◈  정 답  ---------------

수리  영역(수리  ‘나’형)       종로학원  제공

수리 영역(수리 ‘나’형)

1. ③	2. ①	3. ③	4. ①	5. ②

6. ④	7. ⑤	8. ②	9. ④	10. ③

11. ②	12. ②	13. ①	14. ④	15. ③

16. ⑤	17. ⑤	18. 38	19. 81	20. 24

21. 16	22. 54	23. 12	24. 19	25. 60

26. ①	27. ③	28. ④	29. ⑤	30. 64

◈  해 설  ---------------

1. [eqn: left(2^3 right)^{2 over 3} + log_2 `2^3 =2^2 + 3 log_2 2]

[eqn: = 4+3=7]

2. [eqn: X= 2B - A]

[eqn: =2 pmatrix { 2``& 0# 1& -1} - pmatrix { 1``& -2# 3& 0}]

[eqn: = pmatrix { 4``& 0# 2``& -2} - pmatrix { 1``& -2# 3``& 0}]

[eqn: = pmatrix { 3``& 2# -1``& -2}]

3. [eqn: lim _{ n-> INF } {1} over {root {4+ {1} over n^2}+root {1+ {2} over n^2}} = {1} over {root 4 + root 1}]

[eqn: = {1 over 3}]

4. [eqn: (ab)^2 = a^2 b^2]

[eqn: =(root 2 )^2 left(3^{1 over 6} right)^2]

[eqn: =2×3^{1 over 3}]

5. [eqn: LEFT | A RIGHT | = 2n^2 -7]

[eqn: A^-1 = {1} over {2n^2 - 7} pmatrix { n``& 7# 1``& 2n}]

2행 1열에서

[eqn: 2n^2 - 7 =1]

[eqn: n^2 = 4], [eqn: n=2]

6. [eqn: {\P}(A) = {2 over 3}], [eqn: A], [eqn: B]가  독립이므로

[eqn: {\P}(A SMALLINTER B )={\ P}(A){\P}(B) = {2 over 3} ×{1 over 3} = {2 over 9}]

7. [eqn: left( 2x + {1 over 2x }right)^7]의 전개식에서

일반항은

[eqn: {}_7 {\C}_r (2x)^7-r left( {1 over 2x } right)^r]

[eqn: = {}_7 {\C}_r CDOT 2^7-2r `x^7-2r ```(r=0,``` 1, ```2,```…,```7)]

[eqn: 7-2r=1]  [eqn: THEREFORE~r=3]

[eqn: x]의 계수 : [eqn: {}_7 {\C}_3 CDOT 2 = 70]

8. [eqn: 6x^2 - 5x+1=0]

[eqn: (3x-1)(2x-1)=0]

[eqn: x={1 over 3} ``또는``x= {1 over 2}]

[eqn: {\P} (0≦X≦1)={1 over 3}], [eqn: {\P} (0 <= X <= 2)= {1} over {2}]

[eqn: {\P} (1<X <= 2)={\P} (0 <= X <= 2)-{\P} (0 <= X <= 1)]

[eqn: ={1 over 2} -{1 over 3} = {1 over 6}]

9.

1부	2부
독 → 중 → 합	독 → 중 → 합 → 합

[eqn: 2×2×3×1×1×2!][eqn: =][eqn: 12×2=24]

10. [eqn: y=a^x-m]과 역함수의 교점은 [eqn: y=a^x-m]과

[eqn: y=x]의 교점이므로 [eqn: a^x-m = x]

[eqn: a^1-m =1]  [eqn: THEREFORE~1-m=0]  [eqn: THEREFORE ~m=1]

[eqn: a ^{3-1} =3]  [eqn: THEREFORE````a ^{2`} =3]  [eqn: THEREFORE~a=root 3]

[eqn: THEREFORE~a+m=1+ root 3]

11.     (가)

① [eqn: ``k(k+1)!`` + LEFT{(k+1)^2 +1 RIGHT } cdot (k+1)!]

