나 형	수리 영역

	수리 영역	나 형

나    형

제 2 교시

1

성명

수험 번호

8

2009학년도 대학수학능력시험 10월 모의평가 문제지

수리 영역

[eqn: 3 ^{{2} over {3}} TIMES 27 ^{{1} over {9}} +log _{2} `8``]의 값은? [2점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

행렬 [eqn: A= pmatrix{``1&``2``#``0&``1``}] , [eqn: B= pmatrix{``3&``0``#``2&``1``}]에 대하여 행렬 [eqn: A+AB``]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

[eqn: lim _{n -> INF } {{n+3} over {sqrt {4n ^{2} +1}}]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

[eqn: x=`2 ^{{1} over {2}} -`2 ^{- {1} over {2}}] 일 때, [eqn: (x+ sqrt {x ^{2} +4} ) ` ^{2} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

[eqn: log`a`]의 지표가 [eqn: 5]이고, [eqn: log`a`]의 가수와 [eqn: log sqrt {a} `]의 가수의 합이 [eqn: {3} over {4} ``]일 때, [eqn: log`a`]의 값은? [3점]

① [eqn: {31} over {6}]	② [eqn: {16} over {3}]	③ [eqn: {11} over {2}]	④ [eqn: {17} over {3}]	⑤ [eqn: {35} over {6}]

다음 <보기>의 무한급수 중 수렴하는 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {n-1} over {2n+1}] ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( - {1} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{n}] ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {sqrt {n+1} + sqrt {n}}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

아래의 그림은 함수 [eqn: y=2^x`]의 그래프이다.  곡선 위의 두 점 [eqn: rm A(itn`,``2 ^{n} ),```rmB``(itn+2`,``2 ^{n+2} )] 각각에서 [eqn: x]축과 [eqn: y]축에 내린 수선의 발이 [eqn: rm C,D]와 [eqn: rm E,`F]이다. 그리고 선분 [eqn: rm DA it]의 연장선과 선분 [eqn: rm BE it]의 교점을 [eqn: rm G], 선분 [eqn: {rm CA it}]의 연장선과 선분 [eqn: {rm FB it}]의 교점을 [eqn: rm H]라 하자.

사각형 [eqn: rm DOCA]의 넓이와 사각형 [eqn: rm HAGB]의 넓이가 같을 때, 자연수 [eqn: n``]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

학생 5명이 1박 2일로 체험활동을 갔다. 5명의 학생들이       빈 방이 없도록 서로 다른 3개의 방에 투숙하는 방법의 수는? [3점]

① [eqn: 90]	② [eqn: 110]	③ [eqn: 130]	④ [eqn: 150]	⑤ [eqn: 170]

아래와 같이 주어진 5개의 자료에서 크기가 2인 표본을 복원 추출할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``} ``]의 분산은? [3점]

[eqn: 1,````````````````````3,``````````````````5,``````````````````7,````````````````9]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

오른쪽 그림은 로그함수 [eqn: y=log _{b} `ax] 의 그래프 개형이다.
로그함수 [eqn: y=log _{a} `bx]의 그래프 개형으로 옳은 것은? (단, [eqn: a>0], [eqn: a != 1], [eqn: b>0], [eqn: b != 1]인 실수) [3점]

①	②

③	④
⑤

박테리아의 수가 두 배로 늘어나는 데 걸리는 시간을 ‘배증시간’이라 한다. 어느 박테리아의 배증시간은 냉장 보관할 경우 12시간이라고 한다. 냉장 보관된 이 박테리아의 수가 최초 박테리아 수의 20,000배 이상 되려면 적어도 며칠이 경과해야 하는가? (단, [eqn: log``2=0.3]) [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

단위행렬이 아닌 이차 정사각행렬 [eqn: A]가 [eqn: A ^{2} -A`=`O``]을 만족할 때, 다음 <보기> 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?      (단, [eqn: E``]는 단위행렬, [eqn: O``]는 영행렬이다.) [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: A]는 항상 역행렬이 존재하지 않는다. ㄴ. [eqn: A+E~]의 역행렬은 [eqn: - {1} over {2} A+E] 이다. ㄷ. [eqn: -1]과 [eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: A`+`kE``]는 항상 역행렬이 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 1+ {1} over {sqrt {2}} + {1} over {sqrt {3}} +` CDOTS `+ {1} over {sqrt {n}} >] 이 성립함을 증명하는 과정이다.

