나 형	수리 영역	짝수형

짝수형	수리 영역	나 형

제 2 교시

성명

수험 번호

1

짝수형

8

2009학년도 대학수학능력시험 문제지

수리 영역

나    형

[eqn: 9^{{3_`} over {`2}}]×[eqn: 27^{-{`2_`} over {`3`}}]의 값은? [2점]

① [eqn: {1_`} over {3`}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: SQRT { 3`}]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 3SQRT { 3`}]

두 행렬 [eqn: A=pmatrix{2~`1``#1~`1``}], [eqn: B=pmatrix{-1``-2``#````````1``~``~0``}]에 대하여 행렬

[eqn: (A+ B`)A`]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

[eqn: lim_{n`→∞} 2_`over{root{n^2 +2n` }``-`root{n^2 +1}}^`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: y= 3+log_3 ``(`x^2 -4x+31 )]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

네 수 [eqn: 1], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]는 이 순서대로 공비가 [eqn: r`]인 등비수열을 이루고 [eqn: log_8 ``c` =log_a ``b`]를 만족시킨다. 공비 [eqn: r`]의 값은?

(단, [eqn: r`＞1]) [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: {7_`}over{2`}]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: {5_`} over{2`}]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: a=log_2 ``10], [eqn: b=2root{2`}]일 때, [eqn: a`logb`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3_`}over{2`}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: {5_`}over{2`}]	⑤ [eqn: 3]

두 지수함수 [eqn: f`(x)= a^"b`x-1"], [eqn: g(x)=a^"1-b`x"``]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: y=f`(x)]의 그래프와 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는

직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭이다.

(나) [eqn: f`(4)+g(4)= {5_`}over {2`}]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]의 합 [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: 0＜a＜1]) [3점]

① [eqn: {3_`}over {2`}]	② [eqn: {11_`} over {8`}]	③ [eqn: {5_`}over {4`}]	④ [eqn: {9_`} over {8`}]	⑤ [eqn: 1]

[eqn: z]	[eqn: \P`(0≦Z`≦z)]
[eqn: 2.00]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.25]	[eqn: 0.4878]
[eqn: 2.50]	[eqn: 0.4938]
[eqn: 2.75]	[eqn: 0.4970]

세계핸드볼연맹에서 공인한 여자 일반부용 핸드볼 공을 생산하는 회사가 있다. 이 회사에서 생산된 핸드볼 공의 무게는 평균 [eqn: 350 \g], 표준편차 [eqn: 16 \g]인 정규분포를 따른다고 한다.

이 회사는 일정한 기간 동안 생산된 핸드볼 공 중에서 임의로 추출된 핸드볼 공 [eqn: 64]개의 무게의 평균이 [eqn: 346 \g] 이하이거나 [eqn: 355 \g] 이상이면 생산 공정에 문제가 있다고 판단한다.

이 회사에서 생산 공정에 문제가 있다고 판단할 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

① [eqn: 0.0092]	② [eqn: 0.0152]	③ [eqn: 0.0184]

④ [eqn: 0.0258]	⑤ [eqn: 0.0290]

[eqn: left(x+ {1_`}over {x^3} right)^4]의 전개식에서 [eqn: {1_`}over {x^4}]의 계수는? [4점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 4]

수열 [eqn: LEFT { a_n` RIGHT }]이

ꌼ ꍔ ꍄ	[eqn: a_1 = {1_`} over {2`}] [eqn: (n + 1)(n + 2) `a_n+1 =n^2 `a_n] [eqn: (n=1,``2,``3, ``…`)]

일 때, 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: sum _{k=1^`} ^{n_`} a_k `= sum _{k=1^`} ^{n_`} {1_`} over {k ^2} - {n_`} over {n+1}]	[eqn: ……] (*)

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1) [eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: = {1_`}over{2`}], (우변)[eqn: = 1- {1_`}over{2`} = {1_`}over{2`}]이므로

