◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형 / ‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

2008학년도 10월 고2 학업성취도평가 문제지

수리 영역 (나형)

성명			수험번호						2

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 써 넣으시오.

◦ 답안지에 성명과 수험 번호를 써 넣고, 또 수험번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

고 2	수리 영역 (나형)

	수리 영역 (나형)	고 2

8

제 2 교시

1. [eqn: root {5} of {2 ^{4}} ÷` root {10} of {2 ^{3}} `]의 값은? [[eqn: 2`]점]

① [eqn: 1]       ② [eqn: sqrt2]       ③ [eqn: 2]       ④ [eqn: 2 sqrt {2} `]       ⑤ [eqn: 4]

2. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{`1``````&2`#`2``````&3`}`], [eqn: B= pmatrix{`1``````&-1`#`2``````&-2`}`]에 대하여 [eqn: AB-A`]의 모든 성분의 합은? [[eqn: 2`]점]

① [eqn: -10]       ② [eqn: -8]     ③ [eqn: -6]      ④ [eqn: -4]      ⑤ [eqn: -2]

3. 공비가 실수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{2} =6`,```a _{5} =162`]일 때, [eqn: a _{4} `]의 값은? [[eqn: 2`]점]

① [eqn: 54]        ② [eqn: 56]       ③ [eqn: 58]       ④ [eqn: 60]       ⑤ [eqn: 62]

4. [eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의 두 실근 [eqn: alpha `,``` beta `]에 대하여 [eqn: ( sqrt {alpha } + sqrt {beta } ) ^{2```} =`-5-2 sqrt {3} `]일 때, [eqn: a+b`]의 값은?

(단, [eqn: a`,```b`]는 유리수) [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 5]         ② [eqn: 6]         ③ [eqn: 7]        ④ [eqn: 8]        ⑤ [eqn: 9]

5. [eqn: log _{4} root {3} of {81} + {1} over {log _{3} root {4} of {8}} `]의 값은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 1]      ② [eqn: log `_2 `3`]      ③ [eqn: 2]       ④ [eqn: 3`]       ⑤ [eqn: 2log `_2 `3`]

6. 실수 [eqn: a`,```b`]에 대하여 연산 [eqn: ◎`]을 [eqn: a◎b`=`a-2b+1`]이라 정의하자. 이차정사각행렬 [eqn: A`]의 [eqn: LEFT ( `i`,```j` RIGHT ) `]성분 [eqn: a _{ij} `]가 [eqn: a _{ij} `=i◎j`]일 때, 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: -2]       ② [eqn: - 1]        ③ [eqn: 0]       ④ [eqn: 1]       ⑤ [eqn: 2]

7. 이차정사각행렬 [eqn: A=pmatrix{it``k+1`````&1#``-1`````````&k-2``}`]에 대하여 [eqn: x`,```y`] 에 대한 연립방정식 [eqn: A` pmatrix{it ``x-2``#``y-2``} = pmatrix{`x-2`#`y-2`} `]가 [eqn: x=y=2`]이외의 해를 갖도록 하는 모든 상수 [eqn: k`]의 값들의 합은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: 2]        ③ [eqn: 3]        ④ [eqn: 4]        ⑤ [eqn: 5]

8. 그림과 같이  안의 [eqn: 9]개의 수가 화살표 방향으로 등차수열을 이루고 있다.  안의 모든 수의 합이 [eqn: 162]일 때, [eqn: B`]의 값은?

[[eqn: 3`]점]

[eqn: A]	➡	[eqn: 2B]	➡	[eqn: 5C]
				□
[eqn: 11C]	□	[eqn: 6B]	□	[eqn: 7A]
□
[eqn: 13A]	➡	[eqn: 10B]	➡	[eqn: 17C]

① [eqn: 1]         ② [eqn: 2]         ③ [eqn: 3]          ④ [eqn: 4]         ⑤ [eqn: 5]

