H^'' (omega_c ) left {dot mu ^2 (t) -j dot dot mu (t) right} + cdots]]

여기서 이차 이상의 미분과 [eqn: H(omega_c )]의 3차 이상의 미분을 무시하면

[eqn: eta(t) = z(t) [ H(omega_c ) + H^' (omega_c ) dot mu (t) + 1 over 2 H^'' (omega_c ) dot mu^2 (t) ]]           - ⑼

식 ⑵를 식 ⑼에 대입

[eqn: eta(t) = z(t) H[ omega_c + dot mu (t) ]]

※복소 입력 [eqn: z(t) = e^{j[omega_c t + mu (t)]}]에 대한 선형시스템 출력 [eqn: eta(t)]는 입력 [eqn: z(t)]에 주파수 특성 [eqn: H[omega_c + dot mu (t) ]]를 곱한 것과 같다.

⑷ FM신호 [eqn: phi_FM (t)]로부터 [eqn: f(t)]를 복조하기 위한 선형시스템

① 반송파 주파수 [eqn: omega_c] 근방에서 [eqn: H(omega)]의 선형구간

[eqn: H(omega)= vert H(omega) vert e^jv(omega)]

여기서

[eqn: vert H(omega) vert = A(omega-omega_c ) + B]

[eqn: H(omega)=[A(omega-omega_c ) + B ] e^v(omega)]

② 복소 FM 신호 [eqn: z(t) = e^{j[omega_c t + dot mu (t) ]}] 에 대한 시스템 출력

[eqn: H(omega)]

[eqn: eta(t)]

[eqn: z(t)]

[eqn: eta(t) = z(t) H[omega_c + dot mu (t) ]]

[eqn: =`` z(t) `left[` A `left{` omega_c `+` dot mu `(`t`)` -` omega_c `right} `+` B `right]`` e^{j` v` left[ `omega_c` +` dot mu (t)` right]}]

[eqn: =z(t) [A dot mu (t) + B ] e^{jv(omega_c + dot mu (t) ] }]

[eqn: =e^{j[omega_c t + mu (t)]} [A dot mu (t) + B ]e^{jv(omega_c + dot mu (t) ) }]

여기서

[eqn: mu (t) = k_f int ^t f(tau) d tau]

[eqn: dot mu (t) = k_f f(t)]

[eqn: eta(t)=[Ak_f f(t) + B ] e^{j[omega_c t + mu (t) + v "{"omega_c + dot mu (t) "}"]}]

③ FM신호 [eqn: phi_FM (t) = Re [z(t)]] 에 대한 시스템 출력

[eqn: H(omega)]

[eqn: omega_o]

[eqn: omega_c]

[eqn: H(omega)]

[eqn: y (t)]

[eqn: phi_FM (t)]

[eqn: phi_FM (t) = Re [z(t) ] =cos [omega_c t + mu (t)]] 이므로 [eqn: phi_FM (t)] 에 대한 출력 [eqn: y(t)]는

[eqn: y(t) = Re [ eta (t) ]]

[eqn: = [Ak_f f(t) + B ] cos [ omega_c t + mu (t) + upsilon left{ omega_c + dot mu (t) right} ]]

[eqn: y(t)]는 AM 과 동일하므로 포락선 검파하면 [eqn: f(t)]를 얻을 수 있다

④ FM 신호의 복조

포락선 검파

선형시스템

[eqn: H(omega)]

[eqn: y (t)]

[eqn: phi_FM (t)]

[eqn: f(t)]

[2] 경사형 검파기(slope detector)[eqn: cases {&단동조형 ~변별기# # &평형~ 변별기}]

⑴ 단동조형 변별기 (single tuned discriminator)

① 단동조형 회로

② 전달함수

㉠ input impedance

[eqn: Z_{i n} =R+ {j`omega`L} over {j`omega`C} over {j`omega`L + 1over {j`omega`C}} = R+ j omegaL over {1- omega^2 LC }]

㉡ output impedance

[eqn: Z_o = {j`omega`L} over {j`omega`C} over {j`omega`L + 1over {j`omega`C}} = j {omega`L} over {1- omega^2 LC }]

㉢ 전달함수

[eqn: H(omega)= Z_o over Z_{i n} = {j omegaL over {1- omega^2 LC }} over { R +j omegaL over {1- omega^2 LC }} = {j`omega`L} over { R(1-omega^2 LC) + j`omega`L }]

㉣ 전달함수 크기

[eqn: |H (omega)| = omegaL over sqrt { R^2 (1-omega^2 LC)^2 + omega^2 L^2 }]

[eqn: = 1 over sqrt { 1+ R^2 ({1 over omegaL} - omegaC )^2 }]

[eqn: = 1 over sqrt { 1+ R^2 C^2 ({1 over omegaLC} - omega )^2 }]

여기서

[eqn: omega_0 = 1 over sqrt LC] : 공진 주파수

[eqn: | H (omega) | = 1 over sqrt {1+ R^2 C^2 ({omega_0^2 over omega}-omega)^2}]

[eqn: = 1 over sqrt { 1+ R^2 C^2 left[{{( omega_0 + omega) (omega_0 - omega )} over omega}right]^2 }]

여기서 [eqn: omega= omega_c + Deltaomega], [eqn: omega_0 = omega_c + b] 라 두면

[eqn: left[ { {(omega_o + omega) ( omega_o - omega)} over omega }right]^2][eqn: = left[ {(2omega_c + Deltaomega + b ) ( b-Deltaomega )} over {( omega_c + Deltaomega)}right]^2]

[eqn: Deltaomega `~<< ~b~~ << omega_c]

[eqn: omega_o]

[eqn: omega_c]

b

[eqn: Delta omega]

[eqn: b^2 ~<<~ 2omega_c Delta omega]

[eqn: b~<< ~ 1 over sqrt 2RC]

[eqn: left[ {(omega_0 + omega) (omega_0 - omega)} over omega right]^2 = left[ 2(b-Deltaomega) right]^2]

[eqn: | H (omega) |= 1 over sqrt {1+R^2 C^2 [2(b- Deltaomega)]^2 }]

[eqn: = 1 over sqrt { 1+ (2RC)^2 (b^2 - 2b Delta omega + Delta omega ^2 ) }]

[eqn: SIMEQ 1 - (2RC)^2 b^2 + 2ㆍ(2RC)^2 b Delta omega]

여기서

[eqn: A = 2ㆍ(2RC)^2 b]

[eqn: B= 1- (2RC)^2 b^2]  이라 두면

[eqn: | H(omega) | =A Deltaomega + B][eqn: = A(omega-omega_c ) + B]   ←  선형 시스템

[eqn: THEREFORE ~H(omega) = [ A(omega-omega_c ) + B ] e^{ j theta (omega)}]

③ 단동조형 회로를 이용한 복소 FM 신호의 검파

[eqn: H(omega)]

[eqn: eta(t)]

[eqn: z(t)]

[eqn: z(t) = e^{j [ omega_c t + mu (t)]}]

[eqn: mu (t) = k_f int ^t f( lambda ) d lambda]

[eqn: dot mu (t) =k_f f(t)]

유사 안정 방정식에 의하여

[eqn: eta (t) &=z(t) H [ omega_c + dot mu (t) ]]

[eqn: = z(t) [ A dot mu (t) + B ] e^{j theta [ omega_c + dot mu (t) ]}]

[eqn: = [ A k_f f(t) + B ] e^{j[omega_c t+ mu (t) + theta "{" omega_c + dot mu (t) "}" ] }]

④ 단동조 회로를  이용한  FM신호의 검파

[eqn: H(omega)]

[eqn: y (t)]

[eqn: phi_FM (t)]

[eqn: phi_FM (t) = cos [ omega_c t + mu (t) ]]는 [eqn: z(t) = e^ {j[omega_c t + mu (t) ]}]의 실수부 이므로 [eqn: phi_FM (t)] 에 대한 출력 [eqn: y(t)]는

[eqn: y(t) = Re [ eta (t) ] = Re [ left{ A`k_f ``f(t) + B right } e^ {j left{omega_c t + mu (t) + theta(omega_c + dot mu (t) right } } ]]

[eqn: = [ A `k_f ``f(t) + B ] cos [ omega_c t + mu (t) + theta left{omega_c + dot mu (t) right } ]]

⑵ 평형 변별기 ( triple - tuned discriminator )

① 평형변별기  회로

[eqn: eta(t)]

[eqn: y(t)]

[eqn: phi_FM (t)]

