◦  먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

수 리 영 역

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수 리 영 역

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2008학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시           수 리 영 역

성명			수험번호						3

‘나’형

◦  문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦  답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦  단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦  계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

◦  이 문제지에는 아래의 예와 같이 국립국어연구원의 ‘한글 맞춤법’에 의한 사이시옷 표기법을 사용하였습니다.
(예) 최솟값(종전 표기: 최소값)

8

1. [eqn: root {3} of {(8 TIMES27)^2 }]의 값은? [2점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 36]	④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 108]

2. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{`2&~~`3`#`1&`-2`}], [eqn: B= pmatrix{`3&~~`2`#`1&~`-2`}`]에 대하여 [eqn: A ^{-1} X`=B`]를 만족시키는 행렬 [eqn: X`]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

3. [eqn: lim _{n -> INF } {} {sqrt {2n+1} + sqrt {2n-1}} over {sqrt {n+1} +sqrt {n-1}}]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 4]

4. [eqn: a=log _{`4} (`3- sqrt {8} )]일 때, [eqn: 2 ^{`a} +2 ^{`-a}]의 값은? [3점]

① [eqn: 2 sqrt {2}]	② [eqn: 2 sqrt {2} +1]	③ [eqn: 2 sqrt {3}]

④ [eqn: 2 sqrt {3} +1]	⑤ [eqn: 4 sqrt {2}]

5. 연립방정식 [eqn: LEFT ( matrix{`2&`````3`#`2&`````1`} RIGHT ) pmatrix{`x`#`y`} =k` pmatrix{`x`#`y`}`]가 [eqn: x=0`,````y=0``]이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k``]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

6. 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: sqrt {n ^{2} +1}]의 정수부분을 [eqn: a _{n} `]이라 할 때,
[eqn: lim _{n -> INF }`a_n ( sqrt { n^2 +1} ```- a_n `)]의 값은? [3점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1 over2]	③ [eqn: sqrt { 2} over2]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: sqrt { 2}]

7. 이차정사각행렬 [eqn: A``]의 역행렬이 [eqn: A+2E``]일 때, [eqn: A-E``]의 역행렬은 [eqn: pA+qE``]이다. 두 실수 [eqn: p`,````q``]의 합 [eqn: p+q``]의 값은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: - {1}]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

‘나’형

8. 이차정사각행렬 [eqn: A`,``B``]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: O`]는 영행렬, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A != O``]이고 [eqn: AB=A``]이면 [eqn: B=E``]이다. ㄴ. [eqn: A^2 -A+E=O``]이면 [eqn: A^3`=`-E] 이다. ㄷ. [eqn: A^2`]의 역행렬이 존재하면 [eqn: A^3]의 역행렬도 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9.  등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 첫째항부터 제 [eqn: 5]항까지의 합이 [eqn: { 31} over {2 }]이고
곱이 [eqn: 32]일 때, [eqn: {1} over {a _{1}} + {1} over {a _{2}} + {1} over {a _{3}} + {1} over {a _{4}} + {1} over {a _{5}} `]의 값은? [3점]

① [eqn: {31} over {4}]	② [eqn: {31} over {8}]	③ [eqn: {31} over {12}]	④ [eqn: {8} over {31}]	⑤ [eqn: {4} over {31}]

‘나’형

10. 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]은 다음과 같이 [eqn: 3]으로 나누어 떨어지지 않는 자연수를 작은 수부터 차례로 나열한 것이다.
[eqn: 1,~2,~4,~5,~7,~8`,~ CDOTS ~~]

이때 [eqn: sum _{ k=1} ^{30 } a_k]의 값은? [3점]

① [eqn: 675]	② [eqn: 685]	③ [eqn: 695]	④ [eqn: 705]	⑤ [eqn: 715]

11. 수열 [eqn: LEFT {a _{n} RIGHT } `]을 다음과 같이 정의한다.
[eqn: a _{1} `=`1`],  [eqn: a _{2n} `=`a _{n} +1`],  [eqn: a_2n+1 `=` a_n -1`] [eqn: (n=1,```2,```3,`` CDOTS `)]

