◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형 / ‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 써 넣으시오.

◦ 답안지에 성명과 수험 번호를 써 넣고, 또 수험번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

고 2	수리 영역 (가형)

	수리 영역 (가형)	고 2

8

2008학년도 10월 고2 학업성취도평가 문제지

수리 영역 (가형)

성명			수험번호						2

제 2 교시

1. [eqn: root {5} of {2 ^{4}} ÷` root {10} of {2 ^{3}} `]의 값은? [[eqn: 2`]점]

① [eqn: 1]       ② [eqn: sqrt2]       ③ [eqn: 2]       ④ [eqn: 2 sqrt {2} `]       ⑤ [eqn: 4]

2. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{`1``````&2`#`2``````&3`}`], [eqn: B= pmatrix{`1``````&-1`#`2``````&-2`}`]에 대하여 [eqn: AB-A`]의 모든 성분의 합은? [[eqn: 2`]점]

① [eqn: -10]       ② [eqn: -8]     ③ [eqn: -6]      ④ [eqn: -4]      ⑤ [eqn: -2]

3. 공비가 실수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{2} =6`,```a _{5} =162`]일 때, [eqn: a _{4} `]의 값은? [[eqn: 2`]점]

① [eqn: 54]        ② [eqn: 56]       ③ [eqn: 58]       ④ [eqn: 60]       ⑤ [eqn: 62]

4. [eqn: lim _{n -> INF } {{sqrt{n ^{2} +2n-1} -n}over {3}}]의 값은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: {1} over {5}]          ② [eqn: {1} over {3}]        ③ [eqn: 1]         ④ [eqn: 3]        ⑤ [eqn: 5]

5. [eqn: log _{4} root {3} of {81} + {1} over {log _{3} root {4} of {8}} `]의 값은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 1]      ② [eqn: log `_2 `3`]      ③ [eqn: 2]       ④ [eqn: 3`]       ⑤ [eqn: 2log `_2 `3`]

6. 실수 [eqn: a`,```b`]에 대하여 연산 [eqn: ◎`]을 [eqn: a◎b`=`a-2b+1`]이라 정의하자. 이차정사각행렬 [eqn: A`]의 [eqn: LEFT ( `i`,```j` RIGHT ) `]성분 [eqn: a _{ij} `]가 [eqn: a _{ij} `=i◎j`]일 때, 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: -2]       ② [eqn: - 1]        ③ [eqn: 0]       ④ [eqn: 1]       ⑤ [eqn: 2]

7. [eqn: lim _{n -> INF } {{4 ^{n+1} -3 ^{n+1} +5} over {2 ^{2n+3} +3 ^{n}}} `]의 값은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: {1} over {16}]        ② [eqn: {1} over {8}]       ③ [eqn: {1} over {4}]        ④ [eqn: {1} over {2}]       ⑤ [eqn: 1]

8. 그림과 같이  안의 [eqn: 9]개의 수가 화살표 방향으로 등차수열을 이루고 있다.  안의 모든 수의 합이 [eqn: 162]일 때, [eqn: B`]의 값은?

[[eqn: 3`]점]

[eqn: A]	➡	[eqn: 2B]	➡	[eqn: 5C]
				□
[eqn: 11C]	□	[eqn: 6B]	□	[eqn: 7A]
□
[eqn: 13A]	➡	[eqn: 10B]	➡	[eqn: 17C]

① [eqn: 1]         ② [eqn: 2]         ③ [eqn: 3]          ④ [eqn: 4]         ⑤ [eqn: 5]

9. 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }`]을 다음과 같이 정의한다.