9. 행렬 [eqn: A =pmatrix{x+y&```````-2x`#y&`````-x-y`}`]가 [eqn: 9 A^-1 =A`]를 만족할 때, [eqn: x-y`]의 최댓값과 최솟값의 곱은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: -18]       ② [eqn: -9]       ③ [eqn: 0]        ④ [eqn: 9]        ⑤ [eqn: 18]

10. 서로 다른 실수 [eqn: a`,```b`,```c`]에 대하여
이차부등식 [eqn: ax ^{2} +bx+c>0`]의 해가 [eqn: alpha <x< beta `]라고 할 때,
이차부등식 [eqn: cx ^{2} +bx+a<0`]의 해는? (단, [eqn: alpha `,``` beta `]는 양수) [[eqn: 3`]점]

① [eqn: alpha <x< beta `]                 ② [eqn: x< 1 over beta] 또는 [eqn: x> 1 over alpha]

③ [eqn: {1} over {beta } <x< {1} over {alpha } `]                ④ [eqn: - 1 over alpha <x< - 1 over beta `]

⑤ [eqn: x< - 1 over alpha] 또는 [eqn: x> - 1 over beta]

11. 이차정사각행렬 [eqn: A= pmatrix{it ``````1`````&0``#``-1````````&2``}`]에 대하여
[eqn: A+3A ^{2} +5A ^{3} +` CDOTS `+39A ^{20} `]의 모든 성분의 합은? [[eqn: 4`]점]

① [eqn: 400]      ② [eqn: 500]       ③ [eqn: 600]       ④ [eqn: 700]      ⑤ [eqn: 800]

12. 그림과 같이 [eqn: y=|`ax+b`|`]의 그래프와 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: 32`]이고, 직선 [eqn: y=k`]와 만나는 점이 각각 [eqn: {rm `A} it _{k} `,``` {rm `B} it _{k} `]이다. [eqn: sum _{ k=1} ^{ 10} bar {rm `A it rm _k rm `B it rm _k }=110`]일 때, 상수 [eqn: a`,```b`]에 대하여

[eqn: a^2 + b^2 `]의 값은? [[eqn: 4`]점]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: y=|`ax+b`|`]

[eqn: rmO]

[eqn: k`]

[eqn: {rm A }_ k`]

[eqn: {rm B }_ k`]

[eqn: 32]

① [eqn: 63]        ② [eqn: 64]        ③ [eqn: 65]        ④ [eqn: 66]        ⑤ [eqn: 67]

13. 두 개의 물통 [eqn: A`,```B`]에 각각 [eqn: a _{0} ` rm`], [eqn: b` rm _{0}`]의 물이 담겨 있다. 먼저 물통 [eqn: A`]에서 물통 [eqn: B`]로 [eqn: b` rm _{0}`]만큼 물을 옮겨 부었을 때, 물통 [eqn: A`,```B`]에 남아있는 물의 양을 각각 [eqn: a _{1}`,``` b _{1} `]이라 하자. 다시 물통 [eqn: B`]에서 물통 [eqn: A`]로 [eqn: a` rm _{1}`]만큼 물을 옮겨 부었을 때, 물통 [eqn: A`,```B`]에 남아있는 물의 양을 각각 [eqn: a _{2}`,``` b _{2} `]라 하자. 이와 같은 방법으로 물을 섞어 나갈 수 있을 때, [eqn: n`]번 시행 후 물통 [eqn: A`,```B`]에 남아있는 물의 양을 각각 [eqn: a _{n}`,``` b _{n} `]이라 하자. 이 때, [eqn: a _{n}`,``` b _{n} `]과 [eqn: a _{n-1}`,``` b _{n-1} `]의 관계를 행렬 [eqn: X _{n} `]을 이용하여 나타내면 다음과 같다.