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: a _{`6} =1``] ㄴ. [eqn: n=2 ^{`k} ``]([eqn: k``]는 자연수)이면 [eqn: a _{n`} =k+1]이다. ㄷ. [eqn: n=2 ^{`k} +1``]([eqn: k``]는 자연수)이면 [eqn: a _{n`} =k-1]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12. 자연수 [eqn: n`]을 [eqn: n`]개 이어 붙여 만든 자연수를 [eqn: N _{n} `]이라 하자.
예를 들어 [eqn: N _{3} `=`333`], [eqn: N _{12} `=`121212 CDOTS 12`]([eqn: 24]자리의 수)이다.
[eqn: log`N _{n} `]의 지표와 가수를 각각 [eqn: p`(n)`,````q`(n)`]이라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: p(15)=30] ㄴ. [eqn: q`(n)`=0``]인 자연수 [eqn: n``]은 [eqn: 1``]뿐이다. ㄷ. [eqn: n`=`10 ^{`k} ``(`k`]는 자연수)이면 [eqn: p`(n)-p`(n-1)`=`n+k`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

13. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n`=1+{ 1} over {2 }+{ 1} over { 3}+`⋯`+{ 1} over { n}``]로 정의한다.

다음은 [eqn: 2`] 이상인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 등식
[eqn: a_1 +a_2 +a_3 +`⋯`+a_n-1 =n( a_n -1)``]
이 성립함을 증명한 것이다.

<증명>

(1) [eqn: n=2``]일 때, [eqn: (좌변)=(우변)=`] 이므로 주어진 등식은 성립한다.

(가)

(2) [eqn: n=k``]일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: a_1 +a_2 +a_3 +`⋯`+a_k-1 =k(a_k -1)``]

양변에 [eqn: a _{k```}]를 더하면

[eqn: a_1 +a_2 +a_3 +`⋯`+a_k =`]

(나)

그런데 [eqn: a_k =a_k+1 -`] 이므로

(다)

[eqn: a_1 +a_2 +a_3 +`⋯`+a_k =`(k+1)( a_k+1 -1)]

그러므로 [eqn: n=k+1`]일 때도 성립한다.

따라서 [eqn: 2`] 이상인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)	(나)	(다)

①	[eqn: 1`]	[eqn: ka_k+1 -k]	[eqn: { 1} over { k}]

②	[eqn: 1`]	[eqn: (k+1)a_k -k]	[eqn: { 1} over { k+1}]

③	[eqn: 1`]	[eqn: (k+1)a_k -k]	[eqn: { 1} over { k}]

④	[eqn: 3 over 2`]	[eqn: ka_k+1 -k]	[eqn: { 1} over { k+1}]

⑤	[eqn: 3 over 2`]	[eqn: (k+1)a_k -k]	[eqn: { 1} over { k+1}]

14. 실수 [eqn: x,``y``]에 대하여 행렬 [eqn: A= pmatrix{`x-2```&``````-y`#`y-2```&`x+2`} ``]의 역행렬이 존재하지 않을 때, 좌표평면 위에서 점 [eqn: (`x`, ````y`)`]가 나타내는 그래프의 개형은? [4점]

①		②
③		④
⑤

‘나’형

15. 좌표평면 위의 점 [eqn: {rm P(}a`,```b)``]에 대하여 행렬 [eqn: M _{rm `P}``]를
[eqn: M _{rm `P} = LEFT ( matrix{``````a`&```b`#-b`&```a`} RIGHT )``]로 정의하자.

임의의 두 점 [eqn: rm P,```Q``]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: M _{rm` P} M _{rm`Q} =M _{rm`R}]인 점 [eqn: rm R``]가 존재한다. ㄴ. [eqn: M _{rm `P} M _{rm `Q} =M _{rm `Q} M _{rm `P}] ㄷ. 점 [eqn: rm P``]가 원점이 아니면 [eqn: M _{rm `P} M _{rm `S} =E``]인 점 [eqn: rmS``]가 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

‘나’형

16. 어느 연구소의 보고서에 따르면 앞으로 LPG 경차 사용이 늘어나 자동차 휘발유 소비량이 감소할 것이라고 한다. [eqn: 2007`]년 [eqn: \A]지역의 연간 자동차 휘발유 소비량은 [eqn: a``]톤이고, 매년 이 지역의 연간 자동차 휘발유 소비량은 전년도에 비하여 일정한 비율로 감소하여 [eqn: 2015`]년에는 [eqn: 1 over 3 a``]톤이 된다고 한다. [eqn: 2015`]년 이후에도 이와 같은 비율로 계속 감소한다고 할 때, [eqn: \A]지역에서 [eqn: 2007`]년부터 [eqn: 2022`]년까지 [eqn: 16]년 동안 사용되는 자동차 휘발유 소비량의 총합은? (단, [eqn: root {8} of {3}=1.15``]로 계산한다.) [4점]