[eqn: = left{k+(k+1)^2 +1 right} cdot (k+1)!]

[eqn: =`` left {k ^{2} +3k+2 right} ``cdot (k+1)!]

(나)

[eqn: =(k+1)(k+2)(k+1)!]

[eqn: = (k+1)] [eqn: (k+2)!]

(다)

12. [eqn: { 2 cdot 2} over { 2 TIMES2+3 TIMES3 } = { 4} over {13 }]

13. [eqn: X SIM N(m, ``` 10^2 )]

[eqn: {\P} (X≧177) = { 242} over { 1000} = 0.242]

[eqn: {\P} (X≧177)={\P} LEFT ( Z≧ { 177-m} over {10 } RIGHT )]

[eqn: = {\P} (Z≧0.7) =0.242]

[eqn: { 177-m} over { 10} =0.7]

[eqn: 177-m= 7]

[eqn: m= 170]

[eqn: X SIM N(170, ```10^2 )]

[eqn: {\P} (X≧180) ={\P} LEFT ( Z ≧ { 180-170} over { 10} RIGHT )]

[eqn: ={\P} (Z≧1)]

[eqn: =0.5-0.3413]

[eqn: =0.1587]

14. A에서 [eqn: {\B}_n]까지 가는 경우의 수를 [eqn: a_n]이라 하면 A에서 [eqn: {\B}_n+1]까지 가는 경우의 수는 [eqn: {\B}_n]을 거쳐가는 경우 [eqn: a_n](가지)와 [eqn: {\B}_n]을 거쳐가지 않는 경우 3가지가 있다.

[eqn: ∴a_n+1 = a_n +3]

[eqn: a_1 =4]

[eqn: ∴a_n = 3n+1]

[eqn: a_3 +a_7 =10+22]

[eqn: =32]

15. ㄱ. [eqn: AB=pmatrix{`{a}```&{0}`#`{0}```&{b}`}]에서

[eqn: ab-0=ab=a^2 >0]([eqn: ∵a=b,~a!=0])

따라서, 행렬 [eqn: AB]의 역행렬이 존재하므로 행렬

[eqn: A]의 역행렬 [eqn: A^-1]도 존재한다.  ∴참

ㄴ. [eqn: AB=aE`` ⇒B``=aA^-1]

[eqn: BA =(aA^-1 ) A=aE]

[eqn: ∴AB``=BA]   ∴ 참

ㄷ. [eqn: B= A^-1 pmatrix { a``& 0# 0``&b } =pmatrix { ~~1&``0` # -1&``1 `}` pmatrix { `a``&0` # `0``&b } `= pmatrix {` ~`````a&`0`` # `-a`&b }]

[eqn: BA= pmatrix { ~~a&``0` # -a&``b `}` pmatrix { `1``&0` # `1``&1 } `= pmatrix {` ~~a&`0`` # `-a+b`&b }]

∴[eqn: AB≠BA]   ∴ 거짓

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

16. 주어진 함수의 그래프를 그리면 아래와 같다.

ㄱ. [eqn: x_1 >y_2]   ∴참

ㄴ. [eqn: {y_2 -y_1} over {x_2 -x_1} = -1]

[eqn: y_2 -y_1 =x_1 -x_2]    ∴참

ㄷ. [eqn: F`(x)=xy=x(2-x)=-x^2 +2x]

[eqn: =-(x-1)^2 +1]

[eqn: 1<x_1 <x_2 <2]이므로 [eqn: F`(x_1 )>f(x_2 )]

[eqn: ∴x_1 `y_1 >x_2 `y_2]   ∴참

따라서, ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

17. [eqn: □{\AB}_n `{\C}_n `{\D}_n]과

[eqn: □{\AB}_n+1 `{\C}_n+1 `{\D}_n+1]에서

두 사각형은 닮은 도형이고 대각선의 길이의 비가

[eqn: 10``:`4]이므로 넓이의 비는 [eqn: 5^2 ``:`` 2^2]이다.