[eqn: pmatrix{``a _{n} ``#``b` _{n} `} =``X _{n} `` pmatrix{``a _{n-1} ``#``b` _{n-1} `} `]

[eqn: {X _{2008}+{X _{2007}}`]의 모든 성분의 합은? (단, 물을 옮기는 과정에서 유실되는 물은 없다.) [[eqn: 4`]점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: 2]         ③ [eqn: 3]         ④ [eqn: 4]         ⑤ [eqn: 5]

[eqn: A`]

[eqn: B`]

[eqn: A`]

[eqn: B`]

[eqn: 1`]회 시행

[eqn: A`]

[eqn: B`]

[eqn: A`]

[eqn: B`]

[eqn: 2`]회 시행

[eqn: A`]

[eqn: B`]

[eqn: A`]

[eqn: B`]

[eqn: 3`]회 시행

14. 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: {1+2 ^{2} +3 ^{3} +` CDOTS` +n ^{n}} over {(n+1) ^{n}} <1`]

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

	<증명> (i) [eqn: n=1] 일 때, (좌변) [eqn: =`] < [eqn: 1] [eqn: =`](우변) 이므로 (가) 성립한다. (ii) [eqn: n=k] 일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면 [eqn: {1+2 ^{2} +3 ^{3} + ``CDOTS`` +k ^{k}} over {(k+1) ^{k}} <1] 이므로 [eqn: {1+2 ^{2} +3 ^{3} + ``CDOTS`` +k ^{k}} < {(k+1) ^{k}`]이다. 이 때, (나) [eqn: {1+2 ^{2} +3 ^{3} + CDOTS +k ^{k} +`````````````````````````} over {(k+2) ^{k+1}} < {(k+1) ^{k} +`````````````````````````} over {(k+2) ^{k+1}}] (나) [eqn: =`] < [eqn: 1] (다) 그러므로 [eqn: n=k+1] 일 때도 성립한다. 따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [[eqn: 3`]점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: (k+1) ^{k+1}]	[eqn: left( {k+1} over {k+2} right) ^{k}]
②	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: (k+1) ^{k+1}]	[eqn: left( {k+1} over {k+2} right) ^{k+1}]
③	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: (k+1) ^{k}]	[eqn: left( {k+1} over {k+2} right) ^{k+1}]
④	[eqn: {3} over {4}]	[eqn: (k+2) ^{k}]	[eqn: left( {k+1} over {k+2} right) ^{k}]
⑤	[eqn: {3} over {4}]	[eqn: (k+1) ^{k+1}]	[eqn: left( {k+1} over {k+2} right) ^{k}]

15. 양의 실수 [eqn: x`,```y`]에 대하여 [eqn: log``x`,```log``y`]의 가수를 각각 [eqn: alpha `,``` beta `(alpha!=beta)`]라 하자. [eqn: log``x over y `]의 가수가 [eqn: beta - alpha `]이고, [eqn: log``xy `]의 가수가 [eqn: alpha+beta-1 `]일 때, [eqn: alpha `]값의 범위는? [[eqn: 4`]점]

① [eqn: 0 <= alpha < 1 over 4]       ② [eqn: 1 over 6 <= alpha < 1 over 3]       ③ [eqn: 1 over 4 <= alpha < 1 over 2]

④ [eqn: 1 over 2 <= alpha < 3over 4]       ⑤ [eqn: 3 over 4 <= alpha < 1]

16. [eqn: 1`]이 아닌 세 실수 [eqn: a`,```b`,```c`]가 이 순서대로 등비수열을 이루고 [eqn: {1} over {2} `log`a`], [eqn: {1} over {4} `log`b`], [eqn: {1} over {8} `log`c`]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: `log`_c `ab`]의 값은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 1]       ② [eqn: 5 over 4]       ③ [eqn: 3over 2]       ④ [eqn: 7 over 4]       ⑤ [eqn: 2]

17. 행렬 [eqn: A= pmatrix{0&```-1#1&`````````a}`, ```E= pmatrix { 1&````0 #0 &````1 }`]에 대하여 [eqn: A^3 = E`]일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4`]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: a=-1`] ㄴ. 행렬 [eqn: A]의 역행렬은 [eqn: -A`-E] 이다. ㄷ. 행렬 [eqn: (A^2 +E`) ^{10}]의 모든 성분의 합은 [eqn: -1] 이다.

① ㄱ                  ② ㄷ                  ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ               ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. 다음은 어느 신문기사의 일부이다.