[eqn: z(t)]

② 전달 함수

단동조 변별기를 2개 결합한 회로 이므로

[eqn: | H(omega) | = A (omega- omega_c ) + B - [ - A(omega- omega_c ) + B ]]

[eqn: = 2A (omega-omega_c )]

[eqn: H(omega) = 2A(omega- omega_c ) e^ {j theta (omega) }]

③ 복소 FM신호에 대한 출력

[eqn: eta (t) = z(t) H[omega_c + dot mu (t) ] e^{j theta [ omega_c + dot mu (t) ] }]

[eqn: =2A dot mu (t) ㆍz(t) = Ak_f f(t) ㆍ e^ {j [omega_c t + mu (t) + theta "{" omega_c + dot mu (t) "}" ] }]

④ FM 신호에 대한 출력

[eqn: y(t) = Re [ eta (t) ] = Ak_f ``f(t) cos [ omega_c t + mu (t) + theta left { omega_c + dot mu (t) right } ]]

⒞ Foster-Seeley discriminator (= phase shift discriminator : PSD )

(ⅰ) 회로도

[eqn: v_1]

[eqn: i_1]

[eqn: v_1]

[eqn: i_2]

[eqn: v_2]

[eqn: L_2]

[eqn: C_b]

[eqn: C_2]

[eqn: C_2]

[eqn: L_3]

[eqn: D_1]

[eqn: D_2]

[eqn: R_1]

[eqn: R_2]

[eqn: C_1]

[eqn: C_1]

[eqn: v_o]

[eqn: L_1]

㉠ 1, 2차 측 동조 회로의 [eqn: L_1]과 [eqn: L_2]는 결합계수가 크지 않은 유도결합이며 상호 inductance는 M

㉡ 1, 2차 측 공진 주파수 [eqn: omega_0 = 1 over sqrt {L_1 C_1} = 1over sqrt {L_2 C_2}] 이다

㉢ [eqn: C_b] 는 고주파를 bypass 시킬 수 있는 용량이 아주 큰 capacitor

㉣ [eqn: L_3] 는 RFC 이므로 [eqn: L_3]는 매우 커서 FM 신호일 때 개방, 저주파 신호일 때 short이다.

∴ [eqn: L_3]의 양단전압은 [eqn: v_1]

(ⅱ) 등가회로

+

+

[eqn: v_1]

[eqn: D_1]

[eqn: D_2]

[eqn: R_1]

[eqn: R_2]

[eqn: v_o]

～

～

～

[eqn: v_2 over 2]

[eqn: v_2 over 2]

I

[eqn: v_{D`1}]

[eqn: v_{D`2}]

-

-

-

+

[eqn: v_D1 =v_1 + v_2 over 2],  [eqn: v_D2 = v_1 - v_2 over 2~]                    --- ⑴

[eqn: v_0 =k( | v_D1 | - | v_D2 | = k ( | v_1 + v_2 over 2 | - | v_1 - v_2 over 2 | )]      --- ⑵

여기서  [eqn: k] 는 검파효율

(ⅲ) 회로해석

① 1차 coil 에 흐르는 전류

[eqn: i_1 = v_1 over {j`omega`L_1}]

② 2차 coil에 유도되는 전압 [eqn: v_M]

[eqn: v_M = j `omega` M` i_1 = j`omega`M v_1 over {j`omega`L_1} = M over L_1 v_1]

③ 2차 coil [eqn: L_2] 에 흐르는 전류

[eqn: i_2 = v_M over { R + j`omega`L_2 + 1 over {j`omega`C_2} } = M over L_1 v_1 over { R + j(omegaL_2 - 1 over omegaC_2 ) }]

여기서 [eqn: R` ~~:~` L_2]의 실효저항

④ [eqn: C_2] 의 양단 전압 [eqn: v_2]

[eqn: v_2 = - i_2 over {j`omega`C_2}][eqn: = - 1 OVER {j`omega`C_2} M OVER L_1 v_1 over { R + j (omegaL_2 - 1 OVER omegaC_2 ) }]

[eqn: = j M OVER L_1 v_1 OVER { omegaRC_2 + j(omega^2 L_2 C_2 - 1 ) }]

여기서

[eqn: omega_o = 1 over sqrt {L_2 C_2}]  :   공진 주파수

[eqn: Q_e = 1 over {omega_o RC_2}]  : 2차 동조회로의 [eqn: Q] 의 실효치

[eqn: v_2 = j M OVER L_1 v_1 OVER { omega over {omega_o Q_e } + j left( omega^2 over {omega_o^2 }-1 right) }]

[eqn: = j Q_e M over L_1 v_1 OVER { omega over omega_o + j Q_e left( omega^2 over omega_o^2 -1 right) }]                --- ⑴

[eqn: = Q_e M over L_1 v_1 over sqrt { { left (omega over omega_o right )^2 + Q_e^2 left( omega^2 over omega_o^2 -1 right)^2 }} e^{j left( pi over 2 - theta right) }]

여기서

[eqn: theta = tan^-1 {Q_e left( omega^2over omega_o^2 - 1 right) } over { omega over omega_o} = tan^-1 Q_e left( omega over omega_o - omega_o over omega right)]

㉠ [eqn: omega=omega_o]일 때 [eqn: theta = 0]이므로 [eqn: v_2]는 [eqn: v_1]보다 [eqn: pi over 2]만큼 뒤짐

㉡ [eqn: omega`>` omega_o]일 때 [eqn: theta `` > ``0]이므로 [eqn: v_2]는 [eqn: v_1]보다 [eqn: pi over 2 -theta]만큼 뒤짐

㉢ [eqn: omega`<` omega_o]일 때 [eqn: theta` <` 0] 이므로 [eqn: v_2]는 [eqn: v_1]보다 [eqn: pi over 2 + | theta |]만큼 뒤짐

⑤ 출력 [eqn: v_o]

㉠ [eqn: omega]값에 따른 [eqn: v_D1]과 [eqn: v_D2]의 phasor 도

[eqn: v_D1 = v_1 + v_2 over 2],     [eqn: v_D2 = v_1 - v_2 over 2]

[eqn: omega=omega_o]

[eqn: v_{D`1}]

[eqn: v_1]

[eqn: v_{D`2}]

[eqn: v_2 over 2]

[eqn: v_2 over 2]

[eqn: v_2 over 2]

[eqn: - v_2 over 2]

[eqn: - v_2 over 2]

[eqn: v_{D`1}]

[eqn: v_{D`2}]

[eqn: v_1]

[eqn: omega > omega_o]

[eqn: - v_2 over 2]

[eqn: v_1]

[eqn: v_{D`2}]

[eqn: v_{D`1}]

[eqn: omega<omega_o]

㉡ [eqn: omega]값에 따라 해석

ⓐ [eqn: omega=omega_o] 일 때 [eqn: v_o = vert v_D1 vert - vert v_D2 vert= 0]

ⓑ [eqn: omega ~>~ omega_o] 일 때 [eqn: v_o ~> ~0]

ⓒ [eqn: omega~<~omega_o] 일 때 [eqn: v_o ~<~ 0]

ⓓ [eqn: omega= omega_o + Delta omega] 일 때

식 ⑴로부터

[eqn: v_2 = j Q_e M over L_1 v_1 OVER { omega over omega_o + j Q_e left( omega^2 over omega_o^2 -1 right) }]

[eqn: = j Q_e M over L_1 v_1 OVER { 1+ {Delta omega} over omega_o + j Q_e left(2 Deltaomega over omega_o + Deltaomega^2 over omega_o^2 right) }]

[eqn: = j Q_e M over L_1 v_1 OVER { 1+ j `2 `Q_e Deltaomega over omega_o }]

[eqn: = Q_e M over L_1 v_1 OVER sqrt { 1+ left(2 Q_e Deltaomega over omega_o right)^2 } e^{j left( pi over 2 - tan^-1 2 Q_e { DELTA ` omega} over omega_o right)}]

여기서

[eqn: theta = pi over 2 - tan ^-1 2` Q_e { DELTA `omega} over omega_o]

[eqn: tan left( pi over 2 - theta right) = 2 Q_e {Delta omega} over omega_o]

[eqn: cot theta = 2 Q_e {Delta omega} over omega_o]

[eqn: v_2 = Q_e M over L_1 v_1 over sqrt { 1 + cot^2 theta} e^{j theta}][eqn: = Q_e M over L_1 v_1``sin theta cdot e^{j theta}]