	(가) [eqn: a _{n}`]은 [eqn: [``log`` _{2} ``x``]`=`n`]을 만족하는 정수 [eqn: x`]의 개수 (나) [eqn: b _{n}`]은 [eqn: [``log`` _{3} ``x``]`=`n-1`]을 만족하는 정수 [eqn: x`]의 개수

이 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n}} over {b _{n}}`]의 값은? (단, [eqn: [``x``]`]는 [eqn: x`]를 넘지 않는 최대 정수)

[[eqn: 3`]점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: 3 over {2 }]        ③ [eqn: 2]        ④ [eqn: { 5} over { 2}]        ⑤ [eqn: 3]

10. [eqn: x`,```y`]에 대한 연립방정식 [eqn: pmatrix{2 ^{a} -8````&```````2 ^{b-1} -12#4&`````-2} pmatrix{`x`#`y`} = pmatrix{`0`#`0`} `]이 [eqn: x=y=0`]이외의 해를 가질 때, [eqn: a+b`]의 최댓값은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 5`]        ② [eqn: 6]         ③ [eqn: 7]         ④ [eqn: 8]         ⑤ [eqn: 9]

11. 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4`]점]

		<보 기>
	ㄱ. 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 수렴하면 수열 [eqn: left{ `{{a _{n}} over {b _{n}}`right}]도 수렴한다. ㄴ. 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (-1) ^{n} a _{n}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =0]이다. ㄷ. 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}`]이 발산하면 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n}`]도 발산한다.

① ㄱ                  ② ㄴ                  ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ               ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12. 그림과 같이 [eqn: y=|`ax+b`|`]의 그래프와 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: 32`]이고, 직선 [eqn: y=k`]와 만나는 점이 각각 [eqn: {rm `A} it _{k} `,``` {rm `B} it _{k} `]이다. [eqn: sum _{ k=1} ^{ 10} bar {rm `A it rm _k rm `B it rm _k }=110`]일 때, 상수 [eqn: a`,```b`]에 대하여

[eqn: a^2 + b^2 `]의 값은? [[eqn: 4`]점]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: y=|`ax+b`|`]

[eqn: rmO]

[eqn: k`]

[eqn: {rm A }_ k`]

[eqn: {rm B }_ k`]

[eqn: 32]

① [eqn: 63]        ② [eqn: 64]        ③ [eqn: 65]        ④ [eqn: 66]        ⑤ [eqn: 67]

13. 그림과 같이 자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: y=x`]위에 점 [eqn: rm A it rm _{0} `,``` rm A it rm _{1} `,``` rm A it rm _{2} `,``` rm A it rm _{3``} `,`` CDOTS ``,`` rm A it rm _{n} `, `CDOTS`]이 있다.

[eqn: bar{rm A it rm _{1} rm B it rm _{2} it} `,``` rm bar{rm A it rm _{2} rm B it rm _{3} it rm} `,``` rm bar{rm A it rm _{3} rm B it rm _{4} it rm} `,``CDOTS ``,` ``bar{rm A it rm _{n} rm B it rm _{n+1} it rm}`,`` CDOTS`]이 [eqn: x`]축과 평행하고, 삼각형 [eqn: rm A it rm _{n+1} rm A it rm _{n} rm ` rm B it rm _{n+1}]의 넓이가 삼각형 [eqn: rm A it rm _{n} rm A it rm _{n-1} rm ` rm B it rm _{n}`]의 넓이의 [eqn: 1 over 4`]이고 두 삼각형이 닮음이 되도록 점 [eqn: rm B it rm _{1} `,``` rm B it rm _{2} `,``` rm B it rm _{3``} `,`` CDOTS ``,`` rm B it rm _{n} `,`` CDOTS`]을 잡는다. [eqn: rm A it rm _{1} `LEFT ( 4`,```4 RIGHT ) `], [eqn: rm B it rm _{1} LEFT ( 2`,```0 RIGHT ) `]일 때, 삼각형 [eqn: rm A it rm _{n} rm A it rm _{n-1} rm ` rm B it rm _{n}`]의 무게중심의 좌표가 [eqn: LEFT ( alpha `,``` beta RIGHT ) `]로 수렴한다. [eqn: alpha +` beta `]의 값은?