	[eqn: 2008`]년 [eqn: 10`]월 [eqn: 1`]일 프랑스에서 열린 기자회견에서 러시아의 [eqn: A`]가스회사 사장은 국제유가가 앞으로 몇 개월 내에 [eqn: 2`]배 이상 오를 것이란 전망을 내 놓았다. <중략> 이에 따라 대체에너지 개발에 성공했으나 생산단가가 높은 것이 단점으로 지적되고 있어서 [eqn: A`]가스회사는 국제유가가 현재의 [eqn: 2`]배 이상이 되었을 때 대체에너지를 상용화한다고 발표하였다.

국제유가가 전월대비 매월 [eqn: 5`]%씩 상승한다고 할 때, 위 기사에 따라 [eqn: A`]가스회사가 대체에너지를 처음으로 상용화할 때는 몇 개월 후인가? (단, [eqn: log`2=0.30`], [eqn: log`1.05=0.02`]) [[eqn: 4`]점]

① [eqn: 30`]개월            ② [eqn: 25`]개월            ③ [eqn: 20`]개월

④ [eqn: 15`]개월             ⑤ [eqn: 10`]개월

19. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]을 [eqn: a _{1} =11`,```a _{n+1} -a _{n} = LEFT | n -4 RIGHT |- LEFT | n - 6 RIGHT |`]으로 정의할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4`]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: a _{3} =7`] ㄴ. [eqn: a _{n} `]의 최솟값은 [eqn: 3]이다. ㄷ. [eqn: sum _{n=6} ^{20} a _{n} =255]

① ㄱ                  ② ㄷ                  ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ               ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =9`]위의 서로 다른 두 점 [eqn: rm A it (a`,```b)`,``` rm B it (c`,```d)`]에 대하여 행렬 [eqn: M= pmatrix{`a&`````b`#`c&`````d`} `]의 역행렬이 존재하지 않을 때, 원 위의 임의의 점 [eqn: rm C`]에 대하여 [eqn: rm TRIANGLE ABC`]의 무게중심이 그리는 도형의 길이는? [[eqn: 4`]점]

① [eqn: pi over 2]                   ② [eqn: pi]                ③ [eqn: 3 over 2 pi]

④ [eqn: `2 pi]                   ⑤ [eqn: 5 over 2 pi]

21. 좌표평면에서 삼각형을 이루는 세 점 [eqn: rm A`,```B`,```C`]에 대하여 임의의 점 [eqn: rmP _{0}`]의 점 [eqn: rmA`]에 대한 대칭점을 [eqn: rmP _{1}`], [eqn: rmP _{1}`]의 점 [eqn: rmB`]에 대한 대칭점을 [eqn: rmP _{2}`], [eqn: rmP _{2}`]의 점 [eqn: rmC`]에 대한 대칭점을 [eqn: rmP _{3}`], [eqn: rmP _{3}`]의 점 [eqn: rmA`]에 대한 대칭점을 [eqn: rmP _{4}`]라 하자. 이와 같은 방법으로 세 점 [eqn: rm A`,```B`,```C`]에 대하여 차례로 대칭이동하는 점 [eqn: {rmP} _{i}`]가 있다고 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 점 [eqn: {rmP} _{i} `]는 [eqn: rm A`,```B`,```C`]가 아니고 [eqn: i`]는 음이 아닌 정수[eqn: )] [[eqn: 4`]점]

		<보 기>
	ㄱ. 점 [eqn: rmP _{0}`]와 점 [eqn: rmP _{6}`]의 좌표는 같다. ㄴ. [eqn: BAR {rm P _{18} P_19}`]의 중점은 점 [eqn: rmC`]이다. ㄷ. [eqn: bar{{rmP} _{1} {rmP} _{5}} `=` bar{{rmP} _{6m+1} {rmP} _{6n-1}}] (단, [eqn: m`,```n`]은 자연수[eqn: )]

① ㄱ                  ② ㄴ                  ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ               ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: {rm O}]

[eqn: {rm A}]

[eqn: {rm B}]

[eqn: {rm C}]

[eqn: {rm P}_0]

[eqn: {rm P}_1]