(*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 [eqn: sum _{k=1^`} ^{m_`} a _k `= sum _{k=1^`} ^{m_`} {1_`} over {k ^2} - {m_`} over {m+1}]

이다. [eqn: n=m+1]일 때, (*)이 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{k=1^`} ^{m +1_`} a_k][eqn: =sum_{k=1^`}^{m_`} {1_`} over {k^ 2} - {m_`} over {m+1} +a_m+1]
[eqn: =sum_{k=1^`}^{m_`} {1_`}over{k^2} - {m_`} over {m+1} + ~~~~~~~~~~a_m]
[eqn: =sum_{k=1^`}^{m_`} {1_`}over {k^2} - {m_`} over {m+1}]
[eqn: + {m^2}_` over{(m+1)(m+2)} cdot` {(m-1)^2}_` over {m(m+1)} cdot` CDOTS `cdot` {1^2}_` over {2 CDOT 3} `a_1]
[eqn: =sum_{k=1^`}^{m_`} {1_`}over {k^2} - {m_`} over {m+1} +]
[eqn: =sum_{k=1^`}^{m_`} {1_`}over {k^2} - {m_`} over {m+1} + {1_`}over {(m+1)^2 }-]
[eqn: =sum_{k=1^`}^{m +1_`} {1_`}over {k^2} - {m+1_`} over {m+2}]

그러므로 [eqn: n=m+1]일 때도 (*)이 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (*)이 성립한다.

(다)

(나)

(가)

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은?

[3점]

(가)	(나)	(다)

①	[eqn: m_` over {(m+1)(m+2)}]	[eqn: {1_`} over {(m+1)^2 (m+2)}]	[eqn: 1_` over {(m+1)(m+2)^2}]

②	[eqn: {m_`} over {(m+1)(m+2)}]	[eqn: {m_`} over {(m+1)^2 (m+2)}]	[eqn: {1_`} over {(m+1)(m+2)}]

③	[eqn: {m^2}_` over {(m+1)(m+2)}]	[eqn: {1_`} over {(m+1)^2 (m+2)}]	[eqn: {1_`} over {(m+1)(m+2)}^2]

④	[eqn: {m^2}_` over {(m+1)(m+2)}]	[eqn: {1_`} over {(m+1)^2 (m+2)}]	[eqn: {1_`} over {(m+1)(m+2)}]

⑤	[eqn: {m^2}_` over {(m+1)(m+2)}]	[eqn: m_` over {(m+1)^2 (m+2)}]	[eqn: {1_`} over {(m+1)(m+2)}^2]

[eqn: 0＜a＜ {1_`} over {2`}]인 상수 [eqn: a`]에 대하여

직선 [eqn: y=x`]가 곡선 [eqn: y=log_a``x`]와 만나는 점을 [eqn: (p,``p)],

직선 [eqn: y=x`]가 곡선 [eqn: y=log_2a ``x`]와 만나는 점을 [eqn: (q,``q)]

라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: p={1_`} over{2`}]이면 [eqn: a={1_`} over{4`}]이다. ㄴ. [eqn: p＜q] ㄷ. [eqn: a^p+q ={pq_`} over 2^q]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

집합 [eqn: U`]를

[eqn: { `} atop { `} right}]	[eqn: U=left{ pmatrix{a&b``#c&d``} `right|``a,``b,``c,``d`]는 [eqn: 1]이 아닌 양수

라 하자. [eqn: U`]의 부분집합 [eqn: S`]를

[eqn: S=left{ pmatrix{a&b``#c&d``} `right|`log_a ``d=log_b```c,~a`!=b,~bc `!=1 right}]

이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: A=pmatrix{4&9`#3&2`}]이면 [eqn: A∈S`]이다. ㄴ. [eqn: A IN U`]이고 [eqn: A`]가 역행렬을 가지면 [eqn: A IN S`]이다. ㄷ. [eqn: A IN S`]이면 [eqn: A`]는 역행렬을 가진다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

자연수 [eqn: n`]에 대하여 두 점 [eqn: \P_n-1], [eqn: \P_n]이 함수 [eqn: y=x^2]의 그래프 위의 점일 때, 점 [eqn: \P_n+1]을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 두 점 [eqn: \P_0 `], [eqn: \P_1 `]의 좌표는 각각 [eqn: (0, ``0)], [eqn: (1, ``1)]이다.