(단, [eqn: rm A it rm _{0} `]는 원점) [[eqn: 4`]점]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: y=x`]

[eqn: rmO(=A_0 )]

[eqn: {rm A }_1`(4`,```4)]

[eqn: {rm A }_2`]

[eqn: {rm A }_3`]

[eqn: {rm B }_1`(2`,```0)]

[eqn: {rm B }_2`]

[eqn: {rm B }_3`]

① [eqn: 12]       ② [eqn: 13]       ③ [eqn: 14]       ④ [eqn: 15]       ⑤ [eqn: 16]

14. 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: {1+2 ^{2} +3 ^{3} +` CDOTS` +n ^{n}} over {(n+1) ^{n}} <1`]

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

	<증명> (i) [eqn: n=1] 일 때, (좌변) [eqn: =`] < [eqn: 1] [eqn: =`](우변) 이므로 (가) 성립한다. (ii) [eqn: n=k] 일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면 [eqn: {1+2 ^{2} +3 ^{3} + ``CDOTS`` +k ^{k}} over {(k+1) ^{k}} <1] 이므로 [eqn: {1+2 ^{2} +3 ^{3} + ``CDOTS`` +k ^{k}} < {(k+1) ^{k}`]이다. 이 때, (나) [eqn: {1+2 ^{2} +3 ^{3} + CDOTS +k ^{k} +`````````````````````````} over {(k+2) ^{k+1}} < {(k+1) ^{k} +`````````````````````````} over {(k+2) ^{k+1}}] (나) [eqn: =`] < [eqn: 1] (다) 그러므로 [eqn: n=k+1] 일 때도 성립한다. 따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [[eqn: 3`]점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: (k+1) ^{k+1}]	[eqn: left( {k+1} over {k+2} right) ^{k}]
②	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: (k+1) ^{k+1}]	[eqn: left( {k+1} over {k+2} right) ^{k+1}]
③	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: (k+1) ^{k}]	[eqn: left( {k+1} over {k+2} right) ^{k+1}]
④	[eqn: {3} over {4}]	[eqn: (k+2) ^{k}]	[eqn: left( {k+1} over {k+2} right) ^{k}]
⑤	[eqn: {3} over {4}]	[eqn: (k+1) ^{k+1}]	[eqn: left( {k+1} over {k+2} right) ^{k}]

15. 그림과 같이 자연수 [eqn: n`]에 대하여 가로, 세로의 길이가 각    각 [eqn: 3n`,```2n`]인 직사각형 [eqn: rm ABCD`]안에 서로 외접하는 두 개의 원 [eqn: {rm O} _{n}` ,```{rmO} _{n} prime `]이 있다. 원 [eqn: {rmO} _{n}`]은 [eqn: bar{rm AD}` ,``` bar{rmCD}`]에 접하고, 원 [eqn: {rmO} _{n} prime `]은 [eqn: bar{rm AB} `,``` bar{rmBC}`]에 접한다. [eqn: bar{{rm O} _{n} {rm O} _{n} prime }`]의 길이를 [eqn: l _{n}`]이라 할 때,

[eqn: lim _{n` ->` INF } {{l _{n} -5n} over {n+1}}`]의 값은? [[eqn: 4`]점]

[eqn: {rm C}]

[eqn: {rm O }_n`]

[eqn: 3n`]

[eqn: {rm D}]

[eqn: {rm B}]

[eqn: {rm A}]

[eqn: 2n`]

[eqn: {rm O }_n '`]

① [eqn: -2 sqrt {3}]                ② [eqn: -2]                ③ [eqn: -sqrt {3}]

④ [eqn: -`1]                    ⑤ [eqn: -{sqrt {3}} over {2}]

16. 방정식 [eqn: LEFT | ``log _{2} x`` RIGHT | =ax+b`]의 세 실근이 공비가 [eqn: 2]인 등비수열을 이룰 때, [eqn: b`]의 값은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: - 1 over 2]                   ② [eqn: - 1 over 3]                 ③ [eqn: - 1 over 4]

④ [eqn: - 1 over 5]                   ⑤ [eqn: - 1 over 6]

17. 행렬 [eqn: A= pmatrix{0&```-1#1&`````````a}`, ```E= pmatrix { 1&````0 #0 &````1 }`]에 대하여 [eqn: A^3 = E`]일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4`]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: a=-1`] ㄴ. 행렬 [eqn: A]의 역행렬은 [eqn: -A`-E] 이다. ㄷ. 행렬 [eqn: (A^2 +E`) ^{10}]의 모든 성분의 합은 [eqn: -1] 이다.

① ㄱ                  ② ㄷ                  ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ               ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. 다음은 어느 신문기사의 일부이다.