[eqn: v_o = K left( left| v_1 + v_2 over 2 right| - left| v_1 - v_2 over 2 right| right)]

[eqn: = K left[ left| v_1 + v_1 over 2 Q_e M over L_1 sin theta ( cos theta + j sin theta) right|]

[eqn: - left| v_1 - v_1 over 2 Q_e M over L_1 sin theta ( cos theta + j sin theta ) right| right]]

[eqn: = K | v_1 | left[ sqrt{ left( 1 + Q_e over 2 M over L_1 sin theta cos theta right)^2 + left( Q_e over 2 M over L_1 sin^2 theta right)^2}]

[eqn: - sqrt { left( 1 - Q_e over 2 M over L_1 sin theta cos theta right)^2 + left( Q_e over 2 M over L_1 sin^2 theta right)^2} right]]

㉢ 출력 [eqn: v_o]의 graph

ⓐⓑⓒⓓ로부터

[eqn: omega_o + Delta omega]

[eqn: omega]

[eqn: v_o]

[eqn: omega_o - Delta omega]

[eqn: omega_o]

(ⅳ) 특징

① 곡선의 경사도는 [eqn: L_1]과 [eqn: L_2]의 결합 도에 의해 변함

[eqn: 결합도가 ~밀할~ 경우cases{``•~경사도가 ~급하게 ~됨 ## ``•~복조~ 감도는~ 양호하지만~주파수#~~~ 특성이~ 좋지~ 못함}]

[eqn: 결합도가~ 소할~ 경우cases{``•~경사도가 ~완만하게 ~됨 ## ``•~복조~ 감도는~ 다소~ 불량하지만#~~~주파수~ 특성이~ 좋음}]

② 1, 2차 동조주파수 [eqn: omega_o]가 중간주파수 [eqn: omega_i]와 일치하지 않을 경우는 무변조시 출력이 0이 되지 못함

③ 비 검파기에 비해 복조 감도는 양호하지만 진폭제한작용을 못함

⒟ ratio detector(비 검파기)

(ⅰ) 회로도 [eqn: R_5]

[eqn: v_1]

[eqn: i_1]

[eqn: v_2]

[eqn: L_2]

[eqn: C_2]

[eqn: C_4]

[eqn: L_3]

[eqn: D_1]

[eqn: D_2]

[eqn: R_3]

[eqn: R_5]

[eqn: R_4]

[eqn: C_3]

[eqn: C_1]

[eqn: v_o^']

[eqn: v_o]

[eqn: L_1]

[eqn: v_{D`2}]

[eqn: v_{D`1}]

[eqn: C_5]

① Foster Seeley 검파기와 비교하여 [eqn: D_2]가 역방향, 큰 용량 [eqn: C_5] 부착

② [eqn: (R_3 + R_4 ) C_5]의 시정수를 신호의 주기보다 충분히 크게 설정

(ⅱ) 등가회로

[eqn: C_4]

[eqn: D_1]

[eqn: D_2]

[eqn: R_3]

[eqn: R_5]

[eqn: R_4]

[eqn: C_3]

[eqn: v_o^']

[eqn: v_o]

[eqn: v_{D`2}]

[eqn: v_{D`1}]

[eqn: C_5]

[eqn: v_1]

～

～

～

[eqn: v_2 over 2]

[eqn: v_2 over 2]

① [eqn: v_{D `1}]과 [eqn: v_{D `2}]는 Foster Seeley와 같으므로

[eqn: v_{D`1} = v_1 + v_2 over 2]

[eqn: v_{D`2} = v_1 - v_2 over 2]

② [eqn: C_3], [eqn: R_3]와 [eqn: C_4], [eqn: R_4]는 포락선 검파기이므로 [eqn: C_3]와 [eqn: C_4]에 각각 [eqn: | v_{D`1}|]과 [eqn: | v_{D`2}|]가 충전

③ 출력

[eqn: v_o = {( | v_D1 | - | v_D2 | )} over 2]

(ⅲ) 특징

①[eqn: ( R_3 + R_4 ) C_5]를 충분히 크게 결정하므로 FM파의 순간적인 진폭 변화가 존재해도 [eqn: v_o ^']는 불변이며 따라서 [eqn: v_o]도 불변 (=진폭제한작용)

② 접지에 대한 평형회로가 됨 (∴ Foster seeley는 비 평형)

③ Foster Seeley에 비해 출력이 [eqn: 1 over 2]로 감소

6.7.2 간접방법-위상고정루프(phase locked loop)

(a) 상관함수(correlation function)

두 함수 [eqn: x`(t)]와 [eqn: y`(t)]의 상관함수는 시간지연 [eqn: tau ``]에 대하여[eqn: x^* (t)․y (t+ tau)]의 시간평균으로 정의

[eqn: ``R_xy`(` tau` ``)= ``Lim from { T -> inf }`{1}over{T} INT _{-{T}over{2}}^{{T}over{2}}`x^*`(`t`)`y`(`t`+` tau` )dt``]

①[eqn: ``x`(`t`)``]와 [eqn: ``y`(`t`)``]가 서로 다른 신호일 때 [eqn: ``R_xy`(`tau`)``]를 상호상관함수

②[eqn: ``x`(`t`)``]와[eqn: ``y`(`t`)``]가 같은 신호일 때 [eqn: ``R_xy`(`tau`)``]를 자기 상관함수

③[eqn: ``x`(`t`)``]와 [eqn: ``y`(`t`)``]가 주기 T인 주기함수인 경우

[eqn: ``R_xy`(` tau` ``)= ``{1}over{T} INT _{-{T}over{2}}^{{T}over{2}}`x`(`t`)^*`y`(`t`+` tau` )dt``]

◀예제 1▶ [eqn: x(`t`)``=A_1cos omega_c t``]와 [eqn: y(t)=A_2 cos omega_c t ``]의 상관함수

[eqn: ``R_{x``y}`(`tau`)``=``{1}over{T} INT _{-{T}over{2} }^{{T}over{2} } A _1 A _2 cos omega _c t cdot cos `omega_c ``(`t`+`tau`)`dt``]

[eqn: =`` {A_1` A_2}over{2T}`[INT _{-{T}over{2}}^{{T}over{2}} cos omega_c`` tau ``dt `+`INT _{-{T}over{2}}^{{T}over{2}} `cos` omega_c` (`2t`+`tau`) `dt`]]

[eqn: ``= ``{A_1 A_2}over{2T}[cos omega_c tau cdot t] _{-{T}over{2} }^{ {T}over{2}}```]

[eqn: ``=``{A_1 A_2}over{2}cos omega _c ``tau ``]      ← 그림6.22(a)

◀예제 2▶   [eqn: x(`t`)``=A_1 sin omega_c`` t``] 와[eqn: ``y(`t`)`=`A_2 sin omega_c t ``]의 상관함수

[eqn: ``R_{x``y}`(`tau`)``=``{1}over{T} INT _{-{T}over{2} }^{{T}over{2} } A _1 A _2 sin omega _c t cdot sin `omega_c ``(`t`+`tau`)`dt``]

[eqn: =`` {A_1` A_2}over{2T}`[INT _{-{T}over{2}}^{{T}over{2}} cos omega_c` tau `dt ``-``INT _{-{T}over{2}}^{{T}over{2}} cos` omega_c` (`2t+tau`) `dt`]]

[eqn: ``=``{A_1 A_2}over{2}cos omega _c ``tau ``]  ← 그림 6.22(a)

◀예제 3▶ [eqn: ``x`(`t`)``` 와 ``y`(`t``)``]가 구형파일 경우 상관함수

[eqn: T over 2]

[eqn: -A _1]

[eqn: A _1]

x(t)

[eqn: -T over 2]

[eqn: -A _1]

[eqn: A _1]

y(t)

[eqn: T over 4 - tau]

[eqn: y(t+tau)]

[eqn: - T over 4 - tau]

[eqn: tau]

ⅰ) [eqn: ``0`` <`` tau ``<``` {T}over{2}```]일 때

[eqn: R_xy (tau ) = 1 over T int _{- T over 2} ^{T over 2} x (t) y(t+ tau ) d tau`]

[eqn: = 1 over T [ int _{- T over 2 } ^{- T over 4 - tau } A_1 A_2 dt `][eqn: + int _{- T over 4 - tau } ^{ - T over 4} - A_1 A_2 ``dt `][eqn: + int _{- T over 4 } ^{ T over 4 - tau } A_1 A_2 ``dt `]