<증명>

위의 그림과 같이 [eqn: bar{rm AB it} = sqrt {k} ,```` bar{rm BC it} = sqrt {k-1}], [eqn: bar{rm AC it} =1,` ANGLE rm C=90 DEG]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC]에서 점 [eqn: rm C]로부터 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm D]라 하고 [eqn: bar{rmBC} = bar{rmBE}]가 되도록 선분 [eqn: rm AB]위에 점 [eqn: rmE]를 정하자.
이 때, [eqn: bar{rm AD it} =]  , [eqn: bar{rm AE it} =``] 이고
[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: k]에 대하여  >  이므로
[eqn: sum _{k=2} ^{n}] >[eqn: sum _{k=2} ^{n}] 이다.  따라서, [eqn: 1+ {1} over {sqrt {2}} + {1} over {sqrt {3}} +` CDOTS `+ {1} over {sqrt {n}} >][eqn: 1+ sum _{k=2} ^{n}] [eqn: =`] 이므로 [eqn: 1+ {1} over {sqrt {2}} + {1} over {sqrt {3}} +` CDOTS `+ {1} over {sqrt {n}} >]  가 성립한다.

(가)

(나)

(가)

(나)

(가)

(나)

(나)

(다)

(다)

(다)

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은? [4점]

(가)                (나)              (다)

①   [eqn: {sqrt {k-1}} over {sqrt {k}}]          [eqn: sqrt {k} -1]           [eqn: sqrt {n+1}]

②   [eqn: {sqrt {k-1}} over {sqrt {k}}]        [eqn: sqrt {k} - sqrt {k-1}]        [eqn: sqrt {n+1}]

③    [eqn: {1} over {sqrt {k}}]            [eqn: sqrt {k} -1]             [eqn: sqrt {n}]

④    [eqn: {1} over {sqrt {k}}]          [eqn: sqrt {k} - sqrt {k-1}]         [eqn: sqrt {n}]

⑤    [eqn: {1} over {sqrt {k}}]	[eqn: sqrt {k} - sqrt {k-1}]       [eqn: sqrt {n-1}]

다음과 같이 정사각형에 대각선을 각각 하나씩 그어      [도형 1]과 [도형 2]를 만든다.

[도형 1]과 [도형 2]를 번갈아 가며 계속 붙여 아래 그림과 같은 도형을 만든다. 그림과 같이 처음으로 붙여지는 [도형 1]의 왼쪽 아래 꼭짓점을 [eqn: RMP`]라 하고, [도형 1]의 개수와 [도형 2]의 개수를 합하여 [eqn: n]개 붙여 만든 도형에서 가장 오른쪽 대각선의 끝점을  [eqn: rm A _{itn}]이라고 하자.

지나온 선분으로 되돌아 갈 수 없고, 오른쪽 또는 위 아래, 대각선으로만 움직인다. 꼭짓점 [eqn: RMP]에서 [eqn: RMA _{1} `,`A _{2} `,`A _{3} `,` CDOTS `,`A _{ITn-1}]을 순서대로 모두 거쳐서 [eqn: RMA _{ITn}]까지 도착하는 경로의 수를 [eqn: a _{n}]이라고 할 때, [eqn: a _{5}]의 값은? [4점]

① [eqn: 124]	② [eqn: 134]	③ [eqn: 144]	④ [eqn: 154]	⑤ [eqn: 164]

자연수 24의 양의 약수들 중 서로 다른 세 수를 택했을 때,    그 합이 3의 배수일 확률은? [4점]

① [eqn: {5} over {14}]	② [eqn: {3} over {7}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {4} over {7}]	⑤ [eqn: {9} over {14}]

수렴하는 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,` LEFT { b _{n} RIGHT }] [eqn: (n=1,`2,`3,` CDOTS )]의 항들 사이에
[eqn: a _{n+1} = {a _{n} +b _{n}} over {2} ,``````b _{n+1} = sqrt {a _{n} b _{n}}}] 이 성립한다. 다음 <보기>의 설명 중에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: 0<a _{1} <b _{1}] ) [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a _{n+1} >b _{n+1}] [eqn: (n=1,`2,`3,` CDOTS )] ㄴ. [eqn: {a _{n+1}} over {b _{n+1}} = {1} over {2} LEFT ( sqrt {{a _{n}} over {b _{n}}} + sqrt {{b _{n}} over {a _{n}}} RIGHT )] [eqn: (n=1,`2,`3,` CDOTS )] ㄷ. [eqn: lim _{n -> INF } {`a _{n} =`} lim _{n -> INF } {`b _{n}}]

