◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형/‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 써 넣으시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 선택 과목, 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점, 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2007학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지

수리 영역(나형)

제 2 교시

성명			수험번호						3

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수리 영역(나형)

수리 영역(나형)

[eqn: 8 ^{{5} over {6}} TIMES 4 ^{- {1} over {4}} ÷2 ^{{1} over {2}}]의 값은? [2점]

8

①  [eqn: 1]

② [eqn: sqrt { 2`}]

③  [eqn: 2]

④  [eqn: 2 sqrt {2}]

⑤  [eqn: 4]

[eqn: LEFT ( log_{10}``2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( log_{10}``5 RIGHT ) ^{2} +log_{10}``4 cdot log_{10}``5]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]

② [eqn: 2]

③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]

⑤ [eqn: 5]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 [eqn: a _{2} +a _{4} =810], [eqn: a _{5} +a _{7} =30]일 때, [eqn: a _{10}]의 값은?

[2점]

① [eqn: {1} over {9}]

② [eqn: {1} over {3}]

③  [eqn: 1]

④  [eqn: 3]

⑤  [eqn: 9]

[eqn: 1]이 아닌 세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a=b ^{2}= c^{3}]이 성립할 때, [eqn: log _{`a} `b+log _{`b} `c+log _{`c} `a]의 값은? [3점]

① [eqn: {23} over {6}]

② [eqn: {25} over {6}]

③ [eqn: {29} over {6}]

④ [eqn: {31} over {6}]

⑤ [eqn: {35} over {6}]

<보기>에서 수렴하는 수열을 모두 고른 것은? [3점]

		보 기
ㄱ. [eqn: LEFT { tan {2n+1} over {4} pi RIGHT }] ㄴ. [eqn: LEFT { sqrt {n+1} - sqrt {n} RIGHT }] ㄷ. [eqn: LEFT { log _{2} n ^{2} ``-`2`log _{2} (n+2) RIGHT }]

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

이차정사각행렬 [eqn: A]가 [eqn: A `pmatrix{`a`#`b`} = pmatrix{`3`#`1`}], [eqn: A `pmatrix{`3a-c`#`3b-d`} = pmatrix{`2`#`5`}]를 만족시킬 때, [eqn: A` pmatrix{``c``#``d``}]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 1]

② [eqn: 2]

③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]

⑤ [eqn: 5]

상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 행렬 [eqn: A= pmatrix{``a``&`1``#``b``&`2``}]가 [eqn: A-A ^{-1`} = pmatrix{-1`&`2#``2&``1`}]을 만족시킬 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: 2a != b]이고, [eqn: A ^{-1}]는 [eqn: A]의 역행렬이다.)

[3점]

①  [eqn: 2]

②  [eqn: 4]

③  [eqn: 6]

④  [eqn: 8]

⑤ [eqn: 10]

<보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고르면? [3점]

		보 기
ㄱ. [eqn: sum _{k=1} ^{n} (2k-1)=n^{2}] ㄴ. [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {k} = {2} over {n(n+1)}] ㄷ. [eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( `sum _{l=1} ^{k}` l` RIGHT ) = {n(n+1)(n+2)} over {6}]

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: {1} over {a} + {1} over {b} =1]일 때, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT ( a+b RIGHT )^n -a^n`-b^n`>=2^2n -2^n+1]이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

[증명]

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: (a+b)-a-b>=2 ^{2}-2 ^{2}}] 이므로 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) ^{k} -a ^{k} `-b ^{k} ` >= 2 ^{2k} -2 ^{k+1}]이다.

[eqn: n=k+1]일 때 성립함을 보이자.

[eqn: {1} over {a} + {1} over {b} =1]이면 [eqn: ab=a+b]이므로  [eqn: ab]의 최소값은

이다.

(가)

[eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) ^{k+1} -a ^{k+1} `-b ^{k+1}]

[eqn: =]  [eqn: LEFT { LEFT ( a+b RIGHT ) ^{k} -a ^{k} `-b ^{k} RIGHT }+a ^{k} b+ab ^{k}]

(나)

[eqn: >=]  [eqn: LEFT ( 2 ^{2k} -2 ^{k+1} RIGHT ) +]

(가)

(다)

[eqn: =2^2(k+1)`-2^(k+1)+1]

그러므로 [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해서

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT ( a+b RIGHT )^n -a^n`-b^n`>=2^2n -2^n+1]이다.