[eqn: + int _{ T over 4 - tau } ^{ T over 4} - A_1 A_2 ``dt `][eqn: + int _{T over 4 } ^{ T over 2} A_1 A_2 ``dt ]`]

[eqn: = {A_1 A_2 }over T [- T over 4 - tau + T over 2 + T over 4 - T over 4 - tau + T over 4 - tau + T over 4]

[eqn: - T over 4 + T over 4 - tau + T over 2 - T over 4 ]`]

[eqn: = { A_1 A_2 } over T [T-4 tau ]`][eqn: = A_1 A_2 [1- 4 over T tau ]`]

ii) [eqn: - T over 2 < tau < 0 `]일 때

[eqn: T over 2]

[eqn: -A _1]

[eqn: A _1]

[eqn: -T over 2]

[eqn: T over 4 - tau]

[eqn: - T over 4 - tau]

[eqn: tau]

[eqn: R_xy (tau ) `][eqn: = 1 over T [ int _{- T over 2 } ^{- T over 4 } A_1 A_2 dt `][eqn: + int _{- T over 4 } ^{ - T over 4 + tau } - A_1 A_2 ``dt `]

[eqn: + int _{- T over 4 + tau } ^{ T over 4} A_1 A_2 `dt][eqn: + int _{ T over 4 } ^{ T over 4 + tau } - A_1 A_2 `dt]

[eqn: + int _{T over 4 + tau } ^{ T over 2} A_1 A_2 `dt ]]

[eqn: = { A_1 A_2 } over T [T + 4 tau ]`][eqn: = A_1 A_2 [1 + 4 over T tau ]`] :그림 6.22 (b)

(b) PLL(Phase Locked Loop)

(1) 입력 [eqn: x(t)`]와 VCO의 출력 [eqn: y(t)`]의 주파수가 같을때 해석

① 위상 검출기

㉠ [eqn: x(t)=A_1 cos omega_c t ``] , [eqn: ``y`(`t`)``=``A_2 cos omega_c (t+tau)``]일 때

※[eqn: x(t)``]는 무변조 FM신호이며 [eqn: y(t)]는 [eqn: x(t)``]보다 [eqn: omega_c tau``]만큼 위상차를 가짐

[eqn: v_c`(`t`)``=``[``A_1` A_2 `cos` omega_c t` cdot` cos` omega_c` (t+tau)`]_LPF]

[eqn: `=``{A_1 A_2}over{2}[`cos omega_c tau + cos(2 omega_c t ` `+` omega_ c `tau`)`]_LPF ``]

[eqn: ``=```{A_1 A_2} over 2 cos omega_c tau``]

[eqn: ``=`` R_xy (tau)``]

[eqn: = R_xy (theta) ``]  단 [eqn: theta= omega_c tau``]

※ [eqn: v_c (t)]의 해석  ←그림 6.22

․[eqn: tau``]가 [eqn: ± T over4 (theta = ± pi over 2 )``]의 홀수 배일 때 [eqn: v_c(t) = 0]

․[eqn: v_c`(`t`)` = 0]인 점을 null점이라 하며 이점 근방에서 선형적으로 변화

․ PLL의 나머지 부분을 null점 근방에서 동작하게 함

․[eqn: ``tau = T over 4 ±T ````````(theta = pi over 2 ±pi )```]인 점은 양의 기울기를 갖는 null점

․[eqn: tau = - T over 4 ±T][eqn: (theta = - pi over 2 ±pi )]인 점은 음의 기울기를 갖는 null점

㉡ [eqn: x(t) = A_1 cos [ omega _c t + theta_i (t)]``], [eqn: y(t)=A_2 sin [omega_c t + theta _f (t)] 일때]

※[eqn: x(t)]가 [eqn: phi _FM ``(`t`)]이면 [eqn: theta_i (t)`=` k_f ` INT ^{t}`f(tau) d tau`,`` [`omega_i (t) `=` k_f``f(t)]]

[eqn: v_c`(`t`)`` &=``[`A_1`A_2`cos` LEFT { w_c`t``+`` theta _i`(`t`)RIGHT }`` sin `LEFT { w_c`t``+`` theta _f`(`t`)RIGHT }]`_{L`P`F}`]

[eqn: =``{A_1`A_2}over2`[`sin` LEFT { theta_i`(`t`)``-``theta_f`(`t`)`RIGHT }][eqn: +``sin` LEFT { 2`w_c`t``+``theta_i`(`t`)``+``theta_f`(`t`)``RIGHT } ]_{L`P`F}]

[eqn: &=``{A_1`A_2}over2`sin`[` LEFT { theta_i`(`t`)``-``theta_f`(`t`)``RIGHT } ``]]

[eqn: k_c``=``{A_1`A_2}over2``]는 위상비교기의 이득으로 입력파형의 진폭에 비례

[eqn: v_c`(`t`)``=``k_c`sin`[theta_i`(`t`)``-``theta_f`(`t`)``]``]

※[eqn: v_c`(`t`)``]의 해석

[eqn: - piover2``<``theta_i`(`t`)``-``theta_f`(`t`)``<``piover2``]에서 동작하며 PLL의 나머지 부분은 [eqn: theta_i`(`t`)``-``theta_f`(`t`)``]가 0근방에서 동작하게 함

[eqn: k_c``]

[eqn: theta_i`(`t`)``-``theta_f`(`t`)``]

[eqn: -k_c``]

[eqn: v_c`(`t`)``]

․[eqn: theta_i`(`t`)``-``theta_f`(`t`)`` SIMEQ``0``]일 경우 [eqn: v_c`(`t`)``=``k_c`[theta_i`(`t`)``-``theta_f`(`t`)``]``]

② VCO

입력전압에 비례하게 주파수를 변화시켜 정현파를 만듬

㉠ 순시주파수

[eqn: ``omega _f` (`t`)`` =`` k_f`` v_o `(`t`)``]

여기서 [eqn: k_f``] : 비례상수고 VCO의 이득

㉡ 순시위상

[eqn: ``theta _f`` (` t` )``=``k_f` INT ^{`t` }``v_o `(`tau`) `d tau``]  ---(1)

㉢ VCO의 출력

[eqn: ```y (`t`)```= ``A_1 ``sin ``[`omega _c t`` +`` theta_f` (`t`)`]``]

③ loop filter

PLL의 동적 응답을 제어

[eqn: ``v_o`(`t`)`` =`` v_c (`t`)` *` h (`t`)``] or 식(1)로부터

[eqn: ``{`d` theta_f` (`t`)`}over{`d`t}`=k_f v _o (t)``]

[eqn: v_0 (t)= 1 over k_f`` {d `theta_f`` (`t`)`} over dt``]

여기서 phase lock이 되었을 경우 즉 [eqn: ``theta_i` (`t`)```=``` theta_f` (`t`)``]일 경우

[eqn: v_0 (t)= 1 over k_f`` {d `theta_i`` (`t`)`} over dt`` =` `1 over k_f` k_f` f`(`t`)``= f (`t`)``]

PLL의 Phase가 lock이 될 경우 [eqn: ```phi_FM (`t`)``]로부터 [eqn: ``f`(`t``)``]를 복원할 수 있다.

(2) 입력 [eqn: ``x`(`t`)````` 와 ````VCO``]의 출력 [eqn: ``y`(`t`)``]의 주파수가 다를 때 해석

※ 입력 [eqn: `x`(`t`)``]와 VCO의 출력 [eqn: ``y`(`t`)`]의 주파수 차가 loop 대역폭 B보다 적을 때 PLL을 쉽게 lock이 됨

※ 입력 [eqn: `x`(`t`)``]와 VCO의 출력 [eqn: ``y`(`t`)`]의 주파수 차가 loop 대역폭 B보다 클 때 (초기상태나 잡음에 의해 주파수차가 아주 커질 수 있음)

← VCO의 출력 주파수를 입력 주파수와 같게 하기위해 적당한 비율(=주파수 주사 율 : scan rate)로 sweep 함

① PLL sweep acquisition  ← 그림 6.23

② lock이 되었을 경우  [eqn: ``[ `theta _i` (`t`) ``=``theta _f` (`t`)``]``]

구적 위상 비교기 출력 : [eqn: cos [theta _i (t) - theta _f (t) ] ≒ cos 0 = 1``]

smoothing filter :[eqn: cos [theta _i (t) - theta _f (t) ]]의 값을 평균(1에 가까운 큰 값)

threshold 출력 : 아주 큰 값으로 설정

threshold 출력 값을 이용하여 sw를 loop filter에 연결

③ lock이 되지 않을 경우 ([eqn: ``theta _i` (`t`)````` 와 ``````theta _f` (`t`)``]의 차가 클 경우)