① [eqn: { 145} over {27 }a``]톤	② [eqn: { 154} over {27 }a``]톤	③ [eqn: { 164} over {27 }a``]톤

④ [eqn: { 175} over {27 }a``]톤	⑤ [eqn: { 184} over {27 }a``]톤

17. 반지름의 길이가 [eqn: 2sqrt { 3}`]인 원이 있다. 그림과 같이 이 원에 내접하는 두 정삼각형이 겹쳐지는 부분이 정육각형이 되도록  모양의 도형 [eqn: S _{`1}](어두운 부분)을 그린다. 또, [eqn: S _{`1}`]의 정육각형에 내접하는 원을 그리고, 이 원에 내접하는 두 정삼각형이 겹쳐지는 부분이 정육각형이 되도록  모양의 도형 [eqn: S _{`2}``](어두운 부분)를 그린다.

이와 같은 방법으로  모양의 도형 [eqn: S_{`3`} , ```S_{`4`} , ```cdots`,``` S_{`10 }``]을 그릴 때, 도형 [eqn: S _{`10}``]의 넓이는? [4점]

① [eqn: {sqrt { 3} } over { 2^ 15}]	② [eqn: { sqrt { 3} } over { 2^ 16}]	③ [eqn: { 3 sqrt { 3} } over { 2^ 15}]

④ [eqn: { 3 sqrt { 3} } over { 2^ 16}]	⑤ [eqn: { 5 sqrt { 3} } over { 2^ 16}]

단답형(18~25)

18. 등비수열 [eqn: LEFT {a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a_1 a_2 =6`], [eqn: a_3 `a_4 =12]일 때, [eqn: a_7`a_8 `]의 값을 구하시오. [3점]

19. 이차정사각행렬 [eqn: A`,``B``]가
[eqn: A ^{2} +B ^{`2} `=` pmatrix{5`&``0`#`{3} over {2}`&`1`} `,~AB+BA`=` pmatrix{-4`&``0`#- {1} over {2}`&``0`}``]
을 만족시킬 때, 행렬 [eqn: (A+B) ^{100} `]의 모든 성분의 합을 구하시오.

[3점]

20. 두 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT } ,`` LEFT { b _{n} ` RIGHT }]에 대하여
[eqn: a _{1} +b _{1} =45],  [eqn: sum _{k=1} ^{10} ``a _{k} + sum _{k=1} ^{10} ``b _{k}][eqn: =500]
일 때, [eqn: a _{10} +b _{10} ``]의 값을 구하시오. [3점]

21. 두 정수 [eqn: a,```b`]가 [eqn: 2a+b=12`]를 만족할 때, [eqn: 4 ^{`a} +2 ^{`b} `]의 최솟값을 구하시오. [3점]

‘나’형

22. [eqn: 1]부터 [eqn: n``]까지 자연수의 합을 [eqn: S _{n```}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{20} LEFT [ log` _{10} ``S _{n} RIGHT ]]의 값을 구하시오. (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[4점]

23. [eqn: A`]는 세 자리의 자연수이고, [eqn: B``]는 [eqn: 900]보다 큰 세 자리의 자연수이다. [eqn: log`B``]의 가수가 [eqn: log `A``]의 가수의 [eqn: 2`]배일 때, 자연수 [eqn: A``]의 값을 구하시오. [4점]

(단위 : kg)
	[eqn: rm A]	[eqn: rm B]
가죽	[eqn: 0.6]	[eqn: 0.3]
고무	[eqn: 0.5]	[eqn: 0.4]

24. 표는 두 등산화 [eqn: rm A,`` B``]를 각각 한 켤레씩 만드는 데 필요한 가죽과 고무의 양을 나타낸 것이다.