(나) 점 [eqn: \P_n+1]은 점 [eqn: \P_n]을 지나고 직선 [eqn: \P_n-1` \P_n]에 수직인 직선과 함수 [eqn: y=x^2]의 그래프의 교점이다.

(단, [eqn: \P_n`]과 [eqn: \P_n+1]은 서로 다른 점이다.)

[eqn: l_n` = bar{\P_n-1 ` \P_n} `]이라 할 때, [eqn: lim_{n`→∞} l_n over n]의 값은? [3점]

① [eqn: root{2`}]	② [eqn: root{3`}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 2root{2`}]	⑤ [eqn: 2root{3`}]

좌표평면에 원 [eqn: C_1 ``:`(x-4)^2 + y^2 `=1]이 있다. 그림과 같이 원점에서 원 [eqn: C_1]에 기울기가 양수인 접선 [eqn: l``]을 그었을 때 생기는 접점을 [eqn: \P_1]이라 하자.

중심이 직선 [eqn: l``] 위에 있고 점 [eqn: \P_1]을 지나며 [eqn: x`]축에 접하는 원을

[eqn: C_2]라 하고 이 원과 [eqn: x`]축의 접점을 [eqn: \P_2]라 하자.

중심이 [eqn: x`]축 위에 있고 점 [eqn: \P_2]를 지나며 직선 [eqn: l``]에 접하는 원을

[eqn: C_3]이라 하고 이 원과 직선 [eqn: l``]의 접점을 [eqn: \P_3]이라 하자.

중심이 직선 [eqn: l`] 위에 있고 점 [eqn: \P_3]을 지나며 [eqn: x`]축에 접하는 원을

[eqn: C_4]라 하고 이 원과 [eqn: x`]축의 접점을 [eqn: \P_4]라 하자.

이와 같은 과정을 계속할 때, 원 [eqn: C_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 하자.

[eqn: sum_{n=1^`}^INF S_n]의 값은? (단, 원 [eqn: C_n+1]의 반지름의 길이는 원 [eqn: C_n]의

반지름의 길이보다 작다.) [4점]

① [eqn: {7_`}over{2`} pi]	② [eqn: 3 pi]	③ [eqn: {5_`}over{2`} pi]	④ [eqn: 2pi]	⑤ [eqn: {3_`}over{2`} pi]

어떤 사회봉사센터에서는 다음과 같은 [eqn: 4]가지 봉사활동 프로그램을 매일 운영하고 있다.

프로그램	[eqn: \A]	[eqn: \B]	[eqn: \C]	[eqn: \D]
봉사활동 시간	[eqn: 1]시간	[eqn: 2]시간	[eqn: 3]시간	[eqn: 4]시간

철수는 이 사회봉사센터에서 [eqn: 5]일간 매일 하나씩의 프로그램에 참여하여 다섯 번의 봉사활동 시간 합계가 [eqn: 8]시간이 되도록 아래와 같은 봉사활동 계획서를 작성하려고 한다. 작성할 수 있는 봉사활동 계획서의 가짓수는? [4점]

봉사활동 계획서
			성명 :
	참여일	참여 프로그램	봉사활동 시간
	[eqn: 2009.`1.`5]
	[eqn: 2009.`1.`6]
	[eqn: 2009.`1.`7]
	[eqn: 2009.`1.`8]
	[eqn: 2009.`1.`9]
	봉사활동 시간 합계		[eqn: 8]시간

① [eqn: 35]	② [eqn: 38]	③ [eqn: 41]	④ [eqn: 44]	⑤ [eqn: 47]

주머니 [eqn: \A]와 [eqn: \B]에는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 다섯 개의 구슬이 각각 들어 있다. 철수는 주머니 [eqn: \A]에서, 영희는 주머니 [eqn: \B]에서 각자 구슬을 임의로 한 개씩 꺼내어

두 구슬에 적혀 있는 숫자를 확인한 후 다시 넣지 않는다.