․구정 위상 비교기 출력 :[eqn: cos [theta _i (t) - theta _f`` (t) ]``≒ cos pi over 2 = 0]

․smoothing filter :[eqn: cos [theta _i (t) - theta _f (t) ]]의 평균(거의 0에 가까운 값)

․Threshold 출력 : 평균값에 따라 임계 값 설정하고 sw를 Ramp generator에 연결하고 임계 값에 따라 ramp generator 를 동작

㉠ 임계 값이 크면 scan rae는 빨라짐

㉡ 임계 값이 적으면 scan rate는 느려짐

㉢ 궁극적으로 [eqn: theta _][eqn: ``theta_i` (`t`)`` ``와 ````theta _f`` (`t`)```]를 같게 함

6.7.3 선형화된 PLL

(1) PLL

① 기능도

② 각 단의 출력

[eqn: x(t) = cos [omega_c t + theta_i (t)]`]

여기서

[eqn: theta_i (t) = k int^t f(tau) d tau `]

[eqn: y(t) = sin [omega_c t + theta_f `(t)]`]

[eqn: theta_f `(t) = k_f `int _0 ^t v_0 ( zeta ) d zeta] : VCO의 순시위상	(1)

여기서

[eqn: k_f `] : VCO의 이득 (=feed back 이득)

[eqn: v_c (t) = k_c sin [theta_i (t) - theta_f `(t)]]

여기서 [eqn: k_c `] : 위상 비교기의 이득

․[eqn: theta_i (t) - theta_f `(t)`] 아주 적을 때

[eqn: v_c (t) = k_c [theta_i (t) - theta_f `(t)]`] (위상 비교기의 선형화)   (2)

[eqn: v_0 (t) = v_c (t) * h(t)`]

[eqn: = 1 over k_f {d theta_f `(t)} over dt `]                              (3)

(2) 선형화된 PLL

① 식(1) (2) (3)을 Laplace 변화

[eqn: V_c (s) = k_c [theta_i (s) - theta_f `(s)]`]	(4)

[eqn: V_0 (s) = V_c (s) H(s)]	(5)

[eqn: theta_f (s) = k_f over s V_0 (s)`]	(6)

② 선형화된 PLL의 주파수 model

③ 선형화된 PLL의 시간 model

④ 입력 [eqn: theta_i (s)]에 대한 각단의 출력 비

[eqn: theta_f `(s) = k_c [ theta_i (s) -theta_f `(s) ] H(s) k_f over s `]

[eqn: [1+ {k_c k_f } over s H(s)] theta_f `(s) = {k_c k_f } over s H(s) theta_i (s)`]

[eqn: {theta_f `(s) } over {theta_i (s) }`][eqn: = {{k_c k_f ` H(s)} over s } over {1+ {k_c k_f ` H(s) } over s}`][eqn: = {k_c k_f ` H(s)} over {s+k_c k_f ` H(s)}`]	(7)

[eqn: E(s) over {theta_i (s) }`][eqn: = { theta_i (s) - theta_f `(s)} over {theta_i (s)}`][eqn: = 1- {theta_f `(s)} over {theta_i (s)}`][eqn: = 1- {k_c k_f H(s)} over {s+ k_c k_f `H(s)}`]

[eqn: = s over { s+ k_c k_f ` H(s)}`]                                (8)

[eqn: V_0 (s) = k_c [theta_i (s) - theta_f `(s)] H(s)`]이므로

[eqn: {V_o (s)} over {theta_i (s)}`][eqn: =k_c [1- {theta_f `(s)} over {theta_i (s)}] H(s)`]	(9)

식(7)을 식(9)에 대입

[eqn: {V_o (s)} over {theta_i (s)} = k_c [1- {k_c k_f H(s)} over {s+ k_c k_f ` H(s)}] H(s)`]

[eqn: = {k_c s H(s)} over {s+ k_c k_f `H(s)}]  ← 전달함수                 (10)

(3) 선형화된 PLL의 loop filter의 전달함수 H(s)의 결정

(a) 1-차 PLL [eqn: [H(s)= 1 ~ 일때]`]

식(10)에 [eqn: H(s)=1`]을 대입

[eqn: {V_o (s)} over {theta_i (s)} = {k_c s} over {s+ k_c k_f }`]	(11)

① [eqn: theta_i (t) =1`]([eqn: theta_i (s) = 1 over s `]) 일 때

식 (11)에 [eqn: theta_i (s) = 1 over s `]를 대입하면

[eqn: V_o (s) = k_c over {s+ k_c k_f} `](1차 시스템과 같으므로 1차 loop라 함)

㉠ -3dB 주파수

[eqn: omega_ -3dB = k_c k_f `]

㉡ 고주파 성분의 감쇠를 막기 위한 변조신호의 대역폭 W

W < [eqn: k_c k_f `]

② [eqn: theta_i (t) = omega t `] ([eqn: theta_i (s)= omega over s^2 `]) 일 때

㉠ [eqn: v_o (t)`]계산

식(11)에 [eqn: theta_i (s)= omega over s^2 `]를 대입하면

[eqn: v_o (s) = k_c over { s(s+k_c k_f )}`]

[eqn: v_o (t) = omega over k_f [1-e^{1-k_c k_f t }] u(t)`]

[eqn: v_0 (inf) = omega over k_f `]

㉡ [eqn: e(t)`]의 계산

식(8)에 H(s)=1, [eqn: theta_i (s)= omega over s^2 `]를 대입

[eqn: E (s) = omega over {s (s+k_c k_f )}`]

[eqn: e(t)= omega over {k_c k_f } [1- e^{-k_c k_f }] u(t)`]

[eqn: e(inf ) = omega over {k_c k_f }`]

※[eqn: theta_i (t) = omega t `]일 경우 loop gain [eqn: k_c k_f `]가 크면 [eqn: e(t)`]를 0으로  할 수 있지만 신호대역폭 [eqn: W `< `k_c k_f]이므로 [eqn: k_c k_f `]가 커지면 대역폭이 커진다. 따라서 H(s)=1인 1계 PLL은 사용되지 못함

(b) 2계 PLL(조절 가능한 [eqn: tau_1 , ``tau_2]에 대하여 [eqn: H(s) = {s tau_2 + 1} over {s tau_1} `] 일 경우)

식(10)에 [eqn: H(s) = {s tau_2 + 1} over {s tau_1} `]을 대입하면

[eqn: {v_o (s)} over {theta_i (s)}][eqn: = {k_c s {s tau_2 +1} over {s tau_1 }} over {s+k_c k_f {s tau_2 +1 } over {s tau_1}}`][eqn: = {k_c s (s tau_2 +1)} over {s^2 tau_1 + k_c k_f (s tau_2 +1 )}`]

[eqn: = {k_c s (s tau_2 +1 )} over {tau_1 (s^2 + {k_c k_f tau_2 } over {tau_1`} s + {k_c k_f }over {tau_1})}`]

여기서

[eqn: omega_n = sqrt {{k_c k_f } over tau_1}`]

[eqn: zeta = {omega_n tau_2} over 2 `] : damping 계수

[eqn: {v_o (s) } over {theta_i (s)} = {k_c s (s tau_2 + 1 )} over {tau_1 ( s^2 + 2 zeta omega_n s + omega_n ^2 )}`]	(12)

① [eqn: theta_i (t) = 1`]([eqn: theta_i (s)= 1 over s `])일 때

[eqn: v_o (s) = {k_c (s tau_2 +1 )} over {tau_1 (s^2 + 2 zeta omega_n s + omega_n ^2 )}`] (2계 PLL)

㉠ [eqn: zeta`]는 임계 damping ([eqn: zeta=1`])보다 약간 적게 함으로서 빠른 응답을 얻을 수 있다.