이 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 2]	[eqn: LEFT ( a-b RIGHT )]	[eqn: 2 ^{k+1}]
②	[eqn: 2]	[eqn: LEFT ( a-b RIGHT )]	[eqn: 2 ^{k+2}]
③	[eqn: 2]	[eqn: LEFT ( a+b RIGHT )]	[eqn: 2 ^{k+2}]
④	[eqn: 4]	[eqn: LEFT ( a+b RIGHT )]	[eqn: 2 ^{k+1}]
⑤	[eqn: 4]	[eqn: LEFT ( a+b RIGHT )]	[eqn: 2 ^{k+2}]

두 수 [eqn: sqrt {{2 ^{a} CDOT 5 ^{b}} over {2}}]과 [eqn: `{} ^{3} sqrt {{2 ^{a} CDOT 5 ^{b}} over {5}}]이 모두 자연수일 때,

[eqn: a+b]의 최소값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 자연수이다.) [4점]

① [eqn: 2]

② [eqn: 3]

③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]

⑤ [eqn: 9]

원점 [eqn: rm O(0,``0)]과 직선 [eqn: x=`-4] 위에 점 [eqn: rm A _{1} (-4,``1)], [eqn: rm A _{2} (-4,``2)], [eqn: rm A _{it 3} (-4,`` 3)], [eqn: CDOTS] 이 있다. 직선 [eqn: y=`-1]과 직선 [eqn: rm OA _{1}], 직선 [eqn: rm OA _{2}], 직선 [eqn: rm OA _{3}], [eqn: CDOTS] 과의 교점을 각각 [eqn: rm B _{1}], [eqn: rm B _{2}], [eqn: rm B _{3}], [eqn: CDOTS] 이라 하자.

[eqn: rm TRIANGLE A _{it n} OA _{it n+1}]의 넓이를 [eqn: S _{n}], [eqn: rm TRIANGLE B_{it n}O B_{it n+1}]의 넓이를 [eqn: T_{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} S _{k}`T _{ k} }]의 값은? [4점]

[eqn: rm A _{3}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: A _{1}]

[eqn: rm O]

[eqn: VDOTS]

[eqn: -4]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: x=`-4]

[eqn: y=`-1]

[eqn: -1]

[eqn: rm B _{3}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: cdots]

① [eqn: 4]

② [eqn: 8]

③ [eqn: 12]

④ [eqn: 16]

⑤ [eqn: 20]

이차정사각행렬을 원소로 갖는 집합

[eqn: S= LEFT { X` `LEFT | `X= pmatrix{`1&```x``#``0&```y`} RIGHT . RIGHT .], [eqn: x], [eqn: y]는 자연수[eqn: pile{ # } RIGHT }]

에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고르면? [4점]

		보 기
ㄱ. 집합 [eqn: S`]는 곱셈에 대하여 닫혀있다. ㄴ. 집합 [eqn: S`]에 대하여 곱셈에 대한 교환법칙이 성립한다. ㄷ. [eqn: A in S`]이고 [eqn: A]의 모든 성분의 합이 [eqn: 3]이면 [eqn: A ^{n}]의 모든 성분의 합은 [eqn: n+2]이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 [eqn: A= pmatrix{`1&````1`#`0&```2`}]일 때, [eqn: A ^{n}]을 구하는 과정이다.

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: A ^{n} = pmatrix{a _{n}&```b _{n}#c _{n}&```d _{n}}]이라 하자.

행렬의 곱셈에 대한 결합법칙이 성립하여

[eqn: A ^{n+1} =A CDOT A ^{n} =A ^{n} CDOT A]이므로

[eqn: pmatrix{a _{n+1}&```b _{n+1}#c _{n+1}&```d _{n+1}} & = pmatrix{`1&```1`#`0&```2`} pmatrix{`a _{n}&```b _{n}`#`c _{n}`&```d _{n}`} = pmatrix{a _{n} +c _{n}&``````b _{n} +d _{n}#2c _{n}&```2d _{n}}]

[eqn: = pmatrix{`a _{n}&```b _{n}`#`c _{n}&```d _{n}`} pmatrix{`1&```1`#`0&```2`} = pmatrix{`a _{n}&````a _{n} +2b _{n}`#`c _{n}&````c _{n} +2d _{n}`}]이다.

따라서 [eqn: cases{a _{n+1} =a _{n} +c _{n} =a _{n}_{`}_{`}#b _{n+1} =b _{n} +d _{n} =a _{n} +2b _{n}_{`}_{`}#c _{n+1} =2c _{n} =c _{n}_{`}_{`}#d _{n+1} =2d _{n} =c _{n} +2d _{n}}] 이므로

[eqn: b _{n+1} =`2b _{n} +]  이고, [eqn: d _{n+1} `=]  이다.