이와 같은 시행을 반복할 때, 첫 번째 꺼낸 두 구슬에 적혀 있는 숫자가 서로 다르고, 두 번째 꺼낸 두 구슬에 적혀 있는 숫자가 같을 확률은? [4점]

[eqn: \A]                   [eqn: \B]

[eqn: bold 1]

[eqn: bold 2]

[eqn: bold 3]

[eqn: bold 4]

[eqn: bold 5]

[eqn: bold 1]

[eqn: bold 2]

[eqn: bold 3]

[eqn: bold 4]

[eqn: bold 5]

① [eqn: {3_`}over{20}]	② [eqn: {1_`}over{5`}]	③ [eqn: {1_`}over{4`}]	④ [eqn: {3_`}over10]	⑤ [eqn: {7_`}over {20}]

정보이론에서는 사건 [eqn: E `]가 발생했을 때, 사건 [eqn: E `]의 정보량 [eqn: I`(E`)]가 다음과 같이 정의된다고 한다.

[eqn: I`(E`)=-log_2 `\P(E`)]

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 사건 [eqn: E`]가 일어날 확률 [eqn: \P(E`)]는 양수이고, 정보량의 단위는 비트이다.)

[4점]

	<보 기>
ㄱ. 한 개의 주사위를 던져 홀수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: E`]라 하면 [eqn: I`(E`)=1]이다. ㄴ. 두 사건 [eqn: A], [eqn: B`]가 서로 독립이고 [eqn: \P (A SMALLINTER B)＞0]이면 [eqn: I`(A SMALLINTER B`)=I`(A)+I`(B`)]이다. ㄷ.[eqn: \P(A)＞0], [eqn: \P( B`)＞0]인 두 사건 [eqn: A], [eqn: B`]에 대하여 [eqn: 2`I`(A ∪ B`)≦ I`(A)+ I`(B`)]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단 답 형

지수함수 [eqn: y=5^x-1]의 그래프가 두 점 [eqn: (a,``5)], [eqn: (3,``b)]를 지날 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [3점]

공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT }]에 대하여

[eqn: a_1 +a_5 +a_9 =45]

일 때, [eqn: a_1 +a_10]의 값을 구하시오. [3점]

공비가 같은 두 무한등비수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT }], [eqn: LEFT { b_n` RIGHT }]에 대하여

[eqn: a_1 -b_1 =1]이고 [eqn: sum _{ n=1^`} ^{ INF }a_n = 8], [eqn: sum _{ n=1^`} ^{ INF }b_n = 6]일 때,

[eqn: sum _{ n=1^`} ^{ INF }a_n `b_n]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 1＜a＜b`]인 두 실수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여

[eqn: { 3`a_`} over {log_a ``b }= b_` over {2log_b ``a }={3 `a+b_`} over 3]

가 성립할 때, [eqn: 10`log_a``b`]의 값을 구하시오. [3점]

주사위를 두 번 던질 때, 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: m], [eqn: n`]이라 하자. [eqn: i^{m} CDOT(- i`) ^n]의 값이 [eqn: 1]이 될 확률이 [eqn: q_` over p]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt { -1`}]이고 [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