[eqn: 1 over 2 `< `zeta `<`1]    ∴[eqn: tau = 1 over sqrt 2 = 0.707`]

㉡ -3 dB 주파수

[eqn: omega_ -3dB `=(1 + sqrt {2} zeta ) omega_n]    for [eqn: 1 over 2 < zeta < 1 `]

㉢ 변조대역 폭 [eqn: W ``<``2 omega_n zeta`]

② [eqn: theta_i (t) = omega t `] ([eqn: theta_i (s) = omega over s^2 `]) 일 때

㉠ [eqn: v_o (t)`]계산

식(12)에 [eqn: theta_i (s) = omega over s^2 `]를 대입하면

[eqn: v_o (s ) = {k_c omega }over {tau_1}{ s tau_2 + 1} over { s(s^2 + 2 zeta omega_n s + omega_n ^2 )}`]

따라서 [eqn: zeta ^2`]< 1 일 경우

[eqn: v_o (t) = omega over k_f [1- 1 over sqrt{1- zeta^2 } e^{- zeta omega_n t } cos (omega_n sqrt{1- zeta^2 } t + phi )] u(t)`]

여기서 [eqn: phi = tan^-1 ( zeta over sqrt{1-zeta^2 } )`]

[eqn: v_o (inf ) = omega over k_f `]

㉡ [eqn: e(t)`] 계산

식 (8)에 [eqn: H(s) = {s tau_2 + 1} over {s tau_1}`]를 대입하면

[eqn: E(s) over {theta_i (s)}`][eqn: = s over {s + k_c k_f {s tau_2 + 1} over {s tau_1 }}`][eqn: = {s^2 tau_1} over {s^2 tau_1 + k_c k_f (s tau_2 +1 )}`]

[eqn: = s^2 over {s^2 + {k_c k_f tau_2 } over {tau_1 } s + {k_c k_f } over tau_1 `}]

[eqn: = s^2 over {s^2 + 2 zeta omega_n s + omega_ n ^2 }`]

위 식에 [eqn: theta _i (s) = omega over s^2 `]를 대입하면

[eqn: E(s)= omega over{s^2 + 2 zeta omega_n s + omega_n ^2 }`]

따라서 [eqn: zeta^2 `]< 1 일 경우

[eqn: e(t) = omega over {omega_n sqrt{1- zeta^2 }} e^{-zeta omega_n t } sin (omega_n sqrt{1-zeta^2 } t ) u(t)`]

[eqn: e(inf) = 0 `]

※[eqn: theta _i (t) = omega t `]일 때 [eqn: v_o (inf) = omega over k_f `]을 가지며 [eqn: e(inf ) = 0]이므로 loop filter의 주파수 특성 [eqn: H(s) = {s tau_2 + 1} over {s tau_1 }]이면 FM신호를 검파할 수 있음

6.8  FM 수신기에서의 신호대잡음비

(1) FM 수신기의 Block Diagram

※ limiter가 이상적이면 진폭변이를 제거할 수 있음

(2) 수신기의 출력의 평균 신호 전력

① 변별기 입력 신호

[eqn: s_i `(`t`)``=``A`cos `theta (t`)``=`` A`cos[w_c `t``+``k_f `integral` f`(`x`)`d`x`]`]

② 수신기 출력 신호

입력 신호 [eqn: s_i `(`t`)`]의 순시 위상을 미분하여 LPF를 통과시킴

[eqn: s_o (`t`)``=[`{d theta (`t`)`}over{d`t`}`]_{L`P`F`}``=``[w_c `+` k_f `f`(`t`)`]_{L`P`F}``=``k_f f(`t`)`]

③ 수신기 출력 신호 전력

[eqn: S_o ``=``bar {s_o^2 (t`)}``=``k_f^2 bar{f`(`t`)^2}`]                                 (1)

※ [eqn: f`(`t`)``=``a`cos`w_m `t] 일 때 출력 신호 전력

[eqn: S_o ``=`` k_f^2` a^2 `bar{cos^2 `w_m `t}``=``{k_f^2` a^2}over{2}``=``{DELTA `w^2}over{2}`]               (2)

(3) 수신기 출력의 평균 잡음 전력

① 변별기 입력 잡음

[eqn: n_i `(`t`)``=`` Re[`n_i (t) e ^ {j omega_c t}``] = R`e`[n_c `(`t`)`` + ``j `n_s`(`t`)` ]`e^{j`w_c `t}`]

[eqn: =``n_c (`t`)` cosw_c `t ``-``n_s `(`t`)`sinw_c `t`]

② 변별기에 수신된 신호

무변조시 변별기 입력에 수신된 신호 [eqn: r`(`t`)`]는

[eqn: gamma`(`t`)``]

[eqn: n_c`(`t`)``]

[eqn: A``]

[eqn: n_i `(t)`]

[eqn: n_s`(`t`)``]

[eqn: r`(`t`)``]

[eqn: &``n _c (`t`)~`` :~`` 동위상 ``잡음``성분 ## &``n _s (`t`) ~`` :~`` 구적`` 잡음``성분``]

[eqn: r`(`t`)``=`` A` cos` omega _c `t`` +`` n _i` (`t`)``]

[eqn: =``[`A`+`n_c `(`t`)`]`cosw_c` t``-``n_s `(`t)` sinw_c `t`]

[eqn: =``sqrt{[`A`+`n_c `(`t`)`]^2 ``+`` n_s^2`(`t`)`} cos[w_c `t` `+`` r`(`t`)`]`]

[eqn: r`(`t`)``=``A`cosw_c `t ``+``n_i `(`t`)`]

[eqn: =``A`cosw_c` t ``+`` n_c` (`t`)`cosw_c` t``-``n_s(`t`)`sinw_c `t`]

여기서

[eqn: gamma``(`t`)``=``t`a`n^{-`1} {n_s `(`t`)`}over{A`+`n_c `(`t`)`}`]

[eqn: A`` >> `n_c `(`t`)`], [eqn: A`` >> `n_s `(`t`)`]

[eqn: r(t)=tan^{-1} {n_s (t)}over{A} CONG {n_s (t)}over{A}] : 순시 잡음 위상

③ 수신기 출력의 잡음

수신기 출력의 잡음 [eqn: n_o `(`t`)`]는 순시 잡음 위상 [eqn: r`(`t`)`]를 미분하여 LPF를 통과시킴

[eqn: n_o `(`t`)``=``[`{d `r`(`t`)`}over{d`t}]_{L`P`F}``=``{1}over{A}`[{d` n_s `(`t`)`}over{d`t`}]_{L`P`F`}]

④ 수신기 출력의 잡음 밀도 spectrum

㉠ 잡음 [eqn: n_o `(`t`)`]의 Fourier Transform

[eqn: N_o `(`w`)``=``[`{j`w`}over{A} `N_s `(`w`)`]_{L`P`F`}`]                         (3)

㉡ [eqn: n_o `(`t`)`]의 전력 밀도 스펙트럼

[eqn: S_n_o` (`w`)``=``{w^2}over{A^2}`[S_n_s `(`w`)`]_{`L`P`F`}`]                        (4)

여기서

[eqn: [S_n_s `(`w`)`]_{LPF}``=``[S_n`(`w`-`w_c `)` +`S_n`(`w`+`w_c `)`]_{L`P`F`}`]

․[eqn: `w_m]으로 대역 제한된 백색 잡음의 전력 밀도 Spectrum  [eqn: S_n`(`w`)``=``{ eta }over{2}`]이므로

[eqn: [`S_n_s `(`w`)`]_{L`P`F}``=``eta`]                                (5)

․식(5)를 식(4)에 대입하면

[eqn: S_n_o `(`w`)``=``{eta}over{A^2}` w^2`]     [eqn: -w_m ``<< ``w ``<< ``w_m`]

⑤ 수신기 출력의 평균 잡음 전력

[eqn: N_o`` =``bar{n_o^2 `(`t`)`}``=``{1}over{2` pi`} INT _{-inf }^{+inf } S_n_o` (`w`)`d`w`]

[eqn: =``{1}over{2 `pi} int_{-w_m}^{w_m}`{eta}over{A^2}`w^2`d`w`]

[eqn: =``{eta}over{pi `A^2}`int_{0}^{w_m}w^2`d`w`][eqn: =`{eta}over{3 `pi` A^2} `[`w^3 ```] _{0 }^{omega_m }]

[eqn: =``{eta}over{3` pi` A^2}`w_m^3`]                                (5)

※ 무 변조 반송파 [eqn: A`cos`w_c `t`]의 평균 전력 [eqn: S_c ``=``A^2 `/`2`]이므로  잡음전력은 반송파 전력에 반비례

(4) 수신기 출력의 신호대잡음비

식 (1)과 식 (5)로부터 FM 신호의 신호대잡음비

[eqn: ({S_o}over{N_o})_{F`M}``=``{3`pi`A^2 k_f^2}over{eta` w_m^3}`bar{f^2 `(`t`)`}`]