따라서,

[eqn: lim _{ n->∞ } { }S_n = pi +4 times left ( {2} over {5} right )^2 pi + 4^2 left ( {2} over {5} right )^4 pi + CDOTS]

[eqn: = {pi} over {1- {16}over{25} }= {25} over {9} pi]

18. [eqn: a_2 =a+d=3]  ………㉠

[eqn: a_5 =a+4d=24]  ……㉡

㉡-㉠을 하면 [eqn: 3d=21]  [eqn: ∴ d=7,``a=-4]

[eqn: ∴a_7 =a+6d=(-4)+42 #~~~~`=38]

19. [eqn: (log`_3 `x)(log`_3 `x+1)<=20]

[eqn: t=log`_3 `x]라 하면

[eqn: t(t+1)<=20,~t^2 +t-20<=0]

[eqn: (t+5)(t-4)<=0]  [eqn: ∴-5<=t<=4]

[eqn: -5<=log`_3 `x<=4]

따라서, [eqn: 3^-5 <=x<=3^4]이므로 자연수 [eqn: x]의 최대값은 [eqn: 81]이다.

20. [eqn: A=pmatrix{`{1}```&{0}`#`{t```&{1}`}]일 때, [eqn: A^n =pmatrix{`{1}```&{0}`#`{nt}```&{1}`}]이므로

[eqn: A=pmatrix{`{1}```&{0}`#`{3}```&{1}`}]일 때, [eqn: A^8 =pmatrix{`{1}```&{0}`#`{24}```&{1}`}]이다.

[eqn: ∴a=24]

21. [eqn: sum from{n=1} to{inf} {{a_n} over{4^n }}`=2]에서 무한급수의 합이 수렴하므로

[eqn: lim from{n->inf} {{a_n } over {4^n } }`=0]

[eqn: ∴(주어진~식)=lim from{n->inf} {{{a_n } over{4^n }}+4-{1 over 3} left({3 over 4 right)^n } }over{{1 over 4} +3․left({3 over 4 right) ^n }} #~~~~~~~~~~~~~= { {4} over{1over4}}=16]

22. [eqn: log`64=a-0.9×4]

[eqn: a=3.6+6log `2]

[eqn: log `1=3.6+6log`2-0.9x]

[eqn: 0.9x=5.4]

[eqn: ∴x=6] [eqn: ∴9x=54]

23. 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: \B left(20,`` {1 over 6 } right)]을 따르므로

[eqn: {\E}(X)=20×{ 1over6} ={10 over 3}]

[eqn: {\V}(X)=20×{1over6}×{5over6}={25 over 9}] ……㉠

확률변수 [eqn: Y]는 이항분포 [eqn: {\B}left(n,``{1over2} right)]을 따르므로

[eqn: {\E}(Y`)={n over 2} ,``{\V}(Y`)={n over 4}] ……㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: {n over 4}>={25 over 9}]  [eqn: ∴n>={100over9}=11.…]

따라서, [eqn: n]의 최소값은 [eqn: 12]이다.

24. [eqn: △{\A}_n {\O}{\O}_n]은 이등변삼각형이고,

[eqn: bar{{\A}_n {\B}_n }⊥bar{{\O} {\O}_n }]

이므로 [eqn: bar{{\O} {\H}_n } ={1 overn}]

[eqn: { 1} over {2 }l_n = bar{{\A}_n {\H}_n }=sqrt{1^2 -left({1overn } right)^2} `]

[eqn: =sqrt{{n^2 -1} over{n^2 } } `={sqrt{n^2 -1}} over n]

[eqn: nl_n =2sqrt{n^2 -1 }]

[eqn: ∴left(n l_n right)^2 =4(n^2 -1)=4(n-1)(n+1)]

[eqn: ∴sum from{n=2} to{inf} {{1} over{left(nl_n right) ^2 }`= {1 over4}sum from{n=2} to{inf} {{1} over{(n-1)(n+1) }}]