① ㄷ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어떤 놀이 기구는 길이가 [eqn: 10m]인 [eqn: rm bar{AB}]를 지름으로 하는 반원 모양의 호를 따라 다음 <규칙>에 의해 움직이도록 만들어졌다.

	<규 칙>
먼저, [그림 1]에서와 같이 반원에서 중심 [eqn: rmO]로부터 지면과 수직인 방향에 위치한 [eqn: rmC] 지점에서 [eqn: rm B] 방향으로 [eqn: 10 DEG]만큼 움직여 [eqn: rm P _{1}]지점에 도달한 후, 방향을 바꾸어 [eqn: rm A] 방향으로 [eqn: 20 DEG]만큼 움직여 [eqn: rm P _{2}]지점에 도달한다. 이와 같이 방향을 바꾸면서 직전보다 [eqn: 10 DEG]씩 증가하는 움직임을 반복하여 [eqn: rmB] 지점까지 도달한다. 다음으로, [그림 2]에서와 같이 동작 규칙이 바뀌어 B 지점으로부터 [eqn: rmA] 방향으로 호 [eqn: rm arch{``BA``} `]길이의 [eqn: {9} over {10}]만큼 움직여 [eqn: rm Q _{1}]에 도달한 후, 방향을 바꾸어 호 [eqn: rm arch{```Q _{1} B```}]길이의 의 [eqn: {9} over {10}]만큼 움직여 [eqn: rm Q _{2}]에 도달한다. 이와 같이 방향을 바꾸면서 직전 운동거리의 [eqn: {9} over {10}]만큼 움직임을 계속하여 반복한다.

이와 같이 [eqn: rm C] 지점을 출발한 놀이 기구가 호를 따라 한없이 계속하여 움직일 때, 움직인 거리의 총합은? [4점]

① [eqn: 87.5` pi ``(m)]	② [eqn: 90` pi ``(m)]	③ [eqn: 92.5` pi ``(m)]

④ [eqn: 95 pi ``(m)]	⑤ [eqn: 97.5` pi ``(m)]

단 답 형

세 수 [eqn: 1-a,````10,````2+2a``]가 이 순서로 등차수열을 이룰 때,
[eqn: a]의 값을 구하시오. [3점]

로그부등식 [eqn: (log _{2}`` x) ^{2} -log _{2}`` x ^{6} `+`5`<`0] 을 만족하는 자연수 [eqn: x]의 개수를 구하시오. [3점]

행렬 [eqn: A]의 [eqn: (i,`j)]성분 [eqn: a _{ij}] 가                                 [eqn: a _{ij} = cases{i+2j````&(i >= j)#3&(i<j)}]  (단, [eqn: i=1,`2] 이고 [eqn: j=1,`2])로 정의될 때, 행렬 [eqn: A] 의 모든 성분의 합을 구하시오.  [3점]

5지선다형 문항 50개가 있다. 모든 문항 각각에 대하여 답을 임의로 하나씩만 택할 때, 맞힌 문항의 개수를 확률변수 [eqn: X] 라 하자. 이 때, [eqn: X ^{2}] 의 평균을 구하시오. (단, 각 문항의 정답은 1개이다.) [3점]

두 지수함수 [eqn: y=2 ^{x}], [eqn: y=- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} + {5} over {2} `]의 그래프가 서로 다른 두 점 [eqn: rm A,```B] 에서 만난다. 선분 [eqn: rm {AB}]의 중점의 좌표가 [eqn: LEFT ( a,``b RIGHT )] 일 때, [eqn: 20(a+b)] 의 값을 구하시오. [4점]

모양과 크기가 같은 두 장의 플라스틱 카드가 있다. 한 장은 노란색과 파란색 면으로 되어 있고, 다른 한 장은 양쪽 면 모두 노란색이다. 두 카드 중에 한 장을 임의로 뽑아 두 번 던져 모두 노란색이 나왔을 때, 이 카드가 양쪽 면이 다른 색인 카드일 확률을 [eqn: p] 라 하자. 이 때, [eqn: 100`p] 의 값을 구하시오. (단, 카드를 던졌을 때 각 면이 나올 확률은 [eqn: {1} over {2}]로 같다.) [4점]