㉠ 변조 신호 [eqn: f`(`t`)``=``a`cosw_m `t`]일 때 신호대잡음비

[eqn: ({S_o}over{N_o})_{F`M}``=``{3`pi`A^2 `k_f^2` a^2}over{eta` w_m^3} bar{cos^2` w_m `t}`]

[eqn: =``{3`pi`A^2 `k_f^2` a^2}over{2`eta` w_m^3}`][eqn: =``{3`pi`A^2 ` DELTA w^2`}over{2`eta` w_m^3}`]

[eqn: =``{3`pi`A^2 `beta^2`}over{2`eta` w_m}`] [eqn: (` BECAUSE ```beta``=``{DELTAw}over{w_m}``)`]              (6)

※ 변조 지수 [eqn: beta]가 증가하면 신호대잡음비 [eqn: S_o ``/`` N_o`]는 향상됨

㉡ 신호대잡음비를 반송파 전력으로 표현

반송파 전력 [eqn: S_c`` =`` A^2 `/`2`]이므로 식(6)으로부터

[eqn: ({S_o}over{N_o})_FM``=``{3 `pi` beta^2}over{eta `w_m}`S_c`]                                 (7)

(5) FM과 AM의 신호대잡음비 비교

① 반송파에 대한 AM 신호의 신호대잡음비

㉠ 반송파의 신호대잡음비

․ 반송파의 전력

[eqn: S_c ``=`` A^2 `bar{cos^2 `w_c `t}``=``{A^2}over{2}`]

․ 반송파의 잡음 전력

[eqn: N_c ``=``bar{n_i^2 (t)}``=``bar{n_c^2 (t)}`]

[eqn: {S_c}over{N_c}``=``{1}over{2}`{A^2}over{bar{n_c^2` (`t`)`}}`]                               (8)

㉡ 출력에서의 신호대잡음비

[eqn: S_o ``=`` bar{f^2 `(``t`)`}`]

[eqn: N_o`` =``bar{n_c^2 `(`t`)`}``]

[eqn: {S_o}over{N_o}``=``{bar{f^2 `(`t`)`}}over{bar{n_c^2 `(`t`)`}}`]                                   (9)

식 (8)을 식 (9)에 대입

[eqn: {S_o}over{N_o}``=``{2`bar{f^2 `(`t`)`}}over{A^2} ``{S_c}over{N_c}`]

㉢ [eqn: f`(`t`)``=``m`A`cosw_m `t`]일 때

[eqn: {S_o}over{N_o}``=``m^2`{S_c}over{N_c}`]

여기서   변조지수 m=1일 때

[eqn: {S_o}over{N_o}``=``{S_c}over{N_c}`]                                      (10)

㉣ 반송파 잡음 [eqn: n_i `(`t`)`]가 백색 잡음일 경우 반송파 잡음 전력

․백색잡음 [eqn: n_i `(`t`)`]의 전력 밀도 Spectrum

[eqn: S_n_i `(`w`)``=``{eta}over{2}`] , [eqn: w_c `-` w_m`` <`` w ``< ``w_c ``+`` w_m`]

[eqn: omega_c - omega_m]

[eqn: omega_c]

[eqn: omega_c + omega_m]

[eqn: eta over 2]

․백색잡음 [eqn: n_i `(`t`)`]의 반송파 잡음 전력

[eqn: N_c ``=`` {1}over{2 pi}`int_{-inf}^{inf}{eta}over{2}`d`w`][eqn: =``{1}over{pi}`int_{0}^{inf}{eta}over{2}`d`w`]

[eqn: =``{1}over{pi}`int_{w_c `-` w_m}^{w_c` + `w_m}{eta}over{2}`d`w`][eqn: =``{ eta `w_m}over{pi}`]               (11)

㉤ AM신호의 신호대잡음비

식 (11)을 식 (10)에 대입하면

[eqn: (`S_o overN_o`)_AM``=``pi over{ eta `w_m}`S_c``]                            (12)

② FM과 AM의 신호대잡음비

[eqn: (`S_o overN_o`)_FM``=``3`beta^2`(`S_o overN_o`)_AM``]                            (13)

③ 식(13)을 만족하기 위한 과정

㉠ FM에서 [eqn: A`>>`n_c `(`t`)`],[eqn: A`>>`n_s `(`t`)`] (반송파보다 잡음이 극히 적다고 가정)

㉡ AM에서 변조지수 [eqn: m `=` 1] (변조효과 100%로 가정)

④ FM과 AM의 신호대잡음비 해석(식(13)의 해석)

㉠ [eqn: beta]가 커지면 FM은 AM보다 신호대잡음비가 [eqn: 3`beta^2``]배(noise quieting)만큼 향상

㉡ [eqn: beta]가 커지면 FM의 대역폭 [eqn: 2 `beta` w_m`]은 증가

◀예▶ [eqn: beta``=``5`]일 때 신호대잡음비는 AM보다 [eqn: 3`beta^2``=``7`5`]배 향상되지만 대역폭은 8배정도 커짐(이론적으로는 5배)

㉢ FM이 AM보다 신호대잡음비가 향상되기 위한 조건

[eqn: 3`beta^2``>``1`]

[eqn: beta``>``{1}over{sqrt3}``=``0.5`7`7`]

※ [eqn: beta``=``0.5`7`7`]은 WBFM과 NBFM을 기준이 되는 값이므로 NBFM은 AM보다 신호대잡음비가 향상되지 않음

㉣ FM에서 대역폭이 증가하면 잡음 전력도 증가하므로 식 (13)은 무한정 하게 성립되지 못함

㉤ FM 입력단의 잡음 전력이 커지면 잡음에 의한 위상 변화가 일어나므로 시스템 성능이 저하

◀예제 6.8.1▶  PM과 AM의 신호대잡음비 비교

(1) PM일 경우 수신기의 신호대잡음비

① 신호 전력

[eqn: S_i `(`t`)``=``A`c`o`s`[`w_c `t ``+`` k_p `f`(`t`)`]`]

[eqn: S_o` (`t`)``=``[`theta `(`t`)`]_{L`P`F`}``=``k_p `f`(`t`)`]

[eqn: S_o ``= ``k_p^2 ``bar{f^2 `(`t`)}`]

② 잡음 전력

㉠ 변조기 입력 신호

[eqn: r`(`t`)``=``A`cos`w_c t ``+``n_i `(`t`)`]

[eqn: =``A`cosw_c `t ``+`` n_c `(`t`)`cosw_c `t``-``n_s `(`t`)`sinw_c `t`]

[eqn: =``sqrt{[`A``+``n_c `(`t`)`]^2 ``+`` n_s^2 `(`t`)`}cos[w_c `t`` +`` r`(`t`)`]`]

여기서

[eqn: gamma`(`t`)``=``t`a`n^{-1}``{n_s (t)}over{A`+`n_c `(`t`)}`]

[eqn: A``>>``n_c `(`t`)`],[eqn: A``>>``n_s `(`t`)`]일 경우

[eqn: r`(`t`)``=``t`a`n^{-1}`{n_s `(`t`)`}over{A} ``CONG`` {n_s`(`t`)`}over{A}`]

㉡ 출력 잡음 전력

[eqn: n_o `(`t`)``=``r`(`t`)``=``{n_s `(`t`)`}over{A}`]

[eqn: N_o `(`w`)``=``{1}over{A}`N_s`(`w`)`] 이므로

[eqn: S_n_o `(`w`)``=``{1}over{A^2}`S_n_s `(`w`)`]

[eqn: ={1}over{A^2}`[S_n (w``-``w_c `)``+``S_n (w``+``w_c `) ]`]

여기서  [eqn: Sn`(`w`)``=``{eta}over{2}`]이므로

[eqn: S_n_o `(`w`)``=``{eta}over{A^2}`]

[eqn: N_o ``=`` bar{n_o^2 `(`t`)`}][eqn: =``{1}over{2pi}`int_{-inf}^{+inf}S_n_o `(`w`)`d`w`]

[eqn: =``{1}over{pi}`int_{0}^{w_m}`{eta}over{A^2}`d`w`][eqn: =``{eta}over{pi `A^2}`w_m`]

[eqn: (`{S_o}over{N_o}`)_{P`M}``=``{S_o}over{N_o}`][eqn: =``k_p^2 ``bar{f^2` (`t`)`}` times{pi` A^2}over{eta `w_m}`][eqn: =``pi` A^2 {k_p^2` bar{f^2 `(`t`)`}}over{eta `w_m}`]