가죽 [eqn: 45``]kg, 고무 [eqn: 42``]kg을 모두 사용하여 등산화 [eqn: rm A``]를 [eqn: x``]켤레, 등산화 [eqn: \B]를 [eqn: y``]켤레 만든다고 할 때, 다음은 [eqn: x]와 [eqn: y]의 값을 구하는 식을 행렬로 나타낸 것이다.
[eqn: pmatrix { `x`# `y `} = { 1} over { 9} pmatrix {` a&`` -3``# `b&````````6`` }pmatrix {` 450`#` 420` }]

이때 두 상수 [eqn: a,``b``]에 대하여 [eqn: (a-b)^2 ``]의 값을 구하시오. [4점]

‘나’형

25. 그림과　같이　반지름의　길이가　[eqn: 15``]인　원을 [eqn: 5``]개의 부채꼴로 나누었더니 부채꼴의 넓이가 작은 것부터 차례로 등차수열을　이루었다. 가장　큰　부채꼴의　넓이가　가장　작은　부채꼴의　넓이의　[eqn: 2``]배일 때, 가장 큰 부채꼴의　넓이는 [eqn: k` pi``]이다. 이때 [eqn: k``]의 값을 구하시오. [4점]

5지 선다형

26. 무한등비수열 [eqn: LEFT { LEFT ( -sin {k` pi } over {4} RIGHT ) ^{n} RIGHT }`]이 수렴하도록 하는 [eqn: 10``]이하의 자연수 [eqn: k``]의 개수는? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

27. 실수[eqn: ```x``]에 대하여 [eqn: 3 ^{`x+1} -3 ^{`x} =a`], [eqn: 2 ^{`x+1} +2 ^{`x} =b]일 때, [eqn: 12^{`x}]을 [eqn: a,``b``]를 이용하여 나타낸 것은? [3점]

① [eqn: { a`b } over {6 }]	② [eqn: { a^2 `b } over {18 }]	③ [eqn: { a^2 `b } over {12 }]	④ [eqn: { a`b^2 } over {18 }]	⑤ [eqn: { a`b^2 } over {12 }]

28.  수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하면 [eqn: S _{n} =p`a _{n} +1`]이 성립한다. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: p``]는 [eqn: 1`]이 아닌 상수이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: a _{1} = {1} over {1-p}] ㄴ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 등비수열이다. ㄷ. [eqn: p= {2} over {3} `]이면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

29. 넓이가 [eqn: 1,```3,```9,```27,``` CDOTS ``]인 등비수열을 이루는 정사각형들을 그림과 같이 왼쪽부터 차례로 배열하고, 각 정사각형의 내부에 정사각형과 한 변을 공유하는 정삼각형을 그린다.

정삼각형의 외부와 정사각형의 내부의 공통부분(어두운 부분)의 넓이를 왼쪽부터 차례로 [eqn: a_1 ,```a_2 ,```a_3 ,` CDOTS`]이라 할 때,
[eqn: lim _{ n rarrow∞ } { ` { 8(a_1 +a_2 + `CDOTS`+a_n )} over { 3^{`n} }]의 값은? [4점]

① [eqn: { 2- sqrt { 3}}]	② [eqn: { 3- sqrt { 3}}]	③ [eqn: { 4- sqrt { 3}}]

④ [eqn: { 2- sqrt { 3}} over 2]	⑤ [eqn: { 4- sqrt { 3}} over 2]

단답형

‘나’형

30. 그림은 직사각형 모양을 이루고 있는 [eqn: (`5 TIMES 100`)`]개의 칸에 다음 규칙에 따라 수를 나열한 것이다.

(가) 제 [eqn: 1]행에는 [eqn: 1,``2,``3,`` CDOTS ,``100`]을 차례로 나열하고,
각 행의 첫 칸에는 모두 [eqn: 1]을 나열한다.

[eqn: a]	[eqn: b]
[eqn: c]	[eqn: d]

(나) 그림에 있는 [eqn: (`2 TIMES 2`)]개의 칸으로 이루어진 임의의 직사각형

[eqn: 4]	[eqn: 5]
[eqn: 2]	[eqn: 3]

에서 등식 [eqn: d=|`b-c`|``]가 성립하도록 한다.

예를 들면        에서 [eqn: 3=|`5-2`|`]가 성립한다.

제 [eqn: 1]행	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: cdots]	[eqn: 100]
제 [eqn: 2]행	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]	[eqn: 50]
제 [eqn: 3]행	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: 2]	[eqn: 0]	[eqn: 3]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]
제 [eqn: 4]행	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]	[eqn: 25]
제 [eqn: 5]행	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: 2]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]

이때 제 [eqn: 5]행(어두운 부분)에 나열된 [eqn: 100]개의 수의 합을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.