(가)

(나)

[eqn: therefore][eqn: A ^{n} =]  이다.

(다)

이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 1 over 2]	[eqn: 2 ^{n}]	[eqn: pmatrix{`1&```2 ^{n} -1`#`0&```2 ^{n+1}`}]
②	[eqn: 1 over 2]	[eqn: 2 ^{n+1}]	[eqn: pmatrix{`1&````2 ^{n+1}`#`0&````2 ^{n}-1`}]
③	[eqn: 1]	[eqn: 2 ^{n}]	[eqn: pmatrix{`1&```2 ^{n} -1`#`0&```2 ^{n+1}`}]
④	[eqn: 1]	[eqn: 2 ^{n+1}]	[eqn: pmatrix{`1&```2 ^{n} -1`#`0&````2 ^{n}`}]
⑤	[eqn: 1]	[eqn: 2 ^{n+1}]	[eqn: pmatrix{`1&````2 ^{n}`#`0&````2 ^{n}-1`}]

그림은 단계별로 만들어지는 어떤 입체를 위에서 본 모양과 앞에서 본 모양을 나타낸 것이다.

[[eqn: 1]단계]  한 모서리의 길이가 [eqn: 1]인 정육면체를 평면 위에 놓는다.

[[eqn: 2]단계]  [[eqn: 1]단계] 입체에 한 모서리의 길이가 [eqn: {1} over {2}]인 정육면체를 위, 왼쪽, 오른쪽, 앞, 뒤에 각각 [eqn: 1]개씩 붙인다.

[[eqn: 3]단계]  [[eqn: 2]단계] 입체에 한 모서리의 길이가 [eqn: {1} over {2^2}]인 정육면체를 위, 왼쪽, 오른쪽, 앞, 뒤에 각각 [eqn: 1]개씩 붙인다.

[eqn: VDOTS]

이와 같은 과정을 계속하여 [[eqn: n]단계]에서 얻어진 입체의 부피를 [eqn: V _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {V _{n}}]의 값은? [4점]

<위에서 본 모양>

<앞에서 본 모양>

[[eqn: 3]단계]

[[eqn: 2]단계]

[[eqn: 1]단계]

[eqn: CDOTS]

[eqn: CDOTS]

① [eqn: {8} over {7}]

② [eqn: {9} over {7}]

③ [eqn: {10} over {7}]

④ [eqn: {11} over {7}]

⑤ [eqn: {12} over {7}]

그림과 같이 쇠구슬과 막대자석을 이용하여

육각기둥 모양을 [eqn: 1]개 만드는 데 필요한 막대자석의 개수를 [eqn: a _{1}],

육각기둥 모양을 [eqn: 3]개 만드는 데 필요한 막대자석의 개수를 [eqn: a _{2}],

육각기둥 모양을 [eqn: 6]개 만드는 데 필요한 막대자석의 개수를 [eqn: a _{3}],

[eqn: VDOTS]

이와 같은 과정을 계속하였을 때, [eqn: a _{10}]의 값은? [4점]

[eqn: CDOTS]

① [eqn: 530]

② [eqn: 531]

③ [eqn: 532]

④ [eqn: 533]

⑤ [eqn: 534]

이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B`]에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고르면? (단, [eqn: O`]는 영행렬, [eqn: E`]는 단위행렬, [eqn: X` ` ^{-1}]는 [eqn: X`]의 역행렬이다.)

[4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: A ^{3} =O``]이면 [eqn: A ^{2} =O`]이다. ㄴ. [eqn: A+B=E`]이면 [eqn: AB=BA]이다. ㄷ. [eqn: AB=A+B`]이면 [eqn: LEFT ( A-E` RIGHT ) ^{-1} =B`-E`]이다.

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: rm C]가 있다.

원 [eqn: rm C]를 사분원으로 나누어 한 사분원에 내접하는 원을 [eqn: rm C _{1}],

원 [eqn: rm C_1]을 사분원으로 나누어 한 사분원에 내접하는 원을 [eqn: rm C _{2}],

원 [eqn: rm C_2]를 사분원으로 나누어 한 사분원에 내접하는 원을 [eqn: rm C _{3}],

[eqn: vdots]

이와 같은 과정을 계속하여 얻어진 원 [eqn: rm C _{it n}]의 반지름의 길이를 [eqn: r _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} `r _{k}]의 값은? [4점]

[eqn: cdots]

[eqn: rm C_{3}]

[eqn: rm C]

[eqn: rm C]

[eqn: rm C]

[eqn: rm C_{1}]

[eqn: rm C_{2}]

①  [eqn: {1} over {2}]

② [eqn: {1+sqrt {2} } over {4}]

③ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]

④ [eqn: {2+sqrt {2} } over {4}]

⑤   [eqn: 1]

단 답 형

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: 3n ^{2} -5n-1<a _{n} `<`3n ^{2} +n+2]

를 만족시킬 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {n ^{2} +2n+2}]의 값을 구하시오. [3점]

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{`2&-1#`1&``````3`}], [eqn: B= pmatrix{`1&-1#`0&`````2`}]에 대하여

[eqn: 2A+X=2(X+B)-A]를 만족시키는 행렬 [eqn: X]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

[eqn: x], [eqn: y]에 대한 일차연립방정식 [eqn: pmatrix{``a`&``3a`#`1`&``2a``} pmatrix{`x`#`y`} =2 pmatrix{`x`#`y`}]가 [eqn: x=y=0] 이외의 해를 갖도록 하는 정수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [3점]

행렬 [eqn: A= pmatrix{1&-1#-1```&``1`}]에 대하여

[eqn: E+A+A ^{2} +A ^{3} + `CDOTS` +A ^{9} =aA+bE`]일 때, [eqn: a+b]의 값을

구하시오. (단, [eqn: a,``b]는 상수이고 [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [3점]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 [eqn: a _{3`} =`-2], [eqn: a _{9`} =`46]일 때,

[eqn: |``a _{1} `|`+`|``a _{2} ``|`+`|``a _{3} ``|`+` CDOTS `+`|``a _{10} ``|]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: log _{10} `243=2.3856], [eqn: log _{10}`0.0541=-1.2668]일 때,

[eqn: 2430 ^{10} ÷541]은  정수부분이 [eqn: n]자리수이다.

이 때, [eqn: n]의 값을 구하시오. [4점]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

[eqn: cases{a _{1} =1`,``a _{2} =3`,``a _{3}=5`,``a _{4}=7 _` _`#a _{k+4} =2a _{k}`````(k=1,``2,``3,`` CDOTS `)}]

으로 정의될 때, [eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{k}]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 1<a<10]인 [eqn: a]에 대하여 [eqn: log_10``a ^{3}]의 가수와 [eqn: log_10 sqrt {a}]의 가수의

합이 [eqn: 1]이 될 때, 모든 [eqn: a]의 값의 곱을 [eqn: 10 ^{{q} over {p}}]이라 하자. 이 때,

[eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,`q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

5 지 선 다 형

어느 회사원이 [eqn: 2011]년 초에 [eqn: 200]만원을 적립하고 다음 해부터 매년 초에 전년도 적립금액의 [eqn: 5%]를 증액하여 적립하기로 하였다. [eqn: 2030]년 말까지 적립되는 원리합계는? (단, 연이율 [eqn: 5%], [eqn: 1]년마다의 복리로 계산하고, [eqn: LEFT ( 1.05 RIGHT ) ^{20} =2.65]로 계산한다.) [3점]

①  [eqn: 9600]만원

② [eqn: 10600]만원

③ [eqn: 11600]만원

④ [eqn: 12600]만원

⑤ [eqn: 13600]만원

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

[eqn: cases{`a _{1} = {1} over {4}#`a _{n+1} =a _{n} + {1} over {n ^{2} +2n} `(n=1,`2,`3,` CDOTS )}]

으로 정의될 때, [eqn: lim _{n` ->` INF } {a _{n}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {2}]

② [eqn: {3} over {4}]

③  [eqn: 1]

④ [eqn: {5} over {4}]

⑤ [eqn: {3} over {2}]

[eqn: x-y=2], [eqn: 2 ^{x} +2 ^{-y} =5]일 때, [eqn: 8 ^{x} +8 ^{-y}]의 값은? [3점]

①  [eqn: 61]

②  [eqn: 62]

③  [eqn: 63]

④  [eqn: 64]

⑤  [eqn: 65]

다음 순서도에서 인쇄되는 [eqn: S]의 값은? [4점]

시작

[eqn: n `larrow `0# k `larrow` 1# S `larrow `0]

[eqn: n larrow n+1]

[eqn: k` larrow `k+1# S` larrow `S+n]

[eqn: k=log _{3} n] ?

예

아니오

끝

[eqn: n=100`?]

아니오

예

[eqn: S]를 인쇄

①  [eqn: 39]

②  [eqn: 81]

③ [eqn: 120]

④ [eqn: 243]

⑤ [eqn: 363]

단 답 형

[eqn: 2007 ^{n}]을 [eqn: 5]로 나눈 나머지를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: 100 sum _{n=1} ^{INF } {a _{4n}} over {3 ^{n}}]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.