[eqn: f`(`t`)``=``a`cos`w_m `t`]일 때 [eqn: bar{f^2 `(`t`)`}``=``{a^2}over{2}`]이므로

[eqn: (`{S_o}over{N_o}`)_{PM}``=``{pi` A^2` k_p^2` a^2}over{2`eta `w_m}`(`DELTA `theta`)^2`]

(2) AM신호의 신호대잡음비

[eqn: (`{S_o}over{N_o}`)_{AM}``=``{pi}over{eta` w_m}`S_c``=``{pi` A^2}over{2` eta` w_m}`]

(3) PM의 신호대잡음비를 AM으로 표시

[eqn: (`{S_o}over{N_o}`)_{P`M}``=``(`DELTA `theta`)^2`(`{S_o}over{N_o}`)_{`A`M`}`]

PM에서 [eqn: DELTA `theta`]는 변조지수이므로 FM에서 [eqn: beta]와 같다. 따라서 PM에서의 신호대잡음비는 FM의 신호대잡음비와 유사

6.9  FM의 threshold

(1) 무변조시 변조기 출력 잡음

① 복조기에 수신된 신호

[eqn: r`(t`)``=``A`cos`w_c`t``+``n(`t`)``]

[eqn: =``A`cos`w_c`t``+``n_c`(`t`)`cos`w_c`t``-``n_s`(`t`)`sin`w_c`t]

[eqn: =``[`A``+``n_c`(`t`)`]`cos`w_c`t``-``n_s`(`t`)`sin`w_c`t]

② 복조기에 수신된 신호의 phasor도

[eqn: gamma`(`t`)``]

[eqn: n_c`(`t`)``]

[eqn: A``]

[eqn: n`(`t`)``]

[eqn: n_s`(`t`)``]

[eqn: r`(`t`)``]

③ 복조된 신호의 순시위상

[eqn: gamma`(`t`)``=``tan^-1``{n_s`(`t`)}over{A``+``n_c`(`t`)}]

④ 복조기 출력잡음

[eqn: n_o`(`t`)``=``{d`gamma`(`t`)}over{d`t}``=``d over{d`t}``[tan^-1``{n_s`(`t`)}over {A``+``n_c`(`t`)}]]

[eqn: A``>>``n`(`t`)``]이면

[eqn: n_o`(`t`)``=``d over {d`t}``[{n_s`(`t`)}overA`]] 이므로

[eqn: (`S_o overN_o`)`_FM``=``3`beta^2``(`S_o overN_o`)`_AM] 이 성립

⑤ [eqn: A`` SIMEQ ``n`(`t`)``]일 경우 ← 그림 6.29

㉠ FM의 잡음 위상 [eqn: gamma`(`t`)``]가 0에서 [eqn: 2`pi``]로 변화하면 잡음[eqn: n_o`(`t`)``]의 면적 [eqn: 2`pi``]

㉡ FM의 잡음 위상 [eqn: gamma`(`t`)``]가 0에서 [eqn: -2`pi``]로 변화하면 잡음[eqn: n_o`(`t`)``]의 면적 [eqn: -2`pi``]

※ ㉠㉡에 의해 발생하는 잡음을 spike 잡음 또는 click 잡음

㉢ 입력에서의 신호대잡음비가 약간 감소하면 출력의 신호대잡음비는 급격히 감소하므로 click 잡음은 그대로 지속됨. 이러한 효과를 Threshold 효과라 함

(2) Threshold 효과를 제거하기 위한 신호대잡음비 - 그림 6.30

① [eqn: beta``]값에 대한 신호대잡음비의 의존성은 적다

◀예▶ [eqn: beta``=``1``]일 때 입력의 신호대잡음비 [eqn: (`S overN`)_c``=``4`d`B``]

[eqn: beta``=``5``]일 때 입력의 신호대잡음비 [eqn: (`S overN`)_c``=``7`d`B``]

[eqn: beta``=``10``]일 때 입력의 신호대잡음비 [eqn: (`S overN`)_c``=``9`d`B``]

② Threshold 영향을 받지 않기 위한 입력의 신호대잡음비는 [eqn: beta``]가 큰 경우 10dB이상

◀예제 6.9.1▶

[eqn: P_s``+``P_n``]

FM수신기 [eqn: 210^o`K]

신호발생기

[eqn: 290^o`K]

Tester

300Ω

[eqn: e_s`(`t`)``+``n`(`t`)``]

(a) 완전한 quieting을 얻기 위한 tester의 최소 신호크기

① FM수신기의 허용 잡음 전력

[eqn: P_n``&=``K`T`B``=``(`1.38` TIMES `10^-23`)` TIMES `(`290^o`K``+``210^o`K`) times `180`㎑]

[eqn: =``1.24` TIMES `10^-15`[`W`a`t`t`]]

② threshold 값이 10dB일 경우 tester의 전력

[eqn: P_S over P_N``=``10``]

[eqn: P_S``=``10`P_N``=``1.24` TIMES `10^-15` TIMES `10``=``1.24` TIMES `10^-14``[`W`a`t`t`]``]

[eqn: bar{e_s^2`(`t`)`}``=``P_S`R``=``[`1.24` TIMES `10^-14`]`300]

[eqn: root{bar{e_s^2`(`t`)`}}``=``1.93` mu V``]

(b) 신호발생기

[eqn: P_tau``=``10` TIMES `(`1.38` TIMES `10^-23`)`290^o`K` TIMES `180`㎑``-``7.20` TIMES `10^-15``[`Watt]]

6.10 Deemphasis를 사용한 신호대잡음비 개선

(1) FM에서 preemphasis와 deemphasis를 해야 하는 이유

① 음성이나 음악 신호의 대부분의 에너지는 저주파에 존재

② FM 복조기 출력의 잡음 전력 밀도 함수는 주파수의 제곱에 비례

③ 따라서 잡음전력 밀도함수가 가장 큰 영역(고주파영역)에서 신호전력 밀도 함수가 가장 적어 신호대 잡음비가 적어짐

④ 고주파 영역의 신호대잡음비를 향상시키기 위해 송신기에서 고 주파 영역을 preemphasis 하고 수신기에서 deemphasis 함

(2) preemphasis와 deemphasis의 선택

① 고주파 성분이 너무 강조되면 [eqn: beta`]값이 적어지지 않는 한 FM 신호의 대역폭이 증가

② preemphasis의 선택은 FM 신호의 검파 후 잡음이 백색잡음이 되도록 선택

③ FM 신호 검파기 출력의 잡음밀도 spectrum은 주파수의 제곱에 비례하므로 preemphasis의 전달함수(고주파 영역) [eqn: H`(`w`)``=``j`w`]

[eqn: &|H (omega ) | ## &i`n ```dB]

[eqn: &|H (omega ) | ## &i`n ```dB]

[eqn: omega_1 =1/R C]

0

[eqn: omega_1 =1/R_1 C ## omega_2 = 1/ R_p C]

0

[eqn: omega]

[eqn: omega]

[eqn: omega_1]

[eqn: omega_1]

[eqn: omega_2]

C

C

[eqn: R_2]

[eqn: R]

[eqn: R_1]

그림 6. 31

그림 6. 32

[eqn: omega]

[eqn: S_n_o (omega)]

Before deemphasis

After deemphasis

0

(3) preemphasis와 deemphasis

① FM 복조기 출력의 잡음밀도 spectrum

[eqn: S_{n_o}`(`w`)``=``{eta` w^2}over{A^2}`]

② Deemphasis의 주파수 전달함수

[eqn: H`(`w`)``=``{1}over{1`+`j`{w}over{w_1}}`]

③ deemphasis의 출력 잡음 전력

[eqn: N_o '``=``{1}over{pi}`int_0^w_m S_n_0 (`w`)` |`H`(`w`)`|^2`` d`w`]

[eqn: =``{eta}over{pi` A^2} `int_0^w_m {w^2}over{1``+``(`{w}over{w_1}`)^2}``d`w`]

④ 복조기의 잡음 전력

[eqn: N_o``=``{eta}over{pi A^2}`int_0^w_m ``w^2`` d`w`]

⑤ 개선지수

[eqn: GAMMA ``=``{N_o}over{N_o '}``=``{1}over{3}`{(`{w_m}over{w_1}`)^2}over{{w_m}over{w_1}``-``tan^{-1} {w_m}over{w_1}}`]

㉠ [eqn: GAMMA`]의 graph → 그림 6.33

㉡ [eqn: f_1``=``2`.`1`]㎑, [eqn: f_m``=``1`5`1`]㎑ 일 때 [eqn: Gamma ``SIMEQ`` 1`3 d`b`]