	[eqn: 2008`]년 [eqn: 10`]월 [eqn: 1`]일 프랑스에서 열린 기자회견에서 러시아의 [eqn: A`]가스회사 사장은 국제유가가 앞으로 몇 개월 내에 [eqn: 2`]배 이상 오를 것이란 전망을 내 놓았다. <중략> 이에 따라 대체에너지 개발에 성공했으나 생산단가가 높은 것이 단점으로 지적되고 있어서 [eqn: A`]가스회사는 국제유가가 현재의 [eqn: 2`]배 이상이 되었을 때 대체에너지를 상용화한다고 발표하였다.

국제유가가 전월대비 매월 [eqn: 5`]%씩 상승한다고 할 때, 위 기사에 따라 [eqn: A`]가스회사가 대체에너지를 처음으로 상용화할 때는 몇 개월 후인가? (단, [eqn: log`2=0.30`], [eqn: log`1.05=0.02`]) [[eqn: 4`]점]

① [eqn: 30`]개월            ② [eqn: 25`]개월            ③ [eqn: 20`]개월

④ [eqn: 15`]개월             ⑤ [eqn: 10`]개월

19. 함수 [eqn: f(x)=[[log`x]-log`x]`]에 대하여
방정식 [eqn: f(x)- a x=0`]([eqn: -1<a<0`])의 실근이 존재하지 않도록 하는 모든 [eqn: a`]의 값들의 합은? (단, [eqn: [``x``]`]는 [eqn: x`]를 넘지 않는 최대 정수) [[eqn: 4`]점]

① [eqn: - 1 over 9]     ② [eqn: - 1 over 8]     ③ [eqn: - 1 over 7]     ④ [eqn: - 1 over 6]     ⑤ [eqn: - 1 over 5]

20. 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =9`]위의 서로 다른 두 점 [eqn: rm A it (a`,```b)`,``` rm B it (c`,```d)`]에 대하여 행렬 [eqn: M= pmatrix{`a&`````b`#`c&`````d`} `]의 역행렬이 존재하지 않을 때, 원 위의 임의의 점 [eqn: rm C`]에 대하여 [eqn: rm TRIANGLE ABC`]의 무게중심이 그리는 도형의 길이는? [[eqn: 4`]점]

① [eqn: pi over 2]                   ② [eqn: pi]                ③ [eqn: 3 over 2 pi]

④ [eqn: `2 pi]                   ⑤ [eqn: 5 over 2 pi]

21. 좌표평면에서 삼각형을 이루는 세 점 [eqn: rm A`,```B`,```C`]에 대하여 임의의 점 [eqn: rmP _{0}`]의 점 [eqn: rmA`]에 대한 대칭점을 [eqn: rmP _{1}`], [eqn: rmP _{1}`]의 점 [eqn: rmB`]에 대한 대칭점을 [eqn: rmP _{2}`], [eqn: rmP _{2}`]의 점 [eqn: rmC`]에 대한 대칭점을 [eqn: rmP _{3}`], [eqn: rmP _{3}`]의 점 [eqn: rmA`]에 대한 대칭점을 [eqn: rmP _{4}`]라 하자. 이와 같은 방법으로 세 점 [eqn: rm A`,```B`,```C`]에 대하여 차례로 대칭이동하는 점 [eqn: {rmP} _{i}`]가 있다고 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 점 [eqn: {rmP} _{i} `]는 [eqn: rm A`,```B`,```C`]가 아니고 [eqn: i`]는 음이 아닌 정수[eqn: )] [[eqn: 4`]점]

		<보 기>
	ㄱ. 점 [eqn: rmP _{0}`]와 점 [eqn: rmP _{6}`]의 좌표는 같다. ㄴ. [eqn: BAR {rm P _{18} P_19}`]의 중점은 점 [eqn: rmC`]이다. ㄷ. [eqn: bar{{rmP} _{1} {rmP} _{5}} `=` bar{{rmP} _{6m+1} {rmP} _{6n-1}}] (단, [eqn: m`,```n`]은 자연수[eqn: )]

① ㄱ                  ② ㄴ                  ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ               ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: {rm O}]

[eqn: {rm A}]

[eqn: {rm B}]