[eqn: = { 1} over { 4} sum _{ n=2} ^{inf } { 1} over { 2} LEFT ( { 1} over {n-1 }- { 1} over { n+1} RIGHT )]

[eqn: ={1 over 4} lim from{n->inf} `{1over2} left{1+{1 over 2} -{1 over n }-{ 1over{n+1} }right} #={1 over 8}×{3 over 2} ={3 over 16}]

25. [eqn: \A]가 [eqn: 2] 종류를 선택하므로 [eqn: `_5{\C}_2](가지)

[eqn: \B]는 [eqn: \A]가 선택한 것 중 하나와 [eqn: \A]가 선택하지 않은 나머지 셋 중 하나를 선택하므로

[eqn: 2×3](가지)

[eqn: ∴`_5 {\C}_2 ×2×3=60](가지)

(다른 풀이)

공통인 것 하나를 먼저 택하고 나머지 넷 중 서로 다른 것을 하나씩 택한다.

[eqn: ∴`_5 {\C}_1 ×4×3=5×12=60](가지)

26. 조건에서 [eqn: g(x) = 2^x-m + n]이다. 점 A(1, 2)를 [eqn: x`]축으로 [eqn: m]만큼, [eqn: y`]축으로 [eqn: n]만큼 이동하면

[eqn: {\A}' (1+m, ``` 2+n)]이므로 [eqn: 1+m = 3]

[eqn: THEREFORE``` m=2]

또한, [eqn: y=g(x)]가 점 (0, 1)을 지나므로

[eqn: g(0) = 2^-m +n =1]

[eqn: 2^-2 +n = 1]

[eqn: THEREFORE``` n = { 3} over {4 }]

[eqn: THEREFORE ``` m+n = 2 + { 3} over {4 } = { 11} over {4 }]

27. 6명을 2명씩 짝을 짓는 방법의 수는

[eqn: {}_6 \C_2 TIMES {}_4 \C_2 TIMES{}_2 \C_2 TIMES { 1} over { 3!} =15]

A와 B는 같은 조에 편성되고 C와 D는 다른 조에 편성되는 경우의 수는

(A, B), (C, E), (D, F)와 (A, B), (C, F), (D, E)

인 2가지 밖에 없으므로

[eqn: \P ={ 2} over { 15}]

28. [단계1]에 찍히는 점의 개수는 [eqn: (2k-1)]개이므로 [단계[eqn: n]]까지 찍힌 모든 점의 개수는

[eqn: sum from{k=1}to{n} (2k-1)=n^2]

[eqn: n^2 =100]에서 [eqn: n=10]이다.

따라서, [eqn: 100]번째 찍히는 점은 [단계[eqn: 10]]에서 [eqn: 19]번째로 찍히는 점이다.

[eqn: ∴(p`,``q)=(18`,``19)]

[eqn: ∴p+q=37]

29. ㄱ.

[eqn: {\P}(Z>c) =0.03 <0.05= {\P} (Z>a)]이므로

[eqn: c>a]  ∴참

ㄴ. [eqn: {\P}(`bar{X```} <=c+75)={\P}(Z<=c )=0.97]  ∴참

ㄷ.

[eqn: {\P}( bar{X```} >b )={\P}(Z>b-75)]

[eqn: =0.01<0.03= {\P}(Z>c)]이므로

[eqn: b-75 > c]  ∴참

따라서, ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

30. [eqn: N]은 두 자리의 자연수이므로 [eqn: log`N=1+alpha]

[eqn: {1over2}+1+alpha=alpha+{1over2}left({{1+alpha} over{log `2}}-3 right)], [eqn: { 3} over { 2} = { 1} over {2 } LEFT ( { 1+ alpha } over { log `2} -3 RIGHT )]

[eqn: 3={1+ alpha} over {log`2} -3], [eqn: 6={1+ alpha} over {log`2}]

[eqn: log`N=1+ alpha =6log`2= log ` 64]

[eqn: ∴N=64]