좌표평면에서 직선 [eqn: y=2x``]위의 점들 중 제 1사분면에 있는 격자점을 원점 [eqn: rmO``]에 가까운 쪽부터 [eqn: rmA _{1} ,``A _{2} ,``A _{3`} ,` CDOTS `]라 하고, [eqn: y`=` {1} over {2} x``]위의 점들 중 제 1사분면에 있는 격자점을 원점 [eqn: rmO``]에 가까운 쪽부터 [eqn: rmB _{1} ,``B _{2} ,`B _{3} ,` CDOTS] 이라 하자.
삼각형 [eqn: rmOA _{itk} B _{itk} ``]의 넓이를 [eqn: S _{itk} ``(itk=1,`2,`3,` CDOTS )] 라 하고,  [eqn: alpha = lim _{n -> INF } {{S _{1} +S _{2} +S _{3} +` CDOTS `+S _{n}} over {n ^{3}} ``}] 일 때, [eqn: 60` alpha] 의 값을 구하시오. (단, 격자점이란 [eqn: x]좌표, [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점을 뜻한다.) [4점]

[eqn: n]명의 사람을 [eqn: r]개의 조로 나누고, 각 조의 구성원들로       원순열을 만들 때 나올 수 있는 경우의 수를 [eqn: rm G`( it n,`r)] 로      정의하자. (단, 각 조의 구성원은 적어도 2명 이상이다.)
예를 들어 [eqn: rm G`(4,``2)]은 [eqn: 4]명을 [eqn: 2]개의 조로 나누고 각 조의         구성원들로 원순열을 만드는 방법의 수로, 4명을 [eqn: rm A,``B,``C,``D]라   할 때, 다음의 [eqn: 3]가지이다.

이 때, [eqn: rm G`(6,``2)]의 값을 구하시오. [4점]

5 지 선 다 형

세 순환소수 [eqn: 0. dot{1}], [eqn: 0.0 dot{a}], [eqn: 0.00 dot{9}] 가 이 순서로 등비수열을      이룰 때, 한 자리 자연수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

한 개의 주사위를 5번 던질 때, 소수가 3번 나올 확률은? [3점]

① [eqn: {1} over {16}]	② [eqn: {1} over {8}]	③ [eqn: {3} over {16}]	④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {16}]

하나의 동전을 5번 던져서 앞면이 나온 횟수만큼 크기와 모양이 같은 검정색 바둑알을 정오각형 모양의 나무판 꼭짓점 위에 하나씩 놓는다. 바둑알이 놓인 나무판을 회전시켜 같은 모양이면 같은 경우로 볼 때, 만들어질 수 있는 모양의 가지 수는? (단, 모두 뒷면이 나오는 경우는 제외한다.) [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

<표준정규분포표>
[eqn: z]	[eqn: rmP(0<=itZ<=z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]
[eqn: 3.0]	[eqn: 0.4987]

한 개의 주사위를 던져 6의 눈이 나오면 [eqn: 900]원의 이익을 얻고, 그 이외의 눈이 나오면 [eqn: 100]원의 손해를 보는 게임이 있다. 이 게임을 [eqn: 180]회 시행했을 때, 당첨금으로 [eqn: 22,000]원 이상을 받게 될 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하면? [4점]

① [eqn: 0.1587]	② [eqn: 0.0668]	③ [eqn: 0.0456]

④ [eqn: 0.0292]	⑤ [eqn: 0.0228]

단 답 형

좌표평면에서 직선 [eqn: x+y= sqrt {2}] 위에 동점 [eqn: rm A( it p,`q)]와
원 [eqn: (x-10 sqrt {2} ) ^{2} +(y-10 sqrt {2} ) ^{2} =16] 위에 동점 [eqn: rm B( it r,`s)]가 있다. 행렬 [eqn: pmatrix{`p&`q#`r&`s`}] 의 역행렬이 존재하지 않도록 하는 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]에 대하여 선분 [eqn: rm AB] 길이의 최솟값을 구하시오. [4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.