[eqn: {rm C}]

[eqn: {rm P}_0]

[eqn: {rm P}_1]

[eqn: {rm P}_2]

[eqn: {rm P}_3]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

단답형(22 ~ 30)

22. [eqn: 2 ^{log _{sqrt {2}} 5} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

23. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{`1``````&2`#`3``````&4`}`], [eqn: B= pmatrix{`-2``````&3`#````````8``````&2`}`]에 대하여
[eqn: AX=BX+E`]를 만족하는 행렬 [eqn: X`]의 모든 성분의 합을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

24. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여
부등식 [eqn: LEFT ( 4 ^{a} +8 RIGHT ) x+ {1} over {2} <3`․`2 ^{a+1} `x+log _{2} ``a`]가 성립할 때, [eqn: 10a`]의 값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

25. [eqn: x`]에 대한 연립부등식 [eqn: cases{2 ^{x} >3#3 ^{x} <a} `]의 정수해가 [eqn: 2`]개일 때, [eqn: a`]의 최댓값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

26. 그림과 같이 길이가 [eqn: 1]인 선분 [eqn: rmOA]를 반지름으로 하는 사분원 위에 점 [eqn: {rmP} _{i}}`]([eqn: i=1`,```2`,```3`, ``CDOTS`,`` 89])를 [eqn: ANGLE {rm P} it _{i} rm O it rm A it =i DEG `]가 되도록 잡는다. 점 [eqn: {rmP} _{i}}`]에서 선분 [eqn: {rm OA it}]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm H} _i`]라 하자.

이 때, [eqn: 2sum _{i=1} ^{89} bar{{rm P} it _{i} {rm H}_i it} ``` +sum _{i=1} ^{89} {bar{{{rm P} it _{i} rm A it} } }^{2} ``]의 값을 구하시오. [[eqn: 4`]점]

[eqn: rmO]

[eqn: rmA]

[eqn: {rmH}_i]

[eqn: {rmP} _ i]

[eqn: i DEG]

27. [eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: 3ax ^{3} -9bx ^{2} +11cx-18a=0]의 서로 다른 세 실근이 [eqn: a,~b,~c`]이다. [eqn: a`,```b`,```c`]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: a^2 +b^2 +c^2 `]의 값을 구하시오. [[eqn: 4`]점]

28. 그림과 같이 일정한 규칙에 따라 마름모의 변의 길이를 늘려가면서 수를 배열하려고 한다. 각 마름모 안의 수들의 합을 각각 [eqn: a _{1} `,```a _{2} `,```a _{3} `,``` CDOTS `,```a _{n} `,`` CDOTS] 이라 할 때, [eqn: a _{7}`]의 값을 구하시오.

[[eqn: 3`]점]

[eqn: a_1 = 1]

[eqn: a_2 = 13]

[eqn: a_n]

[eqn: a_3 = 53]

29. 정수 부분이 두 자리인 서로 다른 두 실수 [eqn: x`,```y`]에 대하여 [eqn: log```x`,```log```y`]의 가수의 역수가 각각 정수이고 [eqn: {x ^{4}} over {y ^{2}} `=1000`]을 만족할 때, [eqn: 20`log```xy`]의 값을 구하시오. [[eqn: 4`]점]

30. 자연수 [eqn: n`]을 작은 것부터 [eqn: n`]개씩 차례로 나열한 수열 [eqn: 1`,```2`,```2`,```3`,```3`,```3`,```4`,``` CDOTS `]이 있다.

이 수열의 순서대로 숫자가 하나씩 적혀있는 카드를 처음부터 차례대로 한 번씩 확인하여 카드에 적혀있는 수가 홀수이면 [eqn: 3`]분만큼, 짝수이면 [eqn: 2`]분만큼 시계방향으로 시계의 분침을 이어 돌린다.

[eqn: 12`]시 정각인 시계의 분침을 위와 같은 방법으로 [eqn: 210`]번째 카드까지 확인하고 돌렸을 때, 시계가 가리키고 있는 시각은 [eqn: a`]시 [eqn: b`]분이다. 이 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]는 자연수이고 [eqn: 0 <= b<60`]) [[eqn: 4`]점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.