[eqn: {rm P}_2]

[eqn: {rm P}_3]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

단답형(22 ~ 30)

22. [eqn: 2 ^{log _{sqrt {2}} 5} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

23. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{`1``````&2`#`3``````&4`}`], [eqn: B= pmatrix{`-2``````&3`#````````8``````&2`}`]에 대하여
[eqn: AX=BX+E`]를 만족하는 행렬 [eqn: X`]의 모든 성분의 합을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

24. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합 [eqn: S _{n} `]이 [eqn: S _{n} =pn ^{2} +2pn`]이고 [eqn: a _{5}=22 `]일 때, [eqn: a _{10} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]는 상수) [[eqn: 3`]점]

25. [eqn: 5 ^{a} = 1 over8`,```5 ^{b} = 1 over 2`]을 만족하는 실수 [eqn: a`,```b`]에 대하여 [eqn: LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{a+3b} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

26. 그림과 같이 길이가 [eqn: 1]인 선분 [eqn: rmOA]를 반지름으로 하는 사분원 위에 점 [eqn: {rmP} _{i}}`]([eqn: i=1`,```2`,```3`, ``CDOTS`,`` 89])를 [eqn: ANGLE {rm P} it _{i} rm O it rm A it =i DEG `]가 되도록 잡는다. 점 [eqn: {rmP} _{i}}`]에서 선분 [eqn: {rmOA}]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm H} _i`]라 하자.

이 때, [eqn: 2sum _{i=1} ^{89} bar{{rm P} it _{i} {rm H}_i it} ``` +sum _{i=1} ^{89} {bar{{{rm P} it _{i} rm A it} } }^{2} ``]의 값을 구하시오. [[eqn: 4`]점]

[eqn: rmO]

[eqn: rmA]

[eqn: {rmH}_i]

[eqn: {rmP} _ i]

[eqn: i DEG]

27. [eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: 3ax ^{3} -9bx ^{2} +11cx-18a=0]의 서로 다른 세 실근이 [eqn: a,~b,~c`]이다. [eqn: a`,```b`,```c`]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: a^2 +b^2 +c^2 `]의 값을 구하시오. [[eqn: 4`]점]

28. 그림과 같이 일정한 규칙에 따라 마름모의 변의 길이를 늘려가면서 수를 배열하려고 한다. 각 마름모 안의 수들의 합을 각각 [eqn: a _{1} `,```a _{2} `,```a _{3} `,``` CDOTS `,```a _{n} `,`` CDOTS] 이라 할 때, [eqn: a _{7}`]의 값을 구하시오.

[[eqn: 3`]점]

[eqn: a_1 = 1]

[eqn: a_2 = 13]

[eqn: a_n]

[eqn: a_3 = 53]

29. 정수 부분이 두 자리인 서로 다른 두 실수 [eqn: x`,```y`]에 대하여 [eqn: log```x`,```log```y`]의 가수의 역수가 각각 정수이고 [eqn: {x ^{4}} over {y ^{2}} `=1000`]을 만족할 때, [eqn: 20`log```xy`]의 값을 구하시오. [[eqn: 4`]점]

30. 자연수 [eqn: n`]을 작은 것부터 [eqn: n`]개씩 차례로 나열한 수열 [eqn: 1`,```2`,```2`,```3`,```3`,```3`,```4`,``` CDOTS `]이 있다.

이 수열의 순서대로 숫자가 하나씩 적혀있는 카드를 처음부터 차례대로 한 번씩 확인하여 카드에 적혀있는 수가 홀수이면 [eqn: 3`]분만큼, 짝수이면 [eqn: 2`]분만큼 시계방향으로 시계의 분침을 이어 돌린다.

[eqn: 12`]시 정각인 시계의 분침을 위와 같은 방법으로 [eqn: 210`]번째 카드까지 확인하고 돌렸을 때, 시계가 가리키고 있는 시각은 [eqn: a`]시 [eqn: b`]분이다. 이 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]는 자연수이고 [eqn: 0 <= b<60`]) [[eqn: 4`]점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.