자연수 [eqn: n`(n≧2)]으로 나누었을 때, 몫과 나머지가 같아지는 자연수를 모두 더한 값을 [eqn: a_n`]이라 하자. 예를 들어 [eqn: 4]로 나누었을 때, 몫과 나머지가 같아지는 자연수는 [eqn: 5], [eqn: 10], [eqn: 15]이므로

[eqn: a_4 = 5+10+15=30]이다. [eqn: a_n ＞500]을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값을 구하시오. [4점]

이차정사각행렬 [eqn: A`]는 모든 성분의 합이 [eqn: 0]이고

[eqn: A^2 + A^3 `=-3A-3E]

를 만족시킨다. 행렬 [eqn: A^4 +A^5]의 모든 성분의 합을 구하시오.

(단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

직사각형 모양의 잔디밭에 산책로가 만들어져 있다. 이

산책로는 그림과 같이 반지름의 길이가 같은 원 [eqn: 8]개가 서로 외접하고 있는 형태이다.

[eqn: \A] 지점에서 출발하여 산책로를 따라 최단 거리로 [eqn: \B] 지점에 도착하는 경우의 수를 구하시오. (단, 원 위에 표시된 점은 원과 직사각형 또는 원과 원의 접점을 나타낸다.) [4점]

5 지 선 다 형

두 사건 [eqn: A], [eqn: B`]에 대하여 [eqn: \P(A)= {1_`}over {2`}], [eqn: \P(B^C `)={2_`}over {3`}]이며

[eqn: \P(B `|`A`)={1_`} over {6`}]일 때, [eqn: \P(A^C`|`B`)]의 값은? (단, [eqn: A^C`]은 [eqn: A`]의

여사건이다.) [3점]

① [eqn: {5_`}over {6`}]	② [eqn: {3_`}over {4`}]	③ [eqn: {2_`}over {3`}]	④ [eqn: {7_`}over {12}]	⑤ [eqn: {1_`}over {2`}]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: log`n`]의 가수를 [eqn: f`(n)]이라 할 때, 집합

[eqn: A= left{ f`(n) ` |`` 1≦ n`≦150], [eqn: n`]은 자연수}

의 원소의 개수는? [3점]

① [eqn: 131]	② [eqn: 133]	③ [eqn: 135]	④ [eqn: 137]	⑤ [eqn: 139]

단위행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: A], [eqn: B`]는 모두 역행렬을 가진다.

(나) [eqn: BAB=E], [eqn: ABA=A^-1]

[eqn: A^n = E`]가 성립하는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

다음은 어떤 모집단의 확률분포표이다.

[eqn: X]	[eqn: 10]	[eqn: 20]	[eqn: 30]	계
[eqn: \P(X=x`)]	[eqn: {1_`} over {2`}]	[eqn: a]	[eqn: {1_`} over {2`} -a`]	[eqn: 1]

이 모집단에서 크기가 [eqn: 2]인 표본을 복원추출하여 구한 표본평균을 [eqn: bar X_`]라 하자. [eqn: bar X_`]의 평균이 [eqn: 18]일 때, [eqn: \P( bar X_` =20 )]의 값은? [4점]

① [eqn: {8_`}over25]	② [eqn: 17_` over50]	③ [eqn: {9_`}over25]	④ [eqn: 19_` over50]	⑤ [eqn: {2_`}over{5`}]

단 답 형

두 주사위 [eqn: \A], [eqn: \B]를 동시에 던질 때, 나오는 각각의 눈의 수 [eqn: m], [eqn: n`]에 대하여 [eqn: m^2 +n^2 ≦25]가 되는 사건을 [eqn: E`]라 하자.

두 주사위 [eqn: \A], [eqn: \B]를 동시에 던지는 [eqn: 12]회의 독립시행에서

사건 [eqn: E`]가 일어나는 횟수를 확률변수 [eqn: X`]라 할 때, [eqn: X`]의 분산

[eqn: \V(X`)]는 [eqn: {q_`} over p]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q`]는

서로소인 자연수이다.) [4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.